UNIVERSIDAD INTERAMERIANA DE PUERTO RICORECINTO DE BAYAMON

MATEMATICA BASICAPRE -GEMA 1200

PREPARADO PORPROF. JOSE A. TORO CLARKE

MA MATEMATICAS APLICADAS

1

PRIMERA PARTE

2

Suma

Para números Cardinales, Naturales

Números Cardinales están compuestos por el siguiente conjunto de números: {1, 2, 3, 4, 5, 6, …, }.

Números Naturales están compuestos por el siguiente conjunto de números: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, }.

La suma o adición es una operación que tiene por objeto reunir o agrupar varias cantidades en una sola. Para esto, las diferentes cantidades se van añadiendo la una a la otra. Esta representada por el signo + (más).

Veamos algunos ejemplos de sumas simples:

3 + 5 = 8 Si tenemos tres unidades y le añadimos cinco más, resultaran ocho.

1 + 8 = 9 Si tenemos la unidad y le añadimos ocho más, resultaran nueve.

Cuando las cantidades de la suma tienen más de un dígito se suman:

1) primero las unidades2) luego las decenas3) luego las centenas

y así hasta terminar. Si el resultado de cada columna es mayor que 9, se anotan las unidades y se “llevan” a la siguiente columna a la izquierda las decenas.

Centenas Decenas Unidades

+ 1 1

241

481

2 8 3

Ahora, también podríamos tener sumas más complicadas, es decir, entre cantidades más grandes, como por ejemplo el caso de 349 + 183

1 13 4 9 +1 8 35 1 2

Hemos ordenado la operación de tal manera que las unidades, las decenas y las centenas queden en un mismo orden. Una vez realizado esto, sumamos las unidades: 9 + 3= 12, colocamos el 2 y el 1 lo llevamos al siguiente orden.

3

1 13 4 9 +1 8 35 3 2

Ahora sumamos el orden de las decenas: 4 + 8 = 12, pero como llevábamos 1: 12 + 1 =13. Colocamos entonces el 3 y el 1 lo llevamos al siguiente orden.

1 13 4 9 +1 6 35 3 2

Finalmente sumamos el orden de las centenas: 3 + 1 = 4, pero como llevábamos 1: 4 + 1 = 5. Colocamos el 5 donde corresponde y nos quedara el resultado final: 532

Clausura

Cada vez que se suman, restan, multiplican o dividen dos números reales, el resultado es un número real

Propiedades:

Asociativa de suma

Si a, b y c son números reales entonces

a + (b + c) = (a + b) + c

Conmutativa de suma

Si a, b y c son números reales entonces

a + b = b + a

Resta o Sustracción

La resta o sustracción es una operación que tiene por objeto quitarle una parte determinada a una cantidad. Esta representada por el signo - (menos).

Veamos algunos ejemplos de restas simples:

8 – 5 = 3 Si tenemos ocho unidades y le quitamos cinco, nos quedaran tres.

9 – 1 = 8 Si tenemos nueve unidades y le quitamos la unidad, quedaran ocho.

Puede darse el caso de restas más difíciles, o mejor dicho, entre cantidades más grandes, como por ejemplo el caso de 342 - 163

2 3 123 4 2 -1 6 35 1 9

Ordenamos la operación de manera similar al caso de la suma. Al hacer esto nos damos cuenta que las unidades no se pueden restar: 2 - 3 no se puede, entonces el número que sigue al 2 le prestara una unidad, el 2 pasara a ser 12 y el 4 que presto se convierte en 3. Ahora 12 - 3 =9.

4

2 133  4 2 -1   6 3 5  7 9

Ahora tendríamos que restar en el orden de las decenas, pero no se puede restar 3 - 6, entonces el número que sigue le prestara una unidad, el 4, que primero se había convertido en 3, ahora pasara a ser 13, el 3 que seguía quedara como 2. 13 - 6 =7.

23 4 2 -1 6 31 7 9

Finalmente restamos el orden de las centenas, recordemos que el 3 paso a ser 2, entonces: 2 - 1 = 1. Colocamos el 1 donde corresponde y nos quedara el resultado final: 179.

Para números Enteros

Números Enteros están compuestos por el siguiente conjunto de números: {- ,…, -1, 0, 1, 2,…, }.

Manejo de los Signos de Números Enteros:

SUMA DE SIGNOS IGUALES

Mayor (+)

10

+

+

(+)

9

=

=

(+)

19Mayor (-)

-10

+

+

(-)

-9

=

=

(-)

-19

SUMA DE SIGNOS DIFERENTES

Mayor (-)

-10

+

+

(+)

9

=

=

(-)

-1 Mayor(+)

10

+

+

(-)

9

=

=

(+)

1

RESTA DE SIGNOS IGUALES

Mayor (+)

10

-

-

(+)

9

=

=

(+)

1Mayor (-) - (-) = (-)

TABLA DE MULTIPLICACION DE SIGNOS

( + ) * ( + ) = ( + )

( + ) * ( - ) = ( - )

( - ) * ( - ) = ( + )

5

-10

-10

-

+

-9

{ (-) * (-) = (+) }

9

=

=

(-)

-1

RESTA DE SIGNOS DIFERENTES

Mayor (-)

-10

-10

-

-

+

(+)

9

{ (-) * (+) = (-) }

-9

=

=

=

(-)

(-)

-19 (+)

9

9

-

-

+

Mayor(-)

-10

{ (-) * (-) = (+) }

10

=

=

=

(+)

(+)

19

MULTIPLICACION DE SIGNOS NEGATIVOS

1 (-) (-)

2 (-) * (-)

(+) (+)3 (-) * (-) * (-)

(+) * (-)

(-) (-)4 (-) * (-) * (-) * (-)

(+) * (+)

(+) (+)5 (-) * (-) * (-) * (-) * (-)

(+) * (+) * (-)

(+) * (-)

6

(-) (-)6 (-) * (-) * (-) * (-) * (-) * (-)

(+) * (+) * (+)

(+) * (+)

(+) (+)7 (-) * (-) * (-) * (-) * (-) * (-) * (-)

(+) * (+) * (+) * (-)

(+) * (-)

(-) (-)8 (-) * (-) * (-) * (-) * (-) * (-) * (-) * (-)

(+) * (+) * (+) * (+)

(+) * (+)

(+) (+)9 (-) * (-) * (-) * (-) * (-) * (-) * (-) * (-) * (-)

(+) * (+) * (+) * (+) * (-)

(+) * (+) * (-)

(+) * (-)

(-) (-)

Multiplicación

La multiplicación es una operación que tiene por objeto hallar el resultado o producto de sumar un número (multiplicando) tantas veces como lo indica otro (multiplicador).

7

Por ejemplo, queremos multiplicar 4 x 5.

4 x 5 En esta operación 4 es el multiplicando y 5 el multiplicador.

4 x 5 Entonces se nos pide sumar el numero 4 consigo mismo 5 veces.

4 x 5 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

Existen las llamadas tablas de multiplicar que nos ayudan a conocer los resultados de las multiplicaciones. Es muy importante recordar estas tablas.

Ahora, también podríamos tener sumas más complicadas, es decir, entre cantidades más grandes, como por ejemplo el caso de 863 x 487

         4 2         8 6 3 x         4 8 7      6 0 4 1

Primero multiplicamos 863 x 7. Empezamos por las unidades, así 3x7 =21, coloco el 1 y llevo 2, luego hacemos 6x7 = 42 mas 2 que llevaba 44, coloco 4 y llevo 4, finalmente 8x7 = 56 mas 4 que llevaba 60.

         5 2         8 6 3 x         4 8 7      6 0 4 1   6 9 0 4

Ahora multiplicamos 863 x 8, es decir, trabajamos las decenas, así 3x8 =24, coloco el 4 y llevo 2, luego hacemos 6x8 = 48 mas 2 que llevaba 50, coloco 0 y llevo 5, finalmente 8x8 = 64 mas 5 que llevaba 69.

         2 1         8 6 3 x         4 8 7      6 0 4 1  +   6 9 0 43 4 5 2             4 2 0 2 8 1

Finalmente multiplicamos el orden de las centenas: 863 x 4. así tendremos 3x4 = 12, coloco el 2 y llevo 1, luego hacemos 6x4 = 24 mas 1 que llevaba 25, coloco el 5 y llevo 2, finalmente 8x4 = 32 mas dos que llevaba 34. Véase el orden en que hemos puesto los resultados parciales, dejando un espacio. Ahora que están los resultados parciales ordenados, sumamos.

Propiedades

Asociativa de la multiplicación

Si a, b y c son números reales entonces

a · (b · c) = (a · b) · c

Conmutativa de la multiplicación

Si a, b y c son números reales entonces

a · b = b · a

8

Distributiva de multiplicación sobre suma

Si a, b y c son números reales entonces

a · (b + c) = (a · b) + ( a · c)

División

La división es la operación inversa a la multiplicación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).

Por ejemplo, queremos dividir 20 ÷ 5.

20 ÷ 5 En esta operación 20 es el dividendo y 5 el divisor.

20 ÷ 5 Necesitamos saber que número multiplicado por 5 nos da 20.

20 ÷ 5 El número que cumple esa condición es 4. Entonces: 20 ÷ 5 = 4

Puede darse el caso de divisiones más difíciles, o mejor dicho, entre cantidades más grandes, como por ejemplo el caso de 745 ÷ 12

____ 12|745    

Como no podemos hacer directamente 745 entre 12, utilizaremos en principio los dos primeros dígitos del dividendo (en este caso de 745)

6 12|745     -72             2

Ahora hacemos 74 ÷ 12 = 6Pero 12 x 6 = 72, y restamos este resultado del 74 que teníamos.

6 2 R=112|745     -72             25  -24    1

Bajamos el 5 que aun no habíamos empleado, quedando 25. Acto seguido dividimos 25 ÷ 12 = 2Pero 12 x 2 = 24, y restamos este resultado del 25 que teníamos.El cociente o resultado será 62 y el residuo será 1

Es muy importante saber las tablas de multiplicar también para realizar estas operaciones.

Potenciación

Una potencia es una multiplicación sucesiva, donde un número (base) se multiplica por si mismo la cantidad de veces que lo indica otro número (exponente). Por lo general se representa bn, donde b es la base y n el exponente.

9

an = a * a * a * a …n veces

Ahora voy a resolver la siguiente potencia: 54.

54 En esta operación 5 es la base y 4 el exponente.

54 Tenemos que multiplicar 5 por si mismo 4 veces.

54 5 x 5 x 5 x 5 = 625

Algunos ejemplos de potenciación:22 = 2 x 2 = 443 = 4 x 4 x 4 = 6475 = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 16,807

Tenemos también dos casos especiales:a) Cuando el exponente es cero:    Si el exponente es cero, no importara cual sea la base, el resultado siempre será 1.    Ejemplos:    50 = 1    110 = 1    1230 = 1

b) Cuando el exponente es uno:    Si el exponente es 1, el resultado será la base.    Ejemplos:    01 = 0    31 = 3    431 = 43

Luisa quiere saber cuántos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para contarlos dibuja en su cuaderno su árbol genealógico:

2

2

2

10

2

2

Ella tiene 2 padres (un padre y una madre).

Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, yo tengo 2*2 = 4 abuelos.

Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego yo tengo 2*2*2 = 8 bisabuelos.

Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; yo tengo 2*2*2*2 = 16 tatarabuelos.

Operación ResultadoPadres 2 = 21 2Abuelos 2*2 = 22 4Bisabuelos 2*2*2 = 23 8Tatarabuelos 2*2*2*2 = 24 16

En muchas situaciones hay que multiplicar un número por sí mismo varias veces. Para abreviar, en lugar de escribir 2*2*2*2 escribimos 24 y lo llamaremos potencia.

24 se lee "2 elevado a 4" o también "2 elevado a la cuarta".

52 se lee "5 elevado a 2" o también "2 elevado al cuadrado", que es más habitual.

Cuadrados perfectos

Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados perfectos.

Por Ejemplo:

11

22 = 4, 92 = 81, 1002 = 10,000

Cubos perfectos

Igual que en el caso de los cuadrados, las potencias de exponente 3 se llaman cubos perfectos

Por Ejemplo:

33

= 27, 43 = 64

Ley de Exponentes

Producto de potencias de la misma base

En general:

El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores

am * an = am+n

La regla anterior es cierta cualquiera que sea la base y los exponentes m y n, tanto si son positivos como negativos. Haz un razonamiento similar al anterior para comprobar la regla en el caso de que alguno de los exponentes (o ambos) sea negativo.

Ej. a 3 * a 2 * a = a 3+2+1 = a 6

Practique:

23 * 27 = 35 * 33 = 

55 * 53 =

2-3 * 25 =     

3-5 * 3-3 =  

5-5 * 53 =

Cociente de potencias de la misma base

12

De manera similar al producto, puedes deducir la siguiente regla general que es válida tanto para exponentes positivos como negativos:

El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el del divisor.

am : an = am-n

Ej,

45 : 43 = (4 * 4 * 4 * 4 * 4) : (4 * 4 * 4) = 42 = 45-3

Practique:

27 : 23

35 : 33

56 : 53

27 : 2-3       

3-2 : 32

5-4 : 5-3

an

am = an- m

a ≠ 0 Ej. x10

x3 == x10- 3

= x7

Potencia de un producto

Si queremos realizar la siguiente operación: (2*3)2, observamos que

(2*3)3 = (2*3) * (2*3) * (2*3) = (2*2*2) * (3*3*3) = 23 * 33

Para calcular el resultado podemos multiplicar 2*3 y elevar el producto al cubo: (2*3)3 = 63 = 216

O bien, elevar al cubo cada uno de los factores 23 = 8 y 33= 27 y multiplicar el resultado 8*27 = 216.

En general:

La potencia de un producto es igual al producto de la potencia

13

(a*b)m = am * bm

Ha * bLm = am

* bm

Ej. H2 X3 * Y2L2 = 22 X3*2 * Y2*2

= 4 X6 Y4

Practique:

(2*5)6

H22L3 (3*4)2       

(2*8)3       

(4*6)4

(2*5)-2  

(3*2)-3   

(2*5)-3  

Potencia de un cociente

De manera similar al caso de la potencia de un producto es fácil deducir que

La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor

(a/b)m = am / bm

Practique:

(18/2)6

(8/4)2        

(10/5)3  

(12/3)4

(18/2)-3

(8/4)-2      

14

(10/5)-3    

(9/3)-4

IabMm

=

am

bm b ≠ 0 Ej.

ikx3y2y{4=

x3*4

y2*4=

x12

y8

a0 = 1 a ≠ 0 Ej. 200

= 1HanLm = an* m

Ej. (x3)2 =x3*2 =x6

Potencia de una potencia

Si queremos calcular (45)3 utilizamos la siguiente razonamiento:

(45)3 = 45 * 45 * 45 = 45+5+5 = 45*3

Y deducimos así la siguiente regla, también válida para exponentes negativos:

Una potencia elevada a un número es igual a otra potencia de la misma base y cuyo exponente es igual al producto del exponente de la potencia por el número al que se eleva:

(am)n = am*n

Practique:

(23)7

(35)3    

(55)3

(2-3)2     

(33)-2   

(5-2)-3

Radicación

15

Es una de las operaciones inversas de la potenciación y se representa por n√ , donde n es el grado del radical, √ es el signo radical y dentro de este ultimo ira un numero denominado cantidad subradical.

Se buscara un número que elevado a un exponente igual al grado del radical me de como resultado la cantidad subradical.

Veamos el caso de 25 :

25 El grado 2 se omite, es decir, cuando no encontremos grado este es 2.25 Buscamos un número que elevado a potencia 2 nos de 25.25 Se cumple: 52 = 25, entonces la respuesta será 5.

Algunos ejemplos se detallan a continuación:3√27 = 3        Porque 33 = 273√64 = 4        Porque 43 = 644√81 = 3        Porque 34 = 81

Se define raíz n-sima de un número a al número b tal que bn = a

Y escribimos;

b =

El número a se llama radicando y el número n, índice.

Por ejemplo:

= 2 porque = 8

= 4 porque = 256

Es importante precisar que no todos los números poseen raíces. Las raíz cuadrada de -4 no existe, pues el cuadrado de cualquier número, sea positivo o negativo, siempre es positivo. Por la misma razón no existe la raíz cuadrada de ningún número negativo ni la raíz de índice par de ningún número negativo.

Practique:

Fijándonos en el primer ejemplo anterior es razonable definir:

16

=

Por que, recordando la regla de calcular la potencia de otra potencia:

(81/3)3 = 81/3 * 3 = 81 = 8

En general, se define

=

ya que

(a1/n)n = a1/n * n = a1 = a

 

De forma similar se define:

=

Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces. Calcula el valor de la potencia. Utiliza la siguiente escena para comprobar su resultado. Aumenta el número de decimales cuando sea necesario.

163/4

272/3

1254/3

645/6     

100-3/2     

8-2/3

Raíces Cuadradas

Sabemos que

17

32 =3* 3=9

Supongamos que se nos pregunta,

¿Qué número entero multiplicado pos si mismo es 9?

En otras palabras nos esta pidiendo encontrar un número positivo tal que

(el número) * (el número) = 9

Obviamente, el 3 satisface esta condición. Al 3 se le llama la “raíz cuadrada positiva de 9.” Observe que el número negativo -3 también funciona porque

H-3L*H- 3L=9Al -3 se le llama “raíz cuadrada negativa de 9.”

Raíz Cuadrada

Sea a un número positivo. Entonces a b se le llama la raíz cuadrada positiva de a si b es positivo y si

b2 = a .

En este caso, a - b se le llama la raíz cuadrada negativa de a. También la raíz cuadrada 0 es 0.

Escribir

b =a Se lee: b es igual a la raíz cuadrada positiva de a.

Si b es la raiz cuadrada positiva de a. Entonces9 = 3 La raíz cuadrada positiva de 9 es 3.

Ejemplos:

(a)16 =

(b)25 =

(c)144 =

(d)169 =

Soluciones:

(a)16 =4 porque4es positivoy42 =16.

18

(b)25 =5 porque5es positivoy52 =25.

(c)144 =12 porque12es positivoy122 =144.

(d)169 =13 porque13es positivoy132 =169.

Para indicar que -2 es la raíz cuadrada de 4, hay que indicarlo de esta forma

-4 =- 2

Del mismo modo,

-9 =- 3

A continuación, observé que

12 =1 22 =4 32 =9

¿Es posible encontrar un número positivo a cuyo cuadrado sea 2? En otras palabras, ¿podemos encontrar un número positivo a tal que

a2 =2

y por lo tanto

a=2 =1.41421

Observemos que

1.41 1.42x 1.41 x 1.42

141 142 5640 568014100 14200

1.9881 2.0164

EntoncesH1.41L2 =1.9881 yH1.42L2 = 2.0164

Se deduce queH1.41L2 <2 y2 <H1.42L2

y por lo tanto

1.41 < 2 y 2 < 1.42

¿Existe un número que sea2 ?

19

Consideremos los tres cuadrados en la figura de abajo.

1.41 pulgadas 1.4142135623730951 1.42 pulgadas pulgadas

Como de pude apreciar 2 no se puede escribir como un decimal común así lo que hacemos es una

aproximación la cual será representada por el siguiente símbolo ( )2 » 1.414

Productos y Cocientes de Raíces

Observe que9* 4 =36 =6

Además 9 *4 =3* 2=6

Se deduce que9* 4 =9 *4

Esto sugiere que con restricciones adecuadas la raíz cuadrada de un producto es igual al producto de las raíces cuadradas. Por lo tanto, sean a y b números positivos.Entonces

ab =a *b

Ejemplos A :

(a)50

(b) 75

(c)125

20

1.9881pulgadas

cuadradas

2pulgadas

cuadradas

2.0164pulgadas

cuadradas

(d)2500

Soluciones:

(a)50 =25* 2 =5

2

(b) 75 =25* 3 =5

3

(c) 125 =25* 5 =5

5

(e)2500 =25* 100 =

25 *100 =5* 10=50

A veces empleamos la regla precedente en el orden inverso. Así, para los números positivos a y b,a *b =ab

El producto de las raíces es la raíz del producto.

Ejemplos B :

(a)18 *2

(b)18 *4

(c)10 *5

(d)10 *4 *2

Soluciones:

(a) 18 *2 =18* 2 =

36 =6

(b)18 *4 =18* 4 =

72 =36* 2 =6

2

(c)10 *5 =10* 5 =

50 =25* 2 =5

2

(d)10 *4 *2 =10* 4* 2 =

80 =16* 5 =4

5

21

Raíces Cuadradas y otras Operaciones

Suma y Resta

Encontrar9+16 .

Solución. Tenemos que encontrar la raíz cuadrada (positiva) de la suma 9 + 16. Primero sumamos 9 más 16; luego buscamos la raíz cuadrada de la suma.

9+16 =25 =5 .

Observe que 9 =3 y

16 =4

de modo que 9 +16 =3+4=7

Pero, en el ejemplo anterior vimos que9+16 =

25 =5

Por lo tanto,9+16 ¹

9 +16

En otras palabras (9+16 no es igual

9 +16 .) En general, para los números positivos a y b,

a+b ¹a +b

y si a > ba- b ¹a -b

En resumen, para los números positivos a y b,

ab =a *b y

$ab

=ab

a+b ¹a +b y

a- b ¹a -b

Ejemplos D:

(a) 4+5

(b)7+18

22

(c)16- 7

(d)100- 64

(e) 102 - 82

(f) 42+52

Soluciones:

(a) 4+5 =9 =3

(b)7+18 =

25 =5

(c) 16- 7 =

9 =3

(d) 102 - 82 =

100 - 64 =

36 =6

(e) 42+52 =

16+25 =

41

23

SEGUNDA PARTE

Fracciones:

Los elementos que forman la fracción son:

La raya de fracción: Es una raya horizontal que los separa.

Significado:

Una fracción  es un número escrito en la forma  , de tal modo que b no sea igual a  cero (b 0).

Recuerda que todo número que se puede escribir de la forma se llama número racional.  El

24

numerador es el número que está sobre la barra de fracción; en este caso, la a.   El denominador es el número que está debajo de la barra de fracción, o sea, la b.  El denominador es el número de partes en que está dividido el entero, el conjunto o grupo.

Numerador ™   a           b ˜ Denominador

Si dividimos un objeto o unidad  en varias partes iguales, a cada  una de ellas, o a un grupo de  esas partes, se las denomina  fracción. Las fracciones están formadas por dos números:El  numerador y el denominador.

Simplificación de Fracciones

En la simplificación  de fracciones, hay que tener en cuenta las reglas de divisibilidad.  

Reglas de Divisibilidad

(a) Regla del 2 - si un número termina en 0,2,4,6,8 el número es divisible por 2.

Ej.   (42, 58, 12)

25

(b) Regla del 3 - si la suma de los dígitos es un múltiplo de 3.

Ej. 21 = 2 + 1 = 3        →    3 x 7 = 21                  27 = 2 + 7 = 9        →    3 x 9 = 27                102 = 1 + 0 + 2 = 3  →  3 x 34 = 102                  48  = 4 + 8 = 12       → 3 x 16 = 48

Son múltiplos de 3, así que el número es divisible por 3.

(c) Regla del 5 - si un número termina en 0 ó 5 es divisible por 5.

Ej. 45,100

En resumen algunas reglas de divisibilidad más usadas son un número puede ser dividido por otro o es divisible por otro sin residuo si

Número                            Reglas de Divisibilidad

2Si el último dígito es 0, 2, 4, 6, 8.

3Si la suma de los dígitos es divisible por 3.

4Si los últimos dos dígitos forman un número divisible por 4.

5Si los último dígitos son 0 o 5. 

6Si el número es par y la suma de los dígitos son divisibles por 3.

9Si la suma de los dígitos es divisible por 9.

10Si el último dígito es 0.

Factorización Prima

     Un número es primo si es mayor que 1 y sus factores sólo son 1 y el mismo  número.

Ej. 2, 5, 11

    La factorización prima de un número  es el producto de todos los factores primos de un número.

    Factorización de  12  

26

Ejemplo: Simplificar la fracción:

La factorización prima de 12 es 2 · 2 · 3   y la de 36 es  2 · 2 · 3 · 3 

= = =

Fracciones Mixtas   e Impropias  

 Una fracción mixta es la suma de un número entero y una fracción. Se escribe sin el símbolo de suma (+). Por ejemplo, 1 ½   se lee “uno y un medio” y es igual a   1 + ½. Los números mixtos se pueden convertir a fracción impropia, y viceversa.  

Para cambiar un número mixto a una fracción impropia:

1. Multiplicar el denominador por el número entero. 2. Sumar el numerador al producto dado en el paso 1. 3. Escribir la suma  donde está el numerador original.  

Ejemplo:   

                      

(a) 1 · 3 = 3    {Se multiplicó el denominador por el                             número entero.}

(b) 3 + 2 = 5     {Se sumo el producto de (3) con el                          numerador (2)}

(c)     {Se escribió la suma en el numerador}

Ejemplo de corrido:

27

= = =

     

Para cambiar una fracción impropia a un número mixto:

1. Dividir el denominador entre el numerador. 2. El cociente (Q) es el número entero del número mixto. El remanente  (N)  es el numerador de la parte fraccionaria; y el denominador (D) es el denominador original.

QND

Ejemplo:

Cambiar  a mixto.

                                                                              3 R=1  = 3 1                                   7   =    2 | 7                2                                   2 - 6

1

=

Nota: Siempre recordar que la fracción mixta es en la forma:

QND

Ejemplo:

a. Una fracción indicando división: 6                                                           2  

28

6 ÷ 2 = 3        

                      |___________|__________|

Un grupo de seis bolitas dividida entre dos significa que cada grupo va a tener 3 bolitas.

                6 bolitas    =  2 grupos de 3 bolitas                 2 grupos

Nota: Una fracción que tenga 0 de denominador es un número indefinido.

Ej.   7 =  Indefinido    Es decir, la división por cero no se puede hacer.        0      7 ÷ 0 = ND

Otro ejemplo:

Que pasaría si tenemos 1 ÷ 0.01, veamos   1 =  100. Ahora pensemos esa división ó fracción en $        0.01

Y centavos, si yo tengo un Dólar y quiero saber cuantos centavos caben en uno que debo hacer. El ejemplo anterior nos contesta esa duda. $1/ 0.01 = 100. De tener alguna duda verifíquenlo con sus calculadoras.

Se  puede determinar también si las fracciones  son equivalentes multiplicando cruzado.  

Ejemplo:     2       =     1                                  12           6                    2 · 6   = 12     1 2 · 1 = 12

Al multiplicar observamos que ambos productos son iguales, por lo tanto las fracciones son equivalentes.

Para determinar si una fracción es menor o mayor que otra fracción, también se puede multiplicar cruzado.

Por ejemplo:    1     ?    3               y                              9         10             10 · 1 = 10       9  · 3 = 27

                       10  <    27    (10 es menor que 27, por lo tanto)

                          1    <     3               (1/9 es menor que 3/10)                              9          10      

Practique: Verifiqué sin son equivalentes ó no.

(1)

19

=23

29

(2)

39

=26

(3)

909

=606

OPERACIONES CON FRACCIONES

Suma y resta de Fracciones

Objetivo:

Suma y resta de fracciones Comparación de fracciones utilizando las reglas de proporción

Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente.

Veamos: Sean a /b   y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla:

a     +   c   =       ad + bc        (se multiplica cruzado y los productos de suman) b        d                bd        (se multiplican los denominadores)

30

Veamos un ejemplo:

             El jefe de Juan repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Juan le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total, ¿que parte del trabajo tiene que realizar Juan?

 

  1    +  1      =    1(3) + 4(1)   = 3   + 4     =  7 4  3             (4)(3)           12         12

Vamos a darle un poco de razonamiento!

¿A Juan le tocó más de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo?

 Solución:   Juan tuvo que realizar 7/12 del trabajo.

Pero primero necesitaremos unas reglas de las proporciones fraccionales:

a. Si  = , entonces  ad = cb

b. Si    < , entonces  ad < cb

c. Si    < , entonces  ad < cb  

 Volviendo a Juan,   ¿7/12 es menor o mayor que 1/2?

 ?   7(2)  __  12(1) = 14 > 12, por lo  tanto      >

                                                    

De modo que Juan realizó más de la mitad del trabajo.

Veamos otro ejemplo:

A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes adicionales  que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia la tocó a Maria?

Solución:

A María le tocó  11/ 15 de la herencia de su padre.

31

¿A María le tocó más de la mitad de la herencia ó menos de la mitad de la herencia?

¿11/15 es menor o mayor que 1/2 ?

 ? 11(2)  __   15(1), = 22 > 15, por lo  tanto      ?

Para sumar dos fracciones, hay  que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones:

 1. Fracciones homogéneas    J14,34,54N

 2. Fracciones heterogéneas  J14,25,37N

Fracciones Homogéneas :

Son las fracciones  que tienen el mismo  denominador.

Ejemplo de suma de fracciones homogéneas:

15

+35

=45 ™ Son fracciones homogéneas ya que tienen el mismo denominador. Las                     

fracciones  homogéneas, en suma, se suman los numeradores y el denominador se queda igual.

27

+37

=57

Fracciones Heterogéneas:

Son las fracciones que tienen diferentes denominadores.

Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas:  

14

+12

=™ Aquí es diferente, las fracciones son heterogéneas; los denominadores son                              

diferentes. 

Para sumar fracciones heterogéneas:

(1) Se multiplican los denominadores. (2) Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador. (3) Se suman los productos para obtener el numerador.

 

32

14

+12

=

 Paso 1:  

14

+12

=ƒ

8 ™ Se multiplicaron los denominadores  4 · 2 = 8.

Paso 2: 

14

+12

=H2L H1L+H4L H1L

8 ™ Se multiplicó cruzado                     

Paso 3:  

14

+12

=2+48 ™ Se suman los productos para obtener el numerador.

Paso 4:

14

+12

=68

¸22

=34 ™ Se simplifica la fracción si es posible.

Resta

    En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar.  

Ejemplo 1:  

57

-17

=47 ™ Resta de Fracciones Homogéneas.

Ejemplo 2:

14

-18

=H8L H1L-H4L H1L

32=

432

¸44

=18

OPERACIONES CON FRACCIONES

33

Multiplicación de Fracciones

     En la multiplicación de fracciones, las fracciones homogéneas y heterogéneas se multiplican de la misma forma:

 

  Ejemplo: 23

*34

=612

¸66

=12

ó612

=3* 2

3* 2* 2=12

‰ Š

Factorización Prima y simplificación  

División de Fracciones  

    En la división de fracciones, siempre se cambia a multiplicación y la segunda fracción cambia a su recíproco.  

Ejemplo:  

Reciproco

¯ Š

35

¸43

=35

*34

=920

 

Ejemplo:

34

37

¸12

=37

*21

=67

Formulas para recordar:

=         ™     Multiplicación de Fracciones

         

  = =                  ™   División de Fracciones

           

Cuando estábamos trabajando con radicales no tocamos fracciones ya que no lo habíamos tocado, pero una vez discutido multiplicación y división de fracciones es mucho mas fácil tocar este tema.

A continuación, observe que

$10025

=4 =2

También,10025 =

105

=2

Se deduce que

$10025

=10025

La raíz cuadrada de un cociente es igual al cociente de las raíces cuadradas. Por lo tanto, si a y b son ambos positivos, entonces,

35

$ab

=ab

Ejemplos C :

(a) $4

9

(b)$4

81

(c)$16

50

(d)$81

99

Soluciones:

(a)

$49

=49 =

23

(b)$4

81=481 =

29

(c)$16

50=1650 =

425* 2=

4

5 2 *5 2

5 2 =20 2

25* 2=20 2

50=2 2

5

(d1) $81

99=8199 =

99* 11=

9

3 11 *3 11

3 11 =27 11

9* 11=27 11

99=3 11

11

(d2) $81

99=$9

11=911 =

311 *1111 =

3 11

11

36

Mínimo común denominador (m. c. d.)

Mínimo común múltiplo de dos o más denominadores

Ejemplo:

 

El número menor, que no es cero, que es un mínimo común de dos o más números

Ejemplo:

múltiplos de 4: 4, 12, 18, 27, 36, 45, 54

múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36

El m. c. m. de 6 y 4 es 12.

Fracciones Mixtas:

Los números mixtos implican un entero más una fracción propia.

(a) Números mixtos y fracciones impropias:

El Número

412 representa

4+12 .

Esto es un número mixto (un entero más una fracción). Aquí el 4 se llama parte entera y a

12 se

le llama parte fraccional.

Observe que

412

=4+12

37

=41

+12 ¿Que tenemos que hacer?

Buscar un denominador en común

=82

+12

Una vez teniendo denominadores en común se procede a resolver la fracción.

=92 .

Entonces el número mixto 412 puede expresarse como la fracción impropia

92 .

Practique:

1. Exprese 423 como una fracción impropia.

2. Exprese 456 como una fracción impropia.

3. Exprese 916 como una fracción impropia.

(b) Suma y Resta de Números Mixtos:

Para Sumar ó restar números mixtos:

1. Sumar ó restar las partes fraccionales.2. Sumar ó restar las partes enteras.3. Simplificar, fuera necesario.

Suma:413

+223

Noten que en este caso la parte fraccional de las fracciones mixtas son homogéneas.

Solución.

4+

13

38

+2+

23

6+

33

=6+1 Jporque 33

=1N=7

A veces uno ambos números mixtos deben convertirse a su forma equivalente antes de suma ó restar.

Restar:512

- 234

En este caso la parte fraccional es heterogénea por lo tanto hay que encontrar un máximo común

denominador (mcd) entre

12 y

34 que es 4. Entonces escribimos

12

=24 , considerando

524

-2

34

Pero primero tenemos que atender una situación, notaran que el

24 es menor que

34 , por lo tanto

esa fracción no se puede hacer. Hay que implementar una acción de préstamo ósea tomar prestado

de la parte entera, que en este caso es 5.

524

=5+24

=4+1+24

Como se puede apreciar hemos creado una igualdad en donde 5 = 4 + 1. En donde ese

entero representado con una unidad 1, se va transformar en una fracción aparente donde

1=44 .

Ahora escribimos

524

=4+44

+24 ,

entonces agrupamos

524

=4+64 .

Una vez resuelto nuestro problema procedemos a la operación de la resta.

Ahora continuamos con la operación de la resta.

524

=4 64

-2

34

39

2 34

Entonces tenemos que

5 12

=5 24

=4+1+24

=4+64

=4 64 , estando claro con eso proseguimos a decir que

5 12

- 234

=2 34 .

Solución alterna. Convertir ó transformar a fracciones impropias y proceder a restar. Luego

escribir la fracción resultante como un número mixto.

5 12

- 234

=112

-114

ahora buscamos el máximo común denominador entre las dos fracciones,

=2 H11L- 11

4

resolvemos la operación fraccional,

=22 - 11

4=114

una vez teniendo el resultado de la fracción, como fracción impropia procedemos buscar nuestra

fracción mixta por lo tanto, decimos que

=114

=84

+34

donde tenemos que

84 es la parte entera y

34 es la parte fraccional. Entonces procedemos a

escribir nuestra fracción mixta

=84

+34

=2+34

=2 34

(c) Multiplicación y División de Números Mixtos:

Para Multiplicar ó Dividir números mixtos:

1. Convertir a fracciones equivalentes.2. Multiplicar o dividir estas fracciones.3. Escribir la fracción resultante como un número mixto.

Multiplicar: 4 15

* 2 12

Solución. Observamos primero que

4 15

=4+15

=205

+15

=215

2 12

=2+12

=42

+12

=52

40

4 15

* 2 12

=215

*52 Como podemos apreciar el 5 de

215 y el 5 de

52 ,

se pueden cancelar .

=212 Ahora a esa fracción impropia la queremos convertir en fracción

mixta. Y volvemos a hacerlo como se hizo anteriormente.

=202

+12 , donde tenemos a

202 como la parte entera y a

12 como la parte

fraccional.

=10+

12

=10 12 .

Dividir: 5¸ 3

14

Solución. Observamos primero que

3 14

=3+14

=124

+14

=134

de modo que

5¸ 3 14

=5*413 (Recuerdan que sucede cuando operamos con fracciones en división.

Había que transfórmala división en una multiplicación aplicándole el reciproco a la fracción que le sigue al signo de división.)

=51

*413 Procedemos a multiplicar las fracciones,

=2013 ahora procedemos a convertir de fracción impropia a fracción mixta.

=1313

+713 Una vez tenemos la parte entera y la parte fraccional, prcedemos a

escribirlo en la forma mixta.

=1+

713

=1 713 .

Practique:

Cambie a fracción impropia:

41

1)5 12

2)6 12

3)2

919

Cambie a fracción Mixta:

1)

5021

2)

5129

3)

10133

Suma y Resta de Fracciones de fracciones Mixtas:

1)8- 4

34

2)8+4

34

3)

255

- 5

4)2 35

+2 115

+3 220

5)2 35

- 2 115

- 3 220

Multiplicación y División de fracciones Mixtas:

1)5¸ 3

12

2)

255

¸ 3 12

3)

256

* 3 12

42

4)5 16

* 3 12

TERCERA PARTE

¿Que es un Decimal?

El sistema decimal es un sistema numérico basado en 10 cifras que son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Es el sistema estándar en la matemática, así como el binario (combinaciones de 0 y 1) es el estándar en computación. Este conjunto de símbolos se denomina números árabes. (Posiblemente está basado en el número de los dedos de las manos).

OPERACIONES CON RACIONALES DECIMALESNúmero

Decimal

Cuando se efectúa la división (a : b) se obtiene un Número Decimal. 

43

Ejemplo 

Decimal

Finito

(exacto)

y Periódico.

VALOR POSICIONAL Ó DEL LUGAR

En el sistema numérico se utilizan diez símbolos llamados dígitos iguales a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 que ocupan un valor de posición. 

Ejemplo :

(1) 3,985,426.17035(2) 10,003.1

(3) 0.37149

NOTACIÓN DESARROLLADA

LECTURA Y ESCRITURA DE NUMERALES

NÚMERO ENTERO FRACCIÓN DECIMAL

Uni

dad

de M

illó

n

Cen

tena

de

Mil

Dec

ena

de M

il

Uni

dad

de M

il

Cen

tena

Dec

ena

Uni

dad

Déc

imas

Cen

tési

mas

Mil

ésim

as

Die

z M

ilés

imas

Cie

n M

ilés

imas

44

3, 9 8 5, 4 2 6. 1 7 0 3 51 0, 0 0 3. 1

0. 3 7 1 4 9

Ejemplo (3)

0 Unidades 3 Décimas 7 Centésimas 1 Milésimas 4 Diez Milésimas

9 Cien Milésimas

0. 310

7100

11000

410000

9100000

Conversión de Fracción a Decimal

Podemos convertir una fracción a decimal si dividimos el numerador entre el denominador. Esto lo podemos realizar para cualquier fraccionario que tengamos.

Por ejemplo, queremos convertir a decimal la fracción 5                                                                                        2

5 ÷ 2 Empezaremos a dividir el numerador entre el denominador

1 .05 2|50 -4 10 -10  0

Dividimos y tenemos que me da como resultado 2 y tenemos un residuo de 1. Podemos llevarlo a decimal añadiendo el punto decimal y colocando cero al lado del residuo (en rojo). Una vez realizado esto seguimos trabajando y tendremos 10 entre 2 que me da 5 y no queda ningún residuo.La fracción propuesta es igual al decimal 2.5

Veamos otro ejemplo, queremos convertir a decimal la fracción 2                                                                                                       3

2 ÷ 3 Empezaremos a dividir el numerador entre el denominador

__ 3|2.0

En este caso no se puede resolver 2 entre 3, entonces empezamos colocando 0, (ya esta el punto decimal) y añadimos un cero al 2.

0 .66 3|2.00 -0 20 -18  20 -18 2

Empezamos a dividir, 20 entre 3 nos dará 6 con residuo 2, como ya hemos colocado el punto decimal anteriormente se coloca un cero automáticamente al lado del residuo y volvemos a dividir 20 entre 3 lo cual nos dará 6 con residuo 2. Podemos darnos cuenta que se repetirá siempre lo mismo entonces decimos que es un decimal periódico puro y es 0,6

45

Conversión de Decimal a Fracción

En este caso tendremos tres posibilidades, una para cada tipo de decimal estudiado en el apartado 1.

a) Decimales Finitos:    Veamos directamente un ejemplo para entenderlo mejor:

1.17 En este ejemplo queremos llevar 1.17 a fracción

1.17 Vemos que este número tiene dos decimales

117100

Entonces colocaremos todo el número sin el punto decimal como numerador y en el denominador colocaremos un 1 seguido de dos ceros (uno por cada decimal).

Se coloca el número sin el punto decimal como numerador y en el denominador se coloca 1 seguido de tantos ceros como decimales tenga el número en su forma decimal.

¿Qué son las fracciones decimales?Se llaman así a todos los números que representen una cantidad inexacta, y que presentan una parte entera y una parte decimal, mismas que se encuentran separadas por la punto decimal (.). Por ejemplo:

0.65Este número es una fracción decimal ó simplemente un decimal pues encontramos el punto decimal

0.65 La parte entera se encontrara a la izquierda de la punto decimal, en este caso será 0.

0.65 La parte decimal se encuentra a la derecha del punto decimal, en este caso será 65.

Existen dos clases de decimales: los finitos y los infinitos.

Decimales Finitos:Cuando la parte decimal tiene un final determinado y no va mas allá, decimos que se trata de un decimal finito.

El ejemplo anterior nos decía que teníamos 0.65. Aquí vemos que la parte decimal termina con el número 65 y no sigue por lo tanto se trata de un decimal finito.

b) Decimales Infinitos:Son aquellos en los que la parte decimal no tiene un final determinado. Dentro de ellos tenemos dos que son muy importantes y son:

1) Decimales Periódicos Puros:     En ellos se repite siempre el mismo número o periodo. Por ejemplo:

0.161616...... En la parte decimal se repite infinitas veces el 16

0.16 Entonces 16 es el periodo, el decimal se puede escribir así.

46

        Veremos un ejemplo para entenderlo mejor:

2.283 Tenemos este decimal en el cual se repite el periodo 283.

2.283 El periodo (o lo que se repite) son tres números.

2 283999

En este caso separamos la parte entera de la parte decimal. A la parte decimal la colocamos como numerador sobre un denominador formado por tres 9 (uno por cada decimal). Nótese que es un número mixto.

2,281 999

Podríamos llevar ese numero mixto a fracción para así obtener la fracción equivalente a 2.283

Otro Ejemplo:

3.6elseisesperiodico

3.6 3 0.6

3

6

9 3

2

3

3 3 2

3

11

3

Se formara primero un Número Mixto, se separa la parte entera y la parte decimal ira como numerador y en el denominador se colocaran tantos nueves como decimales tenga el periodo del decimal

2) Decimales Periódicos Mixtos:    Encontramos una parte que no se repite y otra que se repite infinitas veces.

0.143333..... En la parte decimal el 14 no se repite y el 3 se repite.

0.143 Podemos escribirlo también así.

Vayamos directamente a un ejemplo:

5.246__ Tenemos un decimal periódico mixto, en el 2 es la parte que no se repite y 46 es la parte que se repite

infinitas veces.

5.246 Son dos los decimales que se repiten.

5.246 Es un solo decimal el que no se repite.

5 246 - 2      990

Separamos la parte entera de la decimal. En el numerador restare toda la parte decimal menos la parte que no se repite. En el denominador colocare un 9 por cada número que se repite y un 0 por cada número que

47

no se repite.

5  244    990

Efectuamos la resta y llegamos a este número mixto que se presenta. Podemos aún simplificar la parte fraccionaria.

5  122    495

Una vez simplificado podríamos llevarlo a su forma fraccionaria aún, para lo cual seguiremos el procedimiento de llevar un número mixto a fracción

2597 495

Otros Ejemplos:

3.47el7esperiodico

3.47=3+0.47=3+47 - 490

=3+4390

=3 4490

0.4elcuatroesperiodico0.444

0.4=49

0.45elcuarentaycincoesperiodico0.4545

0.45=4599

¸99

=511

0.3423elveinteytresesperiodico

0.3423=3423 - 349900

=33899900

Fracciones que son Periódicas

35

=0.0600=0.60=0.6;

elceroeselnúmeroperiodicoynoseescribe

13

=0.333=0.3; el3esnúmeroperiodico

16

=0.1666=0.16; el6eselnúmeroperiodico

711

=0.6363=0.63; el63eselnúmeroperiodico

82228

=0.36444=0.364; el4eselnúmeroperiodico

REDONDEO Y ESTIMACIÓN

Redondeo de décimales

La invención del punto décimal se atribuye a Simón Stevin (1548-1620). Para redondear décimales realiza los siguientes pasos:

(a) Halla el lugar que se debe redondear(b) Observa el dígito de la derecha

(1) Si éste dígito es menor de 5 no se cambia el dígito del lugar que se debe redondear.

48

(2) Si éste dígito es igual o mayor de 5 se aumenta en 1 el dígito del lugar que se debe redondear.

Ejemplos:

Redondea 5.346 a la centésima más cercana: 5.35

Redondea 18.444 a la décima más cercana: 18.4

Redondea 0.753 a la décima más cercana: 0.8

Si se estuviese redondeando un número entero se añade un tercer paso: Se cambian a cero todos los dígitos que están a la derecha del lugar que se quiere redondear 

Ejemplos:

Redondea 5,346 a la unidad de decena más cercana: 5,350

Redondea 18,444 a la unidad de centena más cercana: 18,400

Redondea 753 a la unidad de centena más cercana: 800

Recuerde que al redondear se obtienen números aproximados.

Comparación de números decimales

Para comparar dos números decimales hay que alinear los puntos decimales y comenzando por la izquierda comparar los dígitos en posiciones iguales

Ejemplo:

23.435 > 23.428

Puesto que los dígitos de las décimas son iguales, pero el dígito de las centésimas es mayor en el primer número.

OPERCACIONES BÁSICAS

Suma y Resta de Decimales

Podemos sumar y restar decimales de una manera simple y directa siempre y cuando los ordenemos de acuerdo a la coma decimal. Por ejemplo, digamos que queremos sumar 18.36 con 1.172:

18.36    + 1.172

Vemos como ordenamos la coma decimal de manera tal que quede a la misma altura en ambos términos.

49

18.360+1.172

Inclusive si queremos podemos añadir un cero de manera que ambos términos tengan tres decimales.

18.360+1.17219.532

Finalmente sumamos como siempre lo hemos hecho y colocamos la coma decimal en el mismo orden en que se encontraba previamente. La respuesta será: 19,532

Veamos ahora el caso de una resta, por ejemplo 5 – 1.976:

5        

-1.976

Ordenamos la operación de acuerdo a la coma decimal. Como el número 5 no tiene parte decimal lo ponemos sobre la parte entera.

5.000 -1.976

En la resta o sustracción es muy recomendable añadir ceros a la parte decimal de manera que ambos términos tengan los mismos decimales.

5.000 -1.976 3.024

Finalmente restamos como ya sabemos colocando la coma decimal en el mismo orden que le correspondía. Obtendremos por respuesta en este caso: 3.024

Multiplicación de Decimales

En la multiplicación de decimales no importara la cantidad de decimales que se tengan, no será necesario ni recomendable completar con ceros, simplemente tenemos que empezar a realizar la multiplicación sin importarnos la cantidad de decimales que se tengan.

Si por ejemplo quisiéramos multiplicar 3.87 x 18.9:

       387    x 189

Nótese que hemos omitido los puntos decimales en los números que voy a multiplicar.

       387    x 189    3483  30960 38700 73143

En este segundo paso hemos realizado la multiplicación de 387 x 189 sin importarnos para nada los puntos decimales y hemos llegado a un resultado igual a 73143. Ahora que tengo este resultado recién me voy a preocupar de los puntos decimales para poder expresar mi respuesta dentro del campo de estos números.

73.143Como tengo en total tres decimales (dos en 3.87 y uno en 18.9) mi respuesta llevara tres decimales y será: 73.143

División de Decimales

50

Para dividir números decimales debemos tener exactamente la misma cantidad de decimales en el dividendo como en el divisor.

Por ejemplo:

18.36 ÷ 0.09En este caso podemos dividir porque tenemos dos decimales tanto en el dividendo como en el divisor

1836 ÷ 009 Entonces al cumplir esta condición omitimos los puntos decimales

1836 ÷ 9 Como los ceros ahora no tienen sentido también los omitimos

204 9|1836 -18           03 -00 36 -36 0

Realizamos la división, primero dividimos 18 entre 9, que resulta ser 2, no nos queda nada y bajamos el 3, ahora dividimos 3 entre 9 y como no se puede colocamos 0 y bajamos el 6; finalmente hacemos 36 entre 9 que nos da 4 y no quedara nada. Entonces la respuesta final será 204 (nótese que la respuesta en este caso es entera)

Claro que también puede darse el caso que tengamos fracciones con diferente cantidad de decimales.

Por ejemplo:

14.1 ÷ 0.12 En este caso el dividendo tiene un solo decimal y el divisor tiene dos.

14.10 ÷ 0.12 Completare con ceros para que ambos tengan igual cantidad de decimales.

1410 ÷ 012 Ahora ya puedo omitir los puntos decimales

1410 ÷ 12 Y también puedo omitir los ceros que no me sirven.

117 12|1410 -12           021 -012 90 - 84 6

Procedo a efectuar la división, primero dividiré 14 entre 12, lo cual me resulta 1 y me quedan 2. Ahora bajo el 1 y divido 21 entre 12 que será 1 y me quedan 9. Finalmente bajo el 0 y divido 90 entre 12 que resulta ser 7, pero me queda 6 como residuo.

117. 12|1410.0 -12           021 -012 90 - 84

Pero podremos seguir trabajando ya que no es lo mas recomendable dejar residuo cuando estemos trabajando con decimales (en realidad en ningún caso es recomendable dejar residuo). Para seguir trabajando colocamos el punto decimal en el cociente o respuesta.Al hacer esto automáticamente coloco un cero al lado del residuo.

51

60

117. 5 12|1410.0 -12           021 -012 90 - 84 60 -60 0

Ahora que ya empezamos a trabajar con la parte decimal podemos seguir dividiendo. En este caso tendremos 60 entre 12, lo cual nos da 5 y no deja ningún residuo. Finalmente la respuesta será 117.5. Para que se note mejor el trabajo se ha dejado indicado en rojo el trabajo de la parte decimal.

Recuerda que cuando tengas residuo debes añadirle un punto decimal y automáticamente se coloca cero al costado de ese residuo.

Practica:

1. 12.054+15.3=

2. 10.23- 9.02=

3. 48.32+17 - 52.0001=

4. 48.12¸ 12.03=

5. H2.22L3 =

6. 10.941¸ 4.93=

7. 12+1.05+4.005+0.5 - 2=

8. 0.1+0.31+0.4+0.1+.09=

El orden de las operaciones

Una expresión numérica es una colección de números, operaciones y símbolos de agrupación como los paréntesis, corchetes y llaves.

Para evitar confusiones se ha llegado al siguiente acuerdo con respecto al orden de las operaciones en toda expresión numérica

1) Primero se resuelven las operaciones dentro de los símbolos de agrupación (primero dentro del paréntesis, luego dentro del corchete y finalmente dentro de la llave). Si hubiese radicales, estos funcionan como si fueran paréntesis.

2) Luego se evalúan las potencias

52

3) Luego se multiplica y divide de izquierda a derecha

4) Finalmente se suma y se resta de izquierda a derecha.

5) Si hubiese expresiones racionales, se evalúan los numeradores y los denominadores antes de proceder a la división.

Ejemplo:

 ¿Cuál es el resultado de la operación 4 + 5 * 2 – 7 * (2 + 3)^3 ?

El primero calcula el paréntesis (2 + 3) que da 5 Después calcula la potencia y calcula 5^3 es decir 5*5*5 que da 125 A continuación las multiplicaciones 5*2 que da como resultado 10 y 7*125 que da 875 Nos queda  4+10-875 es decir 14 menos 875 que da como resultado un número negativo -861

Ej. 2 + 4 / 2 * 3 – 2

2 + 2 * 3 – 2

2 + 6 – 2

8 – 2

6

Símbolos de Agrupación

1. ( ) Paréntesis 2. [ ] Corchetes 3. { } Llaves

a. Si hay símbolos de agrupación, la operación en el símbolo se efectuará primero.

Ej. 2(4 - 2)

2( 2 )

4

b. Si un símbolo se encuentra en el interior del otro, se resolverá primero el símbolo del interior.

Ej. 2 + [ 3 + 4 (5 - 2) ]

2 + [ 3 + 4 (3) ]

2 + [ 3 + 12 ]

2 + 15

53

17

Practique:

5 * (3 + 8) = 12 * 5 ÷ 3 * 2 = (4 – 6)3 + 5(-4) + 3 =

=

2 + 66 ÷ 11 * 3 + 2√36 = 2 + 3[5(7 – 4)] = -2[(-5 + 3)3 + (-4 – 6)2] = =

CUARTA PARTE

Razón y Proporción

¿Qué es una Razón?

Se denomina razón, al cuociente entre dos magnitudes, distintas de cero, expresadas en la misma unidad.Cuando se establece una comparación entre dos números, lo que estamos haciendo es sacar una razón, en otras palabras, una razón, es la comparación aritmética o geométrica entre dos números.

54

Ejemplo:

Las edades de dos hermanos son 9 y 12 años, entonces la razón entre la edad del menor y del mayor es:

a

b

9 años

12 años

3

4

o bien , 3   :   4    y   se lee:    " 3   es a   4 ".

Al buscar la razón aritmética entre dos números, el resultado será la sustracción. Por ejemplo, cuando comparamos dos cantidades, pensemos en 42 y en 36, (que en realidad podrían ser cualquier número), su razón aritmética esta dada por:

42 – 36 = 6

        En donde al 42 se le conoce como antecedente y al 36 como consecuente y por supuesto, el 6 es la razón

        Sin embargo, cuando buscamos la razón Geométrica, entonces la razón está dada por el cociente de la primera cantidad entre la segunda cantidad. Tomando las mismas cantidades mencionadas anteriormente, la razón geométrica está dada por el cociente de:

42/36 = 1 entero 1/6

        que se lee 42 es a 36, donde el 42 es el antecedente y el 36 es el consecuente.

Nota Importante.- La diferencia entre una fracción y una razón es que, por definición una fracción consta de números enteros, tanto en el numerador como en el denominador, mientras que en una razón tanto lo que sería el numerador, que en realidad es el antecedente, como el denominador, que en realidad es el consecuente, pueden ser números enteros, decimales, fraccionarios

velocidaddelautomóvil

velocidaddelcamión

80

45

16

9

        Al comparar las velocidades de un automóvil que va a 80 km/h y un camión que va a 45 km/h, se tiene que:

        La velocidad del automóvil es de la del camión.

Y si lo vemos del camión y del automóvil:

        Al comparar las velocidades del camión y del automóvil se tiene que:

velocidaddelcamión

velocidaddelautomóvil

45

80

9

16

55

        La velocidad del camión es

916 , de la del automóvil.

         Se define como Razón Equivalente a todas aquellas comparaciones en donde los resultados son iguales, por ejemplo: (42-36) y (76-70) son razones equivalentes, ya que la razón es 6 en ambos casos.

Aunque este ejemplo es de razones aritméticas, sucede lo mismo con las razones geométricas; es decir: y

  son razones equivalentes.

¿Que es una Proporción?

Se denomina proporción a dos razones que son iguales; es decir, es la igualdad de dos razones. Puede expresarse en cualquiera de las formas siguientes.

ab

cd; a:d c: b; a: b::c:d

Una proporción está formada por dos razones iguales:

a   :   b    =    c   :   d

Donde   a, b, c y d son distintos de cero y se lee   "a   es a   b   como   c   es a   d".

Por ejemplo,   3 : 4   y   6 : 8   son dos razones iguales, entonces podemos construir la proporción:

3   :   4    =    6   :   8

Que se lee   "3   es a   4   como   6   es a   8".

Debido a que se tienen razones aritméticas y razones geométricas, de igual manera deberemos contar con proporciones aritméticas y proporciones geométricas. Sin embargo, la definición de ambas es la misma:

        Se le llama proporción aritmética a la igualdad de dos razones aritméticas.

        Se le llama Proporción Geométrica a la igualdad de dos razones geométricas

        Por lo tanto, si colocamos las dos razones aritméticas:

(63-24)(72-33) 

        Su proporción aritmética se expresará como:

63-24:72-33

            y se lee como "63 es a 24 como 72 es a 33", en donde el 63 y el 33 se les conoce como extremos, mientras que al 24 como al 72 se les conoce como medios.

56

De la misma manera, en las razones geométricas:

   La proporción geométrica estará expresada por:

416

=832

        Que se lee como "4 es a 16 como 8 es a 32" en donde el 4 y el 32 son los extremos mientras que el 16 y el 8 son los medios. Se puede apreciar mejor de esta forma:

Medios

4 : 16 = 8 : 32

Extremos

        En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

        En toda proporción es posible cambiar los extremos a medios y los medios a extremos, con la finalidad de obtener otra proporción.

        En la proporción

25

=410 , los extremos son 2 y 10 y los medios son 5 y 4, si probamos el párrafo

anterior tenemos ahora que los extremos son 4 y 5, los medios son 2 y 10.

        Si te fijas aún sigue siendo una proporción ya que tú al multiplicar 2 x 10 = 5 x 4, así que no importa si cambias los extremos a medios y los medios a extremos.

        Dos magnitudes son directamente proporcionales, cuando varían en el mismo sentido; es decir, si una aumenta la otra también, y si una disminuye la otra también.

Propiedad Fundamental:

En cada proporción se cumple lo siguiente:

a

bc

d ad cd

Ejemplo:

3

4

6

8 38 46

57

Aplicaciones:

1.   Las alturas de dos edificios están en la razón   4   :   5. Si el primero mide   20 (m), ¿cuánto mide el segundo?

20mxm

45

Procedimiento utilizando el Teorema Fundamental

20m 5 xm 4, 100m 4xm, 100m4m

4xm4m, 25 x

      Respuesta:

20mxm

45

x 25

      El segundo edificio mide   25 ( m )

2.   Dos amigos se reparten   42   bolitas en la razón   3   :   4. ¿Cuántas bolitas recibió cada uno?

Procedimiento:

3k 4k 42 7k 427k7

427

k 6  

  Respuesta:

      El primer amigo recibió   3 k   bolitas       El segundo amigo recibió   4 k   bolitas

3k + 4k = 42 k=6

El primer amigo recibió  3 × 6     =     18  bolitas El segundo amigo recibió  4 × 6     =     24  bolitas

Practica:

1.   Tres amigas se reparten   48   bombones en la razón   5   :   3   :   4. Calcula la cantidad de ellos que obtiene cada una.

Procedimiento:

5k 3k 4k 48 12k 4812k

12

48

12 k 4

Respuesta:

      La primera amiga recibe   5 k   bombones

58

      La segunda amiga recibe   3 k   bombones       La tercera amiga recibe   4 k   bombones

5k + 3k + 4k = 48 k = 4

      La primera amiga obtiene   5 × 4     =     20   bombones       La segunda amiga obtiene   3 × 4     =     12   bombones       La tercera amiga obtiene   4 × 4     =     16   bombones

2.  Las asistencias de público a tres cines, en un día, estuvieron en la razón   7   :   6   :   5. Si al primer cine concurrieron   100   espectadores más que al tercero, ¿cuántas personas asistieron al segundo cine?

Procedimiento:

7k 5k 100 7k 5k 100 2k 1002k

2

100

2 k 50

Respuesta:

      Al primer cine acudieron   7 k   asistentes       Al segundo cine acudieron   6 k   asistentes       Al tercer cine acudieron   5 k   asistentes

7k = 5k + 100 k = 50

      Al segundo cine fueron   6 × 50     =     300   personas

3.   Un poste de   4 ( m )   de altura, en cierto instante, da una sombra de   6 ( m ) . ¿Cuánto mide de alto otro poste, si en ese mismo instante, da una sombra de   15 ( m )?

Procedimiento:

415 6x 60 6x 60

6

6x

6 10 x

Respuesta:

     

4m6m

x

15m x 10m      El poste mide 10 (m) de altura.

Regla de tres simple.

59

        Los problemas en los cuáles se utiliza la regla de tres simple directa son aquellos en que intervienen dos magnitudes directamente proporcionales. Y en los que se usa la regla de tres simple inversas son aquellos en que intervienen dos magnitudes inversamente proporcionales.      

  Ambos casos se pueden resolver mediante la aplicación de proporciones.   

Ejemplos:

        1. Calcular la sombra que proyecta un edificio de 28 m de alto; si un edificio de 18 m proyecta una sombra de 12 m.

        Solución: hacemos una proporción de los dos edificios, en donde x es el valor de la sombra que no conocemos.

        Nota: a x le podemos asignar cualquier valor.

28x

1812

(28)(12) = (x)(18) 336 =

18x

33618

18x18 x =

18.666m

        (recuerda que encerrar números entre paréntesis, como en el ejemplo anterior, equivale a multiplicarlos, por lo que es lo mismo decir que

se multiplica n por x a escribirlo de la manera (n)(x) o a usar un punto entre las dos cantidades que se están multiplicando de esta forma: n·x).

        Respuesta: un edificio de 28 m. proyecta una sombra de 18.666 m.

        2. Un automóvil recorre 540 km. en 9 horas. ¿Cuánto recorrerá en 6 h con la misma velocidad?

        Solución: realizamos una proporción entre los kilómetros y las horas.

540km

9horas

x

6horas

Donde x es el valor de los km.que no se conoce.

(540)(6) = (9)(x) 9x = 3240 9x9

32409 9x = 360 km.

        Respuesta: el automóvil recorre en 6 horas 360 Km.

60

        3. ¿Cuántos obreros se necesitan para construir una casa en 18 días, si 27 obreros la construyen en 24 días?

        Solución: realizamos una proporción entre los días y los obreros.

Donde x es igual a los obreros que se necesitan.

x=

x=36

        Respuesta: se requiere de 36 obreros para construir la casa en 18 días.

       

Ejemplos a realizar.

        En seguida te sugerimos trates de resolver los siguientes problemas, al final se te dará el resultado para que lo compares con el tuyo.

        1. La sombra de un edificio es de 24 m, en el mismo momento otro edificio de 36 metros de altura proyecta una sombra de 28m, calcular la altura del primer edificio.

        Solución: se debe de realizar la proporción correspondiente a los datos mencionados.

36maltura28msombra

x maltura24msombra

Donde x es igual a la altura del edificio.

(x)(28)=(36)(24)

28x = 864

x86428

44

2167

61

x = 30.86

        Respuesta: la sombra que proyecta el edificio de 24m es igual a 30.86m

        2. Se recibieron $975 de la venta de 325 boletos para un party. ¿Cuánto se debe recibir de la venta de 1,235 boletos?

        Solución: se realiza la proporción correspondiente a este ejercicio.

975 Dolares325 boletos

x Dolares

1235boletos

donde x es igual al costo de los boletos.

(x)(325) = (975)(1235)

(x)(325) = 1,204,125

x1, 204, 125

325

x = 3,705       

Respuesta: se deben de recibir $3,705 por los 1,235 boletos.

Practica:

Encontrar la razón:

1. Las edades de dos hermanos son 15 y 25 años, entonces la razón entre la edad del menor y del mayor es:

2. Cual es la razón aritmética entre 52 y en 46, también identifique cual es el antecedente y consecuente:

3. Si tenemos un automóvil que va 75 km/h y un camión que va 50 km/h, encuentre la razón y luego encuentre la razón del camión al automóvil.

4. Cuales son los medios y los extremos de esta expresión:

62

46

1015

5. Las alturas de dos edificios están en la razón   3   :   4. Si el primero mide   20 (m), ¿cuánto mide el segundo?

6. Dos amigos se reparten   30   bolitas en la razón   2   :   3. ¿Cuántas bolitas recibió cada uno?

7. Las asistencias de público a tres cines, en un día, estuvieron en la razón   7   :   6   :   5. Si al primer cine concurrieron   150   espectadores más que al tercero, ¿cuántas personas asistieron al segundo cine?

8. Calcular la sombra que proyecta un edificio de 28 m de alto; si un edificio de 18 m proyecta una sombra de 12 m. Haga el dibujo.

9. ¿Cuántos obreros se necesitan para construir una casa en 18 días, si 27 obreros la construyen en 24 días?

10. La sombra de un edificio es de 24 m, en el mismo momento otro edificio de 36 metros de altura proyecta una sombra de 28m, calcular la altura del primer edificio. Haga el dibujo.

QUINTA PARTE

Por Ciento

¿Qué es Por ciento ó Porcentaje?

Un porcentaje es una forma de expresar una proporción o fracción como una fracción de denominador 100, es decir, como una cantidad de centésimas. Es decir, una expresión como "45%" ("45 por ciento") es lo mismo que la fracción 45/100.

Ejemplos:

"El 45% de la población humana..."

es equivalente a:

"45 de cada 100 personas..."

63

1. Cambio de por ciento a fracción:

Para convertir un por ciento a fracción solo hay que colocar el numero sobre /100, luego eliminar el signo de % y simplificar esa fracción a su mínima expresión.  

Ejemplo:   Cambiar  45% a fracción. ( Hay que escribir 45% en fracción, o sea, 

45100 )

 

45100

55

920 (Hay que simplificar la fracción a su minima expresión)

   

2. Cambio de decimal a porcentaje:

Para lograr esta conversión,  podrías multiplicar el decimal por 100 ó podrías simplemente rodarle el punto dos espacios decimales hacia la derecha y añades el signo de % por ciento.  

Ejemplo: Cambiar de decimal a porcentaje.

4.25 * 100 = 425 %   

(Hay que mover el punto dos posiciones a la derecha)      

3. Cambio de fracción a por ciento:

Para lograr esta conversión hay  que dividir el numerador por el denominador.  Luego el cociente se le hace omo a los decimales se le mueve el punto a la derecha y se le añade el signo de % (dejar dos decimales luego del punto)  

Ejemplo:

14

=.25* 100= 25 % (Hay que mover el punto dos posiciones a la derecha.)  

Usando proporciones

1. ¿Cuál es el 12% de 658?

64

En esta proporción, hay que ver que 12/100 está dado por 12%.  Al otro lado de la proporción, va la proporción y el total porción/total.  No sabemos la porción, así que la x va arriba.  Abajo va el total, que es 658.

porciento100

=porcióntotal

 

12100

=x658   Estamos buscando una porción de 658.

12* 658=100* x

7896=100 x

7896100

=100 x100

” x=78.96

2. ¿El 3% de qué número es 5.4?

Tenemos el 3% dado por 3/100.  Vemos  que 5.4 es una porción de  un número que no sabemos. Así que se está buscando  el total.  Por eso, la x va abajo.  

3100

=5.4x

3* x=5.4* 100

3 x=540”3 x3

=5403

” x=180 

 

3. ¿85 es qué % de 180?  

No tenemos el por ciento; así que la porción es 85 y el total que es 180. x sobre 100, va en la parte izquierda de proporción, arriba.

x100

=85180

x* 180=100* 85

180 x=8500”180 x180

=8500180

” x=47.2222 %

    Ejercicios de Práctica:

1. Cambiar de porciento a fracción.

65

    a.   34%     b.   25 %     c.   10 %     d.   50%  

2.  Cambiar de decimal a porciento.

    a.  4.25     b.  3.45     c. 0.67     d. 0.04  

3. Cambiar de fracción a porciento.

    a.

18

    b.

23

    c.

15

    d.

32

   

4. Hacer una proporción para conseguir el por ciento, porción ó el total.  

    a. ¿Cuál es el 15% de 60?

    b. ¿El 9% de qué número es 20?

    c. ¿Cuál es el 30% de 60.50?

    d. ¿El 12% de qué número es 75?

    e. ¿60 es qué por ciento (%) de 90?

 

 Soluciones

1.

    a. 34 %=

34100

¸22

=1750

66

    b. 25 %=

25100

¸2525

=14

 

    c. 10 %=

10100

¸1010

=110

    d. 50 %=

50100

¸5050

=12

   

2.

    a. 8.25=8.25* 100=825 %

    b. 3.45=3.45* 100=345 %

    c. 0.67=0.67* 100=67 %

    d. 0.04=0.04* 100=4 %

   

3.

    a.  

18

=1¸ 8=.125* 100=12.5 % 

    b.  

23

=2¸ 3=.6667* 100=66.67 %

 

    c.  

15

=1¸ 5=.2* 100=20 % 

    d.  

32

=3¸ 2=1.5* 100=150 % 

 

4.

 a.   Se está buscando el 15% de 60. Quiere decir que 60 es el total, y pasaríamos a buscar la porción.

15100

=x60

67

15* 60=100* x

900=100 x”900100

=100 x100

” x=9

Por lo tanto, 9 es el 15% de 60.    

b.  No sabemos el total, pero la porción es 20, y el por ciento es 9%.  

9100

=20x

9* x=20* 100

9 x=2000”9 x9

=20009

” x=222.22

Por lo tanto el 9% de 222.22 es 20.  

c.  El total es 60.50, y estamos buscando la porción; o sea, el 30% de 60.50.  

30100

=x

60.50

30* 60.50=x* 100

1815=100 x”1815100

=100 x100

” x=18.15 

Por  lo tanto, el 30% de 60.50 es 18.15.  

d.  La porción del total es 75, y el por ciento es 12%. Así que buscaremos  el total.  

12100

=75x

12* x=100* 75

12 x=7500”12 x12

=750012

” x=625

Así que el 12% de 625 es 75.    

68

e.  Sabemos que 60 es la porción de 90, así que buscaremos el por ciento.  

x100

=6090

x* 90=100* 60

90 x=6000”90 x90

=600090

” x=66.67 

Por lo tanto, el 66.67% de 90 es 60.

SEXTA PARTE

Medición

Sistema Ingles

Se basa en el sistema inglés, y es muy familiar para todos en Estados Unidos. Usa el pie como unidad de longitud, la libra como unidad de peso o fuerza, y el segundo como unidad de tiempo. En la actualidad, el SI está siendo sustituido rápidamente por el sistema internacional, en la ciencia y la tecnología y en algunos deportes.

Medidas de longitud

Cambio

12 pulgadas (pulg.) 1 pie

3 pies 1 yarda (yd.)

69

36 pulgadas 1 yarda

5280 pies 1 milla (mi.)

1760 yardas 1 milla

Medidas de peso

Cambio

16 onzas (oz.) 1 libra (lb.)

2000 libras 1 tonelada (ton.)

Medidas de tiempo

Cambio

60 segundos (seg.) 1 minuto (min.)

3600 segundos 1 hora (h.)

60 minutos 1 hora

24 horas 1 día

7 días 1 semana

360 días 1 año laboral

365 días 1 año

366 días 1 año bisiesto

10 años 1 década

10 décadas 1 siglo

1 siglo 100 años

70

Medidas de volumen

Cambio

1728 pulgadas cúbicas (pulg. ) 1 pie cúbico (pie )

27 pies 1 yarda cúbica (yd. )

Medidas de temperatura

Cambio

Grados Celsius o centígrados (Cº)a grados Farenheit (Fº)

Fº  =  * Cº + 32

Grados Farenheit (Fº)a grados Celsius o centígrados (Cº)

Cº = (Fº – 32 )

Sistema Métrico decimal

El primer sistema de unidades bien definido que hubo en el mundo fue el Sistema Métrico Decimal, implantado en 1795 como resultado de la Convención Mundial de Ciencia celebrada en Paris, Francia; este sistema tiene una división decimal y sus unidades fundamentales son: el metro, el kilogramo-peso y el litro.

Medidas de longitud

Cambio

10 milímetros (mm.) 1 centímetro (cm.)

10 cm. 1 decímetro (dm.)

100 cm. 1 metro (m.)

1000 m. 1 kilómetro (km.)

100,000 cm. 1 km.

Medidas de peso

Cambio

71

1000 miligramos (mg.) 1 gramo (g)

1000 g 1 kilogramo (kg.)

Medidas de volumen

Cambio

1,000,000 centímetros cúbicos (cm ) 1 metro cúbico (m )

1 cm 1 mL

1000 cm 1 L

Medidas de temperatura

Cambio

Grados Celsius o centígrados (Cº)a grados Kelvin (Kº)

Kº = Cº + 273.16

Grados Kelvin (Kº)a grados Celsius o centígrados (Cº)

Cº = Kº – 273.16

72

SEPTIMA PARTE

Geometría

Figuras geométricas básicas:

PUNTOS y RECTAS

Para unir dos puntos, podemos utilizar muchos tipos diferentes de líneas. De todas ellas, la más corta será la línea recta. Una recta está formada por infinitos puntos y no tiene principio ni fin.

Si marcamos un punto en una recta, quedará dividida en dos partes llamadas semirrectas. El punto marcado se denomina origen de la semirrecta.

73

Si en una recta marcamos dos puntos, quedará dividida en tres partes: dos semirrectas y un segmento. Los puntos se denominan extremos del segmento.

Dos segmentos son congruentes cuando tienen la misma longitud. Si colocamos uno encima del otro, sus extremos coinciden.

Dos segmentos son consecutivos cuando comparten uno de sus extremos.

RECTAS Y ANGULOS

Dos rectas que no se cruzan en ningún punto del plano reciben el nombre de rectas paralelas. Si se cortan, serán rectas secantes.

Paralelas: Las rectas paralelas no tienen ningún punto en común y son de igual dirección.

Secantes: Las rectas secantes tienen un punto en común y distintas en dirección.

74

Cuando las rectas se cortan, forman 4 regiones llamadas ángulos. Cada ángulo está limitado por dos lados y un vértice. Si las rectas se cortan formando cuatro ángulos iguales, se dice que son rectas perpendiculares.

Angulo: El ángulo es el espacio delimitado por dos semirrectas que se juntan en un punto.

Lados: Los lados son dos semirrectas que comienzan en el mismo punto.

Vértices: El vértice de un ángulo es el punto donde se unen las dos semirrectas que lo forman.

CLASES DE ÁNGULOS

El ángulo que mide 90º se denomina recto. Los ángulos llanos miden 180º.

El que mide menos de 90º es un ángulo agudo. El que mide más de 90º es un ángulo obtuso.

75

CUADRILATEROS

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. Los lados de un cuadrilátero pueden ser: consecutivos u opuestos. De acuerdo a la igualdad o al paralelismo de sus lados, podemos clasificarlos en:

Consecutivos: Dos lados de un cuadrilátero son consecutivos cuando tienen un vértice en común.

Opuestos: Dos lados de un cuadrilátero son opuestos cuando no tienen un vértice en común.

Trapezoide:

A

76

B D

C

El segmento AB al segmento BC al segmento CD al segmento DAEl segmento AD no es paralelo (||) al segmento BC El segmento AB no es paralelo (||) al segmento CD

El trapezoide tiene todos sus lados distintos y ninguno de sus pares de lados opuesto son paralelos.

Cuadrado:

A D

B C

El segmento AB al segmento BC al segmento CD al segmento DA.El ángulo ABC = al ángulo BCD = al ángulo CDA = al ángulo DAB

El cuadrado tiene sus cuatros lados iguales y los cuatro ángulos son rectos. Por lo tanto los cuadrados son rectángulos y rombos a la vez.

Rectángulo:

A D

B C

El segmento AC al segmento BD.El ángulo ABC = al ángulo BCD = al ángulo CDA = al ángulo DAB.

El rectángulo es un paralelogramo que tienen sus cuatro ángulos rectos. Las diagonales tienen la misma longitud.

Paralelogramo:

A D

77

B C

El segmento BC al segmento DA. El segmento AD es paraleloal segmento BC.El segmento AB al segmento CD. El segmento AB es paraleloal segmento DC.

El paralelogramo tiene sus pares de lados paralelos. Lados opuestos tienen, además, la misma longitud.

Rombo:

A

B D

C

El segmento AB al segmento BC = el segmento CD al segmento DA.

El rombo tiene sus cuatro lados iguales. Además por tener sus lados opuestos paralelos es también un paralelogramo. Las diagonales de un rombo son perpendiculares ( | ).

Romboide:

A

B D

C

El segmento AB al segmento BC.El segmento CD al segmento DA.

El romboide tiene dos pares de lados consecutivos iguales.

Trapecio:

A D

78

B C

El segmento AD es paralelo al segmento BC.

El trapecio tiene por lo menos un par de lados opuestos paralelos.

Semirromboide:

A

B

C D

El segmento AB al segmento BC.

El semirromboide tiene un par de ángulos consecutivos iguales.

79

OCTAVA PARTE

Algebra

Sustitución o también conocida como variables en expresiones

Evaluar expresiones con variables

Una variable es una letra que se usa para representar uno o más números. Los números son valores de la variable. Una expresión es una variable. Una expresión algebraica es un conjunto de números, variables, operaciones y símbolos de agrupamiento.

Por ejemplo:

Expresiones algebraicas Descripción verbal

6n 6 veces n

8x 8 veces el cuadrado de x

2x + cd 2 veces x, mas c veces d

La ultima expresión expuesta el la tabla de arriba es una suma. Las partes que se suman para formar la 2x y cd, son los términos de la expresión.

A reemplazar cada variable en una expresión algebraica por un número se le llama sustituir. El número obtenido después de la simplificación es el valor de la expresión. Para evaluar una expresión, usa los siguientes pasos.

80

1. Escribir la expresión algebraica.2. Sustituye las variables por los valores.

3. Simplifica la expresión numérica.

Ejemplo de Evaluar Expresiones:

1. Evalúa 2n + 5 cuando n = 13.

2. Evalúa 3x - 11 cuando x = 6.

Solución:

1. Ecuación evaluada = 2n + 5 → Escribe expresión original. = 2(13) + 5 → Sustituye n por 13.

= 26 + 5 → Multiplica. = 31 → Suma.

2. Ecuación evaluada = 3x - 11 → Escribe expresión original.

= 3(6) - 11 → Sustituye x por 6. = 3(36) - 11 → Haz la Potenciación .

= 118 - 11 → Multiplica. = 107 → Resta.

Practica:

1. Evalúa x + 6, cuando x = -6.

2. Evalúa 4x + 16, cuando x = 0.

3. Evalúa e + (- 6), cuando e = -6.

4. Evalúa y + , cuando y = -1.

5. Evalúa x + 2a, cuando x = a.

6. Evalúa x + 6 - c, cuando x = c - 6.

7. Evalúa k + 61 – k + 60, cuando k = 0.

8. Evalúa x + t - j, cuando x = j - t.

9. Evalúa -x - 6, cuando x = -6.

81

10. Evalúa -x – l, cuando x = -x + l.

Ecuaciones Lineales con una incógnita

IGUALDAD

Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual.

Por ejemplo:  

6 + 4  = 10 x + 6 = 10

Una igualdad que tiene variable (valor desconocido o incógnita)  se llama ecuación.

Por ejemplo:

x + 6 = 10

Este problema ilustra agrupar como términos y ocuparse de la substracción en una ecuación.

Resuelva:

x - 12 + 20 = 37.

(Primero se sumamos todo aquello que se pueda sumar ósea elementos semejantes, en este caso sumaremos el -12 con el +20)

x - 12 + 20 = 37.

(Ahora lo que se hace es despejar la variable. Tenemos dos opciones para hacer:

(a) Podemos hacer un balance en ambos lados con el propósito de despejar y dejar la

desconocida sola. Dejémonos de palabra reherías y procedamos con acciones)

x + 8 = 37

(Escribiremos a ambos lados el opuesto para así poder despejar para x)

x + 8 + (-8) = 37 + (-8)

(Volvemos a sumar los términos semejantes)

x + 0 = 29

(Al hacer la suma notamos que lo que nos queda es cero, por lo tanto hemos logrado despejar

la variable.)

82

Nuestro resultado es

x = 29.

(b) La otra manera de atacar este problema es más sencilla para algunos y para otros no. Pero

es bueno saberlas como quiera. La intención es enviar ese numero que esta al lado de la

variable y enviarlo o trasladarlo por encima de la igualdad pero con su signo opuesto.

Ejemplo en este caso es +8 al pasarlo por encima del signo de igualdad se lo sumariamos

al 37 pero como -8, veamos:

↑→→→→↓

x + 8 = 37 + ___

(Escribiremos el número opuesto para así poder despejar para x)

↑→→→→↓

x + ___ = 37 + -8

(Volvemos a sumar los términos semejantes)

x + 0 = 29

(Al hacer la suma notamos que lo que nos queda es cero, por lo tanto hemos logrado despejar

la variable.)

Nuestro resultado es

x = 29.

Una vez obtenida el valor de la variable desconocida procederemos a comprobar o verificar nuestro resultado, utilizando la ecuación original dada.

x - 12 + 20 = 37

(Volvemos nuevamente a sumar signos semejantes)

x - 12 + 20 = 37

x + 8 = 37

(Pero a diferencia de la búsqueda de la incógnita o variable desconocida, no trasladaremos ese 8 por

83

encima del signo de igualdad, pero si sustituiremos el valor encontrado de la x, la cual fue 29)

29 + 8 = 37

(Volvemos nuevamente a sumar signos semejantes y tenemos que nuestro valor era el adecuado)

37 = 37

Practica:

Resuelva y Verifique cada una de las ecuaciones. Recuerde si la comprobación o verificación no da igual

vuelva a intentarlo por que esta malo.

1. x 8 9

2. x 8 12 9

3. 2x 8 12 8

4. 3x 12 9

5.

1

3x 2 19

6.

x

32 19

7.

x

32 19

2x

3

8.

2

x2 10

9.

2

2x12 112

10. 20 3x 2 19 8xInecuaciones

DESIGUALDAD

84

Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

      - no es igual

 <    - menor que

 >    - mayor que       - menor o igual que       - mayor o igual que  

Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación.

Por ejemplo:  

                x + 3 < 7

DESIGUALDADES:Expresiones en las que aparece un signo de desigualdad.

SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD<     >     ≤     ≥

 

 

Vemos que hay desigualdades en las que solamente aparecen números y otras en las que además aparecen letras.

 

Ejemplos de desigualdades:

3 < 7-2  > -5x ≤ 2x-3 ≥ 5

 

Ejemplos de inecuaciones:

x ≤ 2,x-3 ≥ 3x-5x ≤ 4y-3 > 0

CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES

Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que aparece en ellas.

 

INECUACIÓN TIPO

2x-3 > x-5 1º grado; 1 incóg.

x-3 ≥ y 1º grado; 2 incóg

x2-5x ≤ 4 2º grado; 1 incóg.

xy-3 > 0 1º grado; 2 incóg.

85

ACTIVIDADES PROPUESTAS

1.    Copia en tu cuaderno las siguientes desigualdades, y  di cuáles son inecuaciones indicando su grado y número de incógnitas:a)  2x ≤ -2 b)  -3 ≥ 2   c)   x2y > 1     d)  x2-5y ≤ 0e)  2x-2y ≥ 2(x-y)  f)   4(x-3) -2 < 2(x-1)    g)  x-y2 < 2x-y        h)  3x3+2y ≥ x2

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORESAl igual que en las ecuaciones, también pueden presentársenos inecuaciones con paréntesis y denominadores. Para resolverlas obtendremos inecuaciones equivalentes a la dada pero con expresión cada vez más sencilla, hasta llegar a una de las formas conocidas.  

 

El proceso a seguir es el mismo que para las ecuaciones:

Ejemplo: Resolvamos la inecuación:

1º.- Quitar paréntesis. 1º.- Quitamos paréntesis

2º.- Quitar denominadores

(multiplicando por 12)..

2º.- Quitamos denominadores

3º.- Reducir términos semejantes (hasta

obtener una inecuación de una de las

formas básicas).

3º.- Reducimos términos semejantes

x < 34º.- Resolver la inecuación.

(el infinito aparece para indicar que la será

menor que por lo tanto quiere decir que

nuestro conjunto de números serán todos

aquello menores que el 3 (el tres no se

4º.- Resolvemos la inecuación

86

incluye) hasta el negativo

infinito ).

Ejemplo:

             -2x   -6                Para deshacer la multiplicación de x por -2, se 

             -2x   -6                     divide ambos lados de la inecuación por -2.               -2      -2

                 x  3                

Como el número dividido era negativo, se invierte el signo.

En los siguientes dos ejemplos se incluyen problemas resueltos y una grafica para su interpretación.

87

ACTIVIDADES PROPUESTAS

Resuelve las siguientes inecuaciones de 1er grado con denominadores: 

1. 6x –3 > 5x – 7

2. – (x - 9) ≤–2 (x–3) + 5

3. –2 (x–2) + 5 ≤ 4 (2x – 7) – 3

4.  6 (2x – 1) – 7 ≤ –2 (5x – 2) + 5x

5. 10x – 9 (2x + 1) – 3x > 5 (x – 5)

6. (x – 2) (x + 3) ≤  x (x – 1) – 8

7.

8.

9.

10.

11.

88

12.

Referencias Bibliograficas:

Pasaporte al algebra y a la geometríaAutor: Larson, Boswell, Kanold & Stiff

89

Casa Editora: McDougal Littell

Desigualdades Autora: Dra. Luz M. Rivera http://ponce.inter.edu/cremc/desigualdades.html

Autor: Xosé Eixo Bhttp://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Inecuaciones/inecindex.html

90