ELEMENTE CONSTRUCTIVE I CONCEPTE DE BAZ Elementele constructive ale geometriei proiective sunt: punctul, dreapta, planul i suprafeele reglate de ordinul doi. Din aceste elemente se pot forma construcii geometrice unidimensionale, plane i spaiale cu proprieti geometrice specifice numai lor. Punctul acesta este cea mai mic parte distinct constructiv dintre elementele constructive ale geometriei proiective. n geometria proiectiv punctele pot fi proprii i improprii (sunt situate la infinit), singulare i duble (suprapuse), distribuite pe dreapt, n plan sau spaiu, uniform sa-u neuniform. Dreapta proiectiv (fig. 1) este format din punctele abcd i se deosebete prin aceia c, n general punctele pe ea sunt distribuite neuniform, dar conform legii de reprezentare pe ea a fascicolului de raze. Esena acestei reprezentri const n aceia, c dac unghiurile dintre razele adiacente sunt egale atunci segmentele ab, bc i cd se raport unul la altul ca diferena tangentelor direciilor respective, msurate de la direcia perpendicular pe dreapta dat i direciile respective, ce determin segmentele menionate.1. ab tg tg = ; bc tg tg bc tg tg = cd tg tg

....

Dreapta proiectiv are un punct situat la infinit (impropriu), care se afl la intersecia razei paralele cu dreapta OX, dar fiindc, punctul impropriu, se poate afla n ambele capete ale dreptei OX, n geometria proiectiv aceasta este tratat ca o nchidere la infinit a dreptei (fig. 2).S

X O a b c d

Fig. 1. Dreapta proiectiv ca rezultat a fasciculului de raze cu punct central reprezentat pe ea

Planul proiectiv este format din puncte i drepte proiective, una dintre care este improprie. Prin urmare un astfel de plan, ca i dreapta proiectiv are suprafaa unui cilindru, care se nchide pe generatoarea sa improprie. Suprafaa reglat de ordinul doi (hiperboloidul cu o pnz fig. 3 sau cazul su particular paraboloidul hiperbolic fig. 4) este format din puncte, drepte, generatoarele sale i o curb improprie de ordinul doi sau dou drepte improprii. n geometria proiectiv reprezentarea i transformarea sunt sinonime.1

Fig. 2. Dreapta proiectiv n concepia geometriei proiective

Fig. 3. Hiperboloidul cu o pnz

Un mod de a reprezenta dreapta ox (fig. 5) pe dreapta o/x/ n fascicolul de raze cu centrul S este reprezentarea n perspectiv. Analitic aceasta poate fi reprezentat (vezi fig. 5) Prin urmtoarea formul:

2

x = So

x + So * tg So x * tg

Fig. 4. Paraboloidul hiperbolic

S

O/ O1 O90 0 ( + )

a a/

x

x/

Fig. 5. Reprezentarea dreptei Ox pe dreapta O/x/ n fascicolul de raze cu centrul S 3

De asemenea, pot fi efectuate urmtoarele reprezentri: un fascicol de drepte pe o dreapt i invers o dreapt pe un fascicol de drepte, un fascicol pe alt fascicol, un plan pe alt plan etc. Reprezentrile proiective pot fi perspective sau corelate (reprezentrile corelate a dreptelor pe un plan - pot fi efectuate cu fascicolul de raze tangente la o curb de ordinul doi, n spaiu cu fascicolul de raze tangente la suprafeele reglate de ordinul doi), ele sunt bine definite, de exemplu, la reprezentarea unei drepte pe alt dreapt, unui punct de pe dreapta iniial i aparine un singur punct de pe dreapta transformat. Astfel de puncte se numesc corespondente. Dreptele, legate de posibilitatea de proiectare reciproc, ca i punctele, se numesc drepte corespondente. Trecnd la planele corespondente, putem vorbi despre o coresponden de puncte i linii, unde este posibil corespondena dintre punctele i dreptele proprii cu cele improprii. Dreptele, planele i spaiile se pot afla n coresponden perspectiv sau corelativ. n ultimul caz apar elemente constructive de ordinul doi curbe plane suprafee reglate spaiale de ordinul doi. n grupa reprezentrilor proiective, ca un caz particular, sunt reprezentrile perspective i afine. Transformarea perspectiv se deosebete prin aceia c, la reprezentarea unei drepte pe dreapt, unul din puncte devine dublu sau neschimbat. La reprezentarea n perspectiv a unui plan pe alt plan (n spaiu) dubl devine o pereche de drepte congruente ale acestor plane. Drepte congruente se numesc, dou din dreptele proprii, care se pot suprapune una peste alta n aa fel, nct toate punctele corespunztoare lor se vor suprapune i vor devene duble. La reprezentarea n perspectiv a unui plan pe alt plan ele se vor intersecta dup dreapta dubl menionat, care n cazul dat se va mai numi axa perspectivei. Reprezentarea afin, este al doilea caz particular important a reprezentrilor proiective, i se deosebete prin aceia, c elementele improprii ale construciei n urma transformrii afine rmn improprii. De aceia orice familie de drepte paralele a planului sau spaiului trec ntr-o familie de trepte paralele corespunztoare planului sau spaiului transformat, iar orice dreapt cu puncte dispuse ordonat i uniform pe ia trece ntr-o dreapt cu puncte corespondente dispuse uniform i ordonat. Cu toate acestea, trebuie de avut n vedere, c dac pe dreapta iniial punctele sunt dispuse neuniform, atunci n urma transformrii afine neuniformitatea punctelor se pstreaz. Punctele corespunztoare pe dreapta reprezentat, vor fi amplasate astfel nct raportul dintre lungimile corespunztoare de pe dreapta iniial i cea transformat va fi o mrime constant constanta acestei transformri. n plan toate elementele se alungesc i se scurteaz pe dou direcii perpendiculare, numite diametre conjugate principale a transformrii afine. Astfel de diametre perpendiculare conjugate n spaiu sunt trei. n termeni metrici pe diametrele conjugate principale deformaiile figurilor sunt extreme. Cazuri speciale de reprezentri afine sunt: transformri de rudenie, deplasarea pur afin, conform i congruent. La transformri de rudenie planurile corespunztoare afine trebuie s aib o pereche de drepte, care sunt corespondent congruente. n raport cu ele toate punctele corespondente cumulate de poziie trebuie s efectueze o alungire proporional simetric sau strngere a unui plan fa de altul.4

La deplasarea pur afin fa de dreapta dubl, punctele planului transformat se deplaseaz pe direciile, paralele acestei drepte, astfel nct acestea cu ct sunt mai departe de ea, cu att mai mult se deplaseaz direct proporional fa de ea. La transformarea conform are loc extensia proporional a figurilor pe toate direciile uniform fa de un punct dublu. Cu toate acestea direciile i unghiurile, construite de la un punct al planului iniial (spaiu iniial), i pstreaz valoarea i n planul (spaiul) transformat, dac acestea sunt direciile i unghiurile respective. Reprezentarea congruent este un caz particular al reprezentrii conforme, atunci cnd nu are loc nici un fel de deformaii ale figurilor, dar are loc suprapunerea planelor sau spaiilor prin translaii i rotaii, n aa fel c elementele corespunztoare planului (spaiului) iniial i transformat se suprapun i devin duble. Sub denumirea de fascicul de raze, plane i suprafee riglate de ordinul doi vom conveni s nelegem combinaiile multiple ale acestor elemente, combinate cu elemente specifice stabile: puncte, drepte, plane. Fascicolele posed proprieti proiective, fcnd legtur ntre punctele i dreptele corespunztoare planelor sau spaiilor. Cel mai cunoscut este fascicolul razelor proiective i planurile imaginei proieciei centrale, care vom conveni s-l numim fascicol cu punct central, deoarece razele i planele n acest fascicol aparin unui singur punct centrului de proiecii. Mai puin cunoscute, dar care vor fi menionate n acest curs, va fi fascicolul biliniar, fascicolul uniliniar i fascicolul multiliniar al razelor, planelor i suprafeelor riglate de ordinul doi. Fascicolul biliniar de drepte raze, plane i suprafee riglate de ordinul doi face parte dintr-un grup special de trei drepte, dou dintre care se ntretaie ntre ele, iar a treia intersecteaz primele dou. Fascicolul uniliniar de asemenea, este format din aceleai elemente, dar care aparin unei singure drepte. Fascicolul multiliniar - de asemenea, este format din aceleai elemente i este totalitatea fasciculelor biliniare, dreptele speciale ale crora se afl pe dou plane ce se intersecteaz, avnd o dreapt comun. Toate transformrile proiective care vor fi studiate mai departe, au o proprietate important, numit inciden, meninerea apartenenei punctelor dreptelor, dreptelor planelor, planelor spaiului. n consecin, pstrarea ordinii de dispunere a punctelor pe dreapt, a dreptelor pe plan i a planelor n spaiu, suprapunerea lor este exclus. 2. CONSTRUCII GEOMETRICE I REPREZENTRI PROIECTIVE N PLAN Vom studia de la nceput reprezentarea afin a dreptei pe o dreapt n fascicolul de raze proiective. n fig. 6 sunt reprezentate dou reprezentri afine. Una n fascicol cu punct central cu centrul de proiecie S perspectiva i a doua n fascicol de drepte, tangente la o curb de ordinul doi, - corelate. n ultimul caz dreptele corespunztor afine sunt dispuse una fa de alta arbitrar i singure devin tangente la aceiai curb.5

Este uor de observat, c corespondena perspectiv este un caz particular al corespondenei corelate, cnd dreptele corespunztor afine sunt paralele ntre ele, iar centrul de proiecie S se poate afla n afara spaiului dintre aceste drepte, ct i n interiorul lui. Corespondena afin a dreptelor n fascicol se pstreaz i n cazul, cnd centrul de proiecie al fascicolului de drepte devine impropriu, iar razele de proiecie sunt paralele ntre ele (fig. 7). Corespondena corelativ n fascicolul de drepte, tangente la curba de ordinul doi, se pstreaz i n cazul general de coresponden proiectiv a dou drepte (fig. 8), aflnduse la reprezentarea lor n perspectiv n fascicolul cu punct central, situate neparalel una fa de alta. Astfel, indiferent care nu ar fi corespondena proiectiv a dou drepte, inclusiv i toate cazurile speciale, la dispunerea lor arbitrar una fa de alta, razele ce unesc punctele corespunztoare ale acestor drepte, formeaz mpreun cu dreptele respective un set de tangente la o curb de ordinul doi. n consecin, o curb de ordinul doi n plan se poate de construit cu ajutorul a dou drepte, care se afl ntr-o coresponden proiectiv, de exemplu ntr-o coresponden congruent (fig. 9).

6

S

a a/ b/

b

c c/

d d/

d c b a

Fig. 6. Reprezentarea afin a dreptei abcd pe dreapta a /b/c/d/ n fascicolul de drepte cu centrul S i n fascicolul de drepte tangente la o curb de ordinul doi a b c d

a/

b/

c/

d/

Fig. 7. Reprezentarea afin a dreptei n fascicolul de raze paralele (centrul este situat la infinit )

7

S

d c a a/ b

b/

c/ d/

a b c d

Fig. 8. Reprezentarea proiectiv a dreptei de poziie general n fascicolul de raze cu punct central (perspectiv ) i n fascicolul de raze tangente la o curb de ordinul doi (corelativ )

8

1

2 3

4 5 6 7

8 9

10 11

12

12

11 10

9

8

7

6 5

4

3

2

1

Fig. 9. Construirea curbei de ordinul doi cu ajutorul a dou drepte congruente

2.1. Punctele speciale a dou linii proiectiv corespunztoare Dou drepte corespondent proiective au dou puncte specifice V i c (c/), (fig. 10), care sunt uor de gsit, dac le-ai pus ntr-o coresponden perspectiv ntru-n fascicol de drepte cu punct central. Unul din puncte se afl la intersecia acestor drepte i este dublu, iar al doilea c i c/ sunt situate de la punctul V la distane egale. Sau Vc = Vc/ Prin urmare, dou drepte proiectiv corespondente pot fi suprapuse n plan n aa fel nct s formeze o dreapt dubl cu dou puncte duble V i c. La corespondena afin a dreptelor n fascicolul de raze cu punct central (vezi fig. 7 sau fig. 6) la suprapunerea lor punctul dublu propriu va fi unu. Pe fig. 6 punctele, punctele analoage c i c/ (vezi fig. 10), formal se vor afla pe perpendiculara, cobort din centrul de proiecie S, i la intersecia dreptelor corespunztoare (vezi fig. 7). A doua pereche de puncte, suprapuse n punctul V (vezi fig. 10), se va afla la infinit. Prin urmare, rolul punctelor c i c/ (vezi fig. 10) pe dreptele corespondent afine (vezi fig. 6 i 7) poate juca rolul orice pereche de puncte corespunztoare. Astfel, dou drepte corespondent afine la suprapunerea lor n dreapt dubl pot avea un singur punct propriu dublu. Cu toate acestea acest rol poate juca orce pereche de puncte proprii corespunztoare acestor drepte. n cazul congruenei dreptelor ele pot fi suprapuse cu9

toate punctele i n rezultat aceast dreapt dubl, n ntregime va consta din puncte duble.S

C

C/ V

Fig. 10. Punctele duble a dreptelor corespondent proiective

2.2 Corespondena proiectiv a fasciculelor de drepte cu puncte centrale Fascicolele de drepte corespondent proiective cu punct central, la fel ca si dreptele corespondent proiective, se pot afla n coresponden reciproc, att perspectiv ct i corelativ. Aceasta este condiionat de poziia lor reciproc n plan. Dac dou fascicole de drepte corespondent proiective cu puncte centrale se afl n coresponden reciproc perspectiv (fig. 11), atunci la intersecia razelor / / corespunztoare aa ...dd se va obine un ir de puncte coliniare 1, 2, 3, 4 o linie dreapt. Dac aceleai dou fascicole vor fi, unul fa de altul, dispuse altfel, atunci la intersecia razelor corespondente aa/...dd/ se va obine o curb de ordinul doi 1, 2, 3, 4, S, S/ (fig. 12). ns trebuie de avut n vedere c, dac centrele fascicolelor se afl de ambele pri ale unei drepte, ca pe fig. 11, atunci unul dintre fascicole, de exemplu S, a, b, c, d, trebuie s fie amplasat n plan, n vedere invers (n oglind), ceia ce nsemn c ordinea de amplasare n fascicole, a dreptelor corespunztoare, trebuie s fie identic dup acele ceasornicului, sau mpotriva acelor ceasornicului. Curba de ordinul doi, la corespondena reciproc a dou fascicole de drepte corelate, se va obine, indiferent de orientaia lor, n afar de una, perspectiv, atunci cnd la intersecia razelor corespunztoare se va forma o dreapt. De aceia perspectiva a dou fascicole de raze proiectiv corespondente, trebuie de considerat ca caz particular al corespondenei proiective.10

S a 1 2 3 4 a/

b

c

d

b/

c/

d/

S/ Fig. 11. Corespondena perspectiv a dou fascicole de drepte cu punct central 2 1 3 4

a/

b/

c/

d

/

a

b

c

d

S/

S

Fig. 12. Corespondena corelativ a dou fascicole de raze cu puncte centrale 3. REPREZENTRILE PROIECTIVE A PLANELOR I MNUNCHIURILOR

Reprezentare proiectiv a planelor i mnunchiurilor poate fi efectuat n spaiu i pe plan (omologie). Reprezentrile proiective a mnunchiurilor cu punct central pot fi puse n aplicare doar n spaiu pentru c mnunchiul de plane este o construcie spaial. Sub denumirea de mnunchi n general vom conveni s nelegem construcia din linii, plane i suprafee riglate de ordinul doi, care asigur o coresponden proiectiv a dou obiecte i elementele componente ale acestora, n acest caz a planelor, care este legtura dintre punctele lor - cu raze drepte, dreptelor - cu plane sau suprafee riglate de ordinul doi, planelor - cu fascicule monoliniare sau biliniare.

11

3.1 Reprezentarea perspectiv a planelor Reprezentarea perspectiv a planelor se efectueaz n mnunchiul de raze proiective cu punct central, constnd din raze directe i plane, aparinnd unui punct centrul mnunchiului (fig. 13). Planele corespunztor proiective P i E, puse n coresponden perspectiv n mnunchiul de raze i plane cu punct central, trebuie s aib dou drepte, care sunt congruent corespondente i n perspectiv trebuie s fie suprapuse cu toate punctele lor, formnd o dreapt dubl, compus n ntregime din puncte duble. O astfel de dreapt n fig. 13 este dreapta VV. Dreapta dubl VV poate fi att proprie, ct i improprie. n ultimul caz planele trebuie s fie n coresponden conform i plasate n mnunchiul cu punct central paralel unul fa de altul.S

v

b a P

d B

c

v v

C

E A D Fig. 13. Corespondena perspectiv a planelor P i E n fascicolul de raze proiective cu punct central

v

Centrul de proiecie poate fi amplasat pe de o parte a planelor, precum i ntre ele. n cazul n care centrul de proiecie S este deplasat la infinit, atunci mnunchiul va deveni un set de drepte paralele ntre ele i plane ce se intersecteaz pe aceste drepte. n acest caz, (fig. 14) este asigurat reprezentarea planului E pe P i invers, numit12

reprezentare de rudenie. Ambele reprezentri menionate ( conform i de rudenie) sunt cazuri particulare de reprezentare afin.v

a

b

v d B c

C

v

v A D Fig. 14. Corespondena afin (de rudenie) a planelor P i E n fascicolul de raze proiective cu punct impropriu

Prin urmare, mnunchiul de raze proiective cu punct central, n special cu centrul propriu, nu asigur transformarea afin a planelor de poziie general, care nu este ntotdeauna luat n considerare n lucrrile cunoscute ale geometriei proiective. Dou plane corespunztor afine de poziie general nu au linii congruent corespondente. 3.1.1 Elementele constructive de baz ale corespondenei perspective a planelor Elementele constructive de baz ale corespondenei perspective a planelor (fig. 15) sunt: planele corespondente P i E; planele orizontului E i P ; planul verticalei principale SiPiEV; urma planului P (n planul E) i E (n planul P), care trec prin punctele iE i iP numite liniile orizontului; urma interseciei reciproce a planelor P i E, care trece prin punctul V, care aparine simultan i planului verticalei principale; verticalele principale ale planelor P i E iPV i iEV corespunztor; centrul de proiecie S, care este, de asemenea, centrul mnunchiului de raze proiective cu punct central; punctele principale ale orizontului iP i iE a planelor P i E; punctele deformaiilor nule cP i cE a planelor P i E; punctul V baza perspectivei. Elementele enumerate de mai sus permit s efectum construciile geometrice necesare pentru obinerea oricrei imagini a unui plan pe altul.13

Dac prin centrul de proiecie S i orce punct m a planului P se duce un plan, astfel nct urma lui n planul P s fie paralel verticalei principale iPV, atunci urma lui n planul E trece prin punctul principal al orizontului iE, iar raza de proiecie mS, ce aparine acestui plan, la intersecia cu urma menionat n planul E ne va da punctul m/, care este corespondentul punctului m din planul P.nP

cP

m

iP V1 S

V2

V

iE

n/ cE

m/E

Fig. 15. Elementele constructive ale corespondenei perspective a planelor

Punctul m/ se poate de construit i prin alt metod. n cazul n care prin punctul m i raza deformaiilor nule cPcE vom duce un plan, care n prelungire dincolo de desen se va intersecta cu axa perspectivei VV, atunci urma acestui plan n planul E, va trece prin punctul cE, la intersecia cu raza mS ne va da punctul m/. Astfel, pot fi construite i liniile care trec prin dou puncte. n acest caz , prin oricare dou puncte ce aparin dreptei mn i centrul de proiecie S se poate duce un plan proiectiv pn la intersecia lui cu axa perspectivei n punctul V1. Din punctul obinut se duce urma acestui plan pn la un punct al dreptei reprezentate (de exemplu m/), obinut prin una din metodele descrise mai sus. Pe aceast urm se va afla i al doilea punct n/,14

corespondenta punctului n, care se obine ducnd prin punctul iniial n i centrul de proiecie S raza proiectiv pn la intersecia ei cu urma planului proiectiv n punctul n/.3.1.2

Condiiile geometrice al reprezentrii perspective a planului n varianta standard i varianta nestandard Varianta standard

n varianta standard a reprezentrii perspective al planelor se ndeplinesc urmtoarele condiii geometrice. De exemplu, planurile P i E (vezi fig. 15) sunt scoase din amplasarea perspectiv reciproc i necesit de a pune din nou aceste plane n alt mnunchi de raze proiective cu punct central cu centrul S/ (fig. 16).P/ C/P (CP)

i /P(i P) S/ V/(V)

i/E

C /E E/ Fig. 16. Varianta standard de reprezentare perspectiv a planului

n aceast figur sunt prezentate elementele principale a perspectivei planelor P/ i E/ inclusiv i planul verticalei principale S/i/PV/ , ntruct amplasarea reciproc i comutarea n ele invariantele perspectivei cPiP cu c/Pi/P i iPV cu i/PV/ ne asigur rezolvarea problemei puse. Unghiul ntre planele P/ i E/ (vezi fig.16) nu este egal cu unghiul iniial dintre planele P i E (vezi fig. 15). Acest fapt are o importan practic n fotogrammetrie, fiindc se creeaz condiii, care s permit la un singur dispozitiv optico-mecanic rezolvarea problemei transformrii perspective a fotogramelor, obinute cu diferite sisteme de fotografiere cu mecanism central.15

Mai sus a fost examinat cel mai des ntlnit varianta transformrii perspective a imaginii, de exemplu aerofotograma. ns n practic destul de des este necesar de recurs la rezolvarea nestandard a problemei, deoarece rezolvarea standard n cazuri concrete devine imposibil sau inacceptabil. Vom examina cteva variante de rezolvare. Reprezentarea dubl i multipl a planelor n perspectiv Presupunem c noi avem reprezentarea planului n perspectiv i trebuie s obinem altul, cu proprieti prestabilite. Vom numi o astfel de reprezentare perspectiv dubl. Reprezentarea n perspectiv dubl a planelor se poate ntlni n cmpurile orientate, (orientate se numesc cmpurile, la care elementele perspectivei sunt paralele ntre ele) n dou versiuni: cu schimbarea poziiei punctului de deformaii nule i cu pstrarea poziiei sale, adic cu pierderea sau pstrarea incidenei sale. Punctul n planul E, corespunztor punctului c din planul P, trebuie s aparin dreptei iEi/, dar punctul nu va avea proprietatea de conformitate, care are punctul c/ ce nu coincide cu dreapta menionat. A avut loc pierderea incidenei (apartenenei dreptei corespunztoare). Cu schimbarea poziiei punctului de deformaii zero, adic cu pierderea incidenei n cmpurile orientate, pot exista de asemenea dou cazuri. Primul caz (fig.17) este modificarea planului de perspectiv n condiiile n care poziia liniei de dispariie att n planul iniial, amplasat n planul P, ct si n planul transformat n planul E, rmne de aceiai parte din care a fost pe planul original. Consecutivitatea punctelor iab de pe planul original P rmne aceiai i pe planul transformat E. Dac ne referim la fotogram linia orizontului fa de imagine rmne de aceiai parte. Vom numi o astfel de transformare perspectiv direct. Al doilea caz (fig.18) difer prin aceia, c perspectiva planului este inversat, adic linia de dispariie, amplasat pe imaginea original n planul P din partea punctului b (pe fig.18 abi), pe imaginea transformat n planul E este amplasat din partea punctului a/ (pe aceiai fig. b/a/i/). Dac ne referim la fotogram, linia orizontului fa de imagine se amplaseaz de partea opus. Vom numi o astfel de transformare perspectiv invers. Cazul urmtor cu pstrarea poziiei punctului de deformaie zero, mai bine zis cu asigurarea incidenei acestui punct, n acest caz apartenena lui dreptei, care este verticala principal a planului perspectiv. Punctul de deformaii zero c n planul transformat coincide cu acelai punct cP a planului P. Cu toate acestea, punctul principal de fug i nu coincide cu punctul iP a planului P. Ca rezultat, vom obine o nou perspectiv n planul E cu invariantul c/i/. Ambele aceste cazuri, de transformare perspectiv a planelor pot fi folosite att cu pierderea, ct i conservarea incidenei punctului c la transformarea dubl i multipl a fotogramelor la primele etape de transformare i ulterioare, cu excepia ultimei etape, cnd transformarea este efectuat n versiunea standard. n cmpurile neorientate de asemenea poate fi obinut perspectiva planului transformat. n principiu, planul perspectivei nou, poate avea orice localizare a16

elementelor perspectivei. Metodele de determinare a localizrii acestor elemente vor fi studiate mai departe n planurile combinate (n omologie).

17

i P a 1 b CP c

2 iP

S 21 c1 iE V

1/ CE i/ a/ c/

b/

E Fig. 17. Transformarea planului cu perspectiva direct 18

Obinerea planului afin cu ajutorul perspectivei duble n paragrafele anterioare au fost examinate cazurile de obinere a planurilor perspective noi prin transformarea perspectiv repetat a originalului. Toate aceste planuri sunt diferite prin aceia c au cte o pereche de linii, care sunt n congruen, i perechi de puncte de deformaii nule corespunztoare, cu proprietatea de conformitate (unghiuri nedeformate, construite n aceste puncte).P

cP (c) i iP

S

V

cE(c/)

E

i/

Fig. 19. Transformarea perspectiv cu pstrarea poziiei punctului de deformaii nule n cmpul punctelor imaginii

S presupunem c avem o vizualizare n perspectiv a ptratului abed (fig.20) cu invariantul perspectivei ci plasat n planul P i proiectat n planul E, cu condiia de a combina linia de dispariie a imaginii cu linia de dispariie a planului P. Ca rezultat elementele improprii a planului, n care a existat un ptrat, reprezentate pe linia de dispariie a imaginei sale, se vor proiecta pe dreapta improprie a planului E. Aceasta nseamn c laturile paralele ale ptratului, din nou se vor reprezenta n planul E paralele. Cu toate acestea unghiurile, dintre laturi, vor fi deformate datorit faptului c punctul de deformaii zero a imaginii c nu este combinat cu punctul similar cP a planului P i imaginea ptratului n planul E va fi un paralelogram a/b/e/d/. n cazul suprapunerii n planul P n afara liniei de dispariie i a verticalelor principale ci i cPiP, imaginea19

transformat a ptratului n planul E va deveni un dreptunghi, alungit sau comprimat dea lungul verticalei principale cEV. Astfel, un paralelogram, sau cazul su particular un dreptunghi, sunt figuri corespondent afine unui ptrat. Este clar c, dac n loc de imaginea unui ptrat vom lua imaginea perspectiv a oricrui al desen sau imagine i s efectum cu ele transformrile examinate, vom obine ca urmare reprezentarea afin a desenului sau imaginii.

20

a

C d CP c i iP S b

V

d/

c

/

CE

a/

b

/

Fig. 20. Obinerea corespondenei afine prin transformarea perspectiv a planului perspectiv

21

n corespondena afin de form general lipsete o pereche de drepte, care sunt n congruen, iar punctul de deformaii nule se transform n punct impropriu. Reprezentarea perspectiv standard face posibil de a obine trei cazuri speciale de plane corespondent afine: rudenie, conformitate (similaritate) i congruen, dar exclude obinerea planelor corespondent afine de form general examinate mai sus. Corespondena de rudenie este obinut cnd centrul de proiecie devine impropriu, iar razele de proiecie paralele ntre ele (fig.21). Aceast coresponden are o pereche de drepte proprii ab i a/b/ care sunt n congruen. Corespondena conform ntre planele P i E (fig. 13) poate fi obinut cnd aceste plane sunt paralele ntre ele. Atunci axa perspectivei (dreapta dubl VV) devine improprie, i toate punctele relevante a planelor P i E obin proprietatea de conformitate. Corespondena congruent este un caz particular a corespondenei conforme, atunci cnd dou planuri suprapuse unul pe altul coincid cu toate punctele lor. Un astfel de plan va deveni dublu, constnd din puncte duble i linii duble.3.2

Deformarea imaginii n punctele planului proiectiv

P a b

b/ a/ E Fig. 21. Reprezentarea rudeniei n familia de drepte paralele

Pentru obinerea unei imagini mai complete a naturii de deformare a imaginei pe cmpul planului perspectiv i afin vom examina indicatorii lor.22

n calitate de indicatori de deformare a imaginei vom lua desenul din cartea lui A. H. Lobanov.

Fig. 22. Indicatorul de deformaii a planului conform la reprezentarea lui n perspectiv

Imaginai-v c pe o suprafa plan sunt reprezentate cercuri de acelai diametru, i aceast suprafa (vom considera c este un plan conform) reprezentat n perspectiv pe alt plan. Ca rezultat a unei astfel de reprezentare (fig. 22) cercurile planului conform se vor reprezenta pe alt plan n form de elipse de dimensiuni diferite i orientri diferite. Obinerea elipselor n planul perspectiv este uor de imaginat, dac prin centrul de proiecie, situat n afara planelor mperecheate proiectiv, si cercurile planului conform vom construi suprafee conice i vom gsi intersecia lor cu planul perspectivei. Din analiza indicatorilor de deformare a imaginei n planul perspectivei se pot face urmtoarele concluzii. Planul perspectivei are ax de simetrie fa de verticala principal. Alte elemente ale perspectivei, linia de dispariie i orizontalele sunt perpendiculare pe verticala principal.23

Fig. 23. Indicatorul deformaiei afine a panului conform

Exist un punct pe verticala principal a planului perspectiv, care nu este expus deformaiei. Cercul din planul conform este reprezentat ca un cerc. Nu este greu de neles c acesta este punctul de deformaii nule. Pe verticala principal orientarea elipselor de deformaie este identic i una din axele lor coincide cu verticala principal. Restul elipselor de deformaie a imaginei n planul perspectiv n dependen de amplasarea lor i schimb nu numai dimensiunea dar i orientarea. Indicatorii de deformaie a imaginei n planul afin fa de planul conform pot fi obinui, dac reprezentarea lor perspectiv n planul P (vezi fig. 20) este apoi proiectat n planul E, cu condiia de suprapunere liniei de dispariie a imaginei indicatorilor de deformaie cu linia de dispariie a planului P. Ca rezultat n planul E vom obine imaginea, pe care toate elipsele vor fi identice i identic orientate (fig. 23). Direciile de orientare a axelor elipselor de deformare a imaginei n planul afin sunt reciproc perpendiculare i reprezint alungirea i comprimarea maximal a imaginei planului conform. Aceste dou direcii sunt numite diametre conjugate principale la24

transformarea afin. Un alt detaliu, toate elipsele planului afin sunt similare i orientate analog elipsei indicatorului planului perspectiv, care coincide cu punctul de deformaii nule cP a planului P i sunt egale i identice n orientarea imaginei lor, a crui centru a coincis cu punctul de deformaii nule cE a planului E. Din analiza indicatorului de deformaie a planului afin reiese, c simetria axial este definit numai de ctre direcia sa, dar nu de poziie, de aceia ea este aproape de simetria absolut, n special dac nu este definit de care parte este amplasat linia de dispariie, situat la infinit.3.3

Reprezentarea proiectiv a mnunchiurilor cu punct central

Mnunchiurile de raze i plane cu punct central, ca si fasciculele de raze cu punct central se pot afla n coresponden perspectiv i corelativ. Pentru simplificare presupunem c avem un plan proiectiv P (fig. 24) i dou mnunchiuri cu centrele de proiecie S i S/, puse n coresponden perspectiv. Aceste mnunchiuri se vor afla ntre ele n coresponden proiectiv, fiindc la intersecia razelor S1 i S/1 i planelor (S25 i S/25) se vor obine puncte i drepte situate n acelai plan P.S S/

2 1 P

5

4

3

Fig. 24. Dou mnunchiuri proiectiv corespondente cu punct central , sprijinite pe un plan ce le corespunde se afl n coresponden perspectiv

n cazul n care planul P este stratificat n dou P i P/ care sunt aranjate n spaiu mpreun cu mnunchiurile la ntmplare (fig. 25), i apoi s ia orice pereche de raze25

corespunztoare S2 i S/2 ca axe a mnunchiurilor de plane, obinnd dou mnunchiuri corespondent proiective, atunci intersecia planelor corespunztoare n mnunchiuri (S25 i S/2/5/, S23 i S/2/3/ ) ne vor da dreptele lm etc., care formeaz suprafee riglate de ordinul doi. Aceast suprafa va trece i prin dreapta ce unete centrele mnunchiurilor S i S/ i mnunchiurile corespunztoare ei se vor afla nu n coresponden perspectiv, dar corelativ.S S/

2 2/ 1/ 5/ 1 P 5 3 4/ 3/

l 4

m

6

7

Fig. 25. Dou fascicole proiectiv corespondente cu puncte centrale , amplasate arbitrar una fa de alta , la intersecia fascicolelor de plane corespondente formeaz suprafee riglate de ordinul doi

26

Ca axe a perechilor de fascicule, de plane, care se afl n coresponden proiectiv i formeaz suprafee riglate de ordinul doi, se poate de luat orice pereche de drepte, duse prin centrele de proiecie S i S/ i punctele corespunztoare i i i/ (i=1,3, i/=1/,3/) a planelor P i P/ obinnd noi suprafee riglate. Deci n felul urmtor putem obine o infinitate de suprafee riglate de ordinul doi, care trec prin dreapta SS/, care este linia lor comun.4. REPREZENTAREA PERSPECTIV N PLANE COMBINATE (OMOLOGIE)

nainte de a trece la analiza reprezentrilor perspective n planele combinate vom examina condiiile de obinere a planelor combinate. n fig. 26 din punct de vedere al perspectivei liniare sunt prezentate condiiile de transformare perspectiv a imaginei ptratului abcd, situat n planul P, n reprezentarea sa conform ABCD, obinut n planul T cu ajutorul centrului de proiecie S. n acelai plan T, dar cu ajutorul centrelor de proiecie S1 i S2, situate n planul orizontului H au fost obinute dou reprezentri afine a acestui ptrat A1B1C1D1-dreptunghi i A2B2C2D2paralelogram, care sufer o schimbare de afinitate curat n comparaie cu dreptunghiul A1B1C1D1. Acestea i alte transformri perspective pot fi efectuate i n planurile combinate, dac planurile P i T sunt suprapuse prin rotaie n jurul axelor perpendiculare pe planul verticalei principale iSJV i trec prin punctele i i V (fig. 26, 27). n fig. 27 prin literele abed este reprezentat imaginea perspectiv a ptratului ABED cu centrul perspectivei S (punctul de deformaii nule c), linia bazei VV/ i linia de dispariie ii/. La schimbarea poziiei centrului perspectivei S/(c/), imaginea ptratului sa transformat ntr-un paralelogram A/B/E/D/, corespondent afin ptratului ABED. n fotogrammetrie, este de obicei necesar s realizm transformrile proiective cu scopul de a obine suficient de precis forma geometric a obiectului reprezentat, sau asemnarea obiectului - modelul su geometric micorat. La folosirea metodelor optice, optico-mecanice i mecanice de transformare proiectiv a imaginei, dup cum sa menionat, sunt frecvente situaiile cnd o singur transformare obinuit nu este suficient i trebuie s efectum dou sau chiar mai multe. n aceste cazuri, o importan deosebit are amplasarea elementelor perspectivei imaginei transformate fa de cmpul de lucru a imaginei. Vom examina cteva cazuri de transformare perspectiv a planului proiectiv cu scopul de a obine modificrile sale cu elementele perspectivei transformat amplasate. 4.1 Transformarea omoloag a planului perspectiv cu schimbarea poziiei invariantului perspectivei n cmpul su La transformri duble i multiple a planului perspectivei o deosebit importan are nu doar distorsiunea imaginii n ea, dar i poziia elementelor perspectivei fa de imagine. n practica transformrii optico-mecanic a planului perspectiv este important faptul, ca n rezultatul acestei transformri verticala principal s treac aproximativ prin centrul imaginii, iar punctul de deformaii nule este la mijlocul ei. Un astfel de plan27

perspectiv uor se transform n confirm, care este de obicei necesar, de exemplu la transformarea optico-mecanic a aerofotogramelor n scopuri cartografice.

28

S2 S S1

H

i

P

A/ a c b d B1 B2 V D1 C D Fig. 26. Perspectiva liniar n variantele: conform ABCD i afin A1B1C1D1 (A2B2C2D2) J A B

i

29

i/

A1

A2

C1

D2

C2

i A/

i/

S(c) a B/ b S/(c/) d A D/

B

D e E/ E V V/

Fig. 27. Reprezentarea perspectiv n plane combinate

4.1.1 Perspectiva dubl n omologie n primul rnd vom examina perspectiva dubl n cmpurile orientate. n acest scop vom introduce noiunea de cmpuri a planelor perspective, caracteristicile i condiiile lor de orientare reciproc. Sub denumirea de cmpuri a planelor perspective vom nelege elementele perspectivei ce le caracterizeaz: verticalele principale, punctele de deformaie nule i punctele principale de fug, fiindc de poziia lor fa de imagine de multe ori depinde posibilitatea de transformare a planului perspectiv ntr-un plan conform. Vom conveni de asemenea s mprim cmpurile n iniiale (pasive), transformabile (active) i rezultate, care sunt obinute n rezultatul transformrilor.30

S presupunem c n planul perspectiv cu invariantul perspectivei iniial ci (fig. 28) imaginea este situat ntr-o zon marcat prin linie punctat i transformarea perspectiv a lui n conform la foto-transformator poate fi asigurat numai n cazul n care punctul de deformaii nule c/ va fi n centrul imaginii. n acest scop efectum transformrile necesare. 4.2 Transformarea omoloag general a planului perspectiv Alegem n fig. 28 cmpul de transformare cu invariantul cnin, baza perspectivei VV i efectum transformarea cmpului iniial n cel rezultat c/i/. La aceast transformare, vom obine mai nti punctul i/ printr-o construcie simpl. Imaginea obinut Vin a dreptei ci n cmpul transformat cnin i unirea punctelor cn cu punctul i ne dau dou drepte. La intersecia acestor drepte i se afl noul punct principal de fug i/ a cmpului rezultat. Avnd n vedere c cmpurile iniial ci i transformabil cnin sunt reciproc orientate, atunci n rezultatul transformrii cmpului iniial, noul cmp transformat c/i/ nu ea schimbat orientaia, fiindc a avut loc numai redistribuirea orizontalelor: 1, 2, 3, 4, 5 n cmpul iniial, 1/, 2/, 3/, 4/, 5/ - transformabil. Cu literele a, b, e, d, sunt notate punctele duble de intersecie a dreptelor corespunztoare din fascicolele de raze cu centrele n punctele principale de fug i i i/ respectiv. Punctul de deformaii nule a cmpului transformabil c/ se afl la intersecia dintre noua vertical principal care trece prin punctul de fug principal obinut i/ cu dreapta care unete punctele de deformaii nule a cmpului iniial c i cmpului transformabil cn, fiindc aceast linie pstreaz orientarea sa unghiular fa de toate trei verticale principale, combinate ntr-un plan al cmpurilor perspective. Linia punctat n fig. 28 arat limitele imaginei, n centrul creia a fost obinut noul punct de deformaii nule c/. Transformarea cmpului plan perspectiv orientat se poate de efectuat i cu perspectiva invers (fig. 29). Este uor de observat c n acest caz cmpurile iniial ci i transformabil cnin sunt reciproc orientate antitetic. Ca rezultat al construciei, efectuate analog ca n cazul anterior cu perspectiv direct, noul cmp c/i/ fa de cel iniial ci are orientare opus. Prin urmare fa de imaginea, artat n fig. 29 prin linie punctat, linia de dispariie se afl de partea opus fa de cea iniial. Iar pe desen planul apropiat din cmpul iniial se transform n plan ndeprtat din cmpul transformabil i invers. n cazul , cnd linia de dispariie a cmpurilor transformat i transformabil ini coincid (fig. 30), cmpul rezultat este afin. Punctul principal de fug i/ i punctul de deformaii nule c/ se proiecteaz la infinit, devin improprii, improprie devine i verticala principal c/i/ a cmpului rezultat. Dreptunghiurile din planul conform, reprezentate ca patrulatere n cmpul perspectiv transformabil la intersecia fascicolului de raze abed cu orizontalele 1, 2, 3, 4 n cmpul rezultat se reprezint paralelograme, formate la intersecia dreptelor paralele care trec prin punctele abed i 1/, 2/, 3/, 4/. Paralelogramele cmpului rezultat pot fi obinute cu ajutorul diagonalei dk trapezelor cmpului iniial. De aceia punctul k/, obinut cu ajutorul punctelor cn i in, i axa de omologie VV, ne-a permis s obinem imaginea dk/ a acestei diagonale n cmpul rezultat.31

k

i

in

5 4 k/ i/ 3

3 2/

/

4/

5/

2

1 1/

V

Cn

a

b

e

d

V

C/

C Fig. 28. Obinerea cmpului perspectiv transformat cu noul invariant c /i / cu ajutorul perspectivei directe 32

i C/

Cn V V

in C i/ Fig. 29. Obinerea cmpului perspectiv transformat cu noul invariant c /i/ cu ajutorul perspectivei inverse

Mai departe, dreapta dk/ la intersecia cu familia de drepte paralele, care trec prin punctele abed, la rndul ei, ne-a permis s obinem o familie de drepte paralele cu axa VV i care trece prin punctele 1/, 2/, 3/, 4/. Astfel, planul proiectiv-afin format prin transformarea proiectiv-omoloag a planului perspectiv, se deosebete prin aceia c nu are n cmpul su verticala principal, punctele nsoitoare a verticalei principale, punctul principal de fug i punctele de deformaii nule. n cazul mai general de transformare perspectiv a planului, de exemplu, la suprapunerea liniei de dispariie a planului transformabil ini (fig.31) cu verticala principal ic a planului iniial, patrulaterul abed care este imaginea ptratului planului conform se va transforma ntr-un nou patrulater anbnendn a planului transformat. Apare problema determinrii poziiei elementelor perspectivei cmpului rezultat. n acest scop, vom gsi poziia liniei de dispariie a acestui cmp i punctul de deformaii nule, cu ajutorul crora vom obine i verticala principal. Unul dintre punctele de fug a dreptelor paralele din cmpul iniial i planului conform este punctul in, al doilea punct de fug a dreptelor laturilor opuse andn i bnen este punctul i1, prin care i vom trasa linia de dispariie ini1, a cmpului final, fiindc patrulaterul anbnendn este o reprezentare perspectiv dubl a ptratului planului conform. Dac acum vom construi un unghi drept astfel ca laturile lui s treac prin punctele in i i1 iar pe urm vom puncta vrful su i trasnd prin trei puncte un cerc, atunci se poate argumenta c punctul de deformaii nule va fi amplasat pe el. n acest caz particular,33

i/

k 4/

in

i

3/

k/ 2/ 4 3 2 1 Cn/

Vn

34a b

C/

1

V

e

d C

V

Fig. 30. Condiia de obinere a cmpului transformat afin n plane combinate

kd r

i

in

C V/

b i3 a bn C an dn a/ d/

e

35en b/ e/ d/ Cn V/

i

/

i1

Vn

Vn

i2

kst

Fig. 31. Cazul general de transformare perspectiv a planului perspectiv n plane combinate

la utilizarea unghiului drept, segmentul ini1 este diametrul cercului. Prin urmare, este suficient de a gsi mijlocul segmentului ini1 i lund-ul ca centrul cercului trasm acest cerc. Pentru determinarea poziiei exacte a punctului de deformaii nule, a cmpului final, este suficient de a obine al doilea cerc. n acest scop, vom gsi punctele de fug a familiilor de drepte paralele cu diagonalele ptratului, reprezentate prin dreptele anen i bndn. Aceste puncte sunt i2 i i3, prin care trasm al doilea cerc. La intersecia a dou cercuri i vom obine punctul cutat c/. Cobornd din acest punct perpendiculara pe linia de dispariie ini1, vom obine punctul principal de fug i/ i verticala principal a cmpului rezultat c/i/. Pentru a verifica corectitudinea construciilor executate, vom alege n cmpul planului rezultat linia de baz a perspectivei V/V/ i vom transforma cu ajutorul punctelor i/ i c/ patrulaterul anbnendn n ptratul a/b/e/d/ similar ptratului planului conform. n cazul general n planul conform ca figur nu trebuie neaprat s fie ptrat. Este suficient pentru a avea orice triunghiuri (sau paralelogram) cu dou perechi de laturi paralele ntre ele, marcate, de exemplu, prin punctele din vrfurile lor. Dup o serie de transformri perspective i afine ele se vor reprezenta de asemenea prin triunghiuri sau patrulater. 5. REPREZENTAREA PERSPECTIV A SPAIULUI PE PLAN La reprezentarea perspectiv a spaiului tridimensional pe plan (fig. 32) n afara punctelor speciale examinate anterior i i c pe verticala principal iVn mai sunt nc dou puncte importante, punctul nadiral n i punctul principal o. Punctul nadiral se deosebete prin aceia, c el este punctul de fug a imaginei tuturor liniilor verticale fa de planele orizontale T i Tn. aceste linii sunt aan, bbn, een, ddn, care reprezint imaginea muchiilor prismei AAn, BBn, EEn, DDn. Muchiile inferioare ABED i superioare AnBnEnDn ale prismei sau reprezentat n planul P trapeze isoscele abed i anbnendn, laturile opuse ale crora ad i be, andn i bnen sunt convergente n punctul principal de fug, iar imaginea muchiilor prismei perpendiculare pe planul verticalei principale iVJ sau reprezentat paralele ntre ele i perpendiculare pe verticala principal iV. Din fig. 32 reiese de asemenea, c la reprezentarea spaiului cuprins ntre planele T i Tn, fiecare dintre planele paralele cu ele se reprezint separat, fiindc au axa sa de perspectiv, care trece prin punctul Vi, situat ntre punctele V i Vn. Cu toate acestea, toate celelalte elemente ale planului perspectivei P, linia de dispariie, care trece prin punctul i, verticala principal iV, punctul de deformaii nule c, punctul nadiral n i punctul principal o pentru toate planurile orizontale sunt aceleai. Ultimul punct, numit principal, este piciorul perpendicularei coborte din centrul de proiecie S pe planul P i este originea sistemului de coordonate rectangulare n acest plan pentru rezolvarea problemelor fotogrammetrice. n cazul n care centrul de proiecie S va fi mutat n planul orizontului H n alt loc i vom proiecta figura abedanbnendn pe planele corespunztoare T i Tn, vom obine un paralelipiped nclinat.36

i S

P bn b a c dn d n Vn e en

O

an

37 En E S0 V

Bn

An

Tn

Dn

B

T

J

A

D

Fig. 32. Reprezentarea perspectiv a spaiului T Tn n planul P

6. STRUCTURA I SIMETRIA PLANULUI PROIECTIV Sub denumirea de plan proiectiv, aa cum se obinuiete, ne referim la planul ce const din puncte i linii, i are o dreapt improprie, dac considerm imaginea abstract, sau a desenului din acest plan, considerndu-l c const numai din elemente constructive elementare. Dac vom introduce n plan dreptele i punctele speciale, atunci va fi posibil s se disting i cazurile particulare a planurilor proiective. De exemplu, n cazul n care planul proiectiv este format din puncte i linii distribuite absolut uniform de-a lungul acestuia, dup cum sa menionat mai sus, vom considera c este conform, absolut simetric i nu are puncte i linii speciale, cu excepia liniei improprii menionate mai sus. Pe acest plan, toate punctele au proprietatea punctului de deformaii nule, care este proprietatea conformitii. n cazul n care planul proiectiv are un singur punct conform, atunci el obligatoriu are i punctul principal de fug, verticala principal i linia de dispariie. Un astfel de plan este perspectiv i are simetrie axial fa de verticala principal. Punctele i liniile pe el fa de planul conform (ca reprezentarea sa perspectiv) sunt distribuite neuniform. Cu ct sunt mai aproape de linia de dispariie, cu att acestea sunt mai dense i mai dense. n cazul n care planul proiectiv are dou axe de simetrie reciproc perpendiculare i nu are n cmpul propriu puncte de deformaii nule, atunci el este afin, iar axele de simetrie sunt numite diametre principale conjugate. Pentru toate direciile elementele structurale ale planului afin sunt situate uniform. Pe dou direcii de simetrie principale densitatea elementelor structurale este distribuit diferit, dar aceasta este diferit cu o valoare constant. Astfel, toate planurile proiective se mpart n dou clase: perspective i afine. Alte tipuri de plane proiective n coliniaritate nu exist. Toate celelalte, enumerate mai devreme, sunt cazuri particulare ale acestora. La reprezentarea spaiului pe plan, dup cum sa menionat, apar plane perspective cu o locaie special a punctului nadiral. Punctul nadiral este locul geometric de fug a dreptelor imaginei, perpendiculare pe planul conform iniial, reprezentat cu ajutorul fascicolelor de raze cu punct central pe planul perspectivei. Planul perspectiv a obiectului spaial se deosebete de planul perspectiv a obiectului plan prin aceia, c la reprezentarea elementelor curbe a obiectului spaial, curbele sale plane, obinute n rezultatul secionrii spaiului cu fascicolul de plane proiective, se vor reprezenta pe lanul perspectivei ca drepte. Prin urmare, planul perspectiv a obiectului spaial n legtur cu acesta este doar parial coliniar, deoarece o dreapt din teren se va reprezenta pe el ca o dreapt, iar curba se poate reprezenta i ca dreapt, dac ea se afl n unul din planele fascicolului cu punct central, care proiecteaz spaiul pe plan. Planul perspectiv a obiectului spaial are, de asemenea, simetrie axial. Orice transformare coliniar a planului perspectivei, cu excepia celei conforme, duce la nclcare condiiilor de proiectare a imaginei transformate pe imaginea spaial, din cauza c punctul nadiral nu nimerete n locul necesar, care este determinat de proiecia central.38

Fascicolul de raze proiective n acest caz, ar trebui s aib o alt construcie geometric, diferit de construcia geometric a fascicolului de raze proiective cu punct central. Planul transformrii proiective a planul perspectivei obiectului spaial, cum sa menionat, este numit proiectiv. Acest plan , n general, nu are o anumit simetrie datorit faptului c punctul nadiral nu coincide cu verticala principal. La procesarea fotogrammetric a imaginei, transformarea planului perspectivei fotogramei proieciei centrale n proiectiv, poate aprea indiferent de dorina specialistului, de exemplu, la obinerea imaginei mrite sau micorate a microfilmelor, fr a respecta cu precizie condiiile de fotografiere i de reproducere, la deformarea imaginei substratului, n special neegale pe cele dou direcii reciproc perpendiculare, etc. n aceste cazuri, teoria, metodele i instrumentele utilizate pentru fotogramele obinuite a proieciei centrale, pentru prelucrarea stereo i transformarea optometric a imaginei deformate sunt puin utile i pot duce la o pierdere semnificativ n precizie. La transformarea acestor imagini este important s se cunoasc noua poziie pe ele a punctului nadiral pentru introducerea corect a coreciilor pentru influena terenului. Transformarea unor astfel de imagini poate fi realizat prin oricare dintre metodele cunoscute i din punct de vedere a teoriei, fr nici o pierdere n precizie, deoarece o astfel de imagine rmne coliniar n raport cu orice suprafa plan a terenului.7. REPREZENTAREA PROIECTIV A PLANULUI CU AJUTORUL

FASCICOLELOR COMPLEXE DE RAZE PROIECTIVE MULT MAI COMPLICATE DECT CEL CU PUNCT CENTRAL Este cunoscut faptul c conceptul de fascicul de raze drepte care trec printr-un punct se refer numai la varianta cu punct central. Cu toate acestea, cu dezvoltarea noilor instrumente de fotografiere n industria aerospaial, este necesar s se extind acest concept i s fie atribuit la cazurile, n cea mai mare parte proiectiv-coliniare i ordinul doi de reprezentare. n aceste cazuri, se mai poate o reprezentare abstractconstructiv de linii geometrice a imaginei care unete punctele corespunztoare a planului sau spaiul obiectelor cu planul (spaiul) pe care sunt reprezentate. Spre deosebire de fasciculul cu punct central ntr-un mod generalizat locul geometric de intersecie a razelor de proiecie pot fi drepte sau chiar plane. Reprezentarea geometric constructiv a fascicolului de raze proiective, care unesc aceleai puncte din spaiu i planul lor de reprezentare, iar n continuare i spaiul de reprezentare, ne ofer posibilitatea de a obine imaginea cea mai exact a unui fenomen abstract, care este relativ uor de trecut pe viitor ntr-un limbaj matematic. Noiunea general de mnunchiuri de trepte, a razelor de proiecie poate fi formulat, de exemplu, n felul urmtor. Un mnunchi de raze proiective este o construcie geometric abstract de linii (raze) care unesc punctele cu acelai nume din spaiu i planul imaginei. Baza geometric a construciei mnunchiului sunt unele dintre liniile sale, care reprezint n sine locul geometric de intersecie a razelor de proiecie la reprezentarea39

obiectului plan pe plan i planele individuale, care reprezint n sine un ansamblu de linii individuale, la reprezentarea spaiului obiectelor pe planul (spaiul) imaginei. Razele mnunchiurilor complexe unesc ntre ele punctele corespunztoare a obiectelor i imaginea lor, iar ansamblu de raze (plane) coplanare i suprafeele riglate de ordinul doi unesc ntre ele dreptele corespunztoare (dreptele i curbele de ordinul doi) a obiectelor i imaginile lor. 7.1 Fascicolul biliniar de raze proiective

40

x ax o ay y a

P

a/ s

S1

S as

Y Ay O

A E X

Ax

Fig. 33. Reprezentarea afin a planului de poziie general cu ajutorul fascicolului biliniar de raze proiective

Baza constructiv aproape a tuturor fascicolelor complicate de raze proiective este fascicolul biliniar. Cel mai evident fascicolul biliniar poate fi artat la reprezentarea afin a planului P pe planul E (fig. 33) sau invers, planului E pe planul P. Principiul general de proiectare a punctelor de pe un plan pe altul poate fi definit n felul urmtor. Imaginaiv fascicolul biliniar n form de dou mnunchiuri de plane cu axele as i a/s. Prin orice punct din planul P pot fi trasate planele a/sa i asa, care n planul E ne vor da urmele secionrii AAX i AAY. Intersecia acestor plane ne vor da raza proiectiv Aa, care intersecteaz dreptele as i a/s n punctele S i S1. Liniile, paralele axelor de41

coordonate ox, oy i OX, OY i directoarelor fascicolului as i a/s, se proiecteaz cu plane, iar toate celelalte linii cu suprafee riglate de ordinul doi. n acest caz, orce dreapt, de exemplu cum ar fi diagonala oa a patrulaterului oaxaay, i dou axe a fascicolelor de plane as a/s, permit s trasm cu ajutorul lor o singur suprafa riglat de ordinul doi, care n prelungirea acesteia va intersecta planul E dup dreapta corespunztoare OA. Aceast suprafa este un paraboloid hiperbolic, deoarece dreptele oa, as, a/s, OA i toate celelalte directoare care formeaz o singur serie vor fi paralele unui singur plan, iar toate razele de proiecie aparinnd altei serii generatoare, vor fi paralele altui plan, care nu este paralel i nu coincide cu primul.

a b

/ s

as

A

P

a

Fig. 34. Reprezentarea fascicolului biliniar pe planul proiectiv : fascicolului de raze i corespund punctele planului; suprafeelor riglate de ordinul doi - dreptele

Vom numi axele fascicolelor de plane as i a/s directoare a fascicolului biliniar, iar dreptele aA, a planului asa i a/sa, ct i suprafeele riglate de ordinul doi, care trec prin oa, as, a/s, OA raze de proiecie, plane i suprafee riglate de ordinul doi, respectiv. 7.2 Reprezentarea proiectiv a planului cu ajutorul fascicolului biliniar de raze proiective 7.2.1 Reprezentarea fascicolului biliniar pe planul proiectiv42

a V

b

V/ P P

V/

as

a/s as c

a/s

P

as

Fig. 35. Variantele de amplasare a directoarelor as i a /s fa de planul proiectiv P

a/s

Fascicolul biliniar (fig. 34) cu directoarele as i a/s, la fel ca i fascicolul cu punct central, poate fi reprezentat pe planul proiectiv P. n acest caz razelor proiective a fascicolului le vor corespunde punctele A, iar planelor i suprafeelor riglate de ordinul doi, care trec prin directoarele as i a/s dreptele ab. n caz particular , atunci cnd dreapta planului proiectiv devine coplanar uneia din directoarele fascicolului, suprafaa riglat de ordinul doi corespunztoare ei se transform ntr-un plan. Spre deosebire de cazul reprezentrii afine a unui plan pe altul, prin intermediul fascicolului biliniar de raze proiective, directoarele sale nu trebuie s fie paralele planului P i la prelungirea lor l vor intersecta n punctele V i V/ (fig. 35, a). n cazuri particulare una din directoare, de exemplu as (fig. 35, b) poate fi paralel planului P (s intersecteze planul n punctul impropriu), iar a dou a/s s-l intersecteze n punctul V/,43

n sfrit, cum a fost menionat, ambele directoare (fig. 35, c) pot fi paralele planului proiectiv. Directoarele paralele ambelor plane le vom numi speciale.a V a

