2.2.1. Descrierea elementelor robotului

Un element este considerat ca fiind un corp rigid, care stabileşte o legătură între axele a două articulaţii vecine ale robotului. Axa articulaţiei se defineşte ca o dreaptă în jurul căreia elementul se roteşte faţă de elementul i-1.

Fiecare element al robotului este definit de doi parametrii:- lungimea elementului ai - este distanţa dintre axele a două articulaţii măsurată de lungul normalei comune a două articulaţii

- unghiul de rotaţie al elementului αi-1 - care se obţine măsurând unghiul format de proiecţiile axelor i-1 şi i pe planul a cărui normală este normala comună a celor două axe, măsurând de la proiecţia axei i-1 la proiecţia axei i, în sensul dat de regula mâinii drepte , în jurul normalei comune, în cazul în care axele se intersectează unghiul de rotaţie se măsoară în planul format de acestea, iar sensul se alege arbitrar.

EXEMPLU: În fig.2. se dă desenul unui element aparţinând unui robot, ---- cei doi parametrii ai elementului: lungimea şi unghiul de rotaţie.

Figura 1

Figura 2

Normala comună este tocmai axa de simetrie a elementului, lungimea elementului cuprinsă între axele i-1 şi i fiind 70 mm.

2.2.2. Descrierea legăturilor dintre elemente

a) Elemente intermediareExistă doi parametrii cu ajutorul cărora se descriu legăturile dintre elementele robotului:

- distanţa între normalele comune di, măsurată pe axa articulaţiei care uneşte cele două elemente

- unghiul articulaţiei θi, care se măsoară între normalele comune de la prelungirea normalei ai-1

la ai în jurul axei i

În cazul articulaţiilor de rotaţie variabila este unghiul articulaţiei θi, iar în cazul articulaţiilor de translaţie variabila este distanţa di.

b) Primul şi ultimul element

Lungimea elementului ai şi unghiul de rotaţie al acestuia αi depind de poziţiile axelor articulaţiilor i şi i+1 în capetele lanţului cinematic al robotului, întrucât una din aceste axe

lipseşte, se convine ca aceste mărimi să fie nule, astfel că a0= an= 0 şi α0= αn= 0.

Dacă prima articulaţie a robotului este de rotaţie, poziţia zero a unghiului θ1 se alege arbitrar în d1= 0, iar dacă prima articulaţie a robotului este de translaţie poziţia zero a distanţei d1

se alege arbitrar în θ1= 0.

Figura 3

2.2.3. Notaţia Denavit – Hartenberg

Notaţia Denavit – Hartenberg este un mod de a descrie elementele şi articulaţiile robotului, iar cu ajutorul acestora poziţia robotului.

Astfel poziţia unui robot se poate descrie cu ajutorul a câte patru mărimi corespunzătoare fiecărui element al său, care descriu elementul şi legăturile cu elementele vecine. Aceştia sunt ai,

αi, di, θi.

În cazul articulaţiilor de rotaţie variabila articulaţiei este θi, iar celelalte trei mărimi constituie parametrii elementului, iar în cazul articulaţiilor prismatice variabila articulaţiei este di, iar celelalte trei mărimi constituie parametrii elementului.

2.2.4. Convenţia de ataşare a sistemelor de coordonate a elementelor roboţilor

Pentru a descrie poziţia unui element al robotului în raport cu elementele vecine, este necesară ataşarea de sisteme de coordonate tuturor elementelor.

a) Elemente intermediareConvenţia de ataşare a sistemelor de coordonate elementelor intermediare ale robotului

este următoarea:- axa Zi a sistemului de coordonate {Si} ataşat elementului i coincide cu axa articulaţiei i;

- originea θi a sistemului {Si}se află în punctul de intersecţie dintre normala comună ai şi axa articulaţiei i ;- axa Xi este orientată de-a lungul normalei comune de la articulaţia i spre articulaţia i+1;

În cazul particular când

αi se

Figura 4

măsoară după regula mâinii drepte în jurul axei Xi. Astfel se pot alege două semne ale unghiului

