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Cuaderno de EXPOMAT ALMERIA 2008Catálogo de la Exposición
AUTORES/ASAlejandro Cardona MenaFrancisco Javier Fernández LópezJosé Francisco García HitaJosé Abel García MasMiguel Jesús Gea LinaresJuan Francisco Guirado GranadosAna Isabel Hernández FloresPedro José Martínez FernándezMarisol Martínez RamosJuani Núñez FernándezRosa Ana Ramírez CamposMaría Fuensanta Sánchez Pérez
COORDINADOR EXPOMAT ALMERIA 2008Juan Francisco Guirado Granados
EDITORASAna Isabel Hernández FloresRosa Ana Ramírez CamposMaría Fuensanta Sánchez Pérez
DISEÑO Escuela Taller Tabernas de Cine - Módulo de diseño web, diseño gráfico y documentalismoDirector: Juan González CalzadaMonitór diseño web y diseño gráfico: Umberto ZanesiAlumnos: Estefanía Soriano Fenoy, Carlos Sanchez Doña, Gema García Cuadrado, Fabiola Soriano Fenoy, Jaime Gonzalez Ibañez, Alba Martínez Martín, Ricardo Contreras Soria, Mª Eugenia Rosa Bonache, María del Carmen Gonzalez Ibañez y Silvia Novo Montero.
Es para la Diputación de Almería un orgullo participar en estas actividades que la Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES de Almería organiza. Una organización repleta de trabajo que queda patente en la celebración de esta nueva edición que recorrerá nuestra provincia. Sin duda, la experiencia adquirida en las ediciones de la Olimpiada Matemática ha sido el germen de nuevas iniciativas, interesantes todas ellas, que THALES, está llevando a cabo.
Los escolares almerienses tienen con esta iniciativa, la oportunidad de participar en asuntos relacionados directamente con su formación académica en una materia, como las matemáticas, que en muchas ocasiones se ha erigido como la gran desconocida del currículum académico.
La olimpiada, a la que antes me refería, está ahora acompañada de la segunda edición del Concurso de dibujo matemático para los alumnos de primaria y también del Concurso de vídeos matemáticos para prácticamente todos los niveles educativos, sin olvidar la nueva edición del Concurso de fotografía para alumnos de Secundaria y Bachillerato.
Queda claro que este trabajo involucra a todos los ciclos escolares y que la participación obtenida en ediciones anteriores, con más de 1600 personas involucradas entre profesores, alumnos y organizadores, es el refrendo de este éxito.
La Diputación de Almería será escenario de una serie de conferencias que irán de la mano de la exposición con diversos materiales matemáticos donde podrán verse omnipoliedros “gigantes”, carteles de “Cine y Matemáticas” de la Escuela de Cine de Tabernas, triángulos de Sierpinski, poliedros regulares con pajitas, láminas acerca de “Dalí y Matemáticas”, caleidociclos, poliedros de bambú, teodolitos y figuras imposibles confeccionadas por alumnos, camisetas con teselaciones, fractales, fotografías y dibujos. Una muestra que no debe dejar indiferente a quienes vayan a visitarla.
No me queda más que felicitar a la nueva Junta directiva de Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES en este curso y animar a todos los alumnos y profesores de nuestra provincia para que participen en los diferentes actos que se han organizado para hacernos más cercanas las matemáticas en todos sus sentidos.
Juan Carlos Usero LópezPresidente de la Diputación de Almería
Inauguramos hoy la Exposición de Material Matemático de Alumnado y Profesorado de la provincia de Almería que organiza la Asociación SAEM Thales en colaboración con la Diputación Provincial, el Ayuntamiento de Tabernas y la Delegación de Educación. Esta exposición es una muestra más de las actuaciones que a lo largo del curso escolar esta asociación organiza para promover las matemáticas como algo que va mucho más allá que una asignatura escolar.
La importancia de la competencia matemática, empleando la terminología al uso, es indiscutible y tiene su razón de ser en la medida en que sus elementos se empleen para solventar situaciones problemáticas de la vida cotidiana y del resto de campos del conocimiento. Esta asociación, a través de sus diversas actividades, hace llegar desde hace tiempo esta idea al alumnado y al profesorado de nuestra provincia. Vivir la matemática en un contexto real es fundamental, enlazando conceptos matemáticos con situaciones concretas, y evitando la “invisibilidad” en lo cotidiano de esta materia fundamental para el desarrollo personal de la ciudadanía. Además, no olvidemos la clara y estrecha relación entre la competencia matemática y la competencia lingüística: el pensamiento matemático demanda procedimientos muy ordenados que sólo pueden reflejarse si se emplea un lenguaje preciso.
Por otro lado, esta actividad, que, además de consistir en la exposición de material realizado por el alumnado y el profesorado de nuestra provincia, incluye una serie de conferencias destinadas al profesorado de matemáticas de nuestros centros educativos, responde a los principales objetivos que nos marcamos desde la Delegación de Educación en cuanto a la formación del profesorado: dar a conocer y sacar a la luz el trabajo y la experiencias del profesorado, difundiendo buenas prácticas docentes. Hasta las conferencias programadas tienen un marcado sesgo práctico al difundir qué se hace en nuestras aulas para desarrollar en el alumnado la competencia matemática y ligarla a situaciones de la vida real.
Quiero aprovechar este momento y este espacio para agradecer al profesorado que imparte las conferencias aportando sus experiencias así como al profesorado de Primaria y Secundaria asistente a las mismas, y por supuesto a los docentes que han participado en la elaboración de los materiales aquí expuestos. Pero permitidme agradecer de una forma especial la participación del alumnado, tanto en lo expuesto como por su asistencia a la exposición, pues no olvidemos que su formación en calidad es nuestro objetivo y a ellos debemos todas nuestras actuaciones.
Reitero mi reconocimiento a la Asociación Thales por acercar las matemáticas a la vida real, por acercar las matemáticas que tradicionalmente hemos considerado como puramente “escolares” a la vida cotidiana. Y por hacerlo de un modo lúdico, cooperativo, fomentando la convivencia y el compañerismo.
Francisco Maldonado SánchezDelegado Provincial de Educación de Almería
MATEMÁTICAS DE CINE
Desde sus orígenes el cine ha tratado en sus diferentes géneros la práctica totalidad de la actividad humana. Dejando a un lado la especificidad del documental, ha divulgado multitud de conocimientos de los que posiblemente de otro modo no tendríamos referencia (historia, literatura, geografía, medicina, ciencia, etc.), nos ha entretenido, y a veces incluso nos ha hecho reflexionar.
Paradójicamente las matemáticas, que han sido clave en el desarrollo científico, artístico, filosófico y fuente inagotable de nuevos recursos tecnológicos con los que cada vez se perfecciona más la realización cinematográfica, no han encontrado en ésta una justa correspondencia en cuanto a la divulgación de sus contenidos, ni siquiera para mostrarnos la vida de sus investigadores, pese a que muchos han gozado o padecido una existencia de lo más cinematográfica.
De hecho, Cine y Matemáticas no parecen en un principio muy afines. El Cine cultiva las emociones y las Matemáticas son el reino de la abstracción. Son muchos los contrastes entre ellos: los personajes y situaciones frente a los conceptos abstractos, el sentimiento frente al rigor lógico, los puntos de vista subjetivos frente a la objetividad de la verdad lógica. Y sin embargo, el Cine se nutre de las Matemáticas de formas varias y con más frecuencia de lo que a primera vista pudiera parecer. Hay películas con una estructura matemática, otras hacen referencia a conceptos matemáticos, en ocasiones aparecen fallos matemáticos, a veces los propios matemáticos son los protagonistas y, de forma más usual, los personajes deben poner en juego su capacidad para resolver problemas de cualquier tipo, una destreza que se asienta sobre una base matemática, más o menos explícita.
Con esta exposición se pretende, no sólo mostrar a modo de catálogo un conjunto de películas, sino tratar de explicar de forma sencilla y breve a un público no necesariamente versado en esta materia, las referencias sobre conceptos, instituciones y personajes de la historia de esta disciplina que se mencionan en dichas películas.
