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UNIDAD ACADÉMICA “MANUEL DORREGO”

INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE N° 108 - MORÓN

Módulo de Matemática Básica

Curso Inicial 2018

Módulo de Matemática Básica-2018 Página 2

Estimados estudiantes:

Este módulo introductorio, tiene como propósito que ustedes, futuros docentes, repasen,

reconstruyan y profundicen de manera amena y contextualizada, contenidos matemáticos

considerados básicos. “La matemática no se encuentra sola en el mundo que habitamos” afirma Irene

Zapico (2006) en su libro “Matemática en su salsa”. No es posible estudiar y aprender en profundidad

un determinado tema aislado, sin relacionarlo con otros, aunque pertenezcan a otras áreas, ya que se

encuentran conexiones tanto en sus orígenes como en su desarrollo y consecuencias. Por ello, hemos

abordado temas matemáticos desde una perspectiva de integración con otras disciplinas. Esperamos

que disfruten de la lectura y logren realizar las actividades propuestas. Les proponemos que

profundicen los distintos temas, investiguen aquellos conceptos que no tienen claros o no recuerdan

con precisión. Muchos éxitos y felicitaciones por elegir la docencia.

Equipo de Profesores de Matemática del Instituto Superior de Formación Docente N° 108

Unidad Académica “Manuel Dorrego”


La Matemática y el lenguaje

Tipos de lenguaje En la vida cotidiana, se emplean distintos tipos de lenguaje. Por ejemplo, cuando contamos lo

que hicimos durante el último fin de semana, o cuando un locutor de radio emite su programa, se

emplea el lenguaje de las palabras. Este se llama lenguaje coloquial.

Pero, si queremos explicarle a alguien cómo llegar a una casa ubicada en una zona rural, es

mejor realizar un croquis o un plano, porque transmite la explicación más claramente. En este caso,

empleamos el lenguaje gráfico.

Cuando caminamos por la calle o recorremos una ruta, podemos ver una gran variedad de

carteles. Algunos de ellos son señales de tránsito. Otros, presentan símbolos que indican la cercanía de

un aeropuerto, de un hospital o de cualquier otro lugar o característica de la zona. En este caso, se

emplea el lenguaje simbólico.

Muchas ciencias, como la Matemática, la Química y la Física, tienen símbolos propios. Hay

distintos tipos de lenguaje, distintos símbolos, distintos sistemas de numeración. Pero, en Matemática,

es imprescindible que todos usemos las convenciones adecuadas para cada situación.

Cómo pasar de un lenguaje a otro

Traducir es expresar una idea de un idioma a otro. En Matemática, cuando se expresa una

información de un tipo de lenguaje a otro, se realiza algo parecido a una traducción.

Observemos los siguientes ejemplos:


Andrés expresó el cálculo en lenguaje simbólico. Laura pensó su traducción en lenguaje coloquial.

En este caso, Andrés se expresó en el lenguaje coloquial. Laura, en cambio, pensó cómo decir lo mismo

en lenguaje simbólico. Para hacerlo, “bautizó” con la letra x a un número cualquiera, y expresó, como

2 . x, a su doble, y como 3 . x, a su triple. También usó los símbolos de la adición, de la multiplicación y

de la igualdad.

Martín usó el lenguaje gráfico para representar las cantidades de agua y de tierra que hay en nuestro

planeta, relacionándolas entre sí. Andrés, usó el lenguaje coloquial para expresar la misma relación.


El lenguaje de los símbolos matemáticos Además de los símbolos de las cuatro operaciones fundamentales, existen muchos otros. En el

cuadro siguiente aparecen algunos de ellos y sus significados en lenguaje coloquial:

El lenguaje de los gráficos Actualmente, existe una inmensa cantidad de información que circula, se amplía y se difunde,

día por día, a través de los medios de comunicación.

La presentación de toda información en el lenguaje coloquial suele ser muy engorrosa y

complicada. Es por eso que, para facilitar su comunicación y su rápida comprensión, en muchos casos se

confeccionan distintos tipos de gráficos.

Algunos de ellos son los siguientes:

Gráficos de curvas: permiten mostrar la evolución de un fenómeno en el tiempo.


Pictogramas: son gráficos en los que se utiliza un dibujo alusivo al tema que se está mostrando.

Pirámides: permiten una comparación de cantidades.

