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ANÁLISIS MATEMÁTICO(40008) y (40015)

RESUMEN DE TEORÍAY ENUNCIADOS DE LOS EJERCICIOS

GRADO DE MATEMÁTICAS (394)

Luis A. Tristán VegaDPTO. DE ÁLGEBRA, ANÁLISIS MATEMÁTICO, GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA

40008

VERSIÓN REVISADA Y CORREGIDA

VALLADOLID, MAYO DE 2013LATV

40015

2A. EDICIÓN DEL TEMARIO AMPLIADO

VALLADOLID, FEBRERO DE 2013LATV

Última compilación: 3 de junio de 2014

Incluye fe de erratas de la edición de septiem-bre de 2013 LATV

Ilustración de portada: edición original en latínde la obra “Introductio in Analysin Infinitorum”de Leonhard Euler, del año 1748 (cita [56] de labibliografía).

Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous

Leed a Euler, leed a Euler, él es el maestro de todos nosotros(Pierre Simon Laplace)

Contenido

Prólogo a Análisis Matemático V

Prólogo a Ampliación de Análisis Matemático VII

1. Espacios euclídeos 11.1. Topología de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Límites iterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1. Aplicaciones lineales y bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1. Comentarios sobre espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Conexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Cálculo diferencial 232.1. Derivabilidad y diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1. Formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Aplicaciones diferenciables 413.1. Aplicaciones contractivas. Teorema del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1. Notas sobre la demostración del teorema de las funciones inversas . . . . . 433.2.2. Cambios de variables. Aplicación a las ecuaciones diferenciales . . . . . . . 44

3.3. Funciones implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1. Teoremas de rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4. Sucesiones y series funcionales 534.1. Sucesiones de funciones. Modos de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3. Sucesiones y series de funciones de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4. Aproximación de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.1. Comentarios sobre la generalización del teorema de Weierstrass . . . . . . 60Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5. Fundamentos de la integral 695.1. Intervalos en Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.1. Conjuntos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2. Conjuntos de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2.1. La locución “casi siempre” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3. Funciones escalonadas y su integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

I

6. Integral de Lebesgue 796.1. Definiciones y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2. Sucesiones de funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.2.1. Comentarios sobre la generalización del teorema de Levi . . . . . . . . . . . 826.3. Integración en intervalos de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7. Medibilidad. Integración iterada 917.1. Funciones medibles y conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.2. Integración en conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.2.1. Comentarios sobre espacios de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.2.2. Conceptos físicos definidos por integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.3. Integración iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.3.1. Ejemplos notables de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8. Integración por cambio de variables 1098.1. Nociones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.1.1. Cambios de variable en una dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.1.2. Representación y descomposición de isomorfismos lineales . . . . . . . . . 110

8.2. Teorema del cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.2.1. Notas sobre la demostración del teorema del cambio de variables . . . . . . 111

8.3. Cambios de variables usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.3.1. Cambios de referencia afín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.3.2. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.3.3. Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.3.4. Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.3.5. Coordenadas esféricas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.3.6. Transformación de símplices en cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9. Integrales paramétricas 1239.1. Continuidad y derivación de integrales paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.1.1. Integrales flechadas dependientes de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . 1259.2. Integrales eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.3. Convolución de funciones. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.3.1. Producto de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.3.2. Aproximaciones de la identidad. Regularización de funciones . . . . . . . . 130

9.4. Transformadas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.4.1. Transformación de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.4.2. Transformación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

10. Extremos condicionados 14110.1. Variedades diferenciables en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

10.1.1. Variedades definidas implícitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14410.2. Extremos sujetos a condiciones de ligadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.2.1. El método de Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

11. Teoría de campos 15311.1. Curvas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15311.2. Campos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15511.3. Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

11.3.1. Gradiente de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15711.3.2. Rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16011.3.3. Divergencia de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111.3.4. Laplaciano de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

II

12. Integrales de línea 16712.1. Integración de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16712.2. Integración de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17012.3. Fórmula de Riemann-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

12.3.1. Notas sobre la demostración del teorema de Riemann-Green . . . . . . . . 177Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

13. Integración en superficies 18513.1. Superficies paramétricas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18513.2. Integración de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18813.3. Integración de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19013.4. Superficies con borde. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19213.5. Teorema de Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

13.5.1. Comentarios sobre formas diferenciales y el teorema general de Stokes . 198Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

A. Cónicas y Cuádricas 209A.1. Cónicas en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209A.2. Cuádricas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Bibliografía 213

Índice de notación 217

Índice alfabético 219

III

Prólogo a Análisis Matemático

Este manual no tiene otra pretensión que la de proporcionar un guión, ajustado al temariode la asignatura, que ayude tanto al desarrollo cotidiano de las lecciones magistrales, comoal estudio particular del alumno.

Con esto en mente, la estructura es sencilla: en cada uno de los temas en que se dividela materia se relatan los conceptos, propiedades y teoremas correspondientes, de forma con-cisa, pero sin renunciar a la presentación de ejemplos, observaciones aclaratorias, e inclusoreferencias a temas avanzados, continuación natural de los que conforman el currículo dela asignatura. Finalmente se proporciona una nutrida colección de enunciados de ejercicios,de dificultad variada, desde simples aplicaciones de fórmulas hasta problemas que requierenun planteamiento más concienzudo o una aportación intelectual que implique una visióngeneral de la materia expuesta en la parte teórica.

Los ejercicios se han elegido de manera que, salvo los prerrequisitos obvios del Cálculo enuna variable y el Álgebra Lineal, no precisen de otra materia que la contemplada en la asig-natura, e intentando que abarquen todas las facetas que ésta presenta. No obstante, al igualque en la parte teórica, son inevitables algunas referencias a disciplinas afines (Topología,Ecuaciones Diferenciales, etc.). Algunos ejercicios o problemas serán tratados en las clasesprácticas, que girarán en torno a ellos.

En general, para el uso de estas notas de la manera más provechosa, recomendamos queel alumno se anticipe a la presentación de la teoría en las lecciones magistrales, dedicandounos pocos minutos a la lectura somera de la materia que corresponda de forma inminente;esto servirá, al menos, para adquirir un primer contacto con la terminología y notación, yen muchos casos, en los que se generalizan nociones ya presentadas en un primer curso deCálculo Infinitesimal, preparará al lector para una mejor comprensión de las explicacionesdel profesor.

Es necesario en este punto hacer énfasis en que el documento que presentamos distamucho de ser un libro de texto, y que la correcta asimilación de los conceptos teóricos yla adquisición de la destreza en los métodos de Cálculo requiere del trabajo personal delalumno: primero, mediante la documentación entre la bibliografía citada, afianzando o pu-liendo aquellos aspectos teóricos que pudieran no haber quedado claros, y después, perono menos importante, mediante la resolución de ejercicios y problemas. Los momentáneosintentos infructuosos no son necesariamente indicios de fracaso global, al contrario, sir-ven para enfocar de una forma más eficiente futuros problemas similares. Un ejemplo muysignificativo: nadie puede aprender a montar en bicicleta viendo en televisión las grandescompeticiones, solamente cuando se ha experimentado lo suficiente (seguramente sufrien-do varias caídas) se puede alcanzar la destreza; lo mismo que en el desarrollo de cualquieractividad física o intelectual.

En relación con lo expuesto arriba, se incluye una abundante lista de referencias biblio-gráficas, incluyendo tanto de libros de texto como manuales prácticos. Además, aunque nosea imprescindible, se citan algunas obras de carácter divulgativo o histórico, así como lasdirecciones URL de algunas páginas Web interesantes. Destacaremos luego una pequeña co-lección de textos que pensamos son los más adecuados al currículo de la asignatura. Entreestas obras, algunas que se pueden considerar ya clásicas y otras de factura más moderna,se encuentra información más que suficiente para abordar con éxito el estudio de esta asig-natura, y únicamente el autor de estas notas aporta sus gustos o preferencias personales encuanto a la organización secuencial del temario y el nivel de profundización.

A tenor de lo dicho cabe preguntarse ¿qué sentido tiene elaborar este material didácticosi ya está todo escrito? En primer lugar, no hay un texto que se ajuste exactamente al con-tenido de la asignatura, de manera que tener un guión establecido ayudará al alumno en

V

la programación de su estudio y en la tarea de documentación. También, el tener a manolos enunciados fundamentales, permitirá al alumno acudir a las lecciones con una actitudalejada de la del mero amanuense que transcribe la verborrea del profesor, y a éste a lo que, ami modo de entender, debe ser su primordial función: transmitir el entusiasmo por lo que seenseña, fomentar la capacidad de que el alumno adquiera herramientas y hábitos de trabajoy aprendizaje individual, y sembrar el espíritu crítico que debe acompañar a toda actividadintelectual; a esta convicción he llegado con los años, independientemente de las sucesivasreformas de la enseñanza universitaria, o la vana grandilocuencia con que en nuestro paísse han interpretado los acuerdos de Bolonia.

Además, he de confesar, la obligación que me impongo de elaborar por adelantado estematerial me sirve de ayuda en mi labor docente en la primera andadura de la asignatura,entre otras cosas, para decidir de una manera más eficiente (y por tanto beneficiosa parasus destinatarios, supongo) qué incluir, cómo y en qué orden, optimizando el tiempo que sededicará a cada tema y sin tener que sacrificar nada importante.

Volviendo a las referencias bibliográficas, de forma más explícita:

⊲ El texto de Apostol [2] es una excelente referencia general para la asignatura, a excepciónde una pequeña parte: lo que atañe a la construcción de la integral de Lebesgue, quepresenta mediante el método de las funciones superiores, un ligera variante del métodoque se expone en estas notas.

⊲ El libro de Marsden y Hoffman [32] es otra buena referencia para la primera mitad de laasignatura y responde casi fielmente a la exposición que hacemos del tema 3 (funcionesinversas e implícitas).

⊲ La colección de Fernández Viña, [14], [15] y [16], es otra excelente referencia general. Enparticular, en [16] se desarrolla la construcción de la integral de Lebesgue mediante elmétodo de sucesiones fundamentales, que será el que seguiremos.

⊲ Los textos de Bombal, Rodríguez y Vera, [5], [6] y [7], cubren casi por completo todos losaspectos prácticos de la asignatura.

⊲ También los suplementos de “Ejercicios y complementos” de Fernández Viña y SánchezMañes, [17], [18] y [19], que acompañan los textos teóricos de Fernández Viña, son unabuena referencia general en lo tocante a la práctica.

⊲ El texto de Galindo, Sanz y Tristán [23], aunque concebido de forma generalista hacia lasenseñanzas técnicas, por lo que adolece de escasez de problemas de índole más teóri-ca, contiene una abundante colección de ejercicios de cálculo. Las sucesiones y seriesfuncionales están contempladas en el tomo dedicado a funciones de una variable [22].

La edición de este documento pretende ser lo más cuidada posible, utilizando el compila-dor de LATEX 2e, con formato “libro” (documentclass[book] ), y preparado para imprimir a doblecara (de ahí la posible aparición de páginas en blanco). En particular, para facilitar su usose incluyen: la tabla de contenidos, las referencias bibliográficas, el índice de notación y elíndice alfabético. En éste último se recogen también los nombres de los personajes que hancontribuido de alguna forma al desarrollo del Análisis Matemático, y que se citan en el texto,bien sea indirectamente, o por haber prestado su nombre a algún teorema.

No puedo dejar de mencionar (es de bien nacidos ser agradecidos) que el contenido de estasnotas y su posible valía no son sólo fruto de mi trabajo personal; las enseñanzas primero,y los consejos y colaboración luego, por parte de mis maestros y compañeros del Área deAnálisis Matemático de la Universidad de Valladolid son mucho más trascendentes que elsimple trabajo de teclear. Si algún defecto se encuentra se deberá sin duda a mis limitacioneso despistes.

Finalmente quiero señalar que, aunque este material está dirigido a mis alumnos, cual-quier persona que desee usarlo para fines no comerciales tiene mi expreso permiso de re-producción. En este sentido son bienvenidas toda critica o sugerencia, tanto en el aspectoliterario como en el matemático, que ayuden a mejorar este modesto fruto de mi esfuerzo(contactar en e-mail: [email protected] ).

Valladolid, Junio de 2012 Luis A. Tristán Vega

VI

Prólogo aAmpliación de Análisis Matemático

Mηδǫις αγǫωµǫτρητoς ǫισιτω µoι την θυραν

(No entre aquí quien no sepa Geometría)

Tras meditarlo profundamente me he decidido a continuar en este documento la parterelativa a esta asignatura de tercer curso. Es decir los 8 primeros temas corresponden a laasignatura (40008)-Análisis Matemático mientras que los temas 9 a 13 constituyen la materiade (40015)-Ampliación de Análisis Matemático.

Esta decisión se debe, por una parte, a la necesidad de hacer continuas referencias en éstade tercer curso a la de segundo curso; además, el hecho de que la materia tradicional de uncurso de Análisis Matemático en varias variables reales se haya dividido en dos asignaturas,se debe sólo a que el plan de estudios se articula en asignaturas de 6, 9 o 12 créditos (no veoimpedimento a que pudiesen ser de 15 o 18, ni le encuentro la ventaja a esa limitación, perotampoco es este el sitio para discutirlo). También por este motivo mantengo el título, aunquesólo se corresponda con el de la primera asignatura.

Además, todas las consideraciones y sugerencias hechas antes sirven, exactamente igual,en este caso. Como novedad, mencionaré las referencias bibliográficas específicas para losnuevos temas:

⊲ Para el primer tema de la asignatura (secciones 9.1 y 9.2 de este documento) son reco-mendables las mismas referencias que para los temas 6, 7 y 8.

⊲ El texto de Mazón [34] nos servirá para el tema 10. De hecho, si no fuese por las ligerasdiferencias en la notación podríamos adoptarlo, tal cual, en estas notas.

⊲ También resultan útiles para el tema 10 los textos [2], [15], [18] y [32].

⊲ En general, la colección de Fernández Viña y Sánchez Mañes es una buena referencia paratodos los temas. No obstante, el cálculo vectorial se presenta del modo más formal en elcontexto de las formas diferenciales.

⊲ Para los temas de Análisis Vectorial [33] y [39] son dos referencias clásicas. Como recomen-dación para lecturas posteriores o avanzadas, mencionaremos otros textos excelentes,alguno con una merecida reputación internacional, como [11], [36] o [43], pero en ellosla integración en variedades se presenta mediante formas diferenciales, lo que excede lasaspiraciones de nuestro temario.

⊲ El texto de Galindo, Sanz y Tristán [23], cubre la parte práctica de todos los temas, tantola parte de Extremos Condicionados como las de Cálculo Integral y Análisis Vectorial.

Además, he añadido un apéndice resumiendo los aspectos básicos de las cónicas y lascuádricas afines. No sólo resultará útil a la hora de trabajar con los teoremas del AnálisisVectorial (circulaciones o flujos de campos, etc.), también aportará una buena herramientaen el manejo y estudio de los conjuntos que aparecen con frecuencia en el Cálculo Diferencialy en el Cálculo Integral.

Es evidente que la destreza a la hora de tratar los aspectos geométricos allana muchasdificultades en trabajos como la búsqueda de las secciones de conjuntos en la integracióniterada, la detección de cambios de variables ad hoc para problemas concretos, etc. De ahí lacita, obviamente sin ánimo prohibitivo, a la frase que la tradición (o la leyenda) cuenta querezaba inscrita en la entrada a la Academia de Platón, en el siglo IV a. de C.

Valladolid, Junio de 2013 Luis A. Tristán Vega

VII

Tema 1

Espacios euclídeos

Hablando en rigor, un espacio euclídeo, generalizando los conceptos de la Geometría clá-sica contemplada en los Elementos de Euclides, es un espacio vectorial real de dimensiónfinita dotado de un producto interno, en el que se tienen, por tanto, aparte de las nocioneslineales generales, las relativas a ángulos (ortogonalidad, paralelismo). Ahora bien, eligiendouna base ortonormal de uno de tales espacios (el método de Gram-Schmidt permite cons-truirla partiendo de una base cualquiera) esa fácil establecer un isomorfismo entre él y Rn,siendo n la dimensión del espacio. Por esta razón nos limitamos al estudio de estos espacios.

El objetivo del presente capítulo es introducir aquellas propiedades topológicas de losespacios euclídeos que serán necesarias para abordar posteriormente el Cálculo Diferencialen varias variables.

El punto de partida en el desarrollo de esta materia es el concepto de norma, que generalizael de valor absoluto de los números reales y permite establecer un argumento para medir laproximidad de los puntos de un espacio vectorial. De hecho, la recta real es el caso mássimple de los espacios normados que nos ocupan.

El lector observará que los resultados que se exponen aquí son generalizaciones, o con-venientes adaptaciones, de los que se presentan, con el mismo objetivo, en el estudio de lacontinuidad de funciones de una variable real.

1.1. Topología de Rn

Definición 1.1. Para cada número natural n, sea Rn el conjunto de todas las n-uplas orde-nadas de números reales x = (x1, x2, . . . , xn). A xk se le denomina coordenada k-ésima de x.Se definen la suma de elementos de Rn y el producto de un escalar por un elemento de Rn

como sigue:Para x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn se define su suma x+ y por

x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn).

Para x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn y α ∈ R, se define su producto αx por

αx = (αx1, α x2, . . . , α xn).

Proposición 1.2. El conjunto Rn con estas operaciones es un espacio vectorial sobre el cuer-po de los números reales.

Observaciones 1.3.

I) Usamos, por comodidad, la notación de vectores fila. En Álgebra Lineal, atendiendo ala representación matricial de aplicaciones y ecuaciones lineales, es usual considerarvectores columna. Cuando se requiera denotaremos por xt al vector traspuesto de x:

xt = (x1, x2, . . . , xn)t=

x1...xn

.

II) Es habitual confundir la estructura vectorial así obtenida con la estructura geométricaque se obtiene al considerar un espacio afín con espacio vectorial asociado Rn y, abusan-do de la notación, referirse a “puntos” de Rn en lugar de vectores, y a x1, x2, . . . , xn comolas coordenadas (cartesianas, en honor a R. Descartes) del punto x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn.Este será el criterio que seguiremos en adelante.

1

2 Tema 1. Espacios euclídeos

Definición 1.4. Si x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn se define su producto escalar ointerno, que se representa por x · y o 〈x,y〉 , como

x · y = x1 y1 + x2 y2 + . . .+ xn yn.

Para cada x = (x1, x2, . . . , xn) de Rn se define su norma euclídea ‖x‖ por

‖x‖ =√x · x =

( n∑

i=1

|xi|2)1/2

.

El espacio vectorial Rn dotado del producto interno arriba definido se conoce como elespacio euclídeo n-dimensional.

Proposición 1.5 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si x,y ∈ Rn, entonces

|x · y| ≤ ‖x‖ ‖y‖ .Además, la igualdad se alcanza si, y sólo si, x e y son linealmente dependientes.

Proposición 1.6. La aplicación x ∈ Rn 7→ ‖x‖ ∈ R verifica las siguientes propiedades:

I) ‖x‖ ≥ 0 para todo x ∈ Rn.

II) ‖x‖ = 0 si, y sólo si, x = 0.

III) ‖αx‖ = |α| ‖x‖ para todos x ∈ Rn, α ∈ R.

IV) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ para todos x,y ∈ Rn. (Desigualdad triangular)

Corolario 1.7. Si x,y ∈ Rn entonces

‖x− y‖ ≥∣∣ ‖x‖ − ‖y‖

∣∣ . (Segunda desigualdad triangular)

Corolario 1.8. La aplicación d:Rn × Rn → R, definida por d(x,y) = ‖x− y‖ , verifica lassiguientes propiedades:

I) d(x,y) ≥ 0 para todos x,y ∈ Rn.

II) d(x,y) = 0 si, y sólo si, x = y.

III) d(x,y) = d(y,x) para todos x,y ∈ Rn.

IV) d(x, z) ≤ d(x,y) + d(y, z) para todos x,y, z ∈ Rn.

Observación 1.9. Cualquier aplicación definida sobre un espacio vectorial V con valoresen R que verifique las propiedades I) a IV) de la proposición 1.6 se denomina norma sobre V .

Otras normas notables en Rn se definen para x = (x1, x2, . . . , xn) por

‖x‖1 =n∑

i=1

|xi| o ‖x‖∞ = sup|xi| : i = 1, 2, . . . , n

.

Cuando n = 1 las tres normas definidas coinciden con el valor absoluto.Asimismo, si X es un conjunto no vacío, cualquier aplicación d definida en el producto

cartesiano X × X con valores en R que verifique las propiedades I) a IV) del corolario 1.8 sedice que es una distancia o métrica sobre X, y se dice que el par (X, d) es un espacio métrico.

Definición 1.10. Sean x ∈ Rn y r > 0. Se definen la bola abierta de centro x y radio r como elconjunto

B(x, r) = y ∈ Rn : d(x,y) = ‖x− y‖ < r ;la bola cerrada de centro x y radio r como el conjunto

B(x, r) = y ∈ Rn : d(x,y) = ‖x− y‖ ≤ r ;la esfera de centro x y radio r como el conjunto

S(x, r) = B(x, r) \B(x, r) = y ∈ Rn : d(x,y) = ‖x− y‖ = r ,donde “\” denota la diferencia conjuntista.

LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología

1.1. Topología de Rn 3

Lema 1.11. Sean x,y ∈ Rn .

I) Si dado r > 0 se tiene que y ∈ B(x, r) , existe s > 0 tal que B(y, s) ⊂ B(x, r) .

II) Si y 6= x existen r, s > 0 tales que B(x, r) ∩B(y, s) = Ø .

III) Si la sucesión de números reales positivos rn∞n=1 converge hacia 0 (o lo hace alguna

subsucesión suya), entonces∞∩n=1

B(x, rn) = x .

Definición 1.12. Si A es un subconjunto no vacío de Rn se denomina diámetro de A ,denotado “δ(A)” o “diam(A)” a

δ(A) = supd(x,y) : x,y ∈ A

(nótese que el diámetro de A puede ser un número real no negativo o ∞ , dependiendo deque el conjunto d(x,y) : x,y ∈ A ⊂ R esté acotado o no).

Se dice que un subconjunto de Rn es acotado si es vacío o si tiene diámetro finito.

Proposición 1.13.

I) Si Ø 6= B ⊂ A ⊂ Rn entonces δ(B) ≤ δ(A) .

II) Toda bola en Rn es acotada, de hecho,

δ(B(x, r)

)= δ

(B(x, r)

)= 2 r .

III) Un conjunto A ⊂ Rn es acotado si, y sólo si, está contenido en alguna bola.

IV) Un conjunto A ⊂ Rn es acotado si, y sólo si, está contenido en una bola centrada en 0, olo que es lo mismo, si existe una constante M > 0 tal que

‖x‖ ≤M para todo x ∈ E.

Definición 1.14. Sean A , B subconjuntos no vacíos de Rn. Se define la distancia entre Ay B como el número real

d(A,B) = ınfd(x,y) : x ∈ A , y ∈ B

.

Si A = a es un conjunto unipuntual la distancia entre A y B se denota también d(a, B) yse denomina distancia de a a B .

Proposición 1.15. Sean A,B subconjuntos de Rn.

I) Si A y B son acotados entonces A ∪ B es acotado. Más aún, si además A y B son novacíos, entonces δ(A ∪B) ≤ δ(A) + δ(B) + d(A,B) .

II) Si A 6= Ø y x,y ∈ Rn entonces∣∣d(x, A)− d(y, A)

∣∣ ≤ d(x,y) .

Definición 1.16. Sea E un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x ∈ Rn es interior a E,o que E es un entorno de x, si existe una bola abierta de centro x contenida en E.

El conjunto de todos los puntos interiores de E se denomina interior de E y se representa

por

E ó int(E) (es inmediato comprobar que

E⊂ E).

Se dice que el conjunto E es abierto si es entorno de todos sus puntos, es decir, si todos

sus puntos son interiores, lo que equivale a que E =

E.

Propiedades 1.17. Sean A,B y Aii∈I subconjuntos de Rn.

I) Si A ⊂ B entonces

A⊂

B .

II) int(int(A)) = int(A) .

III)

A es el mayor conjunto abierto contenido en A .

IV) ∪i∈I

Ai⊆(∪i∈I

Ai)

.

V)(∩i∈I

Ai) ⊆ ∩

i∈I

Ai , además, si I es finito se verifica la igualdad.

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID


Ejemplos 1.18.

I) Toda bola abierta es un conjunto abierto.

II) Las bolas cerradas no son conjuntos abiertos.

III) Los intervalos abiertos de Rn, esto es, productos cartesianos de la forma

(a1, b1)× (a2, b2)× . . .× (an, bn) ,

son conjuntos abiertos.

Proposición 1.19. Se verifican las siguientes propiedades:

I) El conjunto vacío Ø y el conjunto total Rn son abiertos.

II) Si Gii∈I es una familia de conjuntos abiertos, entonces la unión ∪i∈I

Gi es un conjunto

abierto.

III) Si G1, G2, . . . , Gk son conjuntos abiertos, entonces la intersección G1 ∩G2 ∩ . . . ∩Gk es unconjunto abierto.

Observaciones 1.20.

I) El lector que posea nociones de Topología puede reconocer en la proposición anteriorla afirmación siguiente: si denotamos por τ a la familia de todos los conjuntos abiertosde Rn, el par (Rn, τ) es un espacio topológico.

II) La intersección de una familia arbitraria de abiertos puede no ser un conjunto abierto,como queda patente con el siguiente ejemplo: si Gn = B(0, 1/n), n ∈ N, se tiene que∞∩n=1

Gn = 0.

Definición 1.21. Sea E un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x de Rn es un punto

adherente a E si cada bola abierta centrada en x tiene intersección no vacía con E.

El conjunto de todos los puntos adherentes a E se denomina adherencia o clausura de Ey se representa por E , cl(E) ó adh(E) (es muy sencillo comprobar que E ⊂ E).

Se dice que un conjunto E de Rn es cerrado si todos sus puntos adherentes están en E,es decir, si E = E.

Ejemplos 1.22.

I) Toda bola cerrada es un conjunto cerrado. Es más B(x, r) = B(x, r) .

II) Las bolas abiertas no son conjuntos cerrados.

III) Los intervalos cerrados de Rn, de la forma [a1, b1] × [a2, b2] × . . . × [an, bn], son conjuntoscerrados.

Proposición 1.23. Sea A un subconjunto de Rn. Se tiene que

Rn\

A= Rn \A y Rn \A = (Rn \A).

Corolario 1.24. Un subconjunto E de Rn es abierto (resp. cerrado) si, y sólo si, su comple-mentario Rn \ E es cerrado (resp. abierto).

Observaciones 1.25.

I) En la Topología General suele utilizarse la propiedad anterior para definir la familia decerrados, y luego caracterizar equivalentemente estos conjuntos en términos de la ad-herencia. En este contexto (en general, en los espacios métricos) el adjetivo adherente

cobra un significado más intuitivo gracias a la noción de distancia: x ∈ A si, y sólo si,d(x,A) = 0.

II) Pueden existir conjuntos que no sean ni abiertos ni cerrados (basta pensar en el intervalo[0, 1) de R con la métrica usual). Aunque la terminología usada pretende ser lo másdescriptiva posible, no nos debemos dejar influir por el significado etimológico de laspalabras.


1.1. Topología de Rn 5

Propiedades 1.26. Sean A,B y Aii∈I subconjuntos de Rn.

I) Si A ⊂ B entonces A ⊂ B .

II) A = A .

III) A es el cerrado más pequeño que contiene a A.

IV) ∪i∈I

Ai ⊆ ∪i∈I

Ai , además, si I es finito se verifica la igualdad.

V) ∩i∈I

Ai ⊆ ∩i∈I

Ai .

Proposición 1.27. Se verifican las siguientes propiedades:

I) El conjunto vacío Ø y el conjunto total Rn son cerrados.

II) Si Fii∈I es una familia de conjuntos cerrados, entonces la intersección ∩i∈I

Fi es un

conjunto cerrado.

III) Si F1, F2, . . . , Fk son conjuntos cerrados, entonces la unión F1∪F2∪ . . .∪Fk es un conjuntocerrado.

Definición 1.28. Sea E un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x de Rn es un punto de

acumulación de E si para cada bola abierta B(x, r) centrada en x, la intersección B(x, r) ∩ Econtiene al menos un punto de E distinto de x, es decir, si para cada r > 0 se tiene que

B(x, r) ∩ (A \ x) 6= Ø .

El conjunto de todos los puntos de acumulación se denomina conjunto derivado de E y serepresenta por E′.

Se dice que un punto x ∈ E es un punto aislado de E si no es un punto de acumulaciónde E. Se dice que un conjunto E es discreto si todos sus puntos son aislados en él.

Proposición 1.29. Sea E un subconjunto de Rn. Entonces:

I) E = E ∪ E′.

II) E es cerrado si, y sólo si, E′ ⊂ E.

III) Si x es un punto de acumulación de E, entonces cualquier bola abierta B(x, r) de centrox contiene infinitos puntos de E.

IV) Si x ∈ E es un punto aislado de E, entonces existe una bola abierta B(x, r) de centro xtal que B(x, r) ∩ E = x.

Definición 1.30. Sea A un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x ∈ Rn es exterior aA si es un punto interior al complementario de A , es decir, si existe una bola abierta B(x, r)de centro x tal que

B(x, r) ∩A = Ø .

El conjunto de puntos exteriores a A se denomina exterior de A .

Se dice que x ∈ Rn es un punto frontera de A si es adherente a A y a Rn \A simultánea-mente. El conjunto de tales puntos se denomina frontera de A y se denota Fr(A) :

Fr(A) = A ∩ Rn \A .

Observaciones 1.31. Sea A un subconjunto de Rn.

I) Es obvio que Fr(A) es un conjunto cerrado, y que si A es cerrado, entonces Fr(A) ⊆ A.Igualmente evidente es que Fr(A) = Fr(Rn \A).

II) El espacio Rn se expresa, respecto al conjunto A, como unión de tres conjuntos disjuntos(alguno posiblemente vacío): la frontera de A, un cerrado; y dos abiertos, a saber, elinterior y el exterior de A.

Definición 1.32. Sean E y D ⊆ E subconjuntos de Rn. Se dice que D es denso en E siE ⊆ D .



1.2. Límites

Definición 1.33. Se dice que una sucesión xk∞k=1 de elementos de Rn es convergente siexiste un punto x ∈ Rn tal que para cada número real ε > 0 existe un número natural k0 (quedepende de ε) de manera que

‖xk − x‖ < ε para cada número natural k ≥ k0.En este caso, diremos que xk∞k=1 converge hacia x o que x es el límite de la sucesión xk∞k=1,y escribiremos

lımk→∞

xk = x o xk −→k→∞

x.

El límite de una sucesión, si existe, es único.

Observación 1.34. Es sencillo comprobar a partir de la definición que una sucesión xk∞k=1

converge hacia x si, y sólo si, lımk→∞

‖xk − x‖ = 0.

Definición 1.35. El conjunto xk : k ∈ N se denomina rango o conjunto de términos de lasucesión xk∞k=1. El rango de una sucesión puede ser finito o infinito. Se dice que la sucesiónestá acotada si lo está su rango.

Proposición 1.36. Toda sucesión convergente está acotada.

Si x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn es inmediato comprobar que se verifica

|xi| ≤ ‖x‖ , i = 1, 2, . . . , n ,

desigualdad también válida para las otras dos normas que hemos destacado: ‖ ‖1 y ‖ ‖∞.A partir de las propiedades de sucesiones de números reales se obtienen fácilmente los si-guientes resultados.

Proposición 1.37. Sea xk∞k=1 una sucesión de elementos de Rn. Escribamos

xk = (x1,k, x2,k, . . . , xn,k), k ∈ N.

La sucesión xk∞k=1 converge hacia x = (x1, x2, . . . , xn) si, y sólo si, las sucesiones de númerosreales xj,k∞k=1 convergen hacia xj, para j = 1, 2, . . . , n.

Corolario 1.38. Toda sucesión acotada de Rn tiene una subsucesión convergente.

Corolario 1.39. Sean xk∞k=1, yk∞k=1 dos sucesiones de elementos de Rn y αk∞k=1 una su-cesión de números reales. Supongamos que xk∞k=1 converge hacia x ∈ Rn, yk∞k=1 convergehacia y ∈ Rn y αk∞k=1 converge hacia α ∈ R. Entonces:

I) lımk→∞

(xk + yk) = x+ y.

II) lımk→∞

αkxk = αx.

III) lımk→∞

(xk · yk) = x · y.

IV) lımk→∞

‖xk‖ = ‖x‖.

Proposición 1.40 (Caracterización secuencial de la topología). Sean E un conjunto de Rn

y x un punto de Rn.

I) x es interior a E si, y sólo si, toda sucesión xk∞k=1 de elementos de Rn que convergehacia x tiene todos sus términos en E, a partir de uno en adelante.

II) x es un punto adherente a E si, y sólo si, existe una sucesión xk∞k=1 de elementos de Eque converge hacia x.

III) x es un punto de acumulación de E si, y sólo si, existe una sucesión xk∞k=1 de elementosde E, distintos todos ellos de x, que converge hacia x.


1.2. Límites 7

Como sucede para sucesiones de números reales, el carácter convergente de una sucesiónen Rn puede ser determinado sin conocer previamente el valor de su límite.

Definición 1.41. Se dice que una sucesión xk∞k=1 de elementos de Rn es de Cauchy si paracada número real ε > 0 existe un número natural k0 tal que

‖xk − xj‖ < ε,

para cada par de números naturales j, k ≥ k0.

Teorema 1.42 (Completitud de Rn). Una sucesión de puntos de Rn es convergente si, y sólosi, es de Cauchy.

Definición 1.43. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de E y f unaaplicación de E en Rm. Se dice que l ∈ Rm es el límite de la función f en a si para cadanúmero real ε > 0 existe δ > 0 tal que

‖f(x)− l‖ < ε

para cada x ∈ E con 0 < ‖x− a‖ < δ.

Observación 1.44. En la definición anterior intervienen dos normas, una definida en Rn yotra en Rm. La distinción entre ambas viene dada por el contexto.

Proposición 1.45. Si la aplicación f tiene límite en el punto a, éste es único.

Notación: Si la aplicación f tiene límite l en el punto a se escribe

lımx→a

f(x) = l o f(x)→ l, cuando x→ a o f(x) −→x→a

l.

La noción de límite restringida a subconjuntos de uno dado tiene exactamente la mismaaplicación en este caso que en el de funciones de una variable.

Definición 1.46. Sean A un subconjunto de Rn, a un punto de acumulación de A y f unaaplicación de A en Rm. Si B ⊂ A y a es también punto de acumulación de B, el límitelımx→a

f |B (x) , si existe, se denomina límite de la aplicación f en el punto a siguiendo (o a través

de) el subespacio B y se denota porlımx→ax∈B

f(x) .

Teorema 1.47. Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de A y f una aplica-ción de A en Rm. Son equivalentes:

a) f tiene límite l en el punto a.

b) Para cada subconjunto B ⊂ A tal que a ∈ B′, f tiene límite en a a través de B, y éste esprecisamente l.

Proposición 1.48 (Criterio secuencial del límite). Sean A un conjunto de Rn, a un puntode acumulación de A y f una aplicación de A en Rm. Son equivalentes:

a) f tiene límite en a.

b) Para cada sucesión xk∞k=1 de puntos de A con xk 6= a, k = 1, 2, . . ., y lımk→∞

xk = a, la

sucesión f(xk)∞k=1 es convergente.

Además, si lımx→a

f(x) = l, se tiene que lımk→∞

f(xk) = l para toda sucesión xk∞k=1 de puntos de

A, distintos de a, y convergente hacia a.

Proposición 1.49. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de E. Seanf1, f2, . . . , fm funciones reales definidas en E y f la aplicación de E en Rm definida por

f(x) =(f1(x), f2(x), . . . , fm(x)

), x ∈ E.

Entonceslımx→a

f(x) = l = (l1, l2, . . . , lm) ∈ Rm

si, y sólo si,lımx→a

fi(x) = li ∈ R, i = 1, 2, . . . ,m.



Observación 1.50. Este último resultado permite simplificar el estudio de límites y los con-ceptos que de éste se derivan, considerando únicamente funciones reales, es decir, aplicacio-nes de la forma f :E → R, donde E es un subconjunto de Rn.

Definición 1.51. Sean A un conjunto de Rn y f una aplicación de A en Rm. Dado B ⊆ A, sedice que f es acotada en B si lo es el conjunto imagen f(B), es decir, si existe una constanteM ≥ 0 tal que

‖f(x)‖ ≤M para todo x ∈ B .

Cuando f es una función real (es decir, cuando m = 1) y acotada, los valores reales

m = ınff(x) : x ∈ A y M = supf(x) : x ∈ Ase denominan, respectivamente, el extremo inferior absoluto y el extremo superior absoluto def en A. Si dichos valores se alcanzan, es decir, si existe x1 ∈ A (resp. x2 ∈ A) tal que

m = f(x1) ≤ f(x) para todo x ∈ A (resp. f(x) ≤ f(x2) =M para todo x ∈ A),

se dice que f tiene mínimo absoluto en A igual a m, y que éste se alcanza en x1 (resp. f tienemáximo absoluto en A igual a M , y éste se alcanza en x2).

Proposición 1.52. Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de A y f unaaplicación de A en Rm. Si f tiene límite en a, existe un número real δ > 0 tal que f estáacotada en A ∩B(a, δ).

Proposición 1.53. Sean A un subconjunto de Rn y a un punto de acumulación de A. Sif :A→ R y g:A→ Rm son aplicaciones tales que lım

x→af(x) = 0 y g está acotada en A ∩B(a, δ)

para algún número real δ > 0, entonces

lımx→a

f(x) g(x) = 0 .

Proposición 1.54. Sean E un conjunto de Rn y a un punto de acumulación de E. Suponga-mos que f , g son dos aplicaciones de E en Rm y λ es una función de E en R tales que

lımx→a

f(x) = α, lımx→a

g(x) = β y lımx→a

λ(x) = ℓ.

Entonces:

I) lımx→a

(f + g)(x) = α+ β.

II) lımx→a

(λf)(x) = ℓα.

III) lımx→a

(f · g)(x) = α · β.

IV) lımx→a

1

λ(x)=

1

ℓ, si ℓ 6= 0 y λ(x) 6= 0 para todo x.

Aparte de las propiedades aritméticas, las funciones reales verifican, respecto al orden,propiedades similares a las de las funciones de una variable. Suponemos al lector familia-rizado con éstas y para no abundar en detalles enunciaremos una de ellas, dejándole queadapte el resto (como el criterio del Sándwich) al caso de funciones de varias variables.

Proposición 1.55. Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de A y f unafunción de A en R. Si existe lım

x→af(x) = ℓ 6= 0, se tiene que:

I) Si ℓ > 0, dados números reales α y β con 0 < α < ℓ < β, existe un número real δ > 0 talque para cada x ∈ A ∩B(a, δ) con x 6= a, se verifica que α < f(x) < β.

II) Si ℓ < 0, dados números reales α y β con α < ℓ < β < 0, existe un número real δ > 0 talque para cada x ∈ A ∩B(a, δ) con x 6= a, se verifica que α < f(x) < β.

Es decir, f toma valores con el mismo signo que el del límite en los puntos de un entornoadecuado de a distintos de él.


1.3. Continuidad 9

1.2.1. Límites iterados

A la hora de abordar el estudio de la existencia de límites para funciones definidas enconjuntos de Rn, con n ≥ 2, puede parecer tentador proceder reduciendo el problema alestudio de límites en una sola variable, concretamente: fijando n − 1 coordenadas en unprimer paso, se pasa al límite en la restante, obteniendo valores que dependen de n − 1variables; se fijan ahora n − 2 de ellas, y se reitera el proceso, obteniendo los denominadoslímites iterados. Lamentablemente, la existencia de dichos límites no garantiza la existenciadel límite; ahora bien, en caso de que existan todos los límites, deben coincidir. Para fijarideas y atendiendo a una mayor simplicidad, enunciaremos el resultado para el caso de unafunción real definida en un subconjunto de R2.

Teorema 1.56. Sean f una función real definida en un conjunto A de R2 y (α, β) ∈ A′. Sesupone que existe

lım(x,y)→(α,β)

f(x, y) = ℓ ,

y que, para cada x fijo, existe lımy→β

f(x, y) = ϕ(x) .

Si existe el límite iteradolımx→α

ϕ(x) = lımx→α

(lımy→β

f(x, y)),

su valor coincide con ℓ.En consecuencia, si existen los dos límites iterados, pero

lımx→α

(lımy→β

f(x, y))6= lımy→β

(lımx→α

f(x, y)),

la función f no puede tener límite en el punto (α, β).

Observaciones 1.57.

I) La existencia del límite de una función en un punto no garantiza que existan los límitesiterados, como pone de manifiesto el ejercicio 1.19.V.

II) Puede ocurrir que alguno de los límites iterados sea infinito, en este caso no es difícilprobar que el límite de la función no existe.

1.3. Continuidad

Definición 1.58. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de E y f una aplicación de E en Rm.Se dice que f es continua en a si para cada número real ε > 0 existe δ > 0 tal que

‖f(x)− f(a)‖ < ε

para cada x ∈ E con ‖x− a‖ < δ.Si f es continua en todos los puntos de E, se dice que f es continua en E.

Proposición 1.59. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de E y f una aplicación de Een Rm.

I) Si a es un punto aislado de E, entonces f es continua en a.

II) Si a es un punto de acumulación de E, entonces f es continua en a si, y sólo si, existelımx→a

f(x) y es igual a f(a).

Corolario 1.60 (Criterio secuencial de la continuidad). Sean E un conjunto de Rn, a unpunto de E y f una aplicación de E en Rm. Son equivalentes:

a) f es continua en a.

b) Para cada sucesión xk∞k=1 de puntos de E que converge hacia a, la sucesión f(xk)∞k=1

converge hacia f(a) .



Teorema 1.61. Sean E un subconjunto de Rn y a un punto de E. Sean f1, f2, . . . , fm, funcio-nes reales definidas en E y f la aplicación de E en Rm dada por

f(x) =(f1(x), f2(x), . . . , fm(x)

), x ∈ E.

Entonces f es continua en a si, y sólo si, cada una de las funciones f1, f2, . . . , fm, es continuaen a.

Proposición 1.62. Sean E un conjunto de Rn y a un punto de E. Sean f , g aplicaciones deE en Rm y λ una función de E en R. Supongamos que f , g y λ son continuas en a. Entonceslas funciones

f + g; λf ; f · g; 1

λ, si λ(x) 6= 0 para todo x ∈ E;

son continuas en a.

Teorema 1.63. Sean E y F subconjuntos de Rn y Rm, respectivamente. Sean f :E → Fcontinua en a ∈ E y g:F → Rp continua en f(a) ∈ F , respectivamente. Entonces la funcióncompuesta g f es continua en a ∈ E.

Definición 1.64 (Topología de subespacio). Sea E un conjunto de Rn. Se dice que un sub-conjunto A de E es abierto (resp. cerrado) en E si existe un conjunto U abierto (resp. cerrado)en Rn tal que

A = E ∩ U.

Observación 1.65. Cuando E es abierto los abiertos en E son abiertos de Rn, y cuando E escerrado los cerrados en E son cerrados en Rn.

Proposición 1.66 (Caracterización topológica de la continuidad). Sean E un conjunto deRn y f una aplicación de E en Rm. Son equivalentes las siguientes afirmaciones:

a) La aplicación f es continua en E.

b) Para cualquier abierto A de Rm, el conjunto f−1(A) es abierto en E.

c) Para cualquier cerrado C de Rm, el conjunto f−1(C) es cerrado en E.

Ejemplos 1.67.

I) La norma euclídea es una función continua en Rn.

II) La proyección i-ésima πi:Rn → R, definida por

πi(x1, x2, . . . , xn) = xi,

es una función continua en Rn.

III) En general, cualquier aplicación lineal L:Rn → Rm es continua (sobre este punto sevolverá más adelante).

IV) El conjunto (x, y) ∈ R2 : x sen(y) > 0 es abierto en R2, pues es la imagen inversa delintervalo (0,∞), abierto de R, por la función f :R2 → R dada por f(x, y) = x sen(y), que escontinua.

V) El conjunto (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 = 0 es cerrado en R3.

Definición 1.68. Sean E un conjunto de Rn y f una aplicación de E en Rm. Se dice que f esuniformemente continua en E si para cada número real ε > 0 existe δ > 0 tal que

‖f(x)− f(y)‖ < ε

para todos x, y ∈ E con ‖x− y‖ < δ.

Observación 1.69. Es claro que cualquier aplicación uniformemente continua en un con-junto E es continua en E, pero no recíprocamente.

Proposición 1.70. Sean E un subconjunto de Rn y f :E → Rm uniformemente continua.Entonces, para cada sucesión xk∞k=1 de Cauchy en E , la sucesión f(xk)∞k=1 es de Cauchyen Rm.


1.3. Continuidad 11

1.3.1. Aplicaciones lineales y bilineales

En el Cálculo Diferencial juegan un papel fundamental el tipo de aplicaciones de cuyacontinuidad nos ocupamos ahora; las primeras, en la propia definición de diferenciabilidad,y las segundas, a la hora de estudiar los problemas de extremos relativos.

Definición 1.71. Se dice que una aplicación L:Rn → Rm es lineal si

L(λx+ µy) = λL(x) + µL(y) para todos x,y ∈ Rn y λ, µ ∈ R .

Observaciones 1.72.

I) Las proyecciones πj, j = 1, 2, . . . , n, son aplicaciones lineales en Rn.

II) Fijadas las bases estándar en Rn y Rm, respectivamente, toda aplicación lineal L:Rn → Rm

se representa respecto a dichas bases, de forma única, mediante una matriz A ∈Mm,n(R),donde Mm,n(R) representa el espacio de las matrices de números reales formadas por mfilas y n columnas. Concretamente, si y = L(x), entonces

y1y2...ym

= yt = Axt =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

x1x2...xn

.

Teorema 1.73. Sea L:Rn → Rm una aplicación lineal. Existe una constante M ≥ 0 tal que

‖L(x)‖ ≤M ‖x‖ para todo x ∈ Rn .

En particular, L es uniformemente continua en todo Rn.

Definición 1.74. Se dice que una aplicación B:Rn × Rn → Rm es bilineal si es lineal en cadacomponente, es decir, si

B(λx1 + µx2,y) = λB(x1,y) + µB(x2,y) para todos x1,x2,y ∈ Rn y λ, µ ∈ R ,

B(x, λy1 + µy2) = λB(x,y1) + µB(x,y2) para todos x,y1,y2 ∈ Rn y λ, µ ∈ R .

Una aplicación bilineal B se dice simétrica si

B(x,y) = B(y,x) para todos x,y ∈ Rn .

Observaciones 1.75.

I) El producto interno en Rn, B(x,y) = 〈x,y〉, es una aplicación bilineal simétrica.

II) Fijada la base estándar de Rn, toda aplicación bilineal B:Rn × Rn → R se representa deforma única mediante una matriz A ∈Mn,n(R), concretamente

B(x,y) = xAyt .

Teorema 1.76. Sea B:Rn × Rn → Rm una aplicación bilineal. Existe una constante M ≥ 0tal que

‖B(x,y)‖ ≤M ‖x‖ ‖y‖ para todos x,y ∈ Rn .

En particular, B es continua en todo Rn × Rn.

Observación 1.77. Una forma cuadrática en Rn, que es una función definida por un polino-mio homogéneo de grado 2, es decir, de la forma

Q(x1, x2, . . . , xn) =∑

1≤i≤j≤n

cij xi xj , cij ∈ R ,

se puede interpretar como la actuación de una aplicación bilineal simétrica B sobre el punto(x,x) ∈ Rn×Rn: Q(x) = B(x,x) = xAxt. Los coeficientes de la matriz A =

(aij

)1≤i,j≤n

vienendados por aii = cii y aij = aji = cij/2 si i < j .



1.4. Compacidad

Definición 1.78. Una familia Aii∈I de subconjuntos de Rn se denomina recubrimiento deun conjunto E de Rn si

E ⊂ ∪i∈I

Ai .

Si todos los conjuntos Ai , i ∈ I , son abiertos se dice que Aii∈I es un recubrimiento abierto

de E .

Se dice que un conjunto K de Rn es compacto si todo recubrimiento abierto de K admiteun subrecubrimiento finito, es decir, si para cada recubrimiento abierto Gii∈I de K existeuna subfamilia finita Gi1 , Gi2 , . . . , Gim tal que

K ⊂ Gi1 ∪Gi2 ∪ . . . ∪Gim .

Ejemplos 1.79.

I) Los conjuntos finitos son conjuntos compactos.

II) Si xk∞k=1 converge hacia x , el conjunto xk : k ∈ N ∪ x es compacto.

Proposición 1.80. Sean F,K dos conjuntos de Rn. Supongamos que F es cerrado, K escompacto y F ⊂ K. Entonces F es compacto. En otras palabras, los subconjuntos cerradosde conjuntos compactos son compactos.

Proposición 1.81. Todo intervalo cerrado y acotado de Rn es compacto.

Teorema 1.82. Sea K un subconjunto de Rn. Son equivalentes las siguientes propiedades:

a) K es cerrado y acotado.

b) K es compacto.

c) Todo subconjunto infinito de K tiene un punto de acumulación en K .

d) Cada sucesión xk∞k=1 de elementos de K admite una subsucesión xkj∞j=1 que con-verge hacia un punto de K .

Observación 1.83. La equivalencia de los asertos a) y b) en el teorema anterior se conocecon el nombre de teorema de Heine-Borel. La implicación a)⇒c) se conoce como teorema de

Bolzano-Weierstrass.

Teorema 1.84 (de Weierstrass, versión general). Sean E un conjunto de Rn y f una apli-cación continua de E en Rm. Si K es un subconjunto compacto de E, entonces f(K) escompacto.

Teorema 1.85 (de Weierstrass para funciones escalares). Sea f una función real definiday continua en un conjunto compacto K de Rn. Entonces f es acotada y alcanza sus extremosabsolutos, es decir, existen dos puntos x e y de K tales que

f(x) ≤ f(z) ≤ f(y) para todo z ∈ K.

Proposición 1.86. Sea K un conjunto compacto de Rn. Supongamos que f es una aplicacióninyectiva y continua de K en Rm. Entonces la aplicación inversa f−1 definida en f(K) escontinua.

Observación 1.87. Dados A ⊂ Rn y B ⊂ Rm, si f :A→ B es biyectiva y continua, y tambiénf−1:B → A es continua, se dice que f es un homeomorfismo. Esta es una noción topológica,es decir, se puede establecer únicamente en términos de conjuntos abiertos: la condiciónnecesaria y suficiente para que una biyección f :A ↔ B sea homeomorfismo es que verifiquela siguiente propiedad: “V ⊂ A es abierto en A si, y sólo si, f(V ) es abierto en B”.


1.4. Compacidad 13

Teorema 1.88 (de Heine-Cantor). Sean K un conjunto compacto de Rn y f una aplicacióncontinua de K en Rm. Entonces f es uniformemente continua en K.

Proposición 1.89 (Propiedades de separación). Sea A,B subconjuntos no vacíos de Rn.

I) x ∈ A si, y sólo si, d(x, A) = 0 .

II) La función g(x) = d(x, A) es uniformemente continua en Rn.

III) Si A,B son ambos cerrados y disjuntos entre sí, entonces la función f :Rn → R dada por

f(x) =d(x, A)

d(x, A) + d(x, B)es continua en Rn, f(x) = 0 si x ∈ A , y f(x) = 1 si x ∈ B.

IV) Si A,B son cerrados y disjuntos entre sí, entonces existen dos abiertos disjuntos U, Vde Rn tales que A ⊂ U y B ⊂ V .

V) Más general, si A∩B = A∩B = Ø , existen entonces dos abiertos U y V tales que A ⊆ U ,B ⊆ V y U ∩ V = Ø .

VI) Si A,B son disjuntos, A cerrado y B compacto, entonces d(A,B) > 0. De hecho, existeun punto b ∈ B tal que d(B,A) = d(b, A) .

Observaciones 1.90.

I) La propiedad enunciada en 1.89.III, de separación de cerrados por funciones continuas,se conoce como Lema de Urysohn en el contexto de la Topología General.

II) En Topología se denomina espacio normal al que verifica la propiedad de separación decerrados 1.89.IV. En consecuencia, los espacios euclídeos (y, en general, los espaciosmétricos) son normales.

1.4.1. Comentarios sobre espacios normados

Los siguientes resultados se presentan como una llamada de atención, para prevenir allector de la tentación de generalizar a espacios métricos cualesquiera las propiedades to-pológicas de Rn. Esta materia es propia de un curso de Análisis Funcional, por lo que noslimitamos a señalar unos pocos puntos significativos. Como se puede ver, las diferencias sonmotivadas por la dimensión algebraica (infinita) del espacio vectorial.

Definición 1.91. Se dice que dos normas 1, 2 definidas sobre el mismo espacio vectorial Vson equivalentes si existen constantes N,M > 0 tales que

N1(x) ≤ 2(x) ≤M1(x) para todo x ∈ V.

Teorema 1.92. En Rn (en general, en cualquier espacio vectorial de dimensión finita) todaslas normas son equivalentes.

Teorema 1.93 (de Riesz). Un espacio vectorial normado es de dimensión finita si, y sólo si,todo bola cerrada es compacta.

Observaciones 1.94.

I) El teorema 1.92 implica en particular que las topologías asociadas a las distintas nor-mas coinciden, y permite utilizar a todos los efectos, en el estudio de las propiedadestopológicas (abiertos, cerrados, etc.) y métricas (acotación, sucesiones de Cauchy, etc.),cualquier norma; es decir, en todos los resultados enunciados anteriormente la normaeuclídea puede ser sustituida por otra cualquiera (ver ejercicio 1.9).

II) De hecho esta propiedad caracteriza los espacios de dimensión finita; es decir, en un es-pacio normado de dimensión infinita es posible definir una nueva norma no equivalentea la original.

III) Es inmediato que si toda bola cerrada es compacta también lo es todo cerrado y acotado.El teorema de Riesz establece que en un espacio normado de dimensión infinita existenconjuntos cerrados y acotados, pero no compactos.

IV) El teorema 1.73 no es válido en espacios normados X de dimensión infinita; esto es,existen aplicaciones lineales Λ:X → R no continuas.



1.5. Conexión

El concepto que tratamos ahora generaliza la noción de intervalo en el sentido de conjunto“sin componentes aisladas”. Para ilustrar su importancia haremos notar que el hecho de queuna función real de variable real tenga derivada nula en todo punto de un abierto no implicaque la función sea constante, a menos que su dominio de definición sea un intervalo.

En el caso de la recta este concepto tiene una fácil interpretación geométrica a partir de larelación de orden allí definida, pero si n > 1, la imposibilidad de definir una relación de ordenen Rn que goce de las mismas propiedades hace necesario un tratamiento más minucioso.En todo caso, en las aplicaciones usuales, es suficiente considerar conjuntos convexos oestrellados, que definimos más adelante.

Definición 1.95. Se dice que un conjunto A de Rn es no conexo si existen dos conjuntosabiertos U y V que verifican las siguientes propiedades:

I) A ⊂ U ∪ V .

II) A ∩ U 6= Ø, A ∩ V 6= Ø.

III) A ∩ U ∩ V = Ø.

En caso contrario, se dice que A es conexo.

Proposición 1.96. Un conjunto A de Rn es no conexo si, y sólo si, existen dos conjuntoscerrados E y F que verifican las siguientes propiedades:

I) A ⊂ E ∪ F .

II) A ∩ E 6= Ø, A ∩ F 6= Ø.

III) A ∩ E ∩ F = Ø.

Ejemplo 1.97. Los intervalos (incluyendo en este concepto al conjunto vacío y a los conjuntosunipuntuales) son los únicos conjuntos conexos de R. En este sentido, es útil convenir queun intervalo de la recta es un conjunto I ⊂ R que verifica la siguiente propiedad:

“Si x, y ∈ I y x ≤ z ≤ y , entonces también z ∈ I”,o dicho de forma más coloquial, si I contiene a dos puntos, también contiene a todos lospuntos intermedios a ellos.

Proposición 1.98. Sean E un conjunto de Rn y f una aplicación continua de E en Rm. Si Aes un subconjunto conexo de E, entonces f(A) es conexo.

Observación 1.99. Cuando el resultado anterior se aplica a funciones reales de variable reallo que se obtiene no es otra cosa que la propiedad de Darboux.

Proposición 1.100. Sea Aii∈I una familia de conjuntos conexos de Rn tales que Ai∩Aj 6= Øpara cada par de índices i, j ∈ I . Entonces la unión ∪

i∈IAi es un conjunto conexo.

Corolario 1.101. Sea Aii∈I una familia de conjuntos conexos de Rn tal que la intersección∩i∈I

Ai es no vacía. Entonces la unión ∪i∈I

Ai es un conjunto conexo.

Corolario 1.102. Sean A ⊂ Rn y a ∈ A . Si para cada x ∈ A existe un conexo Cx tal quea,x ⊂ Cx ⊂ A , entonces A es conexo.

Corolario 1.103. Sea Ak∞k=1 una sucesión de conjuntos conexos de Rn tales que

Ak ∩Ak+1 6= Ø para todo k ∈ N .

Entonces la unión∞∪k=1

Ak es un conjunto conexo.

Proposición 1.104. Sea A un conjunto conexo de Rn. Si B es un conjunto de Rn tal que

A ⊂ B ⊂ A,entonces B es conexo. Por tanto, A es conexo si lo es A.


1.5. Conexión 15

Definición 1.105. Sean E un conjunto de Rn y x un punto de E. Llamaremos componente

conexa de E que contiene a x a la unión de todos los subconjuntos conexos de E que contienena x. En otras palabras, la componente conexa de E que contiene a x es el mayor conjuntoconexo contenido en E y que contiene a x.

Si A es una componente conexa de E que contiene a algún punto de E, diremos que A esuna componente conexa de E.

Proposición 1.106. Todo conjunto E ⊂ Rn es unión disjunta de sus componentes conexas.

Proposición 1.107. Si A es un subconjunto abierto de Rn las componentes conexas de Ason conjuntos abiertos.

Observación 1.108. Los dos resultados anteriores tienen una lectura muy sencilla en R:cada abierto de la recta real es unión disjunta de intervalos abiertos.

Definición 1.109. Se dice que un subconjunto A de Rn es arco-conexo o conexo por caminos

si para cada par de puntos x, y de A, existe una aplicación continua de un intervalo compactode R en A, γ: [a, b]→ A, tal que

γ(a) = x y γ(b) = y.

En las condiciones anteriores, la aplicación γ recibe el nombre de arco o camino, lospuntos γ(a) y γ(b) se denominan extremos del arco, y se dice que γ une los puntos x e y.

Ejemplos 1.110.

I) Se dice que un conjunto A ⊂ Rn es estrellado respecto de un punto a ∈ A si para cadax de A el segmento de extremos a y x está totalmente contenido en A , es decir, si setiene que

ta+ (1− t)x ∈ A para todo t ∈ [0, 1] .

Los conjuntos estrellados son arco-conexos.

II) Se dice que un conjunto A ⊂ Rn es convexo si para cada par de puntos x,y de A elsegmento de extremos x e y está totalmente contenido en A , es decir, si se tiene que

tx+ (1− t)y ∈ A para todo t ∈ [0, 1] .

Los conjuntos convexos son estrellados respecto de cada uno de sus puntos y, por tanto,arco-conexos. En particular, los siguientes conjuntos son arco-conexos: Rn, los subespa-cios afines de Rn (como rectas y planos), las bolas abiertas y las bolas cerradas (relativasa cualquier norma).

Proposición 1.111. Todo subconjunto arco-conexo de Rn es conexo.

Observación 1.112. El recíproco de la proposición anterior no es cierto. Por ejemplo, el grafode la función f :R→ R dada por

f(x) =

sen

(1/x

), x > 0,

0 , x ≤ 0,

es un conjunto conexo de R2 que no es arco-conexo.

No obstante, cuando se consideran conjuntos abiertos, se verifica la equivalencia de am-bos conceptos, lo que proporciona una herramienta deductiva muy útil:

Proposición 1.113. Si A es un conjunto abierto y conexo de Rn, entonces A es arco-conexo.



Ejercicios

1.1 Determinar los subconjuntos de R2 tales que las relaciones:

I) z = log( y

x2 + y2 − 1

)

II) z = log(1− x y)III) z =

√x cos(y)

IV) z =√sen

(x2 + y2

)

V) z = log(x+ y2

)

VI) z =√1− (x2 + y2)

definen funciones (x, y) 7→ z de dichos conjuntos en R (es decir, determinar los dominios másgenerales de las funciones definidas por estas expresiones).

1.2 Demostrar que el conjunto A = (x, y, z) ∈ R3 : y2 − z2 ≥ 9, x2 + y2 ≤ 25 es acotado. ¿Loes el conjunto B = (x, y, z) ∈ R3 : y2 − z2 ≥ 9?

1.3 Probar que:

I) El conjunto A = (x, y) ∈ R2 : x y > 1 es un abierto de R2.

II) El conjunto B = (x, y) ∈ R2 : x y ≤ 1 es un cerrado de R2.

III) El conjunto C = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ x2 + y2 ≤ 4 es un cerrado y acotado de R3.

1.4 Sea M un subespacio lineal de Rn. Probar que:

I) Si M 6= 0, entonces M es un conjunto no acotado.

II) Si M tiene interior no vacío, entonces M = Rn.

1.5 Determinar el interior, la adherencia, el derivado y la frontera de los siguientes subcon-juntos de R3:

I) A = (x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0.II) B = (x, y, z) ∈ R3 : z > 0 , x2 + y2 < 1 , x2 + y2 + z2 ≤ 5.

1.6 Sea A un subconjunto numerable de Rn.

I) Probar que el interior de A es vacío.

II) ¿Es cierto que la adherencia de A es numerable?

1.7 Sean n un número natural y α un número real estrictamente positivo. Para cada k ∈ Nse considera el conjunto

Ak =(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn :

n∑

j=1

(xj −

1

k

)2

≤ α2

k2

.

I) Probar que, si√n ≤ α, entonces para cada k = 1, 2, . . . se tiene que Ak ⊂ A1.

II) Determinar los valores de α para los cuales el conjunto∞∪k=1

Ak no es un cerrado de Rn.

1.8 Sean A ⊂ Rn, B ⊂ Rm . Probar que la frontera de A×B en Rn × Rm es

Fr(A×B) =(Fr(A)×B

)∪(A× Fr(B)

).

1.9 Determinar las mínimas constantes A, B, C y D para las que se verifican las siguientesdesigualdades para todo x ∈ Rn:

‖x‖ ≤ A ‖x‖1 , ‖x‖1 ≤ B ‖x‖ , ‖x‖ ≤ C ‖x‖∞ , ‖x‖∞ ≤ D ‖x‖ .


Ejercicios 17

1.10 Sea BQ la familia de todas las bolas abiertas de Rn centradas en puntos de coordenadasracionales y de radio racional.

I) Probar que para todo abierto A de Rn, existe una subfamilia Bi : i ∈ IA de elementos deBQ tal que A = ∪

i∈IABi.

II) Deducir que todo conjunto E ⊂ Rn posee un subconjunto D numerable y denso en E.

III) Deducir que todo subconjunto discreto de Rn es numerable.

IV) Sea Uλ : λ ∈ L una familia de abiertos no vacíos de Rn tales que Uλ∩Uµ = Ø si λ 6= µ .Probar que L es numerable.

1.11 Sea F un subconjunto cerrado de Rn. Demostrar que existe un conjunto K tal queFr(K) = F .

Sugerencia: Considerar un subconjunto numerable y denso en F .

1.12 Sean E ⊂ Rn y f :E → R . Demostrar que el conjunto de puntos donde f alcanza unmáximo relativo estricto es numerable.

Nota: Se dice que f tiene en x0 ∈ E un máximo relativo estricto si existe un entorno V de x0 talque f(x) < f(x0) para cada x ∈ V ∩ E con x 6= x0 .

1.13 Sea A un subconjunto no numerable de Rn. Mediante un razonamiento secuencial,probar que A tiene al menos un punto de acumulación.

Sugerencia: Para algún k ∈ N ha de ser infinita la intersección A ∩B(0, k).

1.14 Sea f una función real definida en una bola B(x0, r) ⊂ R2. Probar que f tiene límite ℓen el punto x0 = (x0, y0) si, y sólo si, existe un número real R, 0 < R < r, tal que para todoρ ∈ (0, R) se tiene que

g(ρ) = sup∣∣f

(x0 + ρ cos(θ), y0 + ρ sen(θ)

)− ℓ

∣∣ : θ ∈ [0, 2π]<∞ ,

y la función g: (0, R)→ [0,∞) así definida verifica que lımρ→0

g(ρ) = 0 .

1.15 Determinar, si existen, los límites de las siguientes aplicaciones en los puntos que seindican:

I) f(x, y) =(x− 1) + y

(x− 1)2 + (y − 1)2, (x, y) 6= (1, 1), en el punto (1, 1).

II) f(x, y) =(1 + x2 + y2) sen(y)

y, y 6= 0, en el punto (0, 0).

III) f(x, y) =|y|x2

e−|y|/x2 , x 6= 0, en el punto (0, 0).

IV) f(x, y) =1− cos

(√x y

)

y, x, y > 0, en el punto (0, 0).

V) f(x, y) =1− cos

(√x2 + y2

)

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0).

VI) f(x, y) =e−|x+y| − 1

|x+ y| , x+ y 6= 0, en el punto (0, 0).

VII) f(x, y) =(x2 + y2

)x2y2

, (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0).

VIII) f(x, y) =x y

|x|+ |y| , (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0).

IX) f(x, y) =( x2y

x2 + y2, cos(x+ y)

), (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0).

X) f(x, y) =

(y − 1

1 + (x− 1)2 + (y − 1)2,

(x− 1)(y − 1)

(x− 1)2 + (y − 1)2

), (x, y) 6= (1, 1), en el punto (1, 1).

XI) f(x, y) =

(exy − 1

x, log

(1 + xy

x

)), x, y > 0, en el punto (0, 0).



1.16 Estudiar la existencia del límite en 0 ∈ Rn de las siguientes funciones:

I) f(x) =sen(‖x‖)2

‖x‖2, x 6= 0.

II) f(x) =log(1− ‖x‖)‖x‖2

, 0 < ‖x‖ < 1.

III) f(x) =log(1 + x1x2 · · ·xn)

x1x2 · · ·xn, xi > 0, i = 1, 2, . . . , n.

1.17 Para cada uno de los siguientes subconjuntos S ⊆ R2:

a) S =(x, y) : y = ax

, b) S =

(x, y) : y = ax2

, c) S = (x, y) : y2 = ax, d) S = R2,

hállense los siguientes límites a través del subespacio S:

lım(x,y)→(0,0)(x,y)∈S

xy

x2 + y2, lım

(x,y)→(0,0)(x,y)∈S

x2 − y2x2 + y2

.

1.18 Si una función de Rn en R tiene el mismo límite en un punto a lo largo de cada rectaque pasa por él, ¿tiene la función límite en dicho punto?

1.19 Para las siguientes funciones f :R2 \ (0, 0) → R:

I) f(x, y) =x2 + y2

x2 + y2 + (x− y)2

II) f(x, y) =x2y2

x2 + y2 + (x− y)2

III) f(x, y) =x2y2

x2y2 + (x− y)2

IV) f(x, y) =

sen(xy)

xsi x 6= 0,

y si x = 0

V) f(x, y) =

(x+ y) sen(1/x) sen(1/y) si x 6= 0 e y 6= 0,

0 si x = 0 o y = 0

VI) f(x, y) =

sen(x)− sen(y)

tg(x)− tg(y)si tg(x) 6= tg(y),

0 si tg(x) = tg(y)

VII) f(x, y) =x2 + y2

x2 + y4,

VIII) f(x, y) =

√x2 log(1 + y2)

xsi x 6= 0,

0 si x = 0determinar si existen los siguientes límites, y calcular su valor cuando proceda:

lımx→0

(lımy→0

f(x, y)), lım

y→0

(lımx→0

f(x, y)), lım

(x,y)→(0,0)f(x, y).

1.20 Estudiar la continuidad en (0, 0) de la función f :R2 → R definida por

f(x, y) =

x4 + y4

xsi x 6= 0,

0 si x = 0.

1.21 Determinar para qué valores de p es continua en (0, 0) la función f :R2 → R definida por

f(x, y) =

x2y2

(x2 + y2)psi (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).


Ejercicios 19

1.22 Estudiar la continuidad en R3 de la función definida por

f(x, y, z) =

x2 y2 zx6 + y6 + z4

si (x, y, z) 6= (0, 0, 0);

0 si (x, y, z) = (0, 0, 0).

1.23 Una función f :Rn → R se dice que es separadamente continua si para cada i = 1, 2, . . . , n,al fijar (a1, a2, . . . , an−1) ∈ Rn−1, la función

t 7−→ f(a1, . . . , ai−1,i)

t , ai, . . . , an−1)

es continua en R.Pruébese que la función f :R2 → R, dada por

f(x, y) =

xy

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0),

es separadamente continua pero no es continua.

1.24 Estudiar la continuidad en Rn de las siguientes funciones:

I) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) =

x1n+1 x2 · . . . · xn‖x‖2n si x 6= 0;

0 si x = 0.

II) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) =

x1 x2 · · ·xn‖x‖n−1 si x 6= 0;

0 si x = 0.

III) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) =

(x1 + x2 + · · ·+ xn)n

‖x‖n−1 si x 6= 0;

0 si x = 0.

1.25 Sean b ∈ R y f :R2 → R la función dada por

f(x, y) =

x3 − y2x2 − y si x2 6= y;

b si x2 = y.

I) ¿En qué puntos es discontinua f?

II) Determinar el valor que debe atribuirse a b para que la restricción de f a la recta deecuación x+ y = 2 tenga el menor número de discontinuidades.

III) Si g denota la restricción de f al segmento que une los puntos (0, 2) y (2, 0), para el valorde b hallado en ii), ¿es g una función acotada?

1.26 Demostrar que, si f = (f1, f2, . . . , fm) es una aplicación continua de un conjunto A ⊂ Rn

en Rm, entonces la función g:A→ R definida por

g(x) = mınf1(x), f2(x), . . . , fm(x)

es continua en A.

1.27 Sean E un subconjunto de Rn, x0 ∈ Rn y B1, B2, . . . , Bm subespacios de E tales quem∪i=1

Bi = E y el punto x0 es de acumulación de todos los Bi, 1 ≤ i ≤ m. Sea también f :E → R.

Se supone que existe y0 ∈ R tal que

lımx→x0x∈Bi

f(x) = y0 para cada i = 1, 2, . . . ,m .

Demostrar que lımx→x0

f(x) = y0.

Comprobar con un contraejemplo que la conclusión del apartado anterior es falsa si seaplica a una familia infinita de subespacios Bi : i ∈ I que recubra E.



1.28 Sea K un compacto de Rn contenido en la bola abierta B(0, 1). Probar que existe unnúmero real r, con 0 < r < 1, tal que K ⊆ B(0, r).

1.29 Sea K un compacto de Rn. Se supone que existe un número real r > 0 tal que paracada par de elementos distintos, x e y, de K se tiene que

‖x− y‖ ≥ r.Demostrar que K es un conjunto finito.

1.30 Demostrar que, si B es un subconjunto no compacto de Rn, existe una función continuay no acotada f :B → R.

1.31 Sean A compacto de Rn, r > 0 y

B = ∪x∈A

B(x, r).

Demostrar que B es compacto.

1.32 Sea A un subconjunto abierto de Rn, A 6= Rn. Fijada cualquier norma ‖ ‖ en Rn, y lamétrica d asociada, se considera, para cada m ∈ N, el conjunto

Km =x ∈ A : ‖x‖ ≤ m, d(x,Rn \A) ≥ 1/m

.

Probar que Km∞m=1 es una sucesión expansiva de compactos para A, es decir, que verificalas siguientes propiedades:

I) Km es compacto.

II) Km ⊂

Km+1 para todo m ∈ N.

III)∞∪m=1

Km = A.

1.33 ¿Es la intersección de dos conexos de Rn un conjunto conexo?

1.34 Sean A un subconjunto no vacío de Rn con A 6= Rn, a un elemento de A y b un elementode Rn \ A. Si γ es una aplicación continua de [0, 1] en Rn con γ(0) = a y γ(1) = b, probar queexiste un elemento t ∈ [0, 1] tal que

γ(t) ∈ Fr(A).

1.35 Sea f :R2 → R una función continua tal que f(−1, 0) > 0 y f(1, 0) < 0. Demostrar queexisten infinitos puntos de R2 donde la función se anula.

1.36 Sea f una función continua de [0, 1] en Rn tal que ‖f(0)‖ = 1 y ‖f(1)‖ = 3. Probar queexiste un punto ξ ∈ (0, 1) tal que ‖f(ξ)‖ = 2.

1.37 Sea γ : [0, 1]→ R2, γ = (γ1, γ2), continua y tal que

γ(0) ∈ B((−5, 0), 1

)y γ(1) ∈ B

((5, 0), 1

).

Probar que existe un punto t0 ∈ [0, 1] tal que γ1(t0) = γ2(t0).

1.38 Demostrar que el conjunto de componentes conexas de un abierto de Rn es numerable.

1.39 Sea n ≥ 2.

I) Probar que un hiperplano de Rn es cerrado y conexo, pero no compacto.

II) Demostrar que los subespacios vectoriales de Rn son cerrados y conexos.

Sugerencia: Escribir el subespacio como intersección finita de hiperplanos.

1.40 Sea f : Rn → Rm una aplicación continua. Demostrar que su grafo

G(f) =(x,f(x)

)∈ Rn+m : x ∈ Rn

es un subconjunto cerrado y conexo de Rn+m.


Ejercicios 21

1.41 Sea L una aplicación lineal de Rn en R no idénticamente nula.

I) Probar que no es conexo el conjunto Rn \Ker(L).

II) ¿Cuántas componentes conexas tiene este conjunto?

1.42 Sean A un conjunto conexo de Rn y a, b dos elementos distintos de A. Si r = ‖a− b‖,demostrar que para cada número real δ, con 0 < δ < r, el conjunto

A ∩ x ∈ Rn : ‖x− a‖ = δes no vacío. Deducir que los subconjuntos conexos de Rn que constan de más de un puntoson no numerables.

1.43 Searxx∈R

una familia de números reales estrictamente positivos. Demostrar que elconjunto

A = ∪x∈R

B((x, 0), rx

)

es conexo en R2. ¿Es compacto?

Estúdiese la misma cuestión para el conjunto

B = ∪n∈Z

B((n, 0), rn

).

1.44 Sea f un homeomorfismo de [0, 1] en sí mismo. Probar que f , o bien deja fijos losextremos, o bien los intercambia.

1.45 Sean A ( Rn, B ( Rm . Probar que el complementario de A×B en Rn × Rm es conexo.

1.46 Sea A un subconjunto denso de la recta real. Probar que el conjunto

B = (x, y) ∈ R2 : x ∈ A ó y ∈ Aes un subconjunto denso y conexo de R2.

1.47 Demostrar que no son homeomorfos entre sí dos cualesquiera de los siguientes con-juntos (en todos que se considera la topología usual):

1) R 2) [0, 1] 3) (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 14) R2 5) [0, 1]× [0, 1] .

Sugerencia: Comparar las propiedades de compacidad y conexión de estos conjuntos o de alguno desus subconjuntos.

1.48 Sean A ⊂ Rn, B ⊂ Rm conjuntos no vacíos. Probar que es condición necesaria y sufi-ciente para que A×B sea, respectivamente:

I) abierto,

II) cerrado,

III) acotado,

IV) compacto,

V) conexo,

en Rn × Rm ≃ Rm+n, que así lo sean cada uno de los factores A y B.

1.49 Sean A ⊂ Rn, B ⊂ Rm conjuntos no vacíos, f :A → R, g:B → R . El producto tensorial

de las funciones f y g es la función, denotada por f ⊗ g, y definida en A×B por

f ⊗ g(x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym

)= f(x1, x2, . . . , xn) g(y1, y2, . . . , ym) ,

Si f es continua en a ∈ A y g es continua en b ∈ B, probar que f ⊗ g es continua en el puntoc =

(a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bm) ∈ A×B.



Nota: Análogamente se define el producto tensorial de una cantidad finita funciones. Así, por

ejemplo, si para cada i = 1, 2, . . . , n se tiene definida fi:Ai → R, donde Ai es un subconjunto

de R, el producto tensorial de las funciones fi es la función g = f1 ⊗ f2 ⊗ · · · ⊗ fn, definida en

A1 ×A2 × · · · ×An por g(x1, x2, . . . , xn) = f1(x1) f2(x2) · · · fn(xn), i.e.,

(f1 ⊗ f2 ⊗ · · · ⊗ fn)(x) =n∏

i=1

(fi πi)(x)

(en esta situación también se dice que la función g es de variables separadas). Aplicando re-

currentemente el resultado anterior se deduce que si fi es continua en ci ∈ Ai, i = 1, 2, . . . , n,

entonces g es continua en el punto c = (c1, c2, . . . , cn) ∈ A.

1.50 Sean A ⊂ Rn, B ⊂ Rm conjuntos no vacíos, f :A→ R, g:B → R .

I) Si f y g son uniformemente continuas en sus respectivos dominios ¿se puede asegurarque f ⊗ g es uniformemente continua en A×B?

II) Pongamos que f y g alcanzan un extremo local en x0 ∈ A, y0 ∈ B, respectivamente. ¿sepuede asegurar que f ⊗ g alcanza un extremo local en (x0,y0)?

III) Supongamos que A y B son compactos y f y g continuas. ¿existe alguna relación entrelos extremos absolutos de f ⊗ g y los de f y g?

Tema 2

Cálculo diferencial

La idea fundamental de todo el Cálculo Diferencial es sencilla: tratar de obtener propieda-des sobre objetos (en la práctica, funciones) que, sin ser lineales, admiten una cierta “apro-ximación lineal”. Esta idea queda diluida en el caso de funciones de una variable real por elhecho de que la existencia de tal aproximación equivale a que los cocientes incrementales dela función tengan límite, esto es, que se pueda hablar de “velocidad”, “tasa de crecimiento”,etc., según el contexto o la disciplina científica en que se use.

La presentación actual de esta materia difiere bastante de su desarrollo histórico, paraleloal de la Física Matemática, y cuyo germen se puede situar en el uso de derivadas parcialespor Euler, D’Alembert, etc. en el siglo XVIII, en el que la continuidad era concebida comouna propiedad mucho más fuerte que como se entiende hoy en día, implicando entonces laderivabilidad. Este fundamento casi filosófico, y que prevaleció durante largo tiempo, estárecogido en la frase de Leibniz “Natura non facit saltus” (la Naturaleza no da saltos).

A pesar de que el tratamiento es el mismo para cualquier dimensión n del espacio euclídeo,para la correcta asimilación y mejor aprovechamiento de la materia que se contempla en estetema, será necesario haber adquirido un sólido conocimiento de los conceptos básicos sobrefunciones de una variable real y cierta destreza en su cálculo. Por supuesto, todo lo quese afirme en general (para dimensión arbitraria n) tiene su correspondiente versión en unavariable, con la que ya debe estar familiarizado el lector. Pero no recíprocamente; por ejemplo,cuando n > 1 hemos de distinguir entre las nociones de “derivabilidad” y “diferenciabilidad”,coincidentes en el caso n = 1.

2.1. Derivabilidad y diferenciabilidad

Cuando se consideran aplicaciones definidas en abiertos de Rn, n > 1, carece de sentidoconsiderar cocientes incrementales de tales aplicaciones y, por tanto, es imposible generalizarel concepto de derivabilidad en esos términos. Lo que sí es posible es generalizar el conceptode derivada a subespacios de dimensión uno. Aparece así el concepto de derivada direccionaly, como caso particular, el de derivada parcial.

Definición 2.1. Sean A un abierto de Rn, x0 un punto de A y f una aplicación de A en Rm.Dado un elemento v de Rn \ 0, se dice que f admite derivada direccional en el punto x0

según la dirección de v si existe y es finito el límite

lımh→0

1

h

(f(x0 + hv)− f(x0)

);

dicha derivada direccional, que es el límite anterior, se denota por

dvf(x0) o Dvf(x0).

Cuando se considera el vector ei = (0, . . . ,i)

1, . . . , 0) de la base estándar de Rn, la corres-pondiente derivada direccional recibe el nombre de derivada parcial de f respecto de xi oderivada parcial i-ésima de f en el punto x0, y se denota por

Dif(x0) o∂f

∂xi(x0).

Si la aplicación f admite derivadas parciales respecto de todas las variables en el puntox0 se dice que es derivable en dicho punto.

Cuando f es derivable en todos los puntos de A se dice que es derivable en A.

23

24 Tema 2. Cálculo diferencial

Observaciones 2.2.

I) A la hora de definir las derivadas direccionales algunos autores consideran exclusiva-mente vectores unitarios (de norma euclídea 1). Esto no aporta ventajas ni desventajas ala definición y optar por una u otra forma es cuestión de gusto personal.

II) La segunda notación para las derivadas parciales ∂f/∂xi , introducida por Leibniz, es sinduda la de uso más extendido. Al igual que sucede para las funciones de una variable,tal expresión no denota el cociente de dos números; es simplemente, como se ha dicho,una notación.

A pesar de su uso corriente en todas las ramas de la Ciencia y su utilidad a la hora deestablecer modelos matemáticos (como en ∂f/∂t para significar una derivación respectode la variable tiempo) debemos tener precaución en su uso; por ejemplo, para una función

de dos variables, en los puntos de la diagonal, ¿cómo debemos entender∂f

∂x(x, x)? A lo

largo de estas notas, con el ánimo de que el lector se familiarice con ambas, usaremos lanotación de Leibniz y la de los operadores Di, debida a Cauchy.

III) Las derivadas direccionales, como derivadas de funciones de una variable que son, gozande las propiedades aritméticas de éstas; por ejemplo, si dos aplicaciones definidas en unmismo abierto de Rn admiten derivada parcial respecto de xj en un punto del abierto,entonces la aplicación suma admite derivada parcial respecto de xj en dicho punto yresulta ser la suma de las derivadas parciales de las dos aplicaciones en ese punto:

∂(f + g)

∂xi(x0) =

∂f

∂xi(x0) +

∂g

∂xi(x0) ,

o para funciones reales f y g

Di(f g)(x0) = Dif(x0) g(x0) + f(x0)Dig(x0) , . . .

Dejamos que el lector deduzca el resto de las propiedades que procedan.

IV) En la práctica y como se comprobará a lo largo de los ejercicios, la anterior observaciónpermite resolver el cálculo de las derivadas parciales mediante la aplicación de las reglasde derivación en una variable a la función que se obtiene al fijar todas las variablesmenos aquélla respecto de la cual se pretende derivar. Por ejemplo, si f es la función realdefinida en R2 por f(x, y) = x cos(x− y), entonces

D1f(x, y) =∂f

∂x(x, y) = cos(x− y)− x sen(x− y) ,

D2f(x, y) =∂f

∂y(x, y) = x

(− sen(x− y)

)(−1) = x sen(x− y) .

Ejemplos sencillos, como el que se puede ver en el ejercicio 2.2.III, muestran que el hechode que una aplicación f sea derivable en un punto no implica la continuidad de f en esepunto; ni siquiera la existencia de todas las derivadas direccionales implica la continuidad. Sepresenta así la primera diferencia relevante con las funciones de una variable. No obstante, elconcepto de diferenciabilidad, que en el caso unidimensional es equivalente a la derivabilidad,se generaliza en términos análogos al caso de aplicaciones de varias variables.

