Cuaderno de repaso Matemáticas

y preparación

“III Olimpiada matemática” (septiembre 2019)

Curso: 2ºESO

2ºESO

Ejercicio nº 1.-

Calcula:

a) mím.c.m. (30, 60, 90)

b) máx.c.d. (8, 16, 24)

c) mím.c.m. (12, 24, 36)

d) máx.c.d. (60, 72, 84)

Ejercicio nº 2.-

Resuelve escribiendo el proceso paso a paso:

a) (−6) · [(+5) + (+3) − (3 + 5 − 1)]

b) (−3) · (+2) − [(−4) + (−4) − (−5)] · (−4)

c) 5 ‒ 3 · (8 + 2 ‒ 12) ‒ 4 · 5

d) (−3) · [(+3) + (+5) − (5 + 4 − 2)]

e) (−6) · (+2) − [(−4) + (−3) − (−3)] · (−2)

f) 25 : (‒5) ‒ 4 · [12 ‒ 8 · (7 ‒ 8 + 2)]

Ejercicio nº 3.-

3.1 Resuelve las siguientes operaciones escribiendo el proceso de resolución paso a paso:

3.2 Resuelve las siguientes operaciones:

Ejercicio nº 4.- 4.1 Resuelve las siguientes operaciones con fracciones:

4.2 Resuelve las siguientes operaciones con fracciones:

Ejercicio nº 5.- 5.1 Calcula y simplifica las expresiones:

a) (−6)3

b) (4)−2

5.2 Calcula y simplifica las expresiones:

a) 34

b) (4)−2

Ejercicio nº 6.- 6.1 Realiza las siguientes operaciones con polinomios:

6.2 Realiza las siguientes operaciones con polinomios:

Ejercicio nº 7.-

7.1 Calcula aplicando los productos notables en a) y extrae factor común en b):

a) (x2 + 3)2

b) 8x5 − 12x3 + 4x2 7.2 Calcula aplicando los productos notables en a) y extrae factor común en b):

a) (3x + 4)2

b) 3x3y + 3x2y + 3xy

Ejercicio nº 8.-

8.1 Simplifica las siguientes fracciones:

8.2 Simplifica las siguientes fracciones:

Ejercicio nº 9.-

9.1 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 4x − 5(2x + 3x + 3) = 6 + 4x − 5x − x

b) 1 ‒ 2(2 ‒ 4x) + 2x = 3x ‒ 4(2 ‒ 2x)

9.2 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 6x + 3x − 12 = 3x − 2(7x − 2x)

b) 13 ‒ 3(5x ‒ 2) ‒ (2x + 1) = ‒2x ‒ 3(2 + x)

Ejercicio nº 10.-

10.1 Resuelve las siguientes ecuaciones:

10.2 Resuelve las siguientes ecuaciones:

Ejercicio nº 11.- 11.1 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

11.2 Resuelve:

Ejercicio nº 12.- a) Calcula la altura en los siguientes triángulos isósceles:

b) Calcula el lado que falta en estos triángulos rectángulos:

Ejercicio nº 13.-

a) Un rectángulo tiene unas dimensiones de 10 cm ´ 20 cm, y el lado menor de otro rectángulo semejante a él mide 8 cm. ¿Cuánto mide el lado mayor?

b) Estos dos triángulos son semejantes. Calcula la longitud de los lados que le faltan a cada uno de ellos:

Ejercicio nº 14.-

a) Dibuja esquemáticamente el desarrollo de esta pirámide y calcula su área total sabiendo que su

base es un cuadrado de 12 cm de lado y su apotema mide 13,7 cm:

b) Dibuja de forma esquemática el desarrollo de este tronco de pirámide hexagonal y calcula su área lateral con las dimensiones del dibujo:

Ejercicio nº 15.- a) Calcula el área lateral y el área total de un cilindro de 2 metros de radio y 2,5 metros de altura. Para ello, dibuja esquemáticamente su desarrollo y señala sobre él los datos necesarios.

b) Calcula el área lateral y el área total de un cono cuya generatriz mide 12 cm y el radio de su base es de 5 cm. Dibuja esquemáticamente su desarrollo y señala sobre él los datos necesarios.

Ejercicio nº 16.- Calcula el volumen de estos cuerpos:

Ejercicio nº 17.-

Se ha lanzado 50 veces un dado y se han obtenido las siguientes puntuaciones:

1 3 4 2 1 3 4 5 6 3

4 3 5 4 6 4 3 2 5 4

6 3 2 4 1 2 2 4 5 5

6 3 5 2 5 4 3 3 5 6

6 5 2 5 6 3 2 1 4 2

a) Elabora una tabla de frecuencias absolutas, relativas y porcentuales. b) Dibuja el diagrama de barras correspondiente.

Ejercicio nº 18.- Estas han sido las calificaciones obtenidas por nueve alumnos en el área de Matemáticas. Calcula la mediana, moda, media y desviación media de esos datos:

4 4 5 5 7 7 7 8 9

Ejercicio nº 19.- a) Un cometa es visible desde la tierra cada 24 años y otro, cada 36 años. El último año que fueron visibles conjuntamente fue en 1944. ¿En qué año volverán a coincidir?

b) Un granjero ha recogido de sus gallinas 24 huevos morenos y 36 huevos blancos. Quiere envasarlos en envases con la mayor capacidad posible y con el mismo número de huevos (sin mezclar los blancos con los morenos). ¿Cuántos huevos debe poner en cada envase?

Ejercicio nº 20.-

a) Luisa tiene dos quintos de la edad de Ana que, a su vez, tiene los tres cuartos de la edad de Silvia,

que tiene 40 años. ¿Qué edad tiene Luisa?

b) Pedro tenía 18 euros y ha gastado las cuatro décimas partes en libros, dos quintos en discos y un décimo en revistas. ¿Qué fracción de su dinero ha gastado? ¿Cuánto dinero le queda?

Ejercicio nº 21.-

a) Un grifo que arroja un caudal de 6 litros por minuto tarda 21 minutos en llenar un depósito.

¿Cuánto tardará en llenarse ese mismo depósito si el grifo arroja 18 litros por minuto?

b) Un ciclista ha recorrido 10 km en 15 minutos. Si continúa a la misma velocidad, ¿cuánto tardará en cubrir los próximos 30 km? ¿Y en llegar a la meta que está situada a 50 km?

Ejercicio nº 22.- Durante el presente curso un instituto tiene un 8% menos de alumnos que el curso anterior, en el que tenía 450 alumnos. ¿Cuántos alumnos hay este curso?

Ejercicio nº 23.- a) Beatriz dice: si al doble de los años que tengo le restas la mitad de los que tenía hace un año, el resultado es 20. ¿Qué años tiene Beatriz?

b) Un padre tiene 34 años, y su hijo, 12. ¿Al cabo de cuántos años la edad del padre será el doble que la del hijo?

Ejercicio nº 24.- Se ha tendido un cable de 26 m de longitud uniendo los extremos de dos torres metálicas cuyos pies están separados a una distancia de 24 m. Si la altura de la torre más alta es de 35 m, ¿cuál es la altura de la otra?

Ejercicio nº 25.- Calcula la altura de un poste que proyecta una sombra de 21 metros en el momento en que una estaca de 2 m proyecta una sombra de 3,5 metros

SOLUCIONES Ejercicio nº 1.- Calcula: a) mím.c.m. 30, 60, 90) b) máx.c.d. 8, 16, 24)

Solución: a) mím.c.m. 30, 60, 90) = 22 · 32 · 5 = 180 b) máx.c.d. 8, 16, 24) = 23 = 8

c) mím.c.m. 12, 24, 36) d) máx.c.d. 60, 72, 84)

Solución: c) mím.c.m. 12, 24, 36) = 23 · 32 = 72 d) máx.c.d. 60, 72, 84) = 22 · 3 = 12

Ejercicio nº 2.- 2.1 Resuelve escribiendo el proceso paso a paso: a) (−6) · [(+5) + (+3) − (3 + 5 − 1)] b) (−3) · (+2) − [(−4) + (−4) − (−5)] · (−4) c) 5 ‒ 3 · (8 + 2 ‒ 12) ‒ 4 · 5

Solución: a) (−6) · [(+5) + (+3) − (3 + 5 − 1)] = (−6) · (8 − 7) = (−6) · 1 = −6 b) (−3) · (+2) − [(−4) + (−4) − (−5)] · (−4) = (−3) · (+2) − (−3) · (−4) = (−6) − 12 = −18 c) 5 ‒ 3 · (8 + 2 ‒ 12) ‒ 4 · 5 = 5 ‒ 3 · (10 ‒ 12) ‒ 20 = 5 ‒ 3 · (‒2) ‒ 20 = 5 + 6 ‒ 20 = 11 ‒ 20 = ‒9

2.2 Resuelve escribiendo el proceso paso a paso: a) (−3) · [(+3) + (+5) − (5 + 4 − 2)] b) (−6) · (+2) − [(−4) + (−3) − (−3)] · (−2) c) 25 : (‒5) ‒ 4 · [12 ‒ 8 · (7 ‒ 8 + 2)]

Solución: a) (−3) · [(+3) + (+5) − (5 + 4 − 2)] = (−3) · (8 − 7) = (−3) · 1 = −3 b) (−6) · (+2) − [(−4) + (−3) − (−3)] · (−2) = (−6) · (+2) − (−4) · (−2) = −12 − 8 = −20 c) 25 : (‒5) ‒ 4 · [12 ‒ 8 · (7 ‒ 8 + 2)] = ‒5 ‒ 4 · [12 ‒ 8 · 1] = ‒5 ‒ 4 · 4 = ‒5 ‒ 16 = ‒21

Ejercicio nº 3.- 3.1 Resuelve las siguientes operaciones escribiendo el proceso de resolución paso a paso:

Solución:

3.2 Resuelve las siguientes operaciones:

Solución:

Ejercicio nº 4.- 4.1 Resuelve las siguientes operaciones con fracciones:

Solución:

4.2 Resuelve las siguientes operaciones con fracciones: Solución:

Ejercicio nº 5.- 5.1 Calcula y simplifica las expresiones:

a) (−6)3

b) (4)−2

Solución:

a) (6)3 = (6) · (−6) · (6) = −216

5.2 Calcula y simplifica las expresiones:

a) 34

b) (4)−2

Solución:

a) 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81

Ejercicio nº 6.- 6.1 Realiza las siguientes operaciones con polinomios:

Solución:

6.2 Realiza las siguientes operaciones con polinomios:

Solución:

Ejercicio nº 7.- 7.1 Calcula aplicando los productos notables en a) y extrae factor común en b): a) (x2 + 3)2 b) 8x5 − 12x3 + 4x2

Solución: a) (x2 + 3)2 = x4 + 6x2 + 9 b) 8x5 − 12x3 + 4x2 = 4x2 (2x3 − 3x + 1)

7.2 Calcula aplicando los productos notables en a) y extrae factor común en b): a) (3x + 4)2 b) 3x3y + 3x2y + 3xy

Solución: a) (3x + 4)2 = 9x2 + 24x + 16 b) 3x3y + 3x2y + 3xy = 3xy (x2 + x + 1)

Ejercicio nº 8.- 8.1 Simplifica las siguientes fracciones:

Solución:

8.2 Simplifica las siguientes fracciones:

Solución:

Ejercicio nº 9.- 9.1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 4x − 5(2x + 3x + 3) = 6 + 4x − 5x − x b) 1 ‒ 2(2 ‒ 4x) + 2x = 3x ‒ 4(2 ‒ 2x) Solución:

b) 1 ‒ 2(2 ‒ 4x) + 2x = 3x ‒ 4(2 ‒ 2x) → 1 ‒ 4 8x + 2x = 3x ‒ 8 8x → 10x ‒ 3 = 11x ‒ 8 → 10x ‒ 11x = ‒8 3 → ‒x = ‒5 x = 5

9.2 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 6x + 3x − 12 = 3x − 2(7x − 2x) b) 13 ‒ 3(5x ‒ 2) ‒ (2x + 1) = ‒2x ‒ 3(2 + x)

Solución:

b) 13 ‒ 3(5x ‒ 2) ‒ (2x + 1) = ‒2x ‒ 3(2 x) → 13 ‒ 15x + 6 ‒ 2x ‒ 1 = ‒2x ‒ 6 ‒ 3x →

Ejercicio nº 10.- 10.1 Resuelve las siguientes ecuaciones:

Solución:

9x + 3 ‒ 30x = 10 ‒ 4x 10 → ‒21x 3 = ‒4x 20 → ‒21x + 4x 20 ‒ 3 →

10.2 Resuelve las siguientes ecuaciones:

Solución:

24x + 9x 9 = 36x ‒ 4x + 2 ‒ 6 33x + 9 32x ‒ 4 → 33x ‒ 32x = ‒9 ‒ 4 → x = ‒13 Ejercicio nº 11.- 11.1 Resuelve:

Solución:

11.2 Resuelve:

Solución:

Ejercicio nº 12.-

a) Calcula la altura en los siguientes triángulos isósceles:

Solución:

b) Calcula el lado que falta en estos triángulos rectángulos:

Solución:

Ejercicio nº 13.-

a) Un rectángulo tiene unas dimensiones de 10 cm ´ 20 cm, y el lado menor de otro rectángulo

semejante a él mide 8 cm. ¿Cuánto mide el lado mayor? Solución:

b) Estos dos triángulos son semejantes. Calcula la longitud de los lados que le faltan a cada uno de ellos:

Solución:

Ejercicio nº 14.- a) Dibuja esquemáticamente el desarrollo de esta pirámide y calcula su área total sabiendo que su base es un cuadrado de 12 cm de lado y su apotema mide 13,7 cm:

Solución:

ABASE = l 2 = 122 = 144 cm2

b) Dibuja de forma esquemática el desarrollo de este tronco de pirámide hexagonal y calcula su área lateral con las dimensiones del dibujo:

Solución:

Ejercicio nº 15.-

a) Calcula el área lateral y el área total de un cilindro de 2 metros de radio y 2,5 metros de altura.

Para ello, dibuja esquemáticamente su desarrollo y señala sobre él los datos necesarios.

Solución:

ABASE = π · r2 = 3,14 · 4 = 12,56 m2 ALAT = 2 · π · r · h = 6,28 · 2 · 2,5 = 31,4 m2 ATOTAL = 2ABASE + ALAT = 25,12 + 31,4 = 56,52 m2

b) Calcula el área lateral y el área total de un cono cuya generatriz mide 12 cm y el radio de su base es de 5 cm. Dibuja esquemáticamente su desarrollo y señala sobre él los datos necesarios.

Solución:

ABASE = π · r2 = 3,14 · 25 = 78,5 cm2 ALAT = π · r · g = 3,14 · 5 · 12 = 188,4 cm2 ATOTAL = ABASE + ALAT = 78,5 + 188,4 = 266,9 cm2

Ejercicio nº 16.- Calcula el volumen de estos cuerpos:

Solución:

Ejercicio nº 17.-

Se ha lanzado 50 veces un dado y se han obtenido las siguientes puntuaciones:

1 3 4 2 1 3 4 5 6 3

4 3 5 4 6 4 3 2 5 4

6 3 2 4 1 2 2 4 5 5

6 3 5 2 5 4 3 3 5 6

6 5 2 5 6 3 2 1 4 2

a) Elabora una tabla de frecuencias absolutas, relativas y porcentuales. b) Dibuja el diagrama de barras correspondiente.

