curs sisteme dinamice 2010 curs sisteme dinamice 2010
DESCRIPTION
Curs Sisteme Dinamice 2010Curs Sisteme Dinamice 2010Curs Sisteme Dinamice 2010Curs Sisteme Dinamice 2010Curs Sisteme Dinamice 2010Curs Sisteme Dinamice 2010Curs Sisteme Dinamice 2010Curs Sisteme Dinamice 2010Curs Sisteme Dinamice 2010Curs Sisteme Dinamice 2010TRANSCRIPT
-
SISTEME DINAMICE
NOTE DE CURS
OTILIA LUNGU-LECTOR UNIV. DR. UNIVERSITATEA VASILE ALECSANDRI DIN BACU
-
2
NOIUNI INTRODUCTIVE
Scopul acestui curs este de a deschide o u spre o matematic modern bazat pe idei i concepte noi. Cititorul este cel care va hotr pn unde va nainta n acest edificiu: se poate opri n anticamer, sau poate ajunge pn n cel mai nalt turn. Sistemele dinamice reprezint o ramur a metematicii care studiaz procesele n micare. Astfel de procese se regsesc n toate ramurile tiinei. De exemplu, micarea planetelor este un sistem dinamic ce a fost studiat de-a lungul secolelor; schimbrile climatice, stocurile marilor magazine, evoluia vegetaiei sunt sisteme dinamice. Tehnica de lucru ce st la baza studiului sistemelor dinamice este modelarea matematic a fenomenelor. Prin aceasta se nelege un dicionar ce realizeaz o coresponden ntre realitate i mulime de obiecte matematice ntre care se stabilesc operaii sau reguli. Un sistem dinamic este alctuit dintr-un spaiu, numit spaiul fazelor i din reguli care descriu evoluia unui punct n spaiul fazelor. Un punct din spaiul fazelor ne d informaii asupra sistemului la un moment de timp . Exist dou tipuri de sisteme dinamice: discrete i continue. Sistemele dinamice discrete presupun realizarea de msurtori ale parametrilor la momente discrete de timp. Evoluia lor este descris prin ecuaii de forma ( )nn xfx =+1 , unde nx reprezint valoarea variabilei x la momentul de timp n. O astfel de ecuaie se numete ecuaie cu diferene . Ea arat cum starea sistemului la momentul 1+n este dat de o funcie f aplicat strii sistemului la momentul n.
Sistemele dinamice continue sunt cele pentru care monitorizarea deplasrii n timp se face n mod continuu. Evoluia lor este descris cu ajutorul ecuatiilor difereniale i a sistemelor de ecuaii difereniale. O importan deodebit n studiul sistemelor dinamice o au condiiile iniiale. nc din 1687 Sir Isaac Newton publica cele trei principii ale fizicii clasice care , indirect, spun c un sistem se poate caracteriza n viitor numai dac se cunoate starea lui la un moment dat. Complet deterministe, ele se bazeaz pe principiul cauz-efect: orice se ntmpl n viitor este determinat de ceea ce se ntmpl n prezent, iar ceea ce se ntmpl n prezent este efectul a ceea ce s-a ntmplat n trecut. Prin urmare, pentru a prezice ce se va ntmpla cu un sistem, trebuie s tim starea lui la un moment dat, altfel spus, trebuie s cunoatem condiiile iniiale. Acest lucru nseamn c trebuie s msyrm toi parametrii importani care caracterizeaz acest
-
3
sistem ntroducem apoi condiiile iniiale n ecuaiile care modeleaz fenomenul pe care l studiem i obinem starea lui peste un anumit timp. Exist i unele sisteme, numite sisteme dinamice neliniare a cror evoluie n timp nu poate fi prezis. n cazul acestora mici variaii ale condiiilor iniiale produc variaii semnificative ale sistemului pe termen lung. n plus, evoluia sistemului depinde att de mult de condiiile iniiale, nct orict de precis ar fi acestea masurate, eroarea se propag n timp att de mult, nct este imposibil de corectat. Cel mai cunoscut astfel de sistem este vremea, care nu poate fi prezis dect pe perioade mici de timp. Un alt exemplu este cel al unei bile care se afl pe vrful unui deal i creia i se aplic o for. Nu se poate prezice exact ce traiectorie va avea.
-
4
ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL I
1. NOIUNI GENERALE
Definiie. Se numete ecuaie diferenial orice ecuaie de forma ( ) ( ) ( ) ( )( ) 10 = n,xy,...,x"y,x'y,xy,xF n ,
unde: RRD:F n +2 este o funcie dat , Rx se numete variabila independent a ecuaiei, RR:y este funcia necunoscut a ecuaiei,
( ) ( ) ( )xy,...,x"y,x'y n sunt derivatele de ordin I, II,, n ale funciei necunoscute y. Dac n ecuaie ( )xyn apare efectiv, spunem c ecuaia are ordinul n. Definiie. Funcia RRI: j se numete soluie a ecuaiei difereniale dac ndeplinete condiiile: a) ( )IC nj ( este de clas n pe I, adic este continu i de n ori derivabil); b) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Ix,Dx,...,x",x',x,x n "jjjj ; c) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Ix,x,...,x",x',x,xF n "= 0jjjj . Graficul unei soluii a ecuaiei difereniale ( deci a funciei j ) este o curb din 2R care se numete curb integral. Definiie. Familia de funcii ( )nC,...,C,C,xy 21j= , unde
RIx , iar nC,...,C,C 21 sunt n constante reale arbitrare constituie soluia general a ecuaiei difereniale de ordinul n dac este soluie pentru ecuaia dat. Orice soluie care se obine din soluia general prin particularizarea constantelor se numete soluie particular. O soluie a ecuatiei care nu se poate obine din soluia general prin particularizarea constantelor se numete soluie singular. Cnd ncercm s determinm o soluie particular care s verifice n acelai timp una sau mai multe condiii suplimentare spunem c rezolvm o ecuaie diferenial cu condiii iniiale, sau c rezolvm o problem Cauchy.
-
5
Definiie. Fiind date numerele 1020
1000
-ny,...,y,y,y,x astfel nct RIx 0 i ( ) 110201000 +- nn RDy,...,y,y,y,x , prin problema Cauchy
pentru ecuaia diferenial se nelege problema determinrii soluiilor ( )xyy = care s verifice condiiile:
( )( )( )
( )( )
=
=
=
=
-- .yxy
yx"yyx'y
yxy
nn 100
1
200
100
00
M
Facem precizarea c problema Cauchy poate s admit o soluie unic, s nu aib nici o soluie, sau s admit o infinitate de soluii. Prezentm n continuare cteva tipuri de ecuaii difereniale de ordinul I pentru care se poate determina mulimea tuturor soluiilor exprimat prin soluia general i, acolo unde este cazul, de soluia singular. Spunem c se integreaz ecuaia diferenial.
2. ECUAII CU DIFERENIALE TOTALE EXACTE
Forma general: ( )( )y,xQ
y,xP'y -= ,
sau, echivalent, ( ) ( ) 0=+ dyy,xQdxy,xP ,
unde RRD:Q,P 2 sunt funcii continue pe D cu derivatele pariale continue. Soluia general:
( ) ( ) =+x
x
y
yCdtt,xQdty,tP
0 0
0 ,
-
6
unde )D(CQ,P 1 , xQ
yP
=
, DC , iar ( ) Dy,x 00 fixat. Demonstraie: n domeniul 2RD se consider punctul fixat ( ) Dy,x 00 i definim cu ajutorul funciilor )D(CQ,P 1 o nou funcie RRD:U 2 prin
( ) ( ) ( ) +=x
x
y
ydtt,xQdty,tPy,xU
0 0
0 .
Calculm difereniala de ordinul nti a acestei funcii:
( ) dyyUdx
xUy,xdU
+
= .
Avem c
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).y,xPy,xPy,xPy,xPt,xPy,xP
dtt,xyPy,xPdtt,x
xQy,xP
xU
yy
y
y
xQ
yP
y
y
=-+=+=
+=
+=
=
000
00
0
00
Analog, ( )y,xQyU =
.
Obinem ( ) ( ) ( ) 0=+= dyy,xQdxy,xPy,xdU .
Rezult de aici c ( ) Cy,xU = , adic ( ) ( ) =+x
x
y
yCdtt,xQdty,tP
0 0
0 .
Exemple. E1. S se integreze urmtoarea ecuaie diferenial:
( ) ( ) 022 =+++ dyyxdxyx . Soluie: Avem yxP += 2 , 2yxQ += , 1=
yP
, 1=
xQ
.
Relaia ( ) ( ) =+x
x
y
yCdtt,xQdty,tP
0 0
0 este echivalent cu
-
7
( ) ( ) =+++x
x
y
yCdttxdtyt
0 0
20
2
care conduce la
( ) ( ) Cyyyyxxxyxx =-+-+-+-33
30
3
000
30
3
,
sau, echivalent,
Cyyxxyxyx =
++-
++
3333
30
00
30
33
.
Dac notm 130
00
30
33Cyyxx =++ , obinem soluia
,yxyx =++33
33
,unde 1CC += .
E2. S se integreze ecuatia diferenial ( ) .y,x,xydydxyx 00022 >
-
8
=+ 22 2xyx unde 12 CC += .
Lum aici 1-=x i 21=y i gsim c
21= . Prin urmare, soluia
general cu condiia iniial dat este 212 22 =+ xyx .
3. ECUAII DIFERENIALE CU VARIABILE SEPARABILE
Forma general: ( )( )yQxP'y -= ,
sau, echivalent, ( ) ( ) 0=+ dyyQdxxP ,
unde RR:Q,P sunt funcii continue. Soluia general:
( ) ( ) =+y
y
x
xCdttQdttP
00
,
sau,exchivalent, ( ) ( ) =+ CdyyQdxxP .
Demonstraie: Se observ c aceast ecuaie este un caz particular de
ecuaie cu difereniale totale exacte, cu 0==
yQ
xP
.
Exemple
E1. S se gseasc soluia general a ecuaiei ( )( )1
12
2
--
=xyyx'y .
Soluie: Ecuaia dat este echivalent cu ( )( )1
12
2
--
=xyyx
dxdy
,
-
9
sau, separnd variabilele,
dxx
xdyy
y11 22 -
=-
.
De aici rezult
011 22
=-
--
dxx
xdyy
y,
care, prin integrare conduce la
=--
-Cdx
xxdy
yy
11 22.
Soluia general este
Cxyln 2
11
2
2
=--
.
4. ECUAII DIFERENIALE OMOGENE
Forma general: ( )( )y,xQ
y,xP'y = , sau
=
xyf'y ,
unde P i Q sunt funcii omogene de acelai grad. Soluia general: se determin efectunduse schimbarea de funcie
( ) ( ) xxuxy = . Se obine astfel o ecuaie diferenial cu variabile separabile.
Demonstraie: Din ( ) ( ) xxuxy = rezult c ux'u'y += i uxy = .
Acum ecuaia devine ( )ufux'u =+ ,
sau, echivalent,
( )ufuxdxdu =+ .
-
10
Separm variabilele si obinem
( ) uufdu
xdx
-= .
De aici, soluia este dat de
( ) =-- Cuufdu
xdx
.
Exemple. E1. S se determine soluia general a ecuaiei
2
22
32 yxyyx'y
+-
=
Soluie: Cu notaia ( ) ( ) xxuxy = i cu ux'u'y += obinem ecuaia
2
2
321
uuuux'u
+-
=+
echivalent cu
uuu
uxdxdu
-+-
= 22
321
,
sau, separnd variabilele,
13332
23
2
+--+
=uuuu
xdx
.
Soluia este de forma Cuulnxln ++---= 13331 23 .
5. ECUAII DIFERENIALE REDUCTIBILE LA ECUAII OMOGENE
Forma general:
++++
=222
111
cybxacybxaf'y ,
unde Rc,c,b,b,a,a 212121 i f este este de clas 0C .
Soluia general:
-
11
Caz I. Dac a===2
1
2
1
2
1
cc
bb
aa
, atunci 21 aa a= , 21 bb a= , 21 cc a=
i ecuaia este acum ( )af'y = cu soluia general ( ) Cxfy += a , RC .
