curso de nivelación estadística y...
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Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Curso de nivelación Estadística y Matemática
Tercera clase: Introducción al concepto de probabilidad y
Distribuciones de probablidad discretas
Luis Diego Fernández Gómez
Programa Técnico en Riesgo, 2017
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Agenda
1 Concepto de probabilidad
2 Variable aleatoria
De�nición
Variable aleatoria discreta
Función de probabilidad
Propiedades distribución de probabilidad
Valor esperado de una variable aleatoria discreta.
Desviación estándar.
3 Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución Binomial
Distribución Binomial Negativa
Distribución Geométrica
Distribución Hipergeométrica
Distribución PoissonLuis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
¾Qué es el concepto de probabilidad?
Concepto de probabilidad
Es una especi�cación de con qué frecuencia ocurre un evento
de interés particular entre un gran número de observaciones.
Cuando el evento no ha ocurrido, se recurre al criterio experto
(modelo subjetivo).
Al mejorar la habilidad para juzgar la ocurrencia de eventos
futuros, se puede minimizar el riesgo relacionadas con el
proceso de toma de decisiones.
Ejemplo
Si queremos cuanti�car la probabilidad de tener una pérdida
futura.
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Enfoque clásico
Concepto de probabilidad
Un experimento puede dar como resultado cualquiera de Ndiferentes resultados que tienen las mismas probabilidades de
ocurrir, y si exactamente n de estos resultados corresponden al
evento A, entonces la probabilidad del evento A es
P(A) =n
N
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Ejemplo
Ejemplo
A una clase de estadística para ingenieros asisten 25 estudiantes de
ingeniería industrial, 10 de ingeniería mecánica, 10 de ingeniería
eléctrica y 8 de ingeniería civil. Si el profesor elige al azar a un
estudiante para que conteste una pregunta. ¾qué probabilidad hay
que el elegido sea a) estudiante de ingeniería industrial, b)
estudiante de ingeniería civil o estudiante de ingeniería eléctrica?
P(Industrial) =25
53
P(Civil o El ectrica) =8+10
53
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Métodos de conteo
Permutación
Número de maneras en que se pueden ordenar n objetos tomando
r a la vez se denota por el símbolo nPr .
nPr =n!
(n− r)!
Donde
n! = n ∗ (n−1)∗ (n−2) . . .3∗2∗1
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Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Métodos de conteo
Combinaciones
Número de combinaciones de n objetos distintos, tomando ra la
vez es:.
nCr =
(nr
)=
n!
r !(n− r)!
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Ejemplo
Un capataz en una fábrica tiene tres hombres y tres mujeres a
su cargo y desea elegir aleatoriamente a dos de sus
trabajadores para una labor especial. Cuál es la probabilidad de
se escojan un hombre y una mujer?
Respuestas
P(2Mujeres) =
(3
1
)(3
1
)(
6
2
) =3
5
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Proceso de un experimento
Si queremos cuanti�car la probabilidad de una pérdida futura
Primero, debemos revisar observaciones historicas del evento
de interés.
Luego, intentamos modelar el comportamiento de este
evento =⇒ Para esto utilizamos las Distribuciones de
probabilidad.
Por último, estimamos la probabilidad de tener una pérdida
futura.
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
Agenda
1 Concepto de probabilidad
2 Variable aleatoria
De�nición
Variable aleatoria discreta
Función de probabilidad
Propiedades distribución de probabilidad
Valor esperado de una variable aleatoria discreta.
Desviación estándar.
3 Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución Binomial
Distribución Binomial Negativa
Distribución Geométrica
Distribución Hipergeométrica
Distribución PoissonLuis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
De�nición
¾Qué es una variable aleatoria?
Es una variable cuyo valor es el resultado de un evento
aleatorio.
Transforma eventos de un espacio muestral en eventos
númericos.
Esta puede ser discreta o continua.
Ejemplo
Experimento de créditos formalizados entre el 2000 y el 2013,
donde podemos ver entre otras variables aleatorias morosos,
proceso judicial, etc.
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Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
Agenda
1 Concepto de probabilidad
2 Variable aleatoria
De�nición
Variable aleatoria discreta
Función de probabilidad
Propiedades distribución de probabilidad
Valor esperado de una variable aleatoria discreta.
Desviación estándar.
3 Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución Binomial
Distribución Binomial Negativa
Distribución Geométrica
Distribución Hipergeométrica
Distribución PoissonLuis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
De�nición
¾Qué es una variable aleatoria discreta?
Es una variable aleatoria que puede asumir sólo ciertos valores,
con frecuencia número enteros, y resulta principalmente del
conteo. El número de resultados posibles es limitado o �nito.