Juan González CalzadaDirector Escuela Taller Tabernas de Cine
ÍNDICE
Cine y matemáticas
Poliedros
Lámparas i.Q.Light
I concurso de fotografía matemática Thales de Almería
I concurso de dibujo matemático Thales de Almería
Fractales con mucha lata
Caleidociclos
Camisetas y mosaicos
Boletín matematico de la ual
Exposición “sistemas de numeración”
Exposición “el número de oro”
Exposición “galería de genios”
Exposición “la vista engaña”
Exposición “matemáticas para sonreir”
Exposición “literatura y matemáticas”
Exposición “medidas tradicionales”
Teodolitos
Carteles de ediciones de olimpiada, conferencias, ingenio, etc
Actividades innovadoras, sudokumanía, cubo mágico
Bibliografía
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CINE Y MATEMÁTICASLas matemáticas son algo cotidiano. No hace falta ser un matemático para poder utilizar matemáticas en una película. Todos pueden hacer matemáticas.
Por otro lado vamos a hablar de las MATEMÁTICAS. Uno de sus objetivos fundamentales, ya desde la edad más temprana, es hacer comprender que todo lo que nos rodea está impregnado de ellas. Frases como “el Universo está controlado por los números” quedan pequeñas si miramos a nuestro entorno, “nuestra vida cotidiana no tendría sentido sin las Matemáticas”.
Nuestros momentos de ocio, en una sociedad cada vez más tecnificada, están ocupados por los amigos, el deporte, la música, el ordenador y en gran medida por el CINE, con increíbles efectos visuales, argumentos atractivos, superproducciones de más o menos presupuesto, que intentan atraer al espectador, acompañadas de una gran dosis de publicidad, que hace que las carteleras vía Internet sean uno de los lugares más visitados.
Esta exposición tiene como objetivos el fomentar el gusto por las Matemáticas a través del CINE, aprovechando su prestigio entre todos y, sobre todo, entre los adolescentes y provocar el gusto por la búsqueda de Matemáticas en el desarrollo de la película tanto implícitas como explícitas. Además de popularizar y divulgar las Matemáticas.
La lista de las películas que hay en la exposición son:
UNA MENTE MARAVILLOSA (2001) 1. GALILEO GALILEI (1974)2. 1492. LA CONQUISTA DEL PARAISO (1991) 3. PERROS DE PAJA (1971)4. BOLA DE FUEGO (1941) 5. NÁUFRAGO (2000)6. LA VERDAD OCULTA (2006)7. EL AMOR TIENE DOS CARAS (1996)8. PI, FE EN EL CAOS (1998) 9. MOEBIUS (1995) 10. PARQUE JURÁSICO I (1993) 11. EL GENIO DEL AMOR (1994) 12. PRESUNTO INOCENTE (1990) 13. ENIGMA (2001) 14. CONTACT (1997)15. ESFERA (1998) 16. LOS FISGONES (1992) 17. CUBE (1997) 18. CUBE 2: HIPERCUBE (2002) 19. CUBE ZERO (2004) 20. EL PEQUEÑO TATE (1991)21. AL ROJO VIVO (1998)22. MATILDA (1996)23. EL INDOMABLE WILL HUNTING (1997) 24. CORTINA RASGADA (1966) 25. PRIMER (2004) 26. MAGNOLIA (1999) 27. EL ENIGMA DE KASPAR HAUSER (1974)28.
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ACADEMIA RUSHMORE (1998) 29. TRON (1982)30. 2001. UNA ODISEA EN EL ESPACIO (1968) 31. 21 GRAMOS (2003) 32. VÉRTIGO (1958)33. GATTACA (1997) 34. FLUBBER Y EL PROFESOR CHIFLADO (1997)35. EL DÍA DE LA BESTIA (1995)36. CALABUCH (1956)37. LA JUNGLA DE CRISTAL 3 (1995) 38. LECCIONES INOLVIDABLES (1988)39. TU NOMBRE ENVENENA MIS SUEÑOS (1996)40. LA MOSCA (1958)41. EL CRIMEN DESORGANIZADO (1997)42. GRANUJAS DE MEDIO PELO (2000)43. EL BUENO, EL FEO Y EL MALO (1996)44. JUEGOS DE GUERRA (1983) 45. REBELDE SIN CAUSA (1955)46. DONALD EN EL PAÍS DE LAS MATEMÁGICAS (1959)47. LOS SIMPSONS Las chicas sólo quieren sumar48. NUMB3RS (2006)49.
UNA MENTE MARAVILLOSA (2001)
Como siempre se nos va a presentar al protagonista, un matemático, con el estereotipo habitual, un chiflado, que llega incluso a la esquizofrenia. Sus trabajos son secundarios en el desarrollo del film.
GALILEO GALILEI (1974)
Sobre la vida de Galileo, sus teorías y descubrimientos, realizada por Joseph Losey a partir de la obra teatral “Vida de Galileo” de Bertolt Brecht.
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ACADEMIA RUSHMORE (1998) 29. TRON (1982)30. 2001. UNA ODISEA EN EL ESPACIO (1968) 31. 21 GRAMOS (2003) 32. VÉRTIGO (1958)33. GATTACA (1997) 34. FLUBBER Y EL PROFESOR CHIFLADO (1997)35. EL DÍA DE LA BESTIA (1995)36. CALABUCH (1956)37. LA JUNGLA DE CRISTAL 3 (1995) 38. LECCIONES INOLVIDABLES (1988)39. TU NOMBRE ENVENENA MIS SUEÑOS (1996)40. LA MOSCA (1958)41. EL CRIMEN DESORGANIZADO (1997)42. GRANUJAS DE MEDIO PELO (2000)43. EL BUENO, EL FEO Y EL MALO (1996)44. JUEGOS DE GUERRA (1983) 45. REBELDE SIN CAUSA (1955)46. DONALD EN EL PAÍS DE LAS MATEMÁGICAS (1959)47. LOS SIMPSONS Las chicas sólo quieren sumar48. NUMB3RS (2006)49.
1492. LA CONQUISTA DEL PARAISO (1991)
Defendiendo su teoría de que la Tierra era redonda, en contra de las teorías de Aristóteles, Eratóstenes y Tolomeo, con los riesgos religiosos que le podrían suponer la vida, Colón pretende añadir una tercera ruta para ir a las Indias, surcando el océano y navegando rumbo Oeste.
BOLA DE FUEGO (1941)
Una serie de eruditos están recluidos en una institución con el fin de realizar la más completa enciclopedia. Uno de ellos es matemático y físico
NAÚFRAGO (2000)
Aparece el número π . El protagonista se dedica a la estimación y optimización. Resuelve un problema para calcular el área estimada de búsqueda de las patrullas de rescate así como numerosos cálculos para determinar el tiempo que necesitará para construir la balsa
LA VERDAD OCULTA (2006)
Catherine, mujer matemática que se ve cuestionada como autora de un teorema, se plantea cuál habrá sido su herencia genética, la locura o la genialidad de su padre. En Matemáticas, para demostrar las hipótesis hace falta una prueba, pero si a la exactitud de las ciencias añadimos la incertidumbre de las relaciones personales, los resultados ya cambian y no existen los axiomas
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PARQUE JURÁSICO I (1993)
Uno de los personajes importantes representa a un matemático. Se utiliza el concepto matemático de la teoría del caos y sus implicaciones filosóficas para explicar el colapso de un parque de atracciones que tiene como espectáculo principal ciertas especies de dinosaurios recreadas artificialmente
MOEBIUS (1995)
Plantea una situación inexplicable, con trasfondo matemático y metáfora filosófica incluida, aunque en este caso no hay Matemáticas explícitas, sólo referencias a la banda de Moebius y a alguna de sus propiedades
EL AMOR TIENE DOS CARAS (1996)
El coprotagonista es un profesor de matemáticas de la Universidad de Columbia, inicialmente estereotipo del matemático, despistado, ensimismado, que abandona cualquier otro placer, pero en el que el amor entrará a formar parte de la ecuación de la vida
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EL INDOMABLE WILL HUNTING (1997)
Un joven superdotado, genio de las Matemáticas, criado en un ambiente marginal, es detenido por la policía. Su única opción para no ir a la cárcel es acudir a clases de Matemáticas y a sesiones de terapia.
NUMB3RS (2006)
Usamos los números todos los días, para predecir el tiempo, para decir la hora, al usar dinero. También los usamos para analizar el crimen, para buscar pautas, para predecir comportamientos. Con los números podemos resolver los mayores misterios que se nos plantean
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POLIEDROS
POLIEDROS REGULARES (Sólidos Platónicos)
Los poliedros regulares son cuerpos cuyas caras son polígonos regulares. Sólo existen 5 poliedros regulares, hecho conocido ya por los griegos. Los únicos que disponen de estructura rígida propia son los formados por triángulos.
Poliedronº caras
cnº vértices
v
nº aristas que se cortan en un
vértice
nº aristasa
Longitud arista*
Tetraedro 4 …… …… 6 2⋅x
Cubo o Hexaedro
6 …… …… 12 x
Octaedro 8 …… …… 12
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⋅x
Dodecaedro 12 …… …… 30
251+−
⋅x
Icosaedro 20 …… …… 30 x
Fórmula de Euler
c + v = a + 2 2
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CONSTRUCCIÓN DE POLIEDROS Y OTROS CUERPOS EN MADERA DE BAMBÚ
MATERIAL
Bolsas de 100 Madera de Bambú (Palos de Pinchitos, Brochetas)
Botes Cola Blanca Rápida CEYS Tamaño Pequeño
Pegamento Instantáneo Cianocrilato con ACELERANTE
Plastilina
Rollos Fixo
Juego de Reglas, Escuadra, Cartabón y Semicírculo graduado
Cutter
Botes de Pintura Spray de colores
Alicates para corte fino y plano
Bolígrafos Tipo PILOT
Paquete Folios 500
Rollo Hilo Bramante
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DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL OMNIPOLIEDRO
Si tenemos en cuenta la fórmula de Euler para las relaciones entre aristas se podría realizar”EL OMNIPOLIEDRO” (todos los poliedros regulares), para ello se comienza construyendo el cubo y el icosaedro con una arista de longitud “x”, y luego el resto de poliedros con aristas en función de “x”. La construcción se realiza de forma que los cinco están inscritos uno dentro de otro.
MATERIAL NECESARIO
28 tubos de PVC de 3 m. 200 tacos “fischer SX-10”. 200 cáncamos para los tacos “fischer SX-10”. 100 bridas blanca de 15 cm. Pintura de 5 colores vivos. Cinta métrica.Varios serruchos. Calculadora.
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CONSTRUCCIÓN DEL OMNIPOLIEDRO
Cortamos los tubos. (tubo + 2 cáncamos = longitud arista). Colocamos tacos y cáncamos en cada tubo.Pintamos de cinco diferentes colores las aristas de cada poliedro. Octaedro
(amarillo), Tetraedro (rojo), Cubo (verde), Dodecaedro (azul), Icosaedro (naranja). Formamos los poliedros regulares uniendo las aristas con bridas, de manera cada
uno se encuentra inscrito dentro de otro. Comenzamos formando el Tetraedro para después crear el Octaedro que se encuentra en el interior (los vértices del Octaedro coinciden con el centro de las aristas del Tetraedro). El Cubo se construye de forma que los vértices del Tetraedro coinciden con cuatro vértices del Cubo. Sobre esta estructura rígida formamos el Dodecaedro (en cada vértice del Cubo concurren tres del Dodecaedro). Y por último, el Icosaedro se obtiene haciendo coincidir la mitad de cada una de sus aristas con la mitad de las aristas del Dodecaedro.
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LÁMPARAS I.Q.LIGHT*Entre los diseños de lámparas modernas encontramos muchas con una estructura claramente poliédrica. El diseño de las lámparas del danés Holger Strøm está basado en las figuras poliédricas que tienen caras con forma de rombos. La más conocida es la que se acerca más a una esfera, el Triacontaedro Rómbico.
Los rombos están ligeramente deformados, lo que obliga a curvarlos para encajar unas piezas con otras. Unida la tensión de la curvatura a unos salientes en forma de ganchos de los vértices, permite que las piezas y la figura se mantengan sin necesidad de pegamento ni otros accesorios.
La curvatura además permite el paso de la luz de forma indirecta y del aire que evita el sobrecalentamiento.
La lámpara original está hecha con un material plástico semitraslúcido, Para realizar la maqueta es conveniente que utilicemos un cartón suficientemente resistente (de unos 240 gr/m2). Las piezas van unidas de 5 en 5 en los vértices agudos y de 3 en 3 en los obtusos. (Para el triacontaedro rómbico). Para otros diseños las piezas se unen de 4 en 4 en alguno o en varios de sus puntos.
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I CONCURSO FOTOGRAFÍA MATEMÁTICA THALES DE ALMERÍA El objetivo de este concurso es el de resaltar la presencia de las matemáticas, en todas sus ramas, a nuestro alrededor, poniendo de manifiesto su utilidad en la actividad personal y social cotidiana. Se valora la calidad plástica de la fotografía, la aplicación didáctica y el contenido matemático explícito: geometría (simetrías, figuras, etc.), análisis (convergencias, divergencias, etc.), probabilidad, estadística, etc.
1er CICLO (1º y 2º ESO)
1er PREMIO
“Torre de Alta Tensión”
Inés Peralta Maraver
C. Agave
2º PREMIO
“Lo natural y lo artificial”
Joaquín Muñoz Navarro
C. Ciudad de Almería
3er PREMIO
“Simetría en la Naturaleza”
José Antonio Simón Soler
C. Agave
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2º CICLO (3º y 4º ESO)
1er PREMIO
“Geometría en la Rambla de Almería”
Natalia Delgado Díaz
C. Ciudad de Almería
2º PREMIO
“Una puerta al fondo o tronco de pirámide”
Adrián Ruiz González
C. Ciudad de Almería
3er PREMIO
“Espiral”
Maximilien Neukirch
IES Río Aguas
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BACHILLERATO (1º y 2º)
1er PREMIO
“Paseo Circular”
Ana Alemán Alemán
C. Agave
2º PREMIO
“El enigma de un número”
Alba Crespo Cruz
C. Altaduna
3er PREMIO
“Tres séptimos de sabor”
María José Sánchez Díaz
C. Agave
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I CONCURSO DIBUJO MATEMÁTICO THALES DE ALMERÍAUsamos las Matemáticas todos los días, en la escuela, en el parque o en el autobús. ¿Por qué no dibujarlas? ¿Por qué no saber algo más? La SAEM Thales de Almería organizó para el alumnado de EDUCACIÓN PRIMARIA de la provincia de Almería este concurso. Teniendo en cuenta cualquier situación en donde se encuentren las Matemáticas, números, juegos de azar, formas geométricas, mosaicos, juegos, etc.
GANADORES/AS 2008 1er CICLO (1º y 2º PRIMARIA)
1er PREMIO “Mariquitas” Maximiliano Simón Martín C. Ciudad de Almería
2º PREMIO “Pez de Colores” Uriel Fernández Martínez C. Portocarrero
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3er PREMIO “Monumento Plaza Ayto Garrucha ” Miguel Parra García CEIP Ex Mari Orta
2º CICLO (3º y 4º PRIMARIA)
1er PREMIO “Hablando Matemáticas” Esperanza González Sánchez C. La Salle
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2º PREMIO “Rosetón dibujado en un dibujo raro” Pablo Hernández Sola C. Portocarrero
3er PREMIO “Caracol” Rocío Beatriz Romero CEIP Padre González Ros
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3er CICLO (5º y 6º PRIMARIA)
1er PREMIO “Porque las Matemáticas también pueden ser divertidas” Carlos Hernández Totina C. La Salle
2º PREMIO “Formas Abstractas” Celia Núñez Torres C. Portocarrero
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3er PREMIO “Números Abstractos” Cristina López Albenza CEIP Madre de la Luz
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FRACTALES CON MUCHA LATA Sin ser demasiado rigurosos, se puede considerar un fractal a toda figura (conjunto de puntos) la cual tiene las siguientes características:
1) Autosimilitud: La figura puede dividirse en distintas partes mas pequeñas cuanto se quiera, y estos trozos serán idénticos al total el fractal podrá ser dividido cuantas veces se desee y los resultados obtenidos serán igual que el conjunto total. Podríamos decir que en un fractal, la forma no depende de la escala. Para comprender mejor la autosimilitud basta con observar el romanescu:
El total, es similar a cada una de sus partes. La característica de autosimilitud es muy común en la naturaleza, esto es debido a que de esta forma la información necesaria para crear el total del objeto es la misma que la utilizada en cada una de sus partes.
