curso de fÍsica mecÁnicael movimiento circular uniforme (m.c.u.) es un movimiento periódico, es...
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Docente: Ángel Arrieta Jiménez
CURSO DE FÍSICA MECÁNICA
MOVIMIENTO CIRCULAR
El movimiento de un cuerpo o partícula, es circular uniforme, cuando su trayectoria es una circunferenciay su velocidad angular (velocidad de giro) permanece constante.
La velocidad angular permanece constante, debido a que el cuerpo barre ángulos iguales para igualesintervalos de tiempo.
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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U)
s
Longitud de arco
Posición angularr
La longitud de arco, la posición angular y
el radio se relacionan mediante la
siguiente expresión.
s r
Docente: Ángel Arrieta Jiménez
El movimiento circular realizado por un cuerpo o partícula puede ser:
Describiendo un circulo vertical Describiendo un circulo horizontal Describiendo un circulo inclinado
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PERÍODO Y FRECUENCIA EN EL M.C.UEl movimiento circular uniforme (m.c.u.) es un movimiento periódico, es decir, se repite
cada cierto tiempo con iguales características. Esto nos permite definir las siguientes
magnitudes:
tiempo
número de vueltas
tT
n
PERÍODO (T)
Es el tiempo que tarda el cuerpo en dar una vueltacompleta.
Sus unidades en el SI son segundos.
número de vueltas
tiempo
nf
t
FRECUENCIA ( f )
Es el número de vueltas que da el cuerpo en launidad de tiempo. La frecuencia es la inversa delperíodo.
Sus unidades en el SI son s-1 o hertz (Hz).
Luego entonces:1
Tf
1
fT
y
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VELOCIDAD ANGULAR Y VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL
Las velocidades angular y lineal se relacionan mediante la siguiente expresión: v r
VELOCIDAD ANGULAR (ω)
d
dt
Para una vuelta completa
VELOCIDAD LIENAL O TANGENCIAL (v)
vv
v v
dsv
dt
s
Para una vuelta completa
Es una magnitud física que nos indica como cambia la
posición angular del cuerpo con respecto al tiempo.
Sus unidades en el SI son rad/s.
2
T
2 f
Es una magnitud física de tipo vectorial que nos indica como
va cambiando la posición del cuerpo a lo largo de la curva con
respecto al tiempo. Se caracteriza por ser siempre tangente a la
trayectoria (circunferencia) en todo punto.
Sus unidades en el SI son m/s.
v 2 r
T
2 rf
v
F
vmF
rf
v
1v
2v
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ACELERACIÓN CENTRÍPETA, NORMAL O RADIAL Es una magnitud física de tipo vectorial que esta relacionada con el cambio en dirección de la velocidad lineal o
tangencial del cuerpo.
La aceleración centrípeta siempre está dirigida en todo momento hacia el centro de la circunferencia.
Sus unidades en el SI son m/s2.
Luego entonces:
22
c
va r
r
fv
iv iv
cav
vv
vca
caca
ca
iv
fv
v
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ECUACIONES DE POSICIÓN Y VELOCIDAD PARA EL M.C.ULas ecuaciones de posición y velocidad de un m.c.u con respecto al tiempo, se pueden determinar mediante
comparación con las del m.r.u.
M.R.U M.C.U
Cuando un cuerpo da cierto números de vueltas, el ángulo que describe se puede
determinar en función de dichas vueltas por la siguiente expresión.
v cte cte
ix x vt i
i
s s vt
t
NOMBRE SÍMBOLO UNIDADES
Posición angular θ rad
Longitud de arco s m
Radio r m
Velocidad lineal o tangencial v m/s
Velocidad angula ω rad/s
Período T s
Frecuencia f Hz
Aceleración centrípeta ac m/s2
Número de vueltas n Vueltas
ELEMENTOS DEL M.C.U
2 n 2n
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RESUMEN DE ECUACIONES DEL M.C.U
1. is s vt
2. i t
3. s r
4. v r
25. 2
rv rf
T
26. 2 f
T
17. ó
tT T
n f
18. ó
nf f
t T
229. c
va r
r
10.2
n
Factor de conversión: 1 1 2rev vuelta rad
El movimiento de un cuerpo o partícula, es circular uniforme acelerado, cuando su trayectoria es unacircunferencia y su aceleración angular (aceleración de giro) permanece constante.
La aceleración angular permanece constante, debido a que la velocidad angular del cuerpo cambiauniformemente con el tiempo, es decir, aumenta o disminuye proporcionalmente con el tiempo.
Las unidades de la aceleración angular en el SI son rad/s2.
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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ACELERADO (M.C.U.A)
d
dt
vv
v v
r
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ACELERACIÓN LINEAL O TANGENCIAL Y ACELERACIÓN TOTAL
ACELERACIÓN LINEAL O TANGENCIAL ( at )
t
dva
dt
ACELERACIÓN TOTAL ( aT )
La magnitud de la aceleración total se calcula entonces
por la expresión:2 2
T t ca a a
Las aceleraciones angular y lineal se relacionan
mediante la siguiente expresión:
iv
fv
ta r
Es una magnitud física que nos indica como cambia la
magnitud de la velocidad lineal o tangencial con respecto
al tiempo.
Sus unidades en el SI son m/s2.
ta
Es una magnitud física de tipo vectorial, que corresponde a la
suma vectorial de la aceleración centrípeta y la aceleración
lineal o tangencial.
Sus unidades en el SI son m/s2.
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ECUACIONES DE POSICIÓN Y VELOCIDAD PARA EL M.C.U.ALas ecuaciones de posición y velocidad de un cuerpo que describe un m.c.u.a con respecto al tiempo, se
pueden determinar mediante comparación con las del m.r.u.a
M.R.U.A M.C.U.A
a cte cte
1. iv v at 1 .
1 .
i t
i
a v v a t
b t
NOMBRE SÍMBOLO UNIDADES
Aceleración angular α rad/s2
Aceleración lineal o
tangencial
at m/s2
Aceleración total aT m/s2
ELEMENTOS DEL M.C.U.A
212.
2i ix x v t at
2
2
12 .
2
12 .
2
i i t
i i
a s s v t a t
b t t
2 23. 2 ( )i iv v a x x 2 2
2 2
3 . 2 ( )
3 . 2 ( )
i t i
i i
a v v a s s
b
( )4.
2
ii
v vx x t
( )4 .
2
( )4 .
2
ii
ii
v va s s t
b t
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RESUMEN DE ECUACIONES DEL M.C.U.A
5. s r
6. v r
228. c
va r
r
10.2
n
7. ta r
212 .
2i i ta s s v t a t
212 .
2i ib t t
2 23 . 2 ( )i t ia v v a s s
2 23 . 2 ( )i ib
( )4 .
2
ii
v va s s t
( )4 .
2
iib t
2 29. T t ca a a
1 . i ta v v a t
1 . ib t
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EJEMPLOS DE MOVIMIENTO CIRCULAR
Docente: Ángel Arrieta Jiménez
EJEMPLO 1: El CD de un ordenador gira con una velocidad angular máxima de 539 r.p.m. Calcula elnúmero de vueltas que da durante la reproducción de una canción de 4 minutos.
EJEMPLOS DE MOVIMIENTO CIRCULAR
Datos----------- Incógnitas
539
4min 240
rpm
t s
?n
ILUSTRACIÓN
r 0is 0i
SOLUCIÓN
Primero que todo debemos convertir la velocidad angular a rad/s2.
Esto es:539 539
min
revrpm
539min
rev 539
min
rev 2
1
rad
rev
1min
60s
256,44 /rad s
Ahora buscamos el ángulo barrido o descrito por un punto del CD en
t=4min, mediante la ec(2) del M.C.U.
i t 0 256,44 / (240 )rad s s 13545,6rad
Luego, sustituimos el valor del ángulo en la ec(10) del M.C.U.
2n
13545,6
2(3,14 )
radn
rad
13545,6
6,28
rad
rad 2157
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EJEMPLO 2: Un auto se mueve por una pista circular de 80m de radio con una rapidez de 90km/h. Calcular:
a. Su aceleración centrípeta.
b. Su velocidad angular.
c. El período de su movimiento.
d. Su frecuencia.
EJEMPLOS DE MOVIMIENTO CIRCULAR
Datos-------- Incógnitas
80
90 /
r m
v km h
?
?
?
?
ca
T
f
ILUSTRACIÓN
SOLUCIÓN
Ahora calculamos la aceleración centrípeta con la
ec(9) del M.C.U.
rca
v
Primero convertimos los 90km/h a m/s.