Definición 2.3. Sean A un abierto de Rn, x0 un punto de A y f una aplicación de A en Rm.Se dice que f es diferenciable en el punto x0 si existen una aplicación lineal L de Rn en Rm yuna función ε de A en Rm con

lımx→x0

‖ε(x)‖ = 0,

de manera que

f(x)− f(x0) = L(x− x0) + ε(x) ‖x− x0‖ para cada x ∈ A.La aplicación lineal L, si existe, es única y recibe el nombre de diferencial de f en el punto x0.Esta aplicación se denota por

(df)x0 , Df(x0), df(x0) o f ′(x0).

Si f es diferenciable en todo punto de A se dice que es diferenciable en A.


2.1. Derivabilidad y diferenciabilidad 25

Observaciones 2.4.

I) Las notaciones indicadas arriba para la diferencial de una función en un punto son lasmás frecuentes. En estas notas utilizaremos habitualmente la última, f ′, introducida porLagrange.

II) En las ciencias aplicadas, como la Física, y sobre todo en los razonamientos heurísti-cos que conducen al modelado de ciertos fenómenos (generalmente mediante ecuacionesdiferenciales) es habitual usar el término “diferencial” para referirse a un incremento“pequeño” de las magnitudes, esto es, a cantidades cuyos cocientes incrementales seaproximan a la derivada, que es un límite. Hacemos énfasis en que, en Matemáticas, unadiferencial es una aplicación lineal, perfectamente definida y sin la subjetividad de lo pe-queño (un metro puede considerarse pequeño en Astronomía, pero no en Arquitectura).

III) Una forma equivalente de definir la diferenciabilidad, que puede encontrarse en nume-rosos textos, es la siguiente: la función f es diferenciable en x0 si, y sólo si, existe unaaplicación lineal L de Rn en Rm tal que

lımx→x0

f(x)− f(x0)− L(x− x0)

‖x− x0‖= 0 ∈ Rm,

o, lo que es lo mismo,

lımx→x0

‖f(x)− f(x0)− L(x− x0)‖‖x− x0‖

= 0 ∈ R.

De nuevo, al igual que sucede respecto a la continuidad, estos conceptos admiten unalectura en términos de aplicaciones a valores reales:

Teorema 2.5. Es condición necesaria y suficiente para que una aplicación f de un abiertoA de Rn en Rm admita derivada direccional en un punto x0 ∈ A según el vector v (resp. seadiferenciable en el punto x0) que así se verifique para cada una de sus funciones componentesfi, i = 1, 2, . . . ,m.

Teorema 2.6. Sean A un abierto de Rn, x0 un punto de A y f una aplicación de A en Rm. Sif es diferenciable en x0 entonces es continua en dicho punto.

Teorema 2.7. Sean A un abierto de Rn, x0 ∈ A y f una aplicación de A en Rm. Si f es dife-renciable en x0 entonces existen las derivadas direccionales en dicho punto según cualquierdirección, en particular, f es derivable en x0. Además, para cada v ∈ Rn \ 0 se tiene que

Dvf(x0) = (df)x0(v) = f ′(x0)(v).

Observaciones 2.8.

I) Si A es un abierto de Rn y f :A → Rm es una aplicación derivable en el punto x0 ∈ A, lamatriz cuyas m filas son las n derivadas parciales de cada una de las m componentes fide f , esto es,

(Djfi(x0)

)1≤i≤m1≤j≤n

, que denotaremos por∂(f1, f2, . . . , fm)

∂(x1, x2, . . . , xn),

se denomina matriz jacobiana 1 de f en el punto x0. Si, además, f es diferenciable en x0,entonces la aplicación lineal f ′(x0) viene dada de forma matricial respecto de las basesestándar de Rn y Rm por dicha matriz jacobiana, es decir,

[f ′(x0)(h1, h2, . . . , hn)

]t=

D1f1(x0) D2f1(x0) · · · Dnf1(x0)

D1f2(x0) D2f2(x0) · · · Dnf2(x0)...

.... . .

...D1fm(x0) D2fm(x0) · · · Dnfm(x0)

h1

h2...hn

. (2.1)

1En honor a C. G. Jacobi.



Nótese que las columnas de la matriz jacobiana son las imágenes por f ′(x0) de los ele-mentos ei, i = 1, 2, . . . , n, de la base estándar de Rn, es decir, de acuerdo con el teorema

2.7, la i-ésima columna es( ∂f∂xi

(x0))t

=(Dif(x0)

)t.

Si f es una función real definida en un abierto A de Rn, derivable en el punto x0, la matrizjacobiana de f en x0 se denomina también gradiente de f en el punto x0 y se denota por∇f(x0), esto es,

∇f(x0) =(D1f(x0), D2f(x0), . . . , Dnf(x0)

).

Si f es diferenciable en dicho punto, la fórmula (2.1) se representa también en este casomediante el producto escalar

f ′(x0)(h) = ∇f(x0) · h .

II) Los teoremas 2.6 y 2.7 proporcionan también una pauta de trabajo para establecer ladiferenciabilidad de una función en un punto. En efecto, avanzando en orden de com-plejidad de los conceptos: en primer lugar, si la función no es continua en el punto encuestión no puede ser diferenciable; después, si es continua pero no derivable tampo-co puede ser diferenciable, si por el contrario es derivable, la única aplicación lineal Lcandidata a ser la diferencial es la que viene dada en las bases estándar por la matrizjacobiana, con lo que sólo resta aplicar la definición 2.3 o, equivalentemente, estudiarlos límites expuestos en la observación 2.4.III.

III) Es obvio que toda aplicación lineal L:Rn → Rm es diferenciable en cada punto x0 ∈ Rn, yque la diferencial de L en x0 coincide con L, es decir,

L′(x0)(v) = L(v) para cada v ∈ Rn.

En particular, las proyecciones πj :Rn → R son diferenciables en Rn.

Por otra parte, es sobradamente conocido que si L:Rn → R es una aplicación lineal,entonces existen números reales a1, a2, . . . , an únicos tales que

L(x1, x2, . . . , xn) =n∑j=1

aj xj , es decir, L =n∑j=1

aj πj .

Por tanto, si A es un abierto de Rn y f :A → R es una función diferenciable en el puntox0 ∈ A se escribirá

f ′(x0) =

n∑

j=1

∂f

∂xj(x0)πj =

∂f

∂x1(x0)π1 +

∂f

∂x2(x0)π2 + . . .+

∂f

∂xn(x0)πn.

A la aplicación lineal dπj = πj′(= πj) se le denota usualmente (abusando de la notación)

por dxj. De esta forma es habitual encontrar la siguiente notación:

df =∂f

∂x1dx1 +

∂f

∂x2dx2 + . . .+

∂f

∂xndxn.

Haremos énfasis en que dxj es una aplicación lineal de Rn en R, no un incremento deninguna magnitud.

IV) La diferencial de una aplicación en un punto tiene la misma interpretación geométricaque en el caso de funciones reales de variable real. Ilustraremos esto con un ejemplo defácil visualización:Consideremos una función real f definida en un abierto A de R2 que es diferenciable enel punto a = (a1, a2) ∈ A. La función

g(x, y) = f(a) +∂f

∂x(a)(x− a1) +

∂f

∂y(a)(y − a2)

proporciona la “mejor aproximación” afín de f . La gráfica de esta función es un planoafín (en R3), que contiene al punto

(a1, a2, f(a1, a2)

), y se denomina plano tangente a la

superficie z = f(x, y) en dicho punto. Los vectores(1, 0,

∂f

∂x(a)

)y

(0, 1,

∂f

∂y(a)

),

derivadas en el punto t0 = 0 de las aplicaciones

t 7→(a1 + t, a2, f(a1 + t, a2)

)y t 7→

(a1, a2 + t, f(a1, a2 + t)

),


2.1. Derivabilidad y diferenciabilidad 27

respectivamente, resultan ser dos vectores generadores de dicho plano (ver figura 2.1).

z = g(x, y)

z = f(x, y)

x = a1y = a2

Figura 2.1: Plano tangente z = g(x, y) a una superficie z = f(x, y) en un punto.

Una condición necesaria para la diferenciabilidad de una función en un punto es la exis-tencia de todas sus derivadas direccionales; sin embargo, tal condición no es suficiente, amenos que se añada la hipótesis de continuidad de dichas derivadas. Concretamente:

Teorema 2.9. Sean A un abierto de Rn y f :A → Rm una aplicación derivable en A. Si todaslas derivadas parciales de f , excepto quizá una de ellas, son continuas en un punto x0 ∈ A,entonces f es diferenciable en dicho punto.

Observación 2.10. Nótese que para n = 1, dado que sólo se puede contemplar una derivadaparcial (la derivada ordinaria), el teorema anterior incluye un resultado bien conocido: unafunción real f definida en un intervalo abierto de la recta es diferenciable en un punto delintervalo si, y sólo si, es derivable en dicho punto.

Proposición 2.11. Sean A un abierto de Rn, f , g aplicaciones de A en Rm y h una funciónde A en R, todas ellas diferenciables en un punto x0 de A. Entonces:

I) f + g es diferenciable en x0 y

(f + g)′(x0) = f′(x0) + g

′(x0).

II) hf es diferenciable en x0 y

(hf)′(x0) = h(x0)f′(x0) + h′(x0)f(x0) ,

es decir,(hf)′(x0)(v) = h(x0)f

′(x0)(v) + h′(x0)(v)f(x0) para cada v ∈ Rn.

III) p = 〈f , g〉 = f · g es diferenciable en x0 y

p′(x0) = 〈f(x0), g′(x0)〉+ 〈f ′(x0), g(x0)〉 ,

es decir,

p′(x0)(v) = 〈f(x0), g′(x0)(v)〉+ 〈f ′(x0)(v), g(x0)〉 para cada v ∈ Rn.

IV) Si h(x) 6= 0 para todo x ∈ A, se tiene que 1/h es diferenciable en x0 y( 1

h

)′

(x0) =−1

h(x0)2h′(x0).

Teorema 2.12 (Regla de la cadena). Sean A un abierto de Rn, B un abierto de Rm, f unaaplicación de A en Rm con f(A) ⊂ B y g una aplicación de B en Rp. Si f es diferenciableen el punto x0 ∈ A y g es diferenciable en el punto y0 = f(x0) ∈ B, entonces la aplicacióncompuesta h = g f es diferenciable en el punto x0; además,

h′(x0) = g′(y0) f ′(x0) = g

′(f(x0)

) f ′(x0).



Observación 2.13. La regla de la cadena, junto con la representación matricial de la dife-rencial descrita en (2.1), permite expresar las derivadas parciales de la función compuestaen términos de las parciales de las funciones componentes. Explícitamente: con las hipótesisy notación del teorema 2.12,

∂hi∂xj

(x0) =m∑

k=1

∂gi∂yk

(f(x0)

)∂fk∂xj

(x0)

para todos i = 1, 2, . . . , p y j = 1, 2, . . . , n.

A partir de la regla de la cadena se obtiene, para funciones de abiertos de Rn en R, elsiguiente resultado:

Teorema 2.14 (del valor medio). Sean A un abierto convexo de Rn y f :A → R una funcióndiferenciable en A. Dados a, b ∈ A, existe un punto c, situado en el segmento que une a y b,tal que

f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a) = ∂f

∂x1(c)(b1 − a1) + . . .+

∂f

∂xn(c)(bn − an).

Observación 2.15. Cuando se consideran aplicaciones a valores vectoriales la fórmula ante-rior deja de ser válida; como ejemplo, considérese la aplicación f : [0, 2π]→ R2 definida por

f(t) =(cos(t), sen(t)

).

El teorema del valor medio adopta en el caso de aplicaciones a valores vectoriales la formade una desigualdad:

Teorema 2.16. Sean A un abierto convexo de Rn y f :A → Rm una aplicación diferenciableen A. Existe una constante K, independiente de f , tal que para todos a, b ∈ A se tiene que

‖f(b)− f(a)‖ ≤ K sup

∣∣∣ ∂fi∂xj

(ta+ (1− t)b

)∣∣∣ : t ∈ [0, 1], 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n‖b− a‖ .

Corolario 2.17. Sean A un abierto conexo de Rn (no necesariamente convexo) y f :A → Rm

una aplicación diferenciable en A. Si f ′(x) = 0 para todo x ∈ A, entonces f es constante.

2.2. Derivadas de orden superior

A la vista del resultado 2.5, será suficiente considerar, en lo que ahora nos ocupa, única-mente funciones reales definidas en conjuntos abiertos de Rn.

Definición 2.18. Sea f una función real definida en un abierto A de Rn, que admite derivadasparciales en todos los puntos de A. Dichas parciales definen, a su vez, funciones de A en R,

Djf :A −→ R

x 7−→ Djf(x) =∂f

∂xj(x),

denominadas derivadas parciales primeras de f ; para éstas pueden existir también derivadasparciales en los puntos de A,

Di(Djf)(x) =∂

∂xi

(∂f

∂xj

)(x),

definiéndose así funciones en A que reciben el nombre de derivadas parciales segundas dela función f , y que se denotan por

Dijf(x) o∂2f

∂xi∂xj(x).

Se definen de forma análoga las derivadas parciales de f de orden m superior al segundo:Di1i2...imf(x).

Cuando la función f admite derivadas parciales hasta el orden k ≥ 1 en cada punto de Ay éstas son continuas en A, se dice que la función es de clase C k en A, y se representa porf ∈ C k(A).


2.2. Derivadas de orden superior 29

Si f es de clase C k en A para cada k ∈ N se dice que es de clase C∞ en A y se representapor f ∈ C∞(A).

Cuando se diga que f es de clase C 0 en A, denotado por f ∈ C 0(A), se querrá significarque f es continua en A.

Definición 2.19. Sea A un abierto de Rn. Se dice que una aplicación f :A→ Rm es de clase C k

en A si así lo es cada una de sus funciones componentes.

Observación 2.20. Si f :A→ Rm es una aplicación de clase C k, k ≥ 1, en el abierto A de Rn,entonces f es diferenciable en A (véase el teorema 2.9).

Proposición 2.21. Sean A un abierto de Rn, B un abierto de Rm, f :A → B y g:B → Rp,ambas aplicaciones de clase C k en A y B, respectivamente. Entonces la aplicación compuestah = g f es de clase C k en A.

Al trabajar con funciones sencillas, por ejemplo polinomios en varias variables, se observaque derivadas parciales de orden superior respecto de las mismas variables, pero en distintoorden, son iguales. Los resultados más importantes que justifican esta igualdad de las “par-ciales cruzadas” son los de Young y de Schwarz (el de Clairaut es una versión anterior, peromás débil de este último, en tanto que exige como hipótesis la existencia y continuidad detodas las derivadas hasta el segundo orden).

Teorema 2.22 (de Schwarz). Sean f una función definida en un abierto A de Rn y x0 unpunto de A. Si las derivadas parciales

∂f

∂xi,

∂f

∂xjy

∂2f

∂xi ∂xj

existen en un entorno del punto x0, siendo además la última continua en dicho punto, en-

tonces también existe la derivada parcial∂2f

∂xj ∂xi(x0) y se tiene que

∂2f

∂xj ∂xi(x0) =

∂2f

∂xi ∂xj(x0).

Teorema 2.23 (de Young). Sean f una función definida en un abierto A de Rn y x0 un puntode A. Si las derivadas parciales ∂f/∂xi y ∂f/∂xj existen en todo punto de A y ambas sondiferenciables en x0, entonces se tiene que

∂2f

∂xj ∂xi(x0) =

∂2f

∂xi ∂xj(x0) .

Observaciones 2.24.

I) En la mayoría de los modelos matemáticos que se utilizan en la investigación científica,las magnitudes involucradas se suponen tan regulares (derivables con continuidad) comosea necesario, y es por tanto usual que en estas situaciones la igualdad de las derivadascruzadas se asuma, a tenor de los resultados precedentes, sin mayor dificultad.

La función cuyo estudio se propone en el ejercicio 2.19 proporciona un sencillo ejemploen sentido opuesto al de estos teoremas.

II) A la hora de representar las derivadas parciales de orden superior (o sucesivas), en la no-tación de Leibniz, se sigue el siguiente criterio de simplificación: al derivar sucesivamenterespecto de la misma variable esto se indica mediante un exponente que representa lamultiplicidad de esa derivada, esto es, el número de veces que se deriva sobre esa varia-ble; así, la expresión

∂m1+m2+...+mnf

∂xm11 ∂xm2

2 . . . ∂xmnn

(x)

representa la derivada de orden m1 + . . .+mn de f derivando mi veces respecto de cadavariable xi. Los números mi son enteros no negativos; si mi = 0 se entiende que no sederiva respecto de xi, en cuyo caso se omite el correspondiente término ∂x 0

i .

Para funciones suficientemente regulares, en virtud de los teoremas anteriores, el ordende derivación es irrelevante.



2.3. Fórmula de Taylor

La fórmula de Taylor para funciones de varias variables tiene el mismo significado con-ceptual que en el caso de una variable: aproximar localmente una función definida en unabierto A de Rn por un polinomio.

Este resultado se deduce fácilmente de la regla de la cadena 2.12 y la fórmula homónimacon resto de Lagrange para el caso unidimensional.

Teorema 2.25 (Fórmula de Taylor). Sean A un abierto de Rn, f :A→ R una función de claseC k+1 en A y x0 ∈ A. Si B(x0, r) ⊂ A (r > 0), para cada x ∈ B(x0, r) se tiene que

f(x) = f(x0) +1

1!

n∑

j1=1

∂f

∂xj1(x0)hj1 +

1

2!

n∑

j1,j2=1

∂2f

∂xj1∂xj2(x0)hj1hj2 + . . .

+1

k!

n∑

j1,...,jk=1

∂kf

∂xj1∂xj2 . . . ∂xjk(x0)hj1hj2 · · ·hjk

+1

(k + 1)!

n∑

j1,...,jk+1=1

∂k+1f

∂xj1∂xj2 . . . ∂xjk+1

(x0 + θh)hj1hj2 · · ·hjk+1,

siendo h = x− x0 = (h1, h2, . . . , hn) y θ ∈ (0, 1) un número que depende de x.

Observaciones 2.26.

I) Si x ∈ B(x0, r), el segmento de extremos x0 y x está totalmente contenido en B(x0, r), enparticular, el punto x0 + θh pertenece a dicha bola.

II) Haciendo uso del teorema de Schwarz 2.22, la fórmula de Taylor se expresa como

f(x) = f(x0) +

k∑

m=1

∑

j1+...+jn=m

1

j1!j2! · · · jn!∂mf

∂xj11 ∂xj22 . . . ∂xjnn

(x0)hj11 h

j22 · · ·hjnn

+∑

j1+...+jn=k+1

1

j1!j2! · · · jn!∂k+1f

∂xj11 ∂xj22 . . . ∂xjnn

(x0+ θh)hj11 hj22 · · ·hjnn ,

donde ji ∈ N ∪ 0 para todo i (se entiende, por convenio, que la derivación respecto de xi

no se efectúa si ji = 0). Para ello se ha tenido en cuenta que la derivada∂mf

∂xj11 ∂xj22 . . . ∂xjnn

aparecem!

j1!j2! · · · jn!veces al reordenar las variables de todas las formas posibles.

III) Con la notación del teorema 2.25), la diferencia

f(x0 + h)−1

(k + 1)!

n∑

j1,...,jk+1=1

∂k+1f

∂xj1∂xj2 . . . ∂xjk+1

(x0 + θh)hj1hj2 · · ·hjk+1

es un polinomio de grado menor o igual que k en las n variables h1, h2, . . . , hn, denomi-nado polinomio de Taylor de orden k de la función f en el punto x0, y que se denotahabitualmente por Tk(f,x0)(h).

IV) Puesto que f ∈ C k+1(A), si B es una bola cerrada y acotada (es decir, compacta) centradaen el punto x0 y contenida en A, todas sus derivadas parciales de orden k + 1 estánacotadas en dicha bola. Por tanto, si x0 + h ∈ B, el último sumando

1

(k + 1)!

n∑

j1,...,jk+1=1

∂k+1f

∂xj1∂xj2 . . . ∂xjk+1

(x0 + θh)hj1hj2 · · ·hjk+1,

denominado resto de Taylor de orden k, y que denotaremos por Rk(f,x0)(h), queda aco-tado como sigue: ∣∣Rk(f,x0)(h)

∣∣ ≤M ‖h‖k+1,

siendo M una constante real positiva.


2.3. Fórmula de Taylor 31

Esa última propiedad caracteriza el polinomio de Taylor de orden k de una función f declase C k+1. Explícitamente:

Lema 2.27. Sean A un abierto de Rn, f :A → R una función de clase C k+1 en A y x0 ∈ A. Elpolinomio de Taylor de orden k de f en el punto x0 es el único de entre todos los polinomios Pde grado menor o igual que k que verifica que

lımh→0

f(x0 + h)− P (h)‖h‖k

= 0.

Observaciones 2.28.

I) Si A es un abierto de Rn y Di, 1 ≤ i ≤ n, denota la aplicación

f ∈ C k+1(A) 7−→ Dif =∂f

∂xi∈ C k(A) ,

resulta que Di es lineal. Definamos para h = (h1, h2, . . . , hn) ∈ Rn el operador diferencial

Dh =

n∑

i=1

hiDi

y, para cada m ≤ k + 1, la composición

Dhm = Dh m. . . Dh : C k+1(A)→ C k+1−m(A).

Dada una función de clase C k en un abierto A ⊂ Rn, si x0 ∈ A y m ≤ k, la aplicaciónde Rn en R dada por

h 7−→ Dhmf(x0)

recibe el nombre de diferencial de orden m de f en el punto x0 y se denota por

f (m)(x0) o dmf(x0).

La diferencial de orden m de una función en un punto es una aplicación dada por unpolinomio homogéneo de grado m; cuando m = 1 esta aplicación no es otra que la di-ferencial ordinaria de la función (una aplicación dada por un polinomio homogéneo degrado 1 es lineal).Con esta notación la fórmula de Taylor adquiere una expresión más familiar, acorde conel caso unidimensional:

f(x0 + h) = f(x0) +

k∑

m=1

1

m!f (m)(x0)(h) +

1

(k + 1)!f (k+1)(x0 + θh)(h).

II) Es posible mejorar el lema 2.27 en términos del polinomio de Taylor de grado k + 1.Explícitamente, con las mismas hipótesis de aquel resultado y la notación del apartadoanterior, se tiene que

f(x0 + h) = f(x0) +f ′(x0)(h)

1!+ . . .+

f (k)(x0)(h)

k!+f (k+1)(x0)(h)

(k + 1)!+ ε(h) ‖h‖k+1

, (2.2)

siendo ε una función tal quelımh→0

ε(h) = 0.

En los siguientes ejemplos se presentan versiones particulares de la fórmula de Taylor,correspondientes a dos casos muy comunes.

Ejemplos 2.29.

I) Sea f una función de clase C 4 en el disco abierto B(a, r) ⊂ R2. Para cada h ∈ R2 con‖h‖ < r existe un número θ ∈ (0, 1) tal que

f(a+ h) = f(a) +(∂f∂x

(a)h1 +∂f

∂y(a)h2

)+

(12

∂2f

∂x2(a)h1

2 +∂2f

∂x∂y(a)h1h2 +

1

2

∂2f

∂y2(a)h2

2)

+(16

∂3f

∂x3(a)h1

3 +1

2

∂3f

∂x2∂y(a)h1

2h2 +1

2

∂3f

∂x∂y2(a)h1h2

2 +1

6

∂3f

∂y3(a)h2

3)

+1

4!f (4)(x0 + θh)(h).



II) Sea f una función de clase C 4 en la bola abierta B(a, r) ⊂ R3. Para cada h ∈ R3 con‖h‖ < r existe un número θ ∈ (0, 1) tal que

f(a+ h) = f(a) +(∂f∂x

(a)h1 +∂f

∂y(a)h2 +

∂f

∂z(a)h3

)

+(12

∂2f

∂x2(a)h1

2 +1

2

∂2f

∂y2(a)h2

2 +1

2

∂2f

∂z2(a)h3

2

+∂2f

∂x∂y(a)h1h2 +

∂2f

∂x∂z(a)h1h3 +

∂2f

∂y∂z(a)h2h3

)

+(16

∂3f

∂x3(a)h1

3 +1

6

∂3f

∂y3(a)h2

3 +1

6

∂3f

∂z3(a)h3

3 +1

2

∂3f

∂x2∂y(a)h1

2h2

+1

2

∂3f

∂x2∂z(a)h1

2h3 +1

2

∂3f

∂x∂y2(a)h1h2

2 +1

2

∂3f

∂x∂z2(a)h1h3

2

+1

2

∂3f

∂y2∂z(a)h2

2h3 +1

2

∂3f

∂y∂z2(a)h2h3

2 +∂3f

∂x∂y∂z(a)h1h2h3

)

+1

4!f (4)(x0 + θh)(h).

Si en ambos casos se supone únicamente que la función f es de clase C 3, el últimosumando se ha de escribir como ε(h) ‖h‖3, igual que en la fórmula (2.2).

Notación: El término ε(h) ‖h‖k se denota también por o(‖h‖k

)en h0 = 0.

En general, si A ⊂ Rn, a ∈ A′ y f, g son dos funciones reales definidas en A, se dice quef es una o de g en a (léase “f es una o pequeña de g en a”), y se escribe ‘f = o(g) en a’,si existe una función ε definida en A ∩ B(a, δ) para algún δ > 0, con lım

x→aε(x) = 0 y tal que

f(x) = ε(x) g(x) para cada x ∈ A ∩B(a, δ) . Esta notación fue introducida por Landau.

2.4. Extremos relativos

Una de las aplicaciones más notables de la fórmula de Taylor, como ocurre en el caso defunciones reales de una variable real, consiste en el estudio de extremos relativos.

Definición 2.30. Sean f una función real definida en un abierto A de Rn y a un punto de A.Se dice que f presenta un máximo (resp. mínimo) local o relativo en ese punto si existe unentorno V de a, contenido en A (una bola centrada en a, si se prefiere), tal que

f(x) ≤ f(a)(resp. f(x) ≥ f(a)

)para todo x ∈ V.

En cualquiera de los dos casos se dice que f presenta un extremo local o relativo en el puntoa. Si las desigualdades anteriores son estrictas para cada x 6= a, se dice que el extremo(máximo o mínimo) es estricto.

Teorema 2.31 (Condición necesaria de extremo relativo). Sean A un abierto de Rn, a unpunto de A y f una función de A en R que es diferenciable en a. Es condición necesaria paraque f presente un extremo relativo en a que su diferencial en dicho punto sea nula, f ′(a) = 0,o dicho de otra forma, que

∇f(a) = 0, es decir,∂f

∂xj(a) = 0 para cada j = 1, 2, . . . , n.

Observación 2.32. Con la notación del teorema anterior, si ∇f(a) = 0 se dice que a es unpunto crítico de f . Así pues, los posibles extremos relativos de una función diferenciablese localizan entre los puntos críticos de la función. Un punto crítico donde la función nopresenta un extremo relativo se llama punto de silla.

Antes de dar condiciones suficientes para la existencia de extremos relativos, haremos unabreve revisión de algunos conceptos algebraicos que serán fundamentales para este estudio.


2.4. Extremos relativos 33

2.4.1. Formas cuadráticas

Definición 2.33. Una forma cuadrática en Rn es una aplicación Q:Rn → R dada por unpolinomio homogéneo de grado 2, es decir, de la forma

Q(x) = Q(x1, x2, . . . , xn) =∑

1≤i≤j≤n

cij xi xj , con cij ∈ R. (2.3)

Se dice que la forma cuadrática Q es definida positiva (resp. negativa) si Q(x) > 0 (resp.Q(x) < 0) para cada x ∈ Rn, x 6= 0.

Se dice que la forma cuadrática Q es semidefinida positiva (resp. negativa) si Q(x) ≥ 0(resp. Q(x) ≤ 0) para cada x ∈ Rn.

Se dice que la forma cuadrática Q en Rn es indefinida si no es semidefinida, es decir, sitoma valores estrictamente positivos y negativos en distintos puntos de Rn.

En la observación 1.77 ya indicamos que a toda forma cuadrática se le asocia una matrizsimétrica A mediante la expresión

Q(x1, x2, . . . , xn) = Q(x) = xAxt. (2.4)

Los siguientes resultados proporcionan criterios para determinar el carácter de la formacuadrática Q a partir de la matriz A.

Teorema 2.34. Si A es una matriz cuadrada y simétrica con coeficientes reales, todos susautovalores son reales.

Proposición 2.35. Sea Q una forma cuadrática en Rn representada por la matriz simétrica Asegún (2.4).

I) Q es semidefinida positiva si, y sólo si, todos los autovalores de A son mayores o igualesque 0. Es definida positiva si, y sólo si, todos los autovalores de A son positivos.

II) Q es semidefinida negativa si, y sólo si, todos los autovalores de A son menores o igualesque 0. Es definida negativa si, y sólo si, todos los autovalores de A son negativos.

III) Q es indefinida si, y sólo si, A tiene al menos un autovalor positivo y al menos otronegativo.

Proposición 2.36 (Criterio de Sylvester). Sea Q una forma cuadrática en Rn representadapor la matriz simétrica A =

(aij

)1≤i,j≤n

. Para cada k = 1, 2, . . . , n se denota

∆k = det(aij

)1≤i,j≤k

.

Entonces:

I) Q es definida positiva si, y sólo si, ∆k > 0 para cada k = 1, 2, . . . , n.

II) Q es definida negativa si, y sólo si, (−1)k∆k > 0 para cada k = 1, 2, . . . , n.

Volviendo al problema que nos ocupaba:

Definición 2.37. Sean A un abierto de Rn, a ∈ A y f una función de clase C 2 en A. La matriz(simétrica en virtud del teorema de Schwarz 2.22)

Hf(a) =

(∂2f

∂xi∂xj(a)

)

1≤i,j≤n

se denomina matriz hessiana 2 de f en el punto a.

Observación 2.38. Si f es una función de clase C 2 en un entorno del punto a ∈ Rn, entoncespara valores de h suficientemente pequeños se tiene que

f(a+ h) = f(a) + f ′(a)(h) +1

2hHf(a)ht + o

(‖h‖2

).

2El nombre, en honor a L. O. Hesse, fue introducido por J. J. Sylvester.



A partir de esta representación local se deducen los siguientes resultados:

Teorema 2.39 (Condiciones necesarias de extremo relativo). Sean A un abierto de Rn, aun punto de A y f :A → R una función de clase C 2 en A con f ′(a) = 0. Si f presenta unmínimo (resp. máximo) relativo en a, la forma cuadrática h 7→ hHf(a)ht es semidefinidapositiva (resp. negativa).

En consecuencia, si esta forma cuadrática es indefinida, f no puede presentar extremosen el punto a.

Teorema 2.40 (Condiciones suficientes de extremo relativo). Sean A un abierto de Rn, aun punto de A y f :A→ R una función de clase C 2 en A y tal que f ′(a) = 0. Entonces:

I) Si la forma cuadrática h 7→ hHf(a)ht es definida positiva (resp. negativa), entonces fpresenta un mínimo (resp. máximo) relativo estricto en a.

II) Si las formas cuadráticas h 7→ hHf(x)ht son semidefinidas positivas (resp. negativas)para todos los puntos x de un entorno de a, entonces f presenta un mínimo (resp.máximo) relativo en a.

Por último, mencionaremos que es posible generalizar estos criterios de existencia deextremos relativos, al igual que sucede en el caso de abiertos de la recta, en términos delas diferenciales de orden superior. Obsérvese que, si f ′(a) = f ′′(a) = . . . = f (2k−1)(a) = 0, paravalores pequeños de h se tiene que

f(a+ h)− f(a) = 1

(2k)!f (2k)(a+ θh)(h).

Un argumento de continuidad (con más precisión, ver la fórmula (2.2)) muestra que el términode la derecha tiene el mismo signo que f (2k)(a)(h) en un entorno de h0 = 0, de donde sededuce el siguiente resultado.

Teorema 2.41. Sea f una función de clase C 2k en un abierto A de Rn tal que todas susderivadas parciales de orden m < 2k se anulan en un punto a ∈ A.

I) Si f (2k)(a)(h) > 0 para cada h ∈ Rn \0, entonces f presenta un mínimo relativo estrictoen el punto a.

II) Si f (2k)(a)(h) < 0 para cada h ∈ Rn\0, entonces f presenta un máximo relativo estrictoen el punto a.

En realidad, las condiciones de los apartados del teorema anterior se pueden debilitar,pues basta pedir que la aplicación h 7→ f (2k)(x)(h) sea semidefinida positiva (resp. negativa)para todos los x en un entorno del punto a (como se hizo en 2.40.II); en cualquier caso, elestudio de estas situaciones se complica enormemente para k > 1.

Ejercicios

2.1 Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos y segúnlas direcciones que se indican:

I) f(x, y, z) = x3 + 2y3 + 3z, en (1, 1, 0) según la dirección (1,−1, 2).

II) f(x, y, z) =(xy

)α, para x > 0, y > 0, siendo α > 0, en el punto (1, 1, 1), según el vector

(2, 1,−1).III) f(x, y, z) = sen(xyz), en (π, 1, 1) según la dirección (2, 0, 1).

2.2 Estudiar la continuidad, existencia de derivadas direccionales y diferenciabilidad en (0, 0)de las siguientes funciones de R2 en R:

I) f(x, y) =√|xy|.

II) f(x, y) =

xy log(x2 + y2) si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

III) f(x, y) =

xy4

x4 + y8si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).


Ejercicios 35

2.3 Estudiar la continuidad, existencia de derivadas direccionales y diferenciabilidad en(0, 0, 0) de las siguientes aplicaciones de R3 en R:

I) f(x, y, z) =

xy2

x2 + y4 + z2si (x, y, z) 6= (0, 0, 0),

0 si (x, y, z) = (0, 0, 0).

II) f(x, y, z) =∫ |xyz|

0

et2

dt.

2.4 Estudiar la diferenciabilidad en R2 de las siguientes funciones:

I) f(x, y) =

xy√x2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

II) f(x, y) =

xy − y√x2 + y2 − 2x+ 1

si (x, y) 6= (1, 0),

0 si (x, y) = (1, 0).

III) f(x, y) =

x3

x2 − y2 si x2 − y2 6= 0,

0 si x2 − y2 = 0.

2.5 Probar que la función real f , definida por

f(x, y) =

(x2 + y2) sen

(1√

x2 + y2

)si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0),

es diferenciable en todo R2 y, sin embargo, las derivadas parciales de f no son continuas enel punto (0, 0).

2.6 Sea g una función real definida en un entorno V de 0 ∈ Rn, y tal que existen K ≥ 0 yr > 1 de manera que ∣∣g(x)

∣∣ ≤ K ‖x‖r para todo x ∈ V.Probar que g es diferenciable en 0.

2.7 Dado r > 0 se considera la función definida en R2 por

f(x, y) = max|x|r, |y|r

=

(max

|x|, |y|

)r.

Estudiar la continuidad, existencia de derivadas direccionales y diferenciabilidad de f en R2

según los valores de r.

2.8 Sean f y g dos funciones reales definidas en un abierto A de Rn y a un punto de A.Demostrar que si f es continua en a, g es diferenciable en a y g(a) = 0, entonces fg esdiferenciable en a, y su diferencial es

(fg)′(a) = f(a)g′(a).

2.9 Sea fp la función de R2 en R definida por:

fp(x, y) =

|x y|px2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0);

0 si (x, y) = (0, 0).

Discútanse, según los valores de p > 0, la continuidad, existencia de derivadas direccionalesy diferenciabilidad de fp en (0, 0).

2.10 Estudiar la diferenciabilidad de la aplicación f : R2 → R3 dada por

f(x, y) =

(cos(x+ y), log(1 + x2 + y2),

ey − 1

y

)si y 6= 0,

(cos(x), log(1 + x2), 1

)si y = 0.



2.11 Estudiar la diferenciabilidad de la aplicación f : R2 → R3 dada por

f(x, y) =

(ex+y, sen(x− y), x2 sen

(1/x

))si x 6= 0,

(ey, sen(−y), 0

)si x = 0.

2.12 Suponiendo que todas las funciones involucradas son diferenciables, calcular:

I) u′(t), siendo u(t) = f(x(t), y(t), z(t)

).

II)∂u

∂ry∂u

∂s, siendo u(r, s) = f

(x(r, s), y(r, s), z(r, s)

).

III)∂u

∂r,∂u

∂sy∂u

∂t, siendo u(r, s, t) = f

(x(r, s, t), y(r, s, t), z(r, s, t)

).

IV)∂u

∂r,∂u

∂sy∂u

∂t, siendo u(r, s, t) = f

(x(r, s, t)

).

2.13 Sean f y g dos funciones reales definidas en (0,∞), ambas derivables en t0 = 1. Sedefine la función u : (0,∞)× (0,∞)→ R por

u(x, y) = f(xy) + g(y/x

).

Calcular, si existen,∂u

∂x(1, 1) y

∂u

∂y(1, 1).

2.14 Demostrar que, si f es una función real derivable en R, la función u definida en R2 poru(x, y) = f(x2y) verifica la ecuación

x∂u

∂x(x, y)− 2 y

∂u

∂y(x, y) = 0 para todo (x, y) ∈ R2.

2.15 Sean g1, g2 las funciones definidas en R3 por

g1(x, y, z) = x2 + y2 + z2, g2(x, y, z) = x+ y + z,

y g:R3 → R2 la aplicación dada por g = (g1, g2). Si f es una función real diferenciable en R2 yh es la función compuesta h = f g, probar que

‖∇h‖2 = 4(D1f g)2g1 + 4(D1f g)(D2f g)g2 + 3(D2f g)2.

2.16 Sea fp la función de R2 en R definida por:

fp(x, y) =

|x|px2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0);

0 si (x, y) = (0, 0).

I) Discútanse, según los valores de p > 0, la continuidad, existencia de derivadas direccio-nales y diferenciabilidad de fp en (0, 0).

II) Sea F :R2 → R2 la aplicación definida por

F (x, y) =(x+ cos(y), f4(x, y)

).

Justifíquese la diferenciabilidad de G = F F + F en (0, 0) y calcúlese G′(0, 0).

2.17 Sean a = (1,−1), u = (−3, 2), v = (2, 1). Se sabe que la función f :R2 → R es diferenciableen a y que

f(a) = 1, Duf(a) = 1, y Dvf(a) = 4.

I) Calcúlese ∇f(a).II) Pruébese que la función g, definida en R por g(t) = f

(t, cos(πt)

), es derivable en el punto

t = 1 y calcúlese g′(1).

III) Calcúlese la derivada direccional de g f en a según la dirección de (3, 4).


Ejercicios 37

2.18 En cada uno de los siguientes casos comprobar que las dos derivadas parciales cruza-das de segundo orden de f son iguales:

I) f(x, y) = x4 + y4 − 4 sen(xy).

II) f(x, y) =1

xcos(y2), x 6= 0.

III) f(x, y) = arctg(yx

), x 6= 0.

IV) f(x, y) = arctg( xy

1 + x2 + y2

)

V) f(x, y) = log(1 + xy), x > 0, y > 0.

2.19 Comprobar que si f es la función definida en R2 por

f(x, y) =

x y (x2 − y2)x2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0),

existen las dos derivadas parciales cruzadas de segundo orden de f en el origen, pero no soniguales. ¿Contradice esto el teorema de Schwarz?

2.20 Sea f :R2 → R una función cuyas derivadas parciales de primer orden existen y sondiferenciables. Sea F :R2 → R definida por:

F (r, θ) = f(r cos(θ), r sen(θ)

).

Calcular, en función de las derivadas parciales de f , las derivadas siguientes:

∂F

∂r,

∂F

∂θ,

∂2F

∂r2,

∂2F

∂θ2,

∂2F

∂r∂θ,

∂2F

∂θ∂r.

2.21 Sea f :R → R una función con derivada segunda continua en todo punto, tal quef ′′(t) 6= 0 para cada t ∈ R. Sea g una función de clase C 2 en R2 que satisface en todo punto(x, y) ∈ R2 la ecuación funcional de Laplace,

∂2g

∂x2(x, y) +

∂2g

∂y2(x, y) = 0 . (2.5)

Demostrar que la función F = f g también satisface (2.5) si, y sólo si, g es constante.

2.22 Comprobar que la función g definida en V = R2 \ (a, b) por

g(x, y) = log(√

(x− a)2 + (y − b)2)

satisface la ecuación de Laplace (2.5) en el abierto V .

2.23 Sea a > 0. Comprobar que la función real u definida en (0,∞)× R por

u(x, t) =1

2a√πte−

(x−b)2

4a2t

verifica la ecuación del calor∂u

∂t= a2

∂2u

∂x2.

2.24 Sea f una función real de clase C 2 en R2. Si la función u, definida por

u(x, y) = f(x, y) eax+by,

es tal que∂2u

∂x∂y= 0, encontrar los valores de a y b para los que se puede asegurar que

∂2f

∂x∂y− ∂f

∂x− ∂f

∂y+ f = 0 .



2.25 Sea g:R→ R una función de clase C∞. Se define f :R2 → R por

f(x, y) = g(ax+ by + c), a, b, c ∈ R.

Calcular todas las derivadas sucesivas de f en función de las de g.

2.26 Sea f una función de clase C 2 en R2 \ (0, 0). Comprobar que

1

x2 + y2

(∂2f

∂x2(x, y) +

∂2f

∂y2(x, y)

)= 4

(∂2g

∂u2(u, v) +

∂2g

∂v2(u, v)

),

donde f(x, y) = g(u(x, y), v(x, y)

), siendo u(x, y) = x2 − y2, v(x, y) = 2x y .

2.27 Sea f una función de clase C 2 en (0,∞)× (0,∞). Comprobar que

1

4xy

∂2f

∂x∂y(x, y) =

∂2g

∂u2(u, v)− ∂2g

∂v2(u, v),

donde f(x, y) = g(u(x, y), v(x, y)

), siendo u(x, y) = x2 + y2, v(x, y) = x2 − y2.

2.28 Utilícese la fórmula de Taylor para expresar las siguientes funciones polinómicas enpotencias de (x− 1) e (y − 2):

I) g(x, y) = x2 + x y + y2 + 2x .

II) f(x, y) = x3 + y3 + x y2 + x− y .

2.29 Determinar los desarrollos de Taylor de orden 3 de las siguientes funciones en lospuntos que se indican:

I) f(x, y) = sen(x+ 2y), en el punto (0, 0).

II) f(x, y) = e(x−1)2 cos(y), en el punto (1, 0).

III) f(x, y) = cos(x− y), en el punto (1, 1).

IV) f(x, y) = log(1 + xy)ex+y, en el punto (0, 0).

2.30 Sea f :Rn → R de clase C 2, positiva y tal que existe M > 0 verificando que∣∣Dijf(x)

∣∣ ≤M, i, j = 1, 2, . . . , n.

Demostrar que para cada x ∈ Rn se tiene que ‖∇f(x)‖2 ≤ 2M nf(x), concretamente:∣∣Dif(x)

∣∣2 ≤ 2M f(x), i = 1, 2, . . . , n.

2.31 Sea f una función real, no negativa y de clase C 2 en un entorno V de 0 en Rn. Sesupone que ∇f(0) = 0, y que el conjunto B = x ∈ Rn : |xi| ≤ 2 c , 1 ≤ i ≤ n está contenidoen V y en él se verifica la acotación

∣∣Dijf(x)∣∣ ≤M, i, j = 1, 2, . . . , n, M > 0.

Demostrar que para x ∈ Rn, con |x1|+ |x2|+ . . .+ |xn| ≤ c, se tiene que∣∣Dif(x)

∣∣2 ≤ 2M f(x), i = 1, 2, . . . , n.

2.32 Calcular, si existen, los siguientes límites:

I) lım(x,y)→(0,0)

sen(x) sen(y)− xyx2 + y2

.

II) lım(x,y)→(0,0)

x(ex2+y2 − 1

)2tg(xy)− sen(xy)

1− cos(x) cos(y).

III) lım(x,y)→(0,0)

arctg(xy)− xylog(1 + x2 + y2)− x2 − y2 .

IV) lım(x,y)→(0,0)

cos(xy) + sen(x2 + y)− 1− y − x2x2 + y2

.


Ejercicios 39

2.33 Calcular los extremos relativos de las siguientes funciones definidas en R2:

I) f(x, y) = x2 + y3.

II) f(x, y) = x6 + y4.

III) f(x, y) = 2x2 − 4x y + y4 − 1.

IV) f(x, y) = x2 − 2x y + y2 + x4 + y4.

V) f(x, y) =∫ y

x

sen(t)dt.

VI) f(x, y) = x3 − 3x2 + 2 y3 + 3 y2.

VII) f(x, y) = x2e−x2−y2 .

2.34 Sea C = [0, π]× [0, π]. Se define f :C → R por

f(x, y) =

x(π − y) si x ≤ y,y(π − x) si x > y.

Estudiar la continuidad de f y encontrar el máximo absoluto de f en C.

2.35 Determinar los extremos relativos de la función

f(x, y, z) = x2 + y2 + 3z2 + yz + 2xz − xy.

2.36 Discutir, según los valores del parámetro a, las cuestiones que se proponen:

I) La existencia de extremos relativos de la función

f(x, y) = x3 − 3ax2 − 4ay2 + 1.

II) La presencia en el punto (0, 0) de un extremo relativo de la función

g(x, y) = a(2xy + y2 + yx2 + cos(x+ y)

)+ x2(a2 − y).

2.37 Demostrar la desigualdad

x2 + xy + y2 +a3

x+a3

y≥ 3

3√3 a2 si x > 0, y > 0,

siendo a una constante positiva.Sugerencia: Localizar primero los extremos locales de una función adecuada y concluir que uno de

ellos es de hecho un extremo absoluto.

2.38 Sean A y B dos conjuntos abiertos de Rn y Rm, respectivamente, f :A → R, g:B → A,b ∈ B y a = g(b).

I) Si g es una biyección, demostrar que f alcanza un extremo absoluto en a si, y sólo si,f g alcanza un extremo absoluto en b.

II) Suponiendo que g es un homeomorfismo de un entorno de b sobre un entorno de a,demuéstrese que f presenta un extremo relativo en el punto a si, y sólo si, f g presentaun extremo relativo en b.

III) Aplicar lo anterior para:

1. Determinar los extremos relativos de la función

f(x, y) = cos(xy)− cos(x/y

)

en el conjunto A = (x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0.Sugerencia: Considérese la aplicación definida por g−1(x, y) =

(

x y , x/y

)

.

2. Determinar los extremos locales de la función

f(x, y) =(arctg

(y/x

)− 1

)2

+ (x2 + y2)1/2(x2 + y2 − 3),

en el conjunto A = (x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0.Sugerencia: Considérese g: (0,∞)× (0, π/2) → A definida por g(r, θ) =

(

r cos(θ), r sen(θ))

.



2.39 Encuéntrense los extremos relativos de la función f : (0,∞)n → R dada por

f(x1, x2, . . . , xn) = x1x2 · · ·xn + an+1( 1

x1+

1

x2+ . . .+

1

xn

), a > 0.

2.40 Sea a = (a1, a2, . . . , an) un punto de Rn. Se define la función real f en Rn por

f(x) = exp(− ‖x‖2 − 〈a,x〉

),

donde ‖x‖2 = x12 + x2

2 + · · ·+ xn2 y 〈a,x〉 = a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn.

I) Demuéstrese que f se anula en el infinito, es decir, que para cualquier ε > 0 existe unaconstante M > 0 tal que

|f(x)| ≤ ε si ‖x‖ ≥M.

II) Estúdiese si f alcanza máximo o mínimo absolutos en Rn y, caso de existir, calcúlense.

2.41 Sean A un abierto convexo de Rn y f :A → R una función de clase C 2 tal que Hf(x) essemidefinida positiva para cada x ∈ A. Probar que el conjunto

V =(x1, x2, . . . , xn, z) : (x1, x2, . . . , xn) ∈ A , f(x1, x2, . . . , xn) < z

es un abierto convexo de Rn+1.

2.42 Dado n ∈ N, para cada i = 1, 2, . . . , n sean (ai, bi) un intervalo de R y fi: (ai, bi) → R.Se considera producto tensorial g = f1 ⊗ f2 ⊗ · · · ⊗ fn definido en el producto cartesianoA = (a1, b1)× (a2, b2)× · · · × (an, bn) (ver ejercicio 1.49)

I) Si fi es derivable en ci ∈ (ai, bi), probar que g es diferenciable en c = (c1, c2, . . . , cn).

II) Más aún, supuesto que fi es de clase C∞ en (ai, bi) , i = 1, 2, . . . , n, probar que g es declase C∞ en A y calcular

∂m1+m2+...+mng

∂xm11 ∂xm2

2 . . . ∂xmnn

.

III) Fijado k ∈ N, supongamos que son conocidos los desarrollos de Taylor de orden k de cadafunción fi en un punto ci ∈ (ai, bi), i = 1, 2, . . . , n. Proponer y describir un procedimientogeneral para calcular el desarrollo de Taylor de orden k de g en el punto c sin necesidadde recurrir a derivaciones.

IV) Ilustrar los puntos anteriores con la función g definida en un entorno de 0 ∈ R3 por

g(x, y, z) = cos(x) ln(1 + y) (1 + z2) ;

en particular, aplíquese el método de III) en el punto (0, 0, 0) y para k = 2.

Tema 3

Aplicaciones diferenciables

Partiendo de la idea de aproximación lineal que representa la diferenciabilidad de unafunción, no es de extrañar que ciertos conceptos de Álgebra Lineal elemental, tales como elde rango, aplicación inversa, etc., tengan su análogo en el Cálculo Diferencial.

Los resultados centrales de este tema son el teorema de las funciones inversas y el teorema

de las funciones implícitas, cuya versión lineal son los teoremas clásicos de Cramer y Rouchédel Álgebra Lineal; de hecho, si nos remontamos un poco en el tiempo, es curioso observarque estos y otros resultados que se presentan en esta teoría aparecen enunciados de formapuramente algebraica (en términos de series de potencias de variable compleja) antes de laque podríamos denominar formulación moderna. Pensar en el caso lineal puede servir degran ayuda a la hora de comprender el significado y alcance de estos teoremas.

Se pueden encontrar en la literatura existente diversos métodos de demostración de estosteoremas. En cualquier caso, el punto más delicado radica en demostrar la existencia de talesfunciones, siendo luego el estudio de la regularidad una cuestión prácticamente rutinaria. Eneste sentido, la exposición que realizamos requiere de un resultado sobre puntos fijos quemotiva la primera sección.

3.1. Aplicaciones contractivas. Teorema del punto fijo

Los conceptos y resultados que se presentan en esta sección se enmarcan en el contextode los espacios euclídeos, lo que es suficiente para nuestros propósitos. No obstante, admitenuna generalización en el marco de los espacios métricos que proporciona una herramientateórica muy fructífera en la Teoría de Funciones, como el método de Picard, destinado a laprueba de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales. También son elgermen de numerosos métodos numéricos iterativos (basados en técnicas de aproximaciones

sucesivas). En todos los casos el punto de partida es formular los problemas en términos depuntos fijos, es decir, expresados como una ecuación del tipo f(x) = x .

Definición 3.1. Supongamos que X es un conjunto no vacío de Rn y que f :X → Rn es unaaplicación. Si un punto x0 ∈ X es tal que f(x0) = x0 se dice que x0 es un punto fijo de f .

Definición 3.2. Sean A ⊂ Rn y f una aplicación de A en Rm.

Se dice que f es lipschitziana 1 si existe una constante K tal que

‖f(x)− f(y)‖Rm ≤ K ‖x− y‖Rn para todos x,y ∈ A .En particular, si K < 1 se dice que f es contractiva.

Si para todos x,y ∈ A se tiene que ‖f(x) − f(y)‖Rm = ‖x − y‖Rn se dice que f es unaisometría (entre A y f(A)).

Teorema 3.3 (del punto fijo, de Banach). Sea X un subconjunto cerrado de Rn. Si f :X→Xes una aplicación contractiva, entonces f tiene un único punto fijo.

Corolario 3.4. Sea X un subconjunto cerrado de Rn. Si f :X → X es una aplicación tal quepara algún p ∈ N se tiene que f [p] = f f p. . . f es contractiva, entonces f tiene un únicopunto fijo.

1en honor a R. Lipschitz

41

42 Tema 3. Aplicaciones diferenciables

Observaciones 3.5.

I) Precisando un poco más, el teorema anterior se demuestra probando que partiendo decualquier punto a ∈ X la sucesión xk∞k=1 definida recurrentemente por

x1 = f(a) , x2 = f(x1) = f(f(a)) , . . . , xk = f(xk−1) = f[k](a) ,

converge hacia el punto fijo de f ; es decir, los términos de la sucesión xk∞k=1 propor-cionan aproximaciones a la solución exacta de la ecuación f(x) = x , este procedimientose conoce con el nombre de método de aproximaciones sucesivas.

II) La convergencia de la sucesión anterior equivale a su carácter de Cauchy. El teoremase enuncia de igual forma en los denominados espacios métricos completos que son,precisamente, aquellos en los que toda sucesión de Cauchy es convergente; es evidenteque todo subconjunto cerrado de Rn es completo en virtud de la proposición 1.40 y elteorema 1.42.

3.2. Funciones inversas

El objetivo de esta sección es estudiar condiciones suficientes para que una función, defi-nida en un abierto A de Rn y con llegada en Rn, sea localmente invertible en el entorno de unpunto a ∈ A, así como obtener propiedades de regularidad sobre la función inversa a partirde la regularidad de la función.

Definición 3.6. Sean A un abierto de Rn, a un punto de A y f una aplicación de A en Rn quees diferenciable en a. Se denota por Jf(a) al determinante de la matriz jacobiana de f en a:

Jf(a) = det∂(f1, f2, . . . , fn)

∂(x1, x2, . . . , xn)= det

(Djfi(a)

)1≤i,j≤n

y se denomina determinante jacobiano, o simplemente jacobiano, de f en a.

Teorema 3.7 (de las funciones inversas). Sean A un abierto de Rn y f :A → Rn una apli-cación de clase C k (k ≥ 1) en A. Si a ∈ A es tal que la aplicación lineal f ′(a) es regular, oequivalentemente, tal que Jf(a) 6= 0, entonces existen un abierto V que contiene al puntoa, y un abierto W que contiene al punto f(a), tales que f aplica biyectivamente V en W y laaplicación inversa f−1:W → V es también de clase C k en W y se tiene que

(f−1

)′(f(x)

)=

(f ′(x)

)−1, x ∈ V,

o lo que es lo mismo, (f−1

)′(y) =

(f ′(f−1(y))

)−1, y ∈W.

Observaciones 3.8.

I) La última fórmula es una igualdad de aplicaciones lineales que implica, en particular,que la matriz jacobiana de f−1 en el punto f(x) es la inversa de la matriz jacobiana de fen x, y en consecuencia

Jf−1(f(x)

)=

1

Jf(x), x ∈ V.

II) A diferencia del caso lineal, en el que la inversibilidad es global, este teorema tiene carác-ter local, es decir, la regularidad de la matriz jacobiana de f en el punto a sólo garantiza,en general, la inyectividad de f en un entorno del punto a; considérese, por ejemplo, laaplicación

f : R2 → R2

(x, y) 7→(ex cos(y), ex sen(y)

),

a la que se puede aplicar el teorema anterior en cada punto, pero que no es inyectivaen R2, y no admite por lo tanto inversa global.

III) Del teorema de la función inversa se deduce que toda aplicación de un abierto de Rn enRn de clase C 1 y cuyo jacobiano es distinto de cero en todos los puntos de su dominio esuna aplicación abierta, es decir, transforma conjuntos abiertos en conjuntos abiertos.


3.2. Funciones inversas 43

3.2.1. Notas sobre la demostración del teorema de las funciones inversas

De forma escueta relataremos una serie de pasos y reducciones del problema que ayudana tener una visión más clara del proceso deductivo. La notación y las condiciones serán comoen el enunciado del teorema 3.7.

Paso 1 Reducción del problema a otro más sencillo

Lema 3.9. Fijado un punto c ∈ Rn la traslación τc:Rn → Rn definida por τc(x) = x− c es una

isometría (por tanto homeomorfismo) de clase C∞, cuyo jacobiano es igual a 1 en todo punto.

Notemos que la aplicación f1(x) = f(x+ a)− f(a), verifica f1(0) = 0 y f ′1(0) = f

′(a).

Lema 3.10. Sea λ:Rn → Rn un isomorfismo lineal. La aplicación f es inyectiva en un entornode a con inversa diferenciable, si y sólo si, lo es la aplicación f2 = λ f .

Si λ =(f ′(a)

)−1, entonces f ′

2(a) = IdRn ; además f−12 = f−1 λ−1, o bien f−1 = f−1

2 λ .

En definitiva, se puede suponer sin pérdida de generalidad que

a = 0 , f(a) = 0 y f ′(0) = IdRn .

Paso 2 Aplicación del teorema de Banach: existencia de la inversa

Lema 3.11. Sea g(x) = x− f(x). Existe un r > 0 tal que para cada x ∈ B(0, r) se tiene que

‖g(x)‖ ≤ 1

2‖x‖ ≤ r

2.

Corolario 3.12. Fijado y ∈ B(0, r/2) la aplicación hy definida en B(0, r) por hy(x) = y+x−f(x)tiene su imagen contenida en B(0, r) y es contractiva:

‖hy(x1)− hy(x2)‖ ≤1

2‖x1 − x2‖ , x1,x2 ∈ B(0, r) .

El teorema del punto fijo asegura entonces que para y ∈ B(0, r/2) existe un único puntofijo de hy, esto es, un único x ∈ B(0, r) con x = h(x) = y + x − f(x), o lo que es lo mismo,y = f(x) o x = f−1(y) .

Paso 3 Continuidad y diferenciabilidad de la inversa local

Dados x1,x2 ∈ B(0, r) se tiene que

‖x1 − x2‖ ≤ ‖f(x1)− f(x2)‖+ ‖g(x1)− g(x2)‖ ≤ ‖f(x1)− f(x2)‖+1

2‖x1 − x2‖ .

De lo anterior se sigue que ‖x1 − x2‖ ≤ 2 ‖f(x1)− f(x2)‖ para x1,x2 ∈ B(0, r), en particular,si y1,y2 ∈ B(0, r/2), poniendo x1 = f−1(y1) y x2 = f−1(y2), se deduce que

‖f−1(y1)− f−1(y2)‖ ≤ 2 ‖y1 − y2‖ .

Lema 3.13. Existe 0 < ρ ≤ r/2 tal que para cada y ∈ B(0, ρ) la aplicación lineal f ′(x) esinvertible, siendo x = f−1(y). Además, por la compacidad de B(0, ρ) existe M ≥ 0 con

‖(f ′(x)

)−1(z)‖ ≤M ‖z‖ para todo y ∈ B(0, ρ) y z ∈ Rn.

Ahora es fácil probar que, si y1,y2 ∈ B(0, ρ), x1 = f−1(y1) y x2 = f−1(y2), entonces

‖f−1(y2)− f−1(y1)−(f ′(x1)

)−1(y2 − y1)‖

‖y1 − y2‖≤ 2M

∥∥f ′(x1)(x2 − x1)−(f(x2)− f(x1)

)∥∥‖x1 − x2‖

−→y2→y1

0 ,

lo que implica que f−1 es diferenciable en y1 y que(f−1

)′(y1) =

(f ′(x1)

)−1.

Paso 4 Regularidad de la inversa local

Las derivadas parciales de f−1 son los coeficientes de la matriz que, en la base estándar,representa a

(f−1

)′(y) =

(f ′(f−1(y))

)−1. La bien conocida fórmula para la inversa de una

matriz (regla de Cramer) permite escribir estas derivadas parciales como sumas de productosde composiciones de f−1 con derivadas parciales de las componentes f1, f2, . . . , fn de f , queson de clase C k.



3.2.2. Cambios de variables. Aplicación a las ecuaciones diferenciales

Definición 3.14. Sean A y B dos abiertos de Rn. Se dice que una aplicación ϕ:A → B esun difeomorfismo o cambio de variables de clase C k si es biyectiva, de clase C k en A, y laaplicación inversa ϕ−1:B → A es también de clase C k en B.

Observación 3.15. Con esta definición en mente, el teorema de la función inversa afirmaque si una función de clase C 1 tiene jacobiano no nulo en un punto, entonces dicha funcióndefine localmente, es decir, en un entorno de dicho punto, un cambio de variables.

También del teorema de la función inversa se sigue que para probar que una aplicaciónde clase C 1 de un abierto de Rn en Rn es un difeomorfismo de ese abierto sobre su imagen,basta probar que es inyectiva y que su jacobiano no se anula en ningún punto.

La importancia de los cambios de variables se pondrá de manifiesto posteriormente, enel estudio de integrales múltiples o, por ejemplo, al tratar con operadores diferenciales, a losque dedicamos las siguientes líneas.

Definición 3.16. Sea A un abierto de Rn. Por operador diferencial lineal de orden m en A seentiende toda aplicación definida en el espacio de funciones Cm(A) a valores en C 0(A) por

D = a0D0 +

n∑

j1=1

aj1Dj1 +

n∑

j1,j2=1

aj1j2Dj1j2 + . . .+

n∑

j1,...,jm=1

aj1...jmDj1...jm ,

donde los coeficientes a0, aj1...jk , 1 ≤ k ≤ m, son funciones continuas en A. (D0 denota eloperador identidad).

Si D es un operador diferencial de orden m en el abierto A de Rn y h ∈ Cm(A), g ∈ C 0(A)son funciones tales que

D(h)(x) = g(x) para cada x ∈ Ase dice que h es solución de la ecuación diferencial (lineal) D(f) = g.

La ecuación diferencial se denomina ordinaria si n = 1 y en derivadas parciales cuandon > 1. Se suele abreviar, respectivamente, E.D.O. y E.D.P. (O.D.E y P.D.E. en inglés).

Ejemplo 3.17. El operador D = aD0 + bD1 + D11 − (c + d)D12 + cdD22, a, b, c, d ∈ R, asigna acada función f de clase C 2 en un abierto A de R2 la función continua

af + b∂f

∂x+∂2f

∂x2− (c+ d)

∂2f

∂x∂y+ cd

∂2f

∂y2,

definida en el mismo abierto. La función h(x, y) = xy es solución de

D(f) = g, siendo g(x, y) = axy + by − (c+ d).

Observación 3.18. Dados dos abiertos A y B de Rn y ϕ:A→ B un difeomorfismo de clase Cm,si D es un operador diferencial de orden m en A, para cada f ∈ Cm(B) se puede considerarla función compuesta f ϕ ∈ Cm(A) y su imagen por D

D(f ϕ).En virtud de la Regla de la Cadena 2.12, la expresión anterior define un operador diferencialen B del mismo orden que denotaremos por ϕ∗(D).

Puede suceder que este nuevo operador admita una expresión más sencilla que el original,lo que permitirá resolver más fácilmente las ecuaciones diferenciales asociadas correspon-dientes. Explícitamente, se tiene el siguiente resultado.

Teorema 3.19. En las condiciones anteriores, si g ∈ C 0(B), una función h ∈ Cm(B) es so-lución de la ecuación ϕ∗(D)(f) = g si, y sólo si, la función h ϕ es solución de la ecuaciónD(f) = g ϕ .

Observación 3.20. En las condiciones del teorema anterior, puesto que ϕ es una biyección,h queda unívocamente determinada por h ϕ, y viceversa.

Como ejemplo de aplicación ver los ejercicios 3.13, 3.14, 3.15, 3.16 y 3.17.


3.3. Funciones implícitas 45

3.3. Funciones implícitas

A modo de introducción pensemos que en un entorno de un punto de R2, donde estádefinida la función f se pueden encontrar puntos

(x, y(x)

)que satisfacen

f(x, y(x)

)= 0 . (3.1)

Si se dan las condiciones pertinentes de derivabilidad, la regla de la cadena establece que

∂f

∂x

(x, y(x)

)+∂f

∂y

(x, y(x)

)y′(x) = 0 , simbólicamente y′ = −∂f∂x/∂f

∂y .(3.2)

En los trabajos de Leibniz ya está presente esta derivación implícita, aunque se atribuyea Cauchy la primera aproximación rigurosa a este resultado. Durante tiempo las contribu-ciones a esta teoría, como la del propio Cauchy o el teorema de inversión de Lagrange seconcentraron en el caso de funciones analíticas (series de potencias complejas). La prime-ra versión relativa a funciones de varias variables se debe a Dini y desde entonces se hanproporcionado numerosas generalizaciones y métodos de demostración (ver [61]).

Hablando ya en general, el objeto del teorema de las funciones implícitas es precisarcondiciones tales que, dada una ecuación

f((x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , ym)

)= 0 ∈ Rm, (3.3)

se pueda asociar a cada punto x = (x1, x2, . . . , xn) de un cierto conjunto X ⊂ Rn, un únicopunto y = (y1, y2, . . . , ym) de otro conjunto Y ⊂ Rm, de manera que el par (x,y) verifique laecuación. De esta forma, queda definida una aplicación

y = ϕ(x),

con los pares de valores que son solución de la ecuación anterior. En estas condiciones laaplicación ϕ se dice que está definida implícitamente por la ecuación (3.3).

Si la ecuación (3.3) es lineal, la respuesta viene dada por el teorema de Rouché, pero enel caso general la resolución de tal ecuación, aun cuando ésta tenga solución única, puederesultar imposible. Parece entonces conveniente conocer las propiedades de la función ϕ,aunque no se pueda obtener de forma explícita.

Teorema 3.21 (de las funciones implícitas). Sean A un abierto de Rn+m, f :A → Rm unaaplicación de clase C k (k ≥ 1) en A, y (a, b) un punto de A tal que f(a, b) = 0. Se supone,además, que

det

(∂fi∂xn+j

(a, b)

)

1≤i,j≤m

6= 0. (3.4)

Entonces existen un abierto U de Rn, con a ∈ U , y otro abierto V de Rm, con b ∈ V , tales quepara cada x ∈ U existe un único ϕ(x) ∈ V con f(x,ϕ(x)) = 0; además, la función ϕ:U → Vasí definida es una función de clase C k en U .

Observaciones 3.22.

I) De nuevo, a diferencia del caso lineal, el resultado tiene carácter local; considérese porejemplo la función

f : R2 → R

(x, y) 7→ x2 + y2 − 1.

II) El teorema anterior admite una formulación más general en el sentido siguiente:

“Si la matriz jacobiana de la aplicación f en el punto c ∈ Rn+m tiene rango máximo (iguala m), esto es, existen 1 ≤ j1 < j2 < . . . < jm ≤ m + n tales que el menor correspondientea las derivadas parciales respecto de las variables xj1 , xj2 , . . . , xjm tiene determinante nonulo, entonces estas m variables quedan determinadas implícitamente en función de lasn restantes en un entorno de dicho punto”.

Esto se reduce al caso contemplado en el teorema 3.21 sin más que considerar unapermutación en el orden de las variables.



III) El teorema de las funciones implícitas y el teorema de las funciones inversas son proposi-ciones equivalentes, esto es, uno se deduce del otro. Algunos autores optan por demostrarprimero el teorema de las funciones implícitas y deducir de él el de las inversas. Esta op-ción no aporta ni ventajas ni desventajas, simplemente depende del gusto personal (verejercicio 3.10).

IV) La unicidad enunciada en el teorema de la función implícita, junto con la condiciónf(a, b) = 0, implica, en particular, que ϕ(a) = b.

V) Aun sin conocer explícitamente la aplicación ϕ, es posible calcular sus derivadas parcia-les sucesivas en el punto a, lo cual se reduce a resolver una serie de sistemas linealescuya compatibilidad viene garantizada por el hecho de que el determinante jacobianorespecto de las últimas variables no sea nulo.En efecto, en las mismas condiciones y con la misma notación que en el teorema 3.21,denotemos por F = (F1, F2, . . . , Fm) a la aplicación definida en U por

F (x) = f(x,ϕ(x)).

Puesto que esta aplicación es la idénticamente nula, todas sus derivadas parciales hande ser nulas en U . Así, fijado 1 ≤ k ≤ n, para cada i = 1, 2, . . . ,m se tiene que

0 =∂Fi∂xk

(x,ϕ(x)) =∂fi∂xk

(x,ϕ(x)) +

m∑

j=1

∂fi∂xn+j

(x,ϕ(x))∂ϕj∂xk

(x).

En virtud de (3.4) y por la continuidad de las derivadas parciales, para todos los puntos xen un entorno de a también se verifica que

det

(∂fi∂xn+j

(x,ϕ(x))

)

1≤i,j≤m

6= 0,

de manera que el sistema lineal dado por las m ecuacionesm∑

j=1

∂fi∂xn+j

(x,ϕ(x))∂ϕj∂xk

(x) = − ∂fi∂xk

(x,ϕ(x)), i = 1, 2, . . . ,m,

en las m incógnitas∂ϕj∂xk

(x), j = 1, 2, . . . ,m, es compatible determinado, lo que permite

obtener las derivadas parciales de las funciones implícitas ϕj.El sistema anterior se puede resolver mediante el método de Cramer; esta fórmula, queexpresa las soluciones en función de los coeficientes del sistema, sirve para mostrar quelas funciones implícitas son de la misma clase, C k, que la aplicación f .Si f es además de clase C 2, dados 1 ≤ l, k ≤ n se tiene que

0 =∂2Fi∂xl∂xk

(x,ϕ(x))

=∂2fi∂xl∂xk

(x,ϕ(x)) +

m∑

j=1

∂2fi∂xn+j∂xk

(x,ϕ(x))∂ϕj∂xl

(x)

+

m∑

j=1

(∂2fi

∂xl∂xn+j(x,ϕ(x))

∂ϕj∂xk

(x) +

m∑

h=1

∂2fi∂xn+h∂xn+j

(x,ϕ(x))∂ϕh∂xl

(x)∂ϕj∂xk

(x)

)

+m∑

j=1

∂fi∂xn+j

(x,ϕ(x))∂2ϕj∂xl∂xk

(x),

para cada i = 1, 2, . . . ,m, lo que da lugar a un sistema lineal en las m incógnitas

∂2ϕj∂xl∂xk

(x), j = 1, 2, . . . ,m,

cuya matriz de coeficientes es la misma que antes. Nótese además que el término in-dependiente viene dado por las derivadas de f y las parciales primeras de ϕ, que en elpunto a ya han sido determinadas previamente.Repitiendo este argumento se obtienen recursivamente las derivadas sucesivas de lasfunciones implícitas en el punto a como soluciones de sistemas lineales, todos ellos conla misma matriz de coeficientes.


Ejercicios 47

3.3.1. Teoremas de rango

Los teoremas de rango van encaminados en el mismo sentido que el de las funcionesimplícitas. Su análogo algebraico es el de la triangulación de matrices no cuadradas y, aligual que los anteriores, tienen carácter local.

Definición 3.23. Sean A un abierto de Rn, a un punto de A y f una aplicación de A en Rm

de clase C 1.Se dice que f es una inmersión en a si f ′(a) es una aplicación inyectiva de Rn en Rm

(nótese que debe ser n ≤ m).Se dice que f es una submersión en el punto a si f ′(a) es suprayectiva (en este caso debe

ser n ≥ m).

Teorema 3.24 (de inmersión). Sean A un abierto de Rn y f una aplicación de A en Rm

de clase C k, tal que f es una inmersión en un punto x0 ∈ A. Entonces existen un entornoabierto V de f(x0) en Rm, un entorno abierto U de x0 en Rn, con f(U) ⊂ V , y un difeomorfismoϕ de clase C k de V en ϕ(V ), tales que la restricción de ϕ f a U es la inyección canónica deRn en Rn × 0m−n. Es decir,

(ϕ f)(x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn, 0, . . . , 0).

Teorema 3.25 (de submersión). Sea A un abierto de Rn y f una aplicación de A en Rm declase C k, que es una submersión en un punto x0 ∈ A. Existen entonces un entorno abierto Ude x0 en Rn, y un difeomorfismo ϕ de clase C k de U en ϕ(U) (conjunto abierto de Rn), talesque, si π denota la proyección canónica de Rn sobre Rm, la restricción de f a U es π ϕ. Esdecir,

f ϕ−1(x1, x2, . . . , xm, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xm).

Observación 3.26. Los dos resultados anteriores se deducen fácilmente del teorema de lasfunciones implícitas. Hablando en un tono intuitivo, la conclusión de estos teoremas es que,salvo difeomorfismos, las variedades diferenciables (curvas, superficies, etc.) se pueden iden-tificar localmente con subespacios lineales.

Ambos teoremas son casos particulares de un resultado más general, que enunciamos acontinuación, y cuya prueba resulta mucho más laboriosa y queda fuera de los objetivos deesta asignatura.

Teorema 3.27 (del rango constante). Sean A un abierto de Rn y f :A → Rm una aplicaciónde clase C k y tal que el rango de f ′(x) es r en cada punto x en un entorno de x0 ∈ A. Existenentonces un entorno abierto U de x0, un entorno abierto V de f(x0) y difeomorfismos declase C k,

ϕ:U → ϕ(U) ⊂ Rn, ψ:V → ψ(V ) ⊂ Rm,

tales que para cada x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ ϕ(U) se tiene que

ψ f ϕ−1(x1, x2, . . . , xr, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xr, 0, . . . , 0).

Ejercicios

3.1 Se considera la aplicación f :R2 → R2 definida por

f(x, y) =(e2 x − ey, ey

).

I) Determinar el conjunto imagen f(R2).

II) Probar que f es inyectiva y obtener explícitamente la aplicación inversa f−1.

III) Comprobar que las matrices jacobianas de f y f−1 en puntos correspondientes son in-versas una de la otra.



3.2 Se consideran las aplicaciones f , g:R3 → R3 definidas por

f(x, y, z) = (x y z, x y + x z + y z, x),

g(x, y, z) =(x cos(y) cos(z), x cos(y) sen(z), x sen(y)

).

Determinar los puntos de R3 donde f g admite inversa diferenciable.

3.3 Se consideran el abierto A = (x, y) ∈ R2 : x > 0 ⊂ R2 y la aplicación f :A→ R2 dada por

f(x, y) =(x4 + y4

x, sen(x) + cos(x)

).

I) ¿Es f inyectiva en A?

II) Determinar los puntos a de A para los que existe un entorno suyo donde f admite inversade clase C 1 y calcular la matriz jacobiana de f−1 en f(a).

3.4 Sean g1 y g2 dos funciones de R2 en R, de clase C 1 y tales que:

g1(0, y) 6= 0, para cada y ∈ R, y g2(x, 0) 6= 0, para cada x ∈ R.

Se define f : R2 → R2 por

f(x, y) =(x g1

(x, g2(x, y)

), y g2

(g1(x, y), y

)).

Probar que f es diferenciable y calcular f ′. Deducir que f es inyectiva en un entorno de (0, 0).

3.5 Sea ϕ la función de R3 en R3 definida por

ϕ(x, y, z) = (x2 + y2, x2 − y2, z2).I) Determinar los puntos de R3 para los cuáles existe un entorno suyo en el que la aplicaciónϕ es inyectiva.

II) Sean U = (x, y, z) ∈ R3 : x > 0, y > 0, z < 0 y V = (u, v, w) ∈ R3 : u > |v|, w > 0. Probarque ϕ es un difeomorfismo de U sobre V .

3.6 Sean U un abierto conexo de R2 y h = (h1, h2):U → R2 una función cuyo jacobiano nose anula en ningún punto de U . Sean f, g:R → R funciones diferenciables, y φ:R2 → R unafunción diferenciable cuyas derivadas parciales no se anulan en ningún punto. Supongamosademás que

φ(f(u), g(v)) = 0 para todo (u, v) ∈ h(U) .

Probar que f es constante en h1(U) y g es constante en h2(U).

Considerar h1(x, y) = cos(xy) , h2(x, y) = sen(xy) , f(u) = u2, g(v) = v2, φ(α, β) = α + β − 1 .¿Qué ocurre en este ejemplo en relación con lo anterior?

3.7 Sean U un abierto de Rn y f una función real de clase C 2 en U . Se dice que un puntocrítico x de f es no degenerado si el determinante hessiano de f en x, detHf(x), es distintode cero. Demostrar que si x es un punto crítico no degenerado de f , existe un entorno V dex tal que V no contiene más puntos críticos de f que x.

3.8 Sea f :Rn → Rn una aplicación de clase C 1 y contractiva. Se define la función g de Rn enRn por g(x) = x+ f(x).

I) Probar que g es inyectiva y que el determinante jacobiano de g es no nulo en todo punto.

II) Probar que la imagen de g es un conjunto abierto y cerrado. Concluir que g es un difeo-morfismo de Rn en Rn.

3.9 Se consideran V = R2 \ (0, 0), (1, 0), (−1, 0) y la aplicación f de V en R2 dada por

f(x, y) =

(x(1 +

1

x2 + y2

), y(1− 1

x2 + y2

)).

Demostrar que f admite inversa en un entorno de cada punto de su dominio de definición.¿Admite inversa globalmente?


Ejercicios 49

3.10 A partir del teorema de las funciones implícitas deducir como corolario el teorema de lasfunciones inversas; en otras palabras, comprobar que ambos enunciados son equivalentes.

Sugerencia: La relación y = f(x), x ∈ A ⊂ Rn, y ∈ Rn se escribe también F (x,y) = f(x)− y, siendoF una aplicación definida de A× Rn a valores en Rn.

3.11 Comprobar que la función definida en R por

f(0) = 0 ; f(x) = x+ 2x2 sen(1/x

), x 6= 0 ,

es derivable en todo punto y que en cualquier entorno del origen posee infinitos extremosrelativos. Conclúyase que en el teorema de las funciones inversas no se puede relajar lahipótesis de continuidad de las derivadas en un entorno del punto.

3.12 Comprobar que las siguientes aplicaciones son de clase C∞, calcular el determinantejacobiano en cada punto y determinar abiertos en los que definan difeomorfismos:

I) Coordenadas polares en R2: (r, θ) ∈ R2 7→ ϕ(r, θ) =(r cos(θ), r sen(θ)

)

II) Coordenadas cilíndricas en R3: (r, θ, z) ∈ R3 7→ ϕ(r, θ, z) =(r cos(θ), r sen(θ), z

)

III) Coordenadas esféricas en R3:

(r, θ, φ) ∈ R3 7→ ϕ(r, θ, φ) =(r cos(θ) cos(φ), r sen(θ) cos(φ), r sen(φ)

).

3.13 Sean U = (0,∞)× (0,∞) y ϕ:U → U la aplicación definida por

(u, v) = ϕ(x, y) =(x, y/x

).

I) Probar ϕ es un difeomorfismo de U sobre U .

II) Si f es una función derivable en U que satisface la ecuación diferencial

x∂f

∂x+ y

∂f

∂y= f, (3.5)

probar que para la función g = f ϕ−1 se tiene que

u∂g

∂u= g.

III) Encontrar todas las funciones derivables en U que verifican (3.5).

3.14 Realizando un cambio a coordenadas polares, encontrar una función real f , no nula, yde clase C 1 en un abierto A de R2 tal que

x∂f

∂y(x, y)− y ∂f

∂x(x, y) = f(x, y) para todo (x, y) ∈ A.

3.15 Sea V = (a, b) × (c, d) un abierto de R2 (acotado o no). Probar que si f es una funciónreal de clase C 2 en V y verifica que

∂2f

∂x∂y(x, y) = 0 para todo (x, y) ∈ V,

entonces existen dos funciones F : (a, b)→ R y G: (c, d)→ R de clase C 2 tales que

f(x, y) = F (x) +G(y) para todo (x, y) ∈ V.

3.16 Sea f una función de clase C 2 en R2 que satisface la ecuación de ondas:

∂2f

∂t2(x, t) = a2

∂2f

∂x2(x, t), a 6= 0.

Si Φ es la aplicación lineal de R2 en R2 dada por (x, t) = Φ(ξ, η) =(ξ + η

2,ξ − η2a

)y se define

g = f Φ, probar que g verifica∂2g

∂ξ∂η(ξ, η) = 0.

Concluir que f(x, t) = F (x+ at) +G(x− at) para ciertas funciones F,G ∈ C 2(R).



3.17 Sean a y b números reales, con a 6= b. Resolver la ecuación

∂2f

∂u2− (a+ b)

∂2f

∂u∂v+ ab

∂2f

∂v2= 0

transformándola en la ecuación∂2f

∂x∂y= 0

mediante el uso de las variables x, y determinadas por las relaciones x = v + au, y = v + bu.

3.18 Demostrar que la relaciónx3 + y3 − 3xy − 1 = 0

define, en un entorno de 0 ∈ R, una función implícita y = ϕ(x) con ϕ(0) = 1.

Determinar el desarrollo de Taylor de orden 3 en el punto 0 de la función ϕ.

3.19 Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto (1, 1) de la función z definidaimplícitamente en un entorno de dicho punto por la ecuación

z15 + y2z2 − xy7 − x8 = 0,

con z(1, 1) = 1.

3.20 Sea f :R→ R de clase C 1 y tal que f(0) = 0 f ′(0) = −2 . Demostrar que la relación

y − z x = f(z)

define en un entorno del punto (1, 0) una función implícita z = z(x, y) con z(1, 0) = 0.

Probar que existe un entorno W de dicho punto donde se verifica que

∂z

∂x(x, y) + z(x, y)

∂z

∂y(x, y) = 0, (x, y) ∈W.

3.21 Sea α y β números reales. Comprobar que la ecuación

sen(αx+ β y + z) ez = 0

define una función implícita zαβ = zαβ(x, y) en un entorno del punto (0, 0) con zαβ(0, 0) = 0.

Determinar los valores de α y β para los que se verifica que

∂zαβ∂x

(0, 0) = 3 y∂zαβ∂y

(0, 0) = −3.

3.22 Sea ϕ una función de clase C∞ en R con ϕ(1) 6= 0. Se define

F (x, y, z) =

∫ ez

xy

ϕ(t)dt, (x, y, z) ∈ R3.

Demostrar que, en un entorno del punto (1, 1, 0), la ecuación F (x, y, z) = 0 define una funciónimplícita z = z(x, y) de clase C∞.

Determinar el polinomio de Taylor de orden 2 de la función z en el punto (1, 1).

3.23 Probar que la ecuación

(y − 1)2 + x2 + eyz = (z − 1)2

define una función implícita z = z(x, y) en un entorno del punto (0, 1) con z(0, 1) = 0.

Demostrar que la función z presenta un máximo relativo en dicho punto.

3.24 En el abierto R2 × (0,∞) se considera la ecuación

ezx2

+ log(x2 + y2 + z) = 1.

Comprobar que dicha relación define una función implícita z = z(x, y) de clase C∞ en unabola abierta centrada en (0, 0) y tal que z(0, 0) = 1.

¿Presenta z(x, y) algún extremo local en (0, 0)?


Ejercicios 51

3.25 Comprobar que la ecuación

x+ y + z + cos(xyz) = 1

define a z como función implícita z = ϕ(x, y), de clase C∞, en un entorno del punto (0, 0), conϕ(0, 0) = 0, y demostrar que

lım(x,y)→(0,0)

z(x, y) + x+ y

x2 + y2= 0.

3.26 Demostrar que el sistema de ecuaciones

x z3 + y u+ 2x = 1

2x y3 + u2z + 2 y = 2

define funciones implícitas x = x(z, u) , y = y(z, u) en un entorno del punto (0, 1) , conx(0, 1) = 0 , y(0, 1) = 1 .

Demostrar que la aplicación ϕ(z, u) =(x(z, u), y(z, u)

)admite inversa diferenciable en un

entorno de (0, 1) .

