curs 3oanacon/depozit/curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n....
TRANSCRIPT
![Page 1: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/1.jpg)
Unghiul unei drepte ane cu un subspatiu an. Unghiul a doua hiperplaneDistanta dintre doua subspatii ane euclidiene
Volumul simplexelor si paralelipipedelor
Curs 3
Unghiuri, distante, volume
Oana Constantinescu
Oana Constantinescu Curs 3
![Page 2: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/2.jpg)
1 Unghiul unei drepte ane cu un subspatiu an. Unghiul a doua
hiperplane
2 Distanta dintre doua subspatii ane euclidiene
3 Volumul simplexelor si paralelipipedelor
![Page 3: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/3.jpg)
Unghiul unei drepte ane cu un subspatiu an
In spatiul an euclidian orientat n-dimensional
En =(E , (−→E , <,>),Φ
)se considera R = O, e1, · · · , en un
reper ortonormat pozitiv, o dreapta ana d si un subspatiu an
euclidian Y ⊂ E de dimensiune 1 ≤ p ≤ n− 1. Pentru inceput atat
dreapta ana d cat si subspatiul an Y sunt neorientate.
Denition
Unghiul dintre dreapta d si subspatiul an euclidian Y este unghiul
neorientat dintre un vector director arbitrar al dreptei d si
subspatiul liniar euclidian−→Y , adica numarul θ ∈ [0, π
2] denit prin
cos θ =‖ Pr−→
Ya ‖
‖ a ‖, a ∈
−→d , a 6= 0, (1)
unde Pr−→Ya este proiectia ortogonala a vectorului a pe subspatiul
liniar−→Y .
![Page 4: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/4.jpg)
Unghiul unei drepte ane cu un subspatiu an. Unghiul a doua hiperplaneDistanta dintre doua subspatii ane euclidiene
Volumul simplexelor si paralelipipedelor
In gura am notat
Pr−→Ya = a1,
Pr(−→Y )⊥
a = a2.
cos θ =‖ a1 ‖‖ a ‖
Oana Constantinescu Curs 3
![Page 5: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/5.jpg)
Denitia anterioara este corecta deoarece ea nu depinde de alegerea
vectorului director al lui d . Pr−→Y
:−→E →
−→Y este o aplicatie liniara si
‖ · ‖:−→E → R este o aplicatie pozitiv omogena, deci pentru orice
alt b ∈−→d , b = λa, λ ∈ R∗ se obtine
‖Pr−→Yb‖
‖b‖ =‖Pr−→
Y(λa)‖
‖λa‖ =|λ|‖Pr−→
Ya‖
|λ|‖a‖ =‖Pr−→
Ya‖
‖a‖ .
Se poate demonstra ca unghiul dintre a si subspatiul liniar euclidian−→Y este de fapt minimul multimii Ω :=
(a, u) | u ∈
−→Y , u 6= 0
.
![Page 6: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/6.jpg)
Unghiul a doua drepte ane
Aplicam rezultatele anterioare pentru cazul particular in care Y este
tot o dreapta ana in En.
Fie d1 si d2 doua drepte ane neorientate in En. Unghiul dreptelord1 si d2 este numarul θ ∈ [0, π
2] unic determinat de formula
cos θ =|< a1, a2 >|‖ a1 ‖‖ a2 ‖
, (2)
unde a1 ∈−→d1, a2 ∈
−→d2 sunt doi vectori directori nenuli arbitrari ai
celor doua drepte.
Intr-adevar, inlocuind Pra2(a1) = <a1,a2>‖a2‖ a2 in formula (1), rezulta
formula (2).
![Page 7: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/7.jpg)
Amintim ca a orienta un (sub)spatiu an inseamna a orienta spatiul
sau liniar director.
In cazul in care cele doua drepte sunt orientate, considerand
a1 ∈−→d1 si a2 ∈
−→d2 orientati pozitiv, unghiul dintre dreptele
orientate d1 si d2 este numarul θ ∈ [0, π] dat de
cos θ =< a1, a2 >
‖ a1 ‖‖ a2 ‖.