Ejemplo
Probabilidad que un banco quiebre dada la situación
internacional actual.
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
Agenda
1 Concepto de probabilidad
2 Variable aleatoria
De�nición
Variable aleatoria discreta
Función de probabilidad
Propiedades distribución de probabilidad
Valor esperado de una variable aleatoria discreta.
Desviación estándar.
3 Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución Binomial
Distribución Binomial Negativa
Distribución Geométrica
Distribución Hipergeométrica
Distribución PoissonLuis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
De�nición
¾Qué es una función de probabilidad?
Es una lista de todos los posibles resultados posibles de algún
experimento y de la probabilidad relacionada con cada
resultado.
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
Ejemplo distribución de probabilidad discreta
Ejemplo
Imaginemos que lanzamos dos veces un dado perfectamente
equilibrado y sumamos los valores de las caras de ambos
lanzamientos. En este caso la variable de interés (variable
aleatoria), es la suma de las caras.
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
Ejemplo distribución de probabilidad discreta
Espacio muestral (Posibilidades) Suma de las caras (X) # de ocurrencias P(X = x)
(1,1) 2 1 1/36
(1,2),(2,1) 3 2 2/36
(1,3),(2,2),(3,1) 4 3 3/36
(1,4),(2,3),(3,2),(4,1) 5 4 4/36
(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 6 5 5/36
(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) 7 6 6/36
(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) 8 5 5/36
(3,6),(4,5),(5,4),(6,3) 9 4 4/36
(4,6),(5,5),(6,4) 10 3 3/36
(5,6),(6,5) 11 2 2/36
(6,6) 12 1 1/36
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Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
Agenda
1 Concepto de probabilidad
2 Variable aleatoria
De�nición
Variable aleatoria discreta
Función de probabilidad
Propiedades distribución de probabilidad
Valor esperado de una variable aleatoria discreta.
Desviación estándar.
3 Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución Binomial
Distribución Binomial Negativa
Distribución Geométrica
Distribución Hipergeométrica
Distribución PoissonLuis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
Propiedades
La probabilidad de cada evento o combinación de eventos debe
variar entre 0 a 1.
0≤ p(x)≤ 1
La suma de las probabilidades de todos los posibles eventos
dabe ser igual a 1.
∑x p(x) = 1
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Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
Pmf vs cdf
Probability Mass Function
Es la probabilidad en el punto de una variable aleatoria.
fX (x) = P (X = x)
Cumulative Distribution Function
Es la probabilidad acumulada hasta un punto de una variable
aleatoria.
F (x) = P (X ≤ x)
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Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
Ejemplo distribución de probabilidad discreta
Espacio muestral (Posibilidades) Suma de las caras (X) # de ocurrencias P(X = x) P(X ≤ x)
(1,1) 2 1 1/36 1/36
(1,2),(2,1) 3 2 2/36 3/36
(1,3),(2,2),(3,1) 4 3 3/36 6/36
(1,4),(2,3),(3,2),(4,1) 5 4 4/36 10/36
(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 6 5 5/36 15/36
(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) 7 6 6/36 21/36
(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) 8 5 5/36 26/36
(3,6),(4,5),(5,4),(6,3) 9 4 4/36 30/36
(4,6),(5,5),(6,4) 10 3 3/36 33/36
(5,6),(6,5) 11 2 2/36 35/36
(6,6) 12 1 1/36 1
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Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
Agenda
1 Concepto de probabilidad
2 Variable aleatoria
De�nición
Variable aleatoria discreta
Función de probabilidad
Propiedades distribución de probabilidad
Valor esperado de una variable aleatoria discreta.
Desviación estándar.
3 Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución Binomial
Distribución Binomial Negativa
Distribución Geométrica
Distribución Hipergeométrica
Distribución PoissonLuis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
Propiedades
Valor esperado
Es un promedio ponderado de los resultados posibles, mientras
que los pesos que utilizamos son las probabilidades.
Fórmula
µ = E (X ) = Pr1x1 +Pr2x2 +Pr3x3 + . . .+Prnxn =n
∑i=1
Prixi
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
Ejemplo
Ejemplo
Cuadro: Tasa de rendimiento de las acciones de las compañias X y Y
Estado de la Economía Probabilidad Tasa de Rend. X Tasa de Rend. Y
Auge 0.2 110% 20%
Normal 0.5 22% 16%
Recesión 0.3 -60% 10%
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Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
Ejemplo Valor Esperado
Ejemplo
µ = E(X ) = Pr1x1+Pr2x2+Pr3x3 = 0.2∗110+0.5∗22+0.3∗−60= 15%
µ = E(X ) = Pr1x1+Pr2x2+Pr3x3 = 0.2∗20+0.5∗16+0.3∗10= 15%
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Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
Ilustración
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
Agenda
1 Concepto de probabilidad
2 Variable aleatoria
De�nición
Variable aleatoria discreta
Función de probabilidad
Propiedades distribución de probabilidad
Valor esperado de una variable aleatoria discreta.