Solución: a)

PUNTUACIÓN FRECUENCIA F. RELATIVA F. PORCENTUAL

1 4 0,08 8 %

2 9 0,18 18 %

3 10 0,20 20 %

4 10 0,20 20 %

5 10 0,20 20 %

6 7 0,14 14 %

TOTAL 50 1 100 %

b)

Ejercicio nº 18.- Estas han sido las calificaciones obtenidas por nueve alumnos en el área de Matemáticas. Calcula la mediana, moda, media y desviación media de esos datos:

4 4 5 5 7 7 7 8 9

Solución: 4 4 5 5 7 7 7 8 9 Mediana = 7 Moda = 7

Ejercicio nº 19.-

a) Un cometa es visible desde la tierra cada 24 años y otro, cada 36 años. El último año que fueron

visibles conjuntamente fue en 1944. ¿En qué año volverán a coincidir?

Solución: 24 = 23 · 3 36 = 22 · 32 mín.c.m.24, 36) = 23 · 32 = 72 1944 + 72 = 2 016 Coincidirán nuevamente en el año 2016.

b) Un granjero ha recogido de sus gallinas 24 huevos morenos y 36 huevos blancos. Quiere envasarlos en envases con la mayor capacidad posible y con el mismo número de huevos (sin mezclar los blancos con los morenos). ¿Cuántos huevos debe poner en cada envase?

Solución: 24 = 23 · 3 36 = 22 · 32 máx.c.d.24, 36) = 22 · 3 = 12 Debe poner 12 huevos en cada envase. Ejercicio nº 20.-

a) Luisa tiene dos quintos de la edad de Ana que, a su vez, tiene los tres cuartos de la edad de Silvia,

que tiene 40 años. ¿Qué edad tiene Luisa? Solución:

b) Pedro tenía 18 euros y ha gastado las cuatro décimas partes en libros, dos quintos en discos y un décimo en revistas. ¿Qué fracción de su dinero ha gastado? ¿Cuánto dinero le queda?

Solución:

Ejercicio nº 21.- a) Un grifo que arroja un caudal de 6 litros por minuto tarda 21 minutos en llenar un depósito. ¿Cuánto tardará en llenarse ese mismo depósito si el grifo arroja 18 litros por minuto?

Solución:

b) Un ciclista ha recorrido 10 km en 15 minutos. Si continúa a la misma velocidad, ¿cuánto tardará en cubrir los próximos 30 km? ¿Y en llegar a la meta que está situada a 50 km?

Solución:

Ejercicio nº 22.- Durante el presente curso un instituto tiene un 8% menos de alumnos que el curso anterior, en el que tenía 450 alumnos. ¿Cuántos alumnos hay este curso?

Solución:

En este curso hay 414 alumnos.

Ejercicio nº 23.-

a) Beatriz dice: si al doble de los años que tengo le restas la mitad de los que tenía hace un año, el

resultado es 20. ¿Qué años tiene Beatriz?

Solución:

Beatriz tiene 13 años.

b) Un padre tiene 34 años, y su hijo, 12. ¿Al cabo de cuántos años la edad del padre será el doble que la del hijo?

Solución:

Al cabo de 10 años el padre tendrá 44, y el hijo, 22.

Ejercicio nº 24.- Se ha tendido un cable de 26 m de longitud uniendo los extremos de dos torres metálicas cuyos pies están separados a una distancia de 24 m. Si la altura de la torre más alta es de 35 m, ¿cuál es la altura de la otra?

Solución:

x = 10 m

35 − 10 = 25 m es la altura de la torre.

Ejercicio nº 25.- Calcula la altura de un poste que proyecta una sombra de 21 metros en el momento en que una estaca de 2 m proyecta una sombra de 3,5 metros.

Solución: