Capitolul III: Transformari liniare Lect. dr. Lucian Maticiuc

Facultatea de Electronica, Telecomunicatiisi Tehnologia InformatieiAlgebra, Semestrul I,Lector dr. Lucian MATICIUChttp://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/

CURS VI VII

SINTEZA

1 Transformari liniare

Definitia 1 O aplicatie T : V W este transformare liniara (sau operator liniar) daca

T (~x+ ~y) = T (~x) + T (~y) , , K, ~x, ~y V

Definitia 2 Se numeste nucleul unei transformari liniare T , notat cu Ker (T ),

Ker (T ) :={~v V : T (~v) = ~0

} V.

Definitia 3 Dimensiunea lui Ker (T ) se numeste defectul transformarii liniare T si se noteaza cu def (T ).Deci

def (T ) := dim (Ker (T )) .

Definitia 4 Se numeste imaginea transformarii liniare T si se noteaza cu Im (T ), multimea

T (V ) := {~w W : ~v V, T (~v) = ~w} .

Definitia 5 Dimensiunea lui Im (T ) se numeste rangul transformarii liniare T si se noteaza cu rang (T ) .Deci

rang (T ) := dim (Im (T )) .

Propozitia 6 Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(i) Transformarea liniara T este injectiva.

(ii) Ker (T ) = {~0V }.

Propozitia 7 Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(i) Transformarea liniara T este surjectiva.(ii) Imaginea T (S) este un sistem de generatori al lui W , unde S este un sistem de generatori din V.

Definitia 8 O transformare liniara T se numeste izomorfism de spatii vectoriale daca aplicatia T estebijectiva.

Teorema 9 Fie T o transformare liniara. Atunci are loc

rangT + defT = n.

1

http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/

Capitolul III: Transformari liniare Lect. dr. Lucian Maticiuc

Corolarul 10 Fie T o transformare liniara T : Vn Wm. Atunci au loc:

(i) T este aplicatie injectiva rang T = n, n m

(ii) T este aplicatie surjectiva rang T = m, m n

(iii) T este aplicatie bijectiva rang T = n = m

Corolarul 11 Fie T o transformare liniara T : Vn Wn. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) T este aplicatie injectiva

(ii) T este aplicatie surjectiva

(iii) T este aplicatie bijectiva

Propozitia 12 Daca notam cu X matricea coloana a coordonatelor vectorului ~x Vn n baza B, si cu Ymatricea coloana a coordonatelor vectorului T (~x) Wm n baza B, atunci are loc relatia de legatura, subforma matriceala

Y = A X

(numita ecuatia matriceala a transformarii liniare T ).

Propozitia 13 Atunci rang T = rangA, unde A este matricea transformarii liniare T .

Teorema 14 Fie transformarea liniara T : Vn Wm, B, B doua baze n Vn si B, B doua baze n Wm.Presupunem ca B S B si B S

B. Atunci are loc relatia

ABB = (S)1 ABB S,

unde ABB si ABB sunt matricile transformarii liniare n raport cu bazele B si B, respectiv B si B.

Remarca 15 Formula de mai sus, se numeste formula matriceala de schimbare a matricei unei trans-fromari liniare la schimbari de baze.

Corolarul 16 Fie transformarea liniara T : Vn Vn si B o alta baza n Vn. Presupunem ca BcS B.

Atunci are loc relatiaA = S1 A S,

unde A si A sunt matricile transformarii liniare n raport cu baza canonica B si respectiv noua baza B.

Definitia 17 Fie transformarea liniara T : Vn Vn. Spunem ca vectorul ~u 6= ~0V este vector propriupentru T daca K astfel ncat

T (~u) = ~u.

In acest caz K se numeste valoare proprie corespunzatoare vectorului propriu ~u.

Suntem interesati sa gasim bazele lui Vn n raport cu care matricea endomorfismului T L (Vn) sa aiba forma cea mai simpla.

Definitia 18 Un endomorfism T se numeste diagonalizabil daca exista o baza B n Vn formata numai dinvectori proprii pentru T .

Propozitia 19 Vectorul ~u este propriu daca si numai daca matricea coloana X a coordonatelor vectorului~x n baza B este solutie nebanala pentru sistemul liniar si omogen

(A In) X = 0. (1)

2

Capitolul III: Transformari liniare Lect. dr. Lucian Maticiuc

Definitia 20 Polinomul p () = det (A In) se numeste polinomul caracteristic asociat matricei A,iar ecuatia det (A In) = 0 se numeste ecuatia caracteristica a matricei A.

Propozitia 21 Fie K o radacina a ecuatiei caracteristice p () = 0 asociata lui T . Atunci estevaloare proprie pentru T . Invers daca este valoare proprie pentru T atunci este radacina a ecuatieicaracteristice p () = 0

Daca luam o valoare proprie oarecare atunci sa notam cu

V () := {~x Vn : T (~x) = ~x}

subspatiul propriu corespunzator valorii proprii (este multimea tuturor vectorilor proprii pen-tru T corespunzatoare valorii proprii ).

Teorema 22 (de diagonalizare a unui endomorfism) Operatorul T L (Vn) este diagonalizabil dacasi numai daca urmatoarele doua conditii sunt satisacute:(i) radacinile ecuatiei caracteristice sunt toate valori proprii pentru T (sunt toate din campul de scalariK)(ii) ordinul de multiplicitate al fiecarei valori proprii i este egal cu dimensiunea subspatiului propriuV (i) (adica dimV (i) = mi).

Algoritmul practic de diagonalizare a unui endomorfism (a unei matrici patratice)Fie T L (Vn) un endomorfism si o baza B n Vn. Sa notam cu A matricea lui T n baza B. Se

va rezolva ecuatia caracteristica p () = det (A In) = 0. Daca aceasta ecuatie are radacini carenu sunt din K atunci conditia (i) din teorema precedenta nu este satisfacuta deci endomorfismulT nu este diagonalizabil. Daca toate radacinile sunt din K atunci pentru fiecare valoare i seva determina subspatiul propriu V (i). Pentru aceasta se va identifica orice vector u Vn cumatricea coloana X a coordonatelor sale n baza considerata B a lui Vn, si, pentru fiecare valoareproprie i consideram sistemul liniar si omogen

(A iIn)X = 0

Se va determina apoi subspatiu propriu V (i) := {X Mn,1 (K) : (A iIn)X = 0} si se vapune n evidenta cate o baza n fiecare subspatiu propriu V (i) determinand astfel dimV (i).Daca exista o valoare proprie i pentru care dimV (i) este mai mica strict decat ordinul demultiplicitate al lui i atunci conditia (ii) din teorema precedenta nu este satisfacuta deci en-domorfismul T nu este diagonalizabil. Daca dimV (i) este egala cu ordinul de multiplicitateal lui i atunci conditia (ii) din teorema precedenta este satisfacuta deci endomorfismul T estediagonalizabil. In acest caz baza B, formata din reuniunea bazelor tuturor subspatiilor propriideterminate anterior, este baza a lui Vn n raport cu care matricea endomorfismului T are formadiagonala diag (1, ..., n), unde valoarea proprie i se repeta de atatea ori cat este ordinul ei demultiplicitate.

3

Capitolul III: Transformari liniare Lect. dr. Lucian Maticiuc

Exercitiul 23 Fie transformarea liniara T : Rn Rn data prin T (~ei) =n

j=1 aj~ej , i = 1, n, undeB =

{~ei : i = 1, n

}este o baza n Rn. Sa se scrie matricea transformarii liniare n raport cu baza B si sa

se scrie expresia lui T (~x), x Rn.

Exercitiul 24 Sa se afle matricea endomorfismului T : Rn Rn care transforma ~ui n ~vi, i = 1, n (adicaare loc T (~ui) = ~vi, cu i = 1, n).

Exercitiul 25 Endomorfismul T : Rn Rn are n baza B ={~ei : i = 1, n

}matricea A = . . . . Sa se

scrie matricea acestei transformari n raport cu noua baza B ={~fi : i = 1, n

}stiind relatiile de legatura

dintre ~fj si ~ei , i, j = 1, n.

Exercitiul 26 Fie aplicatia liniara T : Rn Rn data de T (~x) = . . ., ~x Rn.

(a) Sa se calculeze T (~v), unde ~v este un vector dat.

(b) Sa se arate ca T este o transformare liniara.

(c) Sa se scrie matricea acestei transformari.

(d) Sa se determine nucleul KerT si defectul transformarii liniare T. De asemenea sa se precizeze o baza asubspatiului KerT.

(e) Sa se determine imaginea ImT si rangul transformarii liniare T. De asemenea sa se precizeze o baza asubspatiului ImT.

(f) Sa se scrie ecuatia caracteristica, sa se determine valorile proprii, subspatiile proprii si vectorii proprii.

(g) Studiati daca endomorfismul dat este diagonalizabil sau nu.

(h) In caz afirmativ, scrieti baza B n raport cu care matricea endomorfismului are forma diagonala.

(i) Scrieti/calculati si matricea lui T n raport cu noua baza B

4

Transformari liniare