curs cf. geometria căii în plan
TRANSCRIPT
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
1/34
GEOMETRIA CIICALEA FERAT N PLAN
Generaliti
n proiectarea liniilor noi de cale ferat i n reconstrucia celor existente, oproblem deosebit o constituie stabilirea poziiei axei n plan orizontal, adicrezolvarea planului de ituaie!i fixarea niveletei cii, adic rezolvarea pro"iluluilon#itudinal$ Aceste elemente de baz n proiectarea unei ci ferate au o marensemntate deoarece de ele depind caracteristicile tehnice i economice deconstrucie i exploatare ale cii ferate (timpi de mers, tonaje, viteze etc., cheltuielide execuie, de ntreinere i exploatare, durata de exploatare, eficiena economic,confortul i si!urana circulaiei.
"odificrile ulterioare ale planului de situaie sau ale profilului n lun! impusede noi indici tehnico # economici, presupun dificulti deosebite, mai ales dac se facsub circulaie. $ostul unei lucrri sub circulaie # dac se ine cont i de pierderiledatorate ntreruperilor de circulaie # este cel puin dublu fa de costul lucrrilorefectuate n condiii normale.
$aracteristicile !eometrice ale traseelor de cale ferat difer pentru liniacurent i pentru liniile din staii.
Alinia%ente &i 'ur(e 'ir'ulare
Alinia%entele sunt sectoarele din traseu n care axa cii este n linie dreapt.%e caracterizeaz prin orientare i lun!ime.
Orientarea )Oi* este definit prin un!hiul format de aliniament cu axa & # %.'rientarea este important din punctul de vedere al studiului posibilitilor denzpezire a liniei, care depind de orientarea liniei fa de direcia vnturilordominante din timpul iernii.
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
2/34
Aliniamentele au lun#i%ile )e# A*, sau *A # A* sau *A # )i.Aliniamentele lun!i asi!ur viteze sporite, vizibilitate optim, rezistene i
uzuri minime.+nul din indicii de calitate al unui traseu este raportul lun!ime aliniamente
lun!ime total, raport care depinde n special de relief. n -lveia l alt /0 1, n2rana la lt /3 1, n *omnia la lt 45 1 i n fosta +*%% la lt 46 1.
7e plan mondial, cel mai lun! aliniament este de 865 9m ntre 7erth iAdela:de n Australia. n *omnia, cel mai lun! aliniament este de // 9m pe linia;ucureti # $onstana ntre staiile ;r!anu i # evitarea lucrrilor de art i de terasamente de volume mari, i costisitoare,deci reducerea costului investiiei>
# evitarea monotoniei traseului.
?ntroducerea curbelor # n !eneral cu raze mici, prezint urmtoareledezavantaje=
# lun!irea traseului datorit abaterii de la linia dreapt># reducerea vitezei de circulaie># reducerea confortului i a si!uranei circulaiei, mai ales la viteze mari, prinapariia acceleraiilor transversale neechilibrate ntotdeauna>
# nscrierea mai dificil a vehiculelor n curbe i necesitatea amenajrii specialea curbelor>
# necesarul suplimentar de for de traciune din cauza rezistenelor
suplimentare ce apar n curbe># reducerea forei de traciune prin reducerea coeficientului de aderen># sporirea uzurii inelor i a bandajelor roilor>
@0
@
@B
)e0)
i0*A
A*
)eB
)iB
'B
'
'0
CB
C
C0
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
3/34
# necesitatea consolidrii suprastructurii cii i sporirea cheltuielilor dentreinere a cii n curb>
# reducerea vizibilitii.' parte din inconvenientele sus menionate, se por reduce prin=# utilizarea curbelor cu raze mari># introducerea curbelor pro!resive (de racordare cu curbura variabil>
# reducerea declivitii lon!itudinale pe sectoarele n curb># efectuarea i a altor amenajri (supralr!iri, etc..7entru curbele circulare exist urmtoarele raze caracteristice=Raza %ini% ad%ii(il rezult din condiia de posibilitate a nscrierii
locomotivelor n curb, deoarece va!oanele se pot nscrie i n curbe cu raze maimici.
7entru ecartamentul normal de B806 mm, *min BD5 E 55 m.n *omnia, exist pe unele linii curbe cu raze mici, dup cum urmeaz=# pe linia ;ucureti # )imioara, ntre ;alota i Calea Alb, *min 55 m>
# pe linia %imeria # 2iliai, *min BD5 m> # pe linia )imioara # *eia, ntre ;oca i $olan, *min B86 m># pe linia Frmneti # Catra Fornei, *min BD5 m># pe linia Forneti # &isipitu, *min B65 m># pe linia 'ravia # Anina, *min BB8 m i chiar B5 m (dmax B 555> rc 0
555># pe linii industriale *min B55 m.
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
4/34
C R R g
= = 0
180 200
# (ie'toarea 'ur(ei 'ir'ulareH;I este limitat de punctele HCI i H"I ("este n mijlocul curbei
# tan#entele de intrare &i ie&ire )ii )e
Metode de traare a 'ur(elor pe teren
-xist mai multe metode de trasare a curbelor pe teren funcie de confi!uraiaterenului i particularitile curbei.
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
5/34
# a''eleraia nor%al este proporional cu ptratul vitezei i inversproporional cu raza instantanee ( ) , este caracteristic micrilor curbe.
$orespunde forei centripete F mv
c=
2
care obli! mobilul (vehiculul s se
menin pe curba dat.n cazul vehiculelor de cale ferat, fora centripet este dat de aciunea de
!hidare a firului exterior, care prin buza bandajului obli! vehiculul s se menin petraseul impus, descriind curba.