3.27 Comprobar que el sistema de ecuaciones

x y2 + x z u+ y v2 = 3

u3y z + z x v − u2v2 = 1

define, en un entorno del punto (1, 1, 1), funciones implícitas u = u(x, y, z), v = v(x, y, z), con

u(1, 1, 1) = 1, v(1, 1, 1) = 1. Calcular∂v

∂y(1, 1, 1).

3.28 Demostrar que el sistema

sen(z) +(1 + x2

)y+ z + u− 2 y + 1 = 0

2x3 + u y − z = 0

define funciones implícitas de clase C∞, z = z(x, y), u = u(x, y) en un entorno del punto (0, 1),con z(0, 1) = 0, u(0, 1) = 0.

Calcular los polinomios de Taylor de orden 2 de las funciones z y u en el punto (0, 1).

3.29 Determinar los valores de a para los cuáles el sistema de ecuacionescos(axz)− y w = 0

x2 + eayz − w = 1

define funciones implícitas z = ϕ1(x, y) , w = ϕ2(x, y) , de clase C∞ en un abierto U quecontiene al punto x0 = (1, 1), tales que ϕ1(1, 1) = 0 y ϕ2(1, 1) = 1 .

Para esos valores de a estudiar si la aplicación ϕ = (ϕ1, ϕ2):U → R2 admite inversadiferenciable en un entorno de x0.

3.30 Comprobar que el sistema de ecuaciones

3x+ 2 y + z2 + u+ v2 = 0

4x+ 3 y + z + u2 + v + w + 2 = 0

x+ z + u2 + w + 2 = 0

define a (u, v, w) como funciones implícitas de (x, y, z), de clase C∞ en un entorno del punto(x0, y0, z0) = (0, 0, 0), y con u(0, 0, 0) = 0, v(0, 0, 0) = 0, w(0, 0, 0) = −2 .

Calcular∂u

∂x(0, 0, 0),

∂v

∂y(0, 0, 0) y

∂w

∂z(0, 0, 0).

3.31 Se considera el sistema de ecuacionesy2z + exz + cos(xy) = 3,

yz2 + exy + sen(xz) = 2.



I) Probar que dicho sistema define funciones implícitas y = ϕ1(x), z = ϕ2(x) de clase C∞

en un entorno de 0 ∈ R, con ϕ1(0) = 1, ϕ2(0) = 1.

II) Estudiar si la función h, definida en un entorno de 0 por

h(x) = x+ ϕ1(x) + ϕ2(x),

presenta un extremo relativo en 0. En caso afirmativo, indicar si es máximo o mínimo.

3.32 Sean f y g dos funciones de clase C 2 en R. Se supone que g′(0) = 0 y g′′(0) 6= 0.

I) Comprobar que la relaciónx+ yf ′(z) + g′(z) = 0

define una función implícita z = z(x, y) de clase C 1 en una bola U centrada en (0, 0) y talque z(0, 0) = 0.

II) Se considera la función F definida en U por

F (x, y) = x z(x, y) + y f(z(x, y)

)+ g

(z(x, y)

).

Demostrar que F es de clase C 2 en U y determinar el polinomio de Taylor de orden 2 de Fen (0, 0).

III) Comprobar que en U se verifica la siguiente igualdad:

∂2F

∂x2∂2F

∂y2=

(∂2F

∂x∂y

)2

.

3.33 Sean f1 y f2 las funciones definidas en (x, y, z, w) ∈ R4 : z < 0 por

f1(x, y, z, w) = 3x2 z + 6w y2 + 3 ; f2(x, y, z, w) = xw − 4y

z− 8 .

I) Probar que el sistema de ecuaciones(f1(x, y, z, w), f2(x, y, z, w)

)= (0, 0) define funciones

implícitas x(z, w) e y(z, w) , de clase C∞ en un entorno U del punto (z0, w0) = (−1, 0) , ycon x(−1, 0) = 1, y(−1, 0) = 2 .

II) Sea g:U → R2 la aplicación definida por g(z, w) =(x(z, w), y(z, w)

). Estudiar si g admite

inversa diferenciable en un entorno de (z0, w0) = (−1, 0) . En caso afirmativo calcularJg−1(1, 2).

III) Calcular∂2x

∂z2(−1, 0) .

3.34 Consideremos la familia de polinomios Ptt∈R , en la variable x, y cuyos coeficientesson funciones de t ∈ R, definidos por:

Pt(x) = x4 − (1 + t)x3 − cos(t)x2 + (1 + t) .

I) Comprobar que para t próximo a t0 = 0 el polinomio Pt tiene una raíz próxima a x0 = 1, ala que denotaremos x(t).

II) Para precisar la idea de proximidad del apartado anterior, estimar |x(t) − 1| (el error quese comete al sustituir la raíz x(t) por x0 = 1) cuando t tiende hacia 0.

Tema 4

Sucesiones y series funcionales

El lector ya ha tratado el problema de dar sentido preciso al concepto de suma infinitaal tratar las series numéricas. El problema que aquí abordamos es similar y generaliza loanterior: los objetos a sumar son ahora funciones en lugar de números. Las propiedadesenunciadas para funciones (continuidad, derivabilidad, etc.) suscitan de forma natural nue-vos problemas; por ejemplo, la suma finita de funciones continuas es una función continua,pero ¿qué se puede decir acerca de la suma de una serie de funciones continuas?

El objetivo principal de este tema consiste, por tanto, en el estudio de las propiedades decontinuidad, derivabilidad e integrabilidad en los procesos de paso al límite. Los resultadosque se exponen, además del interés que tienen por sí mismos, aportan la herramienta necesa-ria para el estudio de las series de potencias o el de las series trigonométricas, protagonistasdel Análisis de Fourier.

4.1. Sucesiones de funciones. Modos de convergencia

Definición 4.1. Sea X un conjunto no vacío. Se denota por F (X,R) el espacio vectorial delas funciones de X en R .

Una sucesión de funciones reales en X es una sucesión de elementos de F (X,R) .

La notación y terminología general de sucesiones se aplica igualmente en este caso, asíque la forma usual de denotar una sucesión de funciones es fn∞n=1 .

Dar una sucesión de funciones en el conjunto X es dar, para cada x ∈ X, una sucesiónnumérica; los conceptos relativos a estas últimas dan lugar a los que a continuación sepresentan.

Definición 4.2. Se dice que una sucesión fn∞n=1 de funciones reales en X es puntualmente

acotada si la sucesión numérica fn(x)∞n=1 es acotada para cada x ∈ X.

Análogamente se definen las sucesiones de funciones reales puntualmente acotadas su-perior o inferiormente.

Una sucesión fn∞n=1 de funciones reales en X es uniformemente acotada o totalmente

acotada si existe una constante M ≥ 0 tal que∣∣fn(x)

∣∣ ≤M para todos x ∈ X y n ∈ N .

Observación 4.3. El adjetivo “uniforme” se usa de nuevo en el sentido de generalidad, con-cretamente: la acotación es independiente del punto x ∈ X.

Resulta evidente de la definición que toda sucesión uniformemente acotada es puntual-mente acotada, pero el recíproco no es cierto, es decir, una sucesión puede ser puntualmenteacotada sin ser uniformemente acotada. Basta considerar la sucesión de funciones realesdefinidas en R por fn(x) = x/n , n ∈ N .

Definición 4.4. Se dice que una sucesión fn∞n=1 de funciones reales en X es monótona

creciente (resp. decreciente) si fn(x) ≤ fn+1(x) (resp. fn(x) ≥ fn+1(x)) para todo x ∈ X y todon ∈ N .

53

54 Tema 4. Sucesiones y series funcionales

Definición 4.5. Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones reales en el conjunto X. Se dice quela sucesión es puntualmente convergente si para cada x ∈ X la sucesión numérica fn(x)∞n=1

es convergente. En este caso la función f definida en X por

f(x) = lımn→∞

fn(x) , x ∈ X,

se denomina límite puntual de la sucesión fn∞n=1.

Definición 4.6. Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones reales en el conjunto X. Se diceque la sucesión es uniformemente convergente si existe una función f en X verificando lasiguiente propiedad:

“Para cada número real ε > 0 existe un número natural n0 (que depende de ε ) tal quepara todo número natural n ≥ n0 se tiene que

∣∣fn(x)− f(x)∣∣ < ε para cada x ∈ X”.

Observación 4.7. No es difícil comprobar que, si la sucesión fn∞n=1 es uniformemente con-vergente, entonces es puntualmente convergente y la función f de la definición anterior esprecisamente el límite puntual de la sucesión.

Proposición 4.8. Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones reales en un conjunto X.

I) Si fn∞n=1 es puntualmente convergente entonces está puntualmente acotada.

II) Si la sucesión fn∞n=1 es de funciones acotadas en X y es uniformemente convergente,entonces el límite puntual f es una función acotada y la sucesión está uniformementeacotada.

Proposición 4.9. Sean fn∞n=1 y gn∞n=1 dos sucesiones de funciones en un mismo con-junto X, que convergen uniformemente en X hacia las funciones f y g, respectivamente.

I) La sucesión fn + gn∞n=1 converge uniformemente hacia f + g en X.

II) Si, además, ambas sucesiones están uniformemente acotadas en X, entonces fn gn∞n=1

converge uniformemente en X hacia f g .

Observaciones 4.10.

I) Si se suprime la hipótesis de acotación uniforme sólo se puede garantizar, a priori, laconvergencia puntual de fn gn∞n=1; considérense, como contraejemplo, las sucesionesde funciones reales definidas en (0, 1) por fn(x) = x+ 1/n ; gn(x) = 1/x .

II) Es fácil comprobar que fn∞n=1 converge uniformemente hacia f si, y sólo si, fn− f∞n=1

converge uniformemente hacia 0. Esto proporciona el siguiente criterio de convergenciauniforme de uso habitual en la práctica.

Proposición 4.11. Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones reales que converge puntualmen-te en un conjunto X hacia la función f . Para cada n ∈ N se define

mn = sup|fn(x)− f(x)| : x ∈ X

,

con el convenio de que mn = ∞ si el conjunto|fn(x) − f(x)| : x ∈ X

no es acotado. Son

equivalentes los siguientes asertos:

a) La sucesión fn∞n=1 converge uniformemente en X hacia f .

b) Existe un n0 ∈ N tal que mn ∈ R para cada n ≥ n0 y la sucesión de números realesmn∞n=n0

converge hacia 0 .

Corolario 4.12. Con la notación de la proposición anterior, si existe una sucesión µn∞n=1

de números reales convergente hacia 0 y tal que, para cada n ∈ N , se tiene que

|fn(x)− f(x)| ≤ µn para todo x ∈ X,entonces la sucesión fn∞n=1 converge uniformemente en X hacia f .


4.2. Series de funciones 55

La condición de convergencia uniforme se puede dar, como sucede para sucesiones numé-ricas, evitando la mención de la función límite. Independientemente de cual sea el conjuntoX, la clave está en la completitud del espacio de llegada.

Definición 4.13. Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones reales en el conjunto X. Se diceque la sucesión es uniformemente de Cauchy en X si verifica la siguiente propiedad:

“Para cada número real ε > 0 existe un número natural n0 (que depende de ε) tal que paracada par de números naturales n,m ≥ n0 se tiene que

∣∣fn(x)− fm(x)∣∣ < ε para cada x ∈ X”.

Proposición 4.14 (Criterio de convergencia uniforme de Cauchy). Una sucesión de fun-ciones reales en el conjunto X es uniformemente convergente en X si, y sólo si, es unifor-memente de Cauchy en X.

Observación 4.15. Estamos tratando sólo el caso de funciones reales, pero no hay ningunadificultad en extender la mayor parte de las definiciones y propiedades al caso de aplicacionesa valores en Rk, en general en un espacio normado, o para funciones complejas. Únicamentecarecen de sentido aquellos conceptos enunciados en términos de la relación de orden en R,como la monotonía.

Ahora bien, en el caso de aplicaciones f = (f1, f2, . . . , fk) definidas en subconjuntos de Rm

con llegada en Rk, es suficiente el contexto en el que estamos trabajando pues, a tenor delo expuesto en los dos primeros temas, las nociones y propiedades de límites, continuidad yderivabilidad para f se reducen a los correspondientes sobre las funciones componentes fi.

La mera convergencia puntual de una sucesión de funciones continuas no garantiza nadaacerca del límite. Sin embargo, bajo la condición de convergencia uniforme la función límitehereda el carácter continuo de la sucesión. Aunque admite una formulación más general enespacios métricos, el teorema siguiente concreta esta aseveración en el caso de funcionesreales definidas en subconjuntos de Rm, lo que es suficiente para nuestros propósitos.

Teorema 4.16 (Continuidad del límite puntual uniforme). Sean X un subconjunto de Rm

y fn∞n=1 una sucesión de funciones que converge uniformemente en X hacia la función f .Si x0 ∈ X es tal que fn es continua en x0 para cada n ∈ N, entonces f es continua en x0.

En consecuencia, si fn es continua en X para cada n ∈ N, la función límite f es continuaen X.

A modo de recíproco, el teorema de Dini, que también es válido en el ámbito de los espaciosmétricos, establece la convergencia uniforme bajo condiciones de monotonía.

Teorema 4.17 (de Dini). Sean X un subconjunto compacto de Rm y fn∞n=1 una sucesiónmonótona de funciones reales y continuas en X, que converge puntualmente en X hacia unafunción continua f . Entonces fn∞n=1 converge uniformemente en X hacia f .

4.2. Series de funciones

Comencemos recordando que una serie numérica no es otra cosa que una sucesión, lade sumas parciales, construida a partir de otra sucesión, la de sus términos de la serie.En consecuencia todo lo que se ha expuesto en la sección anterior tiene su correspondientetraducción al caso de sumas parciales de sucesiones de funciones. Pero, como sucede en elcaso de series numéricas, existen ciertas peculiaridades que motivan este estudio aparte.

Definición 4.18. Dada una sucesión fn∞n=1 de funciones reales en un conjunto no vacíoX, se denomina serie de término general fn a la sucesión Sn∞n=1 definida por

Sn = f1 + f2 + . . .+ fn =

n∑

j=1

fj , n = 1, 2, . . .

Sn recibe el nombre de suma parcial n-ésima y fn se denomina término n-ésimo de la serie.

Es usual representar una serie de término general fn de forma abreviada por∞∑n=1

fn .



Las nociones de acotación y convergencia, tanto puntual como uniforme, para una seriede funciones son obvias: las que se refieren a la sucesión funcional de las sumas parciales.En particular:

Definición 4.19. Una serie de funciones∞∑n=1

fn en un conjunto X es puntualmente conver-

gente si la sucesión Sn∞n=1 de sumas parciales de la misma es puntualmente convergenteen X. En este caso la función f definida en X por

f(x) = lımn→∞

Sn(x)

se denomina función suma de la serie y se suele denotar también, en un abuso de notación,

por f =∞∑n=1

fn, esto es,

f(x) =

∞∑

n=1

fn(x) , x ∈ X.

Observaciones 4.20.

I) De la teoría general de series numéricas convergentes se deduce que, si una serie defunciones es puntualmente convergente, entonces el término general ha de convergerpuntualmente hacia 0. Pero esta condición no es suficiente para la convergencia puntualde la serie.

II) Además de lo dicho en general para sucesiones funcionales, aparecen ahora nuevas no-ciones de convergencia, relacionadas con la convergencia absoluta de series numéricas.

Definición 4.21. Dada una serie de funciones∞∑n=1

fn en un conjunto X, si la serie∞∑n=1|fn| es

puntualmente convergente en X se dice que la serie original es absolutamente convergente

(de forma puntual) en X.

Obviamente, toda serie absolutamente convergente es puntualmente convergente.En cuanto a la convergencia uniforme, el criterio de Cauchy se traduce de forma obvia

para series de funciones:

Proposición 4.22 (Criterio de convergencia uniforme de Cauchy). Sea∞∑n=1

fn una serie

de funciones en un conjunto X. Es condición necesaria y suficiente para que la serie seauniformemente convergente en X que se verifique la siguiente propiedad:

“Para cada número real ε > 0 existe un número natural n0 (que depende de ε) tal que paracada par de números naturales p y q con p > q ≥ n0 se tiene que

∣∣Sp(x)− Sq(x)∣∣ =

∣∣fq+1(x) + . . .+ fp(x)∣∣ < ε para todo x ∈ X”.

Definición 4.23. Sea∞∑n=1

fn una serie de funciones en un conjunto X. Se dice que la serie

converge normalmente en X si existe una serie convergente de números reales no negativos∞∑n=1

mn tal que para todo n ∈ N se tiene que

∣∣fn(x)∣∣ ≤ mn para cada x ∈ X.

Observación 4.24. La convergencia normal o en norma se denomina así por la siguienterazón: si en el espacio vectorial B(X,R) de las funciones definidas en X a valores reales yacotadas se considera

‖f‖∞ = sup|f(x)| : x ∈ X

,

entonces ‖ · ‖∞ es realmente una norma en B(X,R) .

El modo de convergencia normal es más fuerte que los otros mencionados, explícitamente:


4.2. Series de funciones 57

Proposición 4.25 (Criterio de Weierstrass). Sea∞∑n=1

fn una serie de funciones reales en

el conjunto X. Si la serie converge normalmente en X, entonces converge absolutamente yuniformemente en X.

Como corolario inmediato del teorema 4.16 tenemos el siguiente resultado.

Teorema 4.26 (Continuidad de la suma uniforme). Sean X un subconjunto de Rm y∞∑n=1

fn

una serie de funciones que converge uniformemente en X hacia la función f . Si x0 ∈ X estal que fn es continua en x0 para cada n ∈ N, entonces f es continua en x0.

En consecuencia, si fn es continua en X para cada n ∈ N, la función suma∞∑n=1

fn es

continua en X.

Observación 4.27. Existen series funcionales uniformemente convergentes que no son nor-malmente convergentes. Al igual que sucede para series numéricas, el tratamiento de lasseries funcionales cuyos términos toman valores de signo arbitrario y no son normalmenteconvergentes requiere un estudio particular en cada caso.

Los resultados siguientes, que se deducen a partir de la fórmula de Abel, dan condicionessuficientes para la convergencia uniforme de una serie de funciones.

Lema 4.28 (Fórmula de sumación por partes de Abel). Sean an∞n=1 y bn∞n=1 dos suce-siones de números reales. Pongamos

S0 = 0 ; Sn = a1 + a2 + . . .+ an =

n∑

k=1

ak , n ∈ N .

Entonces, para cada par de números naturales p y q , con p > q ≥ 1 , se verifica la identidadp∑

k=q

ak bk = Sp bp+1 − Sq−1 bq +

p∑

k=q

Sk (bk − bk+1) .

Proposición 4.29 (Criterio de Abel). Sean fn∞n=1, gn∞n=1 sucesiones de funciones en unconjunto X. Se supone que:

I) La serie∞∑n=1

fn converge uniformemente en X.

II) La sucesión gn∞n=1 es monótona y uniformemente acotada en X.

Entonces la serie∞∑n=1

fn gn converge uniformemente en X.

Proposición 4.30 (Criterio de Dirichlet). Sean fn∞n=1, gn∞n=1 sucesiones de funciones enun conjunto X. Se supone que:

I) La sucesión de sumas parciales de la serie∞∑n=1

fn está uniformemente acotada en X.

II) La sucesión gn∞n=1 es monótona decreciente y converge uniformemente hacia 0 en X.


fn gn converge uniformemente en X.

Corolario 4.31 (Criterio de Leibniz para series alternadas). Sea fn∞n=1 una sucesión defunciones reales en el conjunto X. Si fn∞n=1 es monótona decreciente y converge uniforme-

mente hacia 0 en X, entonces la serie∞∑n=1

(−1)nfn converge uniformemente en X.



4.3. Sucesiones y series de funciones de variable real

Prestamos ahora atención a las propiedades de derivación e integración en el sentido deRiemann para funciones definidas en intervalos de la recta. El objetivo es precisar condicio-nes bajo las cuales la función límite herede estas propiedades de los términos de la sucesión.

Teorema 4.32 (Derivabilidad del límite puntual). Sean I un intervalo abierto de R yfn∞n=1 una sucesión de funciones derivables en I. Se supone que:

I) La sucesión de derivadas fn′∞n=1 converge uniformemente en los subintervalos com-pactos de I hacia una función g .

II) Existe un x0 ∈ I tal que la sucesión numérica fn(x0)∞n=1 es convergente.

Entonces la sucesión fn∞n=1 converge uniformemente en los compactos de I hacia unafunción f que es derivable en I . Además,

f ′(x) = g(x) para cada x ∈ I .

Corolario 4.33 (Derivabilidad de la función suma). Sean I un intervalo abierto de R y∞∑n=1

fn una serie de funciones derivables en I . Se supone que:

I) La serie de las derivadas∞∑n=1

fn′ converge uniformemente en los compactos de I.

II) Existe un x0 ∈ I tal que la serie numérica∞∑n=1

fn(x0) es convergente.


fn converge uniformemente en los compactos de I. Además,

( ∞∑

n=1

fn

)′

(x) =

∞∑

n=1

fn′(x) para cada x ∈ I .

Observaciones 4.34.

I) La última igualdad establece que, en las condiciones señaladas, la derivada de la sumaes la suma de las derivadas, igual que en el caso finito.

II) La segunda hipótesis del teorema 4.32 (resp. de 4.33) es esencial para poder garantizar

la convergencia puntual de fn∞n=1 (resp. de∞∑n=1

fn). Como contraejemplo, considérese la

sucesión de funciones definidas en R por

fn(x) = (−1)n .Resulta que fn

′ ≡ 0 para todo n ∈ N, pero fn∞n=1 no converge en ningún punto.

Teorema 4.35 (Integrabilidad del límite puntual). Sea fn∞n=1 una sucesión de funcionesintegrables (en el sentido de Riemann) en el intervalo [a, b], que converge uniformemente en[a, b] hacia una función f . Entonces:

I) f es integrable en [a, b].

II) Si se consideran las funciones definidas en [a, b] por

F (x) =

∫ x

a

f ; Fn(x) =

∫ x

a

fn , n ∈ N ,

la sucesión de funciones Fn∞n=1 converge uniformemente en [a, b] hacia F . En particular,∫ b

a

f = lımn→∞

∫ b

a

fn .

Observación 4.36. Algunos autores definen función integrable en el sentido de Riemanncomo aquélla que es límite uniforme de funciones escalonadas en el correspondiente intervalocompacto [a, b]. El teorema anterior establece la equivalencia entre esta construcción de laintegral y la original de Riemann.


4.4. Aproximación de funciones continuas 59

Corolario 4.37 (Integrabilidad de la función suma). Sea∞∑n=1

fn una serie de funciones inte-

grables en el intervalo [a, b], que converge uniformemente en [a, b]. Entonces:

I) La función suma es integrable en [a, b].

II) Si se consideran las funciones definidas en [a, b] por

F (x) =

∫ x

a

( ∞∑

n=1

fn

); Fn(x) =

∫ x

a

fn ,

la serie de funciones∞∑n=1

Fn converge uniformemente en [a, b] hacia F . En particular,

∫ b

a

( ∞∑

n=1

fn

)=

∞∑

n=1

∫ b

a

fn .

Corolario 4.38. Sea∞∑n=1

fn una serie de funciones integrables en el intervalo [a, b], que con-

verge normalmente en [a, b]. Entonces la función suma es integrable en [a, b]; además∣∣∣∣∫ b

a

( ∞∑

n=1

fn

)∣∣∣∣ ≤∞∑

n=1

∫ b

a

|fn| .

Observación 4.39. El teorema 4.35 y el corolario 4.37 admiten una generalización al casode funciones de varias variables reales. Ahora bien, la teoría de Lebesgue, que abordamosen posteriores temas, proporciona una herramienta mucho más potente que la teoría deRiemann y, en particular, este tipo de teoremas de paso al límite bajo el signo integral seenuncian bajo condiciones menos restrictivas que la de la convergencia uniforme.

4.4. Aproximación de funciones continuas

A tenor de los resultados precedentes, es posible obtener información sobre las propieda-des de una función f a partir de las de los términos de una sucesión fn∞n=1 que convergehacia ella. Ahora, a modo de recíproco, nos planteamos si es posible elegir las funciones fnde manera que gocen de buenas propiedades y sean “sencillas”, esto proporciona una herra-mienta de razonamiento muy útil. Hablando desde un punto de vista algebraico las funcionesmás sencillas son si duda los polinomios.

Se podría pensar que la fórmula de Taylor da respuesta al planteamiento anterior pero,en primer lugar, requiere de la regularidad de la función, y además la aproximación queproporciona es local (en un entorno del punto). Puede suceder incluso que para una funciónf de clase C∞ en un entorno de x0 los polinomios de Taylor de de f en x0 no converjan haciaf (ver ejercicio 4.29).

Cuando se consideran funciones continuas en conjuntos compactos se obtienen intere-santes propiedades de aproximación. Los siguientes resultados precisan esta afirmación enel caso de funciones definidas en intervalos de la recta.

Definición 4.40. Sea f una función real definida y continua en el intervalo [0, 1]. Para cadan ∈ N se define

Bn(f)(x) =

n∑

k=0

f(k/n

) (nk

)xk (1− x)n−k ,

que se denomina polinomio de Bernstein de orden n asociado a f .

Teorema 4.41 (de Bernstein). Si f : [0, 1] → R es continua, la sucesión de polinomios deBernstein Bn(f)∞n=1 converge uniformemente hacia f en [0, 1].



Teorema 4.42 (de aproximación polinomial, de Weierstrass). Sean I = [a, b] un intervalocompacto de R y f una función continua en I. Existe una sucesión de polinomios Pn∞n=1

que converge uniformemente en I hacia f .En particular, dado ε > 0 existe un polinomio P tal que

∣∣f(x)− P (x)∣∣ < ε para cada x ∈ I.

Definición 4.43. Se denomina polinomio trigonométrico a toda función de la forma

P (t) =

m∑

k=0

(ak cos(k t) + bk sen(k t)

)= a0 +

m∑

k=1

(ak cos(k t) + bk sen(k t)

).

El número natural m es el orden del polinomio P (supuesto que am 6= 0 o bm 6= 0).

Corolario 4.44. Sea f : [−π, π] → R una función continua y par (f(x) = f(−x) , x ∈ [−π, π]).Existe una sucesión de polinomios trigonométricos pares

Pn(t) =

mn∑

k=0

an,k cos(k t) ,

que converge uniformemente en [−π, π] hacia f .

Corolario 4.45. Sea f : [−π, π]→ R una función continua, impar (f(x) = −f(−x) , x ∈ [−π, π]) ytal que f(−π) = 0 = f(π). Existe una sucesión de polinomios trigonométricos impares

Qn(t) =

mn∑

k=1

bn,k sen(k t) ,

que converge uniformemente en [−π, π] hacia f .

Teorema 4.46 (de aproximación trigonométrica, de Weierstrass). Sea f :R → R una fun-ción continua y periódica de periodo 2π. Existe una sucesión de polinomios trigonométricosque converge uniformemente hacia f en R.

4.4.1. Comentarios sobre la generalización del teorema de Weierstrass

Aquí hemos presentado el teorema clásico de Weierstrass 4.42 como consecuencia del deBernstein 4.41, pero este segundo data de los comienzos del siglo XX, mientras que el otro fueprobado por Weierstrass en 1885. Numerosos autores han contribuido con distintas pruebasdel teorema de Weierstrass: Picard (1890), Volterra (1897), Lebesgue (1898), Mittag-Leffler(1900), Landau (1908), Bernstein (1912), Montel (1918), ...

En 1937, Stone presenta una generalización del teorema clásico Weierstrass, basada enél, pero que contempla como dominio de definición de las funciones espacios compactos engeneral, y clases de funciones (álgebras) abstractas.

En realidad la clave del razonamiento de Stone radica en probar que si se pueden apro-ximar dos funciones f y g también pueden aproximarse maxf, g y mınf, g y para ello serequiere sólo de la aproximación uniforme por polinomios de la función t ∈ [−1, 1] 7→

√t2 = |t|.

Por no salir del ámbito de estas notas, enunciamos este resultado en el caso de compactosde Rn, aunque esta restricción no aporte ninguna simplificación en su demostración.

Notación: Dados dos espacios métricos E y F (por ejemplo, subconjuntos de Rn y Rm,respectivamente) se denota por C (E,F ) al espacio vectorial de las funciones continuas de Een F . Si F = R se pone simplemente C (E,R) = C (E).

Si E es compacto, los elementos de C (E) y C (E,C) son funciones acotadas y es posibledotar a este espacio de la norma

‖f‖∞ = max|f(x)| : x ∈ E

,

cuya topología asociada, en virtud de la proposición 4.11, es la de la convergencia uniforme:‖fn − f‖∞ −→

n→∞0, si, y sólo si, fn∞n=1 converge uniformemente hacia f .


Ejercicios 61

Teorema 4.47 (de Stone-Weierstrass). Sea K un subconjunto compacto de Rn. Supongamosque A es una familia de elementos de C (K) que verifica

I) A contiene a las funciones constantes.

II) Si f, g ∈ A y α ∈ R, entonces f + g ∈ A , f g ∈ A y α f ∈ A (A es un álgebra).

III) Si x,y ∈ K, x 6= y, existe g ∈ A tal que g(x) 6= g(y) (A separa puntos).

Entonces, para cada f ∈ C (K) existe una sucesión gn∞n=1 de elementos de A que convergeuniformemente en K hacia f .

Teorema 4.48 (de Stone-Weierstrass, versión compleja). Sea K un subconjunto compactode Rn. Supongamos que A es una familia de elementos de C (K,C) que verifica

I) A contiene a las funciones constantes.

II) Si f, g ∈ A y α ∈ R, entonces f + g ∈ A , f g ∈ A y α f ∈ A .

III) Si x,y ∈ K, x 6= y, existe g ∈ A tal que g(x) 6= g(y).

IV) Si f ∈ A entonces f ∈ A (A es autoadjunta).

Entonces, para cada f ∈ C (K,C) existe una sucesión gn∞n=1 de elementos de A que con-verge uniformemente en K hacia f .

Observación 4.49. En la terminología del Análisis Funcional el teorema de Stone-Weierstrassreza así: “Si A es una subálgebra autoadjunta de C (K,C) que contiene a las constantes ysepara puntos, entonces A es densa en

(C (K,C), ‖ · ‖∞

)”.

Corolario 4.50. Sea K un subconjunto compacto de Rn. Toda función continua en K eslímite uniforme en K de polinomios.

Observación 4.51. Cuando se considera la circunferencia unidad

T = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1 ,que es un compacto de R2, las funciones f ∈ C (T) se identifican con funciones g continuasen R y de periodo 2π mediante la relación

g(t) = f(cos(t), sen(t)

).

La versión trigonométrica del teorema de Weierstrass, el teorema 4.46, es un corolario prác-ticamente inmediato del resultado anterior, pues si P (x, y) es un polinomio en dos variables,entonces Q(t) = P

(cos(t), sen(t)

)es un polinomio trigonométrico.

Ejercicios

4.1 Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las sucesiones de funciones fn∞n=1

siguientes en los conjuntos que se indican:

I) fn(x) = xn , 1. x ∈ [0, 1]; 2. x ∈ [0, 1/2]

II) fn(x) = xn(1− x) , x ∈ [0, 1]

III) fn(x) = nx(1− x2

)n, x ∈ [0, 1]

IV) fn(x) =x

n, 1. x ∈ [a, b]; 2. x ∈ R

V) fn(x) =xn

1 + xn, x ∈ [0, 1]

VI) fn(x) =xn

n+ xn, x ∈ [0, 1]

VII) fn(x) =1

1 + nx2, x ∈ R

VIII) fn(x) =x√n

1 + nx2, x ∈ R



IX) fn(x) = senn(x) , 1. x ∈[− π

4,π4

]; 2. x ∈ R

X) fn(x) =x

1 + nx, x ∈ (0,∞)

XI) fn(x) =x2 + nx

n, x ∈ R

XII) fn(x) =nx

1 + n2x2, x ∈ R

XIII) fn(x) =sen(nx)

1 + n2x2, x ∈ R

XIV) fn(x) =

xn

si 0 ≤ x ≤ n,

1 si x > n.

x ∈ [0,∞)

XV) fn(x) =

nx si 0 ≤ x ≤ 1n

,

1nx

si x >1n

.x ∈ [0,∞)

XVI) fn(x) =n√x , x ∈ [0, 1]

XVII) fn(x) = x e−nx , x ∈ [0,∞)

XVIII) fn(x) = nx e−nx , x ∈ [0,∞)

XIX) fn(x) = n2 x e−nx , x ∈ [0,∞)

XX) fn(x) =ex

xn, x ∈ (1,∞).

4.2 Sea f :R→ R una función uniformemente continua. Para cada n ∈ N se define

fn(x) = f(x+

1

n

), x ∈ R.

Estudiar la convergencia de la sucesión fn∞n=1 .

4.3 Sea f : [a, b] → R derivable. Demostrar que existe una sucesión gn∞n=1 de funcionescontinuas en [a, b] tal que, para cada x ∈ [a, b],

f ′(x) = lımn→∞

gn(x) .

4.4 Sea g una función continua en [0, 1] tal que g(1) = 0. Probar que la sucesión fn∞n=1,definida por

fn(x) = xng(x) , x ∈ [0, 1] ,

es uniformemente convergente en [0, 1].

4.5 Se considera la sucesión fn∞n=1 definida por

fn(x) =2n2 x

(1 + n2x2) log(n+ 1), x ∈ R .

I) Probar que fn∞n=1 converge puntualmente, pero no uniformemente, en R .

II) Probar que si a > 0, entonces fn∞n=1 converge uniformemente en el intervalo [a,∞).

4.6 Estudiar la convergencia puntual y uniforme de la sucesión fn∞n=1 de funciones defini-das en el intervalo [0, 1] por

fn(x) =

n2 x si 0 ≤ x ≤ 1/2n ,

n2(1/n− x

)si 1/2n < x < 1/n ,

0 si 1/n ≤ x ≤ 1 .


Ejercicios 63

4.7 Dada f :R→ R, probar que lımx→∞

f(x) = a si, y sólo si, la sucesión fn∞n=1 definida por

fn(x) = f(x+ n), x ∈ R ,

converge uniformemente en [0,∞) hacia la función con valor constante a.

4.8 Deducir, mediante el estudio de la sucesión de derivadas, que la sucesión de funcionesfn∞n=1, definida por

fn(x) =log(1 + n3x2)

n2,

converge uniformemente en [0, 1].

4.9 Estudiar la convergencia puntual y uniforme en [0, 1] de la sucesión de funciones fn∞n=1

definida por

fn(x) =nx− 1(

1 + x log(n))(1 + nx2 log(n)

) .

4.10

I) Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones que converge uniformemente hacia f en un con-junto A. Probar que, para toda sucesión xn∞n=1 de puntos de A, se tiene que

lımn→∞

|fn(xn)− f(xn)| = 0 .

II) Fijado a > 0 se considera la sucesión de funciones reales fn∞n=1 definida en R por

fn(x) =

(1− a+ a cos

( x√n

))n.

Probar que esta sucesión converge puntualmente, pero no uniformemente, en R.

4.11 Estudiar la convergencia, para x ≥ 0, de la sucesión de funciones fn∞n=1 definida por

fn(x) =n ex + x e−x

n+ x.

Calcular el valor de

lımn→∞

∫ 1

0

(x2 + 1

)fn(x) dx .

4.12 Probar que convergen uniformemente en R las series de funciones siguientes:

I)∞∑

n=1

senn(x)

n5/2

II)∞∑

n=1

1

3ne−n

2x2

III)∞∑

n=0

cos(nx2)

(n+ 1)!.

4.13 Estudiar la convergencia puntual y uniforme en el intervalo [0, 2] de la serie funcional∞∑

n=0

x (1− x)n .

4.14 Probar que la serie funcional∞∑

n=0

enx − 1

2n enx

converge uniformemente en [0,∞) .



4.15 Estudiar la convergencia de la serie de funciones∞∑

n=0

x2

(1 + x2)n

y hallar, donde proceda, el valor de su suma.

4.16 Se considera la serie funcional dada por∞∑

n=1

xn

n (1 + nx2).

Estudiar los dominios de convergencia puntual y uniforme.

4.17 Se consideran las funciones fn : [0,∞)→ R definidas por

fn(x) = x(n2 e−nx − (n− 1)2 e−(n−1)x

), n = 1, 2, . . .

I) Probar que la serie∞∑n=1

fn(x) converge en [0,∞) y hallar su suma.

II) Demostrar que dicha serie no converge uniformemente en [0,∞).

III) Demostrar que, si a > 0, la convergencia de∞∑n=1

fn(x) es uniforme en [a,∞).

4.18 Demostrar que la serie∞∑

n=1

xn (1− x)log(n+ 1)

converge uniformemente en [0, 1], pero no converge normalmente: es decir, si

mn = supxn (1− x)log(n+ 1)

: x ∈ [0, 1], n ∈ N,

la serie∞∑n=1

mn es divergente.

4.19 Demostrar que la serie funcional∞∑

n=1

(−1)n x2 + n

n2

converge uniformemente en cualquier intervalo acotado, pero no converge absolutamente enningún punto de R .

4.20 Estudiar la convergencia puntual en (0,∞) de la serie funcional∞∑

n=1

log(1 + nx)

nxn

(nótese que log(1 + α) ≤ α, para todo α > 0). Probar que la convergencia es uniforme en todointervalo de la forma [ω,∞), con ω > 1.

4.21 Estudiar la convergencia puntual y uniforme en R de la serie de funciones∞∑

n=1

1

(x2 + n)(x2 + n+ 1).

4.22 Probar que converge uniformemente en R la serie funcional∞∑

n=1

sen(n2 x)

n2.

¿Qué puede decirse acerca de la convergencia de la serie derivada?


Ejercicios 65

4.23 Sea∞∑n=1

fn(x) una serie de funciones tal que fn es positiva y continua en [a, b] para todo

n ∈ N. Si la serie converge en [a, b), diverge en x = b y f(x) designa la suma de la serie paracada x ∈ [a, b), probar que lım

x→b−f(x) = +∞.

4.24 Dado α > 0, para cada n ∈ N se define un: [0,∞)→ R por

un(x) =xα

1 + n2 x2.

I) Probar que la serie∞∑n=1

un(x) converge puntualmente en [0,∞), cualquiera que sea α.

II) Demostrar que, para α > 1, la serie converge uniformemente en [0, 1].Sugerencia: Analícense por separado los casos α ≥ 2 y 1 < α < 2.

III) Probar que, para α ≤ 2, la serie converge uniformemente en [1,∞).

4.25 Sea f una función de clase C∞ en un entorno del punto x0 ∈ R. Se supone que existenconstantes M,R > 0 y δ > 0 tales que para cada n ∈ N y cada x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] se verifica que

∣∣f (n)(x)∣∣ ≤M Rn .

Probar que la serie de Taylor de f en x0,∞∑n=0

f (n)(x0)n!

(x− x0)n, converge uniformemente hacia

f en [x0 − δ, x0 + δ].

4.26 Probar las siguientes igualdades y que la suma es uniforme en los compactos

I) ex =∞∑

n=0

xn

n!, x ∈ R.

II) sen(x) =∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

(2n+ 1)!, x ∈ R.

III) cos(x) =

∞∑

n=0

(−1)n x2n

(2n)!, x ∈ R.

4.27 Se considera la función f : [0, 1]→ R dada por

f(x) =−x log(x) si x 6= 0;

0 si x = 0.

I) Demostrar que f es continua en [0, 1] y que 0 ≤ f(x) ≤ 1e

para todo x ∈ [0, 1].

II) Probar que la serie funcional∞∑

n=0

(−x log(x)

)n

n!converge uniformemente en [0, 1].

(Para n = 0 se entiende que f(x)0 ≡ 1.)

III) Demostrar que∫ 1

0

(−x)m log(x)n dx =(−1)n+m n!(m+ 1)n+1

para todos m,n ∈ N.

IV) Hallar la suma de la serie dada en II) y concluir que∫ 1

0

x−x dx =∞∑

n=0

1

(n+ 1)n+1.

4.28 Mediante el estudio de las derivadas de las correspondientes funciones, deduzcánselas siguientes igualdades, probando asimismo que la suma es uniforme en los subconjuntoscompactos del correspondiente abierto de definición.

I) log(1 + x) =

∞∑

n=1

(−1)n+1 xn

n, x ∈ (−1, 1).

II) arctg(x) =

∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

2n+ 1, x ∈ R.



4.29 Se considera la función definida en R por

f(x) =0 si x ≤ 0,e−1/x si x > 0.

I) Demostrar, razonando por inducción sobre el natural n, que para x > 0

f (n)(x) = Pn(1/x) e−1/x, n ∈ N ,

donde Pn es un polinomio de grado 2n.

II) Deducir que f es de clase C∞ en R, pero la serie de Taylor de f en x0 = 0 no representaa f en ningún intervalo del tipo [−δ, δ].

4.30 Demostrar que si x 6= 2 kπ, k ∈ Z, (es decir, sen(x/2

)6= 0) se verifica que

n∑

k=1

sen(k x) =sen

(nx/2

)sen

((n+ 1)x/2

)

sen(x/2

) ,

n∑

k=1

cos(k x) =sen

(nx/2

)cos

((n+ 1)x/2

)

sen(x/2

) .

Deducir que, si 0 < δ < π, las series de funciones∞∑

n=1

sen(nx)

n+ x2y

∞∑

n=1

cos(nx)

n+ x2

son uniformemente convergentes en el intervalo [δ, 2π − δ].

Introducción a las series de Fourier

4.31 Sean a0 ∈ R y an∞n=1, bn∞n=1 sucesiones de números reales tales que las series

numéricas∞∑n=1

an y∞∑n=1

bn son absolutamente convergentes.

I) Probar que la suma de la serie

a02

+∞∑

n=1

(an cos(nx) + bn sen(nx)

)(4.1)

define una función continua f en R .

II) Comprobar que se verifica que

a0 =1

π

∫ π

−π

f(x) dx ; an =1

π

∫ π

−π

f(x) cos(nx) dx , bn =1

π

∫ π

−π

f(x) sen(nx) dx , n ∈ N . (4.2)

III) Si, además, las series∞∑n=1

nan y∞∑n=1

n bn son absolutamente convergentes, demostrar que

f es de clase C 1 en R .

Nota: Una serie del tipo (4.1) se denomina serie trigonométrica. Obviamente sus sumas par-

ciales son polinomios trigonométricos.

Dada una función f de periodo 2π en R e integrable en los intervalos compactos (no necesaria-

mente continua), se denomina serie de Fourier de f a la serie trigonométrica cuyos coeficientes

están dados por las integrales (4.2).

Uno de los problemas más interesantes del Análisis de Fourier es determinar condiciones sufi-

cientes para que la serie de Fourier de una función converja hacia dicha función.

4.32 Sea f una función continua en R y de periodo 2π. Supongamos que Pn∞n=1 es unasucesión de polinomios trigonométricos que converge hacia f uniformemente, y pongamos

Pn(x) =an,02

+

mn∑

k=1

(an,k cos(k x) + bn,k sen(k x)

).

Se conviene que an,k = bn,k = 0 si k > mn. Comprobar que para todo k se tiene que

lımn→∞

an,k = ak =1

π

∫ π

−π

f(x) cos(k x) dx , lımn→∞

bn,k = bk =1

π

∫ π

−π

f(x) sen(k x) dx .


Ejercicios 67

4.33 Sean x0 ∈ (−π, π) y δ > 0 tales que [x0 − δ, x0 + δ] ⊂ (−π, π). Se define el polinomiotrigonométrico

Q(x) = 1− cos(δ) + cos(x− x0) ,y para cada n ∈ N el polinomio Pn(x) =

(Q(x)

)n=

(1− cos(δ) + cos(x− x0)

)n.

I) Comprobar que

∗ Q(x) ≥ 1 para todo x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] ;

∗ Q(x) ≥ Q(x0 + δ/2 ) > 1 si x ∈ [x0 − δ/2 , x0 + δ/2 ] ;

∗∣∣Q(x)

∣∣ ≤ 1 para cada x ∈ [−π, x0 − δ] ∪ [x0 + δ, π] .

II) Supongamos que h: [−π, π]→ R es acotada, integrable en el sentido de Riemann, continuaen el punto x0 ∈ (−π, π) y con h(x0) > 0. Elíjase además δ > 0 suficientemente pequeñode manera que h(x) > 0 siempre que |x − x0| < δ . Demostrar que si Q y Pn se defienencomo antes, en términos de estos valores de x0 y δ, entonces

lımn→∞

∫ π

−π

h(x)Pn(x) dx =∞ .

4.34 (Teorema de unicidad) Sea f una función real, definida y continua en R, de periodo2π, y tal que son nulos todos sus coeficientes de Fourier. Probar que entonces debe ser f = 0.

Dicho de otra forma, dos funciones continuas y 2π-periódicas en R con la misma serie deFourier han de ser iguales.

4.35 Sea f una función continua en R y de periodo 2π. Demostrar que si la serie de Fourierde f converge uniformemente en R, entonces su suma coincide con f .

4.36 Sea f :R → R periódica de periodo 2π, dos veces derivable en todo R y tal que suderivada segunda es integrable en [−π, π].

I) Integrando por partes probar que existe M > 0 tal que los coeficientes de Fourier de f seacotan como sigue:

|an| ≤M

n2y |bn| ≤

M

n2, n ∈ N .

II) Deducir que la serie de Fourier de f converge uniformemente hacia f en R.

4.37 Sea f la función definida en [−π, π] por f(x) = | sen(x)|, y extendida a toda la recta porperiodicidad.

I) Demostrar que la serie de Fourier de f es

2

π− 4

π

∞∑

n=1

1

4n2 − 1cos(2nx) .

II) Probar que esta serie converge uniformemente.

III) Calcular las sumas de las siguientes series numéricas∞∑

n=1

1

4n2 − 1,

∞∑

n=1

(−1)n4n2 − 1

.

4.38 Sea f la función dada por f(x) = |x| para x ∈ [−π, π] , y extendida periódicamente a R.

I) Demostrar que la serie de Fourier de f converge hacia f uniformemente en R.

II) A partir del valor de f(0) obtener la suma de la serie∞∑

k=0

1

(2 k + 1)2.



4.39 Se considera la función f que es impar y está definida en [0, π] por f(x) = x (π − x).I) Demostrar que, para cada x ∈ [−π, π], se tiene que

f(x) =8

π

∞∑

k=0

sen((2k + 1)x

)

(2 k + 1)3.

II) Deducir a partir de f(π/2

)la igualdad

∞∑

k=0

(−1)k(2 k + 1)3

=π3

32.

4.40 Mediante el estudio de la función f definida en [−π, π] por f(x) = (π2 − x2), deducir que∞∑

n=1

1

n2=π2

6.

Tema 5

Fundamentos de la integral

La materia que se presenta ahora es común a todo método de integración en los espacioseuclídeos. El punto de partida es la noción familiar y cotidiana de longitud de un segmento ylas que de ella derivan: área de un rectángulo, volumen de un paralelepípedo, etc., presentesen la historia de la humanidad, como tarde, en las culturas babilónica, egipcia..., de lo quetenemos constancia documental.

También debe resultar familiar, y no sólo al científico, la necesidad de extender esos con-ceptos a objetos geométricos más complicados (a nadie le sorprende que se hable del áreade un círculo), es decir, de tener un criterio para medir el tamaño de los conjuntos. Una vezque se tiene una medida se dispone de un mecanismo de integración de funciones, pero tam-bién recíprocamente, una integral (un operador lineal y monótono que actúe sobre funcionescontinuas) permite definir una medida sobre cierta clase de conjuntos.

En cualquier caso, tanto si se pretende construir una medida como si se persigue definirla integral, es necesario el estudio de las nociones que se presentan en este tema.

La consideración de espacios de dimensión arbitraria Rd no supone otra dificultad que lade la notación, pero si el lector lo prefiere, y sobre todo cuando se trate de interpretacionesgeométricas, puede limitarse a pensar en los casos d = 2 y d = 3.

5.1. Intervalos en Rd

De nuevo, al hablar de intervalos de la recta, nos referiremos a los conexos (I es unintervalo de R si las condiciones x, z ∈ I y x ≤ y ≤ z implican que y ∈ I).

Para un intervalo no vacío y acotado de la recta, digamos que de extremos a y b con a ≤ b,su longitud coincide con su diámetro y a esta cantidad la denominaremos también medida

(unidimensional) de I y la denotaremos por m1(I); así, un conjunto unipuntual tiene medida0 y si a, b ∈ R con a < b, entonces

m1

([a, b]

)= m1

((a, b]

)= m1

([a, b)

)= m1

((a, b)

)= b− a .

Al conjunto vacío le asignamos, obviamente, también la medida 0.Aunque no habría grandes dificultades en asignar el valor∞ como medida de un intervalo

no acotado y de interior no vacío, en lo sucesivo, y aunque no se mencione explícitamente,todos los intervalos considerados serán acotados.

Definición 5.1. Un intervalo (acotado) de Rd es un producto cartesiano I1 × I2 × · · · × Id deintervalos acotados I1, I2, . . . , Id de R.

Si I = I1 × I2 × · · · × Id es un intervalo de Rd se define su medida (d-dimensional) como

md(I) = md(I1 × I2 × · · · × Id) = m1(I1)m1(I2) · · ·m1(Id) .

También se usan los términos clásicos longitud, área y volumen en los casos d = 1, 2, 3 res-pectivamente.

Observaciones 5.2.

I) Son también usuales los términos celda o multiintervalo para referirse a un intervalo enRd. Puesto que el contexto establece la dimensión del espacio en que se trabaja, aquíutilizaremos la nomenclatura propia de la recta real (d = 1), a sabiendas de que estalicencia no se corresponde con la idea de conjunto ordenado de ese caso particular.

69

70 Tema 5. Fundamentos de la integral

II) Del mismo modo, generalizando el concepto relativo al espacio tridimensional, llamare-mos cubo en Rd a todo intervalo C = I1×I2×· · ·×Id cuyos factores tengan igual longitud:

m1(I1) = m1(I2) = . . . = m1(Id) , md(C) = m1(I1)d .

III) Nótese que si I = I1 × I2 × · · · × Id es un intervalo de Rd, su medida es la misma que la decualquier otro que se encuentre comprendido entre su interior

I=

I1 ×

I2 × · · · ×

Id

y su adherenciaI = I1 × I2 × · · · × Id.

IV) Cuando no haya lugar a confusión, y con el ánimo de aliviar la notación, escribiremossimplemente m(I) en lugar de md(I), omitiendo la referencia a la dimensión.

V) Es evidente que un intervalo de diámetro pequeño tiene medida pequeña pero, salvo enel caso d = 1, el recíproco es falso; nótese que el diámetro de un intervalo viene dado por

δ(I1 × I2 × · · · × Id) =√m1(I1)2 +m1(I2)2 + . . .+m1(Id)2 .

VI) De la definición anterior se sigue inmediatamente que si I es un intervalo de Rp y J esun intervalo de Rq, entonces I × J es un intervalo de Rp+q y

mp+q(I × J) = mp(I)mq(J) .

VII) Al tratar con intervalos y su medida, algunos prefieren considerar una clase más pe-queña de conjuntos, los denominados semiintervalos que son productos cartesianos deintervalos semiabiertos (ai, bi]. Esto no supone más ventajas que cierta elegancia estética.

Propiedades 5.3. Sean I, J e Ik : k ∈ N intervalos de Rd.

I) I ∩ J es otro intervalo.

II) Si I ⊆ J , entonces m(I) ≤ m(J).

III) Dado ε > 0, existen un intervalo abierto A y un intervalo cerrado C con C ⊂ I ⊂ A y

m(A)− ε ≤ m(I) ≤ m(C) + ε .

IV) Si I =n∪k=1

Ik, con Ik ∩ Il = Ø si k 6= l, entonces m(I) =n∑k=1

m(Ik).

V) Sin∪k=1

Ik ⊂ I, con Ik ∩ Il = Ø si k 6= l, entonces m(I) ≥n∑k=1

m(Ik).

VI) Si I ⊂n∪k=1

Ik entonces m(I) ≤n∑k=1

m(Ik).

VII) Si I =∞∪k=1

Ik, con Ik ∩ Il = Ø si k 6= l, entonces m(I) =∞∑k=1

m(Ik).

5.1.1. Conjuntos elementales

Lo siguiente va dirigido a formalizar algo totalmente evidente desde la intuición de locotidiano: la aditividad de la medida para conjuntos sencillos.

Definición 5.4. Se denomina conjunto elemental en Rd a toda unión finita de intervalos

E =n∪k=1

Ik , Ik intervalo de Rd, k = 1, 2, . . . , n .

Proposición 5.5. Sean E y F conjuntos elementales de Rd.

I) E ∪ F y E ∩ F son conjuntos elementales. En consecuencia, las uniones e interseccionesfinitas de conjuntos elementales son conjuntos elementales.

II) E \ F es un conjunto elemental.


5.2. Conjuntos de medida nula 71

Lema 5.6. Sea E =n∪k=1

Ik un conjunto elemental. Existe una familia Jl : l = 1, 2, . . . , q de

intervalos disjuntos dos a dos y tales que:

I) E =q∪l=1

Jl; esto es, Jl : l = 1, 2, . . . , q es una partición de E.

II) Cada intervalo Ik es unión de una subfamilia finita de intervalos Jl : es decir, existeΛk ⊂ 1, 2, . . . , q tal que Ik = ∪

l∈Λk

Jl.

Lema 5.7. Supongamos que Ik : k = 1, 2, . . . , n y Jl : l = 1, 2, . . . , q son particiones de unmismo conjunto elemental E de Rd. Se tiene que

n∑

k=1

m(Ik) =

q∑

l=1

m(Jl) .

El resultado anterior avala la coherencia de la siguiente definición.

Definición 5.8. Si E es un conjunto elemental de Rd, que se escribe como unión disjunta delos intervalos I1, I2, . . . , In, se define la medida de E por

m(E) =

n∑

k=1

m(Ik) .

Lema 5.9. Sean E y F conjuntos elementales de Rd. Existe una familia Ik : k = 1, 2, . . . , nde intervalos disjuntos dos a dos tal que:

I) Ik : k = 1, 2, . . . , n es partición de E ∪ F , en particular,

E ∪ F =n∪k=1

Ik.

II) E y F se escriben como uniones de intervalos Ik; precisando más, existe KE y KF , sub-conjuntos de 1, 2, . . . , n tales que

E = ∪k∈KE

Ik, F = ∪k∈KF

Ik.

5.2. Conjuntos de medida nula

Hemos asignado la misma medida a un intervalo compacto de Rd que a su interior, locual es natural si se observa que estos dos intervalos difieren en subconjuntos de espaciosafines de dimensión menor estrictamente que d y se piensa que, en R2 un segmento debetener área 0, un paralelogramo contenido en un plano de R3 tiene volumen 0 etc. Antes depoder hablar de la medida de conjuntos en general necesitamos describir aquellos que tienen“medida nula”, sean o no intervalos.

Definición 5.10. Se dice que un conjunto E ⊂ Rd es de medida nula si para cada ε > 0 existeuna familia numerable de intervalos Ik : k ∈ N tales que:

i) E ⊂∞∪k=1

Ik. ii)∞∑k=1

m(Ik) < ε.

Observaciones 5.11.

I) Los conjuntos de medida nula, también denominados despreciables, juegan un papelclave en la integración, como iremos viendo en adelante.

II) En la definición anterior, las sumas que aparecen en ii) se entienden como series con-vergentes de términos positivos, y pueden ser finitas si se admite la posibilidad de queexista k0 ∈ N tal que Ik = Ø para k ≥ k0. Esto ocurre, por ejemplo, si el conjunto E escompacto. Explícitamente:



Lema 5.12. Un subconjunto compacto C de Rd es de medida nula si, y sólo si, para cadaε > 0 existe una familia finita de intervalos Ik : k = 1, 2, . . . , n tales que:

i) C ⊂n∪k=1

Ik. ii)n∑k=1

m(Ik) < ε.

En otras palabras, C es de medida nula si, y sólo si, para cada ε > 0 existe un conjuntoelemental E con C ⊂ E y m(E) < ε .

Observación 5.13. En la teoría de Riemann, mucho más restrictiva que la de Lebesgue encuanto a los conjuntos y funciones a a tratar, el papel de los conjuntos de medida nulalo juegan los denominados conjuntos con contenido de Jordan nulo, que se caracterizande forma similar a la descrita en la definición 5.10, exigiendo en este caso que puedan serrecubiertos por una cantidad finita de intervalos cuya suma de medidas sea arbitrariamentepequeña. Nótese que, para empezar, esta condición obliga a que el conjunto sea acotado.

La figura 5.1 ilustra también, en el caso de variedades de dimensión 1 contenidas en R2

(i.e., curvas planas), la propiedad cuya demostración se propone en el ejercicio 5.23.

Una curva regular y compacta tiene conteni-do de Jordan nulo. Aumentando el númerode intervalos, siempre una cantidad finita,y ajustándolos a la curva, se puede hacerla suma de sus áreas tan pequeña como sequiera.

Figura 5.1: Contenido de Jordan nulo

El lema anterior establece que los conjuntos de medida nula y compactos tienen conte-nido de Jordan nulo, pero existen conjuntos de medida nula que no tienen contenido deJordan nulo, p.e., los conjuntos numerables y no acotados. Esta afirmación se sustenta enlas propiedades que se enuncian a continuación.

Propiedades 5.14.

I) Si E ⊂ Rd es de medida nula y A ⊂ E, entonces A es de medida nula.

II) La unión numerable de conjuntos de medida nula es un conjunto de medida nula.

III) Si E ⊂∞∪k=1

Ak ⊂ Rd, entonces E es de medida nula si, y sólo si, E ∩ Ak es de medida nula

para todo k ∈ N.

5.2.1. La locución “casi siempre”

Supongamos que sobre los puntos de un subconjunto A de Rd se tiene enunciada unapropiedad P, precisando más, una proposición lógica, que por tanto toma dos valores lógicos:“verdadero” o “falso”. Si el conjunto N de los puntos x ∈ A para los que P es falsa tiene medidanula, decimos que P se verifica casi siempre en A, o casi por doquier en A, o en casi todo punto

de A, o mediante cualquier otra locución gramatical con el mismo significado (dependiendodel gusto de cada cual).

Ejemplos 5.15.

I) Casi todo punto de R es irracional.

II) La función f(x, y) =1

x2 + y2 − 1está definida casi siempre en R2 (ver ejercicio 5.14).

III) La función parte entera ⌊x⌋ es continua en casi todo punto de R.

IV) lımn→∞

xn = 0 en casi todo punto de [−1, 1].


5.3. Funciones escalonadas y su integral 73

Al referirnos por escrito a propiedades que se verifican en casi todo punto abreviaremoscon las siglas “c.s.”, como, por ejemplo, al decir “la función valor absoluto es derivable c.s. enR” e incluso en expresiones como “ lım

n→∞

cos(x)1+nx2 =

c.s.0 ”.

En los textos en inglés se encontrará habitualmente la abreviatura “a.e.” (por almost

everywhere), y en la literatura francesa se suele escribir “p.p.” (de presque partout).

5.3. Funciones escalonadas y su integral

Notación: Sean U un conjunto y A ⊂ U . La función real definida en U por

χA(x) =

1 si x ∈ A,0 si x /∈ A,

se denomina función característica de A (referida al conjunto universal U ).

Las siguientes propiedades son inmediatas:

1. χU = 1 , χØ = 0 , χU\A = 1− χA.

2. χ(A1∩A2∩···∩An) = χA1χA2· · ·χAn

3. χ(A1∪A2∪···∪An) = maxχA1, χA2

, . . . , χAn

≤ χA1

+ χA2

+ . . .+ χAn

, y se da la igualdad si,y sólo si, los conjuntos son disjuntos dos a dos.

Definición 5.16. Se dice que una función α:Rd → R es escalonada si existen intervalosI1, I2, . . . , In de Rd y números reales a1, a2, . . . , an tales que

α(x) =

n∑

k=1

ak χIk(x) , x ∈ Rd .

En el lado izquierdo, los trozos de planoshorizontales constituyen parte de la gráficade una función escalonada en R2. Al aña-dir los trozos de planos verticales obtene-mos lo que asemejan ser peldaños de unaescalinata.

Figura 5.2: Funciones escalonadas

Nótese que una función escalonada se anula fuera de un conjunto elemental y toma unnúmero finito de valores. A modo de recíproco:

Proposición 5.17. Un subconjunto E ⊂ Rd es elemental si, y sólo si, su función característicaes escalonada.

Los lemas 5.6 y 5.9 nos permite dar representaciones más adecuadas para el tratamientode estas funciones.

Lema 5.18. Sea α una función escalonada en Rd. Existen intervalos J1, J2, . . . , Jq disjuntosdos a dos, y números reales c1, c2, . . . , cq tales que

α(x) =

q∑

l=1

cl χJl(x) , x ∈ Rd .

Lema 5.19. Sean α, β funciones escalonadas en Rd. Existen intervalos J1, J2, . . . , Jq disjuntosdos a dos, y números reales a1, a2, . . . , aq y b1, b2, . . . , bq, tales que

α(x) =

q∑

l=1

al χJl(x) y β(x) =

q∑

l=1

bl χJl(x) , x ∈ Rd .



Propiedades 5.20. Sean α, β funciones escalonadas en Rd.

I) Si a, b ∈ R, entonces aα+ b β es escalonada.

II) αβ es escalonada.

III) |α| es escalonada.

IV) maxα, β y mınα, β son escalonadas.

Definición 5.21. Sea α =n∑k=1

ak χIk una función escalonada en Rd. El número

n∑

k=1

akm(Ik)

se denomina integral de α (en Rd) y se denota por∫

Rd

α(x) dm(x) ,

∫

Rd

α(x) dx ,

∫

Rd

α , o simplemente∫α .

Observaciones 5.22.

I) La definición anterior se ha dado en términos de una representación de α. Pero, porsupuesto, si

n∑

k=1

ak χIk(x) =

q∑

l=1

cl χJl(x) , x ∈ Rd,

entonces se tiene quen∑

k=1

akm(Ik) =

q∑

l=1

clm(Jl),

es decir, la definición es coherente.

II) Resulta evidente que para un conjunto elemental E se tiene que∫χE = m(E) .

Uno de los problemas que abordamos más adelante es generalizar la igualdad anterior auna clase de conjuntos más amplia.

III) Al igual que en el caso de funciones de una variable cuando se habla de áreas, la inte-gral de funciones escalonadas proporciona una primera aproximación a la idea de volu-men, etc. Véase la ilustración 5.2: la integral de la función escalonada representada ala izquierda es la suma de los volúmenes de los paralelepípedos (intervalos de R3) de laderecha.

Propiedades 5.23. Sean α, β funciones escalonadas en Rd.

I) Si a, b ∈ R, entonces∫ (aα+ b β

)= a

∫α+ b

∫β (linealidad).

II) Si α(x) ≥ 0 para cada x ∈ Rd, entonces∫α ≥ 0.

III) Si α(x) ≤ β(x) para cada x ∈ Rd, entonces∫α ≤

∫β (monotonía).

IV)∣∣ ∫ α

∣∣ ≤∫|α|.

Nos interesa “medir” la diferencia entre dos funciones escalonadas α y β, no sólo en tér-minos de los valores que toman, sino también respecto al tamaño de los intervalos dóndedifieren. Esta diferencia o distancia vendrá dada por

∫|α− β| .

En el lenguaje del Análisis Funcional, lo anterior define una seminorma. Nótese que funcionesescalonadas e iguales casi siempre distan entre sí 0, de ahí el prefijo “semi”. Hablando demanera relajada, funciones escalonadas (luego será también con funciones cualesquiera) quecoincidan salvo en conjuntos de medida nula son, a todos los efectos de integración, iguales.


Ejercicios 75

Definición 5.24. Se dice que la sucesión αn∞n=1 de funciones escalonadas en Rd es funda-

mental si satisface la condición (de tipo Cauchy) siguiente: “Para cada ε > 0 existe n0 ∈ N talque si p, q ≥ n0 entonces

∫|αp − αq| < ε”.

Podría parecer que la condición de Cauchy anterior implica la convergencia puntual dela sucesión de funciones escalonadas, pero no es así (ver ejercicio 5.27). No obstante, lossiguientes teoremas contienen resultados de paso al límite esenciales para la construcciónde la integral que presentaremos en el tema siguiente.

Teorema 5.25. Sea αn∞n=1 una sucesión fundamental de funciones escalonadas en Rd.Existe una subsucesión αnk

∞k=1 y una sucesión Uj∞j=1 de subconjuntos de Rd tales que

I) Uj ⊃ Uj+1 para cada j ∈ N.

II) Cada Uj es unión numerable de intervalos Uj =∞∪l=1

Ij,l cuya suma de medidas es finita y

siendo además

lımj→∞

∞∑

l=1

m(Ij,l) = 0 .

III) Para cada j ∈ N la sucesión αnk(x)∞k=1 converge uniformemente en Rd \ Uj.

IV) αnk∞k=1 converge casi siempre en Rd.

Teorema 5.26. Sea αn∞n=1 una sucesión fundamental de funciones escalonadas en Rd y talque lım

n→∞αn(x) = 0 para casi todo x ∈ Rd. Entonces

lımn→∞

∫αn = 0 .

Ejercicios

5.1 Sean I un intervalo de Rd y ε > 0. Probar que existe una colección finita de cubosCk : k = 1, 2, . . . , n tal que:

i) I ⊂n∪k=1

Ck, ii) m(I) ≤n∑k=1

m(Ck) ≤ m(I) + ε.

Además, si los cubos se toman semiabiertos, se pueden elegir disjuntos dos a dos.

5.2 Probar que la caracterización de conjuntos de medida nula se puede establecer de for-ma equivalente exigiendo que los intervalos Ik que recubren E sean todos abiertos, o todoscompactos, o todos cubos, etc.

5.3 Probar que un conjunto E es de medida nula si, y sólo si, puede ser recubierto por unafamilia numerable de conjuntos Ek tales que Ek ⊂ Ik, siendo los Ik intervalos cerrados cuyasuma de medidas puede tomarse arbitrariamente pequeña.

En particular, el subconjunto E de Rd es de medida nula si, y sólo si, para cada ε > 0existe una familia numerable de bolas B(ak, rk) : k ∈ N tales que

∞∑

k=1

(rk)d < ε .

5.4 Probar que un intervalo abierto no vacío de Rd no es de medida nula, y deducir quetampoco lo es Rd.

5.5 Si E ⊂ Rd es de medida nula, ¿qué se puede decir de su interior, de su adherencia y desu derivado?

5.6 Comprobar que un conjunto de interior vacío no tiene por qué ser necesariamente demedida nula.

5.7 Sea A un subconjunto de Rd tal que su derivado es finito. Demostrar que A es de medidanula.



5.8 Sea A = (0, 1) ∩Q y sean I1, I2, . . . , In intervalos abiertos que recubren a A. Probar quen∑

k=1

m(Ik) ≥ 1 .

Analice lo anterior en relación con los conceptos de medida nula y contenido de Jordan nulo.

5.9 Probar que si A ⊂ R es de medida nula, existe x ∈ R tal que

(x+A) ∩Q = Ø .

5.10 Sean A y B subconjuntos de Rp y Rq, respectivamente, con A de medida nula en Rp.Probar que A×B es de medida nula en Rp+q.

Como aplicación, demostrar que el conjunto

(x, y, z) ∈ R3 : x ∈ Q ó y ∈ Q ó z ∈ Qes de medida nula en R3.

Lo mismo sucede con los hiperplanos

Hi = x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn : xi = 0 , n ≥ 2 , 1 ≤ i ≤ n .

5.11 Sean G un abierto no vacío de Rd y A un subconjunto de G de medida nula. Probar queG \A es denso en G.

5.12 (El conjunto ternario de Cantor) Se denota por Q0 al intervalo compacto [0, 1] ⊂ R. Sedivide Q0 en tres segmentos de igual longitud y se consideran los 2 intervalos cerrados I1,j,j = 1, 2, de la partición generada en Q0 adyacentes a sus extremos. Cada uno de ellos tiene

longitud 1/3, por tanto el conjunto Q1 =2∪j=1

I1,j tiene medida 2/3. A continuación se procede

igual con cada uno de los intervalos I1,j, obteniéndose así 22 intervalos I2,j, j = 1, 2, 3, 4, de

longitud 1/32 cuya unión Q2 =22

∪j=1

I2,j tiene medida 22/32.

Recurrentemente se construye una sucesión de compactos Qn∞n=1 que verifica:

1. Qn+1 ⊂ Qn para cada n ≥ 1.

2. Qn =2n

∪j=1

In,j, siendo los In,j intervalos cerrados de longitud 1/3n, y disjuntos dos a dos.

Por tanto, m(Qn) = 2n/3n.

3. Si m > n, en cada In,j hay exactamente 2m−n intervalos del tipo Im,l.

Se define el conjunto ternario de Cantor C como

C =∞∩n=1

Qn .

I) Probar que C es de medida nula.

II) Probar que C es no numerable.

III) Además, se tiene que C es compacto y [0, 1] \ C es denso en [0, 1] (ver ejercicio 5.11).

5.13 Probar que todos los puntos del intervalo [0, 1] cuya expresión decimal no contiene másque ceros o nueves forman un conjunto de medida nula y no numerable.

5.14 Demostrar que el grafo de una función continua f :R → R es un conjunto de medidanula en R2.

Generalizar el resultado para f :Rn → R.

5.15 Sea A un abierto acotado y convexo de Rd. Probar que Fr(A), la frontera de A, es demedida nula.

Dedúzcase lo mismo en el caso de que A sea cerrado y convexo.

Nota: Este ejercicio está propuesto, junto con un esbozo de su resolución, en el volumen 2 de

la obra de Garnir [24].


Ejercicios 77

5.16 Sea E un subconjunto acotado de Rd tal que su frontera tiene medida nula. Probarque, dado ε > 0, existen conjuntos elementales C y A tales que

1. C es cerrado y C ⊂ E.

2. A es abierto y E ⊂ A.

3. m(A \ C) < ε.

5.17 Dada una función f :E ⊂ Rd → R se dice que c ∈ R es una cota superior casi siempre def en E si el conjunto x ∈ E : f(x) > c tiene medida nula. Si f tiene una cota superior c.s.diremos que f está acotada superiormente c.s., y en este caso se define el supremo esencial def como el inferior de sus cotas superiores c.s. De forma análoga se definen las cotas inferiores

c.s. y el ínfimo esencial.

Demostrar que el supremo esencial de una función es una cota superior casi siempre dela función.

5.18 Sean f y g funciones definidas y continuas en un abierto A de Rd e iguales casi siempre.Probar que f = g en todo punto de A.

5.19 Construir:

I) Una función casi siempre continua en R que no sea igual casi siempre a una funcióncontinua.

II) Una función casi siempre igual en R a una función continua y que no sea casi siemprecontinua.

5.20 Probar que si f :R→ R verifica que f(x) = f(x+ 1) para casi todo x ∈ R, entonces existeg:R→ R tal que f(x) = g(x) casi siempre y g(x) = g(x+ 1) para cada x ∈ R.

5.21 Se dice que A ⊂ Rd es casi abierto si casi todos sus puntos son interiores. Sea V abiertode Rd y f :V → R. Probar que son equivalentes:

a) f es continua en casi todo punto de V .

b) Para todo t ∈ R los conjuntos x ∈ V : f(x) > t y x ∈ V : f(x) < t son casi abiertos.

5.22 (Invarianza de la medida nula por transformaciones C 1)

Sean V un abierto de Rd y f :V → Rd una función de clase C 1.

I) Demostrar que para cada subconjunto compacto K ⊂ V existe una constante C (quedepende sólo de K y f ) tal que si I es un cubo contenido en K, entonces f(I) estácontenido en un cubo J con m(J) ≤ C m(I).

II) Si E ⊂ V es de medida nula, entonces f(E) es de medida nula.

Sugerencia: Recuérdese que todo abierto de Rn es unión numerable de compactos (ver ejercicio1.32).

5.23 (Primer teorema de Sard)

Sean U un abierto de Rd y f :U → Rn de clase C 1. Si d < n entonces f(U) es de medidanula en Rn.

Nota: En las condiciones anteriores, si además U es conexo, f es inyectiva y la aplicación

lineal f ′ tiene rango máximo (es decir, d ) en todo punto, se dice que f(V ) es una variedad dife-renciable (elemental) de dimensión d en Rn. En particular, una curva diferenciable (variedad

de dimensión 1) en R2 tiene área 0, una superficie diferenciable (variedad de dimensión 2) en

R3 tiene volumen 0, etc. (véase también el teorema 3.24).

La hipótesis de diferenciabilidad de f es esencial. Esto es, si sólo se exige que f sea continua

puede suceder que f(V ) tenga medida mayor que 0. Un ejemplo clásico es la denominada curvade Peano, una aplicación continua del intervalo [0, 1] ⊂ R con valores en R2, cuya imagen es el

cuadrado [0, 1]× [0, 1].

En el libro de Bentabol et al. [4] se encuentran detallados los denominados teoremas de

Sard. Asimismo, [4] presenta un estudio pormenorizado de la curva de Peano, que puede ser

consultado también en [23].



5.24 Sea f una función Riemann-integrable en el intervalo compacto [a, b] de R. Probar quef es límite c.s. en [a, b] de una sucesión fundamental de funciones escalonadas. Más aún, lasucesión se puede tomar monótona creciente.

5.25 Sea αn∞n=1 una sucesión de funciones escalonadas en Rd, que es monótona crecienteen casi todo punto. Probar que la sucesión es fundamental si, y sólo si, existe C > 0 tal que

∫

Rd

αn ≤ C para cada n ∈ N .

5.26 Sea f una función real definida y continua en un intervalo compacto I de Rd. Probarque f es límite uniforme en I de una sucesión fundamental de funciones escalonadas.

5.27 Dividamos el intervalo [0, 1) en los 10 subintervalos

Ik =[k − 1

10,k

10

), k = 1, 2, . . . , 10,

luego en los 100 subintervalos

Ik =[k − 11

100,k − 10

100

), k = 11, 12, . . . , 110,

y así, sucesivamente, numeramos todos los intervalos de extremos decimales y semiabiertospor la derecha contenidos en [0, 1). Pongamos αn = χIn .

I) Demostrar que la sucesión αn∞n=1 es fundamental.

II) Probar que αn(x)∞n=1 no converge para ningún punto x ∈ [0, 1).

III) Encontrar una subsucesión de αn∞n=1 que converja c.s.

5.28 En las condiciones y con la notación del teorema 5.25. Comprobar con un ejemplo queel hecho de que la sucesión αnk

∞k=1 converja uniformemente en el complementario de cadaconjunto Uj, j ∈ N, no implica que esta sucesión converja uniformemente en la unión de

todos ellos, es decir, en Rd \( ∞∩j=1

Uj).

Tema 6

Integral de Lebesgue

Hoy en día se pueden encontrar en la literatura diversas presentaciones de la construcciónde la integral de Lebesgue, pero salvo ligeras variaciones podemos agruparlas en dos grandeslineas o métodos: por un parte, una vez que se tiene una medida se dispone de un mecanismode integración de funciones, pero también recíprocamente, una integral (un operador linealy monótono que actúe sobre funciones continuas) permite definir una medida sobre ciertaclase de conjuntos. En otras palabras, los conceptos de medida e integral van parejos.

La idea original de Lebesgue, presentada en su tesis doctoral de 1902, y que se recogeen el artículo [63], consiste en extender la medida a conjuntos más generales que los ele-mentales (los medibles o pertenecientes a la σ-álgebra de Lebesgue) y definir luego la integralpor aproximación de la de funciones simples, esto es, de la forma s =

∑ci χAi

, como lasescalonadas, pero donde los Ai son conjuntos medibles. La mayor dificultad de este procedi-miento consiste en determinar qué conjuntos se pueden medir, lo que habitualmente se hacemediante el método de la medida exterior o de Carathéodory.

Los trabajos de diversos autores probaron luego que es posible realizar una construcciónequivalente sin recurrir a la Teoría de la Medida. En particular, el que se conoce hoy en díacomo esquema de Daniell o de las funciones superiores (ver [2]), define la integral mediantesucesiones crecientes de funciones escalonadas. Posteriormente, además de la aportación deRiesz1 o de Young, las variaciones introducidas por Stone, sustituyendo las sucesiones monó-tonas de funciones escalonadas por sucesiones fundamentales, conducen al que podríamosdenominar método de Daniell-Stone, y que es extensible a funciones a valores complejos ovectoriales, al requerir de la norma y no de la relación de orden.

Este último será el método que seguiremos (ver [16], [27] y [48]). El motivo principal esque esto nos permite proporcionar cuanto antes ejemplos prácticos y recursos de cálculo, sinnecesidad de pasar por los detalles abstractos de la Teoría de la Medida; además, el marcogeneral de las medidas (σ-álgebras, clases monótonas, etc.) es estudiado en el Cálculo deProbabilidades (una probabilidad es una medida positiva de variación total 1) y también enuna parte del Análisis Funcional, lo que se viene denominando últimamente Análisis Real.

6.1. Definiciones y primeras propiedades

En lo que sigue nos referiremos, vagamente, a funciones definidas en Rd. En mente ten-dremos que se trata de funciones reales, pero tal como apuntamos más arriba, nada impidegeneralizarlo todo, salvo lo que se enuncie en términos de la relación de orden, al caso defunciones complejas.

La consistencia de la siguiente definición viene garantizada por el teorema 5.26.

Definición 6.1. Sea f una función definida c.s. en Rd. Se dice que f es integrable (en el sen-

tido de Lebesgue ) si es límite en casi todo punto de una sucesión fundamental de funcionesescalonadas αn∞n=1. En este caso, existe el límite

lımn→∞

∫

Rd

αn(x) dx

y es el mismo para todas las sucesiones fundamentales que convergen c.s. hacia f .

1La particularización a espacios euclídeos de la integración abstracta propuesta por Daniell alrededor de 1919, sesuele denominar también método de Riesz, pues ya en 1912 éste había abogado por el uso de funciones escalonadas.

79

80 Tema 6. Integral de Lebesgue

La integral (de Lebesgue ) de f es el límite anterior y se denota por∫

Rd

f(x) dm(x) ,

∫

Rd

f(x) dx ,

∫

Rd

f , o simplemente∫f .

Definición 6.2. Se dice que un subconjunto E de Rd es integrable si lo es su función carac-terística. En este caso, la medida (de Lebesgue ) de E es el número real no negativo

m(E) =

∫

Rd

χE(x) dx .

Observaciones 6.3.

I) Nótese que la notación usada para la integral de una función es la misma que en elcaso de funciones escalonadas. Por supuesto, una función escalonada es integrable enel sentido de Lebesgue y su integral coincide con la dada en la definición 5.21.

II) También, para hacer énfasis en la dimensión del espacio en que se integra son habitualeslas notaciones∫

Rp

f(x1, x2, . . . , xp) dx1 . . . dxp,

∫f(x1, x2, . . . , xp) dx1 . . . dxp , etc.

y en los casos habituales de dimensión 2 o 3, repitiendo el símbolo de la integral∫∫

f(x, y) dx dy ,

∫∫∫f(x, y, z) dx dy dz , etc.

III) Por definición, funciones que sean iguales casi siempre son simultáneamente integrableso no, y si lo son tienen la misma integral. De forma más coloquial: al integrar, es irrele-vante lo que ocurra en conjuntos de medida nula, en este sentido son “despreciables”.

IV) Como cabe esperar, los conjuntos integrables con medida 0, en los términos de la defini-ción anterior, son los conjuntos de medida nula según la acepción introducida en el temaanterior. Esta afirmación será probada un poco más tarde, cuando hayamos desarrolladotoda la maquinaria de la integral. De momento, lo que es evidente es que los conjuntosdespreciables son integrables y tienen medida 0.

V) La clase de los conjuntos integrables, contiene, obviamente a los conjuntos elementales yla medida ahora definida coincide con la que se introdujo en el tema anterior. Esta claseestá contenida a su vez en una más amplia, la de los conjuntos medibles. De momentonos conformamos con señalar que los conjuntos integrables son los conjuntos mediblesque tienen medida finita.

VI) El conjunto de funciones integrables en Rd se denota por L 1(Rd), o simplemente porL (Rd). La L en honor a Lebesgue, claro está. En cuanto al exponente 1, adquiere másrelevancia en otro contexto más general, cuando se consideran los espacios L p funcionestales que |f |p es integrable (|f |1 = |f | es integrable si lo es f , ver 6.4.II).

Propiedades 6.4. Sean f, g ∈ L 1(Rd). Se verifica que:

I) Linealidad: Si a, b ∈ R entonces a f + b g ∈ L 1(Rd) y∫

Rd

(a f + b g

)= a

∫

Rd

f + b

∫

Rd

g .

Es decir L 1(Rd) es un espacio vectorial y la aplicación f ∈ L 1(Rd) 7−→∫Rd f es lineal; en

particular, cualquier función igual c.s. a 0 tiene integral nula.

II) |f | ∈ L 1(Rd) y además ∣∣∣∫

Rd

f∣∣∣ ≤

∫

Rd

|f | .

III) maxf, g ∈ L 1(Rd) y mınf, g ∈ L 1(Rd).

IV) Monotonía: Si f(x) ≥ 0 c.s. en Rd entonces∫Rd f ≥ 0. Equivalentemente, si f(x) ≥ g(x)

c.s., entonces ∫

Rd

f ≥∫

Rd

g .


6.2. Sucesiones de funciones integrables 81

Observación 6.5. Dada una función real f :X → R se definen su parte positiva y su parte

negativa por

f+(x) = maxf(x), 0 y f−(x) = max−f(x), 0 ,respectivamente. Es obvio que f+ ≥ 0, f− ≥ 0 y que

f = f+ − f−, |f | = f+ + f− .

Tanto en la teoría de la Medida e Integración Abstracta como en el esquema de Daniell, o delas funciones superiores, la integrabilidad se define primero para funciones positivas y luegopara funciones reales: f será integrable si, y sólo si, lo son f+ y f−, en cuyo caso

∫f =

∫f+ −

∫f− y

∫|f | =

∫f+ +

∫f−.

Nótese que en nuestra exposición la integrabilidad de f+ y f−, así como las igualdades ante-riores, son consecuencia directa de las propiedades anteriores.

Cuando las propiedades 6.4, concretamente la de monotonía, se particularizan a las fun-ciones características de conjuntos se deduce lo siguiente:

Propiedades 6.6. Sean E,E1, E2, . . . , Ep subconjuntos integrables de Rd.

I) m(E) ≥ 0.

II) Si E ⊂ E1 entonces m(E) ≤ m(E1).

III)p∪k=1

Ek es integrable y

m( p∪k=1

Ek

)≤

p∑

k=1

m(Ek) ,

y se da la igualdad si Ej ∩ Ek es despreciable para j 6= k.

6.2. Sucesiones de funciones integrables

Antes que nada, y aunque no es necesario para el desarrollo de la materia, señalemosque los primeros resultados en lo que exponemos a continuación se pueden presentar en uncontexto más general de espacios métricos. Concretamente si la “distancia” entre funcionesintegrables f y g la cuantificamos por ∫

|f − g|

nos encontramos que funciones distintas, pero iguales c.s., distan 0 entre si. La respues-ta a este contratiempo es identificar funciones iguales c.s., esto es, considerar la relaciónde equivalencia dada por “fRg si f =

c.s.g” y el espacio cociente L 1(Rd)/R, que se denota por

L1(Rd). Resulta que L1(Rd) es un espacio normado cuando se considera ‖Cf‖ =∫|f |, siendo

f cualquier representante de la clase Cf . Como en todo espacio normado, las nociones topo-lógicas se pueden dar en términos secuenciales, de ahí el nombre que reciben los primerosresultados. No volveremos a mencionar este asunto.

