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Curso de Inducciónde Matemáticas
CAPÍTULO 3CAPÍTULO 3Continuidad de Funciones
M.I. ISIDRO I. LÁZARO CASTILLO
Definición de Continuidad
� El término continuo tiene el mismo sentido en matemáticas que en el lenguaje cotidiano. Decir que una función f es continua en x=a significa que su una función f es continua en x=a significa que su gráfica no tiene interrupciones (huecos rupturas o saltos).
Discontinua Discontinua Continuidad
Continuidad en un punto
� Una función f es continua en un número real a sí se satisfacen las 3 condiciones siguientes:siguientes:
1.
2.
3.
Ejemplos
� Ejemplo determinar siEs continua en x=2
1( )
2f x
x=
−
Solución: Hay que determinar si se cumplen las 3 condiciones de continuidad.
i. f(a) exista
ii. Que el límite exista cuando x 2
( ) 1 12
2 2 0f = = = ∞
−
no se cumple la primera condición
2
1 1lim
2 0x x→= = ∞
−no existe este límite
III. dado que la función evaluada en a no existe además de que el límite de cuando tampoco existe, se puede concluir
( ) ( )limx a
f a f x→
=
cuando tampoco existe, se puede concluir que la función no es continua en x=2.
Ejemplo
� Determinar si la función es continua en x=2.Determinando si cumplen las 3 condiciones
2 4( )
2
xf x
x
−=−
� Determinando si cumplen las 3 condiciones de continuidad
1. no cumple2. factorizando
( )22 4 0
22 2 0
f−= = = ∞−
2
2
4 0lim
2 0x
x
x→
− = = ∞−
2
2
24lim
2x
xx
x→
−− =−
( )( )( )
2
2
x
x
+
−2 2 2 4x= + = + =
III. dado que la función evaluada en a no existe y no puede compararse con el valor constante obtenido en el límite se
( ) ( )limx a
f a f x→
=
valor constante obtenido en el límite se puede afirmar que la función no es continua en x=2.
Otros ejemplos
� Determinar si la función es continua en x=3.
22 5 3( )
3
x xf x
x
− −−
� Determinar si la función es continua en x=4.
( ) 2 5 3f x x x= − +
Unidad 4 La Derivada
� El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada. Los introductores fueron noción de derivada. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente.
◦ La derivada nos permite conocer por ejemplo:� La variación del espació en función del tiempo.
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
� El crecimiento de una bacteria en función deltiempo.
�El desgaste de un neumático en función deltiempoLos beneficios en función del tiempo.
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
�Los beneficios en función del tiempo.
� En el ámbito de la Física.� La ecuación que describe el movimiento de un cuerpo .
200 2
1)( attvxtx ++=
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
� La velocidad: es la derivada del espacio en función del tiemp o
� La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tie mpo, o la2ª derivada del espacio respecto al tiempo
00 2)( attvxtx ++=
)(2
2
tadt
xd =
atvtvdt
dx +== 0)(
� En el ámbito de la ingeniería.
� Circuitos eléctricos
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
� Circuitos eléctricos
� Circuito RLC
LC
Vv
LCdt
dv
L
R
dt
vd
C
i
dt
idL
dt
diR
=++
=++
1
0
2
2
2
2
� Para conocer el consumo eléctrico del país en un determinado instante.
� En el ámbito de la ingeniería.� Si una catenaria entre dos torres está definida por la
función:función:)5,1(
10
1 222 −+= −− xx eey
Donde x e y se miden en hectómetros, halla la altura que tiene el cable en el punto más bajo entre las dos torres.?
� En el ámbito de la medicina� En una ciudad de 250000 habitantes hay una epidemia
de gripe, y la función que define el número de enfermos
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
de gripe, y la función que define el número de enfermos es:
� Donde x se mide en días. ¿Cuál es el día en el que hay mayor número de enfermos?
2( ) 1000 150 10f x x x= + −
� En el ámbito de la Economía� En una empresa se usa para es maximizar unos
beneficios y minimizar costos de producción.
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
beneficios y minimizar costos de producción.
Definición
� Geométricamente, la pendiente de una curva, en un punto dado, se mide por la pendiente de una línea trazada tangente a la pendiente de una línea trazada tangente a la función trazada en ese punto. Véase la figura siguiente.
( )f x
( )f x x+ ∆( )f x
x x x+ ∆
Línea tangente
x∆
Línea secante
( )f x
( )f x x+ ∆( )f x
x x x+ ∆
Línea tangente
x∆
Línea secante
Definición Cont.
� Para medir la pendiente de una curva en diferentes puntos de una curva, se necesitan líneas tangentes separadas. líneas tangentes separadas.
∆yb
∆ya
∆xb
∆xa
f(x)
x
a
b∆yb
∆ya
∆xb
∆xa
f(x)
x
a
b2 1
2 1
y ym
x x
−=
−
Haciendo 2 1x x x= + ∆
( )2 1y f x x= + ∆
1 1( ) ( )f x x f xm
x
+ ∆ −=
∆
tenemos
2 1 2 1
2 1 2 1
( ) ( )y y f x f xy
x x x x x
− −∆ = =∆ − −
Razón promediode cambio
Aplicación del límite para calcular la derivada
� Dada una función f(x), la derivada de la f(x) en x, que se expresa como f´(x) o , se define como:
dy
dx
define como:
0
( ) ( )'( ) lim
→
+ ∆ −=∆x
f x x f xf x
x
Procedimiento
1) Valuar en y realizar las operaciones correspondientesRestar el valor de al paso anterior
( )f x x x+ ∆
( )f x2) Restar el valor de al paso anterior3) Dividir el resultado del paso anterior entre 4) Calcular el límite cuando tiende a cero del
paso anterior
( )f x
x∆x∆
Ejemplos
� Calcular la derivada de:1. Evaluando en se tiene que:
( ) 3 4f x x= −
( )f x x x+ ∆
( ) ( )3 4 3 3 4f x x x x x x+ ∆ = + ∆ − = + ∆ −
2. Realizar la operación
3. Dividiendo entre se tiene:
4. Calculando el límite de la expresión obtenida cuando se tiene:
( ) ( )f x x f x+ ∆ −
( ) ( )3 4 3 3 4f x x x x x x+ ∆ = + ∆ − = + ∆ −
( ) ( ) 3 3 4 3 4 3f x x f x x x x x+ ∆ − = + ∆ − − + = ∆
x∆3
3x
x
∆ =∆
0lim 3 3x∆ →
=
Ejemplos
� Calcular las derivadas de las siguientes funciones
( ) 2 3 8f x x x= − +1.
2.
3.
( ) 2 3 8f x x x= − +
( ) 2
1
xf x
x
+=−
( ) 3
5f x
x=
+
Tarea #4
� Descargar la tarea de Derivadas en la página webhttp://isidrolazaro.com/� http://isidrolazaro.com/
� Fecha de entrega: 31 de Junio en la hora de
Reglas prácticas para derivar
Ejemplos
� Calcular la derivada de la función4 3 23 6 5 2 8y x x x x= − + − +
� Solución ( )4 3 23 6 5 2 8dy d
x x x xdx dx
= − + − +
4 3 23 6 5 2 8dy d d d d d
x x x xdx dx dx dx dx dx
= − + − +
4 3 23 6 5 2 0dy d d d d
x x x xdx dx dx dx dx
= − + − +
( ) ( ) ( ) ( )4 1 3 1 2 13 4 6 3 5 2 2 1dy
x x xdx
− − −= − + −
3 212 18 10 2dy
x x xdx
= − + −
Ejemplos
� Calcular la derivada de las siguientes funciones:
1.
2.
3.
4.
5 3
6 1
xy
x
−=+
( )624 3y x x= −
3 5y x= −
( ) ( )2 22 3 3 2y x x x x= − −
Tarea #5
� Descargar la tarea de Derivadas Pte 2 en la página webhttp://isidrolazaro.com/� http://isidrolazaro.com/
� Fecha de entrega: 31 de Junio en la hora de
Bibliografía
� Notas de Matemáticas del Curso de Inducción.Dr. Antonio Ramos Paz
� Matemáticas IV y VMatemáticas IV y VJuan Antonio CuellarEd. McGraw-Hill
� Cálculo ILarsonEd. McGraw-Hill
� Cálculo IJames StewartEd. Thompson