Desviación estándar.
3 Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución Binomial
Distribución Binomial Negativa
Distribución Geométrica
Distribución Hipergeométrica
Distribución PoissonLuis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
De�nición
Desviación Estándar de una variable aleatoria
Se puede de�nir el riesgo como la variabilidad de los
rendimientos. Por lo tanto, se puede examinar este mediante el
estudio de la dispersión o estrechez de la distribución de
probabilidad asociada con los resultados posibles.
Fórmula
σ =√
σ2 =√Pr1(x1−µ)2+Pr2(x2−µ)2+Pr3(x3−µ)2+ . . .+Prn(xn −µ)2 =
√n
∑i=1
Pri (xi −µ)2
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Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.
Ejemplo Desviación Estándar
Ejemplo
σ =√
σ2 =√0.2(110−15)2+0.5(22−15)2+0.3(−60−15)2 = 59.3
σ =√
σ2 =√0.2(20−15)2+0,5(16−15)+0.3(10−15)2 = 3.6
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Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Agenda
1 Concepto de probabilidad
2 Variable aleatoria
De�nición
Variable aleatoria discreta
Función de probabilidad
Propiedades distribución de probabilidad
Valor esperado de una variable aleatoria discreta.
Desviación estándar.
3 Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución Binomial
Distribución Binomial Negativa
Distribución Geométrica
Distribución Hipergeométrica
Distribución PoissonLuis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
De�nición
Distribución Binomial
Se basan en un proceso de Bernoulli (1654-1705), donde cada
ensayo en una distribución binomial termina en sólo uno de
dos resultados mutuamente excluyentes, uno de los cuales se
identi�ca como un éxito y el otro como un fracaso. La
probabildad de cada resultado permanece constante de un
ensayo al siguiente.
Ejemplo
Si la probabilidad de quiebra se asume �ja, un proceso
binomial corresponde a la probabilidad de que 5 empresas
quiebren de una muestra de 100 empresas.
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Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Caraterísticas de una Distribución Binomial
Características
El experimento consta de n pruebas idénticas.
Cada prueba tiene dos resultados posibles. Se llamará a uno
éxito y al otro fracaso.
La probabilidad de tener éxito en una sola prueba es igual a
p, y permanece constante de prueba en prueba. La
probabilidad de un fracaso es igual a (1−p) = q.
Las pruebas son independientes.
La variable aleatoria bajo estudio es X , el número de éxitos
observados en la n pruebas
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Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Fórmula de cálculo
Fórmula
P(x) = n!x!(n−x)! p
x (1−p)n−x
P(x) =n Cx px (1−p)n−x
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Media
µ = n ∗p
Varianza
σ2 = n ∗p ∗ (1−p)
Coe�ciente de sesgo
As =1−2p
[np(1−p)]1/2
Curtosis
κ = 3+[1−6p(1−p)]
np(1−p)
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Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Ejemplo
Un gerente de crédito de American Express ha descubierto que
p=10% de los usurios de tarjeta no paga el monto completo
de la deuda durante un mes dado. Desea determinar la
probabilidad que de n=20 cuentas seleccionadas de manera
aleatoria, x=5 de las cuentas no sean pagadas.
Respuestas
P(x = 5|n = 20,p = 0.10) =20 C5 0.15 (0.9)20−5 = 0.0319
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Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Agenda
1 Concepto de probabilidad
2 Variable aleatoria
De�nición
Variable aleatoria discreta
Función de probabilidad
Propiedades distribución de probabilidad
Valor esperado de una variable aleatoria discreta.
Desviación estándar.
3 Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución Binomial
Distribución Binomial Negativa
Distribución Geométrica
Distribución Hipergeométrica
Distribución PoissonLuis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
De�nición
Distribución Binomial Negativa
Es una distribución de probabilidad discreta que se utiliza
cuando lo que interesa es encontrar la probabilidad de que el
éxito número r , ocurra en el segundo, el tercero, el cuarto
éxito o n− esimo ensayo.
La variable aleatoria bajo estudio es X , el número de ensayos
necesarios para tener el éxito número r .
