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PRESENTACION.

El texto de topografía proyecto a realizarse durante el periodo 1º de febrero del 2006 al 31 de enero del 2007 durante el año sabático que tuvo a bien autorizarme la dirección del Instituto Tecnológico de Zacatepec esta de acuerdo al programa elaborado en el Instituto Tecnológico de la Paz, en Diciembre del 2004 durante la reunión de academias, para la evaluación curricular de la carrera de Ingeniero Civil.El libro consta básicamente de 5 unidades en las cuales la:

1ª Unidad, habla de generalidades, concepto e historia de la topografía; así como de su aplicación en los proyectos de infraestructura de la carrera de Ingeniería Civil, y así también como de su importancia.

2ª Unidad, se refiere en general a tratar de los temas sobre planimetría hasta la agrimesura.

3ª Unidad, aquí nos referiremos al tema de altimetria, configuración y la manera de representar el relieve del terreno, por medio de curvas de nivel; así como la aplicación en diferentes proyectos.

4ª Unidad, Tecnicas Modernas en Topografía se refiere a la elaboración de levantamientos rápidos, obteniendo a su vez planimetría y altimetria. No solamente utilizando el transito y el estadal (estadía), sino también utilizando equipo moderno de topografía como lo es la estación total, GPS, Sistemas de Posicionamiento por Satélite, etc.

En este mismo capitulo expondremos la aplicación de la astronomía para obtener el azimut, coordenadas ecuatoriales y locales, el rumbo de una línea por medio del GPS, a la vez por los métodos tradicionales.

5ª unidad, se refiere a los tipos de curvas horizontales con sus respectivas partes y su aplicación en las vías terrestres; principalmente en el trazo de carreteras, vías del ferrocarril, vías del metro y canales. El calculo de sus elementos y el trazo en el campo en lo que se refiere a curvas verticales; se conocerán sus elementos como formulas y cálculos de sus elementos; para el respectivo proyecto vertical con la elaboración de este texto cuyo objetivo sirva de guía a los estudiantes y profesores interesados en la materia para una mejor comprensión de la importancia que tiene la topografía en los proyectos de Ingeniería Civil. Puesto que en todo proyecto esta inmersa esta asignatura.

Adrián Sedano Peñaloza.

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CONTENIDO1.-GENERALIDADES 6

1.1 CONCEPTO MODERNO DE TOPOGRAFÍA E HISTORIA DE LA MISMA 71.2 DIVISION DE TOPOGRAFÍA 81.3 CONCEPTO DE LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO Y TIPOS DE

LEVANTAMIENTO9

1.4 APLICACIÓN DE LA TOPOGRAFÍA 101.5 POLIGONAL Y TIPOS DE POLIGONALES 121.6 ERRORES. 12

2.- PLANIMETRÍA 15

2.1 DEFINICION. 16

2.2 MEDIDA DE DISTANCIAS: A PASOS CON CINTA EN TERRENO HORIZONTAL

E INCLINADO.

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2.3 PROBLEMAS RESUELTOS CON CINTA. 19

2.4 ERRORES TOPOGRÁFICOS: ORIGENES Y CLASES. VALOR PROBABLE Y

TOLERANCIA LINEAL

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2.5 LEVANTAMIENMTOS CON CINTA: 22

a) Por triangulación. 24

b) Por radiaciones. 27

c) Por intersecciones. 30

d) Por coordenadas. 32

2.6 CONCEPTO RUMBO, AZIMUT Y DECLINACIÓN MAGNETICA. 33

2.7 GENERALIDADES DE LA BRUJULA Y CONDICIONES QUE DEBEN

SATISFACER, USOS.

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2.8 LEVANTAMIENTO CON TEODOLITO Y CINTA 38

2.8.1 Descripción del teodolito mecánico y electrónico. 38

2.8.2 Condiciones que deben satisfacer un teodolito para un buen funcionamiento. 43

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2.8.3 Medida de ángulos simple y por repeticiones. 44

2.8.4 Métodos de levantamientos: 47

a) Por ángulos. 47

b) Por deflexiones. 52

c) Por conservación de Azimutes 55

2.9 AGRIMENSURA. 58

2.9.1 Métodos para el cálculo de la superficie. 58

a) Método de coordenadas. 58

b) Método del planímetro 60

2.9.2 Problemas de medidas faltantes en poligonales cerradas. 63

2.9.3 Problemas de división de superficies. 62

2.9.4 Uso y elaboración de software para agrimensura.

3.- ALTIMETRIA. 68

3.1 NIVELACION INDIRECTA 70

3.2 NIVELACION DIRECTA. 70

3.3 DESCRIPCIÓN DEL NIVEL Y CONDICIONES PARA SU BUEN

FUNCIONAMIENTO.

71

3.4 NIVELACIÓN DIFERENCIAL. 74

3.5 NIVELACIÓN DEL PERFIL. 78

3.6 ERRORES Y COMPENSACIÓN DE NIVELACIONES 81

3.7 CONSTRUCIÓN DE PERFILES. 84

3.8 SECCIONES TRANSVERSALES. 85

3.9 CURVAS DE NIVEL. 86

3.9.1 Método de cota cerrada. 88

3.9.2 Método de cota abierta. 88

3.9.3 Método de la cuadricula. 88

3.9.4 Solución de problemas con curvas. 89

3.10 ESTACION TOTAL, TIPOS, MANEJOS Y USOS. 90

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4.- TÉCNICAS MODERNAS EN TOPOGRAFÍA 98

4.1 GENERALIDADES. 994.2 COORDENADAS ECUATORIALES Y LOCALES. 1044.3 SISTEMA DE POSICIONAMIENTO POR SÁTELITE. 1044.44.54.6

SISTEMA DE INFORMACIÓN GEOGRÁFICAGPS, TIPOS, MANEJOS Y USOSAPLICACIÓN DE SOFTWARE DE DIBUJO ASISTIDO POR COMPUTADORA

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V.- CURVAS HORIZONTALES Y VERTICALES. 114

5.1 GENERALIDADES DE LOS TIPOS DE CURVAS. 115

5.2 CURVAS HORIZONTALES SIMPLES: SUS ELEMENTOS, FORMULAS Y

CALCULO.

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5.2.1 Trazo con cinta métrica. 126

5.2.2 Trazo con teodolito y cinta métrica. 128

5.3 CRUVAS DE ALINEAMIENTO VERTICAL: CRESTA Y COLUMPIO. 128

5.3.1 Sus principales elementos. 129

5.3.2 Deducción de sus formulas. 129

5.3.3 Procesos para su trazo en campo. 136

BIBLIOGRAFIA. 137

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Unidad I

GENERALIDADES

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1.1 CONCEPTO MODERNO DE TOPOGRAFÍA E HISTORIA DE LA MISMA

Se define la topografía (del griego: topos:, lugar y graphein, describir) Como la ciencia que trata de los principios y métodos empleados para determinar las posiciones relativas de los puntos de la superficie terrestre, por medio de medidas, y usando los tres elementos del espacio. Estos elementos pueden ser: dos distancias y una elevación, o una distancia, una dirección y una elevación.

La topografía, en general, es una aplicación de la geometría y, por tanto, sin el conocimiento de esta ciencia, sería imposible que aquélla llenara el cometido que tiene asignado.

La topografía define la posición y las formas circunstanciales del suelo; es decir, estudia en detalle la superficie terrestre y los procedimientos por los cuales se pueden representar, todos los accidentes que en ella existen, sean naturales o debidos a la mano del hombre. El medio usual de expresión es el dibujo.

La topografía se encuentra directamente relacionada con la tierra. El estudio de la Tierra como cuerpo en el espacio le corresponde a la Astronomía, y como globo terrestre en lo que concierne a su configuración precisa y a su medida le corresponde a la Geodesia; pero el hombre tiene necesidad de algo más, de un estudio detallado de un territorio determinado de la tierra, en el cual orientará su existencia diaria.

He aquí donde entra la topografía: ayuda a determinar los linderos de la propiedad, con sus divisiones interiores diversos cultivos, las viviendas, los caminos y los ríos, los puentes, los ferrocarriles, los montes con sus valles y barrancos, los bosques, los pantanos, etc., y, en suma, todas aquellas particularidades del terreno que puedan interesar en las cuestiones que se presentan en las necesidades de la vida práctica.

HISTORIA DE LA TOPOGRAFIA.

Antecedentes históricos, todas las ciencias han nacido mediante los esfuerzos del hombre a través del tiempo, por la búsqueda de vivir y convivir de la mejor manera posible, tratando de dominar los elementos naturales: Esto se fue logrando mediante el descubrimiento de herramientas, utensilios y técnicas.

Según las investigaciones obtenidas, se pudo concluir que los egipcios ya habían formado su calendario de 365 días. Elaborado nociones de matemáticas, astronomía y geografía, como también el arte de la construcción y arquitectura. Dieron los primeros pasos muy acertados en materia de agricultura e irrigación. Como una influencia del progreso científico, de los conocimientos antes citados y como una necesidad, los egipcios comenzaron a formar una técnica para realizar mediciones y trazos sobre la superficie de terrenos, iniciándose así una ciencia: la topografía rudimentaria. Lo anterior se puede corroborar mediante las características muy especiales, que tiene el trazo de orientación de las pirámides de Egipto en sus ejes.

En el trazo de sus canales de sistema de riego, evidentemente tuvieron que aplicar una técnica incipiente de topografía

Los griegos realizaron descubrimientos matemáticos, geométricos y geográficos. Con euclides los conocimientos de la geometría se amplia y aparecen las primeras nociones de topografía,

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se realiza la primera medida del radio de la tierra, como consecuencia de los primeros conocimientos geométricos terrestres, precursores de la topografía.

Por esta época aparecen como consecuencia los primeros inicios de la cartografía.

En los siglos XI a XIII, se da la técnica de levantamiento de mapas, con instrumentos rústicos de topografía.

Es también en la cultura árabe, en donde aparecen las primeras investigaciones sobre el magnetismo, inventándose como consecuencia, la brújula, aparato importantísimo en el instrumental topográfico.

En el llamado siglo de las luces, o sea el renacimiento se desarrolla ampliamente entre otras, las ciencias físicas, matemáticas y la astronomía y como consecuencia progresa notablemente la geografía, trayendo consigo el descubrimiento de la geodesia. Ciencia topográfica, la cual toma en cuenta para su estudio, la curvatura de la tierra, resolviéndose por tal motivo en esta época, muchos problemas relativos al relieve y forma de la tierra.

Circunscribiéndonos a nuestros antepasados, en las ciudades prehispánicas los aztecas nos dejaron muestras en la ciudad de Teotihuacan de un conocimiento topográfico en ciernes, en el trazo perfecto de la calzada central llamada de los muertos, amplia, pavimentada y perfectamente recta y que atravesaba la ciudad de una parte a otra, sus edificios orientados deliberadamente en tal forma; que a la hora de que pasa el sol por el meridiano, quedaban perfectamente alumbrados los monumentos construidos por ellos.

El alineamiento perfecto de los basamientos de la pirámide del sol, la luna y el templo de quetzalcoatl; con respecto al eje de la gran avenida nos da una idea de su pueblo aplicaba ya a los rudimentos elementales topográficos de la época.

Conclusiones parecidas, sobre el ya uso de lo que conocemos hoy como topografía, se puede obtener de las ciudades antiguas de tenochtitlan, bonampak y otras,

1.2 DIVISIÓN DE LA TOPOGRAFÍA

Para su estudio la topografía se divide en tres partes:

Topología que estudia las leyes que rigen las formas del terreno.

Topometría que establece los métodos geométricos de medida.

Planografía que es la representación gráfica de los resultados y constituye el dibujo topográfico.

Para que sea completa la representación gráfica de una porción de la superficie terrestre, deberá contener:

La forma general del terreno, o sea, su contorno o perímetro y los detalles interiores (construcciones, caminos, puentes, ríos, etc.).

La diferencia de altura que guardan los puntos del terreno, unos respectos a otros; y la superficie del terreno.

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Por lo antes expuesto, se deduce que la topografía (topometría), según las operaciones que se ejecutan para representar el terreno, se divide en tres partes que son:

Planimetría que estudia los instrumentos y métodos para proyectar sobre una superficie plana horizontal, la exacta posición de los puntos más importantes del terreno y construir de esa manera una figura similar al mismo.

Altimetria que determina las Alturas de los diferentes puntos del terreno con respecto a una superficie de referencia; generalmente correspondiente al nivel medio del mar.

Agrimensura que comprende los procedimientos empleados para medir la superficie de los terrenos y para fraccionarlos.

1.3 CONCEPTO DE LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO Y TIPOS DE LEVANTAMIENTO.

El levantamiento es uno de los más viejos artes practicados por el hombre, porque desde épocas tempranas ha sido necesario marcar límites y dividir la tierra. Es una operación técnica que consiste en medir directamente el terreno.

Se puede definir el levantamiento como el conjunto de operaciones y medios puestos en práctica para determinar las posiciones de puntos del terreno y su representación en un plano.

Clases o tipos de levantamientos topográficosEn cuanto a su extensión, los levantamientos pueden ser topográficos o geodésicos.

Levantamientos topográficos son los que se extienden sobre una porción relativamente pequeña de la superficie de la Tierra que, sin error apreciable, se considera como si fuera plana.

Las dimensiones máximas de las zonas representadas en los planos topográficos no superan en la práctica los 30 Km de lado, correspondientes aproximadamente a un círculo de 30 Km de diámetro, límites dentro de los cuales se puede hacer abstracción de la curvatura de la superficie terrestre.

Levantamientos geodésicos son aquellos que abarcan grandes extensiones y obligan a tomar en cuenta la forma de la Tierra, ya sea considerándola como una verdadera esfera, o más exactamente esferoide de revolución. Estos levantamientos se salen de los límites de la topografía y entran en el dominio de la geodesia.

Los levantamientos topográficos en cuanto a su calidad se dividen como sigue:

Precisos: que se ejecutan por medio de triangulaciones o poligonales de precisión. Se emplean para fijar los límites entre naciones o estados, en el trazo de ciudades, etc.

Regulares: los cuales se realizan por medio de poligonales levantadas con tránsito y cinta. Se usan para levantar linderos de propiedades, para el trazo de caminos, vías férreas, canales, ciudades pequeñas, etc., y en obras de saneamiento en las ciudades.

Taquimetricos, en los cuales las distancias se miden por procedimientos indirectos generalmente se ejecutan con tránsito y estadía, y se emplean en trabajos previos al trazo de vías de

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comunicación, en trabajos de configuración y. de relleno, y también para la formación de planos a pequeña escala.

Expeditivos, efectuados con aparatos portátiles, poco precisos brújula, sextante, podómetro, telémetro, estadía de mano, etc., y cuando no se dispone de aparatos se ejecutan a ojo o por informes proporcionados por los habitantes de la región. Estos levantamientos se emplean en reconocimientos de terreno o en las exploraciones militares.

1.4 APLICACIÓN DE LA TOPOGRAFÍA

A la topografía se le puede considerar como una de las herramientas básicas de la ingeniería civil, aunque se le llega a utilizar en otras especialidades. Las materias propedéuticas son la geometría, la trigonometría, la física y la astronomía, por tanto, se puede decir que la topografía es una ciencia aplicada

Además del conocimiento de las materias mencionadas, para la realización de los trabajos topográficos se hacen necesarias algunas cualidades personales como: iniciativa, habilidad para manejar los aparatos, habilidad para tratar alas personas y buen criterio

La topografía tiene un campo de aplicación extenso, lo que la hace sumamente necesaria. Sin su conocimiento no podría el ingeniero por sí solo proyectar ninguna obra. Sin un buen plano no podría proyectar debidamente un edificio o trazar un fraccionamiento; sin el levantamiento de secciones transversales no le sería posible proyectar presas, puentes, canales, carreteras, ferrocarriles, etc. Tampoco podrían señalar una pendiente determinada como se requiere en un alcantarillado.

Además, al ingeniero recién graduado que ingresa a una empresa constructora o institución, generalmente los primeros trabajos que se le encomiendan son sobre topografía. Así pues, toda recomendación para que se preocupe en el conocimiento de los métodos topográficos es pequeña y el estudiante así debe entenderlo.

Las actividades fundamentales de la topografía son el trazo y el levantamiento.

El trazo es el procedimiento operacional que tiene como finalidad el replanteo sobre el terreno de las condiciones establecidas en un plano; y el levantamiento comprende las operaciones necesarias para la obtención de datos de campo útiles para poder representar un terreno por medio de su figura semejante en un plano.

La Topografía tiene una gran variedad de aplicaciones:

Levantamiento de terrenos en general, para localizar y marcar linderos, medida y división de superficies y ubicación de terrenos en planos genérales localización, proyecto, trazo y construcción de vías de comunicación: Caminos, ferrocarriles, canales, líneas de transmisión, acueductos, etc.

La topografía de minas tiene por objeto fijar y controlar la posición de trabajos subterráneos y relacionarlos con las obras superficiales. Levantamientos catastrales hechos con el propósito de localizar límites de propiedad y valorar los inmuebles para la determinación del impuesto correspondiente.

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Topografía urbana es la denominación que con frecuencia se da a las operaciones que se realizan para la disposición de lotes, construcción de calles, sistemas de abastecimiento de agua potable y sistemas de drenaje.La topografía hidrográfica estudia la configuración de océanos, lagos, ríos, etc, para propósitos de navegación, suministro de agua o construcción subacuática.

La topografía fotogramétrica es la aplicación a la topografía de la ciencia de las mediciones por medio de fotografías. Se usa para levantamientos topográficos generales, levantamientos preliminares de rutas, para fines militares y aun para levantamientos en áreas agrícolas.

Proyectos de Carreteras:-Autopistas.-Terracerías-Caminos rurales

Topografía subterránea:-Drenaje Profundo-Minas-Líneas del Metro-Túneles

Levantamientos Hidrográficos:-Batimetrías -Presas-Presas de almacenamiento-Dragados

Campos Petroleros:-Localización de pozos-Líneas de conducción-Caminos de acceso-Posicionamiento G.P.S.

Irrigación:-Tratamiento de aguas negras-Canales-Conducción de agua potable-Conducción de aguas negras

Agrimensura:-Medición de terrenos de cultivo-Catastro rural-División de terrenos-Deslindes

Ferrocarriles:-Localización de rutas-Nivelación y control de vías-Tren ligero

Topografía Urbana:-Fraccionamientos-Ejes viales-Pasos y cruces a desnivel-Alineación de líneas de teléfonos-Alineación de líneas de luz-Pavimentaciones-Drenaje y alcantarillado

Topografía aplicada a la construcción:-Nivelación para desplome de edificios-Nivelación para el control de hundimientos-Nivelación por pisos construidos

Fotogrametría:-Estudios topográficos por medio de fotos aéreas-Fotointerpretación Topográfica-Posicionamiento de puntos geodésicos.

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1.5 POLIGONAL Y TIPOS DE POLIGONALES

En topografía se da el nombre de poligonal a un polígono o a una línea quebrada de n lados. También se puede definir la poligonal como una sucesión de líneas rectas que conectan una serie de puntos

Clases o tipos de poligonalesDe la definición de poligonal se deduce que las poligonales pueden ser cerradas o abiertas.

Poligonal cerrada es aquella cuyos extremos inicial y final coinciden; es decir, es un polígono.

Poligonal abierta es una línea quebrada de n lados o aquella poligonal cuyos extremos no coinciden.

Existen dos clases de poligonales abiertas: las de enlace y los caminamientos.

Poligonal de enlace es una poligonal abierta cuyos extremos son conocidos de antemano y, por tanto, puede comprobarse.

Caminamiento se denomina a una poligonal abierta, en la cual solo se conoce el punto de partida y por esto no es susceptible de comprobación.

1.6 ERRORES

No se pueden medir exactamente ninguna magnitud; por perfectos que sean los procedimientos y aparatos que se empleen; cada medida que se haga estará siempre afectada por un error. Al considerar una magnitud cualquiera debemos distinguir en ella tres valores: valor observado, valor más probable y valor verdadero

Valor observado es el que resulta de la observación o experimentación después de hechas todas las correcciones instrumentales y del medio en que se trabaja.

Valor más probable de una cantidad es el que se acerca más al valor verdadero de acuerdo con las observaciones hechas o medidas tomadas.

Valor verdadero de una magnitud es el que está exento de todo error y por lo mismo, será siempre desconocido para nosotros.

Al referirnos a las medidas, es importante distinguir entre exactitud y precisión.

Exactitud es la aproximación a la verdad o bien al grado de conformidad con un patrón.

Precisión es el grado de refinamiento con que se lee una medida o el número de cifras con el que se hace un cálculo. También se define como el grado de refinamiento para ejecutar una operación o para dar un resultado.

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De estas dos definiciones, compatibles entre sí, se sigue que una medida puede ser exacta sin ser precisa, y viceversa. Por ejemplo puede medirse cuidadosamente con una cinta, aproximado hasta los milímetros y tener; sin embargo, un error de varios centímetros por ser incorrecta la longitud de la cinta. La medida es precisa, pero no exacta.

Fuentes de errorUna de las funciones más importantes del ingeniero es obtener medidas que estén correctas

dentro de ciertos límites de error, fijados por la naturaleza y objeto del levantamiento, para lo que se requiere que se conozcan las fuentes de error, el efecto de los diferentes errores en las cantidades observadas y esté familiarizado con el procedimiento necesario para mantener la precisión requerida.

En las medidas hechas en topografía no es posible tener el valor exacto a causa de los inevitables errores inherentes al operador, a la clase de instrumentos empleados y a las condiciones en que se efectúa la medida.

Los errores personales se producen por la falta de habilidad del observador para leer los instrumentos. La apreciación de una lectura en una cinta, por ejemplo, depende de la agudeza visual del observador y se comprende que a causa de la imperfección de nuestros sentidos, no es posible que se pueda hacer una coincidencia perfecta o una lectura exacta.

Los errores instrumentales se originar por las imperfecciones o ajuste defectuoso de los instrumentos con que se toman las medidas.

Los errores naturales se deben a las variaciones de los fenómenos de la Naturaleza como la temperatura, la humedad, el viento, la gravedad, la refracción atmosférica y la declinación magnética.

Clases de errores

Error verdadero es la diferencia entre el valor verdadero de una cantidad y el observado, razón por la que siempre será desconocido para nosotros; y como lo único que llegamos a conocer es el valor más probable; es decir, el más cercano al verdadero, la diferencia entre este valor y el observado se designa con el nombre de error residuo o residuo simplemente.

Los errores pueden dividirse en sistemáticos y accidentalesErrores sistemáticos son aquellos que; siguen siempre una ley definida física o matemática

y, mientras las condiciones en que se ejecutan las medidas permanezcan invariables, tendrán la misma magnitud y el mismo signo algebraico; por tanto, son acumulativos. La magnitud de estos errores se puede determinar y se eliminan aplicando métodos sistemáticos en el trabajo de campo o correcciones a las medidas.

Los errores sistemáticos pueden ser instrumentales, personales o naturalesErrores accidentales son los que obedecen a una combinación de causas que no alcanza el observador a controlar y para las cuales no es posible obtener correcciones, para cada observación la magnitud y signo algebraico del error accidental dependen del azar y no pueden calcularse. Como todos los errores accidentales tienen las mismas probabilidades de ser positivos que negativos, existe cierto efecto compensador y por ello muchos de los errores accidentales se eliminan. Los errores accidentales sólo se pueden reducir por medio de un mayor • cuidado en las medidas y aumentando su número.

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EquivocacionesUna equivocación es una falta involuntaria originada por el mal criterio, falta de cuidado o

de conocimientos, distracción o confusión en la mente del observador.Las equivocaciones no pertenecen al campo de la teoría de los errores y, a diferencia de éstos, no pueden controlarse y estudiarse. Las equivocaciones se encuentran y se eliminan comprobando todo el trabajo.

DiscrepanciaUna discrepancia es la diferencia entre dos medidas de la misma magnitud: distancia,

ángulo o desnivel.

Valor más probableEl valor más probable de una magnitud medida varias veces, en idénticas condiciones, es el

promedio de las medidas tomadas o media aritmética.Esto se aplica tanto a ángulos como a distancias y desniveles.

ComprobacionesEn todo trabajo de topografía, se debe buscar siempre la manera de comprobar las medidas

y los cálculos ejecutados. Esto tiene por objeto descubrir equivocaciones; errores, y determinar el grado de precisión obtenida.

ToleranciaSe entiende por tolerancia el error máximo admisible en la medida de ángulos, distancias y

desniveles.

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Unidad II

PLANIMETRÍA

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2.1 DEFINICION

Se llama planimetría al conjunto de los trabajos efectuados para tomar en el campo los datos geométricos necesarios que permitan construir una figura semejante a la del terreno, proyectada sobre un plano horizontal.