2) Dimensión: La dimensión de un fractal no es un número entero, de hay viene su nombre (del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular).
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3) Se construye mediante un proceso geométrico sencillo repetido infinitas veces. Por ejemplo para construir un triángulo de Sierpinski empezaremos por con un triángulo equilátero, lo dividimos en cuatro triángulos equiláteros interiores y eliminamos el central:
Repitiendo este proceso para los tres triángulos que nos
quedan infinitamente obtenemos el triángulo de Sierpinski:
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Para el triángulo de Sierpinski, podemos citar sobre la autosemejanza la siguiente expresión:
“Otra vez triángulos, pero ahora son otros. ¡La más pura brujería!
-Sí, querido, a veces yo mismo me pregunto dónde terminan las Matemáticas y dónde empieza la brujería.” EL DIABLO DE LOS NÚMEROS (pág. 138)
En la página 144 del libro El diablo de los números, aparece el conocido triángulo de Pascal o triángulo de Tartaglia:
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y se nos invita a colorear de rojo las casillas con número par y en azul las que contienen un número impar, si hacemos esto obtendremos un triángulo de Sierpinski. ¿Qué ocurre si hacemos lo mismo con los múltiplos de cinco?, ¿y con los múltiplos de cuatro?
A veces es difícil separar la magia de las matemáticas, pero eso lo dejaremos para otra ocasión.
Para construir un triángulo de Sierpinski no hace falta ni lápiz ni papel, basta tan sólo con un montón de latas, pero un montón. Uniendo tres latas formamos un triángulo, con tres de estos triángulos formamos otro mayor con un agujero central. Con tres de estos mayores formamos otro más grande, después de mucha lata obtenemos algo así:
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El número de latas necesario para la construcción sigue una progresión geométrica de razón 3, en concreto en la fotografía se han utilizado 35 = 243, en para construir el siguiente nivel necesitamos 36 = 729. Como ves el método de construcción es un proceso repetitivo.
También podemos construirnos un fractal con papel y tijeras, siempre siguiendo un mismo proceso repetitivo, sobre cómo construir de esta forma algunos fractales que se encuentran en la exposición como el conjunto de Cantor, el triángulo de Sierpinski o la escalera.
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Podéis encontrar más información sobre fractales hechos con papel en las siguientes páginas web:
http://www.uam.es/otros/hojavol/hoja12/fractales12.html
http://classes.yale.edu/fractals/Labs/PaperFoldingLab/PaperFoldingLab.html
http://cumbia.ath.cx:591/pna/Archivos/GallardoSa)-2787.PDF
Ejemplos de fractales hay muchos, entre los más famosos, aparte de los ya comentados, podemos citar al copo de nieve, el conjunto de Mandelbrot o la curva de Koch, entre otros. En estas páginas de internet podemos encontrar información sobre los más conocidos fractales:
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/fractales_igl/fractales.htm
http://www.campusred.net/straining/cursos/C3Bignacioargote2/Lecciones/otros_recursos.htm
http://www.dmae.upm.es/cursofractales/
http://www.campusred.net/straining/cursos/C3Bignacioargote2/Lecciones/otros_recursos.htm
http://www.dmae.upm.es/cursofractales
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CALEIDOCICLOS
Los caleidociclos son una especie de anillos articulados tridimensionales, formados por tetraedros que pueden girar alrededor de las aristas de unión.
Caleidociclos --> Kalós (bellos) + eîdos (figura) + kŷklos (anillo)
http://www.oni.escuelas.edu.ar/2002/buenos_aires/infinito/calidoci.htm
Los caleidociclos son unas figuras bellas y fascinantes. Además de su belleza intrínseca, se prestan decorados de diversas maneras. En el libro «M. C. Escher. Caleidociclos», de Doris Schattschneider y Wallace Walker (editorial Taschen) se encuentran modelos para construir diez caleidociclos, además de otros seis sólidos, decorados con teselaciones del artista holandés M. C. Escher.
Escher siempre intentó que sus teselaciones tuvieran un principio y un fin. Para ello desarrolló ideas tan fascinantes como usar el plano hiperbólico o una cinta de Moebius. Otra solución era usar como superficie la de un sólido. El propio Escher fabricó algunos modelos tridimensionales decorados con algunas de sus teselaciones. Pero la idea de usar la superficie de un caleidociclo va mucho más lejos, ya que además de ser una superficie cerrada como la de cualquier otro sólido, es dinámica, construyendo y destruyendo de forma cíclica nuevas superficies.
WEB muy interesante:
http://www.kaleidocycles.de/
· M.C.Escher Kaleidocycles (Theory, 3D-Animations, Links and more) - Marcus Engel
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CAMISETAS Y MOSAICOS
Un mosaico es un dibujo que repite algún motivo de manera más o menos sistemática.
1.- Mosaicos Regulares:
Se llaman mosaicos regulares a los formados por un solo tipo de polígono regular y en los que cada vértice del mosaico es vértice de los polígonos que confluyen en él.
Utilizando un único polígono regular: Los tres polígonos regulares que recubren el plano son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.
Se observa que, para que un polígono regular pueda rellenar el plano sin dejar huecos ni producir solapamientos, el ángulo interior debe ser un divisor de 360º y menor que 180º. Es decir, si se utiliza un único polígono regular, este tiene que ser o triángulo equilátero o cuadrado o hexágono regular cuyos ángulos interiores son 60º, 90º y 120º, respectivamente.
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2.- Mosaicos semirregulares:
Un mosaico semirregular queda definido como el formado por dos o más tipos de polígonos regulares.
3.- Otros tipos de mosaicos:
Mediante deformaciones de un polígono inicial que sí forme un mosaico se originan mosaicos con formas muy diversas. Este método está basado en el principio de conservación de las áreas entre el polígono y la figura finalmente construida que hará de tesela base en la construcción del mosaico.
Tomamos como base un polígono que recubre el plano y realizamos con él distintas transformaciones consistentes en recortar una o varias partes del polígono de partida para situarlas, mediante giros o traslaciones, en otra posición. El polígono resultante comparte con el original dos propiedades fundamentales: 1.- Sigue recubriendo la superficie. 2.- Los dos tienen la misma área.
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3.1.- Mosaicos Nazaries.
Los conocimientos geométricos y artísticos de los artesanos islámicos hicieron
posible la obtención de los llamados “polígonos nazaríes”. Los más conocidos son: el hueso, el pétalo, el avión, el huso y la pajarita.
El hueso
La pajarita
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TESELACIÓN DE CAMISETAS:
1.- Se elige el modelo de mosaico que vamos a teselar.
2.-Se dibuja sobre la rodillera y se recorta.
3.- Una vez recortados todos los motivos se colocan sobre la camiseta.
4.-Se planchan las teselas para pegarlas a las camisetas.
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BOLETIN MATEMATICO DE LA UAL
La Titulación de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Experimentales de la Universidad de Almería (UAL) presenta esta revista de divulgación matemática dirigida al profesorado de Enseñanza Secundaria y Universitario, al alumnado de Bachillerato y, por supuesto, a los estudiantes de la Licenciatura de Matemáticas y de la Doble Titulación de Matemáticas e Informática. Entre los objetivos prioritarios de la revista se encuentra el de fortalecer el lazo de unión entre la Enseñanza Secundaria y la Enseñanza Universitaria. Es natural que se desarrolle un proceso simbiótico entre ambas Enseñanzas, ya que por una parte el alumnado de Enseñanzas Secundaria será el futuro alumnado universitario y por otra, siempre es una satisfacción para el personal docente que imparte las asignaturas de Matemáticas que sus alumnos y alumnas estudien la Licenciatura de esta materia con la que tanto disfrutamos. El boletín consta de tres volúmenes por curso, que aparecerán publicados los meses de octubre, enero y abril.
La estructura del Boletín se va a desglosar inicialmente en las siguientes secciones:o
Actividad Matemática en la UAL o
Actividades organizadas
Servicios: empleo, becas,...
La Doble titulación Matemáticas-Ingeniero Técnico en Informática
La investigación
Foro abierto, preguntas frecuentes, etc... De la Enseñanza Secundaria a la Enseñanza Universitaria o
Divulgación Matemática o
La historia y sus personajes.
Problemas de interés.
Las Matemáticas aplicadas a otros campos.
Mujeres y Matemáticas.
Cultura y Matemáticas.
Lecturas recomendadas sobre divulgación matemática.
Páginas web de interés.
Citas matemáticas.
Pasatiempos y curiosidades.
Territorio Estudiante o
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SISTEMAS DE NUMERACIÓN
El origen de todos los sistemas de numeración es la operación de contar. Supongamos que tenemos que contar un gran número de ovejas, un truco para facilitar el conteo es comenzar a contar de nuevo cuando lleguemos a un cierto número, por ejemplo, cuando lleguemos a diez, hacemos una marca y comenzamos de nuevo. Otra razón, tal vez la más importante, es que cuando los hombres comenzaron a contar, sólo tenían palabras para unos pocos números.
Un sistema de numeración podemos definirlo como un conjunto de reglas que permiten representar los números con unos símbolos determinados. Aunque distintas culturas adoptaron sistemas de numeración propios, en todos ellos se observa un método común. Básicamente, éste consiste en cambiar el símbolo o su posición al alcanzar un valor determinado, añadir nuevas unidades hasta volver a alcanzar ese valor, agregar entonces un símbolo de segundo orden y así sucesivamente. El valor que se toma como referencia recibe el nombre de base del sistema de numeración, que en caso de los sistemas decimales es el 10. Según las reglas que se sigan para representar los números los sistemas de numeración se dividen en aditivos y posicionales:
En los sistemas aditivos los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición que ocupan en el número.
En los sistemas de numeración posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número.
Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es aditivo, en cambio, nuestro sistema de numeración decimal es posicional.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN ADITIVOS
Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema jeroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un jeroglífico específico. Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos.
De alguna forma todas las unidades están físicamente presentes. Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición. Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y árabes.
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El Sistema de Numeración Egipcio•
Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema de escribir los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos órdenes de unidades.
Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.
Por ejemplo:
El Sistema de Numeración Griego•
El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.
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Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.
Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente
El Sistema de Numeración Chino•
La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura
y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75.
Por ejemplo:
Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la figura. No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas.
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SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES
Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas, centenas... o en general la potencia de la base correspondiente. Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la introducción del mismo.
Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin más que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque fueron los árabes quienes lo trajeron Europa.
El Sistema de Numeración Babilónico•
Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo.
De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.
Sistema binari• oEs el sistema digital por excelencia, aunque no el único, debido a su sencillez. Su base es 2. Emplea 2 caracteres: 0 y 1. Estos valores reciben el nombre de bits (dígitos binarios). Así, podemos decir que la cantidad 10011 está formada por 5 bits. Veamos con un ejemplo como se representa este número teniendo en cuenta que el resultado de la expresión polinómica dará su equivalente en el sistema decimal:
1001234
2 1910110110010010110011 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
El Sistema hexadecimal.•Está compuesto por 16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Su base es 16. Es uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además de simplificar la escritura de los números binarios, todos los números del sistema se pueden expresar en cuatro bits binarios al ser 16 = 24.
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EL NÚMERO DE ORO
El número áureo o de oro representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:
Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.
FI EN LA NATURALEZA
Podemos encontrar el número áureo en distintos seres que pueblan la naturaleza, entre ellos el hombre. Por ejemplo, las caracolas crecen en función de relaciones áureas lo mismo que las piñas o las hojas que se distribuyen en el tallo de una planta. Las falanges de nuestra mano guardan esta relación, lo mismo que la longitud de la cabeza y su anchura.
La Espiral Logarítmica
La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.
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En el hombre
En el hombre, Leonardo Da Vinci realizó este dibujo para ilustrar el libro De Divina Proportione del matemático Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean las del dibujo adjunto. Resulta que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es el número áureo.
En Botánica
La serie de FIbonacci se puede encontrar en botánica. Así, por ejemplo, ciertas flores tienen un número de pétalos que suelen ser términos de dicha sucesión; de esta manera el lirio tiene 3 pétalos, algunos ranúnculos 5 o bien 8, las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 o bien 89.
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FI EN EL ARTE Y LAS CONSTRUCCIONES
El número áureo ha sido utilizado desde la época de los egipcios para la construcción de edificios, si bien, son los griegos los que lo explotaron al máximo usando en todas las facetas del arte. A continuación se detallan algunos ejemplos de este uso.
Pirámide de Keops
El primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la pirámide de Keops, que data del 2600 a.C.
Esta pirámide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triángulos áureos: la más aparente, aunque no la única, relación armónica identificable en el análisis de las proporciones de este monumento funerario en apariencia simple.
El Partenón
Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego. En la figura se puede comprobar que AB/CD= . Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA= .
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Apolo de Belvedere
Los lados del rectángulo en el cual está idealmente inscrita la estatua del Apolo de Belvedere están relacionados según la sección áurea, es decir, con una proporción de 1:1,618.
Leda Atómica
El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.
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Las Meninas y La Gioconda
“Las Meninas”de Velásquez junto con”La Gioconda” están también inundadas de razón áurea.
FI EN NUESTRA VIDA DIARIA
El número áureo no solo lo podemos encontrar en la naturaleza o en las antiguas construcciones y representaciones artísticas, diariamente manejamos objetos en los cuales se ha tenido en cuanta las proporciones áureas para su elaboración. Por ejemplo, la mayoría de las tarjetas de crédito así como nuestro carnet tienen la proporción de un rectángulo áureo. También lo podemos encontrar en las cajetillas de tabaco, construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc.
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GALERÍA DE GENIOS
THALES DE MILETO
Nació: alrededor del año 640 AC en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía)
Falleció: alrededor 560 AC en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía)
Thales era un hombre esencialmente práctico: comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra, estadista. Se le incluye por tradición entre los Siete Sabios.
Como comerciante se cuenta de él que un año, previniendo una gran producción de aceitunas, monopolizó todos los lagares para hacer el aceite, con lo cual obtuvo una espléndida ganancia. Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidráulicas y se dice que desvió el curso del río Halis mediante la construcción de diques.
Como astrónomo fue más célebre, predijo el eclipse total de sol visible en Asia Menor, como asimismo se cree que descubrió la constelación de la Osa Menor y que consideraba a la Luna 700 veces menor que el sol. También se cree que conoció la carrera del sol de un trópico a otro. Explicó los eclipses de sol y de luna. Finalmente creía que el año tenía 365 días.
A Thales se le atribuyen 5 teoremas de la geometría elemental :
1.-Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales
2.-Un circulo es bisectado por algún diámetro
3.-Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales
4.-Dos triángulos son congruentes si ellos tienen dos ángulos y un lado igual.
5.-Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto
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PITÁGORAS DE SAMOS
Nació: alrededor del 580 AC en Samos, Ionia
Falleció: alrededor del 500 AC en Metapontum, Lucania
Era originario de la isla de Samos, situado en el Mar Egeo. En la época de este filósofo la isla era gobernada por el tirano Polícrates. Como el espíritu libre de Pitágoras no podía avenirse a esta forma de gobierno, emigró hacia el occidente, fundando en Crotona (al sur de Italia) una asociación que no tenía el carácter de una escuela filosófica sino el de una comunidad religiosa. Por este motivo, puede decirse que las ciencias matemáticas han nacido en el mundo griego de una corporación de carácter religioso y moral. Ellos se reunían para efectuar ciertas ceremonias, para ayudarse mutuamente, y aun para vivir en comunidad.
En la Escuela Pitagórica podía ingresar cualquier persona, ¡hasta mujeres!. En ese entonces, y durante mucho tiempo y en muchos pueblos, las mujeres no eran admitidas en la escuelas.
Se dice que Pitágoras se casó con una de las alumnas.
El símbolo de la Escuela de Pitágoras y por medio del cual se reconocían entre sí, era el pentágono estrellado, que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas).
Debido a la influencia política que tuvo la Escuela en esa época, influencia que era contraria a las ideas democráticas existentes, se produjo, tal vez, después del año 500 una revuelta contra ellos, siendo maltratados e incendiadas sus casas. Pitágoras se vio obligado a huir a Tarento, situada al sur de Italia. Algunos piensan que un año más tarde murió asesinado en otra revuelta popular en Metaponto.
Se debe a Pitágoras el carácter esencialmente deductivo de la Geometría y el encadenamiento lógico de sus proposiciones, cualidades que conservan hasta nuestros días.
La base de su filosofía fue la ciencia de los números, y es así como llegó a atribuirles propiedades físicas a las cantidades y magnitudes. Es así como el número cinco era el símbolo de color; la pirámide, el del fuego; un sólido simbolizaba la tetrada, es decir, los cuatro elementos esenciales: tierra, aire, agua y fuego.
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EUCLIDES
Nació: 365 AC en Alejandría, Egipto
Falleció: Alrededor del 300 AC
Muy poco se sabe con certeza de su vida. Probablemente, fue llamado a Alejandría en el año300 AC. Sin duda que la gran reputación de Euclídes se debe a su famosa obra titulada Los elementos Geométricos, conocida simplemente por Los Elementos. Tal es la importancia de esta obra que se ha usado como texto de estudios cerca de 2000 años, veinte siglos, sin que se le hicieran correcciones de importancia, salvo pequeñas modificaciones. Los Elementos están constituidos por trece libros. A aquellos se ha agregado un XIV libro que comprende un trabajo de Hipsicles del siglo II de nuestra era, y aún un XV libro con un trabajo de menor importancia.
Esta obra de Euclídes es el coronamiento de las investigaciones realizadas por los geómetras de Atenas, como así mismo de los anteriores. Euclídes no hace sino volver a tomar con más perfección los ensayos anteriores; hace una selección de las proposiciones fundamentales y las coordina convenientemente desde el punto de vista lógico. La forma que emplea es la deductiva.
Las definiciones que emplea son nominales, es decir, definiciones en que se da a una palabra una denotación que se determina a priori. Entre estas definiciones están las de : 1.-Punto, que lo define como “una cosa que no tiene parte” 2.-Línea “es una cosa que no tiene sino largo; es una longitud sin ancho” 3.-Línea recta, es la que está igualmente situada con respecto a sus puntos. 4.-”Los extremos de las líneas son puntos” 5.-”Superficie es lo que tiene sólo ancho y largo” 6.-”Los límites de las superficies son líneas” 7.-”Angulo es la inclinación de una línea con respecto a la otra”. 8.-”Angulos adyacentes son los que tienen un lado común y los otros en línea recta” 9.-”Angulo recto es aquél que es iguala su adyacente” 10.-”Angulo agudo es el menor que el recto y ángulo obtuso, el mayor que el recto”.
Además, define los triángulos isósceles, rectángulos, etc. y da otras definiciones de elementos que, como algunas de las anteriores, las seguimos usando.
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LEONARDO PISANO FIBONACCI
Nació: 1170 probablemente en Pisa (Ahora Italia)
Falleció: 1250 probablemente en Pisa (Ahora Italia)
Leonardo Pisano es más conocido por su apodo Fibonacci. Jugó un rol muy importante al revivir las matemáticas antiguas y realizó importantes contribuciones propias.
Fibonacci nació en Italia pero fue educado en Africa del Norte donde su padre ocupaba un puesto diplomático. Viajó mucho acompañando a su padre, así conoció las enormes ventajas de los sistemas matemáticos usados en esos países.
Liber abaci, publicado en el 1202 después de retornar a Italia, esta basado en trozos de aritmética y álgebra que Fibonacci había acumulado durante sus viajes. Liber abacci introduce el sistema decimal Hindú-Arábico y usa los números arábicos dentro de Europa.
Un problema en Liber abaci permite la introducción de los números de
Fibonacci y la serie de Fibonacci por las cuales Fibonacci es recordado hoy en día. El Diario Trimestral de Fibonacci es un moderno periódico dedicado al estudio de las matemáticas que llevan estas series.
Otros libros de Fibonacci de mayor importancia es Prácticas de Geometría en el año 1220 que contiene una extensa colección de geometría y trigonometría. También en Liber quadratorum del año 1225 aproximó las raíces cúbicas obteniendo una respuesta que en la notación decimal es correcta en 9 dígitos. “Mis Prácticas de geometría” del año 1220 entrega una compilación de la geometría al mismo tiempo que introduce algo de trigonometría.
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HIPATÍA
Se considera la primera mujer matemática según la historia escrita nacida cerca del año 370 después de Cristo Hija de un profesor de matemática quien queria crear un ser humano perfecto; Hipatia fue su resultado. La adiestró tanto fisica como mentalmente. En la escuela de Atenas se convirtió en maestra y se hizo muy popular como matemática.
Escribió varios documentos, entre ellos, Sobre el Conon Astronomico de Diafanto donde se habla de ecuaciones de primero y segundo grado.
Creó el astrolabio y la esferaplana.
Inventó un aparato para agua destilada, uno para medir el nivel del agua y uno para determinar la gravedad específica de los líquidos. A esto se le llamó mas tarde un aerómetro o hidroscopio.
Nunca se casó y Cyril la mandó a matar en el año 415 después de Cristo
mientras era patriarca de Alejandria porque creía que iba a ser mejor servido si
sacrificaba a una mujer virgen.
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EMMY (AMALIE) NOETHER
Nacida el 23 de marzo de 1882, en Alemania de una familia que contenía 10 matemáticos en tres generaciones. Recibió tutorias y en 1907 escribió su tesis doctoral: Sistemas Completos de Invariantes para Formas Bicuadráticas Ternarias.
Emmy sustituía a su padre para dar clases cuando éste estaba enfermo. Luego el padre se retiró, su madre murió y su hermano se fué al ejército. Emmy se mudó a vivir con su hermano y trabajó junto a él en la teoría general de la relatividad, de la cual ella ofreció la fórmula genuina y universal matemática. Luego comenzó a dar clases usando el nombre de Hilbert y en 1919 fué que comenzó a trabajar dando clases usando su verdadero nombre.
En 1922, la nombraron profesora; pero no recibía salario.
Ella formó, con el trabajo de su padre matemático, su teorema general de ideales en anillos arbitrarios, ayudando a establecer las tendencias axiomáticas e integrales de álgebra abstracta.
Trabajó para los años 20, con Hasse y Richard Brauer, en el tema de álgebra no conmutativa, y Hasse publicó un ensayo con la teoría de Emmy y su investigación en la teoría de álgebra cíclica. En la Universidad de Götingen se reconoció por su forma diferente de dar clases; siendo menos formal y más original al exponer sus temas.
Su nombre aparece en unos 37 ensayos escritos por estudiantes o colaboradores de ella. Su influencia en muchos matemáticos fue evidente y se caracterizaba por la facilidad de clarificar conceptos difíciles para otros. Emmy fue llamada para trabajar en Europa, lo cual añadió mayor prestigio a su nombre.
En 1918, durante la revoluci6n alemana, Emmy se inclinó por la política y los problemas sociales. En 1933, con la toma de Alemania por los socialistas, Emmy como otros profesores, no podía tener actividades académicas y le quitaron el salario. Tuvo la suerte de poder trabajar como profesora en Bryn Mawr, y en el Instituto Para Estudios Avanzados en Princeton, New Jersey. Alli duró sólo año y medio, pues el 14 de abril de 1935 murió sorpresivamente. Albert Einstein la catalogó como: la más grande, significativa y creativa genio matemático producida en la historia del desarrollo educativo de las mujeres.
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SOFIA KOVALÉVSKAYA
Vivió su infancia en Palibino, Bielorrusia. A los trece años empezó a mostrar muy buenas cualidades para el álgebra pero su padre, a quien le horrorizaban las mujeres sabias, decidió frenar los estudios de su hija. Aún así Sofia siguió estudiando por su cuenta con libros de álgebra, y aquello que nunca había estudiado lo fue deduciendo poco a poco.
Sofia, a partir de los conocimientos que ya tenía, explicó y analizó por sí misma lo que era el concepto de seno tal y como había sido inventado originalmente. Un profesor descubrió las facultades de Sofia, y habló con su padre para recomendarle que facilitara los estudios a su hija. Al cabo de varios años su padre accedió y Sofia comenzó a tomar clases particulares.
Los años de su adolescencia fueron años de rebelión, la época de las grandes revoluciones y manifestaciones de siglo XIX en las que el socialismo feminista iba ganando terreno. Su apellido de soltera era Korvin-Krukóvskaya y era descendiente de un rey de Hungría.
Hasta entonces a las mujeres se les impedía el acceso a la universidad, por lo que se contraían matrimonios de conveniencia. Eso es lo que hizo Sofia para escapar de control paterno y poder salir a estudiar. Así se casó con Vladímir Kovalevski y se marchó a Heidelberg, donde tampoco la dejaron acceder a la universidad más que como oyente. Pronto atrajo la atención de los profesores, que la recomendaron para estudiar en la universidad de Berlín con Karl Weierstrass, a quien se consideraba el mejor matemático de la época. Allí tampoco estaba permitido el acceso de las mujeres a las universidades, pero Weierstrass accedió a trabajar con ella en privado.
M.L. Dubreil Jacotín escribió:
«En cuanto a su facilidad ulterior para comprender el análisis la atribuía al rastro profundo dejado en su cerebro por las horas de contemplación que pasó de niña ante la extraña tapicería de su habitación; como le había faltado papel, su padre había utilizado las hojas litografiadas del curso de Mijaíl Ostrogradski sobre el cálculo integral»
Sofia Kovalévskaya muere a los cuarenta y un años, de gripe. Entre sus trabajos figuran: Sobre la teoría de las ecuaciones diferenciales, que aparece en el Journal de Crelle, y Sobre la rotación de un cuerpo sólido alrededor de un punto fijo, por el cual obtiene un importante premio otorgado por la Academia de Ciencias de París, en 1888.
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LA VISTA ENGAÑA
LA ESPIRAL DE FRASER
Una ilusión óptica muy conocida. Sigue las espiras y a ver lo que descubres.
LA APARICIÓN
Mira los cuatro puntos que se encuentran en el centro de la lámina durante 30 segundos, a continuación cierra los ojos y echa la cabeza hacia atrás. ¿A quien ves?
¿UN PATO O UN CONEJO?
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MATEMÁTICAS PARA SONREIR
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LITERATURA Y MATEMÁTICAS
¿Por qué que elegir necesariamente entre Ciencias y Letras? Podemos encontrar
Matemáticas en la Literatura, y seguramente también Literatura en las Matemáticas.
EL DIABLO DE LOS NÚMEROS
A Robert no le gustan las Matemáticas, como sucede a muchas personas, porque no las acaba de entender. Pero una noche él sueña con un diablillo que pretende iniciarle en la ciencia de los números. Naturalmente, Robert piensa que es otra de sus frecuentes pesadillas, pero en realidad es el comienzo de un recorrido nuevo y apasionante a través del mundo de las Matemáticas.
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EL TÍO PETROS Y LA CONJETURA DE GOLDBACH
El tío Petros y la conjetura de Goldbach es la historia del sobrino, que crece fascinado por la figura de un enigmático anciano al que su familia de comerciantes considera una oveja negra a pesar de su indiscutible y brillante pasado como matemático.
Un poco de rebeldía juvenil se combina en el sobrino con la fascinación por el hombre hasta hacerle desear convertirse también en matemático. Pero su tío le ofrece una prueba, demostrar una simple proposición matemática. Si lo consigue, habrá probado tener talento para esa disciplina. El problema planteado por el anciano es muy simple: demostrar que todo número par superior a dos es la suma de dos primos.
EL TEOREMA DEL LORO
A través de una familia un tanto curiosa y una biblioteca perdida Denis Guedj ( matemático y profesor de Historia de las Ciencias de la Universidad de París ) ,repasamos en una amenísima novela las vidas y las aportaciones de los más importantes matemáticos de la historia , desde Tales hasta el cálculo infinitesimal.
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NÚMEROS
Tenías abecedario
innumerables de estrellas;
clara
ibas poniendo la letra,
noche de agosto.
Pero yo, sin entenderla,
misterio, no la quería.
Aquí en la mesa de al lado
dos hombres echaban cuentas.
Más bellas que luceros
fúlgidas, cifras y cifras,
cruzaban por el silencio,
puras estrellas errantes,
señales de suerte buena
con largas caudas de ceros.
Y yo me quedé mirándolas:
- ¡qué consolación perfecta
tres por tres nueve!- olvidado
de Ariadna, desnuda allí
en islas del horizonte
Pedro Salinas
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PI
Soy Pi, lema y razón ingeniosa
De hombre sabio, que quiere preciosa
Valorando, enuncio magistral
Con mi ley singular, bien medido
El grande orbe por fin reducido
Fue al sistema ordinario cabal
R. Nieto
BOLERO DEL AMOR MATEMÁTICO
Si te escribo cartas de amor y boleros
es amor la consecuencia matemática
de toda la espera, toda la distancia,
una ecuación amor, la desnuda fórmula
que lejos de métodos, reglas y formas
desemboca en positiva desazón.
Posiblemente amor por ser el amor
la trágica ecuación de segundo grado,
entonces tú en incógnita te conviertes,
derivada, integral, número entero.
Dime cómo podré, cómo elevaré
amor, todo tu amor de raíz al cuadrado.
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Quizá se tratase de no conjugar,
amor mío, esa fiel regla de tres,
se tratase de escapar por la tangente,
dividir tus partes, dividir mis partes,
y restar por no poder multiplicarte,
por no hacer un hoy por ti, mañana por mí.
Y seré bolero, pura matemática,
un número quebrado en todas tus cartas,
quebrado en la espera, quebrado en distancia,
para poder olvidar amor tus áreas.
Dime cómo podré, cómo olvidaré
las sábanas paralelas de tu cama.
Querida incógnita, la equis de mi amor,
polinomio de mi vida y de las tardes
que escribo, cuando añoro tus cosenos
y teorizo el signo igual de cada beso,
invento el factor común de tu recuerdo
con el signo aproximado de un abrazo.
Si te escribo cartas de amor y boleros
es amor solamente para decirte
cómo esta pobre ecuación se hace tan nuestra,
que por aritmética, no admite error:
que mis días si llegan se hacen más largos,
se elevan al cuadrado cuando no estás.
Alfonso Salazar
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MEDIDAS TRADICIONALESEquivalencia Equivalencia al sistema métrico decimal
Pesos medicinales
1 Azumbre 8 Libras 2’76 Kilos1 Libra 12 Onzas 345 Gramos1 Onza 9 Dracmas 28 Gramos1 Dracma 3 Escrúpulos 3 Gramos
Monedas
1 Dobla de oro, de peso y valor variables.1 Doblón 4 Pesos Sencillos ó 4 Duros 1 Peso sencillo 15 Reales de Vellón 1 Ducado 11 Reales de Vellón 1 Real de vellón 34 Maravedíes 26 Centimos1 Décima 3’4 Maravedíes 1 Cuarto 4 Maravedíes de Vellón 1 Cuarto 20 Ochavos 1 Ochavo 2 Maravedíes 1’47 CéntimosBlanca Moneda de vellón de valor variableBlanca Moneda de plata.