αi după cum este orientată axa Xi.- axa Yi se determină în funcţie de axele Zi şi ----- după regula mâinii drepte. În fig.4. se arată modul de ataşare a sistemelor de coordonate {Si-1} şi {Si} elementelor unui robot.

b) Primul şi ultimul elementPrimul element al robotului este batiul fix în raport cu care se exprimă restul sistemelor de

coordonate ataşate elementelor robotului. De aceea sistemul de coordonate ataşat batiului {SB} = {So} se alege într-o poziţie particulară.- axa ZB= Z0 se alege să coincidă cu axa primei articulaţii;- originea OB= OO a sistemului {SB} se alege să coincidă cu originea sistemului {S1}.

În acest caz se obţin a0= 0, α0= 0 şi d1= 0 în cazul articulaţiilor de rotaţie, respectiv θi în cazul articulaţiilor de translaţie.

În cazul în care ultima articulaţie este de rotaţie:- axa Xn a sistemului {Sn} se alege astfel încât să coincidă cu axa Xn-1 a sistemului {Sn}, iar ca

urmare θn= 0 ; - originea On a sistemului {Sn} se alege astfel ca dn= 0.

În cazul în care ultima articulaţie este de translaţie:

- direcţia axei Xn se alege astfel ca θn= 0 ; - originea On a sistemului {Sn} se alege la intersecţia dintre axa Xn+1 şi axa articulaţiei n astfel ca dn= 0.

Cu această convenţie de ataşare a sistemelor de coordonate elementelor roboţilor , parametrii unui element al robotului se pot exprima în funcţie de sistemele de coordonate ataşate astfel:- lungimea elementului ai - este distanţa dintre axele Zi şi Zi+1 măsurată de-a lungul axei Xi;

- unghiul de rotaţie al elementului αi - este unghiul dintre axele Zi şi Zi+1 măsurat în jurul axei Xi;- distanţa între normalele comune di - este distanţa de la axa Xi-1 la axa Xi măsurată de-a lungul axei Zi;

- unghiul articulaţiei θi - este unghiul dintre axele Xi-1 şi Xi măsurat în jurul axei Zi.Convenţia de ataşare a sistemelor de coordonate stabilită anterior nu presupune un mod

unic de ataşare a sistemelor de coordonate, deoarece în primul rând axa Z se poate orienta în două sensuri, iar apoi în cazul în care axele a două articulaţii învecinate se intersectează axa X se poate orienta în două sensuri.

2.2.5. Transformări între sisteme de coordonate învecinate

Pentru a deduce expresia unei transformări între două sisteme de coordonate învecinate, elementul i al robotului i se ataşează trei sisteme de coordonate {P}, {Q}, {R} ca în fig.5.

- sistemul {R} este rotit cu unghiul αi-1 faţă de sistemul {Si-1} în jurul axei XR= Xi-1;- sistemul {Q} translatat cu ai-1 faţă de sistemul {R} în lungul axei XR= Xi-1;

- sistemul {P} este rotit cu unghiul θi faţă de sistemul {Q} în jurul axei Zi;- sistemul {i} este translatat cu di faţă de sistemul {P} de-a lungul axei Zi.

Transformarea omogenă la sistemul {Si} la sistemul {Si-1} este:

care se calculează astfel:

r11 = [(sq1cqn + cq1sq2sqn)cq5 - cq1cq2sq5]cq6 + (cq1sq2cqn - sq1sqn)sq6

r12 = (cq1sq2 cqn - sq1sqn)cq6 + [cq1cq2sq5 - (sq1cqn + cq1sq2sqn)sq5] sq6

Figura 5

r13 = - cq1cq2sq5 - (sq1sqn + cq1sq2sq4 )sq5

r21 = [(cq1cq4 + sq1sq2sq4 )cq5 - sq1cq2sq5]cq6 + (sq1sq2cq4 - cq1sq4)sq6

r22 = (sq1sq2cq4 - cq1sq4)cq6 + [sq1cq2sq5 - (cq1cq4 + sq1sq2sq4 )cq5 ]sq6

r23 = - sq1cq2cq5 - (cq1cq4 + sq1sq2sq4sq5 )