Levantamientos planimétricosEstos levantamientos pueden ejecutarse de varias maneras:

Con cinta exclusivamente.

Por medio de poligonales, determinando las longitudes de los lados y los ángulos que éstos forman entre sí; y

Por triangulaciones, cubriendo la zona que se va levantar, con redes de triángulos ligados entre sí. Por lo regular este método se emplea en el levantamiento de grandes extensiones de terreno, y se hace la medida directa de uno de sus lados que se denomina base, así como la de los ángulos de los triángulos.

Los levantamientos planimétricos por medio de poligonales, se clasifican como sigue:

Levantamientos con brújula y cinta.Levantamientos con tránsito y cinta.Levantamientos con tránsito y estadía.Levantamientos con estación total.Levantamientos con G.P.S.Levantamientos con estación total.

2.2 MEDIDA DE DISTANCIAS: A PASOS, CON CINTA EN TERRENO HORIZONTAL E INCLINADO

Existen diversos métodos en los levantamientos topográficos para obtener distancias lineales, siendo las siguientes:

1 Medición de distancia por medio de pasos.2 Medición con cinta.3 Medición con odometro.4 Medición a estadia5 Medición electrónica.

1. Medición a pasos, la exactitud que se obtiene al medir a pasos es suficiente en muchos levantamientos a nivel de croquis, en reconocimientos de proyectos preliminares de carreteras en geología; agricultura y otros, en muchas ocasiones se utiliza con eficiencia para detectar errores ocurridos al medir con cinta u otros métodos. Este método consiste en contar el numero de pasos al medir una distancia entre dos puntos, deberá determinarse la longitud del paso de la persona que haga la medición, este método consiste en caminar en pasos

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naturales en una dirección dada entre dos puntos a nivel, por ejemplo; si el paso es de 40 cm. y se contaran 100 pasos, la distancia seria de 40 mts aproximadamente; las notas croquis deberán registrarse en una libreta de campo. Para distancias largas se puede llevar un instrumento llamado “cuenta pasos”, de esta manera obtendremos distancias entre dos puntos. En este método no se requiere equipo y las distancias se obtienen con una sola persona; obteniéndose una precisión de 1:100.

2. Medición con cinta, (se presentan dos casos), en terreno plano u horizontal y en terreno inclinado.

1) En terreno plano u horizontal: la medida se efectúa entre dos puntos materializados sobre el terreno, por medio de trompos y estacas como testigos; la medida se efectúa llevando la cinta paralela al terreno puesto que la distancia será en proyección horizontal auxiliándose de fichas y plomadas. Esta medida la efectúan dos personas; un cadenero de adelante que es el mas experimentado al efectuar las mediciones y el cadenero de atrás llevando la marca cero de la cinta. Para medir distancias se emplea el siguiente equipo: CINTA, que puede ser de acero; lona o fibra de vidrio y otras que normalmente tienen una longitud de 10, 20, 30 y 50 metros. BALISAS, que pueden ser de madera o metal de sección circular, con una longitud de 2.50 mts. pintados regularmente de rojo y blanco a cada 50 cms, los de madera tienen en el pie un regatón con punta de acero y son utilizados para señalar puntos o vértices de poligonal así como también señalar las direcciones.

2) En terreno inclinado: para medir en terreno inclinado y de acuerdo a la dirección que se efectué el caminamiento puede ser en: terreno descendente para efectuar esta medida el cadenero de atrás colocara la cinta en el piso, poniendo el cero en la respectiva marca y el cadenero de adelante poniendo la cinta que este horizontal y tensara la cinta de tal manera de que no haga catenaria o curva, por el peso de la misma cinta de tal manera que cuando el cadenero este alineado utilizando una plomada marcara el punto en el terreno sobre un trompo o ficha. Efectuando las medidas en la dirección dada hasta tener la longitud total de la línea.

FIGURA 2.1.

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3) En terreno ascendente: en este caso el cadenero de atrás se colocara en el cero de la cinta, auxiliándose de una plomada para subir el punto.

FIGURA 2.2

Donde se tiene el cero y manteniéndose a nivel el cadenero de adelante tomara la lectura y sobre la marca puesta en el piso y así en la misma dirección hasta efectuar la medida total de la línea.

3. Medición con odómetro, el odómetro es una rueda que gira sobre la superficie del suelo y convierte el numero de revoluciones a una medición de pendiente – distancia; es de fácil uso y rápido aunque no es muy preciso como una cinta bien utilizada.

4. Medición a estadía, consiste básicamente en utilizar un transito con sus respectivos hilos de estadía y una regla llamada estadal, puede utilizarse en terreno plano sin considerar el ángulo vertical, y así obtener distancias horizontales y desniveles al mismo tiempo y costos para la cotización del terreno.

5. Medición electrónica, la tecnología actual ha hecho posible la medición de ondas de luz, ondas electromagnéticas o de rayo láser para medir distancias en forma rápida y precisa. Para efectuar estas mediciones se emplean distanciometros y prismas como los que se utiliza la estación total.

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2.3 PROBLEMAS RESUELTOS CON CINTA

Trazo de perpendicularesLevantar una perpendicular en cualquier punto sobre una línea.

1. Se puede determinar dicha perpendicular por medio de un triangulo rectángulo cuyos lados estén en la proporción 3, 4, 5, pues un triangulo en el que se cumple esta condición, siempre es rectángulo. En efecto:

Al emplear este método, la distancia correspondiente a uno de los catetos se mide a lo largo de la línea de referencia. Si un cadenero junta la extremidad 0 de la cinta con la marca de 12 metros y otro cadenero la detiene en la marca de 3 metros, y un tercero en la de 7 metros, y se mantiene tensa la cinta, se estará formando un triangulo rectángulo.

Trazo de paralelas1. Por un punto C trazar una paralela al alineamiento MN

Determínese y mídase la perpendicular CP a la línea MN desde el punto dado; luego, en algún otro punto de la línea, como el Q, levántese la perpendicular QD al alineamiento MN y mídase QD = CP. El punto D pertenece a la paralela buscada.

Medida de distancias salvando un obstáculo1. Para hallar la distancia AB, se forma un triangulo rectángulo, bajando del punto B la

perpendicular BP a la línea AP y se miden los catetos AP y BP.

AB = [(AP)2 + (BP)2 ]1/2

2.4 ERRORES, TOPOGRAFICOS: ORIGEN Y CLASES. VALOR PROBABLE Y TOLERANCIA LINEAL.

SistemáticosLongitud incorrecta de la cinta. Se determina, por longitud de cinta, comparándola con un

patrón.Si la longitud de la cinta es mayor que la correcta, el error es negativo y por lo tanto, la corrección será positiva y viceversa.

Catenaria, Se comete este error cuando la cinta no se apoya sobre el terreno sino que se mantiene suspendida por sus extremos, formando entonces una curva llamada catenaria. Este error es positivo y se elimina aplicando la corrección calculada.

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Alineamiento incorrecto. Se produce este error cuando la alineación se separa de la dirección verdadera. Es positivo y, en consecuencia la corrección es negativa. Este error es de poca importancia, pues una desviación de 2 cm. en 20 m, apenas produce un error de 1mm.

Inclinación de la cinta. Si se opera en terreno quebrado hay que colocar a ojo, en posición horizontal, toda la cinta o parte de ella. El error es positivo, por tanto, la corrección debe aplicarse con signo contrario al error.

Variaciones de temperatura. Los errores debidos a las variaciones de temperatura se reducen mucho utilizando cintas de metal invar. La cinta se dilata al aumentar la temperatura y se contrae cuando la temperatura disminuye; en el primer caso el error es positivo y negativo en el segundo.

Variaciones en la tensión. Las cintas, siendo elásticas, cuando se alargan cuando se les aplica una tensión. Si ésta es mayor o menor que la que se utilizó para compararla, la cinta resultará larga o corta con relación al patrón. Este error sistemático es despreciable excepto para trabajos muy precisos.

Accidentales De índice o de puesta de ficha. Consiste este error en la falta de coincidencia entre el punto terminal de una medida y el inicial de la siguiente. Se evita colocando las fichas en posición vertical.

Variaciones en la tensión. En los trabajos comunes la tensión que se da a la cinta es la natural ejercida por los cadeneros, y puede ser mayor o menor que la usada en la comparación de la cinta con el patrón.

Apreciación de fracciones al leer las graduaciones. Este error se comete al hacer las lecturas de las fracciones, por no coincidir las marcas colocadas en el terreno con las graduaciones de la cinta.

Tolerancias en medida de distancias con cinta.

1° Si no se conoce la distancia entre dos puntos, puede determinarse midiéndola en los dos sentidos; es decir, de ida y de regreso.En este caso la tolerancia se calcula aplicando la formula siguiente:

T = 2e (2L ÷ l )1/2

En la cual:T = tolerancia, en metros.e = error cometido en una puesta de cinta, en metros.L = promedio de medidas, en metros.l = longitud de la cinta empleada, en metros.

Error: Si se hacen dos o más medidas, el error de cada una de ellas es la diferencia con el promedio aritmético de medidas, o valor más probable.

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2° Si se conoce la verdadera longitud de la línea, la cual puede haber sido obtenida por métodos más precisos, y después se tiene que volver a medir la distancia, por ejemplo, para fijar puntos intermedios, la tolerancia esta dada por la fórmula.

T = 2 [e ( L ÷ l )1/2 + KL]

Siendo:T = tolerancia, en metros.e = error cometido en una puesta de cinta, en metros.L = promedio de medidas, en metros.l = longitud de la cinta empleada, en metros.K = error sistemático por metro, en metros.

El error esta dado por la diferencia entre la longitud conocida y la longitud media.

Los valores de “e” y “K” pueden tomarse de la tabla de valores experimentales que figuran en el libro METODOS TOPOGRAFICOS del Ing. Ricardo Toscano.

Condiciones de las medidas e (metros)

K (Kilómetros)

Terreno plano, cinta bien comparada y alineada, usando plomada y corrigiendo por temperatura

0.015 0.0001

Terreno plano, cinta bien comparada 0.02 0.0003Terreno quebrado 0.03 0.0005Terreno muy quebrado 0.05 0.0007

PROBLEMAS1. En la medida de una distancia, en terreno quebrado, usando una cinta de 50 m, se obtuvieron

los dos valores:

L1 = 150.04 m (ida) y L2 = 150.08 m (regreso)

Calcular el error cometido, la tolerancia y el valor más probable de la distancia medida, indicando si se acepta el resultado o debe repetirse la medida.

Datos:L1 = 150.04 m L2 = 150.08 m Terreno quebradol = 50 mL = valor mas probable de la distancia medida =?E = error = ?T = tolerancia = ?

Designemos por L el valor mas probable:

L = (L 1 + L 2) ÷ 2 = 150.06 mE = L 1 – L = 150.04 – 150.06 = -0.02 mE = L 2 – L = 150.08 – 150.06 = +0.02 mE = ±0.02m

T = 2e ( 2L ÷ l )1/2 = 2(0.03)[(2×150.06) ÷50] 1/2

T = ± 0.15 m

Se acepta el resultado, por que: E < TY el valor mas probable para la distancia medida: L = 150.06 m

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2. La distancia entre dos puntos, en terreno plano, es de 298.10 m. con una cinta comparada, de 30 m, y corrigiendo por temperatura al medir esta distancia resulto de 198.02 m. ¿es correcta la medida o debe repetirse?

Longitud conocida = 298.10 mDistancia medida = 298.02 mTerreno planoLongitud de la cinta = 30.00 m

Error = 198.10 – 298.02 = 0.08 mT = 2 [e ( L ÷ l )1/2 + KL]Tolerancia = 2[0.015(298.02 ÷ 30) 1/2 + 0.0001 ×298.02T = ± 0.15 m

Se acepta el resultado, por que: E < T

2.5 LEVANTAMIENTOS CON CINTA

Estos levantamientos se emplean cuando el terreno es sensiblemente horizontal, descubierto y accesible. El levantamiento de un terreno con la cinta se efectúa dividiéndolo en triángulos y tomando suficientes medidas de los lados, alturas y ángulos de los triángulos que permitan calcular el resto de lados y ángulos necesarios para dibujarlo y calcular las superficies.

Para fijar las posiciones de puntos del terreno se traza una figura llamada polígono de base o poligonal, que siga aproximadamente el perímetro del terreno que se desea levantar.

EÍ polígono de base se transforma en una figura rígida dividiéndolo en triángulos bien conformados; es decir, lo más cerca posible del equilátero y evitando ángulos menores de 20°.

El levantamiento con cinta, comprende dos clases de trabajos: de campo y de gabinete.

A. TRABAJO DE CAMPO. Este incluye las operaciones siguientes:1. Reconocimiento del terreno donde se ejecutará el levantamiento, para elegir el método adecuado, estimar el tiempo y el personal necesario, definir los vértices del polígono de base, etc.

2. Materialización de los vértices del polígono de base, por medio de estacas, marcadas) sobre roca o pavimento, fichas, etc.

3. Elección del método que se aplicará en el levantamiento.

4. Dibujo del croquis del polígono de base, orientado aproximadamente.

5. Medición de los lados del polígono de base y de las líneas auxiliares (radiaciones, diagonales, líneas de liga, etc.), empleadas para dividir en triángulos el, polígono de base.

6. Medición de las distancias necesarias para el levantamiento de detalles con relación al polígono de base.

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Los datos recogidos en el levantamiento deberán anotarse en forma clara, y ordenada en la libreta de campo, al mismo tiempo que se ejecuta el trabajo. Se deben utilizar un lápiz 3H o 4H con buena punta.

La libreta de campo debe tener papel de buena calidad, con una pasta dura, y ser del tamaño adecuado para llevarla en el bolsillo. En general, los datos numéricos se escriben en las páginas del lado izquierdo; los croquis y las notas aclaratorias en las de la derecha.

Los números deberán ser claros; y no se deberá anotar un número sobre otro. Los datos numéricos no deben borrarse; si un número está equivocado; se le traza una raya encima y el valor corregido se colocará arriba.

Los croquis se dibujan a mano libre y son la guía y base para la construcción del plano.

Las notas aclaratorias se emplean para explicar lo que los datos numéricos y los croquis dejan de hacer.

El registro de campo refleja la competencia del ingeniero y su valor depende, en gran parte de la claridad y lo completo que se haya llevado.

B. TRABAJO DE GABINETE. Se entiende por trabajo de gabinete la ordenación de los datos tomados en el campo y los cálculos que con ellos se ejecutan, con objeto de obtener los elementos necesarios para construir el plano.

Este trabajo se hace en el orden siguiente:1. Cálculo a) De los ángulos interiores del polígono de base.En cada uno de los triángulos en que se divide el polígono de base, los ángulos interiores se calculan aplicando las fórmulas siguientes:

Tan ½ A = [(p-b × p-c) ÷ (p (p-a))]1/2

Tan ½ B = [(p-a × p-c) ÷ (p (p-b))]1/2

Tan ½ C = [(p-a × p-b) ÷ (p (p-c))]1/2

Como comprobación la suma de los ángulos calculados debe satisfacer la condición geométrica:

A+B+C = 180°

Una vez calculados los ángulos interiores de todos los triángulos en que se dividido el polígono de base, podrán obtenerse los ángulos interiores de este.

b) De la superficie del polígono base.Esta se encuentra sumando las superficies de los triángulos en que fue dividido el polígono.

La superficie de cada triángulo se determina por la fórmula:

S = [p (p-a) (p-b) (p-c)]1/2

En estas formulas anteriores a, b y c son los lados del triangulo y p el semiperimetro.

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Para llevar a cabo estos levantamientos hay diferentes métodos:

Métodos de levantamientos con cintaComúnmente se emplean los siguientes:

a) Triangulación (Diagonales.)b) Radiaciones.c) interseccionesd) Coordenadas rectangulares.

a) Método de triangulación (diagonales).

Consiste este método en dividir en triángulos el polígono de base por medio de las diagonales de dicha figura. Las longitudes de los lados del polígono y de las diagonales se miden, anotándose los resultados en el registro de campo 2

REGISTRÓ DE CAMPO 2

FIGURA 2.3Est. = Estación: vértice desde el cual se hace la observación medida. P.V. = Punto Visado.

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DIBUJO.- en el método de levantamiento con cinta por el de diagonales para la formación de la figura que debe ser una representación fiel a la del terreno. Se procede de la siguiente manera:

1. teniendo de base el lado B-C se traza una línea a escala conveniente la distancia B-C en nuestro caso 52.40.

2. con el compás haciendo centro en B, se traza un arco que debe ser B-D con su respectiva distancia de 58.45mts a escala, posteriormente con la ayuda del compás se traza un arco C-D a una distancia de 33.70mts y en la intersección de los arcos se encontrara el punto D, el cual se señala con un circulo pequeño.

3. con el compás haciendo centro en C, se traza el arco C-A a la distancia de 56 mts para trazar luego haciendo centro en B, se traza el arco B-A a una distancia de 27.10 mts en la intersección de los arcos se localizara el punto A.

4. uniendo los cuatro puntos se formara la figura del terreno. Este dibujo se puede hacer a nivel de borrador en papel bond o cuadriculado grueso.

Ver figura 2.4.

FIGURA 2.4.

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NOTA: Como se puede observar en la figura las líneas punteadas nos indican la parte de donde se trazo.

CALCULO DE LA SUPERFICIE.

Se aplica la formula de Heron que es la siguiente: S = [p (p-a) (p-b) (p-c)] 1/2.

S = superficie total del triangulo.

P = semiperímetro P = ½ (a+b+c).

A, B, C = son los lados medidos de un triangulo.

En nuestro ejemplo se escoge el triangulo A-B-D y el triangulo B-C-D.Superficie del A (A-B-D) =

S = 576.889 m² A = 106º 54´ 53.44”

B = 46º 45´ 8.08”

D = 26º 19´ 58.48”

180º 00´ 00”

D = 62º 42´ 31.3”

B = 34º 51´ 27.9”

C = 82º 26´ 0.8”

180º 00´ 00”

La superficie total será la suma de las superficies de los dos triángulos:

Superficie A A B D = 576.889

Superficie A B C D = 875.252

Superficie total = 1452.141 m²

A manera de comprobar el calculo de la superficie se puede efectuar de forma grafica aplicando la formula elemental de la superficie de un triangulo, obteniendo las alturas directamente del dibujo en forma grafica.

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b) Método de radiacionesEste método se emplea cuando desde un punto interior del polígono de base sea posible ver

los vértices de éste y no se dificulte la medida de las distancias del punto interior a los vértices. Estas líneas auxiliares se denominan radiaciones y con ellas se divide en triángulos el polígono de base.

Además de las radiaciones, se miden los lados del polígono y los resultados se anotan ordenadamente en el registro de campo, como se indica en el ejemplo siguiente.

REGISTRÓ DE CAMPO 1

FIGURA 2.5

Est. = Estación: vértice desde el cual se hace la observación medida. P.V. = Punto Visado.

El método descrito puede aplicarse cuando el terreno por levantar es de pequeñas dimensiones y suficientemente despejado y debe procurarse que los triángulos que se formen difieran poco del equilátero o en su defecto del isósceles.

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Dibujo.- Para formar la figura a escala y en papel milimétrico con la ayuda del compás y el escalimetro se sigue la siguiente metodología:

1. Se dibuja a escala el lado A-B que es de 74.50 m.2. Con el compás se hace centro en B con una apertura del lado B-E que es de

53.50m se traza un arco de circunferencia.3. Se traslada la punta del compás y haciendo vértice A se traza un arco A-E que

tiene una distancia de 51.10m. y en donde se intercepten con el arco anterior se localizara el vértice E.

4. Haciendo centro con la punta del compás, en el vértice E, se traza un arco con la distancia B-E que es de 84.30m. posteriormente haciendo centro en el vértice E se traza un arco de circunferencia B-C con una distancia de 84.30m. en la intersección de los arcos se localiza el vértice C.

5. Haciendo centro con la punta del compás en el vértice Ase traza un arco de circunferencia 74.10m. distancia A-D y haciendo centro en E, se traza el arco E-D con una distancia de 57.30m. donde se intercepten los arcos se localizara el vértice D.

6. Finalmente haciendo centro en C se traza el arco C- D con una distancia de 74.23m. donde se deben interceptar los tres arcos que será la comprobación lineal.

Ver figura 2.6 para tener idea de la descripción anterior.

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FIGURA 2.6.

Para lo anterior se contara con el siguiente equipo:

1. Papel bond o milimétrico.2. compás3. Escalimetro.4. Escuadra.5. Lápiz y goma.

A manera de comprobar el cierre angular de cada triangulo deberá ser de 180ºasí como el ángulo central E deberá ser de 360º la suma de los 4 ángulos sin embargo por errores en las medidas existirá en este una diferencia mínima. Que debe estar dentro de la tolerancia angular.

CALCULO DE LA SUPERFICIE.

Formula para el calculo de ángulos aplicando las formulas de la tangente

Tan ½ A = [(p-b × p-c) ÷ (p (p-a))]1/2

Tan ½ B = [(p-a × p-c) ÷ (p (p-b))]1/2

Tan ½ C = [(p-a × p-b) ÷ (p (p-c))]1/2

S = [p (p-a) (p-b) (p-c)]1/2

CALCULO DE LA SUPERFICIE.

Se aplica la formula de Heron que es la siguiente: S = [p (p-a) (p-b) (p-c)] 1/2.

S = superficie total del triangulo.

P = semiperímetro P = ½ (a+b+c).

A, B, C = son los lados medidos de un triangulo.

CALCULO DE SUPERFICIES DE LOS TRIANGULOS DE ACUERDO A FIGURA 2.6

Aplicando la formula S = [p (p-a) (p-b) (p-c)]1/2

Sup. Δ 1 – AEB = 1366.790 m².Sup. Δ 2 – BEC = 1462.378 m².Sup. Δ 3 – CED = 1580.717 m².Sup. Δ 4 – DEA = 1460.532 m².Sup. Total = 5869.742 m².

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ÀNGULOS:

Δ 1 – AEB

A = 45º 53´ 37.38”B = 93º 18´ 5.68”E = 90º 48´ 16.94” E = 90º 48´ 16.94”Σ= 180º 00´ 00.00” E =101º 02´ 40.34” E = 82º 06´ 53.88” E = 86 º 02´ 49.76” Δ 2 – BEC Σ = 360º 00´ 40.92”

B = 38º 31´ 37.31” error en tolerancia ni 1 minutoE =101º 02´ 40.34”C = 40º 25´ 42.35”Σ= 180º 00´ 0.0”

Δ 3 – CED

D = 48º 00´ 40.43”E = 82º 06´ 53.88”C = 49º 52´ 25.69”Σ= 180º 00´ 0.0”

Δ 4 – DEA

A = 50º 29´ 00.10”E = 86º 02´ 49.76”D = 43º 28´ 10.14”Σ= 180º 00´ 0.0”

c) Método por intersecciones.

Es aplicable este método cuando se dificulta la medida directa en algunos de los lados, esta dificultad puede ser por la existencia de alguna construcción lago, etc. Este método se puede combinar con los dos casos anteriores se realizan el mayor numero de medidas en diagonal o radiaciones y se deja pendiente la del o los obstáculos como muestra la figura 2.7

El dibujo se realizara de la misma manera solo que ahora quedara pendiente la distancia D-A solo se dibujara la intersección de DC y DE por que ahora no conocemos esta distancia física pero la podemos calcular:

LEY DE LOS COSENOS COS E = d² + a² - e² 2da

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FIGURA 2.7

Como pudimos ver en el ejemplo anterior E el cierre angular fue pequeño entonces sumamos los ángulos de las distancias conocidas como calculamos en el ejemplo anterior:

E = 90º 48´ 16.94”E =101º 02´ 40.34”E =82º 06´ 53.88”?E = ? Σ = 273º 57´ 51.10”

E?= 360º - ΣE E?= 360º - 273º 57´ 51.10”=86º 02´ 8.90”

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Como ya conocemos el ángulo formado en el centro E y las distancias de DE y AD despejamos de la ley de los cosenos el sub indice a y quedaria de la siguiente manera de acuerdo con la figura 2.7

Subtiendo valores obtenemos tenemos que la distancia e es igual a

Como podemos ver es el valor muy parecido al anterior para el dibujo se utiliza el mismo que en los casos anteriores y se debe calcular la distancia por que gráficamente puede tener errores.

d) Método por coordenadas. Se trazan en campo un sistema de ejes cartesianos, orientados en cualquier dirección X,Y,Z

y se llevan perpendiculares a ellos desde cada vértice de la poligonal. En este caso se mediran todas las proyecciones. Como muestra la figura 2.8

Figura 2.8.