Longitud
1 Legua 6.666 Varas 5’57 Kilómetros1 Toesa 2 Varas 1’67 Metros1 Vara 3 Pies 83 Centímetros1 Pie 12 Pulgadas 27 Centímetros1 Cuarta 21 Centímetros1 Pulgada 12 Líneas 2 Centímetros1 Línea 12 Puntos
Peso1 Tonelada 20 Quintales 920 Kilos1 Quintal 4 Arrobas ó 100 Libras 46 Kilos1 Arroba 25 Libras 11’5 Kilogramos
1 Costal 1/2 Carga Entre 50 y 80 Kilogramos1 Libra 16 Onzas, 4 Cuarterones 460 Gramos1 Onza 16 Adarmes 28’75 Gramos1 Adarme 3 Tomines 1 Tomín 12 Granos 1 Cuarterón 1/4 de 1 Libra 115 Gramos
Capacidad Vinos y Licores
1 Moyo 16 Cántaras 258 Litros1 Alguez 192 Litros1 Cántara 8 Azumbres 16’13 Litros1 Cántara 1 Arroba 16’3 Litros1 Azumbre 4 Cuartillos 2 Litros1 Pinta 1/2 Azumbre 1 Litro1 Cuartillo 4 Copas 0’50 Litros
2 Arrobas de uva 1 Cantara de vino Con 2 arrobas de uva se sacaba 1 cántara de vino
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1 Maquila Porción de grano y harina que corresponde al molinero por la molienda
1 Comporta Recipiente de cabida entre 8 y 10 arrobas de uva
1 Espuerta Recipiente de cabida 4 arrobas de uvaCapacidad Áridos
1 Cahiz 12 Fanegas 666 Litros1 Fanega 4 Cuartillas 55’5 Litros1 Hemina 4 Celemines 18 Litros1 Cuartilla 3 Celemines 13’8 Litros1 Celemín 4 Cuartillos 4’6 Litros1 Cuartillo 4 Ochavos 1’15 Litros1 Ochavo 4 Ochavillos 0’29 Litros
1 Almuerza Cantidad de grano que cabe en el hueco de las manos.
Capacidad para Aceite1 Arroba 25 Libras 12’56 Litros1 Libra 4 Panillas ó cuarterones 0’5 Litros1 Panilla 4 Onzas 0’12 Litros1 Onza 1’5 Libras 0’03 Litros
Agrarias1 Fanega 12 Celemines 2 1 Celemín2 4 Cuartillos 2 1 Cuartillo2 12 Estadales 2 1 Estadal2 16 Varas2 1 Vara2 9 Pies2 0’ 70 metros 2
1 Aranzada 400 Estadales2 4’47 m21 Obrada 4 Cuartas 46 áreas 58 centiáreas1 Carga de piñas 50 Quinas 50 Quinas y 1 de bota1 Quina 5 Piñas 1 Carga de uva 8 Arrobas 1 Carga de leña La carga que llevaba un burro en los lomos
1 Brazada Conjunto de cosas que se abarca entre los brazos.
1 Cuarta 9 Áreas 869’5 m2
1 Emelga 18 surcos (aprox) Cantidad de terreno que abarcaba un hombre al sembrar a mano, en ida y vuelta.
1 Mostela Haz de sarmientos.Pesos para Oro y Plata
1 Marco 8 Onzas 1 Onza 16 Adarmes 1 Onza 8 Ochavas 1 Adarme 9 Quilates 1 Quilate 4 Granos Nota.- Cuando se vendían cereales, se contrastaban con las medidas que había en los Ayuntamientos, estaban estas medidas para cuando no había acuerdo entre el vendedor y el comprador.
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Tipo de metal Nombre de la pieza Pesetas CéntimosCobre Pieza de a dos cuartos 0 5’88Cobre Pieza de un cuarto 0 2’94Cobre 1 Ochavo 0 1’47Cobre Maravedí 0 0’73Bronce Medio Real 0 12’5Bronce 1 Cuartillo de Real 0 6’25Bronce 1 Décima de Real 0 2’50Bronce Media Décima 0 1’25Plata Duro anterior a 1772 5 51Plata 1 Peseta Columnaria 1 35
Plata Media Peseta Columnaria 0 67
Plata 1 Realito 0 33Plata Duro posterior a 1772 5 51
Plata Medio duro post. a 1772 2 75
Plata Doble escudo de 26-6-1864 5 19
Plata 1 Escudo de 26-6-1864 2 59
Plata 1 Pta. provisional post.1772 1 05
Plata Media Peseta post a 1772 0 52
Plata Real de vellón post. a 1772 0 26
Plata 1 Peseta de 1848 a 1864 1 03
Plata Media Peseta 0 51Plata 1 Real de 1848 a 1864 0 25
Monedas de Plata
Maravedíes
Real de Vellón 34
Real de Plata 2 68
Peseta 2 4 136 Escudo 2 1/2 5 10 340
Peso de Duro 2 5 10 20 680
Monedas de Oro
Maravedíes
Escudo oro
680
1/2 Doblón oro 2 1360
Doblón oro 2 4 2720
Doblón de 4 duros 2 4 8 5440
Doblón de a 8 2 4 8 16 10880
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TEODOLITOS Muchas veces, en muchas oportunidades observamos a personas viendo por un aparato parecido a una cámara fotográfica apoyado en un trípode grande, y que a cierta distancia hay otra persona con una regla enorme. Este objeto es llamado “Teodolito”.
Existen varios conceptos de un teodolito como también diferentes clases. Entre estos conceptos encontramos:
El teodolito es un instrumento destinado a ubicar un objeto a cierta distancia mediante la medida de 1. ángulos con respecto al horizonte y con respecto a los puntos cardinales.
El teodolito es un instrumento que se adapta a diferentes usos en el campo de la Topografía. Usado 2. principalmente para mediciones de ángulos horizontales y verticales, para medir distancias por Taquimetría o estadía y para trazar alineamientos rectos.
El primer teodolito fue construido en 1787 por el óptico y mecánico Ramsden. Los antiguos instrumentos, eran demasiado pesados y la lectura de sus limbos (círculos graduados para medir ángulos en grados, minutos y segundos) muy complicada, larga, y fatigosa. Eran construidos en bronce, acero, u otros metales.
Fue un instrumentista británico más célebre del siglo XVIII. Empezó trabajando como obrero y basó su fama tanto en la calidad de sus instrumentos como en la competencia científica de sus obras publicadas. Instaló su taller en Fleet Street bajo la enseña “Tycho Brahe’s Head” y comenzó fabricando esferas astronómicas, lo que le valió el nombramiento de proveedor de la Compañía de las Indias Orientales.
El teodolito es usado en varios campos de la ciencias geológicas y geográficas entre las cuales están primeramente la geología, la topografía. Se puede utilizar para calcular distancias entre puntos a los que se puede acceder o calcular ángulos que no se pueden medir directamente. Son problemas que se pueden resolver sin otra operación que aplicar resultados de la trigonometría.
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Carteles de Olimpiadas, Congresos, Jornadas…
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SUDOKUMANÍA
2.3 9− + 1 2 10 : 2 10− +
4 9 3 1
8 6 3: 3− 2 6
9 7.2 15− + 8 3 5 49 : ( 7)− −
40 : 5 1+
(20 4) : 4− 8 2 20 : 4+ 1 9 2.( 3)− −
( 5)− − 2 2.3 5− ( ( ( 4)))− − − −
6 22 4.5− 7 9 : ( 3)− −
1 18 : 9− + 4 5 40 : ( 5)− − 9
autor: Ana Isabel Acién Criado
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CUBO MÁGICO
Recorta la figura, pega las lengüetas y construye un cubo. Verás que todas las caras contienen un •cuadrado mágico (salvo una que contiene publicidad de una página web y te invito a visitar).
Observa todas las caras del cubo. Busca las caras en las que aparezca el día de tu cumpleaños, y •anota para cada una de ellas el número que está en la esquina superior izquierda de dicha cara.
Suma todos los valores anotados. El resultado será el día de tu cumpleaños. •
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BIBLIOGRAFÍA
MAQUETAS DE LA LÁMPARAS I.Q.LIGHT*
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Caleidociclos --> Kalós (bellos) + eîdos (figura) + kŷklos (anillo)
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LA VISTA ENGAÑA
http://www.psicoactiva.com/ilusion.htm
CAMISETAS
http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material105/Mosaicos/alhambra.html
http://usuarios.lycos.es/acericotri/deriva/hpracticas2.htm
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MEDIDAS TRADICIONALES
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SISTEMAS DE NUMERACIÓN
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GALERIA DE GENIOS
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MATEMÁTICAS PARA SONREIR
http://maths.guadalupebuendia.eu/Chistes.htm
LITERATURA YA MATEMÁTICAS
“El diablo de los Números” Hans Magnus Enzensberger, Ediciones Siruela
“El tío Petros y la Conjetura de Goldbach” Apostolos Doxiadis
“El teorema del loro” Denis Guedj. Editorial Anagrama.
NÚMERO DE ORO
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POLIEDROS REGULARES
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http://es.geocities.com/cdhp_91_hefesto2/teodolitocasero.doc
