IV Problema del examen

Christian Asch Burgos B40703

1 Fuente del problema

Este problema fue encontrado en un libro llamado A Book of Abstract Al-gebra Second Edition por Charles C. Pinter de la publicadora Dover Books(http://www.amazon.com/Book-Abstract-Algebra-Second-Mathematics/dp/0486474178)El problema es el E. del cuarto capıtulo

2 Enunciado

Deje que G sea un grupo finito (con e su elemento identidad), y deje que S seael conjunto de todos los elementos de G distintos de su inversa, o sea

S = {x ∈ G : x 6= x−1}

Pruebe lo siguiente:

1. En cada grupo finito G, el numero de elementos distintos de su inversa esun numero par.

2. El numero de elementos de G iguales a su propia inversa es par o impardependiendo de si G es par o impar

3. Si el orden de G es par, hay al menos un elemento x en G tal que x 6= e yx = x−1

En las partes 4 a 6, deje que G sea un grupo abeliano finito, formado por elconjunto G = {e, a1, a2, ..., an}. Pruebe lo siguiente:

4. (a1a2...an)2 = e

5. Si no hay un elemento x 6= e en G tal que x = x−1 entonces a1a2...an = e

6. Si hay exactamente un elemento x 6= e en G tal que x = x−1 entoncesa1a2...an = x

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3 Solucion

1. Aquı nos piden demostrar que el numero de elementos de S es par, recorde-mos que este conjunto esta formado por los elementos de G que son dis-tintos de su inversa. Si por ejemplo, a ∈ S esto implica que a 6= a−1 y porlo tanto a−1 ∈ S.Entonces podemos dividir el conjunto S en n subconjuntos que contienena un elemento de G y a su inversa (ver imagen).s ... ...

c c-1 aa -1b b-1

Como cada subconjunto tiene 2 elementos entonces S tiene en total 2nelementos, lo que es un numero par, y demostramos que el numero deelementos en G que son distintos de su inversa es un numero par.

2. Definamos el conjunto T como el conjunto de elementos de G iguales a supropia inversa, osea T = {x ∈ G : x = x−1} y definamos num(C) como elnumero de elementos en un conjuntoPodemos ver que num(G) = num(T ) + num(S). Sabemos de la parte 1que num(S) siempre es un numero par, por lo tanto, si num(G) es parentonces num(T ) tiene que ser par y si num(G) es impar entonces num(T )tiene que ser impar.

3. Vimos de la parte 2 que si num(G) es par entonces el numero de elementosiguales a su propia inversa tambien es par.Sabemos que e = e−1, por lo que existe un numero impar de elementosx 6= e tal que x = x−1, lo que implica que hay al menos uno de ellos.

4. Si tenemos el producto (a1a2...an)2 , donde a1a2...an son los elementos deG, podemos reescribirlo de la siguiente manera:

(a1a−11 a2a

−12 ...ana

−1n )2(aiaj ...ak)2

Donde los elementos ai, aj , ..., ak son elementos iguales a su propia inversa.La multiplicacion de la izquierda da e y la multiplicacion de la derecha lapodemos reescribr ası:

aiaiajaj ...akak

Y podemos ver que tambien da e por lo que (a1a2...an)2 = e

2

5. Si no existe un elemento x de G tal que x 6= e y que x = x−1 entonces elpodemos reescribir el producto a1a2...an ası:

a1a−11 a2a

−12 ...ana

−1n

Que podemos ver que es igual a e por lo tanto a1a2...an = e

6. Si existe exactamente un elemento x de G tal que x 6= e y que x = x−1

entonces el podemos reescribir el producto a1a2...an ası:

(a1a−11 a2a

−12 ...ana

−1n )x

Que podemos ver que es igual a ex = x por lo tanto a1a2...an = x

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