r31 = (cq1sq4cq5 + sq1sq5)cq6 + cq2cq4sq6

r32 = cq2sq4cq6 - (cq2sq4cq5 + sq2sq5)cq6

r33 = sq2cq5 - cq2sq4sq5

px = - d2sq1 - (q3 + a)q1sq2 – d4cq1cq2

py = d2cq1 - (q3 + a)sq1sq2 – d4sq1cq2

pz = - (q3 + a)cq2 – d4cq2

EXEMPLU: Se dă robotul serial RRTRRR, având şase grade de libertate (Fig.6.). Se cere: - să se ataşeze sistemul de coordonate elementelor robotului,

- să se determine parametrii Denavit – Hartenberg - să se determine transformarea dintre mâna şi baza robotului

i αi-1 ai-1 di θi1 0 0 0 q1

2 –π/2 0 d2 q2

3 –π/2 0 q3+ a π/24 –π/2 0 d4 q4

5 π/2 0 d5 q5

6 –π/2 0 d6 q6

M 0 0 d7 0 axa 7 este în lungul articulaţiilor

axa Xi-1 este perpendicular pe Xi

{S0} Axa a sistemului fix {SB}= {S0}se alege să coincidă cu axa primei

articulaţii în originea OB= OO se ----- în O1, originea primului sistem. Astfel se obţin a0= 0, α0= 0,

d1= 0 iar θi= q1 - unghiul dintre X0 şi X1 măsurat în jurul lui Z1. {S1} Axa a sistemului {S1} se alege de-a lungul primei articulaţii R, iar X1 este perpendiculară pe normala comună a primelor două articulaţii , care este tocmai elemetul 1 al robotului. Axa Y1 se orientează în funcţie de axele cunoscute deja X1 şi Z1, astfel încât să se obţină un triedru drept O1X1Y1 Z1.

Figura 6

{S2} Axa Z2 coincide cu axa articulaţiei 2, iar X2 se alege perpendicular pe elementul 2, care este normala comună a articulaţiilor 2 şi 3. (există două posibilităţi de orientare a axei X2 ,

dintre care se poate lua orice --------------- două posibilităţi de orientare ale axei X1). Unghiul α1

este unghiul dintre axele Z1 şi Z2, măsurat în jurul axei X1, adică –π/2; a1 este distanţa de la Z1 la Z2 de-a lungul lui X1, adică 0; d2 este distanţa de la X1 la X2, măsurată de-a lungul lui Z1, adică

unghiul θ2 este ---- , adică unghiul între X1 şi X2 măsurat în jurul lui Z2. {S3} Axa Z3 se alege de-a lungul articulaţiei de translaţie 3, X3 este perpendiculară pe normala comună, care este punctul ---, deci direcţia lui X3 poate fi oricare în planul al cărui

normală este Z3. Se adoptă sensul de pe figură --- care se obţine Y3. Unghiul α2 este unghiul între

Z2 şi Z3, măsurat în jurul lui X2, adică –π/2; a2 este distanţa de la Z2 la Z3 de-a lungul lui X2 ,

adică 0; d3 este distanţa de la X2 la X3 măsurată de-a lungul lui Z3, adică -----; iar θ3 este unghiul

dintre X2 şi X3 măsurat în jurul lui Z3, adică π/2. {S4} Axa Z4 de-a lungul articulaţiei 4, X4 poate avea orice direcţie în planul a cărui

normală este Z4, dar se ia paralelă cu X3 şi apoi se obţine Y3. α3 este unghiul între Z3 şi Z4

măsurat în jurul lui X3, adică –π/2; a3 este distanţa de la Z3 la Z4 de-a lungul lui X3, adică 0; d4

este distanţa de la X3 la X4 măsurată de-a lungul lui Z4, adică d4; iar θ4= q4, adică unghiul dintre X3 şi X4 în jurul lui X4.