Teorema 6.7 (Densidad de las funciones escalonadas en L1). Sea f una función integrableen Rd y sea αn∞n=1 una sucesión fundamental de funciones escalonadas que converge c.s.hacia f . Entonces

lımn→∞

∫

Rd

∣∣f(x)− αn(x)∣∣ dx = 0 .

Teorema 6.8 (Completitud de L1). Sea fn∞n=1 una sucesión de elementos de L 1(Rd) queverifica la condición (de Cauchy): “para cada ε > 0 existe n0 ∈ N con

∫|fp − fq| < ε si p, q ≥ n0”.

Existe entonces f ∈ L 1(Rd) tal que

lımn→∞

∫

Rd

∣∣f(x)− fn(x)∣∣ dx = 0 .

Además, f es límite c.s. de una subsucesión fnk∞k=1.



Observación 6.9. La mera convergencia puntual de una sucesión de funciones integrablesno supone nada, en cuanto a la integrabilidad del límite puntual, en ausencia de otras con-diciones adicionales, como la de “de Cauchy” citada en el teorema 6.8. De hecho, podemosencontrar:

1. Una función límite c.s. de funciones integrables, pero no integrable.

2. Más aún, una función f límite uniforme de funciones integrables, pero no integrable.

3. Una función f integrable y límite c.s. de funciones integrables fn∞n=1 pero tal que suintegral no es el límite de las integrales de las fn.

Estas cuestiones se proponen como ejercicio (ver ejercicio 6.5).

Teorema 6.10 (de la convergencia monótona, de Levi). Sea fn∞n=1 una sucesión de fun-ciones integrables en Rd tal que para cada n ∈ N se verifica

fn(x) ≤ fn+1(x) para casi todo x ∈ Rd.

Se supone además que existe una constante C con∫

Rd

fn ≤ C para todo n ∈ N .

Entonces, existe una función f integrable en Rd tal que:

I) fn∞n=1 converge hacia f c.s.

II) lımn→∞

∫

Rd

∣∣fn − f∣∣ = 0 ; en particular, lım

n→∞

∫

Rd

fn =

∫

Rd

f .

Teorema 6.11 (de la convergencia dominada, de Lebesgue). Sea fn∞n=1 una sucesión defunciones integrables en Rd que converge en casi todo punto hacia una función f . Suponga-mos que además existe una función g integrable en Rd tal que

∣∣fn(x)∣∣ ≤c.s.

g(x) para todo n ∈ N .

Entonces:

I) f es integrable.

II) lımn→∞

∫

Rd

∣∣fn − f∣∣ = 0 ; en particular, lım

n→∞

∫

Rd

fn =

∫

Rd

f .

Corolario 6.12 (Teoremas de anulación).

I) Sea f ∈ L 1(Rd) tal que∫Rd |f | = 0. Entonces f = 0 c.s.

II) Un conjunto E ⊂ Rd es de medida nula si, y sólo si, es integrable y md(E) =∫RdχE = 0.

6.2.1. Comentarios sobre la generalización del teorema de Levi

En la teoría abstracta de la Medida, si f es límite c.s. de una sucesión creciente sn∞n=1 defunciones simples (dígase escalonadas en Rd) y no negativas (por tanto f ≥ 0 c.s.) se asigna

∫f = lım

n→∞

∫sn,

límite que puede ser finito o infinito. Obviamente, la función f será integrable si el límitees finito. También se admite que una función pueda tomar el valor ∞, de manera que todasucesión creciente de números no negativos tiene límite en la semirrecta ampliada [0,∞]. Eneste contexto, el teorema de la convergencia monótona adquiere un aspecto más sencillo:

Teorema 6.13 (de la convergencia monótona, de Lebesgue). Sea fn∞n=1 una sucesión defunciones “medibles” y no negativas en Rd tal que para cada n ∈ N se verifica

fn(x) ≤ fn+1(x) para casi todo x ∈ Rd.

Entonces la función definida c.s. por f = lımn→∞

fn es “medible” y lımn→∞

∫Rd fn =

∫Rd f .


6.3. Integración en intervalos de la recta 83

Más adelante daremos sentido al término medible, de momento baste indicar que hayfunciones que podemos medir, pero que no son integrables. En la misma línea citamos otroafamado resultado (ver también el ejercicio 6.10):

Teorema 6.14 (Lema de Fatou). Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones “medibles” y nonegativas. Entonces ∫

lım infn→∞

fn ≤ lım infn→∞

∫fn .

Notación: Para una sucesión de números reales an∞n=1 se definen

lım infn→∞

an := lımn→∞

(ınfak : k ≥ n

)= sup

ınfak : k ≥ n : n ∈ N

,

lım supn→∞

an := lımn→∞

(supak : k ≥ n

)= ınf

supak : k ≥ n : n ∈ N

,

límites que existen siempre en la recta ampliada [−∞,∞]. Resulta que lım infn→∞

an ≤ lım supn→∞

an,

y si coinciden la sucesión tiene límite, que es ese valor común.

6.3. Integración en intervalos de la recta

La materia que exponemos ahora, además de mostrar que la teoría de Lebesgue contieney generaliza a la de Riemann, nos proporciona los primeros recursos de cálculo en lo relativoal problema de estudiar la integrabilidad de una función y determinar su integral, si esprocedente, en el caso de funciones de una variable real.

Para funciones de varias variables sucede exactamente lo mismo, aunque no se exponeaquí pues el lector probablemente desconozca la teoría de Riemann en dimensión mayorque 1. No obstante, es fácil entender que una vez definidos los intervalos y su medida, elprocedimiento es el mismo (particiones de diámetro pequeño, sumas de Darboux, etc.).

Hasta ahora estamos considerando las funciones definidas en el espacio Rd. Con el objetivode establecer una formulación uniforme que nos permita la comparación entre las dos teoríascitadas entenderemos todas las funciones así, definidas en Rd. Eso es posible extendiendopor el valor 0 las funciones fuera de su dominio de definición original; lo que no alterará, niel carácter integrable ni los valores de las integrales.

Definición 6.15. Sean I un intervalo de la recta (de cualquier naturaleza, acotado o no) yf : I → R una función.

I) La extensión de f a R es la función f∗ definida por:

f∗(x) =f(x) si x ∈ I,0 si x /∈ I.

II) Diremos que f es integrable (en el sentido de Lebesgue) en I, y escribiremos f ∈ L 1(I), sif∗ es integrable en el sentido de Lebesgue en R, y en este caso la integral de f en I es

∫

I

f(x) dm(x) =

∫

R

f∗(x) dm(x) .

Notación: En general, cuando una función no esté definida en todo Rd, sino en un subcon-junto suyo E, a la extensión f∗, construida como en la definición precedente, la denotaremospor f χE. Por ejemplo, lnχ(0,∞) o ln(x)χ(0,∞)(x) representa la función que toma los mismosvalores que el logaritmo natural en (0,∞) y se anula en el resto de los puntos de R.

Teorema 6.16. Sea [a, b] un intervalo compacto de R y f : [a, b]→ R una función acotada. Si fes integrable en [a, b] en el sentido de Riemann también lo es en el de Lebesgue, además setiene que ∫ b

a

f(x) dx =

∫

[a,b]

f(x) dm(x) .

Teorema 6.17 (Criterio de Riemann-integrabilidad, de Lebesgue). Sea [a, b] un intervalocompacto de R y f : [a, b] → R una función acotada. f es integrable en el sentido de Riemannen [a, b] si, y sólo si, f es continua en casi todo punto de [a, b].



Observación 6.18. Los dos teoremas anteriores muestran que la teoría de Lebesgue genera-liza a la de Riemann y nos dan la pista para comprobar que esta generalización es estricta,es decir, que existen funciones integrables en el sentido de Lebesgue que no lo son en el deRiemann: basta considerar el ejemplo propuesto por Dirichlet, la función característica de losracionales de [0, 1]:

f(x) = χQ(x)χ[0,1](x) .

Esta función no es continua en ningún punto de [0, 1], luego no puede ser Riemann-integrableen este intervalo. Por otra parte, dado que Q ∩ [0, 1] es de medida nula, f =

c.s.0, por lo que f es

Lebesgue-integrable, y con integral 0.

Por supuesto, en los modelos habituales de la Ciencia y la Técnica las funciones son más“dóciles” que la del ejemplo anterior, y los problemas de integrabilidad suelen venir dados porel carácter no acotado del integrando o del dominio de integración. En este sentido, lo queveremos a continuación se puede resumir en el siguiente aserto: Para funciones localmente

acotadas y continuas c.s., la integrabilidad en el sentido de Lebesgue equivale a la convergen-

cia absoluta de la integral en el sentido impropio de Riemann.

Teorema 6.19. Sean (a, b) un intervalo de R (acotado o no) y f : (a, b)→ R continua.

I) Criterio de comparación: Si existe g integrable en R tal que

|f(x)| ≤ g(x) c.s. en (a, b) ,

entonces f es integrable en (a, b).

II) Regla de Barrow: Si f es integrable en (a, b) y F es una primitiva de f (que existe envirtud del teorema Fundamental del Cálculo), entonces existen y son finitos los límites

F (a+) = lımx→a+

F (x) y F (b−) = lımx→b−

F (x) .

Además, ∫

(a,b)

f(x) dm(x) =

∫ →b

→a

f(x) dx = F (b−)− F (a+) .

Teorema 6.20. Sean (a, b) un intervalo de R (acotado o no) y f : (a, b) → R integrable enel sentido de Riemann en cada subintervalo compacto de (a, b). Si la integral en el sentidoimpropio de Riemann de f en (a, b) es absolutamente convergente, entonces f es integrableen el sentido de Lebesgue en (a, b) y

∫

(a,b)

f(x) dm(x) =

∫ →b

→a

f(x) dx .

Observaciones 6.21.

I) En el teorema precedente, la condición de convergencia absoluta de la integral no sepuede sustituir por la mera convergencia. El clásico contraejemplo de la función

f(x) =sen(x)

xχ(0,∞)(x)

nos sirve para mostrar que una función puede tener integral impropia convergente y noser integrable en el sentido de Lebesgue.

II) A tenor de lo expuesto anteriormente, en el estudio de integrales de Lebesgue son apli-cables las mismas técnicas usadas en la integral de Riemann que emanan del criterio decomparación. Por citar algún ejemplo:

1. Si f es continua en el intervalo (0, b] y existe

lımx→0+

xαf(x) = ℓ ∈ (0,∞)

entonces f es integrable en (0, b] si, y sólo si, lo es la función 1/xα, es decir, si y sólosi, α < 1.


Ejercicios 85

2. Sea f una función definida en el intervalo [a, b), acotado o no, y tal que existe unasucesión cn∞n=1 de puntos de (a, b) y estrictamente creciente, con lım

n→∞cn = b de

manera que f es Lebesgue-integrable en [a, c1) y en cada intervalo [cn, cn+1), n ∈ N.Entonces f es integrable en [a, b) si, y sólo si, la serie de términos positivos

∞∑

n=1

∫

[cn,cn+1)

∣∣f(x)∣∣ dm(x)

es convergente. En este caso,∫

[a,b)

f(x) dm(x) =

∫

[a,c1)

f(x) dm(x) +

∞∑

n=1

∫

[cn,cn+1)

f(x) dm(x) .

El lector sabrá realizar el conveniente ejercicio de traducción para reinterpretar los crite-rios de convergencia absoluta restantes en el contexto de la integral de Lebesgue.

III) Podría parecer, a la vista de situaciones como la del segundo ejemplo del punto anterior,que conviene hablar de una integral “flechada” o “impropia” de Lebesgue, pero notemosque en la construcción de la integral no se ha impuesto ninguna restricción en cuanto ala acotación de las funciones o de sus dominios de definición.

Volviendo sobre ese ejemplo, la sucesión de intervalos In = [a, cn) es creciente, por lo quela sucesión de funciones gn∞n=1 definida por

gn = |f |χIn = |f |n∑

k=1

χ[cn−1,cn) (c0 = a),

es de funciones positivas, integrables, y monótona creciente hacia |f |. La conclusiónanunciada antes se sigue del teorema de la convergencia monótona para gn ↑

n→∞|f |, y

luego del teorema de la convergencia dominada para hn = fχIn −→n→∞f .

Más general: en virtud del criterio secuencial del límite se tiene que

lımβ→b−

∫

[a,β)

|f(x)| dm(x) = lımn→∞

∫

[a,cn)

|f(x)| dm(x)

para cualquier sucesión cn∞n=1 de puntos de (a, b) creciente hacia b.

IV) En lo sucesivo, para designar la integral en el sentido de Lebesgue de una función f enun intervalo de la recta de extremos a < b, utilizaremos también la notación de Riemann:

∫ b

a

f(x) dx o simplemente∫ b

a

f .

Ante una expresión de ese tipo, el contexto particular nos indicará en cada caso si con-viene abordarla como integral de Riemann, integral impropia de Riemann absolutamenteconvergente, o integral de Lebesgue.

Ejercicios

6.1 En los siguientes casos compruébese la veracidad de lo afirmado construyendo una su-cesión fundamental de funciones escalonadas que converja hacia la correspondiente función.

I) f(x) =1√xχ(0,1](x) es integrable en R.

II) f(x, y) =1√

x2 + y2χ(0,1]×(0,1](x, y) es integrable en R2.

6.2 Se consideran los intervalos I = [−1, 1] × [−1, 1] y J = [0, 1] × [0, 1] de R2. Utilizandoconvenientes sucesiones de funciones escalonadas demostrar que:

I)∫

R2

(x+ y)χI(x, y) dx dy = 0 .

II)∫

R2

x2 cos(y)χI(x, y) dx dy = 4

∫

R2

x2 cos(y)χJ (x, y) dx dy .



6.3 Sean f :R→ R y g:R→ R funciones integrables. En R2 se define la función h por

h(x, y) = f(x) g(y).

(h se denomina producto tensorial de f y g y se denota por h = f ⊗ g).I) Probar que h es integrable en R2 y que

∫∫

R2

h(x, y) dx dy =

∫

R

f(x) dx

∫

R

g(y) dy.

Sugerencia: Probarlo primero para el caso de que f y g sean escalonadas.

II) Sean I = [0, 1]× [0, 1] y f la función definida en R2 por

f(x, y) = x y χI(x, y) .

Comprobar que f es integrable y calcular su integral.

6.4 Calcular, justificando su existencia, el valor de la integral∫

R2

e−|x|

1 + y2dx dy .

6.5 En las siguientes situaciones examínese la convergencia c.s. y la convergencia unifor-me de la correspondiente sucesión de funciones fn∞n=1, así como la integrabilidad de lasfunciones y de su límite, y la relación entre la integral del límite y el límite de las integrales.

I) fn(x) = χ[−n,n](x) , x ∈ R .

II) fn(x) = χ[n,∞)(x) , x ∈ R .

III) fn(x) =1

nχ[−n,n](x) , x ∈ R .

IV) fn(x) = χ[n,n+1](x) , x ∈ R .

V) fn(x) =1

nχ[n,n+1)(x) , x ∈ R .

6.6 Sean In∞n=1 una sucesión de intervalos de Rd disjuntos dos a dos y an∞n=1 una sucesiónde números reales (o complejos).

I) Comprobar que está bien definida en todo punto de Rd la función f dada por la expresión

f(x) =

∞∑

n=1

an χIn(x) .

Las funciones definidas de esta forma se denominan numerablemente escalonadas.

II) Probar que una función numerablemente escalonada f , escrita en la forma anterior, esintegrable si, y sólo si, la serie numérica

∞∑

n=1

|an|m(In)

es convergente.

6.7 En los siguientes casos examinar la integrabilidad de la correspondiente función y suspropiedades de acotación, anulación en el infinito (i.e., lım

‖x‖→∞f(x) = 0 ), etc.

I) f(x, y) =∞∑

n=1

1

nχIn(x, y) , siendo In = [n, n+ 1)× [n, n+ 1) ⊂ R2.

II) f(x, y, z) =∞∑

n=1

nχIn(x, y, z) , siendo In =[n, n+ 1/n)×

[n, n+ 1/n)×

[n, n+ 1/n) ⊂ R3.

III) f(x1, x2, . . . , xd) =∞∑

n=1

nχIn(x1, x2, . . . , xd) , siendo

In =( 1

n+ 1,1

n

]×( 1

n+ 1,1

n

]× d veces· · · ×

( 1

n+ 1,1

n

]⊂ Rd.


Ejercicios 87

6.8 (Teorema de la convergencia monótona, 2a. versión) Sea fn∞n=1 una sucesión defunciones integrables en Rd tales que

1. Para cada n ∈ N se tiene que fn ≥ fn+1 c.s.

2. Existe una constante C con C ≤∫Rd fn para todo n ∈ N .

Probar que la sucesión fn∞n=1 converge c.s. hacia una función integrable f y que

lımn→∞

∫

Rd

∣∣fn − f∣∣ = 0 .

En consecuencia,∫f = lım

n→∞

∫fn.

6.9 Considérese la sucesión de funciones definida en el ejercicio 6.5.V. Demostrar que dichasucesión converge en casi todo punto y satisface la condición de tipo Cauchy del teorema 6.8.Sin embargo, no puede existir ninguna función g ∈ L 1(R) tal que

∣∣fn(x)∣∣ ≤c.s.

g(x) para cada n ∈ N .

Nota: La prueba del teorema de la convergencia dominada 6.11 consiste, grosso modo, en

probar que la condición de acotación de las fn implica el carácter “de Cauchy” de la sucesión.

Lo que muestra este ejemplo es que el recíproco no es cierto, esto es, la condición de tipo Cauchy

para una sucesión fn∞n=1 de funciones integrables no implica una acotación uniforme de todos

los términos fn por una misma función integrable g.

6.10 (Lema de Fatou) Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones integrables en Rd que convergec.s. hacia una función f . Se supone además que existen una función g ∈ L 1(Rd) y unaconstante C tales que para todo n ∈ N se verifica:

g(x) ≤c.s.

fn(x) y∫

Rd

fn ≤ C .

Demostrar que f es integrable y que∫

Rd

f = lımn→∞

∫

Rd

ınffk : k ≥ n ≤ lım infn→∞

∫

Rd

fn.

6.11 Para cada n ∈ N sea fn una función integrable en Rd. Se supone que∞∑

n=1

∫

Rd

|fn| <∞.

Probar que:

I)∞∑n=1

fn converge absolutamente c.s. hacia una función integrable.

II) Se tiene que∫

Rd

∞∑n=1

fn =∞∑n=1

∫

Rd

fn.

6.12 Vuelva a examinar el ejercicio 4.27, abordando ahora la igualdad∫ 1

0

x−x dx =

∞∑

n=0

1

(n+ 1)n+1,

en el contexto de la integral de Lebesgue.

¿Supone alguna ventaja? ¿Se simplifican los cálculos? ¿Y su justificación?

6.13 Si fn ∈ L 1(Rd), n ∈ N, y

lımn→∞

∫

Rd

|fn| = 0,

entonces fn∞n=1 no converge necesariamente c.s. hacia la función nula, pero contiene unasubsucesión que sí lo hace.



6.14 Sea f :Rd → R una función no negativa e integrable. Si α ≥ 1, asumiendo que lasintegrales tienen sentido, calcular

lımn→∞

∫

Rd

n log(1 +

(f(x)n

)α )dx .

Sugerencia: Para t ≥ 0 se tiene que log(1 + tα) ≤ α t .

6.15 Sea f una función real definida y continua en un intervalo compacto I de Rd. Probarque g = f χI es integrable en Rd y se verifica que

mınf(x) : x ∈ Im(I) ≤∫

Rd

g(x) dx ≤ maxf(x) : x ∈ Im(I) .

Sugerencia: Ver ejercicio 5.26.

6.16 Sea I un intervalo de Rd (recuérdese que, por convenio, I es acotado) y fn∞n=1 unasucesión de funciones integrables, acotadas, nulas fuera de I y uniformemente convergentesen Rd hacia una función f . Probar que f es integrable y que

lımn→∞

∫

Rd

fn =

∫

Rd

f .

¿Sigue siendo cierto el resultado si se suprime la condición de anulación fuera de un intervalode todas las funciones?

6.17 Para n ≥ 1 y x ∈ R, seafn(x) = e−nx − 2e−2nx.

I) Demostrar que∞∑n=1

fn(x) converge para todo x > 0 y calcular su suma f(x).

II) Probar que fn ∈ L 1((0,∞)

)para cada n ∈ N, y que f ∈ L 1

((0,∞)

). Comparar

∫∞

0f con

∞∑n=1

∫∞

0fn.

6.18 Calcular los siguientes límites:

I) lımn→∞

∫ 1

0

nx

1 + n2x2dx

II) lımn→∞

∫ 1

0

nx log(x)

1 + n2x2dx

6.19 Calcular los siguientes límites:

I) lımn→∞

∫ n

0

(1− x

n

)nex/2 dx

II) lımn→∞

∫ n

0

(1 +

x

n

)ne−2x dx.

6.20 Probar que si a > 0, entonces

lımn→∞

∫ ∞

a

n2x e−n2x2

1 + x2dx = 0 .

¿Se puede asegurar lo mismo para las integrales en (0,∞)?

6.21 Demostrar que si |x| ≤ 1 y t > 0 para cada n ∈ N se tiene que∣∣∣∣n∑

k=0

xk e−(k+1)t

∣∣∣∣ ≤2

et − x,

y deducir que si |x| ≤ 1 entonces∫ ∞

0

sen(t)

et − x dt =∞∑

n=1

xn−1

1 + n2.


Ejercicios 89

6.22 Probar que∫ 1

0

3√x

x− 1log(x) dx =

∞∑

n=0

9

(3n+ 4)2.

6.23 Calcular el valor de las siguientes integrales en forma de serie numérica.

I)∫ 1

0

(log(x)

1− x

)2

dx

II)∫ 1

0

sen(x) log(x) dx

III)∫ ∞

0

log(x)

x2 − 1dx .

6.24 Sean p y q números reales positivos. Se consideran las siguientes funciones definidasen el intervalo (0, 1):

f(x) =xp−1

1 + xq; fn(x) = xp−1

n∑

k=0

(−1)kxk q , n = 0, 1, 2, . . .

I) Comprobar que f y fn, n ≥ 0, son integrables en (0, 1).

II) Probar que, si x ∈ (0, 1), para cada n = 0, 1, 2, . . . se tiene

0 ≤ fn(x) ≤ 2 f(x) =2xp−1

1 + xq.

III) Concluir del teorema de la convergencia dominada que∫ 1

0

xp−1

1 + xqdx =

∞∑

n=0

(−1)np+ n q

.

IV) Deducir las igualdades

log(2) =

∞∑

n=1

(−1)n+1

n;

π

4=

∞∑

n=1

(−1)n+1

2n− 1.

6.25 Para cada α ∈ R se considera la sucesión fn∞n=1 definida por:

fn(x) = nαx e−nxχ(0,∞)(x), x ∈ R.

Probar que son equivalentes:

a) lımn→∞

∫

R

fn(x) dx = 0 .

b) α < 2 .

c) Existe f ≥ 0, f ∈ L 1((0,∞)

)tal que fn ≤ f , para cada n ∈ N.

6.26 Para n ∈ N se considera la función

fn(x) = n2xa(1− x)nχ(0,1)(x), x ∈ R .

I) Estudiar bajo qué condiciones existe g ∈ L 1((0, 1)

)de manera que fn ≤ g para cada n ∈ N.

II) Deducir para qué valores de a se verifica

lımn→∞

n!

(n+ a− 1)(n+ a− 2) · · · (a+ 1)= 0.

6.27 Calcular

lımn→∞

∫ ∞

0

log(x+ n) e−x cos(x)

ndx .



6.28 Sea fn∞n=1 la sucesión de funciones dada por

fn(x) =

(n+ x

n+ 2x

)n, x > 0.

Demostrar que fn(x) > fn+1(x) para cada n ∈ N, y encontrar el límite de las integrales y laintegral del límite para las sucesiones de funciones

gn(x) = fn(x) ex/2 y hn(x) = fn(x) e

−x/2.

6.29 Sean f, g ∈ L 1(Rd).

I) Mostrar con un contraejemplo que f g no tiene por qué ser integrable.

II) Supongamos que, además, una de las dos funciones f o g es acotada c.s. Probar queentonces también es integrable f g .

III) Más aun, digamos que f es integrable y que g es acotada c.s. (no necesariamente integra-ble) y es límite c.s. de una sucesión de funciones escalonadas. Demostrar que tambiénen este caso f g es integrable.

6.30 (Densidad de Cc(Rd) en L1(Rd))

I) Sea I un intervalo compacto de Rd. Probar que para cada ε > 0 existe una funcióncontinua g:Rd → [0, 1], que vale 1 en cada punto de I y se anula fuera de un intervaloabierto A que contiene a I, esto es, 0 ≤ χI ≤ g ≤ χA ≤ 1 ; y además

m(I) ≤∫

Rd

g ≤ m(I) + ε .

Nota: El resultado es válido para una clase más amplia de conjuntos (ver el lema de

Urysohn 1.89.III), ahora bien, en el caso de intervalos la función g se puede construir explí-

citamente de forma sencilla.

El conjunto sop(g) = cl(x ∈ Rd : g(x) 6= 0

)(un cerrado) se denomina soporte de g. El

espacio de las funciones continuas en Rd y de soporte compacto se denota por Cc(Rd).Según el resultado del ejercicio 6.15 toda función de Cc(Rd) es integrable.

II) Sea α una función escalonada en Rd. Demostrar que para todo ε > 0 existe una funcióng ∈ Cc(Rd) tal que ∫

Rd

∣∣α(x)− g(x)∣∣ dx < ε.

Deducir lo mismo para una función integrable en Rd.

Un poco más sobre series de Fourier

Las fórmulas (4.2) son aplicables a cualquier función f de L 1([−π, π)) (si se prefiere, fdefinida en R, de periodo 2π e integrable en los intervalos acotados). Por tanto, podemoshablar de la serie de Fourier de f también en esta situación, aunque f no esté acotada c.s.

Se aborda ahora uno de los resultados importantes en la teoría de series de Fourier.

6.31 Sea I un intervalo acotado de R. Comprobar que se verifica:

lımn→∞

∫

I

cos(nx) dx = 0 = lımn→∞

∫

I

sen(nx) dx .

Deducir que si α es una función escalonada, entonces

lımn→∞

∫ π

−π

α(x) cos(nx) dx = 0 = lımn→∞

∫ π

−π

α(x) sen(nx) dx .

6.32 (Lema de Riemann-Lebesgue) Sea f ∈ L 1([−π, π)). Los coeficientes de Fourier de ftienden hacia 0 cuando n crece hacia ∞:

lımn→∞

∫ π

−π

f(x) cos(nx) dx = 0 = lımn→∞

∫ π

−π

f(x) sen(nx) dx .

Tema 7

Medibilidad. Integración iterada

En el tema anterior, y sobre todo a la vista de algunos ejercicios, ya se puede intuir queel concepto de integral se puede establecer para funciones no necesariamente definidas entodo el espacio. Los dominios de definición de estas funciones no pueden ser arbitrarios, senecesita que puedan ser medidos (que tengan área, volumen, etc.). Ya hemos contempladoantes una gama de estos conjuntos, los integrables, pero esto excluye a todos los que tienen“medida infinita” (una semirrecta en R, un sector angular en R2, etc.).

Asimismo, conviene considerar funciones con “buen comportamiento” aunque no seanintegrables: las funciones constantes y no nulas y otras muchas funciones continuas resultanno integrables en Rd. Estos problemas son el objetivo de las dos primeras secciones.

Una vez establecida esta generalización de la integral se trata la primera de las dos grandestécnicas prácticas: la integración iterada, que reduce el cálculo al de integrales en intervalosde la recta, presentado en el tema precedente. La otra técnica destacable, el método de cambio

de variables, que generaliza el homónimo resultado para funciones de una variable, es el focode atención del tema siguiente.

7.1. Funciones medibles y conjuntos medibles

Definición 7.1. Una función f definida en Rd se dice medible (en el sentido de Lebesgue) sies límite c.s. de una sucesión de funciones escalonadas.

Se dice que un subconjunto E de Rd es medible si su función característica es medible.

Ejemplos 7.2.

I) Toda función integrable es medible.

II) Toda función numerablemente escalonada es medible.

III) Si g es medible y f =c.s.

g, entonces f es medible.

IV) Los conjuntos elementales y, en general, los conjuntos integrables son medibles.

V) Rd, Ø y los conjuntos de medida nula son medibles.

Las siguientes propiedades son prácticamente inmediatas a partir de las propiedades delas funciones escalonadas.

Propiedades 7.3. Sean f , f1, f2, . . . , fn funciones medibles en Rd y E, E1, E2, . . . , En subcon-juntos medibles de Rd. Se tiene que:

I) |f | es medible, pero el recíproco no es cierto (puede ser |g| medible y no serlo g).

II) Si λ1, λ2, . . . , λn ∈ R, la función λ1f1 + λ2f2 + . . .+ λnfn =n∑k=1

λkfk es medible.

III) f1 · f2 · · · fn =n∏k=1

fk es medible.

IV) maxf1, f2, . . . , fn y mınf1, f2, . . . , fn son medibles.

V) Si f(x) 6= 0 c.s. entonces la función definida c.s. 1/f es medible (si se prefiere, 1/f definidade forma arbitraria en los puntos en que se anule f ).

VI) Rd \ E es medible.

VII) Si a ∈ Rb, el trasladado a+ E = a+ x : x ∈ E es medible.

91

92 Tema 7. Medibilidad. Integración iterada

VIII) Si λ ∈ R, el λE = λx : x ∈ E es medible.

IX)n∪k=1

Ek yn∩k=1

Ek son medibles.

Los dos resultados siguientes nos proporciona nuevos ejemplos de funciones y conjuntosmedibles.

Proposición 7.4. Toda función continua en Rd es medible. En consecuencia, si f es igualc.s. a una función continua, entonces f es medible.

Proposición 7.5. Si E es abierto o E es cerrado de Rd, entonces E es medible. Por tanto, siE es abierto o cerrado y N es de medida nula, entonces E ∪N y E \N son medibles.

Observación 7.6. En particular, el resultado anterior se aplica al caso de que N sea lafrontera de E. Es decir, los conjuntos con frontera nula, que denominaremos cuadrables, sonmedibles. Pero, atención! No todo conjunto medible es cuadrable: pensemos en Q ⊂ R, demedida nula y cuya frontera es R.

Los conjuntos acotados y cuadrables son los denominados conjuntos con contenido de

Jordan o medibles en el sentido de Jordan, que juegan en la teoría de Riemann un papelsimilar al de los medibles en la de Lebesgue.

Teorema 7.7 (Criterio de comparación). Sea f una función medible en Rd. Se supone queexiste g ∈ L 1(Rd) con |f | ≤

c.s.g, entonces también f es integrable.

Corolario 7.8. Una función medible f es integrable si, y sólo si, |f | es integrable.

Corolario 7.9. Si f es medible en Rd y g, h ∈ L 1(Rd) son tales que g ≤c.s.

f ≤c.s.

h, entonces f es

integrable.

Corolario 7.10. Si f es medible y acotada en Rd y g ∈ L 1(Rd), entonces también f g ∈ L 1(Rd).

Corolario 7.11. Si E es un subconjunto medible y acotado en Rd, entonces E es integrable.

Proposición 7.12. Si E ⊂ Rd es integrable, para cada a ∈ Rd el conjunto a+ E es integrabley m(a+ E) = m(E) .

Teorema 7.13. Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones medibles en Rd que converge c.s.hacia la función f . Entonces f es medible.

Corolario 7.14. Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones medibles en Rd.

I) Si f =∞∑n=1

fn c.s., entonces f es medible.

II) En el caso de que estén definidos c.s., supfn : n ∈ N e ınffn : n ∈ N son funcionesmedibles.

Corolario 7.15. Sea En∞n=1 una sucesión de subconjuntos medibles de Rd. Entonces∞∪n=1

En

y∞∩n=1

En son medibles.

Proposición 7.16. Sea f :Rd → R medible. Para cada a ∈ R los siguientes conjuntos sonmedibles:

x ∈ Rd : f(x) ≤ a

,

x ∈ Rd : f(x) ≥ a

,

x ∈ Rd : f(x) = a

,

x ∈ Rd : f(x) > a

,

x ∈ Rd : f(x) < a

,

x ∈ Rd : f(x) 6= a

.


7.1. Funciones medibles y conjuntos medibles 93

Corolario 7.17. Si f1, f2, . . . , fn y g1, g2, . . . , gn son funciones medibles en Rd y para cadaj = 1, 2, . . . , n se considera ∼j, cualquiera de las relaciones ≤,≥, <,>,= o 6=, entonces elconjunto

x ∈ Rd : f1(x) ∼1 g1(x) , f2(x) ∼2 g2(x) , . . . , fn(x) ∼n gn(x) ,

es medible.

Proposición 7.18. Sea fn∞n=1 una sucesión de funciones medibles en Rd.

I) El conjuntox ∈ Rd : fn(x)∞n=1 converge

es medible.

II) Si α ∈ R, el conjuntox ∈ Rd : fn(x)∞n=1 converge hacia α

es medible

Proposición 7.19. Una función f :Rd → R es medible si, y sólo si, para cada a ∈ R el conjuntox ∈ Rd : f(x) < a

es medible.

Observaciones 7.20.

I) El resultado anterior completa la proposición 7.16 pues incluye su recíproco. En la teo-ría abstracta de la medida las funciones medibles f se definen, una vez que se tiene elespacio de medida (la familia de los subconjuntos medibles) como aquellas tales que los

conjuntos f < a, f ≤ a, etc., son medibles; las funciones del tipon∑k=1

akχEk, deno-

minadas simples son medibles según esta definición, y cualquiera que sea límite c.s. deuna sucesión de funciones simples también será medible. Conocida la medida de los con-juntos medibles, el proceso de integración es similar al que hemos presentado, jugandolas funciones simples el mismo papel que en nuestro esquema han jugado las funcionesescalonadas.

II) Estamos ahora en condiciones de examinar comparativamente las teorías de la integralde Riemann y de Lebesgue:

1. En la teoría de Riemann (propia) se consideran funciones f acotadas en interva-los acotados I. La integrabilidad de f en I se establece en términos de particiones

I =n∪k=1

Ik en subintervalos de diámetro cada vez más pequeño, confiando en que la

función “oscile poco” y que las sumas de Darbouxn∑

k=1

ınff(x) : x ∈ Ikm(Ik) yn∑

k=1

supf(x) : x ∈ Ikm(Ik)

disten poco entre sí (cada vez menos haciendo el diámetro de la partición más pe-queño). La integral de Riemann es el límite común de las sumas de Darboux (límitecreciente para las sumas inferiores y decreciente para las superiores).

2. En la teoría de Lebesgue es irrelevante que f sea acotada o que se anule fuera deun conjunto acotado. Pongamos que f ≥ 0 (esta suposición no supone ningunalimitación en el razonamiento pues |f | será integrable si lo es f , y permite visualizarmejor lo expuesto). La idea es considerar particiones de la imagen, p.e., si n ∈ N,entonces [0,∞) = ∪

k∈N[(k − 1)/n, k/n) y los conjuntos An,k = (k − 1)/n ≤ f < k/n son

medibles. Las funciones

sn =

n2∑

k=1

k − 1

nχAn,k

son funciones medibles y simples, además, sn ↑n→∞

f . Lo que importa, no es que los

conjuntos An,k tengan medida grande o pequeña (lo que, por otra parte, no tienenada que ver con su carácter de acotados o no), sino que las sumas

∫sn =

n2∑

k=1

k − 1

nm(An,k)

permanezcan acotadas: el superior, que es también el límite, de las integrales∫sn

es, por definición, la integral de f .



III) Según 7.15 los conjuntos abiertos, los cerrados, los de medida nula, y los que obtenga-mos de ellos mediante uniones o intersecciones numerables son medibles. En realidad,es difícil imaginar conjuntos no medibles, al menos entre los que uno se encuentra enlos modelos de la Ciencia y la Técnica. Vitali proporciona en 1905 el primer ejemplo (verejercicio 7.9), ahora bien, su construcción requiere del Axioma de Elección, un postuladoequivalente al Lema de Zorn o al Principio de Buena Ordenación, que suele ser admitidopor la mayoría de la comunidad matemática.

La duda de si la existencia de conjuntos no medibles puede ser establecida independien-temente de ese axioma no fue resuelta hasta 1971, cuando Solovay muestra que en laaxiomática tradicional (la de Zermelo y Fraenkel) la existencia de conjuntos no medi-bles Lebesgue en R es un indecidible, es decir, una proposición tal que ella misma o sunegación se pueden añadir al sistema axiomático resultando otro sistema consistente.

En otras palabras: si admitimos el Axioma de Elección, entonces en R hay subconjuntosno medibles en el sentido de Lebesgue; si no lo admitimos, podemos afirmar que existenconjuntos no medibles o que no existen, lo que nos apetezca.

IV) Según la proposición 7.19 la existencia de funciones no medibles va ligada a la existenciade conjuntos no medibles. Aún suponiendo su existencia es difícil toparse, en la prác-tica, con una de ellas. Nótese la gran ventaja respecto a la integral de Riemann: en eseotro caso no cabe siquiera preguntarse por la integrabilidad de una función que no seacontinua c.s. (ver teorema 6.17).

7.2. Integración en conjuntos medibles

Definición 7.21. Sean E un subconjunto medible de Rd y f :E → R.

I) Se dice que f es medible en E si fχE es medible en Rd.

II) Se dice que f es integrable en E si fχE es integrable en Rd. En este caso se define laintegral de f en E como la integral de fχE en Rd y se representa f ∈ L 1(E).

Notación: La integral de una función f en un conjunto E se denota por∫

E

f(x) dx ,

∫

E

f , etc.

y también siguiendo las pautas indicadas en las observaciones 6.3.II y 6.21.IV.

Observación 7.22. La integral en un subconjunto medible es, por definición la integral deuna función en Rd, así que las propiedades generales de linealidad, monotonía, etc. relatadasen 6.4 son igualmente válidas para la integración en subconjuntos. En añadidura, se tienenlas siguientes propiedades.

Propiedades 7.23. Sean E y E1, E2, . . . , En subconjuntos medibles de Rd.

I) Si f ∈ L 1(Rd) entonces f|E ∈ L 1(E).

II) Si f ∈ L 1(Ek) para cada k = 1, 2, . . . , n entonces f es integrable enn∪k=1

Ek. Si además los

conjuntos Ek son disjuntos dos a dos, o simplemente, si se tiene que Ek∩El es de medidanula para k 6= l, entonces se verifica que

∫n∪

k=1Ek

f =

n∑

k=1

∫

Ek

f .

III) Si E integrable y f es medible en E y acotada c.s. en E, entonces f es integrable en E.

IV) En particular si m(E) = 0 o si f =c.s.

0 en E, se tiene que

∫

E

f = 0 .

Recíprocamente, si f es medible en E y la integral de |f | en E es 0, ha de suceder nece-sariamente una de las dos cosas: m(E) = 0 o f =

c.s.0 en E.


7.2. Integración en conjuntos medibles 95

Los siguientes resultados son consecuencia de los teoremas de paso al límite en la integral.En unos casos se trata simplemente de la convergencia c.s. en el conjunto medible E deuna sucesión genérica de funciones medibles. En otros casos, estas funciones están dadasen términos de las funciones características de conjuntos (como en la observación 6.21.III).

Nótese que si An ⊂ An+1 para todo n ∈ N, entonces χAn↑

n→∞

χA, siendo A =∞∪n=1

An.

Proposición 7.24. Sean E un subconjunto medible de Rd y ϕn∞n=1 una sucesión de funcio-nes medibles que converge uniformemente en E hacia la función ϕ.

I) Si f ∈ L 1(E) y f ϕn ∈ L 1(E) para todo n ∈ N, entonces f ϕ ∈ L 1(E) y∫

E

f ϕ = lımn→∞

∫

E

f ϕn.

II) En particular (tomando f = 1), si E es integrable y para cada n ∈ N se tiene que ϕn esintegrable en E, entonces ϕ es integrable en E y

∫

E

ϕ = lımn→∞

∫

E

ϕn.

Teorema 7.25. Sean En, n ∈ N, subconjuntos medibles de Rd, disjuntos dos a dos. Pongamos

E =∞∪n=1

En. Si f es integrable en E entonces

I) f es integrable en En para todo n.

II) La serie numérica∞∑n=1

∫Enf es absolutamente convergente.

III)∫Ef =

∞∑n=1

∫Enf .

A modo de recíproco:

Teorema 7.26. Sean En, n ∈ N, subconjuntos medibles de Rd, disjuntos dos a dos, y sea

E =∞∪n=1

En. Se supone que f es una función medible en E, integrable en cada En, y tal que la

serie numérica∞∑n=1

∫En|f | es convergente. Entonces f ∈ L 1(E) y

∫

E

f =

∞∑

n=1

∫

En

f.

Corolario 7.27. Sean En, n ∈ N, subconjuntos integrables de Rd, disjuntos dos a dos. Si la

serie numérica∞∑n=1

m(En) es convergente, entonces E =∞∪n=1

En es integrable y

m(E) =

∞∑

n=1

m(En).

7.2.1. Comentarios sobre espacios de medida

La igualdad en el último corolario sigue vigente si convenimos en que un conjunto medibleno integrable tiene medida ∞ y que la suma de una serie de términos positivos divergentees ∞ (incluyendo la posibilidad de que alguno de sus términos sea infinito); igual que parafunciones medibles y no negativas, pero no integrables, se puede asignar no obstante el valor∞ a su integral permaneciendo válidos los teoremas fundamentales de paso al límite bajo elsigno integral (ver comentarios 6.2.1). De esta forma tenemos una medida, finita o infinita,asignada a cada conjunto medible. Esta situación, hablando de los espacios euclídeos, no esmás que un caso particular de una teoría más general. Lo que se expone a continuación nopretende establecer un marco de trabajo, que sería propio de un curso de Análisis Real, sinoque va dirigido a familiarizar al lector con una terminología y notación de uso corriente enposteriores estudios y a facilitarle una visión global en el ámbito de todas las matemáticas.



Definición 7.28. Sea X un conjunto. Se dice que una subfamiliaM de P(X) es una σ-álgebra

en X si verifica:

I) X ∈M.

II) Si A ∈M, entonces X \A ∈M.

III) Si An ∈M, n ∈ N entonces∞∪n=1

An ∈M.

En este caso se dice que el par (X,M) es un espacio medible y los elementos de la familiaMse denominan conjuntos medibles.

El prefijo σ se usa habitualmente para denotar procesos numerables (por ejemplo: unespacio σ-compacto es unión numerable de compactos, aunque él mismo no los sea, comolos abiertos de Rn). Si la última condición se limita a uniones finitas, entonces se habla deun álgebra de conjuntos.

De los 3 axiomas de la definición se deduce que siM es σ-álgebra en X, entonces el con-junto vacío y las intersecciones numerables de conjuntos medibles son conjuntos medibles.

Definición 7.29. Sea (X,M) un espacio medible. Una medida (positiva) en M es una apli-cación µ:M→ [0,∞] tal que

µ(∞∪n=1

An) =

∞∑

n=1

µ(An)

para cada familia numerable de conjuntos medibles An : n ∈ N con An ∩Ak = Ø para n 6= k.

Un espacio de medida es una terna (X,M, µ) donde X es un conjunto,M es una σ-álgebraen X, y µ es una medida enM.

Ejemplos 7.30.

I) Si en Rd se considera la familia M de los subconjuntos medibles y se define m(E) =∫E1

(dando el valor ∞ si E no es integrable), entonces (Rd,M,m) es un espacio de medida.

II) Si X es un conjunto y x0 ∈ X la aplicación definida en P(X) por

δ(A) =

1 si x0 ∈ A,0 si x0 /∈ A,

es una medida, denominada delta de Dirac soportada en x0.

III) La aplicación definida en P(N) por

p(A) =∑

n∈A

1

2n

es un probabilidad, es decir, una medida positiva y finita cuya variación total, p(N), esigual a 1.

IV) Si ρ es una función medible, no negativa e integrable en los compactos de Rd, entoncesla aplicación definida en los conjuntos medibles Lebesgue por

µ(E) =

∫

E

ρ(x) dm(x)

es una nueva medida; se dice que µ es absolutamente continua respecto de m y que ρ esla función de densidad de µ (o derivada de Radon-Nicodym) de µ respecto de m.

V) Como en el apartado anterior, si además∫Rd ρ = 1, entonces µ es una probabilidad.

Un caso notable, por su frecuente aparición, es el de la distribución de probabilidadnormal o gaussiana en R:

p(E) =

∫

E

1√πe−x

2

dx .

En general, dados M ∈ R y σ > 0, la función de la forma

p(E) =

∫

E

1

σ√2π

e−(x−M)2/2σ 2

dx ,

es una probabilidad; cualquier variable aleatoria con esta distribución de probabilidadtiene esperanza igual a M y varianza igual a σ2.


7.2. Integración en conjuntos medibles 97

7.2.2. Conceptos físicos definidos por integrales

No pretendemos aquí más que mostrar como la noción de integral interviene en los mode-los de las ciencias experimentales más allá de la simple idea de área, volumen, etc.

En numerosos modelos de la Física Matemática una magnitud µ definida en un subcon-junto de Rp está subordinada a la medida mp en el sentido de que si mp(E) = 0 entoncesµ(E) = 0. Por ejemplo, si µ(E) representa la masa presente en el subconjunto E de R3, eslógico establecer, si se idealiza la materia como un medio continuo, que µ(E) = 0 si E tienevolumen 0. Esa subordinación o continuidad absoluta de µ respecto de m viene dada (la prue-ba queda fuera de los objetivos de este curso) por una densidad, concepto que se define acontinuación, generalizando lo ya comentado en el ejemplo 7.30.IV.

Definición 7.31. Sean A un subconjunto medible de Rp y µ una función de conjunto, queasigna a cada compacto K ⊆ A el número real µ(K) ≥ 0. Se dice que ρ:A → R es una función

de densidad (o simplemente densidad) para µ si es medible, no negativa, e integrable en loscompactos de A, y se verifica que:

µ(K) =

∫

K

ρ(x) dx para todo compacto K ⊆ A.

En estas condiciones, obviamente µ(K) = 0 si mp(K) = 0.

Las siguientes definiciones se establecen en R3 por ser ésta la situación más común,pero no hay problemas en generalizarlas a dimensión arbitraria. En lo que sigue A seráun subconjunto de R3 y µ una medida dada en A por la densidad ρ en los términos de ladefinición precedente.

Definición 7.32. Dado un conjunto compacto (o simplemente un conjunto medible y acota-do) K ⊆ A con µ(K) > 0, el centro de K relativo a µ es el punto cK ∈ R3 dado por

1

µ(K)

(∫∫∫

K

x ρ(x, y, z) dx dy dz ,

∫∫∫

K

y ρ(x, y, z) dx dy dz ,

∫∫∫

K

z ρ(x, y, z) dx dy dz

).

Observaciones 7.33.

I) Si ρ es una densidad de masa, cK se denomina también centro de masa de K; si µrepresenta la carga eléctrica, cK se llama centro de carga de K, etc.

II) Para sólidos homogéneos (con densidad constante) el centro de masa viene dado por

cK =1

m(K)

(∫∫∫

K

x dx dy dz ,

∫∫∫

K

y dx dy dz ,

∫∫∫

K

z dx dy dz

).

III) En la definición anterior, las integrales normalizadas dividiendo por la medida del con-junto son el análogo continuo a las sumas ponderadas en los modelos discretos: six1,x2, . . . ,xn son puntos del espacio donde se concentran masas µ1, µ2, . . . , µn, entonces

c =1

µ1 + µ2 + . . .+ µn

(µ1x1 + µ2x2 + . . .+ µnxn

)

es el centro de masas de dicho sistema; esto es, a efectos mecánicos, en estado de reposo,podemos considerar toda la masa µ = µ1 + µ2 + . . .+ µn concentrada en el punto c.

Definición 7.34. Sea K ⊆ A un conjunto compacto (o simplemente un conjunto medible yacotado). Fijada una recta L de R3 (un eje de rotación) se define el momento de inercia de Krespecto del eje L como la integral

∫∫∫

K

R 2L(x) ρ(x) dx ,

siendo RL la función distancia a L: RL(x) = mın‖x− p ‖ : p ∈ L

.

Observación 7.35. El momento de inercia de un cuerpo cuantifica su resistencia a adquiriruna aceleración angular. Cuanto más concentrada esté la masa del sólido cerca del eje derotación, más pequeña será la función integrando (por eso los patinadores estiran sus brazospara disminuir la velocidad de giro o se encogen para aumentarla).

En el caso discreto descrito en 7.33.III el momento de inercia viene dado porn∑k=1

µk R2L(xk) .



7.3. Integración iterada

En el tema anterior ya hemos proporcionado recursos de cálculo para funciones de unavariable. Lo que se expone ahora, reducir una integral múltiple a varias integrales en interva-los de la recta, viene a completar aquello, permitiendo en muchos casos, no sólo determinarel carácter integrable o no integrable de una función, sino también calcular el valor de suintegral.

Notación: Si x = (x1, x2, . . . , xp) ∈ Rp, y = (y1, y2, . . . , yq) ∈ Rq, representaremos por (x,y) alelemento de Rp+q dado por

(x,y) = (x1, . . . , xp, y1, . . . , yq).

Esto está justificado por los isomorfismos lineales Rp+q ≃ Rp × Rq ≃ Rp ⊕ Rq.

Definición 7.36. Sean E un subconjunto de Rp+q y f :Rp+q → R.

I) Se define la proyección de E en Rp como el subconjunto de Rp dado por

Π1(E) = x ∈ Rp : (x,y) ∈ E para algún y ∈ Rq,y se define la proyección de E en Rq como el subconjunto de Rq dado por

Π2(E) = y ∈ Rq : (x,y) ∈ E para algún x ∈ Rp.

II) Fijado x ∈ Rp se define la sección de E por x como el subconjunto de Rq dado por

Ex = y ∈ Rq : (x,y) ∈ E .Análogamente, para y ∈ Rq la sección de E por y es el subconjunto de Rp dado por

Ey = x ∈ Rp : (x,y) ∈ E,

III) Para cada x ∈ Rp la sección de f por x es la función fx:Rq → R definida por

fx(y) = f(x,y).

Análogamente, si y ∈ Rq, la sección de f por y es la función x ∈ Rp 7→ fy(x) = f(x,y).

Observaciones 7.37.

I) Si I es un intervalo de Rp+q es obvio que sus proyecciones son intervalos J1 = Π1(I) ⊂ Rp

y J2 = Π2(I) ⊂ Rq. Además I = J1 × J2.II) Las secciones de un conjunto E heredan algunas propiedades de él, pero en general

hay que ser cauteloso. Por ejemplo, las secciones de un abierto son abiertas, las de uncompacto son compactas, pero las de un conexo no necesariamente son conexas, ni todaslas secciones de un conjunto medible en Rp+q son necesariamente medibles en Rp o Rq.

III) Aunque las definición anterior se han dado en términos de un agrupamiento ordenado delas variables, no hay ningún inconveniente en generalizar estos conceptos fijando índices1 ≤ i1 < i2 < . . . ip ≤ d = p+ q y pensando en Rd como la suma directa de dos subespaciosde dimensiones p y q (los asociados a las variables agrupadas en x = (xi1 , xi2 , . . . , xip) ey = (xip+1

, xip+2, . . . , xip+q

).

Las secciones de funciones o de conjuntos se comportan bien respecto a las operacioneshabituales. Precisando más, se verifican las siguientes propiedades:

Propiedades 7.38. Sean E , Ei : i ∈ I subconjuntos de Rp+q y f, g, fn∞n=1 funcionesdefinidas en Rp+q.

I) |fx| = |f |x ; (f+)x = (fx)+ ; (f−)x = (fx)

− .

II) Si fn∞n=1 converge hacia f en Rp+q, entonces (fn)x∞n=1 converge hacia fx en Rq.

III) (f + g)x = fx + gx ; (f g)x = fxgx ; (λ f)x = λ fx , λ ∈ R .

IV) (χE)x = χEx;(∪i∈I

Ei

)x= ∪i∈I

(Ei)x .


7.3. Integración iterada 99

Teorema 7.39 (de Fubini para funciones escalonadas). Sea α una función escalonada enRd = Rp+q. Para cada x ∈ Rp la sección αx:R

q → R es escalonada; la función definida por

x ∈ Rp 7−→ ϕ(x) =

∫

Rq

αx(y) dy =

∫

Rq

α(x,y) dy

es escalonada en Rp y además∫

Rp+q

α =

∫

Rp

ϕ(x) dx =

∫

Rp

(∫

Rq

α(x,y) dy

)dx .

Análogamente, intercambiando los papeles de x e y:∫

Rp+q

α =

∫

Rq

(∫

Rp

α(x,y) dx

)dy .

Teorema 7.40 (de Fubini para conjuntos de medida nula). Sea E un subconjunto deRd = Rp+q de medida nula. Para casi todo x ∈ Rp la sección Ex es de medida nula en Rq.Análogamente, Ey es de medida nula en Rp para casi todo y ∈ Rq.

Teorema 7.41 (de Fubini). Sea f una función integrable en Rd = Rp+q. Para casi todo x ∈ Rp

la función fx es integrable en Rq. La función definida c.s. en Rp por

ϕ(x) =

∫

Rq

fx(y) dy =

∫

Rq

f(x,y) dy

es integrable en Rp y además∫

Rp+q

f =

∫

Rp

ϕ(x) dx =

∫

Rp

(∫

Rq

f(x,y) dy

)dx .

Análogamente, intercambiando los papeles de x e y:∫

Rp+q

f =

∫

Rq

(∫

Rp

f(x,y) dx

)dy .

Corolario 7.42. Sea E un subconjunto medible de Rp+q. Para casi todo x ∈ Rp la sección Ex

es un conjunto medible en Rq.

Aplicando reiteradamente el teorema de Fubini se obtiene el siguiente resultado que nospermite reducir el cálculo de una integral en Rp al de p integrales en R.

Corolario 7.43. Sea f una función integrable en Rp, entonces∫

Rp

f(x) dx =

∫

R

(· · ·

(∫

R

(∫

R

f(x1, x2, . . . , xp) dx1

)dx2

)· · ·

)dxp

estando cada una de las funciones integrando definida c.s. en R. Lo mismo para cualquierpermutación del orden de las variables.

En particular, si E = I1 × I2 × · · · × Ip es un intervalo (no necesariamente acotado) de Rp, yaj < bj son los extremos de cada intervalo Ij ⊂ R y f es integrable en E. Entonces

∫

E

f(x) dx =

∫ bp

ap

(· · ·

(∫ b2

a2

(∫ b1

a1

f(x1, x2, . . . , xp) dx1

)dx2

)· · ·

)dxp.

Observación 7.44. Las integrales que aparecen en los teoremas anteriores, operando paula-tinamente sobre grupos de variables

∫

Rp

(∫

Rq

f(x,y) dy

)dx ,

∫

R

(· · ·

(∫

R

(∫

R

f(x1, x2, . . . , xp) dx1

)dx2

)· · ·

)dxp, etc.

reciben el nombre común de integrales iteradas. El teorema de Fubini proporciona entoncesun procedimiento iterativo de cálculo, pero bajo la premisa de la integrabilidad de la función.

Pero el recíproco del teorema de Fubini no es cierto, precisando más: el hecho de queexistan las integrales iteradas de una función no implica la integrabilidad de la misma. Esto



no debe extrañarnos si pensamos en las nociones de serie condicionalmente convergente yde función numerablemente escalonada (ver ejercicios 7.13 y 7.14).

Como en el caso mencionado de las series, el carácter de sumabilidad1 incondicional vaasociado a la sumabilidad del valor absoluto o módulo. Esta consideración es la que estableceel siguiente teorema que proporciona un criterio de integrabilidad.

Teorema 7.45 (Criterio de Tonelli). Sea f una función medible en Rp+q. Supongamos quela integral iterada ∫

Rp

(∫

Rq

∣∣f(x,y)∣∣ dy

)dx

existe y es finita, esto es, que para casi todo x ∈ Rp la sección |f |x es integrable en Rq y quela función ψ definida c.s. en Rp por

ψ(x) =

∫

Rq

∣∣f(x,y)∣∣ dy

es integrable en Rp. Entonces f es integrable en Rp+q.

Observaciones 7.46.

I) Por supuesto, análogo resultado se obtiene intercambiando los papeles de x e y en elteorema de Tonelli.

II) La aplicación iterada, al estilo de 7.43, muestra que si f es medible en Rp y∫

Rp

∣∣f(x)∣∣ dx =

∫

R

(· · ·

(∫

R

(∫

R

∣∣f(x1, x2, . . . , xp)∣∣ dx1

)dx2

)· · ·

)dxp

es finita, entonces f es integrable.

III) En el teorema de Tonelli la hipótesis de medibilidad de f es esencial. Alrededor de 1920,Sierpinski probó, asumiendo el Axioma de Elección, la existencia de un conjunto A ⊂ R2

no medible en el sentido de Lebesgue y tal que toda recta del plano lo corta a lo sumo endos puntos; en particular, todas las secciones de A son de medida nula y

∫

R

(∫

R

χA(x, y) dy

)dx =

∫

R

m1(Ax) dx =

∫

R

0 dx = 0 ,

aunque 0 no es el área de A, de hecho, ni siquiera tiene sentido considerar m2(A).

7.3.1. Ejemplos notables de aplicación

Sean E un subconjunto medible de Rd = Rp+q y f :E → R integrable. En teoría, la integralde f en E se puede calcular de forma iterada, pues si f∗ = fχE es la extensión de f por 0 alresto del espacio Rd, se tiene que

∫

E

f(x,y) dx dy =

∫

Rp+q

f∗(x,y) dx dy =

∫

Rp

(∫

Rq

f∗(x,y) dy

)dx .

Ahora bien, pensando en la eficiencia del cálculo, si x /∈ Π1(E) entonces Ex = Ø y f∗(x,y) = 0;también, aunque Ex 6= Ø, si y /∈ Ex de nuevo es f∗(x,y) = 0. Esto sugiere simplificar así:

∫

E

f(x,y) dx dy =

∫

Π1(E)

(∫

Ex

f(x,y) dy

)dx .

El problema es que, aunque para casi todo x ∈ Rp el conjunto Ex es medible en Rq (vercorolario 7.42), nada garantiza que sea medible en Rp la proyección Π1(E), así que estacondición ha de darse como hipótesis para poder proceder en la manera indicada.

En la práctica, al tratar los problemas que suscitan las ciencias experimentales, los con-juntos que aparecen (p.e. como dominio de definición de las magnitudes físicas consideradas)suelen ser sencillos, tales que su frontera es una unión de variedades (curvas en R2, superfi-cies en R3, etc.). En estas situaciones el problema de la integración iterada, antes que nada,pasa por determinar extremos de intervalos (las secciones de los conjuntos), hablando colo-quialmente por “poner los límites de integración”. En los siguientes ejemplos se describen lassituaciones más comunes en dimensiones 2 y 3.

1El término función sumable es sinónimo de función integrable, aunque con el tiempo va cayendo en desuso.


7.3. Integración iterada 101

Ejemplos 7.47.

I) Sean (a, b) un intervalo de R (acotado o no) y ϕ1, ϕ2 funciones medibles en (a, b) tales queϕ1(x) ≤ ϕ2(x) para cada x ∈ (a, b). El conjunto A de R2 definido por

A = (x, y) ∈ R2 : x ∈ (a, b) , ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)es medible (ver figura 7.1). Si f es una función integrable en A se tiene que

∫∫

A

f(x, y) dx dy =

∫ b

a

(∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y) dy

)dx .

Un resultado análogo se obtiene intercambiando los papeles de las variables x e y.

a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x) a ≤ y ≤ b, ϕ1(y) ≤ x ≤ ϕ2(y)

Figura 7.1: Integración iterada en dos variables.

II) Sean A ⊂ R2 medible y ψ1, ψ2 funciones medibles en A tales que ψ1(x, y) ≤ ψ2(x, y) paracada (x, y) ∈ A . El conjunto E de R3 definido por

E = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ A , ψ1(x, y) ≤ z ≤ ψ2(x, y)es medible (ver figura 7.2). Si f es una función integrable en E se tiene que

∫∫∫

E

f(x, y, z) dx dy dz =

∫∫

A

(∫ ψ2(x,y)

ψ1(x,y)

f(x, y, z) dz

)dx dy . (7.1)

yAx

E

z

Figura 7.2: E = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ A , ψ1(x, y) ≤ z ≤ ψ2(x, y).

III) Si el conjunto A considerado en el caso anterior es a su vez del tipo considerado en elejemplo 7.47.I, es decir,

E = (x, y, z) ∈ R3 : x ∈ (a, b) , ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x) , ψ1(x, y) ≤ z ≤ ψ2(x, y) ,con ϕ1, ϕ2 medibles en (a, b), ψ1, ψ2 medibles en A, la integral doble que aparece en laigualdad (7.1) se calcula de nuevo iteradamente, resultando

∫∫∫

E

f(x, y, z) dx dy dz =

∫ b

a

(∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

(∫ ψ2(x,y)

ψ1(x,y)

f(x, y, z) dz

)dy

)dx .

IV) Si E es un subconjunto medible de R3, entonces al agrupar las coordenadas en la forma((x, y), z

), para una función f ∈ L 1(E) se tiene que

∫∫∫

E

f =

∫ ∞

−∞

(∫∫

Ez

f(x, y, z) dx dy

)dz ,

fórmula que se conoce con el nombre de integración por secciones planas.



Este método resulta recomendable cuando las secciones Ez son sencillas de describir y/ola función f no depende de (x, y): si f(x, y, z) = g(z) la integral anterior se escribe

∫∫∫

E

f =

∫ ∞

−∞

(∫∫

Ez

g(z) dx dy

)dz =

∫ ∞

−∞

g(z)m2(Ez) dz .

Supongamos que, además, E es acotado (integrable, por lo tanto) y, concretamente, queestá contenido en el intervalo I = [a1, b1] × [a2, b2] × [a3, b3]. Entonces, para cada casi todoz ∈ [a3, b3] el conjunto

Ez =(x, y) ∈ R2 : (x, y, z) ∈ E

⊂ [a1, b1]× [a2, b2]

es medible, luego es integrable. Al aplicar lo anterior a la función constante igual a 1 seobtiene la fórmula conocida como principio de Cavalieri (ver figura 7.3), nombre dado enhonor a este científico italiano que en el siglo XVII intuyó esta propiedad anticipándoseal desarrollo del Cálculo Integral.

E = ∪a3≤z≤b3

Ez×z

m3(E) =

∫ b3

a3

m2(Ez) dz

Figura 7.3: Principio de Cavalieri.

Nota: En Física el término “Principio” se usa con una acepción similar a la de “Axioma”;

hoy en día, aunque se le siga denominando Principio, el de Cavalieri no es más que un

corolario del teorema de Fubini.

Ejercicios

7.1 Sea f :Rd → R tal que para cada r ∈ Q, el conjuntox ∈ Rd : f(x) ≥ r

es medible.

Demostrar que f es medible.

7.2 Sean E un subconjunto de Rd y En : n ∈ N una partición de E en conjuntos medibles.Probar que una función f definida en E es medible si, y sólo si, sus restricciones f|En

sonmedibles para todo n ∈ N.

7.3 (Desigualdad de Chebyshev) Sean E un conjunto medible de Rd y f una función inte-grable en E. Dado un número real c > 0 se considera el conjunto

Ac =x ∈ E : |f(x)| ≥ c

.

Probar que

m(Ac) ≤1

c

∫

Ac

|f | ≤ 1

c

∫

E

|f | .

7.4 Demostrar que, si f ∈ L 1(Rd), el conjuntox ∈ Rd : f(x) 6= 0

es unión numerable de

conjuntos de medida finita.

7.5 Sean E ⊂ Rd medible y f ∈ L 1(E) con f(x) > 0 para casi todo x de E. Probar que

lımn→∞

∫

E

f1/n = m(E) (se conviene que m(E) = ∞ si E no es integrable).

7.6 Sea En∞n=1 una sucesión de conjuntos integrables de Rd tal que∞∑n=1

m(En) < ∞ . De-

mostrar que el conjunto E = x ∈ Rd : x ∈ En para infinitos n es despreciable.


Ejercicios 103

7.7 Sea f :Rd → R medible. Para cada n = 0, 1, 2, . . . se define

En =x ∈ Rd : n < |f(x)| ≤ n+ 1

.

I) Probar que, si f es integrable, entonces∞∑

n=0

nm(En) <∞ .

II) Si el conjuntox ∈ Rd : |f(x)| > 0

=

∞∪n=0

En es integrable (de medida finita), entonces la

convergencia de la serie anterior implica que f es integrable.

7.8 Para cada n = 0, 1, 2, . . . sea

En =(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0 , n2 ≤ x2 + y2 < (n+ 1)2

.

Probar que, para cada (x, y) ∈ En

e−(x2 + y2)

5/2y3 ≤ e−n5

(n+ 1)3 ,

y deducir que la función

f(x, y) = e−(x2 + y2)

5/2y3

es integrable en el conjunto

E =(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0

=

∞∪n=0

En .

7.9 (El conjunto de Vitali) En el intervalo [0, 1] se define la relación binaria:

xRy si, y sólo si, x− y ∈ Q .

El intervalo [0, 1] se escribe como unión disjunta de las clases de equivalencia que determinala relación R. Se elige un punto de cada clase de equivalencia y se considera el conjunto Ade los puntos elegidos. El conjunto A no es medible. La prueba se realiza por reducción alabsurdo siguiendo el esquema que se relata continuación:

I) R es, efectivamente, una relación de equivalencia.

II) Si se supone que A es medible entonces también lo es cualquier trasladado, y con igualmedida: m(x+A) = m(A).

III) Si r, s ∈ Q con r 6= s se tiene que (r +A) ∩ (s+A) = Ø.

Ahora, dada cualquier numeración r1, r2, . . . , rn, . . . de Q∩ [−1, 1] se considera An = rn+A

y B =∞∪n=1

An; se tiene que [0, 1] ⊂ B ⊂ [−1, 2] . Si A fuese medible se tendría que

m([0, 1]) = 1 ≤ m(B) =

∞∑

n=1

m(An) ≤ 3 = m([−1, 2]) .

7.10 Haciendo uso del conjunto de Vitali demostrar la existencia de:

I) Una función f no medible (resp. no integrable) en R, pero tal que |f | es medible (resp.integrable).

II) Un conjunto medible E de R2 tal que su proyección π1(E) = ∪y∈Rx : (x, y) ∈ E no es

medible en R (ver ejercicio 5.10).

III) Un conjunto medible E de R2 tal que la sección Ex = y : (x, y) ∈ E es no medible parauna infinidad de abscisas x ∈ R.

7.11 Sea f :R→ [0,∞) una función medible, y sea

Ω =(x, y) ∈ R2 : x ∈ R, 0 ≤ y ≤ f(x)

.

Probar que Ω es medible y que

m2(Ω) =

∫

R

f(x) dx .



7.12 Sea f :R→ R una función medible. Probar que su grafo

Γ(f) =(x, f(x)

): x ∈ R

es un conjunto de medida nula en R2.

7.13 Sea f la función numerablemente escalonada en R2 definida por

f =∑

n∈Z

(χ(n,n+1]×(n,n+1] − χ(n,n+1]×(n−1,n]

).

Calcular, si existen, las integrales iteradas de f . ¿Es integrable en R2 esta función?

7.14 Se considera la función definida c.s. en R2 por

f(x, y) =x y

(x2 + y2)2.

Demostrar que las integrales iteradas de f existen y son iguales. ¿Es f integrable en R2?

7.15 En los siguientes casos comprobar que la función f es integrable en el intervalo I ycalcular su integral:

I) I = [0, 2]× [0, 2] , f(x, y) = x⌊y+1⌋ y⌊x+1⌋ .

II) I = [0, 1]× [0, 1] , f(x, y) =

x si x > y,

y2 si x ≤ y.III) I = [0, π]× [0, 1] , f(x, y) = |y − sen(x)| .IV) I = [0, 1]× [0, 1] , f(x, y) = |y − e−x| .V) I = [2, 3]× [0, 1] , f(x, y) = (x− y)⌊2 y⌋ .

VI) I = [2, 3]× [0, 1] , f(x, y) =y3 − 2x y2 + x2 y + x− 1

(x− y)2(x− 1).

VII) I = [0, 2]× [0, 2] , f(x, y) = |y − 2x| .VIII) I = [0, 2]× [0, 2] , f(x, y) =

√|2x− y2| .

IX) I = [−1, 1]× [−1, 1] , f(x, y) = maxx, y .

X) I = [1, 2]× [1, 2] , f(x, y) =

(x+ y)−1 si x ≥ y ;

0 si x < y .

7.16 Sean a, b números reales con 0 < a < b e I = [0, 1] × [a, b]. Considerando la integral enI de la función f(x, y) = xy, deducir que

∫ 1

0

xb − xalog(x)

dx = log( b+ 1

a+ 1

).

7.17 Mediante el estudio de la integral de la función

f(x, y) =1

(1 + y) (1 + x2 y)

en el intervalo [0, 1]× [0, 1] deducir que∫ 1

0

1

x2 − 1log

(x2 + 1

2

)dx =

π2

16.

7.18 Recordemos que, si s, t ∈ R, se define la exponencial del número complejo s + i t pores+it = es

(cos(t) + i sen(t)

).

I) Calcular el valor de la integral de la función compleja f definida por

f(x, y) = ei2πxei2πy

en un rectángulo compacto [a, b]× [c, d] de R2.

II) Deducir que si Ik : 1 ≤ k ≤ m es una partición del intervalo I de R2 tal que cadasubintervalo Ik tiene al menos un lado de longitud entera, entonces I tiene al menos unlado de longitud entera.


Ejercicios 105

7.19 Sea f :R → R una función continua y par (f(t) = f(−t) para cada t ∈ R). Si a > 0 yA = [0, a]× [0, a], pruébese la igualdad

∫∫

A

f(x− y) dx dy = 2

∫ a

0

(a− t) f(t) dt .

Deducir el valor de la integral de la función |x− y| cos(x− y) en el intervalo [0, π/2]× [0, π/2] .

7.20 Calcular:

I)∫∫

(0,1)×(0,1)

√y√xdx dy .

II)∫∫

(0,1)×(0,1)

dx dy√x+ y

.

III)∫∫

R2

dx dy

(1 + x2) (1 + y2).

IV)∫∫

(1,∞)×(1,∞)

x e−xy dx dy .

7.21 En cada uno de los siguientes supuestos estudiar la integrabilidad de la función f enel abierto I:

I) I = (0, 1)× (0, 1) , f(x, y) = (x y)−α , α > 0 .

II) I = (0, 1)× (1,∞) , f(x, y) =1

xαyβ, α, β > 0 .

III) I = (1,∞)× (1,∞) , f(x, y) = senp( 1

x y

), p > 0 .

IV) I = (0, 1)× (0, 1) , f(x, y) =1√

1− x2 y2.

V) I = (1,∞)× (1,∞) , f(x, y) =x2 + y2 + x2 y3

x3 + y3 + x7 y5 + 1.

VI) I = (1,∞)× (1,∞) , f(x, y) =x2

1 + y2 x4.

7.22 Sean f, g: [0,∞) → R funciones continuas, estrictamente crecientes, con f(0) = g(0) = 0y tales que f g = g f = Id[0,∞), es decir, una es la inversa de la otra.

I) Probar que si a, b > 0 los conjuntos

K1 =(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ f(x)

y K2 =

(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ x ≤ g(y)

son medibles y [0, a]× [0, b] ⊂ K1 ∪K2.

II) Deducir que a b ≤∫ a

0

f(x) dx+

∫ b

0

g(y) dy .

III) Considerando adecuadas funciones potenciales demostrar que si p, q son números realesmayores que 1 y tales que 1/p+ 1/q = 1, entonces se verifica la desigualdad de Young:

a b ≤ ap

p+bq

q.

7.23 Calcular∫∫Kf en los siguientes casos:

I) K = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ x ≤ √y , f(x, y) = x e−x2

/y .

II) K = (x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y ≤ 1 , f(x, y) = x2 + y2 .

III) K = (x, y) ∈ R2 : x+ y ≥ 2 , x2 + (y − 1)2 ≤ 1 , f(x, y) = x .

IV) K = (x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 , x ≥ y2 , f(x, y) = x2 + 4 y2 .

V) K = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2− x , f(x, y) = ⌊x+ y⌋ .VI) K = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 , x2 + (y − 1)2 ≤ 1 , f(x, y) = |x+ y − 2| .



VII) K = (x, y) ∈ R2 : x ≤ y2 , y ≤ x , 0 ≤ y ≤ 2 , f(x, y) = sen(π xy

).

VIII) K = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ a2 , f(x, y) =√a2 − x2 , siendo a > 0.

IX) K = (x, y) ∈ R2 : y ≥ 0 , y3 ≤ x ≤ y2 , f(x, y) = ex/y .

X) K = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ y ≤ x2 , 0 ≤ x ≤ 2 , f(x, y) = x2 + y2 .

XI) K =(x, y) ∈ R2 : y ≤ 2 , x/2 ≤ y ≤ x

, f(x, y) = y .

XII) K =(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2x

, f(x, y) = |y − x| .

7.24 Si D es el círculo limitado por la circunferencia de ecuación x2 + y2 −Ry = 0, calcularlas siguientes integrales:

I)∫∫

D

√R− y dx dy .

II)∫∫

D

y dx dy .

7.25 En las siguientes situaciones comprobar que la función f es integrable en el conjuntoE y calcular la integral

I) f(x, y) =(1− y)c(x− y)c , siendo 0 < c < 1; E = (x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1 , 0 < y < x .

II) f(x, y) = x y , E =(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 , y ≥ 0 , 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4

.

III) f(x, y) =1

x, E = (x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1 , 0 < y < x .

IV) f(x, y) =1√

4− x− y , E = (x, y) ∈ R2 : 0 < x , 0 < y , x+ y < 4 .

7.26 Estudiar la integrabilidad de la función f(x, y) = x , en los siguientes conjuntos:

I) A =(x, y) ∈ R2 : x > 0 , 0 < y <

1

1 + x4

.

II) B =(x, y) ∈ R2 : x > 0 , arctg(x) < y < π/2

.

7.27 Estudiar la integrabilidad de f en V en los siguientes casos:

I) f(x, y) =

√x

y, V =

(x, y) ∈ R2 : x > 0 , x < y < x+

1

x

.

II) f(x, y) =1

x4 + y2, V =

(x, y) ∈ R2 : y > x2 + 1

.

III) f(x, y) =sen(exy)

x3y, V =

(x, y) ∈ R2 : x > 1 , 1 < exy < e

x/2

.

IV) f(x, y) =ey/x

1 + y2sen(x)

x, V =

(x, y) ∈ R2 : 0 < y < x < 1

.

V) f(x, y) =e−(x/y)

2

ey

y, V =

(x, y) ∈ R2 : 0 < y < 1 , x > y

.

VI) f(x, y) =sen(x y)

x y, V =

(x, y) ∈ R2 : x > 0 , arctg(x) < y < π/2

.

VII) f(x, y) =1√y

, V =(x, y) ∈ R2 : 0 < y < x < y + e−y

.

VIII) f(x, y) = xα y cos(x y) , V =(x, y) ∈ R2 : x > 0 , |y| < 1

x+ 1

.

IX) f(x, y) =x− cos(y)

y2 + x4, V =

(x, y) ∈ R2 : 1 < x , 0 < y < x

.

X) f(x, y) =1

xα y, V =

(x, y) ∈ R2 : x > 1 ,

√x2 − 1 < y < x

.


Ejercicios 107

7.28 En R3 se considera el cubo unidad C = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1] . Calcular la integral en C delas siguientes funciones:

I) f(x, y, z) =z (y z − x2 − x4)

1 + x2.

II) f(x, y, z) = |x+ y + z − 1| .

III) f(x, y, z) = maxx, y, z .

IV) f(x, y, z) = x2y cos(x y z) .

V) f(x, y, z) = |x2 + y2 + z2 − 1| .

VI) f(x, y, z) = x |y − z| .

7.29 Sean r, h > 0.

I) Demostrar la fórmula del área de un círculo de radio r: m2

(B(x0, r)

)= π r2.

II) Deducir la fórmula para el volumen de una bola de R3: m3

(B(x0, r)

)=

4

3π r3.

III) Deducir la fórmula del volumen para sólidos de revolución E, obtenidos al girar alrededordel eje OX la gráfica, Γ(f) = (x, y) : y = f(x), de la función positiva f : (a, b)→ (0,∞):

m3(E) = π

∫ b

a

f(x)2dx .

En particular:

1. El volumen de un cilindro de altura h y radio de la base r es π r2h .

2. El volumen de un cono de altura h y radio de la base r es1

3π r2h .

Nota: Supóngase, de momento, que estos conjuntos son simétricos respecto a uno de los

ejes coordenados. En el tema siguiente constataremos lo que dicta la intuición: la medida

de Lebesgue, al igual que la métrica en Rn, es invariante por traslaciones, giros y simetrías.

7.30 Calcular la integral de f en K en los siguientes casos:

I) K = (x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤ x ≤ 3 , 1 ≤ y ≤ 3 , 0 ≤ z ≤ √x y , f(x, y, z) = z − x y .

II) K = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤√x− x2 , 0 ≤ z ≤ x2 + y2 , f(x, y, z) = z y

√x2 + y2 .

III) K = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ y2 ≤ 4 , f(x, y, z) = z ⌊x⌋ .

IV) K = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ y , y2 ≤ x2 + z2 ≤ 4 , f(x, y, z) =1

y + 2.

V) K = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ R2 , x2 + y2 + (z −R)2 ≤ R2 , f(x, y, z) = z2.

7.31 Probar que la función

f(x, y, z) =e−y(z+1) sen(y)

1 + z x2

es integrable en el conjunto V =(x, y, z) ∈ R3 : 0 < x < 1 , 0 < y , 0 < z < 1/x

.

7.32 Sea P el sólido limitado por el tetraedro cuyas caras yacen en los tres planos coorde-nados y el plano de ecuación x+ 2 y + 3 z = 6 .

I) Determinar el volumen de P .

II) Calcular el centro de masa de P .

III) Calcular la integral en P de la función f(x, y, z) = x y z .

IV) Calcular la integral en P de la función g(x, y, z) = |x+ y − 3| .



7.33 Un sólido acotado K está limitado por la superficie de ecuación z = x2− y2 y los planosde ecuaciones z = 0 , x = 1 , x = 3 .

I) Calcular el volumen de K.

II) Calcular el centro de masa de K.

III) Demostrar que la función f(x, y, z) = ⌊x⌋ es integrable en K y calcular su integral.

7.34 Sea K el compacto contenido en el primer octante (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) y limitado por losplanos de ecuaciones x+ y = 2 , x+ 2 y = 6 , y el cilindro de ecuación y2 + z2 = 4 . Calcular

∫∫∫

K

z dx dy dz .

7.35 Si K es el compacto contenido en el primer octante y limitado por las dos superficiesde ecuaciones y2 = x− x2 y z2 = 4x , calcular

∫∫∫

K

x2 y z3 dx dy dz .

7.36 Sea E el sólido de R3 limitado por el paraboloide de revolución de ecuación x2+y2+z = 4 ,y el plano de ecuación z = 0 . Calcular el centro de masa de E en los dos supuestos siguientes:

I) La densidad de masa de E es constante (E es homogéneo).

II) La densidad de masa de E, que decrece con la altura, está dada por ρ(x, y, z) =1

1 + z/16.

7.37 Se considera el compacto de R3

K =(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z , x+ y + z ≤ 2

.

I) Expresar la integral de una función f continua en K como integral iterada, al menos dedos formas distintas.

II) Calcular el centro de masa de K.

7.38 Se considera el subconjunto de R3

K =(x, y, z) ∈ R3 : |x|+ |y| ≤ 1 , z ≥ 0 , x2 + y2 + z2 ≤ 1

.

I) Calcular la integral en K de la función f(x, y, z) = z x2.

II) Calcular la integral en K de la función f(x, y, z) = y z2.

7.39 Sean a, b, c números reales positivos.

I) Demostrar que el área del conjunto(x, y) ∈ R2 : x

2/a2 + y2/b2 ≤ 1

es igual a π a b.

II) Mediante el método de secciones planas calcular el volumen del subconjunto de R3 limi-tado por el elipsoide de ecuación

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 .

7.40 Sea r > 0. Se considera el conjunto

K =(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ r2 , x2 + y2 ≤ z

.

Calcular el centro de masa de K.

Tema 8

Integración por cambio de variables

Como en muchas otras situaciones, el germen de la teoría que presentamos ahora es elestudio de casos particulares surgidos, sobre todo, de los modelos de la Física Teórica, siendoel aparato matemático concebido, en principio, de forma heurística hasta que la madurez dela teoría que lo sustenta permite establecer un enunciado y prueba globales.

En este sentido, el cambio de variables es casi tan antiguo como la propia noción deintegral. Por mencionar algunos hitos: hacia 1769 Euler, en su desarrollo de la integral doble,ya contempla una fórmula de índole geométrica del cambio de variable; poco después, en1773 Lagrange usa un cambio de variable en una integral triple, obligado por el estudio deelipsoides, objeto de su trabajo en ese momento; en el manejo de integrales de superficieGauss usa en 1813 cambios de variables para integrales dobles; Ostrogradski enuncia en1836 una primera generalización del teorema del cambio de variables a dimensión arbitrariay dos años después publica la primera prueba para el caso de integrales dobles en términosde “diferenciales”; Jacobi y Catalan publican en 1841 sendos artículos independientes conreferencias al teorema general del cambio de variables en dimensión arbitraria. Por cierto,es bastante común el nombre teorema del jacobiano para referirse al teorema del cambio devariables.

El punto final de esta teoría se puede atribuir a E. Cartan, uno de los padres de la geo-metría diferencial, quien en las postrimerías del s. XIX establece con rigor las nociones deelementos de área, formas diferenciales1, etc., lo que zanja definitivamente el teorema generaldel cambio de variables para la integral múltiple de Riemann.

La prueba del teorema del cambio de variables para la integral de Lebesgue se puede vercomo una simple adaptación del referido a la integral de Riemann: salvo en la forma en quese concibe la convergencia de las sucesiones de funciones escalonadas, hasta ese momentotodo es igual.

8.1. Nociones previas

En primer lugar, recordaremos conceptos que son tratados en un primer curso de Cálcu-lo en una variable y de Álgebra Lineal, nociones elementales, pero fundamentales para elposterior desarrollo de la teoría. Asimismo, comenzaremos contemplando algunas nocionestopológicas, ya zanjadas en los primeros temas o inmediatas a partir de aquellas.

Lema 8.1. Sean U y V abiertos de Rd y ϕ:U ↔ V un difeomorfismo. Si U es conexo tambiénlo es V y la función Jϕ tiene signo constante en U .

Lema 8.2. Sean U y V abiertos de Rd y ϕ un difeomorfismo de U sobre V .

I) Un subconjunto K ⊂ U es compacto si, y sólo si, el conjunto ϕ(K) ⊂ V es compacto.

II) Si K ⊂ U es compacto, entonces Fr(ϕ(K)

)es ϕ

(Fr(K)

).

Observación 8.3. La correspondencia entre las fronteras de un conjunto y su transformadosirve en muchos casos para determinar el segundo conjunto; por ejemplo, si el compacto Kde R2 está delimitado por las curvas Γ1,. . . ,Γm, entonces ϕ(K) está delimitado por las curvasϕ(Γ1),. . . ,ϕ(Γm).