Daca ne situam intr-un plan an euclidian orientat E2, unghiulorientat al dreptelor orientate d1 si d2 (in aceasta ordine) este
numarul θ ∈ [−π, π], unic determinat de relatiile
cos θ =< a1, a2 >
‖ a1 ‖‖ a2 ‖, sin θ =
a1 ∧ a2‖ a1 ‖‖ a2 ‖
,
unde a1 ∈−→d1 si a2 ∈
−→d2 sunt orientati pozitiv,
a1 ∧ a2 =
∣∣∣∣ a11 a12
a21
a22
∣∣∣∣, a1 = a11e1 + a2
1e2, a1 = a1
2e1 + a2
2e2,
e1, e2-baza ortonormata pozitiva in−→E .
![Page 8: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/8.jpg)
Unghiul unei drepte cu un hiperplan
Fie dreapta d = A + [a], a 6= 0 si hiperplanul H = B +−→H de
directie normala(−→H)⊥
= [N], ambele neorientate. Unghiul dintre
dreapta d si hiperplanul H este numarul θ = π2− ϕ ∈ [0, π
2], cu ϕ
unghiul dintre dreapta d si normala la hiperplan.
sin θ =|< a, N >|‖ a ‖‖ N ‖
.
![Page 9: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/9.jpg)
Unghiul a doua hiperplane
Daca hiperplanul si normala sunt orientate, iar a, respectiv N sunt
orientati pozitiv, atunci unghiul dintre d si H este numarul
θ ∈ [−π2, π2
] dat de sin θ = <a,N>‖a‖‖N‖ .
Denition
Unghiul a doua hiperplane (neorientate) este unghiul dintre
normalele la cele doua hiperplane.
Deci daca H1 e hiperplanul de directie normala [N1] si H2 e
hiperplanul de directie normala [N2], atunci unghiul dintre H1 si H2
este numarul θ ∈ [0, π2
] denit de
cos θ =|< N1, N2 >|‖ N1 ‖‖ N2 ‖
.
In cazul in care orientam cele doua normale, atunci unghiul celor
doua hiperplane este θ ∈ [0, π] denit prin cos θ = <N1,N2>‖N1‖‖N2‖
, cu
N1, N2 orientati pozitiv.
Observam ca si aceasta denitie nu depinde de alegerea vectorilor
normali hiperplanelor.
![Page 10: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/10.jpg)
![Page 11: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/11.jpg)
Exemple
In spatiul an euclidian E4 consideram dreptele ane
d1 : x1−12
= x2+1
3= x3
−1 = x4
1, d2 : x1−1
1= x2
1= x3−1
2= x4
1si
hiperplanele H1 : x1 + 2x2 − x3 + 1 = 0,
H2 : 2x1 − x2 + x3 − x4 − 1 = 0.
Atunci unghiul dintre dreptele d1 si d2 este dat de
cos θ1 =|< a1, a2 >|‖ a1 ‖‖ a2 ‖
, a1(2, 3,−1, 1), a2(1, 1, 2, 1), cos θ1 =4√105
105;
Unghiul dintre hiperplanele H1 si H2 este determinat de
cos θ2 =|< N1, N2 >|‖ N1 ‖‖ N2 ‖
, N1(1, 2,−1, 0), N2(2,−1, 1,−1), cos θ2 =
√42
42;
![Page 12: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/12.jpg)
Exemple
Fie 2-planul π cu spatiul liniar director −→π = [b1, b2], b1(1,−1, 0, 1),
b2(0, 1, 0, 1) si dreapta ana d cu−→d = [a], a(1, 1, 0, 1).
Unghiul dintre dreapta d si 2-planul π este determinat de
cos θ =‖ Pr−→π a ‖‖ a ‖
.
Observam ca b1 ⊥ b2 si
Pr−→π a = <a,b1>‖b1‖2
b1 + <a,b2>‖b2‖2
b2 = (13, 23, 0, 4
3). Deci cos θ =
√7
3.
In cazul in care baza subspatiului liniar director −→π nu este
ortogonala, o ortogonalizam prin procedeul Gramm-Schmidt.
Unghiul dintre dreapta d2 si hiperplanul H2 este dat de
sin θ =|< a2, N2 >|‖ a2 ‖‖ N2 ‖
=2
7.
![Page 13: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/13.jpg)
Distanta dintre doua subspatii ane euclidiene
Denition
Fie En =(E , (−→E , <,>),Φ
)un spatiu an euclidian n-dimensional
si E1 =(E1,−→E1,Φ|E1×E1
), E2 =
(E2,−→E2,Φ|E2×E2
)doua subspatii
ane nevide ale sale. Distanta dintre E1 si E2 este numarul real
pozitiv denit prin
d(E1,E2) = min d(P1,P2) | P1 ∈ E1 si P2 ∈ E2 .
Remark Se poate demonstra ca multimea
Ω := d(P1,P2) | P1 ∈ E1 si P2 ∈ E2 admite un minim. O vom
face in pasi succesivi, mai intai considerand cazul in care unul dintre
subspatii se reduce la un punct. Evident daca unul dintre subspatii
este intreg E , minΩ = 0. In cele ce urmeaza eliminam acest caz.
De asemenea, daca ambele subspatii ane se reduc la cate un
punct, distanta dintre cele doua subspatii este distanta dintre
punctele respective.
![Page 14: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/14.jpg)
Distanta de la un punct la un subspatiu an euclidian
Theorem
Fie A ∈ E si E1 ⊂ E un subspatiu an al lui E . Atunci multimea
Ω = d(A,P) | P ∈ E1 admite un minim. Mai exact
minΩ = d(A,B), unde B este piciorul subspatiului normal la E1prin A.
In cazul distantei de la un punct la un hiperplan, obtinem o
formula usor de memorat. Elementele propozitiei urmatoare sunt
date in raport cu reperul ortonormat arbitrar R.
Proposition
Fie A ∈ E un punct de coordonate A(x10, x2
0, · · · xn
0) si H un
hiperplan de ecuatie H : a1x1 + x2x
2 + · · ·+ anxn + a0 = 0,∑n
i=1(ai )
2 > 0. Atunci
d(A,H) =| a1x10 + x2x
2
0+ · · ·+ anx
n0
+ a0 |√a21
+ a22
+ · · ·+ a2n
.
![Page 15: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/15.jpg)
Theorem
Fie E1 si E2 doua subspatii ane arbitrare ale lui E . Atunci
multimea Ω = d(P1,P2) | P1 ∈ E1 si P2 ∈ E2 admite un minim.
Pentru a determina distanta intre doua subspatii ane, consideram
subspatiul an E3 = A2 +(−→E1 +
−→E2), ce contine pe E2 si este
paralel cu E1, alegem un punct oarecare A1 in E1, construimsubspatiul normal la E3 prin A1 si notam intersectia dintre acesta si
E3 cu B . Atunci se poate demonstra ca
d(E1,E2) = minΩ = d(A1,B).
![Page 16: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/16.jpg)
d(E1,E2) =‖ w ‖, w = Pr(−→E1+−→E2)⊥
(−−−→A2A1).
![Page 17: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/17.jpg)
Ne dorim o formula de calcul pentru distanta intre doua subspatii
ane arbitrare.
Theorem
Fie E1 = A1 +−→E1 si E2 = A2 +
−→E2 doua subspatii ane ale lui En si
a1, a2, · · · , ar o baza in−→E1 +
−→E2, 1 ≤ r ≤ n. Atunci
d(E1,E2) =
√√√√G(−−−→A1A2, a1, · · · , ar
)G (a1, · · · , ar )
,
unde G (v1, · · · , vr ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣< v1, v1 > < v1, v2 > · · · < v1, vr >< v2, v1 > < v2, v2 > · · · < v2, vr >· · · · · · · · · · · ·
< vr , v1 > < vr , v2 > · · · < vr , vr >
∣∣∣∣∣∣∣∣ estedeterminantul Gramm al sistemului de vectori v1, · · · , vr.
![Page 18: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/18.jpg)
Aplicand rezultatul anterior pentru cazul in care unul dintre
subspatii se reduce la un punct, obtinem:
Proposition
Fie E1 ⊂s.a.e
E si A ∈ E . Daca A1 ∈ E1 si a1, · · · , ap este o baza
in−→E1,atunci
d(A,E1) =
√√√√G(−−→AA1, a1, · · · , ap
)G (a1, · · · , ap)
.
