curs mmfi 13 m n p
DESCRIPTION
Mmfi 13TRANSCRIPT
Numele unitii de studiu
Mecanic i mecanica fluidelorMecanic i mecanica fluidelorDinamica
1.5.2 Dimanica punctului material greu n vid. Dinamica punctului material acionat de o for centralTimp mediu de studiu: 2 ore
Sarcini de nvare: Prin parcurgerea acestei uniti de studiu, studentul va fi capabil s explice proprietile micrii punctului material greu n vid explice proprietile micrii punctului material acionat de o for central calculeze legea de micare a punctului material acionat de fore centrale particulare 1.5.2.1 Dimanica punctului material greu n vid
Un exemplu important de micare a unui punct material liber l constituie micarea punctului sub influena greutii proprii. Se alege reperul , cu Oy pe direcie vertical, Ox pe orizontal, n planul vertical care-l conine pe (fig.1). La un moment dat, punctul material ocup poziia A i asupra sa acioneaz doar fora de greutate .
Proiectnd ecuaia diferenial vectorial de micare , pe cele trei axe de coordonate, cu
Figura 1
condiiile iniiale, la momentul t = 0,
x = 0 , y = 0 , z = 0 i , , se obin ecuaiile scalare de micare
,
care reprezint soluia problemei, cu condiiile iniiale date. Traiectoria este plan, situat n planul vertical care conine vectorul .
Lucrnd, acum, n planul xOy i eliminnd , se determin ecuaia traiectoriei sub forma explicit
,
care reprezint o parabol, cu axa de simetrie vertical, dat de ecuaia
lungimea segmentului A2P . Se folosesc notaiile clasice pentru funcia de gradul al doilea. nalimea maxim este atins n punctul de maxim al funciei
f =
i este
Deci, nlimea maxim la care urc punctul material este
.
Aceast mrime reprezint sgeata traiectoriei i este egal cu distana maxim y de la punctul material la orizontala care trece prin punctul de lansare. Se poate determina i din condiia v = 0.
Figura 2
Distana parcurs pn n momentul n care punctul material atinge din nou solul este dat de lungimea segmentului OA3 i se numete btaie. Ea este atins cnd y devine din nou zero, adic pentru rdcina pozitiv a ecuaiei .
Rezult
,
unde este abscisa punctului A3 n care punctul recade pe Pmnt.
Deci, btaia este egal cu
.
Se observ c att bataia, ct i sgeata depind de modulul vitezei de lansare i de unghiul de lansare. Pentru acelai , cea mai mare btaie se obine atunci cnd este maxim, adic pentru
,
deci la o lansare sub un unghi de 450. Spre deosebire de btaie, nlimea maxim este atins pentru este maxim, adic pentru , ceea ce nseamn lansare pe vertical:, pentru micarea ascendent, - micare descendent. Evident, nlimea maxim este atins pentru micarea ascendent, cnd
.
Dintre cazurile mai importante de micare a punctului material greu, n aer sau n vid, se disting:
- micarea ascendent, cu viteza iniial orientat vertical n sus;
micarea descendent, cu sau fr vitez iniial;
micarea orizontal.
Ecuaia fasciculului de traiectorii, care se obin pentru aceeai vitez iniial, se scrie
,
unde s-a notat i reprezint parametrul fasciculului.
1.5.2.2 Micarea unui punct material sub aciunea unei fore centrale
1.5.2.2.1 Generaliti
O for se numete for central dac suportul ei trece, n tot timpul micrii, printr-un punct fix O, numit centrul forelor .
Fie A poziia punctului material la un moment dat, versorul vectorului de poziie al punctului A fa de un sistem de axe de coordonate Oxyz (fig. 3).
i .
Figura 3
Pentru F >0, fora central este dirijat n sensul lui i se numete for repulsiv, iar O centru de repulsie, iar pentru F < 0 fora se numete for atractiv, i O este centru de atracie.
Din
,
se pot deduce o serie de proprieti generale ale micrii, independente de fora central , prin eliminarea ei n relaia de mai sus.Astfel, folosind faptul c i sunt vectori paraleli, rezult i, de aici,
.
Din
,
rezult c exist un vector constant astfel nct
.
1.5.2.2.2 Proprietile micrii
Din aceast relaie, se pot deduce proprietile micrii punctului material sub aciunea forelor centrale. Astfel, nmulind relatia cu vectorul constant , se obine
.
1. Traiectoria unui punct material liber acionat de o for central este o traiectorie plan, micarea fcndu-se ntr-un plan care conine centrul forelor.
Pentru stabilirea altor proprieti se utilizeaz coordonatele polare, care sunt, n acest caz, mai uor de folosit, pentru c este pe direcia lui . n coordonate polare, ecuaia fundamental a dinamicii punctului material conduce la sistemul
Se observ c, n cea de-a doua ecuaie, nu apare fora, adic rezultatul obinut este independent de aceasta.
(pentru ).
Rezult
,
de unde se gsete
.
Notnd cu modulul vitezei areolare, se obine
constant,
unde C1 este constanta ariilor. Rezultatul obinut este:2. Sub aciunea unei fore centrale, un punct material liber se mic cu viteza areolar constant (OA mtur arii egale n intervale de timp egale).
AplicaieS se arate c, dac un punct material P se mic sub aciunea unei fore centrale i orbita este circular, atunci mrimea vitezei lui P trebuie s fie constant.
Soluie
Dac se noteaz cu i versorii axelor n sistemul de coordonate polare, viteza se scrie
i .
S-a demonstrat c, sub influena unei fore centrale, . Pe de alt parte, traiectoria fiind circular, rezult c r este constant, deci . nlocuind n expresia modulului vitezei, se obine
,
deci v este constant, de unde concluzia c mrimea vitezei este constant.
1.5.2.2.3 Ecuaia lui Binet
Figura 4
Se revine asupra integrrii sistemului format din ecuaiile difereniale de micare, scris sub forma
.
Eliminnd ntre aceste dou ecuaii, se obine
,
ecuaie diferenial de ordinul al doilea, cu necunoscuta r.
Se urmrete determinarea lui r ca funcie de , r = . Pentru aceasta se calculeaz
,
apoi
=
.
Se obine
,
care se scrie ca o ecuaie diferenial de ordinul al doilea, cu necunoscut funcia, de variabil ,
ecuaie cunoscut sub numele de ecuaia lui Binet.
Exerciii1. Explicai cum se obin i modul n care se folosesc ecuaiile difereniale de micare.
2. Se consider un obiectiv situat ntr-un raport la sistemul Oxy, n punctul de coordonate (x0, y0). S se determine condiiile iniiale ale micrii punctului material greu n vid, aruncat cu viteza iniial , astfel nct obiectivul s fie atins.3. n ce caz se folosete ecuaia lui Binet i ce fel de ecuaie este aceasta?4. S se determine traiectoria unui punct material de mas m, care este supus aciunii unei fore centrale, cu modulul invers propoional cu puterea a treia a distanei la pol:.
Rspunsuri:1. Se obin din ecuaia fundamental a dinamicii punctului material. Integrarea acestor ecuaii permite determinarea legii de micare a punctului. Chiar dac integrarea nu este posibil, din ecuaiile difereniale de micare se pot stabili proprieti ale micrii.2. Se folosete legea de micare pentru punctul material greu n vid, scris sub forma:
din condiia ca obiectivul s fie atins. Se trateaz ca ecuaie n .
3. Ecuaia lui Binet se folosete pentru studiul micrii punctului material acionat de o for central. Este o ecuaie diferenial de ordinul al doilea cu coeficieni constani, neomogen, avnd ca necunoscut funcia 1/r i ca variabil pe .
4. Se nlocuiete expresia lui F n ecuaia lui Binet. Se obine
0,
ecuaie diferenial de ordinul al doilea cu coeficieni constani.
Ecuaia caracteristic a acestei ecuaii difereniale este
.
Se noteaz cu . Ecuaia caracteristic devine
.
Sunt posibile mai multe cazuri: dac E > 0, adic pentru
,
rezult
.
Din inegalitatea de mai sus, rezult c constanta k poate fi negativ de modul mic sau pozitiv. Deci, este situaia n care fora este atractiv slab sau repulsiv. Soluia ecuaiei se scrie
.
Dac E = 0, ceea ce corespunde unei fore pentru care , adic fora este atractiv, se obine soluia
.
n ultimul caz, n care E < 0, rezult, din nou, , deci for este atractiv. Soluia este
.
14 October 2010Conf. univ. dr. Angela Muntean1 Academia Naval "Mircea cel Btrn" (ANMB). Orice form de copiere, stocare, modificarei/sau transmitere a acestui material fr acordul prealabil i scris al ANMB este strict interzis.14 October 2010Conf. Univ. Dr. Angela Muntean7 Academia Naval "Mircea cel Btrn" (ANMB). Orice form de copiere, stocare, modificarei/sau transmitere a acestui material fr acordul prealabil i scris al ANMB este strict interzis.
_1086000067.unknown
_1196263019.unknown
_1196344808.unknown
_1199075091.unknown
_1203085165.unknown
_1204050456.unknown
_1348554863.unknown
_1348554864.unknown
_1203086675.unknown
_1199075125.unknown
_1199077239.unknown
_1203085075.unknown
_1199077422.unknown
_1199077189.unknown
_1199075106.unknown
_1196345276.unknown
_1196345704.unknown
_1196346393.unknown
_1196346463.unknown
_1196346704.unknown
_1196345813.unknown
_1196345691.unknown
_1196344843.unknown
_1196344927.unknown
_1196344816.unknown
_1196263970.unknown
_1196269341.unknown
_1196344797.unknown
_1196269263.unknown
_1196263415.unknown
_1196263661.unknown
_1196263201.unknown
_1089221425.unknown
_1091508486.unknown
_1091555181.unknown
_1098420513.unknown
_1196262646.unknown
_1092393168.unknown
_1095440112.unknown
_1097851552.unknown
_1092393214.unknown
_1091555353.unknown
_1091555024.unknown
_1091555142.unknown
_1091508543.unknown
_1091509010.unknown
_1091555002.unknown
_1091508945.unknown
_1091508488.unknown
_1091506905.unknown
_1091508458.unknown
_1091508474.unknown
_1091508402.unknown
_1089392130.unknown
_1089394458.unknown
_1089394488.unknown
_1089392167.unknown
_1089392101.unknown
_1086184251.unknown
_1086260983.unknown
_1086264062.unknown
_1086264087.unknown
_1087036958.unknown
_1086263792.unknown
_1086184426.unknown
_1086183988.unknown
_1086184045.unknown
_1086000135.unknown
_1084973572.unknown
_1085999484.unknown
_1085999721.unknown
_1085999749.unknown
_1085999594.unknown
_1084974123.unknown
_1084974208.unknown
_1084974068.unknown
_1084806423.unknown
_1084968410.unknown
_1084972049.unknown
_1084973526.unknown
_1084968330.unknown
_1084805302.unknown
_1084805955.unknown
_1084804754.unknown