1Hoy en día todavía es frecuente encontrar en textos de Física razonamientos heurísticos basados en la considera-ción de “diferenciales” como incrementos pequeños de las magnitudes: p.e., el volumen de un sólido de revolución sepuede obtener tomando rebanadas infinitesimales del conjunto, que son casi cilindros, y sumando sus volúmenes.

109

110 Tema 8. Integración por cambio de variables

8.1.1. Cambios de variable en una dimensión

Consideremos intervalos de la recta I, J de cualquier naturaleza (acotados o no, abiertos ono) y ϕ: I → J una biyección de clase C 1 y tal que ϕ−1: J → I también es derivable (por tanto,también de clase C 1). Puesto que ϕ′(ϕ−1(x)

)(ϕ−1)′(x) = 1 para todo x ∈ J , la función continua

ϕ′ no se anula nunca y debe tener signo constante en el conexo I (i.e., ϕ es estrictamentemonótona).

El teorema fundamental del Cálculo (la regla de Barrow, si se prefiere) establece que sif es una función definida en J , nula fuera de un compacto [a, b] ⊂ J y f es continua o f esescalonada, entonces

∫ b

a

f(x) dx =

∫ ϕ−1(b)

ϕ−1(a)

f(ϕ(y)

)ϕ′(y) dy =

∫ β

α

f(ϕ(y)

) ∣∣ϕ′(y)∣∣ dy (8.1)

siendo [α, β] = ϕ−1([a, b]) ⊂ I.La fórmula (8.1) es válida también para integrales impropias, si más que pasar al límite,

pudiendo ser infinitos cualquiera de los extremos a o b o de sus correspondientes α y β; porejemplo, si ϕ′ > 0, esto es, si ϕ es creciente:

α = ϕ(a+) = lımy→a+

ϕ(y) ; β = ϕ(b−) = lımy→b−

ϕ(y) .

También es válida para funciones integrables en general (aunque la prueba es más laboriosala idea es simple: si es cierto para funciones escalonadas lo es para sus límites). Así, si Ees cualquier intervalo contenido en I (nótese que ϕ(E) es también un intervalo, en virtud delteorema de Bolzano) podemos escribir

∫

ϕ(E)

f(x) dx =

∫

E

f(ϕ(y)

) ∣∣ϕ′(y)∣∣ dy . (8.2)

En cualquier caso, el factor∣∣ϕ′(y)

∣∣ mide la tasa de variación de las medidas (longitudes) delos intervalos ϕ(E) respecto a la de los originales. Explícitamente: si denotamos por Ez alintervalo [y, z] entonces, por definición de derivada, se tiene que

∣∣ϕ′(y)∣∣ = lım

z→y+

∣∣ϕ(z)− ϕ(y)∣∣

z − y = lımz→y+

m1

(ϕ(Ez)

)

m1(Ez)

El objetivo de este tema es generalizar (8.2) al caso de dimensión arbitraria y a conjuntosmedibles E cualesquiera.

8.1.2. Representación y descomposición de isomorfismos lineales

Los resultados y comentarios siguientes tienen su interpretación matricial, concretamenteen lo que se refiere a las operaciones con filas o columnas de una matriz cuadrada, y cómoafectan a su determinante. La motivación de su estudio es la misma que en situacionesmás pragmáticas (tal como el método de eliminación gaussiana en la resolución de sistemaslineales): simplificar la disquisición teórica posterior.

Definición 8.4. Una transformación elemental en Rd es un isomorfismo lineal del espaciovectorial Rd en si mismo de uno de los tres tipos siguientes:

E1.- Ri,λ(x1, . . . , xi, . . . , xd) = (x1, . . . , λ xi, . . . , xd) , λ ∈ R, λ 6= 0, 1 ≤ i ≤ d.E2.- Si,j(x1, . . . , xi, . . . , xd) = (x1, . . . , xi + xj , . . . , xd) , 1 ≤ i, j ≤ d.E3.- Ti,j(x1, . . . , xi, . . . , xj , . . . , xd) = (x1, . . . , xj , . . . , xi, . . . , xd) , 1 ≤ i < j ≤ d.

Observación 8.5. Las transformaciones Ri,λ (homotecias en una dirección) son transforma-ciones con jacobiano igual a λ y con inversa R−1

i,λ = Ri,1/λ.

Las transformaciones Si,j tienen jacobiano igual a 1 y su inversa es

S−1i,j = Rj,−1 Si,j Rj,−1 .

Las transformaciones Ti,j (transposiciones de coordenadas) tienen jacobiano igual a −1 yson sus propias inversas: Ti,j Ti,j = IdRd .

Lema 8.6. Todo isomorfismo lineal ϕ:Rd → Rd es composición de un número finito de trans-formaciones elementales.


8.2. Teorema del cambio de variables 111

8.2. Teorema del cambio de variables

Comenzaremos enunciando el teorema general y alguna de las consecuencias directas.

Teorema 8.7 (del cambio de variables). Sean U, V abiertos de Rd y ϕ un difeomorfismo deU en V . Si E ⊂ V es un conjunto medible y f es una función definida c.s. e integrable en E,entonces ϕ−1(E) es medible, la función (f ϕ) |Jϕ| es integrable en ϕ−1(E) y se tiene que

∫

E

f(x) dx =

∫

ϕ−1(E)

f(ϕ(y)

)|Jϕ(y)| dy . (8.3)

En lo que sigue U , V y ϕ serán como en el enunciado anterior. Recordemos que pordefinición

∫Ef =

∫Vf χE, así que el enunciado anterior es equivalente al siguiente:

Teorema 8.8 (del cambio de variables, 2a. versión). Si f es una función definida c.s. en V .Entonces f ∈ L 1(V ) si, y sólo si, (f ϕ) |Jϕ| ∈ L 1(U), además se tiene que

∫

V

f =

∫

U

(f ϕ) |Jϕ| . (8.4)

Con el convenio habitual de asignar el valor ∞ a la integral de una función medible yno negativa, pero no integrable, lo mismo que a la medida de un conjunto medible pero nointegrable, el resultado anterior se materializa en los siguientes.

Corolario 8.9. Si f es una función medible en V Entonces∫

V

|f | =∫

U

(|f | ϕ) |Jϕ| .

Corolario 8.10. Si E ⊂ V es medible también lo es ϕ−1(E) ⊂ U y

m(E) =

∫

E

1 =

∫

ϕ−1(E)

|Jϕ| . (8.5)

8.2.1. Notas sobre la demostración del teorema del cambio de variables

Los siguientes pasos o etapas proporcionan un esquema organizado, una disección de laprueba del teorema 8.7 avanzando a medida que se complican los objetos tratados, ya seanlos conjuntos donde se integra o la naturaleza de los difeomorfismos.

Paso 1 Conservación de la medibilidad

Lema 8.11. Si N ⊂ U es de medida nula, entonces ϕ(N) ⊂ V es de medida nula.(ver ejercicio 5.22.II)

Así pues, la fórmula (8.5) es válida para los conjuntos despreciables, ya que ϕ−1 es tam-bién cambio de variables de V sobre U .

Corolario 8.12. Si A es un conjunto cuadrable y tal que A = A ∪ Fr(A) ⊂ U , entonces ϕ(A)es cuadrable.

En particular, si A es un subconjunto de U elemental y cerrado, entonces ϕ(A) es cuadra-ble (aunque no necesariamente elemental).

Corolario 8.13. Si f :V → R es medible, entonces f ϕ:U → R es medible. Por tanto, tambiénlo es (f ϕ)|Jϕ|:U → R.

Paso 2 Caso de transformaciones lineales

Lema 8.14. Si el teorema 8.7 se verifica para difeomorfismos ϕ:U → V y ψ:V →W , entoncestambién se verifica para γ = ψ ϕ:U →W .

Lema 8.15. El teorema 8.7 se verifica para transformaciones elementales y funciones esca-lonadas.

Corolario 8.16. El teorema 8.7 es cierto para isomorfismos lineales ϕ:U = Rd → V = Rd.



Paso 3 Estimación de las medidas de los conjuntos transformados

Lema 8.17. Sea I un intervalo compacto contenido en U . Se tiene que

m(ϕ(I)

)=

∫

ϕ(I)

1 ≤∫

I

|Jϕ| .

A partir de este resultado (aunque no sea necesario para completar la prueba), es naturalpostular que la misma desigualdad se verifica para cualquier conjunto medible E ⊂ U :

m(ϕ(E)

)≤

∫

E

|Jϕ| .

Lo que es evidente es que para funciones escalonadas y no negativas definidas en U ,

α =n∑j=1

ajχIj , se tiene que

∫

V

α ϕ−1 ≤∫

U

(α ϕ−1 ϕ) |Jϕ| =∫

U

α |Jϕ| .

Paso 4 Conclusión del caso general

Es suficiente abordar el caso de funciones no negativas pues de las relaciones

f = f+ − f− , |f | = f+ + f− ,

se sigue para funciones reales; y luego de f = Re(f) + i Im(f) para el caso complejo.

Lema 8.18. Sea f :V → [0,∞) una función medible. Si (fϕ) |Jϕ| es integrable en U , entoncesf es integrable en V y se verifica que

∫

V

f(x) dx ≤∫

U

f(ϕ(y)

)|Jϕ(y)| dy .

Finalmente, prestando atención al difeomorfismo ψ = ϕ−1 y a su inverso ψ−1 = ϕ, ahoracon la función medible en U y no negativa g = (f ϕ) |Jϕ|, se tiene que

∫

V

f(x) dx ≤∫

U

f(ϕ(y)

)|Jϕ(y)| dy =

∫

U

g(y) dy ≤∫

V

g(ψ(x)

)|Jψ(x)| dx

=

∫

V

f(ϕ(ϕ−1(x)

)) ∣∣Jϕ(ϕ−1(x))∣∣ ∣∣Jϕ−1(x)

∣∣ dx =

∫

V

f(x) dx .

Si (f ϕ) |Jϕ| no es integrable en U pero f ≥ 0 c.s. la fórmula (8.4) sigue siendo válida: laigualdad formal ∞ =∞ significa que tampoco puede ser integrable f en V .

8.3. Cambios de variables usuales

Los resultados que se presentan a continuación se utilizan, en la mayoría de los casos,para transformar integrales en determinados conjuntos en integrales en intervalos de Rd, alas que es fácilmente aplicable el teorema de Fubini.

8.3.1. Cambios de referencia afín

Teorema 8.19. Sean b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ Rn, y n vectores vi = (ai1, ai2, . . . , ain), 1 ≤ i ≤ n,linealmente independientes en Rn. La aplicación g:Rn → Rn definida por

y = g(x) = g(x1, x2, . . . , xn) = b+

n∑

i=1

xi vi

es un difeomorfismo cuyo jacobiano, igual en todos los puntos, es

Jg(x) = det(aij

)1≤i,j≤n

.

Observaciones 8.20.

I) La imagen del cubo unidad C = [0, 1]× . . .× [0, 1] por la aplicación g (un paralelogramo enR2, un paralelepípedo en R3, etc.) tiene medida

∣∣ det(aij

)1≤i,j≤n

∣∣ . Nótese que no estamossino afirmando las fórmulas que se establecen como definición en Geometría Analítica.


8.3. Cambios de variables usuales 113

II) Cuando g conserva la distancia euclídea, esto es, ‖g(x) − g(y)‖ = ‖x − y‖ para todosx,y ∈ Rn, la matriz

(aij

)1≤i,j≤n

tiene determinante igual a ±1, pues su inversa es sutraspuesta (las transformaciones afines de este tipo reciben el nombre de isometrías omovimientos y son composiciones de traslaciones, giros y simetrías). Entonces en cadapunto x ∈ Rn se tiene que |Jg(x)| = 1, y el teorema del cambio de variables aseguraque m(E) = m

(g(E)

)para cada compacto medible E ⊂ Rn. Así, por ejemplo, las clásicas

fórmulas para las áreas de las superficies poligonales son válidas independientementede la posición en que se encuentren ubicadas (ver ejercicio 8.3.I).

8.3.2. Coordenadas polares

Teorema 8.21. Sea α ∈ R y consideremos los abiertos

Uα = (0,∞)× (α, α+ 2π) , Vα = R2 \(t cos(α), t sen(α)

): t ≥ 0

.

La aplicación g:Uα → Vα definida por

(x, y) = g(r, θ) =(r cos(θ), r sen(θ)

),

es un difeomorfismo; además,|Jg(r, θ)| = r .

Observación 8.22. La coordenada r no es otra cosa que la norma euclídea de (x, y) = g(r, θ),así que este cambio puede resultar útil en el cálculo de integrales en círculos, ya que

g((0, R)× (α, α+ 2π)

)y B(0, R)

difieren en un conjunto de medida nula (un segmento); o de integrales en sectores circulares,que son imagen de conjuntos del tipo (0, R) × (β, γ). Lo mismo se puede decir respecto delcálculo de integrales de funciones que dependan únicamente de la norma euclídea.

Componiendo con traslaciones, esto es, considerando transformaciones del tipo

x = (x, y) = g(r, θ) =(a1 + r cos(θ), a2 + r sen(θ)

),

se parametrizan, excepto subconjuntos de medida nula (segmentos), discos centrados en unpunto a = (a1, a2) ∈ R2; en este caso se verifica que r = ‖x− a‖ (ver figura 8.1).

(0,0) X

aRr

θx

Y

Figura 8.1: x = (x, y) = (a1 + r cos(θ), a2 + r sen(θ)).

8.3.3. Coordenadas cilíndricas

Teorema 8.23. Sean α ∈ R y Uα, Vα los abiertos de R3

Uα = (0,∞)× (α, α+ 2π)× R , Vα = R3 \(t cos(α), t sen(α), z

): z ∈ R , t ≥ 0

.


(x, y, z) = g(r, θ, w) =(r cos(θ), r sen(θ), w

),

es un difeomorfismo; además,|Jg(r, θ, w)| = r .



Observación 8.24. Este tipo de cambios transforma los intervalos (0, R) × (α, α + 2π) × (a, b)en cilindros (sólidos) con eje de simetría el eje OZ, cuya base tiene radio R y comprendidosentre los planos z = a y z = b, salvo una porción de un plano (que es de medida nula en R3).

El teorema presentado es adecuado para aquellos conjuntos que presenten una simetríarespecto al eje OZ (ver figura 8.2) pero, por supuesto, una permutación adecuada de lascoordenadas permite tratar volúmenes de revolución respecto de los otros ejes, y lo mismo sepuede decir, al componer con traslaciones, cuando la base de estos cilindros está desplazadadel origen.

Xθ Y

r

w

xZ

Figura 8.2: x = (x, y, z) = (r cos(θ), r sen(θ), w).

8.3.4. Coordenadas esféricas

Cuando un punto x = (x, y, z) de R3 se determina por su distancia al origen r y dos ángulosθ, φ respecto a determinados subespacios lineales se obtienen las denominadas parametriza-ciones esféricas. Presentamos seguidamente dos versiones.

Teorema 8.25.

I) Sean α ∈ R y Uα, Vα los abiertos de R3

Uα = (0,∞)× (α, α+ 2π)× (0, π) ,

Vα = R3 \(t cos(α), t sen(α), z

): z ∈ R , t ≥ 0

.


(x, y, z) = g(r, θ, φ) =(r cos(θ) sen(φ), r sen(θ) sen(φ), r cos(φ)

),

es un difeomorfismo; además,

|Jg(r, θ, φ)| = r2 sen(φ) .

II) Sean α ∈ R y Uα, Vα los abiertos de R3

Uα = (0,∞)× (α, α+ 2π)×(− π/2, π/2

),

Vα = R3 \(t cos(α), t sen(α), z

): z ∈ R, t ≥ 0

.


(x, y, z) = g(r, θ, φ) =(r cos(θ) cos(φ), r sen(θ) cos(φ), r sen(φ)

),


|Jg(r, θ, φ)| = r2 cos(φ) .

Observación 8.26. Este tipo de cambios transforma intervalos del tipo

(0, R)× (α, α+ 2π)× (β, β + π) , (β = 0,−π/2 resp.)

en bolas de radio R (excepto una porción de plano), y los del tipo

(0, R)× (α, α+ 2π)× (β, γ) , 0 < γ − β < π ,


8.3. Cambios de variables usuales 115

en sectores esféricos (sólidos). De nuevo, al componer con traslaciones, por ejemplo,

(x, y, z) = g(r, θ, φ) =(a1 + r cos(θ) cos(φ), a2 + r sen(θ) cos(φ), a3 + r sen(φ)

),

se obtienen transformaciones que permiten parametrizar en intervalos bolas centradas en unpunto a = (a1, a2, a3) ∈ R3 (en este caso r = ‖(x, y, z)− (a1, a2, a3)‖).

En la figura 8.3 se ilustra la situación relativa al primero de los dos cambios citados. Eneste caso, para r y θ fijos, al variar el ángulo φ desde 0 hasta π se recorre un meridiano,desde el “polo norte” hasta el “polo sur”, de la esfera centrada en 0 y de radio r. Este cambio,que podríamos denominar estándar, es el usado habitualmente en los textos de Física eIngeniería. De hecho los ángulos θ y φ se denominan azimutal y polar, respectivamente,nomenclatura heredada obviamente de la Astronomía.

XYθ

φ r

x

Z

Figura 8.3: x = (x, y, z) = (r cos(θ) sen(φ), r sen(θ) sen(φ), r cos(φ)).

8.3.5. Coordenadas esféricas generalizadas

Si dado un punto x ∈ R4 se describe su proyección en R3 mediante coordenadas esféricas(un radio y dos ángulos), sólo necesitamos un tercer ángulo para determinar el punto x.Luego, los puntos de R5 se pueden representar mediante sus proyecciones en R4 y un cuartoángulo, y así sucesivamente. Esta idea se materializa de forma rigurosa como sigue:

Teorema 8.27. Para n ≥ 2 se define la aplicación ϕn de Rn en Rn dada por (x1, x2, . . . , xn) =ϕn(r, θ1, θ2, . . . , θn−1), siendo

x1 = r sen(θ1) sen(θ2) · · · sen(θn−1),x2 = r cos(θ1) sen(θ2) · · · sen(θn−1),x3 = r cos(θ2) sen(θ3) · · · sen(θn−1),x4 = r cos(θ3) sen(θ4) · · · sen(θn−1),

......

xn−2 = r cos(θn−3) sen(θn−2) sen(θn−1),xn−1 = r cos(θn−2) sen(θn−1),xn = r cos(θn−1).

Entonces ϕn es un difeomorfismo de clase C∞ entre el abierto

(0,∞)× (α, α+ 2π)× (0, π)× · · · × (0, π)

y todo Rn excepto un semihiperplano (de medida nula en Rn). Además∣∣Jϕn(r, θ1, θ2, . . . , θn−1)

∣∣ = rn−1 sen(θ2) sen2(θ3) · · · senn−2(θn−1) .

Observación 8.28. El interés de estos cambios de variable se dirige a los casos en que elconjunto donde se integra y/o la función a integrar son simétricos respecto al origen. Comoen los cambios citados anteriormente, componiendo con traslaciones obtenemos cambios decoordenadas adecuados para problemas que presenten simetría respecto de otro punto. Enparticular, la medida de la bola n-dimensional de radio R es

∫

B(0,R)

1 =

∫ R

0

rn−1dr

∫ 2π

0

dθ1

∫ π

0

sen(θ2) dθ2

∫ π

0

sen2(θ3) dθ3 · · ·∫ π

0

senn−2(θn−1) dθn−1



8.3.6. Transformación de símplices en cubos

Consideremos un punto P0 ∈ Rn y vectores vi = (ai1, ai2, . . . , ain), 1 ≤ i ≤ n, linealmenteindependientes en Rn, o si se prefiere, n + 1 puntos: P0, P1 = P0 + v1, . . . , Pn = P0 + vn, demanera que no estén contenidos en ningún subespacio afín propio (tres puntos no alineadosen R2, cuatro puntos no coplanarios en R3, etc.).

El conjunto convexo más pequeño que contiene a los n + 1 puntos (la envolvente convexa

del conjunto P0, P1, . . . , Pn) se denomina también símplice o simplex de vértices P0, P1, . . . , Pn.Este conjunto viene dado por

S =t0P0 + t1P1 + . . .+ tnPn ∈ Rn :

n∑i=0

ti = 1 , ti ≥ 0 para todo i

=P0 + λ1v1 + . . .+ λnvn ∈ Rn :

n∑i=1

λi ≤ 1 , λi ≥ 0 para todo i

((t0, t1, . . . , tn) son las denominadas coordenadas baricéntricas). Los símplices en R2 son lostriángulos, en R3 los tetraedros, etc.

Es evidente que mediante una transformación afín, descritas en el teorema 8.19, todosímplice se puede obtener a partir del símplice estándar, esto es, el de vértices:

P0 = (0, 0, 0, . . . , 0) , P1 = (1, 0, 0, . . . , 0) , P2 = (0, 1, 0, . . . , 0) , . . . , Pn = (0, 0, 0, . . . , 1) ,

es decir el conjunto

Tn =(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn :

n∑i=1

xi ≤ 1 , xi ≥ 0 para todo i

que es cuadrable (su frontera es unión de n+1 símplices en subespacios de dimensión n− 1),así que a todos los efectos de integración podemos considerar indistintamente Tn o cualquiersubconjunto comprendido entre Tn su interior Θn.

Teorema 8.29. Sean Θn e In los abiertos de R3

Θn =(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn :

n∑i=1

xi < 1 , xi > 0 para todo i

(símplice)

In = (0, 1)n =(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn : 0 < xi < 1 para todo i (cubo) .

La aplicación g: In → Θn dada por (x1, x2, . . . , xn) = g(u1, u2, . . . , un), donde

x1 + x2 + x3 + . . .+ xn = u1 , x1 = u1(1− u2) ,x2 + x3 + . . .+ xn = u1 u2 , x2 = u1u2(1− u3) ,

... es decir,...

xn−1 + xn = u1u2 · · ·un−1 , xn−1 = u1u2 · · ·un−1(1− un) ,xn = u1u2 · · ·un−1un , xn = u1u2 · · ·un−1un


Jg(u1, u2, . . . , un) = un−11 un−2

2 · · ·u 2n−2 un−1 .

Observación 8.30. Aunque no es difícil calcular la medida de los símplices Θn, es bastantelaborioso. El cambio de variables indicado reduce considerablemente los cálculos pues

m(Θn) =

∫

Θn

1 =

∫

In

Jg(u1, u2, . . . , un) du1 . . . dun

=

∫ 1

0

un−11 du1

∫ 1

0

un−22 du2 · · ·

∫ 1

0

un−1 dun−1

∫ 1

0

1 dun =1

n!.

En general, componiendo con cambios de referencia afín, es inmediato concluir que el símpli-ce determinado por n vectores vi = (ai1, ai2, . . . , ain) (independientemente del punto P0, origende la referencia) tiene medida ∣∣ det

(aij

)1≤i,j≤n

∣∣n!

.


Ejercicios 117

Ejercicios

8.1 Sean k, n ∈ N con k ≤ n, y fijados k índices 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n, consideremos elsubespacio “coordenado”

L =(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn : xij = 0 para todo j = 1, 2, . . . , k

.

Consideremos también un subconjunto E medible en Rn y simétrico respecto a L, es decir, talque x ∈ E si, y sólo si, Λx ∈ E, siendo Λ la aplicación lineal representada en la base estándarpor la matriz diagonal cuyos elementos son λii = −1 si i = ij para algún j y λii = 1 en casocontrario. Probar que si f es una función integrable en E y tal que f(Λx) = −f(x) para cadax ∈ E, entonces la integral de f en E es nula (nótese que si k = n nos estamos refiriendo aconjuntos simétricos respecto del origen y a funciones “impares”, f(−x) = −f(x)).

Como aplicación, calcular:

I) La integral en R de la función f(x) = sen(x) e−x2

.

II) La integral de la función f(x, y) = x y2 en la bola B(0, r).

III) La integral de f(x, y, z) = x3 y3 e−z(x2+y2) en E =

(x, y, z) ∈ R3 : |x|+ |y| < 1 , 0 < z

.

8.2 Estudiar la integrabilidad de la función f en el conjunto E en los casos siguientes:

I) E = (0,∞)× (0,∞) , f(x, y) =e−(x+y)

x+ y.

II) E =(x, y) ∈ R2 : 0 < y < x

, f(x, y) =

e−(x−y)2

x2 − y2 .

III) E = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 , y ≥ 0 , x+ y ≤ 2 , f(x, y) = e(y−x)/(y+x) .

IV) E = (x, y) ∈ R2 : x > 0 , y > 0 , x+ y < a , a > 0, f(x, y) =3 y√

1 + (x+ y)3.

8.3

I) Mediante traslaciones y giros, deducir que el área de un triángulo es la mitad del productode la longitud de uno de sus lados por la altura trazada desde el vértice opuesto a él,independientemente de la posición que ocupe en el plano R2.

II) Sean T el triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 1), y ϕ la transformación de R2 en R2 dadapor ϕ(x, y) = (x− 2 y, 2x+ y) . Determinar el área del conjunto ϕ(T ).

8.4 En cada una de las siguientes situaciones estudiar la integrabilidad de la función f enel conjunto D:

I) D = B(0, 1) \ 0 , f(x, y) =sen

(√x2 + y2

)

x2 + y2.

II) D = B(0, 1) \ 0 , f(x, y) =1(

x2 + y2)a , a ∈ R .

III) D = B(0, 1) \ 0 , f(x, y) = log(x2 + y2) log(1− (x2 + y2)

).

IV) D = B(0, 2) , f(x, y) =1√

4− x2 − y2.

V) D = R2 , f(x, y) =1(

p2 + x2 + y2)p (p > 0).

VI) D =(x, y) ∈ R2 : x > 0 , y > 0 , x2 + y2 < 9

, f(x, y) =

(x2 − y2)x− 2x y2

x2 + y2.

VII) D = (x, y) ∈ R2 : x ≤ y , x+ y ≥ 1 , x2 + y2 ≤ 1 , f(x, y) =1

(x2 + y2)3/2.

VIII) D = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 , x2 + y2 ≤ 2 y , x2 + y2 ≤ 1 , f(x, y) = log(x2 + y2) .



8.5 Demostrar que la función f(x, y) = e−(x2+y2) es integrable en R2 y calcular su integral.Deducir de lo anterior que ∫ ∞

−∞

e−x2

dx =√π .

8.6 Demostrar que la función f es integrable en el conjunto D y calcular su integral en lossiguientes casos:

I) D =(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 2Rx

, con R > 0 ; f(x, y) =

1√4R2 − x2 − y2

.

II) D es el conjunto de puntos del primer cuadrante interiores a la curva (lemniscata) de

ecuación implícita (x2 + y2)2 = a2(x2 − y2) , a > 0; f(x, y) =a√

a2 − x2 − y2.

8.7 Sea D =(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0 , x2 + y2 ≤ 1

. Calcular

∫

D

(x+ y)2√1 + x2 + y2

dx dy .

8.8 Hallar el valor de ∫

D

√2 a x− x2 − y2 dx dy,

donde D es el conjuntoD = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 2 a x ≤ 0 .

8.9 Calcular∫D(x2+y2) dx dy , donde D es la porción del recinto interior a la curva (lemniscata)

dada en coordenadas polares por ρ2 = a2 cos(2 θ), contenido en el semiplano x ≥ 0.Nota: Parametrizar una curva plana en coordenadas polares consiste en dar para cada ángulo

θ de un intervalo I un valor ρ = ϕ(θ) ≥ 0 (un módulo o distancia al origen), de manera que los

puntos de la curva son precisamente aquellos de la forma

(x, y) = γ(θ) =(ϕ(θ) cos(θ), ϕ(θ) sen(θ)

), θ ∈ I ;

nótese que ‖γ(θ)‖ = ϕ(θ) (consultar, p.e., el texto [23] para un estudio más pormenorizado).

8.10 Calcular el área del recinto plano limitado por la curva parametrizada en coordenadaspolares por ρ = sen(2 θ).

8.11 Sea S el recinto plano limitado por la curva (cardioide) parametrizada en coordenadaspolares por ρ = 1 + cos(θ).

I) Calcular el área de S.

II) Calcular∫

S

(x+ y) dx dy .

8.12 Sea a > 1. Calcular la integral de f(x, y) = x y en los siguientes conjuntos:

I) K =(x, y) ∈ R2 : x/a ≤ y ≤ x , 1/x ≤ y ≤ a/x

.

II) K =(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y ≤ a x2 , y2 ≤ x ≤ a y2

.

8.13 Sea S el recinto plano situado en el primer cuadrante y limitado por las curvas deecuaciones y − x = 0, y2 − x2 = 1, x y = a, x y = b, donde 0 < a < b. Utilizando un cambio devariable que transforme S en un rectángulo, calcular

∫

S

(y2 − x2

)x y(x2 + y2) dx dy .


Ejercicios 119

8.14 Sea k > 0. Se consideran los abiertos U =(u, v) ∈ R2 : v > 0 , u > 0 , 0 < u < k v

,

V = (0,∞) × (0, k), y la aplicación ϕ:U → V dada por ϕ(u, v) =(x(u, v), y(u, v)

)=

(u v, u/v

).

Probar que ϕ es un difeomorfismo, deducir que la función

f(u, v) =u3 cos

(u/v

)

v(u2 v2 + u2/v2

)3/2du dv

es integrable en U calcular su integral.

8.15 Sean a, b > 1. Calcular el área del conjunto

K =(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y ≤ a x2 , 1

x≤ y ≤ b

x

.

8.16 Calcular ∫

D

(x+ y) dx dy

siendo D el conjunto limitado, en el primer cuadrante, por las curvas de ecuaciones

x y = 4 , x y = 2 , y = x− 3 , y = x+ 3 .

8.17 Calcular la integral de la función f en el conjunto K en las situaciones siguientes:

I) K =(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0 , y ≥ 0 , x2 + y2 ≤ 4 , 0 ≤ z ≤ 2−

√x2 + y2

,

f(x, y, z) = |z x− z y| .II) K =

(x, y, z) ∈ R3 :

√x2 + y2 ≤ z ≤ 3

, f(x, y, z) =

√x2 + y2 + z2 .

III) K es el conjunto limitado por el plano z = 0 y las superficies de ecuaciones x2 + y2 = 1,x2 + y2 = 4, z = 6− x2 − y2; f(x, y, z) = ez .

8.18 Dado r > 0, considérense los conjuntos de revolución siguientes:

1. Una bola B de radio r.

2. Un cilindro sólido C con base circular de radio r y de igual volumen que la bola B.

3. Un cono sólido D con base circular de radio r y de igual volumen que B y C.

Calcular el momento de inercia de los tres sólidos respecto de su eje de simetría.

8.19 Hallar el volumen de los subconjuntos de R3 dados por las siguientes relaciones (en lasque a, b, c y d son constantes positivas):

I) x2 + y2 + z2 ≤ a2, x2 + y2 ≥ a2

4.

II) x2 + y2 + z2 ≤ a2, x2 + y2 ≤ a y .

III)x2

a2+y2

b2+z2

c2≤ 1, 0 ≤ z

c≤ x2

a2+y2

b2.

IV) z > 0 ,x2

a2+y2

b2< 1 ,

x2

a2+z

c< 1 .

V)x2

a2+y2

b2< 1 , 0 < z <

x2

c2+y2

d2.

VI)x2

a2+y2

b2+z2

c2< 1 , z > 0 ,

x2

a2+y2

b2<z2

c2.

VII)x2

a2+y2

b2+z

c= 1 , z > 0 .

8.20 Sean a, b, c > 0. Se considera el subconjunto A de los puntos (x, y, z) ∈ R3 que satisfacenlas condiciones

x2

a2+y2

b2+z2

c2≤ 1 ,

x2

a2− y

b+z2

c2≤ 0 .

Calcular la integral en A de la función f(x, y, z) = y .



8.21 Mediante un cambio similar a las coordenadas cilíndricas calcular∫

K

x2 y2 z dx dy dz ,

siendo K el sólido limitado por el cono de ecuación x2 + y2 = x z, y los planos de ecuacionesz = 0, z = c, donde c > 0.

8.22 Sean a, b números reales, con 0 < a < b, y K =(x, y, z) ∈ R3 : a2 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ b2

.

Calcular la integral en K de la función

f(x, y, z) =1

(x2 + y2 + z2

)3/2 .

8.23 Se considera el conjunto C =(x, y, z) ∈ R3 : z > 1 , x2 + y2 < 1

. Estudiar, en función

de los parámetros reales α y β, la integrabilidad en C de la función

f(x, y, z) =

(z − x2 − y2

)α

1 + zβ.

8.24 Sea V =(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 > 1

.

I) Estudiar, en función del número real α, la integrabilidad en V de la función

f(x, y, z) =1(

x2 + y2 + z2)α .

II) Demuéstrese que es integrable en V la función

g(x, y, z) =cos(x) e−(x2+y2+z2)

√x2 + y2 + z2

.

8.25 Sea V el abierto de R3 contenido en el primer octante (0,∞) × (0,∞) × (0,∞) , interioral cilindro de ecuación x2 + y2 − a x = 0 y al elipsoide de ecuación b2 (x2 + y2) + a2z2 = a2 b2 ,donde a y b son constantes reales positivas. Demostrar que la función

f(x, y, z) =1

a2 − x2 − y2

es integrable en V y calcular su integral.

8.26 Si A es el subconjunto de R3 dado por

A =(x, y, z) ∈ R3 : x > 0, y > 0, z > 0, 1 < x2 + y2 + z2 < 2 z2

,

demostrar que la función

f(x, y, z) =1

1 +(x2 + y2 + z2

)3

es integrable en A y calcular su integral.

8.27 Sea a > 0. Se considera el conjunto T =(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 , y ≥ 0 , x+ y ≤ a

. Probar que

la función f(x, y) = ey/(x+y) es integrable en T y calcular su integral.

8.28 Sea T =(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 , x + y + z ≤ 1

. Calcular la integral en T de

las siguientes funciones:

I) f(x, y, z) = x y z(1− x− y − z) dx dy dz .

II) g(x, y, z) =1

(1 + x+ y + z)3.

8.29 Sea K =(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0 , y ≤ 0 , z ≥ 0 , 4x − 2 y + z ≤ 2

. Calcular la integral en K

de la función f(x, y, z) = x y z (2− 4x+ 2 y − z) .


Ejercicios 121

8.30 Sea a > 0. Calcúlese la integral∫

D

dx dy dz

(x+ y + z)2 + a2,

siendo D el subconjunto de R3

D = (x, y, z) ∈ R3 : x > 0 , y > 0 , z > 0 , x+ y + z < a .

8.31 Se considera el subconjunto de R3

M =(x, y, z) ∈ R3 : 0 < x , 0 < y < 1 , 0 < z , x+ z < 1

.

Calcúlese el volumen de g(M), donde

g(x, y, z) =(e2z + e2y, e2x − e2z, x− y

).

8.32 Consideremos el conjunto V de R3 dado por

V =(x, y, z) ∈ R3 : x > 0 , y > 0 , z > 0 ,

1

x2+

1

y2+

1

z2< 4 ,

1

x2+

1

z2> 1

.

Demostrar que la función

f(x, y, z) =1

x2 y2 z2


8.33 Sean a > 0 y V =(x, y, z) ∈ R3 : x > 0 , y > 0 , z > 0 , 1/x + 1/y + 1/z < a2

. Demostrar

que la función

f(x, y, z) =1√

x3 y3 z3


8.34 Demostrar que la función f(x, y, z) = x3y3z3 es integrable en el abierto

V =(x, y, z) ∈ R3 : x > 0 , y > 0 , z > 0 , x2y2 + x2z2 + y2z2 < 1

y calcular su integral.

8.35 Sea K =(x, y, z) ∈ R3 : x ≤ y2 ≤ 2x , y ≤ z2 ≤ 3 y , z ≤ x2 ≤ 4 z

. Probar que K es

compacto y calcular ∫

K

x y z dx dy dz .

8.36 Dado el conjunto

D = (x, y, z) ∈ R3 : a y2 ≤ z ≤ b y2 , α x ≤ z ≤ β x , z ≤ h , y > 0 ,con 0 < a < b, 0 < α < β y h > 0, calcular

∫

D

x2 dx dy dz .

8.37 Sean V = (0,∞)× (0,∞)× (0,∞) y p, q, r números reales positivos con 1/p+1/q+1/r < 1 .Demostrar que es integrable en V la función

f(x, y, z) =1

1 + xp + yq + zr

(el cálculo de la integral, mediante las funciones eulerianas, se propone en el ejercicio 9.19).

Sugerencia: Realizar primero el cambio de variables entre el abierto V y si mismo definido por

xp = u2, yq = v2, zr = w2.



8.38 Sea V =(x, y, z) ∈ R3 : x > 0 , y > 0 , 1/x2 + 1/y2 < 1 , 0 < z < 1

. Demostrar que la

funciónf(x, y, z) =

z

x y (x2 + y2).


8.39 Consideremos el subconjunto de R7

V =(x1, x2, . . . , x7) ∈ R7 : xi > 0 para todo i , x 2

1 + x 22 < 4 , x3 + x4 + x5 < 1 , x 2

6 + x 27 < 1

.

Calcular la integral en V de la función

f(x1, x2, . . . , x7) =x1x2(x3 + x4 + x5)

2

√x 26 + x 2

7

.

8.40 Dado n ∈ N se consideran los abiertos de Rn+1

V = (0,∞)n+1 , U = (0,∞)×Θn =(x0, x1, x2, . . . , xn) : xi > 0 para todo i ,

n∑

i=1

xi < 1.

I) Comprobar que la aplicación (x0, x1, x2, . . . , xn) = ϕ(y0, y1, y2, . . . , yn) definida por

x0 = y0 +

n∑

i=1

yi =

n∑

i=0

yi ; xi =yix0

, i = 1, 2, . . . , n

es decir,

y0 = x0 − x0n∑

i=1

xi ; yi = x0xi , i = 1, 2, . . . , n .

es un difeomorfismo de V sobre U .

II) Sean a0, a1, a2, . . . , an números positivos. Integrando en V la función

f(y0, y1, y2, . . . , yn) = e−(a0y0+a1y1+...+anyn)

deducir que∫

Θn

dx1dx2 . . . dxn(a0 + (a1 − a0)x1 + . . .+ (an − a0)xn

)n+1 =1

n! a0a1a2 · · · an.

Tema 9

Integrales paramétricas

La aparición, históricamente hablando, de la materia que abordamos ahora es casi tanantigua como las mismas nociones de derivación e integración, y se puede datar en la deno-minada regla integral de Leibniz:

d

dx

∫ b

a

F (x, y) dy =

∫ b

a

∂F

∂x(x, y) dy . (9.1)

En la expresión anterior, atendiendo al papel que juegan en la integral, se distinguen clara-mente dos tipos de variables: una respecto de la que se integra, la ‘ y ’, quedando la otra, ‘x ’,como un parámetro libre, teniendo de hecho una ecuación funcional que describe la derivadade la función f(x) =

∫ baF (x, y) dy como una nueva integral.

Esta regla de derivación y generalizaciones más sofisticadas, como la Fórmula de Expan-

sión de Euler o la Ecuación del Transporte de Reynolds, se han venido usando en la FísicaMatemática bajo el supuesto de que las magnitudes físicas son tan regulares como sea ne-cesario. Asimismo, este tipo de parámetros libres aparecen en las transformadas integrales,herramientas muy útiles y de uso frecuente tanto en el aspecto teórico como en el aplicado.

Lo que nos preocupa es establecer condiciones bajo las cuales sea lícito intercambiar elorden de la derivada con la integral, como en la fórmula (9.1). Más general, consideremosuna función definida para los x en un conjunto A ⊂ Rm de la forma

f(x) =

∫

E

F (x,y) dy , (9.2)

donde E es un subconjunto medible de Rp. Las integrales que aparecen en (9.2) se denominangenéricamente integrales dependientes de parámetros o integrales paramétricas. Nos interesaestablecer cuando es lícito escribir el límite de las integrales como la integral del límite. Laclave está en que todo límite se puede escribir en forma secuencial, de manera que si xn∞n=1

converge hacia x0, entonces

lımx→x0

f(x) = lımx→x0

∫

E

F (x,y) dy = lımn→∞

∫

E

F (xn,y) dy = lımn→∞

∫

E

fn(y) dy .

El último límite evoca, sin duda, los teoremas de Levi y Lebesgue.

9.1. Continuidad y derivación de integrales paramétricas

Teorema 9.1 (de continuidad de integrales pareamétricas). Sean A un subconjunto deRm, E un subconjunto medible de Rp, y F (x,y) una función real definida en A × E ⊂ Rm+p.Sea x0 un punto de A, y supongamos que:

I) Para cada x ∈ A la función Fx, definida por Fx(y) = F (x,y), es integrable en E.

II) Para casi todo y ∈ E la función Fy, definida por Fy(x) = F (x,y), es continua en x0.

III) Existen un entorno V de x0 y una función integrable g : E → R tales que

|F (x,y)| ≤ g(y) para todo x ∈ V ∩A y casi todo y ∈ E .Entonces la función f , definida de A en R por

f(x) =

∫

E

F (x,y) dy,

es continua en x0.

123

124 Tema 9. Integrales paramétricas

Observación 9.2. Como ya se avanzó en la introducción, en el teorema anterior la claveestá en el teorema de la convergencia dominada y la caracterización secuencial del límite, demanera que este resultado se puede generalizar, palabra por palabra, al caso de que A sea unespacio métrico, pues en todos ellos las nociones de continuidad y “continuidad secuencial”son equivalentes.

Asimismo, el conjunto medible E y la correspondiente integral en él se pueden sustituirpor cualquier integración en la que se satisfaga el teorema de la convergencia dominada;pues bien, resulta que para toda medida positiva (ver definición 7.29) la correspondienteintegración “en el sentido de Lebesgue” verifica tal propiedad.

Corolario 9.3. Sean A un subconjunto de Rm, E un subconjunto de Rp, y F (x,y) una funciónreal definida en A× E ⊂ Rm+p. Supongamos que:


II) Para casi todo y ∈ E la función Fy, definida por Fy(x) = F (x,y), es continua en A.

III) Existe una función integrable g : E → R tal que

|F (x,y)| ≤ g(y) para todo x ∈ A y casi todo y ∈ E.

Entonces la función f , definida de A en R por f(x) =∫EF (x,y) dy, es continua en A.

Teorema 9.4 (de derivación de integrales paramétricas). Sean A un abierto de Rm, E ⊂ Rp

medible, y F una función real definida en A× E ⊂ Rm+p. Supongamos que:


II) Para casi todo y ∈ E la función Fy, definida por Fy(x) = F (x,y), admite derivada parcialcontinua respecto de xj en A.

III) Para cada x ∈ A la función y 7→ ∂F

∂xj(x,y) es medible en E y existe una función gj

integrable en E tal que

∣∣DjFy(x)∣∣ =

∣∣∣ ∂F∂xj

(x,y)∣∣∣ ≤ gj(y) para todo x ∈ A y casi todo y ∈ E .

Entonces la función f , definida en A por f(x) =∫EF (x,y) dy, admite derivada parcial conti-

nua respecto de xj en A, y se tiene que

Djf(x) =∂

∂xj

∫

E

F (x,y) dy =

∫

E

∂F

∂xj(x,y) dy, x ∈ A .

Corolario 9.5. Si en el teorema anterior las condiciones ii) y iii) se verifican para cada índicej = 1, 2, . . . ,m, entonces f es de clase C 1 en A y se tiene que

∂f

∂xj(x) =

∫

E

∂F

∂xj(x,y) dy, j = 1, 2, . . . ,m .

Observaciones 9.6.

I) El mismo comentario realizado en la observación 9.2, sobre el espacio E donde se integra,es válido en el caso del teorema de derivación; obviamente, lo que no es posible es cambiarel abierto A por cualquier otro subconjunto de un espacio métrico.

II) El teorema de derivación puede ser aplicado a las derivadas sucesivas cuando la fun-ción F (x,y) es suficientemente regular y así, por ejemplo, si se verifican las condicionespertinentes,

∂k1+k2+...+kmf

∂xk11 ∂xk22 . . . ∂xkmm

(x) =

∫

E

∂k1+k2+...+kmF

∂xk11 ∂xk22 . . . ∂xkmm

(x,y) dy .

III) En la práctica puede suceder que, aún cuando la función f esté definida por la integralparamétrica (9.2) en todos los puntos x del abierto A y se verifiquen las hipótesis I) yII) del teorema 9.4, sea imposible satisfacer la condición III) del mismo. No obstante, la


9.1. Continuidad y derivación de integrales paramétricas 125

derivabilidad es una cuestión local, de manera que el abierto A del enunciado puede sersustituido por un entorno adecuado del punto x0 donde se quiera estudiar tal cuestión.Por ejemplo: si F (x, y) = e−xy, x ∈ A = (0, 1), y ∈ E = (0,∞). Resulta que

∂F

∂x(x, y) = −y e−xy

que es integrable para todo x > 0, pero la mínima función g definida en E que satisface∣∣∣∂F∂x

(x, y)∣∣∣ = y e−xy ≤ g(y) para todos x ∈ A, y ∈ E

es la función g(y) = y, no integrable en E. No obstante, considerando 0 < δ < 1 y el abiertoVδ = (δ, 1) ⊂ A, se tiene que

y e−xy ≤ y e−δy = g(y) para todos x ∈ Vδ, y ∈ E ,lo que garantiza la derivabilidad de f(x) =

∫∞

0e−xydy en el intervalo Vδ, como esto es

válido para cada δ > 0 se concluye la derivabilidad de f en A y que f ′(x) =∫∞

0−y e−xydy .

Cabría preguntarse si, al igual que hemos contemplado la continuidad y derivabilidad deintegrales paramétricas, ¿sería pertinente contemplar la integrabilidad de tales objetos? Larespuesta es obvia, basta con plantear la integral para reconocer algo familiar:

∫

A

f(x) dx =

∫

A

(∫

E

F (x,y) dy)dx .

9.1.1. Integrales flechadas dependientes de parámetros

En los teoremas 9.1 y 9.4 la clave para poder intercambiar integrales y límites (de lasfunciones o de los cocientes incrementales) es la acotación uniforme por funciones integra-bles con vistas a la aplicación del teorema de la convergencia dominada. En la concepción dela integral de Riemann las sucesiones de funciones escalonadas aproximan a las funcionesuniformemente c.s., de manera que es lógico elucubrar que esta condición más fuerte debaaparecer en las hipótesis de enunciados similares a los citados pero para funciones integra-bles en el sentido de Riemann. También, aún cuando se trate con funciones integrables en elsentido de Lebesgue, por ejemplo, en cada intervalo [a, β] con β < b, puede existir el límite

∫ →b

a

f(y) dy = lımβ→b−

∫ β

a

f(y) dy (9.3)

y no ser f integrable en [a, b), como sucede con∫ →∞

0

sen(y)

ydy = lım

β→∞

∫ β

0

sen(y)

ydy .

Los límites de integrales como el de (9.3) se denominan integrales flechadas e incluyen, porsupuesto, a las integrales impropias de Riemann convergentes, pero no absolutamente con-vergentes. Nos ocupamos ahora de los problemas de continuidad y derivabilidad de integralesflechadas paramétricas.

Aunque todos los enunciados se establezcan para intervalos abiertos por la derecha, ob-viamente no hay ninguna dificultad en adaptarlos a intervalos abiertos por la izquierda ointervalos abiertos, acotados o no.

En realidad los resultados sobre continuidad y derivabilidad que vamos a exponer sonvariantes de los teoremas 4.16 y 4.32 expuestos a propósito de sucesiones de funciones uni-formemente convergentes, de ahí que empecemos dando la noción de convergencia uniformepara integrales flechadas.

Definición 9.7. Sean Λ un conjunto, [a, b) ⊂ R y para cada λ ∈ Λ una función Fλ: [a, b) → Rintegrable en cada intervalo [a, β], a < β < b. Se dice que la familia de integrales flechadas∫→b

aFλ(x) dx es uniformemente convergente en Λ si para cada λ ∈ Λ la correspondiente integral

flechada converge y cualquiera que sea ε > 0 existe β0 ∈ (a, b) de manera que∣∣∣∫ β

a

Fλ(y) dy −∫ →b

a

Fλ(y) dy∣∣∣ =

∣∣∣ lımγ→b+

∫ γ

β

Fλ(y) dy∣∣∣ < ε para todos β ∈ (β0, b) , λ ∈ Λ .



Teorema 9.8 (de continuidad para integrales flechadas). Sean A un subconjunto de Rm,[a, b) un intervalo de R y para cada x ∈ A una función Fx: [a, b) → R tal que Fx ∈ L 1([a, β])para cada a < β < b. Sea x0 un punto de A, y supongamos que:

I) Para cada β ∈ (a, b) la aplicación x ∈ A 7→∫ βaFx(y) dy es continua en x0.

II) Existe un entorno V de x0 tal que la familia de integrales flechadas∫→b

aFx(y) dy es uni-

formemente convergente en V ∩A.

Entonces la función f , definida de A en R por f(x) =∫→b

aFx(y) dy es continua en x0.

Teorema 9.9 (de derivabilidad para integrales flechadas). Sean A un abierto de Rm, [a, b)un intervalo de R y una función F :A × [a, b) → R tal que para cada x ∈ A se tiene queFx ∈ L 1([a, β]) cualquiera que sea a < β < b. Se supone además que:

I) Para cada β ∈ (a, b) la aplicación x ∈ A 7→∫ βaFx(y) dy admite derivada parcial continua

respecto de xj en A y su derivada es

Dj

∫ β

a

Fx(y) dy =

∫ β

a

∂F

∂xj(x, y) dy .

II) Para cada x ∈ A la integral flechada∫→b

aFx(y) dy converge.

III) La familia de integrales flechadas∫ →b

a

∂F

∂xj(x, y) dy es uniformemente convergente en A.

Entonces, la función definida en A por f(x) =∫→b

aFx(y) dy tiene derivada parcial continua

respecto de xj en A y se tiene que

∂f

∂xj(x) =

∫ β

a

∂F

∂xj(x, y) dy .

9.2. Integrales eulerianas

Las denominadas, en honor a Euler, funciones eulerianas Gamma (Γ) y Beta (B) estándefinidas por integrales paramétricas, y al igual que las trigonométricas, de Bessel, integraleselípticas, etc., son trascendentes (no algebraicas), pero están perfectamente tabuladas, yresultan de gran utilidad en el estudio de numerosos problemas. Además, una gama bastanteamplia de integrales se pueden expresar en función de ellas.

Definición 9.10 (Función Gamma). Para cada t ∈ (0,∞) se define

Γ(t) =

∫ ∞

0

e−x xt−1 dx.

Propiedades 9.11.

I) Γ(t) está definida y es positiva para todo t > 0.

II) Γ(t) es de clase C∞ en (0,∞) y además, para cada n ∈ N,

Γ(n)(t) =

∫ ∞

0

e−xxt−1(log(x))n dx.

III) Γ(t) = (t− 1) Γ(t− 1) para todo t > 1.

IV) Γ(1) = 1 , Γ(n) = (n− 1)!, n ≥ 2 (ver figura 9.1).

V) Γ(1/2

)=√π, y Γ

(n+

1

2

)=

(2n)!

22n n!

√π, n ∈ N.

VI) lımt→0+

Γ(t) = +∞ y lımt→+∞

Γ(t) = +∞; más aún,

lımt→+∞

Γ(t+ 1)

e−ttt√2πt

= 1 . (Fórmula de Stirling)

De esta relación, para m, p naturales, se deduce que

lımm→∞

Γ(m+ α)

mαΓ(m)= 1, lım

m→∞

(m+ p)!

m!mp= 1, lım

m→∞

1 · 3 · · · (2m− 1)

2 · 4 · · · 2m√m =

1√π.


9.2. Integrales eulerianas 127

VII) Fórmula de multiplicación de Gauss:

mmt Γ(t) Γ(t+

1

m

)· · ·Γ

(t+

m− 1

m

)= (2π)

(m−1)/2√m Γ(mt) , m ∈ N .

Como caso particular, para m = 2 se obtiene la denominada fórmula de duplicación de

Legendre:

Γ(t) Γ(t+

1

2

)=

√π

22t−1Γ(2t).

24

6

21

54321

Figura 9.1: La función Γ interpola al factorial.

Definición 9.12 (Función Beta). Para cada (u, v) ∈ (0,∞)× (0,∞) se define

B(u, v) =

∫ 1

0

xu−1(1− x)v−1 dx.

Propiedades 9.13.

I) B(u, v) está bien definida para todo (u, v) ∈ (0,∞)× (0,∞).

II) La función B es de clase C∞ en (0,∞)× (0,∞), y para todos n,m ∈ N se tiene que

∂n+mB

∂un∂vm(u, v) =

∫ 1

0

(log(x)

)n(log(1− x)

)mxu−1(1− x)v−1 dx.

III) B(u, v) = B(v, u) para todo (u, v) ∈ (0,∞)× (0,∞).

IV) Para cada (u, v) ∈ (0,∞)× (0,∞) se tiene que

B(u, v) =Γ(u) Γ(v)

Γ(u+ v).

V) Fórmula de los complementos: Para cada θ ∈ (0, 1),

B(θ, 1− θ) = π

sen(θπ), es decir, Γ(θ) Γ(1− θ) = π

sen(θπ).

VI) Fórmula de duplicación:

B(u, u) =1

22u−1B(u, 1/2) .



Las propiedades de las dos funciones anteriores permiten expresar una amplia gama deintegrales en función de ellas realizando simples cambios de variable. En la tabla 9.1 se rela-cionan una serie de integrales que mediante cambios de variable se expresan en términos delas funciones eulerianas. Se indica la integral, su solución y el cambio de variable realizado,así como los valores de los parámetros para los que la función es integrable.

Integral Cambio de variable

Parámetros admisibles

I∫ ∞

0

e−axp

xq dx =1

p a(q+1)/p

Γ(q + 1

p

)a xp = y

p, a > 0, q > −1

II∫ a

0

xp(ar − xr

)qdx =

ap+qr+1

rB(p+ 1

r, q + 1

)xr = ar y

p, q > −1, a, r > 0

III∫ b

a

(x− a)p (b− x)q dx = (b− a)p+q+1 B(p+ 1, q + 1) x = a+ (b− a) yp, q > −1

IV∫ b

a

(x− a)p (b− x)q|x− c|p+q+2

dx =(b− a)p+q+1 B(p+ 1, q + 1)

|a− c|q+1|b− c|p+1x =

a(b− c) + c(a− b)y(b− c) + (a− b)y

p, q > −1, c /∈ [a, b]

V∫ ∞

0

xα(a xp + b

)q dx =b(α+1p −q)

p aα+1p

B(α+ 1

p, q − α+ 1

p

) b

a xp + b= y

a, b, p > 0, α > −1,q > (α+ 1)/p

VI∫ π/2

0

senp(θ) cosq(θ) dθ =1

2B(p+ 1

2,q + 1

2

)sen2(θ) = y

p, q > −1

VII∫ π/2

0

cosp(θ) senq(θ) dθ(a cos2(θ)+b sen2(θ)

)p+q2 +1

=B(p+ 1

2,q + 1

2

)

2 ap+12 b

q+12

sen2(θ) =a y

(a− b) y + b

p, q > −1, a, b > 0

Tabla 9.1: Integrales reducibles a las eulerianas.

9.3. Convolución de funciones. Aplicaciones

Nos ocupamos ahora de una serie de resultados que, aunque en apariencia sorprendentes,son consecuencia más o menos directa de los teoremas de integración iterada, cambio devariables e integrales paramétricas.

En lo que sigue, juega un papel importante la noción de soporte de una función, a lo queprestamos atención en primer lugar. De forma coloquial, aunque se consideren funcionesdefinidas en todo el espacio (prolongándolas por 0 fuera de su dominio original), convendrá amenudo establecer qué puntos aportan realmente algo a la integral.

Definición 9.14. Si g es una función definida en Rn, se dice que un abierto V de Rn es de

anulación casi siempre de g si el conjunto x ∈ V : g(x) 6= 0 es de medida nula.Si Θg es la unión de todos los abiertos de anulación c.s. de g, se llamará soporte esencial

de g y se denotará por sop(g) , al complementario en Rn de Θg.


9.3. Convolución de funciones. Aplicaciones 129

Observación 9.15. Si g es continua en todo Rn, el soporte esencial coincide con el soporte“topológico”, es decir, sop(g) = cl

(x ∈ Rn : g(x) 6= 0

), razón por la que hemos denotado igual

a ambos conjuntos.En general, si g es continua en el punto x0 y g(x0) 6= 0, entonces x0 ∈ sop(g); pero si g

no es continua en x0, puede suceder que x0 /∈ sop(g) aunque g(x0) 6= 0. En otras palabras,para funciones no continuas el soporte esencial y el topológico no guardan ninguna relación:piénsese, por ejemplo, en la función χ

Q para la que cl(x ∈ R : χQ(x) 6= 0

)= R, pero χ

Q esigual c.s. a la función idénticamente nula, luego su soporte esencial es el conjunto vacío.

9.3.1. Producto de convolución

Definición 9.16. Sean f, g funciones medibles en Rn. Se define el producto de convolución, osimplemente la convolución, de f y g en un punto x ∈ Rn, denotado por (f ∗ g)(x) , como

(f ∗ g)(x) =∫

Rn

f(y) g(x− y) dy

supuesta la existencia de dicha integral.

Proposición 9.17. Sean f, g, h funciones medibles en Rn.

I) Si existe (f ∗ g)(x), también existe (g ∗ f)(x); además

(f ∗ g)(x) = (g ∗ f)(x) .

II) Si existen (f ∗ g)(x) y (f ∗ h)(x), también existe(f ∗ (g + h)

)(x) ; además

(f ∗ (g + h)

)(x) = (f ∗ g)(x) + (f ∗ h)(x) .

Notación: Si A,B son subconjuntos de Rn, y x0 ∈ Rn se denotan

−A = −x : x ∈ A ; x0 −A = x0 − x : x ∈ A ; A+B = x+ y : x ∈ A ,y ∈ B .

Proposición 9.18. Sean f, g funciones medibles en Rn.

I) Si existe (f ∗ g)(x) y A =(x− sop(f)

)∩ sop(g), entonces

(f ∗ g)(x) =∫

Af(x− y) g(y) dy .

II) Si f ∗ g está definida en todo Rn

sop(f ∗ g) ⊆ sop(f)+sop(g) .

Hasta ahora no hemos dado condiciones suficientes para la existencia de la convoluciónde dos funciones. Lo que sigue va orientado en este sentido.

Teorema 9.19. Si f es integrable en Rn y g es medible y acotada c.s. en Rn, entonces f ∗ gestá definida en todo Rn y es uniformemente continua y acotada; concretamente

|(f ∗ g)(x)| ≤ sup|g(y)| : y ∈ Rn

∫

Rn

|f | , para cada x ∈ Rn .

Notación: Por C0(Rn) se denota al conjunto de funciones f continuas en Rn y que se anu-

lan en el infinito, es decir, tales que lım‖x‖→∞

f(x) = 0 . Estas funciones son uniformemente

continuas y acotadas en todo Rn.

Proposición 9.20. Si f es integrable en Rn y g ∈ C0(Rn), entonces f ∗ g ∈ C0(R

n).

El siguiente teorema es consecuencia de los de Fubini y Tonelli.

Teorema 9.21. Sean f, g funciones integrables en Rn. Entonces:

I) f ∗ g está definida para casi todo x ∈ Rn.

II) f ∗ g (definida como se quiera en los puntos donde eventualmente no exista) es integrableen Rn.



III) Se verifica la igualdad∫

Rn

f ∗ g =

∫

Rn

f

∫

Rn

g .

IV) Se verifica∫

Rn

|f ∗ g| ≤∫

Rn

|f |∫

Rn

|g| .

Corolario 9.22. Si f, g, h son integrables en Rn, entonces

(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) casi siempre en Rn.

Definición 9.23. Sea V un abierto de Rn. Diremos que una función f medible en V eslocalmente integrable en V si para cada compacto K ⊂ V se tiene que f ∈ L 1(K), es decir, sif es integrable en los compactos de V . Al conjunto de las funciones localmente integrablesen V lo denotaremos por L 1

loc(V ).

Proposición 9.24. Sean f una función localmente integrable en Rn y g una función continuaen Rn. Se supone que al menos una de ellas tiene soporte compacto. Entonces f ∗ g estádefinida en todo Rn.

9.3.2. Aproximaciones de la identidad. Regularización de funciones

El estudio que abordamos ahora tiene especial interés en el problema de aproximaciónde funciones medibles por funciones regulares, además las técnicas de cálculo que aquí sepresentan juegan un papel fundamental, tanto desde el punto de vista teórico (como en lateoría de distribuciones), como en el aplicado (p.e., en el filtrado de señales).

Definición 9.25. Se llama aproximación de la identidad en Rn a toda sucesión θk∞k=1 defunciones medibles en Rn verificando:

I) θk(x) ≥ 0 para todo x ∈ Rn

II) Para cada k ∈ N el conjunto sop(θk) está contenido en una bola Bk centrada en 0 ∈ Rn ycuyo radio tiende a 0 cuando k tiende a ∞; en particular, lım

k→∞m(sop(θk)

)= 0.

III) Para todo k ∈ N se tiene que∫Rn θk =

∫sop(θk)

θk = 1.

Es fácil construir aproximaciones de la identidad (basta elegir funciones escalonadas cons-truidas adecuadamente); pero lo que es más interesante es la posibilidad de elegir estasfunciones de clase C∞. A ello van dedicados los dos resultados siguientes.

Lema 9.26. Se considera la función ψ definida en R por

ψ(x) =

e1/(x2−1) si |x| < 1,

0 si |x| ≥ 1.

Esta función es no negativa y de clase C∞ y, puesto que se anula fuera de [−1, 1], es integrableen R; sea a =

∫Rψ > 0. Se define ϕ:R→ R por ϕ = ψ/a y para n ∈ N se define θ:Rn → R por

θ(x1, x2, . . . , xn) = ϕ(x1)ϕ(x2) · · ·ϕ(xn) .Entonces la función θ es no negativa, de clase C∞ e integrable en Rn con integral igual a 1.

Corolario 9.27. Se considera la función θ definida en el lema anterior. Para cada k ∈ N sedefine

θk(x) = kn θ(k x) , x ∈ Rn.

Entonces la sucesión θk∞k=1 es una aproximación de la identidad en Rn compuesta porfunciones de clase C∞.

Observación 9.28. Con la notación de los dos resultados precedentes. Notemos primero que

θk(0) = kn θ(0) = kn ϕ(0)ϕ(0) · · ·ϕ(0) = kn ϕ(0)n −→k→∞

∞ .

Luego, si x 6= 0 existe un k0 ∈ N tal que θk(x) = 0 si k ≥ k0 y, en consecuencia, lımk→∞

θk(x) = 0

(ver figura 9.2).


9.3. Convolución de funciones. Aplicaciones 131

Resumiendo:

lımk→∞

θk(x) =

0 si x 6= 0,

∞ si x = 0.(9.4)

Además, del teorema del cambio de variables, se deduce fácilmente que∫

Rn

θk(x) dx = 1 para todo k . (9.5)

0

1

2

3

4

-2 -1 1 2 X Y

Z

θk, 1 ≤ k ≤ 5 θ2

Figura 9.2: Algunas funciones θk en R y R2.

Teorema 9.29. Sea θk∞k=1 una aproximación de la identidad en Rn. Si f es una funciónlocalmente integrable en Rn y continua en 0 entonces

f(0) = lımk→∞

∫

Rn

θk(x) f(−x) dx = lımk→∞

(θk ∗ f

)(0) .

Observación 9.30. La denominada delta de Dirac en 0, que es el operador lineal definido porf 7−→ δ0(f) = f(0) , se define en muchos textos de Física, para representar la idea de impulso

instantáneo y relajando el rigor matemático, a partir de las relaciones (9.4) y (9.5), como la“función” δ0 que tiene integral 1, que vale 0 en todos los puntos menos en 0, donde toma elvalor ∞; esto es absurdo pues, con la misma relajación del rigor, podríamos establecer que

1 =

∫

Rn

δ0(x) dx =

∫

Rn

2 δ0(x) dx = 2

∫

Rn

δ0(x) dx = 2 .

Lo que se ha obtenido muestra que la delta de Dirac, que es una de las llamadas distribucio-

nes o funciones generalizadas, aunque no puede ser asociada a ninguna función, puede ser“aproximada” por funciones en el sentido ordinario.

Teorema 9.31. Sea θk∞k=1 una aproximación de la identidad en Rn tal que todas las funcio-nes θk son de clase C∞.

I) Si f es localmente integrable en Rn, entonces para k ∈ N está bien definida la función

fk(x) = (f ∗ θk)(x) =∫

Rn

f(y) θk(x− y) dy

y es de clase C∞ en Rn.

II) Si además f es continua en Rn la sucesión fk∞k=1 converge hacia f . De hecho, si K esun compacto de Rn, la sucesión fk∞k=1 converge uniformemente hacia f en K.

En el último teorema se ha establecido que toda función continua es límite uniforme enlos compactos de funciones de clase C∞, pero todavía se puede mejorar: también es posibleaproximar la derivadas.



Lema 9.32. Sean f, g funciones de clase C 1 en Rn tales que sop(f) o sop(g) es acotado (i.e.compacto). Entonces f ∗ g es de clase C 1 en Rn y para cada índice i = 1, 2, . . . , n se tiene que

∂(f ∗ g)∂xi

=∂f

∂xi∗ g = f ∗ ∂g

∂xi.

Teorema 9.33. Sean f una función de clase Cm en Rn y θk∞k=1 una aproximación de laidentidad en Rn por funciones de clase C∞. Entonces f ∗θk es de clase C∞ en Rn para todo k ≥1; además, para cada familia de enteros no negativos j1, j2, . . . , jn con j1+j2+ . . .+jn = α ≤ mla sucesión de funciones

∂α(f ∗ θk)∂xj11 ∂x

j22 · · · ∂xjnn

∞

k=1converge uniformemente en los compactos

de Rn hacia∂αf

∂xj11 ∂xj22 · · · ∂xjnn

.

Observación 9.34. A la vista de los resultados anteriores es fácil comprender porqué sellama también sucesión regularizante a cualquier aproximación de la identidad por funcionesde clase C∞.

9.4. Transformadas integrales

En el estudio de numerosos problemas de las Ciencias y la Técnica, aparecen transfor-maciones del siguiente tipo: a cada función f de un cierto espacio se le asigna una nuevafunción Tf mediante la expresión

Tf(x) =

∫

A

K(x,y) f(y) dy,

donde K es una función, denominada núcleo integral, y las variables x y y recorren ciertossubconjuntos en los espacios euclídeos apropiados. Estas aplicaciones f → Tf reciben elnombre de transformadas integrales, y ejemplos de ellas son las transformaciones de Fourier,Laplace, Mellin, Hilbert, Hankel, Abel, etc.

Veremos la definición y propiedades fundamentales de dos de ellas, poniendo de relie-ve el papel que juegan las técnicas de integración (iterada, cambio de variables, integralesparamétricas) expuestas hasta el momento.

9.4.1. Transformación de Fourier

Recordemos que para t ∈ R se define exp(i t) = eit := cos(t) + i sen(t) .

Definición 9.35. Para cada función f ∈ L 1(Rn) se define su transformada de Fourier, deno-tada por f o F(f) , como la función f :Rn → C dada por

f(ω) = f(ω1, ω2, . . . ωn) =

∫

Rn

e−iω·xf(x) dx =

∫

Rn

e−i(ω1x1+ω2x2+...+ωnxn)f(x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn.

Propiedades 9.36. Sean f y g funciones integrables en Rn. Se verifica:

I) La transformada de Fourier de f es una función acotada; concretamente,

∣∣f(ω)∣∣ ≤

∫

Rn

∣∣f(x)∣∣ dx para cada ω ∈ Rn .

II) f ∈ C0(Rn) . En particular lım

‖ω‖→∞f(ω) = 0 (lema de Riemann-Lebesgue).

III) La transformación de Fourier es lineal, es decir, si a, b ∈ C entonces

F(a f + b g) = aF(f) + bF(g) .

IV) Si λ ∈ R, λ > 0, y g(x) = f(x/λ

)para cada x ∈ Rn, entonces g(ω) = λn f(λω) .

V) Si g(x) = f(−x) para cada x ∈ Rn, entonces g(ω) = f(−ω) .


9.4. Transformadas integrales 133

VI) Si g(x) = f(x) para cada x ∈ Rn, entonces g(ω) = f(−ω) .

VII) Si x0 ∈ Rn y g(x) = f(x− x0) para cada x ∈ Rn, entonces g(ω) = f(ω) e−iω·x0 .

VIII) Si ω0 ∈ Rn y g(x) = f(x) eiω0·x para cada x ∈ Rn, entonces g(ω) = f(ω − ω0) .

IX) Se supone que f es diferenciable en Rn y que Djf es una función integrable y se anula

en el infinito(

lım‖x‖→∞

Djf(x) = 0). Entonces Djf(ω) = i ωj f(ω), es decir,

∫

Rn

e−iω·x ∂f

∂xj(x) dx = i ωj

∫

Rn

e−iω·x f(x) dx .

Teorema 9.37 (derivación de transformadas de Fourier). Si f ∈ L 1(Rn) y también la fun-ción x ∈ Rn 7→ ‖x‖ f(x) es integrable en Rn, entonces f es diferenciable en Rn y para cadaj = 1, 2, . . . , n se tiene que Dj f(ω) = F(−i xjf(x)), es decir,

∂f

∂ωj(ω) =

∫

Rn

−i xj e−i(ω1x1+ω2x2+...+ωnxn) f(x1, x2, . . . , xn) dx1dx2 . . . dxn.

Teorema 9.38 (transformada de Fourier de convoluciones). Sean f, g dos funciones inte-grables en Rn. Entonces

F(f ∗ g) = F(f)F(g) .

9.4.2. Transformación de Laplace

Los objetos de la de la transformación de Laplace son funciones f definidas [0,∞) e inte-grables en [0, b] para todo b > 0. Diremos que una de tales funciones es localmente integrable

en [0,∞), y el espacio vectorial formado por ellas se denotará por L 1loc(R+). Conviene observar

que esta condición es algo más restrictiva que la de la integrabilidad local de f en el abierto(0,∞), que no supone, por ejemplo, la integrabilidad en el compacto [0, 1] 6⊂ (0,∞) . En térmi-nos algebraicos L 1

loc(R+) es (isomorfo a) un subespacio lineal de L 1loc(R), el de las funciones

localmente integrables en R que se anulan c.s. en (−∞, 0), i.e, con soporte contenido en [0,∞).Esta identificación se traduce en que en la práctica se hable, por ejemplo, de la transformadade la función coseno, entendiendo que en realidad nos referimos a su restricción a [0,∞), ode modo más acorde con la notación que venimos usando, a la función definida en R porf(t) = cos(t)χ[0,∞)(t).

Definición 9.39. Sea f ∈ L 1loc(R+) tal que existe un número real s de manera que la función

f(t) e−st es integrable en [0,∞). En ese caso, el ínfimo del conjunto

Df =s ∈ R : f(t) e−st dt es integrable en [0,∞)

se denotará por σf (se conviene que es σf = −∞ si Df no está acotado inferiormente). Se diceentonces que f admite transformada de Laplace que es la función Lf definida en (σf ,∞) por

Lf(s) =

∫ ∞

0

f(t) e−st dt . (9.6)

Observaciones 9.40.

I) El valor σf se denomina abscisa de convergencia de la transformada de Laplace. El nom-bre se comprende fácilmente si se piensa en que esto se formuló inicialmente en términosde la integral impropia de Riemann.

II) La integral (9.6), dependiente del parámetro real s, se puede plantear para númeroscomplejos z. Casi todo lo que se expone a continuación se traslada, palabra por palabraa este caso más general, cambiando el dominio de definición, el intervalo Df , por unsemiplano: z ∈ C : s = Re(z) > σf (nótese que |e−zt| = e−Re(z)t).

Aunque la potencia de la teoría de funciones de variable compleja proporciona herramien-tas más fructíferas que las que se presentan aquí, obviamente su estudio corresponde aun curso de variable compleja, fuera de las atribuciones de esta asignatura.



Propiedades 9.41. Sean f y g funciones que admiten transformada de Laplace. Se tiene que:

I) Si α, β ∈ C, entonces h = α f + β g admite transformada de Laplace, σh ≤ maxσf , σg y

L(α f + β g)(s) = αLf(s) + β Lg(s) .

II) Si b > 0 y h(t) = f(b t) , entonces h admite transformada de Laplace, σh = b σf y

Lh(s) =1

bLf

(sb

).

III) Si t0 > 0 y se define h(t) =

f(t− t0) si t ≥ t0,

0 si 0 < t < t0,entonces h admite transformada de

Laplace, σh = σf yLh(s) = e−t0s Lf(s) .

IV) Si s0 ∈ R y h(t) = es0tf(t), entonces h admite transformada de Laplace, σh = σf + s0 y

Lh(s) = Lf(s− s0) .

Proposición 9.42 (valor final de la transformada de Laplace). Sea f una función queadmite transformada de Laplace. Entonces:

I) Se verifica que lıms→∞

Lf(s) = 0.

II) Si además existe y es finito f(0+) = lımt→0+

f(t), entonces se verifica que lıms→∞

sLf(s) = f(0+) .

Proposición 9.43 (derivación de transformadas de Laplace). Sea f una función queadmite transformada de Laplace. Entonces, la función Lf es de clase C∞ en el intervaloDf = (σf ,∞). Además, si para cada n natural se define gn(t) = (−t)nf(t), t > 0, entoncesσgn = σf , y para cada s ∈ Df se tiene que

(Lf

)(n)(s) =

∫ ∞

0

(−t)n f(t) e−st dt = L(gn)(s) .

Proposición 9.44 (transformada de Laplace de las derivadas). Supongamos que f es declase C n en [0,∞), y que para todo j ∈ 0, 1, . . . , n la función f (j) admite transformada deLaplace. Pongamos α = max

σf(j) , 0 ≤ j ≤ n

. Entonces, para cada s > α se tiene que

L(f (n)

)(s) = sn Lf(s)− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− . . .− sf (n−2)(0)− f (n−1)(0) .

De acuerdo con el convenio introducido inicialmente de que las funciones consideradas,si están definidas en todo R, se entenderán como nulas en (−∞, 0), resulta que para dos deestas funciones f y g se tendrán las siguientes igualdades para t ≥ 0:

∫ t

−∞

f(x) dx =

∫ t

0

f(x) dx, (f ∗ g)(t) =∫ ∞

−∞

f(t− x) g(x) dx =

∫ t

0

f(t− x) g(x) dx ;

por otro lado, para t < 0 las integrales anteriores son nulas (ver propiedad 9.18.I).

Proposición 9.45 (transformada de Laplace del integrador). Sea f ∈ L 1loc(R+) y que admite

transformada de Laplace. Entonces, la función g definida para t ≥ 0 por g(t) =∫ t0f(x) dx ,

admite transformada de Laplace, σg ≤ sup0, σf y

Lg(s) =1

sLf(s), para cada s > σg.

(Nótese que g es la única primitiva de f que se anula en −∞; en este ámbito de la transfor-mada de Laplace g se suele denominar integrador de f )

Proposición 9.46 (transformada de Laplace de convoluciones). Sean f y g funciones queadmiten transformada de Laplace. Se supone que al menos una de ellas es localmente acota-da (i.e., acotada en cada intervalo compacto [0, b]). Entonces f ∗ g está definida para todo t ≥ 0y se verifica:

I) La función f ∗ g es continua en [0,∞).

II) La función f ∗ g admite transformada de Laplace y σ(f∗g) ≤ maxσf , σg.III) Para cada s > σ(f∗g) se tiene que

L(f ∗ g)(s) = Lf(s) · Lg(s) .


Ejercicios 135

Ejercicios

9.1 Para cada t ∈ R se considera

f(t) =

∫ ∞

0

e−x2

cos(2 t x) dx .

I) Probar que f está bien definida y es derivable en R, con derivada f ′(t) = −2 t f(t).II) Demostrar que la función

g(x, y) =x

x2 + y2e−(x2+y2) cos

(2 t

√x2 + y2

)

es integrable en (0,∞)× (0,∞) y calcular su integral.

9.2 Demostrar que la función definida por

f(x) =

∫ ∞

0

e−xysen(y)

ydy , x > 0,

es derivable en (0,∞), calcular su derivada y obtener una expresión explícita de f .

9.3 Demostrar que, aun cuando la función sen(y)/y no es integrable en (0,∞), la función fdefinida, de forma similar al ejercicio anterior, por

f(x) =

∫ →∞

0

e−xysen(y)

ydy , x ∈ [0,∞) ,

es continua en el cerrado [0,∞). Deducir que∫ →∞

0

sen(y)

ydy =

π

2.

9.4 Calcular, para x ∈ R, el valor de

h(x) =

∫ ∞

0

1− cos(x y)

y2e−y dy .

9.5 Probar que está bien definida en [1,∞) la función

f(t) =

∫ 1

0

xt−1 − 1

log(x)dx ,

y que es derivable en (1,∞). Obtener explícitamente el valor de f .

9.6 Demostrar que si a > 0, entonces∫ ∞

0

exp(− (x− a/x)2

)dx =

√π

2.

9.7 Calcular el valor de la integral

f(x) =

∫ ∞

0

arctg(x y)

y (1 + y2)dy.

9.8 Demostrar que para cada α > 0 está bien definida la integral

F (α) =

∫ ∞

0

e−αx − e−α2x

xdx

y calcular su valor.

9.9 Si |λ| < 1 calcular ∫ π

0

log(1 + λ cos(x)

)

cos(x)dx .



9.10 Se consideran n ∈ N y p ∈ R, p > −1. Demostrar que∫ 1

0

xp logn(x) dx =(−1)n n!(p+ 1)n+1

.

9.11 Estudiando la derivabilidad de la función

f(x) =

∫ x

0

log(1 + x t)

1 + t2dt, x ≥ 0,

deducir el valor de ∫ 1

0

log(1 + t)

1 + t2dt.

9.12 Probar que si a, b > 0 se tiene que:

I)∫ ∞

0

e−ax − e−bxx

dx = log( ba

);

II)∫ ∞

0

(e−ax − e−bx

x

)2

dx = log

((2 a)2a(2 b)2b

(a+ b)2(a+b)

).

9.13 Sea c > 0. A partir de la función

f(y) =

∫ ∞

0

xy

x2 + c2dx

obtener que∫ ∞

0

log(x)

x2 + c2dx =

π log(c)

2 cy

∫ ∞

0

log(x)√x

x2 + c2dx =

π

2√2 c

(2 log(c) + π

).

9.14 Probar que para cada y ∈ (−1, 1) se tiene que∫ ∞

−∞

e−yx

Ch(x)dx =

π

cos(yπ/2

) .

Deducir el valor de la integral ∫ ∞

−∞

x e−x/2

Ch(x)dx .

9.15 Sean f : R→ R continua y T =(x, y, z) ∈ R3 : x > 0 , y > 0 , z > 0 , x+ y + z < 1

.

I) Probar que si p > 0, q > 0 y r > 0 la función (x, y, z) 7→ xp−1yq−1zr−1f(x+y+z) es integrableen T y

∫

T

xp−1yq−1zr−1f(x+ y + z) dx dy dz =Γ(p) Γ(q) Γ(r)

Γ(p+ q + r)

∫ 1

0

up+q+r−1f(u) du .

II) Para cada t ∈ R se define

g(t) =

∫

T

xp−1yq−1zr−1f(t (x+ y + z)

)dx dy dz .

Probar que si f es de clase C 1 entonces g es derivable y determinar una expresión integralpara g′. Calcular g′(2) en el caso p = q = r = 1/3 y f(u) = eu.

9.16 Probar que la función1

1− cos(x) cos(y) cos(z)

es integrable en (0, π)× (0, π)× (0, π) y calcular su integral.

Sugerencia: Realizar primero, en cada variable, el cambio típico para las fracciones racionales trigo-nométricas t = tg(x/2).


Ejercicios 137

9.17 Utilizar las coordenadas esféricas generalizadas y las integrales eulerianas para obteneruna fórmula cerrada de la medida de las bolas en Rn en función de su radio.

9.18 Sean p, q, r,m números reales positivos, y B la bola abierta de R3 centrada en 0 y deradio 1. Estudiar para qué valores de esos parámetros la siguiente integral es finita y calcularsu valor: ∫

B

|x|p |y|q |z|r(x2 + y2 + z2

)m dx dy dz .

9.19 Sea V = (0,∞)× (0,∞)× (0,∞) . Si p > 0, q > 0, r > 0 y 1/p+ 1/q + 1/r < 1 calcular∫

V

1

1 + xp + yq + zrdx dy dz (ver ejercicio 8.37).

9.20 (Funciones meseta)

I) Construcción mediante convoluciones:

Sean a < b números reales. Mediante la convolución de los elementos de una sucesiónregularizante con la función característica del intervalo [a− δ, b+ δ], δ > 0, comprobar queparo todo r > 0 existe una función f de clase C∞ en R tal que

1. 0 ≤ f(x) ≤ 1 para todo x ∈ R.

2. f(x) = 1 si x ∈ [a, b].

3. f(x) = 0 si x /∈ [a− r, b+ r].

A tales funciones f se les denomina funciones meseta.

II) Construcción explícita:

La función g(x) = e−1/xχ

(0,∞)(x) es de clase C∞ en R. Sean c < a < b < d números reales(esto es, [a, b] ⊂ (c, d)).

1. La función hr(x) =g(d− x)

g(x− b) + g(d− x) es de clase C∞ en R, toma valores entre 0 y 1,

se anula para x ≥ d y vale 1 para x ≤ b.

2. La función hl(x) =g(x− c)

g(x− c) + g(a− x) es de clase C∞ en R, toma valores entre 0 y 1, se

anula para x ≤ c y vale 1 para x ≥ a.3. La función f(x) = hl(x)hr(x) es de clase C∞ en R, 0 ≤ f(x) ≤ 1 para todo x ∈ R, f(x) = 0

si x /∈ [c, d] y f(x) = 1 si x ∈ [a, b].

9.21 (Densidad de C∞c (Rd) en L1(Rd))

I) Sea α =n∑j=1

ajχIj una función escalonada en Rd. Probar que para todo ε > 0 existe g de

clase C∞en Rd y de soporte compacto con∫

Rd

∣∣α(x)− g(x)∣∣ dx < ε.

Sugerencia: Aproximar las funciones características χIj por adecuadas funciones “meseta”, cons-truidas a partir de las ya obtenidas en dimensión 1.

II) Deducir que para cada función f ∈ L 1(Rd) existe una sucesión gn∞n=1 de funciones de

clase C∞ en Rd y de soporte compacto tal que lımn→∞

∫

Rd

∣∣f(x)− gn(x)∣∣ dx = 0 .

Nota: El subespacio vectorial de Cc(Rd) constituido por las funciones de clase C∞ se denota

por C∞c (Rd).

9.22 Sean I = [a, b] y J = [c, d] dos intervalos compactos de la recta y f = χI , g = χJ susrespectivas funciones características.

I) Calcular f ∗ g.II) Calcular la transformada de Fourier de f ∗ g.



9.23 Considérese la función definida en casi todo punto de R por

f(x) =1√|x|

χ[−1,1](x) .

Comprobar que f es integrable en R pero f ∗ f no está definida en todo punto.

9.24 Sea f una función continua en R y F una primitiva suya. Si g = χI es la funcióncaracterística de un intervalo I = [a, b], calcular f ∗ g en función de F .

9.25 Para cada λ > 0 sea fλ la función definida en R por fλ(x) = e−λx χ[0,∞)(x) .

I) Calcular fλ ∗ fµ.

II) Calcular la transformada de Fourier de fλ.

9.26 (Funciones gaussianas)

I) Sea ϕ(x) = e−x2

/2. Probar que la transformada de Fourier de ϕ satisface la ecuación dife-rencial ϕ ′(ω) + ω ϕ(ω) = 0 . Deducir que

ϕ(ω) =√2π ϕ(ω) =

√2π e

−w2/2 .

II) Probar que la convolución de dos gaussianas es una gaussiana. Concretamente, si

f(x) =1

σ1√2π

e−(x−µ1)

2/2σ 2

1 y g(x) =1

σ2√2π

e−(x−µ2)

2/2σ 2

2

entonces

(f ∗ g)(x) = 1

σ√2π

e−(x−µ)2/2σ2

, donde σ =√σ 21 + σ 2

2 y µ = µ1 + µ2 .

9.27 (Funciones de orden exponencial) Se dice que una función f ∈ L 1loc(R+) es de orden

exponencial si existen constantes M > 0, α ∈ R y b > 0 tales que

|f(t)| ≤Meα t para casi todo t ≥ b. (9.7)

I) Probar que si f ∈ L 1loc(R+) es de orden exponencial, entonces f admite transformada de

Laplace. En concreto, si se verifica (9.7) se tiene que σf ≤ α.

II) Comprobar con un ejemplo (recurrir a funciones numerablemente escalonadas) que pue-de suceder que σf < α y f verifique (9.7) para α pero no para β < α.

III) Proporcionar algún ejemplo que muestre que hay funciones de L 1loc(R+) que admiten

transformada de Laplace pero no son de orden exponencial.

9.28 Si la función f ∈ L 1loc(R+) admite transformada de Laplace, aunque f no sea de orden

exponencial, el integrador g(t) =∫ t0f(x) dx siempre es de orden exponencial.

9.29 Sea H la función de Heaviside o escalón unidad, dada por

H(t) = χ[0,∞)(t) .

Para las siguientes funciones (definidas tácitamente sólo cuando t ≥ 0), se pide determinar siadmiten transformada de Laplace y, si procede, calcularla. En todos los casos a denota unaconstante positiva y b, c números reales.

I) f(t) = H(t) II) f(t) = H(t− a) III) f(t) = c(H(t)−H(t−a)

)

IV) f(t) = ec t V) f(t) = Ch(c t) VI) f(t) = Sh(c t)

VII) f(t) = sen(c t) VIII) f(t) = cos(c t) IX) f(t) = tn, n ∈ N

X) f(t) = tn ec t, n ∈ N XI) f(t) = e−tH(3− t) XII) f(t) = H(t− a) ec t

XIII) f(t) = e−b t cos(c t) XIV) f(t) = e−b t sen(c t) XV) f(t) = e−t sen2(t)

XVI) f(t) =

∫ t

0

x cos(2x) dx XVII) f(t) = etH(t−2) sen(t−2)


Ejercicios 139

9.30 Sea f : (0,∞)→ C una función de L 1loc(R+) y periódica de periodo p > 0, es decir, tal que

f(t+ p) = f(t), t ≥ 0 .

Probar que f admite transformada de Laplace, con σf ≤ 0. Demostrar que, si ϕ es la función

ϕ(t) = f(t)χ[0,p](t) = f(t)−H(t− p)f(t− p), t ≥ 0,

entonces Lf se expresa en función de Lϕ mediante la fórmula

Lf(s) =Lϕ(s)

1− e−ps .

Aplíquese, en particular, a la función coseno:

ϕ(t) = cos(t)−H(t− 2π) cos(t− 2π) .

9.31 La función de error ‘erf ’ y la función complementaria de error ‘erfc’ se definen por

erf(t) =2√π

∫ t

0

e−x2

dx, erfc(t) = 1− erf(t) , t ≥ 0 .

Determinar las transformadas de Laplace de las funciones

f(t) = erfc(√t)

y g(t) = etf(t) = et erfc(√t).

Sugerencia: Aplíquese el teorema de Fubini en las integrales iteradas que aparecen.

9.32 Sea g ∈ L 1loc(R+) que admite transformada de Laplace y tal que la función h(t) = g(t)/t

también pertenece a L 1loc(R+).

I) Probar que h admite transformada de Laplace y que σh = σg.

II) Pongamos Lg(s) = G(s). Demostrar que Lh(s) = H(s) siendo H la única primitiva de −G,

H(s) = −∫G(s) ds+ C0, C0 ∈ C ,

para la que lıms→∞

H(s) = 0.

Sugerencia: Aplíquense las proposiciones 9.42 y 9.43.

III) Sean a y b números reales. Se considera la función

f(t) =

∫ t

0

eax − cos(bx)

xdx, t ≥ 0.

Si s > maxa, 0, deducir de lo anterior Lf(s).

9.33 Sea p > 0. Se considera la función fp ∈ L 1loc(R+) definida por fp(t) = tp−1 (se sobreen-

tiende que fp(t) = 0 para t ≤ 0).

I) Demostrar que para s > 0 se tiene que

Lfp(s) =Γ(p)

sp.

II) Dados p , q > 0 , mediante un cambio de variable lineal adecuado, escribir la convolución(fp ∗ fq)(t) como una integral extendida al intervalo (0, 1).

III) Mediante la transformación de Laplace, deducir de los apartados anteriores la siguienterelación entre las funciones eulerianas B y Γ:

B(p, q) =Γ(p) Γ(q)

Γ(p+ q), p, q > 0 .

9.34 Sea n un número natural y sea f una función de clase C 2 en [0,∞) tal que f , f ′ y f ′′

son de orden exponencial, y con f(0) = 1, f ′(0) = −n. Hallar la transformada de Laplace de fsupuesto que

t f ′′(t) + (1− t) f ′(t) + n f(t) = 0, t ≥ 0 .



9.35 Sea f una función de clase C 1 en [0,∞), tal que f y f ′ son de orden exponencial, y conf(0) = 0. Sabiendo que

5

∫ t

0

ex cos(2(t− x)

)f(x) dx = et

(f ′(t) + f(t)

)− 1, t ≥ 0,

determinar la transformada de Laplace de f .

9.36 En los siguientes casos se pide calcular la transformada de Laplace de la funciónf ∈ L 1

loc(R+) que satisface la correspondiente ecuación integro-diferencial:

I) f(t) = sen(t) + 2

∫ t

0

cos(t− x) f(x) dx

II)∫ t

0

ex cos(t− x) f(x) dx = t

III) f ′′(t) +∫ t

0

e2(t−x)f ′(x) dx = e2t, siendo f(0) = 0, f ′(0) = 1

IV)∫ t

0

f(t− x) f(x) dx = 8(sen(t)− t cos(t)

)

9.37 Para cada uno de los problemas de Cauchy que se relacionan a continuación se pidecalcular la transformada de Laplace de la solución x(t):

I)

x′′(t) + x(t) = t

x(0) = 0, x′(0) = 1.

II)

x′′(t)− 4x′(t)− 5x(t) = 3 et

x(0) = 3, x′(0) = 1.

III)

x′′(t) + x(t) = H(t)− 2H(t− 1) +H(t− 2)

x(0) = x′(0) = 0.

IV)

x′′(t) + x′(t) = 3 cos(t)

x(0) = 0, x′(0) = −1.

V)

x(4)(t) + 3x′′(t) + 2x(t) = e−tH(t− 2)

x(0) = x′(0) = x′′(0) = 0, x′′′(0) = −1.

9.38 Calcular la transformada de Laplace de las soluciones de los sistemas de ecuaciones di-ferenciales lineales de primer orden, con las condiciones iniciales indicadas, en las siguientessituaciones:

I)

7x′(t) + y′(t) + 2x(t) = 0

x′(t) + 3 y′(t) + y(t) = 0

x(0) = 1, y(0) = 0.

II)

5x′(t) + 2 y′(t)− 2x(t) + y(t) = 2e−t

−2x′(t)− y′(t) + x(t) = sen(t)

x(0) = 1, y(0) = −1.

III)

x′(t) + y′(t) = 2 z(t)

y′(t) + z′(t) = 2x(t)

x′(t) + z′(t) = 2 y(t)

x(0) = 1, y(0) = −1, z(0) = 0

Tema 10

Extremos condicionados

Para quien tiene conocimientos, aunque sean elementales, de Geometría Lineal y de Pro-gramación Lineal, debe ser muy fácil comprender la motivación de la teoría que presentamosahora. En aquel caso se trata de estudiar los extremos de funciones lineales en politoposconvexos (i.e., en intersecciones de semiespacios afines). Si consideramos funciones cua-lesquiera, no sólo las lineales, y subconjuntos más generales, el problema es, en general,irresoluble. Ahora bien, si las funciones y los conjuntos se pueden aproximar localmente por“objetos lineales”, es posible establecer condiciones necesarias y suficientes para la existenciade extremos de la restricción de la función al subconjunto.

En cuanto a la mencionada aproximación lineal, para las funciones está todo dicho: esta-mos hablando de la noción de diferenciabilidad. Al referirnos a conjuntos, llegamos al con-cepto de variedad diferenciable.

En realidad, esta teoría se puede presentar sin mencionar los aspectos geométricos, loúnico que se necesita es el teorema de las funciones implícitas (véanse, por ejemplo, lostextos [2], [15] o [32]), pero con un poco de esfuerzo adicional, la introducción del conceptode variedad diferenciable permite dar una visión geométrica, tanto del problema como de susolución.

Otro aspecto similar al caso de variedades afines en Rn es que las variedades diferenciablespueden aparecer, en la práctica, descritas de forma paramétrica, como imágenes de funcionesdefinidas en abiertos de Rd o de forma implícita, como conjuntos de ceros de aplicaciones deRn en Rn−d; en la primera situación los problemas se abordan de la forma habitual, replan-teándolos en términos de funciones en abiertos de Rd, es la segunda la que nos preocupa,recordemos que podemos determinar si cierta aplicación define de forma implícita un gru-po de variables en función de las restantes (teorema 3.21), pero eso no proporciona ningúnalgoritmo para calcularlas de forma explícita.

10.1. Variedades diferenciables en Rn

Definición 10.1. Se dice que un subconjunto conexo S de Rn es una variedad (diferenciable)de clase C k (k ≥ 1) y de dimensión d, 1 ≤ d < n, si para cada punto p ∈ S existen, un abiertoV de Rd, un entorno abierto U de p en Rn y una aplicación ϕ:V → U tales que

I) ϕ es de clase de clase C k

II) en cada punto de V el rango de la matriz jacobiana(Djϕi

)1≤i≤n1≤j≤d

es máximo, es decir,

igual a d.

III) ϕ es un homeomorfismo entre V y U∩S, esto es, ϕ:V → U∩S es biyectiva y ϕ−1:U∩S → Ves continua.

El par (V,ϕ) se denomina carta o parametrización local de S en torno al punto p.

Una familia de cartas locales (Vi,ϕi) : i ∈ I tal que cada punto p ∈ S pertenece a laimagen de alguna de ellas, es decir, tal que

S = ∪i∈Iϕi(Vi),

se denomina atlas de la variedad.

Cuando para una variedad existe un atlas constituido por una sola carta local diremosque la variedad es simple o elemental.

141

142 Tema 10. Extremos condicionados

Observaciones 10.2.

I) Las variedades de dimensión 1 reciben el nombre particular de curvas, y las de dimensión2 el de superficies. Las variedades de dimensión n−1 en Rn se denominan hipersuperficies;nótese el paralelismo con la terminología del caso lineal, los hiperplanos.

II) No hay inconveniente en considerar, sumergidas en Rn, variedades diferenciables de di-mensión d = n, pero esto carece de interés por trivial, ya que estos objetos no son otrosque los abiertos conexos de Rn.

III) En la Geometría Diferencial abstracta el conjunto de puntos soporte de una variedaddiferenciable es un espacio topológico Hausdorff S, sin necesidad de que tenga una es-tructura vectorial, y mucho menos euclídea, por lo que la condición de diferenciabilidadse estable en términos de una compatibilidad de cartas (ver 10.4.I). En este contexto nose dice que S es una variedad diferenciable, sino que S tiene una estructura diferenciable,esta estructura es un atlas de cartas compatibles.

IV) Volviendo al contexto de los espacios euclídeos, la condición de que la diferencial delas parametrizaciones locales tenga rango máximo (es decir, que sean inmersiones, verdefinición 3.23 y teorema 3.24) se traduce, coloquialmente hablando, en que localmentese puede deformar la variedad de forma suave (mediante difeomorfismos) para convertirlaen una región de un subespacio lineal de la misma dimensión (ver figura 10.1).

←→

Figura 10.1: Las variedades diferenciables se “rectifican” mediante difeomorfismos.

Definición 10.3. Sean S una variedad diferenciable de dimensión d y de clase C k en Rn, p unpunto de S y (V,ϕ) una carta local alrededor de dicho punto.

Pongamos que p = ϕ(x), x = (x1, x2, . . . , xd) ∈ V . El subespacio vectorial de Rn generadopor los d vectores

Djϕ(x) =∂ϕ

∂xj(x), j = 1, 2, . . . , d,

es decir, la imagen de la aplicación lineal ϕ′(x), se denomina espacio tangente a la variedadS en el punto p y lo denotaremos por TS(p). Sus elementos se denominan vectores tangentes

a S en dicho punto.

Observaciones 10.4.

I) La definición anterior es coherente puesto que, si (W,γ) es otra carta alrededor de p, laimagen de la aplicación lineal γ′(γ−1(p)) es la misma que la de ϕ′(x).

Aunque el razonamiento es igual, independientemente de la dimensión, para ilustrar estopensemos en el caso de superficies en R3, es decir, que (V,ϕ) y (W,γ) son parametriza-ciones regulares de sendas superficies simples en R3. En este caso el subconjunto M deS dado por

M = ϕ(V ) ∩ γ(W ) ⊂ S

es una superficie elemental que contiene al punto p, y que puede ser parametrizada enun entorno de dicho punto indistintamente por

ϕ : ϕ−1(M)→M o γ : γ−1(M)→M

(véase la figura 10.2, en la que M es la parte sombreada de S).


10.1. Variedades diferenciables en Rn 143

Esas dos parametrizaciones locales de M son compatibles en el sentido que precisamosahora: los teoremas de rango muestran que el cambio de carta (o cambio de parámetros)

θ = γ−1 ϕ : ϕ−1(M)→ γ−1(M)

es un difeomorfismo de clase C 1 y, obviamente, ϕ = γ θ. Además, la regla de la cade-na 2.12 establece que

ϕ′(x) = γ′(θ(x)

) θ′(x) (10.1)

para cada x ∈ ϕ−1(M) , y como θ′(x) es un isomorfismo lineal de R2 en R2, la imagenϕ′(x)(R2) es la misma que γ′(θ(x))(R2).

.

S

M

p

∧∖

γ∧

ϕ

/

W

V γ−1

ϕ

−−−−−−→

Figura 10.2: Parametrizaciones de un entorno de un punto en una variedad

II) La segunda condición de la definición 10.1 garantiza que el espacio tangente a la variedaden un punto es un subespacio vectorial de dimensión d de Rn, ya que los d vectoresDjϕ(x), j = 1, 2, . . . , d, son linealmente independientes.

III) La noción de espacio tangente tiene una lectura más geométrica: dado un punto p deuna variedad S, el subespacio afín

T = p+ TS(p) =p+ v : v es vector tangente a S en p

es también una variedad diferenciable, aquella que, entre todas las lineales, mejor seaproxima localmente a S en el punto p (ver los siguientes ejemplos).

Ejemplos 10.5. Citamos aquí algunos casos sencillos y muy familiares.

I) Si L es un subespacio afín de Rn de dimensión algebraica d, cualquier subconjunto Mno vacío, conexo y abierto en L (véase, M = U ∩ L con U abierto de Rn) es una variedaddiferenciable de clase C∞ y dimensión d.

II) Si f es una función real definida y de clase C k en un intervalo I abierto de R, su grafo(x, f(x)

): x ∈ I

es una variedad (una curva) de clase C k en R2. El espacio tangente en

cada punto p =(x, f(x)

)es la recta engendrada por el vector v =

(1, f ′(x)

).

III) El grafo de la función valor absoluto no es una curva diferenciable; es imposible cons-truir una carta diferenciable alrededor del punto (0, 0). Sin entrar en detalles técnicos, elrazonamiento es el que dicta la intuición geométrica: existen tangentes “laterales”, perocon vectores directores distintos, a saber, v1 = (1, 1) y v2 = (1,−1).

IV) Si f es una función real definida y de clase C k en un abierto conexo A de R2, su grafo(x, y, f(x, y)

): (x, y) ∈ A

es una variedad (una superficie) de clase C k en R3. El espacio

tangente en cada punto p =(x, y, f(x, y)

)es el plano engendrado por los dos vectores

v1 =(1, 0, D1f(x, y)

)y v2 =

(0, 1, D2f(x, y)

),

(ver la observación 2.8.IV).



10.1.1. Variedades definidas implícitamente

El siguiente resultado es consecuencia inmediata del teorema de las funciones implícitas.

Teorema 10.6. Sean U un abierto de Rn y g:U → Rn−d (n > d) una aplicación de clase C k

tal que el rango de la matriz jacobiana en cada punto de U es máximo. Se supone que elconjunto X = x ∈ U : g(x) = 0 es no vacío. Entonces cada componente conexa S de X esuna variedad diferenciable de dimensión d y clase C k.

Observaciones 10.7.

I) Como en el caso de variedades lineales, el número entero n − d en el enunciado anteriorse denomina codimensión de la variedad.

II) También es cierto el recíproco del teorema anterior, precisando más, toda variedad di-ferenciable se puede describir localmente de forma implícita. A modo de compendio,mencionaremos que las propiedades locales que se exponen en la definición 10.1, enel teorema 10.6 y en el teorema 3.24, proporcionan definiciones equivalentes de varie-dad diferenciable. De hecho, según los gustos de los autores, se pueden encontrar enla literatura existente todas las variantes que consisten en adoptar una de ellas comodefinición y luego establecer la equivalencia con las restantes.

Ejemplos 10.8.

I) Las ramas de las secciones cónicas regulares son curvas diferenciables de clase C∞.

II) Las hojas de las cuádricas regulares son superficies diferenciables de clase C∞.

III) Toda esfera en Rn es una hipersuperficie de clase C∞.

IV) El subconjunto de R4 dado por

(x, y, z, u) ∈ R4 : (x− 1)2 + (y − 2)2 + z4 + u4 = 1

es una variedad de dimensión 3 de clase C∞ en R4 (una hipersuperficie).

V) El subconjunto de R4 definido por

(x, y, z, u) ∈ R4 : x2 + y2 + z2 = 1, x+ u = 0

es variedad de dimensión 2, una superficie, de clase C∞ en R4.

Aunque la obtención de parametrizaciones explícitas de una variedad definida implícita-mente puede ser imposible o, como poco, muy laborioso, es posible caracterizar el espaciotangente a una de tales variedades en uno de sus puntos a partir de las aplicación g que ladefine en el sentido del teorema 10.6.

Proposición 10.9. Sea S una variedad diferenciable en Rn de dimensión d que viene definidaimplícitamente en un entorno del punto p ∈ S por las ecuaciones

gi(x) = 0, 1 ≤ i ≤ n− d,

donde las funciones gi son de clase C k en un abierto U de Rn que contiene a dicho punto ytales que el rango de la matriz jacobiana

(Djgi

)1≤i≤n−d1≤j≤n

es máximo en cada punto de U . Entonces el espacio tangente a la variedad en un puntox ∈ S ∩ U es precisamente el conjunto de vectores v que satisfacen

gi′(x)(v) = 0, i = 1, 2, . . . , n− d.

Es decir, los vectores fila de la matriz jacobiana de g = (g1, g2, . . . , gn−d) en el punto x son unabase del complemento ortogonal en Rn del espacio tangente a S en dicho punto.


10.2. Extremos sujetos a condiciones de ligadura 145

10.2. Extremos sujetos a condiciones de ligadura

Tal como mencionábamos en la introducción, si se consideran una función numéricadefinida en un abierto A de Rn y un subconjunto S de A, es evidente que los máximos ymínimos locales de la restricción de f a S no tienen por qué coincidir con los extremosrelativos de f en A. Además, el problema de determinar los extremos de f|S es, en general,

extremadamente difícil.

El planteamiento que presentamos ahora consiste en considerar que el subconjunto Sestá constituido por los puntos del abierto A que satisfacen unas determinadas condiciones

de ligadura dadas por funciones diferenciables g1, . . . , gm que determinan localmente unavariedad diferenciable

S = x ∈ A : g1(x) = g2(x) = . . . = gm(x) = 0,siendo el rango de la matriz (

Djgi(x))1≤i≤m1≤j≤n

máximo (igual a m) para cada x ∈ S.

Definición 10.10. En la situación descrita antes, si x0 ∈ S es un punto en el que f|S alcanza

un extremo relativo, se dice que f presenta un extremo relativo en x0, sujeto a las condiciones

de ligadura g1, . . . , gm.

Según el teorema de la función implícita, en un entorno de cada punto x ∈ S se podrándespejar m variables en función de las restantes y, sustituyendo esas variables en la funciónf , es decir, parametrizando la variedad S, puede tratarse el problema de encontrar los extre-mos relativos de f|S en la forma ordinaria, estudiando una función definida en un abierto de

Rn−m. Pero, insistimos, obtener la expresión explícita de las funciones determinadas por lascondiciones de ligadura suele resultar imposible. El teorema de Lagrange permite soslayaresta dificultad:

Teorema 10.11 (de los multiplicadores, de Lagrange). Sean A un abierto de Rn, f unafunción real de clase C 1 en A, y m condiciones de ligadura,

gi(x1, x2, . . . , xn) = 0, i = 1, 2, . . . ,m, (10.2)

donde las funciones gi son también de clase C 1 en A. Si f presenta un extremo sujeto a lascondiciones de ligadura (10.2) en el punto x0 y el rango de la matriz

(Djgi(x0)

)1≤i≤m1≤j≤n

es m, entonces existe una única m-upla de números reales λ1, λ2,. . . , λm tales que

f ′(x0)−m∑

i=1

λi gi′(x0) = 0 , (10.3)

es decir, se verifican las relaciones

Djf(x0)−m∑

i=1

λiDjgi(x0) = 0, j = 1, 2, . . . , n. (10.4)

Las constantes λ1, λ2,. . . , λm reciben el nombre de multiplicadores de Lagrange.

Observaciones 10.12.

I) El conjunto de ecuaciones dadas en (10.2) y en (10.4) constituye un sistema de n + mecuaciones con n+m incógnitas (las n coordenadas del punto x0 y los m multiplicadoresλi, 1 ≤ i ≤ m), cuya solución permite localizar los posibles extremos.

II) Nótese que la condición (10.3) no establece que ∇f(x0) deba ser necesariamente nulo,sino que sea, en virtud de la proposición 10.9, un vector ortogonal a la variedad S en elpunto x0, es decir, combinación lineal de ∇g1(x0),∇g2(x0), . . . ,∇gm(x0).



III) Una vez localizados los “puntos críticos” se hace necesario, igual que en los problemasordinarios de extremos, dar condiciones suficientes para poder garantizar que en estospuntos la función presenta un extremo. En contra de lo que en un principio podríatentarnos creer, el carácter de la matriz hessiana Hf(x0) no aporta ninguna información,este hecho se puede constatar con sencillos ejemplos (ver ejercicio 10.3).Además es obvio que de alguna forma deben intervenir las condiciones de ligadura; estoqueda patente en los teoremas siguientes, que consisten, vagamente hablando, en aplicarla teoría de extremos ordinarios (ver teoremas 2.39 y 2.40) a la composición de una cartalocal ϕ con la función f . Formalmente, el problema consiste en estudiar el carácter dela hessiana de una función, f ϕ, de n−m variables, pero de nuevo, operativamente, sepuede prescindir del conocimiento de parametrizaciones locales.

Definición 10.13. Con las mismas hipótesis y notación que en el teorema anterior. La fun-ción (auxiliar) L definida en A por

L(x) = f(x)−m∑

i=1

λigi(x), x ∈ A, (10.5)

se denomina función lagrangiana asociada al problema de extremos condicionados.

Nótese que la restricción de L a la variedad S es la misma que la de f : f|S = L|S .

Teorema 10.14 (condición necesaria de extremo). Sean A un abierto de Rn, x0 ∈ A, fy g1, g2, . . . , gm, funciones clase C 2 en A. Se supone que gi(x0) = 0, i = 1, 2, . . . ,m , y que elrango de la matriz

(Djgi(x0)

)1≤i≤m,1≤j≤n

es m . Supongamos también que x0 y λ1, λ2,. . . , λmsatisfacen (10.2) y (10.4) y consideremos la función lagrangiana L definida por (10.5).

Si f alcanza un máximo (resp. mínimo) relativo en el punto x0, sujeto a las condicionesg1, g2, . . . , gm, entonces la matriz hessiana de L en x0, verifica

hHL(x0)ht ≤ 0, (resp. hHL(x0)h

t ≥ 0)

para cada h ∈ Rn congi

′(x0)(h) = 0, i = 1, 2, . . . ,m.


I) En el lenguaje de la Geometría Diferencial la condición anterior se traduce, según se de-duce de la proposición 10.9, en que la forma cuadrática h 7→ hHL(x0)h

t sea semidefinida(negativa o positiva, respectivamente) en TS(x0), el espacio tangente a la variedad en elpunto x0, un subespacio vectorial de dimensión n−m < n.

II) Como corolario inmediato, si la restricción de la forma cuadrática h 7→ hHL(x0)ht a

TS(x0) es indefinida, entonces la función f|S no puede presentar un extremo local en x0.

Teorema 10.16 (condición suficiente de extremo). Sean A un abierto de Rn, x0 ∈ A, fy g1, g2, . . . , gm, funciones clase C 2 en A. Se supone que gi(x0) = 0, i = 1, 2, . . . ,m , y que elrango de la matriz

(Djgi(x0)

)1≤i≤m,1≤j≤n

es m . Supongamos también que x0 y λ1, λ2,. . . , λmsatisfacen (10.2) y (10.4) y consideremos la función lagrangiana L definida por (10.5).

Es condición suficiente para que la función f presente un máximo (resp. mínimo) relativoen el punto x0, sujeto a las condiciones g1, g2, . . . , gm, que la restricción a TS(x0) de la formacuadrática asociada a HL(x0) sea definida negativa (resp. positiva), es decir, que

hHL(x0)ht < 0, (resp. hHL(x0)h

t > 0)

para cada h ∈ Rn con h 6= 0 y tal que

gi′(x0)(h) = 0, i = 1, 2, . . . ,m.

Observación 10.17. Evidentemente, si la forma cuadrática asociada a HL(x0) es definida osemidefinida en todo Rn, también tiene el mismo carácter su restricción a todos los subes-pacios vectoriales, pero puede suceder que f presente un extremo relativo en x0 sujeto a lascondiciones g1, g2, . . . , gm, siendo indefinida en Rn dicha forma cuadrática.

Como siempre, pensar en las situaciones sencillas, incluido el caso de variedades afineses muy revelador (ver ejercicio 10.3).


10.2. Extremos sujetos a condiciones de ligadura 147

10.2.1. El método de Kuhn-Tucker

La teoría de Lagrange permite resolver problemas de extremos (absolutos o relativos) másgenerales, en los cuales el conjunto donde está definida la función viene dado mediantecondiciones de ligadura dadas por relaciones de igualdad o desigualdad:

C = x : gi(x) ∼ 0, i = 1, 2, . . . ,m,donde ∼ es cualquiera de las relaciones =, < o ≤.

Es usual encontrar en la literatura matemática ese método enunciado como teorema de

Kuhn-Tucker. Ahora bien, aunque es posible dar demostraciones de este resultado sin nece-sidad de recurrir al concepto de variedad y al teorema de Lagrange 10.11, la algoritmia queproporciona no es otra que la de realizar una descomposición adecuada del conjunto. Nóteseque si f alcanza un extremo local en un punto x ∈ C, también lo hará la restricción f|B a

cualquier subconjunto B ⊂ C que contenga a x.

Esa descomposición consiste en discriminar, primero entre el interior y la frontera; setrata, grosso modo (hay que ser precavidos al describir interior y frontera si las funciones gino están definidas en todo Rn), de distinguir entre los puntos en que todas las desigualdadesgi(x) ∼ 0 son estrictas y los que verifican gi(x) = 0, para algún i.

Después, el método consiste en descomponer la frontera como unión de variedades dedimensión menor que n. Aquí es útil convenir que las variedades de dimensión 0 son losconjuntos unipuntuales, pues pueden aparecer en la frontera puntos “angulosos”, “no re-gulares”, tales como los vértices de un politopo. Esas variedades estarán dadas de formaimplícita

M = x : gi(x) = 0, i ∈ I ∩ x : gi(x) < 0, i ∈ Jsiendo I ∪ J = 1, 2, . . . ,m, es decir, M es la variedad contenida en el abierto

VJ = x : gi(x) < 0, i ∈ Jdefinida de forma implícita por las relaciones

gi = 0 , i ∈ I .Ilustraremos esto con un par de ejemplos suficientemente significativos.

Ejemplo 10.18. Pensemos en el problema de estudiar los extremos, locales o absolutos, deuna función f en un sólido poliédrico P de R3, siendo la función diferenciable en un abiertoque contiene a dicho sólido.

Los extremos se pueden localizar:

I) En el interior del conjunto. Esto conduce a un problema ordinario de extremos en dimen-sión 3, que se aborda según se expuso en el tema 2.

II) En las caras del poliedro. Se puede aplicar el método de los multiplicadores de Lagrangeo parametrizar esos planos y tratarlo como un problema ordinario en dimensión 2.

III) En las aristas del poliedro. El tratamiento es análogo al del caso anterior, pero en dimen-sión 1.

IV) En los vértices del poliedro. Aquí el estudio consiste simplemente en evaluar la función.

Ejemplo 10.19. Consideremos el subconjunto K de R3 limitado por el plano z = 0 y elhemisferio superior de la esfera de radio 1 centrada en el origen, esto es,

K = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 − 1 ≤ 0, z ≥ 0.Puesto que K es compacto cualquier función f continua en K alcanzará sus extremos ab-solutos. Estos extremos serán también relativos y se encuentran en uno de los siguientesconjuntos (disjuntos dos a dos):

I) En el interior de K, es decir, en el conjunto

K= (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 − 1 < 0, z > 0,y se tiene un problema de extremos ordinarios en este abierto.



II) En la parte de su intersección con la esfera

S1 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 − 1 = 0, z > 0.En este caso se tiene una condición de ligadura g(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1 = 0 en elabierto A = (x, y, z) ∈ R3 : z > 0, siendo g′(x) 6= 0 para cada x ∈ S1.

III) En la parte de su intersección con el plano

S2 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 − 1 < 0, z = 0.Se tiene ahora, en el abierto A = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 − 1 < 0, una condición deligadura g(x, y, z) = z = 0 con g′(x) 6= 0 para cada x ∈ S2.

IV) En la intersección de la esfera y el plano

C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 − 1 = 0, z = 0.En este caso se tienen dos condiciones de ligadura g1(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1 = 0 ,g2(x, y, z) = z = 0 definidas en el abierto A = R3, siendo el rango de la matriz jacobianade g = (g1, g2) máximo en cada punto de C.

Si la función f es de clase C 1 en un abierto que contiene a K, sus posibles extremosse localizan en cada uno de los cuatro casos según los métodos expuestos. Obsérvese que,al tratarse de un problema de extremos absolutos, no es necesario recurrir a los criteriossuficientes de extremo; basta seleccionar de entre los candidatos hallados (puntos críticosen alguno de los cuatro conjuntos anteriores), aquéllos en que la función tome los valoresmáximo y mínimo.

Ejercicios

10.1 Sean S1 una variedad diferenciable de dimensión d1 en Rn y S2 una variedad diferen-ciable de dimensión d2 en Rm, ambas de clase C k.

I) Demostrar que S = S1 × S2 es una variedad diferenciable, de la misma clase C k, y dedimensión d = d1 + d2 en Rn+m.

Proporcionar, vía cartas locales de S1 y S2, una base al espacio tangente TS(c) en unpunto genérico c = (a, b) ∈ S.

II) Supongamos que en un entorno abierto A ⊂ Rn del punto a ∈ S1 la variedad S1 estádefinida implícitamente por la relación f1 = 0 con f1 de clase C k en A, y que en unentorno abierto B ⊂ Rm del punto b ∈ S1 la variedad S2 está definida implícitamente porla relación f2 = 0 con f2 de clase C k en B. Dar una representación implícita de S en unentorno de c = (a, b) ∈ Rn+m.

Describir los vectores ortogonales a TS(c).

10.2 Sea S una superficie de clase C 1 en R3 dada de forma implícita por la ecuacióng(x, y, z) = 0. Demostrar, haciendo uso del teorema de Lagrange, que si a ∈ R3\S y la distanciad(a, S) se alcanza en un punto p ∈ S, entonces el vector determinado por a y p es ortogonalal plano tangente a S en p.

Como aplicación, dedúzcase la fórmula que expresa la distancia de un punto a un planoen R3 en términos de uno de sus vectores directores.

10.3 Se considera la función definida en R2 por

f(x, y) = x2 − y2.I) Para cada α ∈ [0, 2π] estúdiese la existencia de extremos de f condicionados a la ligadura

gα(x, y) = sen(α)x− cos(α) y = 0 .

II) En los puntos “críticos” x0 que proporciona el método expuesto en el teorema 10.11,estúdiese el carácter de las formas cuadráticas Hf(x0) y HL(x0), donde L es la corres-pondiente función definida según (10.5).


Ejercicios 149

10.4 Estudiar los extremos relativos de la función

f(x, y) =x2

3+y2

2

sujeta a la condiciónx2 + y2 = 1 .

10.5 Estudiar los extremos locales de la función

f(x, y) = 2x+ y

en el conjuntoD = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1, x+ y ≤ 1.

10.6 Determinar los extremos absolutos de la función

f(x, y) = ex+y

en el conjuntoD = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1, x2 + (y − 1)2 ≤ 1.

10.7 Hallar los extremos absolutos de la función f :K → R dada por

f(x, y) = x y2(4− x− y),donde K es el conjunto

K = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4, x y2 ≥ 1.


f(x, y, z) = x+ z

en la esfera de ecuaciónx2 + y2 + z2 = 1 .

10.9 Estudiar los extremos locales de la función

f(x, y, z) = x2 + y2 + z2

sujeta a las condiciones x2 + y2 + z2 + x z + x y + y z = 1,

x+ 2 y − 3 z = 0 .

10.10 Estudiar los extremos relativos de la función

f(x, y, z) = 2x y − z2

sujeta a la condición

x3 + y3 +z3

2= 2 .

10.11 Calcular los extremos relativos de la función

f(x, y, z) = x+ y + z

en cada una de las componentes conexas del conjunto(x, y, z) ∈ R3 :

1

x+

1

y+

1

z= 1

.




f(x, y, z) = x+ y z + z

en el conjunto (x, y, z) ∈ R3 : 2 + y2 + z2 ≤ x ≤ 4

.

10.13 Calcular el máximo y el mínimo absolutos de la función

f(x, y, z) = x2 + y2 + z

en el conjuntoK = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 8, x+ y + z = 1.

10.14 Encontrar el mayor y el menor valor de x3 + y3 + z3 sujeta a las condiciones

x2 + y2 + z2 = 1,

x+ y + z = 1.

10.15 Encontrar los puntos del conjunto

A = (x, y, z) : x+ z = 1, 4x2 + y2 ≤ 16más próximos y más alejados del origen.

10.16 Sean H el subconjunto de R3 dado por

H =(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2 + 2 , −2 ≤ z ≤ 2

,

y f la función real definida en R3 por f(x, y, z) = x y .

I) Demostrar que f está acotada en H y alcanza sus extremos.

II) Calcular los extremos absolutos de f en H, así como los puntos donde se alcanzan dichosextremos.

10.17 Se considera el conjunto

K = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1,−1 ≤ z ≤ 1.Determinar los extremos absolutos en K de la función

f(x, y, z) = ex2−2y2+z3 .

10.18 Encontrar los extremos absolutos de la función

f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + x+ y + z

en el conjuntoK = (x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ 4, z ≤ 1.

10.19 Sea f :R3 → R la función definida por

f(x, y, z) = x2 + y2 + z2.

I) Calcúlense los extremos absolutos de f sobre el conjunto

M = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + z2 = 25, x2 − y2 = 9,justificando su existencia.

II) ¿Tiene la función f extremos absolutos en el conjunto

N = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + z2 ≤ 25, x2 − y2 ≤ 9?Si los tiene, calcúlense.


Ejercicios 151

10.20

I) Sea f :R3 → R definida porf(x, y, z) = x y z.

Hallar el máximo y el mínimo absolutos de f en la esfera unidad.

II) Inscribir un paralelepípedo rectangular de volumen máximo en una esfera de diámetro d.

10.21 Calcular la distancia al origen del conjunto

Q = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + 2xy + y2 + z2 = 1 .

10.22 Hallar los extremos absolutos de la función f :K → R dada por

f(x, y, z) = x2 + yz,

donde K es el conjunto

K = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 1, x2 + y2 ≤ z2.

10.23 Demostrar que la función

f(x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2 + 4x

está acotada en el conjunto

K =(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 9, x+ z ≤ 3

y alcanza en él sus extremos absolutos. Calcular dichos extremos.

10.24

I) Calcular el máximo y el mínimo absolutos en la bola euclídea B(0, 1) de la función real fdefinida en Rn por

f(x1, . . . , xn) = x1x2 · · ·xn.II) Deducir que si a1, . . . , an ≥ 0 se verifica que

(a1a2 · · · an)1/n ≤a1 + . . .+ an

n.

III) De entre todos los rectángulos inscritos en una elipse, determinar el de área máxima.

10.25 Sea a = (a1, a2, . . . , an) ∈ Rn, a 6= 0. Determinar el máximo de

〈a,x〉 =n∑

k=1

akxk,

sujeta a la condición

‖x‖2 =

n∑

k=1

xk2 = 1,

mediante:

I) La desigualdad de Cauchy-Schwarz.

II) El teorema de los multiplicadores de Lagrange.

10.26 Hallar el máximo y el mínimo de las distancias entre los puntos de las circunferenciasde ecuaciones

(x− 2)2 + (y − 2)2 = 1 y x2 + y2 = 18 .

10.27 Usando el teorema de los multiplicadores de Lagrange, probar que de entre todos lostriángulos inscritos en una circunferencia, los de mayor área son los equiláteros.

10.28 Determinar las dimensiones del paralelepípedo rectangular que, de entre todos los devolumen dado V0, tenga mínima la suma de las áreas de sus caras.



10.29 Utilizando el método de Lagrange, calcular:

I) La distancia de ξ ∈ Rn al hiperplano afín H de ecuación

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = c.

Comparar con el ejercicio 10.2.

II) La distancia de un punto (ξ1, ξ2, ξ3) ∈ R3 a la recta intersección de los planos

a0 + a1x+ a2y + a3z = 0,

b0 + b1x+ b2y + b3z = 0.

10.30 (Teorema fundamental de la programación lineal) Sean n,m ∈ N. Se supone que,para i = 1, 2, . . . ,m , se tiene funciones lineales gi de Rn en R y que βi son números reales.Entonces el conjunto (un politopo)

C =x ∈ Rn : gi(x) ≤ βi para todo i = 1, 2, . . . ,m

=

m∩i=1

x ∈ Rn : gi(x) ≤ βi

es cerrado y convexo. Consideremos además una función lineal f :Rn → R.Utilizar el método de Kuhn-Tucker para deducir que, si f presenta algún extremo en C, lo

hace en su frontera y que ese valor extremo es absoluto. Además los extremos se alcanzan,o bien en todos los puntos de una región convexa de una variedad afín contenida en Fr(C), oen un sólo punto, que es un vértice o punto extremal de C, esto es, que no puede ser escritocomo combinación convexa propia de otros puntos de C distintos de él mismo.

Tema 11

Teoría de campos

En términos abstractos un campo vectorial definido en un abierto U de Rn no es otra cosaque una aplicación de U en Rm. La teoría que exponemos aquí va dirigida a proporcionarun formalismo más adecuado a los modelos de la Física y de la Técnica, así como la inter-pretación en este contexto particular de los conceptos que se definen relacionados con laderivación, cuando esas aplicaciones representan magnitudes escalares o vectoriales.

Como curiosidad, la voz latina ‘vector’, que viene a significar ‘portador’, fue introducida enMatemáticas a través de la Astronomía.

También introducimos aquí algunas nociones geométricas que surgen al tratar conceptosfísicos y que no se enmarcan en la teoría de variedades presentada en el tema anterior. Paradesignar a esta nueva clase más amplia de objetos utilizaremos el término de variedades pa-

ramétricas. De momento prestamos atención a las curvas. Las definiciones y propiedades seenuncian en espacios Rn de dimensión arbitraria, ya que la generalización no ofrece ningunadificultad adicional, pero si el lector se encuentra más cómodo, puede pensar en R2 y R3, loscasos de aplicación habitual.

11.1. Curvas paramétricas

Una curva diferenciable elemental Γ que se parametrice por una única carta (I,ϕ) es elconjunto imagen de la aplicación ϕ: I → Rn, con I = (a, b) intervalo abierto de R. Pero en oca-siones conviene extender este punto de vista. Por ejemplo, el orden natural de la recta realhace que, en ocasiones, interese extender la definición tomando como dominios de definiciónintervalos cerrados, añadiendo al conjunto imagen, la curva, sus puntos “extremos”, como alconsiderar arcos o caminos continuos (ver definición 1.109). También, en otras situaciones,como al considerar de trayectorias de un móvil, es necesario eliminar el carácter inyectivode la parametrización: por ejemplo, se puede idealizar una pista de atletismo como una cur-va, pero en competiciones de media y larga distancia, los atletas, idealizados como objetosmóviles unipuntuales (partículas), han de recorrerla varias veces (ver ejemplo 11.3.I).

Definición 11.1. Se llama curva paramétrica en Rn de clase C k (k ≥ 0) a una aplicación ϕ

definida en un intervalo I de la recta real, con valores en Rn y de clase C k en I.

El conjunto imagen de ϕ se llama soporte de la curva y se denota por ϕ∗. Se dice que ϕ esuna parametrización del soporte de la curva paramétrica.

Si I es un intervalo compacto, I = [a, b], los puntos ϕ(a) y ϕ(b) se denominan respectiva-mente el origen y el extremo de la curva; si dichos puntos coinciden, se dice que la curva escerrada.

Se dice que la curva paramétrica ϕ es simple si es inyectiva, o también, si la curva escerrada, definida en el compacto [a, b], si es inyectiva en el intervalo semiabierto [a, b).

Por último, si la curva paramétrica es de clase C k con k ≥ 1, se puede considerar paracada t ∈ I el vector ϕ′(t). Se dice que un punto ϕ(t) de la curva es regular si ϕ′(t) 6= 0, en cuyocaso se llama a éste último el vector tangente a la curva en el punto ϕ(t).

Cuando todos los puntos de una curva son regulares, la curva se dice regular.

Observaciones 11.2.

I) Nótese que en un punto p del soporte de una curva ϕ no simple podrían aparecer variosvectores tangentes ϕ′(t), correspondientes a los diferentes valores de t tales que ϕ(t) = p.

153

154 Tema 11. Teoría de campos

II) Toda curva diferenciable elemental se puede ver como el soporte de una curva paramé-trica regular, simple y de clase C k, con k ≥ 1; la parametrización es la que aparece enla única carta de un atlas adecuado. El recíproco no es cierto en general (ver ejemplo11.3.II), salvo en situaciones especiales, por ejemplo, que la curva sea cerrada y coinci-dan las derivadas laterales en los extremos del intervalo de parametrización.

III) Conviene resaltar que, incluso al tratar con variedades diferenciables, en ocasiones esimportante no sólo el conjunto soporte, sino también su parametrización y las propieda-des de la misma; por ejemplo, si idealizamos una pista de atletismo como el soporte deuna curva, en una competición los atletas “parametrizan” el mismo soporte, utilizandoel tiempo como parámetro, pero gana el que lo hace antes, es decir, en un intervalo demenor longitud. Es fácil comprender por qué se usa también el término trayectoria comosinónimo de soporte de una curva paramétrica.

Ejemplos 11.3.

I) La curva paramétrica dada por

ϕ(t) = (cos(t), sen(t)), t ∈ I,donde I es un intervalo es de clase C∞ y regular, y su soporte está contenido en lacircunferencia centrada en (0, 0) y de radio 1. Es sencillo probar que la curva es simplesi, y sólo si, la longitud de I es menor o igual que 2π, y que la curva es cerrada si, y sólosi, I = [a, a+ 2nπ], con a ∈ R, n ∈ N.

II) La curva paramétrica dada por

ϕ(t) =(sen(2 t)

∣∣ cos(t)∣∣ , sen(2 t) sen(t)

), t ∈ (0, π) ,

es de clase C 1, simple y regular, pero no define una variedad diferenciable; ningún en-torno de (0, 0) ∈ ϕ∗ puede ser homeomorfo a un intervalo: ver la figura 11.1 en la que sehan enmarcado, dentro de un disco centrado en (0, 0), las imágenes de intervalos (0, δ),(π/2− δ, π/2+ δ) y (π− δ, π). En esa figura se realza también en trazo más oscuro la imagende un intervalo (π/2− ε, π/2 + ε), que sí es una variedad siempre que 0 < ε < π/2.

0 δπ

2−ε π

2+ε

π−δπ

−→

Figura 11.1: Existen curvas paramétricas simples que no son variedades diferenciables.

Un mismo conjunto puede aparecer como el soporte de diferentes curvas paramétricas.Puesto que será necesario en lo sucesivo trabajar con conceptos relativos a curvas paramé-tricas, es imprescindible saber hasta qué punto dichos conceptos son independientes de laparametrización que las origina, siendo suficiente el conocimiento del soporte para trabajarsin ambigüedad. En otras palabras, interesa conocer si dos parametrizaciones de un mismosoporte son “equivalentes” en este sentido. La siguiente definición va dirigida a fijar esta idea.

Definición 11.4. Se dice que dos curvas paramétricas, ϕ1: I1 → Rn y ϕ2: I2 → Rn, sonequivalentes si existe un difeomorfismo θ de I1 en I2 de manera que

ϕ2 θ = ϕ1.

En esta situación, θ recibe el nombre de cambio de parámetro.


11.2. Campos escalares y vectoriales 155

Observaciones 11.5.

I) La definición anterior se extiende, generalizando la idea de difeomorfismo, a intervalosno abiertos en la forma habitual, al considerar las derivadas en los extremos se entiendeque éstas son laterales.

II) Resulta obvio que curvas paramétricas equivalentes tienen el mismo soporte; ahora bien,el recíproco no es cierto a menos que se impongan condiciones de regularidad; tal es elcaso de las que son cartas de variedades, o las que aparecen en el siguiente resultado,también consecuencia de los teoremas del rango (véase la observación 10.4.I).

Teorema 11.6. Dos curvas paramétricas definidas en intervalos compactos, regulares, sim-ples no cerradas y con el mismo soporte son equivalentes.

Dos curvas paramétricas cerradas, regulares, simples, con el mismo soporte y con el mis-mo punto inicial, son equivalentes.

Observaciones 11.7.

I) Con la notación de 11.4, por la regla de la cadena, si para un t ∈ I1, ϕ2 es derivable en elpunto θ(t), también lo es ϕ1 en t y

ϕ′1(t) = θ′(t)ϕ′

2(θ(t)) . (11.1)

Si las curvas son simples, dado que θ′(t) 6= 0 para todo t ∈ I1, es inmediato que un puntop del soporte (idéntico para ambas curvas) es regular o no independientemente de laparametrización escogida, y que, en caso de serlo, los vectores tangentes en p respecto acada parametrización son proporcionales y determinan, por tanto, una misma dirección.

II) Cuando hablamos de curvas regulares y simples, como en el caso de las variedadesdiferenciables, el resultado anterior justifica la posibilidad de trabajar con ellas indicandoúnicamente su soporte. Pero esto no es otra cosa que la propiedad de compatibilidad decartas expuesta de 10.4.I. Véase que la fórmula (11.1) es exactamente el caso particularde (10.1) para dimensión 1.

11.2. Campos escalares y vectoriales

Definición 11.8. Sea U un conjunto abierto de Rn.

I) Un campo escalar de clase C k en U es cualquier función f :U → R de clase C k.

II) Un campo vectorial de clase C k en U es toda aplicación F :U → Rm, m > 1, de clase C k.

El índice k recorre el conjunto de los números enteros no negativos, entendiéndose que lasaplicaciones de clase C 0 son las continuas.

Ejemplos 11.9.

I) Son campos escalares la temperatura o la celeridad.

II) Son campos vectoriales la velocidad o cualquier campo de fuerzas (gravitatorio, eléctrico,magnético, etc.).

Definición 11.10. Sea f un campo escalar en un abierto U de Rn. Para cada c ∈ R, elsubconjunto

Sc = x ∈ U : f(x) = c

se denomina conjunto de nivel o conjunto isotímico de f .


I) Los conjuntos isotímicos (del griego iso=igual, timo=valor) pueden ser vacíos; esto ocurreobviamente cuando el campo f no toma el valor c en ningún punto.



II) Otras terminologías específicas son utilizadas para cada caso concreto: por ejemplo, sif representa la temperatura en cada punto de una región del plano o del espacio sehabla de conjuntos isotérmicos. Situaciones muy familiares para todos son la descripciónde la presión en meteorología mediante las curvas isobáricas o la representación de losdesniveles del terreno en un mapa topográfico mediante las curvas de nivel.

III) En algunas ocasiones el campo f representará el potencial de un campo de fuerzas y losconjuntos de nivel reciben también el nombre de variedades equipotenciales; el teorema10.6 justifica el nombre de variedades cuando se dan las condiciones de regularidadpertinentes.

Definición 11.12. Sean U un abierto de Rn y F :U → Rn un campo vectorial continuo.

I) Una línea de corriente o de flujo de F es una curva en U parametrizada en un intervalo Ipor una aplicación γ: I → U de clase C 1 y tal que

γ′(t) = F(γ(t)

)para cada t ∈ I .

II) Sea K un subconjunto de U y consideremos para cada x ∈ K la línea de flujo Φ(x, t)determinada por el problema de valores iniciales

γ′(t) = F

(γ(t)

),

γ(t0) = x .

La unión de todas estas líneas de flujo que en un instante inicial t0 pasan por puntos deK se denomina tubo de campo o de flujo de F de soporte K.


I) La existencia de las líneas de campo viene garantizada de forma local por la regularidaddel campo F ; éste es un problema de la teoría general de ecuaciones diferenciales.

II) Si se supone que el campo F no se anula en ningún punto de U , las líneas de flujo de Fson curvas regulares γ tales que su tangente en cada punto x0 = γ(t0) por el que pasanes la recta que determinan dicho punto y el vector F (x0).

Si F representa un campo de fuerzas, el significado dinámico de estos conceptos essimple: las líneas de flujo son las trayectorias que recorre una partícula sometida a losefectos del campo F . Por ejemplo, para campos eléctricos las líneas de flujo son lastrayectorias que describe una carga en la región donde actúa el campo, recorridas éstasen un sentido u otro según el signo de la carga. Otra situación familiar es la del campogravitatorio terrestre; en este caso el campo es proporcional en cada punto al vector deposición tomando como origen de coordenadas el centro (de masa) de la Tierra. Las líneasde flujo son rectas que pasan por este punto, lo cual no significa otra cosa que los objetossituados en la atmósfera, libres de otras fuerzas (rozamiento, etc.), caen verticalmentehacia la superficie terrestre (ver ejercicio 11.9).

11.3. Operadores diferenciales

Notación: Sea U un abierto de Rn. Al conjunto de las aplicaciones f de clase C k definidasen U con valores en Rp, f :U → Rp, lo denotaremos por C k(U,Rp); si p = 1 escribimos C k(U),simplemente. Estos espacios, dotados de la suma habitual de funciones y el producto denúmeros reales por funciones, son espacios vectoriales. La palabra “operador” se utiliza paradesignar las aplicaciones lineales entre este tipo de espacios vectoriales, en distinción con elcaso de los espacios euclídeos.

Definición 11.14. Sea U un abierto de Rn. Una aplicación T :C k(U,Rp) → Cm(U,Rq) que sealineal, es decir, tal que para todas f, g ∈ C k(U,Rp) y todo λ ∈ R se tenga que

T (f + g) = T (f) + T (g) y T (λ f) = λT (f) ,

se denomina operador lineal o simplemente operador.


11.3. Operadores diferenciales 157

Ejemplo 11.15. La aplicación que a cada función f de clase C 1 en un abierto U de Rn

le asigna la función ∂f/∂x1 es un operador definido en C 1(U,R). Un operador de este tipo,definido mediante derivadas parciales, se dice diferencial.

A continuación se presentan los operadores diferenciales usuales que se manejan en laFísica y sus propiedades básicas. En realidad, exceptuando la notación, la nomenclatura yla interpretación en el contexto de la Física, no hay muchas novedades, ya que la mayoría delos resultados que se enuncian son redacciones equivalentes o consecuencias directas de laspropiedades generales de las funciones diferenciables.

11.3.1. Gradiente de un campo escalar

Definición 11.16. Sea f un campo escalar de clase C 1 en un abierto U de Rn. Se denominagradiente de f al campo vectorial definido por

∇f(x) =( ∂f∂x1

(x),∂f

∂x2(x), . . . ,

∂f

∂xn(x)

), x ∈ U .

Propiedades 11.17. Sean f, g campos escalares de clase C 1 en un abierto U de Rn y c unnúmero real. Se verifica que:

I) ∇(f + g) = ∇f +∇g .

II) ∇(c f) = c∇f .

III) ∇(f g) = f ∇g + g∇f .

IV) Si g(x) 6= 0 para cada x ∈ U , entonces ∇(f/g

)= (g∇f − f∇g)/g2.

Observación 11.18. De las propiedades i) y ii) anteriores se deduce que el gradiente es unoperador definido en el espacio de los campos escalares de clase C 1 en un abierto U que tomavalores en el espacio de los campos vectoriales continuos en U ; más general:

f ∈ C k(U,R) 7−→ ∇f ∈ C k−1(U,Rn) , k ≥ 1 .

Formalmente escribiremos

∇ =( ∂

∂x1,∂

∂x2, . . . ,

∂

∂xn

).

Definición 11.19. Sean U un abierto de Rn y F :U → Rn un campo vectorial continuo. Sedice que F es conservativo si existe un campo escalar f de clase C 1 en U tal que

∇f(x) = F (x) para cada x ∈ U .En este caso, se dice que el campo f es una función potencial o un potencial escalar de F .


I) En ciertos modelos físicos, si ∇f = F , se dice que −f es una función potencial de F . Estono debe causar ningún trastorno o confusión, es simplemente otro convenio de notación.

II) Veremos más adelante, al estudiar el concepto de integral curvilínea, que el adjetivo‘conservativo’ tiene un significado físico preciso. Estudiaremos ahora cómo se relacionanpara este tipo de campos las variedades equipotenciales y las líneas de campo.

Denominemos Sc a las variedades equipotenciales de un campo escalar f de clase C 1 enun abierto U de Rn. Si x0 ∈ U , f(x0) = c y ∇f(x0) 6= 0, el teorema 10.6 garantiza que, enun entorno de dicho punto, el conjunto Sc es realmente una variedad regular, mientrasque la proposición 10.9 establece que el vector ∇f(x) es un vector ortogonal al espaciotangente a la variedad en el punto x ∈ Sc; pero por otra parte este vector también estangente a la línea de flujo del campo F = ∇f que pasa por x.

Resumiendo, las líneas de flujo del campo ∇f son ortogonales a la familia de variedadesequipotenciales de f . Se presenta a continuación un ejemplo de fácil visualización.



Ejemplo 11.21. Se considera el campo escalar definido en U = (0,∞)× (0,∞) ⊂ R2 por

f(x, y) = x y .

Obviamente f es de clase C∞ en U y ∇f(x, y) = (y, x) 6= (0, 0) , (x, y) ∈ U . Las curvas equipo-tenciales de f son ramas de hipérbola

Sc =(x, y) ∈ U : y =

c

x

, c > 0 ,

y las líneas de flujo de F = ∇f son las soluciones de la ecuación diferencial(x′(t), y′(t)

)= ∇f

(x(t), y(t)

)=

(y(t), x(t)

),

que son de la forma(x(t), y(t)

)=

(C1 e

t + C2 e−t, C1 e

t − C2 e−t), C1, C2 ∈ R ,

y sus soportes son también ramas de hipérbolas que se describen implícitamente por

x2 − y2 = k , k ∈ R .

La ilustración 11.2 muestra algunas curvas equipotenciales de f , el campo de direccionesde ∇f y varias líneas de flujo de este campo en una región acotada de U .

f=9

f=4

f=10

2

4

6

y

0 2 4 6x

Figura 11.2: Curvas equipotenciales de f(x, y) = x y y líneas de flujo de ∇f .

Nótese que si el campo f(x, y) = x y se considera definido en todo R2, el único punto enel que ∇f(x, y) = (0, 0) es el origen, intersección de los dos ejes coordenados cuya unión esprecisamente el conjunto de nivel S0 = (x, y) : f(x, y) = 0 , en el que degeneran las hipérbolasSc cuando c→ 0, y que no puede ser el soporte de una curva diferenciable en ningún entornode x0 = (0, 0).

Observación 11.22. Si F es el gradiente de un campo escalar f de clase C 2 en un abierto Ude Rn, entonces se sigue del lema de Schwarz que

∂Fi∂xj

(x) =∂2f

∂xj∂xi(x) =

∂2f

∂xi∂xj(x) =

∂Fj∂xi

(x) , 1 ≤ i, j ≤ n , x ∈ U .

Sin embargo, el recíproco no es necesariamente cierto, a no ser que se impongan condicionesadicionales sobre la geometría de U ; concretamente que U sea simplemente conexo. De formacoloquial, el hecho de que U sea simplemente conexo viene a decir que toda curva cerrada enU se puede deformar dentro de U y de forma continua (homotópicamente) en un punto. Noentraremos en detalles, ya que en los casos prácticos habituales esta propiedad viene dadapor otra más fuerte: la de ser estrellado (ver ejemplos 1.110).



Proposición 11.23 (Lema de Poincaré). Sea F un campo vectorial de clase C 1 en un abiertoestrellado U de Rn. Entonces F es el gradiente de un campo escalar en U si, y sólo si,

∂Fi∂xj

(x) =∂Fj∂xi

(x) , x ∈ U , i, j = 1, 2, . . . , n . (11.2)


I) La demostración teórica de la existencia de potenciales requiere de la noción de integralcurvilínea que veremos más adelante, aunque la resolución práctica se reduce en la ma-yoría de los casos a un cálculo elemental de primitivas. Describiremos el procedimientoen el caso de que el abierto U sea un intervalo de R2 (acotado o no) y F un campo vectorialde clase C 1 que satisface las condiciones (11.2):En primer lugar, si ha de ser ∇f = F , entonces ∂f/∂x = F1 en U , por lo que, fijandola segunda coordenada y = y0, es decir, al restringirnos a las rectas con vector director(1, 0), se tiene una familia de problemas de cálculo de primitivas en una variable, todosellos relativos al mismo intervalo de R,

f(x, y) = fy(x) =

∫F1(x, y) dx+ C ;

ahora bien, el número C, la constante (respecto de x) de integración, depende de y, porlo que la función potencial f debe ser de la forma

f(x, y) =

∫F1(x, y) dx+ C(y) .

Para determinar esta función C se procede de la misma manera, fijando ahora la abscisax y observando que debe ser

F2(x, y) =∂f

∂y(x, y) =

∂

∂y

∫F1(x, y) dx+ C ′(y) =

∫∂F1

∂y(x, y) dx+ C ′(y) ,

obteniéndose la última igualdad del teorema de derivación de integrales paramétricas,aplicable por la regularidad de F . Puesto que se verifica (11.2), la ecuación anterior seescribe

F2(x, y) =

∫∂F2

∂x(x, y) dx+ C ′(y) = F2(x, y) +K(y) + C ′(y) ,

siendo K la constante de integración que depende de y por la misma razón expuestaantes. Esto permite calcular C como una primitiva de la función −K(y).Este procedimiento se generaliza a dimensiones mayores, determinando en cada paso su-cesivo una función (una constante procedente del cálculo de una primitiva) que dependede una variable menos que en el anterior. Esto muestra también que dos potenciales deun mismo campo conservativo (en general, en un abierto conexo) difieren en una cons-tante.

II) Como ya se indicó, la hipótesis de que el abierto sea estrellado (simplemente conexo, engeneral) no puede ser suprimida; esto se ilustra con el siguiente ejemplo:Consideremos el abierto U = R2 \ 0 y el campo F definido en U por

F (x, y) =(F1(x, y), F2(x, y)

)=

( −yx2 + y2

,x

x2 + y2

).

Es obvio que F es de clase C∞ en U y un simple cálculo muestra que

∂F1

∂y(x, y) =

y2 − x2(x2 + y2

)2 =∂F2

∂x(x, y) , (x, y) ∈ U .

Asimismo, en un entorno de cada punto (x0, y0) ∈ U con x0 6= 0, la función

f(x, y) = arctg(y/x

)

es tal que ∇f = F y, por ejemplo, en el semiplano Π = (x, y) ∈ R2 : x > 0, f es unpotencial de F . El problema es que esta función no puede extenderse de forma continuaa todo el abierto U ; nótese que f(x, y) representa el ángulo que el vector (x, y) forma conel eje de abscisas, y si se pretende definir esta función de forma continua a lo largo de lacircunferencia unidad, partiendo del punto (1, 0), en el que vale 0, y tras realizar un girode 2π radianes, se volvería al punto (1, 0) y se obtendría en él el valor 2π 6= 0.



11.3.2. Rotacional de un campo vectorial

Definición 11.25. Sea F = (F1, F2, F3) un campo vectorial de clase C 1 en un abierto U de R3.Se define el rotacional de F como el campo vectorial

rotF (x) =(∂F3

∂y(x)− ∂F2

∂z(x),

∂F1

∂z(x)− ∂F3

∂x(x),

∂F2

∂x(x)− ∂F1

∂y(x)

), x ∈ U .


I) En la terminología anglosajona el rotacional se representa curlF .

II) El siguiente determinante simbólico es útil para recordar la fórmula que define el rota-cional (e1, e2, e3 denota la base ortonormal estándar de R3):

rotF =

∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z

F1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣∣.

Por esta razón el rotacional del campo F también se representa por ∇× F .

Propiedades 11.27. Sean F = (F1, F2, F3), G = (G1, G2, G3) dos campos vectoriales y f uncampo escalar, todos ellos de clase C 1 en un abierto U de R3. Se verifica que:

I) rot(F +G) = rotF + rotG .

II) Si c ∈ R, rot(cF ) = c rotF .

III) rot(f F ) = f rotF +∇f × F .

Observación 11.28. De lo anterior se deduce que el rotacional es un operador diferencial deC k(U,R3) en C k−1(U,R3), k ≥ 1.

Proposición 11.29. Si f es un campo escalar de clase C 2 en un abierto U de R3, entonces

rot(∇f) = 0 .

Definición 11.30. Se dice que un campo F = (F1, F2, F3) de clase C 1 en un abierto U de R3

es irrotacional si su rotacional es idénticamente nulo en U , es decir,

rotF (x) = 0 para cada x ∈ U .

Un campo conservativo de clase C 1 es, en virtud de la proposición anterior, irrotacional.El recíproco viene dado por el lema de Poincaré, que en este caso se escribe:

Proposición 11.31. Sea F = (F1, F2, F3) un campo vectorial de clase C 1 definido en un abiertoestrellado U de R3. Entonces F es conservativo si, y sólo si, es irrotacional.


I) El concepto de rotacional se puede extender al caso de campos planos de la siguienteforma: si F (x, y) =

(P (x, y), Q(x, y)

)es un campo de clase C 1 en un abierto de R2 se define

rotF (x, y) = rot(P (x, y), Q(x, y), 0

)=

(0 , 0 ,

∂Q

∂x(x, y)− ∂P

∂y(x, y)

).

Con este convenio el lema de Poincaré se enuncia para campos planos como en el resul-tado 11.31; en este caso la función potencial depende únicamente de (x, y).

II) El adjetivo ‘irrotacional’ no significa que el campo, o más bien sus líneas de flujo, nopresente giros (esto nos restringiría a los campos que varían en una sola dirección), sinoque se aplica en un sentido local. Intentaremos ilustrar esto con un ejemplo: imaginemosque un fluido contenido en una región del espacio R3 se mueve debido a los efectos deun campo de fuerzas (por ejemplo, un gas ionizado sometido a un campo magnético). Sidicho campo es irrotacional, los movimientos de las moléculas del gas, es decir, las líneasde flujo del campo, no presentarán remolinos o turbulencias. Una discusión más precisapuede encontrarse, entre otros, en el texto de Marsden y Tromba [33].



11.3.3. Divergencia de un campo vectorial

Definición 11.33. Sea F = (F1, F2, . . . , Fn) un campo vectorial de clase C 1 en un abierto U deRn. Se define la divergencia de F como el campo escalar

divF (x) =

n∑

j=1

∂Fj∂xj

(x) =∂F1

∂x1(x) +

∂F2

∂x2(x) + . . .+

∂Fn∂xn

(x) , x ∈ U .

Formalmente,

divF = ∇ · F =( ∂

∂x1,∂

∂x2, . . . ,

∂

∂xn

)· (F1, F2, . . . , Fn) ,

razón por la que la divergencia de F también se representa por ∇ · F .

Propiedades 11.34. Sean F ,G:U → Rn dos campos vectoriales y f un campo escalar, todosellos de clase C 1 en el abierto U de Rn.

I) div(F +G) = divF + divG .

II) Si c ∈ R, div(cF ) = c divF .

III) div(f F ) = f divF +∇f · F .

Observación 11.35. De lo anterior se deduce que la divergencia es un operador diferencialde C k(U,Rn) en C k−1(U,R), k ≥ 1.

Proposición 11.36. Si F = (F1, F2, F3) es un campo vectorial de clase C 2 en un abierto U deR3, entonces

div(rotF ) = 0 .

Definición 11.37. Se dice que un campo F = (F1, F2, . . . , Fn) de clase C 1 en un abierto U deRn es solenoidal o incompresible si su divergencia es idénticamente nula en U ,

divF (x) = 0 para cada x ∈ U .

A modo de recíproco de la proposición 11.36 (nótese la imposición geométrica):

Proposición 11.38. Sea F = (F1, F2, F3) un campo vectorial de clase C 1 definido en un abiertoestrellado U de R3. Entonces F es el rotacional de otro campo vectorial si, y sólo si, F essolenoidal.


I) El adjetivo ‘incompresible’ se refiere a una propiedad de conservación de los volúme-nes. La discusión que a continuación presentamos en R3 se generaliza sin dificultad acualquier dimensión:Consideremos un campo vectorial F = (F1, F2, F3) de clase C 1 en un abierto U de R3 y Kun subconjunto compacto de U . Supongamos que existe T > 0 tal que para cada puntox ∈ K existe la línea de flujo Φ(x, t) dada por

γ′(t) = F

(γ(t)

), t ∈ [0, T ],

γ(0) = x.

Si para t ∈ [0, T ] fijo, JxΦ(x, t) denota el jacobiano de Φ(x, t) respecto de las variablesespaciales x = (x, y, z), resulta que JxΦ(x, t) es derivable respecto del tiempo en [0, T ] y

d

dtJxΦ(x, t) = divF

(Φ(x, t)

)JxΦ(x, t) .

Para cada instante t ∈ [0, T ], denotemos por Kt al conjunto ‘transportado’ por el flujo

Kt = Φ(x, t) : x ∈ K (K0 = K) ;

resulta que Kt es compacto, su volumen m(Kt) es una función derivable respecto deltiempo en el intervalo [0, T ], y se tiene que

d

dtm(Kt) =

d

dt

∫∫∫

Kt

1 dy =

∫∫∫

K

divF(Φ(x, t)

)JxΦ(x, t) dx =

∫∫∫

Kt

divF (y) dy ,



relación denominada fórmula de expansión de Euler, que se obtiene aplicando el teoremadel cambio de variables para integrales triples y el teorema de derivación de integralesparamétricas. En consecuencia, si divF = 0 en U , el volumen de cada conjunto Kt esconstante y coincide con el volumen de K0 = K.

El teorema de la divergencia o de Gauss, relativo a integrales de superficie, arrojará másluz sobre este punto.

II) Si F = (F1, F2, F3), G = (G1, G2, G3) son campos vectoriales en un abierto de R3 tales querotG = F (G al menos de clase C 1) se dice que G es un potencial vectorial de F . Nótese laanalogía que existe entre el resultado 11.31 y el 11.38.

III) La proposición 11.38, al igual que la 11.23, es una versión particular de un teoremaglobal (que también recibe el nombre de lema de Poincaré, ver teorema 13.58). Al igualque sucede con los potenciales escalares, la búsqueda de potenciales vectoriales en elcaso de que el abierto sea un intervalo se reduce al cálculo de primitivas, evitando laconsideración de integrales curvilíneas. El procedimiento que mostramos a continuaciónse basa en el siguiente hecho:

“Si G = (G1, G2, G3) es un campo de clase C 1 en el abierto estrellado U de R3 tal que

rotG = F , entonces, para cualquier campo escalar f de clase C 2 en U se tiene que

rot(G+∇f) = rotG+ rot(∇f) = F(ver proposición 11.29). Recíprocamente, si G1, G2 son dos potenciales vectoriales de F en

U , entonces G1−G2 es el gradiente de un campo escalar, es decir, un campo conservativo”.

Si el campo F = (F1, F2, F3) es de clase C 1 y solenoidal en el intervalo U de R3, la ecuaciónrotG = F es el sistema de ecuaciones en derivadas parciales

∂G3

∂y− ∂G2

∂z= F1,

∂G1

∂z− ∂G3

∂x= F2,

∂G2

∂x− ∂G1

∂y= F3.

Podemos suponer, por ejemplo, que G3 = 0; en efecto, al fijar las coordenadas (x, y),puesto que z varía en un intervalo, la primitiva f(x, y, z) = −

∫G3(x, y, z) dz define un

campo f en U tal que ∂f/∂z = −G3, y sumando a la incógnita G el campo ∇f se obtieneun problema similar, pero ahora relativo a un campo incógnita de la forma (G1, G2, 0). Deesta forma el sistema anterior se simplifica y es posible dar unas primeras expresionespara G1 y G2 a partir de las dos primeras ecuaciones y trasladar éstas a la tercera:

− ∂G2

∂z= F1 −→ G2 = −

∫F1 dz + C2(x, y) ,

∂G1

∂z= F2 −→ G1 =

∫F2 dz + C1(x, y) ,

∂G2

∂x− ∂G1

∂y= F3 −→

∫−(∂F1

∂x+∂F2

∂y

)dz +

∂C2

∂x− ∂C1

∂y= F3 ,

siendo C1 y C2 las correspondientes constantes (respecto de z) de integración. Podemossuponer a continuación, por la misma razón que antes, que C2 = 0, con lo que ya he-mos determinado G3 y G2. Después, teniendo en cuenta que F es solenoidal, la últimaecuación se escribe como

∫∂F3

∂zdz − ∂C1

∂y= F3 , es decir, F3 +D(x, y)− ∂C1

∂y= F3 ,

lo que permite obtener C1 como una primitiva de D respecto de y,

C1(x, y) =

∫D(x, y) dy + E(x) .

Así se encuentra un potencial vectorial de F ; los demás se obtienen sumando gradientesa éste, tal y como se ha señalado más arriba.



11.3.4. Laplaciano de un campo escalar

Definición 11.40. Sea f un campo escalar de clase C 2 en un abierto U de Rn. Se define ellaplaciano de f como el campo escalar

∆f(x) =

n∑

j=1

∂2f

∂x 2j

(x) =∂2f

∂x 21

(x) +∂2f

∂x 22

(x) + . . .+∂2f

∂x 2n

(x) , x ∈ U .

Formalmente,

∆f = div(∇f) =( ∂

∂x1,∂

∂x2, . . . ,

∂

∂xn

)·( ∂f∂x1

,∂f

∂x2, . . . ,

∂f

∂xn

),

razón por la cual el laplaciano también se denota por ∇2f .

Propiedades 11.41. Sean f, g dos campos escalares de clase C 2 en un abierto U de Rn. Severifica que:

I) ∆(f + g) = ∆f +∆g .

II) Si c ∈ R, ∆(c f) = c∆f .

III) ∆(f g) = f ∆g + g∆f + 2∇f · ∇g .


I) De lo anterior se deduce que el laplaciano es efectivamente un operador diferencial deC k(U) en C k−2(U), denominado operador de Laplace. Éste aparece en el estudio de nu-merosos problemas físicos, tales como la ecuación del calor.

II) Las funciones f de clase C 2 en un abierto U de Rn que satisfacen

∆f(x) = 0 para cada x ∈ U,se denominan armónicas (en U ).

Observación 11.43. Los operadores definidos sobre campos escalares se aplican a menu-do en el cálculo a campos vectoriales; se entiende en este caso que se hace coordenada acoordenada, por ejemplo:

∆F = ∆(F1, F2, F3) =(∆F1,∆F2,∆F3

).

También es usual utilizar la notación del Álgebra Lineal para la simplificación de expresiones;por ejemplo, si G = (G1, G2, G3) es un campo, G · ∇ es el operador diferencial que actúa sobreun campo F = (F1, F2, F3) de la siguiente forma:

(G · ∇)F =(G · ∇F1,G · ∇F2,G · ∇F3

).

En añadidura a las propiedades 11.17, 11.27, 11.34 y 11.41, se relacionan a continuaciónuna serie de fórmulas que son de uso constante en la Física Matemática.

Propiedades 11.44. Sean f , g campos escalares y F , G, H campos vectoriales en un abiertode R3, que se suponen tan regulares como sea necesario.

I) F × (G×H) = (F ·H)G− (F ·G)H.

II) H · (F ×G) = G · (H × F ) = F · (G×H).

III) rot(f∇f) = 0.

IV) div(∆F ) = ∆(divF ).

V) div(f∇g − g∇f) = f∇2g − g∇2f .

VI) ∇(F ·G) = (F · ∇)G+ (G · ∇)F + F × rotG+G× rotF .

VII) div(F ×G) = G · rotF − F · rotG.

VIII) div(∇f ×∇g) = 0.

IX) rot(rotF ) = ∇(divF )−∇2F .

X) rot(F ×G) = (divG)F − (divF )G+ (G · ∇)F − (F · ∇)G.

XI) rot(∆F ) = ∆(rotF ).

XII) ∇(∆f) = ∆(∇f).



Ejercicios

11.1 Demostrar las fórmulas que se relatan en las propiedades 11.44.

11.2 Supongamos que una partícula sigue la trayectoria helicoidal

γ(t) =(cos(π t) , sen(π t) , 2 t

)

siendo t el parámetro tiempo, y que en el instante t1 = 1 deja de actuar el campo quela acelera y se mueve a partir de entonces inercialmente. ¿En qué punto se encuentra lapartícula en el instante t2 = 3 ?

11.3 En los casos siguientes se pide describir las curvas equipotenciales del campo escalarf(x, y) y las líneas de flujo del campo ∇f(x, y):

I) f(x, y) = x− y2

II) f(x, y) = x2 + y2

11.4 En los casos siguientes se pide describir las superficies equipotenciales del campoescalar f(x, y, z) y las líneas de flujo del campo ∇f(x, y, z):

I) f(x, y, z) = x+ y + z

II) f(x, y, z) = x2 + y2 − z2

11.5 Sean F y G los campos vectoriales definidos en R3 por

F (x, y, z) = (x+ 1, y − 1, z − 2) y G(x, y, z) = (1, 2x, 0) .

Para cada uno de ellos se pide:

I) Calcular las líneas de flujo del campo.

II) Determinar el tubo de campo de la circunferencia Γ dada por y2 + z2 = 1 , x = 0 .

11.6 Se consideran los campos definidos en R3 por

F (x, y, z) = (1,−1, z) y G(x, y, z) = (1, x, 0) .

Para cada uno de los dos casos se pide calcular:

I) Las líneas de flujo del campo.

II) El tubo de campo asociado al cuadrado K = (x, y, z) : x = 0, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

11.7 Se consideran los campos definidos en R3 por

F (x, y, z) = (x y, y z, x z) , G(x, y, z) =(x2, 0, z2

)y f(x, y, z) = x z2 + y .

Calcular:I) ∇f II) ∇× F III) (∇ · F )G IV) (F · ∇)G V) F · (∇f) y VI) F ×∇f .

Repetir el ejercicio con los campos

F (x, y, z) =(z2, x+ z, x+ y

), G(x, y, z) =

(x2, y + z, z

)y f(x, y, z) = sen(x+ y − z) .

11.8 Se consideran los campos

R(x, y, z) = (x, y, z) = x e1 + y e2 + z e3 y r(x, y, z) = ‖R(x, y, z)‖ =√x2 + y2 + z2 .

Probar que en R3 \ 0 se tiene que:

I) ∇(rn) = n rn−2R

II) ∇(log(r)) = r−2R

III) ∇2(rn) = n (n+ 1) rn−2

IV) div(rnR) = (n+ 3) rn


Ejercicios 165

11.9 Con la notación del ejercicio anterior, considérese en R3 \ 0 un campo central newto-

niano, esto es, de la forma

F (x, y, z) = KR(x, y, z)

r3(x, y, z)

con K ∈ R, K 6= 0. Supongamos que γ: [a, b] → R3 es una línea de flujo de F , es decir,γ′(t) = F

(γ(t)

)para cada t ∈ [a, b].

I) Si p > 0, deducir la ecuación diferencial que se obtiene de la anterior al parametrizar lacurva mediante el cambio de parámetro u = θ(t) definido por

θ(t) =

∫ t

a

‖γ′(s)‖p ds , t ∈ [a, b] .

II) Resolver la ecuación anterior para un valor adecuado de p e interpretar el significadofísico de lo observado.

11.10 Hallar el valor de las constantes a, b, c, tales que el campo

F (x, y, z) = (x+ 2 y + a z, b x− 3 y − z, 4x+ c y + 2 z)

verifica que rotF = 0. Demostrar que para estos valores F es el gradiente de un campo escalarque se ha de calcular.

11.11 Estudiar para qué valores α, β el campo vectorial

F (x, y, z) =

(αx y, x2 + ln(z),

β y

z

)

definido en el abierto U =(x, y, z) ∈ R3 : z > 0

, es conservativo. Calcular sus funciones

potenciales cuando proceda.

11.12 Demostrar que el campo

F (x, y) =(arctg

(yx

), ln

(√x2 + y2

))

es conservativo en (0,∞)× R y calcular sus potenciales.

11.13 En cada uno de los siguientes casos demostrar que el campo F es conservativo en R3

y calcular una función potencial:

I) F (x, y, z) = (y z cos(xy), x z cos(xy), sen(xy))

II) F (x, y, z) =(y z + x y2, x z + x2y, z + x y

).

III) F (x, y, z) =(ey

2

, 2x y ey2

+ ez2

, 2 y z ez2)

IV) F (x, y, z) =(2x y z + z2 − 2 y2 + 1, z x2 − 4x y, x2y + 2x z − 2

).

11.14 Determinar, si es posible, un abierto de R3 donde el campo

F (x, y, z) =(yz+z

y− y z

x2,x

z+z

x− x z

y2,x

y+y

x− x y

z2

)

sea conservativo y calcular un potencial.

11.15 Estudiar si existe una función ϕ de clase C 1 en R2 para la que el campo

F (x, y, z) =(y z + x2y3, x z + x3y2, ϕ(x, y)

)

sea conservativo. En ese caso, calcular una función potencial.

11.16 En cada uno de los siguientes casos demostrar que el campo F es conservativo en R4

y calcular una función potencial:

I) F (x, y, z, t) =(y (1 + z) , x (1 + z) + z (1 + t) , y (1 + x+ t) , y z

)

II) F (x, y, z, t) =(ety + 2x , x t ety − etz , −y t etz , x y ety − y z etz

).



11.17 Demostrar que los siguientes campos son solenoidales en R3 y calcular potencialesvectoriales de cada uno de ellos.

I) F (x, y, z) = (1− 2 z, 1, e−y)

II) F (x, y, z) = (y sen(y z),−z cos(x z),−x cos(x y)).III) F (x, y, z) = (2 y z, 2 z x, 2x y)

IV) F (x, y, z) = (y − z, z − x, x− y).

11.18 Se considera el campo definido en R3 por F (x, y, z) =(1− x2, x y, x z

).

I) Encontrar campos G,H :R3 → R3 de la forma G = (0, G2, G3) , H = (H1, H2, 0) y tales querotG = rotH = F .

II) Calcular un potencial del campo G−H .

11.19 Indicar un abierto de R3 en el que el campo F (x, y, z) =(0, 0,

−yx2

)sea el rotacional de

otro campo G, y hallar dicho campo G.

11.20 Se considera el campo vectorial

F (x, y, z) =(f(x) + 2x y, y z − y2, g(z)− z cos(x)

),

donde f y g son funciones de clase C 1 en R. Encontrar f y g, si es posible, para que divF = 0y calcular para estas funciones f y g un potencial vectorial de F .

11.21 Se considera el campo vectorial

F (x, y, z) =

(x2z

2, y z2 − x y z, f(z)

),

donde f es una función de clase C 1 en R. Encontrar f , si es posible, para que divF = 0, ycalcular para este valor de f un potencial vectorial de F .

11.22 Si F = rotG y H = ∇h, demostrar que el campo hF es solenoidal si, y sólo si, Hes perpendicular a F en todo punto (todos los campos considerados se suponen definidos ysuficientemente regulares en un mismo abierto V de R3).

11.23 Sean F ,G : R3 → R3 dos campos de clase C∞. Demostrar que si F y G son propor-cionales (paralelos) en cada punto, entonces

F · rotG = G · rotF .

11.24 Encontrar un campo vectorial F tal que

divF = 2x+ y − 1 y rotF = (0, 1, 0) .

Tema 12

Integrales de línea

La materia que se trata en este capítulo está estrechamente relacionada con conceptosfísicos tales como el de trabajo y otros similares en los que interviene la noción de transporte,que se formaliza definiendo la integral de un campo (por ejemplo, de fuerzas) a lo largo deuna curva (la trayectoria recorrida por una partícula).

12.1. Integración de campos escalares

Sean I = [a, b] un intervalo compacto de R y γ: I → Rn una curva paramétrica. Unaaproximación a la curva se puede conseguir fijando una partición del intervalo I,

P = t0 = a < t1 < t2 < . . . < tm−1 < tm = b ,y construyendo la poligonal que une los puntos del soporte de la curva que son imágenes delos de la partición; dicha poligonal es la concatenación de los segmentos de extremos γ(tj−1)y γ(tj), con j = 1, 2, . . . ,m. Su longitud, dada por el valor

long(γ, P ) =m∑

j=1

‖γ(tj)− γ(tj−1)‖ ,

será una aproximación a lo que se llamaría la longitud de la curva. Parece lógico que alrefinar la partición de P la aproximación poligonal a la curva mejore; la longitud de la nuevapoligonal es mayor que la de la original (en virtud de la desigualdad triangular; véase lafigura 12.1). Así, podemos dar la siguiente definición.

Definición 12.1. Se dice que la curva paramétrica γ: [a, b]→ Rn es rectificable si

suplong(γ, P ) : P es una partición de [a, b]

es finito. En este caso, se define la longitud de la curva, denotada por ‘long(γ)’, como estesuperior.

