curve parametrizzate e integrali di linea

Curve parametrizzate

Definizioni , esempi e nozioni di base

Definizione

Una curva parametrizzata di Rn (n=2,3) un'applicazione di classe C

k, k > 0, : I R

n definita

su un intervallo I della retta reale a valori in Rn. Una curva parametrizzata un'applicazione e non un

insieme di punti. Intuitivamente (t) un punto mobile di Rn che, al variare del parametro t, descrive

una traiettoria, rappresentata dall'insieme di supporto G = {(t) : t I} Rn della curva.

Esempi

Esempio 1

Una retta di Rn le traiettorie descritte da un punto animato da un moto rettilineo uniforme, con velocit

costante non nulla, ed rappresentata tramite equazioni parametriche

1(t) = a 1 + tv 1 ,...., n(t) = a n + tv n, tR,

dove a 1,...,a n sono le coordinate del punto iniziale e v 1,...,v n sono le componenti della velocit v. Se

scegliamo una funzione suriettiva f : R R di classe Ck allora la curva

1(t) = a 1 + f(t)v 1 ,...., n(t) = a n + f(t)v n, tR,

ha come insieme di supporto la medesima retta ma percorsa con una diversa legge oraria.

Esempio 2

Una circonferenza la traiettoria descritta da un punto materiale animato da un moto circolare uni-

forme. Nel piano rappresentata dalle equazioni parametriche

1(t) = rCos(t+t 0) + x 0, 2(t) = rSin(t+t 0) + y 0 tR,

dove (x 0,y 0) sono le coordinate del centro, r il raggio ed 0 la velocit angolare. Analogamente,

un'ellisse con centro nel punto (x 0,y 0) e assi di simmetria diretti come gli assi coordinati ha equazioni

parametriche

1(t) = aCos(t+t 0) + x 0, 2(t) = bSin(t+t 0) + y 0 tR,

Le parametrizzazioni delle circonferenze e delle ellissi sono periodiche con periodo 2/ e le corrispon-

denti traiettorie sono delle curve chiuse. La restrizione di sull'intervallo [0,2/) initettiva e le traietto-

rie sono semplici (cio prive di autointersezioni). Un esempio di curva chiusa ma con un'autointer-

sezione la lemniscata di Gerono definita dalle equazioni parametriche

(t)=(Sin(t) ,Sin(t)Cos(t)), tR.

Fig 16.1

Una classe interessante di curve chiuse sono le curve di Grandi :

(t) = (h+kCos(t))(Cos(t), Sin(t)),

dove un numero razionale positivo e h,k sono due parametri reali non entrambi nulli. Per k = 0 la

curva di Grandi una circonferenza.

@t_, h_, k_, p_, q_D := Hh + k * Cos@Hp qL * tDL 8Cos@tD, Sin@tD

Fig 16.3

Esempio 3

Si dice spirale di Archimede una curva piana generata da un punto vincolato a muoversi con moto

rettilineo uniforme su una retta che a sua volta ruota con moto rotatorio uniforme attorno a un punto

fisso. Scegliamo il sistema di riferimento in modo che all'istante t = 0 la retta mobile r(t) coincida con

l'asse coordinato Ox e supponiamo che r(t) ruoti in senso antiorario con velocit angolare costante >

0 attorno all'origine. Indichiamo con (t) la posizione all'istante t del punto che si sposta con moto

rettilineo uniforme (con velocit costante v>0) sulla retta r(t) e supponiamo che inizialmente il punto si

trovi nell'origine delle coordinate. L'equazione parametrica della retta r(t) data da

x(s) = Cos(t)s, y(s) = Sin(t)s, sR.

Il punto (t) appartiene a r(t) e si trova a distanza (con segno) d(t) = vt dall'origine, quindi s = vt e

l'equazione parametrica della spirale di Archimede data da

x(t) = vtCos(t), y = vtSin(t), tR.

Curve parametrizzate e integrali di linea.nb 3

Fig 16.4

Una classe notevole di spirali sono le spirali logaritmiche definite da equazioni parametriche

(t) = c t(Cos(t), Sin(t))

Fig 16.5

Le spirali logaritmiche godo di tutta una serie di interessanti propriet geometriche e sono usate in

biologia nella descrizione dell'accrescimento di tessuti ossei (conchiglie, corna di animali etc..). Rimandi-

amo al capitolo 6 del libro di D'Arcy W.Thompson citato nella bibliografia.

Un'altra classe notevole di spirali sono le spirali di Corn, che trovano applicazione nella progettazione

di svincoli autostradali. Le parametrizzazioni delle spirali di Corn sono del tipo

(t) = (0tCos(hu2)du, (0tSin(hu2)du),

dove h una costante reale non nulla. Gli integrali che compaiono nella definizione non sono diretta-

mente esprimibili con funzioni elementari.

SPIRALECORNU@1D

Fig 16.6

4 Curve parametrizzate e integrali di linea.nb

Esempio 4

Un'elica circolare la traiettoria descritta da un punto dello spazio animato da un moto elicoidale

uniforme, cio da un moto rotatorio uniforme intorno ad una retta (asse dell'elica ) e da un moto rettili-

neo uniforme nella direzione dell'asse. Scegliamo il sistema di riferimento in modo che l'asse coincida

con la retta Oz, l'elica circolare rappresentata da equazioni parametriche del tipo

1(t) = rCos(t+t 0), 2(t) = rSin(t+t 0), 3(t) = vt+z 0 tR,

dove v la velocit del moto rettilineo uniforme e 0 la velocit angolare del moto rotatorio. Se

positiva l'elica destrorsa mentre se < 0 le eliche eliche sono sinsitrorse. Eliche con velocit angolari

uguali in modulo ma di segno opposto non sono congruenti rispetto al gruppo dei moti rigidi. Tuttavia si

possono ottenere l'una dall'altra mediante una riflessione rispetto al piano Oxy e si dice che hanno

chiralit opposta. Praticamente, l'immagine riflessa su uno specchio di un'elica destrorsa diventa

un'elica sinistrosa e viceversa.

Fig 16.7

In chimica, una molecola che ammette un'immagine speculare non sovrapponibile a s detta chirale.

Due molecole identiche in tutto, salvo l'essere una l'immagine speculare dell'altra (come ad esempio nel

caso delle eliche sinistrorse e destrorse) sono dette enantiomeri . Spesso nei sistemi viventi solo uno

dei due enantiomeri di una coppia chirale viene coinvolto nei cicli metabolici mentre l'altro viene ignorato

o pu addirittura avere degli effetti nocivi. Ad esempio, l'attivit iponotica della talidomide, un calmante

messo in commercio nel 1956, era presente in entrambi gli enantiomeri della molecola, per solo uno di

essi entra nel ciclo metabolico e viene convertito in una sostanza con effetti teratogeni e provoca serie

malformazione nei feti delle donne incinte.

Definizione

Sia : I Rn una curva parametrizzata di classe C

k, k 1. Indichiamo con

HhL(t 0) le derivate di

di ordine h, con h k calcolate in t 0. La derivata prima '(t 0) e la derivata seconda ''(t 0) rappresen-

tano rispettivamente la velocit e l'accelerazione all'istante t = t 0.

- Diremo che (t 0) un punto stazionario di se '(t0) = 0Rn In caso contrario (t 0) si dice punto

regolare. Se (t) regolare, per ogni tI, la curva si dice regolare.

- Se (t 0) un punto regolare, il vettore non nullo '(t 0) si dice vettore tangente alla curva in (t 0).

La retta vettoriale L['(t 0)] Rn generata da '(t 0) la retta tangente vettoriale di in (t 0). La

retta co direzione '(t 0) e passante per (t 0) si dice retta tangente ad in (t 0) ed denotata con

T(, t 0).

- Se la curva regolare, il vettore unitario '(t 0)/||'(t 0)||, denotato con T (t 0), si dice versore

tangente ad in (t 0).

- Un punto regolare (t 0) si dice punto di flesso se la velocit '(t 0) e l'accelerazione ''(t 0) sono

linearmente dipendenti.

- Se (t 0) regolare e se '(t 0) e ''(t 0) sono linearmente indipendenti, allora il punto si dice birego-

lare. In un punto biregolare ha senso considerare il piano osculatore ad in (t 0), cio il piano

passante per (t 0) con giacitura generata da '(t 0) e ''(t 0).


Sia : I Rn una curva parametrizzata di classe C

k, k 1. Indichiamo con

HhL(t 0) le derivate di

di ordine h, con h k calcolate in t 0. La derivata prima '(t 0) e la derivata seconda ''(t 0) rappresen-

tano rispettivamente la velocit e l'accelerazione all'istante t = t 0.

- Diremo che (t 0) un punto stazionario di se '(t0) = 0Rn In caso contrario (t 0) si dice punto

regolare. Se (t) regolare, per ogni tI, la curva si dice regolare.

- Se (t 0) un punto regolare, il vettore non nullo '(t 0) si dice vettore tangente alla curva in (t 0).

La retta vettoriale L['(t 0)] Rn generata da '(t 0) la retta tangente vettoriale di in (t 0). La

retta co direzione '(t 0) e passante per (t 0) si dice retta tangente ad in (t 0) ed denotata con

T(, t 0).

- Se la curva regolare, il vettore unitario '(t 0)/||'(t 0)||, denotato con T (t 0), si dice versore

tangente ad in (t 0).

- Un punto regolare (t 0) si dice punto di flesso se la velocit '(t 0) e l'accelerazione ''(t 0) sono

linearmente dipendenti.

- Se (t 0) regolare e se '(t 0) e ''(t 0) sono linearmente indipendenti, allora il punto si dice birego-

lare. In un punto biregolare ha senso considerare il piano osculatore ad in (t 0), cio il piano

passante per (t 0) con giacitura generata da '(t 0) e ''(t 0).

Esempio

Esempio 1

Il calcolo delle derivate successive di una curva parametrizzata, del suo sviluppo in serie di Taylor e la

ricerca dei punti stazionari e dei punti di flesso possono essere effettuati usando direttive implementate

in Mathematica 7 :

k@t_, k_D := FullSimplify@Derivative@kD@D@tDD;Taylor@t0_, k_D := Series@@tD, 8t, t0, k

Il punto mobile (t) passa per l'origine delle coordinate negli istanti tk = 2k, k Z. Dall'ispezione della

figura ci si rende conto che la velocit si annulla quando il punto passa per l'origine. I punti (tk) sono

stazionari e l'origine una cuspide.

a := 0; b := 2 Pi;

@t_D := :1

2- Cos@tD +

1

2Cos@2 tD, Sin@tD -

1

2Sin@2 tD>;

k@t_, k_D := FullSimplify@Derivative@kD@D@tDD;Taylor@t0_, k_D := Series@@tD, 8t, t0, k

'' 1(t) = - 2rCos( t), ' 2(t) = -

2rSin( t), ' 3(t) = 0, "tR

e il prodotto vettoriale

'(t) ''(t) = (rv2Sin( t), -rv

2Cos( t), r

2

3) 0

R3, "tR.

Quindi le eliche circolari sono prive di punti di flesso.

Riparametrizzazioni e cambi di parametro

Definizione

Siano : I Rn e : J R

n due curve regolari di classe C

k (k1). Diremo che una riparametriz-

zazione di se esiste una funzione monotona di classe Ck

h : J I

tale che = h. Diremo che h un cambio di parametro e che ottenuta da con il cambio di

parametro h. Se h strettamente crescente diremo che e hanno lo stesso orientamento. In caso

contrario le curve avranno orientamento opposto. Si noti che le traiettorie di e di coincidono.

Esempio

Sia una riparametrizzazione di , ottenuta con il cambio di parametro h : J I. Dalla monotonicit di

h segue l'esistenza dell'inversa h-1

: J I, che ha la stessa regolarit di h. Quindi automatica-

mente una riparametrizzazione di , ottenuta con il cambio di parametro h-1

. Intuitivamente, un cambio

di parametro modifica la legge oraria con cui il punto mobile descrive la traiettoria senza modificare

quest'ultima. Consideriamo ad esempio una spirale logaritmica descritta dal moto del punto

(t) = c t(Cos(t), Sin(t)), t R,

dove c una costante positiva. Consideriamo il cambio di parametro

t : s (0, ) Log1

c 2

s R.

L'espressione analitica della riparametrizzazione = h data da

(s) =s

2

{Cos[Log s

2 c

)], Sin[Log s

2 c

)]} s (0, ) .

Si lascia per esercizio di verificare che '(s) un vettore unitario, per ogni s (0, ).


Definizione

Consideriamo una curva parametrizzata regolare : I Rn di classe C

k (k1) e fissiamo t 0 I.

Chiamiamo ascissa curvilinea di una primitiva di v = '. Quindi, un ascissa curvilinea una fun-zione del tipo

s : t I t0t '(u)du + c R,

dove t0 I e c una costante reale.

Osservazione

- Le ascisse curvilinee di una curva regolare sono definite a meno di una costante additiva.

- Se di classe Ck anche le ascisse curvilinee sono di classe C

k.

- s'(t) = '(t) > 0 e quindi le ascisse curvilinee sono funzioni strettamente crescenti. In particolare, J= s(I) R un intervallo della retta reale ed s : I J un diffeomorfismo, cio possiede una

funzione inversa : J I di classe Ck.

- se la curva percorsa con velocit scalare costante 1 allora s(t) = t + c, con c costante. In tal caso

diremo che la curva parametrizzata con l'ascissa curvilinea..

Teorema

Ogni curva regolare : I Rn pu essere riparametrizzata mediante l'ascissa curvilinea.

Dimostrazione

Sia s : I J R un ascissa curvilinea di con inversa : J I. Denotiamo con : J Rn la

riparametrizzazione di . Verifichiamo che parametrizzata mediante l'ascissa curvilinea. Anzi-

tutto, per la regola di derivazione della funzione inversa sappiamo che

'[s(t)] = 1/s'(t), "t I.

Sia s 0 = s(t 0) J, allora usando la regola della derivazione delle funzioni composte otteniamo

' (s 0) = ()' (s 0) = '[((s 0)] '(s 0) = '(t 0)s'(t 0)-1

.

Quindi

' (s 0) = '(t 0)s'(t 0) -1 = '(t 0)'(t 0) -1 = 1,


per ogni s 0 J. Il teorema cos dimostrato.

Esempi

Esempio 1

Riconsideriamo l'esempio 16.2.2 relativo alla spirale logaritmica

(t) = c t(Cos(t), Sin(t)), t R,

@t_D := c * Exp@tD 8Cos@tD, Sin@tD 0F

v@tD

2 c t

Quindi le ascisse curvilinee della spirale logaritmica sono funzioni del tipo

s(t) = c 2 udu = c 2 t + h

dove h una costante d'integrazione. Scegliamo l'ascissa curvilinea con h = 0. Allora l'immagine di s

l'inetrvallo (0, ), con inversa

: s (0, ) Log (s

2 c

) R.

Dunque

(s) = [(s)] = c

Logs

2 c (Cos[ Log (s

2 c

)], Sin[ Log (s

2 c

)])

una riparametrizzazione di mediante l'ascissa curvilinea.

16.3 Rettificabilit, lunghezza di archi di curva e integrazione lungo cammini

16.3.1 Richiami e definizioni

- Data una suddivisione T = (t0 = a < t1 < < th = b) dell'intervallo [a, b] indichiamo con

T = max1kh Htk - tk-1L il parametro di finitezza.

- Sia f : [a,b] R una funzione continua, le somme (n) = m=1h f HzmL Htm - tm-1L, tm b zm b tm-1convergono, al tendere a zero del parametro di finitezza della partizione, all'integrale di f esteso

all'intervallo [a,b].

- Sia : [a,b] Rn una curva continua e T una suddivisione dell'intervallo [a,b], il numero

{ HT L =k=1h HtkL - Htk-1L la lunghezza della poligonale con vertici (t0), ( t1), , ( th ).- L'estremo superiore, denotato con L(), dei numeri {(T), al variare di T nell'insieme delle suddivi-

sioni di [a,b] si dice lunghezza dell'arco continuo . Se L() < +, l'arco si dice rettificabile.


- Data una suddivisione T = (t0 = a < t1 < < th = b) dell'intervallo [a, b] indichiamo con

T = max1kh Htk - tk-1L il parametro di finitezza.

- Sia f : [a,b] R una funzione continua, le somme (n) = m=1h f HzmL Htm - tm-1L, tm b zm b tm-1convergono, al tendere a zero del parametro di finitezza della partizione, all'integrale di f esteso

all'intervallo [a,b].

- Sia : [a,b] Rn una curva continua e T una suddivisione dell'intervallo [a,b], il numero

{ HT L =k=1h HtkL - Htk-1L la lunghezza della poligonale con vertici (t0), ( t1), , ( th ).- L'estremo superiore, denotato con L(), dei numeri {(T), al variare di T nell'insieme delle suddivi-

sioni di [a,b] si dice lunghezza dell'arco continuo . Se L() < +, l'arco si dice rettificabile.

16.3.2 Esempio

Un tipico esempio di arco non rettificabile dato dall'applicazione : [0,1] R 2 cos definita :

(t) = (t, tCos(/t)), t(0,1], (0) = (0, 0).

Fig 16.16

16.3.3 Teorema

Ogni curva parametrizzata : [a,b] Rn di classe C

k (k1) rettificabile e la sua lunghezza data

dall'integrale

L() = ab ' HuL du.

Dimostrazione (omessa)

Definizione

Un sottoinsieme G di Rn si dice arco di curva orientato di classe C

k, k 1 se esiste una curva

regolare : I Rn di classe C

k ed esiste un intervallo chiuso [a,b] I tale che G = ([a,b]).

Diremo che A = (a) e B = (b) sono rispettivamente l'origine e l'estremo dell'arco orientato. Eventual-

mente A e B possono coincidere. In tal caso richiediamo che HhL

(a) = HhL

(b), per ogni h = 0,1, ... ,k

e diremo che G un arco di curva chiuso di classe Ck. Se A B e se la restrizione di sull'intervallo

chiuso [a,b] iniettiva allora diremo che l'arco orientato semplice. Nel caso di un arco di curva

chiuso, diremo che G semplice se la restrizione di sull'intervallo [a,b) iniettiva. Se G un arco di

curva semplice, ogni curva parametrizzata con le propriet di cui sopra viene detta parametriz-

zazione di G. Intuitivamente gli archi di curva semplici sono quelli che non hanno punti di autointer-

sezione. Ad esempio, le ellissi o gli ovaloidi considerati nell'esempio 16.2.6.2 sono degli archi di

curva semplici chiusi di classe C

. Invece la lemniscata di Gerono considerata nell'esempio 16.1.2.2

non un arco di curva chiuso, anche se la sua traiettoria una curva chiusa del piano.


Un sottoinsieme G di Rn si dice arco di curva orientato di classe C

k, k 1 se esiste una curva

regolare : I Rn di classe C

k ed esiste un intervallo chiuso [a,b] I tale che G = ([a,b]).

Diremo che A = (a) e B = (b) sono rispettivamente l'origine e l'estremo dell'arco orientato. Eventual-

mente A e B possono coincidere. In tal caso richiediamo che HhL

(a) = HhL

(b), per ogni h = 0,1, ... ,k

e diremo che G un arco di curva chiuso di classe Ck. Se A B e se la restrizione di sull'intervallo

chiuso [a,b] iniettiva allora diremo che l'arco orientato semplice. Nel caso di un arco di curva

chiuso, diremo che G semplice se la restrizione di sull'intervallo [a,b) iniettiva. Se G un arco di

curva semplice, ogni curva parametrizzata con le propriet di cui sopra viene detta parametriz-

zazione di G. Intuitivamente gli archi di curva semplici sono quelli che non hanno punti di autointer-

sezione. Ad esempio, le ellissi o gli ovaloidi considerati nell'esempio 16.2.6.2 sono degli archi di

curva semplici chiusi di classe C

. Invece la lemniscata di Gerono considerata nell'esempio 16.1.2.2

non un arco di curva chiuso, anche se la sua traiettoria una curva chiusa del piano.

Osservazione

Sia G un arco di curva semplice con origine A ed estremo B, con A B, e sia : I Rn una sua

parametrizzazione. Per ogni punto P G esiste un'unico tP [a,b] tale che ( tP) = P ed

s(P) = atP ' HuL du

rappresenta la lunghezza della porzione dell'arco con origine A ed estremo P. In effetti il valore s(P) non

dipende nemmeno dalla scelta della parametrizzazione . Nel caso di un arco semplice chiuso (cio A

= B), si ripete lo stesso discorso, per ogni punto P G e P A,B. Ne segue che l'arco ha un'unica

parametrizzazione mediante ascissa curvilinea con punto iniziale A, che denoteremo con . L'intervallo

di definizione J contiene l'origine e A = (0) mentre B = ({G), dove {G la lunghezza dell'arco.

Definizione

Sia G Rn un arco di curva semplice con origine A ed estremo B e sia f : G R una funzione con-

tinua definita sui punti di G. Consideriamo la parametrizzazione : J Rn dell'arco di curva mediante

l'ascissa curvilinea misurata a partire dal punto iniziale A. La composizione

f : [0, {G] R

una funzione continua e l'integrale definito

0{Gf [(s)]ds

viene detto integrale di linea della funzione f lungo il cammino orientato G e viene anche denotato con

Gf ds

Teorema

Sia G Rn un arco di curva semplice con origine A ed estremo B e sia f : U R

n R una funzione

continua definita in un intorno aperto U di G e sia : I Rn una qualsiasi parametrizzazione di G,

allora

Gf ds = abf @ HtLD ' HtL dt


Dimostrazione

Denotiamo con s : I R l'ascissa curvilinea della parametrizzazione con punto iniziale a. Allora

s([a,b]) = [0, {G] = J e (t) = [s(t)], per ogni t [a,b]. Pertanto si ha

Gf ds = 0{Gf [(s)]ds = abf [(s(t))] d sdt dt = abf @ HtLD ' HtL dt

Il terema cos dimostrato.

Esempi

Esempio 1

Supponiamo di avere un punto materiale (t), t[a,b] nello spazio R3 che descrive un arco di curva

semplice G, con origine A ed estremo B e che si muove sotto l'azione di un campo di forze F : R3

R3, che dipende solo dalla posizione e non dalle velocit e sia FG : G R

3 la restrizione di F sui

punti del cammino. Consideriamo il campo dei versori tangenti a G, cio l'applicazione TG : G R3

che ad ogni punto P = (t) associa il vettore unitario TG = '(t)/'(t). Il prodotto scalare FGTG unafunzione a valori reali definita sui punti di G. L'integrale di linea

GFGTG ds = abF[(t)]'(t)dt

rappresenta il lavoro esercitato dalla forza F sul punto materiale (t) che si muove da A a B lungo il

cammino G.

Esempio 2

Consideriamo ad esempio il campo Newtoniano definito dall'energia potenziale U(P) = -1/d(P,O)

U(x,y,z) = - 1

x2+y

2+z

2

Needs@"VectorAnalysis`"D

U@Xx, Yy, ZzD := -1

Xx^2 + Yy^2 + Zz^2;

-Grad@U@Xx, Yy, ZzDD

:-Xx

IXx2 + Yy2 + Zz2M32, -

Yy

IXx2 + Yy2 + Zz2M32, -

Zz

IXx2 + Yy2 + Zz2M32>

Quindi, il campo di forze, definito su R3 privato dell'origine il campo vettoriale

F(x, y, z) = -x

Ix2 + y2 + z2M32 , -y

Ix2 + y2 + z2M32 ,z

Ix2 + y2 + z2M32 .


F(x, y, z) = -x

Ix2 + y2 + z2M32 , -y

Ix2 + y2 + z2M32 ,z

Ix2 + y2 + z2M32 .

Consideriamo l'arco G di elica circolare definito da

(t) = (Cos(t), Sin(t), t), t [0,2].

Calcoliamo il lavoro esercitato dalla forza F su un punto materiale che ha percorso l'arco di elica, cio

l'integrale

L = 02 F@ HtLD. ' HtLdt

Anzitutto determiniamo esplicitamente l'espressione analitica, in funzione del parametro t, della funzione

da integrare :

@t_D := 8Cos@tD, Sin@tD, t;

f@t_D := F@@tD@@1DD, @tD@@2DD, @tD@@3DDD.D@@tD, tD;

FullSimplify@f@tD, Element@t, RealsDD

-t

I1 + t2M32

Quindi

L = - 02 t I1 + t2M-32dt = I1 + t2M-32 02 = -1 + 11+4

2

.


curve parametrizzate e integrali di linea

Documents