curso de algebra 3ro secundaria

Tema 11

PRODUCTOS NOTABLES I

ÁLGEBRA 3ro Secundaria

1. BINOMIO AL CUADRADO:

(Trinomio Cuadrado Perfecto)

� (a + b)2 = a

2 + 2ab + b

2

� (a - b)2 = a

2 - 2ab + b

2

2. IDENTIDADES DE LEGENDRE:

� (a + b)2 + (a - b)

2 = 2(a

2 + b

2)

� (a + b)2 - (a - b)

2 = 4ab

3. BINOMIO SUMA POR BINOMIO

DIFERENCIA

(Diferencia de cuadrados)

� (a + b) (a - b) = a2 - b

2

4. BINOMIO AL CUBO:

� (a + b)3

= a3 + 3a

2b + 3ab

2 + b

3

= a3 + b

3 + 3ab(a + b)

� (a - b)3

= a3 - 3a

2b + 3ab

2 - b

3

= a3 - b

3 - 3ab(a - b)

5. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS:

� (a + b)(a2 - ab + b

2) = a

3 + b

3

� (a - b)(a2 + ab + b

2) = a

3 - b

3

6. IDENTIDAD DE ARGAND:

� (a2 + ab + b

2) (a

2 - ab + b

2) = a

4 + a

2b

2 + b

4

7. IDENTIDADES DE STEVIN:

� (x + a)(x + b) = x2 + (a+b)x + ab

� (x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc

8. IDENTIDADES DE LAGRANGE:

� (ax+by)2 + (ay-bx)

2 = (a

2 + b

2)(x

2 + y

2)

� (ax+by+cz)2 + (ay-bx)

2 + (bz-cy)

2 + (cx-az)

2

= (a2 + b

2 + c

2)(x

2 + y

2 + z

2)

9. TRINOMIO AL CUADRADO:

� (a+b+c)2 = a

2 + b

2 + c

2 + 2(ab+bc+ca)

10. TRINOMIO AL CUBO:

� (a+b+c)3

= a3+b

3+c

3+3(a

2b+a

2c+b

2a+b

2c+c

2a+c

2b)+6abc

= a3 + b

3 + c

3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)

= a3 + b

3 + c

3 + 3(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc

11. OTRAS:

� (a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)

� Si a, b, c 0 ú; a2 + b

2 + c

2 = ab + bc + ca

entonces: a = b = c

� Si: a + b + c = 0, entonces:

a2 + b

2 + c

2 = -2(ab + bc + ca)

a3 + b

3 + c

3 = 3abc

a4 + b

4 + c

4 = 2(a

2b

2 + b

2c

2 + c

2a

2)

L2-X-3S - 21 -

ejercicios

01. (x+1)2 = ..................................................

(x+2)2 = ..................................................

(x+3)2 = ..................................................

(x+4)2 = ..................................................

(x-1)2 = ..................................................

(x-2)2 = ..................................................

(x-3)2 = ..................................................

(x2+y)

2 = ..................................................

(x2-2y)

2 = ..................................................

02. Resolver:

(x+4)2 + (x-4)

2 - 2x

2

A) 32 B) 16 C) 8

D) x2+16 E) x

2-4

03. Resolver:

(2x+1)2 + (2x-1)

2 - 2

A) 8 B) 0 C) 4

D) 4x2

E) 8x2

04. Resolver:

(4x+y)2 + (4x-y)

2 - 2(8x

2+y

2)

A) 4x2+y

2B) 16x

2C) 8x

2

D) 4x2-y

2E) 2y

2

05. Resolver:

(2x2+y

3)2 + (2x

2-y

3)2 - 8x

2

A) y2

B) -y2

C) -4x2

D) -2y2

E) 4y2

06. Resolver:

M = (x+3)2 - (x-3)

2 - 12x + 5

A) 3 B) 5 C) 7

D) 9 E) 11

07. Resolver:

(x2+4)

2 - (x

2-4)

2 - 8x

2

A) 2x2

B) 4x2

C) 16x2

D) 8x2

E) 0

08. Resolver:

A) 2x2

B) 4x2y C) 2x

4y

2

D) 4x4y

2E) 2x

4

09. Efectuar:

(x+4) (x+7) = .............................................

(x+5) (x+8) = .............................................

(x+3) (x+4) = .............................................

(x-3) (x+9) = .............................................

(x+6) (x-5) = .............................................

(x-7) (x-2) = .............................................

(x-8) (x+7) = .............................................

(x+9) (x+5) = .............................................

(x-5) (x-3) = .............................................

(2x+4) (2x-2) = .............................................

10. Resolver:

(x+2)(x+5) - (x+9)(x-2) - 4

A) 0 B) 18 C) 28

D) 10 E) 24

11. Resolver:

(x+1)(x+3) + (x+2)(x-2) - 2x2 + 1

A) 4x B) 2 C) 3x

D) 2x E) -2x

12. Resolver:

(x+4)(x-2) + (x-6)(x+4) - 2x2

A) 16 B) -16 C) 24

D) -32 E) 30

L2-X-3S - 22 -

13. Resolver:

(x+1)(x+2) + (x+2)(x+3) - 2(x+5)(x-2) - 2x

A) 14 B) 28 C) 18

D) -28 E) -18

14. Resolver:

(x+2)(x+5) - (x+9)(x-2) - 27

A) 35 B) -35 C) -53

D) 53 E) 1

15. Resolver:

(x+3)(x+2) - (x+7)(x-2) + (x+9)(x-4) - (x+4)(x+)

A) -28 B) -24 C) 54

D) -14 E) N. A.

TAREA

16. Si: a2 + b

2 = 6

ab = 2

Hallar: R = a + b ; (R > 0)

A) 10 B) C)

D) 5 E)

17. Si: a + b = 5

ab = 3

Hallar: I = a - b ; (I > 0)

A) 1 B) C) 7

D) E)

18. Simplificar:

C = (x2-4x-1)

2 - (x

2-4x-2)

2 - 2(x-2)

2

A) 0 B) -3 C) 10

D) -9 E) -11

19. Si: a + b + c = 0

Hallar:

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

20. Reducir:

A = [(x+2)2 - (x+1)

2] [(x-2)

2 - (x-1)

2]

A) 9-4x2

B) 9-6x2

C) 9-2x2

D) 9-15x2

E) 9-x2

L2-X-3S - 23 -

Tema 12

PRODUCTOS NOTABLES II

01. Resolver:

(x+7)(x-7) = ..................................................

(x+5)(x-5) = ..................................................

(x-6)(x+6) = ..................................................

(x+8)(x-8) = ..................................................

(X-9)(x+9) = ..................................................

(5x+3)(5x-3) = ..............................................

(2x+3)(2x-3) = ..............................................

(7x+5)(7x-5) = ................................................

(4x-9)(4x+9) = ..............................................

(3x-5)(3x+5) = ..............................................

02. Efectuar:

(x+1)3 = .......................................................

(x+2)3 = .......................................................

(x+4)3 = .......................................................

(2x+1)3 = .......................................................

(x2+5)

3 = ........................................................

(x-1)3 = ........................................................

(x-3)3 = ........................................................

(x-6)3 = ........................................................

(3x-2)3 = .......................................................

(x3+1)

3 = ........................................................

03. Efectuar:

(x+3)(x2+9-3x) = ..........................................

(x+4)(x2-4x+16) = ........................................

(x+5)(x2-5x+25) = ........................................

(2x+1)(4x2-2x+1) = .......................................

x3 + 64 = ......................................................

x3 + 8 = .......................................................

(x-1)(x2+x+1) = ............................................

(x-7)(x2+7x+49) = ........................................

(x-6)(x2+6x+36) = ........................................

x3 - 125 = .......................................................

x3 - 8y

3 = .......................................................

04. ¿Cuántas de las siguientes expresiones son

verdaderas?

� (x+1)2 = x

2 + 1

� (x+1)(x-1) = x2 - 2x + 1

� (x+3)(x2+9-3x) = x

3 + 27

� (x+5)(x2+5x+25) = x

3 + 125

� (x+8)(x2-8x+64) = x

3 - 8

3

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

05. Resolver:

(x+3)(x-3) + (x+1)3 - x

3 - x(4x+1) + 9 - 2x

A) 10 B) 9 C) 8

D) 1 E) 7

06. Resolver:

(x+1)3 - (x-1)

3 - 3x(2x)

A) 1 B) 2 C) 6x2

D) 12x2+2 E) 6x

2+2

07. Efectuar:

(x+y+5)(x-5+y) + 8 - (x2+2xy+y

2)

A) 13 B) 3 C) 17

D) -17 E) -3

L2-X-3S - 24 -

08. Reducir:

(x+a)(x2-ax+a

2)+(x+2y)(x

2-2xy+4y

2)-(2x

3+8y

3)

A) a3

B) 2a3

C) 0

D) 16y3

E) 2a3-16y

3

09. Reducir:

si: x + y � 0

A) x B) y C) xy

D) x-y E) x+2y

10. Si:

obtener:

A) 9 B) 1 C) 5

D) 7 E) 6

11. Efectuar:

C = (x+2)3 - 6(x+2)x - 8

A) 0 B) x3

C) 6x

D) x3-8 E) -8

12. Si:

obtener:

A) 16 B) 18 C) 15

D) 27 E) 32

13. Si: x3 + y

3 = 28

además: xy(x+y) = 12

Calcular: A = x + y

A) 2 B) 3 C) 4

D) -2 E) -3

TAREA

14. Si: x + y = 5

xy = 3

Hallar: R = x3 + y

3

A) 70 B) 80 C) 90

D) 100 E) 110

15. Sabiendo que:

x2 + y

2 = 30

calcular: D = (x - y)2

A) 30 B) 36 C) 20

D) 110 E) 112

16. Efectuar:

R = (x+1)3 - (x-1)

3 - 2

A) 6x B) 6x2

C) 3x

D) 6 E) 6+x

17. Si: (a+b+c+d)2 = 4(b+a)(c+d)

encontrar el valor de:

A) 4 B) a+b+c+d C) 7

D) abcd E) 3

18. Si:

calcular:

C = x3 + 9x + 7

A) 3 B) 5 C) 7

D) 9 E) 11

L2-X-3S - 25 -

Tema 13

DIVISIÓN ALGEBRAICA I(Método de Horner)

DIVISIÓN NO ALGEBRAICA DE POLINOMIOS

Esta división exige condiciones especiales:

a) Aplicamos el método de Horner con el ordenamiento de los polinomios ascendentemente. b) El cociente obtenido posee infinitos términos. c) El resto se hace tender a cero. d) Dicha división es válida para ciertos intervalos de la variable.

Ejemplos: Dividir 1 entre 1 - x

RESOLUCIÓN: Por Horner

1 1 0 0 0 0 . . . . . . . . . . . .

1 � 1 1 1 1 . . . . . . . . . . . .

1 1 1 1 1

! = 1 + x + x2 + x3 + . . . ;

* x * < 1

Es la operación que tiene como objetivo calcular una expresión llamada cociente (q) y otra llamada residuo (R), conociendootras denominadas dividendo (D) y divisor (d).

ESQUEMA CLÁSICO

D d

R q

Se conoce : D y d

Por conocer : q y R

Se cumple: D = dq + R

PROPIEDADES

1. El grado del cociente es igual al grado del dividendomenos el grado del divisor.

q0 = D0 & d0

2. El grado máximo del resto es el grado del divisordisminuido en uno.

R = d0 & 1

R ! Grado máximo del resto.

3. La propiedad fundamental de la división en el álgebra

forma una identidad.

D = dq + R

4. Si la división es exacta, el resto es un polinomioidénticamente nulo. Ejemplo:

80

ÂÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÄÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÃD ! x8 + x4 + 2x & 3 q0 = 8 & 5 = 3

d ! x2 + x5 & 7 R = 5 & 1 = 4ÆÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÇ

50

L2-X-3S - 26 -

DIVISIÓN ENTRE POLINOMIOS

Para todos los métodos es necesario que el dividendo y el divisor estén ordenados y completos ( o al menos tenga esa forma).

MÉTODO DE HORNER

Para este método sólo se utilizan coeficientes, empleando el siguiente esquema:

con sumismo signo

d D I V I D E N D O

con signo cambiado

ivisor

C O C I E N T E R E S T O

OBSERVACIÓN:

# Los lugares en que se indica Dividendo y divisor se colocan sólo coeficientes. En el caso del divisor la letra “d” simboliza alprimer coeficiente del divisor, las demás letras representan a los demás coeficientes, que se colocan con signo cambiado. Igualmente del cociente y el resto sólo se obtienen coeficientes.

# La línea que separa el cociente del resto se traza de acuerdo al grado del divisor. Es decir, se cuenta de derecha a izquierdatantos lugares como lo indica el número que representa el grado del divisor.

Ejemplo: Dividir:

SOLUCIÓN:

Aplicando Horner:

2 10 - 4 8 6 -5 11

2-4

10 - 206 - 12

- 6 12- 12 24

5 3 - 3 - 6 - 5 35

ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÇ Coef. del cociente Coef. del resto

La variable se agrega de acuerdo al grado del cociente y del resto.

Se tiene:

q0 = 3; R = 1

q = 5x3 + 3x2 - 3x - 6

R = - 5x + 35

L2-X-3S - 27 -

ejercicios

01. Hallar el cociente de la siguiente división:

A) x - 2 B) x + 2 C) x - 1D) 2x - 3 E) 2x + 3

02. Al efectuar la siguiente división:

Indicar el cociente.

A) x2 + x - 1 B) x2 - 1 C) 2x2 + x - 1D) x + 11 E) 2x2 + 2x - 1

03. Hallar el residuo de la siguiente división:

A) x2 + 3x + 1 B) x2 + 3x C) x2 - 3xD) x2 + 5x E) x2 - 5x + 1

04. Al dividir:

Señalar el cociente:

A) 3x2 + 2x2 + x + 2 B) x3 + 2x2 + x + 2C) x3 + x2 + x + 1 D) x3 - 2x2 + 3x - 2E) 8x2 + x + 3

Del problema anterior.

05. Señalar el residuo:

A) x2 + 2x + 2 B) 3x3 + 2x2 + x + 2C) 8x2 + x + 3 D) x2 - x + 1E) 2

06. El coeficiente del término lineal del cociente es:

A) 1 B) 2 C) 3D) 0 E) 4

07. La suma de coeficientes del cociente:

A) 4 B) 7 C) 6D) 5 E) 8

08. Hallar el cociente de la siguiente división:

A) y + 5 B) y2 + 3 C) y + 3D) -10y + 14 E) 10y + 14

09. Hallar el residuo de la división:

A) z2 + 1 B) -2 C) 4zD) -6 E) 4z - 6

10. Hallar “A + B”, si la siguiente división:

es exacta.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

11. Calcular “m + n + p” si la división:

es exacta.

A) 22 B) 18 C) 17D) 25 E) 28

12. En la siguiente división exacta:

Calcular “a + b”.

A) 2 B) 13 C) 9D) 8 E) 19

13. Determinar “a + b”; si la división:

Deja como residuo: 5x + 7

A) 28 B) 24 C) 20D) 16 E) 12

14. En la siguiente división:

Deja como resto: 2x + 30Hallar: “ A . B”

A) 1 B) 20 C) 1/2D) 1/3 E) 30

15. Hallar el residuo luego de dividir:

A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) N.A.

L2-X-3S - 28 -

16. Determinar “m + n”, para que la división:

sea exacta.

A) 17 B) 18 C) 19D) 20 E) N.A.

17. Determinar “p - q”, si la división:

es exacta.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) N.A.

18. Calcule “A + B”, si la división:

Deja como resto: 4x + 5.

A) 45 B) 46 C) 47D) 48 E) N.A.

19. Calcular “A + B - C”, si la división:

Deja como resto: 5x2 + 11x + 7

A) 8 B) 9 C) 10D) 7 E) N.A.

20. Si al dividir:

Deja un resto: -25x + 21, hallar: “a - b”

A) -2 B) 0 C) 2D) 1 E) -1

Tarea

21. Dividir, hallar el cociente.

A) x B) x + 1 C) x - 1D) 2x - 3 E) x + 3

22. Hallar el resto en:

A) 2x2 + 5x- B) x - 1 C) 1D) 0 E) 2


A) x + 1 B) x - 1 C) 1D) x + 3 E) x - 2

24. Hallar “m + n”, si el residuo de dividir:

es: 5x - 10

A) 11 B) 5 C) 1D) 7 E) 4

25. Sea: Q(x) = ax2 + bx + c; el cociente de la división de: 2x4 + 3x3 - 8x2 + 1 - 4x entre x2 - (x + 1)

Calcular: “ (a - b + c)2 ”

A) -4 B) 16 C) 4D) 12 E) 25

L2-X-3S - 29 -

Tema 14

DIVISIÓN ALGEBRAICA II(Método de Ruffini - Teorema del resto)

MÉTODO DE RUFFINI

Se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma: ax + b

Al igual que en Horner, utilizaremos sólo coeficientes, cumpliendo el siguiente esquema:

N D I V I D E N D O

C O C I E N T E R

Valor de “x” al igualar el divisor a cero.

Ejemplo: Dividir:

SOLUCIÓN: Por Ruffini:

x - 2 = 02

3 - 26

78

- 1130

538

186 Resto

3 4 15 19 43 87

ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ Coeficientes del cociente

Como: q0 = 5 - 1 = 4q = 3x2 + 4x3 + 15x2 + 19x + 43R = 87

OBSERVACIÓN

Si en el divisor: ax + b, a � 1, luego de dividir por Ruffini, los coeficientes del cociente deben dividirse entre “a” para obtenerel cociente correcto.

Ejemplo: Dividir:

SOLUCIÓN: Por Ruffini:

3x - 2 = 01/3

3

�51

- 172

8- 5

71

÷ 3 3 6 - 15 3 8

�1

�2

�- 5

�1

ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ Coeficientes del cociente

Como: q0 = 4 - 1q = x3 + 2x2 - 5x + 1R = 8

L2-X-3S - 30 -

TEOREMA DEL RESTO

Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado dela forma: ax + b y en algunos casos especiales.

REGLA

Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero, se calcular el valor de la variable (siempre que el divisor sea de 1er grado)y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el resto.

Ejemplo: Calcular el resto en:

SOLUCIÓN:

T. Resto: x - 2 = 0 ! x = 2=> R = 25 + 3(2) - 5 ! R = 33

ejercicios

01. Señalar el residuo en la siguiente división:

x3 + 3x

2 - 7x - 5 entre x - 1

A) -5 B) -7 C) 8

D) -8 E) N.A.

02. Efectuar la división:

Dar el residuo.

A) 9 B) -9 C) 8

D) 7 E) N.A.

03. Dada la división:

Hallar el residuo.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) N.A.

04. Hallar el residuo de:

A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) N.A.

05. Hallar el residuo en la siguiente división:

A) 6 B) -6 C) -5

D) -4 E) N.A.

06. En el siguiente esquema de Ruffini:

?

4 ?

-4

6

?

?

-15

8

?

? ? ? ? 16

Hallar la suma del coeficiente del cociente:

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) N.A.

07. Si los coeficientes del cociente entero de dividir:

Son números consecutivos y el residuo es -8; calcular

“a + b + c”

A) 16 B) 18 C) 20

D) 22 E) N.A.

08. Hallar el resto en la siguiente división:

A) 5 B) -5 C) 0

D) 1 E) -1

09. Hallar el resto y el coeficiente mayor del cociente, en

la división:

A) 35 y 3 B) 32 y 16 C) 30 y 10

D) 31 y 5 E) 0 y -1

10. Calcular el resto en:

A) 0 B) 2 C) 32

D) 16 E) 1

L2-X-3S - 31 -

11. Hallar la suma de coeficientes en la siguiente división:

A) -8 B) -7 C) 8D) 6 E) 0

12. Calcular el resto en:

“n” es impar.

A) -1 B) 1 C) -2D) 2 E) 0

13. Hallar “a” en la división exacta:

A) 4 B) -4 C) 3D) -3 E) -2


A) 1 B) 3 C) 2D) -1 E) 0

15. Al dividir obtengo como resto el menor número primo:

Hallar “a”

A) - B) 1 C) -1

D) E) -

16. En la división:

El resto de dos, hallar “a”.

A) 3 B) 2 C) 1D) -2 E) -1

17. Hallar el coeficiente lineal del cociente, en la división:

A) 50 B) -60 C) -66D) 66 E) -50

18. Hallar el coeficiente cuadrático del cociente, en:

A) 3 B) 1 C) 0D) 2 E) -2

19. Hallar el resto, en:

A) 1 B) 2 C) 0D) -1 E) -2

20. Hallar el residuo, en:

A) 5 B) 4 C) 10D) 6 E) 8

Tarea

21. Dividir:

Hallar el residuo:

A) 12 B) 24 C) 60D) 28 E) -16

22. Dividir:

Hallar el testo.

A) 26 B) 223 C) 663D) 441 E) N.A.

23. Hallar el término independiente del cociente de dividir:

A) 16 B) 24 C) 58D) 169 E) N.A.

24. Dividir:

Dar el término independiente del cociente.

A) -3 B) -1 C) 0D) 9 E) N.A.


A) 1 B) -4 C) -2D) 3 E) N.A.

L2-X-3S - 32 -

Tema 15

FACTORIZACIÓN I

Al expresar 24 = 3 . 8 se ha factorizado 24 en producto de enteros; siendo 3 y 8 factores enteros de 24. A su vez 24 = 3 . 23; 3 y

2 son también factores de 24 y se llaman factores primos.

Al expresar un polinomio como el producto de otros polinomios pertenecientes a un conjunto dado, se ha efectuado una factorizaciónde polinomios.

No todos los polinomios se pueden factorizar. De acuerdo a las características que presentan los polinomios se pude aplicar tal cualmétodo, por ejemplo:

! Factor común

! Aspa simple

! Aspa doble

! Aspa doble especial

! Divisores binómicos

Entre otros casos particulares.

Comienza factorizando cada uno de los polinomios:

•

•

•

• 121m2 - 169n

2

• 256p8 - q

8

• 4x2 - 20xy + 9y

2

• 6a2 - 7ab - 5b

2

• 3x2 - 10xy + 3y

2

• x4 - 22x

2 - 75

para saber cómo estamos comenzando en este maravilloso tema que es la factorización.

DEFINICIÓN

Es un proceso mediante el cual, un polinomio se expresa como la multiplicación indicada de factores primos. Para llevar a cabo esteproceso se usarán diversos criterios, como:

- El factor común - Agrupación de términos - Evaluación - Identidades - Aspas

FACTOR PRIMO

Es aquel que no se puede factorizar más; es decir son aquellos polinomios de grado positivo que no pueden expresar como unamultiplicación de factores de grado positivo. Así por ejemplo:

• F(x) = x2 - 4 ; no es primo, porque se puede expresar como: (x - 2) (x + 2)

• F(x) = x - 2; si es primo; porque no se puede factorizar.

• G(x) = 3x - 6; si es primo; porque al obtener 3(x - 2), percátese que 3 es de grado cero.

Se dice que la factorización se realiza en Z cundo los factores primos obtenido presentan únicamente coeficientes enteros; mientrasno se indique alguna aclaración la factorización sólo se realizará en Z.

L2-X-3S - 33 -

Ejemplos:

01. Factorizar: F(x) = x2 - 25

Reconociendo una diferencia de cuadrados obtenemos: F(x) = (x - 5) (x + 5)

02. Factorizar: G(x) = x2 - 3

Diremos: “no se puede factorizar, es primo”; en cambio si el enunciado fuera: Factorizar en R, entonces:

G(x) =

Nótese que la variable no está bajo el signo radical; ambos factores son de primer grado y esto es correcto.

OBSERVACIONES

1. Todo polinomio de primer grado es primo. Por ejemplo: 4x - 3; x + y + 1

2. Para reconocer si un polinomio es primo en Z, no es suficiente con agotar los recursos necesario; a veces se encuentran en unartificio de “sumas y restas”.

Por ejemplo: F(x) = x4 + 4

Donde aparentemente no se puede factorizar; cambia si “sumamos y restamos 4x2”

Así: F(x) = x4 + 4x

2 + 4x - 4x

2

ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ T.C.P.

= (x2 + 2)

2 - (2x)

2

ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ Diferencia de cuadrados

= (x2 + 2 + 2x) (x

2 + 2 - 2x)

CRITERIOS DIVERSOS

1. FACTOR COMÚN Se denomina así al factor repetido en varios términos; para lo cual se eligen las bases comunes afectadas al menor exponente. Así: 4x

3y

4 - 5x

2y

5 + 7x

4y

7

Se observa: (x2 y

4) como factor común. Luego factorizando tenemos: x

2y

4 (4x - 5y + 7x

2y

3)

2. IDENTIDADES

Es la aplicación inmediata de algunos productos notables como:

a) DIFERENCIA DE CUADRADOS

A2 - B

2 = (A + B) (A - B)

Así, al factorizar: 9x2 - 16

Reconocemos: (3x)2 - (4)

2

Luego: 9x2 - 16 = (3x - 4) (3x + 4)

b) DIFERENCIA DE CUBOS

A3 - B

3 = (A - B) (A

2 + AB + B

2)

Así, al factorizar: 27n3 - 8

Reconocemos: (3n)3 - (2)

3

Luego: 27n2 - 8 = (3n - 2) (9n

2 + 6n + 4)

c) SUMA DE CUBOS

A3 + B

3 = (A + B) (A

2 - AB + B

2)

Así, al factorizar: 8n6 + 1

Reconocemos: (2n2)3 + (1)

3

Luego: 8n6 + 1 = (2n

2 + 1) (4n

4 - 2n

2 + 1)

L2-X-3S - 34 -

d) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

A2 + 2AB + B

2 = (A + B)

2

A2 - 2AB + B

2 = (B - A)

2 = (A - B)

2

Así, al factorizar: 9x4 + 6x

2 + 1

Nótese: (3x2)2 + 2(3x

2) (1) + (1)

2

Luego: 9x

4 + 6x

2 + 1 = (3x

2 + 1)

2

Factorizar: 25y4 - 20y

2 + 4

Nótese: (5y2)2 - 2(5y

2)(2) + (2)

2

Luego: 24y4 - 20y

2 + 4 = (5y

2 - 2)

2

3. AGRUPACIÓN

Consiste en seleccionar convenientemente los términos de tal manera que se genere algún factor común o alguna identidad.

Así, al factorizar: a10

- a2b

8 + a

8 b

2 - b

10

Nos percatamos que no hay factor repetido en todos los términos; pero si agrupamos de dos en dos obtenemos: a

2(a

8 - b

8) + b

2 (a

8 - b

8)

Factor repetido: a8 - b

8

Luego: (a8 - b

8) (a

2 + b

2)

Continuamos: (a4 + b

4) (a

2 + b

2) (a + b) (a - b) (a

2 + b

2)

Se usó repetidas veces “diferencias de cuadrados”. (a

4 + b

4) (a

2 + b

2)2 (a + b) (a - b)

ejercicios

01. Factorizar los siguientes polinomios:

A) mx + nx

Rpta.: ________________

B) ay + by

Rpta.: ________________

C) cm - dm

Rpta.: ________________

D) x2a + x

2b

Rpta.: ________________

E) m3y + m

3t

Rpta.: ________________

F) a3x - a

2y

Rpta.: ________________

G) a2x + ay

Rpta.: ________________

H) a3 + a

2 + a

Rpta.: ________________

I) a2b + b

Rpta.: ________________

J) a2 - y - zy

Rpta.: ________________

02. Factorizar los siguientes polinomios:

A) (x - y) a + (x - y)b

Rpta.: ________________

B) (a + b)m2 + (a + b)n

Rpta.: ________________

C) (x + y) a3 + (x + y)b

2

Rpta.: ________________

D) (a+ 2b)x4 + (2b + a)y

3

Rpta.: ________________

E) (m2 + n

2)x

2 + (m

2 + n

2)y

2

Rpta.: ________________

F) (a + b + c)x + (a + b + c)y

Rpta.: ________________

G) (m3 + n

4)a

4 - (m

3 + n

4)b

3

Rpta.: ________________

H) (x + y)3 - (x + y)

4z

Rpta.: ________________

L2-X-3S - 35 -

I) (m2 + n) (x - y) - (m

2 + n) (2x + 5y)

Rpta.: ________________

J) (x4 - a)

3y

2 - (x

4 - a) (y - 1)

Rpta.: ________________

03. Factorizar:

A) ax + bx + x2 + ab

Rpta.: ________________

B) m2 - mn - mp + np

Rpta.: ________________

C) ax + bx + cx + ay + by + cy

Rpta.: ________________

D) x2 y

2 + x

3 y

3 + x

5 + y

5

Rpta.: ________________

E) x7 - x

4y

4 - x

3y

3 + y

7

Rpta.: ________________

04. Factorizar:

A) 1 - x2

Rpta.: ________________

B) 16 - y2

Rpta.: ________________

C) a4 - y

2

Rpta.: ________________

D) 4x2 - b

2

Rpta.: ________________

E) -a2 + b

2

Rpta.: ________________

F) 25x2 - 9y

2

Rpta.: ________________

G) (x + 3)2 - 16

Rpta.: ________________

H) (2a + 1)2 - 25

Rpta.: ________________

05. Señalar el número de factores primos de cada

factorización:

I. P(x) = (x - 3) (x - 2) (x - 1) (x - 5)

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

II. Q(x) = (x + 1)2 (x + 2)

3 (x + 3)

A) 1 B) 2 C) 3

D) 6 E) 5

III. M(x) = x(x + 1) (x - 2)5 (x - 7)

9 (x - 1)

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

IV. F(x) = 2x3 (x + 1) (x

2 - 1)

4 (x + 1)

5

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

Responde de acuerdo a la pregunta,

06. Al factorizar: xc4x

4y - ab

4c

4y

¿Cuántos factores primos se obtienen?

A) 5 B) 6 C) 4

D) 7 E) 3

L2-X-3S - 36 -

07. Después de factorizar: x4 - 1

Señalar el número de factores primos.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

08. Hallar el número de factores primos de:

ax2 + bx

2 - ay

2 - by

2

A) 1 B) 5 C) 3

D) 4 E) 2

09. ¿Cuántos factores primos se obtienen al factorizar?

a4m + a

4n - b

4m - b

4n

A) 2 B) 3 C) 1

D) 4 E) 0

10. Después de factorizar:

a2x

2 + b

2y

2 - b

2x

2 - a

2y

2

Indicar un factor primo.

A) x + y B) x + b C) y + b

D) x + a E) x - a

11. Factorizar:

(4x + 3y)2 - (x - y)

2

e indicar un factor.

A) 5x + 4y B) 3x + 2y C) 2x + 5y

D) 3x + 4y E) 5x + 3

12. Factorizar:

x3y

2 + y

3z

2 - x

3z

2 - y

5

Señalar un factor primo.

A) x + y B) y + z C) y + 1

D) x2 - xz + y

2E) x

2 - xy + y

2

13. Factorizar:

a2(b - c) + b

2(c - a) + c

2(a - b)

A) (b - c) (a - b) (a - c)

B) (a + b) (a + c) (b + c)

C) (a + b) (a - b) (a + c)

D) (a + b + c) (ab + ac + bc)

E) N.A.

Tarea

14. Dado el siguiente polinomio.

P(x) = (x + 3) (x - 2) (x2 + 1)

¿Cuántos factores primos tiene?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) N.A.

15. Si: P(x) = (x- 1)2 (x

2 - 2) (x

2 + x + 1)

3

Dar el número de factores primos.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 5 E) 6

16. Del problema anterior, ¿cuántos factores cuadráticos

tiene?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) N.A.

17. Factorizar:

P(x, y) = x3 (x + y) + 5xy (x + y)

Dar un factor primo.

A) x - y B) x2 - 5y C) 2x + y

D) x + y E) N.A.

18. Factorizar:

R(x) = x3 + x

2 - x - 1

Hallar un factor primo.

A) x + 1 B) x2 + 1 C) 2x - 1

D) x2 - 1 E) N.A

L2-X-3S - 37 -

L2-X-3S - 38 -

Tema 16

REPASO

01. Indicar la suma de coeficientes del cociente de dividir:

(6x4 + 7x

3 - 3x

2 + 6) ÷ (3x

2 + 2x - 1)

A) 2 B) 4 C) 8

D) 0 E) -2

02. Sean Q(x) y R(x) el cociente y el residuo respectivamente

de dividir:

(6x5 + x

4 + 5x

3 + 3x

2 - 2x - 5) entre

(3x3 + 2x

2 - x - 3), hallar “Q(x) - R(x)”

A) x + 1 B) 3x - 1 C) -3x - 1

D) x + 7 E) x - 1

03. Indicar el residuo de dividir:

8x5 + 5x

2 + 6x + 5 entre 4x

2 - 2x + 1

A) 2x + 1 B) 2x - 1 C) 8x + 4

D) 4x + 1 E) 3x + 2

04. Calcular “A + B” en la siguiente división exacta:

A) 23 B) 64 C) 25

D) 18 E) 32

05. Calcular “S = mn2"

Si el polinomio: (6x4 + 5x

3 + 2mx - 3n) es divisible por

(2x2 + x + 3)

A) -25 B) 25 C) 36

D) 18 E) 32

06. Dividir y hallar “p + q”, si la división:

es exacta.

A) 1 B) -2 C) 2

D) -1 E) 8

07. Dividir y hallar “m + n”, si la división:

Deja por resto: -27z - 11

A) 3 B) -3 C) 0

D) 4 E) 1

08. Determinar la suma de coeficientes del cociente en la

siguiente división:

A) 5 B) 4 C) 3

D) 2 E) 1

09. Determinar el término independiente del cociente de

dividir:

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) N.A.

10. Si “Q(x)” es el cociente obtenido, al efectuar:

Calcular “Q(1)”

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

11. Al dividir:

Se obtuvo como resto: 3m - 4. Calcular”m”.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

12. Determinar el valor numérico de:

P(x) =x5 - 2 x

4 + ( - 3)x

3 - ( - 1)x

2 - 2 x + 2

para: x = +

A) 0 B) -1 C) 1

D) 2 E) -2

13. Hallar la suma de coeficientes del cociente de la división,

(n 0 R):

Si el resto es 64.

A) 50 B) 53 C) 51

D) 52 E) 60

L2-X-3S - 39 -

14. Calcular “ab”, si la división:

resulta exacta.

A) 6 B) 5 C) 30D) 40 E) 10


A) 20 B) 16 C) 21D) 22 E) 28


A) 2 B) 4 C) 3D) 8 E) 6


A) 7 B) -2 C) 2D) 4 E) 16


A) 8x B) 8x + 8 C) 8x - 6D) 8x + 11 E) 16


A) 1 B) 0 C) 8D) 7 E) 16


A) 1 B) 2 C) 0D) 16 E) 18

21. Factorizar: F(x, y) = x

7y

3 - 2x

6y

4 + x

5y

5


A) x + y B) x - y C) x - 2yD) x + 2y E) x5

22. Factorizar: P(x) = x

2 (x + 7) + 6x (x + 7) + 9x + 63

Indicando el factor primo que más se repite.

A) x + 7 B) x + 4 C) x + 3D) x - 1 E) x + 1

23. Factorizar: R(X) = x3 (x + m) + 2x

2 (x + m)

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

24. Factorizar: F(a , b) = a

6 - b

6

Indicando el número de factores primos.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

25. Factorizar: P(x) = x

14 - x

2 - 6x - 9

Indicando la suma de factores primos.

A) 2x7 + 2x - 6 B) 2x

7C) 2x + 6

D) x7 + x + 3 E) N.A.

Tarea26. Factorizar:

P(x, y) = 25x4 - 109x

2y

2 + 36y

4

indicando el número de factores primos.

A) 1 B) 2 C) 4D) 3 E) 5

27. Factorizar: P(x, y) = (x + 1)4 - 5(x + 1)

2 + 4

A) x B) x + 7 C) x + 8D) x +9 E) x +12

28. Dar la suma de factores primos de: (2x

2 + 7x) (x + 5) + (6x + 15) (x + 5)

A) 4x + 13 B) 3x + 8 C) 4x + 8D) 3x + 13 E) 5x + 4

29. Factorizar: Q(x) = (x

2 + 5)

2 + 13x(x

2 + 5) + 42x

2

Indique la suma de coeficientes de un factor primo.

A) 5 B) 6 C) 2D) 4 E) Hay 2 respuestas.

30. Factorizar: R(x) = (x + 1) (x + 3) (x - 3) (x - 5) + 36

Indique el número de factores primos:

A) 3 B) 4 C) 2D) 1 E) 5

L2-X-3S - 40 -

Tema 17

FACTORIZACIÓN II

ASPA SIMPLE

Se utiliza para factorizar particularmente polinomios de la forma: ax2n

+ bxn + c; o que se amolden a dicha forma.

PROCESO: 1. Descomponer los extremos. 2. Verificar que la suma de productos en aspa sea igual al término central.

Así, al factorizar; x2 - 7x + 12

Descomponemos: x2 - 7x + 12

x � -3

x -4

Verificando: -3x - 4x = -7x Luego, los factores se forman horizontalmente: (x - 3) (x - 4)

CRITERIO DE EVALUAR

Se usa básicamente para factorizar polinomios de grado mayores o iguales a 3.

PROCESO: Consiste en evaluar usando el esquema de Ruffini, así dado un polinomio F(x).

Coeficientes del polinomio F(x)

ÂÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÄÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÃ

x = a

ÆÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÈÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÇCociente

0 ! división exacta

Luego: F(x) = (x - a)q(x) Al valor “a” se denomina cero del polinomio.

Ejemplo: x3 - x

2 - 4; si evaluamos en x = 2, tenemos:

x = 2

1 -1

2

0

2

-4

4

1 1 2 0

Luego: x3 - x

2 - 4; se pude expresar como: (x - 2) (x

2 + x + 2). Nótese que está factorizado. Importante es saber en qué valores podemos

usar el esquema; entonces veamos.

1. Si el primer coeficiente es la unidad (polinomio mónico), se trabaja con los divisores del término independiente.

Así, al factorizar: x3 + 3x

2 - x - 6; notamos que es mónico, luego plateamos: ± (1; 2; 3; 6).

x = -2

1 3

-2

-1

-2

-6

6

1 1 -3 0 ! División exacta

Luego: (x + 2) (x2 + x - 3)

L2-X-3S - 41 -

2. Si no es mónico el polinomio, usaremos opcionalmente.

±

Así, al factorizar. 2x3 + x

2 + x - 1

Planteamos, luego: ±

Al usar el esquema, una vez agotados los valores enteros: (1; -1) no genera división exacta, entonces probamos:

x = 1/2

2 1

1

1

1

-1

1

2 2 2 0 ! ¡Importante! división exacta

Finalmente: (2x2 + 2x + 2) = 2(x

2 + x + 1) = (2x - 1) (x

2 + x + 1)

ejercicios

01. Factorizar por aspa simple:

• x2 + 7x + 12

Rpta.: ________________

• x2 - 9x + 8

Rpta.: ________________

• x2 - 14x - 32

Rpta.: ________________

• x2 + 4x - 21

Rpta.: ________________

• 21 + m2 - 10m

Rpta.: ________________

• y2 - 27 - 6y

Rpta.: ________________

• n4 - n

2 - 6

Rpta.: ________________

• p6 - 6p

3 + 5

Rpta.: ________________

• z10

- z5 - 20

Rpta.: ________________

• 6x2 - 7x + 2

Rpta.: ________________

• 14a2 + 29a - 15

Rpta.: ________________

• 3x7 + 10x

14 - 1

Rpta.: ________________

• 3a2 + 5ab - 2b

2

Rpta.: ________________

• 15x4 + x

2 y - 6y

2

Rpta.: ________________

• 11x2y + 10x

4 - 6y

2

Rpta.: ________________

• 21m8 - 17m

4n + 2n

2

Rpta.: ________________

• 54a7b

2 + 7a

14 - 16b

4

Rpta.: ________________

• 6x2y

4 + 7xy

2z - 5z

2

Rpta.: ________________

• 15x2a

+ 9xa - 108

Rpta.: ________________

• 40x2a+ 2

- xa + 1

- 15

Rpta.: ________________

02. Factorizar por aspa doble.

• x2 + 2xy + y

2 + 3x + 3y + 2

Rpta.: ________________

• a2 +ab - 2b

2 + 11bc - 2ac - 15c

2

L2-X-3S - 42 -

Rpta.: ________________

•

• 7bc + 2a2 - 3ab - 3c

2 - 2b

2 - ac

Rpta.: ________________

• x2 + 7xy - 4xz + 10y

2 - 11yz + 3z

2

Rpta.: ________________

• m2 - 2n

2 + 6p

2 - mn + 5p - np

Rpta.: ________________

• 2x2 + 4xy - 11x - 6y

2 + 7y + 5

Rpta.: ________________

• 12x2 - xy + 11x - 6y

2 + 13y - 5

Rpta.: ________________

• 2m2 - 5mn + 2n

2 - 3n - 2

Rpta.: ________________

• 2x2 + 3xy + xz - 2y

2 - 3yz - z

2

Rpta.: ________________

• 6a2 - ab - b

2 + 5b - 6

Rpta.: ________________

03. Factorizar: 72 + y2 - 17y

La suma de los términos independientes de los factores

primos es:

A) -17 B) 72 C) 15

D) 9 E) -9


P(a, b) = 2a3b - 5a

2b - 3ab

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 0

05. Uno de los factores que se obtiene al factorizar:

(5x4 - 1) - (x

2 + 3)

es:

A) x - 2 B) x2 + 1 C) x + 1

D) x3 + 2 E) 2x + 1


x3yz - z

2y

2z - 6y

3xz

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

07. Hallar la suma de los términos independientes de los

factores primos de:

P(y) = 4y2 + y

4 - 5

A) 5 B) 6 C) 7

D) 3 E) N.A.

08. ¿Cuántos factores primos se segundo grado se

obtienen al factorizar?

9m6 + 26m

4 - 3m

2

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 0

09. ¿Cuántos factores primos lineales se obtienen al

factorizar?

P(x, y) = 4x2y

2 + 12xy

3 + 9y

4

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) N.A.

10. ¿Cuántos factores primos de segundo grado se

obtienen al factorizar P(x)?

P(x) = 25x6 - 10x

4 + x

2

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 0

11. Señalar un factor de:

F(x, y) = 10x2 +23xy + 12y

2 +26x + 25y + 12

A) 3x + 4y + 1 B) 2x + y + 3 C) 2x + 3y + 4

D) 2x + 3y + 1 E) 2x - 3y + 4

12. Factorizar;

P(x; y) = 4x2 + 13xy + 10y

2 + 18x + 27y + 18

Indicar la suma de factores primos:

A) 5x + 7y + 9 B) 5x + 4y + 8 C) 5x + 3y + 7

D) 4x + 7y + 6 E) 4x + 6y + 7

13. Factorizar:

12x2 + 7xy - 12y

2 + 2x + 11y - 2

Indicar la suma de los términos independientes de sus

factores primos.

A) 1 B) -1 C) 3

D) -3 E) 5

14. Factorizar:

12x2 + 20xy + 8y

2 -12x - 10y + 3

La suma de los coeficientes de uno de sus factores

primos es:

A) 4 B) 5 C) 6

D) 7 E) 9

15. Factorizar: 6x

2 - 7xy + 2y

2 + 12x - 7y + 6

La suma de los coeficientes de unos de sus factoresprimos es:

A) 3 B) 5 C) 7D) 9 E) 11

16. ¿Cuántos factores primos lineales se obtienen alfactorizar?

4x4y + 4y - 17x

2y

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

L2-X-3S - 43 -

17. ¿Cuántos factores primos de tercer grado se obtienenal factorizar?

2a6b

3 - 13a

3b

3 - 24b

3

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

18. Factorizar por el método de los divisores binomios lossiguientes polinomios:

A) x3 - 3x

2 + 4x - 2

Rpta.: ________________

B) x3 + 2x

2 - x - 2

Rpta.: ________________

C) x3 + 6x

2 + 15x + 14

Rpta.: ________________

D) x3 - x - 6

Rpta.: ________________

E) x5 + 4x

4 - 10x

2 - x + 6

Rpta.: ________________

F) 12x3 + 16x

2 + 7x + 1

Rpta.: ________________

19. Factorizar por aspa doble especial:

A) 2x4 + x

3 - 16x

2 + 8x - 1

Rpta.: ________________

B) 6x4 + 5x

3 + 6x

2 + 5x + 6

Rpta.: ________________

C) 6x4 - 31x

3 + 25x

2 - 13x + 6

Rpta.: ________________D) x

4 + 2x

3 + 5x + 12

Rpta.: ________________

20. Al factorizar, la suma de sus términos independientes desus factores primos en: x

4 + 2x

3 - x - 12

resulta:

A) 5 B) 6 C) -7D) -4 E) -1

Tarea

21. Factorizar y dar un factor primo: P(x) = 8x

2 - 2x - 3

A) 2x - 1 B) 4x - 3 C) 2x + 3D) x + 1 E) 3x - 1

22. Factorizar y dar un factor primo: B(x) = 20x

4 + 31x

2 - 9

A) 5x2 - 9 B) 2x + 1 C) x - 1

D) x2 + 9 E) N.A.

23. Factorizar: P(x; y) = 6x

2 + 19xy + 15y

2 - 17y - 11x + 4

Señalar un factor:

A) 2x + y 1 B) 3x + 5y + 4 C) 2x + 3y - 1D) 2x + y - 1 E) N.A.

24. Factorizar: P(X) = 15x

2 - 22xy + 24x + 8y

2 - 16y

Dar el término independiente de un factor.

A) 1 B) 2 C) 8D) 3 E) N.A.

25. Factorizar: M(a) = a

3 - a + 6

A) a + 2 B) a - 1 C) a - 3D) a

2 + 4a + 3 E) N.A.

L2-X-3S - 44 -

Tema 18

M.C.D. Y M.C.M.

Este problema, expuesto por primera vez en el siglo pasado, cuenta con la simpatía de los aficionados a los problemas matemáticos.

Se trata de obtener, para toda la serie de número naturales, expresiones en las que aparezca cuatro veces el número 4, junto con

símbolos matemáticos simples. Para expresar los diez primeros números, sólo son necesarios los signos de las cuatro operaciones

fundamentales: sumar, restar, multiplicar y dividir.

Aquí está la prueba:

1 =

2 = +

3 =

4 = 4 +

5 =

6 = 4 +

7 = - 4

8 = 4 + 4 + 4 - 4

9 = 4 + 4 +

10 =

EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)

El Máximo Común Divisor de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado y menor coeficiente numérico (prescindiendo

de los signos) que es factor (o divisor) de los polinomios dados.

Para hallar el M.C.D. de varios polinomios se procede de la forma siguiente:

a) Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos.

b) El M.C.D. es el producto obtenido al tomar todos los factores comunes elevados a la menor potencia con la que entran a formar

parte en cada uno de los polinomios.

Ejemplo: El M.C.D. de:

233

2 (x - y)

3 (x + 2y)

2; 2

23

3(x - y)

2 (x + 2y)

3 , 3

2(x - y)

2 (x + 2y)

es: 32 (x - y)

2 (x + 2y)

Dos o más polinomios son primos entre si su M.C.D. es la unidad ±1.

EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)

En dos o más polinomios, es el polinomio de mayor grado y mayor coeficiente (prescindiendo de los signos) del cual es factor (o

divisor) cada uno de los polinomios dados.

Para hallar el M.C.M. de varios polinomios se procede de la forma siguiente:

a) Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos.

b) El M.C.M. es el producto obtenido al tomar los factores, comunes y no comunes, elevados a la mayor potencia con la que entran

L2-X-3S - 45 -

a formar parte en cada uno de los polinomios.

Ejemplo: El. M.C.M. de:

233

2 (x - y)

3 (x + 2y)

2 ; 2

23

3 (x - y)

2 (x + 2y)

3; 3

2(x - y)

2 (x + 2y)

es: 223

3 (x - y)

3 (x + 2y)

3

ejercicios01. Hallar el M.C.D. de:

A(a, b, c) = 28a2

b3

c4

B(a, b, c) = 35a3

b4

c5

C(a, b, c) = 4a2

b5

c6

A) a2

b3

c4

B) a3

b5

c6

C) 7a2

b3

c4

D) a3

b4

c5 E) N.A.

02. Hallar el M.C.M. de:

A(x, y, z) = 3x2

y3

z

B(x, y, z) = 4x3

y3

z2

C(x, y, z) = 6x4

A) B) C)

D) E) N.A.

03. Hallar el M.C.M. de las expresiones:

A(x) = 3(x + 1)

B(x) = 2(x2 - x + 1)

C(x) = 6x3 + 6

A) 6(x3 + 1) B) (x + 1) (x

2 - x + 1)

C) 2(x + 1) (x2 + x + 1) D) (x

3 + 1)

E) (x + 1)

04. Hallar el M.C.D. de los polinomios:

P(x) = (x + 2)2 (x - 3)

4 (x + 1)

Q(x) = (x + 5)5 (x - 3)

5 (x + 6)

A) (x + 2) B) (x + 2) (x - 3)

C) (x + 2)2 (x - 3)

4 D) (x + 1) (x - 3)

E) N.A.

05. Halar el M.C.M. de los polinomios:

P(x) = (x + 2)3 (x - 3)

2 (x - 1)

Q(x) = (x + 2) (x - 3) (x + 1)

A) (x + 2)3 (x - 3)

2 (x

2 - 1)

B) (x + 2) (x - 3) (x + 1) (x - 1)C) (x + 2)

3 (x - 3)

2

D) (x2 - 1 ) (x

2 - x - 6)

E) N.A.

06. Hallar el M.C.D. de:

A(a, b) = a4 - b

4

B(a, b) = a4 + 2a

2b

2 + b

4

A) a2 - b

2B) a

2 + b

2 C) a - b

D) a + b E) (a + b)2

07. Del problema anterior extraer M.C.M.

A) B) C)

D) E)


A(x) = x3 - 3x

2 + 3x - 1

B(x) = x2 - 2x + 1

C(x) = x3 - x

D(x) = x2 - 4x + 3

A) x + 1 B) x - 1 C) (x - 1)2

D) (x2 - 1) E) (x + 1)

2


A(x) = x2 - 5x + 6

B(x) = 2x2 + 12x + 18

C(x) = 4x2 + 4x - 24

A) (x+ 3) B) 4(x+3) (x- 2) C) (x+2) (x - 2)

D) (x + 2) E) 1


2x2 - 9x - 81; x

2 - 36 ; 4x

2 + 12x + 9

y dar como respuesta la suma de sus factores primos:

A) x + 1 B) 2x + 3 C) 7x + 3

D) 7x - 3 E) x + 1


P(x, y) = x3 - xy

2 + x

2y - y

3

F(x, y) = x3 - xy

2 - x

2y + y

3

C(x, y) = x4 - 2x

2y

2 + y

4

A) x + y B) x - y C) x2 - y

2

D) (x + y) (x - 3y) E) N.A.

12. Hallar el M.C.M. de;

A(x, y) = x2 - y

2

B(x, y) = x2 - 2xy + y

2

C(x, y) = x2 + 2xy + y

2

A) (x + y)3

B) (x - y) C) (x- y)3

D) (x2 - y

2)3

E) (x2 - y

2)2

13. El M.C.D. de:

A(x) = x3 + 5x

2 + 8x + 4

B(x) = x3 + 3x

2 - 4

L2-X-3S - 46 -

C(x) = x3 + 6x

2 + 12x + 8

A) (x + 2) B) (x + 2)2

C) (x - 1)

D) (x + 2)3

E) N.A.

14. Si: (x - 1) es divisor de:

x3 - 6x

2 + 11x - 6 y de x

3 - 7x + 6

¿Cuál es el M.C.D.?

A) (x2 - 3x + 2) B) (x - 2) C) (x- 1) (x + 2)

D) (x + 2) E) x2 - 4

15. Hallar el valor numérico del M.C.D. para: x = 3; de los

polinomios.

P(x) = x4 + 2x

2 - 3

Q(x) = x4 + 3x

3 - x

2 - x

R(x) = x3 - 7x - 6

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 8


P(x) = (x + 1)4 (x + 2)

3 (x - 3)

5 (x - 1)

2

F(x) = (x + 8)4 (x + 2) (x - 3)

5 (x - 2)

2

R(x) = (x - 2)2 (x + 2)

2 (x - 3) (x + 7)

6

A) x + 2 B) x2 - x - 6 C) x

2 + x - 6

D) x - 3 E) x + 8


P(x, y, z) = x2y

7z

8

Q(x, y, z) = x4y

3z

9

S(x, y, z) = x5y

2z

10

A) xyz B) x5y

3z

4 C) x

5y

7z

10

D) x2yz

10E) N.A.

18. Señale el M.C.D. de:

A(x) = x4 - 1

B(x) = x3 - 3x + 2

A) x + 1 B) x2 + 1 C) x - 1

D) x - 2 E) x + 2


P(x) = x3 - 3x - 2

F(x) = x3 - 3x

2 + 4

A) x2 + x + 2 B) x

2 + x - 2 C) x

2 - x - 2

D) x2 - x + 2 E) (x + 1)

2 (x -2)

2


P(x) = x4 - 3x

3 - 4x

2

Q(x) = x5 - x

4 + x

3

A) x2

B) x3

C) x2(x

2 - x + 1)

D) x3(x

2 - x + 1) E) x

2 - x + 1

21. Si el M.C.D. de:

P(x) = x3 - 6x

2 + 11x - m

F(x) = x3 - 8x

2 - x - n

es (x - 1); hallar “m + n”

A) -8 B) 8 C) 4

D) 6 E) 2

22. Si el M.C.D. de:

P(x) = x3 - 7x

2 + 16x - m

F(x) = x3 - 8x

2 + 21x - n

Hallar “m + n”

A) 30 B) 20 C) 40

D) -30 E) -40


P(x) = x2 - 4x + 3

F(x) = x2 + 4x + 3

R(x) = x4 - 10x

2 + 9

S(x) = x3 + x

2 - 9x - 9

A) (x2 - 9) (x

4-1) B) (x

2-9) (x

2-1) C) (x

2-9) (x+1)

D) (x2-9) (x

2+1) E) (x

2+9) (x

2-1)


A(x) = m2 + 3mx + 2x

2

B(x) = x3 + 8x

3

C(x) = 2m2 + 2x

2 + 6mx

A) m+ 2x B) m + x C) m - x

D) m + 1 E) m - 1


R(x) = x2 - 5x + 6

S(x) = (x2 - 4x + 4) (x - 1)

T(x) = (x - 3) (x - 1)2

A) (x - 2) (x - 3) (x - 1) B) (x - 2)2 (x - 3)

C) (x - 2) (x - 3) D) (x - 2)2 (x - 3) (x - 1)

2

E) (x + 2)2 (x - 3) (x - 1)

2


M(x) = x2 - 8x + 15

N(x) = x2 - 5x + 6

R(x) = x2 - 9x + 18

A) x - 5 B) x - 2 C) x - 3

D) x - 6 E) x + 3

27. Sean los polinomios: P(x) y Q(x)

Si: P(x) C Q(x) = (x - 5)2 (x + 5)

3 (x - 3)

2

M.C.D. [P; Q] = x - 3

Proporcione el M.C.M. de “[P; Q]”

A) (x - 5)2 (x +5)

3 (x - 3)

2

B) (x -5)2

(x +5)3

(x - 3)

C) (x - 5) (x + 5) (x - 3)

D) (x - 5)2 (x + 5)

3

L2-X-3S - 47 -

E) (x - 5)2 (x + 5)

2 (x - 3)

228. Halle el M.C.D. de:

P(x) = x4 - x

3 - 3x

2 + 5x - 2

Q(x) = x3 - 4x

2 + 5x - 2

R(x) = x4 + x

3 - 3x

2 - x + 2

A) x - 1 B) (x - 1)2

C) x + 1

D) (x + 1)2

E) N.A.

29. Sabiendo que el producto del M.C.M. y M.C.D. de dos

polinomios es: x5 - x

3 y la suma de ambos polinomios es:

x3 + x. Determinar el M.C.M.

A) x2 - 1 B) x + 1 C) x

4 - x

2

D) x - 1 E) N.A.

30. Halle el M.C.D. de:

M(x) = x3 - mx

2 + 19x - (m + 4)

F(x) = x3 - (m + 1)x

2 + 23x - (m + 7)

A) x2 - 4x + 3 B) x

2 - 2x - 3 C) x

2 + 4x + 3

D) x2 - 1 E) N.A.

Tarea


P(x, y, z) = x2 y

3 x

4

Q(x, y, z) = x4 y

2 x

6

R(x, y, z) = x2 y

x

2

A) x2 y

x

2B) x

4 y

3 x

6 C) x

4 y

2 x

2

D) x y z E) N.A.


A(x) = 3(x + 1)

B(x) = 2(x2 - x + 1) (x + 1)

2

C(x) = 6x3 + 6

A) x - 1 B) x2 - x + 1 C) x

3 + 1

D) x + 1 E) N.A.


A(a, b) = a2 - b

2

B(a, b) = a2 +2ab + b

2

C(a, b) = a2 - 2ab + b

2

A) (a2 - b

2)2

B) a - b C) a + b

D) a2 + b

2E) N.A.


P(x, y) = x4 - y

4

R(x, y) = x4 + 2x

2 y

2 + y

4

A) x2 - y

2B) x + y C) x - y

D) x2 + y

2 E) N.A.

35. Del problema anterior. Hallar el M.C.M.

A) x2 y

2B) (x

2 + y

2)2

C) x + y

D) x - y E) (x2 + y

2)2 (x

2 - y

2)

L2-X-3S - 48 -

Tema 19

FRACCIONES ALGEBRAICAS

LA HISTORIA DEL NÚMERO IRRACIONAL “B”

B = 3,141592653589793...

Los antiguos le daban un valor de 3 con lo que erraban en un 5% Arquímedes le dio el valor , los chinos en el siglo I le asignaron

el valor de con error de 1/50. En la India de 3,1416, con error de 1/400 000.

En el siglo XVII, Adriano Mecio le asigna la fórmula 355/113, con un error de 1/10 000 000. Legendre, en 1794, demostró que “B”

no podía ser una fracción, y en 1882 Lindemann probó que era un número trascendente, y por tanto no podía ser solución de ningunaecuación cuyos coeficientes fueran enteros.

Actualmente las máquinas electrónicas lo calcularon con más de diez mil decimales. Semejante precisión no tiene aplicación práctica.

El valor asignado por los chinos, o sea , es sumamente práctico; hasta construir un triángulo rectángulo de la siguiente forma:

uno de los catetos se lo construye igual al diámetro de la circunferencia, y el otro cateto igual a tres veces dicho diámetro. La hipotenusadel mismo es igual a la longitud de la circunferencia.

Si consideramos el diámetro de una circunferencia igual a la unidad, su longitud será: B C d

Si: d = 1, longitud de la circunferencia es igual a: B C 1 = B

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo antes mencionado, cuyo cateto menor es 1, y el mayor 3, su hipotenusa será:

=

FRACCIONES

FRACCIÓN ALGEBRAICA RACIONAL

Es una expresión que se puede escribir como cociente de dos polinomios P/Q. El polinomio “P” es el numerador y “Q” el denominadorde la fracción.

Ejemplo: y

Son fracciones algebraicas racionales.

• LAS REGLAS

Para el cálculo con fracciones algebraicas son las mismas que las correspondientes de las fracciones en aritmética. Una de lasfundamentales es: El valor de una fracción no se altera si se multiplican, o dividen, el numerador y el denominados por una mismacantidad, siempre que ésta sea distinta de cero. En estas condiciones las fracciones se llaman equivalentes.

Por ejemplo, si se multiplica el numerador y denominador de por (x - 1), se obtiene la fracción equivalente

= siempre que (x - 1) sea distinto de cero, es decir; x � 1.

Análogamente, la fracción se puede expresar por y dividir; entonces, su numerador y

denominador por (x + 1), siempre que (x + 1) sea distinto de cero, o bien, x � -1, obteniéndose . La operación de dividir por

L2-X-3S - 49 -

un factor común al numerador y denominados recibe el nombre de simplificación y se indica tachando el término común; por

ejemplo: =

• SIMPLIFICAR

Una fracción, es transformarla en otra equivalente cuyo numerador y denominador no tengan más factores comunes que la

unidad, ±1. La fracción que resulta es irreductible. Esta reducción se lleva a cabo descomponiendo en factores el numerador y el

denominador, simplificando, seguidamente, los factores comunes siempre que sean distintos de cero.

Ejemplo: = =

= = - ;= ; - = -

Muchas veces la simplificación consiste en un cambio de signo.

Ejemplo: = = = = 1 - x

LA SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES

Que tienen el mismo denominador es otra fracción cuyo numerador es la suma algebraica de los numeradores de las fraccionesdadas, y cuyo denominador es el denominador común.

Ejemplos: - - + = = = -

- + = =

Para sumar y restar fracciones de distinto denominador, se transforman éstas en otras equivalentes que tengan un denominador

común.

El denominador común mínimo (D.C.M.) de varias fracciones es el mínimo común múltiplo (M.C.M.) de sus denominadores.

Ejemplo: El D.C.M. de ; ; ; es el M.C.M. de 4; 5; 10 que es 20 y el D.C.M. de ; ; ; es 14x2

Ejemplos: - + = - + = =

- - = =

- = =

El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo denominador es el producto de los numeradores.

Ejemplos:

El cociente de dos fracciones es otra fracción que se obtiene multiplicando la fracción dividendo (o fracción numerador) por el

L2-X-3S - 50 -

recíproco de la fracción divisor (o fracción denominador).

Ejemplos: ó = =

= C =

Una fracción compuesta es aquella que tiene una o más fracciones en el numerador o en el denominador.

Para simplificarla:

1) Se reduce el numerador y denominador a fracciones simples.

2) Se dividen las dos fracciones que resultan.

= = C = x - 1

ejercicios

01. Efectuar:

A) B) C)

D) E)

02. Efectuar:

e indique como respuesta el denominador.

A) n B) n + 1 C) n - 1

D) n + 2 E) 1

03. Simplificar:

A) B) C)

D) E)

04. Efectuar:

A) x B) 2x C) 3x

D) 2 E) 1

05. Efectuar:

A) 1 B) 0 C) 2

D) 3 E) 14

06. Reducir:

A) m - 1 B) m - 2 C) m - 3

D) m - 4 E) m - 5

07. Reducir:

A) B) C)

D) E)

08. Efectuar:

A) 1 B) 0 C) -1

D) E)

L2-X-3S - 51 -

09. Efectuar:

Señalar el numerador de la fracción resultante.

A) x + 3 B) 2x + 3 C) 3x - 2

D) 1 E) 2x - 3

10. Al simplificar:

Se obtiene:

A) xy B) x C) y

D) 1 E)

11. Calcular el numerador de la fracción que resulta de

efectuar:

A) 1 B) x C) 0

D) x + 1 E) 2

12. Simplificar:

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 0

13. Simplificar:

A) 1 B) x + 7 C)

D) E) 0

14. Reducir:

A) x B) 1 C)

D) -1 E) 0

15. Reducir:

A) a B) b C) 1

D) - E)

16. Efectuar:

A) B) C)

D) (a - b)-1

E)

17. Simplificar:

[x - xy(x + y)-1

]

A) -1 B) 1 C) x

D) x2

E)

18. Simplificar:

A) 1 B) -1 C) 0

D) 2 E)

19. Simplificar:

A) 1 B) x - 1 C) x2

D) x E) -1

20. Simplificar:

A) 1 B) 0 C) -1D) 2 E) -2

21. Efectuar: 2 +

A) B) 2 C) x

D) 1 E) - x

22. Efectuar:

A) (a + b)-1

B) C)

L2-X-3S - 52 -

D) E)

23. Efectuar: C

A) -1 B) 1 C) 0D) x E) y

24. Efectuar: (X + 3) - 5

A) x B) 1 C)

D) 2x E) x + 5

25. Hallar el verdadero valor de la fracción:

para: x = -1

A) 3 B) 1 C) -

D) - E)

26. Calcular el verdadero valor de:

para: x = 5

A) B) C)

D) E)

27. Calcular el verdadero valor de:

Para: x = -3

A) 5,1 B) 6,3 C) 7,2D) 6,8 E) 8,1

28. Sabiendo que:

Calcular:

M =

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

29. Hallar:

Si: m2n

-1 = 2

A) 2 B) 8 C) 10D) -1 E) 5

30. Simplificar:

A) x2n

+ 1 B) x2n

- 2 C) x2n

+ 2D) x

n + 2 E) x

n - 2

Tarea

31. Simplificar: M(x) =

dar su denominador:

A) x - 1 B) x - 2 C) x + 3D) x - 3 E) N.A.

32. Transformar y simplificar: R(x) =

A) B) C)

D) E) N.A.

33. Simplificar:

M =

A) B) C)

D) E) N.A.

34. Efectuar y reducir:

M =

A) 1 B) 0 C)

D) E) N.A.

35. Simplificar:

L2-X-3S - 53 -

A) a B) 1 C) 1/aD) -1 E) N.A.

L2-X-3S - 54 -

Tema 20

REPASO

01. Factorizar e indique un factor primo:

P(a, b) = 15a2 - ab - 6b

2 + 34a + 28b - 16

A) 5a + 3b + 2 B) 5a + 3b - 2 C) 5a - 3b - 9

D) a + b - 2 E) N.A.

02. Indicar uno de los coeficientes de “y” en uno de los

factores primos de:

P(x, y) = 6x2 - xy - 12y

2 + x - 10y - 2

A) 1 B) 2 C) 8

D) 4 E) 6

03. Factorizar:

F(x) = x4 + 6x

3 + 7x

2 +6x + 1


A) x2 + x + 1 B) x

2 + x + 2 C) x

2 + x - 2

D) x2 + 1 E) x

2 - x + 2

04. Factorizar:

P(x) = x4 + 3x

3 - x

2 + 7x + 2


A) x2 + x + 4 B) x

2 - x + 2 C) x

2 + x + 7

D) x2 + x - 4 E) x

2 + x + 8

05. Factorizar:

P(x) = x3 + 2x

2 - 5x - 6

Indicar la suma de coeficientes de un factor primo.

A) -3 B) 0 C) 2

D) -4 E) 1

06. Factorizar:

M(x) = x3 - 5x

2 - 2x + 24

Indicar la suma de términos independientes.

A) -3 B) -5 C) -7

D) 4 E) 6

07. Factorizar:

S(x, y) = 15x2 - xy - 6y

2 + 34x + 28y - 16


A) 5x + 3y - 2 B) 5x + y + 2 C) 5x + y + 3

D) 5x - y + 7 E) N.A.

08. Factorizar: A(x) = x4 + 2x

2 + 9


A) x2 + x + 2 B) x

2 - x + 16 C) x

2 + x + 4

D) x2 + x + 5 E) x

2 + x + 6

09. Factorizar: M(x) = x3 - 13x + 12

Indicar un facfor.

A) x + 3 B) x + 1 C) x - 2

D) x - 4 E) x + 4

10. Factorizar:

R(x) = x3 + 10x

2 + 31x + 30

Indicar la suma de los términos constantes de sus

factores primos.

A) 6 B) 8 C) 10

D) 12 E) 14

11. Factorizar:

P(y) = y4 - 13y

3 + 60y

2 - 116y + 80

Indicando un factor primo.

A) y - 5 B) y - 16 C) y - 18

D) y 18 E) y 5

12. Dados los polinomios:

A(x) = x3 - x

2 + x - 1

B(x) = x3 + x

2 - x - 1

C(x) = x3 - x

2 - x + 1

siendo “a” el número de factores primos del M.C.D. y

“D” el número de factores primos del M.C.M. Señalar “b

- a”.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

13. Hallar el M.C.M. de los polinomios:

P(x) = x3 - 3x - 2

Q(x) = x4 - 5x

3 + 7x

2 - 5x + 6

Indicar su grado.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 6 E) 8

14. Determinar el M.C.D. de los polinomios:

A(x) = 18x4 - 18

B(x) = 12x2 - 24x + 12

C(x) = 30x3 - 30

A) x + 1 B) x - 1 C) 2x + 1

D) 2x - 1 E) x + 2

15. Hallar el M.C.M. de los polinomios:

A = a2xy + 2xyab + b

2xy

B = x2ay - x

2by

C = x2

y2

A) B)

C) D)

E)

16. Reducir:

Indicar su denominador.

A) x + 1 B) x + 2 C) x + 3

D) x - 3 E) 2x + 1

17. Efectuar:

A) 0 B) 1 C) x

L2-X-3S - 55 -

D) E)

18. Reducir:

Indicar su numerador.

A) x + 2 B) x + 1 C) 4x + 2D) 4 E) 1

19. Efectuar:

A) x + 1 B) 1/x C) 3D) 1 E) 2

20. Reducir:

A) 0 B) C) 2

D) -1 E)

21. Reducir:

A) B) C)

D) x + y E) x

22. Efectuar:

A) 1 B) 2 C) -1

D) E)

23. Reducir:

A) B) C)

D) E)

24. Simplificar:

E =

A) B) C)

D) E)

25. Efectuar:

A) 3 B) 2 C) -1D) -2 E) 0

Tarea

26. Halle el verdadero valor de:

E =

Para: x = 1 ; y = 5

A) 0 B) 4/5 C) -2/3D) -3/4 E) -2

27. Indicar el numerador final de efectuar:

A) 3 B) 2x C) 3x - 1D) 1 E) x + 3

28. Reducir:

A) x + 1 B) x - 1 C) xD) 1 E) x

2

29. Efectuar:

E =

A) 0 B) 1 C) x + y + zD) x

2 + y

2 + z

2E) xyz

30. Sabiendo que la fracción:

F(x, y) =

Es independiente de “x” e “y” entonces “ ” será:

L2-X-3S - 56 -

curso de algebra 3ro secundaria

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