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COS E = d² + a² - e² 2da

(2da)COS E = d² + a² -e² (2da) 2da

e²+(2da)COS E = d² + a² - e² + e² e²+(2da)COS E -(2da)COS E = d² + a²-(2da)COS E

(e²)1/2 = (d² + a²-(2da)COS E)1/2 e = (d² + a²-(2da)COS E)1/2De donde

e = ((51.10)² + (57.30)²-((2 x 51.10 x 57.30)COS (86º 02´ 8.90”)))1/2= 74.09 m

2.6 CONCEPTO RUMBO, AZIMUT Y DECLINACIÓN MAGNETICA.

Rumbo. Rumbo de una recta es la dirección de esta respecto al meridiano escogido. Se indica por el ángulo agudo que la recta forma con el meridiano a partir de cualquiera de sus extremos N o S, especificando el cuadrante en el cual se tome respecto al meridiano magnético, verdadero o a una recta cualquiera escogida arbitrariamente como meridiano: como lo muestra la figura 2.9 de acuerdo a los ejemplos siguientes:

Rumbo de PA = N15ºERumbo de PB = S 9ºERumbo de PC = S50ºWRumbo de PD = N42ºW

FIGURA 2.9

AZIMUT. Azimut de una recta es la dirección de ésta respecto al meridiano escogido, pero medida ya no como el rumbo, por un ángulo agudo, sino tomada como el ángulo que existe entre la recta y un extremo del meridiano. Generalmente se toma el extremo norte de éste y el ángulo se mide en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj. En igual forma, el azimut puede ser verdadero, magnético o arbitrario, según el meridiano al cual se refiera. El rumbo varia de 0º a 90º y el azimut de 0º a 360º.

Como lo muestra los ejemplos siguientes en la figura 2.10

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Azimut de PA = 15ºAzimut de PB = 171ºAzimut de PC = 245ºAzimut de PD = 320º

FIGURA 2.10

DECLINACIÓN MAGNÉTICA.

La orientación topográfica, en términos generales, tiene por objeto dar a las líneas de un plano la misma dirección que guardan sus homologas en el terreno. La dirección de cualquier línea se determina por el ángulo horizontal que forma con alguna referencia real o imaginaria que tiene una dirección fija. Comúnmente se emplean como líneas de referencia la meridiana astronómica, la meridiana magnética o una meridiana elegida arbitrariamente que se denomina meridiana supuesta.

Plano meridiano astronómico o verdadero de un punto es el círculo máximo que pasa por ese punto y por los polos terrestres.

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Plano meridiano magnético es el plano vertical en que se coloca una aguja imanada y orientada bajo la acción única del campo magnético terrestre.

Meridiana astronómica o verdadera es la dirección norte-sur dada por la intersección del plano meridiano astronómico con el horizonte.

Meridiana magnética es la línea paralela a las líneas magnéticas de fuerza de. la Tierra; su dirección es la que toma una aguja magnética suspendida libremente.

Los polos magnéticos están a alguna distancia de los polos geográficos, por tanto la meridiana magnética no es paralela a la verdadera.

La situación de los polos magnéticos está cambiando constantemente; y por eso la dirección del meridiano magnético no es constante. Sin embargo, la meridiana magnética se emplea como una línea de referencia en los levan amientos aproximados en los que a menudo se usa una brújula.

Los diversos instrumentos de orientación suelen llevar todos una brújula.

Se llama declinación magnética el ángulo entre la meridiana astronómica y la magnética

En nuestro país la declinación magnética es oriental; es decir, el extremo norte de la aguja de la brújula apunta al Este de la meridiana astronómica o verdadera.

FIGURA.2.11.

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MA=Meridiana Astronómica

Mm=Meridiana magnética

δ =Declinación magnética

La declinación cambia de valor de un lugar a otro y esta sujeta a variaciones seculares, anuales, diarias e irregulares.

La variación secular es igual a varios grados en un ciclo de aproximadamente 300 años- Debido a su magnitud es de mucha importancia para el topógrafo, especialmente para retrazar líneas, cuyas direcciones se encuentran referidas al meridiano magnético como existía en años anteriores.

La variación anual es una oscilación periódica diferente de la variación secular y en la mayor parte de la Republica Mexicana su magnitud es menor de 1’.

A la variación diaria se le llama variación solar diurna y ocurre todos los días. La variación media es menor de 8´, cantidad tan pequeña que no es necesario tomar en cuenta en los trabajos en los que se emplea la brújula.

Las variaciones irregulares se deben a perturbaciones magnéticas y lo más probable es que se produzcan en las tormentas magnéticas. Pueden alcanzar la magnitud de 1° o mas, especialmente a elevadas latitudes.Se llaman líneas isogónicas a las que unen los distintos lugares de la tierra que tienen la misma declinación.

Líneas agónicas son las que unen los puntos de declinación nula.

Inclinación magnética de un lugar es el ángulo vertical que la aguja imanada libre forma con el plano horizontal.

Para contrarrestar la atracción magnética en el sentido vertical, en las brújulas fabricadas para su empleo en el hemisferio norte, se pone en la punta sur de la aguja una pequeña corredera de alambre, que permite mantener la aguja en posición horizontal e identificar las puntas norte y sur.

Líneas isoclinas son aquellas que unen puntos de igual inclinación magnética y corresponden a los círculos de igual latitud.

2.7 GENERALIDADES DE LA BRUJULA Y CONDICIONES QUE DEBEN SATISFACER, USOS.

La brújula es un instrumento topográfico que sirve para determinar direcciones con relación a la meridiana magnética.

Casi todos los trabajos antiguos de topografía fueron hechos con la brújula, y por lo tanto es esencial un conocimiento de la brújula y de su aplicación en los trabajos de topografía, para la comprensión de los ejecutados antiguamente y que a menudo tienen que ser resueltos por el topógrafo moderno.

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Las partes principales de la brújula son:1. La caja que lleva un circulo graduado de 0° a 360° en el sentido del movimiento de las

manecillas del reloj, o de 0° a 90° en ambas direcciones del N y del S, generalmente los puntos E y W invertidos debido al movimiento relativo de la aguja respecto a la caja.

2. Un nivel circular que se usa para mantener el círculo graduado en un plano horizontal, cuando se van a tomar direcciones con la brújula.

3. Pinulas ocular y objetivo, que son los elementos que sirven para dirigir la visual y están colocados en línea con los puntos cardinales N y S de la caja de la brújula, y.

4. Una aguja imantada que puede girar libremente sobre un pivote colocado en el centro del círculo graduado. La punta S lleva un contrapeso para contrarrestar la atracción magnética en el sentido vertical.

FIGURA 2.12.

La figura 2.12 presenta la brújula vista desde arriba por el operador, sostenido dicho aparato en la mano, y con el brazo rígido y extendido en toda su extensión. También puede usarse la brújula a la altura del ojo, y mirando a través de las pinulas; en el espejo se reflejará el nivel de burbuja para poder colocar la brújula, se fija la aguja por medio de un pivote, que tiene para el efecto la caja.

Aplicaciones de la brújula es muy importe para levantamientos de predios pequeños de igual manera en caminos los cuales nos indican un rumbo de acuerdo a la declinación magnética.

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2.8 LEVANTAMIENTO CON TEODOLITO Y CINTA

Los levantamientos con teodolito y cinta son en los cuales nosotros combinamos el uso de los ángulos horizontales y verticales con una distancia para lo cual hacemos de los dos instrumentos antes mencionados pero antes hablemos del teodolito.

2.8.1. DESCIPCIÓN DEL TEODOLITO MECANICO Y ELECTRICO

Las raíces de la palabra teodolito tienen su origen de las voces griegas; theao, mirar y hodós, camino. La terminación probablemente se deba a una adición o a una degeneración de la palabra.

El primer teodolito fue construido en Copenhague por el astrónomo danés Roemer en 1690, y después perfeccionado por los inglese Short Adams y Ramsden, a fines del siglo XVIII; y en 1804, el alemán Reichenbach, construyó un teodolito repetidor con su forma actual.

El teodolito es un instrumento de precisión que sirve para medir y trazar ángulos horizontales o azimutales y ángulos verticales o de altura, para lo cual disponen de ambos círculos graduados. Un anteojo con hilos reticulares sirve de alidada o instrumento de puntería.

El instrumento se emplea también en los trabajos de nivelación, para lo cual lleva un nivel fijo al anteojo.

Paralelamente, arriba y abajo del hilo horizontal de la retícula, van los hilos estadimétricos que convierten al teodolito en taquímetro.

La brújula, que se encuentra entre los apoyos del eje horizontal, determina los rumbos magnéticos de los lados de la poligonal.

Con el teodolito se puede resolver la mayor parte de las prácticas topográficas y otras relativas a otras ramas de la ingeniería, por ese motivo, en general, se le denominan “instrumento universal”.

El anteojo puede dar un giro completo sobre su eje horizontal, cualidad que permite observar los cuerpos celestes cuando alcanzan su mayor altura, al pasar por el meridiano del lugar de observación, instante al que se denomina “transito superior de un astro”. A los teodolitos con esta particularidad se les denomina indebidamente “tránsitos” palabra que en nuestro idioma tiene otros significados.

Para obtener el mayor provecho del teodolito, el topógrafo debe conocer perfectamente bien el funcionamiento de cada una de las partes del instrumento y el cuidado en su manejo. Ver figura 2.13 se muestra un teodolito mecánico

Partes del teodolito. Para evitar las perturbaciones de la aguja, los teodolitos se construyen de latón o de algún mineral no magnético

El instrumento se monta sobre un trípode extensión de patas ajustables para adaptarlo a las ondulaciones del terreno y para colocar el ocular a la altura del ojo del observador. Una plomada que pende del gancho, determina la prolongación del eje azimutal del aparato. Sobre la cabeza roscada del trípode, se atornilla a la base que tiene un espacio circular que permite un pequeño

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desalojamiento horizontal para centrar con exactitud la punta de la plomada sobre la marca del vértice o estación. Debajo y contra la base, está otra placa circular, en el centro de la cual, tiene, a su vez, otra abertura en la que penetra una articulación de la rótula que hace posible que siempre gire adherida a la placa cuando se nivela el aparato. Sobre la misma base, se apoyan los tornillos de nivelar sobre unas pequeñas piezas cóncavas.

FIGURA 2.13 TOEDOLITO MECANICOUn tornillo fija el movimiento general y otro tornillo, tangencial y particular tangencial y

perpendicular al primero, comunica movimientos lentos para precisar las punterías del anteojo hacia las señales. Otro tornillo en el platillo de la aliada, fija su movimiento respecto al movimiento

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general y su correspondiente tangencial imprime giros lentos para precisar la medida y lectura de los ángulos y las punterías a las señales cuando se fija el movimiento general.

Sobre el platillo da la alidada se encuentra los niveles, colocados perpendicularmente el uno respecto al otro; en algunos teodolitos, uno de los niveles están en uno de los apoyos, pero siempre conservando su perpendicularidad. Sobre el platillo, también están los soportes del eje horizontal sobre el cual gira el anteojo y el círculo vertical.

En medio de los soportes, se encuentra la brújula con su tornillo para levantar la aguja y evitar el desgaste del pivote. Un piñón de ajuste mueve una cremallera que sirve para hacer girar el limbo graduado a fin de que el cero coincida con una marca o para adaptarla de manera que gire un ángulo igual a la declinación magnética para obtener rumbos astronómicos aproximadamente.

El movimiento vertical o de altura, se fija por medio del tornillo de presión y el tangencial correspondiente imprime movimientos lentos para precisar los ángulos de inclinación y las punterías del anteojo.

Círculos horizontal y vertical. Bordeando el platillo inferior está la graduación para la medida de los ángulos horizontales. En los teodolitos más usuales, el limbo está dividido en grados y en medios grados, de 0º a 360º, en su graduación inferior que sigue el sentido en que gira las manecillas del reloj ( a la derecha o dextrógiro) y, con la misma graduación una anotación exterior en sentido contrario ( a la izquierda o levógiro). Para facilitar las lecturas angulares, los medios grados se marcan con rayas menores que las de los grados, una raya un poco mayor marca cada cinco grados y las rayas mayores, llevan marcados los números que les corresponden. Algunos teodolitos están graduados en cuadrantes de 90º. Los teodolitos más precisos tienen sus limbos divididos en tercios y hasta sextos grados para aproximar, por medio del nonio, 20˝, y hasta 10˝.

El círculo vertical está dividido en cuadrantes y, de acuerdo con su precisión, su graduación puede ser igual a la del círculo horizontal. Cuando el anteojo esta en posición horizontal y esté marcado cero en el nonio, los ángulos medirán alturas; pero si en la misma posición horizontal, el nonio marca 90º, los ángulos obtenidos representaran distancias cenitales o complementarios de las alturas. Se consideran como ángulos de altura positivos cuando el anteojo apunta o se inclina hacia arriba, y negativos cuando se inclina hacia abajo.

Nonios o vernieres de los círculos horizontal y vertical. Los círculos de los teodolitos están graduados regularmente en grados y medios grados o 30'. El nonio divide 29 divisiones de la escala en 30, la aproximación. En la figura 2.14 se muestra que 30 de las divisiones corresponden a 29 de la escala. El nonio se repite a ambos lados de su índice, a fin de apreciar los minutos de las graduaciones numeradas en el sentido en que giran las manecillas del reloj o en sentido contrario. Lectura 360º o inverso 0º

FIGURA 2.14El índice del vernier en la figura 2.15.señala una lectura de 350º 30˝ y fracción esa pequeña

fracción es 14'una vez que contamos a partir de a y la línea superior de acuerdo la figura nos marca

40

el número 14 es la que coincide con cualquiera de la escala: la lectura por tanto será 350º44˝. En el sentido contrario, la lectura angular es de 9º16˝.

FIGURA 2.15

En la figura 2.16 el círculo del limbo está dividido en grados y tercios de grados o 20´y el nonio, en 40 partes. La lectura en angular en el sentido dextrógiro o de las manecillas del reloj es de 31º17'30˝puesto que es la coincide. Lectura en el sentido contrario es de 328º 42' 30˝.

Los círculos verticales graduados en cuadrantes (de altura ceitales) están divididos en grados y fracciones de grados de la misma manera que los de los limbos horizontales y sus vernieres tienen más o menos las mismas aproximaciones pero se debe de tener cuidado si los ángulos son de altura o de depresión; cuando son positivos o de altura se emplea nonio de la izquierda y para los negativos o de depresión, hacia la derecha

La retícula. Llamada también “cruz filiar”, consiste en un hilo vertical y otro horizontal, perpendiculares entre sí, cuyo cruzamiento con este eje óptico del objetivo a determinar la “línea de colimación”. Antiguamente los hilos eran de tela de araña, pero en la actualidad son de alambre muy fino de platino o están grabados en vidrio. Paralelamente al hilo horizontal van otros dos hilos (inferior y superior) que se emplea en las medidas estadimétricas. La retícula esta fija a un anillo metálico soportado por cuatro tronillos de cabeza agujerada que penetra en el tubo por agujeros alargados que permiten en desalojamiento para su ajuste.

El ocular. Hace las veces de microscopio ampliando la pequeña imagen que se forma en el plano de la retícula; esta compuesto de dos lentes plano convexas. El enfoque del ocular depende de las condiciones ópticas del observador, de desalojándolo haci adentro o hacia fuera, hasta que los hilos se observen con toda nitidez y al mover el ojo un poco a la derecha y a la izquierda para asegurarse que el hilo vertical no se desaloja de un punto distante.

Teodolito electronico (Estación total). Este aparto es una copia de teodolito solo que en el ya no se le ángulos aun que se puede, estos ya dan las coordenadas ya sean arbitrarias(X,Y,Z) o geodesicas según se tenga las coordenadas en un arranque, a continuación se presenta en la figura 2.16 .y en la que se muestra una fotografía y figura 2.17 se muestran un esquema detalle sus elementos principales.

41

FIGURA 2.16

FIGURA 2.17

Como podemos ver esta estación funciona con un distaciómetro electronico que es el que registra las distancias que se refractan en un prisma como el que muestra la figura 2.18 la pantalla y el teclado es una libreta electronica en la cual se guarda en memoria las lecturas observadas para después sean vaciadas a un computadora proceso que se describe en el tema estación total mas adelante

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FIGURA 2.18La figura muestra el prisma utilizado para leer las lecturas en estación total

2.8.2. CONDICIONES QUE DEBEN SATISFACER UN TEODOLITO PARA UN BUEN FUNCIONAMIENTO.

Los teodolitos de marcas de reconocido prestigio, pero principalmente los modernos tienen garantía de precisión estipulada; sin embargo, el topógrafo debe verificar su funcionamiento, sobre todo cuando el aparato no ha estado en uso.

En la medida de los ángulos como en las longitudinales, están sujetas a errores inevitables, debido a la falta de agudeza de los sentidos del observador, a la imperfección de los instrumentos y a los fenómenos naturales.

En la medida de los ángulos, los errores sistemáticos son los afectados por un mismo signo, ya sea positivo o negativo y se propagan. Los errores accidentales pueden ser positivos o negativos y tienden a compensarse.

Graduación imperfecta. En el limbo horizontal, la imperfección se manifiesta midiendo los ángulos en diferentes partes de la graduación para tomar su promedio; también se manifiesta repitiendo las medidas de los ángulos para obtener lecturas dobles, triples, etc. En el caso de una graduación defectuosa del circulo vertical, los ángulos de altura deben medirse apuntando el anteojo en posición directa y en posición inversa y tomar el promedio de las lecturas.

La línea de colimación no es perpendicular al eje de alturas. . Es conveniente ajustar el teodolito con mucho cuidado; pero si por cualquier negligencia no se hace con exactitud debida, los errores se eliminan tomando los promedios de los ángulos medidos en ambas posiciones del anteojo. Si los puntos entre los cuales se va a medir el ángulo están a la misma altura, se nulifica el error al tomar la diferencia de alturas.

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El eje de alturas no es perpendicular al eje azimutal. No se produce error en los ángulos horizontales cuando los puntos visados tienen el mismo ángulo de altura; de otra manera, se elimina el error observado en ambas posiciones del anteojo.

Error de lectura. Aunque el operador disfrute de agudeza de visión, conviene que se auxilie de una lupa o anteojo de aumento para precisar las lecturas. Cuando tenga que “poner en ceros”, debe de cerciorarse no solamente de la coincidencia del índice o cero del vernier con el cero de la graduación del limbo, sino que las graduaciones extremas del vernier coincidan con las del limbo. Se recomienda, cuando se tenga que poner el vernier en alguna lectura determinada o hacer cualquier lectura, que se observe que la graduación del limbo.

Errores debido a los fenómenos naturales. El viento fuerte, la lluvia, el calor, etc., son fenómenos que el topógrafo tiene que sortear con habilidad y aprovechar las mejores horas del día o los momentos en que sean menos intensos esos fenómenos.

2.8.3. MEDIDA DE ANGULOS SIMPLES Y POR REPETICIONES

Medida de ángulos simples.Consiste este método en medir en todos los vértices del polígono los ángulos que forman los dos lados que concurren al vértice de observación.Se toman los ángulos interiores cuando se recorre el perímetro del polígono en sentido contrario del movimiento de las manecillas del reloj y se miden los ángulos exteriores cuando el acorrido se hace en el sentido de dicho movimiento. Este método se emplea preferentemente en el levantamiento de poligonales cerradas.

Trabajo de campoComprende las operaciones siguientes:1. Reconocimiento del terreno.2. Materialización de los vértices del polígono.3. Dibujo del croquis de la zona que se va a levantar, en la libreta de campo.4. Orientación magnética (o astronómica) de un lado de la poligonal, generalmente el primero.5 Levantamiento del perímetro, midiendo los ángulos (interiores o exteriores) y las longitudes de los lados y tomando también los rumbos magnéticos de los lados.6 Levantamiento de detalles.

Los datos recogidos en el levantamiento se anotan en forma clara y ordenada en el registro de campo, como se indica en el ejemplo siguiente:

La orientación magnética tiene por objeto conocer el azimut de una línea.

Supongamos que se desea orientar el lado 0-1 de la poligonal que se muestra en el registro (ver figura 2.19).

44

REGISTRÓ DE CAMPO

FIGURA 2.19.

R.M.O. = Rumbo Magnético Observado.Para determinar el azimut magnético del lado 0-1, se procede de la manera siguiente:

1. Se centra y se nivela el instrumento en la estación 0.2. Se ponen en coincidencia los ceros del limbo horizontal y su vernier y se fija el movimiento

particular.

45

3. Se deja en libertad la aguja de la brújula y con el movimiento general se hacen coincidir la aguja de la brújula y la línea N-S, marcadas en el círculo graduado de la misma, fijando el movimiento general.

4. Se afloja el movimiento particular y se visa el vértice 1. La lectura hecha en el limbo será el azimut magnético del lado 0-1, puesto que cuando el anteojo apuntaba al norte magnético, el índice del vernier señalaba 0° 00´.

Medida de los ángulos. En cada estación:

1. Centrado y nivelado el instrumento se pone en coincidencia los ceros del limbo horizontal y su vernier y se fija el movimiento particular.

2. Con el movimiento general se dirige el anteojo a visar el vértice de atrás y se fija dicho movimiento.

3. Por medio del movimiento particular, se imprime un giro al anteojo, en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, para visar el vértice de adelante y se hace la lectura del ángulo horizontal que se anota en el registro.

Medida de repeticiones. Como su nombre lo dice en la misma estación repetir la lectura como se describe a continuación.(ver figura 2.19 donde dice 2θ doble ángulo medido)

4. A continuación, con el movimiento general se vuelve a visar el vértice de atrás y se verifica la lectura con el objeto de cerciorarse de que no se ha movido, fijando el movimiento general.

5. Por ultimo, con el movimiento particular se vuelve a visar el vértice de adelante, efectuando la lectura del ángulo horizontal que deberá ser el doble de la obtenida en la primera operación o cuando mas con un minuto de diferencia, lo que es tolerable por que significa que el valor del ángulo leído es con mayor probabilidad un ángulo de 30’’ mas grande o mas pequeño que el primero.

Si hay una diferencia mayor de un minuto se hace de nuevo la medida del ángulo desde el principio.

La comprobación del ángulo medido, también puede efectuarse de la manera siguiente; después de realizar las operaciones indicadas en los puntos 1,2 y 3 continué con:

6. Se da vuelta de campana al anteojo y queda este en posición inversa.7. Se afloja el movimiento general y se lleva el anteojo a visar el vértice de atrás y se fija dicho

movimiento.8. 6.-Con el movimiento particular se hace girar el anteojo hasta visar el vértice de adelante,

fijando el movimiento particular. La lectura del ángulo horizontal debe ser el doble de la primera o diferirá en un minuto.

Esta lectura se anota también en el registro de campo.Una vez medido el ángulo horizontal y comprobado este con el doble ángulo, se mide la

distancia de la estación al vértice de adelante y, en la brújula del transito, se toma el rumbo magnético del lado del polígono, determinado por la estación y el vértice de adelante.

Estos datos se anotan en el registro de campo.

46

2.8.4. MÉTODOS DE LEVANTAMIENTO POR:

a) Ángulos

Condición geométrica que debe satisfacer un polígono levantado por el método de medida directa de ángulos.

Si el recorrido de la poligonal cerrada se hace en sentido contrario del movimiento de las manecillas del reloj, se toman los ángulos interiores.

Σ ángulos interiores = 180° (n-2) --------------1

Σ ángulos exteriores = 180° (n+2) -------------2

Cuando una poligonal se recorre en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, se miden los ángulos exteriores. En las formulas 1 y 2, n es el numero de lados de la poligonal.

Comprobación de cierre angular.

En el campo, al terminar el levantamiento se determina el error angular comparando la suma de los ángulos observados con la suma que, para la poligonal levantada, de la condición geométrica.

Esto es: EA = ángulos observados – 180º ( n - 2) Si se miden ángulos interiores

EA = ángulos observados – 180º ( n + 2) Si se miden ángulos exteriores

La tolerancia angular se calcula aplicando la fórmula.

TA = a (n)1/2

En la cual:TA = tolerancia angular.a= aproximación del aparato.n = numero de vértices del polígono.Si el error angular es menor o igual que la tolerancia, el trabajo se ejecuto correctamente; en caso contrario se repite el levantamiento.

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Una vez realizado el trabajo de campo descrito anteriormente se procede en gabinete con la planilla de cálculo Obtención de los Azimutes.

Calculo de las proyecciones de los lados del polígono.

x = (Distancia)(sen Azimut)

y = (Distancia)(cos Azimut)

Determinación de los errores Ex y Ey. Una vez calculada las proyecciones de los lados del polígono, se suman las proyecciones E, W, N y S.

La diferencia entre las sumas de las proyecciones E y W es el error en las “x” y se designa por Ex.

La diferencia entre las sumas de las proyecciones N y S es el error en las “y” y se designa por Ey.