90km
vh
90km
h
1000
1
m
km
1
3600
h
s
25 /m s
2
c
va
r
2
25 /
80
m s
m
27,8 /m s
La velocidad angular del auto se encuentra con la ec
(4) del m.c.u.
v rv
r 0,31 /rad s
25 /
80
m s
m
El período lo encontramos por la ec (5) del m.c.u.
2T
20s
2(3,14 )
0,31 /
rad
rad s
2
T
Por último encontramos la frecuencia con la ec (8) del
m.c.u. 1f
T 0,05Hz
1
20s
Docente: Ángel Arrieta Jiménez
EJEMPLO 3: Una polea de 12cm de radio se encuentra conectada por medio de una correa a otra polea de18cm radio. Si la polea de mayor radio da 7 vueltas en 5s, ¿cuál es la frecuencia de la polea de menor radio?
EJEMPLOS DE MOVIMIENTO CIRCULAR
Datos-------- Incógnitas
1
2
2
2
12
18
7
5
r cm
r cm
n
t s
1 ?f
ILUSTRACIÓN
SOLUCIÓNPor la ec (8) del m.c.u podemos encontrar la frecuencia para la
polea más grande (polea 2).
1 2v v
Aplicando entonces la ec (5) del m.c.u, tanto a la polea 1 como a
la polea 2 se tiene lo siguiente:
2,1Hz
Por otro lado se tiene que los puntos extremos de las poleas tienen
la misma velocidad lineal o tangencial debido a que están
conectados por la correa. Esto es:
1r
v
2r
2
1
22
2
nf
t 1,4Hz
7
5s
1 1 12v r f y 2 2 22v r f
Se igualan las dos expresiones anteriores.
1 12 r f 1 1 2 2r f r f 2 21
1
r ff
r
1
18 1,4
12
cm Hzf
cm
1v2v
2 22 r f
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EJEMPLO 4: Una ruleta de 40cm de radio que gira con una velocidad de 60rpm frena uniformemente hastadetenerse en 20s. Calcular:
a. La aceleración angular.
b. El número de vueltas que da la ruleta hasta que se detiene.
c. La velocidad lineal y la aceleración total de un punto de la periferia en t= 6s.
EJEMPLOS DE MOVIMIENTO CIRCULAR
Datos------------- Incógnitas
40
60
20
0
0
i
f
f
r cm
rpm
t s
v
?
?
(6 ) ?
(6 ) ?T
n
v s
a s
ILUSTRACIÓN
ta
ca Ta
Docente: Ángel Arrieta JiménezEJEMPLOS DE MOVIMIENTO CIRCULAR
ta
Taca
a. La aceleración angular.
SOLUCIÓN
Para este caso y de acuerdo con la información que se tiene,podemos usar la ec (1b) del m.c.u.a.
Primero realizamos la conversión de la unidadesde la velocidad angular inicial de la ruleta al SI.
60min
i
rev 60
min
rev 2
1
rad
rev
1min
60s
6,28 /rad si
i t 0 6,28 /rad s (20 )s
6,28 /rad s (20 )s 6,28 /
20
rad s
s
20,314 /rad s
b. El número de vueltas que da la ruleta hasta que se detiene.
i( )
2
i t
0(0 6,28 / )
2
rad s
(6,28 / )
2
rad s 62,8rad
Iniciamos encontrando el ángulo barrido por un punto de laruleta para t=20s con la ec (4b) del m.c.u.a.
2n
Luego empleamos la ec (10) del m.c.u.a para encontrar el número
de vueltas dadas por la ruleta.
62,8
2 3,14
rad
rad 10
20s
20s
Docente: Ángel Arrieta JiménezEJEMPLOS DE MOVIMIENTO CIRCULAR
Por último, para encontrar la aceleración total de un punto de laperiferia de la ruleta a los 6s, debemos encontrar primero lasaceleraciones tangencial y centrípeta de dicho punto.
Ahora usamos la ec (6) del m.c.u.a para determinar lavelocidad lineal o tangencial de un punto de laperiferia a los 6s.
ta r
Con la ec (7) del m.c.u.a encontramos la aceleración lineal o
tangencial de dicho punto.
ca 2v
r
Ahora, con la ec (8) del m.c.u.a encontramos la aceleracióncentrípeta del punto a los 6s.
Finalmente, con la ec (9) del m.c.u.a podemos determinar la
aceleración total del punto de la periferia de la ruleta a los 6s.
c. La velocidad lineal y la aceleración total de unpunto de la periferia en t= 6s.
i t 6,28rad
s 20,314
rad
s
(6 )s
6,28rad
s1,884
rad
s 4,4 /rad s
En este caso iniciamos primero encontrando lavelocidad angular que tiene la ruleta en esos 6s con laec (1b) del m.c.u.a.
0,4 (4,4 / )m rad sv r 1,76 /m s
ta 20,4 0,314 /m rad s20,126 /m s
ca
21,76 /
0,4
m s
m
27,744 /m s
2 23,098 /
0,4
m s
m
2 2
T t ca a a 2 2
2 20,126 / 7,744 /rad s rad s
27,745 /m sTa
Docente: Ángel Arrieta Jiménez
EJEMPLO 5: La rapidez de una partícula que se mueve en un círculo de 1,5m de radio aumenta a una razónconstante de 4m/s2. En cierto instante, la magnitud de la aceleración total es de 6m/s2. En ese instante calcule:
a. La aceleración centrípeta de la partícula.
b. La rapidez de la partícula.
EJEMPLOS DE MOVIMIENTO CIRCULAR
Datos---------- Incógnitas
2
2
1,5
4 /
6 /
t
T
r m
a m s
a m s
?
?
ca
v
ta
caTa
ILUSTRACIÓN
SOLUCIÓN
a. La aceleración centrípeta de la partícula.
Para determinar la aceleración centrípeta de la partícula
empleamos la ec (9) del m.c.u.a.
2 2
T t ca a a 2 2 2
T t ca a a 2 2 2
c T ta a a
2 2
c T ta a a 2 2 2 2(6 / ) (4 / )ca m s m s 24,47 /m s
Para determinar la rapidez de la partícula en ese instante,
empleamos la ec (8) del m.c.u.a.
b. La rapidez de la partícula.
2
c
va
r
2
cv ra
cv ra 21,5 4,47 /m m s 2,59 /m s
Docente: Ángel Arrieta Jiménez
EJEMPLO 6: Un auto que entra a una curva en el punto A de la figura, gira en sentido antihorario en unatrayectoria de media circunferencia de 30m de radio, con aceleración angular constante, de tal manera que su
posición angular como función del tiempo viene dada por la ecuación θ = (3rad/s)t + (0,6rad/s2)t2 . Con estainformación responda los siguientes interrogantes:
a. Escriba la ecuación de la rapidez angular como función del tiempo.
b. Determine la rapidez angular y lineal, así como las aceleraciones tangencial, normal y total a la salida de lacurva en el punto B.
EJEMPLOS DE MOVIMIENTO CIRCULAR
cBa
TBatBa
Bv
Av
0i
0is B
Docente: Ángel Arrieta JiménezEJEMPLOS DE MOVIMIENTO CIRCULAR
El valor del tiempo encontrado lo sustituimos en la ec (1b) delm.c.u.a.
Ahora, vamos a buscar el tiempo que demoró el autoen llegar al punto B, teniendo en cuenta que θB=π.
v r
Con la ec (6) del m.c.u.a encontramos el valor en magnitud de la
velocidad lineal o tangencial del auto cuando para por B.
ca 2v
r
Con la ec (8) del m.c.u.a podemos encontrar el valor de laaceleración centrípeta del auto cuando pasa por B.
Finalmente, con la ec (9) del m.c.u.a podemos determinar la
aceleración total del auto cuando pasa por B.
a. Escriba la ecuación de la rapidez angular comofunción del tiempo.
v 30 4,1 /m rad s 123 /m s
ca
2123 /
30
m s
m
2504,3 /m s
2 2
T t ca a a 2 221,2 / 504,3 /rad s m s
2504,301 /m s
Para darle respuesta a esta primera pregunta, lo que
tenemos que hacer es derivar la ecuación de posición
del auto. d
dt
23 0,6t t
23 / (1,2 / )rad s rad s t
20,6 3 0t t
2 4
2
B B ACt
A
23 3 4 0,6
2 0,6t
0,89
5,8
s
9
t
t s
B i t 3 /rad s 21,2 / (0,89 )rad s sB
De la ecuación anterior se tiene que: 3 /i rad s
Al derivar la expresión encontrada de la rapidez angular,
se obtiene α.21,2 /rad s
3 /rad sB 1,068 /rad s 4,1 /rad s
d
dt