Gráficos de barras: permiten comparar las cantidades visualmente, observando las alturas de

los rectángulos o barras.

Gráficos circulares: permiten estudiar la distribución interna de los datos que representan un

hecho.


Sistemas de numeración El hombre tuvo la necesidad de contar objetos y animales desde épocas remotas. Por ejemplo,

el hombre prehistórico contaba los animales que cazaba para alimentarse y las pieles que guardaba

para abrigarse.

Comenzó usando los dedos de sus manos, o guijarros, o haciendo marcas en las paredes de

piedra de su caverna. Pero, a medida que la cantidad crecía, se hizo necesario un sistema de

representación más práctico.

Cada civilización creó “una especie de idioma matemático”, que le servía para escribir las

cantidades y resolver operaciones con ellas: son los sistemas de numeración.

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas, las cuales indican cómo se usan

esos símbolos para escribir números y poder resolver operaciones con ellos.

Los sistemas de numeración pueden ser posicionales o no posicionales.

Actividades:

Escriban:

a) El mayor y el menor número posible, de 4 cifras distintas, con los símbolos 1, 3, 5 y 7.

b) El mayor y el menor número posible, de 4 cifras distintas, con los símbolos 0, 1, 3, y 5.

c) El mayor y el menor número impar posible, de 4 cifras distintas, con los símbolos 0, 1, 3 y 5.

d) El mayor y el menor número par posible, de 4 cifras distintas, con los símbolos 0, 1, 3 y 5.

La base de un sistema de numeración En el sistema de numeración decimal, las unidades se agrupan de a 10, para formar un grupo

llamado decena. A su vez, las decenas se vuelven a agrupar de a 10, para formar un grupo llamado

centena, y así sucesivamente. Por esta razón, decimos que es de base diez. La base de un sistema de

numeración indica de a cuánto se agrupa.

La base que más se ha utilizado en la historia es 10. Esto se debe a que el hombre posee 10

dedos en sus manos. Sin embargo, hubo pueblos que emplearon otras bases en sus sistemas de

numeración.


Uno de ellos fueron los babilónicos, que habitaron en el actual Irak. Estos agrupaban no solo de

a 10, sino también de a 60. Los sistemas que agrupan de a 60 se llaman sexagesimales.

Actualmente, usamos la base 60 para agrupar los 60 segundos que forman el minuto y los 60

minutos que forman la hora.

Múltiplos y divisores Se llama múltiplo de un número de un número al producto de este por un número natural

cualquiera. Si un número es múltiplo de otro, este es divisor del primero.

Números primos y compuestos Un número natural es primo si sólo admite dos divisores: el 1 y el propio número.

¿Cómo podemos decidir si un número n es primo?

Un número m se llama compuesto si se puede expresar como producto de otros dos números a y b,

mayores que 1 y menores que m: m = a.b

Esta manera de expresar un número compuesto en términos de sus factores primos se llama

"descomposición en primos". Cada número tiene una única descomposición en primos.

Eratóstenes, un matemático que vivió antes del nacimiento de Cristo, le presentó al rey

Ptolomeo una placa metálica cuadrada, con 10 filas compuestas por 10 casilleros cada una. En cada uno

de ellos figuraba un número natural, ordenados del 1 al 100. Los lugares correspondientes al 1 y a los

números compuestos menores que 100 estaban perforados. Por lo tanto, quedaban visibles solamente

los números primos menores que 100. Esta tabla se conoce como “criba de Eratóstenes”.

Actividad:

A continuación se ha intentado reproducir la criba de Eratóstenes, para encontrar los números

primos menores que 100. En la grilla se ha redondeado el 2 y tachado sus múltiplos, exceptuándolo

a él mismo.


Realicen ustedes lo siguiente:

Redondeen el siguiente número que no esté tachado, y tachen todos sus múltiplos,

exceptuándolo a él.

Repitan el procedimiento anterior, hasta que se hayan acabado los números para redondear.

Los números que quedaron redondeados son los primos y los que quedaron tachados son los

compuestos.

a) Expliquen por qué quedaron los números primos y tachados los compuestos.

b) Escriban todos los números primos menores que 100. ¿Cuántos son?

La Matemática y los pasatiempos A lo largo de los siglos, el mundo y la humanidad fueron cambiando en todos los aspectos. Los

juegos y pasatiempos no son una excepción.

Uno de los pasatiempos numéricos más antiguos son los llamados cuadrados mágicos. Estos

son tableros formados por filas y columnas de igual cantidad de casilleros. Cada casillero está ocupado

por un número. La suma de los números de cada fila, de cada columna y de cada una de las diagonales

es siempre la misma y se llama constante del cuadrado mágico.

Se supone que estos pasatiempos ya eran conocidos en la China hace unos 5000 años. Se cree

que la construcción de estas figuras constituía, en la Antigüedad, un pasatiempo que despertaba la

curiosidad de muchas personas. Como los antiguos atribuían propiedades sobrenaturales a ciertos

números, era muy común que vieran virtudes “mágicas” en estos cuadrados.

En Asia, los cuadrados mágicos eran considerados como amuletos e, incluso, se creía que

prevenían ciertas enfermedades. Por esta razón, se construían cuadrados mágicos de plata y las

personas los llevaban colgados del cuello, como si fueran collares.

El cuadrado mágico más pequeño es el que tiene 9 casilleros; es decir, el de 3 filas con 3

casilleros cada una. Es imposible la construcción de un cuadrado mágico de 4 casilleros.

Otro pasatiempo matemático famoso son las estrellas mágicas. En ellas, la suma de los números

escritos en una misma fila, es una constante.

Actividades:

1) Ubicar en cada casilla del cuadrado los números del 1 al 9 de manera que se convierta en un cuadrado mágico. ¿Cuánto vale esa suma?


2) Completen este cuadrado mágico de 16 casilleros:

3) Completen estas estrellas mágicas:

Hay números que son “perfectos” Los matemáticos de la antigüedad atribuían cualidades a algunos números, a los cuales

llamaban perfectos.

Un número es perfecto cuando es igual a la suma de los divisores menores que él. Por ejemplo,

los divisores de 6 son: 1, 2, 3 y 6. Sus divisores menores que el son: 1, 2 y 3. Si sumamos 1, 2 y 3,

obtenemos el 6. Entonces, el 6 es un número perfecto.

Existe un solo número perfecto de dos cifras. Y solamente uno de tres cifras. Los números

perfectos “se van espaciando” cada vez más. El último número perfecto que se descubrió fue en el año

2001 y tiene… ¡nada menos que 4.053.496 cifras! Se necesitaría una tira de papel de unos 10.000

metros para escribir esa cantidad de cifras.

Actividad:

Encuentren el número perfecto que le sigue a 6.


Los números “geométricos” Observen las figuras:

En la Antigüedad los matemáticos consideraban números triangulares a aquellos que, como el

1, el 3 o el 6, permitían disponer sus unidades en forma de triángulo.

Del mismo modo, consideraban como números cuadrados a aquellos cuya cantidad de

unidades se podían disponer en forma de cuadrado.

También descubrieron que existían los números pentagonales.

Actividad:

Observen cómo se forman los primeros números de cada tipo y completen la serie:


Los trucos “matemáticos” En muchas revistas de juegos de ingenio, suelen publicarse los famosos trucos matemáticos.

Parecen mágicos… pero no lo son. Con solo conocer algunas propiedades matemáticas, se puede

develar el misterio.

Por ejemplo, lean este:

Esta es la explicación de este misterioso “truco matemático”:


Los egipcios y la geometría La geometría tuvo su origen en Egipto. Las inundaciones periódicas del Nilo llevaron a los

antiguos habitantes de esa región a valorar y cuidar la tierra en la que podían sembrar. Por lo tanto,

desarrollaron acertados conocimientos de agrimensura, es decir, del arte de medir los terrenos.

Por otra parte, la arquitectura egipcia desarrolló verdaderas maravillas en las que aplicaron sus

conocimientos de la aritmética y la geometría. Por ejemplo, en la orientación de sus templos y

pirámides debieron realizar cálculos muy exactos.

Una de las herramientas que usaron para el trazado de perpendiculares fueron los cordeleros,

cuerdas con cuatro nudos, cuyas distancias relativas eran: 3, 4 y 5. Hacían coincidir, en un mismo punto,

los dos nudos extremos de la cuerda, y fijaban los otros dos nudos, de modo que la cuerda quedara

tensa. Entonces, los nudos formaban los vértices de un triángulo rectángulo.

Los conocimientos desarrollados por los egipcios pasaron a los griegos, que dieron a la

geometría su carácter de ciencia.