Figura 12.1: Dos poligonales con vértices sobre la misma curva.

Observación 12.2. Si θ: I → J es un cambio de parámetro, con I y J intervalos compactos,es claro que una partición de I induce una partición de J , y viceversa, sin más que tomarlas imágenes de los puntos de la partición sj = θ(tj). Por lo tanto, dos curvas paramétricasequivalentes serán simultáneamente rectificables o no rectificables, y si lo son, tendrán lamisma longitud.

167

168 Tema 12. Integrales de línea

Deducimos entonces que si un conjunto es el soporte de una curva paramétrica regular,no cerrada y simple, definida en un intervalo compacto, se puede hablar de su longitud, puesen virtud del teorema 11.6 dos cualesquiera de tales parametrizaciones serán equivalentes ydan lugar a la misma longitud.

Para el caso de conjuntos que sean soporte de curvas paramétricas cerradas regularesy simples, dos parametrizaciones serán equivalentes sólo si coinciden sus puntos extremos,pero se puede probar que cualquier parametrización con esas propiedades, independiente-mente de cuáles sean sus extremos, da lugar a la misma longitud, cantidad que por tantose puede considerar asociada al conjunto. Por ejemplo, la longitud de la circunferencia deecuación x2 + y2 = 1 será 2π, independientemente del punto en que se empiece a recorrer.

Veremos a continuación que para cierto tipo de curvas es posible dar una fórmula sencillapara el cálculo de su longitud.

Definición 12.3. Sea γ: [a, b] → Rn una curva paramétrica continua. Se dice que la curva esde clase C k a trozos (k ≥ 1) si existe una partición del intervalo [a, b],

P = a = ξ0 < ξ1 < . . . < ξm−1 < ξm = b ,tal que γ es de clase C k y regular en cada intervalo [ξj−1, ξj ] , j = 1, 2, . . . ,m (en lo extremoslas derivadas son laterales). Cuando no se necesite precisar el orden k ≥ 1, nos referiremos aellas simplemente por curva regular a trozos.

Observación 12.4. Es sencillo comprobar que si una curva paramétrica es de clase C 1 atrozos, también lo es cualquier otra curva paramétrica equivalente a ella.

Como consecuencia del teorema de los incrementos finitos y de las propiedades de laintegral de Riemann, se obtiene el siguiente resultado.

Proposición 12.5. Sea γ: [a, b]→ Rn una curva paramétrica de clase C 1 a trozos. Supongamosque γ1, γ2, . . . , γn son sus componentes, γ = (γ1, γ2, . . . , γn) . Entonces γ es rectificable y sulongitud viene dada por

long(γ) =∫ b

a

‖γ′(t)‖ dt =∫ b

a

√γ′1(t)

2 + γ′2(t)2 + · · ·+ γ′n(t)

2 dt . (12.1)

Observaciones 12.6.

I) La integral que aparece arriba se debe entender como la sumam∑

j=1

∫ ξj

ξj−1

‖γ′(t)‖ dt

cuando la aplicación γ no sea de clase C 1 en todo el intervalo [a, b], sino en cada unode los subintervalos [ξj−1, ξj ] asociados a la partición P . Este mismo comentario seráaplicable a las integrales que aparezcan de ahora en adelante en las que intervenga unacurva de clase C 1 a trozos.

II) Con la notación anterior, las restricciones γj de γ a los intervalos [ξj−1, ξj ], j = 1, 2, . . . ,m,son de clase C k y regulares, y lo que representa el sumatorio anterior es lo que dictael sentido común: la longitud de γ es la suma de las longitudes de las curvas γj. Ensituaciones como ésta, en que el punto final de cada curva γj es el punto inicial de γj+1,se dice que γ es la suma de las curvas γj y se representa por γ = γ1 + γ2 + . . . + γm.Basándose en esta construcción tiene sentido hablar también, formalmente, de la ‘suma’conjuntista de curvas Γj (esto es, de variedades elementales de dimensión 1), denotadapor Γ = Γ1 + Γ2 + . . .+ Γm, mediante su consideración como unión de los soportes de susrespectivas parametrizaciones γj.

III) Evidentemente, la fórmula (12.1) tiene sentido como integral impropia de Riemann, ocomo integral de Lebesgue, lo que se prefiera, de una función continua a trozos (medible,por tanto) y no negativa. Con el convenio habitual de asignar el valor ∞ a la integral enel caso de que no converja es posible extender la definición de longitud al caso de curvasparametrizadas en intervalos no compactos. Esto da cabida a situaciones sencillas yfamiliares: por ejemplo, una recta en el plano es el soporte de una curva paramétrica (dehecho, es una variedad diferenciable simple) de longitud infinita. Lo mismo sucede conla espiral de Arquímedes, parametrizada por t ∈ (0,∞) 7→

(t cos(t), t sen(t)

).


12.1. Integración de campos escalares 169

IV) Como ya se ha dicho antes, curvas paramétricas equivalentes tienen la misma longitud.Para curvas de clase C 1 a trozos esto se sigue también del teorema del cambio de variable:nótese que si γ: I → Rn y ϕ: J → Rn son curvas paramétricas equivalentes y θ: I → J esel cambio de parámetro de manera que ϕ θ = γ, con θ′(t) 6= 0 para cada t ∈ I, entonces,en virtud de la regla de la cadena, γ es de clase C 1 en el subintervalo [ξj−1, ξj ] de I si, ysólo si, ϕ es de clase C 1 en el subintervalo [θ(ξj−1), θ(ξj)] de J , y por tanto, si t 6= ξj, setiene que

γ′(t) = θ′(t)ϕ′(θ(t)

)y ‖γ′(t)‖ = |θ′(t)| ‖ϕ′

(θ(t)

)‖ .

El mismo argumento se utiliza para demostrar el siguiente lema.

Lema 12.7. Sean U un abierto de Rn, f un campo escalar continuo en U y γ: [a, b] → U ,ϕ: [c, d]→ U dos curvas paramétricas equivalentes de clase C 1 a trozos. Entonces

∫ b

a

f(γ(t)

)‖γ′(t)‖ dt =

∫ d

c

f(ϕ(s)

)‖ϕ′(s)‖ ds .

Este resultado garantiza que un cambio de parámetro no altera el valor de la integral quese introduce en la siguiente definición.

Definición 12.8. Sean U un abierto de Rn, f un campo escalar continuo definido en U yγ: [a, b] → U una curva paramétrica de clase C 1 a trozos. Se define la integral del campo f a

lo largo de γ por ∫ b

a

f(γ(t)

)‖γ′(t)‖ dt ,

y se representa por ∫

γ

f dr o∫

γ

f .

Observaciones 12.9.

I) Es habitual denotar por→r o r al campo de vectores de posición y por r al campo escalar

‖r‖. La función definida en [a, b] por

dr(t) = ‖γ′(t)‖recibe el nombre de elemento de longitud asociado a la curva γ y mide la variación de lalongitud de arco respecto al parámetro t. Las consideraciones realizadas al principio deesta sección para motivar la definición de longitud de una curva justifican esta notación,que a su vez da significado a la primera notación adoptada para la integral de campo alo largo de una curva.

II) Si el compacto C es el soporte de una curva paramétrica γ simple y de clase C 1 a trozos,el teorema 11.6 y el lema 12.7 justifican la posibilidad de hablar sin ambigüedad de laintegral del campo f a lo largo de C, que denotamos por

∫

C

f dr,

para referirnos a∫

γ

f dr.

Los siguientes ejemplos pueden ilustrar el significado y utilidad que tiene la integral cur-vilínea de campos escalares.

Ejemplos 12.10.

I) Supongamos que el soporte de la curva paramétrica γ: [a, b]→ R3 representa un alambrede material no homogéneo. Si para cada t ∈ [a, b] ponemos γ(t) =

(x(t), y(t), z(t)

), y el

número ρ(t) = ρ(γ(t)

)representa la densidad de masa en el punto γ(t), es decir, ρ es la

función de densidad, entonces se define la masa total presente en el alambre medianteel valor ∫

γ

ρ dr =

∫ b

a

ρ(x(t), y(t), z(t)

)√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2 dt.



II) Si se piensa en el soporte de la curva paramétrica plana γ(t) =(x(t), y(t)

)como la base

de una valla tal que en cada punto γ(t) tiene altura h(t) = h(x(t), y(t)

), la integral

∫

γ

h dr =

∫ b

a

h(x(t), y(t)

)√x′(t)2 + y′(t)2 dt

es la definición habitual del área de la valla.

Propiedades 12.11. Sean U un abierto de Rn, f, g campos escalares continuos en U yγ: [a, b]→ U una curva paramétrica de clase C 1 a trozos. Se verifica que:

I)∫

γ

(f + g) dr =

∫

γ

f dr +

∫

γ

g dr .

II) Si c ∈ R ,∫

γ

(c f) dr = c

∫

γ

f dr .

III)∣∣∣∫

γ

f dr∣∣∣ ≤

∫

γ

|f | dr ≤ sup|f(x)| : x ∈ γ∗ long(γ) .

12.2. Integración de campos vectoriales

A diferencia del estudio realizado anteriormente, en lo que sigue será necesario tener encuenta el “sentido” en que se recorren las curvas. Por poner un ejemplo sencillo, subir obajar, siguiendo un mismo recorrido rectilíneo, supone ganar o perder energía potencial.

Cuando se trata de rectas es sencillo precisar esa noción de sentido, basta elegir un vectordirector de la recta v para marcar un sentido, o −v para el sentido opuesto. El orden de larecta real se transfiere a mediante la parametrización t ∈ R 7→ x0 + tv.

El concepto de orientación generaliza a curvas cualesquiera lo anterior. La idea es biensimple cuando se trata con curvas regulares: se trata de repetir el mismo argumento en lasrectas tangentes en cada punto de la curva.

Definición 12.12. Sean γ: I → Rn y ϕ: J → Rn dos curvas paramétricas equivalentes yθ: I → J el cambio de parámetro para el que γ = ϕ θ . Se dice que las dos parametrizacionestienen la misma orientación si si θ′(t) > 0 para cada t ∈ I, y se dice que corresponden aorientaciones opuestas si θ′(t) < 0 para cada t ∈ I.


I) Nótese que, en las condiciones de la definición anterior, la propiedad de Darboux paralas derivadas garantiza que θ′ ha de tener signo constante.

II) La noción de orientación tiene una fácil interpretación geométrica: vectores tangentescorrespondientes a parametrizaciones de la misma orientación tienen el mismo sentido:

γ′(t) = θ′(t)ϕ′(θ(t)) =∣∣θ′(t)

∣∣ϕ′(θ(t)) .

Al cambiar la orientación cambia el sentido del vector tangente. De forma coloquial, elsoporte de la curva se recorre en un sentido u otro dependiendo de la orientación.

III) Cabe preguntarse si dado un conjunto que sea el soporte de una curva paramétrica essiempre posible asignarle de forma natural una orientación (y por tanto la opuesta). Larespuesta es, en general, negativa. Por ejemplo, el soporte de la curva descrita en el ejem-plo 11.3.II (esa especie de 8 o ∞ inclinado), se puede recorrer de 4 formas, que consistenen elegir en cada una de las componentes conexas de ϕ∗ \ (0, 0) una orientación. Elquid de la cuestión es que, mientras que ϕ∗ no es una variedad diferenciable, cada unade esas dos componentes conexas sí lo es.

Aunque el asunto de la orientación de variedades admite una formulación general, demomento enunciamos el siguiente resultado, relativo a las de dimensión 1 (ver el apéndicedel texto de Milnor [35]).

Teorema 12.14. Toda curva diferenciable Γ (variedad de dimensión 1) en Rn es orientable.Concretamente, sobre Γ se pueden establecer dos orientaciones, que se corresponden con lasdos formas posibles de fijar en cada punto x ∈ Γ un vector t(x) tangente a Γ y de norma 1, demanera que sea continua la aplicación x ∈ Γ 7→ t(x) ∈ Rn.


12.2. Integración de campos vectoriales 171

Pasamos al problema de integrar campos vectoriales

Definición 12.15. Sean U un abierto de Rn, F = (F1, F2, . . . , Fn) un campo vectorial continuoen U y γ: [a, b]→ U una curva paramétrica de clase C 1 a trozos. Se define la integral del campo

F a lo largo de γ por∫ b

a

F(γ(t)

)· γ′(t) dt =

∫ b

a

(F1

(γ(t)

)γ′1(t) + F2

(γ(t)

)γ′2(t) + . . .+ Fn

(γ(t)

)γ′n(t)

)dt ,

y se representa por ∫

γ

F · dr o∫

γ

(F1 dx1 + F2 dx2 + . . .+ Fn dxn

).

Si la curva γ es cerrada, la integral anterior se denomina también circulación del campo F a

lo largo de γ y se representa por∮

γ

F · dr o∮

γ

(F1 dx1 + F2 dx2 + . . .+ Fn dxn

).


I) Una vez más el teorema del cambio de variable para las integrales de Riemann garantizaque la integral que se acaba de definir no se altera si se cambia la parametrización porotra equivalente que corresponda a la misma orientación.

II) La integral que aparece en la definición 12.15 también tiene sentido en el caso de que separametrice en un intervalo abierto (a, b), pero en el sentido impropio y, a priori, no sepuede garantizar que sea convergente. Ahora bien, si converge absolutamente, el teoremadel cambio de variable (en este caso en el sentido de Lebesgue), asegura que también lohará, con el mismo valor, para cualquier otra parametrización equivalente y de igualorientación.

III) Al igual que para las integrales de campos escalares a lo largo de curvas (véase la obser-vación 12.9.II), se puede hablar de la integral de un campo vectorial F a lo largo de una‘curva geométrica orientada’ C, denotada por

∫CF ·dr , y entendida como el valor

∫γF ·dr,

donde γ es cualquier curva paramétrica simple y de clase C 1 a trozos, con soporte C, yque defina en el mismo la orientación prefijada.Otro tanto se puede decir para el caso mencionado en el apartado anterior que incluye,por ejemplo, el caso en que C sea una variedad diferenciable. En relación con esto último,es de destacar lo siguiente:Si Γ es una curva diferenciable elemental, para la que existe una carta

((a, b),γ

), con

γ∗ = Γ y tal que γ puede ser prolongada con carácter C 1 al intervalo compacto [a, b], sedefinen, con la misma terminología y notación de 12.15,

∫

Γ

f dr =

∫

γ

f dr,

∫

Γ

F · dr =

∫

γ

F · dr.

En el segundo caso, se entiende que Γ se orienta de acuerdo con la parametrización γ.Estos objetos geométricos son curvas con borde; el borde de la curva es el conjunto de susdos extremos si son distintos (por ejemplo, como en un segmento), o el vacío si coinciden(como sucede con las circunferencias); las variedades con borde vacío se denominancerradas. Nótese que una curva diferenciable cerrada no puede ser simple en el sentidode la definición 10.1 (un intervalo abierto de R no puede ser homeomorfo a un compacto),aunque lo sea en el contexto menos restrictivo de la definición 11.1.

IV) En muchos casos, la curva orientada C viene dada como conjunto (es decir, mediante susoporte) y consta de forma natural de subconjuntos C1, C2,. . . , Cm cuya parametrizaciónrespectiva es sencilla (por ejemplo, C es un triángulo y C1, C2 y C3 sus tres lados), digamosmediante curvas paramétricas γj : [aj , bj ]→ Rn simples, regulares y de clase C 1, de modoque el extremo de γ1 es el origen de γ2 y así sucesivamente. Puesto que no se verificaráen general que bj = aj+1, dichas parametrizaciones no definen C como el soporte de unacurva de clase C 1 a trozos, pero, de nuevo en virtud del teorema del cambio de variable,el cálculo de la integral a lo largo de C se puede obtener como

m∑

j=1

∫

γj

F · dr =

m∑

j=1

∫ bj

aj

F(γj(t)

)· γ′

j(t) dt .



Proposición 12.17. Sean γ y ϕ curvas paramétricas equivalentes, de clase C 1 a trozos y quetienen orientaciones opuestas. Entonces, si F es un campo vectorial continuo en un abiertoque contiene al soporte de las curvas, se tiene que

∫

γ

F · dr = −∫

ϕ

F · dr .


I) El significado de la proposición anterior es obvio: con la notación de la definición 12.15,para s ∈ [a, b] el vector

t(s) =γ′(s)

‖γ′(s)‖es un vector unitario tangente a la curva γ en el punto γ(s). La integral del campo F seescribe como la integral del campo escalar F

(γ(s)

)· t(s), que representa el módulo de la

componente tangencial de F respecto a la curva: en efecto, de acuerdo con la notaciónintroducida en la observación 12.9.I,

∫

γ

F · dr =

∫ b

a

F(γ(s)

)· γ′(s) ds =

∫ b

a

(F(γ(s)

)· t(s)

)‖γ′(s)‖ dr(s) =

∫

γ

(F · t) dr,

de manera que si se considera la orientación opuesta, es decir, la que corresponde alvector tangente unitario −t(s) en cada punto γ(s), el producto escalar que aquí aparececambia de signo, cambio éste que se traslada a la integral.

II) En la práctica, cuando se desea trabajar con una orientación concreta y la curva para-métrica γ de que se dispone no define la orientación deseada, no es necesario determinaruna nueva parametrización congruente con la orientación, sino que basta calcular laintegral del campo según la expresión dada en 12.15 y cambiar el resultado de signo.

III) Cuando se manejan campos de fuerzas la integral a lo largo de una curva se denominatrabajo del campo a lo largo de la curva: si F es un campo de fuerzas (gravitatorio,eléctrico, etc.) definido en un abierto U de R3 y γ: [a, b] → U es una curva paramétrica, laintegral de F a lo largo de γ representa el trabajo necesario para desplazar una partículade masa (carga, etc.) unidad desde el punto x0 = γ(a) hasta el punto x1 = γ(b) siguiendola trayectoria dada por γ. Este trabajo puede ser positivo o negativo dependiendo de queel movimiento se realice “en contra” o “a favor” del campo de fuerzas y, por supuesto,cambia de signo cuando se recorre la curva en sentido contrario, es decir, cuando seconsidera la orientación opuesta.

IV) La siguiente discusión puede esclarecer el punto anterior, al tiempo que justifica la defi-nición dada de integral de un campo.

Si F es un campo de fuerzas constante definido en R3 y x0,x1 son dos puntos de R3, elproducto escalar

F · (x1 − x0)

es el trabajo elemental necesario para desplazar una partícula a lo largo del segmentorectilíneo con origen x0 y extremo x1. Si se considera una curva poligonal de vérticesx0,x1, . . . ,xm, el trabajo realizado al desplazar la partícula por dicha curva se define de

forma obvia comom∑j=1

F · (xj − xj−1) . En el caso de que el campo sea continuo pero

no constante, y para curvas arbitrarias de clase C 1 a trozos, al considerar poligonalesinscritas en la curva, teniendo en cuenta la continuidad uniforme de F en los compactos,y suponiendo que puntos consecutivos ‘disten poco’, es razonable aproximar el campo Fen cada segmento de extremos xj−1,xj por F (xj), con lo que una aproximación al trabajorealizado es

m∑

j=1

F (xj) · (xj − xj−1) .

Si la curva se parametriza por medio de γ: [a, b] → R3, la elección de los vértices de lapoligonal se puede hacer a través de una partición a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = bde [a, b] de modo que la expresión anterior se escriba como

m∑j=1

F(γ(tj)

)·(γ(tj)− γ(tj−1)

).



Dada la continuidad uniforme de γ′ en los compactos, al refinar las particiones tomandolas diferencias tj−tj−1 suficientemente pequeñas, y usando el teorema de los incrementosfinitos de Lagrange, esta suma puede ser aproximada por

m∑

j=1

F(γ(tj)

)· γ′(tj) (tj − tj−1),

que no es otra cosa que una suma de Riemann de la función (F γ) · γ′ en [a, b]. Porúltimo, al pasar al límite cuando el diámetro de las particiones tiende a 0, se obtiene laexpresión con que se ha definido la integral de un campo a lo largo de una curva.

Propiedades 12.19. Sean U un abierto de Rn, F ,G dos campos vectoriales continuos en U yγ: [a, b]→ U una curva paramétrica de clase C 1 a trozos. Se verifica que:

I)∫

γ

(F +G) · dr =

∫

γ

F · dr +∫

γ

G · dr .

II) Si c ∈ R ,∫

γ

(cF ) · dr = c

∫

γ

F · dr .

III)∣∣∣∫

γ

F · dr∣∣∣ ≤ sup‖F (x)‖ : x ∈ γ∗ long(γ) .

Proposición 12.20 (Regla de Barrow). Sean f un campo escalar de clase C 1 definido en unabierto U de Rn y γ: [a, b]→ U una curva paramétrica de clase C 1 a trozos. Entonces

∫

γ

∇f · dr = f(γ(b)

)− f

(γ(a)

).

Corolario 12.21. Sean f un campo escalar de clase C 1 definido en un abierto U de Rn yγ1: [a, b] → U , γ2: [c, d] → U curvas paramétricas de clase C 1 a trozos, con γ1(a) = γ2(c) yγ1(b) = γ2(d), entonces ∫

γ1

∇f · dr =

∫

γ2

∇f · dr .

Corolario 12.22. Sean f un campo escalar de clase C 1 definido en un abierto U de Rn. Siγ: [a, b]→ U es una curva paramétrica cerrada (γ(a) = γ(b)) y de clase C 1 a trozos, entonces

∮

γ

∇f · dr = 0 .

A modo de recíproco

Proposición 12.23. Sean U un abierto conexo de Rn y F = (F1, F2, . . . , Fn) un campo continuoen U . Son equivalentes los siguientes enunciados:

a) F es conservativo en U (i.e., existe f ∈ C 1(U) tal que F = ∇f ).

b) Si γ1: [a, b] → U , γ2: [c, d] → U son curvas de clase C 1 a trozos, con γ1(a) = γ2(c) y

γ1(b) = γ2(d), entonces∫

γ1

F · dr =

∫

γ2

F · dr .

c) Si γ: [a, b]→ U es una curva cerrada y de clase C 1 a trozos, entonces∮

γ

F · dr = 0 .

Si además U es estrellado y F de clase C 1, el siguiente aserto equivale a los anteriores:

d) Para todos i, j = 1, 2, . . . , n se tiene que∂Fi∂xj

=∂Fj∂xi

.

Observación 12.24. Los resultados anteriores dan significado al adjetivo conservativo. Deforma coloquial, para campos de fuerzas de este tipo, el trabajo necesario para desplazar unapartícula desde una posición x0 hasta otra x1 no depende de la trayectoria seguida: la energía

potencial está bien definida y depende únicamente de la posición.



12.3. Fórmula de Riemann-Green

Los subconjuntos del plano con los que tratamos ahora son los que tienen borde o con-torno; el borde es la frontera del subconjunto cuando ésta puede ser representada localmen-te como el soporte de una curva paramétrica regular a trozos. Los objetos planos cotidianosilustran muy bien la nomenclatura: el borde de una hoja de papel, de la mesa, etc.

Definición 12.25. Una curva de Jordan es el soporte de una curva paramétrica cerrada ysimple en R2.

Se dice que un subconjunto D de R2 es un abierto de Jordan si es abierto, conexo, acotadoy su frontera es unión disjunta de curvas de Jordan. En el caso de que Fr(D) esté constituidopor el soporte de una sola curva de Jordan se dice que D es un dominio de Jordan.

Si las curvas de Jordan que conforman la frontera de D son regulares a trozos, el conjuntoFr(D) se denomina también borde de D y se denota por ∂D.

Definición 12.26. Sea D un abierto acotado de R2. Se dice que D es simple o proyectable

sobre un eje si existen dos funciones reales f y g, continuas en un intervalo [a, b], tales que

D = (x, y) : a < x < b, f(x) < y < g(x) o D = (x, y) : a < y < b, f(y) < x < g(y) .Es usual en la literatura existente encontrar la nomenclatura ‘tipo I’ o proyectable sobre el

eje de abscisas y ‘tipo II’ o proyectable sobre el eje de ordenadas para referirse a los abiertosque son proyectables en uno u otro sentido, respectivamente.


I) Los abiertos de Jordan y proyectables son dominios de Jordan; su frontera es la unión, alo sumo, de los soportes de 4 curvas: 2 segmentos verticales y 2 grafos

(x, f(x)

): x ∈ [a, b]

los del tipo I, o 2 segmentos horizontales y 2 grafos(f(y), y

): y ∈ [a, b]

los del tipo II (ver

figura 12.2).

II) Son dominios proyectables sobre los dos ejes los círculos, los rectángulos, los triángulosy, en general, todo abierto de Jordan convexo. Pero un dominio puede ser proyectablesobre los dos ejes sin ser convexo (ver la tercera ilustración de la figura 12.2).

Tipo I: f(x)<y<g(x) Tipo II: f(y)<x<g(y) Tipo I y II.

Figura 12.2: Dominios proyectables sobre un eje.

III) Toda curva de Jordan es homeomorfa a una circunferencia. Los dominios de Jordan sonsimplemente conexos, es decir, su grupo fundamental es el trivial (de manera muy colo-quial, no tienen agujeros). Merece la pena citar el teorema que dio fama a C. Jordan y queconjeturó en su Cours d’Analyse de 1893, si bien la prueba que presentó inicialmente eraincorrecta. Actualmente se pueden encontrar numerosas demostraciones, desde algunaselementales, pero más o menos tediosas, hasta otras muy breves, pero que requieren dela potente herramienta homotópica u homológica. Esto sobrepasa las pretensiones de laasignatura y nos contentamos con presentar su enunciado, que es el siguiente:

Teorema 12.28 (de la curva de Jordan). Sea C el soporte de una curva continua, cerra-

da y simple en R2. Entonces su complemento R2 \ C tiene exactamente dos componentes

conexas, una acotada y otra no acotada, ambas tienen a C por frontera.

Por supuesto, si D es un dominio de Jordan, la componente conexa acotada de R2 \ ∂Des D, mientras que la componente conexa no acotada es el exterior de D.


12.3. Fórmula de Riemann-Green 175

IV) Los abiertos que son conexos, pero no simplemente conexos, se denominan múltiplemente

conexos. El adjetivo “múltiple” se refiere a que, si el conjunto es acotado, su exterior tienemás de una componente conexa: por ejemplo, la corona circular

C = (x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y2 < 4es un abierto de Jordan múltiplemente conexo; su borde es la unión de las dos circun-ferencias centradas en el origen y de radios 1 y 2, respectivamente. Su exterior tiene doscomponentes conexas Ω1 = B(0, 1) y Ω2 = R2 \B(0, 2) .

V) En lo sucesivo, aunque no se mencione explícitamente, los abiertos de Jordan consi-derados tendrán frontera regular a trozos; esto es necesario para poder hablar de lacirculación de un campo a lo largo de ellas.

Cuando el soporte de una curva paramétrica es parte del borde de un abierto, es posibledefinir una orientación ‘natural’ relativa al conjunto; a ello va destinado el siguiente lema.

Lema 12.29. Sean D ⊂ R2 un abierto de Jordan y x0 un punto frontera de D que es regularpara la curva correspondiente de ∂D. Sean n1 y n2 = −n1 los dos vectores unitarios ortogo-nales a la recta tangente a ∂D en el punto x0. Entonces uno sólo de estos dos vectores, quedenotaremos por ne, verifica la siguiente propiedad:

“Existe un número real ε > 0 tal que para cada λ ∈ (0, ε) se tiene que

x0 + λne /∈ D ”.

Definición 12.30. En las condiciones del lema anterior, al vector ne que verifica dicha pro-piedad lo denominaremos normal exterior a D en el punto x0.

La orientación natural o inducida en ∂D por D es la que corresponde en los puntos regula-res de ∂D al vector tangente unitario t que forma un ángulo de amplitud π/2 con la normal

exterior ne , esto es: (ne, t) = π/2 , o escrito con la notación de vectores columna,

t =

(0 −11 0

)ne .

Ejemplos 12.31.

I) La orientación inducida en una circunferencia por el círculo que delimita es la que co-rresponde a parametrizaciones que la recorren en sentido antihorario (contrario al de lasagujas del reloj). Lo mismo ocurre para cualquier dominio de Jordan (ver figura 12.3).En este contexto los adjetivos positivo o directo son sinónimos de antihorario.

II) Si se considera la misma corona circular C dada en 12.28.IV, la orientación inducidaen Γ2 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 4 corresponde al sentido antihorario, mientras que enΓ1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1 la orientación inducida por C es la que corresponde alsentido contrario (el de las agujas del reloj).

ene en n

t

Figura 12.3: Orientación inducida en su borde por el abierto de Jordan D.

Lema 12.32 (Fórmula de Riemann-Green para dominios simples). Sean D un dominio deJordan proyectable sobre los dos ejes simultáneamente y F = (P,Q) un campo vectorial declase C 1 en un abierto U que contiene a D = D ∪ ∂D. Entonces

∮

∂D

F · dr =

∮

∂D

P dx+Qdy =

∫∫

D

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)dx dy , (12.2)

cuando en ∂D se considera la orientación inducida por D.




I) La igualdad (12.2), denominada fórmula de Riemann-Green o simplemente de Green,equivale a las dos igualdades

∮

∂D

P dx = −∫∫

D

∂P

∂ydx dy ,

∮

∂D

Qdy =

∫∫

D

∂Q

∂xdx dy ,

que se demuestran aplicando el teorema de Fubini y la regla de Barrow.

II) Nótese que D \D = ∂D es un conjunto de medida nula (ver ejercicio 5.23), así que todafunción continua en el compacto D, que es integrable en él, lo será también en D y conla misma integral. Esto se aplica, en particular, a las derivadas parciales de P y Q, lo queda sentido a la integral en el miembro derecho de la fórmula de Riemann-Green.

III) El hecho de que el campo F esté definido y sea de clase C 1 en un abierto que contiene aD ∪ ∂D es esencial, como se muestra en el siguiente ejemplo:

Consideremos el disco D = B(0, 1) = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1 que es un dominio deJordan proyectable sobre los dos ejes y cuya frontera ∂D es la circunferencia

Γ = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1 .El campo vectorial

F (x, y) =(P (x, y), Q(x, y)

)=

( −yx2 + y2

,x

x2 + y2

)

es de clase C 1 en U = R2 \ 0, que obviamente no contiene a D; sin embargo, la función∂Q/∂x − ∂P/∂y , que es idénticamente nula en U , se puede extender de forma continuaa todo R2 (recordemos que a efectos de integración se pueden redefinir funciones enconjuntos de medida nula) y un simple cálculo muestra que

2π =

∮

∂D

P dx+Qdy 6=∫∫

D

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)dx dy = 0 .

Esto muestra también, según el corolario 12.22, que el campo F no es conservativo, cosaque ya se comprobó en el tema anterior (véase la observación 11.24.II).

Definición 12.34. Sea A un abierto de Jordan de R2 tal que su borde ∂A se escribe como

∂A = Γ1 ∪ Γ2 ∪ . . . ∪ Γm ,

siendo cada Γj el soporte de una curva γj cerrada, simple y de clase C 1 a trozos en la que seconsidera la orientación inducida por A. Si F = (P,Q) es un campo vectorial continuo en unabierto que contiene a ∂A, se define la circulación de F en el borde de A como

m∑

j=1

∮

γj

P dx+Qdy =

m∑

j=1

∮

γj

F · dr ,

que se denota por ∮

∂A

P dx+Qdy o∮

∂A

F · dr .

Teorema 12.35 (Fórmula general de Riemann-Green). Sean A un abierto de Jordan, yF = (P,Q) un campo vectorial de clase C 1 definido en un abierto U de R2 que contiene aA = A ∪ ∂A. Entonces∮

∂A

F · dr =

∮

∂A

P dx+Qdy =

∫∫

A

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)dx dy , (12.3)

cuando en ∂A se considera la orientación inducida por A.

Corolario 12.36. En las condiciones del teorema anterior, si además se verifica que

∂Q

∂x(x, y)− ∂P

∂y(x, y) = 1 para cada (x, y) ∈ A ,

el área de A resulta ser

m2(A) =

∮

∂A

F · dr =

∮

∂A

P dx+Qdy .


12.3. Fórmula de Riemann-Green 177

12.3.1. Notas sobre la demostración del teorema de Riemann-Green

Todas las demostraciones elementales del resultado general que se encuentran en la li-teratura, por supuesto a partir de la versión débil del lema 12.32, consisten en extenderprimero la fórmula a una familia intermedia de abiertos, los que se pueden expresar comocadenas de dominios de Jordan proyectables. Una primera aproximación lúdica a esta ideanos la proporciona el juego Tangram (ver figura 12.4), que consiste en construir distintas re-giones poligonales (abiertos de Jordan) uniendo de forma artística otras convexas: triángulos,un cuadrado y un trapecio, todos ellos dominios de Jordan.

−→ −→

Figura 12.4: El juego Tangram proporciona ejemplos de cadenas de dominios de Jordan.

Paso 1 Extensión del resultado a cadenas de dominios

Definición 12.37. Sea A un abierto de Jordan. Se supone que existe una familia finitaDk : k = 1, 2, . . . ,m de dominios de Jordan tales que:

I) A =m∪k=1

Dk ,

II) Dk ∩Dj = Ø si k 6= j ,

III) si el soporte de una curva está contenido en ∂Di ∩ ∂Dj, entonces las orientaciones queinducen Di y Dj en dicha curva son opuestas.

IV) si el soporte de una curva yace en ∂Di ∩ ∂A, entonces la orientación que inducen A y Di

en esa curva es la misma.

En estas condiciones, se dice que el abierto A es una cadena de dominios con borde, y se diceque el borde de D es una suma o cadena de curvas orientadas, lo que se representa por

∂A = ∂D1 + ∂D2 + . . .+ ∂Dm.

La expresión formal precedente se debe entender en el sentido de la condición III), esto es,cuando una curva aparece en dos sumandos con orientaciones opuestas ambos términos secancelan entre sí.

Lema 12.38. Si A es una cadena de dominios con borde, tal que todos ellos son proyectablessobre los dos ejes, y si F = (P,Q) es un campo de clase C 1 en un abierto que contiene a A,entonces se verifica la fórmula de Riemann-Green (12.3).

Con la notación de la definición 12.37, el término que se refiere a la integral doble de(12.3) resulta ser, en virtud de la aditividad de la integral respecto de los conjuntos,

∫∫

A

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)dx dy =

m∑

k=1

∫∫

Dk

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)dx dy ,

y en lo que respecta a la circulación del campo (P,Q) a lo largo de los bordes de cada unode estos dominios, para las nuevas curvas que aparecen en una descomposición de este tipoexisten índices j, k con j 6= k tales que la curva forma parte de ∂Dk con una orientación yde ∂Dj con la orientación opuesta (ver la figura 12.5); la integral en estas nuevas curvas noaporta nada en virtud de la proposición 12.17, y también

∮

∂A

P dx+Qdy =m∑

k=1

∮

∂Dk

P dx+Qdy .

Puesto que la fórmula se verifica para cada uno de los dominios Dk, de las dos igualdadesanteriores se sigue el resultado buscado.



Figura 12.5: Partición de un abierto de Jordan en dominios proyectables sobre los ejes.

Paso 2-A Método de aproximación por poligonales

Este procedimiento consiste en aproximar convenientemente el borde del abierto por cur-vas poligonales Γn, que serán el borde de abiertos “triangulables” An, esto es, que se puedenponer como cadenas de triángulos. Para estas regiones An se verifica la fórmula, en virtuddel lema 12.38. Luego se aplica el teorema de Lebesgue para la integral doble, mientras queargumentos elementales (teorema de valor medio, etc.) basados en la regularidad a trozos delborde y su compacidad, muestran que las integrales curvilíneas a lo largo de las poligonalestienden hacia la integral en ∂A:

∮

∂A

F · dr = lımn→∞

∮

Γn

F · dr = lımn→∞

∫∫

An

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)dx dy =

↑Teo. 6.11

∫∫

A

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)dx dy .

Paso 2-B Descomposición del abierto como cadena de dominios proyectables

Este procedimiento consiste en escribir directamente el abierto de Jordan A como cadenade dominios proyectables sobre los dos ejes. Más exactamente, se trata de probar que esosiempre es posible; la figura 12.5 muestra una partición (en el sentido anterior) de un abiertode Jordan, cuya frontera ∂A es unión de tres curvas cerradas y simples, en subdominiosproyectables sobre los dos ejes. Describimos brevemente el procedimiento:

Supongamos que ∂D es un dominio de Jordan, concretamente, con borde ∂D que esel soporte de la curva continua γ: [a, b] → R2, con γ(a) = γ(b) y tal que existen puntosa = t0 < t1 < . . . < tn = b en el intervalo [a, b] de manera que γ es de clase C 1 y regular en cadaintervalo [ti−1, ti], i = 1, 2, . . . , n. En el caso de abiertos generales se razona igual añadiendotodas las curvas de ∂A.

Por la compacidad de los intervalos [ti−1, ti], y la continuidad de γ′, aplicando el teorema delas funciones implícitas, según sea x′(t) 6= 0 o y′(t) 6= 0 es posible considerar en cada [ti−1, ti]una partición ti−1 = si0 < si2 < . . . < simi

= ti verificando la siguiente propiedad:

“En cada intervalo [sij−1, sij ] la relación (x, y) ∈ ∂D define una función implícita

de clase C 1, o bien y = y(x) , o bien x = x(y) ”

Considerando todas las rectas horizontales y verticales que pasan por los puntos γ(sij) (entreestos están los posibles “vértices” de ∂D) se obtiene una partición del plano en rectángulosRk : k ∈ N. Puesto que D es acotado sólo una cantidad finita de índices k verifican que

D∩

Rk 6= Ø ,

y resulta que cada una de esas intersecciones es, a su vez, unión finita de dominios proyec-tables sobre ambos ejes; la familia de todos esos dominios permite reconstruir D como unacadena con borde orientado en el sentido de la definición 12.37.

Observación 12.39. Las dos vías presentadas entran en la categoría de elementales (estono es sinónimo de sencillas) en el sentido de que sólo se necesitan los recursos de CálculoDiferencial e Integral que se contemplan en un curso clásico de Análisis Matemático.

Otra técnica más sofisticada consiste en emular el tratamiento de las variedades con borde

de la Geometría Diferencial abstracta. De forma sucinta: el problema se reduce a uno local,a variedades simples, mediante particiones de la unidad; los sumandos de tales particionesson generalizaciones de las funciones meseta (ver ejercico 9.20).


Ejercicios 179

Ejercicios

12.1 Calcular la longitud de las curvas paramétricas siguientes:

I) γ(t) =(a cos3(t), a sen3(t)

), t ∈ [0, 2π] (astroide).

II) γ(t) =(a(t− sen(t)

), a(1− cos(t)

)), t ∈ [0, 2π] (cicloide).

III) γ(t) =(eat cos(p t), eat sen(p t)

), t ∈ [0, 1] (espiral).

12.2 Una representación polar o en coordenadas polares de una curva plana es una expre-sión del tipo ρ = ϕ(θ), siendo

(ϕ(θ), θ

)las coordenadas polares de un punto genérico de la

curva, tomando como parámetro θ ∈ [θ1, θ2] y siendo ϕ positiva en ese intervalo, es decir, encoordenadas cartesianas

γ(θ) =(x(θ), y(θ)

)=

(ϕ(θ) cos(θ), ϕ(θ) sen(θ)

), θ ∈ [θ1, θ2] .

Sea ρ = ϕ(θ), la expresión en coordenadas polares de una curva, siendo ϕ una función declase C 1 en [θ1, θ2]. Probar que la longitud de la curva viene dada por:

∫ θ2

θ1

√ϕ′(θ)2 + ϕ(θ)2 dθ .

Calcular la longitud de las siguientes curvas dadas en coordenadas polares:

I) ρ = a(1 + cos(θ)), θ ∈ [0, 2π] (cardioide).

II) ρ = mθ, θ ∈ [a, b], a > 0, m > 0 (espiral de Arquímedes)).

III) ρ = e−θ, θ ∈ [0, 2π] (espiral).

12.3 Sea y = f(x), x ∈ [x1, x2], la ecuación explícita de una curva, siendo f de clase C 1.Probar que la longitud de la curva viene dada por

∫ x2

x1

√1 + f ′(x)2 dx .

Calcular la longitud de las siguientes curvas:

I) y2 = 4x− x2, entre los puntos (0, 0) y (1,√3).

II) 27 a y2 = 4x3, entre los puntos (0, 0) y (3a, 2a), siendo a > 0.

III) x2 = 2 p y, entre los puntos (0, 0) y (2p, 2p), siendo p > 0.

12.4 Calcular la integral del campo escalar f a lo largo de la curva que se cita, dada de formaparamétrica γ o como conjunto de puntos Γ, en los siguientes casos:

I) f(x, y) = xy ; γ(t) =(cos(t), 2 sen(t)

), t ∈ [0, π] .

II) f(x, y) = x− y ; Γ es el segmento de extremos (1, 0) y (2,−1).III) f(x, y, z) = x z + y2 ; γ(t) =

(t, et, t et

), t ∈ [−1, 1] .

IV) f(x, y, z) = x2 − (y − 1)2 ; Γ =(x, y, z) : x2 + (y − 1)2 = 1 , z = x+ y

.

12.5 Calcular la integral del campo F a lo largo de la curva correspondiente en los siguientescasos:

I) F (x, y) = (y − x, y); Γ es el segmento de extremos (0, 0) y (1, 2).

II) F (x, y) =(x ey, x2y

); γ(t) = (3 t, t2), t ∈ [0, 1].

III) F (x, y) =(x ey, x2y

); γ(t) = (t, 3), t ∈ [0, 2].

IV) F (x, y) =(x2y, x y2

); Γ es la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 4.

V) F (x, y) =(x2 − 2x y, y2 − 2x y

); Γ es la gráfica de y = x2 , recorrida desde el punto (−1, 1)

hasta (1, 1).

VI) F (x, y) =(x2 + y2, x2 − y2

); Γ es la curva de ecuación y = 1 − |1 − x|, recorrida desde el

punto (0, 0) hasta (2, 0).



VII) F (x, y) =(y2, x2

); Γ es la curva definida implícitamente por x2 − y2 = a2, entre los puntos

(a√2, a) y (a

√2,−a).

VIII) F (x, y) =(√x y, x2y2

); Γ es el borde del triángulo de vértices (0, 0), (1, 1) y (1, 0), recorrido

en sentido horario.

IX) F (x, y) = (2x (x+ y), 2 y (x+ y)); Γ es la curva definida en polares por ρ(θ) = θ, θ ∈ [0, π/2] .

X) F (x, y, z) =(0, 0, z/(x2 + y2)

); γ(t) =

(a cos(t), a sen(t), t

), t ∈ [0, 2π].

XI) F (x, y, z) = (z, x, y); Γ es la curva intersección de las superficies

x2 + y2 + z2 = 1 y x+ z = 1 .

XII) F (x, y, z) = (z, 0, 0); Γ es la parte de la curva intersección de

x2 + y2 + z2 = a2 y x2 + y2 = ax

contenida en el primer octante, y considerando como origen el punto (a, 0, 0).

12.6 Sea Γ la curva dada por

z = x2 + y2, z = 2, si y ≤ 0; z = x2 + y2, z = 2− 2√2 y, si y ≥ 0.

Calcular ∫

Γ

(x2 + y, yz,−x

2

2+ z

)· dr.

12.7 Determinar todas las circunferencias del plano R2 tales que la circulación del campo

F (x, y) =(y2, x2

)

a lo largo de dichas circunferencias sea nula.

12.8 Sea Γ la gráfica de y = x2, x ∈ [−1, 1]. Si se considera el campo

F (x, y) =(exy(1 + xy), x2exy

),

probar que ∫

Γ

F · dr = e+1

e.

12.9 Se considera el campo

F (x, y) =(ex +

y

ex − y ,1

y − ex + y),

definido en el conjunto de los puntos (x, y) ∈ R2 tales que ex − y 6= 0. Calcular la integral de Fa lo largo del segmento que une los puntos (0, 2) y (1, 3).

12.10 Sean Γ1 la curva parametrizada por γ(t) =(t + 1, sen(2π t) + t2

), con t ∈ [0, 2], y Γ2 el

segmento de extremos (1, 0) y (3, 4). Pongamos

I1 =

∫

Γ1

y dx+(x+ cos(y)

)dy, I2 =

∫

Γ2

y dx+(x+ cos(y)

)dy.

Determinar el mayor de los dos números I1 e I2.

12.11 Calcular la circulación del campo F (x, y) =(x2, y2

)a lo largo de la curva Γ de ecuación

implícitax2

a2+y2

b2− 2

x

a= 0,

recorrida en sentido positivo.

12.12 Calcular la integral del campo F (x, y) = (y + y exy, x+ x exy) a lo largo de la curva(un arco de una de las denominadas espirales de Arquímedes) parametrizada en polares porρ = θ, θ ∈ [0, 6π].


Ejercicios 181

12.13 Probar que, si Γ es una elipse, la circulación del campo

F (x, y) =(y cos(x+ y)− x y sen(x+ y), x cos(x+ y)− x y sen(x+ y)

)

a lo largo de Γ es nula.

12.14 Calcular la integral del campo

F (x, y) =( y

x2,−1x

)

a lo largo de la curva paramétrica dada por

γ(t) =(sen2(t) + 1, 2 sen2(t) cos(t)

)

entre los puntos (1, 0) y (2, 0).


F (x, y) =(2x+

1

x+ y2,

2y

x+ y2),

definido en el conjunto de los puntos (x, y) ∈ R2 tales que x + y2 6= 0. Calcular la integral deF a lo largo de todos los arcos de parábola que unen los puntos (1, 0) y (4, 0) y cuyo eje esparalelo a OY .

12.16 Calcular la circulación del campo

F (x, y) =(x y + yexy, x2 + y2 + xexy

)

a lo largo de la circunferencia de ecuación

x2 + y2 − 2Rx = 0 .

Sugerencia: Intentar expresar el campo como suma de otros dos, de manera que uno de ellos seaun gradiente y el otro de expresión sencilla.


F (x, y, z) =(− y + z

(x+ z)2,

1

x+ z,x− y

(x+ z)2

)

definido en el abierto V = (x, y, z) ∈ R3 : x+ z 6= 0 . Calcular la integral de F a lo largo de lacurva Γ parametrizada por

(x(t), y(t), z(t)

)=

(t , et, cos(t)

), t ∈ [0, 1].

12.18 Calcular la integral del campo F (x, y, z) =(x2, y2, z2

)a lo largo de la parte de la curva

intersección de las superficies

x2 − 2 y z = 0 y y + z −√2x− 1 = 0

comprendida entre los puntos (0, 0, 1) y (0, 1, 0).

12.19 Calcular la circulación del campo

F (x, y, z) =(2x(2 + x2 + y2)

1 + x2 + y2+ y z,

2 y(2 + x2 + y2)

1 + x2 + y2+ x z, 2 z + x y

)

a lo largo de la curva Γ intersección de las superficies

x2 + y2 − z(x+ y) = 0; x+ y + z − 1 = 0.

12.20 Calcular la integral del campo

F (x, y, z) =(2x, 2y + z cos(yz), y cos(yz)

)

a lo largo de la espiral Γ parametrizada por

γ(t) =(cos(t)1 + t

,sen(t)

1 + t, t), t ∈ [0, 2π].



12.21 Se considera la curva γ : [0, π]→ R3 dada por

γ(t) =(et cos(t), et sen(t), et

), t ∈ [0, π].

Si F es el campo

F (x, y, z) =(yz + 2x(y2 + z2), xz + 2y(x2 + z2), xy + 2z(x2 + y2)

),

calcular la integral de F a lo largo de γ.

12.22 Sea Γ1 el segmento de extremos (0, 0) y (1, 0), y sea Γ2 la semicircunferencia de centro(1/2, 0) y radio 1/2, contenida en el semiplano superior y orientada en sentido antihorario.Calcular ∫

Γ2

x2 sen(x3) dx+ e−y2

dy.

12.23 Se considera la curva Γ obtenida al sumar el segmento de extremos (1, 0) y (0, 1), elsegmento de extremos (0, 1) y (−1, 0), y el arco de la circunferencia centrada en (0, 0) y deradio 1 contenido en el semiplano inferior (y < 0).

Calcular la circulación del campo F (x, y) = (ex − y, x+ y) a lo largo de Γ.

12.24 Sea D el recinto limitado por las curvas ρ1(θ) = θ y ρ2(θ) = θ/2, con θ ∈ [0, 2π], y por elsegmento [π, 2π] del eje OX.

I) Si Γ es el borde de D, orientado en sentido natural, calcular∫

Γ

y dx+ x dy.

II) Calcular el área de D.

12.25 Hallar el área de las regiones limitadas por las curvas siguientes:

I) γ(t) =(a cos3(t), a sen3(t)

), t ∈ [0, 2π] (astroide).

II) ρ(θ) = a (1 + cos(θ)), θ ∈ [0, 2π] (cardioide).

III) La curva de ecuaciónx2

a2+y2

b2= 1, (a, b > 0) (elipse).

IV) La suma de la cicloide parametrizada por γ(t) =(t − sen(t) , 1 − cos(t)

), t ∈ [0, 2π], y el

segmento(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 2π .

12.26 Calcular la circulación del campo F a lo largo de la curva Γ en los siguientes casos:

I) F (x, y) =(y2, x

); Γ es el borde del cuadrado [0, 2]× [0, 2].

II) F (x, y) = (3x+ y, 2 y − x); Γ es la elipse 4x2 + y2 = 4.

III) F (x, y) = (3x+ y, 2x− 1); Γ es la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 4.

IV) F (x, y) =(ex cos(y), ex sen(y)

); Γ es el borde del cuadrado [0, 1] × [0, 1], recorrido en sentido

horario.

12.27 Sea D el interior de un polígono en el plano R2. Determinar la orientación que ha deconsiderarse en la curva ∂D para que sea negativa la integral curvilínea

∫

∂D

(sen(x)− arctg(y)

)dx+

(ex + cos(y)

)dy.

12.28 Si D =(x, y) ∈ R2 : x

2/a2 + y2/b2 < 1

, calcular el valor de

∫∫

D

(x4 + y4) dx dy ,

escribiendo esta integral como la circulación de un campo.


Ejercicios 183

12.29 Calcular la integral curvilínea∫

Γ

2 arctg(y/x

)dx+

(x+ log(x2 + y2)

)dy,

donde Γ es la circunferencia de centro (2, 0) y de radio 1, orientada en sentido positivo.

12.30 Transformándola en una integral curvilínea, calcular la integral doble∫∫

D

(x2 − y2) dx dy ,

siendo D = (x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0, x2 + y2 < r2, con r > 0.

12.31 Se consideran los campos F ,G:R2 → R2 dados por

F (x, y) = (2xy, x2), G(x, y, z) = (3xy, x2).

I) Demostrar que F es conservativo, pero G no lo es. Calcular un potencial del campo F .

II) Se considera el subconjunto D de R2 dado por

D =(x, y) ∈ R2 : x > 0, 1 < 4x2 + y2 < 9

.

Si en ∂D se considera la orientación inducida por D, calcular las integrales∫

∂D

F · dr y∫

∂D

G · dr.

12.32 Sea D un abierto de R2, dominio de Jordan y que contiene al disco cerrado B = B(0, 1).Aplicar la fórmula de Riemann-Green al abierto de Jordan D \B y deducir el valor de

∮

∂D

−yx2 + y2

dx+x

x2 + y2dy .

12.33 Se considera el abierto del plano dado por A = D1 ∪D2, donde

D1 = (x, y) ∈ R2 : (x− 1)2 + y2 < 4, (x+ 1)2 + y2 > 4 ,D2 = (x, y) ∈ R2 : (x− 1)2 + y2 > 4, (x+ 1)2 + y2 < 4 .

I) Demostrar que la frontera de A es unión de soportes de curvas simples, cerradas y declase C 1 a trozos, dando una parametrización para la orientación inducida por A.

II) ¿Es A un abierto de Jordan? ¿Es Fr(A) una cadena de curvas orientadas?

III) Probar que se verifica la fórmula de Green para el abierto A y aplíquese al cálculo de lacirculación del campo F (x, y) =

(3 y x2, x3 + x+ sen(y)

)a lo largo de la frontera de A.

12.34 Se considera el abierto de R2 siguiente:

A = B(0, 1) \ (x, 0) : 0 ≤ x =(r cos(θ), r sen(θ)) : 0 < r < 1 , 0 < θ < 2π

I) Comprobar que la frontera de A es unión de soportes de curvas de clase C 1 a trozos. ¿EsA un abierto de Jordan? ¿Es Fr(A) una cadena de curvas orientadas?

II) Supóngase que F = (P,Q) es un campo definido y de clase C 1 en un abierto que contienea A. Probar que, no obstante, la integral

∫∫A

(∂Q/∂x−∂P/∂y

)dx dy se puede escribir como

la circulación de F a lo largo de cierta curva.

III) Más aun, incluso se puede relajar la hipótesis de regularidad de F : no es necesario quesea diferenciable en los puntos de la semirrecta (x, 0) : 0 < x, basta con que la función∂Q/∂x− ∂P/∂y sea integrable en A.

Sugerencia: Véase como Pac-Man cierra la boca:


Tema 13

Integración en superficies

La materia que se trata en este capítulo, al igual que la relativa a integrales curvilíneas,es el marco abstracto en el que se sitúan numerosos conceptos de la Física, relacionados conmodelos de diversa naturaleza, y donde el concepto de superficie aparece de forma naturalal describir un conjunto de puntos del espacio (por ejemplo, una esfera metálica cargadaeléctricamente), y también por idealización de otros conceptos (tal puede ser el caso de lamedición del caudal de un río, es decir, del agua que fluye a través de una sección ideal desu cauce por unidad de tiempo).

Aunque no hay inconveniente en hablar de superficies inmersas en Rn con n > 2, en losucesivo nos limitaremos al estudio de superficies en R3, pues este es el caso que aparece enla inmensa mayoría de las aplicaciones y el ámbito donde se enmarcan los teoremas clásicosdel Análisis Vectorial.

13.1. Superficies paramétricas en R3

Una superficie diferenciable elemental S, para la que la carta (V,ϕ) constituya un atlas,es el conjunto imagen de la aplicación ϕ:V → R3, siendo V un abierto conexo de R2. Estudia-remos ahora las superficies desde este punto de vista, como resultado de parametrizaciones,al igual que en el caso de las curvas.

Definición 13.1. Una superficie paramétrica de clase C k (k ≥ 0) en R3 es una aplicaciónϕ:D → R3, definida en el subconjunto abierto y conexo D de R2,

ϕ(u, v) =(x(u, v), y(u, v), z(u, v)

), (u, v) ∈ D ,

de clase C k en D, y localmente inyectiva.Se llama soporte de la superficie paramétrica al conjunto imagen de ϕ, que se denota

por ϕ∗, y se dice entonces que ϕ es una parametrización de su soporte.La superficie paramétrica es simple si es inyectiva (globalmente).

Definición 13.2. Con la notación de la definición anterior. Si la superficie es de clase C k conk ≥ 1, se pueden considerar para cada (u, v) ∈ D los vectores

∂ϕ

∂u(u, v) =

(∂x∂u

(u, v),∂y

∂u(u, v),

∂z

∂u(u, v)

)y

∂ϕ

∂v(u, v) =

(∂x∂v

(u, v),∂y

∂v(u, v),

∂z

∂v(u, v)

),

que si son no nulos se denominan vectores tangentes a la superficie en el punto ϕ(u, v)asociados a la parametrización ϕ. Se dice que dicho punto es regular si los vectores tangentesa la superficie en él son linealmente independientes (es decir, la matriz jacobiana de ϕ en elpunto (u, v) tiene rango 2), o equivalentemente, si es no nulo su producto vectorial

∂ϕ

∂u(u, v)× ∂ϕ

∂v(u, v),

en cuyo caso dicho vector se denomina vector normal a la superficie en el punto ϕ(u, v)asociado a la parametrización ϕ.

Cuando todos los puntos de una superficie son regulares, decimos que la superficie esregular.

Si ϕ(u, v) es un punto regular de la superficie, el plano que pasa por ϕ(u, v) y es generadopor los dos vectores tangentes a la superficie en ese punto recibe el nombre de plano tangente

a la superficie en el punto ϕ(u, v).

185

186 Tema 13. Integración en superficies

Observación 13.3. Recordemos que dados dos vectores a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3) de R3

se define su producto vectorial como el vector

a× b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1) .Si e1, e2, e3 es la base estándar de R3 el producto vectorial de a y b se puede representarsimbólicamente mediante el determinante

a× b =

∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3a1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣,

calculado desarrollando mediante los adjuntos de los elementos de la primera fila. Es evidenteentonces que el producto vectorial no es conmutativo, concretamente b × a = −a × b , y quea × b = 0 si, y sólo si, a y b son linealmente dependientes. Además, el vector a × b esortogonal a a y b simultáneamente.

Lo anterior justifica el adjetivo normal (sinónimo de ortogonal) introducido en la definiciónprecedente. Así pues, si p es un punto regular del soporte de una superficie paramétrica, elvector normal será un vector director del plano tangente a la superficie en el punto p.

Diferentes superficies paramétricas pueden tener el mismo soporte. Al igual que en elcaso de las curvas, interesa conocer si dos parametrizaciones de un mismo conjunto son“equivalentes”, en un sentido que les haga intercambiables a la hora de trabajar con losconceptos relativos a superficies.

Definición 13.4. Se dice que dos superficies paramétricas, ϕ1:D1 → R3 y ϕ2:D2 → R3, sonequivalentes si existe un difeomorfismo θ de D1 en D2 de manera que ϕ2 θ = ϕ1. En estasituación, θ recibe el nombre de cambio de parámetros.

Observaciones 13.5.

I) Como ocurría para curvas, el hecho de que dos superficies paramétricas tengan el mismosoporte no implica que sean equivalentes, a no ser que verifiquen propiedades adiciona-les, por ejemplo, que sean cartas locales de una misma variedad diferenciable.

II) Si ϕ1:D1 → R3 y ϕ2:D2 → R3 son superficies paramétricas equivalentes y θ:D1 → D2 esel cambio de parámetros que permite escribir ϕ1 = ϕ2 θ, por la regla de la cadena paracada (u, v) ∈ D1 se tiene que

ϕ′1(u, v) = ϕ

′2

(θ(u, v)

) θ′(u, v) .

Dado que J θ(u, v) 6= 0 para todo (u, v), resulta que un punto p en el soporte de S esregular o no independientemente de la parametrización escogida, y que, en caso de serlo,los vectores tangentes en p respecto a cada parametrización generan un mismo plano ydan lugar a vectores normales proporcionales.

III) Más aún, en las condiciones anteriores, puesto que D1 es conexo, J θ debe tener signoconstante en este abierto; que sea positivo o negativo es lo que sugiere la noción deorientación, que se da a continuación. También se presenta luego la definición generalde orientación para una variedad diferenciable, pero enseguida nos concentramos en elcaso que nos interesa (releer también la definición 12.12).

Definición 13.6. Sean ϕ1:D1 → R3 y ϕ2:D2 → R3 dos superficies paramétricas equiva-lentes y θ:D1 → D2 el cambio de parámetro para el que ϕ1 = ϕ2 θ . Se dice que las dosparametrizaciones tienen la misma orientación si si J θ(u, v) > 0 para cada (u, v) ∈ D1, y sedice que corresponden a orientaciones opuestas si J θ(u, v) < 0 para cada (u, v) ∈ D1.

En cuanto al problema de asignar al soporte de una superficie paramétrica una orienta-ción, el hecho de que en R2 no exista una relación de orden total compatible con la aritmética,impide hacerlo de forma natural a semejanza del caso de curvas (a las que se traslada el ordende la recta real). De nuevo, la condición más exigente de ser variedad diferenciable, permitedefinir dos orientaciones en una variedad que sea, además, elemental. Esta condición de po-der ser representada por una sola carta es indispensable, como se muestra en los siguientesresultados.


13.1. Superficies paramétricas en R3 187

Definición 13.7. Sea S una variedad diferenciable en Rn. Se dice que S es orientable siexiste un atlas de S, (Vi,ϕi) : i ∈ I , de modo que para cada par de índices i, j tales queϕi(Vi) ∩ϕj(Vj) 6= Ø se tiene que la aplicación de cambio de carta

θj,i = ϕ−1j ϕi : ϕ−1

i

(ϕi(Vi) ∩ϕj(Vj)

)−→ ϕ−1

j

(ϕi(Vi) ∩ϕj(Vj)

)

tiene determinante jacobiano positivo.En este caso el atlas (Vi,ϕi) : i ∈ I se denomina atlas orientado de S.

Observación 13.8. Sobre una variedad orientable es posible determinar dos orientaciones

opuestas que corresponden a dar sendos atlas donde los cambios de carta entre una para-metrización del primero y otra del segundo tienen jacobiano negativo en todo punto. Nóteseque todas las variedades elementales son orientables, pero existen variedades no orientablescomo, por ejemplo, la banda de Möbius.

Teorema 13.9. Una superficie diferenciable S (variedad de dimensión 2) en R3 es orientablesi, y sólo si, es posible asignar a cada x ∈ S un vector n(x) de norma 1, ortogonal al planotangente a la superficie en x, y tal que sea continua la aplicación x ∈ S 7→ n(x) ∈ R3.

Corolario 13.10. Sea S una variedad de dimensión 2 en R3 definida de forma implícita por

S = (x, y, z) ∈ U : g(x, y, z) = 0 ,donde g es una función real definida y de clase C 1 en un abierto U de R3 y tal que ∇g(x) 6= 0

para cada x ∈ U . Entonces S es orientable; es más, los campos de vectores normales unitarios

n1(x) =∇g(x)‖∇g(x)‖ y n2(x) = −n1(x), x ∈ S,

proporcionan las dos orientaciones de la superficie (en el sentido de que, elegidos atlas quecorrespondan a cada una de las orientaciones de S, los vectores normales unitarios asociadosa las correspondientes cartas son en un caso los dados por n1, en el otro los dados por n2).

Observación 13.11. Si consideramos una superficie susceptible de ser traspasada de unlado a otro, como el umbral de una puerta, fijar una orientación consiste en fijar un sentidode paso a través de la superficie.

De forma un poco más rigurosa, el concepto de orientación tiene una fácil interpretaciónen términos del vector normal: digamos que S es el soporte de dos superficies paramétricasequivalentes, con la notación de la definición 13.6

ϕ1(u, v) = ϕ2(θ(u, v)) = ϕ2(s(u, v), t(u, v)) , (u, v) ∈ D1 ,

y supongamos que p = ϕ1(u, v) es un punto regular. La regla de la cadena y un sencillocálculo de productos vectoriales muestran que

(∂ϕ1

∂u× ∂ϕ1

∂v

)(u, v) =

(∂ϕ2

∂s

(θ(u, v)

) ∂s∂u

(u, v) +∂ϕ2

∂t

(θ(u, v)

) ∂t∂u

(u, v)

)

×(∂ϕ2

∂s

(θ(u, v)

) ∂s∂v

(u, v) +∂ϕ2

∂t

(θ(u, v)

) ∂t∂v

(u, v)

)

=

(∂s

∂u(u, v)

∂t

∂v(u, v)− ∂t

∂u(u, v)

∂s

∂v(u, v)

)(∂ϕ2

∂s× ∂ϕ2

∂t

)(θ(u, v)

)

= J θ(u, v)(∂ϕ2

∂s× ∂ϕ2

∂t

)(θ(u, v)

),

de donde se deduce que los vectores normales en p correspondientes a parametrizaciones dela misma orientación tienen el mismo sentido, mientras que si las parametrizaciones tienenorientación distinta, los vectores normales tienen sentidos opuestos. En general, con igual odistinta orientación, la razón entre los módulos de los vectores

n1 =(∂ϕ1

∂u× ∂ϕ1

∂v

)(u, v) y n2 =

(∂ϕ2

∂s× ∂ϕ2

∂t

)(θ(u, v)

)

es∣∣J θ(u, v)

∣∣ , cantidad que juega aquí un papel parecido al que ostenta en la integraciónpor cambio de variables.



13.2. Integración de campos escalares

En Geometría Lineal, dado un paralelogramo P = ta+ s b ∈ R3 : 0 ≤ t ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1 , cona, b ∈ R3 linealmente independientes, se define su área, denotada por A(P ), como la normadel producto vectorial de a y b,

A(P ) = ‖a× b‖ = ‖(a2b3 − a3b2 , a3b1 − a1b3 , a1b2 − a2b1)‖ ,obteniéndose, si a y b son ortogonales, la familiar fórmula para el área de un rectángulo.

Esto sugiere la siguiente definición, cuya consistencia (independencia de parametrizacio-nes equivalentes) viene avalada por el teorema del cambio de variables y lo expuesto en laobservación 13.11

Definición 13.12. Sea ϕ:D → R3 una superficie paramétrica de clase C 1, regular y simple,con soporte S = ϕ∗. Se define el área de S por

A(S) =

∫∫

D

∥∥∥∥(∂ϕ∂u× ∂ϕ

∂v

)(u, v)

∥∥∥∥ du dv .


I) La función definida en el abierto D por

dσ(u, v) =

∥∥∥∥(∂ϕ∂u× ∂ϕ

∂v

)(u, v)

∥∥∥∥ , (u, v) ∈ D ,

recibe el nombre de elemento de área asociado a la superficie paramétrica ϕ:D → R3, ymide la “variación local” del área. Por esta razón, aunque no sea la diferencial de ningunafunción, se le denota de esa forma.

II) La integral anterior tiene sentido por ser dσ medible (continua, de hecho) y positiva, conel convenio habitual de asignar el valor +∞ si dσ no es integrable en D.

III) Como en el caso de las curvas y como sugiere la definición anterior, se identificará confrecuencia una superficie paramétrica simple y regular con su soporte, teniendo en cuen-ta que en los casos habituales de aplicación, dos parametrizaciones de este tipo de unmismo conjunto son equivalentes. De este modo, no habrá ambigüedad cuando algunosconceptos sean asociados indistintamente a una superficie paramétrica o a su soporte.

IV) En el contexto de las variedades, la definición anterior es válida únicamente para su-perficies diferenciables elementales (dadas por una sola carta); no obstante, la definiciónpuede ser generalizada para superficies arbitrarias, o para conjuntos que resulten de“pegar” los soportes de diferentes superficies paramétricas. Para justificar la pertinen-te definición, se presenta el siguiente lema, una adaptación del teorema de Sard (verejercicio 5.23) y que, coloquialmente hablando, dice que el área de las curvas es nula.

Lema 13.14. Supongamos que S el soporte de una superficie paramétrica de clase C 1, regu-lar y simple, ϕ:D → R3, y que el compacto C ⊂ D es el soporte de una curva paramétrica declase C 1, regular y simple α: [a, b]→ D, de manera que también D \C es conexo. Entonces, siΓ es el soporte de la curva γ = ϕ α,

A(S) = A(S \ Γ)

Definición 13.15. Sea S una variedad diferenciable de dimensión 2 en R3 con

S = S1 ∪ S2 ∪ . . . ∪ Sn ∪ Γ1 ∪ Γ2 ∪ . . . ∪ Γm ,

siendo la unión disjunta y tal que:

I) Para cada j = 1, 2, . . . , n , Sj es el soporte de una superficie paramétrica de clase C 1,regular y simple, parametrizada por la carta (Dj ,ϕj).

II) Para cada k = 1, 2, . . . ,m , Γk es el soporte de una curva paramétrica de clase C 1, regulary simple.

Se define el área de S como

A(S) =n∑

j=1

A(Sj) =n∑

j=1

∫∫

Dj

∥∥∥∥(∂ϕj∂u×∂ϕj∂v

)(u, v)

∥∥∥∥ du dv .


13.2. Integración de campos escalares 189


I) El número real positivo (o +∞) que resulta de la expresión anterior es independiente dela partición que se haga de la superficie S y, en consecuencia, la definición es coherente.Por ejemplo, para calcular el área de una esfera se puede proceder utilizando una cartaen coordenadas esféricas que la parametriza por completo excepto en un arco de circun-ferencia que une el polo norte con el polo sur, o también calculando el área de los doshemisferios cuya unión es la esfera menos el ecuador, otra curva regular.

II) A la vista de los resultados obtenidos respecto a la longitud de una curva, parece tenta-dor construir el área de una superficie de forma análoga, es decir, como el superior deáreas de superficies poliédricas “ajustadas” a la superficie y de manera que el área de lascaras tienda hacia 0. Puesto que tres puntos no alineados determinan un plano en R3,es lógico considerar aproximaciones poliédricas tales que sus caras sean triángulos. Sinembargo, a diferencia del caso unidimensional, en el que los puntos de la curva se orde-nan trasladando el orden de la recta real dado en el intervalo de parametrización, en estecontexto no existe una forma natural de “triangular” la superficie, y uno se encuentracon resultados sorprendentes como el del siguiente ejemplo, debido a Schwarz (1890).Consideremos el cilindro C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 , 0<z< 1 , que es una variedadde clase C∞ y dimensión 2 cuyo área, según la definición anterior, es 2π. Inscribiremosen C una familia de poliedros construidos de la siguiente manera:Si n,m ∈ N, consideremos los n + 1 planos Πk de ecuación z = k/n, 0 ≤ k ≤ n , y encada uno de ellos los vértices de un polígono de m lados inscrito en la circunferenciax2 + y2 = 1 , z = k/n, de manera que la generatriz del cilindro que pasa por uno de estosvértices en Πk biseque el ángulo subtendido por dos vértices sucesivos de los polígonosen los planos Πk+1 y Πk−1. La superficie poliédrica Sn,m (ver la figura 13.1) se obtienecomo unión de los 2nm triángulos isósceles cuyos vértices son dos consecutivos de unode los polígonos, que distan entre sí 2 sen

(π/m

), y el tercero se encuentra en el polígono

inmediatamente superior o inferior. Todos ellos tienen igual área, que resulta ser

sen( πm

) √1

n2+(1− cos

( πm

))2

= sen( πm

) √1

n2+ 4 sen4

( π

2m

),

y por tanto el área de Sn,m es

2m sen( πm

) √1 + 4n2 sen4

( π

2m

).

Si se toma m = n y se hace tender n hacia ∞ la expresión anterior converge hacia 2π(el área de C); si se hace n = m2 también converge pero hacia un número distinto; porúltimo, si se toma n = m3 el área de las superficies poliédricas Sn,m tiende a +∞.

kΠ

k+1Π

Figura 13.1: Superficie poliédrica Sn,m inscrita en el cilindro C.

Definición 13.17. Sean S una superficie diferenciable elemental parametrizada por (D,ϕ), yf un campo escalar continuo en un abierto U de R3 que contiene a S. Si la función (f ϕ) dσes integrable en D se define la integral de f en S por

∫∫

D

f(ϕ(u, v)

)dσ(u, v) du dv =

∫∫

D

f(ϕ(u, v)

) ∥∥∥(∂ϕ∂u× ∂ϕ

∂v

)(u, v)

∥∥∥ du dv ,

y se denota por ∫

S

f dσ o simplemente∫

S

f .




I) El teorema del cambio de variables garantiza que la definición anterior es consistente, nodepende de la parametrización elegida para S. En cuanto a condiciones de integrabilidad,en la mayoría de los casos de aplicación viene garantizada por la naturaleza particulardel problema; por ejemplo, si el área de S es finita y el campo f es acotado.

II) El ejemplo siguiente puede ilustrar el origen del concepto de integral de superficie que seacaba de definir. Supongamos que S representa una superficie cargada eléctricamente,parametrizada por (D,ϕ), y que para cada (u, v) ∈ D el número q

(ϕ(u, v)

)representa la

densidad de carga en el punto ϕ(u, v) ∈ S. Entonces el valor de∫Sq dσ no es otra cosa

que la carga total soportada por la superficie.

Propiedades 13.19. Sean S una superficie diferenciable elemental en R3 y f , g campos es-calares continuos en un abierto U de R3 que contiene a S. Se verifican:

I)∫

S

(f + g) dσ =

∫

S

f dσ +

∫

S

g dσ .

II) Si c ∈ R ,∫

S

(c f) dσ = c

∫

S

f dσ .

III)∣∣∣∫

S

f dσ∣∣∣ ≤

∫

S

|f | dσ ≤ sup|f(x)| : x ∈ S A(S) .


I) La integral de la función idénticamente igual a 1 en una superficie S es precisamente elárea de S.

II) La integración de campos escalares en variedades no elementales se realiza según elmismo procedimiento expuesto en 13.15 (para estas integrales se tiene un análogo dellema 13.14), verificándose igualmente las propiedades anteriores.

13.3. Integración de campos vectoriales

Recordemos que sobre una superficie elemental S en R3 es posible dar dos orientacionesque corresponden, dada una parametrización (D,ϕ) de S, a considerar el campo de vectoresnormales unitarios

n = n(ϕ(u, v)

)=

(∂ϕ∂u× ∂ϕ

∂v

)(u, v)

∥∥∥∥(∂ϕ∂u× ∂ϕ

∂v

)(u, v)

∥∥∥∥o su opuesto −n . Estos vectores unitarios son independientes de la parametrización (lo quedepende de la parametrización es el elemento de área dσ), así que se puede hablar sin ambi-güedad de los vectores normales unitarios, n(x) y −n(x), en cada punto x de la superficie.Una superficie orientada es una superficie S en la que se ha hecho la elección de uno de losdos campos continuos de vectores normales unitarios (véase el teorema 13.9).

Una vez fijado el campo n, si se dispone de una carta (D,ϕ) que defina esa misma orien-tación, se tiene la siguiente igualdad en D

∂ϕ

∂u× ∂ϕ

∂v= dσn

Definición 13.21. Sean S una superficie diferenciable elemental y orientada en R3, para-metrizada por (D,ϕ) de forma coherente con su orientación, y F = (F1, F2, F3) un campovectorial definido y continuo en un abierto U de R3 que contiene a S. Si el campo escalar F ·nes integrable en S, se define la integral de F en S o el flujo de F a través de S por

∫∫

D

F(ϕ(u, v)

)·(∂ϕ∂u× ∂ϕ

∂v

)(u, v) du dv =

∫∫

D

F(ϕ(u, v)

)· n(u, v) dσ(u, v) du dv ,

y se representa por∫

S

F · n dσ o∫

S

(F1 dy ∧ dz + F2 dz ∧ dx+ F3 dx ∧ dy

).




I) La consistencia de la definición 13.17 avala la de la definición 13.21.

II) Nótese que el flujo de F a través de S recoge la aportación de la componente normal uortogonal de F respecto de S; concretando más, el campo F se descompone, respecto delplano tangente a S en cada punto, TS(p), como suma ortogonal

F = T F +NF

siendo NF = 〈F ,n〉n dicha componente normal y T F = F − NF la componente

tangencial, es decir, la proyección ortogonal de F en TS(p). En la cuantificación del flujode F a través de S no importa la magnitud de la componente tangencial T F .

III) Fijada una parametrización (D,ϕ) de S, el integrando que define el flujo de F es, en cada(u, v) ∈ D, el producto mixto de F

(ϕ(u, v)

)con los dos vectores tangentes asociados a

dicha parametrización:∣∣∣∣∣∣∣∣∣

F1 F2 F3

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂u∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= F1

∣∣∣∣∣∣∣

∂y

∂u

∂z

∂u∂y

∂v

∂z

∂v

∣∣∣∣∣∣∣+ F2

∣∣∣∣∣∣∣

∂z

∂u

∂x

∂u∂z

∂v

∂x

∂v

∣∣∣∣∣∣∣+ F3

∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂u

∂y

∂u∂x

∂v

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣;

esto nos puede servir para justificar la segunda notación indicada que, por otra parte,tiene pleno sentido en el contexto más general de las formas diferenciales.

Proposición 13.23. Sea S una superficie diferenciable elemental en R3 y denotemos por S+

y S− las dos superficies orientadas asociadas a S. Si F es un campo vectorial definido ycontinuo en un abierto U de R3 que contiene a S, entonces

∫

S−

F · n dσ = −∫

S+

F · n dσ .

Observación 13.24. La definición de flujo de un campo dada anteriormente contempla el ca-so de superficies elementales. Una vez más, al tratar con variedades orientables, el conceptode integral se extiende considerando una descomposición de la variedad del tipo ya indicadoen la definición 13.15,

S = S1 ∪ S2 ∪ . . . ∪ Sn ∪ Γ1 ∪ Γ2 ∪ . . . ∪ Γm , (13.1)

y definiendo en este caso ∫

S

F · n dσ =

n∑

j=1

∫

Sj

F · n dσ .

Obsérvese que la orientación dada en S determina de forma unívoca una orientación en cadauna de las superficies Sj. En la práctica, si se dispone de parametrizaciones de cada una deellas, (Dj ,ϕj), j = 1, 2, . . . , n , lo único que hay que hacer es comprobar si estas correspondencon la orientación considerada; si no es así, se efectúa el cálculo del sumando correspondien-te según la expresión dada en la definición 13.21 y se cambia de signo el resultado segúnindica la proposición anterior.

Nótese que hablamos de variedades orientables, pues a diferencia de lo que ocurre conlas superficies elementales, existen variedades de dimensión 2 no orientables. Además, ladefinición dada para el flujo a través de una superficie orientable es independiente de ladescomposición (13.1) que se haga de ella.

Propiedades 13.25. Sean S una superficie diferenciable elemental y orientada en R3 y F ,Gdos campos vectoriales continuos en un abierto U de R3 que contiene a S. Se verifica que:

I)∫

S

(F +G) · n dσ =

∫

S

F · n dσ +

∫

S

G · n dσ .

II) Si c ∈ R ,∫

S

(cF ) · n dσ = c

∫

S

F · n dσ .

III)∣∣∣∫

S

F · n dσ∣∣∣ ≤ sup‖F (x)‖ : x ∈ S A(S) .



13.4. Superficies con borde. Teorema de Stokes

Consideremos una superficie diferenciable elemental y orientada M en R3, representadapor la parametrización (V,ϕ), compatible con la orientación.

Sea también D un abierto de Jordan (conexo, por tanto) en R2 con D = D ∪ ∂D ⊂ V .La restricción de ϕ a D, que seguiremos denotando igual por comodidad, proporciona unanueva superficie elemental S, representada por la carta (D,ϕ) y contenida en M ; además, laorientación fijada en M se traslada a S (el vector normal unitario considerado es el mismo).

Si el borde de D se escribe como la unión disjunta

∂D = Γ1 ∪ Γ2 ∪ . . . ∪ Γm ,

siendo cada Γj el soporte de una curva cerrada, simple y regular a trozos, su imagen por ϕ,

ϕ(∂D) = ϕ(Γ1) ∪ϕ(Γ2) ∪ . . . ∪ϕ(Γm) ,

es la unión de m curvas del mismo tipo en R3; concretamente, si γj : [aj , bj ] → V es unaparametrización de Γj, j = 1, 2, . . . ,m, que da la orientación inducida en Γj por D, entoncesϕ γj : [aj , bj ]→ R3 proporciona una parametrización de ϕ(Γj).

Definición 13.26. En las condiciones anteriores se dice que S es una superficie orientada

(elemental) con borde. El conjunto ϕ(∂D) se denomina borde de S y se denota por ∂S. Por úl-timo, la orientación dada en cada una de las curvas ϕ(Γj) por ϕγj se denomina orientación

inducida en el borde por la orientación de S.

DV

ϕ

M

nS

Figura 13.2: Superficie elemental S con borde.


I) El concepto de borde tiene un significado geométrico similar al dado para abiertos deJordan en el plano: el borde de S es lo que separa S ∪ ∂S de su complementario en M ,esto es, su frontera en la superficie M (véase la figura 13.2).

La orientación inducida por S en su borde corresponde a la familiar regla del sacacorchos,que pasamos a describir. Sea p0 = ϕ(x0) un punto de ∂S, con x0 ∈ ∂D, y supongamos,sin pérdida de generalidad, que x0 es un punto de una de las curvas Γj que forman∂D, parametrizada por γj : [aj , bj ] → V , siendo x0 = γj(t0), t0 ∈ (aj , bj). Puesto que x0 esregular, podemos considerar la recta r normal a Γj en x0 orientada de modo que tienepor vector director la normal exterior ne correspondiente a ∂D en x0. Por ser V abiertoexiste ε > 0 de modo que la aplicación η: [−ε, ε]→ V , dada por

η(t) = x0 + tne, t ∈ [−ε, ε],parametriza un segmento de r que contiene a x0. Este segmento en V se transformapor ϕ en una curva contenida en M , parametrizada por ϕ η, y cuyo vector tangente enp0 = ϕ(x0) = ϕ(γj(t0)) es, según la regla de la cadena,

(ϕ η)′(t0) = ϕ′(x0) η′(t0) = ϕ

′(x0)ne.

Este vector, perteneciente al plano tangente a M en p0, se podría denominar el ‘vectornormal exterior a S en p0’ cuando se considera M como el espacio ambiente de referencia,


13.4. Superficies con borde. Teorema de Stokes 193

en analogía con el vector normal exterior en un punto de la frontera de un abierto deJordan. Pues bien, la regla del sacacorchos establece que en cada punto p0 ∈ ∂S elproducto vectorial de la normal exterior a S en p0 por el vector tangente a ∂S en p0asociado a la orientación inducida (ambos en el plano tangente a M ) ha de ser un vectoren la misma dirección y sentido que el vector normal unitario a M en estos puntos parala orientación original de M .

II) Aunque la definición anterior se ha dado en términos de una parametrización fija, elborde de una superficie es un concepto geométrico que no depende de la parametrizaciónque se proporcione para dicha superficie. Por ejemplo, si el hemisferio

S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1 , z > 0se parametriza por la aplicación

(x, y) 7→(x, y,

√1− x2 − y2

), (x, y) ∈ D = B(0, 1) ,

esta parametrización no puede ser extendida de forma diferenciable a un abierto másgrande que D; sin embargo, S es una superficie con borde cuyo borde ∂S es el ecuador,es decir, la circunferencia

C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 , z = 0(imagínese que S es el cuenco de una copa, su borde es lo que está en contacto con lamesa al colocarla boca abajo), lo cual se puede verificar fácilmente haciendo uso de laproyección estereográfica desde el polo sur (ver figura 13.3):

ψ(u, v) =( 2u

1 + u2 + v2,

2 v

1 + u2 + v2,1− u2 − v21 + u2 + v2

).

Siguiendo la pauta de notación de la definición 13.26, pongamos

V = R2, D = (u, v) ∈ R2 : u2 + v2 < 1 , Γ = ∂D = (u, v) ∈ R2 : u2 + v2 = 1 .Es fácil comprobar que

ψ(V ) =M = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1 , z>−1 , ψ(D) = S , ψ(Γ) = C = ∂S .

(u,v)z=0

Tomando como origen el punto (0, 0,−1), el polo sur de la esfera de ecuación x2+y2+ z2 = 1, se trazan

semirrectas que pasan por el resto de los puntos de la esfera. Estas semirrectas cortan al plano z = 0

en un punto cuyas primeras coordenadas (u, v) se toman como parámetros.

Figura 13.3: Proyección estereográfica desde el polo sur.

El siguiente resultado es consecuencia del teorema de Riemann-Green, al que generaliza.

Teorema 13.28 (de Stokes para superficies elementales). Sea S una superficie elementalcon borde. Si F es un campo vectorial de clase C 1 definido en un abierto U de R3 que contienea S ∪ ∂S, entonces ∫

S

rotF · n dσ =

∮

∂S

F · dr ,

cuando en ∂S se considera la orientación inducida por la de S.




I) En la igualdad anterior, denominada fórmula de Stokes o del rotacional, el término dela derecha se entiende como la suma de las circulaciones a lo largo de cada una de lascurvas que componen el borde de S, y se pueden calcular como integrales de Riemannordinarias (usando cualquier parametrización equivalente de ellas, no necesariamenteϕ γj ), por ser el campo F continuo y dichas curvas compactas.

El término de la izquierda, si se usa la parametrización (D,ϕ) de la definición 13.26,conduce a la integral de una función continua en un compacto D ⊂ R2; de nuevo, elteorema del cambio de variables garantiza la integrabilidad de rotF (ψ(α, β)) · n dσ(α, β)en el abierto Ω, relativa a cualquier otra parametrización (Ω,ψ) equivalente de S.

II) Cuando se considera una superficie contenida en el plano z = 0 dada por ϕ(x, y) =(x, y, 0) , (x, y) ∈ D, y un campo plano F = (P,Q, 0), la fórmula de Stokes no es otra cosaque la fórmula de Green. De hecho, la demostración del teorema anterior se basa en elde Riemann-Green. Como en aquel caso, la descomposición del abierto D en dominiossimples (ver definición 12.37), D = D1 ∪ . . . ∪Dn , conduce a considerar n superficies conborde, Sk = ϕ(Dk), k = 1, 2, . . . , n ; las circulaciones a lo largo de las nuevas curvas queaparecen en el borde común a dos de estas superficies, ∂Sk ∩ ∂Sj, se cancelan, pues lasorientaciones que sobre ellas inducen una superficie y la otra son opuestas.

Esto sugiere la siguiente definición que permite generalizar la fórmula de Stokes a otrosobjetos más complicados, y en particular al contexto de variedades.

Definición 13.30. Sean S1 y S2 dos superficies elementales con borde dadas, del mismo mo-do que en la definición 13.26, por las parametrizaciones (D1,ϕ1) y (D2,ϕ2), respectivamente,y disjuntas, es decir, tales que

S1 ∩ S2 = ϕ1(D1) ∩ϕ2(D2) = Ø .

Supongamos además que ∂S1 ∩ ∂S2 es unión finita disjunta (posiblemente vacía) de soportesde curvas de clase C 1 a trozos y simples, y que el conjunto

C = ∂S1 ∪ ∂S2 \ (∂S1 ∩ ∂S2)

es unión finita (posiblemente vacía) de soportes de curvas de clase C 1 a trozos y simples. Enestas condiciones, se dice que

S = ϕ1(D1) ∪ϕ2(D2) \ Ces la superficie suma de S1 y S2, o que es la cadena compuesta por las superficies S1 y S2,denotada por S = S1 + S2. También se dice que C es el borde de S, denotado por C = ∂S.

Iterando el proceso se define la suma o cadena de k superficies elementales con bordeS1 + S2 + . . .+ Sk.

Definición 13.31. Sea S = S1+S2+ · · ·+Sk la superficie suma de k superficies elementalescon borde. Supongamos que es posible considerar en cada una de ellas una de sus dosorientaciones de modo que para cada par de índices 1 ≤ i, j ≤ k con i 6= j y tales que∂Si∩∂Sj 6= Ø se tiene que las orientaciones inducidas en ∂Si∩∂Sj por Si y Sj son opuestas.Entonces se dice que S es orientable, y la orientación resultante en ∂S, el borde de la cadenaS, se denomina orientación inducida por S.

Si la cadena S es conexa y orientable, entonces admite exactamente dos orientaciones,correspondientes a considerar las orientaciones de las Si mencionadas anteriormente o lasopuestas, lo que repercute del mismo modo en el borde de S, cambiando su orientación.

Ejemplos 13.32.

I) Denotemos por S1 y S2 a los dos hemisferios de la esfera unidad

S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1dados por S1 = S ∩ (x, y, z) ∈ R3 : z > 0 y S2 = S ∩ (x, y, z) ∈ R3 : z < 0 . Resulta queS1 ∩ S2 = Ø y ∂S1 = ∂S2 (ver observación 13.27.II), así que

∂S1 ∪ ∂S2 \ (∂S1 ∩ ∂S2) = Ø ,

resultando que S1 + S2 = S.


13.4. Superficies con borde. Teorema de Stokes 195

Como variedad diferenciable S es orientable (ver corolario 13.10). Veamos que el conceptode orientación dado en la definición 13.31 coincide con ese otro. En efecto, si S1 y S2 seorientan según los vectores normales n1 y n2, respectivamente, dados ambos por

n(x) = n(x, y, z) = (x, y, z) , x ∈ S1 o x ∈ S2 ,

la orientación que induce S1 en su borde, Γ1, es la que corresponde a recorrer la circun-ferencia (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 , z = 0 en sentido antihorario cuando se la observadesde arriba, y la que induce S2 en el suyo, Γ2, es la opuesta (véase la figura 13.4); nóteseque al definir el vector normal unitario en S1 y S2 de esta forma, es posible extenderlocon continuidad a todo S.

2n2S

2Γ

1Γ

1S

1n

S

n

Figura 13.4: Una esfera es una cadena de superficies elementales.

Hemos obtenido así la variedad S como suma de superficies elementales, y que resulta seruna cadena orientable con borde vacío. A este tipo de cadenas se las denomina cerradas

o sin borde.

II) Consideremos las dos superficies de R3 dadas por

S1 = (x, y, z) : x2 + y2 = 1 , 0 < z < 1 , S2 = (x, y, z) : x2 + y2 < 1 , z = 0(una porción de cilindro y un disco abierto en el plano z = 0, respectivamente). Resultaevidente que S1 ∩ S2 = Ø; el borde de S1 es la unión de dos circunferencias Γ0 y Γ1, deradio 1 y situadas en los planos z = 0 y z = 1, respectivamente, y el borde de S2 esΓ0 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 , z = 0. Entonces

∂S1 ∪ ∂S2 \ (∂S1 ∩ ∂S2) = Γ1 .

La suma S = S1 + S2 es una cadena de superficies cuyo aspecto es el de un vaso; si S1 seorienta según el vector normal n1(x, y, z) en la misma dirección y sentido que (x, y, 0) , yS2 según el vector normal n2(x, y, z) = (0, 0,−1) , entonces la orientación que induce S1 enΓ0 es la que corresponde a recorrer esta circunferencia en sentido antihorario cuando sela observa desde arriba, y la que induce S2 es la opuesta, resultando que S es orientable,y que la orientación inducida en su borde ∂S = Γ1 es la que se obtiene al recorrer estacircunferencia en sentido horario, de nuevo observada desde arriba. Nótese que ahora esimposible definir un vector normal unitario en todo S de forma continua; dicho de otraforma, en los puntos de S que corresponden a la parte común de los bordes de S1 y S2 noes posible definir un plano tangente a la superficie y, a diferencia del ejemplo anterior,esta cadena de superficies no es una variedad diferenciable.

Definición 13.33. Sean S = S1 + S2 + · · ·+ Sk una cadena orientable de superficies en la quese ha fijado una de las orientaciones posibles, y F un campo vectorial definido en un abiertoU de R3 que contiene a S. Se define la integral de F en S o el flujo de F a través de S por

∫

S

F · n dσ =

k∑

j=1

∫

Sj

F · nj dσ ,

donde para cada j = 1, 2, . . . , k , nj es el vector normal unitario asociado a la orientación queen cada Sj corresponde a la orientación dada en S.



Las propiedades listadas en 13.25 son también válidas para cadenas de superficies. Enun-ciamos ahora la versión general del teorema de Stokes.

Teorema 13.34 (de Stokes). Sean S una cadena orientable de superficies y F un campovectorial de clase C 1 definido en un abierto U de R3 que contiene a S ∪ ∂S. Entonces

∫

S

rotF · n dσ =

∮

∂S

F · dr ,

cuando en ∂S, el borde de S, se considera la orientación inducida por S.

Corolario 13.35. En las condiciones del teorema anterior, si S es una superficie cerrada (esdecir, si ∂S = Ø), entonces ∫

S

rotF · n dσ = 0 .


I) La demostración del teorema de Stokes para cadenas se realiza, por supuesto, haciendouso de la primera versión enunciada en 13.28 para superficies elementales, sin más queaplicarla a cada una de las superficies elementales que conforman la cadena S. De nuevolas circulaciones a lo largo de curvas que no están contenidas en ∂S se cancelan al serconsideradas dos veces pero con orientaciones opuestas.

II) El último corolario se obtendrá también para campos de clase C 2 como caso particulardel teorema de la divergencia, del que nos ocupamos en la última sección.

III) En Geometría Diferencial el borde de una variedad se define en términos de cartas loca-les, pero no entraremos en detalles, pues la versión del teorema de Stokes para cadenasabarca, en la práctica, los casos relativos a estos objetos y a otros muchos más no con-templados en el caso abstracto, como las superficies poliédricas habituales o porcionesde ellas. Por ejemplo, la familia de caras laterales de una pirámide cuya base es unpolígono de n lados es una cadena de n superficies elementales.

13.5. Teorema de Gauss-Ostrogradski

Definición 13.37. Sea V un subconjunto abierto y conexo de R3. Se dice que su frontera esregular a trozos si el conjunto Fr(V ) es una cadena de superficies orientable y cerrada. Enestas condiciones Fr(V ) se denomina también borde de V y se denota por ∂V .

Los abiertos con frontera regular a trozos son los que se contemplan en la teoría quetratamos ahora; entre ellos destacan por su simplicidad los que describimos a continuación.

Definición 13.38. Sea V un abierto conexo y acotado de R3. Se dice que V es simple, oproyectable sobre un plano coordenado, si existe un abierto de Jordan D y funciones realesf, g continuas en D y tales que f(u, v) ≤ g(u, v) para cada (u, v) ∈ D, de modo que el conjuntoV se puede describir mediante una de las expresiones siguientes:

V = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, f(x, y) < z < g(x, y) (proyectable sobre OXY )

o V = (x, y, z) ∈ R3 : (x, z) ∈ D, f(x, z) < y < g(x, z) (proyectable sobre OXZ)

o V = (x, y, z) ∈ R3 : (y, z) ∈ D, f(y, z) < x < g(y, z) (proyectable sobre OY Z) .

Sobre el borde de un abierto V se puede establecer una orientación relativa al conjuntoV de forma natural, determinando en los puntos regulares un vector normal unitario comoindica el siguiente resultado.

Lema 13.39. Sean V un abierto de R3 con frontera regular a trozos y x0 un punto en unade las superficies elementales que forman la frontera de V . Sean n1 y n2 = −n1 los dosvectores unitarios normales a ∂V en el punto x0. Entonces uno sólo de estos dos vectores,que denotaremos por ne, verifica la siguiente propiedad:

“Existe un número real ε > 0 tal que para cada λ ∈ (0, ε) se tiene que

x0 + λne /∈ V ”.


13.5. Teorema de Gauss-Ostrogradski 197

Definición 13.40. En las condiciones del lema anterior, al vector ne que verifica dicha pro-piedad se le denomina normal exterior a V en el punto x0.

La orientación natural o inducida en ∂V por V es la que corresponde a este vector normalen cada punto de cualquiera de las superficies elementales que forman la frontera de V .

Lema 13.41. Sea V un abierto acotado de R3 con frontera regular a trozos y proyectablesimultáneamente sobre los tres planos coordenados. Sea también F un campo vectorial declase C 1 definido en un abierto U de R3 que contiene a V = V ∪ ∂V . Si en ∂V se considera laorientación inducida por V , entonces

∫∫∫

V

divF dx dy dz =

∫

∂V

F · n dσ .


I) La igualdad anterior, conocida con el nombre de fórmula de Gauss-Ostrogradski o de la

divergencia, equivale a las tres igualdades∫

∂V

(F1, 0, 0) · n dσ =

∫

∂V

F1 dy ∧ dz =∫∫∫

V

∂F1

∂xdx dy dz ,

∫

∂V

(0, F2, 0) · n dσ =

∫

∂V

F2 dz ∧ dx =

∫∫∫

V

∂F2

∂ydx dy dz ,

∫

∂V

(0, 0, F3) · n dσ =

∫

∂V

F3 dx ∧ dy =

∫∫∫

V

∂F3

∂zdx dy dz ,

que se demuestran fácilmente para este tipo de abiertos, cuya adherencia es compacta,mediante el teorema de Fubini y la regla de Barrow.

II) El hecho de que el campo F esté definido y sea de clase C 1 en un abierto que contienea V ∪ ∂V es esencial, como se ilustra con el siguiente ejemplo que es, por otra parte, uncaso particular de un familiar resultado de Física, la ley de Gauss.

Ejemplo 13.43. Consideremos la bola abierta unidad V = B(0, 1) ∈ R3, que es un abiertoproyectable sobre los tres planos. Su frontera es la esfera unidad S, una cadena orientablede superficies (ver el ejemplo 13.32), y cuya orientación inducida (la dada por la normalexterior) resulta ser en este caso la que corresponde a considerar en cada punto (x, y, z) ∈ Sel vector normal (unitario) ne(x, y, z) = (x, y, z). El campo F definido en U = R3 \ 0 por

F (x, y, z) =

(x

(x2 + y2 + z2)3/2,

y

(x2 + y2 + z2)3/2,

z

(x2 + y2 + z2)3/2

)=

1

‖r(x, y, z)‖3 r(x, y, z) ,

donde r(x, y, z) = (x, y, z) , es de clase C 1 en su dominio U , y se comprueba sin dificultad que

divF (x) = 0 , x 6= 0 .

A pesar de que V no está contenido en U , tiene perfecto sentido la integral∫∫∫

V

divF dx dy dz ,

puesto que el integrando está definido c.s. en V , y obviamente el valor de la integral es 0. Porotra parte, un sencillo cálculo muestra que el flujo de F a través de S es

∫

S

F · n dσ =

∫

S

(x, y, z) · n dσ =

∫

S

1 dσ = A(S) = 4π ,

y no se verifica la igualdad entre ambas integrales (se ha utilizado la fórmula del área de laesfera, cuyo cálculo se propone en el ejercicio 13.2.II).

Nota: El campo eléctrico engendrado por una carga unipuntual situada en el punto x0 ∈ R3 es

de la forma

K qF (x− x0) ,

donde q es el valor de la carga y K una constante que depende de las características del

medio (un gas, por ejemplo). En general, la ley de Gauss afirma que el flujo a través de una

superficie cerrada del campo eléctrico generado por un número finito de partículas cargadas

en su interior es el producto de 4πK por la suma de todas las cargas, fórmula ésta que se

deduce del teorema general que enunciamos a continuación (ver ejercicio 13.50).



Teorema 13.44 (de la divergencia o de Gauss-Ostrogradski). Sean V un abierto acotadode R3 con frontera regular a trozos y F un campo vectorial de clase C 1 definido en un abiertoU de R3 que contiene a V , entonces

∫∫∫

V

divF dx dy dz =

∫

∂V

F · n dσ ,

cuando en ∂V se considera la orientación inducida por V .

Corolario 13.45. En las condiciones del teorema anterior, si divF = 1 en V , entonces∫

∂V

F · n dσ = m(V ) .

Observación 13.46. La demostración de este teorema general se basa en el lema 13.41, trasdescomponer el abierto V como unión finita (salvo conjuntos de medida nula) de abiertos confrontera regular a trozos y proyectables sobre los tres planos, Vi, i = 1, 2, . . . , n, esto es:

I) V =n∪i=1

V i ,

II) Vi ∩ Vj = Ø si k 6= j ,

y tales que las fronteras ∂Vi se escriben como suma de superficies, unas contenidas en ∂V yotras nuevas superficies comunes a dos de ellos (es decir, en ∂Vi∩∂Vj ) y que, al considerar lasorientaciones inducidas respectivamente por Vi y por Vj, se orientan de forma opuesta. Así, alsumar los términos correspondientes a las integrales triples y a las integrales de superficie,se obtiene el resultado enunciado, dada la aditividad de la integral y puesto que los flujos delcampo a través de las superficies ∂Vi ∩ ∂Vj no aportan nada, ya que aparecen dos veces perocon orientaciones opuestas entre sí.

13.5.1. Comentarios sobre formas diferenciales y el teorema general de Stokes

Los denominados teoremas clásicos del Análisis Vectorial (de Riemann-Grenn, de Stokesy de Gauss-Ostrogradski), curiosamente, no fueron enunciados originalmente en esa mismaforma por los respectivos autores a quienes se atribuyen, sino a propósito de problemasconcretos de la Física Matemática. Esto no les resta ningún mérito. Asimismo, las nocionesde integral curvilínea y de superficie, planteadas en un principio en términos puramenteintuitivos, aparecen más tempranamente, junto con versiones particulares de los teoremasmencionados arriba.

Actualmente, estos resultados se enmarcan en el contexto más general de la GeometríaDiferencial, que contempla la noción de integración de formas diferenciales en variedades

riemannianas. El concepto y la definición formal de integral de una forma diferencial en unavariedad se deben, entre otros muchos, pincipalmente a los trabajos de H. Poincaré y E.Cartan, hace aproximadamente un siglo. Esta teoría general permite enunciar de manerasimple y elegante todos esos resultados de forma unificada

∫Mdω =

∫∂M

ω . Precisando unpoco más:

Teorema 13.47 (general de Stokes). Sea M una subvariedad diferenciable de Rn, de dimen-sión k, orientada y con borde ∂M , en el que se considera la orientación inducida por la de M .Sea también ω una forma diferencial de orden k − 1 y de clase C 1 en M . Entonces, si M escompacta o el soporte de ω es compacto

∫

M

dω =

∫

∂M

ω .

Detallaremos luego un poco la noción de forma diferencial. De momento, mencionemosque las fórmulas de Riemann-Green y la clásica de Stokes son versiones de la anterior paraabiertos de R2 o superficies en R3 (esto es, con dimensión 2), mientras que el de Gauss-Ostrogradski se refiere a abiertos de R3 (subvariedades de dimensión 3) cuya frontera es unasuperficie (variedad de dimensión 2).

Éste último, el teorema de la divergencia, admite una formulación en dimensión arbitraria,que tiene especial relevancia, entre otros campos, en problemas de contorno de Ecuacionesen Derivadas Parciales (EDP). Lo enunciamos a continuación:



Teorema 13.48 (general de la divergencia). Sea V un abierto acotado de Rn cuya frontera∂V es una hipervariedad (variedad de dimensión n − 1) orientada de acuerdo con la normalexterior a V . Si F = (F1, F2, . . . , Fn) es un campo de clase C 1 en un abierto que contiene aV = V ∪ ∂V , se tiene que ∫

V

divF =

∫

∂V

F · n dσn−1 .

Por supuesto, dσ1 es el elemento de longitud, dσ2 es el elemento de área, etc. Nótesetambién que para n = 2 el teorema de la divergencia es el teorema de Riemann-Green: lacirculación en la curva ∂D del campo (P,Q) es la integral del campo escalar (P,Q) · t, lacomponente tangencial a la curva de ese campo. Pero, con la notación de la definición 12.30,resulta que (P,Q) · t = (Q,−P ) · ne, es decir, este campo escalar también es la componentenormal del campo (Q,−P ) respecto de ∂D, y obviamente

div(Q,−P ) = ∂Q

∂x− ∂P

∂y.

En este punto el lector se debería preguntar ¿qué sucede para n = 1? Veamos: los abiertosconexos y acotados de R son intervalos V = (a, b) con ∂V = a, b; un campo F :V → R1

es simplemente una función real F , cuya divergencia es divF = dF/dx = F ′ y, finalmente,∫VdivF = F (b)− F (a). Saque sus conclusiones.

Formas diferenciales

De forma muy somera describimos las ideas básicas sobre formas diferenciales, simple-mente con la intención de proporcionar al lector un primer encuentro con esta teoría, en laque puede profundizar mediante los textos [11], [16], [36] o [43]; también en [33] se presentanlas formas diferenciales de forma muy sencilla y en el contexto restringido de R2 y R3.

En general, dar una forma diferencial en una subvariedad de Rn consiste en proporcionarun tensor en cada uno de los espacios tangentes a la variedad. Ahora bien, en las situacionesmás comunes, esto consiste en restringir tensores definidos en todo Rn a dichos espaciosvectoriales.

En lo que sigue piense el lector que V = Rn, pero todo lo que se dice vale igual paracualquier espacio vectorial real V de dimensión finita n.

Definición 13.49. Una aplicación T :V k → R se dice multilineal si es lineal en cada índice:

T (v1, . . . , λvi + µwi, . . . ,vk) = λT (v1, . . . ,vi, . . . ,vk) + µT (v1, . . . ,wi, . . . ,vk) .

Una aplicación multilineal T :V k → R se denomina tensor k veces covariante en V o simple-mente tensor de orden k. El conjunto T k(V ) de los tensores de orden k tiene estructura deespacio vectorial cuando se le dota de la operación y la ley de composición externa naturales.


I) T 1(V ) es el espacio dual de V . A partir de él es posible construir el resto de los espaciosmediante el producto tensorial de aplicaciones; en el caso de aplicaciones multilinealesse tiene que, si S ∈ T k(V ) y T ∈ T m(V ), entonces la aplicación S ⊗T dada por

(S ⊗T )((v1,v2, . . . ,vk), (w1,w2, . . . ,wm)

)= S(v1,v2, . . . ,vk)T (w1,w2, . . . ,wm)

es multilineal, esto es, un elemento de T k+m(V ). Lo mismo para el producto de un nú-mero arbitrario de tensores.

II) Si e1, e2, . . . , en es base de V y ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕn es la base dual, entonces los nk tensoresϕi1 ⊗ϕi2 ⊗ . . . ⊗ϕik , 1 ≤ ij ≤ n , conforman una base de T k(V ). En particular, consideran-do la base estándar de Rn (véase la observación 2.8.III), se obtiene la base de T k(V )

dxi1 ⊗dxi2 ⊗ . . . ⊗dxik : 1 ≤ ij ≤ n

.

Definición 13.51. Sea Sk el grupo simétrico de orden k. Si T ∈ T k(V ) y σ ∈ Sk se define eltensor T σ por

T σ(v1,v2, . . . ,vk) = T (vσ(1),vσ(2), . . . ,vσ(k)) .

Un tensor T ∈ T k(V ) se dice alternado si T = ε(σ)T σ para cada permutación σ ∈ Sk, dondeε(σ) = ±1 denota la paridad de σ.



Todo tensor de orden 1 es alternado. Un tensor de orden 2 es alternado si la matriz asocia-da a la forma bilineal (respecto de cualquier base) es antisimétrica... El conjunto Λk(V ) de lostensores alternados de orden k es un subespacio vectorial de T k(V ). A partir de los elementosde este último es posible construir los del primero mediante el proceso de alternación:

Definición 13.52. Sea T ∈ T k(V ), se define el tensor alternado de T por

Alt(T ) =1

k!

∑

σ∈Sk

ε(σ)T σ ∈ Λk(V ) .

Si S ∈ Λp(V ), T ∈ Λq(V ), se define su producto exterior como el elemento de Λp+q(V ) dado por

S ∧T =(p+ q)!

p! q!Alt(S ⊗T ) .

Este producto es asociativo, por lo que se puede extender a un número finito de factores.

Definición 13.53. Sean U un abierto de Rn y k ∈ N. Una forma diferencial de orden k (ok-forma) en U es una aplicación

ω:U → Λk(Rn) .

Esta definición se extiende al caso k = 0 conviniendo que Λ0(Rn) = R, es decir, una formadiferencial de orden 0 es simplemente una función de U en R, un campo escalar.

El producto exterior de tensores alternados se traslada a las formas diferenciales, y segeneraliza para formas de orden 0: si f es una función de U en R y ω es una k-forma diferencialen U , entonces (f ∧ω)(x): = f(x)ω(x) es una k-forma, denotada usualmente f ω, a secas.

Lema 13.54. Si ω es una k-forma diferencial en el abierto U ⊂ Rn, k ≤ n, existen funcionesreales en U : fi1i2...ik , 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n , determinadas de forma única y tales que

ω(x) =∑

1≤i1<i2<...<ik≤n

fi1i2...ik(x) dxi1 ∧dxi2 ∧ . . . ∧dxik , x ∈ U . (13.2)

En estas condiciones, la forma ω se dice continua, diferenciable, de clase C k, etc., si así loson cada una de las funciones coeficientes fi1i2...ik .


I) Del carácter antisimétrico del producto exterior se sigue que dxi ∧dxj = −dxj ∧dxi , y enparticular que dxi ∧dxi = 0 , 1 ≤ i, j ≤ n .

II) Al considerar formas de grado 0, i.e. funciones, diferenciables en el abierto U la aplicaciónx ∈ U 7→ f ′(x) ∈ Λ1(Rn) define una forma diferencial de orden 1 que denotaremos df (véasede nuevo la observación 2.8.III):

df(x) = D1f(x) dx1 +D2f(x) dx2 + . . .+Dnf(x) dxn .

Esta derivación se extiende a formas de orden cualquiera como sigue:

Definición 13.56. Si ω es una k-forma diferenciable, dada según (13.2), la derivada exterior

de ω es la forma de orden k + 1 dada por

dω(x) =∑

1≤i1<i2<...<ik≤n

dfi1i2...ik(x)∧dxi1 ∧dxi2 ∧ . . . ∧dxik .

Si ω y η son dos formas diferenciales de orden k y k + 1 respectivamente en un abierto Ude Rn, se dice que ω es una primitiva de η si ω es diferenciable y dω = η .

Una forma η se dice cerrada si es diferenciable y dη = 0, y se dice exacta si tiene unaprimitiva.

Proposición 13.57. Si ω es una k-forma dos veces diferenciable en un abierto, entonces

d(d(ω)) = 0 .



Según lo anterior, toda forma η diferenciable y exacta es cerrada, pero el recíproco no escierto en general, a no ser que el grupo fundamental (de homotopía) del abierto sea trivial.

Teorema 13.58 (Lema de Poincaré). Sea U un abierto de Rn simplemente conexo y ω unak-forma de clase C 1 en U . Si ω es cerrada entonces es exacta.

Ejemplos 13.59. Repasamos ahora las nociones clásicas desde el punto de vista de lasformas diferenciales.

I) Toda 1-forma en un abierto U ⊂ Rn es de la forma ω(x) =n∑i=1

Fi(x) dxi. La forma es

cerrada si los coeficientes verifican las condiciones (11.2), pues

dω =n∑

i=1

dFi dxi =n∑

i=1

n∑

j=1

∂Fi∂xj

dxj ∧dxi =∑

1≤i<j≤n

(∂Fi∂xj− ∂Fj∂xi

)dxj ∧dxi

y el resultado 11.23 es, en efecto, un caso particular del anterior. En particular, paran = 3, Si ω = F1dx+ F2dy + F3dz ≃ (F1, F2, F3), entonces

dω =(∂F3

∂y− ∂F2

∂z

)dy ∧dz +

(∂F1

∂z− ∂F3

∂x

)dz ∧dx+

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dx∧dy ≃ rot(F1, F2, F3) ,

con lo que la expresión d(df) = 0 es exactamente la misma que rot(∇f) = 0.

La segunda notación para la integral de línea se corresponde con la integral de 1-formasen curvas (variedades de dimensión 1):

∫

Γ

ω =

∫

Γ

(F1dx1 + F2dx2 + . . .+ Fndxn

).

II) Las 2-formas en abiertos de R3 se identifican también con campos vectoriales al expre-sarlas ω(x) = F1(x) dy ∧dz + F2(x) dz ∧dx+ F3(x) dx∧dy ≃ (F1, F2, F3) = F . En este caso

dω =∂F1

∂xdx∧dy ∧dz +

∂F2

∂ydy ∧dz ∧dx+

∂F3

∂zdz ∧dx∧dy =

(∂F1

∂x+∂F2

∂y+∂F3

∂z

)dx∧dy ∧dz ,

es decir, dω se identifica con divF , y para 1-formas ω = G1dx + G2dy + G3dz la identidadd(dω) = 0 es precisamente div(rotG) = 0 .

La integral de 2-formas en variedades de dimensión 2:∫

S

ω =

∫

S

(F1 dy ∧ dz + F2 dz ∧ dx+ F3 dx ∧ dy

)

origina la otra notación para el flujo de un campo a través de una superficie.

III) Finalmente, en relación con el teorema general de la divergencia, véase que Λn−1(Rn) esun espacio vectorial de dimensión n y Λn(Rn) de dimensión 1, de hecho, las n− 1 formasen abiertos de Rn son de la forma

ω = F1dx2 ∧dx3 ∧ · · · ∧dxn − F2dx1 ∧dx3 ∧ · · · ∧dxn + . . .+ (−1)n−1Fndx1 ∧dx2 ∧ · · · ∧dxn−1

y la derivada exterior resulta ser

dω = (divF ) dx1 ∧dx2 ∧ · · · ∧dxn.Por supuesto, la integral

∫Vdω =

∫V(divF ) dx1 ∧dx2 ∧ · · · ∧dxn es la integral de Lebesgue

de la función divF en el abierto V .

El teorema del cambio de variables también encuentra acomodo en este formalismo.Para no entrar en detalles pesados, mencionaremos simplemente que, si v1,v2, . . . ,vn

son elementos de Rn que se escriben en la base estándar vi =n∑j=1

aij ej, i = 1, 2, . . . , n ,

entoncesdx1 ∧dx2 ∧ . . . ∧dxn(v1,v2, . . . ,vn) = det(aij) .

En particular, si esto se contempla para los gradientes vi = ∇gi , de las funciones coor-denadas de un difeomorfismo g:V →W , en cada punto x ∈ V , se tiene que

dx1 ∧dx2 ∧ . . . ∧dxn(∇g1(x), . . . ,∇gn(x)

)= Jg(x) .



Ejercicios

13.1 Sean x = (x1, x2, x3) un punto de R3, y a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) dos vectoreslinealmente independientes. Si S es la superficie parametrizada por

ϕ(s, t) =(x1 + s a1 + t b1 , x2 + s a2 + t b2 , x3 + s a3 + t b3) , 0 < s, t < 1 ,

calcular el área de S y probar que este valor coincide con el obtenido para cualquier trian-gulación de la superficie según el procedimiento expuesto en el ejemplo de la observa-ción 13.16.II.

13.2 Calcular el área de las siguientes superficies:

I) Un cilindro de altura h y cuya circunferencia base tiene radio r.

II) Una esfera de radio r.

III) La superficie dada por z2 = 2x y , 0 < x < 2 , 0 < y < 1 , z > 0 .

IV) La región del plano x+ y + z = a interior al cilindro x2 + y2 = a2.

V) La imagen de ϕ(u, v) = (u cos(v), u sen(v), u2), u ∈ (0, 4), v ∈ (0, 2π).

VI) La porción de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 interior al cilindro x2 + y2 = a x, siendo z ≥ 0 .

VII) La porción S de la esfera de centro 0 y radio r contenida en el primer octante y limitadapor el plano z = 0 y por el arco imagen del segmento φ/a + θ/b = 1, donde θ y φ son losángulos correspondientes a las coordenadas esféricas

(x, y, z) =(r cos(θ) cos(φ) , r sen(θ) cos(φ) , r sen(φ)

)

y 0 < a ≤ π/2, 0 < b ≤ π/2.VIII) Un toro de radios a y b (0 < b < a).

Sugerencia: La siguiente aplicación parametriza el toro excepto dos circunferencias:

ϕ(u, v) = ((a+ b cos(u)) cos(v), (a+ b cos(u)) sen(v), b sen(u)) , u, v ∈ (0, 2π) .

13.3 Sea f : (a, b) → R una función positiva y de clase C 1. Se considera la superficie de revo-lución S generada al girar la gráfica de la función f alrededor del eje OX. Probar que el áreade esta superficie viene dada por

2π

∫ b

a

f(x)√

1 + f ′(x)2 dx .

13.4 Calcular el flujo del campo F (x, y, z) = (x, y,−2z) a través de la porción del cilindrox2 + y2 = 1 comprendido entre los planos z = 1 y z = 2, dotado de la orientación dada por lanormal N(x, y, z) = (x, y, 0).

13.5 Calcular el flujo del campo F (x, y, z) =

(0,

y

z2 (1 + z2), 0

)a través de la hoja del cono

x2 + y2 − z2 = 0, 0 < z < 2, orientada de modo que

n(√

2/2,√2/2, 1

)=

(− 1/2,−1/2,

√2/2

).

13.6 Se considera el casquete esférico S dado por

x2 + y2 + z2 = 2 , z > 1 ,

con la orientación de la normal exterior a la esfera. Calcular el flujo del campo (1, 0, 1) através de S.

13.7 Sea S el triángulo de vértices A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) y C = (0, 0, 1), orientado demanera que la normal a S tiene tercera componente negativa. Calcular el flujo del campoF (x, y, z) = (x, y, z) a través de S.

13.8 Sea S = (u + v, u2 + v2, u − v) ∈ R3 : −1 < u < 1,−1 < v < 1. Calcular el flujo deF (x, y, z) = (0, 0, z) a través de S cuando en ésta se considera la orientación dada por lanormal que tiene la segunda componente positiva.


Ejercicios 203

13.9 Sea S la semiesfera x2 + y2 + z2 = 1, z > 0. Calcular∫

S

(x, y, 0) · n dσ ,

donde n es el vector normal exterior a la esfera, parametrizando de dos formas diferentes.

13.10 El cilindro de ecuación x2 + y2 = 2x recorta una superficie S en la hoja superior delcono de ecuación x2 + y2 = z2. Si en S se considera la orientación dada por la normal al conocon tercera componente negativa, hallar el flujo del campo F (x, y, z) =

(x, y, z2

)a través de S.

13.11 Sea S la superficie de revolución generada al girar la gráfica de la función f : (a, b) →(0,∞), de clase C 1, alrededor del eje OX. Sean F (x, y, z) = (x, y, z) y n = (n1, n2, n3) la normalque verifica que

y n2(x, y, z) + z n3(x, y, z) > 0 para todo (x, y, z) ∈ S.Expresar como una integral doble el flujo de F a través de S.

13.12 Comprobar la fórmula de Stokes para el campo F (x, y, z) = (z, 0, 0) y la curva parame-trizada por la aplicación

γ(t) =(cos(t) , sen(t) , cos(t) sen(t)

), t ∈ [0, 2π] ,

observada como borde de la superficie S = (x, y, z) ∈ R3 : z = x y, x2 + y2 < 1 .

13.13 Se considera la curva cerrada Γ que resulta de la intersección del paraboloide deecuación z = x2 + y2 con los cuatro planos verticales de ecuaciones x = 1, x = −1, y = 1 ey = −1. Si F es el campo

F (x, y, z) =(y(1 + cos(x y)

), z + x cos(x y), x+ ez

),

calcular la circulación de F a lo largo de Γ.

13.14 Se considera el campo vectorial F definido en R3 por F (x, y, z) = (1, 1, 1).

I) Demostrar que el campo F es el rotacional de un campo vectorial G que se ha de deter-minar.

II) Si S es la imagen de la aplicación ϕ: (0, 1)× (0, 2π) dada por

ϕ(u, v) =(u cos(v), u sen(v), u4 cos(4v)

),

calcular el flujo de F a través de la superficie S cuando en ésta se considera la orientacióndada por la normal con tercera componente positiva.

13.15 Sea Γ la curva en R3 dada por la intersección del paraboloide de ecuación z = x2 + y2

con el plano de ecuación z = 2(x+ y). Calcular∮

Γ

(ex + y

)dx+

(ey + z

)dy +

(ez + x

)dz.

13.16 Se considera la curva poligonal Γ que resulta de la intersección de la superficie bordedel cubo [0, a]3 (a > 0) y el plano de ecuación 2x + 2y + z = 2a, orientada de tal forma que suproyección sobre el plano OXY tiene la orientación antihoraria. Calcular

∮

Γ

4xy dx+ 2yz dy + xz dz.

13.17 Calcular, mediante dos procedimientos distintos, la circulación del campo F (x, y, z) =(y, z, x) a lo largo del borde de la superficie dada por z = 1− x2 − y2, z ≥ −3 .

13.18 Dados el campo F (x, y, z) =(0, 0, x+ y2 − z3

)y la superficie S parametrizada por

(x, y) ∈ B((0, 0), 3

)7−→

(x, y, sen(x2 + y2)

),

calcular∫

S

rotF · n dσ.



13.19 Calcular la circulación de F (x, y, z) = (y − z, z − x, x− y) a lo largo de la curva intersec-ción de las superficies x2 + y2 = a2 y x/a+ z/b = 1 .

13.20 Calcular la circulación del campo F (x, y, z) = (y + z, z + x, x+ y) a lo largo de lacurva Γ dada por x2 + y2 = 2 y ; y = z .

13.21 Se considera una función h:R→ R de clase C 2, y el campo F dado por

F (x, y, z) = (0,−x cos(y2), y + h′(z)), (x, y, z) ∈ R3.

Sea S el sector de la superficie cilíndrica de ecuación y2+z2 = 1 comprendido entre los planosz = 0, x = y, x = −y, y contenido en el cuadrante y ≥ 0, z ≥ 0. Hallar la integral de F a lo largodel borde de S, directamente y aplicando el teorema de Stokes.

13.22 Se consideran el campo vectorial F (x, y, z) =(x2, x− 2xy, 0

), y la superficie rectangu-

lar S que resulta de la intersección del plano 2y + z − 6 = 0 y el cubo [0, 4]× [0, 4]× [0, 4].

I) Calcular∫

S

F ·n dσ, donde n es el vector normal a S cuya tercera coordenada es positiva.

II) Demostrar que el campo F es solenoidal y encontrar un campo G tal que F = rot(G).

III) Si Γ es el borde de S, dotado de la orientación que induce la normal n, calcular∮

Γ

G · dr.

13.23 Se considera la superficie S dada por la gráfica de la función

g(x, y) = (1− x2 − y2)(2− sen(x− 3y) + log(1 + x2 + 2y4)

)

definida en el conjunto D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1, y orientada de manera que la normaltenga la tercera componente negativa. Si F es el campo dado por

F (x, y, z) =(xyz + x+ y + z, x2 + y3 + z4, cos(x2 − y2)

),

calcular ∫

S

rotF · n dσ .

13.24 Sea Γ la curva dada porz = x2 + y2, z = 2 si y ≤ 0,

z = x2 + y2, z = 2− 2√2 y si y ≥ 0.

Calcular ∫

Γ

(x2 + y, yz,−x

2

2+ z

)· dr.

13.25 Sea Γ la curva que resulta de la intersección del plano x+ y + z = 3 a/2 y la superficieque limita al cubo [0, a]× [0, a]× [0, a], con a > 0. Hállese la circulación a lo largo de Γ del campo

F (x, y, z) =(y2 − z2, z2 − x2, x2 − y2

).

13.26 Se denota por S la gráfica de la función

z = f(x, y) = sen(x) sen(y) cos(x2 + y2) , (x, y) ∈ D = (0, π)× (0, π),

orientada de manera que la normal tenga tercera componente positiva. Si F es el campoF (x, y, z) = (0, 2z, 2x), calcular el flujo de F a través de S.

13.27 Sea F :R3 → R3 el campo dado por F (x, y, z) = (x− 1, 2z − 1, y − z).I) Encontrar campos G, H:R3 → R3 de la forma G = (0, G2, G3), H = (H1, H2, 0), y tales que

rotG = rotH = F .

II) Calcular un potencial del campo G−H, es decir, f :R3 → R tal que ∇f = G−H.

III) Se considera la curva cerrada Γ construida como unión de los cuatro segmentos que seobtienen al unir, consecutivamente y en este orden, los puntos de R3: (0, 0, 0), (0, 1, 0),(0, 1, 1), (0, 0, 1) y de nuevo (0, 0, 0). Calcular la la circulación de G+H a lo largo de Γ.


Ejercicios 205

13.28 Sea V la región de R3 definida por

V =(x, y, z) ∈ R3 : y > 1, z > 0, x2 + y2 + z2 < 4

.

I) Calcular la integral del campo F (x, y, z) = (z2 − y2, y3x, z3x) a lo largo de los dos arcosde circunferencia contenidos en la parte esférica de ∂V y que están situados, respectiva-mente, en los planos de ecuaciones y = 1 y z = 0.

II) Si S es la parte de ∂V contenida en la esfera de ecuación x2 + y2 + z2 = 4, calcular el flujode rotF a través de S.

13.29 Sea S la superficie cerrada formada por el plano z = 0, los cuatro planos verticalesque cortan en este plano el cuadrado inscrito en la circunferencia unidad de lados paralelosa los ejes, y el casquete superior de la esfera unidad. Hallar la integral del campo F (x, y, z) =(y,−x, z2

)extendida a S.

13.30 Se considera la superficie S obtenida al sumar las superficies S1 y S2 dadas por

S1 = z = x2 + y2 + 1, z ≤ 5,con la orientación dada por la normal cuya tercera componente es positiva, y

S2 = x2 + y2 = 4, 0 ≤ z ≤ 5,con la orientación dada por la normal exterior al cilindro. Si F es el campo F (x, y, z) =(xy2, x2y, z(x2 + y2)

), calcular

∫SF · n dσ .

13.31 Calcular el flujo del campo

F (x, y, z) =(xz + cos(y), yz + cos(z), xy + cos(x)

)

a través de la superficie cerrada S, suma de la porción de esfera S1 definida por

x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0, x2 + y2 ≤ z2,y la porción de cono S2 definida por

x2 + y2 = z2, z ≥ 0, x2 + y2 + z2 ≤ 1,

cuando se considera la orientación dada por la normal exterior.

13.32 Se considera la integral de superficie

I =

∫

S

(x(z2 − y2), y(x2 − z2), z(y2 − x2)

)· n dσ,

donde S es una superficie orientada cuyo borde es la curva cerrada Γ.

I) Transformar I en una integral curvilínea.

II) Calcular I cuando S es la semiesfera x2 + y2 + (z −R)2 = R2, z ≥ R (R > 0).

III) Utilizando el teorema de la divergencia, calcular I en la semiesfera inferior.

13.33 Sea S la superficie frontera del paralelepípedo P determinado por las aristas AB, ACy AD, siendo A(0, 0, 0), B(0, 1, 1), C(1, 0, 2) y D(1, 2, 0). Calcular

∫

S

(2xz,−3xy, z) · n dσ,

cuando se considera en S la orientación dada por la normal exterior a P .

13.34 Se considera el abierto de R3 dado por

V =(x, y, z) ∈ R3 : 0 < y < x < 1, 0 < z < x2 + y2

.

I) Calcular el volumen de V .

II) Si S es la frontera de V , excluyendo la parte contenida en el paraboloide de ecuaciónz = x2 + y2, calcular ∫

S

(y,−x, z) · n dσ

cuando se considera en S la orientación dada por la normal exterior a V .



13.35 Sea V el abierto de R3 definido por

V =(x, y, z) ∈ R3 : (x− 1)2 + z2 < 1, −1 < y < z2

.

I) Calcular el volumen de V .

II) Sea S1 la parte de la frontera de V contenida en la superficie de ecuación y = z2. Construiruna parametrización de S1 y calcular

∫

S1

(x, y + 1, z) · n dσ,

cuando en S1 se considera la orientación dada por la normal exterior a V .

III) Sea S2 la porción de ∂V contenida en la superficie de ecuación (x− 1)2 + z2 = 1. Deducirdel teorema de la divergencia el valor de

∫

S2

(x, y + 1, z) · n dσ.

13.36 Sean V el abierto de R3 dado por

V =(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 < 1, x2 + y2 < z2 < 4, z > 0

y S la superficie frontera de V , considerando en ella la orientación dada por la normal exteriora V . Calcular el flujo del campo F (x, y, z) = (x3, y3,−z3) a través de S.

13.37 Calcular el flujo del campo

F (x, y, z) =(1− x2, y (y + 1)

2, z (2x− y)

), (x, y, z) ∈ R3,

a través de la superficie

M =(x, y, z) ∈ R3 : (x− 1)2 + y2 + z2 = 1, x < 1, y > 0, z > 0

.

13.38 Sea M la superficie obtenida al girar la curva z =√x, 0 < x < 1, alrededor del eje OZ.

Se considera el campoF (x, y, z) = (y,−x, z).

Calcular mediante dos procedimientos distintos el valor de∫

M

F · n dσ,

cuando en M se considera la orientación determinada por el vector normal a la superficiecon tercera componente negativa.

13.39 Un recipiente (con forma de vasija) de 1 litro de capacidad se sitúa en un aparato quegenera un campo (eléctrico, magnético o de otro tipo) en su interior. Elegida una referenciacartesiana en el aparato, dicho campo viene dado por

F (x, y, z) = (xz, x− yz, z + y2),

y el borde de la vasija por(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1, z = 1 ,

estando dadas las unidades de los ejes en decímetros. Determinar el flujo del campo a travésde la superficie del recipiente, cuando se considera en ésta la orientación dada por la normalexterior.

13.40 Calcular el flujo de los siguientes campos a través de las superficies que se indican,directamente y utilizando el teorema de la divergencia:

I) F (x, y, z) = (x z, y z, 1) a través de la superficie S dada por

x2 + y2 + z2 = 25, z < 3.

II) F (x, y, z) = (x z, y z, 0) a través de la superficie que limita al sólido

V = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < 4, x2 + y2 > 1.


Ejercicios 207

13.41 Se considera la superficie S, suma de las cuatro superficies de revolución dadas porlas ecuaciones implícitas siguientes:

S1 = x2 + y2 + z2 = 4z , 2 < z ;

S2 = z2 = x2 + y2 , 1 < z < 2 ;

S3 = x2 + y2 = 1 , 0 < z < 1 ;

S4 = (z − 1)2 = x2 + y2 , −1 < z < 0 ,orientadas todas ellas de manera acorde con una de las orientaciones de S como cadenaorientable. Calcular el flujo del campo F (x, y, z) =

(1, 0, x2

)a través de S.

13.42 Se considera la superficie S1 obtenida al girar en torno al eje OZ la curva contenidaen el plano OXZ de ecuación

z = (x2 − 1)(x2 − 4), x ∈ (−2, 2).I) Determínese una parametrización de dicha superficie y el vector normal correspondiente

de manera que su tercera componente sea positiva.

II) Hallar el flujo del campo F (x, y, z) = (x, y, 0) a través de S1.

III) Se considera el sólido V limitado por S1, el cilindro vertical S2 dado por

x2 + y2 = 4,−94< z < 0,

y el círculo S3 dado por

x2 + y2 < 4, z =−94.

Hallar el flujo de F a través de estas otras dos superficies.

IV) Utilizando los apartados anteriores, calcular el volumen de V .

13.43 (Fórmula de integración por partes).

I) Sea Γ una curva de clase C 1 a trozos de extremos x0 y x1, y f , g funciones de clase C 2 enun abierto que contiene a Γ. Probar que

∫

Γ

f∇g · dr = f(x1) g(x1)− f(x0) g(x0)−∫

Γ

g∇f · dr.

II) Sean S una cadena orientable de superficies y f , g dos funciones de clase C 2 en unabierto que contiene a S ∪ ∂S. Probar que

∫

S

(∇f ×∇g

)· n dσ =

∫

∂S

f∇g · dr = −∫

∂S

g∇f · dr.

III) Sean U un abierto acotado y con frontera regular a trozos de R3 y f , g dos funciones declase C 2 en un abierto que contiene a U . Probar las siguientes fórmulas, conocidas comoidentidades de Green:∫∫∫

U

f ∆g dx dy dz =

∫

∂U

f∇g · n dσ −∫∫∫

U

∇f · ∇g dx dy dz,∫∫∫

U

f ∆g dx dy dz =

∫

∂U

(f∇g − g∇f

)· n dσ +

∫∫∫

U

g∆f dx dy dz.

IV) Si en cualquiera de los tres apartados anteriores, una de las dos funciones se anula enel borde de la curva, superficie o abierto correspondientes, ¿qué se puede decir?

13.44 Sea S la esfera de centro 0 y radio r > 0, orientada según la normal exterior.

I) Calcular∫

S

(z, x, y) · n dσ.

II) Calcular∫

S

(x2, 0, 0) · n dσ.



13.45 Sea a una constante real positiva. Hallar la integral del campo F (x, y, z) = (xz, 2yz, z2)a través de la cadena de superficies cerrada S contenida en el semiespacio z ≥ 0 y formadapor el plano z = 0, el cilindro y2 = ax− x2 y la superficie cilíndrica z2 = 4ax.

13.46 Se considera la superficie de revolución cerrada S que resulta de girar la gráfica dela función z = f(x) = 2x − x2, x ∈ [0, 2], alrededor del eje OX. Si F es el campo F (x, y, z) =(x2, xy, xz), calcular ∫

S

F · n dσ

cuando en S se considera la orientación dada por la normal exterior.

13.47 Sea M la superficie de revolución obtenida al girar alrededor del eje OZ la curva (enel plano XZ) de ecuación

z = cos(x), 0 < x < π.

Se considera el campo F (x, y, z) = (y + ez,−x + ez, z). Calcular el flujo de F a través de Mcuando se considera la orientación dada por el vector normal a la superficie con terceracomponente positiva.

13.48 Se considera la pirámide cuya base es el cuadrado de vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0) y(0, 1, 0), y cuya cúspide es el punto (1/2, 1/2, 1). Si S es la superficie dada por las cuatro caraslaterales de la pirámide y F es el campo dado por

F (x, y, z) = (xez, yez, yex),

calcular el flujo de F a través de S cuando en ésta se considera la orientación dada por lanormal que tiene la tercera componente positiva.

13.49 Sea V el conjunto de los puntos (x, y, z) de R3 que verifican las relaciones

x > 0, y > 0, z > 0, x2 + y2 < 1, x2 + y2 > 2y, z < x2 + y2.

Si S es la parte de la frontera de V no contenida en el paraboloide z = x2+y2, orientada segúnla normal exterior a V , calcular ∫

S

(y,−x, z) · n dσ.

13.50 (Ley de Gauss) En un medio homogéneo se encuentran situadas un número finito decargas eléctricas, digamos en los puntos x1,x2, . . . ,xn con intensidades q1, q2, . . . , qn, respecti-vamente. Se supone que S es una superficie cerrada y regular a trozos, frontera del abiertoV , sobre la que no se encuentra ninguna de las cargas (xi /∈ S). Demostrar que el flujo delcampo eléctrico producido por dichas cargas a través de S es igual a

4πK∑

i:xi∈V

qi

siendo K una constante (la de proporcionalidad de la ley de Coulomb, que depende del siste-ma de unidades).

Apéndice A

Cónicas y Cuádricas

La inclusión de esta materia, propia de un curso de Álgebra y Geometría Lineales, no tieneotra pretensión que la de proporcionar un prontuario útil sobre las curvas y superficies mássencillas y familiares.

A.1. Cónicas en R2

Entre las curvas planas definidas implícitamente, aparte de las rectas, cabe destacar porsu sencillez las que vienen dadas como el conjunto C de las raíces de un polinomio de grado2 en las variables (x, y).

Definición A.1. Se denomina cónica al conjunto C de soluciones de una ecuación del tipo

Q(x, y) = a11 x2 + 2 a12 x y + a22 y

2 + 2 b1 x+ 2 b2 y + c = 0. (A.1)

Obviamente, la ecuación (A.1) puede no tener soluciones reales, como x2 + y2 + 1 = 0;hablamos en este caso de cónicas imaginarias.

También puede ser que, siendo C 6= Ø, en alguno de sus puntos p no tenga estructuradiferenciable (esto sucede si ∇Q(p) = 0); por ejemplo,

C =(x, y) ∈ R2 : x2 − y2 = 0

es la unión de dos rectas (las bisectrices de los ejes coordenados) y alrededor del punto (0, 0) ∈C no se puede dar una carta local. En estas situaciones se habla de cónicas degeneradas.

Aunque las propiedades locales (recta tangente, etc.) de una cónica se deducen a partirdel teorema de la función implícita 3.21, éste no dice nada acerca de las propiedades globales(si el conjunto C es acotado o no, cuántas componentes conexas tiene, etc.). No obstante esposible clasificar estos objetos atendiendo a esos aspectos globales mediante unas caracte-rísticas invariantes por cambios de referencia afín. Con la notación de (A.1) definamos parael polinomio Q las siguientes constantes:

∆1 =

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 b1a12 a22 b2b1 b2 c

∣∣∣∣∣∣, ∆2 =

∣∣∣∣a11 a12a12 a22

∣∣∣∣ ,

∆3 = ∆2 +

∣∣∣∣a11 b1b1 c

∣∣∣∣+∣∣∣∣a22 b2b2 c

∣∣∣∣ , T = a11 + a22 .

Si se considera una transformación afín A(x) = Lx + β, con L aplicación lineal invertible yβ = (β1, β2) un punto de R2, que matricialmente se representa por

A(x) =

(α11 α12

α21 α22

)(xy

)+

(β1β2

),

entoncesP (x, y) = Q

(A(x, y)

)= a′11 x

2 + 2 a′12 x y + a′22 y2 + 2 b′1 x+ 2 b′2 y + c′

es otro polinomio de grado dos y aunque para éste las correspondientes constantes ∆1, ∆2,∆3 y T son posiblemente distintas, permanecen inalterados el signo de ∆2 y ∆3, y el hecho deque ∆1 sea nulo o no; estos son los invariantes a los que hacíamos referencia.

209

210 Apéndice A. Cónicas y Cuádricas

En la tabla A.1 se presenta la clasificación de las cónicas citando su nombre, dando algu-nos ejemplos sencillos, los valores de los invariantes que corresponden (un espacio en blancosignifica ausencia de restricciones) y una somera representación gráfica de una porción aco-tada de una curva de cada tipo. Entre las cónicas no degeneradas (∆1 6= 0) las elipses son lasúnicas acotadas (entre estas se encuentran las circunferencias) y, al igual que las parábolas,son conexas; las hipérbolas tienen dos componentes conexas, a las que se denomina ramas.

Curva Ejemplos ∆1 ∆2 T ·∆1 ∆3

Elipsex2 + y2 = r2

x2 + 2 y2 = 46= 0 > 0 < 0

Elipse imaginaria x2 + y2 = −1 6= 0 > 0 > 0

Hipérbolax y = 1

y2 − x2 = 16= 0 < 0

Parábolay = x2

x = y26= 0 = 0

Rectas secantesx y = 0

x2 = y2= 0 < 0

Rectas secantes

imaginariasx2 = −y2 = 0 > 0

Rectas coincidentesx2 = 0

(x− y)2 = 0= 0 = 0 = 0

Rectas paralelasx2 = 1

(x− y)2 = 1= 0 = 0 < 0

Rectas paralelas

imaginariasx2 = −1 = 0 = 0 > 0

Tabla A.1: Clasificación de cónicas.

A.2. Cuádricas en R3

Si exceptuamos las variedades afines (los planos en R3), las superficies definidas implíci-tamente más simples son aquéllas que aparecen como soluciones de ecuaciones cuadráticas.La situación es similar a la de las cónicas, con la consiguiente complicación por el aumentode dimensión.

Definición A.2. Una cuádrica es el conjunto C de soluciones de una ecuación Q(x, y, z) = 0,siendo Q un polinomio de grado 2 con coeficientes reales:

Q(x, y, z) = a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2(a12x y + a13x z + a23y z) + 2(b1x+ b2y + b3z) + c. (A.2)

Como en el caso de las cónicas, si la ecuación Q(x, y, z) = 0 no tiene soluciones realeshablamos de cuádricas imaginarias. Asimismo si en algún punto p del conjunto S =

(x, y, z) :

Q(x, y, z) = 0

se tiene que ∇Q(p) = 0 se dice que la cuádrica S es degenerada.


A.2. Cuádricas en R3 211

Como en el caso de las cónicas es posible clasificar las cuádricas en función de unosinvariantes que permanecen inalterados por cambios de referencia afín. Si el polinomio Q seescribe como en (A.2) se definen para él las matrices

M =

a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

, M∗ =

a11 a12 a13 b1a12 a22 a23 b2a13 a23 a33 b3b1 b2 b3 c

,

y los números

ρ = rango(M), ρ∗ = rango(M∗), ∆ = det(M∗) ,

K =

0 si M tiene un autovalor positivo y otro negativo,

1 en otro caso.

Si se considera en R3 una transformación afín A(x) = Lx + β, con L aplicación linealinvertible y β un punto de R3, entonces

P (x, y, z) = Q(A(x, y, z)

)

es otro polinomio de grado dos. Para éste son iguales los rangos ρ y ρ∗ de las matrices decoeficientes, el indicador K y el signo de ∆.

En las tablas A.2 y A.3 se presenta la clasificación de las cuádricas citando su nombre, unejemplo sencillo, los valores de los invariantes que corresponden y una somera representacióngráfica de una porción acotada de una superficie de cada tipo (excepto en el caso de pares deplanos, que el lector podrá visualizar fácilmente).

Superficie Ejemplos ρ ρ∗ ∆ K

Elipsoide

imaginario

x2

a2+y2

b2+z2

c2= −1 3 4 > 0 1

Elipsoidex2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 3 4 < 0 1

Hiperboloidede una hoja

y2

b2+z2

c2=x2

a2+ 1 3 4 > 0 0

Hiperboloidede dos hojas

y2

b2+z2

c2=x2

a2− 1 3 4 < 0 0

Paraboloidehiperbólico

x2

a2− y2

b2= z 2 4 > 0 0

Paraboloideelíptico

x =y2

b2+z2

c22 4 < 0 1

Tabla A.2: Clasificación de cuádricas I.- ∆ 6= 0.


212 Apéndice A. Cónicas y Cuádricas

Entre las cuádricas de la tabla A.2, que son no degeneradas, la única acotada es el elip-

soide. Todas son conexas excepto el hiperboloide de dos hojas, que tiene dos componentesconexas (las denominadas hojas). El hiperboloide de una hoja y el paraboloide hiperbólico (co-nocido popularmente como silla de montar) son, además, superficies regladas, es decir, sepueden construir como unión de rectas.

Sugerimos al lector que, sobre los ejemplos indicados, examine cómo son las secciones deestas superficies por planos paralelos a los coordenados; esto le ayudará a comprender mejorla geometría de estos objetos y la razón de los nombres que se les dan.

Superficie Ejemplos ρ ρ∗ K

Cono elíptico imaginario x2 + y2 + z2 = 0 3 3 1

Cono elípticox2

a2=y2

b2+z2

c23 3 0

Cilindro elíptico imaginario x2 + y2 = −1 2 3 1

Cilindro elípticoy2

b2+z2

c2= 1 2 3 1

Cilindro hiperbólicox2

a2− y2

b2= 1 2 3 0

Cilindro parabólico z = a y2 1 3

Planos secantes imaginarios x2 + y2 = 0 2 2 1

Planos secantes x2 − y2 = 0 2 2 0

Planos paralelos imaginarios x2 = −1 1 2

Planos paralelos x2 = 1 1 2

Planos coincidentes z2 = 0 1 1

Tabla A.3: Clasificación de cuádricas II.- ∆ = 0, ρ∗ ≤ 3.

Como se puede apreciar en las figuras de la tabla A.3, ninguna de esas cuádricas esacotada. Salvo los cilindros hiperbólicos y los pares de planos paralelos, que tienen dos hojas,las demás son conexas. Los conos y los pares de planos secantes son cuádricas degeneradas(no es posible definir el plano tangente en alguno de sus puntos). Todas ellas son superficiesregladas (es bien conocida la definición clásica de algunas de estas figuras mediante rectas

generatrices).

Observación A.3. En realidad el término cuádrica se refiere al conjunto de ceros de un po-linomio de grado 2 en un espacio euclídeo de cualquier dimensión. Ahora bien, si se fija uncono, al considerar las secciones por todos los planos de R3 se obtienen las denominadas sec-

ciones cónicas. Eligiendo un sistema de referencia afín en el plano de corte, las coordenadasrelativas a esa referencia de los puntos de la sección cónica verifican una ecuación del tipo(A.1); es decir, las curvas que aparecen son precisamente todas las definidas en A.1, lo quejustifica el nombre que se les da a las cuádricas en dimensión 2.

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En Internet:(Se ha comprobado la accesibilidad a las URL citadas a continuación en la fecha deedición de estas notas: 3 de junio de 2014 . La permanencia o modificación en la actividadde estas direcciones es potestad de sus propietarios)

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[72] WolframMathWorld (por Eric Weisstein con recursos de Wolfram Research),

URL: http://mathworld.wolfram.com/

[73] WolframAlphacomputationalknowledge engine (implementación “on line” del programa de cálculo simbólico

Mathematica c©, y más),

URL: http://www.wolframalpha.com/

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URL: http://eom.springer.de/

[76] PlanetMath (enciclopedia colaborativa bajo licencia GNU Free Documentation),

URL: http://planetmath.org/

[77] redemat.com (recursos de Matemáticas en Internet, por Flavio Piñeiro),

URL: http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html

[78] El paraíso de las Matemáticas (recursos de matemáticas de nivel preuniversitario yuniversitario, software relacionado, etc.; coordinado por Grupo “El Paraíso”)

URL: http://www.matematicas.net/

[79] MIT Open Courseware (diverso material multimedia de libre disposición ofrecido por elprestigioso Massachusetts Institute of Technology)

URL: http://ocw.mit.edu/courses/#mathematics

[80] Wikis (los ya familiares artículos de conocimiento colaborativo organizados de formajerárquica según las divisiones de la materia)

URL: http://en.wikiversity.org/wiki/School:Mathematics

URL: http://es.wikibooks.org/wiki/Categoría:Matemáticas

URL: http://es.wikibooks.org/wiki/Matemáticas

URL: http://en.wikibooks.org/wiki/Mathematical_analysis

215

Índice de notación

N, Z, Q, R, C Conjuntos de los números naturales, enteros,racionales, reales y complejos.

⌊x⌋, x Parte entera, parte fraccionaria: x = ⌊x⌋+ x.ınf, sup Ínfimo o extremo inferior, supremo o extremo superior.

mın, max Mínimo y máximo.

exp(x) = ex Función exponencial.

log(x) = ln(x) Logaritmo neperiano.

sen, cos, tg Funciones trigonométricas.

arcsen, arccos, arctg Funciones inversas de trigonométricas.

Sh, Ch, Tgh Funciones hiperbólicas.

ArgSh, ArgCh, ArgTgh Funciones inversas de hiperbólicas.

Rn Espacio euclídeo de dimensión n.

x = (x1, x2, . . . , xn) Vector o punto de Rn.

x · y = 〈x,y〉 Producto escalar en Rn.

‖x‖, ‖x‖1, ‖x‖∞ Normas de un vector.

πi:Rn → R Proyección i-ésima en Rn.

d(x,y) Distancia entre dos puntos.

δ(A) ó diam(A) Diámetro del conjunto A.

B(x, r), B(x, r), S(x, r) Bola abierta, bola cerrada y esfera.

A, A = cl(A), A′, Fr(A) Interior, adherencia o clausura, derivado, frontera de A.

xk∞k=1, lımk→∞

xk Sucesión de elementos de Rn, límite de una sucesión.

f = (f1, f2, . . . , fm) Función a valores en Rm, campo vectorial.

lımx→a

f(x), f(x) −→x→a

l,

lımx→ax∈B

f(x) Límite de una función.

lım infn→∞

an, lım supn→∞

an Límites inferior y superior de una sucesión.

an ↑n→∞

a, an ↓n→∞

a Sucesión monótona de números reales que tiene límite a.

dvf = Dvf Derivada direccional.

Dif =∂f

∂xiDerivada parcial de primer orden.

df(x0) = f′(x0) Diferencial.

∂(f1, f2, . . . , fm)

∂(x1, x2, . . . , xn)Matriz jacobiana.

217

∂m1+m2+...+mnf

∂xm11 ∂xm2

2 . . . ∂xmnn

Derivada parcial sucesiva.

Tk(f,x0), Rk(f,x0) Polinomio y resto de Taylor.

Hf Matriz hessiana.

Jf Determinante jacobiano.

χE Función característica de un conjunto.

f χE Extensión de la función f (por 0 fuera de E).

md(E) = m(E) Medida d-dimensional de un conjunto.∫Af =

∫Af(x) dx =

∫Af(x) dm(x)

=∫Af(x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn Integrales en Rn.

∫∫Af ,

∫∫∫Af Integrales en R2 y R3.

f+, f− Partes positiva y negativa, resp., de la función f .

sop(f) Soporte de la función f .

cK Centro de masa, carga, etc., de un conjunto.

f1 ⊗ f2 ⊗ · · · ⊗ fn Producto tensorial de funciones. Función devariables separadas.

Γ, B Funciones eulerianas Gamma y Beta.

f ∗ g Producto de convolución de funciones.

f = F(f) Transformada de Fourier de f .

L(f) Transformada de Laplace de f .

σf Abscisa de convergencia de L(f).

TS(p) espacio tangente a la variedad S en el punto p.

∇f Gradiente de un campo escalar.

rotF = curlF = ∇× F Rotacional de un campo vectorial.

divF = ∇ · F Divergencia de un campo vectorial.

∆f = ∇2f Laplaciano de un campo escalar.

long(γ) Longitud de una curva.∫γf dr =

∫γf Integral de un campo escalar en una curva.

∫γF · dr = Integral de un campo vectorial∫

γ(F1 dx1 + . . .+ Fn dxn) a lo largo de una curva.

∮γF · dr = Circulación de un campo vectorial∮

γ(F1 dx1 + . . .+ Fn dxn) a lo largo de una curva cerrada.

∂D Frontera regular a trozos o borde de un abierto.

∂S Borde de una superficie.

dσ(u, v) Elemento de área asociado a una parametrización.

A(S) Área de una superficie.∫Sf dσ =

∫Sf Integral de un campo escalar en una superficie.

∫SF · n dσ = Integral o flujo de un campo vectorial∫

S(F1dy∧dz+ F2 dz∧dx+F3 dx∧dy) a través de una superficie.

218

Índice alfabético

A,Abel, Niels Henrik, 57, 132aplicación

– abierta, 42– bilineal, 11

– simétrica, 11– contractiva, 41– isometría, 41– lineal, 11– lipschitziana, 41– multilineal, 199

aproximación de la identidad, 130aproximaciones sucesivas, 42arco o camino, 15área

– de una superficie, 188– de una variedad, 188

Arquímedes de Siracusa, 168, 179, 180astroide, 179, 182

B,Banach, Stefan, 41banda de Möbius, 187Bernstein, Sergei N., 59, 60bola

– abierta, 2– cerrada, 2

Bolzano, Bernhard, 12borde

– de un abierto con frontera regular atrozos, 196

– de un conjunto en R2, 174– de una cadena de superficies, 194– de una curva, 171– de una superficie orientada, 192

Borel, Emile, 12

C,cadena

– de curvas orientadas, 177– de dominios con borde, 177– de superficies, 194

– cerrada o sin borde, 195– orientable, 194

cambio de parámetros, 154, 186cambio de variables, 111

– cambio de referencia afín, 112– coordenadas cilíndricas, 113– coordenadas esféricas, 114

– generalizadas, 115– coordenadas polares, 113

– transformación de símplices en cu-bos, 116

campo– conservativo, 157– escalar, 155– incompresible, 161– irrotacional, 160– newtoniano, 165– solenoidal, 161– vectorial, 155

Cantor, Georg F., 13, 76Carathéodory, Constantin, 79cardioide, 118, 179, 182Cartan, Élie Joseph, 109, 198(propiedad cierta) casi siempre, 72Catalan, Eugène C., 109Cauchy, Augustin Louis, 2, 24, 45, 55, 56Cavalieri, Bonaventura F., 102celda o multiintervalo, 69centro de un conjunto

– de masa, 97– relativo a una densidad, 97

Chebyshev, Pafnuty L., 102cicloide, 179, 182cilindro

– elíptico, 212– hiperbólico, 212– parabólico, 212

circulación de un campo– a lo largo de una curva, 171– en el borde de un abierto de Jordan,

176Clairaut, Alexis C., 29codimensión, 144componente normal u ortogonal, 191componente tangencial, 191condiciones de ligadura, 145cónica, 209

– degenerada, 209– imaginaria, 209invariantes de una –, 209

conjunto– abierto, 3

– con frontera regular a trozos, 196– de Jordan, 174– simple o proyectable, 196– simple o proyectable sobre un eje,

174– abierto en otro, 10– acotado, 3– arco-conexo o conexo por arcos, 15– cerrado, 4

219

– cerrado en otro, 10– compacto, 12– conexo, 14– convexo, 15– de Cantor, 76– de Vitali, 103– de medida nula, o despreciable, 71– de nivel o isotímico, 155– denso en otro, 5– discreto, 5– elemental, 70– estrellado, 15– integrable, 80– múltiplemente conexo, 175– medible, 91– simplemente conexo, 158, 174adherencia o clausura de un –, 4componente conexa de un –, 15derivado de un –, 5distancia entre – s, 3exterior de un –, 5frontera de un –, 5interior de un –, 3proyección de un –, 98sección de un –, 98

cono, 212contenido de Jordan, 72, 92convolución, 129coordenadas

– baricéntricas, 116– cartesianas, 1– cilíndricas, 49, 113– esféricas, 49, 114– esféricas generalizadas, 115– polares, 49, 113, 179

Cramer, Gabriel, 41, 43Criterio

– de Dirichlet, 57– de Leibniz, 57– de Riemann-integrabilidad, de Lebes-

gue, 83– de Sylvester, 33– de Tonelli, 100– de Weierstrass, 57– de comparación (para integrales), 84,

92– de convergencia uniforme de Cauchy,

55, 56– secuencial de la continuidad, 9– secuencial para límites, 7

cuádrica, 210– degenerada, 210– imaginaria, 210

cubo, 70curva, 142

– con borde, 171– de Jordan, 174– paramétrica, 153

– cerrada, 153

– de clase C k a trozos, 168– equivalente a otra, 154– rectificable, 167– regular, 153– regular a trozos, 168– simple, 153orientación de una –, 170origen, extremo, de una –, 153punto regular de una –, 153soporte de una –, 153vector tangente a una –, 153

D,D’Alembert, Jean, 23Daniell, Percy John, 79Darboux, Jean Gaston , 83delta de Dirac, 96, 131derivada

– direccional, 23– parcial, 23

– de orden superior, 28derivada exterior, 200Descartes, René, 1Desigualdad

– de Cauchy-Schwarz, 2– de Chebyshev, 102– de Young, 105– triangular, 2

determinante jacobiano, 42diámetro, 3difeomorfismo o cambio de variables, 44diferencial, 24

– de orden superior, 31Dini, Ulisse, 45, 55Dirac, Paul, 96Dirichlet, Lejeune, 57, 84divergencia, 161dominio de Jordan, 174

E,ecuación

– de Laplace, 37– de ondas, 49– del calor, 37– diferencial, 44

elemento de área, 188elemento de longitud, 169elipse, 182, 210elipsoide, 212energía potencial, 173entorno, 3esfera, 2, 194espacio

– de medida, 96– euclídeo, 2– métrico, 2

– completo, 42– medible, 96– normado, 13

220

– topológico, 4– normal, 13

Espacios funcionales– C k, C 0, C∞, 28, 156– Cc, 90– C∞

c , 137– C0(R

n), 129– L = L 1, L p, 80, 94– L1, 81– L 1

loc(V ), 130– L 1

loc(R+), 133– T k(V ), 199– Λk(V ), 200

espiral, 179espiral de Arquímedes, 168, 179, 180Euclides de Alejandría, 1Euler, Leonhard, 23, 109, 123, 126, 162exponencial compleja, 104, 132extremo

– absoluto, 8– relativo o local, 32

– estricto, 17, 32– sujeto a condiciones de ligadura,

145condiciones necesarias de –, 32, 34,

146condiciones suficientes de –, 34, 146

F,Fatou, Pierre, 83, 87flujo de un campo

– a través de una cadena de superfi-cies, 195

– a través de una superficie, 190forma cuadrática, 11, 33

– definida, 33– indefinida, 33– semidefinida, 33

forma diferencial, 200Fórmula

– de Gauss-Ostrogradski o de la diver-gencia, 197

– de Riemann-Green, 176– de Stirling, 126– de Stokes o del rotacional, 194– de Taylor, 30– de duplicación de B, 127– de duplicación de Legendre, 127– de expansión de Euler, 162– de integración por partes, 207– de los complementos, 127– de multiplicación de Gauss, 127– de sumación por partes de Abel, 57

Fourier, Jean Baptiste J., 66, 90, 132Fraenkel, Adolf Abraham, 94Fubini, Guido, 99función

– Beta de Euler, 127– Gamma de Euler, 126

– acotada, 8– armónica, 163– característica, 73– complementaria de error, 139– continua, 9– de Heaviside o escalón unidad, 138– de clase C k, k ∈ N, 28– de densidad, 97– de error, 139– de orden exponencial, 138– de variables separadas, 22– derivable, 23– derivada parcial, 28– diferenciable, 24– escalonada, 73– gaussiana, 96, 138– implícita, 45– integrable, 79, 83, 94– límite puntual, 54– lagrangiana, 146– localmente integrable, 130, 133– medible, 91, 94– meseta, 137, 178– numerablemente escalonada, 86– potencial, 157– separadamente continua, 19– suma, 56– uniformemente continua, 10sección de una –, 98

G,Gauss, J. Carl Friedrich, 109, 127, 138,

197, 198, 208gradiente, 26, 157Gram, Jorgen P., 1Green, George, 176

H,Hankel, Hermann, 132Heine, Eduard, 12, 13Hesse, Ludwig Otto, 33Hilbert, David, 132hipérbola, 210

ramas de una –, 210hiperboloide

– de dos hojas, 212– de una hoja, 212

hipersuperficie, 142homeomorfismo, 12

I,Identidades de Green, 207inmersión, 47, 142integración por secciones planas, 101integral

– de Lebesgue, 80, 94– de Riemann, 83, 93– de un campo escalar

– a lo largo de una curva, 169

221

– en una superficie, 189– de un campo vectorial

– a lo largo de una curva, 171– en una superficie, 190

– de una función escalonada, 74– flechada, 125– paramétrica, 123

intervalo en Rn, 4, 69isometrías o movimientos, 113

J,Jacobi, Carl Gustav, 25, 109Jordan, Camille, 72, 92, 174

K,Kuhn, Harold, 147

L,Lagrange, Joseph Louis, 25, 45, 145Landau, Edmund Georg, 32, 60Laplace, Pierre Simon, 37, 133, 163laplaciano, 163Lebesgue, Henri Léon, 60, 79, 82, 93Legendre, Adrien-Marie, 127Leibniz, Gottfried von, 23, 24, 45, 57, 123Lema

– de Fatou, 83, 87– de Poincaré, 159, 160, 162, 201– de Riemann-Lebesgue, 90, 132– de Urysohn, 13

Levi, Beppo, 82Ley de Gauss, 197, 208límite

– de una función, 7– iterado, 9– siguiendo un subespacio, 7

– de una sucesión, 6, 83línea de corriente o de flujo, 156Lipschitz, Rudolf, 41longitud (de una curva rectificable), 167

M,matriz

– hessiana, 33– jacobiana, 25

máximo– absoluto, 8– relativo o local, 32

medida– δ de Dirac, 96– de Lebesgue, 80– de probabilidad, 96– de un conjunto elemental, 71– de un intervalo, 69– positiva (abstracta), 96

Mellin, Robert Hjalmar, 132métrica o distancia, 2mínimo

– absoluto, 8

– relativo o local, 32Mittag-Leffler, Magnus Gösta, 60Möbius, August F., 187momento de inercia, 97Montel, Paul Antoine, 60multiplicadores de Lagrange, 145

N,Newton, Isaac, 165norma, 2

– euclídea, 2– s equivalentes, 13

normal exterior– a un abierto con frontera regular a

trozos, 197– a un abierto de Jordan, 175

núcleo integral, 132

O,operador (lineal), 156operador diferencial, 31, 44, 157orientación, 170, 186

– de una cadena de superficies, 194– de una variedad diferenciable, 187– inducida en el borde de una cadena

de superficies, 194– inducida en el borde de una superfi-

cie orientada, 192– inducida por un abierto de Jordan en

su borde, 175– inducida por un abierto en su borde,

197– positiva, directa o antihoraria, 175

Ostrogradski, Mijaíl V., 109, 198

P,parábola, 210paraboloide

– elíptico, 211– hiperbólico, 212

parametrización, 153, 185particiones de la unidad, 178Peano, Giuseppe, 77Picard, Charles Emile, 41, 60plano tangente, 26Poincaré, Jules Henri, 159, 198polinomio

– de Bernstein, 59– de Taylor, 30– trigonométrico, 60

politopo, 152potencial escalar, 157potencial vectorial, 162Principio de Cavalieri, 102probabilidad, 96

distribución de – gaussiana, 96producto

– escalar o interno, 2– exterior de tensores, 200

222

– tensorial de funciones, 21, 86, 199– vectorial en R3, 186

proyección estereográfica, 193proyección ortogonal, 191proyecciones en Rn, 10punto

– adherente, 4– aislado, 5– crítico, 32

– no degenerado, 48– de acumulación, 5– de silla, 32– exterior, 5– fijo, 41– frontera, 5– interior, 3

R,recta generatriz, 212recubrimiento, 12

– abierto, 12Regla

– de Barrow, 84, 173– de la cadena, 27– del sacacorchos, 192

resto de Taylor, 30Riemann, G.F. Bernhard, 72, 83, 93, 176Riesz, Frigyes, 13, 79rotacional, 160Rouché, Eugène, 41

S,σ-álgebra, 96símplice o simplex, 116Sard, Arthur, 77Schmidt, Erhard, 1Schwarz, Hermann A., 2, 29, 189secciones cónicas, 212semiintervalo, 70serie de Fourier, 66, 90serie de Taylor, 65serie funcional, 55

– absolutamente convergente, 56– convergente, 56– normalmente convergente, 56

serie trigonométrica, 66Sierpinski, Waclaw, 100silla de montar, 212Solovay, Robert M., 94soporte de una función, 90, 128Stirling, James, 126Stokes, George G., 193, 196Stone, Marshall, 60, 61, 79subespacio

límite siguiendo un –, 7topología de –, 10

submersión, 47sucesión

– acotada, 6

– convergente, 6– de Cauchy, 7rango de una –, 6

sucesión expansiva de compactos, 20sucesión funcional, 53

– de Cauchy uniformemente, 55– monótona, 53– puntualmente convergente, 54– uniformemente acotada, 53– uniformemente convergente, 54

sucesión fundamental (de funciones esca-lonadas), 75

sucesión regularizante, 132suma de curvas, 168suma de superficies, 194superficie, 142

– con borde, 192– elemental orientada, 190– paramétrica, 185

– equivalente a otra, 186– regular, 185– simple, 185orientación de una –, 186plano tangente a una –, 185punto regular de una –, 185soporte de una –, 185vector normal a una –, 185vectores tangentes a una –, 185

– reglada, 212supremo e ínfimo esenciales, 77Sylvester, James Joseph, 33

T,Taylor, Brook, 30tensor, 199

– alternado, 199, 200Teorema

– de Bernstein, 59– de Bolzano-Weierstrass, 12– de Dini, 55– de Fubini, 99– de Heine-Borel, 12– de Heine-Cantor, 13– de Kuhn-Tucker, 147– de Riesz, 13– de Schwarz, 29– de Stokes, 196

– para superficies elementales, 193– de Stone-Weierstrass, 61– de Stone-Weierstrass, versión com-

pleja, 61– de Weierstrass, 12

– para funciones escalares, 12– de Young, 29– de aproximación polinomial, de

Weierstrass, 60– de aproximación trigonométrica, de

Weierstrass, 60– de completitud de L1, 81

223

– de continuidad– de integrales paramétricas, 123– de integrales params. flechadas, 126– de la suma uniforme, 57– del límite puntual uniforme, 55

– de densidad de las funciones escalo-nadas, 81

– de derivabilidad– de integrales paramétricas, 124– de integrales params. flechadas, 126– de la función suma, 58– del límite puntual, 58

– de inmersión, 47– de itegrabilidad

– de la función suma, 59– del límite puntual, 58

– de la convergencia dominada, de Le-besgue, 82

– de la convergencia monótona, de Le-besgue, 82

– de la convergencia monótona, de Le-vi, 82, 87

– de la curva de Jordan, 174– de la divergencia o de Gauss - Ostro-

gradski, 198– de las funciones implícitas, 45– de las funciones inversas, 42– de los multiplicadores de Lagrange,

145– de submersión, 47– de unicidad (en series de Fourier), 67– del cambio de variables, 111– del punto fijo, de Banach, 41– del rango constante, 47– del valor medio, 28– fundamental de la programación li-

neal, 152Tonelli, Leonida, 100trabajo a lo largo de una curva, 172transformación (lineal) elemental, 110transformada

– de Fourier F, 132– de convoluciones, 133derivación de la –, 133

– de Laplace L, 133– de convoluciones, 134– de derivadas, 134– del integrador, 134derivación de –, 134valor final de la –, 134

trayectoria, 154tubo de campo o de flujo, 156Tucker, Albert William, 147

U,Urysohn, Pavel, 13

V,variedad diferenciable, 77, 141

– elemental o simple, 141– orientable, 187

atlas orientado de una –, 187atlas de una –, 141cambio de carta en una –, 143, 187carta o parametrización local de una –,

141compatibilidad de cartas de una –, 143dimensión de una –, 141espacio tangente a una –, 142vector tangente a una –, 142

vértice o punto extremal, 152Vitali, Giuseppe, 94, 103Volterra, Vito, 60

W,Weierstrass, Karl, 12, 57, 60, 61

Y,Young, William H., 29, 79, 105

Z,Zermelo, Ernst F.F., 94Zorn, Max August, 94

224

Fé de erratas (de la versión de septiembre de 2013)

Aunque, a medida que se detectan los errores, se van efectuando las correspondientescorrecciones y actualizando el documento, no es necesario volver a imprimir o fotocopiarestas notas. Es suficiente con anotar de puño y letra los cambios necesarios.

Reitero la solicitud de colaboración; redundará en beneficio de todos los alumnos, presen-tes y futuros, que se me comuniquen los errores que se encuentren durante el manejo deeste documento.

Los errores detectados que se relatan a continuación se indican mediante la página y elnúmero del ítem donde se localiza (un teorema, un ejercicio, etc.). No se incluyen en la listacambios menores (redacciones alternativas pero equivalentes, signos de puntuación, etc.),pues no afectan a la correcta exposición y comprensión de la materia.

pag.ítem donde dice debe decir

121.87

... una biyección f :A → B es un homeo-morfismo si, y sólo si, para cada abierto Vde A ...

... una biyección continua f :A → B esun homeomorfismo si, y sólo si, para ca-da abierto V de A ...

171.13

Para algún n ∈ N ha de ser infinita la inter-sección A ∩B(0, n).

Para algún k ∈ N ha de ser infinita la inter-sección A ∩B(0, k).

181.19.VIII

f(x, y)=

sen(x)−sen(y)

tg(x)− tg(y)si tg(x) 6= tg(y),

0 si tg(x) = tg(y)

f(x, y) =

√

x2 log(1 + y2)

xsi x 6= 0,

0 si x = 0

1057.22

... desigualdad de Hölder ... ... desigualdad de Young ...

1269.9

II) Existe x0 ∈ A tal que la integral flechada∫

→b

aF (x0, y) dy converge ...

... Entonces, para todo x ∈ A converge laintegral flechada de Fx en [a, b). Además lafunción ...

II) Para cada x ∈ A la integral flechada∫

→b

aFx(y) dy converge ...

... Entonces, para todo x ∈ A converge laintegral flechada de Fx en [a, b). Además lafunción ...

15411.3.II

La curva paramétrica ... pero no es una va-riedad diferenciable ...

La curva paramétrica ... pero no define

una variedad diferenciable ...

16411.3

f(x, y) f(x, y, z)

17912.4.IV

f(x, y, z) = x2 + y z f(x, y, z) = x2 − (y − 1)2

3 de junio de 2014

225

c:/tristan · pdf file40008 versión revisada y corregida valladolid, mayo de 2013 latv...

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