P

P

as

as Fig. 36. Variantele de amplasare a directoarei a s fa de planul proiectiv P

n plus fascicolul biliniar se poate transforma i n monoliniar (fig. 36, a i b) cu directoarea as, care se intersecteaz cu planul P n punctul V (fig. 36, a), sau n punctul impropriu a acesteia (fig. 36, b). 7.2.2 Principii generale de transformri proiective a planului prin intermediul fascicolului biliniar de raze proiective n caz general, atunci cnd dou plane proiectiv corespondente P i P/ (fig. 37) se intersecteaz dup dreapta VV/, iar punctele V i V/ sunt duble i n acelai timp puncte de intersecie a dreptei VV/ cu directoarele fascicolului biliniar as i a/s, transformarea dreptei abcd n dreapta a/b/c/d/ se efectueaz cu urmele Va, Vb ... V/c/, V/d/ a planelor proiective (aVa/, aV/a/ etc.) din cele dou fascicole cu axele as i a/s. Urmele Va i Va/ ... V/d i V/d/ planelor fasciculelor sunt drepte corespondente ntre ele, formnd fascicole de trepte cu centrele V i V/. n fiecare dintre aceste centre se obin cte dou fascicole de raze Vabcd i Va/b/c/d/, V/abcd i V/a/b/c/d/. O pereche de fascicole cu diferite centre se afl n coresponden perspectiv i construiesc linii drepte n primul i al doilea plan. Aceste drepte sunt corespondent proiective, fiindc o pereche de plane, luate din ambele fascicole i trecute prin punctele corespondente, la intersecie ntre ele dau razele (aa/, bb/, cc/, dd/), care trec prin directoarele fascicolului as i a/s i formeaz o suprafa riglat de ordinul doi. Succesiunea proiectrii punctelor i dreptelor de pe un plan pe altul este urmtoarea.

44

a/s as

P/ d c P a b V/ a/ b/ c/ d/

V

Fig. 37. Ssuprafee riglate de ordinul doi , ce trec prin a s i a /s i proiecteaz orce dtreapt abcd n dreapta corespondent a /b/c/d/

Dou plane corespondent proiective P i P/ (fig. 38) sunt reciproc aranjate n aa fel, nct n primul rnd, ele s se intersecteze dup dou drepte corespondente, n acest caz dou perechi de puncte corespondente V i V/ se vor suprapune. n al doilea rnd, prin aceste puncte sunt trasate cte dou plane ce se intersecteaz, astfel nct urmele lor n planele proiectiv corespondente s coincid cu dreptele lor corespondente. Atunci la intersecia acestor plane, care sunt proiectante, vom obine directoarele fascicolului biliniar as i a/s. Perpendicular pe planele P i P/ trasm planul W, gsim punctele de intersecie S i S/ a directoarelor fascicolului cu acest plan i trasm prin ele raza OO/, care se afl n acest plan. Imaginea oricrui punct din planul P se va proiecta n punctul corespondent din planul P/ n felul urmtor.

45

m/

a /s

B/ W C as/

P/ O/ n/ kC S h e h V/ /

kB

46S/ m C e/

B O n

V

P

Fig. 38. Pproiectarea punctelor i dreptelor din planul P n puncte i drepte corespondente din planul P/

Prin directoarea as i punctul B trasm planul proiectant VSB i gsim intersecia m a urmei sale VB cu urma planului W (om) n planul P. Din punctul primit m prin centrul S trasm urma Sm a planului proiectant VSB n planul W. Analog prin directoarea a/s i punctul B trasm al doilea plan proiectant V/S/B i de asemenea gsim intersecia e a urmei sale V/B cu urma planului W. Intersecia dintre urmele mS i eS/ n planul W ne dau punctul kB de intersecie a razei proiectante BkB cu planul W. Punctul similar kC pentru raza CkC vom obine la intersecia dreptelor nS i hS/. Proieciile punctelor B i C n planul P/ (B/ iC/) se obin la intersecia urmelor e/V/ i h/V/ a planelor proiectante a/se/ i a/sh/ n planul P/ cu razele proiective BkB i CkC. Urmele planelor proiectante asB/ i asC/ n planul P/, care trec pri directoarea as, se obin cu ajutorul punctelor de intersecie a dreptelor nS i mS cu urma planului W n planul P/. Unul dintre aceste puncte este notat cu litera n/, cellalt se afl n afara desenului la intersecia dreptelor mS i h/O/. Dac se efectueaz o astfel de construcie pentru orce punct care aparine dreptei BC, atunci n dependen de precizia efecturii construciei proiecia lui va nimeri pe dreapta B/C/.7.3 Auto-construcia mnunchiului de plane proiectante n fascicolul biliniar de

raze proiective Auto-construcia fascicolului de plane legate ntre ele proiectiv ntr-un mnunchi biliniar poate fi obinut n cazul, n care ntregul set de linii din planul proiectiv P (fig.37 i 38) s fie proiectate pe planul P/. n rezultat se vor obine un set de suprafee riglate de ordinul doi, care trec prin cele dou directoare ale mnunchiului i axa sa VV/. Aceasta din urm, ca i primele dou, este tangent la ntregul set de suprafee riglate a mnunchiului biliniar. Prin urmare, dac prin aceasta se vor trasa orce alte plane, cu excepia planelor P i P/, atunci ele vor fi tangente la ntregul set de suprafee riglate de ordinul doi, i prin urmare, l vor seciona numai dup linii drepte din aceeai serie ca dreptele planelor proiective P i P/. Dreapta VV/ ns aparine la o alt serie de formare a mnunchiului de suprafee riglate de ordinul doi, la seria razelor i se intersecteaz cu toate suprafeele. Astfel, indiferent de faptul, c vom seciona mnunchiul biliniar cu fascicolul de raze ce trece prin axa sa sau nu, acest fascicol apare n mnunchi singur, prin formarea de seturi coplanare, proiectiv legate ntre ele de drepte ale aceleiai serii care formeaz suprafee riglate de ordinul doi, ce trec prin axa ca. Toate aceste linii pot fi considerate i ca urme de intersecie a fascicolului de plane format cu axa VV/, cu dou fascicole de plane cu axele as i a/s. n acest sens, orice plan proiectiv P/ va fi construit de dou fascicole de raze plane cu centrele n punctele V i V/ (fig. 39). Astfel, fiecare punct, de exemplu a/, va fi construit cu dou raze Va/ i V/a/, iar fiecare dreapt a/d/ cu dou fascicole simple, care se afl n coresponden perspectiv. Avnd n vedere c toate fascicolele de raze plane a mnunchiului biliniar au centre comune V i V/, ele formeaz dou fascicole de raze proiective, care sunt unul cu altul n coresponden poli-perspectiv i construiesc fascicolul de plane comun cu axa VV/, care este similar cu fascicolul planelor perechii de fotograme stereoscopice, cunoscutei proiecii centrale.47

n cazul n care planul proiectiv P (fig.40) i mnunchiul biliniar cu directoarele as i a , vor fi intersectate de un plan P/ nu dup axa VV/, dar dup o dreapt oarecare kl, atunci n planul P/ vom primi o pereche nou de puncte V1 i V/1 de intersecie a directoarelor mnunchiului cu acest plan. i linia 0, 1 8 a planului P se va transforma n curb corespondent de ordinul doi 0/, 1/ 8/ a planului P/. Dac prin dreapta kl se vor trasa noi plane P/ , atunci vom primi un fascicul de plane care nu este tangent, dar intersecteaz mnunchiul dup curbe de ordinul doi. Prin urmare se vor forma plane P/ (fig. 41), constnd din curbe plane de ordinul doi a/, b/, c/, d/, care trec prin punctele V1 i V/1. Este evident, c n acest caz, n comparaie cu fig. 39 mnunchiurile de raze, care se formeaz la centrele V1 i V/1 cu schimbarea poziiei planului P/ i vor schimba poziia n el, de aceia fascicolele n cazul dat vor forma mnunchiuri de raze, care sunt n coresponden poli-corelat, iar fascicolul de raze cu axa kl (fig. 40) va consta din plane proiective de ordinul doi./ s