![Page 19: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/19.jpg)
Facem observatia ca G (a1, · · · , ap) 6= 0⇔ a1, · · · , ap sunt liniar
independenti.
De asemenea, cand cele doua subspatii considerate sunt ambele
drepte ane, are loc:
Proposition
Fie δ1 = A1 + [a1] si δ2 = A2 + [a2] doua drepte ane in En,necoplanare, cu a1, a2 nenuli. Atunci
d(δ1, δ2) =
√√√√G(−−−→A1A2, a1, a2
)G (a1, a2)
.
Daca δ1 si δ2 sunt drepte ane necoplanare in E3, atuncid(δ1, δ2) = d(P1,P2), unde P1P2 este perpendiculara comuna celor
doua drepte, P1 ∈ δ1, P2 ∈ δ2.
![Page 20: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/20.jpg)
Particularizari in E3Observam ca daca spatiul an euclidian ambiant este trei
dimensional, putem sa ne folosim de produsul vectorial si cel mixt
pe−→E pentru a reobtine formulele cunoscute din semestrul I. Vom
folosi urmatoarele identitati studiate:
G (a) =‖ a ‖, G (a, b) =‖ a× b ‖2, G (a, b, c) =(a, b, c
)2.
Atunci distanta de la A ∈ E la dreapta δ = A0 + [a] este
d(A, δ) =
√G (−−→AA0, a)
G (a)=‖−−→AA0 × a ‖‖ a ‖
.
Distanta dintre dreptele necoplanare δ1 = A1 + [a1] siδ2 = A2 + [a2] devine
d(δ1, δ2) =
√√√√G(−−−→A1A2, a1, a2
)G (a1, a2)
=
∣∣∣(−−−→A1A2, a1, a2)∣∣∣
‖ a1 × a2 ‖.
![Page 21: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/21.jpg)
Exemple
In E4 se dau dreapta
δ :x1 − 1
1=
x2 + 1
1=
x3
1=
x4 − 1
0
si 2-planul
π :
x1 + x2 − x3 + x4 + 1 = 0,
x1 − x2 + x3 + x4 − 1 = 0.
Fie A1(1,−1, 0, 1) ∈ δ, a1(1, 1, 1, 0) ∈−→δ , A2(0,−1, 0, 0) ∈ π si
a2, a3 ∈ −→π liniar independenti, a2(1, 0, 0,−1), a3(0, 1, 1, 0). Pentru a
determina o baza in −→π am folosit ecuatiile subspatiului liniar director
−→π :
x1 + x2 − x3 + x4 = 0,
x1 − x2 + x3 + x4 = 0.Se verica liniara independenta a
vectorilor a1, a2, a3, deci acestia formeaza o baza in−→δ +−→π . Calculam
G (−−−→A1A2, a1, a2, a3) =
∣∣∣∣∣∣∣∣2 −1 0 0
−1 3 1 2
0 1 2 0
0 2 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0, deci d(δ, π) = 0.
Deoarece a /∈ −→π , rezulta ca d * π, deci d ∩ π = P. Determinati
coordonatele lui P!
![Page 22: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/22.jpg)
Fie A(1, 1, 1, 1) si 2-planul π = A0 + [a1, a2], A0(1, 0, 0, 1),a1(1, 0, 0, 0), a2(−1, 1, 0, 0).
Atunci d(A, π) =
√G(−−→A0A,a1,a2
)G(a1,a2) = 1.
Fie dreptele
δ1 :x1 − 1
0=
x2
1=
x3
0=
x4
0, δ2 :
x1
0=
x2 − 1
0=
x3
0=
x4
1.
Deci δ1 = A1 + [a1] si δ2 = A2 + [a2], cu A1(1, 0, 0, 0, ),A2(0, 1, 0, 0), a1(0, 1, 0, 0), a2(0, 0, 0, 1).
Atunci d(δ1, δ2) =
√G(−−−→A1A2,a1,a2
)G(a1,a2) = 1.
![Page 23: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/23.jpg)
p-paralelipiped
Fie En un spatiu an euclidian n-dimensional. Fie A0 ∈ E si
u1, u2, · · · , up ∈−→E liniar independenti, 0 < p < n.
Se numeste p-paralelipiped determinat de punctul A0 si de vectoriiu1, u2, · · · , up, multimea
[A0; u1, u2, · · · , up] =
P ∈ E | P = A0 +
p∑i=1
λi ui , λi ∈ [0, 1], ∀i ∈ 1, p
.
p-paralelipipedul este dreptunghic daca
< ui , uj >= 0, ∀i , j ∈ 1, p, i 6= j .Un varf al p-paralelipipedului este un punct
Ai1i2···ik = A0 + (ui1 + · · ·+ uik ), k ∈ 1, p.O fata k-dimensionala a p-paralelipipedului este multimea punctelorP ∈ E de tipulP = A0 + λi1 ui1 + · · ·+ λik uik + λik+1 uik+1
+ · · ·+ λip uip , λi1 , · · · , λik ∈
[0, 1], λik+1 , · · · , λip ∈ 0, 1.De exemplu, muchia [A0A1] este o fata 1-dimensionala:P ∈ E | P = A0 + λ1u1 + 0u2 + 0u3, λ
1 ∈ [0, 1].
![Page 24: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/24.jpg)
Pentru p = 1 obtinem un seg-
ment [A0; u] = [A0A1], A1 =A0 + u.
Pentru p = 2, [A0; u1, u2]este un paralelogram reunit
cu interiorul sau, de varfuri
A1 = A0 + u1, A2 = A0 + u2,A12 = A0 + (u1 + u2).
Pentru p = 3 obtinem
ca [A0; u1, u2] este paralelipi-
pedul cu tot cu interiorul sau,
cu varfurile
A1 = A0 + u1, A2 = A0 + u2,
A3 = A0 + u3, A12 = A0 +
(u1 + u2), A13 = A0 + (u1 +
u3), A23 = A0 + (u2 + u3),
A123 = A0 + (u1 + u2 + u3).
![Page 25: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/25.jpg)
Volumul unui p-paralelipiped
Denition
Volumul p-paralelipipedului [A0; u1, u2, · · · , up] este dat de formula
V =√G (u1, · · · , up).
Formula generalizeaza rezultatele cunoscute din geometria
elementara.
Pentru un segment, volumul sau se reduce la distanta dintre
capetele segmentului.
Pentru un 2-paralelipiped in E3, volumul devine aria
paralelogramului construit pe cei doi vectori, si anume
A =√
G (u1, u2) =‖ u1 × u2 ‖, iar pentru volumul unui
3-paralelipiped in E3 se obtine formula cunoscuta
V =√G (u1, u2, u3) =| (u1, u2, u3) |.
![Page 26: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/26.jpg)
p-simplex
Fie A0 ∈ E si u1, u2, · · · , up ∈−→E liniar independenti, 0 < p < n.
Se numeste p-simplex denit de punctul A0 ∈ E si vectoriiu1, u2, · · · , up, multimea
< A0; u1, u2, · · · , up >=P ∈ E |
−−→A0P =
∑pi=1 λ
i ui , λi ≥ 0, ∀i ∈ 1, p,
∑pi=1 λ
i ≤ 1
< A0,A1, · · · ,Ap >=
P ∈ E | P =
∑pi=0 λ
iAi , λi ≥ 0, ∀i ∈ 0, p,
∑pi=0 λ
i = 1
Ai = A0 + ui , ∀i ∈ 1, p.
O fata k-dimensionala a simplexului < A0,A1, · · · ,Ap > este un
k-simplex de tipul < Ai1 , · · · ,Aik >.Pentru p = 1 obtinem tot un segment, pentru p = 2 obtinem un
triunghi (impreuna cu interiorul sau), iar pentru p = 3 se regaseste
un tetraedru (cu tot cu interiorul sau).
![Page 27: Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n. Unghiul a doua hiperplane Distanta dintre doua subspatii a ne euclidiene Volumul](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/611b431981fa225fb8400070/html5/thumbnails/27.jpg)
Volumul p-simplexului
Denition
Volumul p-simplexului < A0; u1, u2, · · · , up > este dat de formula
V =1
p!
√G (u1, · · · , up).
In E3 pentru un 2-simplex reobtinem aria triunghiului si pentru un
3-simplex volumul tetraedrului.