Fac n micarea curb acceleraia tan!enial nu pune probleme, acceleraianormal are valoare semnificativ i este orientat spre exteriorul curbei, e!al i desens contrar cu acceleraia centripet an , i tinde s scoat vehiculul de pe traiectoriacurb dirijndu#l spre exterior.
n afar de condiiile de si!uran a circulaiei ameninate de tendina foreicentrifu!e # reaciune a forei centripete # de a scoate vehiculul de pe ine, la caleaferat, de altfel ca i la drumuri, se impun i condiii de comoditate i confort care
trebuie ndeplinite i respectate la proiectarea, construcia i ntreinerea cii.
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
6/34
vor referi i la acceleraia normal i n acelai timp i la curbur. Aceste elemente
(2c , an i1
variaz dup anumite le!i pe parcursul racordrilor i se menin
constante pe lun!imea arcului de cerc.
Amplasarea racordrilor se face simetric fa de punctele de intrare i de ieiredin curba primitiv ()ii )e, obli!nd n acest fel strmutarea arcului de cerc central(sectorul *$ # $* spre centru curbei cu o mrime PmI i deci modificnd puin razacurbei de la * la * # m> ntruct strmutarea arcului, adic valoarea PmI este foartemic, aceast modificare este neesenial. %e ajun!e astfel la noiunea se Pcurb curacordriI, adic la ansamblul format din curba circular central (*$ # $* i celedou curbe de racordare (A* # *$ i $* # *A situate ntre aliniamente i arcul de
cerc central.-lementele principale ale unei curbe cu racordri sunt=# punctele= C, )i, )e, ", "O, A*, *$, $*, *A# mrimile= *, m, (sau +, ), $, (lun!imea )i # )e, ;, (distana C", i
lun!imea l, adic lun!imea curbei de racordare asimilat cu lun!imea proieciei ei pelun!imea aliniamentului.
$urbele de racordare ndeplinesc urmtoarele roluri=
# elimin apariia brusc a acceleraiilor normalev
R
2
i deci elimin ocurile
ce apar la intrrile i ieirile din curbele de arc de cerc># asi!ur un mers linitit (confortabil prin variaia continu a forei centrifu!ede la valoarea zero (corespunztoare aliniamentului la valoarea constant
mv
R
2
de pe cuprinsul curbei circulare, precum i a celorlalte fore, respectiv
acceleraii (acceleraii un!hiulare, acceleraii de ridicare pe vertical, etc.># asi!ur introducerea n curb a supranlrii i supralr!irii n mod treptat,rampa supranlrii i racordarea supralr!irii, efectundu#se de re!ul, pelun!imea sau n cuprinsul curbelor de racordare.
Condiii pe 'are tre(uie le /ndeplinea' o 'ur( de ra'ordare
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
7/34
Avnd n vedere c pe lun!imea curbelor de tranziie se face i introducereasupranlrii, curbele de racordare sunt curbe n spaiu.
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
8/34
dy
dx
dy
dx tg
x
x x
=
=
=
=
0
0
0
0
ntre punctele A* i *$, variaia un!hiului (t! trebuie s fie continu i
monoton (cresctoare.0. ntre punctele A* i *$ variaia forei centrifu!e trebuie s fie i ea
continu i monoton, de la valoarea zero n aliniament, la valoarea
F mv
Rc=
2
pe cuprinsul curbei circulare. Aceast condiie este ndeplinit
dac i curbura1
are n acest interval o variaie continu i monoton,
mr!init de valorile=
10
1 1
0 0
0 0
=
=
=
=
= =
= =
x lx
x x lx x
d
dl
d
dl R
A*
S
x W l
x W lx
X
Xo
Xo So
x
M
*
*$
$urba de racordare
t! XoW X
o
x
Fia!rama un!hiurilor
x W l
x W lx
M
*
*$
A*
dSdx t! X W X
x
dXdx an vM $v
h
A*
xoW l
xWlx
B*h
*$
Fia!rama curburilor i a
supranlrilor
Fia!rama vitezei de
ridicare a roii
xoW lA*
*$
x
d$dx vr
BMx
Fia!rama acceleraiilor
de ridicare a roii
*$
A*
d$dx ar
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
9/34
Aceasta nseamn c la nceputul curbei de racordare, adic n punctul A*,
curbura1
respectiv fora centrifu! sunt nule, iar la sfritul curbei de racordare n
punctul *$, curbura este1
R
iar fora centrifu! F
mv
Rc=
2
.
$ondiia exprim faptul c acceleraia normal a v
n=
2
, adic ceea ce simt
cltorii cnd trenul parcur!e o curb, trebuie s fie nul la nceputul curbei, s
varieze continuu i monoton pe intervalul A* # *$ i s ajun! la valoareav
R
2
la
sfritul curbei de racordare.
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
10/34
dhx
dx
dhx
dlx
dhx
dx
dhx
dlx
x lx
x x lx l
=
=
=
=
= =
= =
0 0
0
0
0
Avnd n vedere proporionalitatea supranlrii h cu curbura B se poatescrie=
=
=
=
=
=
=
5
5
B
5
5
llx
lx
lx
dlx
dC
dlx
dC
dlx
d
+ltima condiie se mai poate explica dup cum urmeaz= pe cuprinsul curbei deracordare acceleraia normal (an care apare pe direcia radial (normal la curb
crete odat cu curbura de la valoarea zero (n punctul A* la valoareav
R
2
n punctul
*$.Cre&terea a'etei a''eleraii! adic ocul care se produce cnd acceleraia
variaz brusc, tre(uie "ie %i'(zero la nceputul curbei &i varieze 'ontinuupe lun#i%ea 'ur(ei de ra'ordare!ajun!nd iar la zero la sfritul racordrii.
av
n=2
>
da
dt
d
dlx
vv
d
dlx
v dC
dlx
n =
=
=
3
3 31
v cons t dlx v dt dt
dlx
v C= = = =
tan ; ; ;
1
$reterea acceleraiei normale, adic smucitura, este limitat prin condiii deconfort impuse de circulaie.
6. +ltima condiie, impus numai pentru curbele de !rad superior, cu variaiacurburii de !radul 0 sau mai mare, folosite la viteze foarte mari, este= forade inerie corespunztoare acceleraiei de ridicare pe vertical pe rampasupranlrii trebuie s nu apar brusc. Aceast condiie este ndeplinit
cnd n punctele A* i *$ acceleraia de ridicare (cea care de fapt seresimte este zero, iar pe lun!imea curbei de racordare valorile ei variazcel puin liniar, fr s depeasc anumite limite. n acest caz, pentru
punctele A* i *$ se poate scrie=d hx
dtlx
2
2
0
0
=
=
id hx
dtlx l
2
2 0
=
=
n funcie de curbur, acceleraia de ridicare (ar se poate exprima=
2
2
22
2
2
r
dlxhxdv
dlxdhx
dlxdv
dlx
dhx
dt
dlx
dlx
dv
dt
dhx
dlx
dv
dlx
dhx
dt
dlx
dt
d
dt
dhx
dt
d
dt
hxda
==
=
=
=
=
==
Feoarece viteza v este constant i supranlarea hx este proporional cucurbura, adic hx 9 x $, rezult=
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
11/34
a d hx
dt v
d hx
dlx v K
d C
dlx K
d C
dlxr= = = =
2
2
2
2
2
2
2
2 1
2
2
7entru punctele A* i *$, relaia devine=
d C
dlx
d C
dlx
lx
lx l
2
2
0
2
2
0
0
=
=
=
=
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
12/34
un!hiul di raza de curbur . nseamn c un!hiul corespunztorpunctului " este e!al cu suprafaa .
dlx d = > 1
=d
dlx
d dlx
= 1
>
=1
0
dlxlx
Feoarece odat cu creterea abscisei lxcrete i suprafaa , funcia este o
funcie continu i monoton ca i funcia1
.
'rdonata S n punctul " rezult din dy dl= sin> ( )y dlx dlxlx lx
= sin 0 0
Asimilnd pentru un!hiurile mici valoarea sinusului cu valoarea un!hiului,rezult c ordonata S este e!al cu suprafaa 1> %imilar funciei , i funcia S estecontinu i monoton (cresctoare n raport cu arcul lx.
Asemntor se poate arta c i abscisa x este o funcie continu i monotonn raport cu arcul lx. Fe altfel, aa cum s#a mai artat, pentru curbele de tranziiesimplificate i pentru un!hiuri mici, se pot admite e!alitile=
tgsin;lx;lx 0x
Lun#i%ea 'ur(elor de tranziie )ra'ordare*
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
13/34
A''eleraia nor%alv2
crete odat cu timpul pe toat durata parcur!erii
curbei de racordare. $ondiii de comoditate i confort impun ca variaia acceleraieinormale HjI n ms0s nu depeasc anumite limite deduse experimental. n ipotezavitezei constante, acceleraia normal este proporional cu curbura $, iar spaiul
parcurs lx este proporional cu timpul, deci creterea acceleraiei n timpj
da
dt
n=
reprezint chiar derivata curburii n raport cu timpul.
=
==
1
dt
dv
v
dt
d
dt
daj 2
2
n (m s0
sau deoarece dl vdt = i dt dl
v=
j d
dt
v d
dl
vv
d
dl v
dC
dlx x x=
=
=
=
2 3
3 31
(m s0
n cazul variaiei liniare a curburii=
xx llR1ltg1C ===
lR
1
l
1
R
1tg ==
adic j v d
dl
l
R l
v
R lx
x=
=3
3
sau j v
lx=
3
# j 5,6 B,5 ms0pentru linii de cale ferat cu confort redus.7entru j 5,0 ms0, lun!imea minim a curbei de racordare devine=
( )l
v
R j
V
R
V
Rmin , ,= =
=
3 3
3
3
36 03 14 (m
n cazul vitezelor mari, adic a variaiei de !radul a curburii, pentru a nu fidepit valoarea maxim a lui HjI, respectiv a un!hiului , lun!imea de racordare
necesar va fi dubl ca n cazul precedent= l
l. Feoarece n acest caz, pe lun!imeacurbei de tranziie creterea acceleraiei normale HjI atin!e valoarea maxim ntr#unsin!ur punct ", se pot accepta pentru j valori mai ridicate.
7entru j 5,6 ms0, valoarea lui HlI devine=
( ) R12V
5,0R6,3
V2
jR
v2l2l
3
3
33'
min ==== (m
7entru j B,5 m s0,
( )l l
v
R j
V
R
V
Rmin'
, ,= = =
=2
2 2
36 10 24
3 3
3
3
(m
l
lx
ZBM BM B*
*$
lxA*
$ BM
lO l
lll
"
*$
B*lxA*
$ BM
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
14/34
A''eleraia un#-iular ( )a este limitat prin condiiile de confort la valorintre 5,5 5,56 radsec (B5 B5 5 65 sec, valori deduse tot experimental.
&otnd viteza un!hiular cu (un!hiul n radiani sau !rade cu care vehiculul serotete n jurul unei axe verticale n unitatea de timp, aceast vitez un!hiular crete
pe lun!imea curbei de racordare pn la intrarea n arcul de cerc pe parcursul cruiarmne constant. 7entru o circulaie confortabil, se impune ca variaia vitezei
un!hiulare s nu depeasc valorile susmenionate=A
sec56,5...5A,5 raddt
da ==
7entru o acceleraie un!hiular constant (variaie liniar a curburii, rezult=
v
lxt;
v;v;
ta ====
deci = a v v
lx
v
lx
= =
2
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
15/34
6,3
Vx
l
h2
6,3
Vx
2
l
h070,0 ==
deci, l h Vmin= 8 (mmsau l h Vmin ,= 0008 (m(h n mm i C n Gmh
7entru aceeai lun!ime a curbelor de racordare, valoarea maxim a vitezei deridicare de 5,545 ms pentru rampa curbilinie, corespunde cu o valoare a vitezei deridicare de 5,506 ms ntr#o ramp cu variaia liniar.
Para(ola 'u(i'
n funcie de importana liniei, de viteza de circulaie i de confortul dorit, lacalea ferat se pot folosi diferite tipuri de curbe de racordare determinate prin funciial!ebrice (parabole, clotoide, lemniscate sau prin funcii tri!onometrice (sinusoida.7e reeaua feroviar din *omnia, se folosesc=
# pentru viteze sub B5 Gmh parabola cubic (curbura cu variaia liniar># pentru viteze peste B5 Gmh parabola de !radul 8 (curbura cu variaie
curbilinie, n form de %.$elelalte curbe (clotoida, lemniscata, sinusoida etc. se folosesc mai rar pentru
c prezint dificulti la construcia i ntreinerea cii din cauza complicaiilor detrasare i retrasare a curbelor, la realizarea i meninerea supranlrii care arevariaia identic cu a curburii i pentru c pentru vitezele curente de circulaie de pereeaua $2*, care nu depesc B85 Gmh, curbele de racordare cu variaie parabolic
(!radul 0 i 8, sunt suficient de exacte.Para(ola 'u(i' ad%ite o variaie liniar a 'ur(urii! adi' e ne#li0eaz
'ondiia a 3 4 a (variaia supranlrii h pe lun!imea rampei de racordare se poate
conduce dup aceleai le!i ca i curbura1
.
n coordonate carteziene, ecuaia curburii are expresia=
( )'"
2
32
2
2
2
y1
y
dx
dy1
dx
yd
1
+=
+
=
deoarecedy
dx
2
este foarte mic, se poate ne!lija, deci expresia curburii devine=
"
2
2
ydx
yd1
==n ipoteza unei variaii liniare, ecuaia curburii este de forma=
B*
ll xB*
"
*$
A*
BM
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
16/34
bxay1 " +==
pentru x 5,1
5, deci b 5
*ezult c1
= =y a x
$oeficientul PaI se determin din condiia c la sfritul curbei de racordare * iar x5l, deci=
1 1
= = =
R a x a l a
R l=
1
deci yR l
x =
1
7rin inte!rare= y yR l
x c' = =
+ 1
2
2
7entru x 5, S 5 (n A* curba este tan!ent la aliniament deci c 5
deci= yR l
x' =
1
2
2
7rin inte!rare= y x
R l d=
+
3
3 2
7entru x 5, S 5, deci d 5
-cuaia curbei de racordare a parabolei cubice devine=lR6
xy
3
=
n plan, prin introducerea curbei de racordare, curba arc de cerc se deplaseaz
fa de poziia iniial (curba primitiv cu o cantitate PmI, ntr#o poziie paralel,tan!ent la direcii paralele cu aliniamentele iniiale. $urba de racordare lea! arculde cerc deplasat cu valoarea PmI cu aliniamentele iniiale.
S
A*
*$
xoW l
ll
$urba deplasat
x
$urba primitiv
*$O)i
Xo X
*$
Xo
* # m
*
S*$
*$ m
M
7
m
Sc
*
l
S$
7
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
17/34
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
18/34
# un!hiul ( ) 0 02
2 2tg y
x
R l
l
Rx lx l
= =
=
==
'
# lun!imea real ( l r a parabolei cubice este mai mare dect proiecia ei pe axa'Q
l dx dy l l
Rr
l
= + + 2 23
2
0 40
7arabola cubic este folosit drept curb de racordare de foarte multeadministraii, inclusiv pe reeaua $2* pentru viteze sub B5 9m h datoritavantajelor pe care le prezint n ceea ce privete uurina de calcul i simplitate latrasare.
)otui, folosirea parabolei cubice este limitat datorit aproximrilor fcute ladeducerea formulei de calcul dup cum urmeaz=
a -cuaia parabolei cubice s # a obinut prin ne!lijarea lui (SO , ceea ce estevalabil numai la raze foarte mari deoarece=
( ) ( )y y lR
l
Rx l
'
max
' ,2 2
2 2
2
025= =
=
=
n acest caz, eroarea introdus este ne!lijabil numai dac raportul l * estemai mic de 5,, n care caz ( ) 01,0y 2max' > Aceasta corespunde unui un!hi 5 demaxim B5 !. 7entru valori l * mai mari de 5,, erorile n calcul devin prea mari.
*ezult de aici, limitele maxime pentru lun!imea curbelor de racordare ipentru un!hiul 5=
lmax 5, * i 5 maxB5 !
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
19/34
m l
R m l R=
2
24 002 07, ,min
e 7entru l [ lmaxsau 5 >5 maxse poate utiliza parabola cubic mbuntit deecuaie=
y l
R R l x= +
12
1
6
2
3
2
3
Aceasta este dedus la fel ca ecuaia parabolei cubice obinuite, dar fr a sene!lija termenul
dy
dx tg
l
R= =
02
7arabola cubic mbuntit poate fi utilizat pn la un!hiuri 0sporite lacirca 8 !, rezultnd urmtoarele elemente !eometrice=
( )
( )
y l
R
l
R
tg y l
R l
l
R l y
m y y y R
RC
x l RC
RC C RC
= +
= = +
=
= =
=
2 2
3
2
0
2
3
2
0
6 1
2
6
31
2
3
1
'
cos
f $hiar i ecuaia corectat anterior, limiteaz domeniul de utilizare aparabolei cubice deoarece raza curbei nu descrete continuu de la infinit la zero, citrece printr#un minim=
d
dx
= 0 obinut din ( )[ ]
=
+1 2
3
2y
y
'
pentru care se obine gmax( %1%2%=
*acordarea este posibil numai dac >min sau 5
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
20/34
-cuaiile parametrice ale clotoidei se obin din=
x
lx
0x
x
lx
0x
ldsinysinlddy
ld'(sx'(slddx
==
==
7rin dezvoltarea n serie a funciilor cos i sin se obine=
++=
++=
*+*7*5*3sin
*&*6*%*21(s
+753
&6%2
-cuaiile parametrice ale curbei !enerale de racordare vor fi=
+
=
=
+
+
=
=
lx
0
lx
0x
52
x
32
x
2
xx
2
x
lx
0
lx
0x
62
x
%2
x
22
xx
2
x
ld*5
1
lR2
l
*3
1
lR2
l
lR2
lld
lR2
lsiny
ld*6
1
lR2
l
*%
1
lR2
l
*2
1
lR2
l1ld
lR2
l(sx
deci=
+=
+=
55
11x
33
7x3x
%%
+
x
22
5
x
x
lR%22%0
l
lR336
l
lR6
ly
lR3%56
l
lR%0
llx
Acestea sunt ecuaiile clotoidei. %eriile sunt rapid conver!ente, deci n calculese pot lua numai primii termeni. Feplasarea spre interior a arcului S5 de cerc primitiv,adic mrimea HmI se determin din=
( ) ( )0000 '(s1Ry'(sRRym ==
( ) +== = 56
3
%2
llx0R%22%0
l
R336
l
R6
lyy
( )
R2
lllx0 == =
( )
+=+=
+=
+
=
3
%2
3
%2
3
%2
3
%2
0
%2
0
R26&&
l
R2%
l
R3&%
l
R&
l
R336
l
R6
lm
R3&%
l
R&
l(s1R
*%
1
R2
l
*2
1
R2
l1(s
+==%
5
2
3
00R3%7%0
l
R2%0
l
2
lsinRx$
7entru simplificare, n relaiile de mai sus, de altfel ca i n calculele practice,se admite c raza iniial a arcului de cerc este * N m, deci dup introducerearacordrilor, raza scade la valoarea *. %e admite de asemenea, c centrul curbelorcirculare (primitiv i dup racordare se menine n punctul '.
p
Xo
So
* cos X*$
'
*
m
A*
S
x
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
21/34
Fac n relaiile de mai sus se iau numai primii termeni, se obin chiar relaiilece definesc parabola cubic=
2
l$;
R2%
lm;
lR2
l;
lR6
xy;lx;lx
22
x3
0x ======
$hiar cu mbuntirile aduse, parabola cubic cu o variaie liniar a curburii,
nendeplinind condiiile privitoare la eliminarea ocurilordC
dlx
n punctele A* i *$
i a variaiei brute a acceleraiei de ridicared C
dlx
2
2
pe rampa supranlrii, este
limitat ca utilizare pe reeaua $2* la Cmax B5 9m h. 7entru viteze mai mari, sefolosesc curbe de racordare cu variaia curbilinie a curburii.
Para(ola de #radul 3
Fac pentru curbur se admite o variaie de !rad superior, adic o variaie de
forma unui P%I, apariia forei centrifu!e i a acceleraiei de ridicare a rotii se facemai lin, fr ocuri, deci se mbuntesc condiiile de comoditate i confort. %e obinastfel curbe de racordare de !radul 8, care, fa de avantajele privind circulaia,
prezint dezavantajul unei proiectri, trasri, execuii, verificri i ntreineri maidificile, n special n privina nivelului cii pe lun!imea racordrilor.
Admind o variaie a curburii n P%I, determinarea ecuaiei curbei deracordare ca parabol de !radul 8 se face separat pe sectoarele A; i ;$.
Pe e'torul A5ecuaia curburii este de forma=
( )1 1 22
=
+ = + +y
yy y a x " x c
'
(ecuaia !eneral de !radul 7entru determinarea coeficienilor a, b, i c, se dau valori particulare n ecuaia
curburii i n derivata ecuaiei curburii (tan!enta la curba A;, adic n expresia
y a x " ' = +2
pentru x y c= = =0 0 0
pentru x y "= = =0 0 0'
l # xx
l8l8l8l8
B*B*
*$$-\
;
x
2]FA
A*
BM
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
22/34
pentru
A
A
A
BU
A lRa
Ry
lx ===
-cuaia curburii devine=1 2
2
2
==y
R lx (A
7rin inte!rare=
y y R l x d' = = 2
3 2
3
Feoarece pentru x 5, SO (tan!enta la parabol n punctul A* 5 i deci =
y yR l
x e x
R l= = + = '
1
6 62
4
4
2 pentru c pentru x 5, S 5, deci e 5.
-cuaia parabolei de !radul 8 pe sectorul A; este=
yx
R l=
4
26
Pe e'torul 5C
ntr#un punct la distana (l # x considernd ca valabil ecuaia curburii dedusanterior (A i pentru sectorul $; (ori!inea n $, rezult=
(
yR R l
l x=1 2
2
(;verificare= pentru
xl
yR R
x l yR
=
==
2
1
1
-xplicitnd, relaia (; devine=y
Rl
R l=1 2
2
2
7rin inte!rare=
A*
xoW l
ll
$urba deplasat
x
$urba primitiv
*$O)i
Xo X
*$
Xo
* # m
*
S*$
*$ m
M
7
m
Sc
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
23/34
y x
R
x
R l
x
R l d'= + +
2 2
3
2 3
2 ($
$oeficientul d se determin prin aplicarea condiiilor la limit=
pentru x l
y x
R l
x
R l
l
Rx
lx
l= =
=
=
= =2 6
4
6
1
12
4
2
2
3
2
2
, ' (finalul sectorului A;
1
12 2
1
2
1
12 6
l
R
l
R
l
R
l
R d d
l
R= + + =;nlocuind n ($ se obine=
y x
R
x
R l
x
R l
l
R'= + +
2 2
3 6
2 3
2
7rin inte!rare se obine=
y x
R
x
R l
x
R l
l x
R e= + + +
1
2
2
3
1
4
2
3 6
2 3 4
2 (F
Caloarea lui e rezult din=
pentru=x
ly
x
R l R l
l l
Rx l= =
= ==2 6
1
6 16 96
4
2
2
2
4 2
;
Fin (F, rezult=
l
R
l
R
l
R l
l
R l
l
R
le
2 3 4
296
1
2 4
2
3 8
1
6 16 6 2= + + +
R%&
l
12
1
+6
1
12
1
&
1
+6
1
R
l
22
=
++=
n acest caz, ecuaia final va fi=
( )y x
R
x
R l
x
R l
l x
R
l
R # sa$
yR l
x l x l x l x l
= + +
= + +
2 3 4
2
2
2
4 3 2 2 3
4
2
2
3 6 6 48
1
6 4 3
8
'
Feoarece= 22
2 4 38
4
4 3 2 2 3
4
x l
x l x l x l x l
= + +
ecuaia se mai poate scrie=
yR l
x x l
=
1
6 2
22
4
4
Calori particulare=
y l
R
y yR l
l l l
R
tg y l
R
l
R l
l
R l
l
R
l
R
x l
x l RC
x l
=
=
=
=
= =
=
= = + + =
2
2
2
4
4 2
0
2 3
2
96
1
6
2
16
7
48
2 2
3 6 2 '
R2
l,-C.,aria/C./aria!C.!ariald
1tg x
l
00 ====
2%
l7
l
R2
R
l
%&
7tgy'C
22
0RC ===
R%&
l
R&
l
R
l
%&
7yym
222
CRC ==
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
24/34
Caloarea strmutrii PmI este de dou ori mai mic dect n cazul paraboleicubice. Fin aceeai condiie m min cm, rezult lun!imi mai mari pentru parabolade !radul patru=
l
R l R
2
48 002 , min
Fin cauza aproximaiei introduse n calculul lui PmI prin acceptarea lui
y lRC
2
8 , se impune limitarea lun!imii parabolei la valoarea= l Rmax 34 , identic ca la
parabola cubic.Fin cauza dificultilor de calcul, trasare, execuie i ntreinere, parabola de
!radul 8 se utilizeaz numai pentru viteze mai mari de B5 9m h sau n cazurispeciale (curbe scurte.
Con'luzii aupra 'ur(elor de ra'ordare
$ondiiile prevzute se refer la elementele !eometrice i mecanice alecurbelor de racordare i conduc la un numr mare de curbe, unele mai simple, altelemai complexe.
2olosirea uneia sau a alteia depinde de importana liniei, de preteniile deconfort i de viteza de circulaie.
%e ale!e de re!ul expresia curburii echivalent n !eneral cu variaiasupranlrii.
"ajoritatea administraiilor de cale ferat au adoptat parabola cubic dinmotive de simplitate de proiectare, trasare, execuie i ntreinere. n *omnia, esteutilizat numai pentru vitezele sub B5 9m h.
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
25/34
se impune ndeplinirea i a condiiei 6. ale!ndu # se funcia ( ) ( )% d C
dl a
lx
=2
2 n mod
corespunztor, cu valori nule n punctele A* i *$ i cu o variaie continu.-xpresia (a poate fi de tip al!ebric sau tri!onometric.ntre parabola cubic i de !radul patru, se poate face o paralel, dup cum
urmeaz=
n dia!ramele acceleraiilor de ridicare a roii, suprafeele pozitive trebuie sfie e!ale cu cele ne!ative (%B %, iar constanta nedeterminat rezult din condiia ca
n punctul de abscis PlI, curbura s fie1
R. 2unciile al!ebrice se folosesc mai rar. n
schimb, curbele de tip tri!onometric cu variaia curburii i a acceleraiei de ridicarede tip sinusoidal sunt indicate pentru viteze foarte mari i au fost aplicate pe linia)oGio # 'saGa i n %pania.
%inusoida satisface inte!ral i condiiile 8 i 6.
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
26/34
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
27/34
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
28/34
ml
R m
l
R m m
l
R
l
R l l
3
3
2
4
4
2
3 4
3
2
4
2
4 324 48 24 48
141= = = = =; ; ; ,
# trecerea de la parabola de la parabola de !radul 8 Pl8I la sinusoid PlBI
ml
R m
l
R m m l l
4
4
2
1
1
2
4 1 1 448 612
117= = = =;,
; ; ,
# trecerea de la parabola de !radul 0 Pl0I la sinusoid PlBI
m m l l1 3 1 316= =; ,7entru alte modificri, rezult alte rapoarte ntre lun!imile curbelor de
racordare # existente i modificate # sau dac se pstreaz aceeai lun!ime deracordare, apar modificri n valoarea lui PmI i curba nou prsete traseul existent.
$ondiia pstrrii un!hiurilor aliniamentelor revine la a pstra nemodificatsuprafaa dia!ramei curburilor, adic prin modificarea lun!imilor de racordare iniiale(li n lun!imi finale (lf s se pstreze e!alitatea= aria A;$F aria AO;O$OFO, adicmrimea un!hiului central iniial obinut prin inte!rarea curburilor.
Ra'ordarea 'ur(elor alturate
ntre dou curbe care se succed, conform instruciunilor n vi!oare, trebuie s
existe un aliniament PaI de mrime aV
max2
(m pentru o perioad de oscilaie a
va!onului de B,D sec.n cazul curbelor apropiate, n `aponia se consider pentru viteze mari o
perioad de oscilaie a va!onului de circa B,6 sec, ceea ce conduce la lun!imeaminim a aliniamentelor de
a V V
= =15
36 24
,
, ,(m
?nstrucia 0B8 prevede c lun!imea minim a aliniamentelor este a V +5
6 (m,
unde C reprezint viteza maxim de circulaie n 9m h pe poriunea respectiv.Aceast lun!ime minim este necesar deoarece=# vehiculul de o anumit lun!ime s nu fie amplasat simultan pe dou curbe,
mai ales n cazul curbelor de sens contrar># apar ocuri care conduc la inconfort># la curbe i contracurbe se pot depi lateral tampoanele, ceea ce poate
conduce la deraiere.Aliniamentul intermediar poate fi redus pn la=# amin 5 m pentru viteze # amin 05 m pentru viteze >B5 9m h.
$O;
lili
B* FOF
$;O
AO
lf lf
A
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
29/34
n acest sens, va trebui ca ntre vrfurile de un!hi a dou curbe succesive s fieo distan de minim=
AA
minB
BABAA
Tl
al
TVV ++++
unde=# )Bi )sunt valorile tan!entelor curbelor circulare primitive () * t! >
# lB i lsunt lun!imile curbelor de racordare pentru curbele B, respectiv (curbele de racordare fiind amplasate jumtate pe aliniament i jumtate pe arcul decerc primitiv. 2iecare curb se trateaz n acest caz independent.
Fac aliniamentul intermediar este mai mic dectVmax2
, curbele se numesc
alturate i se trateaz mpreun. Aliniamentul intermediar poate avea valori maimici sau poate chiar lipsi dac ntre cele dou curbe circulare se introduce o curb deracordare comun, respectiv un arc de curb de racordare a crei raz s varieze ntreraza *B i raza *, acestea fiind razele curbelor alturate.
$urbele alturate pot fi de acelai sens sau de sens contrar.7entru calculul curbelor alturate se admit dou ipoteze6# variaia curburii se face dup o ecuaie de !radul B (liniar># suprafaa dia!ramei curburilor rmne nemodificat.n cazul 'ur(elor u''eive de a'ela&i en, curbura medie are valoarea=1
2
1 1
21 2
1 2
1 2R R
R R
R R+
=
+
-cuaia curburii are forma=( )y a x "= + 1
7entru determinarea valorilor PaI i PbI, se impun condiii la limit=
pentru xl
yR
= =2
1
2
Aliniament )ll)B
*ABCB )eB
$*B
*$B
)iB
A*B
*B
A*
*A
)e
C
$**$
)i
*
B*BM 5
B*B
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
30/34
pentru xl
yR
= =
2
1
1
nlocuind n (B se obine=
1
2
1
2
2
1
R
la "
R
la "
= +
= +
deci=
a R Rl R R
"R R
R R
=
= +
1 2
1 2
1 2
1 22
-cuaia curburii devine=y
R R
l R R
1
1
7rin inte!rare=
y R R
l R R
x R R
R R x c'=
+
++1 2
1 2
2
1 2
1 22 2
%
%B
*BN *
*B*
B*B*
Bx
BM
x
S
ll
x
S
mB
mm
S;SA
;A
**B
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
31/34
7entru( )
21
21
2
0202RR&
RRlsi;
R
1
2
lsintg'y;
2
lx
====
adic=( )
21
21
21
21
2
21
21
RR&
RRlx
RR2
RR
2
x
RRl
RR'y
+
++
=
?nte!rnd din nou se obine=( ) ( ) ( )
dRR&
xRRl
RR%
xRR
RRl6
xRR
y21
21
21
2
21
21
3
21
+
++
+
=
7entruB
A
D>
A R
ly
lx
! === (din cercul de raz *B
deci=( )
dl R R
R R=
21 2
1 248
( ) ( )
21
21
2
21
212
21
213
21
21
RR%&
RRlx
RR&
RRlx
RR%
RRx
RRl6
RRy
+
+
++
=
sau = y R R
l R R
lx
x
R=
+
+1 2
1 2
3 2
16 2 2
7entru a se introduce racordarea parabolic, este necesar s se fac deplasareaunei curbe fa de cealalt cu cantitatea PmI. Aceasta se face prin deplasarea uneisin!ure curbe circulare cu mrimea total PmI sau prin deplasarea ambelor curbe cuvalorile PmBI i PmI cu condiia ca= mBN m m
Caloarea strmutrii PmI rezult din=( )
m y l
R
R R
l R R l
l
R
l
R
R R l
R R&= =
+ =
2
2
1 2
1 2
3
2
1
2
2
1 2
2
1 28 6 8 8 24
Fin fi!ur, pentru
( )x y m
l R R
R R= = =
0
481
2
1 2
1 2; Feci= m m
m1 2
2= =
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
32/34
meninerea nemodificat a suprafeelor dia!ramelor curburii, printr#o racordareliniar a curburilor pe lun!imea curbei de tranziie.
$ele dou suprafee triun!hiulare %B i % fiind e!ale ca valoare al!ebric,suprafaa dia!ramelor curburilor rmne ne modificat i e!al pe lun!imea PlI acurbei de racordare cu=
lR R
l R RR R2
1 12
1 2
1 2
1 2
+
=
-cuaia curburii are forma=( )y a x "= + 1
7entru determinarea valorilor PaI i PbI, se impun condiii la limit=
pentru xl
yR
= =
2
1
2
pentru xl
y
R
= =
2
1
1
nlocuind n (B se obine=*
BJ *
*B*
*BN *
*B*
%B
%
x
BM
B*
# B*B
X5
X5
mm
mB
S?
x?
ll
x
SS;
SA
?
*
*B
;
A
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
33/34
1
2
1
2
2
1
R
la "
R
la "
= +
= +
deci=
aR R
l R R
"R R
R R
= +
=
1 2
1 2
1 2
1 22
-cuaia curburii devine=y
R R
l R R
1
1
7rin inte!rare=
y R R
l R R
x R R
R R x c'=
++
+1 2
1 2
2
1 2
1 22 2
7entru( )
x l
y tg l
R i c
l R R
R R= = = =
+
2 2
1
802 02
2
1 2
1 2
; ' sin ;
adic=( )
y R R
l R R
x R R
R R x
l R R
R R'=
++
+
+1 2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
1 22 2 8
?nte!rnd din nou se obine=
( ) ( ) ( )y R R xl R R
R R xR R
l R R x R R
d= + + + + +1 23
1 2
1 2
2
1 2
1 2
1 26 4 8
7entru x l
y l
R= =
2 8
2
1
;
deci=( )
dl R R
R R=
+21 2
1 248
( ) ( )y
R R
l R R x
R R
R R x
l R R
R R x
l R R
R R=
++
+
++
+1 2
1 2
3 1 2
1 2
2 1 2
1 2
2
1 2
1 26 4 8 48
sau = y R R
l R R
lx
x
R= +
+
1 2
1 2
3 2
16 2 2
$elelalte elemente !eometrice ale racordrii sunt=( )
m y l
R
R R
l R R l
l
R
l
R
R R l
R R&= =
+ =
+2
2
1 2
1 2
3
2
1
2
2
1 2
2
1 28 6 8 8 24
Fin fi!ur, pentru( )
y ml R R
R R
mmx= = =
+= =
0 1
2
1 2
1 2
248 2
$oordonatele punctului de inflexiune ? sunt=
x x
y y
i y
i x
-
8/13/2019 Curs CF. Geometria cii n plan
34/34
n practic se lucreaz cu tabele de calcul.n afara cazurilor prezentate, mai pot interveni i urmtoarele cazuri
particulare=# curbe alturate de acelai sens cu aliniament intermediar># curbe alturate de sens contrar cu aliniament intermediar># racordri introduse ulterior pentru curbe existente fr deplasarea curbei
circulare># curbe alturate numai din racordri># racordarea liniilor paralele aflate n aliniament>
cu sau fr supranlri>cu sau fr curbe circulare>cu sau fr racordri parabolice>cu sau fr aliniament intermediar>
# racordarea liniilor paralele situate n curb.Aceste cazuri se trateaz pe baza particularitilor pe care le prezint fiecare i
formeaz aplicaii ale principiilor stabilite anterior.%e menioneaz c introducerea curbelor de racordare nu rezolv inte!ral
ocurile i acceleraiile necompensate care apar n curbe. $urbele de racordaredistribuie pe o anumit lun!ime apariia i dispariia forei centrifu!e, dar efectulacesteia rmne necompensat, motiv pentru care se prevd i alte amenajri alecurbelor, pentru satisfacerea exi!enelor impuse de si!urana i confortul circulaiei.
7entru racordarea a dou aliniamente pot fi utilizate curbele circulare frcurbe de racordare numai n cazul unor raze foarte mari, caz n care supranlrilenormale HhnI sunt mai mici sau e!ale cu B6 mm .
7entru valori ale supranlrii HhnI rezultate din calcule mai mari de B6 mm,ntre aliniamente i curbele circulare se introduc curbe de racordare sub form de
parabol cubic, parabol de !radul patru sau alte ecuaii al!ebrice sautri!onometrice.
7e lun!imea curbelor de racordare de !radul trei, curbura i rampasupranlrii variaz liniar.
7e lun!imea curbelor de racordare de !radul patru, curbura i rampasupranlrii variaz n form de H%I.