7.4 Condiiile geometrice pentru obinerea fascicolului biliniar de raze proiective La transformarea planelor corespondent proiective, cu condiia de intersecie a acestora dup linii corespondent proiective, avnd dou perechi de puncte corespondente, amplasate la distane identice unul fa de altul, proiectarea punctelor de pe un plan pe altul se realizeaz cu suprafee riglate de ordinul doi, care trec prin acast linie dubl i alte dou, care se intersecteaz cu ia, iar ntre ele se ntretaie. n rezultat se obine fascicolul biliniar de raze proiective. Condiiile geometrice de formare a fascicolului biliniar de raze proiective sunt: prezena perechii de drepte menionate n planele corespondent proiective, intersecia lor dup aceste drepte,astfel nct s se formeze dou puncte duble i care traseaz prin aceste puncte directoarele fascicolului. Examinm mai nti, care sunt dreptele corespondente ce satisfac condiiile care le sunt impuse. Pe fig. 42 sunt artate perechile de puncte corespondente a i a/, b i b/, e i e/, prima i ultima pereche dintre care taie pe dreptele corespondente Vaa i Vaa/, Veb i Veb/ segmente egale Vaa=Vaa/, Vee=Vee/. Fiindc perechea de drepte corespondente be i b/e/ se poate de considerat c au fost selectate aliator, atunci toate dreptele corespondente a planului proiectiv (sau n acest caz perspectiv) la transformarea lui n conform conin dou perechi de puncte, care atunci cnd aceste drepte sunt suprapuse pot fi de asemenea suprapuse, formnd dou puncte duble. Excepie fac orizontalele corespondente, fiecare pereche dintre care se suprapun doar cu un singur punct propriu. Al doilea punct devenind impropriu. Dar i aici exist o excepie. Una dintre aceste orizontale este n congruen cu orizontala corespondent ei i la suprapunerea lor ele coincid cu toate punctele. Pe fig. 42 o astfel de treapt dubl este dreapta VaVe, care asigur aranjarea planului proiectiv ntr-o poziie perspectiv cu formarea unui fascicul de raze proiective cu punct central. Astfel fascicolul cu punct central este un caz particular al fascicolului biliniar.48

Dac la reprezentarea planului perspectiv pe conform orizontalele se suprapun, aflndu-se n coresponden afin, atunci una din directoarele fascicolului devine paralel orizontalelor suprapuse, iar a doua trece prin singurul punct dublu al acestei drepte duble. Planul afin de poziie general fa de planul conform nu conine nici o dreapt, care ar fi n congruen cu o dreapt corespondent ei, deoarece el conine drepte care sunt doar n coresponden afin la dreptele din planul conform. Prin urmare, transformarea planului afin n conform este posibil numai prin fascicolul biliniar de raze proiective. n acest caz cele dou puncte duble se afl numai pe dreapta improprie. De aceia reprezentarea afin a planului se realizeaz ntru-n fascicul biliniar deosebit cu directoarele paralele lui. Pentru determinarea poziiei directoarelor fascicolului biliniar (vezi fig. 37) trebuie ca n planele P i P/, ce se intersecteaz dup dreapta dubl VV/, s se ia dou perechi de drepte corespondente Va i Va/, Vd i Vd/ ce se intersecteaz n punctul dublu i de construit cu ajutorul lor planele proiective Vaa/ i Vdd/. La intersecia dintre planele proiective vom obine directoarea fascicolului biliniar as. n acelai mod, folosind perechea de drepte V/a i V/a/, V/d i V/d/, se poate de obinut a doua directoare a fascicolului biliniar a/s. Astfel principala condiie geometric pentru obinerea fascicolului biliniar este intersecia planelor proiectiv corespondente P i P/ dup dreptele corespondent proiective sau afine, cu condiia de a obine pe aceast dreapt dubl dou puncte duble (proprii sau improprii), pentru trasarea directoarelor fascicolului. Aceasta nseamn c, dup orice pereche de drepte a dou plane proiectiv corespondente se poate de construit fascicolul biliniar de raze proiective i numai ntru-n singur caz, atunci cnd aceste drepte sunt n congruen, este posibil ca n planele proiectiv corespondente s obinem fascicolul de raze proiective cu punct central. 7.5 Proprietile proiective a fascicolului monoliniar de raze proiective Fascicolul monoliniar este un caz particular al fascicolului biliniar, atunci cnd una din directoare devine improprie. Ca i n fascicolul biliniar, unul dintre elementele constructive geometrice de baz a fascicolului monoliniar, principalul element de proiecie, care conine informaia despre dreptele spaiului obiect, este suprafaa riglat de ordinul doi. Vom examina cazul ideal de reprezentare a planului obiect T pe planul imaginei P (fig. 43) prin intermediul fascicolului monoliniar. Lum n planul T dreapta a i o proiectm pe planul P n felul urmtor. Raza proiectiv alunecnd pe directoarea as i dreapta a, n aceeai perioad de timp parcurge segmente egale pe aceste drepte, doar c pe linia a aceste segmente vor fi mai mari, (mai lungi), dect pe dreapta as. Astfel dreptele as i a se vor afla n coresponden afin, iar raza de proiecie, deplasndu-se, i va schimba permanent panta fa de planele T i P, rmnnd paralel planului perpendicular pe dreapta as. Ca urmare dreptele as i a se vor uni ntre ele cu o suprafaa riglat de ordinul doi, paraboloidul hiperbolic. Dar fiindc dreapta a se afl n planul T, paralel planului P, atunci aceast suprafa va intersecta planul P tot dup o dreapt. n consecin, atunci cnd planele T i P sunt reciproc paralele i directoarea49

fascicolului monoliniar as este paralel lor, el asigur transformarea afin a dreptelor, precum i a planelor (fig. 44). Trebuie de acordat atenie la un fapt important, care ne permite s meninem coliniaritatea reprezentrii planului T pe planul P (fig. 44). Planul P n raport cu planul T poate fi deplasat n direcia as, astfel nct fasciculul de raze Sab va deveni neperpendicular planelor menionate, dar nclinat fa de ele. Cu toate acestea condiiile de proiectare a dreptelor din planul T pe planul P nu se vor schimba. Acest lucru nseamn c, atunci cnd imaginile Electro-optice i radar sunt nclinate dea lungul rutei, condiiile de coliniaritate a reprezentrii planelor orizontale nu sunt nclcate, iar acest lucru creeaz condiii geometrice favorabile pentru stereo fotografieri convergente cu sistemele menionate. n cazul n care directoarea as (fig. 45) este nclinat fa de planele reciproc perpendiculare T i P, atunci dreapta din planul T se proiecteaz pe planul P ca curb de ordinul doi, fiindc n acest caz, planul P, nu este tangent, dar secant la paraboloidul hiperbolic. Acelai model se observ i n cazul, n care directoarea as (fig. 46), va fi paralel cu un singur plan, dar spre deosebire de cazul precedent (fig. 45), atunci cnd toate curbele de ordinul doi trec prin punctul de intersecie a directoarei cu planul P, n acest caz, una din asimptotele curbelor de ordinul doi va fi dreapta planului P, paralel directoarei as. Vom examina, nc un caz particular de reprezentare a planului T pe planul P (fig. 47) prin intermediul fascicolului monoliniar de raze proiective, atunci cnd aceste plane nu sunt paralele ntre ele, dar sunt nclinate astfel, nct linia te intersecie a lor s fie paralel cu directoarea fascicolului as. n acest caz se va forma linia de dispariie ii, care este o asimptot a tuturor hiperbolelor planului P, care sunt imaginea dreptelor din planul T. 8. REPREZENTAREA PROIECTIV A SPAIULUI OBIECTELOR PE PLANUL IMAGINEI n majoritatea lucrrilor din geometria proiectiv ntrebrile generale de reprezentare proiectiv a spaiului obiectelor pe planul imaginei nu sunt tratate, sau tratate fr utilizarea construciilor geometrice, numai analitic. i dac undeva, ntrebrile constructiv geometrice sunt tratate, acestea nu sunt att de profund desfurate ca n fotogrammetrie. Dar n fotogrammetrie examinarea problemelor legate de reprezentarea proiectiv a spaiului pe plan se limiteaz numai la imaginea idealizat a proieciei centrale al obiectelor spaiale, atunci cnd spaiul obiectelor este reprezentat pe planul imaginei prin fascicolul de raze proiective cu punct central. Astfel cu aceasta, de fapt, se termin legtura ntre geometria proiectiv i fotogrammetrie, de aceia fotogrammetria n dezvoltarea sa teoretic, rmas fr fundamentare geometric, a fost nevoit s studieze ntrebrile fundamentale de reprezentri proiective de sine stttor. n acest caz, referindu-se nu numai la proiectarea central, dar i reprezentarea cu ajutorul mnunchiurilor de raze, chiar mai complexe dect cele care au fost studiate mai devreme.50

ncercrile de a rezolva problemele fotogrammetrice netradiionale n majoritatea cazurilor prin metode analitice, duce la utilizarea multipl a transformrilor de coordonate (rotaii i translaii) i utilizarea polinoamelor de aproximare a dependenilor proiective. Aceste abordri, dei ele pot fi folosite i aplicate n practic pentru prelucrarea mai ales a fotogramelor singulare, nu permit pn la urm descoperirea naturii geometrice a abordrii generalizate pentru rezolvarea problemei, ct i a imaginei reale obinute prin diferite sisteme de fotografiere. Cu alte cuvinte, fr o fundamentare geometric corespunztoare a unei reprezentri, prezentarea analitic poate fi incorect, mai ales atunci cnd se utilizeaz dependenele obinute la abordarea problemelor stereofotogrammetrice. Dar acest lucru este posibil doar n cazul n care o reprezentare este geometric clar.8.1 Reprezentarea proiectiv-afin a spaiului pe plan

Pentru examinarea naturii geometrice a reprezentrii proiectiv-afine a spaiului pe plan n calitate de spaiu original, vom lua o prism, mrginit dedesubt i deasupra cu planele T1 i Tn (fig. 48), care le vom considera corespunztor T1 iniial i Tn final, amplasat de asupra celui iniial la distana h. Dac n interiorul prismei ne imaginm un relief oarecare, atunci el poate fi secionat cu planele intermediare, iar urma secionrii proiectat pe planul tabloului (imaginei) P. Planele de la T1 pn la Tn vom proiecta pe planul proiectiv-afin P cu mnunchiuri biliniare de raze proiective.

51