Caz II. Dac 2
1
2
1
2
1
cck
bb
aa == , atunci 21 aa a= , 21 bb a= i
ecuaia este ( )
++
++=
222
122
cybxacybxakf'y .
Se efectueaz aici schimbarea de funcie ( ) ( )xuxybxa =+ 22
care implic
2
2
ba'u'y -= .
Se obine apoi o ecuaie cu variabile separabile. Exemplu. S se determine soluia general a ecuaiei
yxyx'y
22133
++--= .
Soluie: Ecuaia este de forma ( )( )yx
yx'y+
++-=2
13.
Notm uyx =+ i rezult c 1-= 'u'y . nlocuim n necuaie i obinem
uu'u2
1+-= ,
sau, echivalent,
01
2 =-
+ duu
udx .
Integrnd rezult Culnux =-++ 122 .
Avem c soluia general este Cyxlnyx =-+++ 1223 .
-
12
Caz III. Dac 2
1
2
1
bb
aa se rezolv sistemul
=++=++
00
222
111
cybxacybxa
Fie ( )00 y,x soluia acestui sistem. Se efectueaz n continuare o schimbare de variabil precum i o schimbare de funcie:
,YyyXxx
+=+=
0
0
unde X este noua variabil independent i Y este noua funcie necunoscut. Avem c 'Y'y = . Noua ecuaie obinut astfel este o ecuaie omogen ce se va rezolva cu schimbarea de funcie ( ) ( ) XXUXY = . Exemplu. S se determine soluia general a ecuaiei
31
-++-=
yxyx'y , ( ) ( ){ }0322 -+- yxRy,xRDy,x .
Soluie: Rezolvm sistemul
=-+=++
0301
yxyx
i gsim soluia
==
21
0
0
yx
Efectum schimbrile
+=+=
YyXx
21
i ecuaia devine
YXYX'Y
+-= .
Notm UXY = care conduce la UX'U'Y += . Ecuaia este acum
UUUX'U
++--
=1
12 2,
-
13
sau, cu variabile separate,
dUUU
UX
dX12
12 +--
+= .
Integrnd obinem
( ) CeUUX =-+ 1222 , unde RC,xyU,xX
--=-=
121 .
6. ECUAII DIFERENIALE LINIARE DE ORDINUL I
Forma general:
( ) ( )xQyxP'y =+ , unde RRI:Q,P sunt funcii continue pe I. Dac ( ) 0=xQ spunem c ecuaia este liniar omogen. Dac ( ) 0xQ spunem c ecuaia este liniar neomogen. Soluia general:
( ) ( ) ( )[ ].dxexQCey dxxPdxxP += - Demonstraie: Se folosete metoda variaiei constantelor a lui Lagrange care const din urmtoarele dou etape: Se determin soluia general a ecuaiei liniare omogene
( ) 0=+ yxP'y . Aceasta este echivalent cu ecuaia cu variabile separabile
( )dxxPy
dy -= .
Soluia acestei ecuaii este ( ) CdxxP eey = - , RC .
Notm 1CeC = .
Se consider c ( )xCC 11 = i determinm ( )xC1 astfel ca funcia ( )
1CeydxxP = -
s verifice ecuaia diferenial liniar neomogen
-
14
( ) ( )xQyxP'y =+ . Pentru aceasta calculm
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )11
111
CxPx'Ce
e.x'CC.xPe'Ce'ydxxP
dxxPdxxPdxxP
-=
+-==
-
---
nlocuim n ecuaia neomogen i obinem
( ) ( ) ( )xQe.x'C dxxP =-1 , adic
( ) ( ) ( )xQex'C dxxP=1 . Prin urmare
( ) ( ) ( ) 21 CdxexQ.xCdxxP += .
De aici se obine imediat soluia general. Exemplu. S se determine soluia general a ecuaiei
0>=- x,xxy'y .
Soluie: Avem ( )x
xP 1-= , ( ) xxQ = Calculm
( ) xlnxlndxx
dxxPx
-=-=-=>
01
i
( ) ( ) ==== - xdxxxdxxedxxedxexQx
lnxlndxxP 11
.
nlocuind n expresia soluiei generale gsim ( ) RC,xCxy += .
-
15
7. ECUAII DIFERENIALE DE TIP BERNOULLI
Forma general: ( ) ( ) ayxQyxP'y =+ ,
unde RRI:Q,P sunt funcii continue pe I i { }10,R -a . Soluia general: se determin efectund schimbarea de funcie
( ) ( )xyxz a-= 1 . n felul acesta ecuaia diferenial de tip Bernoulli se reduce la o ecuaie diferenial liniar de ordinul I avnd funcia necunoscut z. Demonstraie: mprim ecuaia tip Bernoulli prin ay i obinem
(*) ( ) ( )xQ
yxP
y'y =+ -1aa .
Notm ( ) ( )xyxz a-= 1 i prin derivare gsim c ( ) 'yy'z aa --= 1 ,
sau, echivalent,
( ) aa y'y'z -= 1 .
nlocuim n (*) i rezult ecuaia
( ) ( )xQzxP'z =+-a11
care este o ecuaie diferenial liniar de ordinul I avnd funcia necunoscut z. Exemplu. S se determine soluia general a ecuaiei
yx
xy'y
22
2
=- .
Soluie: Avem 1-=a . nmulim ecuaia cu y i avem
221 22 xyx
'yy =- .
-
16
Notm zy =2 i rezult imediat c 2
2z'yy = . nlocuim n relaia de mai sus
i obinem 21 xz
x'z =- ,
care este este o ecuaie diferenial liniar de ordinul I avnd funcia
necunoscut z i n care ( )x
xP 1-= i ( ) 2xxQ = . Soluia general este
+=
2
2xCxz
i de aici, innd seama c zy =2 , rezult
+=
2
22 xCxy .
8. PUNCTE FIXE ALE ECUAIILOR DIFERENIALE LINIARE
DE ORDIN I DE FORMA ( )xfx =
, unde ( )t'xx =
, ( ) 00 xtx =
n planul
x,x , starea iniial 0x este un punct care se mic pe
traiectoria corespunztoare lui cu viteza ( )xfx =
atunci cnd timpul t crete. Definiie. Un punct x se numete punct fix ( punct critic, sau punct
de echilibru) dac este soluie a ecuaiei 0=
x , sau, echivalent, dac verific ( ) 0=xf .
Exemplu. Ecuaia ( )xakxx -=
(ecuaia logistic) are dou puncte
fixe: 01 =x i ax =2 .
-
17
Definiie. Dac punctele de pe o traiectorie se apropie de un punct fix cnd t tinde la infinit, adic
( ) xtxlimt
=
atunci spunem c punctul fix este atractor. Definiie. Dac punctele de pe traiectorie se deprteaz de un punct fix cnd t tinde la infinit, atunci punctul fix se numete repulsor . Condiia ca un punct fix x s fie atractor: ( ) 0b,a . Rezolvnd ecuaia ( ) 0=- bxax obinem dou soluii, deci dou puncte fixe: 01 =x i b
ax =2 .
Avem c ( ) bxax'f 2-= . Gsim c ( ) 00 >= a'f i
0
-
18
Rezolvnd ecuaia 012 =-x obinem dou soluii, deci dou puncte fixe: 11 =x i 12 -=x . Avem c ( ) xx'f 2= . Obinem c ( ) 021 >='f , deci 11 =x este repulsor i ( ) 021
-
19
ECUAII DIFERENIALE LINIARE DE ORDINUL n
1. ECUAII CU COEFICIENI VARIABILI
a) ECUAII OMOGENE
Forma general: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01110 =++++ -- xyxax'yxa...xyxaxyxa nnnn
unde ( ) ( )xa,...,xa n0 sunt funcii continue pe un interval RI , i ( ) 00 xa , Ix " .
( ) ( )xa,...,xa n0 se numesc coeficienii ecuaiei. RIx se numete variabil independent.
RRI:y este funcia necunoscut.
Determinarea soluiei generale. Se poate demonstra imediat c dac ny,...,y,y 21 sunt n soluii ale ecuaiei, atunci i funcia
nn yC...yCyCy +++= 2211 , n,i,RCi 1=" este soluie a ecuaiei date. Soluia y definit mai sus conine n constante oarecare. Din acest motiv este posibil ca n anumite condiii aceast funcie s fie soluia general a ecuaiei date. n cele ce urmeaz determinm condiiile pe care trebuie s le ndeplineasc soluiile ny,...,y,y 21 pentru ca funcia y s reprezinte exact soluia general.
Definiie. Spunem c funciile ( ) RI,ICy,...,y,y n 021 sunt liniar independente pe intervalul I dac din relaia
( ) ( ) ( ) 02211 =+++ xyC...xyCxyC nn , n,i,RCi 1=" , Ix " rezult
021 ==== nC...CC .
-
20
Definiie. Spunem c funciile ( ) RI,ICy,...,y,y n 021 sunt
liniar independente pe intervalul I dac exist n numere reale nC,...,C,C 21 nu toate nule astfel nct ( ) ( ) ( ) 02211 =+++ xyC...xyCxyC nn , Ix " . Definiie. Fie funciile ( ) RI,ICy,...,y,y nn -121 . Se numete determinantul lui Wronski sau wronskianul funciilor ny,...,y,y 21 expresia
( )( ) ( ) ( )11
21
1
21
21
21
---
=
nn
nn
n
n
n,
yyy
'y'y'yyyy
y,...,yyW
LMMMM
KK
.
Teorem. Dac funciile ( ) RI,ICy,...,y,y nn -121 sunt liniar dependente pe I, atunci ( ) 021 =n, y,...,yyW , Ix " . Demonstraie: Avem c funciile ny,...,y,y 21 sunt liniar dependente. Conform definiiei exist nC,...,C,C 21 nu toi nuli, astfel nct
( ) ( ) ( ) 02211 =+++ xyC...xyCxyC nn . Derivm succesiv aceast egalitate pn la ordinul 1-n i obinem sistemul:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
=+++
=+++=+++
--- 0
00
1122
111
2211
2211
xyC...xyCxyC
x'yC...x'yCx'yCxyC...xyCxyC
nnn
nn
nn
nn
M
Acesta este un sistem liniar i omogen de n ecuaii i n necunoscute nu toate nule nC,...,C,C 21 . Prin urmare, determinantul sistemului trebuie s fie nul, adic 0=W . Teorem. Funciile ( ) RI,ICy,...,y,y nn -121 sunt liniar independente dac i numai dac ( ) 021 n, y,...,yyW , Ix " .
-
21
Demonstraie: Dac funciile ny,...,y,y 21 sunt liniar independente, conform definiiei date mai sus din ( ) ( ) ( ) 02211 =+++ xyC...xyCxyC nn rezult 021 ==== nC...CC . Deci sistemul trebuie s admit o unic soluie i anume soluia banal. Cum sistemul este liniar i omogen acest lucru este posibil dac i numai dac 0W . Definiie. Spunem c soluiile ( ) RI,ICy,...,y,y nn 21 ale ecuaiei difereniale liniare i omogene
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01110 =++++ -- yxa'yxa...yxayxa nnnn , ( ) 00 xa , ( ) n,i,ICai 00 =
formeaz un sistem fundamental de soluii dac ( ) 021 n, y,...,yyW , Ix " .
Teorem. Dac ( ) RI,ICy,...,y,y nn 21 este un sistem fundamental de soluii ale ecuaiei difereniale liniare omogene
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01110 =++++ -- yxa'yxa...yxayxa nnnn , ( ) 00 xa , ( ) n,i,ICai 00 =
atunci soluia general pe intervalul I este dat de funcia
nn yC...yCyCy +++= 2211 , n,i,RCi 1=" .
b) ECUAII NEOMOGENE
Forma general: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxyxax'yxa...xyxaxyxa nnnn =++++ -- 1110
unde ( ) ( ) ( )xf,xa,...,xa n0 sunt funcii continue pe un interval RI i ( ) 00 xa , Ix " .
( ) ( )xa,...,xa n0 se numesc coeficienii ecuaiei. RIx se numete variabil independent.
RRI:y este funcia necunoscut.
-
22
Teorem. Dac ( ) RI,ICy,...,y,y nn 21 formeaz un sistem fundamental de soluii pentru ecuaia diferenial liniar omogen
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01110 =++++ -- yxa'yxa...yxayxa nnnn iar py este o soluie particular a ecuaiei liniare neomogene
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxyxax'yxa...xyxaxyxa nnnn =++++ -- 1110 , atunci soluia general a ecuaiei liniare neomogene este dat de funcia
pnn yyC...yCy +++= 11 . Demonstraie: n ecuaia dat efectum schimbarea de funcie
zyy p += unde z este noua funcie necunoscut, iar py este o soluie particular a ecuaiei liniare neomogene. Obinem
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )xfza...zazaya...yaya nnnpnnpnp =+++++++ -- 110110 . innd seama c py este o soluie particular avem
( ) ( ) ( )xfya...yaya pnnpnp =+++ -110 . Rezult c
( ) ( ) 0110 =+++- za...zaza n
nn . Avem astfel o ecuaie liniar omogen n care necunoscuta este funcia z. Pentru aceast nou ecuaie avem un sistem fundamental de soluii
ny,...,y,y 21 . Aadar soluia general este
nn yC...yCz ++= 11 , n,i,RCi 1=" . inem acum seama de substituia zyy p += i obinem soluia general a ecuaiei iniiale de forma pnn yyC...yCy +++= 11 . Observaie. Determinarea unei soluii particulare a ecuaiei difereniale liniare neomogene este o problem dificil, a crei nerezolvare conduce la imposibilitatea determinrii soluiei generale. Dac ns se cunoate un sistem fundamental de soluii pentru ecuaia diferenial liniar omogen ataat, atunci soluia general a ecuaiei difereniale liniare neomogene se poate determina prin metoda variaiei constantelor a lui Lagrange. Aceast metod presupune urmtoarele etape:
-
23
i) Dac se cunoate un sistem fundamental de soluii pentru ecuaia diferenial liniar omogen ataat, ny,...,y,y 21 , se scrie soluia general a acesteia sub forma
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=
=+++=n
iiinn xyxCxyxC...xyxCxyxCy
12211
ii) mpunem condiia ca funciile ( ) ( ) ( )( )xy,...,x''y,x'y n 1- s nu conin n'C,...,'C,'C 21 . Pentru aceasta calculm
( ) ( ) ( ) ( ) ( )==
+=n
iii
n
iii x'yxCxyx'Cx'y
11.
Impunem
( ) ( ) 01
==
n
iii xyx'C
Rezult
( ) ( ) ( )=
=n
iii x'yxCx'y
1
i apoi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )==
+=n
iii
n
iii x''yxCx'yx'Cx''y
11.
Impunem
( ) ( ) 01
==
n
iii x'yx'C .
Rezult
( ) ( ) ( )=
=n
iii x''yxCx''y
1.
Analog ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
=
-
=
-- +=n
i
nii
n
i
nii
n xyxCxyx'Cxy1
1
1
21 .
Impunem
( ) ( )( ) 01
2 ==
-n
i
nii xyx'C .
Rezult ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
==
- +=n
i
nii
n
i
nii
n xyxCxyx'Cxy11
1 .
-
24
iii) Impunem condiia ca funcia y mpreun cu derivatele sale ( )ny,...,''y,'y s verifice ecuaia diferenial liniar neomogen.
Obinem
sau, echivalent,
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ).xfyx'Cxa
xyxax'yxa...xyxaxyxaxC
n
i
nii
ininn
in
i
n
ii
=+
++++
=
-
--
=
1
10
11
101
Avem ns c ny,...,y,y 21 sunt soluii; aceasta implic ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01110 =++++ -- xyxax'yxa...xyxaxyxa ininnini ,
n,i 1=" . Rezult
( ) ( ) ( ) ( )xfyx'Cxan
i
nii =
=
-
1
10
i de aici
( ) ( ) ( )( ) .xaxfyx'C
n
i
nii
01
1 ==
-
iv) Se rezolv sistemul
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
=+++
=+++
=+++=+++=+++
---
---
0
1122
111
2222
211
2211
2211
2211
0
000
axfy'C...y'Cy'C
y'C...y'Cy'C
''y'C...''y'C''y'C'y'C...'y'C'y'C
y'C...y'Cy'C
nnn
nn
nnn
nn
nn
nn
nn
M
cu necunoscutele 'C,...,'C,'C n21 . v) Se integreaz soluiile de la iv) i se obin expresiile pentru
nC,...,C,C 21 .
-
25
Exemplu. S se determine soluia general a ecuaiei 32 22 xy'xy''yx =+- , *Rx " ,
tiind c ecuaia omogen ataat are soluiile 221 2xy,xy == . Soluie: Calculm wronskianul
( ) .Rx,xxxx
y,yW *"== 02412 2
2
21
Rezult c 21 y,y formeaz un sistem fundamental de soluii i n consecin soluia general a ecuaiei omogene este
2212211 2xCxCyCyCyo +=+= .
Determinm n continuare o soluie particular prin metoda variaiei constantelor. Pentru aceasta considerm
( ) ( ) 221 2xxCxxCyp += , unde vom determina ( )xC1 i ( )xC2 rezolvnd sistemul
( ) ( )
( ) ( ) ( )
=+
=+
2
32
21
221
2
02
xx'xx'C'xx'C
xx'Cxx'C
echivalent cu ( ) ( )( ) ( )
=+=+xxx'Cx'C
xx'Cxx'C4
02
21
221
Soluia este
=
-=
21
2
1
'C
x'C
i de aici,
+=
+-=
22
1
2
1
2
2
kxC
kxC
-
26
Obinem c soluia particular este
221
32
21
2
22
222
xkxkxxkxxkxyp ++=
++
+-= .
Acum putem scrie soluia general a ecuaiei neomogene:
( ) ( )
.xxx
xxkCxkC
xkxkxxCxCyyy po
22
22
22
2
32
21
32
2211
221
32
21
++=
=++++=
=++++=+=
aa
2. ECUAII CU COEFICIENI CONSTANI
a) ECUAII OMOGENE
Forma general: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 01110 =++++ -- xyax'ya...xyaxya nnnn
unde na,...,a0 sunt constante reale cu 00 a na,...,a0 se numesc coeficienii ecuaiei. RIx se numete variabil independent.
RRI:y este funcia necunoscut.
Observaie. Aceast ecuaie este un caz particular de ecuaie diferenial liniar omogen cu coeficieni variabili, n sensul c acum coeficienii ecuaiei nu mai sunt funcii ce depind de variabila x , ci sunt constante reale. Prin urmare toate rezultatele din paragraful precedent rmn valabile.
Soluia general. Pentru determinarea soluiei generale, avem nevoie de un sistem fundamental de soluii. n acest scop vom folosi metoda lui Euler care const n a cuta soluii de forma
Rx,ey rx = , unde r este o constant real .
-
27
Impunem condiia ca funcia Rx,ey rx = s fie soluie a ecuaiei ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 01110 =++++ -- xyax'ya...xyaxya nnnn
i inem seama n calcule de faptul c ( ) n,k,ery rxkk 0="= .
Obinem .earea...eraera rxn
rxn
rxnrxn 011
10 =++++ --
mprim aceast relaie prin 0rxe i gsim .ara...rara nn
nn 011
10 =++++ --
Aceasta este o ecuaie algebric de ordin n cu necunoscuta r i care se numete ecuaia caracteristic ataat ecuaiei omogene. Ecuaia caracteristic are n rdcini , nr,...,r,r 21 . n funcie de natura lor )reale sau nu, simple sau multiple= se construiete sistemul fundamental de soluii cu ajutorul cruia se va scrie soluia general a ecuaiei.
i) Ecuaia caracteristic are rdcini reale i distincte
Teorem. Dac ecuaia caracteristic ataat unei ecuaii liniare omogene admite n rdcini reale i distincte nr,...,r,r 21 , atunci soluia general a ecuaiei liniare omogene este
xrn
xrxr neC...eCeCy +++= 21 21 , ,Rx " n,i,RCi 1=" . Demonstraie. Conform metodei Euler, dac ecuaia caracteristic are rdcinile nr,...,r,r 21 , atunci ecuaia diferenial liniar omogen admite soluiile
xrn
xrxr ney,...,ey,ey === 21 21 . Demonstrm c acestea formeaz un sistem fundamental de soluii. Pentru aceasta trebuie ca wronskianul lor s fie nenul.
-
28
( )( ) ( ) ( )
( ) 0
111
1
112
11
21
112
11
21
112
11
21
21
21
21
21
21
21
21
-=
=
=
=
-
29
ii) Ecuaia caracteristic are rdcini reale i multiple
Teorem. Dac ecuaia caracteristic ataat unei ecuaii liniare omogene admite rdcina real 1rr = multipl de ordin k (adic
kr...rr === 21 ), nk 2 , atunci funcia xrk
kxrxrxr exC...exCxeCeCy 1111 12321
-++++= este soluie a ecuaiei date. Teorem. Dac ecuaia caracteristic ataat unei ecuaii liniare omogene admite rdcina real 1rr = multipl de ordin k (adic
kr...rr === 21 ), nk 2 , iar nkk r...rr ++ 21 , atunci soluia general a ecuaiei este
xrn
xrk
xrkk
xrxrxr nk eC...eCexC...exCxeCeCy +++++++= ++- 11111
112
321 ,
cu n,i,RC,Rx i 1= . Teorem. Dac ecuaia caracteristic ataat unei ecuaii liniare omogene admite rdcinile reale nr...rr 21 cu ordinele de multiplicitate respectiv mp,...,p,p 21 , unde np...pp m =+++ 21 , atunci soluia general a ecuaiei este
xrpmp
xrm
xrm
xrpp
xrxr
xrpp
xrxr
mmm
mm exC...xeCeC
exC...xeCeC
exC...xeCeCy
121
112221
111211
222
22
11
1
11
-
-
-
++++
+
++++
+++=
LLLLLLLLLLLLL
unde mij p,j,m,i,RC,Rx 11 == . Exemplu. S se gseasc soluia general a ecuaiei
( ) ( ) ( ) 0617177 234 =+-+- y'yyyy . Soluie. Ecuaia caracteristic este
0617177 234 =+-+- rrrr i are soluiile 321 4321 ==== r,r,rr . Un sistem fundamental de soluii este
-
30
xxxx ey,eyxey,ey 342
31
21
1 ==== , iar soluia general este
xxxx eCeCxeCeCy 342
321 +++= , RC,C,C,C " 4321 .
iii) Ecuaia caracteristic are rdcini complexe distincte
Teorem. Dac ecuaia caracteristic ataat unei ecuaii difereniale liniare omogene are rdcinile complexe distincte
-=
+=
111
111
ba
ba
irir
,
-=
+=
222
222
ba
ba
irir
,...,
-=
+=
mmm
mmm
irirba
ba,
cu nm =2 , atunci ecuaia diferenial liniar omogen are soluia general ( )
( )
( ) ,exsinCxcosC..............................................
exsinCxcosCexsinCxcosCy
xmmmm
x
x
ma
a
a
bb
bb
bb
++
+++
+=2
1
2222
1111
cu m,i,RC,C,Rx ii 1= . Demonstraie. Corespunztor rdcinii 111 ba ir += avem soluia
( ) ( )xsinixcoseeeey xxixxi 111 11111 bbababa +=== + , iar corspunztor rdcinii 111 ba ir -= avem soluia
( ) ( )xsinixcoseeeey xxixxi 111 11111 bbababa -=== -- . Analog avem soluiile mm y,y,...,y,y 22 corespunztoare rdcinilor
mm r,r,...,r,r 22 . Se poate verifica imediat c toate aceste soluii formeaz un sistem fundamental de soluii deoarece wronskianul lor este nenul. Aceste soluii au dezavantajul c sunt din mulimea numerelor complexe, iar n practic ne intereseaz de obicei numai soluiile reale. De aceea vom construi un sistem fundamental de soluii format numai din funcii reale. Pentru aceasta fie funciile:
-
31
-=
+=
iyyz
yyz
2
2
111
111
,
-=
+=
iyyz
yyz
2
2
222
222
,...,
-=
+=
iyyz
yyz
mm
mmm
2
2
1
.
nlocuind n aceste expresii funciile mm y,y,...,y,y,y,y 2211 obinem funciile
=
=
11
11
1
1
b
ba
a
sinezcosez
x
x
,
=
=
22
22
2
2
b
ba
a
sinezcosez
x
x
, ...,
=
=
mx
m
mx
m
sinezcosez
m
m
b
ba
a
,
care reprezint un sistem fundamental de soluii. Prin urmare soluia general a ecuaiei este de forma
mmmm zCzC...zCzCzCzCy ++++++= 22221111 .
Exemplu. S se gseasc soluia general a ecuaiei ( ) 0222 =++ y'yy .
Soluie. Ecuaia caracteristic este 0222 =++ rr
i are soluiile ir,ir --=+-= 11 21 . Un sistem fundamental de soluii este ,xsiney,xcosey xx -- == 21
iar soluia general este xsineCxcoseCy xx -- += 21 , RC,C " 21 .
iv) Ecuaia caracteristic are rdcini complexe multiple
Teorem. Dac ecuaia caracteristic ataat ecuaiai liniare omogene admite rdcina complex ba ir += multipl de ordin k, atunci funcia
xsinexCxcosexC...xsinxeCxcosxeCxsineCxcoseCy
xkk
xkk
xxxx
bb
bbbbaa
aaaa
11
2211
-- ++
++++=
este soluie a ecuaiei date. Exemplu. S se gseasc soluia general a ecuaiei
( ) ( ) 022 35 =++ 'yyy .
-
32
Soluie. Ecuaia caracteristic este 022 35 =++ rrr
i are soluiile irrrr,r ===== 54321 0 . Un sistem fundamental de soluii este
xsinxey,xcosxey,xsiney,xcosey,ey xxxxx 050
40
30
20
1 ===== iar soluia general este
xsinxCxcosxCxsinCxcosCCy 54321 ++++= , RC,C,C,C,C " 54321 .
v) Concluzii
Observaie. Dac ecuaia caracteristic ataat ecuaiei difereniale liniare omogene cu coeficieni constani are rdcini de mai multe tipuri, atunci pe baza teoremelor enunate la paragrafele i), ii), iii), iv), fiecare din aceste rdcini are contribuia sa la soluia general a ecuaiei date. Numrul constantelor arbitrare care se introduc n soluia general este egal cu ordinul ecuaiei difereniale. Algoritm de rezolvare a unei ecuaii difereniale liniare omogene de grad n cu coeficieni constani:
1. Se scrie ecuaia caracteristic ataat ecuaiei date. 2. Se rezolv ecuaia caracteristic. 3. Se scrie un sistem fundamental de soluii al ecuaiei difereniale,
format din funciile: i) xrke , pentru fiecare rdcin real simpl kr determinat la 2; ii) xrke , xrkxe , xrkex2 ,..., xrk kex 1- , pentru fiecare rdcin real de multiplicitate 1>k ; iii) xcose k
xk ba , xsine kxk ba , pentru fiecare pereche simpl de
rdcini complexe kkk ir ba = ; iv) xcose k
xk ba , xcosxe kxk ba ,..., xcosex k
xs k ba1- xsine k
xk ba , xsinxe kxk ba , ..., xsinex k
xs k ba1- , pentru fiecare pereche de rdcini complexe kkk ir ba = de multiplicitate 1>s . 4.Se scrie soluia general ca fiind o combinaie liniar a soluiilor de la3.
-
33
b) ECUAII NEOMOGENE
Forma general:
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )xfxyax'ya...xyaxya nnnn =++++ -- 1110 unde na,...,a0 sunt constante reale cu 00 a i RRI:f este o funcie continu pe I.
na,...,a0 se numesc coeficienii ecuaiei. RIx se numete variabil independent.
RRI:y este funcia necunoscut.
Soluia general se determin dup urmtorul algoritm: 1) Se determin soluia general oy a ecuaiei difereniale liniare
omogene asociate. 2) Se determin o soluie particular py a ecuaiei difereniale liniare
neomogene. 3) Se scrie soluia general a ecuaiei difereniale liniare neomogene ca
fiind suma celor dou soluii de la 1) i 2): po yyy += .
Observaie. Cum punctul 1) al acestui algoritm a fost descris n paragraful precedent, rmne s vedem tehnicile prin care se poate determina soluia particular py . b1) Soluii particulare determinate de forma membrului drept, ( )xf
Principiul ce st la baza tehnicilor ce vor fi enunate s-ar putea descrie prin proverbul Ce nate din pisic oareci mnnc. i) ( ) ( )xPxf m= ( polinom de grad m n nedeterminata x) i1) Dac 0=r nu este rdcin a ecuaiei caracteristice ataate ecuaiei omogene, atunci se caut o soluie particular de forma
( )xQy mp = ,
-
34
unde ( )xQm este un polinom de grad m n x ai crui coeficieni se vor gsi prin metoda identificrii coeficienilor, impunndu-se condiia ca py propus s verifice ecuaia neomogen. i2) Dac 0=r este rdcin multipl de ordin k a ecuaiei caracteristice ataate ecuaiei omogene, atunci se caut o soluie particular de forma
( )xQxy mkp = , unde ( )xQm se determin ca la i1). ii) ( ) ( )xPexf mxa= ii1) Dac a=r nu este rdcin a ecuaiei caracteristice ataate ecuaiei omogene, atunci se caut o soluie particular de forma
( )xQey mxp a= , unde ( )xQm se determin ca la i1). ii2) Dac a=r este rdcin multipl de ordin k a ecuaiei caracteristice ataate ecuaiei omogene, atunci se caut o soluie particular de forma
( )xQexy mxkp a= , unde ( )xQm se determin ca la i1). iii) ( ) ( ) ( )( )xsinxQxcosxPexf mmx bba += iii1) Dac ba ir += nu este rdcin a ecuaiei caracteristice ataate ecuaiei omogene, atunci se caut o soluie particular de forma
( ) ( )( )xsinxQxcosxPey m*m*xp bba += , unde ( ) ( )xQ,xP m*m* se determin ca la i1). iii2) Dac ba ir += este rdcin multipl de ordin k a ecuaiei caracteristice ataate ecuaiei omogene, atunci se caut o soluie particular de forma
( ) ( )( )xsinxQxcosxPexy m*m*xkp bba += , unde ( ) ( )xQ,xP m*m* se determin ca la i1).
-
35
b2) Soluii particulare determinate prin metoda variaiei constantelor Algoritm de rezolvare.
1) Se scrie ecuaie liniar omogen asociat. 2) Se scrie ecuaia caracteristic ataat ecuaiei de la punctul 1). 3) Se rezolv ecuaia caracteristic i se scrie un sistem fundamental de
soluii, ny,...,y,y 21 . 4) Se scrie soluia general a ecuaiei de la 1) sub forma
nn yC...yCyCy +++= 2211 . 5) n expresia soluiei de la 4) se nlocuiesc constantele nC,...,C,C 21 cu funcii derivabile, respectiv, ( ) ( ) ( )xC,...,xC,xC n21 , cu Ix :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyxC...xyxCxyxCy nn+++= 2211 . 6) Se rezolv sistemul
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
=+++
=+++
=+++=+++=+++
---
---
0
1122
111
2222
211
2211
2211
2211
0
000
axfy'C...y'Cy'C
y'C...y'Cy'C
''y'C...''y'C''y'C'y'C...'y'C'y'C
y'C...y'Cy'C
nnn
nn
nnn
nn
nn
nn
nn
M
cu necunoscutele 'C,...,'C,'C n21 . 7) Se integreaz soluiile de la 6) i se obin expresii de forma
( ) ( ) 111 kxhxC += , ( ) ( ) 222 kxhxC += , , ( ) ( ) nnn kxhxC += , unde nk,...,k,k 21 sunt n constante arbitrare. 8) Se nlocuiesc funciile din 7) n soluia de la 5) i se obine astfel soluia general.
-
36
SISTEME DE ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL I
1. NOIUNI GENERALE
Forma general:
(1)
( )( )
( )
=
==
nnn
n
n
y,...,y,y,xf'y
y,...,y,y,xf'yy,...,y,y,xf'y
21
2122
2111
M
unde RR:f ni +1 , n,i 1= , Rx este variabila independent a
sistemului, iar funciile RR:y,...,y,y n 21 sunt funciile necunoscute. O alt form a sistemului (1) este cea vectorial: (2) ( )y,xf'y = , unde ( )nnn f,...,f,ff,RR:f 211 =+ i nRR:y ,
( )ny,...,y,yy 21= . Dac n sistemul (1) variabila independent x nu apare explicit n nici una din funciile nf,...,f,f 21 , atunci spunem c sistemul este autonom. n caz contrar spunem c sistemul este neautonom. Forma general a unui sistem autonom este (3) ( )yfy = unde nRR:y i nn RR:f . Definiie. Fiind date numerele RIy,...,y,y,x n
002
010 , prin
problema Cauchy ataat sistemului autonom (3) se nelege problema determinrii soluiei nRR:y , ( )ny,...,y,yy 21= care verific condiiile iniiale ( ) 00 ii yxy = , n,i 1= .
-
37
2. SISTEME DE ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL I LINIARE OMOGENE CU COEFICIENI VARIABILI
Forma general:
(4)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+++=
+++=+++=
nnnnnn
nn
nn
yxa...yxayxa'y
yxa...yxayxa'yyxa...yxayxa'y
2211
22221212
12121111
M
unde ( ) ,RI,n,j,i,ICaij = 10 Ix este variabila independent, iar RI:yi , n,i 1= sunt funciile necunoscute.
O form echivalent a sistemului (4) este
(5) ( )=
=n
jiiji yxa'y
1, n,i 1= ,
sau, forma matriceal (6) ( )YxA'Y = , unde
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
xA
nnnn
n
n
LMMMM
LL
21
22221
11211
,
=
ny
yy
YM2
1
,
=
'y
'y'y
'Y
n
M2
1
.
Teorem. Dac sistemul de ecuaii (6) admite n soluii particulare
=
ny
yy
Y
1
12
11
1 M,
=
ny
yy
Y
2
22
21
2 M, ,
=
nn
n
n
n
y
yy
YM
2
1
atunci i o combinaie liniar a acestora nnYC...YCYCY +++= 2211
este soluie a sistemului (6), unde nC,...,C,C 21 sunt n constante arbitrare.
-
38
Demonstraie. Deoarece nY,...,Y,Y 21 sunt soluii ale sistemului (6) rezult c
( ) 11 YxA'Y = , ( ) 22 YxA'Y = ,, ( ) nn YxA'Y = . nlocuind acestea n
'YC...'YC'YC'Y nn+++= 2211 gsim
( ) ( ) ( )( )( ) ( )YxAYC...YCYCxA
YxAC...YxACYxAC'Y
nn
nn
=+++=+++=
2211
2211
Prin urmare, Y este soluie a sistemului.dat. Definiie. Spunem c funciile vectoriale
=
ny
yy
Y
1
12
11
1 M,
=
ny
yy
Y
2
22
21
2 M, ,
=
nn
n
n
n
y
yy
YM
2
1
sunt liniar dependente pe intervalul RI dac exist n constante reale n,...,, aaa 21 nu toate nule astfel nct
( ) ( ) ( ) OxY...xYxY nn =+++ aaa 2211 , Ix " . Definiie. Spunem c funciile vectoriale
=
ny
yy
Y
1
12
11
1 M,
=
ny
yy
Y
2
22
21
2 M, ,
=
nn
n
n
n
y
yy
YM
2
1
sunt liniar independente pe intervalul RI dac egalitatea ( ) ( ) ( ) OxY...xYxY nn =+++ aaa 2211
implic 021 ==== n... aaa .
-
39
Definiie. Fie funciile vectoriale
=
ny
yy
Y
1
12
11
1 M,
=
ny
yy
Y
2
22
21
2 M, ,
=
nn
n
n
n
y
yy
YM
2
1
.
Numim determinantul lui Wronski sau wronskianul funciilor nY,...,Y,Y 21 expresia
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )xyxyxy
xyxyxyxyxyxy
Y,...,Y,YW
nnnn
n
n
n
LMMMM
LL
21
22212
12111
21 = .
Teorem. Dac funciile vectoriale ( )ICY,...,Y,Y n 021 formeaz un sistem liniar dependent pe I, atunci ( ) 021 =nY,...,Y,YW pe I. Teorem. Funciile vectoriale ( )ICY,...,Y,Y n 021 formeaz un sistem liniar independent pe I, dac i numai dac ( ) 021 nY,...,Y,YW pe I. Definiie. O mulime de soluii ( )ICY,...,Y,Y n 021 a sistemului liniar omogen ( )YxA'Y = se numete sistem fundamental de soluii dac
( ) 021 nY,...,Y,YW pe I. Definiie. Matricea
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
xyxyxy
xyxyxyxyxyxy
xU
nnnn
n
n
LMMMM
LL
21
22212
12111
se numete matricea fundamental de soluii a sistemului ( )YxA'Y = .
-
40
Teorem. Dac ( )ICY,...,Y,Y n 021 este un sistem fundamental de soluii pentru sistemul ( )YxA'Y = atunci soluia general este dat de
nnYC...YCYCY +++= 2211 unde nC,...,C,C 21 sunt n constante arbitrare.
3. SISTEME DE ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL I LINIARE NEOMOGENE CU COEFICIENI VARIABILI
Forma general:
(7)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
++++=
++++=++++=
xfyxa...yxayxa'y
xfyxa...yxayxa'yxfyxa...yxayxa'y
nnnnnnn
nn
nn
2211
222221212
112121111
M
unde ( ) ,RI,n,j,i,ICf,a iij = 10 Ix este variabila independent, iar RI:yi , n,i 1= sunt funciile necunoscute. O form echivalent a sistemului (7) este forma matriceal (8) ( ) ( )xFYxA'Y += , unde
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
xA
nnnn
n
n
LMMMM
LL
21
22221
11211
,
=
ny
yy
YM2
1
,
=
'y
'y'y
'Y
n
M2
1
,
( )
( )( )
( )
=
xf
xfxf
xF
n
M2
1
.
-
41
Teorem. Dac se cunoate un sistem fundamental de soluii ( )ICY,...,Y,Y n 121 pentru sistemul omogen asociat, ( )YxA'Y = , iar
pY este o soluie particular a sistemului neomogen ( ) ( )xFYxA'Y += , atunci soluia general a sistemului neomogen este
pnn YYC...YCYCY ++++= 2211 cu n,i,RCi 1= . Observaie. Determinarea soluiei generale pentru sistemul neomogen este condiionat de cunoaterea unei soluii particulare a acestuia. Dac nu se cunoate o soluie particular, dar se cunoate un sistem fundamental de soluii pentru sistemul omogen asociat, atunci se poate determina soluia general a sistemului neomogen prin metoda variaiei constantelor a lui Lagrange, ce const din urmtorul Algoritm .
1) Dac se cunoate un sistem fundamental de soluii ( )ICY,...,Y,Y n 121 pentru sistemul omogen asociat, se scrie soluia
general a acestuia : nnYC...YCYCY +++= 2211 .
2) n expresia soluiei de la pct.1) se nlocuiesc constantele nC,...,C,C 21 cu funciile ( ) ( ) ( )xC,...,xC,xC n21 i se obine soluia de forma
( ) ( ) ( ) nn YxC...YxCYxCY +++= 2211 . 3) Impunem condiia ca soluia Y de la 3) s verifice sistemul neomogen
( ) ( )xFYxA'Y += . Se obine ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xFYxAxC'YxCYx'C
n
iii
n
iii
n
iii +=+
=== 111,
sau, echivalent
( ) ( ) ( )( ) ( )xFYxA'YxCYx'Cn
iiii
n
iii =-+
== 11.
Reamintim c aici n,i,Yi 1= sunt soluii ale sistemului omogen ( )YxA'Y = , deci
( ) n,i,YxA'Y ii 1== . Rezult sistemul
-
42
( ) ( )xFYx'Cn
iii =
=1.
4) Se rezolv sistemul obinut la 3) n care necunoscutele sunt funciile ( ) ( ) ( )x'C,...,x'C,x'C n21 . Precizm c acest sistem are soluie unic
deoarece ( ) 0xW , ntruct ( )ICY,...,Y,Y n 121 formeaz un sistem fundamental de soluii.
5) Se integreaz soluiile ( ) ( ) ( )x'C,...,x'C,x'C n21 gsite la 4) i se obin expresii de forma
( ) ( ) n,i,kxgxC iii 1=+= . 6) Se scrie soluia general
( )( ) ( )( ) nnn Yxgk...YxgkY ++++= 111 .
4. SISTEME DE ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL I LINIARE OMOGENE CU COEFICIENI CONSTANI
Forma general:
+++=
+++=+++=
nnnnnn
nn
nn
ya...yaya'y
ya...yaya'yya...yaya'y
2211
22221212
12121111
M
unde ,n,j,i,R,aij 1= iar RI:yi , n,i 1= sunt funciile necunoscute. O form echivalent a sistemului de mai sus este forma matriceal
AY'Y = , unde
=
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
LMMMM
LL
21
22221
11211
,
=
ny
yy
YM2
1
,
=
'y
'y'y
'Y
n
M2
1
.
-
43
Soluia general. Pentru a gsi soluia general a acestui sistem cu n ecuaii i n
necunoscute vom utiliza metoda lui Euler( a ecuaiei caracteristice) pe care o vom descrie n cele ce urmeaz.
Se caut soluia de forma
(*)
=
=
=
=
rxn
rx
rx
rxnn
rx
rx
e
ee
Y
ey
eyey
a
aa
a
a
a
MM2
1
22
11
,
unde n,i,,r i 1=a sunt constante reale sau complexe. nlocuind n sistemul dat funciile iy din (*) se obine urmtorul sistem liniar omogen
( )( )
( )
=-+++
=++-+=+++-
0
00
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
ra...aa
a...raaa...ara
aaa
aaaaaa
M
cu necunoscutele n,i,,r i 1=a . ( O form echivalent a acestui sistem este ( ) 0=- arIA , unde I este
matricea unitate de ordin n i
=
na
aa
aM
2
1
)
Pentru ca acest sistem s aib soluii nenule trebuie ca determinantul su s fie nul, adic
( ) .
raaa
araaaara
rIAdet
nnnn
n
n
0
21
22221
11211
=
-
--
=-
LMLMM
LL
-
44
Definiie. Expresia ( )rIAdet - se numete polinom caracteristic, iar ecuaia ( ) 0=- rIAdet se numete ecuaie caracteristic.
Rdcinile ecuaiei caracteristice se numesc valori proprii ale matricei A , iar soluiile sistemului corespunztoare unei valori proprii kr , se numesc vectori proprii.
Vom determina un sistem fundamental de soluii ale sistemului dat , n
funcie de natura valorilor proprii. a) Dac ecuaia caracteristic are rdacini reale distincte ( valori
proprii reale distincte) Rr...rr n 21 , atunci se obin vectorii proprii corespunztori, respectiv,
1
21
11
na
aa
M,
2
22
12
na
aa
M, ,
nn
n
n
a
aa
M2
1
.
Un sistem fundamental de soluii este dat de
=
1
21
11
11
n
xreY
a
aa
M,
=
2
22
12
22
n
xreY
a
aa
M,,
=
nn
n
n
xrn
neY
a
aa
M2
1
i soluia general a sistemului este
nnYC...YCYCY +++= 2211 , n,i,RCi 1=" .
Exemplu. S se determine soluia general a sistemului
-=+=
212
211
222yy'yyy'y
Soluie: Avem c
-
=12
22A .
Ecuaia caracteristic este
-
45
01222
=--
-r
r
i are rdcinile 23 21 -== r,r , care sunt valorile proprii. Vectorii proprii se determin rezolvnd pe rnd sistemul
( )( )
=+-=+-
012022
21
21
aaaa
rr
pentru 31 == rr , respectiv 22 -== rr . Obinem astfel vectorii proprii corespunztori celor dou valori proprii:
-
=
=
21
12
21 aa , .
Sistemul fundamental de soluii este format din
xeY 31 12
= i xeY 22 2
1 -
-
= ,
iar soluia general este
xx eCeCY 223
1 21
12 -
-
+
= .
b) Dac ecuaia caracteristic admite rdacini complexe (valori proprii complexe) ba ir , =21 , atunci vectorii proprii corespunztori sunt
nA
AA
M2
1
i
nA
AA
M2
1
,
iar sistemul admite soluii de forma
( )xi
n
e
A
AA
Y ba +
=M
2
1
1 i ( )xi
n
e
A
AA
Y ba -
=M
2
1
2 .
-
46
Mai mult, sistemul admite i soluiile 2
211
YYY~ += i
iYYY
~
221
2-= i
folosind formula lui Euler gsim soluiile ( )( )
( )
=
xin
xi
xi
x~
eARe
eAReeARe
eY
b
b
b
a
M2
1
1 i
( )( )
( )
=
xin
xi
xi
x~
eAIm
eAImeAIm
eY
b
b
b
a
M2
1
1 .
Exemplu. S se determine soluia general a sistemului
--=+-=
212
211
22
yy'yyy'y
Soluie: Avem c
--
-=
1221
A .
Ecuaia caracteristic este
01221
=---
--r
r
i are rdcinile ir,ir 2121 21 --=+-= , care sunt valorile proprii. Vectorii proprii corespunztori sunt
i1
i
- i1
iar soluia general este ( )( )
( )( )
+
= --
ix
ixx
ix
ixx
ieImeIm
eCieReeRe
eCY2
2
22
2
1
11.
c) Dac ecuaia caracteristic admite rdacin multipl de ordin k
kr...rr === 21 i p este rangul matricei rIA - atunci: i) dac knp -= , se pot obine k vectori proprii liniar independeni i n acest caz soluia sistemului se obine direct; ii) dac knp -> , pentru obinerea tuturor soluiilor este necesar s cutm soluiile sistemului n forma
-
47
( )( )
( )
=
xQ
xQxQ
eY
n
xr
M2
1
1 ,
unde ( ) ( ) ( )xQ,...,xQ,xQ n21 sunt polinoame de grad cel mult 1-k ai cror coeficieni se determin prin identificare folosind metoda coeficienilor nedeterminai.
5. SISTEME DE ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL I LINIARE NEOMOGENE CU COEFICIENI CONSTANI
Forma general:
( )( )
( )
++++=
++++=++++=
xfya...yaya'y
xfya...yaya'yxfya...yaya'y
nnnnnnn
nn
nn
2211
222221212
112121111
M
unde ,n,j,i,R,aij 1= RIx , ( )ICfi 0 , n,i 1= iar RI:yi , n,i 1= sunt funciile necunoscute.
O form echivalent a sistemului de mai sus este forma matriceal ( )xFAY'Y += ,
unde
=
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
LMMMM
LL
21
22221
11211
,
=
ny
yy
YM2
1
,
=
'y
'y'y
'Y
n
M2
1
, ( )
( )( )
( )
=
xf
xfxf
xF
n
M2
1
.
-
48
Soluia general. Este de forma
pO YYY += , unde OY este soluia sistemului omogen asociat, iar PY este o soluie particular care se determin prin metoda variaiei constantelor descris n paragraful 3.
-
49
SISTEME DINAMICE. CONCEPTE DE BAZ
Fie X un spaiu topologic. Considerm c punctele lui X caracterizeaz strile unui fenomen i numim X spaiul fazelor sau spaiul strilor. Notm cu XX mulimea aplicaiilor spaiului n el nsui i fie T spaiul R sau Z. Definiie. Numim sistem dinamic o funcie continu
XXT: F , ( ) tt j=F pentru care Tt " , aplicaia XX:t j este un homeomorfism cu proprietile: i) XI=0j ( aplicaia identic a lui X); ii) stst jjj o=+ . Observaie. Dac RT = , sistemul se numete sistem dinamic continuu. Dac ZT = , se numete sistem dinamic discret. Definiie. Se numete curent aplicaia
XXT: j , ( ) ( )xx,t tjj = i se interpreteaz ca fiind micarea n timp a punctelor lui X. Definiie. Spaiul XT se numete spaiul fazelor extins. Definiie. Numim orbit cu originea n Xx 0 o submulime ordonat a spaiului X:
( ) ( ){ }Tt,xx:Xxx t ==G 00 j .
Observaie. Pentru 0t , notm cu ( )0x+G orbita pozitiv. Pentru 0t , notm cu ( )0x-G orbita negativ. Este evident c ( ) ( ) ( )000 xxx +- GG=G .
-
50
Definiie. Un punct Xx 0 este punct de echilibru (punct fix) pentru un sistem dinamic dac ( ) 00 xxt =j , Tt " . Definiie. Un ciclu (o orbit periodic) este o orbit L pentru care orice punct Lx satisface ( ) ( )xx tTt jj =+ 0 , pentru Tt " , 0>t . Valoarea + RT0 ( sau NT 0 ) se numete perioada ciclului.
Fie o funcie vectorial kRR:x , ( )txx = i notm cu
x derivata lui x n raport cu t. Fie de asemeni un cmp de vectori
kk RR:f .
Teorem. Considerm sistemul de ecuaii difereniale
( )xfx =
a crui soluie ( )txx = corespunztoare condiiei iniiale 0x exist i este unic pentru orice kRx 0 i Rt . Atunci sistemul dinamic continuu F ataat se definete prin ( ) ( )00 x,txxt =j i are spaiul fazelor kR . Fie kRD , kRD:f i un ir de puncte { }nx , Nn care verific ( )nn xfx =+1 , xx =0 , kRx . Teorem. Relaia de recuren ( )nn xfx =+1 , xx =0 , kRx definete un sistem dinamic discret n mulimea D dac oricare ar fi Dx exist pentru ecuaia dat o soluie { } Dx nn 0 , xx =0 definit pentru orice 0n . Observaie. Orbitele unui sistem dinamic discret sunt iruri de puncte n spaiul fazelor:
( ) ( ){ } { } 0000 + ==G nnnn xxfx : orbita pozitiv; ( ) { } -==G- 00 nnxx : orbita negativ.
O problem important relativ la un sistem dinamic este predictibilitatea n viitor a fenomenului descris de sistemul dinamic. De cele
-
51
mai multe ori, n cazul sistemelor deterministe predictibilitatea este satisfcut dac sistemul dinamic este bine definit i are anumite caliti. Un rol important l joac stabilitatea soluiilor.
SISTEME DINAMICE CONTINUE
1. GENERALITI
Considerm un sistem dinamic continuu a crui comportare n timp este descris de sistemul autonom
( )xfx =
, ( ) nn Rx,...,x,xx = 21 , ( ) nn Rf,...,f,ff = 21 , avnd condiia iniial ( ) 00 xx = . Definiie. O soluie a acestui sistem este o funcie ( )tF care verific
( ) ( )( )tft F=F
i ( ) 00 x=F . Ea se mai numete i curb integral. Definiie. Imaginea geometric a unei soluii se numete orbit sau traiectorie.
Observaie. Pentru orice curb ( )tx , derivata ( )tx
este vectorul tangent la curb. De aceea, dac ( )tx este o soluie a sistemului
( )( )txfx =
, atunci ea este tangent la cmpul vectorial determinat de f. Prin urmare vom spune c f determin un curent al soluiilor. Putem s gndim soluia ( )tF ca fiind o funcie care ne d evoluia n timp a unui anumit punct x. Dac vom considera mpreun toate soluiile, obinem o funcie ( )x,tF care ne d evoluia n timp a tuturor punctelor x. Aceasta este curentul.
-
52
Definiie. Fie dat sistemul ( )xfx =
, ( ) 00 xx = pentru care n fiecare punct x avem o soluie ( )txF cu ( ) 00 xx =F . Mulimea acestor soluii determin o funcie nn RRR: F , ( ) ( )x,tx,t F
F
astfel nct
( )( )x,tft
F=F
i ( ) 000 xx, =F . Aceast funcie se numete curent. Proprieti. Curentul F generat de un sistem dinamic continuu are dou proprieti remarcabile: 1) ( ) ( )( )00 x,s,tx,st FF=+F . Practic, aceast proprietate este evident: poziia unui punct 0x dup un timp st + este aceeai ca i atunci cnd urmrim poziia punctului dup timpul t, iar apoi, poziia acestui nou punct dup timpul s. 2) Pentru orice punct t, aplicaia ( )F ,t este inversabil cu inversa
( )-F ,t : ( )( ) 00 xx,t,t =F-F . Exist dou maniere prin care putem nota i putem nelege curentul
( )x,tF : a) Alegem un punct x i studiem evoluia sa n timp; n acest caz notm
curentul prin ( )txF . b) Alegem un moment de timp t i studiem ce se ntmpl cu punctele x
la acest moment; n acest caz, notm curentul cu ( )xtF .
2. STABILITATEA SOLUIILOR
Considerm un sistem dinamic continuu a crui comportare n timp este descris de sistemul autonom
( )xfx =
, ( ) nn Rx,...,x,xx = 21 , ( ) nn Rf,...,f,ff = 21 , cu 1Cf .
-
53
Pentru nRx 0 , fluxul nn RR: +1j se definete prin
( ) ( )00 x,txt jj = i este soluia sistemului dat care trece prin 0x la momentul 0=t . Fie ( )tx o soluie a sistemului. Definiie. Soluia ( )tx este stabil dac pentru orice 0>e dat, exist ( ) 0>= edd astfel nct pentru orice alt soluie ( )ty care satisface
( ) ( ) db astfel nct dac
( ) ( ) btytx
-
54
O problem practic important este aceea a comportrii unui sistem dinamic n vecintatea unei stri de echilibru. Dac sistemul revine la aceast stare dup ce a fost supus unor perturbaii mici, atunci el se numete stabil; dac nu revine, se numete instabil. Uneori, sistemele instabile pot conduce la catastrofe.
Intuitiv, spunem c punctul de echilibru *x este stabil dac orice soluie a sistemului care la momentul 0t pleac dintr-un punct suficient de apropiat de *x rmne ntr-o vecintate a lui *x pentru orice 0tt > .
Definiie. Un punct fix *x al unui sistem dinamic ( )xfx =
se numete stabil dac pentru orice vecintate ( )*xU exist o vecintate
( ) ( )*xU*xV astfel ca orice soluie ce pleac din ( )*xV s rmn n ( )*xU , pentru orice 0t .
Definiie. Un punct fix *x al unui sistem dinamic ( )xfx =
se numete asimptotic stabil dac este stabil i dac exist o vecintate
( )*xU astfel nct ( ) 0=-
*xxlim tt j , ( )*xUx " . Notm ( )r,xB bila centrat ntr-un punct nRx i de raz r. Definiie. Spunem c punctul de echilibru *x este stabil dac
( )edde =$>" ,0 astfel nct dac ( )d*,xBx atunci ( ) ( )ej *,xBxt pentru orice 0t .
Dac n plus avem ( ) 0=-
*xxlim tt j , spunem c punctul de echilibru *x este atractiv.
Dac n plus avem ( ) 0=--
*xxlim tt j , spunem c punctul de echilibru *x este repulsiv.
Un punct de echilibru care este stabil i atractiv se numete asimptotic stabil.
Teorem. Fie nRW o mulime deschis i nRW:f o
funcie continuu difereniabil. Presupunem c *x este un punct de
-
55
echilibru stabil pentru sistemul dinamic ( )xfx =
. Atunci ( )*xDf nu are valori proprii cu partea real pozitiv, unde
( ) ( )n,j,ij
i *xxf*xDf
1=
=
este Jacobianul lui f n punctul *x .
Teorem. Fie sistemul dinamic ( )xfx =
. Presupunem c toate valorile proprii ale lui ( )*xDf au partea real strict negativ. Atunci punctul de echilibru *x al sistemului dat este asimptotic stabil.
Exemplu 1 . Fie sistemul
( )
-+-=
-=
22 223
1
yxyxy
yxx
S se determine punctele de echilibru i dac acestea sunt stabile sau instabile. Soluie: Punctele de echilibru se gsesc rezolvnd sistemul
( )
=-+-
=-
022301
22 yxyxyx
.
Obinem astfel urmtoarele puncte de echilibru: ( ) ( ) ( ) ( )11141000 ,,,,,,, -- .
Avem c
( )
--+
-=
yxxy
y,xDf4223
1.
De aici rezult c
( )
-
-=
2301
00,Df .
Aceasta are valorile proprii -1 i -2. Deci ( )00, este asimptotic stabil. Pentru celelalte 3 puncte, Jacobienii ( ) ( ) ( )111410 ,Df,,Df,,Df -- au cte o valoare proprie negativ i una pozitiv. Prin urmare, aceste puncte de echilibru sunt instabile.
-
56
Exemplu 2. Fie sistemul
-=
-+=
xy
xxayx 331
, 0>a .
S se determine punctele de echilibru i dac acestea sunt stabile sau instabile. Soluie: Punctele de echilibru se gsesc rezolvnd sistemul
=-
=
-+
0
031 3
x
xxay
Este evident c singurul punct de echilibru este ( )00, . Avem c
( ) ( )
-
-=
01112xa
y,xDf
i
( )
--
=011
00a
,Df .
Ecuaia caracteristic este
01
1=
----
lla
,
sau, echivalent 012 =++ ll a .
Valorile proprii sunt 4221 --= aa,l .
Cum 0>a , rezult c 021
-
57
Definiie. Dac ( )*xDf nu are valori proprii cu partea real 0, punctul de echilibru *x se numete hiperbolic. Definiie. Dac ( )*xDf are toate valorile proprii cu partea real strict negativ, punctul de echilibru *x se numete absorbant (atractor). Definiie. Dac ( )*xDf are toate valorile proprii cu partea real strict pozitiv, punctul de echilibru *x se numete surs.
Definiie. Dac ( )*xDf are unele valorii proprii cu partea real strict pozitiv i alte valori proprii cu partea real strict negativ, punctul de echilibru *x se numete a.
Definiie. Dac ( )*xDf are valori proprii cu partea real 0,
punctul de echilibru *x se numete centru.
Observaie. Un punct absorbant este asimptotic stabil i deci este i stabil.
Un punct surs este instabil. Un punct a este instabil. Observaie. O proprietate important a punctelor *x absorbante
este urmtoarea: soluiile nvecinate lui *x tind exponenial ctre *x . Aceast proprietate este precizat n urmtoarea teorem.
Teorem. Fie *x un punct absorbant pentru sistemul dinamic
( )xfx =
, cu nn RRW:f . Presupunem c toate valorile proprii au partea real mai mic dect 0>- c,c . Atunci exist o vecintate
WU , cu U*x astfel nct: a) ( )xtj este definit n U pentru Ux " i 0>t ; b) ( ) *xxe*xx tct -
-
58
Observaie. n cazul unui punct absorbant, toate traiectoriile se
ndreapt spre interiorul sferelor din jurul lui *x .
4. LINIARIZARE
Am vzut c sistemele liniare au o tehnic precis de rezolvare i un algoritm bine definit. Prin urmare ne intereseaz cum se poate liniariza un sistem dinamic neliniar.
Fie sistemul
( )xfx =
, ( ) nn Rx,...,x,xx = 21 , ( ) nn Rf,...,f,ff = 21 . Avem c ( )*xDf este Jacobianul lui f evaluat n punctul de echilibru
*x . Dezvoltm pe f n serie Taylor n jurul lui *x . Sistemul devine
( ) ( )2xOx*xDfx += . Astfel, sistemului neliniar ( )xfx =
i asociem sistemul liniar
( )x*xDfx =
. Acesta este un sistem liniar cu coeficieni constani, omogen, pe
care l-am studiat deja n capitolul precedent. Reamintim c rezolvarea sa se face gsind valorile i vectorii proprii ai matricei ataate.
Problema care apare acum este legat de modul n care portretul fazic al unui sistem neliniar coincide sau este asemntor cu cel al sistemului liniar obinut prin liniarizare.
Acest aspect este rezolvat de o teorem celebr cunoscut sub denumirea de teorema Hartman-Grobman.
Teorema Hartman-Grobman. Fie *x un punct de echilibru al
sistemului neliniar ( )xfx =
, cruia i corespunde punctul de echilibru ^x al sistemului liniar ataat.
i) Dac ^x este punct hiperbolic al sistemului liniar, atunci soluiile sistemului neliniar n vecintatea lui *x se
-
59
comport asemntor cu soluiile sistemului liniar n vecintatea lui ^x .
ii) Dac ^x nu este un punct hiperbolic pentru sistemul liniar, atunci nu se pot trage concluzii pentru sistemul neliniar n vecintatea lui *x .
Observaie. n cazul i) spunem c fluxurile celor dou sisteme (
neliniar i liniar asociat) sunt topologic echivalente. n cazul ii) spunem c n vecintatea punctului de echilibru avem o
bifurcaie.
4. SISTEME DINAMICE UNIDIMENSIONALE Forma general:
( ) ( ) Rx,xx,xfx ==
00 .
Definiie. Un punct de echilibru *x al unui sistem dinamic unidimensional se numete stabil, dac ( ) 00 >=$>" edde , astfel nct pentru dd , astfel nct pentru orice 0x cu d
-
60
dac i numai dac exist 0>d astfel nct pentru d
-
61
Un sistem dinamic liniar n 2R este de forma
2221212
2121111
+=
+=
xaxax
xaxax.
O form echivalent este cea matriceal
AXX =
,
unde ( )( )
=
txtx
X2
1 , 22 MA ,
=
2221
1211
aaaa
A .
Dac 0Adet , atunci sistemul are un singur punct de echilibru i
anume ( ) ( )0021 ,*x*,x*x == . Dac 0=Adet , atunci punctele fixe sunt *x pentru care 0=*Ax . Dac notm ( ) { }02 == Ax:RxAN , atunci ( )AN*x " este punct de echilibru. Exemplu. S se gseasc punctele de echilibru ale sistemului
AXX =
,
--
=2412
A .
Soluie: Avem c 0=Adet , iar ecuaia 0=AX conduce la
=
--
00
2412
2
1
xx
adic 02 21 =- xx , sau a22 =x . Obinem c
=
aa2
X . Deci ( )AN
este spaiul generat de vectorul
21
. Geometric, ( )AN este dreapta
12 2xx = . Toate punctele acestei drepte sunt puncte fixe pentru sistemul dat. Considerm acum c ecuaia caracteristic a sistemului este
( ) 0=- IAdet l , iar valorile proprii sunt 21 ll , .
-
62
Clasificm punctele de echilibru n 2R pe baza valorilor proprii. a) Dac 02121 llll ,R, i ( ) 021 >llsgn , punctul de echilibru se numete nod. i) Dac 01 >l , 02 >l , avem nod instabil (surs) . ii) Dac 01
-
63
Studiind datele asupra evoluiei populaiilor piscicole din Marea Adriatic, Volterra i Lotka au propus ca model matematic pentru evoluia populaiilor a dou specii (prad i rpitori) un sistem de ecuaii difereniale ce le poart numele. Vom descrie n continuare n ce const acest model. Model prad-rpitor Avem la dispoziie 2 populaii: o specie de rpitori avnd ( )ty indivizi la momentul de timp t; o specie prad avnd ( )tx indivizi la momentul de timp t. Presupunem c cele dou populaii convieuiesc ntr-o zon dat, limitat, astfel nct indivizii rpitori se hrnesc numai cu indivizi din specia prad, iar acetia la rndul lor cu resursele zonei n care triesc. Rata de cretere a speciei x n lips de rpitori este A. n prezena rpitorilor ns, specia x scade proporional cu numrul de rpitori:
( )xByABxyAxx -=-=
, 0>B,A . n lips de prad populaia rpitorilor scade cu rata D. n prezena pradei, populaia rpitorilor crete proporional cu populaia pradei:
( )yDCxCxyDyy -=+-=
, 0>D,C . Se obine astfel un sistem dinamic planar:
( )
( )
-=
-=
yDCxy
xByAx
O form mai simpl a acestui sistem este
( )
( )
-=
-=
yxy
xyx
a1
1, 0>a .
Acestea sunt ecuaiile Lotka-Volterra prad-rpitor.
-
64
7. MULIMI INVARIANTE. MULIMI LIMIT
Definiie. Mulimile invariante sunt regiuni din spaiul fazelor
care conin orbite complete, adic, dac acestea conin un singur punct al unei orbite, atunci conin ntreaga orbit.
Definiie echivalent. O mulime M este invariant dac orice
curent care pleac din M rmne n ntregime n M odat cu evoluia timpului t.
Dac se consider ( )xg o traiectorie care trece prin x, (mai precis,
pentru care liniile de curent trec prin x) , atunci au loc urmtoarele proprieti:
a) M este invariant dac i numai dac ( ) Mx g , Mx " . b) M este invariant dac i numai dac MR n - este invariant. c) Dac { }iM este o mulime numrabil de mulimi invariante,
atunci Ui
iM i Ii
iM sunt de asemenea mulimi invariante.
Definiie. Fie F un sistem dinamic continuu descris de ecuaia
( )xfx =
, ( ) nn Rx,...,x,xx = 21 , ( ) nn Rf,...,f,ff = 21 . Mulimea nRB se numete invariant pentru sistemul dinamic F dac ( ) Bxt j pentru orice Bx i orice Rt . Observaie. Avem c punctul de echilibru este o mulime invariant. Definiie. Mulimile limit sunt regiuni din spaiul fazelor care atrag sau resping traiectorii, deci regiuni spre care tind toate orbitele. Definiie. Se numete mulime w -limit a lui 0x , o mulime notat
( )0xw care reprezint mulimea tuturor punctelor spre care tind toate liniile de curent n timpul viitor:
( ) ( ){ }xx,t,Rt:Rxxntnn
n +$= 00 jw .
-
65
Definiie. Se numete mulime w -limit a lui B , o mulime notat ( )Bw i definit prin
( ) ( ){ }xy,By,t,Rt:RxBntnn
n $+$= jw .
Definiie. Se numete mulime a -limit a lui 0x , o mulime notat ( )0xa care reprezint mulimea tuturor punctelor spre care au tins toate
liniile de curent n timpul trecut: ( ) ( ){ }xx,t,Rt:Rxx
ntnnn -$= 00 ja .
Definiie. Se numete mulime a -limit a lui B , o mulime notat ( )Ba i definit prin
( ) ( ){ }xy,By,t,Rt:RxBntnn
n $-$= ja .
Observaie. Mulimile ( )0xw i ( )0xa sunt mulimi invariante.
Teorem. Fie nRB o mulime mrginit. Atunci ( )Bw este nchis, iar dac ( )U
0tt Bj este mrginit, atunci ( )Bw este invariant.
Definiie. Un ciclu limit al unui sistem dinamic continuu F este o
orbit nchis g astfel nct ( )xwg , sau ( )xag pentru orice gx .
O categorie special de orbite este aceea pentru care mulimile
w -limit i a -limit coincid. Acestea se numesc orbite homoclinice. O orbit pentru care mulimile w -limit i a -limit sunt
diferite se numete orbit heteroclinic.
-
66
6. MULIMI ATRACTIVE. ATRACTORI. BAZINE DE ATRACIE
Definiie. O mulime nchis i invariant nRA se numete mulime atractiv dac exist o vecintate U a lui A astfel nct
( ) UUt j i ( ) AUt
t =>I
0j .
Definiie. O mulime compact i pozitiv invariant nRB se
numete absorbant dac exist o submulime mrginit U a lui nR cu proprietatea BU i exist 0>Ut astfel nct ( ) BUt j , Utt >" .
Definiie. Bazinul de atracie al unei mulimi atractive
nRA este dat de ( )I0t
t Uj , unde U este orice mulime deschis care
satisface condiiile din definiia de mai sus. Definiie. O mulime nchis i invariant nRA se numete
topologic tranzitiv dac pentru orice dou mulimi deschise nRV,U exist Rt astfel nct ( ) fj VUt .
Definiie. Un atractor este o mulime atractiv i topologic
tranzitiv. Teorema urmtoare ne d o determinare complet a
comportamentului asimptotic n cazul fluxurilor din plan. Teorema Poincare-Bendixon. Fie un sistem dinamic continuu
planar i 2RM o regiune pozitiv invariant care conine un numr finit de puncte fixe. Considerm Mp i mulimea ( )pw . Atunci una din urmtoarele afirmaii este adevrat:
i) ( )pw este punct de echilibru; ii) ( )pw este o orbit nchis; iii) ( )pw const dintr-un numr finit de puncte { }jp i orbite g cu ( ) ip=gw i ( ) jp=ga .
-
67
8. SOLUII PERIODICE
Soluiile periodice ale unui sistem dinamic continuu au un rol important n studiul comportamentului fenomenului descris de sistem.
Fie un sistem dinamic F descris prin ecuaia
( )xfx =
, ( ) nn Rx,...,x,xx = 21 , ( ) nn Rf,...,f,ff = 21 . Definiie. O soluie x a unui sistem dinamic F se numete soluie
periodic dac exist un numr 0>T astfel nct ( ) ( )txTtx =+
pentru toate valorile lui t pentru care soluia este definit. Cel mai mic numr T cu aceast proprietate se numete perioad fundamental. n spaiul fazelor, o soluie periodic este reprezentat pritr-o curb nchis. Definiie. Orbita g corespunztoare unei soluii periodice se numete orbit periodic. Definiie. Se numete distan de la un punct nRx la g expresia
( ) ( ){ }00 -= t,xxmin,xd tjg , unde g0x este un punct oarecare fixat. Definiie. Numim vecintate a lui g mulimea
( ) ( ){ }egeg "e , ( ) 0>=$ edd , astfel nct dac ( )dg ,Nx , atunci ( ) Nxt j , 0"t .
Definiie. Orbita periodic g este asimptotic stabil dac este stabil i n plus ( )( ) 0=
gj ,xdlim tt .
-
68
Orbita periodic privit ca mulime de puncte poate atrage punctele nvecinate. Mai precis, traiectoriile prin aceste puncte se apropie de orbita periodic.
SISTEME DINAMICE DISCRETE
1. ECUAIA LOGISTIC
Fie ( )tN numrul de indivizi ai unei specii la un moment de timp t. Notm k rata de cretere a populaiei. Cnd 0>k , populaia crete, iar cnd
0k avem o cretere exponenial a populaiei, iar pentru 1-
-
69
( ) ( ) ( )( )tNMtkNtN -=+1 mprim aceast relaie prin M:
( ) ( ){
( )( )tNMM
tNkMtN
nn xx
-=+
+
434211
1
Am obinut
{( )
{M
MtNkxxkMx
M
nnn -=+m
1 ,
sau, echivalent, ( )nnn xxx -=+ 11 m
Aceasta este ecuaia logistic i reprezint o ecuaie cu diferene care descrie un sistem dinamic discret. n general, un sistem dinamic discret este modelat printr-o relaie de recuren de forma
( )nn xfx =+1 , unde xx =0 ,
kRx , iar kk RRD:f o funcie continu.
2. PUNCTE FIXE
i n cazul sistemelor dinamice discrete o importan deosebit se d stabilitii /instabilitii punctelor fixe.
Definiie. Fie sistemul dinamic
( )nn xfx =+1 , unde xx =0 ,
kRx , iar kk RRD:f o funcie continu.Un punct D*x care verific relaia ( ) *x*xf = se numete punct fix al
sistemului.
-
70
Vom studia n cele ce urmeaz aspecte legate de stabilitatea punctelor fixe pentru sisteme dinamice discrete modelate printr-o relaie de recuren de ordinul I n cazul n care RR:f . Definiie. Fie sistemul dinamic
( )nn xfx =+1 , unde xx =0 , Rx , iar RRD:f o funcie continu. Punctul fix
*x este stabil dac pentru orice 0>e , exist 0>d astfel nct dac de astfel nct dac e- 00 . Definiie. Punctul fix *x este atractor( asimptotic stabil) dac este stabil i dac exist 0>b astfel nct dac b
-
71
i) dac ( ) ( )( ) 032 2 -- *x"f*x'"f atunci *x este instabil.
3. PUNCTE PERIODICE
Definiie. Fie sistemul dinamic ( )nn xfx =+1 ,
unde xx =0 , kRx , iar kk RRD:f o funcie continu. Un punct
D*x care este un punct fix pentru nf ( adic ( ) *x*xf n = ) se numete punct periodic de perioad n. Spunem c n este prima perioad a lui *x dac ( ) *x*xf m ,
nm
-
72
Definiie. Un punct Dx se numete asimptotic la stnga unui punct periodic *x de perioad n dac ( ) *xxflim nk
k=
-,
Mulimea tuturor punctelor asimptotice la stnga se numete mulime instabil i se noteaz cu ( )*xW - .
Teorem. Dac 1*x i 2*x sunt dou puncte periodice distincte,
atunci mulimile lor de instabilitate ( )1*xW - i ( )2*xW - sunt disjuncte. Definiie. Spunem c *x este un atractor dac exist o vecintate U
a lui *x astfel nct ( )*xWU - . Teorem. Fie *x un punct periodic de prim perioad k pentru
sistemul dinamic discret ( )nn xfx =+1 ,
unde xx =0 , Rx , iar RRD:f o funcie continuu difereniabil a) Dac ( ) ( ) 1
-
73
a) Dac toate valorile proprii ale matricei Jacobiene ( )*xdf n au modulul mai mic dect 1, atunci *x este atractor.
b) Dac toate valorile proprii ale matricei Jacobiene ( )*xdf n au modulul mai mare dect 1, atunci *x este repulsor.
4. SISTEME DINAMICE DISCRETE UNIDIMENSIONALE DE
ORDIN I
a) SISTEME LINIARE
Forma general. Considerm un sistem dinamic discret unidimensional a crui
evoluie n timp este caracterizat de ecuaia baxx tt +=+1 ,
unde a, b sunt constante n raport cu t. Notm cu ( )00 xx = valoarea variabilei x la momentul iniial de timp
0=t . Determinarea soluiei. Pentru aceasta avem:
baxx += 01 babxabaxx ++=+= 0
212
babbaxabaxx +++=+= 203
23 M
( ) 1111 00 -
-+=++++= a,
aabxaa...abxax
tttt
t
Dac 1=a obinem: bxx += 01 bxx += 12
M bxx tt += -1
i din acestea rezult c btxxt += 0 .
-
74
n consecin am gsit
($)
=+
--
+=
1
111
0
0
a,btx
a,aabxax
tt
t ,
sau, echivalent,
=+
-
+
--
=1
111
0
0
a,btx
a,a
ba
bxax
t
t
Aadar, dac este precizat condiia iniial atunci traiectoria sistemului dinamic este unic determinat.
Puncte fixe.
Definiie. Un punct fix al ecuaiei baxx tt +=+1 este o valoare R*x care verific b*ax*x += . Din definiie obinem c ( ) ba*x =-1 , ceea ce conduce la soluia
11
-
= a,a
b*x . Dac 1=a atunci avem b*x*x += , relaie ce este
adevrat dac i numai dac 0=b . Am gsit astfel
==
-=
.b,a,x
a,a
b*x
01
11
0
nlocuin n soluia ($) rezult: ( )
=++-
=.a,btx
a*,x*xxax
t
t 11
0
0
n concluzie, soluia unui sistem dinamic discret liniar unidimensional se poate exprima cu ajutorul variaiei condiiei iniiale 0x de la punctul de echilibru *x . Teorema de existen a punctelor fixe. Ecuaia baxx tt +=+1 admite un punct fix dac i numai dac { }1a sau { 1=a i }0=b .
-
75
Teorema de unicitate a punctelor fixe. . Ecuaia baxx tt +=+1 admite un punct fix unic dac i numai dac { }1a .
b) SISTEME NELINIARE
Fie un sistem dinamic discret unidimensional caracterizat de ecuaia ( )tt xfx =+1 , unde RR:f este o funcie difereniabil.
Notm ( )00 xx = valoarea variabilei x la momentul de timp 0=t . Determinm soluia acestui sistem.
( )01 xfx = ( ) ( )( ) ( )02012 xfxffxfx ===
M ( )0xfx nn = .
Vrem acum s gsim modalitatea prin care un sistem neliniar se poate aproxima cu unul liniar.
Pentru aceasta vom considera dezvoltarea n serie Taylor a lui ( )tt xfx =+1 n jurul punctului de echilibru *x :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xR...*x''f*xx!
*x'f*xx!
*xfxfx ntttt ++-+-+==+2
1 21
11
Siniarizarea sistemului se face dac se vor pstra doar primii 2 termeni din dezvoltare, adic
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )444 3444 21321ba
ttt *x'f*x*xf*x'fx*x'f*xx!*xfx -+=-+=+ 1
11 .
5. SISTEME DINAMICE DISCRETE MULTIDIMENSIONALE DE ORDIN I
a) SISTEME LINIARE
Forma general:
-
76
BAxx tt +=+1 , unde variabila nt Rx este un vector n-dimensional, ( )RMA nn i
( )RMB n 1 . Notm ( )00 xx = . Determinarea soluiei:
BAxx += 01 BABxABAxx ++=+= 0
212
M
( )
-
=
-
-
+=
+++++=
++++=
1
00
120
10
t
i
it
tn
t
ttt
ABxA
A...AAIBxABAB...BAxAx
Avem ns c
( ) ( ) ( ) ( ) ttti
tiit
i
i AIA...AA...AIAAAIA -=++-+++=-=- -
=
-+-
=
1
0
111
0
adic,
( ) tt
i
i AIAAI -=- -
=
1
0.
De aici rezult imediat c
( )( )-
=
---=1
0
1t
i
ti AIAIA , dac ( ) 0- AIdet . nlocuind acum n expresia lui tx obinem
( )( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )
( )[ ] ( ) .AIBAIBxAAIBAAIBxA
AIAAIBxA
AIAIBxAx
t
tt
tt
ttt
110
110
110
10
--
--
--
-
-+--=
---+=
---+=
--+=
-
77
Punct fix Definiie. Un punct fix al sistemului BAxx tt +=+1 este un vector
nR*x cu proprietatea B*Ax*x += . Din definiie obinem c ( ) BAI*x =- , de unde rezult
( ) 1--= AIB*x , dac ( ) 0- AIdet . nlocuind acum n soluia gsit mai sus rezult
( ) *x*xxAx tt +-= 0 .
Teorem. Un punct fix al sistemului BAxx tt +=+1 este unic dac ( ) 0- AIdet .
Stabilitatea punctelor de echilibru depinde de valorile proprii ale
matricei A, dup cum vom descrie n continuare. Teorem. Considerm sistemul BAxx tt +=+1 cu ( ) 0- AIdet i
n care matricea A are n valori proprii reale n,...,, lll 21 . Atunci, ( ) 1--= AIB*x este un punct fix global stabil dac i numai dac 1
-
78
+=+=
+
+
ttt
ttt
dycxybyaxx
1
1
O form echivalent este cea matriceal: tt AXX =+1
unde
=
t
tt y
xX ,
=
dcba
A .
Punctele fixe se determin rezolvnd sistemul
+=+=
dycxybyaxx
Stabilitatea se studiaz innd seama de teorema anterioar. Exemplu. Se d sistemul
-=
=
+
+
3
2
1
1
tt
tt
xy
yx
S se studieze stabilitatea punctelor fixe. Soluie: Determinm punctele fixe rezolvnd sistemul
-=
=
3
2xy
yx
Obinem un punct fix unic ( )00, .
Forma matriceal a sistemului este tt AXX =+1 , unde
=
t
tt y
xX ,
-= 0
31
20A .
Gsim valorile proprii ale matricei A rezolvnd ecuaia caracteristic
031
2=--
-
l
l.
-
79
Obinem 32
21 i, =l i cum 121
-
80
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
F-F
F-F
F-F
+
FFF
FFFFFF
=
=
=
=
+
+
+
n
jj
jnn
n
jj
j
n
jj
j
nt
t
t
nnnn
n
n
nt
t
t
*x*x*x
*x*x*x
*x*x*x
x
xx
*x*x*x
*x*x*x*x*x*x
x
xx
1
122
111
2
1
21
222
12
121
11
1
12
11
M
ML
MMMMLL
M
n aceast manier sistemul neliniar a fost aproximat local (n jurul poziiei de echilibru) cu un sistem liniar de forma
BAxx tt +=+1 , unde ( )*xDA F= este matricea Jacobian a lui ( )txF n *x i
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
F-F
F-F
F-F
=
=
=
=
n
jj
jnn
n
jj
j
n
jj
j
*x*x*x
*x*x*x
*x*x*x
B
1
122
111
M.
Valorile proprii ale matricei ( )*xDA F= determin comportarea local a sistemului neliniar. Teorem. Dac matricea ( )*xDA F= are toate valorile proprii cu modulele mai mici dect 1, atunci *x este un punct fix stabil. Dac matricea ( )*xDA F= are toate valorile proprii cu modulele mai mari dect 1, atunci *x este un punct fix instabil. Definiie. Dac matricea ( )*xDA F= nu are valori proprii de modul egal cu 1, atunci *x este un punct fix hiperbolic.
-
81
Sisteme neliniare bidimensionale de ordin I Fie un sistem de forma
( )( ).y,xgy
y,xfx
ttt
ttt
==
+
+
1
1
Punctele fixe se determin rezolvnd sistemul ( )( ) .yy,xg
xy,xf
==
Se studiaz stabilitatea punctelor fixe cu ajutorul matricei Jacobiene
( )
=
xg
xg
yf
xf
y,xJ .
Exemplu. S se studieze stabilitatea punctelor fixe corespunztoare urmtorului sistem dinamic.
+=
-=
+
+
xyyyyxx
t
t2
1
21
Soluie: Rezolvm sistemul
+=
-=
xyyyyxx
2
2
i obinem punctele fixe ( ) ( ) ( )210100 ,,,,, - . Pentru studiul stabilitii construim matricea Jacobian
( )
+
-=
xyyx
y,xJ2
12.
( )
-=
0010
00,J . Ecuaia caracteristic este 00
1=
---
ll
, iar valorile
proprii sunt 1021
-
82
( )
--=-
3212
21,J . Ecuaia caracteristic este 032
12=
----
ll
,
iar valorile proprii sunt 2
31121
i,
-=l . Cum 121 >,l avem c ( )21,-
este punct fix instabil.
6. SISTEME DINAMICE DISCRETE LINIARE
UNIDIMENSIONALE DE ORDIN II
Forma general: 012 =+++ ++ cbxaxx ttt ,
unde Rxt , Rc,b,a , iar condiiile iniiale ( )10 x,x sunt date. Pentru rezolvare notm tt yx =+1 . Obinem astfel sistemul dinamic liniar bidimensional de ordin I :
=+++=
+
+
,cbxayyyx
ttt
tt
011
sau, echivalent,
---==
+
+
.cbxayyyx
ttt
tt
1
1
Matriceal,
-
+
--
=
+
+
cyx
abyx
t
t
t
t 010
1
1 .
Astfel, sistemul unidimensional de ordinul II s-a transformat ntr-un sistem bidimensional de ordin I a crui rezolvare se face conform paragrafului 5.
7. SISTEME DINAMICE DISCRETE LINIARE
UNIDIMENSIONALE DE ORDIN III
Forma general: 0123 =++++ +++ dcxbxaxx tttt ,
-
83
unde Rxt , Rd,c,b,a , iar condiiile iniiale ( )210 x,x,x sunt date.
Pentru rezolvare notm
===
++