La palabra geometría proviene del griego (geo, tierra; metro, medida) y significa “medida de la tierra”

Los conceptos que no se definen, pero sobre los que se construyen otros, se llaman términos

primitivos. Por ejemplo: el punto, la recta y el plano son, en geometría, términos primitivos.

Las ciencias se basan en una serie de afirmaciones básicas, los axiomas y los postulados, que

son consideradas verdaderas. Equivalen a las “reglas de juego” de cualquier juego o deporte. Deben ser

aceptadas por todos para desarrollar el conocimiento.

A partir de ellas, se demuestran otras afirmaciones que se llaman teoremas.

Actividad:

Averigüen, en un diccionario o en una enciclopedia, que significan estas palabras:

- Axioma

- Postulado

- Teorema

Rectas y ángulos


Actividades:

Puntos y rectas en el plano


Ángulos

El sistema sexagesimal Para medir la amplitud de los ángulos, se utiliza el sistema sexagesimal, que tiene como unidad

el grado y como submúltiplos, el minuto y el segundo.

Este sistema de unidades se llama sexagesimal, porque su base es 60: 1 grado equivale a 60

minutos y 1 minuto, a 60 segundos.

El sistema sexagesimal no se utiliza solo para la medición de ángulos. También usamos el mismo

sistema para medir el tiempo, ya que 1 hora equivale a 60 minutos y 1 minuto, a 60 segundos.

Actividad:

Calcular:

a) ¿Cuántos segundos tiene una hora?

b) ¿Cuántos minutos transcurren desde las 12 horas hasta las 17 horas?

c) Un barco que navega en dirección norte gira su timón 45° al oeste. Al cabo de un tiempo, vuelve

a girar 22°30’ y por último 90° en el mismo sentido. ¿Qué rumbo lleva ahora?


Figuras planas, áreas y perímetros

Clasificación de polígonos


Actividades:

Para recordar:

Actividades:


Cuerpos y volúmenes

Actividades:

De algunos matemáticos y los cuerpos geométricos Euler enunció un teorema que relaciona el número de vértices (V) de un cuerpo con el número

de caras (C) y aristas (A) de los poliedros.

Esta relación está dada por la siguiente expresión:

V + C – A = 2


Actividades:

1) Expliquen qué significa la palabra teorema.

2) Enuncien, en lenguaje coloquial, la relación del teorema de Euler.

3) Comprueben la relación del teorema de Euler para el:

- Tetraedro

- Octoedro

- Dodecaedro

Arquímedes (287-212 a. C.), posiblemente fue el matemático más grande de la Antigüedad. Su

importancia puede compararse con la de Gaüss y Newton. Nació en Siracusa, ciudad griega, que

actualmente pertenece a la región de Sicilia, al sur de Italia. Fue inventor y realizó descubrimientos en

varios campos: geometría, aritmética, física e ingeniería.

En geometría, estudió el cálculo de longitudes, las áreas y los volúmenes en figuras limitadas por líneas

y superficies curvas, utilizando un método de aproximaciones sucesivas. También calculó el valor

aproximado del número π.

René Descartes y el sistema de coordenadas cartesiano René Descartes fue un filósofo y matemático que nació en Giras (Francia), en 1596. Por su

pensamiento, fue considerado el fundador de la filosofía moderna. Se educó en un el colegio jesuita

desde los 8 años. Tenía una salud delicada, por lo que cuentan que gozó de un trato preferencial en la

escuela; por ejemplo le permitían estar hasta tarde en cama. Se graduó en Derecho y estuvo alistado en

el ejército, pero su interés se centró siempre en problemas filosóficos y matemáticos. Realizó muchos

viajes, y se estableció en Holanda, donde, salvo esporádicas visitas a Francia, vivió el resto de su vida,

dedicándose al estudio y a la vida retirada. Escribió muchas obras filosóficas y científicas: Reglas para la

dirección del espíritu, Meditaciones metafísicas, Los principios de la filosofía, entre otras. En el año

1637, publicó su famoso Discurso del Método. Descartes procuró aplicar a la filosofía los

procedimientos racionales de la ciencia, particularmente de la matemática.

En 1647, recibió una pensión de la corte francesa, en honor a su obra. En 1649, aceptó la

invitación de la reina Cristina de Suecia, y viajó a Estocolmo, donde murió poco después de su llegada,

por una enfermedad pulmonar, el 11 de febrero de 1650, a los 53 años.

La principal contribución de Descartes a la Matemática fue su idea de representar a los puntos

del plano mediante un par ordenado de números: (x;y). Este sistema fue llamado, en su honor,

“coordenadas cartesianas”, y permitió conectar estrechamente la geometría con el álgebra.

Descartes fue el primero en usar las letras del alfabeto para designar las cantidades desconocidas

(notación que empleamos actualmente). También utilizó exponentes para indicar las potencias de los

números.

Sistema de coordenadas cartesianas

Para representar puntos en el plano, se puede utilizar un sistema de coordenadas cartesianas.

Este está formado por dos rectas numéricas perpendiculares. El punto de intersección de ambas rectas

es el origen. El eje horizontal se llama eje x o eje de abscisas; el eje vertical se llama eje y o eje de

ordenadas. En cada eje se debe elegir un segmento como unidad, es decir, una escala.


Cada punto del plano se puede identificar con un par ordenado de números, llamados coordenadas

cartesianas. El primer número del par se denomina abscisa, o coordenada x, e indica la distancia al

origen leída sobre el eje horizontal. El segundo número del par se llama ordenada, o coordenada y, e

indica la distancia al origen leída sobre el eje vertical.

Los ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes.


Actividades:

Anoten las coordenadas de los puntos señalados con A, B, C, D, E, F, G y H:

a) ¿Qué puntos están en el primer cuadrante?

b) ¿Qué ´puntos están en el segundo cuadrante?

c) ¿Qué puntos están en el tercer cuadrante?

d) ¿Qué puntos están en el cuarto cuadrante?

e) ¿Hay puntos sobre los ejes?¿Cuáles?

f) Indiquen:

- Las abscisas de B y de F.

- Las ordenadas de D y de C.

- Dos puntos que tengan la misma abscisa.

- Dos puntos que tengan la misma ordenada.

- Un punto que tenga abscisa 0.

- Un punto que tenga ordenada 0.


Resolución de problemas mediante ecuaciones


Actividad:

Completen este crucigrama numérico:

Algunos problemitas para concluir:

1) Hallar un número primo que sea igual a un número perfecto menos 1. ¿Hay otro?

2) Dos luces intermitentes se encienden, una cada 14 segundos y la otra cada 6 minutos. ¿Cada

cuánto tiempo se encienden juntas?

3) ¿Cuántos triángulos hay en la figura?


A

B

E

C

D

4) En un triángulo isósceles obtusángulo uno de los ángulos agudos mide 25°. ¿Cuánto mide cada

uno de los otros dos?

5) Cuando el matemático Carl Friederich Gaüss tenía tan sólo 10 años, su maestro le propuso

sumar todos los números naturales desde el 1 hasta el 100, con el aparente objetivo de

tenerlo ocupado. Luego de algunos minutos, para la sorpresa de su maestro, Gaüss le informó

cual era la respuesta. La velocidad en la resolución del cálculo se debió a su habilidad para

aplicar las propiedades de las operaciones matemáticas. ¿Pueden calcular cuál fue la respuesta

que dio Gaüss a su maestro?

6) Jorge quiere cambiar el piso del patio. Las baldosas que le gustan son cuadradas y vienen de

dos medidas: de 25 cm de lado y de 30 cm de lado.

Si su patio rectangular mide 3,75m x 4,75m, ¿cuántas baldosas de 25cm de lado necesita como

mínimo para cubrirlas?¿cuántas de las de 30cm de lado? (Aclaración: una vez que se parten las

baldosas, lo que sobra no se puede usar).

7) En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18 cm de perímetro, CD = AC y el cuadrilátero

ACDE tiene 20 cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro del polígono ABCDE?

Bibliografía

Aragón, M. y otros (2006) Entender Matemática, Editorial Estrada, Buenos Aires.

Marina, A. y otros (2007) Matemática. Nuevamente. Editorial Santillana, Buenos Aires.

Rodas, P. Y otros (2006) Carpeta de Matemática, Editorial Aique, Buenos Aires.

Salpeter, C. (2009) Pitágoras, Ediciones SM, Buenos Aires.

Zapico, I. y otros (2006) Matemática en su salsa, Editorial Lugar, Buenos Aires.

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