Ex = proyecciones E — proyecciones W

Ex = proyecciones N — proyecciones S

Ahora bien, si se designa de una manera general con la letra x las proyecciones horizontales y con la y las proyecciones verticales, las igualdades anteriores pueden expresarse como sigue:

Ex = x E — x W

Ey = y N — y S

Calculo del error de cierre lineal (E L ) Si se hace coincidir la estación inicial 0 del polígono con el origen del sistema de coordenadas rectangulares, los errores Ex y E y son las coordenadas del punto de llegada 0 que, por los errores cometidos durante el levantamiento, no coincide con el punto de partida 0.

La distancia 00´ es el error de cierre lineal y se designa por E L

E L= (Ex 2+ E y 2)1/2

Calculo de la tolerancia lineal ( TL ) la tolerancia en el cierre lineal de un polígono levantado con transito y cinta, se calculan con las formulas siguientes:

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Orden del levantamiento ToleranciasPreciso TL = P (0.000 000 011P+0.000 02) 1/2 Primero TL = P (0.000 000 045P+0.000 08) 1/2

Segundo TL = P (0.000 000 18P+0.0002) 1/2

Tercero TL = P (0.000 000 40P+0.0005) 1/2

TL = tolerancia lineal en metros.P = desarrollo de la poligonal en metros.

Y en la práctica pueden emplearse las formulas:

Orden toleranciaPreciso TL = P/10 000Primero TL = P/5 000Segundo TL = P/3 000Tercero TL = P/1 000

Calculo de la precisión P. La precisión o error relativo se calcula dividiendo el error de cierre lineal E L entre el perímetro del polígono L.

P = E L/L O bien: P = 1/( L/ E L)

PresiciónTAQUIMETRICA 1/1 000BUENA 1/3 000 a 1/5 000MUY BUENA 1/10 000

PRESICIÓN

Compensación lineal del polígono. Si el error de cierre lineal E L es menor o igual que la tolerancia lineal se puede hacer la compensación lineal del polígono. En los levantamientos con transito y cinta se supone que los errores Ex y E y de las proyecciones son proporcionales a sus valores absolutos. Para la corrección lineal del polígono, se calculan primero los factores unitarios de corrección KX y KY, o sea las correcciones por metro.

KX = Ex /( x E + x W)

Ky = Ey / ( y N + y S)

Ex= error de las “x”= x E — x W

Ey= error de las “y”= y N — y s

x E + x W = suma aritmética de las “x”(E y W) y N + yS = suma aritmética de las “y”(N y S)

En seguida se calculan las correcciones que deben aplicarse a las proyecciones.

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Las correcciones X1, X2,X3,….. Xn, así como y1, y2,y3,…..,yn, se obtienen multiplicando las proyecciones de los lados del polígono , por los factores unitarios de corrección correspondientes.

Los signos de las correcciones se aplican tomando en consideración las sumas de las proyecciones E y W o N y S.

Para la compensación de las abscisas, la corrección se resta a las proyecciones cuya suma sea mayor y se agrega a aquellas que corresponden a la suma menor, así se igualan ambas sumas, las de las proyecciones E y W, y se distribuye el error EX. De igual manera se procede para compensar las ordenadas. Como resultado de la compensación lineal del polígono, las sumas de las proyecciones corregidas cumplirán las condiciones siguientes.

x E = x W

y N = y

Calculo de las coordenadas de los vértices del polígono.Las coordenadas de los vértices de la poligonal se calculan sumando algebraicamente las

proyecciones de cada lado a las coordenadas de la estación anterior.

Si no se conocen las coordenadas del punto de partida se la atribuyen coordenadas arbitrarias, elegidas de tal modo que las correspondientes a todos los demás vértices de la poligonal sean positivas; es decir, que la poligonal quede alojada en el primer cuadrante para facilitar el dibujo de la poligonal.

“Las coordenadas de un vértice cualquiera se obtienen sumando algebraicamente las proyecciones de los lados comprendidos entre el origen y el vértice cuyas coordenadas se desea conocer”

Calculo de la superficie del polígono en función de las coordenadas de los vértices.Se procede a calcular por medio de productos cruzados, se hace la diferencia de las

columnas positivas menos las columnas negativas y la diferencia se divide entre 2.

De Figura 2.19 que es el registro de campo de una poligonal de ángulos internos realizamos la siguiente planilla de cálculo. De acuerdo a la descripción anterior del método.

50

PLANILLA DE CALCULO LEV. CON TRANSITO Y CINTA

TERRENO PROPIEDAD DE ______________________________________________

LEVANTO : A.S.PLEVANTAMIENTO CON TRANSITO Y CINTA CALCULO: A.S.P

METODO MEDIDA DIRECTA DE ANGULOS FECHA: ________________________________________

TRANSITO WILL T -. 1- A

ANGULOS * * * * * PROYECCION PROYECCION CORRECCION PROYECCION COORDENADAS ***EST. P.V. HORIZONTAL DIST. AZIMUT DISTANCIA * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * VER

grados minutos L E W N S DX DY E W N S XX YY ***

1 2 75 33.000 18.450 340º 00' 18.450 6.310 17.340 - - 6.310 17.340 193.690 217.340 22 3 118 36.000 36.400 278º 36' 36.400 35.990 5.440 0.020 - 35.970 5.440 157.720 222.780 33 4 103 23.000 21.240 201º 59' 21.240 7.950 19.700 - - 7.950 19.700 149.770 203.080 44 5 75 1.000 36.450 97º 00' 36.450 36.180 4.440 0.020 - 36.200 4.440 185.97 198.640 55 1 167 26 + 1 14.100 84º 27' 14.100 14.030 1.360 - - 14.030 1.360 200.00 200.000 1

SUPERFICIE 857,468 M²

SUMAS 539º 59' Σ 126.640 50.210 50.250 24.140 24.140 0.040 0.000 50.230 50.230SUMAS 540º 00'ERROR ANGULAR 01

EX = ΣPROY. E - ΣPROY. W EY = ΣPROY. N - ΣPROY. S

TOL = +- 01 ` √5 =2,23` EX = 0,04 EY = 24,14 - 24,14EY = 0

ERROR <QUE LA TOL. ET = √[(EX)²+(EY)²] KX= [(EX)/(ΣPROY E +ΣPROY W)]

ET = √[(0,04)²] KX = [(0,04)/100,46]=0,000398SE COMPENSA EN EL ULTIMO LADO

P=[1/(L/ET)] KY= NO HAY CORRECCIÒN

P=[1/(126,64/0,04)]= (1/3166)

TOL = 1/2000 L/2000=0,06TOLERANCIA > QUE PRESICIÒN POR LO TANTO SE COMPENSA

POR LO TANTO PROCEDE EL CALCULO

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b) Por deflexiones

MÉTODO DE DEFLEXIONES

Cuando dos rectas se unen en un punto formando un ángulo, se entiende por deflexión el ángulo que forma la prolongación de una de estas rectas con la otra. La deflexión puede ser hacia la derecha de la recta prolongada o bien hacia la izquierda. La primera es positiva y se designa por la letra D; y la segunda es negativa y se designa por la letra I.

Este método se suele usar para poligonales abiertas como las empleadas en el trazo y localización de vías de comunicación (ferrocarriles, caminos, canales, líneas de transmisión etc.)

En las poligonales abiertas, los errores angulares se pueden determinar haciendo observaciones astronómicas a intervalos, tomando en cuenta la convergencia de meridianos, si las distancias son muy grandes.

Puede aplicarse este método en el levantamiento de poligonales cerradas. En este caso la comprobación angular se obtiene sumando las deflexiones positivas y las negativas. La diferencia entre ambas sumas debe ser igual a 360°. Lo que falte o sobre de esta cantidad será el error de cierre angular que se debe sujetar a la formula de la tolerancia establecida.

La condición geométrica del cierre angular del polígono se expresa de la siguiente manera. Σ Deflexiones (+) — Σ Deflexiones (-) = 360° 00

”En una poligonal cerrada la suma algebraica de las deflexiones es igual a 360°”

Cuando se aplica este método es indispensable tener, como en el anterior, un azimut de partida para deducir de el, los azimutes de los lados de la poligonal. Por tanto, es necesario orientar un lado de la poligonal.

Trabajo de campo.Comprende las operaciones iniciales indicadas para el método de medida directa de

ángulos.Una vez orientado el lado inicial de la poligonal, la forma de operar en cada una de las

estaciones para tomar las deflexiones, es la siguiente:

1. Se centra y se nivela el instrumento.2. Se ponen en coincidencia los ceros del limbo horizontal y su vernier y se fija el movimiento

particular.3. Se da al anteojo vuelta de campana y queda en posición inversa.4. Con el movimiento general se dirige el anteojo a visar la estación de atrás y se fija dicho

movimiento.5. Nuevamente se da al anteojo vuelta de campana, quedando ahora en posición directa y

señalando la prolongación del lado anterior.6. Con el movimiento particular se dirige el anteojo a visar la estación de adelante y se hace la

lectura de la deflexión.

Para evitar la propagación de errores de la línea de colimación, conviene observar el punto de atrás alternativamente en posición directa y señalando la prolongación del lado anterior.

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La figura 2.20 nos muestra el registro por el método de deflexiones y de igual manera tenemos nuestra panilla de calculo.

FIGURA 2.20

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PLANILLA DE CALCULO LEV. CON TRANSITO Y CINTA

TERRENO PROPIEDAD DE: C. PROFA. E. PEÑALOZA DORANTES

LEVANTO : A.S.PLEVANTAMIENTO CON TRANSITO Y CINTA CALCULO: A.S.P

METODO DEFLEXIONES FECHA: DICIEMBRE DEL 2006

TRANSITO WILL T -. 1- A

ANGULOS * * * * * PROYECCION PROYECCION CORRECCION PROYECCION COORDENADAS ***EST. P.V. HORIZONTAL DIST. AZIMUT DISTANCIA * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * VER

grados minutos DEV L E W N S DX DY E W N S XX YY ***

1 2 100 4.0 IZ 115.42 175º 00' 115.420 10.060 114.980 - 0.02 10.06 115.00 510.06 385.00 22 3 66 7.0 IZ 34.47 108º 53' 34.470 32.610 11.160 - - 32.61 11.16 542.67 373.84 33 4 30 4.0 IZ 32.57 78º 49' 32.570 31.950 6.320 0.01 - 31.94 6.32 574.61 380.16 44 5 16 46.0 IZ 22.14 62º 03' 22.140 19.560 10.380 - 0.01 19.56 10.37 594.17 390.53 55 6 63 57.0 IZ 102.90 358º 06' 102.900 3.410 102.840 - 0.02 3.41 102.82 590.76 493.35 66 7 84 50.0 IZ 44.27 273º 16' 44.270 44.200 2.520 0.01 - 44.21 2.52 546.55 495.87 77 1 1 48.0 DE 46.73 275º 04' 46.730 46.550 4.130 - - 46.55 4.13 500.00 500.00 1

SUPERFICIE= 10149.433 m²Σ 398.500 94.180 94.160 126.190 126.140 0.020 0.050 94.170 94.170 126.160 126.160

ΣIZ = 361º48' EX = ΣPROY. E - ΣPROY. W EY = ΣPROY. N - ΣPROY. S

ΣDE = 1º48' EX = 0,02 EY = 126.19-126.14

DIF = 360º00' EY = 0.05 TOL ≈ 3'

ET = √[(EX)²+(EY)²]

ET = √[(0,02)²+(0.05)²]= 0.053

P=[1/(L/ET)]

P=1 : 7518.86

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c) Por conservación de azimutes.

MÉTODO POR CONSERVACIÓN DE AZIMUTES

Este método puede usarse para el levantamiento de cualquier poligonal, teniendo la ventaja de que proporciona inmediatamente el azimut directo de cada uno de los lados de la poligonal, sin necesidad de cálculo, pero debe de tenerse en cuenta que al usarse este método, no se puede repetir la lectura de los ángulos para comprobación o para obtener promedios, y que el mover un tornillo indebidamente nos conduce a un error que no se nota sino hasta el final de trabajo.

Sea la poligonal mostrada en la figura 2.21

FIGURA 2.21.

Procedimiento.-

1.- Se llevará a efecto todo lo indicado en los incisos 1,2,3,4 y 5 del procedimiento de medición directa de ángulos.

2.- De hecho este procedimiento es muy semejante al anterior, o sea el de deflexiones, solo que al trasladarnos del vértice 1 al vértice 2 tendremos que hacerlo con el tornillo particular apretado, con el objeto que en el vernier A se conserve la lectura correspondiente al azimut 1-2; ya en el vértice 2 y habiéndose centrado y nivelado; con el movimiento general y el aparto en sentido inverso se visara el punto1, una vez logrado esto, se dará vuelta de campana al aparato lo que equivale a prolongar la línea 1-2; el aparato se encuentra en posición directa y aflojando el tornillo particular giraremos el aparato hacia el punto 3, automáticamente el azimut que teníamos en el vernier A y que corresponde al lado 1-2, se ha visto afectado de una disminución, pero nos marcará directamente el azimut de la línea 2-3.

3.- Se repite el procedimiento en la misma forma en todos y cada uno de los vértices de la poligonal ya sea abierta o cerrada.

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4.- para comprobar se estaciona el teodolito en el primer vértice y se visa al 2 y debe ser igual al azimut del primer lado la diferencia es el error angular.

En la figura 2.22 se muestra el registro de campo y su planilla de cálculo.

FIGURA 2.22.

56

PLANILLA DE CALCULO LEV. CON TRANSITO Y CINTA

LEVANTO : A.S.PLEVANTAMIENTO CON TRANSITO Y CINTA CALCULO: A.S.P

METODO CONSERVACIÓN DE AZIMUT FECHA: DICIEMBRE DEL 2006

TRANSITO WILL T -. 1- A

* * * * * PROYECCION PROYECCION CORRECCION PROYECCION COORDENADAS ***EST. P.V. AZIMUT DISTANCIA * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * VER

L E W N S DX DY E W N S XX YY ***

1 2 272º 30' 105.630 105.530 4.610 105.53 4.61 394.47 504.61 22 3 268º 22' 154.150 154.090 4.390 1 154.10 4.39 240.39 500.22 33 4 269º 07' 26.200 26.200 0.400 26.20 0.40 214.17 G 44 5 166º 18' 31.570 7.480 30.670 2.00 7.48 30.69 221.65 469.13 55 6 98º 28' 22.200 21.960 3.270 21.96 3.27 243.61 465.86 66 7 93º 34' 150.750 150.460 9.380 150.46 9.38 394.07 456.48 77 8 93º 49' 71.700 71.540 4.770 71.54 4.77 465.61 451.71 88 9 65º 36' 19.620 17.870 8.110 17.87 8.11 483.48 459.82 99 1 22º 21' 43.450 16.520 40.190 -1.00 16.52 40.18 500.00 5000.00 1

SUPERFICIE= 11694.583 m²Σ 625.270 285.830 285.820 52.910 52.880 1.000 1.000 285.830 285.830 52.900 52.900

EX = ΣPROY. E - ΣPROY. W EY = ΣPROY. N - ΣPROY. S

EX = 0,01 EY = 126.19-126.14

EY = 0.05

ET = √[(EX)²+(EY)²]

ET = √[(0,01)²+(0.03)²]= 0.032.

P=[1/(L/ET)]

P=1 : 19602

57

2.9 AGRIMENSURA.

Se debe entender por AGRIMENSURA, la parte de la topografía que se ocupa de la determinación de las superficies.Esta determinación puede hacerse de dos maneras:

1ª Puede tener por objeto conocer la superficie total de un polígono.2ª Puede suceder que conocida la superficie total, sea necesario dividirla en porciones.Ala primera la llamaremos determinación de la superficie de un polígono y la segunda la

llamaremos fraccionamientos.La parte que se ocupa de los fraccionamientos, lo llamaremos AGRODECIA, que

significa división del campo, terreno o heredad.

DETERMINACIÓN DE LA SUPERFICIE TOTAL DE UN POLÍGONOLa determinación de un polígono se hace de tres maneras.1° Por procedimientos analíticos;2° Por procedimientos gráficos; 3° Combinando los dos anteriores (procedimientos mixtos).

PROCEDIMIENTOS ANALITICOS.Los procedimientos analíticos comprenden el cálculo de las superficies por trapecios, que

es el usual, y el cálculo por triángulos, mediante la formula ya conocida.Cálculo de superficie por trapecios, para el cálculo de las superficies por trapecios es indispensable conocer las proyecciones de los lados del polígono, así como las coordenadas de los vértices referidas al origen.

2.9.1 MÉTODOS PARA EL CALCULO DE LA SUPERFICIE

a) Método de las coordenadasEl procedimiento consiste esencialmente en encontrar las superficies de los trapecios

formados al proyectar los lados del polígono sobre un par de ejes coordenados.Deducción de la fórmula general empleada para obtener la superficie de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices.En la figura: los vértices tienen sus respectivas coordenadas, cuyos valores se conocen, representados en un sistema de coordenadas en la figura siguiente:

Finalmente haciendo las operaciones, la formula para obtener la superficie analítica de un polígono conociendo las coordenadas de los vértices queda de la siguiente manera:

2S=Y1(X2-X5)+Y2(X3-X1)+YS(X4-Y2)+Y4(X5-X5)+Y5(X1-X4)

S=1/2 [ Y2(x3-x1)+..........+Yn ( xn+1 -xn-1 ) ]

Otra manera de calcular la superficie analitica de un polígono en base a sus coordenadas es mediante la siguiente formula:S=½[( Prod )-( Prod ) ]

58

VERTICESCOORDENADAS PRODUCTOS CRUZADOS

X Y (+) (-)1 X1 Y1 X2Y12 X2 Y2 X1Y2 X3Y23 X3 Y3 X2Y3 X4Y34 X4 Y4 X3Y4 X5Y45 X5 Y5 X4Y5 X1Y51 X1 Y1 X5Y1

Prod Prod

La diferencia de productos positivos y negativos dividida entre dos será la superficie calculada

Cuando se conocen las coordenadas de los puntos extremos de una línea de la poligonal, sé esta en condiciones, de calcular su distancia y rumbo, de acuerdo ala figura: AB es la línea cuyas coordenadas X1, Y1; X2, yY2 se conocen estaremos en condiciones de calcular

rumbo y distancia aplicando la trigonometría y el teorema de Pitagoras por lo que se obtienen las siguientes formulas:

FIGURA 2.23

Arc.Tan R = X2-X1

Y2-Y1

Dist AB = (X2-X1)2+(Y2-Y1)2

59

Y1

X1

A

X

xB(X2,Y2)

Dist. AB= X2-X1

SEN R

Dist. AB= Y2-Y1 COS R

De acuerdo alas formulas, anteriores conociendo las coordenadas de los vértices de una poligonal se podrá formular el respectivo cuadro de construcción.

CUADRO DE CONSTRUCCIÓN

LADO RUMBO DISTANCIA V COORDENADASX Y

1 500.00 500.002 510.06 385.003 542.67 373.844 574.61 380.165 594.17 390.536 590.76 493.357 546.55 495.87

Datos que se deberán indicar en el plano resultante, independientemente de la escala, croquis de localización y cuadro de referencia.

Ejemplo se tienen las coordenadas del polígono anterior: Calcular superficie, rumbo, distancia de los lados; primeramente dibujar en base a coordenadas el respectivo dibujo a una escala 1 a 500.

b) Método del las planímetro.

Este procedimiento es útil, especialmente cuando la superficie que se necesita determinar esta limitada por un perímetro irregular con curvas y rectas, y a veces sin forma muy precisa.

Dentro de las clases existentes de planímetro el polar es el que más se emplea por su sencilla operación.

Este planímetro es como se muestra en la siguiente figura 2.24 en croquis

FIGURA 2.24

60

Se apoya en 3 puntos: el polo fijo “P”, la rueda integrante “R” y la punta trazadora “T”.El brazo polar, se engancha al armazón del planímetro. El brazo trazador A, tiene marcada

una graduación para ajustar su longitud, marcándola con el índice J, según la escala del dibujo que se tenga. Ests brazo A, se fija en la posición deseada con el tornillo B y el tornillo de aproximación “C”.

El tambor graduado D de la ruede R tiene 100 divisiones y se lee en ellas mediante un vernier E.

El disco F, esta acoplado al tambor para registrar vueltas completas que éste; el disco da una vuelta por 10 del tambor.

Sobre el disco se lee un índice, después el tambor marca centésimos de vuelta de la rueda, y con el vernier se obtienen milésimos.

Para determinar una superficie, se coloca la punta del polo en el lugar que convenga, y el peso w la mantiene en su posición. La punta trazadora se coloca en un punto determinado del perímetro, y en esa posición se hace que el tambor marque cero, o bien se toma la lectura que esté marcado, la cual es la lectura inicial. Después se sigue el contorno con toda precisión, y se toma la lectura final.

El movimiento de a punta trazadora al seguir el perímetro, deberá ser siempre en el sentido de las manecillas del reloj.

Siempre lo más conveniente será colocar el polo fuera de la figura.

Como se ha venido mencionando, el planímetro tiene por objeto calcular mecánicamente, áreas, en cualquier tipo de planos especialmente topográficos, en función de las escalas respectiva.

FIGURA 2.25

61

E= Escala del plano topográfico.A= Área del contorno curvo del área del terrenoA1 = Área de un cuadro equivalenteL= lado del cuadrado de área A1.

Lp = lectura del planímetro al recorrer el contorno del área A.Au= Área unitaria de un cuadro de 0.10 m pol lado.Lu = lectura unitaria al recorrer el planímetro, el contorno del área unitaria.

Se puede establecer la proporción:| De donde

MR = Magnitud líneal real en el terreno

MR = L.MD = .10m.

; L= 0.10 E ; L²= 0.010 E² sustituyendo en 1 tenemos

A1 = A de donde

;

K= Constate que se calcula en cada caso en función de la escala del plano y de la posición de la marca en el brazo polar del planímetro:

A (m²Σ) = k Lp.

62

A1 = Lp

L² LuA1 = L² Lp -------1 Lu

A1 = MR

MD

E = L 0.10

A1 = 0.01 E² LP

Lu A(m²) = 0.01 E² LP

Lu

Lu = u1 +u2 +….Lu n

LP= Lp1+LP2+ …. Lpn

n

0.01 E² = K Lu

Nota.- Lp y Lu, deben tomarse como promedios por lo menos de cuatro lecturas en el planímetro.

Existe también un método conocido como el método de los pesos de papel: para ello, se requiere dibujar una área conocida en el mismo tipo de papel en que esta dibujado el plano, cuya área se quiere conocer, una ves dibujado el área conocida, ésta se recorta exactamente y se pesa, por otra parte, será necesario recortar el contorno de el área por conocer, de tal manera que se pueda pesar, ya conocido el peso mediante una simple regla de tres, se podrá conocer el área total,

2.9.2 PROBLEMAS DE MEDIDAS FALTAES EN POLIGONALES CERRADAS

Cuando por alguna razón el lado de una poligonal no se pueda medir en virtud como es el trazo de caminos donde el PI (punto de intersección) se localiza en un lugar in accesible como el caso de una montaña o un lago, para poder medir la distancia se aplican métodos trigonométricos, empleando la ley de los senos midiendo los ángulos y un lado de tal manera que podamos determinar las distancias faltantes.

Por ejemplo: se tiene la siguiente figura donde se midió el ángulo θ y β y la distancia AC determinar el lado AB – BC.

FIGURA 2.26Β = 65º 40'θ= 60º 30'AC = 125.50

Calculando el Angulo γ :γ = 180- θ- β == 53º 50.

63

θ

γ

β

Aplicando la ley de los senos

' De donde

AB= 141.64

Aplicando la misma formula obtenemos que BC= 135.59

Si por algún descuido no se mide el lado de una poligonal cerrada se puede solucionar el problema de la siguiente manera:

1.- Se tienen distancias y ángulos de cada uno de los veraces por tanto se puede comprobar el cierre angular.

2.- En virtud de haber orientado el primer lado se calculan los azimutes proyecciones y coordenadas de cada uno de los lados hacia atrás y adelante.

3.- Se dibuja por coordenadas el polígono y la distancia faltante se podrá calcular por diferencia de coordenadas obteniendo el rumbo y distancia de ese lado.

En la figura 2.27 falto el lado 3-4 por tanto en base a la distancia, ángulos y azimutes se calculan coordenadas a partir de 3, hasta llegar a 4 por lo tanto la distancia se calcula de acuerdo a la formula.

FIGURA 2.27

64

AC = ABSen γ sen β

AB = AB sen β Sen γ

AB = 125 sen 65º 30. Sen 53º 50.

Dis = ((x4-x3)² + (y4 – y3)²)1/2

Tang Rumbo 3-4 = (x4-x3) ( y4 – y3)

Este rumbo será la comprobación contra el calculado inicialmente sin embargo la comprobación en campo ya que por ningún motivo debe omitirse el medir una distancia.

2.9.3 PROBLEMAS DE DIVISIÓN DE SUPERFICIES

AGRODESIA

La Agrodesia es la parte de la Agrimensura que se ocupa del fraccionamiento de los terrenos.

En todos los problemas de esta naturaleza sé a dibujado y calculado la superficie del polígono y se tiene el cuadro de construcción, el dibujo y la superficie.

El problema se reduce a dividir el terreno sin dirección determinada, presentándose varios casos el que vamos a resolver es el siguiente:

Hacer la división en dos partes iguales desde un punto determinado, o bien desde un vértice cualquiera.

Si el punto está entre dos vértices, en (a), por ejemplo, se procede como sigue:Se mide la distancia 5, a (o bien el punto dado al vértice más cercano) para conocer por

diferencia las distancias 5,a y 6,a con objeto de determinar las coordenadas del punto (a), lo que se consigue sumando algebraicamente las proyecciones de 5, a con las coordenadas del punto(5).

65

3 2

0 8

1

4

7

6 5 a

FIGURA 2.28

la división se inicia a una distancia “ x” ápartir del vértice 5 al 6.Se calculan las coordenadas del vértice “a” sumando algebraicamente las proyecciones del

lado 5-a sumándolas algebraicamente alas coordenadas del vértice 5.Conociendo las coordenadas del punto “a “ se traza una línea hacia el vertical 2 o

cualquier otro vértice, y se calcula rumbo y distancia de esta línea se calcula la superficie del polígono “a, 2,3,4,y5” conociendo la superficie de este polígono se obtiene la diferencia que hay que aumentar para obtener la superficie deseada, si la superficie fuera mayor o menor se aumentara la superficie del triángulo “a, 2y m” obteniendo esta superficie de acuerdo ala formula que esta en función de dos lados y el ángulo comprendido que es la siguiente:S=1/2ab sen C

En este caso se conoce la superficie(que resulta ser la diferencia entre la superficie de ese polígono y la superficie buscada) por tal motivo debe calcularse un lado del triángulo despejando en este caso el lado 2-m por esto en la formula despejamos un lado que resulta ser 2-m, en virtud de que se conoce el rumbo y distancia a-2 y el rumbo inverso 2-1, estamos en condiciones de calcular el ángulo entre estos dos lados de tal manera que en base ala formula anterior y despejando uno de los lados la formula quede de la siguiente manera:

m-2= 2S / a,2xsen m,2ªCocido el lado m2 y en base al rumbo inverso 2-1 se calcula las coordenadas de este punto

“m” en resumen se ejecutan las operaciones siguientes:

1. - Calculo de las coordenadas del punto (a).2. - “ “ la línea a2 (proyecciones rumbo y distancia)3. - “ “ la superficie (2,3,4,5,a,) para compararla con la mitad de la total que se

necesita,

66

m

Y conocer el valor de la superficie complementaria que será un triángulo aditivo en el caso que sé esta resolviendo.

4. -Cálculo del triángulo complementario a, 2,m, (ángulo a, 2m, y lado 2,m.)5. -Cálculo de la línea a, m (proyecciones rumbo y distancia).6. -comprobación de los cálculos calculando la superficie del polígono (0,1,m,a,6,7,8).Para todo él calculo se tomaran los datos del polígono calculado que se ve en el cuadro de

construcción.

67

Unidad III

ALTIMETRIA

68

3.0 INTRODUCCIÓNLa altimetría considera las diferencias de niveles existentes entre puntos de un terreno o de

una construcción. Para poder conocer esas diferencias del nivel que hay que medir distancias verticales directa o indirectamente, operación que se denomina nivelación.

A la operación que consiste en determinar la diferencia de elevación (desnivel) entre los puntos de la superficie de terrestre se le conoce como nivelación. Se establece un plano de comparación o datum y se le asigna una elevación con el plano para obtener elevaciones en los puntos.

Denomínadose banco de nivel (BN) a un punto de carácter más o menos permanente, del cual se conocen su localización y su elevación. Su cota que, ha sido determinada previamente por una nivelación de precisión o adoptada de manera arbitraria, sirve de base para efectuar la nivelación.

Una superficie de nivel es aquella cuyos puntos son perpendiculares a la dirección de la línea de la plomada. Es diferente de una superficie plana, que es perpendicular a la línea de la plomada sólo en un punto. Una masa de agua en reposo puede considerarse una superficie de nivel. La superficie oceánica podría considerarse como superficie de nivel se eliminaran las influencias de las mareas, las corrientes, los vientos, la presión atmosférica y la rotación terrestre.

Para obtener una superficie de nivel del océano se determinan promedios de unas series de observaciones de las alturas de mareas a lo largo de un ciclo metódico (aproximadamente 19 años de calendario). Este promedio, llamado nivel medio del mar, es el nivel de referencia más común que se usa en las nivelaciones asignándole normalmente elevación cero (ver fig. 3.1). Este nivel permanece, en efecto, hasta que, después de realizar observaciones continuas se nota una diferencia significativa y se justifica cambiar a un nuevo nivel. En Estados Unidos esta un en efecto el nivel medio del mar aprobado en 1929. En México la primera dependencia en obtener el nivel medio del mar fue el servicio cartografico militar de la defensa nacional, actualmente quien tiene a cargo estas observaciones es el INEGI.

FIGURA 3.1

69

3.1 NIVELACIÓN INDIRECTA

Se subdivide en dos métodos distintos, nivelación trigonométrica y nivelación barométrica. El método de nivelación trigonométricas aplica los principios de la trigonometría para determinar las diferencias de elevación; se usa un ángulo vertical (hacia arriba o abajo del plano horizontal), y ángulo zenital en aparatos actuales, y una distancia horizontal o distancia con pendiente (medida o calculada) para obtener la distancia vertical entre dos puntos. Este método se usa generalmente para efectuar nivelaciones de baja precisión, en aquellos terrenos en donde sea prohibitivo ejecutar una nivelación directa.

En la nivelación barométrica, las diferencias en elevación se determinan utilizando las que se observen en la presión atmosférica medida con un barómetro o altímetro. Este es el método que menos se usa y el menos preciso para determinar diferencias de elevación. Debe usarse únicamente en levantamientos que no permitan aplicar alguno de los métodos o cuando aquéllos sean muy costosos y tengan plazos de ejecución limitados debido a las restricciones en su utilización.

3.2 NIVELACIÓN DIRECTA.

Es conocida frecuentemente como nivelación diferencial. En este método se utilizan niveles precisos o semiprecisos y estadales para medir para medir distancias verticales y obtener la diferencia entre una elevación conocida y la altura del aparato y, luego, la diferencia de elevación de la altura del aparato con respecto a un punto cualquiera. Este es el único método que proporciona resultados con precisión.

Figura 3.2

La AP se representa en la libreta de campo con el siguiente símbolo

70

3.3 DESCRIPCIÓN DEL NIVEL Y CONDICIONES PARA SU BUEN FUNCIONAMIENTO.

Los niveles que utiliza el ingeniero pueden comparase con los que usan los albañiles. La diferencia entre ambos niveles es que el ingeniero se monta en un tripié (para sostenerlo firmemente) y se visa a través de un anteojo o telescopio con objeto de transferir la línea de nivel a otro punto.

En la nivelación diferencial se emplean los niveles de albañilería y las mangueras de plástico transparente que funciona como los vasos comunicante, hasta los niveles de precisión de burbuja o autonivelantes; por medio de los cuales se obtiene la horizontalidad de líneas o planos.

Nivel tubular prismático (nivel de mano) como se ilustra en la figura 3.3 este instrumento es un tubo metálico de unos 13 o 15 centímetros de longitud, generalmente de latón, que tiene en uno de sus extremos un orificio que hace las veces de ocular, y en el extremo tiene una laminita horizontal que es como el hilo horizontal de la retícula en la parte superior tiene un nivel tubular; a través de un orifico, la burbuja se refleja en un espejito delgado que se encuentra en el interior del tubo y que tiene una inclinación de 45º cuando se observa por el pequeño orificio del ocular y se ve la burbuja se encuentra en medio de la laminita horizontal, se tiene una punteria a nivel.

FIGURA 3.3

Clisímetro o clinométro de ABNEY Este nivel es de gran utilidad por que, como se ilustra en la figura 3.4, tiene un circulo vertical graduado angularmente y como un vernier para mejor aproximación y, por lo regular, también tiene una graduación para medir porcentajes de inclinación, es decir, para conocer cuántos metros asciende o desciende un terreno por cien de distancia. La graduación de algunos círculos son cambiables para adaptarlos a cualquier graduación. Se emplea como niveles anteriores cuando el círculo vertical está en cero. Para medir la inclinación de un terreno, ladera arriba o abajo, se dirige una visual paralela a su superficie y se hace girar el círculo con el nivel hasta observar por el ocular que la burbuja está en el centro de la laminita horizontal, se fija su movimiento y se hace la lectura en el círculo vertical y el vernier

Para medir la inclinación de una superficie, se coloca el clisimétro sobre la misma de manera que se obtenga en el arco vertical el mayor ángulo, pero si la superficie es algo ondulada o rugosa, conviene colocar primero una regla y sobre ésta colocar el clisímetro.

FUGURA 3.4En la figura 3.5 podemos ver los componentes mas importantes del nivel fijo

71

1. Lente ocular. Es el lente a través del que mira el observador. El ocular se rota para enfocar hilos cruzados.

2. Telescopio o anteojo. Es el tubo que sostiene a todos los lentes y mecanismos de enfocado en su posición correcta.

3. Protección para el sol. Extensión de metal o plástico que puede colocarse sobre el lente del objetivo para protegerlo de cualquier daño y reducir el deslumbramiento cuando el nivel esta en uso.

4. Perilla para enfocar, es una perilla de ajuste que enfoca internamente el nivel en el objeto deseado.

5. Circulo horizontal.6. Tornillos niveladores. Son tornillos ajustables para nivelar el aparato.7. Base. Se trata de una base rosca de 3 ½ por in (89 por 203 mm), la cual asegura el aparato

al tripié.8. Plomada, gancho y cadena. El gancho y la cadena están centrados bajo el nivel y en ellos se

inserta la plomada si es necesario girar ángulos. Estos artefactos no se muestran en la ilustración.

9. Centro de desplazamiento. Permite ubicarse en forma exacta sobre el punto dado.10. Placa con el nombre y el número de serie.11. tornillo tangencial del moviendo horizontal. Es un tornillo de ajuste que permite alinear en

forma exacta los hilos cruzados y el objeto visado dentro del plano horizontal.12. Tornillo de presión del movimiento horizontal. Es un tornillo de ajuste que permite alinear

en forma aproximada los hilos cruzados y el objeto visado dentro del plano horizontal.13. Tubo de nivel. Es un tubo de vidrio graduado, lleno de un liquido, paralelo a la línea de

visualdel telescopio

Figura 3.5

En la figura 3.6 se muestra un nivel automático

72

FIGURA 3.6

Tripiés.El tripie sostiene la plataforma o la base del nivel y la mantiene estable durante las

observaciones. Como se puede apreciar en la figura 3.6

Estadales.Un estadal es, en esencia, una cinta que sostiene en forma vertical y que sirve para medir

una distancia vertical (diferencia en elevación o desnivel) entre una visual y un punto especifico que esté abajo o arriba de ella. El punto puede ser una estación permanente, como un banco de nivel o una superficie natural o artificial. (ver figura 3.7)

Figura 3.7Estadal de aluminio de 4 metros

73

Niveles de mano.El nivel de mano, como todos los niveles topográficos, es un instrumento que combina un

tubo para nivelar y un ocultar. El nivel de mano del localizador debe su nombre a que es sostenido manualmente enfrente del ojo (Ver figura 3.8). Para obtener mayor estabilidad, el nivel de mano puede apoyarse en un árbol, en una vara, herramienta o en cualquier objeto que este a la mano. El nivel incluye una línea horizontal de referencia. El tubo de nivel está montado en una ranura en la que se fija un espejo a 45º. Esto permite al observador visar a través del nivel y ver al mismo tiempo el terreno o el objeto, la posición de la burbuja y la línea índice. Las distancias que se observan con nivel de mano son cortas, ya que éste no tiene capacidad de amplificación.

Figura 3.8

3.4 NIVELACIÓN DIFERENCIAL.

En le nivelación directa se utiliza un nivel con una burbuja sensible, en el que se establece una línea visual horizontal. Al nivelarse el instrumento la línea visual se ajusta de tal modo que se establece una línea visual horizontal. Al nivelarse el instrumento la línea visual se ajusta de tal modo que sea paralela al eje del nivel. Si éste se nivela, la visual del instrumento, forma un plano horizontal si el aparato se rota alrededor de su eje vertical. Véase figura 3.9. Este procedimiento se conoce como nivelación diferencial o de burbuja.

Figura 3.9.

74

Ejemplo: dados: La cota en el bancote nivel 35 es 154.375m. la lectura atrás (LA) sobre el BN 36 es de 1.255 (65m) en el punto a; luego, 65m al punto 2, donde la lectura de adelante (LD) es de 1.100 en seguida, 75m del punto 2 al punto B, la lectura atrás de 0.465; 90m del punto B al punto 3, la lectura de adelante 2.095; 60m del punto 3 al punto C, lectura atrás, 0.13; 105m del punto C al 4. La lectura atrás del punto C al punto 3 = 0.130, la lectura adelante en el punto 4 es de 0.245. La distancia del punto 4 al punto D es 110m. La lectura atrás en el punto 4 es 3.765; la distancia entre el punto D y el punto 5 (el cual es el BN36) es 50m. La lectura adelante en el punto 5 es 0.345. El BN 36 tiene una cota o elevación conocida de 156.206. Calcúlese la nivelación.

Solución: Primero dibújese un esquema que muestre los puntos y las elevaciones. Como muestra la figura 3.10.

Método: La nivelación consiste en colocar inicialmente un estadal en forma vertical en un punto de cota o elevación conocida. En seguida se toma una lectura conocida como lectura atrás (LA) por conducto del telescopio visado el estadal; en esta operación permite obtener la distancia vertical de la cota del terreno a la línea de visual. Si esta lectura hacia atrás se suma a la cota conocida se obtiene la elevación de la línea de visión conocida con el nombre de altura del instrumento (AI). A continuación se coloca otro estadal sobre el punto de elevación desconocida y se toma una lectura hacia adelante (LD). Si se resta la lectura hacia delante del instrumento, se encuentra la elevación de este nuevo punto.

Figura 3.10

Después de que se concluye la lectura hacia adelante y dejando el estadal ese punto, se mueve el aparato y el estadal de atrás hacia posiciones adelante. La nueva visual sobre el estadal de atrás es ahora la lectura atrás para obtener la nueva altura del instrumento, y la visual sobre el estadal colocado adelante da la altura para una nueva elevación. Los puntos en los que se colocan los estadales para tomar las lecturas hacia atrás y hacia adelante se denominan puntos de liga (PL). Este procedimiento se repite cuantas veces sea necesario para transferir la elevación de un punto de cota

75

desconocida. A otras lecturas hacia adelante sobre puntos que no están a lo largo de la línea principal de recorrido se les denomina visuales auxiliares o de apoyo.

Elevación BN 35 = 154.375 A + BS + 1.255 155.630AI = 155.630PL en 2 – FS - 1.100 154.530B + BS + 0.465 154.995PL en 3 – LD - 2.095 152.900C + LA + 0.130 153.030 PL en 4 LD - 0.245 152.785D + A + 3.765 156.550Elevación BN 36 = - 0.345 156.205

La elevación del BN que se dio en los datos es 156.205m, por lo que el desarrollo es correcto.

Ver registro de campo en la figura 3.11

76

Figura 3.11

77

3.5 NIVELACIÓN DEL PERFIL.

Este método tiene aplicaciones en los trabajos preliminares o definitivos, de carreteras, vías férreas, canales o líneas de transmisión eléctrica. Después que la brigada de localización, por procedimientos expeditivos, fija los puntos por donde pase el eje de la vía por construir, por medio del teodolito se alinea el cadenamiento clavando estacas o trompos cada 20m; los trompos son estacas cónicas de madera, clavadas al ras del suelo, de unos 15 o 20cm de largo, y para identificarlos, se clavan otras estacas que se denominan “testigos”, a las que se les hace un corte o cara para anotar el número correspondiente del trompo. Hecha la alineación, al mismo tiempo se va levantando el plano midiendo los ángulos por medio de “deflexiones”, repitiéndolas en ambas posiciones del anteojo, el registro se lleva de abajo hacia arriba para seguir el mismo sentido del cadenamiento, anotando también el rumbo magnético. En la hoja para notas, la línea vertical de en medio llamada “línea central” sirve para referir puntos a un lado y otro de la poligonal. Las estaciones se anotan poniendo primero el numero del kilómetro, después el signo + seguido del numero de metros.

Para seguir el proceso de una nivelación de un perfil, se tiene la figura 3.13 y para las anotaciones correspondientes, la libreta de nivelación figura 3.12 con las columnas P.V. (punto visado), + (lecturas positivas) un signo que representa el nivel y corresponde a la columna A.I. (altura del instrumento), signo menos para las lecturas negativas P.L(puntos de liga) y cotas. En un punto marcado con 2 grapas cruzadas sobre un corte de tocón de una Ceiba se determino el banco de nivel cuya cota de 1634.213 aparece en el corte vertical con pintura de color rojo, y en el reglón y columna correspondientes se anota en la libreta este número. El nivel se coloca en N1, fuera del alineamiento, procurando que a media distancia entre el trompo 9 + 000 y el punto de adelante donde la mira no quede más arriba de la A.I. y de manera que pueda hacerse mayor el número de lecturas de la mira. La lectura 1.814 m se anota en la columna + y se suma a la cota del B.N. para tener A.I. = 1636.027; las lecturas 3.731, 2.585 y 1.292 se anotan en la columna – y se restan de la A.I. para tener las cotas 1632.296m, 1633.442m y 1634.735m que corresponden, por su orden, a los trompos 9 + 000, 9 + 020 y 9 + 040; al observar en la mira en 9 + 060, se nota que el hilo horizontal de la retícula se proyecta a 0.137m, muy cerca de la pata de la mira, por lo tanto, es necesario trasladar el nivel a un lugar más alto, y esta lectura se tiene que anotar en la columna de P.L. y restarse de la A.I. para tener la cota 1635.890.

Al trasladarse el nivel a N2, sin importar que quede fuera de la alineación, procurando la mediana entre los P.L. y tener el mayor número de lecturas de mira, se dirige la visual a la visual sobre el trompo 9 + 060 (P.L.) y su lectura 2.610m se anota en la columna + y se suma a la cota 1635.890m para obtener a la A.I. = 1638.500m; de esta altura se restan las lecturas de la mira 1.479m, 1287m y 1.631, anotadas en la columna – para tener la cotas 1637.021m, 1637.213m y 1636.869m que corresponden a los trompos 9 + 080, 9+100 y 9 + 108 (punto donde cambia la pendiente del terreno), y al observar la mira en el trompo 9 + 120, el hilo horizontal de la retícula se proyecta a 3.809m, casi en la punta de la mira, por lo que esa lectura se anota en la columna P.L. y se resta de la A.I. para tener la cota 1634.691m.

El nivel se traslada a N3, visa la mira en 9 + 120 P.L. y su lectura 0.522m se anota en la columna + para sumarse a la cota 1634.691m para tener la A.I. = 1635.213m; se dirigen visuales a la mira colocada en 9 + 131.5m (cambio de pendiente), 9+140 y 9 + 152 (cruce de camino actual) y

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las correspondientes lecturas 2.351, 2.584 y 2.731 se anotan en la columna – se restan de la A.I. para tener cotas respectivas 1632.862, 1632.629 y 1632.482 y al observar la mira en el trompo 9+160, su lectura 3.314 se anota en la columna P.L y se resta de la A.I. para tener su cota = 1631.899m, lo que indica nuevo traslado de nivel.

Ahora el nivel en N4 se visa al P.L. 9 + 180 y la lectura de mira 0.220 se anota en la columna + y se suma a la cota para tener el A.I. 1632.119, después, las lecturas de mira 9 + 180 y 9 + 200, que son 2.805 y 3.381 se anotan en la columna de las negativas y se restan de la A.I. para tener las cotas 1629.314 y 1628.738, y como se observa en la figura, la lectura de la mira 3.40 sera otro p.l y esa lectura se resta de a: para tener la cota 1628.719m.

El nivel se traslada a N5 y la lectura de la mira 9 + 209 (cambio de pendiente el terreno) que es 0.553 se suma a la cota para tener la A.I. 1629.272m y la lectura de la mira en el trompo 9 + 220, 1.566 se anota en la columna y se resta de la A.I. y se tiene la cota 1627.706m y la ultima lectura en 9 + 240 que es de 3.314 se anota en la columna de P.L. que se resta de la A.I. para tener la cota 1625.958m.

En la libreta, la suma de las lecturas positivas y las de P.L. tienen una diferencia de – 8.255 que es igual a la diferencia entre la cota del B.N. y la cota del trompo 9 + 240. Como lo muestra la figura 3.12

Figura 3.12

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80

La nivelación del perfil se utiliza en el proyecto de caminos, canales, ferrocarriles y sirve también para comprobar que las elevaciones en construcción se ajusten al proyecto.

3.6 ERRORES Y COMPENSACIÓN DE NIVELACIONES.

Errores en la nivelación. Como en el caso de levantamientos con teodolito, los errores se deben a tres causas: 1. Instrumentales, 2. Personales y 3. Naturales.

1. Errores instrumentales. El desajuste desnivel produce un error sistemático y nivelador debe verificar los ajustes de acuerdo con el tipo de instrumento, sobre todo, cuando lo maneje por primera vez; se puede compensar con el error colocando en nivel equidistante de los puntos de enlace P.L. el entorpecimiento es otra causa de error y nivelador debe esperar hasta que quede inmóvil en el centro de la graduación.

Respecto a la mira, la mala graduación, también produce un error sistemático y debe verificarse con una cinta de comprobada exactitud: la falta de rectitud al doblarla o de ajuste al alargar la mira de tablilla son causas de error.

2. Errores personales estos errores son accidentales y para eliminarlos en lo posible, el nivelador debe proceder con cuidado y mayor agudeza de los sentidos, los principales son.

Paralaje. Se debe a la falta de enfoque correcto en el ocular y del objetivo, por tanto, debe de cuidar que la retícula y la mira se observen con nitidez.

Centrado de la burbuja. El nivelador debe de cerciorarse, antes de hacer la lectura de la mira, que la burbuja esté centrada en la graduación; en los niveles del tipo basculante, observar que los extremos reflejados de la burbuja coincidan exactamente, y en los niveles automáticos, que la burbuja quede en el centro del nivel esférico.

Lectura. Las miras ordinarias están graduadas al centímetro y las apreciaciones el milímetro están sujetas a la habilidad del observador, y en el caso del ejemplo de miras de tablillas, tanto el nivelador como el portamira debe tener cuidado de colocar la tablita con exactitud y hacer las lecturas correctamente.

Falta de verticalidad de la mira. Las lecturas de la mira inclinada son mayores y si el portamira no es muy experimentado, conviene colocar en la mira un nivel como el que se ilustra en la figura 3.8, o dar un movimiento lento de vaivén hacia adelante y hacia atrás en dirección del observador quien anotará la menor lectura observada.

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Fatiga e incomodidad. Como el nivel no está, por lo regular, sujeto a una colocación precisa como en el estacionamiento del teodolito y la fatiga se debe principalmente a la incomodidad al hacer las observaciones, por regla general, se observa la tendencia de los operadores a inclinarse; la posición más cómoda es cuando el nivelador, parado verticalmente entre el espacio de dos patas del trípode, el ocular queda a la altura de su ojo, ajustando las patas de extensión o dando la abertura necesaria a las patas fijas del trípode; de esta manera, las señales al portamira serán más fáciles.

3. Errores naturales. Curvatura, refracción temperatura y asentamiento.

Curvatura y refracción, con los instrumentos mencionados, se obtienen, como se ha dicho, visuales horizontales; así que, para obtener una línea de nivel, la horizontal que parte de A a una mira vertical en B debe corregirse por curvatura terrestre y refracción atmosférica. Como nos muestra la figura 3.14:

Figura 3.14.

OA = R = radio medio de la tierra = 6,371,2210.00 metros.AT = d = Distancia muy aproximada entre A y B.BT = c = Error por curvatura terrestre.FT = r = Error por refracción atmosférica.BF = C = Error por refracción y curvatura

En el triángulo rectángulo AOT:

Como c² resulta muy pequeño, se elimina y dejando c:

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AT² = d² = (R + C)²- R² = R² + 2Rc – R² + c² = 2Rc + c²

C = d² 2R

Se ha comprobado que el radio de curvatura de la refracción es aproximadamente siete veces mayor que el radio terrestre, por tanto, el error por curvatura y refracción:

Correcciones por curvatura y refracción

Para d = 30 m C= 0.0 mmPara d = 60 m C= 0.2 mmPara d = 90 m C= 0.5 mmPara d = 120 m C= 1.0 mmPara d = 150 m C= 1.5 mmPara d = 180 m C= 2.2 mmPara d = 210 m C= 3.0 mmPara d = 240 m C= 3.9 mmPara d = 270 m C= 4.9 mmPara d = 300 m C= 6.1 mm

Temperatura. El calentamiento del suelo produce en las capas inferiores de la atmósfera una reverberación, sobre todo, a las horas del día de más intenso calor, por lo que deben evitarse las visuales muy bajas, y se recomienda suspender los trabajos de nivelación a las horas de intenso calor o reducir las distancias entre los puntos de liga P.L. Los días nublados son preferibles para la ejecución de la nivelación.

Asentamientos, levantamientos y vibraciones. El nivel y la mira deben colocarse en lugares firmes y alejados, en lo posible, donde el transito de vehículos y maquinas produzcan vibraciones.

Tolerancia. Las fórmulas de tolerancia para los trabajos de nivelación se dan en función de la raíz cuadrada de la distancia en kilómetros y en función directa de un coeficiente que se establece de acuerdo a la categoría de la nivelación. Las instituciones públicas o privadas establecen esos coeficientes. La distancia en kilómetros es la que hay entre dos bancos de nivel, entre dos puntos de cotas comprobadas o entre un recorrido de ida y vuelta en una nivelación comprobada.

La formula de tolerancia general aceptada para los trabajos de precisión media, es la siguiente:

El resultado se obtiene en centímetros o fracción.

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C = c – r = d² - d² = d² (1 – 1) = 6d² = 0.42857 d² = -0.0000000673d² 2R 14R 2R 7 14R R

Para la nivelación del perfil, en caso de comprobación, la distancia de ida y vuelta seria 2 x 240 = 480m = 0.48km.

3.7 CONTRUCCIÓN DE PERFILES.

El perfil representa el contorno vertical de un corte acotado del terreno. Para que el contorno contraste de manera notable, para su representación, se empleará una escala mayor para los acotamientos o alturas que para las distancias horizontales, para la representación de relieve del terreno en los trabajos de localización de carreteras y vías férreas, etc., se emplean generalmente las escalas: Vertical = 1:200 y horizontal = 1:2000.

Se acostumbra dibujar los perfiles en papel milimétrico. La figura 3.15 representa el perfil de la nivelación según la figura 3.8 y los datos de la libreta de nivelación: fácilmente se entiende que es necesario representar el perfil a partir de la cota 1624.

1620

1622

1624

1626

1628

1630

1632

1634

1636

1638

1640

9+00

0.00

9+02

0.00

9+04

0.00

9+06

0.00

9+08

0.00

9+10

0.00

9+10

8.00

9+12

0.00

9+13

1.50

9+14

0.00

9+15

2.00

9+16

0.00

9+18

0.00

9+20

0.00

9+20

9.00

9+22

0.00

9+24

0.00

Serie1

Figura. 3.15

3.8 SECCIONES TRANSVERSALES.

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Alturas en m

Distancia en m

TERRENO NATURAL

La sección transversal es usada en los cálculos de movimiento de tierras, es una sección vertical, perpendicular al eje o centro de línea de la carretera, localizada en estaciones cerradas o intermedias que representa los límites de un corte o terraplén propuesto o existente. En la figura 3.16 se ilustra unas secciones transversales típicas sobre el terreno de asiento de una carretera.

La determinación de las áreas de las secciones transversales se simplifica si ésta se dibujan en papel cuadriculado (papel milimétrico para grafica). Las secciones se grafican generalmente utilizando una escala igual que la horizontal, de practica común el uso de 1:100 m.

Si embargo, si el corte o terraplén vertical es de magnitud pequeña en comparación con el ancho, puede exagerarse la escala vertical para obtener mayor precisión al graficar esas secciones. Sin embargo, habría que tener cuidado para obtener el área correcta de este tipo de secciones.

El talud lateral se determina generalmente de acuerdo con las especificaciones de diseño, las cuales están basadas en la estabilidad del suelo del corte o del terraplén. Sin embargo, a menudo se toma en cuenta la economía de las operaciones constructivas, por ejemplo, los taludes de un corte podrán tenderse más de lo que se requiera por características del suelo solamente con el objetivo de producir material suficiente para un terraplén cercano en vez de un préstamo de banco para obtener este material.

FIGURA. 3.16.

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3.9 CURVAS DE NIVEL.

Son líneas imaginarias, que unen puntos del terreno, de igual cota o altura; por medio de ellas representamos planimétrica y altimétricamente el terreno, construyéndolas a una distancia vertical constante, denominada “equidistancia”

Por facilidad, las cotas o alturas de las curvas de nivel, lo mismo que su equidistancia, serán siempre cantidades enteras, dependiendo el objeto del trabajo, las curvas se pueden espaciar cada metro, 2, 5, 10 o 20 metros.

Para una mejor compresión de los conceptos anteriores, suponemos que el terreno se rebana en cada una de las curvas de nivel propuestas, originando así una superpie de nivel. Si proyectamos en planta y sobre un mismo plano cada una de esas superficies, tendremos un plano que representará la configuración del terreno (ver figura 3.17).

Figura del terrenoFig. 3.17

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Podemos decir que las curvas de nivel guardan características comunes, las cuales podemos enumerar; para una mejor compresión de cada una de ellas, se recomienda observar la figura 3.18.

1.- Por construcción y definición, todos los puntos de una misma curva, tienen la misma elevación.

2.- Todas las curvas de nivel son cerradas, aún cuando los límites del plano no nos lo permitan observar detalle A.

Fig. 3.18

3.- Cuando existe una pendiente uniforme en el terreno, la distancia horizontal entre las curvas es la misma. Cuando la pendiente aumenta, crece la proximidad entre las curvas, y si comienzan a separarse será por que comenzó a suavizarse la pendiente.

4. Cuando 2 o mas curvas se juntan, es que en realidad están superpuestas, pues cada una esta a nivel diferente ver detalle B.

5. Si una serie de curvas cerradas son más o menos concéntricas, nos puede indicar una elevación o una depresión, todo depende de la simbología o del sentido de la acotación.

6. Una curva de nivel nunca se ramifica o bifurca.

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7. La existencia de una Talweng o cause, hace que las líneas corran hacia arriba, crucen el fondo perpendicularmente a él y desciendan por otro lado, es decir, presentan una convexidad contraria al sentido de la corriente (detalle C).

8. Un parte aguas hará que las curvas desciendan, lo corte perpendicularmente y suba por el otro lado, es decir presenta una concavidad hacia la parte más alta (detalle D).

3.9.1 MÉTODO DE COTA CERRADA.

Método de cota cerrada o redonda, este método puede ejecutar con nivel fijo o de mano, recomendándose en terreno muy accidentado el nivel de mano, no así en terreno muy tendido ya que la visibilidad para leer el estadal se perdería con la distancia por no tener aumento el nivel de mano. Este método es apto para localizar cotas cerradas o redondas, a partir de una estación cuya cota se conoce; se mide la altura del ojo y esta se suma a la cota de estación obteniéndose de esta manera la altura del instrumento, de esta manera sumando restando las lecturas del estadal se obtendrán las cotas cerradas del terreno ejemplo:

La estación 0+000 tiene una cota de 20m, altura del ojo 1.50m = 20+1.50 = 21.50m si se desea conocer a determinado número de metros se restara la lectura del estadal 3.50m para conocer la cota 18m midiendo la distancia a partir de la estación.

3.9.2 MÉTODO DE COTA ABIERTA.

En el caso de la cota abierta se levanta la sección hacia la derecha o izquierda colocando el nivel hacia donde haya visibilidad y se procede de la siguiente manera: se coloca el estadal sobre la estación y como si fuera una nivelación simple se toman las lecturas correspondientes.

3.9.3. MÉTODO DE LA CUADRÍCULA .

El método de la cuadrícula es también conocido como método de coordenadas rectangulares es usado a menudo. Este método es mejor para configuración del terreno que para tomar datos de tipo cultural aunque puede usarse en ambos casos. El terreno en que se requiere el levantamiento se divide en cuadros 10, 20, 50 y 100 metros de lado con estacas en los vértices. Las distancias dependen de la precisión requerida y del tipo de terreno. Las líneas se trazan a ángulos rectos, usando tránsito o teodolito (ver figura 3.19) nótese que las líneas AD y D3 forman ángulos rectos, al igual que todas las otras líneas del área levantada, integrando la cuadrícula.

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FIGURA 3.19.

Las líneas AD y D3 sirven de base para cuadricular usando las distancias requeridas y los puntos interiores son cruces (que se marcan con estacas) de la línea que se trazan a partir de esas líneas base. Un número y una letra de las líneas se intersectan, identifican los vértices. En caso de que no se cuente con un tránsito, el levantamiento puede hacerse con cinta.

Para obtener los vértices, colóquese un nivel a la mitad del área o en una posición conveniente, a partir de la cual sea posible tómese lecturas de nivel de cada punto. Las curvas de nivel son interpoladas entre la elevaciones de los vértices (por los lados de los cuadros o sobre las diagonales de los mismos) calculando distancias proporcionales.

En configuraciones por el método de la cuadrícula, las elevaciones que se hacen sobre las diagonales no coinciden con aquellas que se obtiene a lo largo de los cuadrados, debido a las deformaciones del terreno.

3.9.4 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CURVAS.

El graficado o configuración de los puntos puede hacerse estando en el campo o en la oficina. Las posiciones de las curvas de nivel se obtienen interpolando entre las elevaciones de los puntos configurados.

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Cuando se configura usando secciones transversales, la posición de rasgos o detalles planimétricos como bardas, edificios, líneas de propiedad y canales, puede ubicarse con base en la línea de control. Luego se grafican en el plano topográfico.

3.10 ESTACIÓN TOTAL, TIPOS, MANEJOS Y USOS.

Se trata de uno de los aparatos topográficos de mayor difusión en la actualidad. Su potencia, flexibilidad, precisión, sencillez de manejo y posibilidades de conexión con computadoras personales son los principales factores que han contribuido a su gran aceptación.

Las estaciones totales han venido, desde hace ya varios años, a facilitar enormemente la toma de datos de campo, mediante procedimientos automáticos. Todo ello ha contribuido a una notable mejora en las condiciones de trabajo de los topógrafos, así como a un mayor rendimiento en los levantamientos y el replanteo posterior. Ver fotografía 3.20

Figura 3.20.

Existen muchos modelos de estaciones totales, de distintos fabricantes, con diferentes funcionalidades y, sobre todo con distinta precisión y obviamente, precio. En la fotografia anterior podemos ver una estación leica TC407.

A la hora de elegir una estación total debemos tener en cuenta nuestras necesidades actuales y futuras, así como la rentabilidad que vamos a obtener del aparato. No siempre el más caro va ser el más adecuado a nuestro trabajo, por lo que conviene estudiar detenidamente la elección.

El manejo de una estación total no es complicado y en un breve plazo, una persona con los conocimientos teóricos necesarios, puede estar trabajando con un rendimiento aceptable.

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Funciones básicas de una estación total. En esencia, una estación total permite efectuar las mismas operaciones que se efectuaban antes con otros aparatos como los taquimétricos o los teodolitos. La gran diferencia es que ahora se aprovechan más las grandes posibilidades que nos brinda la microelectrónica. De esta manera, la medida directa la medida indirecta de distancias se convierte en un proceso sencillo en el que basta pulsar una tecla tras haber hecho puntería sobre un prisma situado en el punto de interés. Tampoco es necesario efectuar tediosos cálculos para determinar las coordenadas cartesianas de los puntos tomados en campo, sino que, de forma automática, la estación nos proporciona dichas coordenadas. Para realizar todas las operaciones, las estaciones totales disponen de programas informáticos incorporados en el propio aparato. Todas las funciones del mismo, así como la información calculada, son visibles a través de una pantalla digital y un teclado como muestra la siguiente figura 3.20

Mediante una estación total podemos determinar la distancia horizontal o reducida, la distancia geométrica, el desnivel, la pendiente, la pendiente en % los ángulos horizontales y verticales, así como las coordenadas cartesianas X, Y, Z del punto de interés, estas últimas basadas en las que tiene asignadas el aparato en el punto de estacionamiento.

PROCESO DELEVANTAMIENTO CON ESTACIÓN

Para ello basta con estacionar el aparato en un punto cuyas coordenadas hayas determinado previamente o sean conocidas de antemano, por pertenecer a un sistema de referencia ya establecido, y situar un prisma en el punto que deseamos determinar. A continuación se hace puntería sobre el prisma, enfocándolo adecuadamente según la distancia a que nos encontramos del mismo, y se pulsa la tecla correspondiente para iniciar la medición. Este es el principio básico y se repite hasta terminar el levantamiento topográfico en este caso solo se comprueba si la estación anterior se encuentra en las coordenadas que registramos o si estamos muy cerca las fallas son de milímetros

La estación lanzara una radiación, generalmente infrarroja, que será reflejadapor el prisma y devuelta hacia la fuente emisora, registrando ésta en intervalo del tiempo transcurrido por el prisma y devuelta hacia la emisora, registrando ésta el intervalo de tiempo transcurrido, a partir del cual será capaz de determinar la distancia y el resto de valores necesarios. El sowftware se encargara de realizar los cálculos para presentarnos en la pantalla directamente los datos que más nos interesen, como suelen ser las coordenadas X,Y,Z, que en la denominación americana Este ( E ), Norte ( N ) y elevación ( Z ), respectivamente, pudiendo presentarse en el orden (E,N,Z) o (N,E,Z), ambos de frecuente utilización.

Los resultados obtenidos no es necesario transferirlos a la tradicional libreta de campo, pues ésta se ha visto sustituida por una libreta electrónica o colector de datos que se encarga de ir almacenado, de forma automática, toda la información necesaria. Los colectores de datos pueden ser externos o internos.

Los primeros han sido profusamente utilizados durante mucho tiempo, pues a sus funciones propias como sistema de almacenamiento de los datos procedentes de la estación, se añadían otras funciones propias de una calculadora programable avanzada. Estos colectores se montan sobre el trípode y se conectan a la estación mediante un cable especial. Posteriormente, ya en gabinete, es posible transferir la información desde el colector a una computadora personal, en la que podemos realizar el tratamiento de los datos mediante sowftware específico.

Actualmente son más frecuentes las estaciones que incluyen un sistema de almacenamiento interno, que podríamos asemejar a un pequeño disco duro. En realidad se trata de tarjetas de

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memoria del tipo PCMCIA (ampliamente utilizadas en computadoras portátiles). La capacidad de las mismas suele medirse en función de los puntos que puede almacenar, pudiendo oscilar esta cifra entre 1000 a 10000 puntos, más que suficiente para varias jornadas de trabajo. Este sistema evita la necesidad de otro aparato externo, y permite la conexión directa de la estación a la computadora..

Lógicamente, cada vez que se realiza la descarga de datos a la PC, es posible borrar la información almacenada en la tarjeta, con lo que de nuevo estará dispuesta para comenzar el trabajo.

También podemos optar por transferir el contenido del colector directamente a una impresora.

Las últimas estaciones aparecidas en el mercado llegan aún más lejos en el continuo

proceso de automatización, permitido generar directamente un dibujo o croquis de los datos tomados y transferido al computador en un formato estándar, de manera que pueda ser directamente tratado por un programa de diseño asistido por computadora (CAD, Computer Arded Design) como los populares AutoCAD o MicroStation.

Puesta en estación.

Podemos decir, sin lugar a dudas, que la apuesta en estación del aparato, por muy moderno que éste sea, será una de las tareas más difíciles para el topógrafo inexperto.

En primer lugar, debemos materializar sobre el terreno el punto de estacionamiento. Para ello utilizaremos normalmente estacas de madera, clavos metálicos u otros electos, dependiendo del tipo de terreno y de la permanencia que queramos otorgar a dicho punto del apoyo topográfico, que posteriormente será utilizado para el replanteo, debemos cuidar de que permanezca inamovible el tiempo suficiente.

Una vez materializado el punto sobre el terreno, procedemos a situar el aparato, junto con el trípode, en su vertical. Para ello se utiliza la plomada, que en las estaciones totales puede ser óptica o láser. En el primer caso, tendremos que estar mirando por el anteojo correspondiente para situar la cruz filar sobre el punto señalado con la mayor aproximación posible. Procedemos asentado firmemente en el terreno una de las patas del trípode y moviendo las otras dos hasta que logremos asentar el aparato en la vertical del punto. Las estaciones más modernas disponen de una plomada láser, que proyecta un rayo sobre el terreno, perfectamente visible a la luz del día, y que nos permite desplazar el aparato sin necesidad de estar mirando al mismo tiempo por el anteojo.

Cuando se ha conseguido centrar el nivel esférico, debemos asegurar de que la estación sigue estando en la vertical del punto de estación. Lo más normal es que se haya desplazado ligeramente. Para corregir este desplazamiento, aflojaremos el tornillo de fijación entre el aparato y el trípode y desplazaremos el primero sobre la plataforma nivelante hasta conseguir de nuevo la verticalidad.

El nivel esférico en su posición, con lo que solamente será necesario actuar sobre los tornillos de nivelación y equilibrar el nivel tubular.

Primeros pasos con la estación total, trabajos de campo.Una vez conseguido estacionar adecuadamente el aparato, ya podemos comenzar a

utilizarlo, aunque poco podremos conseguir si antes no le indicamos a nuestra estación cual es

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nuestra situación actual, es decir, cuáles son las coordenadas del punto de estacionamiento, y en que dirección se realiza la orientación para la medida de ángulos.

Por lo tanto, todo el proceso de medición que se efectúa con la estación total está basado en unos datos de partida, a partir de los cuales, y mediante las medidas obtenidas con el aparto, se puede calcular el resto de puntos representativos de la zona que se va a estudiar.

A la hora de fijar el sistema de referencia, podemos elegir dos métodos.

Trabajo en coordenadas relativas rectangulares planas. Asignamos al punto de estación (primera base de nuestro levantamiento) unas coordenadas arbitrarias (por ejemplo: 5000, 5000, 1000), de manera que, por simplicidad, no obtengamos posteriormente coordenadas negativas. Al mismo tiempo, orientamos el aparato con respecto a alguna señal, monumentos, antena, orientación magnética (norte) etc., permanente del terreno (uno de los bordes de la torre de una iglesia, casa, etc.), esta orientación nos marcará el origen en la media de ángulos.

Una vez colocado el aparato con la visual del punto de orientación, podemos asignar los valores de las coordenadas del punto en el que estamos, así como el valor del ángulo (normalmente asignaremos el valor 0° al punto de orientación, aunque a veces puede interesarnos otro valor).

Esta asignación se realiza de manera electrónica, como si se tratase de una calculadora avanzada, almacenándose en la memoria interna de la estación. La manera de hacerlo es diferente para estaciones de distintos fabricantes, pero no presenta mayor complicación que la de leer detenidamente los manuales de instrucciones del aparato.

A partir de este punto, podemos indicar a nuestro ayudante que se sitúe con el prisma en cualquier parte, siendo necesario solamente hacer puntería sobre el prisma y presionar el botón correspondiente para iniciar la medición. En muy pocos segundos tendremos el resultado, con las coordenadas rectangulares planas del punto deseado ya calculadas (éstas se calculan mediante rutinas internas que parten del valor medido de los ángulos horizontal y vertical, de la distancia geométrica, etc.), las cuales se presentará en pantalla y, si lo queremos, se almacenarán automáticamente en memoria, para poder ser descargadas al final de la jornada en nuestra computadora personal.

No es necesario decir que las diferencias en la metodología del trabajo con respecto a otros aparatos más antiguos son más notables. Ya no es necesario medir manualmente ángulos y tomar lecturas con los hilos del retículo, para luego en gabinete efectuar una serie de pesados cálculos y determinar las coordenadas cartesianas. La estación hace todo el trabajo por nosotros, que solamente tenemos que apuntar y ,,,, disparar.

Los últimos modelos de estaciones totales incluyen un sistema todavía más impresionante: se trata del seguimiento automático del prisma mediante un mecanismo motorizado que gira el aparato automáticamente al detectar que el prisma se está moviendo. En este caso sólo es necesario disparar, ni tan siquiera tendremos que hacer puntería.

Trabajando enlazado con la red geodésica nacional. En trabajo de cierta magnitud que requiera el estudio de una zona de gran amplitud, es una buena práctica el aparato con respecto a algún vértice de la Red Geodésica Nacional.

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Para ello, en primer lugar deberíamos identificar sobre un plano todos los vértices geodésicos existentes en la zona de estudio, así como su nivel de fiabilidad. Además, es imprescindible conocer las coordenadas de estos vértices. Toda esta información puede solicitarse al Instituto Nacional de Estadística Geografía e informática. En concreto, deben solicitarse los siguientes documentos:

o Plano general de la Red Geodésica de Primer Orden (nacional).o Plano del cubrimiento del Municipio objeto de estudio: plano de detalle con

todos los vértices disponibles identificados.o Reseñas de los vértices geodésicos que nos interesen por su proximidad a la

zona de estudio: las reseñas incluyen nombre y localización del vértice, así como sus coordinas geográficas, altitud, coordenadas UTM y huso correspondiente, convergencia de meridianos y factor de escala.

Tras haber elegido los vértices que nos van a servir como referencia, estacionarios el aparato en cada uno de ellos, asignado las coordenadas X,Y,Z, correspondientes (suministradas), y orientado, por ejemplo, hacia otro vértice. Posteriormente lanzaríamos visual al punto que constituirá la primera base de nuestro trabajo. Así, determinaremos las coordenadas de esta primera base con respecto a las del vertical estacionado.

Sucesivamente, según vayamos colocando nuevas bases, será conveniente realizar cierres con las vértices más cercanos o accesibles, lanzando visual a los mismos y comprobando las coordenadas obtenidas con la estación con las suministradas previamente.

En primer lugar marcaremos en el terreno el punto desde el cual queremos partir (E1).A continuación, estacionaremos el aparto en el vértice geodésico (V) cuyas coordenadas

(X,Y,Z) son conocidas, asignándoselas a la estación, asignándoselas a la estación.Hacemos puntería sobre el prisma situado en B1 y asignamos el valor del ángulo horizontal

(Hz), pues esta será siempre la orientación elegida. Normalmente, elegiremos que el ángulo horizontal Hz(V,B1) sea igual a 180º, pues así cundo nos situemos en la primera base de nuestro trabajo (B1), apuntaremos al vértice (V) y fijaremos a cero el valor de Hz(B1,V).

Una vez orientado el aparato y asignadas las coordenadas del punto de estación, podemos iniciar las medición. En breves segundos aparecerán en la pantalla todos los valores deseados. En concreto, los tres datos imprescindibles son los ángulos horizontal y vertical, y la distancia geométrica. Partiendo de ellos pueden calcularse los demás, incluidas la distancia reducida, el desnivel y las coordenadas rectangulares. La determinación del desnivel es la del existente entre el eje del aparto y el prisma, (ver figura 3.21) no entre los dos puntos del terreno, razón por la cual será necesario conocer las alturas del aparato y del prisma. En la figura 3.22 cumple la relación:

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FIGURA 3.21

Figura no. 3.22

Expresión que permite calcular el desnivel existente entre los puntos A y B.

No debemos pensar que es necesario aplicar esta expresión para cada uno de los puntos que vayamos tomando. Si nos fijamos, el valor de la altura del aparato permanecerá constante dentro de un sistema estación, y en general, la altura del prisma también será constante, salvo en caso de puntos difíciles en los que puede interesar aumentarla o disminuirla para lograr la puerta.

Teniendo en cuenta que estas dos magnitudes suelen permanecer constantes, podemos introducirlas en la memoria del aparato y obtener gran cantidad de puntos por radiación desde la misma sin ningún tipo de cálculo adicional. Cuando cambiemos de estación bastará con medir de nuevo la altura del instrumento y tener constancia de la altura a la que colocamos el prisma.

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Ya tenemos las coordenadas de nuestra primera base (B1) referidas a la Red Geodésica, con lo cual tomaremos el aparato y pasaremos a estacionarnos en dicho punto (B1). El proceso se repite. En esta ocasión asignaremos a la estación las coordenadas recién calculadas de B1, apuntaremos a V y pondremos a cero el valor del ángulo horizontal. De esta forma, el aparato está preparado para tomar todos los puntos de relleno necesarios, calculando sus coordenadas en función de las previamente asignadas de B1.

Por tanto, desde B1 haremos una radiación lanzando visuales al prisma, que se irá situando sucesivamente en puntos del terreno aleatorios aunque elegidos con destreza, para representar el terreno con la mayor fidelidad, sin necesidad de excederse en el número de puntos tomando. Como regla general conveniente tomar todos los puntos notables del terreno, que en su mayor parte serán los constituyentes de las líneas de quiebro (vaguadas, bordes de caminos, pies de talud, etc.). Adicionalmente, tomaremos los puntos de relleno que consideramos necesarios.

Cuando finalicemos el trabajo desde B1, debemos situar una nueva base en el terreno que nos permita continuar el trabajo desde ella. Para ello, materializaremos ésta en el terreno y lanzaremos visual sobre ella, calculando sus coordenadas (XB2, YB2).

Recogeremos el aparato y estacionamos en B2. Como siempre, lo primero es asignar las coordenadas recién calculadas y orientar el aparato. Lo primero es inmediato para lo segundo, haremos puntería sobre el prisma situado en B1 y fijaremos el ángulo horizontal de B2 a B1 [HZ (B1,B2)] más 180º por tanto:

Hz(B2,B1)=180º + Hz(B1,B2)

Nuevamente tenemos el aparato orientado, con lo cual podemos comenzar a radiar hasta que necesitemos una nueva base. Y así sucesivamente hasta completar el trabajo.

Como vemos el modo de operar es sencillo, no obstante, no debemos perder de vista los errores que conlleva todo proceso de medida. Para ir observando los errores cometidos y, en su caso, efectuar las correcciones oportunas, debemos ir comprobando la fidelidad de las coordenadas obtenidas cerrando desde cada base con el vértice inicial o con otro que esté visible. Si desde B2 lanzamos visual a V, deberemos obtener en pantalla las coordenadas de V. Normalmente siempre habrá alguna desviación con respecto a las originales. Teniendo en cuenta las tolerancias establecidas, sabremos si es necesario efectuar correcciones o no. También debemos comprobar el cierre angular.

Se entiende que si el trabajo no está orientado con la Red Geodésica la única variación del procedimiento expuesto será el hecho de que la base B1 le asignaremos unas coordenadas arbitrarias, como pueden ser la declinación magnética (Norte), de las cuales se deriva el resto.

Trabajo de gabinete.Una vez finalizados los trabajos de campo comienza una de las tareas más interesantes. Se

trata del análisis, interpretación y tratamiento de los datos obtenidos para conseguir un buen modelo del terreno objeto de estudio. Cuando digo que se trata de una de las tareas más interesantes estoy pensando en las posibilidades que las nuevas herramientas informáticas nos brindan.

Lejos que dan ya aquellos tiempos en los que era necesario tomar la libreta de campo y ponerse a calcular coordenadas a partir de los datos de ángulos y distancias, para luego representarlos manualmente en un plano y dibujar las curvas de nivel interpolando cotas de la mejor manera posible. Efectivamente, era un trabajo extremadamente tedioso que consumía bastante tiempo.

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Hoy día, todo es más sencillo y a la vez más interesante. Cuando lleguemos al despacho con nuestra estación total no tendremos más que extraer el colector de datos y transferir estos a nuestra computadora personal posteriormente, con el software apropiado abriremos dichos ficheros y, con un poco de experiencia, no será necesario mucho tiempo par tener en pantalla un modelo digital del terreno que podemos visualizar al modo tradicional (con curvas de nivel) o bien elegir la representación tridimensional basada en triángulos o en malla cuadricula.

Posteriormente efectuaremos la revisión (siempre necesaria), el dibujo de detalles, y la confección de los planos finales. Pero todo ello lo haremos con un sistema de diseño asistido por computadora (CAD) que nos facilitara enormemente la tarea (aunque requerirá un tiempo considerable de aprendizaje previo, pues se trata de programas muy elaborados y complejos con infinidad de funciones) y nos hará pasr un rato agradable delante d ela computadora, convirtiendo lo que antes era un trabajo arduo en donde una gratificante experiencia, al comprobar como el trabajo realizdo en campo se materializa en gabinete con rapidez y efectividad.

Ejemplo de entrega de datos de estación a Autocad

Figura 3.23Obtención de datos en campo.

Arreglos de acuerdo a unión de puntos. Levantamiento con estación total del poblado de santa catarina municipio de tepoztlán utilizando estación marca leica TC407 y prisma con rayo laser.

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Figura 3.24Datos transformados de la figura anterior a autocad.

Unidad IV

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TÉCNICAS MODERNAS EN TOPOGRAFÍA

4.1 GENERALIDADES

Taquimetría.

La TAQUIMETRÍA (del gr. taquis-rápido, metron-medida) comprende los procedimientos topográficos empleados para determinar a la vez, en posición y altura los puntos del terreno, ya que hace simultáneos los levantamientos planimetritcos y altimétrico.

La medición de las distancias se realiza indirectamente, empleándose para su evaluación estadía. La estadía da la medida de la distancia entre la estación y el punto observado.

Estadía

La ESTADÍA es un procedimiento empleado para la medida indirecta de distancias y consiste en el uso combinado de un anteojo telescópico, con dos hilos reticulares horizontales paralelos al central, y de una regla dividida en metros, decímetros y centímetros que se denomina mira o estadal.

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En la actualidad prácticamente todos los tránsitos y muchos niveles vienen dotados de estos hilos estadimétricos o de estadía, pues es el procedimiento taquimétrico más empleado.

A esos hilos horizontales y que sirven para proyectar dos lecturas en el estadal, se llaman hilos “estadimetricos”.

La retícula de un tránsito (Fig.4 1 ), para la medición de distancias con estadía, además del hilo horizontal medio, tiene otros dos hilos, superior e inferior, horizontales y equidistantes del hilo medio, que se llaman hilos estadi-métricos.

Figura 4.1

HV — hilo vertical

HS — hilo superior

HM — hilo medio

HI — hilo inferior

O — centro de la retícula (cruzamiento de los hilos vertical y horizontal medio)

S — distancia entre los hilos estadimétricos

Estadía Simple.

anteojo del transito estadal.

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Figura No 4.2

En terreno plano, el procedimiento empleado para la medida de las distancias se conoce con el nombre de estadía simple. Este caso, en el cual las visuales dirigidas a la mira se consideran horizontales, se ilustra en la Fig. No 4.2.

A = estación

B = punto visado

D = distancia de la estación A al punto visado B

e = distancia entre el centro del instrumento (en el eje azimutal) y el centro de la lente

objetivo

f = distancia focal de la lente objetivo

d = Distancia entre el foco de la lente objetivo y el estadal

s = separación de los hilos estadimétricos

F = Foco principal de la lente objetivo o punto analítico

δ= ángulo diastimométrico

L = distancia interceptada sobre el estadal por los hilos estadimétricos

FORMULAS GENERALES DE LA ESTADIA SIMPLE

DH=CL +c

C= Constante que vale 100

c = Constante chica

DH = Distancia Horizontal

L = Es la diferencia de hilos

L=(Hs-HI) puede ser

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DH = CL cos² ø

CUANDO

L=(Hs-HM)2

L=(HM-HI)2

H = desnivel

HM = hilo medio

Algunos aparatos tienen un sistema óptico para disminuir la (c) constante chica haciéndola

despreciable; son aparatos llamados del punto analítico central.

Determinación de las constantes de estadía de los aparatos. Como en la práctica no siempre

se trabaja con aparatos nuevos, es indispensable determinarles las constantes antes de proceder a

cualquier trabajo.

La determinación se hace en un plano, a nivel, con objeto de que la línea de colimación que

perpendicular a la regla graduada (estadal), para que sea cierta la formula.

La determinación se hará por alguna de las dos formas siguientes, según sea el aparato de

que se trate.

Constante chica. Aparatos con el objetivo móvil al enfocar, (tipo antiguo).

Figura 4.3.

De donde;

(e) Se mide directamente sobre el anteojo, del objetivo al centro del aparato.

(f) Se mide considerándola aproximadamente como la distancia del objetivo, a la retícula

ya que allí se formo la imagen.

Constante grande

1)Sobre un terreno sensiblemente plano y horizontal, se toman dos puntos lo

más distantes entre si, en tal forma que el tránsito sea posible apreciar en el estadal los

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decímetros y deducir los centímetros. Esos puntos serán A y B (figura 4.4); por lo que

AB = DH; A y B serán los puntos inicial respectivamente

2)En el punto A se coloca una estaca y apartir de ella se marca la distancia “c”

(constante chica) y se coloca otra estaca “O” que será la estación cero.

3)A partir de este punto “O” y en línea recta se van midiendo con cinta

distancias desiguales, colocando las respectivas estacas y posteriormente en cada una de

ellas, se coloca el estadal haciendo cuidadosamente la lectura respectiva. En esa forma

se prosigue hasta llegar al punto final “B”.

FIGURA 4.4.

Registro para determinar la constante “C”

Estación Dist. (m) Lec. Estd.

0 0 LO

1 D1 L12 D2 L23 D3 L3

4 D4 L45 D5 L5

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Lec. Estd = lec de 1 mt Dist C

C = Dist x lec 1 mt Lect Est

Dist.C= Lec.

p. Σ Di (m) i a C= P Σ. Li (m) i a

Por facilidad, los aparatos vienen fabricados con una separación de hilos de estadía tal, que

C valga 100. La c chica puede valer hasta 30 o 40 cm. Conviene determinar las constantes entre los

dos hilos de estadía (C total) por que a veces si el aparato ya ha sido reparado, pudiera haber sido

separdo, pudiera quedar los hilos colocados a separación diferente, cuando no son líneas grabadas en

el cristal sino hilos pegados al anillo de la reticula

CALCULO DE COTAS O ELEVACIONES

Cota B=Cota A + A.P +- Hs –HM

Cuando A.P = HM quedaCota B = Cota A +- H

PROBLEMAS:

l.-Con la línea de colimación horizontal, la lectura de estadal del hilo superior es de 2.174 m y la del hilo inferior es de 0.872 m. Las constantes de estadía son C = 99.8 y c = 30 cm. Ver fig. 4.5

¿Cuál es la distancia entre la estación y el punto visado?DATOS: SOLUCIÓN:HS= 2.174m L = HS — HI = 2.174 — 0.872 = 1.302 mHI= 0.872 m D = LC + c = 1.302 (99.8) + 0.30 = 130.239C= 99.8 D = 130.24 mc = 30 cmD= ?

2.-Calcule la distancia estadimétrica con los siguientes

DATOS: SOLUCIÓN:L= 2.832 mC=100 D=LC+c= 2.832(100) + 0.35 = 283.55 c= 35 cm D= ? D = 283.55 m

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L = Hs - Hi

3.-Con los datos de la Fig., calcule la distancia de estadía.

C = 99.92

c = 25.5 cm

D = ?

FIGURA 4.5

SOLUCIÓN:

L = 2(HS — HM) = 2(3.811 — 2.093) = 3.436 m

D = LC + c = 3.436(99.92) + 0.255 = 343.58

D = 343.58 m

4.2 COORDENADAS ECUATORIALES Y LOCALES

La posición de un punto en la esfera celeste, en el sistema ecuatorial, se determina por sus dos coordenadas: ascensión recta y declinación.

Ascensión recta es el arco del ecuador celeste comprendido entre el punto vernal V (figura 4.6) y el meridiano o círculo horario correspondiente al astro o cuerpo celeste. El arco se mide de poniente a oriente en unidades de tiempo de 0h a 24h y se representa con la letra griega α (alfa).

Declinación es la distancia angular de un punto de la esfera o de un astro al ecuador celeste; es positiva de 0º en el ecuador a 90º en el polo boreal y negativa hasta - 90º en el polo austral. La declinación se representa por la letra griega δ (delta).

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Figura 4.6.

Como por ejemplo, se tiene que la posición de la estrella Acamar (θ Eridani), tiene una ascensión recta = α = - 2h 57m 28s y una declinación sur = δ = - 40º 23' 47˝. La posición de la estrella retículus (β Herculis) con una ascensión recta = α = 16h 29m 14 s. y una declinación norte = δ = + 21º 32'20˝.

Las posiciones medidas de las estrellas anteriores están dadas por el año de 1977, pues las posiciones de los cuerpos celestes tienen pequeñas variaciones debidas a sus desalojamientos y a la retrogradación del punto vernal como lo muestra la figura 4.6, debido a la precesión de los equinoccios por el giro cónico del eje de la tierra principalmente.

Las coordenadas locales, estas son las due sirven para fijar la posición de un punto en la superficie de la tierra y la localización de una embarcación en el mar, así como de una aeronave.

Estas son: la latitud y la longitud se calcula o se cuenta sobre el meridiano terrestre y pasa po el punto de observación.

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Se llama meridiano terrestre a la intersección con la superficie de la tierra de un plano que pasa por los polos terrestres, se cuenta a partir del ecuador hacia el polo Sur, esta latitud es igual a la altura del polo terrestre sobre el horizonte.

La longitud, es el ángulo dietro formado por dos meridianos terrestres, tomando uno como origen y el otro el que pasa por el punto de la tierra que se considera, este meridiano origen es el que pasa por el observatorio de Greenwich, en Inglaterra y es oriental (la latid) u occidente según que el punto esté situado al oriente o al occidente del meridiano origen, se cuenta 0º a 180º.

La tierra se considera dividida en husos horario de 15º, son por lo tanto 24 husos horarios, por la republica Mexicana pasa el meridiano 90º W de Greenwich y el 105º W de Greenwich.

4.3 GPS, TIPOS, MANEJOS Y USOS.

Desde cuando el hombre apareció sobre la superficie terrestre, han tenido el problema de saber en qué sitio se halla y hacia dónde se mueve. Inicialmente marcaba esos lugares con árboles o piedras que la lluvia, la nieve o la niebla, volvían invisible. Posteriormente recurrió a las estrellas, y para poder identificarlas tuvo que acudir a instrumentos como el astrolabio o el sextante, pero solamente podía observarlas en noches claras. Hacia 1940 y mediante señales de radio, se hizo posible determinar una posición con mayor exactitud; se desarrollaron los sistemas Loran, Omega y Decca con tal fin, que tenían limitaciones como el poco alcance de las ondas de radio y el hecho de que las tormentas eléctricas las afectaban notoriamente.

A partir del lanzamiento del primer satélite artificial se pensó en utilizarlos como sistemas de estrellas que “iluminaban” como señales de radio grandes extensiones de la tierra, y hacia 1960 se diseñó el sistema Transit, que empleaba satélites de baja altura para hacer mediciones geográficas usando un método diferente del actual, el cual no era muy exacto; quedó fuera de servicio hacia 1995.

El Global Positioning System (GPS) o Sistema de Posicionamiento Global (más conocido con las siglas GPS; su nombre más correcto es NAVSTAR GPS) es un Sistema Global de Navegación por Satélite (GNSS) el cual permite determinar en todo el mundo la posición de un objeto, una persona, un vehículo o una nave, con una precisión hasta de centímetros usando GPS diferencial, aunque lo habitual son unos pocos metros. El sistema fue desarrollado e instalado, y actualmente es operado, por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos.

En 1973 empezó a operar el Sistema de Posicionamiento Global (GPS) NAVSTAR (Navigation System by Time and Range), que fue desarrollado por el Departamento de Defensa de los E.E.U.U. Existe también un sistema similar llamado Glonass, desarrollado en Rusia.

El GPS se basa en una constelación de 24 satélites alrededor de la tierra, en seis planos orbitales, que giran a una altura aproximada de 20.200 kilómetros. Tres de los cuatro satélites de cada órbita funcionan permanentemente, mientras que el cuarto es de repuesto. Con esta distribución se garantiza que desde cualquier lugar del planeta hay siempre visible entre cuatro y ocho satélites.

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Estos satélites usan tecnología de medición tan precisa como para definir posiciones exactas en cualquier lugar del mundo durante las 24 horas del día. Normalmente se consiguen aproximaciones de unos diez metros, que es aproximadamente la anchura de una calle, y en el llamado “modo diferencial” los topógrafos realizan mediciones con precisiones hasta de un centímetro.

Con la tecnología actual de circuitos integrados, los receptores GPS se están haciendo lo suficientemente pequeños y baratos como para que cualquier persona pueda llevarlos para saber exactamente dónde se encuentra en cualquier momento. Por esto se cree que en poco tiempo el GPS será un nuevo “servicio público”.

Sus aplicaciones casi no tienen límite. Llenaran las necesidades de usuarios tradicionales, como pilotos y marineros. De igual manera servirán a despachadores, conductores de vehículos, bomberos, ambulancias, brigadas de rescate, etc. Se pueden diseñar con ellos sistemas para evitar colisiones en el aire. Para los sistemas de información geográfica (SIG), el GPS puede implementar y actualizar sus bases de datos a bajo costo. Los agricultores ya lo están utilizando para optimizar la fumigación y la aplicación de abonos y lograr mayor eficiencia en sus cosechas. Los automóviles comienzan a estar dotados, mediante ellos, de mapas electrónicos que muestran instantáneamente el camino de cualquier destino.

A los topógrafos les está reduciendo notoriamente el tiempo y el costo en los levantamientos topográficos. Los ingenieros constructores disminuyen con GPS los costos de movimientos de tierras, realizan rápidamente inventarios de caminos y carreteras, etc. En general, el sistema GPS tiene muchas ventajas para la ingeniería con respecto a los métodos tradicionales, principalmente por su rapidez y precisión solamente está restringida en aquellos sitios con obstrucciones inevitables a los satélites, como en las zonas urbanas de construcciones muy altas, o en túneles y minas. Para estos casos se emplea equipo complementario que mide distancias con base en rayos infrarojos.

El funcionamiento correcto del sistema GPS depende de los siguientes cinco pasos.

Determinación de la posición.

Para determinar la posición de un punto es necesario medir sus distancias desde un grupo de satélites; si se conoce su distancia a un satélite se sabe que el punto está sobre la superficie de una esfera que tiene esa distancia como radio; si se conoce su distancia a dos satélites se restringen la posición a la circunferencia donde las esferas de esos radios se interceptan; si se conoce su distancia a tres satélites de reduce el número de posiciones a dos puntos, donde la tercera esfera corta al círculo anterior; si se conoce la distancia a un satélite se puede saber cuál de los dos puntos anteriores es el correcto. Por eso dice que matemáticamente se necesitan cuatro mediciones para determinar la posición del punto requerido.

Determinación de las distancias.

Estas distancias se establecen multiplicando la velocidad de la señal de radio que envía el satélite (que es igual a la velocidad de la luz) por el tiempo que tarda en llegar del satélite al receptor. Para determinar ese tiempo, el satélite y el receptor generan sincronizadamente una sucesión de códigos digitales, con una determinada secuencia, para que se les pueda comparar fácilmente y sin ambigüedad. Estos códigos se generan exactamente al mismo tiempo, tanto en el satélite como en el receptor; cuando se recibe el código en el receptor se ira retrospectivamente para ver cuánto hace que se genero allí ese mismo código y así podemos conocer el tiempo transcurrido desde que ese

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código específico partió del satélite y llego al receptor; se determina de este modo cuánto tarda en recorrer la distancia.

Obtención de una sincronización perfecta.

Si los relojes de los satélites y del receptor no están perfectamente sincronizados, cualquier pequeña diferencia da lugar a errores en la localización del punto, debido a la gran velocidad con que viaja la señal. Los satélites están equipados con relojes atómicos (que emplean las oscilaciones de un átomo particular como control), son sumamente preciosos, y también costosos; cada satélite lleva cuatro de ellos para estar seguros de que por lo menos uno funcione siempre bien.

Sin embargo los receptores, por razones de precio, no pueden tener relojes tan precisos; pero haciendo la medición de una distancia adicional se pueden usar relojes medianamente precisos, sin menoscabo de la exactitud en la localización de un punto. La trigonometría permite hacer la afirmación de que si tres mediciones perfectas ubican un punto en el espacio, cuatro mediciones imperfectas pueden eliminar cualquier desajuste de tiempo, desde que ese desajuste sea consistente.

Para explicar este principio se aplica el siguiente raciocinio, suponiendo que el reloj del receptor no es perfecto como uno atómico si que se adelanta un poco: si la estación está a una distancia equivalente a la recorrida por la luz en cuatro segundos desde el satélite A y a seis segundos des que el satélite B, en dos dimensiones estas dos distancias ubican la estación en el punto X ver figura No-4.7. Esa posición se obtendría con dos relojes perfectos.

FIGURA 4.7Ubicación X con relojes sincronizados.

Pero si el reloj del receptor está adelantado un segundo, señalaría que el satélite A está a cinco segundos, y el B, a siete segundos, o sea, que ubicarían el receptor XX, distinto de X como lo muestra la figura 4.8, y esa posición se aceptaría como perfecta puesto que no se sabría que el reloj del receptor está adelantado un segundo.

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FIGURA 4.8Si adicionalmente se toma la distancia desde un tercer satélite, c, y ese satélite estuviera a

una distancia de ocho segundos del receptor, considerando los relojes perfectos, la posición del receptor estaría en X de la figura 4.9.

FIGURA 4.9.Pero si se presentara ese error de un segundo en el receptor, las líneas de puntos mostrarían

las “pseudodistancias” causadas por el reloj adelantado, llamado “pseudodistancias” las distancias con errores ocasionados en la falta de sincronización; o sea que no existe un punto que éste a cinco segundos de A, siete de B y a nueve de C ver figura 4.10.

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FIGURA 4.10.

Las computadoras de los receptores se programan para que cuando reciban una serie de datos como éstos, que no se intersectan en un punto, asuman que hay algo erróneo a causa de que el reloj interno del receptor esta desajustado. Entonces la computadora va restando o sumando la misma cantidad de tiempo a todas las mediciones, hasta que logra una respuesta que permita que todas las distancias pasen por un punto.

En este caso la computadora “concluye” que restando un segundo a las tres mediciones puede hacer que las circunferencias se corten en un punto, o sea, que el reloj estaba adelantado un segundo. En realidad lo que la computadora hace es resolver el problema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas para hallar el desajuste de los relojes. Así entonces, al añadir una medición se puede eliminar los errores que pueda tener el reloj del receptor.

4.4 LEVANTAMIENTO Y PESECIONAMIENTO CON GPS

Métodos para levantamientos por GPS.

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GPS ESTATICOEn general, si se usan lecturas GPS independientes se logra una precisión de una o varias

decenas de metros, lo cual puede ser aceptable para muchas aplicaciones del GPS (como localización de vehículos) pero no aceptable en trabajos topográficos. Para estos trabajos se usa los métodos que se describen a continuación:

GPS DIFERENCIAL CINEMÁTICO.

Se usa una estación fija (base) (ver figura 4.11) y otras móviles. Se hacen muchas observaciones desde la fija para determinar bien su posición; luego se hacen lecturas más o menos rápidas desde las móviles; a las lecturas de las móviles se les hacen las mismas correcciones que se determinaron para la fija (basados en la gran distancia a la cual se encuentran los satélites, las correcciones que se aplican a la estación base son las mismas para las estaciones móviles dentro de la misma área.)

Se logra gran precisión si las correcciones para la estación fija se determinan con base en las coordenadas del punto de control con coordenadas conocidas. Programas (software) complejos calculan las correcciones que deben afectar las lecturas GPS:

FIGURA 4.11GPS CINEMÁTICO EN TIEMPO REAL.

Si las estaciones móviles se conectan por radio con la estación base (figura 4.12) se puede hacer en tiempo real los ajustes a las lecturas GPS en las estaciones móviles, pues por esos enlaces de radio se envían las correcciones necesarias.

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FIGURA 4.12SISTEMA DE CORDENADAS

La relación de espacios entre los satélites y los puntos terrestres donde se estacionan los receptores GPS se especifica en un sistema tridimensional de coordenadas rectangulares que tiene como origen un foco de la orbita del satélite (el cual coincide con el centro de gravedad de la tierra G);como eje de las X se toma la línea de las ápsides o recta que une los dos focos; el eje de las Y está en el plano de la orbita y el eje de las Z es perpendicular a dicho plano (el satélite tiene ligeras desviaciones de su orbita en dirección Z) (figura 4.13)

Estas coordenadas se transforman luego a coordenadas geodésicas o topográficas. Las geodésicas (latitud, longitud y altura) consideran la tierra como un elipsoide de revolución, que es la figura geométrica simple que mejor se ajusta al “geoide”, siendo el elipsoide más conocido el del sistema geodésico mundial de 1984 (WGS 84), que es el mismo Datum norteamericano de 1983 (NAD 83). También se puede considerar la tierra como el geoide, que idealiza la superficie terrestre como la “continuación de la superficie del mar bajo los continentes”.

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FIGURA 4.13

A partir de las coordenadas geodésicas se pueden calcular las coordenadas rectangulares (topográficas) para cada región específica de la superficie terrestre. Los paquetes de software especializados se encargan de estos cálculos obtenidos de GPS.

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Unidad V

CURVAS HORIZONTALES Y

VERTICALES.

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5.1 GENERALIDADES DE LOS TIPOS DE CURVAS.

El eje de una carretera, de una vía férrea o de un canal está constituido por una serie de líneas rectas (tangentes) que están ligadas generalmente por curvas circulares, aunque entre las rectas y las curvas se incluyen otras curvas denominadas de transición. Se puede decir que hay dos tipos en que se clasifican las curvas de un alineamiento, horizontal y vertical.

Curvas horizontales pueden ser simples, compuestas inversas o espirales. Las curvas compuestas e inversas se estudian como una combinación de dos o más curvas simples, mientras que la curva espiral resulta de radios variables.

Las curvas que tienen radios cortos (generalmente menores que la longitud de una cinta), pueden trazarse en campo sosteniendo un extremo de la cinta en el centro del circulo y describiendo un arco con la misma, al tiempo que se marca el terreno tantos puntos como se desee. A medida que la longitud de la curva se incrementa, la cinta ya no es práctica para el trazo y el ingeniero topógrafo debe usar otros métodos para estos trabajos, como efectuar la medición de ángulos y distancias sobre líneas rectas por medio de los cuales puede ubicarse puntos selectos llamados estaciones, localizados sobre la circunferencia del arco.

Curva simple. La curva simple es un arco de círculo (figura 5.1 a) ). El radio del círculo determina lo cerrado o abierto de la curva. A mayor radio, la curva es más abierta. Este tipo de curva es el mas utilizado.

FIGURA 5.1

Curva compuesta. Frecuentemente se necesita adaptar al terreno una curva compuesta. Esta curva consta generalmente de dos curvas simples unidas, del mismo sentido como muestra la figura 5.1 b).

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Curva inversa. Consiste en dos curvas simples juntas, de diferente sentido; ver figura 5.1 c) por razones de seguridad este tipo de curva se utiliza poco en carreteras, ya que provoca que un automóvil tienda a salirse del camino

Curva espiral. La curva espiral es una curva cuyo radio varía en forma continua. Se usa en ferrocarriles y en algunas carreteras modernas. Su propósito es proporcionar una transición de la tangente a una curva simple o entre las curvas simples que forman una curva compuesta ver figura 5.1 c).

Curvas Verticales. Las carreteras formadas de una serie de rectas (o tangentes) no son prácticas en la realidad. Para prevenir la existencia de cambios abruptos en la dirección vertical de los vehículos en movimiento, los segmentos adyacentes con diferente pendiente se conectan mediante una curva ubicada en el plano vertical, la cual se denomina curva vertical.

Generalmente la curva vertical es el arco de una parábola. Los arcos parabólicos se adaptan correctamente al cambio gradual de dirección y permiten el cálculo fácil de las elevaciones de los puntos que están en ellos. Hablando en forma práctica, un vehículo que llega al fondo de un alineamiento descendente chocaría y aquellos que llegan a la parte superior de una pendiente ascendente, saldría volando en la cresta de la curva. Es por esto que se aplica ciertas normas para diseñar curvas verticales.

Normas generales

Proporcionar una pendiente suave, con cambios graduales, de acuerdo con el tipo de terreno y el tipo de carretera.

Evitar vados escondidos, esto es, vados que el conductor de un vehículo no pueda ver.Cuando sea posible, reducir las pendientes cerca de la parte superior del asenso sobre

pendientes largas y pronunciadas.Como regla general, mientras más alta sea la velocidad de proyecto de una carretera, será

menor el porcentaje de pendiente permitido. Por ejemplo, una carretera diseñada con una velocidad máxima de 30 millas por hora (mi/h) puede tener tangentes verticales que se unirán con una curva con pendiente de 6 a 8%. Una carretera diseñada para 70 mi/h puede tener una curva vertical cuyas tangentes tengan una pendiente de 3 a 5% solamente.

Curvas en cresta: (El PIV se encuentra hacia arriba)

117

-

-

-PIV

+ --PIV

+

+PIV

FIGURA 5.2Curvas en columpio: (El PIV se encuentra hacia abajo)PIV (Punto de inflexión en el alineamiento vertical)

FIGURA 5.3

5.2CURVAS HORIZONTALES SIMPLES: SUS ELEMENTOS, FORMULAS Y CALCULO .

Elementos de las Curvas SimplesCuando dos tangentes están unidas entre si por una sola curva circular, esta se denomina

curva simple. En el sentido del Kilometraje, las curvas simples pueden ser hacia la izquierda o hacia la derecha.

La curva simple tiene como elementos característicos los que se muestran en al figura 5.4

-Grado de la Curva se llama al ángulo según el cual se observa desde el centro de la curva, una cuerda de 20 metros.

-Subtangente es la distancia tangencial comprendida entre el PC y el PI o entre el PI y el PT.

-Principio de Curva (PC) y principio de tangente (PT) son los puntos de tangencia de la curva.

-Radio de la curva es el radio de la curva circular.

-Cuerda es la recta comprendida entre dos puntos de la curva.

-Ángulo de Cuerda es el ángulo comprendido entre la prolongación de la tangente y la cuerda considerada.

-Externa es la distancia mínima entre el PI y la curva.

118

PIV

+ -

+

+PIV PIV

C = 20 m.PC

T1 T2

PI

90º

LC

Ext.

M

f

NCL

ST ST

PT

90º

O

RR∆

∆/2

Gc

-Flecha es la ordenada media de la curva circular.

-Cuerda larga es la distancia entre el PC y el PT.

FIGURA 5.4

T1 = Tangente de entradaT2 = Tangente de salidaPI = Punto de inflexión∆ = Deflexión

PC = Principio de curvaPT = Principio de tangenteLC = Longitud de curvaCL = Cuerda largaST = SubtangenteO = Centro de la curvaR = Radio de la curvaM = Punto medio de la curvaN = Punto medio de la cuerda larga

Ext = ExternaF = Flecha u ordenada media

Gc = Grado de la curva

DEDUCCIÓN DE FORMULAS

119

∆

Grado de la curva (Gc). Es el ángulo que subtiende una cuerda de 20 metros. ver figura 5.5

FIGURA 5.5.

Naturalmente, habrá curvas “muy cerradas”, de radios pequeños y grado alto (círculos pequeños de la plantilla), y curvas “muy abiertas” de radio grande y grado pequeño (círculos grandes de la plantilla).

Ahora bien, el vehiculo, al entrar a la curva, se ve afectado por la fuerza Centrifuga: como muestra figura 5.6

FIGURA 5.6.

Claro que esta fuerza centrífuga, se verá contrarestada por la sobre elevación que se le de de al camino, y por el coeficiente de fricción transversal entre las llantas y el pavimento:

Pero estos valores tienen un límite:Sobre elevación máxima = 12

Coeficiente de fricción transversal:

120

0.16 para velocidad 70 km/hr0.14 para velocidades hasta de 110 km/hr

Se puede establecer lo siguiente:A radio grande Grado pequeño Sobreelevación min.A radio pequeño Grando grande Sobreelevación gde.

Pero si bien es cierto, nuestro problema se plantea de esta manera: a la velocidad de proyecto dada, debemos calcular el radio mínimo y el grado máximo, tal que nos permita emplear la sobreelevación máxima. Vamos a deducir una formula de Radio mínimo en función de la velocidad de proyecto. A partir de las 3 expresiones siguientes:

1 F = m a (fuerza = masa x aceleración)

2 m = P/g (masa = peso/aceleración de la gravedad)

3 a = v2/R (aceleración = velocidad² / radio de curvatura, en el movimiento circular)

Substituyendo los valores de masa y aceleración en la primera expresión nos queda:

Por otra parte; consideremos un vehículo circulado por una curva un vehículo círculado por una curva con su correspondiente sobre elevación (α). Se puede apreciar la existencia de 3 fuerzas obrando sobre él:

F, que es la fuerza centrífuga.P, que es su peso propio.Fr, que es la fricción transversal.

FIGURA 5.7

121

Descompongamos la fuerza F en dirección paralela a la superficie de rodamiento (Fx), la carga P en dirección normal y paralela a la superficie de rodamiento (Px y N), y recordemos que la fuerza de fricción es igual al producto del coeficiente de fricción transversal (F) por la componente N del peso propio (Fr = fN).

Fx = Px + Fr (1) Px = P sen α (3)Fx = F cos α (2) N = P cos α (4)

FIGURA 5.8.

En la ecuación 2 substituyamos el valor de F logrado antes:

Y en la ecuación Fr = fN, substituyamos el valor de N dado por la ecuación (4).

Fr = f P cos α (6)

En la ecuación (1), substituyamos el valor de Fx, Px y Fr, dados por las ecuaciones (5), (3) y (6) respectivamente:

122

Dividiendo ésta expresión entre P cos, se tiene:

Pero:

Por lo que:

Consideremos por el momento, únicamente el primer miembro de la ecuación anterior; y en el, para procesar la ecuación, supongamos una velocidad de Km/hr; pero transformada a m/seg, para poderla operacional con el valor de la aceleración de la gravedad, que es de 9.81 m/seg², así :

Quedando entonces:

123

Pero recordemos que: S = 0.12 y que f = 0.16.

Que es el radio mínimo (en carreteras), que puede tener una curva (con sobre elevación de 12% ), a una velocidad de proyecto dada (Km/hr).

Queda ahora por determinar el grado de la curva (grado máximo) correspondiente. Una forma sería:

FIGURA 5.9.

Es recomendable, siempre que sea posible, usar una curva de grado menor al Gmáx.

calculado. De manera, que las curvas con que se unan las tangentes, no tienen por que ser arbitrarias.

Si en el tramo del camino en cuestión, la velocidad de proyecto es de 50 Km/hora, por ejemplo:

Formulas

124

1) Grado de la curva (G) 6) Kilometraje del PT (Km PT)

2) Radio de la curva (R) 7) Ángulo de deflexión por metro, en minutos de arco (D`m)

3) Subtangente (ST) 8) Cuerda larga (CL)

4) Longitud de la curva (LC) 9) Flecha (f)

5) Kilometraje del PC (Km PC) 10) Externa (Ext.)

Calculo

Se realizara a continuación un ejemplo en el que se tendrá como dato:

El kilometraje del P.IEl ángulo de deflexión (∆T)La velocidad de proyecto

Las deflexiones anotadas en los registros, son visadas aún en el caso de que desde el PC, NO se puedan visar todos los puntos, en ese caso, se cambia el aparato al ultimo punto que se pudo visar, y se hace lo siguiente:

1.-Se visa PC, con el aparato en ceros y en posición inversa.2.-Se da vuelta de campana, y se pone en el vernier, el ángulo correspondiente al punto

donde esta el aparato.3.-Se continúa trazando la curva, con los datos del registro.

Ejemplo:Datos:

Km PI = 15+354.20∆T = 48º30’Gc = 4º

a. Elementos Geométricos:

1.1. A.- Radio:

1.1 B.- Subtangente:

1.1 C.- Longitud de la curva:

125

1.1 D.- Cuerda:

1.1 E.- Ordenada media:

1.1 F.- Externa:

1.1 G.- Cadenamientos: CMPC = KmPI – ST = (15+354.20 -129.05 =15+225.15KmPT = CMPC + Lc = (15+225.15)+242.5 =15 + 467.65

1.2 Trazo

1.2. A.- Selección de la longitud de cuerdas: 20 metros1.2 B. – Kilometraje de los puntos de estudio:

Estación Punto VisadoPT 15+467.65

15+46015+44015+42015+40015+38015+36015+34015+32015+30015+28015+26015+240

PC 15+225.15

1.2.C.- Calculo de las deflexiones:

* por metro = 1.5 GC=1.5*4=6 minutos

**por 20 mts = 6*20=120`=2º

***por LC = `

Por 7.65 mts = 6*7.65 = 45.9` = 0º45`54’’

Quedando el registro correspondiente:

Estación Punto Visado Deflexión

126

Obsérvese que nos quedan fracciones como al principio como al final de la curva:

240.00-225.15=14.85467.65-460.00= 7.65

1a deflexión dm= 1.5 Gn' (en minutos) = 1ºn' = cuerda fraccionaria Diferencia entre el cadenamiento del PC y la siguiente estación n'= 14.85

2a deflexión para una cuerda de 20 Dm = 1.5x4x20 (el resultado en minutos =120´ = 2º.

PT 15 + 467.65 24º15`00``

460 23º29`06``

440 21º29`06``

420 19º29`06``

400 17º29`06``

380 15º29`06``

360 13º29`06’’

340 11º29`06``

320 09º29`06``

300 07º29`06``

280 05º29`06``

260 03º29`06``

240 01º29`06``

PC 15 + 225.15 00º00`00’’

Calculo de la ultima deflexión dm = 1.5 Gn” = 1.5x4x7.65 = 0º 45'54˝ n” = diferencia entre el cadenamiento entre el PT y la estación anterior.

La 1a deflexión será 0º0'0˝La 2a deflexión será 1º29'06˝las siguientes deflexiones, se les asignara 2º hasta llegar al PT,

cuya comprobación de los cálculos deberán ser el ▲/2

5.2.1 TRAZO CON CINTA METRICA Este procedimiento es recomendable para el trazo de caminos vecinales de segundo y

tercer orden, en terrenos planos y lomeríos y es muy útil cuando se traza directamente por que si el ingeniero tiene dudas sobre el acomodo de la curva puede hacer tanteos trazándola con cinta antes de trazarla con el transito. En muchas ocasiones el trazo de las curvas circulares con la cinta de acero quedara como definitivo sin necesidad de volver a trazarlas con el aparato

El trazo de curvas circulares con cinta de acero se puede realizar aplicando algunos de los procedimientos siguientes.

Método de las coordenadas

Se conoce también como método de perpendiculares a las tangentes y consiste en fijar los puntos b,c,d etc.., de la curva con relación a las tangentes, midiendo con la cinta de acero, sobre la tangente, las abscisas ab`, ac`, ad`, etc, y las ordenadas b`b, c`c, d’d, etc.

En este caso es una regla trazar la curva a partir de PC y del PT y cerrarla en medio, así como comprobar la longitud de la cuerda al fijar cada punto de la curva (Figura 5.2.1.)

(En la figura no. 5.2.1 ` es el ángulo en el centro que corresponde a la subcuerda ab, G es el grado de la curva y G`` es el ángulo central correspondiente a la subcuerda ef.

127

En la misma figura, por trigonometría, se obtienen las formulas para calcular las coordenadas de los puntos de la curva circular.

Las abscisas se calculan por medio de las formulas:

ab` = R sen G`ac` = R sen (G`+G)ad` = R sen (G`+2G), etc.

Y las ordenadas se obtienen por las formulas:

b`b` = R-R cos G` = R (1- cos G`)c`c` = R-R cos (G`+G)d`d` = R-R cos (G`+2G), etc.

O bien:

b`b` = R sen verso G` c`c` = R sen verso (G`+G)d`d` = R sen verso (G`+2G), etc.

Método de las cuerdas prolongadas.

5.2.2 TRAZO CON TEODOLITO Y CINTA METRICA El trazo se hace por deflexiones con estación en (PC) o (PT): ver figura 5.10

128

FIGURA 5.10

El origen de las deflexiones será la tangente, es decir, la visual al PI. Como estos ángulos de deflexión son la mitad de los ángulos centrales, para ir marcando cada cuerda que se abarca por (g) desde el centro, las deflexiones irán variando (g/2) g 1 1/2g 2g …. Hasta llegar a ver el PT, (previamente marcado con la media de ST a partir del PI. Para cada deflexión se mide la cuerda desde el punto anterior, y en la intercesión estará el nuevo punto de la curva.

El trabajo se puede comprobar:

Angularmente: viendo PT la graduación del transito debe marcar ▲/2. Tolerancia = ± 01`

Linealmente: la distancia entre el último punto trazado y PT será la SC y la otra mitad desde PT para encontrarse al centro, con objeto de disminuir errores acumulativos que pudieran arrastrase al hacer el trazo continuo total.

5.3 CURVAS DE ALINEAMIENTO VERTICAL: CRESTA Y COLUMPIO.

La liga de dos tangentes verticales se hace mediante arcos de parábola tanto por la suavidad que se obtiene en la transición como por la facilidad de cálculo. Las curvas verticales contribuyen a la seguridad, apariencia y comodidad del camino y son de tanta importancia en el alineamiento vertical como las curvas circulares en el alineamiento horizontal.

5.3.1 SUS PRINCIPALES ELEMENTOS.

129

a b e fLCV

PIV

PV2

PTV

b`-p%

d

TV1

PCV

e`

f`

P

a` +p%

En la figura 5.3.1.A se representan dos tangentes verticales que se interceptan en el punto llamado PIV (Punto de inflexión vertical), con pendientes respectivas –p% y +p`% que se deberán enlazar por una curva vertical.

figura 5.3.1.A

TV1 = Tangente vertical de entradaTV2 = Tangente vertical de salidap% = Pendiente de la tangente de entrada

p`% = Pendiente de la tangente de salidaPIV = Punto de inflexión vertical

PCV = Principio de curva verticalPTV = Principio de tangente verticalLCV = Longitud de curva vertical

d = Ordenada del PTV, (Distancia vertical del PTV a la tangente de entrada)P = Punto de intercepción de la tangente de entrada y la vertical que pasa por el PTV

a`, b’,…e`, f`, = Puntos sobre la tangente de entradaa, b, ….e, f, = Puntos sobre la curva

aa, bb, ….ee`, ff = Ordenadas de los puntos a, b, ….e, f, de la curva vertical

5.3.2 DEDUCCION DE SUS FORMULAS.

Cualquier que sea el caso, las tangentes verticales, SIEMPRE se uniran por medio de una PARÁBOLA, pues posee las siguientes propiedades principales:

Su ecuación general, es:

130

La variación de la pendiente, a la entrada y a la salida de la curva, es la mitad de la que se tiene en el resto de la curva, lo que equivale a una combinación de curva circular y curva espiral de transición.

En estas condiciones, el proyecto de una curva vertical, obedece al siguiente proceso:

Teniéndole como datos:Km del PIVElev. PIVVpTiempo de reacciónPendiente de la tangente de entradaPendiente de la tangente de salida

1.- Se calcula la distancia de visibilidad de parada por medio de la formula ya conocida:

2.-Diferencia algebraica de pendientes (A):

A= (pendiente de la tangente de entrada) – (pendiente de la tangente de salida)

L/2 L/2

PCV PTV

PIV

h/2

h/2

131

3.-Calculo de la longitud mínima de la curva: Para Curvas en cresta:

En la cual:L= longitud mínima de la curva en metros.DP=Distancia de visibilidad de parada en metros.A=Diferencia algebraica de pendientes, en %

Para Curvas en columpio:

Se acepta la longitud de curva calculada, solo cuando Dp<L, en caso contrario se opta por dar a la curva una longitud mínima de 40 metros y calcular su geometría, en la forma que se indica a continuación.

4.-Calculo del número de estaciones de 20 metros:

5.-Valor del parámetro “K”

6.-Calculo de Kilometrajes:

Km PCV = Km PIV – 0.5LKm PTV = Km PIV + 0.5L

7.-Calculo de cotas:

Cota PCV= Cota PIV (0.5 L x pendiente de la tangente de entrada)Cota PTV= Cota PIV (0.5 L x pendiente de la tangente de salida)

8.-Determinación de los puntos de estudio:

Pueden ser a cualquier equidistancia, aunque lo usual es a cada 20 metros, quedando fracciones al principio y al final de la curva.

132

Pudiéndose aumentar a un número cerrado de estaciones, haciendo la correspondiente corrección en la longitud de la curva:

9.-Determinación de las cotas de cada uno de los puntos de estudio, sobre la tangente de entrada prolongada.

Cota (#3) = (cota #2) + (pendiente x equidistancia)

10.- Valor de “x”, para cada uno de los puntos de estudio, tomando la estación como unidad de longitud.

PCV PTV

23

133

11.- Valor de “y”, para cada uno de los puntos de estudio

12.-Calculo de las cotas de cada uno de los puntos de estudio, sobre la curva.

10 20

30 20

50

0.5 1

1.5 1

2.5

3y

y = K x2

134

“x” en metros

“x” tomando la estación como unidad de longitud

Cota sobre la curva = Cota sobre la tangente - y

Teniéndose en cuenta, que en el caso de una curva en columpio, en vez de ser una resta, será una Suma la que tenga que hacerse:

Cota sobre la curva = Cota sobre la tangente + yEjemplo:

y

Cota sobre la tangente de entrada

Cota sobre la curva

y

135

Datos: Km PIV = 38 + 646.10

Elevación PIV = 1364.50 metros.Vp = 70 kphTR = 2.5 segundos.

Curva en crestaPendiente de la tangente de entrada = +3.5 %Pendiente de la tangente de salida = - 1.75 %Coeficiente de fricción longitudinal, f = 0.348

1.1 Distancia d visibilidad de parada:

1.2 Diferencia algebraica de pendientes:

1.3. Longitud mínima de la curva:

1.4. Numero de estaciones:

se adopt6ara

1.5. Valor del parámetro “K”:

1.6 Kilometrajes:

1.7. Cotas:

1.8. Puntos de estudio ver tabla siguiente:

+3.5 % -1.75 %

136

1.9. Cotas de los puntos de estudio, sobre la tangente de entrada prolongada:

5.3.3 PROCESOS PARA SU TRAZO EN CAMPO.

Para el trazo de la curva vertical en campo. Es necesario efectuar primero el proyecto vertical de curva de manera siguiente

1.- Sobre un perfil de terreno natural donde se proyecta el alineamiento vertical del camino en un plano escala 1:2000 horizontal y 1:200 vertical según las pendientes se proyectaran las curvas en cima o en columpio obtenidos de acuerdo a las formulas.

2.- De acuerdo a las formulas se calcula la distancia de parada para determinar la longitud de la curva.

3.- Se calculan los Km y las elevaciones o cotas de los puntos principio de curva vertical y principio de tangente vertical.

4.- Se obtiene un perfil con datos de la rasante y también se obtiene un perfil con datos de las cotas de terreno natural por tal motivo tendremos los datos de cortes y terraplenes.

5.- Como es sabido primero lo que se debe hacer es trazar el eje del camino de acuerdo de a su alineamiento horizontal, posteriormente y con el nivel fijo se va colocando la elevación de la cota como se describió, el método de la cota redonda con lo cual ya conocemos el nivel al que debe quedar dicha estación una vez determinado si va ser corte o terraplén se empieza el trabajo de maquinaria asta obtener el nivel proyectado en gabinete.

137

RELACION DE PRACTICAS DE TOPOGRAFIA QUE DEBERAN EFECTUARSE DURANTE EL CURSO.

1. Conocimiento de equipo topográfico.

2. Medidas de distancia a pasos en un tramo de 150 metros.

3. Levantamientos con cinta, radiaciones, diagonales.

a).- Intersección y coordenadas.

b).- Solución de problemas con cinta.

c).- Levantamientos con brújula.

4. Conocimiento del tránsito mecánico, óptico y digital.

a).- Levantamiento con tránsito y cinta: por ángulos, deflexiones y conservación de Azimutes.

b).- Calculo de superficies.

c).- División de un polígono en dos partes iguales.

5. Conocimiento del nivel fijo. a).- Nivelación diferencial en un tramo de 500 metros.

b).- Nivelación de perfil en un tramo de 500 metros.

138

c).- Levantamiento de secciones transversales.

6. Conocimiento de una estación total.

a).- Conocimiento del GPS.

b).- Una poligonal con estación total.

7. Curvas horizontales y verticales.

a).- Trazo de una curva horizontal.

b).- Trazo de una curva vertical.

c).- Proyectos de Curvas Horizontales y Verticales en un tramo de 500 metros.

BIBLIOGRAFIA:

TITULO: TOPOGRAFIA.AUTOR: NABOR BALLESTEROS TENA.EDITORIAL: LIMUSA.

TITULO: TOPOGRAFIA.AUTOR: JACK McCORMAC.EDITORIAL: LIMUSA WILEY

TITULO: TOPOGRAFIA IIAUTOR: ALFREDO SALAZAR TORRES.EDITORIAL: TEXTOS E ILUSTRACIONES.

139

TITULO: TOPOGRAFIA AUTOR: ALVARO TORRES NIETO.EDITORIAL: PENTICE HALL.

TITULO: INTODUCCIÓN A LA TOPOGRAFIA.AUTOR: JAMES R. WIRSHING.EDITORIAL: McGRAW-HILL.

TITULO: APUNTES DE TOPOGRAFIA IIAUTOR: ADRIAN SEDANO PEÑALOZA.

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