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Fórmula de cálculo
Fórmula
P(x) =
(x−1
r −1
)pr (1−p)x−r
Donde
r es el número de éxitos que necesito.
x es el número de ensayo en la que ocurre el éxito.
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Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Media y varianza
Media
µ =r
p
Varianza
σ2 =
r(1−p)
p2
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Agenda
1 Concepto de probabilidad
2 Variable aleatoria
De�nición
Variable aleatoria discreta
Función de probabilidad
Propiedades distribución de probabilidad
Valor esperado de una variable aleatoria discreta.
Desviación estándar.
3 Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución Binomial
Distribución Binomial Negativa
Distribución Geométrica
Distribución Hipergeométrica
Distribución PoissonLuis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
De�nición
Distribución Geométrica
Cuando interesa el número de ensayos hasta que ocurra el
primer éxito.
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Fórmula de cálculo
Fórmula
P(x) = p (1−p)x−1
Donde
x es el número de la prueba en la que ocurre el primer éxito.
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Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Media y varianza
Media
µ =1
p
Varianza
σ2 =
(1−p)
p2
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Agenda
1 Concepto de probabilidad
2 Variable aleatoria
De�nición
Variable aleatoria discreta
Función de probabilidad
Propiedades distribución de probabilidad
Valor esperado de una variable aleatoria discreta.
Desviación estándar.
3 Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución Binomial
Distribución Binomial Negativa
Distribución Geométrica
Distribución Hipergeométrica
Distribución PoissonLuis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
De�nición
Distribución hipergeométrica
Esta distribución se utiliza cuando la probabilidad de un éxito
de�nido, de un ensayo a otro no es �ja. Esto ocurre si la
muestra es pequeña o el muestreo se realiza sin reemplazo, por
lo tanto la probabilidad de un éxito variará.
Suponga que se tiene una población de N elementos de los
cuales, r pertenecen a la categoría A y N− r a la B . Ladistribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x(0≤ x ≤ r ) elementos de la categoría A en una muestra sin
reemplazo de n elementos de la población original.
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Fórmula de cálculo
Fórmula
P(x) =
(rx
)(N− rn−x
)(
Nn
)
Donde
N es el tamaño de la población.
r es el número de elementos en el subgrupo de interés.
n es el tamaño de la muestra.
x es el número de éxitos en el subgrupo de interés.
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Media y varianza
Media
µ =nr
N
Varianza
σ2 = n
( r
N
) (N− r
N
) (N−n
N−1
)
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Agenda
1 Concepto de probabilidad
2 Variable aleatoria
De�nición
Variable aleatoria discreta
Función de probabilidad
Propiedades distribución de probabilidad
Valor esperado de una variable aleatoria discreta.
Desviación estándar.
3 Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución Binomial
Distribución Binomial Negativa
Distribución Geométrica
Distribución Hipergeométrica
Distribución PoissonLuis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
De�nición
Distribución Poisson
Es una distribución que muestra la probabilidad de ocurrencia
de un evento en un intervalo especí�co de tiempo o espacio.
Ejemplo
Número de llegadas de clientes por hora.
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Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Propiedades de una Distribución Poisson
Propiedades
La probabilidad de una ocurrencia es igual en dos intervalos
cualesquiera de tiempo o espacio.
La ocurrencia o no en cualquier intervalo es independiente de
la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Fórmula de cálculo
Fórmula
P(x) =λ x
x!e−λ
Donde
λ es el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo
o espacio.
x es el número de veces que ocurre el evento.
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Media
µ = λ
Varianza
σ2 = λ
Coe�ciente de asimetría
As =1√λ
Curtosis
κ = 3+1
λ
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Ejemplo
Supongamos que se está interesado en la probabilidad de que
exactamente 5 clientes lleguen durante la siguiente hora (o en
cualquier hora dada) laboral. La observación simple de las
últimas 80 horas ha demostrado que 800 clientes han entrado
al negocio. Por tanto, λ=10 por hora.
Respuestas
P(x = 5) =λ x
x!e−µ =
105
5!e−10 = 0.03783
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad
Concepto de probabilidadVariable aleatoria
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson
Bibliografía
Barrantes G., Miguel
Elementos de estadística descriptiva. EUNED, 1998.
Kenneth N., Berk & Patrick, Carey
Análisis de datos con Microsoft Excel Actualizado para Office2000Thomson Learning, 2000.
Gitman, Lawrence.
Principios de administración FinancieraPearson Education, Décima edición.
Webster L., Allen
Estadística aplicada a los negocios y la economíaIrwin McGraw-Hill, Tercera edición.
Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad