Rozdzia1Elementykombinatoryki1. Obliczy:a) 5!!b)10!8!11!10!!7!!2. Obliczy ile jest liczb czterocyfrowych, w ktrych nie powtarza si adna cyfra.3. W wagonie awki ustawione s naprzeciw siebie. Na I awce siedz trzy osoby A,B,C, a na drugiej 2 D,E.Iloma rnymi sposobami mog usi pasaerowie, tak aby zawsze dwie osoby siedziay naprzeciwkodwch osb?4. Ile mona utworzy liczb parzystych czterocyfrowych o nie powtarzajcych si cyfrach i przy zaoeniu,e 0 nie wystpuje na pierwszym miejscu? (D)5. Sze osb ma do dyspozycji 5 rnokolorowych kieliszkw i 2 gatunki wina. Iloma sposobami mogsi napi?6. Alfabet Morsea skada si z kropek i kresek. Ile znakw pisarskich mona utworzy z tych elementw,jeli kady znak nie moe posiada wicej nikmiejsc? Przyj do obliczek = 5.7. Ile mona utworzy liczb czterocyfrowych, w ktrych na pierwszym miejscu i na ostatnim wystpujeta sama cyfra. Cyfry mog si powtarza. (D)8. Ile mona utworzy liczb parzystych czterocyfrowych, takich e 0 nie wystpuje na pierwszym miejscu.Cyfry mog si powtarza. (D)9. Ile jest permutacji liczb 1, 2, . . . , n, w ktrychliczby 1,2 nie ssiaduj ze sob,liczby 1,2,3 nie tworz trzech kolejnych wyrazw.10. Trzech panw i cztery panie id na wycieczk gsiego. Iloma sposobami nog si ustawi jeeli panienie mog ssiadowa z paniami, a panowie z panami?11. Pibiaychponumerowanychkulipiczarnychrwnieponumerowanychukadamyoboksiebie,tak aby ich barwy zmieniay si kolejno. Iloma sposobami mona to zrobi? (D)12. Cztery kule biae, 4 czarne i 4 zielone numerujemy i ukadamy, tak aby trzy kolejne kule byy rnychkolorw. Na ile sposobw mona to zrobi?13. W urnie s dwie kule oznaczone numerem 1, jedna numerem 2 i dwie oznaczone 3. Wycigamy kolejno5 kul. Ile w ten sposb mona otrzyma rnych liczb?14. Ile rnych wyrazw mona utworzy ze sowa MATEMATYKA (musz zawiera wszystkie litery)?15. Obliczyilomasposobamimonarozmiecinannumerowanychmiejscachkorwi n kreszek.Wykona obliczenia dlan = 8 ik = 3.16. Ile nastpi powita jeli spotka si jednoczenie 6 znajomych?Rozdzia 1. Elementy kombinatoryki 217. Ile rnych paszczyzn mona poprowadzi w R3przez 4 punkty nie lece w jednej paszczynie?18. Ilomasposobami monapooy12ksieknatrzechpkach, takabynapierwszej pcebyo6ksiek, na drugiej 4, a na trzeciej reszta?19. Przy grze w preferensa kady z trzech graczy otrzymuje 10 kart a dwie karty zostaj do tzw. kupna(w banku). Iloma sposobami mona rozda karty graczom siedzcym na ustalonych miejscach?20. Ilomasposobamimonarozdzieli4rnenagrodymidzytrzechpracownikw,jeelikadyznichotrzyma co najmniej jedn nagrod?21. Wcigurokupewienklient mawpacadokasy10rat miesicznych. Ilomasposobami moetouczyni?22. Mamy4rodzajeowocw: jabka, gruszki, morelei pomaracze. Tworzymypaczki po5owocwwkadej. Ile moemy otrzyma w ten sposb paczek?23. Malarzmapomalowatrzyprzedmioty, majcdodyspozycji farbywpiciukolorach. Ileukadwkolorw farb moe otrzyma malarz, jeli kady przedmiot malowany jest tylko jednym kolorem?24. Koci dogrywdominosoznaczonedwiemaliczbami. Ilernychkoci monautworzyzliczb0, 1, 2, . . . , n?25. Ilomasposobamimonaprzydzielipiciurobotnikomszeprac,takabykadyrobotnikmiado-kadnie jedno zajcie? (D)26. Ilu zawodnikw brao udzia w turnieju szachowym, jeli wiadomo, e rozegrano 10 partii i kady graz kadym dokadnie jeden raz? (D)27. Ilomasposobamimogwejdowagonutramwajowegoczteryosoby(wchodztylkotylnympomo-stem)? (D)28. Mamy 7 korali czarnych i 3 biae. Ile rodzajw sznurkw mona z nich uoy, jeli ustalimy poczteki koniec sznurka? (D)29. Iloma sposobami mona rozda 13 kart z talii 52 jednemu graczowi? (D)30. Grupa liczca 6 studentek i 9 studentw organizuje szecioosobowy kolektyw, w skad ktrego wchodz3 studentki i 3 studentw. Iloma sposobami mona utworzy taki kolektyw? (D)31. Ile jest liczb czterocyfrowych, w ktrych powtarza si mog dwukrotnie jedynie cyfry 1 i 2? (D)Rozdzia2Klasycznadenicjaprawdopodobiestwa1. Rzucamydwiemakostkami dogry. Niechzdarzenie Apoleganatym, e sumaoczekjest liczbnieparzyst, zdarzenieBna trzymaniu jedynki na co najmniej jednej kostce.a) opisa zdarzeniaA B,A B,A B

,b) obliczy ich prawdopodobiestwa.2. Dokonujemy trzech rzutw monet. Obliczy prawdopodobiestwo:a) zdarzeniaA, e orze pojawi si dwa razy,b) zdarzeniaB, e orze pojawi si co najmniej dwa razy,c) zdarzeniaC, e orze pojawi si co najwyej dwa razy.3. Cyfry1, 2, 3, 4, 5snapisanenapiciukartkach, takekadej cyfrzeodpowiadajednakartka. Po-bieramylosowojednoczenietrzykartki.Jakiejestprawdopodobiestwo,esumaotrzymanychcyfrbdzie liczb parzyst?4. Obliczy prawdopodobiestwo tego, e losujc z talii 52 kart jedn kart otrzymamy pika lub asa.5. Wykaza, eP(A B C) = P(A) +P(B) +P(C) P(A B) P(A C) P(B C) +P(A B C).6. Dwaj myliwi jednoczenie ujrzeli zajca i jednoczenie strzelili do niego. Zakadamy, e dla kadegoz myliwych prawdopodobiestwo zabicia zajca jednym strzaem wynosi13.a) Jakie jest prawdopodobiestwo zabicia zajca?b) Obliczy prawdopodobiestwo zabicia zajca dla trzech myliwych. (D)7. Strzelec strzela do tarczy. Obliczy prawdopodobiestwo traenia w cile okrelony punkt.8. Strzelec strzela do tarczy. Tarcz stanowi dwa prostokty o wymiarach 1 2 nachodzce na siebie wpoowie dugoci. Ile wynosi prawdopodobiestwo, e strzelec tra w pole A, jeli wiadomo, e traw pole B?9. (Paradoks Bertranda) Obliczy prawdopodobiestwo, e dowolnie obrana ciciwa koa o promieniu Rbdzie wiksza od boku trjkta rwnobocznego wpisane w to koo. (D)10. DwieosobyXi Y umwiysinaspotkaniewokrelonymmiejscumidzygodzin12i 12wtensposb, e osoba ktra przyjdzie pierwsza czeka jedynie 20 minut, po czym odchodzi. Obliczy prawdo-podobiestwo, e osoby Xi Yspotkaj si, jeli kada z nich przychodzi w losowo wybranym punkcieczasowym i niezalenie do siebie.11. Dany odcinek podzielono dwoma punktami na trzy czci. Jakie jest prawdopodobiestwo, e z tychczci da si zbudowa trjkt?12. Rzucamydwiemakostkami dogry. Obliczyprawdopodobiestwozdarzeniapolegajcegonatym,Rozdzia 2. Klasyczna denicja prawdopodobiestwa 4esumaoczekotrzymanychnaobukostkachbdzieniewikszaodczterech, jeli wiadomo, econajmniej na jednej kostce otrzymano dwa oczka.13. Wpudekusowki: 10czerwononiebieskich, 2niebieskie, 7zielonych, 1zielonoczerwony.Losujemy jedne owek.a) JakiejestprawdopodobiestwozdarzeniaACpolegajcegonatym, ewylosowanymowkiemmona kreli na czerwono.b) Jakiejestprawdopodobiestwokreleniaotrzymanymowkiemwkolorzeczerwonym,jeliwia-domo, e owek ten rysuje:i. na niebiesko -AN,ii. na zielono -AZ.14. Wurnieznajdujsi3kulebiaei 4czarne. JakiejestprawdopodobiestwozajciazdarzeniaBpolegajcegonaotrzymaniudwchkul biaych, przyzaoeniu, elosujemyzurnydwarazybezzwracania?15. Losujemyjednkulz4urntypuA1oraz16urntypuA2. WkadejzurnA1znajdujesi7kulbiaych i 3 czarne, natomiast w kadej z urn typuA2znajduj si 4 kule biae i 6 kul czarnych. Jakiejest prawdopodobiestwo wylosowania kuli biaej?16. Przeprowadzamyseridowiadczetak, ewwynikukadegoznichmoezajzdarzenieAlubzdarzenie przeciwne A

. Oznaczmy zajcie zdarzenia A w n - tym kroku przez An i zdarzenie przeciwneprzez A

n oraz przez pn prawdopodobiestwo zajcia zdarzenia An, a przez qn zdarzenia A

n. Niech terazw przypadku zajcia zdarzeniaA wn - tym dowiadczeniu prawdopodobiestwo zajcia zdarzeniaAwn + 1- szymdowiadczeniurwnasia. WprzypadkuzaniezajciazdarzeniaAwn- tymdowiadczeniu, prawdopodobiestwo jego zajcia wn +1 - szym dowiadczeniu rwna sib. Obliczypnznajcp1, a, b.17. Niechprawdopodobiestwo, epowyjedziezdomunapotkamynapierwszymskrzyowaniuzielo-nysygnawietlnybdzierwne0, 5.Sygnalizacjajesttakustawiona,ewprzypadkuzatrzymaniasinadowolnymskrzyowaniuprzywietleczerwonymprawdopodobiestwotego,enanastpnymskrzyowaniuzastaniemywiatozielonewynosi 0, 95.Natomiastprawdopodobiestwotego,ejelina dowolnym skrzyowaniu bdziemy mieli zielone, to nastpnym zielone wynosi 0, 3.a) Obliczy prawdopodobiestwo, e na trzecim skrzyowaniu bdziemy mieli zielone wiato.b) Obliczy prawdopodobiestwo graniczne.18. Dwaj zawodnicyA iBgraj w warcaby. Umwiono si, e pierwszy ruch w kadej rozgrywce naleydozwycizcywpoprzedniej. Wkadej grzeszansewygraniaskk+1nakorzyrozpoczynajcego.Obliczy, eA wygra wn - tej rozgrywce.19. Mamy dwie urny z kulami: I urna zawiera 6 kul biaych i 3 czarne, II zawiera 4 kule biae i 6 czarnych.Zakadajc, e po kadym losowaniu kulA) zwracamy do urny,B) nie zwracamy do urnyobliczy prawdopodobiestwo wylosowania:a) dwch kul biaych oraz dwch kul czarnych jeli losujemy z I urnyb) trzech kul biaych oraz trzech kul czarnych jeli losujemy z II urny,c) dwch kul biaych i jednej czarnej, jeli losujemy trzy kule z I urny,Rozdzia 2. Klasyczna denicja prawdopodobiestwa 5d) jednej biaej i jednej czarnej, jeli losujemy po jednej kuli z kadej urny,e) jednej biaej i jednej czarnej, jeli losujemy z jednej z urn, ale nie wiemy z ktrej,f) jednej biaej i dwch czarnych jelijeli losujemy wedug sposobu losowania z punktu c),jeli losujemy wedug sposobu losowania z punktu e).20. Z urny, w ktrej jestb kul biaych ic czarnych wyjto losowo kul. Jakie jest teraz prawdopodobie-stwo wylosowania kuli biaej, jeli nie znamy koloru kuli poprzednio wylosowanej?21. Z urny, w ktrej znajduje si 20 kul biaych i 2 kule czarne wyjmujemy kolejnon kula) ze zwracaniem,b) bez zwracania.Znale najmniejsz warto n, przy ktrej prawdopodobiestwo wylosowania chocia raz kuli czarnejjest wiksze od 0, 5.22. Obliczyprawdopodobiestwo, ewrd13kart pobranychlosowoz52kart bdziedokadnie kczerwonych kart, gdziek = 0, 1, 2, . . . 13.23. Obliczy prawdopodobiestwo tego, e spord grajcych w bryda pierwszy gracz otrzymaa drugib, trzecic, a czwartyd asw.24. Z talii 52 kart losujemy jednoczenie 6 kart. Jakie jest prawdopodobiestwo tego, e wrd nich bdkarty wszystkich czterech kolorw?25. Produkcjapewnychdetalimoebyprzeprowadzonadwomasposobami.Pierwszypoleganatrzechoperacjachtechnologicznychi prawdopodobiestwootrzymaniabrakuwposzczeglnychoperacjachjest rwne odpowiednio 0, 05, 0, 1, 0, 3. Drugi sposb polega na dwch operacjach i prawdopodobie-stwo otrzymania braku w poszczeglnych operacjach jest rwne 0, 25.a) Ktry sposb jest lepszy?b) Podjto losowo sposb produkcji detalu. Jakie jest prawdopodobiestwo wyprodukowania popraw-nego detalu?26. Pobrano prbk o liczebnocin z populacji generalnej skadajcej si zN n elementw. Obliczyprawdopodobiestwo, eani jedenzwyrnionychkelementwniedostaniesidoprbki, jeeliprbka zostanie pobrana:a) bez zwracania,b) ze zwracaniem.Wykona obliczenia dlaN= 50 in = k = 4.27. (Paradoks kawalera de Mere) Wykaza, e bardziej prawdopodobne jest przy rzucie czterema komiotrzymaniechobyjednejjedynki, niprzy24rzutachdwchkoci otrzymanieprzynajmniejjedenraz dwch jedynek. (D)28. W dwch urnach znajduj si kule biae i czarne, w urnieA 15 biaych i 5 czarnych, a w urnieB16biaych i 24 czarne. Losujemy po jednej kuli z kadej urny. Obliczy prawdopodobiestwo, e:a) obie kule bd czarne,b) kula z urnyA bdzie czarna, a z urnyBbiaa,c) kule bd rnych kolorw. (D)29. Obliczy prawdopodobiestwo, e kady z graczy w bryda ma jednego asa. (D)Rozdzia 2. Klasyczna denicja prawdopodobiestwa 630. Z talii 52 kart losujemy jednoczenie 13 kart. Obliczy prawdopodobiestwo, e w wybranej trzynastcekarty maj trzynacie rnych wartoci. (D)31. Mamy do dyspozycji 5 prtw o dugociach odpowiednio 1, 3, 4, 5, 6. Obliczy prawdopodobiestwo,e z losowo wybranych trzech prtw mona zbudowa:a) dowolny trjkt,b) trjkt prostoktny. (D)32. Dowdca baterii ma do dyspozycji dwie armaty I i II oraz dwa celeA iB. Do armaty I zosta jedenpocisk, a do II dwa. Prawdopodobiestwa trae wynosz:PI(A) = 0, 8,PI(B) = 0, 75,PII(A) = 0, 5,PII(B) = 0, 35.Jeli kula tra w cel to prawdopodobiestwa zniszczenia celu s rwne:PI(A) = 0, 4,PI(B) = 0, 5,PII(A) = 0, 5,PII(B) = 0, 6.Jakie jest najlepsze ustawienie armat, aby uzyska jak najwiksz szans zniszczenia obu celw? (D)33. Wykaza, e jeli zdarzeniaA iBs niezalene, to rwnie niezalene s zdarzeniaA iB

orazA

iB

. (D)34. Wkwadrat wpisanotrjkt tak, epodstawatrjktajest podstawkwadratu, natomiast trzeciwierzchoektrjktadzieli przeciwlegybokkwadratunapoowy. Wtakpowstaytrjktwpisanokoo. We wntrzu kwadratu pojawia si losowy punkt.a) Obliczy prawdopodobiestwo, e pojawi si on w kole.b) Obliczy prawdopodobiestwo, e pojawi si w kole jeli wiemy, e pojawi si w trjkcie. (D)35. (Zadania Banacha) Pewien matematyk kupi dwa pudeka poNzapaek. Za kadym razem, gdy po-trzebuje zapaki wybiera pudeko losowo. Obliczy prawdopodobiestwo, e w chwili gdy w I pudekunie ma ju zapaek w drugim jest ich jeszczek. (D)36. (ZagadnienieBuona)Naukadprostychrwnolegychlecychnapaszczyniewodlegoci 2a>2l rzucamyigodugoci 2l. Obliczyprawdopodobiestwotego, eigaprzetnie(lubdotknie)ktrkolwiek z prostych. (D)Rozdzia3Schematyrachunku prawdopodobiestwa1. Co jest bardziej prawdopodobne u zawodnika rozgrywajcego parti z przeciwnikiem o rwnej mu silegry:a) wygranie 3 partii z 4 czy 5 z 8,b) wygranie nie mniej ni 3 partii z 4, czy nie mniej ni 5 z 8,c) wygranie nie wicej nin z 2n partii, czy wicej nin z 2n,d) wygranie nie wicej nin z 2n + 1, czy wicej nin z 2n + 1.2. Danajesturna,wktrejjest6kulczarnychi9biaych.Losujemy5razyzezwracaniempojednejkuli. Jakie jest prawdopodobiestwo, e otrzymamy co najmniej 3 razy kul bia?3. Mamy 4 urny typu A1 zawierajce 2 kule biae i 8 czarnych oraz 6 urn typu A2 z 3 kulami biaymi i 7czarnymi. Losujemy 4 razy ze zwracaniem po jednej kuli. Obliczy najbardziej prawdopodobn liczbkul biaych i prawdopodobiestwo otrzymania tej liczby kul.4. Dziao nr 1 wyrzuca 70 pociskw na minut z prawdopodobiestwem traenia 0, 8 dla pojedynczegostrzau,adziaonr2wyrzuca60pociskwitraazprawdopodobiestwem 0, 9.Dlaktregoznichnajbardziej prawdopodobna liczba trae jest wiksza?5. Czstowystpowaniabrakwprzyprodukcji pewnychnarzdzi wynosi 0, 002. Jakiejestprawdo-podobiestwo, e w partii liczcej 2000 sztuk bdzie brakw nie wicej ni 2? Jaki bd popeniamyszacujc to prawdopodobiestwo za pomoc rozkadu Poissona?6. Sklepotrzymatowarw6skrzyniachoddostawcyAiw4oddostawcyB.JakotowarudostawcyA jest jednakowa we wszystkich skrzyniach (60% - I gatunek, 30% - II gatunek, 10% - braki). Jakotowarw od dostawcyBjest rwnie jednakowa we wszystkich skrzyniach (50% - I gatunek, 40% - IIgatunek, 10% - braki). Przyjmujcy towar w sklepie pobra losowo 5 razy po jednej sztuce zwracajczakadymrazemdoodpowiedniej skrzyni. Obliczyprawdopodobiestwo, eotrzymaonwtakimlosowaniu 2 sztuki I gatunku, 2 II gatunku i 1 brak.7. Gracz wykonuje rzuty monet tak dugo a otrzyma ora. Obliczy prawdopodobiestwo zdarzenia Epolegajcego na tym, e liczba rzutw nie przekroczy 4.8. Z urny o skadzie 7 kul biaych i 3 czarne losujemy kolejno trzy razy zwracajc po kadym losowaniukulwrazzdwiemakulami koloruwylosowanej uprzedniokuli. Obliczyprawdopodobiestwo, edokadnie dwa razy wylosujemy kul bia.9. Dane s dwie urny z kulami. UrnaA1zawiera 6 kul czarnych i 9 biaych, a urnaA25 czarnych i 15biaych. Wylosowano kul bia. Jakie jest prawdopodobiestwo, e pochodzi ona z urnyA1?10. W pewnym miecie s trzy lotniska A1, A2, A3 posiadajce samoloty sanitarne. Prawdopodobiestwo,e jest do dyspozycji samolot A1 wynosi15, A225, A345. Prawdopodobiestwo otrzymania poczeniaRozdzia 3. Schematy rachunku prawdopodobiestwa 8telefonicznego z lotniskiem A135, A215, A315. Uzyskano samolot sanitarny po pierwszym wezwaniutelefonicznym. Z ktrego lotniska najprawdopodobniej przyby samolot?11. Jeeli prawdopodobiestwo traenia do celu jest rwne15i oddano 6 strzaw, to jakie jest prawdo-podobiestwo, e cel zosta traony co najmniej 2 razy? (D)12. Subasanitarnarozporzdzatrzemasamochodami. Prawdopodobiestwo, emidzy8.00, a9.00dany samochd bdzie w bazie jest dla kadego samochodu jednakowe i rwne 0, 2.a) Obliczy prawdopodobiestwo, e w danym czasiei. dwa samochody bd w bazie,ii. co najmniej jeden bdzie w bazie.b) Jaka powinna by najmniejsza liczba samochodw, aby przy nie zmienionych warunkach zadaniaprawdopodobiestwo, e przynajmniej jeden samochd bdzie w bazie, byo nie mniejsze od 0, 95?(D)13. W pewnym przedsibiorstwie 96% wyrobw uznawanych jest jako zdatne do uytku, a wrd nich 75%jest I gatunku. Obliczy prawdopodobiestwo, e na trzy losowo pobrane sztuki dwie bd pierwszegogatunku. (D)14. Wwynikuwieloletnichobserwacji ustalono, ewpewnejmiejscowoci prawdopodobiestwoopadunienegowdniu6grudniawynosi415.Jakajestnajbardziejprawdopodobnaliczbanienychdni6grudnia w cigu najbliszych 44 lat? (D)15. W pewnej miejscowoci rodzi si rednio 520 chopcw i 480 dziewczt na 1000 niemowlt. Obliczyprawdopodobiestwo, ewpewnej rodzinienapiciorodzieci liczbadziewcztjestniewikszaoddwch. (D)16. Do n szuad wrzucono r przedmiotw. Obliczy prawdopodobiestwo, e w losowo otwartej szuadzieznajdziemy 0 k rprzedmiotw zakadajc, e kady przedmiot ma tak sam szans znalezieniasi w kadej z szuad. (D)17. Przypumy, e piciu mczyzn na 100 i 25 kobiet na 10000 nie rozrnia kolorw. Obliczy prawdo-podobiestwo, e pierwszy spotkany czowiek, u ktrego zaobserwowano daltonizm bdzie mczyznzakadajc, e liczba kobiet i mczyzn jest jednakowa.18. W urnie znajduje si 25 kul biaych i 45 czarnych. Losujemy 20 razy wedug schematu Polya dodajcpo kadym losowaniu 2 kule. (D) Obliczy prawdopodobiestwo, e otrzymamy 7 razy kul bia.19. Armatynr1inr2strzelajdotegosamegocelu.Ustalono,earmatanr1wyrzuca9pociskwwczasie gdy armata nr 2 10. (D) Przecitnie na 10 pociskw wyrzuconych z armaty nr 1 do celu traa 8,a przez armat nr 2 tylko 7. Obie armaty zaczynaj strzela do celu w tym samym czasie i cel zostajetraony. Jakie jest prawdopodobiestwo, e pocisk pochodzi z armaty nr 2. (D)Rozdzia4Zmiennalosowajednowymiarowa1. Poda rozkad zmiennej losowej, ktra przyjmuje wartoci rwne sumie oczek na dwch symetrycznychkostkach. ObliczyP(5 X< 8) i wykreli dystrybuant i funkcj prawdopodobiestwa.2. Zorganizowanogr: rzucamydwiemakostkami, jeeli sumaoczekjestrwna2otrzymujemy10z,jeelisumaoczekjestrwna3,otrzymujemy5z,awpozostaychprzypadkachpacimy1z.Podarozkad zmiennej losowej okrelajcej wysoko wygranej.3. Zmienna losowaXprzyjmuje wartoci rwne liczbom naturalnymk z prawdopodobiestwemP(X =k) =c3k. Wyznaczy stac oraz obliczyP(X = 4).4. Dystrybuanta zmiennej losowejXdana jest wzorem:F(x) =___0 dlax 11/7 dla 1 < x 23/7 dla 2 < x 56/7 dla 5 < x 101 dla 10 < x a) ObliczyP(5 X 8).b) Okreli funkcj prawdopodobiestwa tej zmiennej.5. Sprawdzi z denicji, czy funkcjaP(Xn = k) = e kk! ,k = 0, 1, 2, . . . okrela rozkad.6. Zmienna losowaXpodlega rozkadowi wedug gstoci danej wzorem:f(x) =___0 dlax < 0Cx dla 0 x 40 dlax > 4a) Obliczy staC.b) Poda dystrybuant i narysowa jej wykres.c) ObliczyP(1 x 2).7. Zmienna losowaXpodlega rozkadowi wedug gstoci danej wzorem:f(x) =___0 dlax < 0C sin x dla 0 x 130 dlax >13a) Obliczy staC.Rozdzia 4. Zmienna losowa jednowymiarowa 10b) Poda dystrybuant i narysowa jej wykres.c) ObliczyP(16 x 14).8. ZmiennalosowaXprzyjmujedowolnwartozprzedziauztakimsamymprawdopodo-biestwem. Poda jej gsto, dystrybuant oraz obliczyP(1, 4 X 2). (D)9. Zmienna losowa X przyjmuje wartoci z przedziau < 1, 7 >. Przy czym prawdopodobiestwo przyjciaprzezniwartoci zprzedziaujestpirazywikszeodprawdopodobiestwaprzyjciawartoci z przedziau< 1, 3), a take z przedziau (4, 7 >. Poda gsto, dystrybuant oraz obliczyP(2, 3 X 4, 7).10. Zmienna losowa Xpodlega rozkadowi wedug trjkta utworzonego przez o OXi proste y = ax+aiy = x + 4. Dobraa i znale gsto.11. ZmiennalosowaXpodlegarozkadowiwedugtrjktautworzonegoprzezoOXiprostey=ax(a > 0) iy = 2a2x + 45. Dobraa i znale gsto. (D)12. ZmiennalosowaXpodlegarozkadowi (3, 2). Obliczyprawdopodobiestwo, ezmiennalosowaprzyjmie wartoci mniejsze od 0, 1.13. Zmienna losowaXpodlega rozkadowi podanemu w tablicyxi-3 -1 0 1 2 3P(X = xi) 0,08 0,16 0,25 0,36 0,1 0,05Wyznaczy rozkad zmiennejY= X2.14. Zmienna losowaXpodlega rozkadowi danemu wzoremP(X = n) = 2n(n = 1, 2, . . .). Wyznaczyrozkad zmiennejY= sin12x.15. Znajcgstoprawdopodobiestwaf(x)zmiennejlosowej XwyznaczyrozkadzmiennejlosowejY= aX +b przy zaoeniu, ea = 0.16. Zmienna losowaXpodlega rozkadowif(x) =12 exp{12x2}, 0, a > 1, x0 x.Obliczy median i dominant. (D)19. X N(4, 81). Obliczy:a) P(X> 13),b) P(|X 2| < 14),c) P(|X 3| > 11). (D)Rozdzia6Zmiennalosowawielowymiarowa1. Dana jest funkcjaf(x, y) =___18(x2y2)exdla |y| x0 w pozostaych przypadkach.Czy ta funkcja jest gstoci pewnego rozkadu dwuwymiarowego?2. Zmienna losowa (X, Y ) podlega rozkadowi o gstoci:f(x, y) =___12xydla 0 < x y 0, b > 0).15. NiechU= X +Y ,V=YX. Znale rozkad zmiennej (U, V ) gdy dany jest rozkad zmiennej (X, Y ).16. NiechZ =YX+Y . Znale rozkad zmiennej losowejZgdy dany jest rozkad (X, Y ).17. NiechZ =YX. Znale rozkad zmiennej losowejZgdy dany jest rozkad (X, Y ).Rozdzia7Funkcjacharakterystyczna1. Zmiennalosowaprzyjmujewartoci rwneliczbieoczeknakostce. Wyznaczyfunkcjcharaktery-styczn tej zmiennej.2. Znale funkcj charakterystyczn rozkadu dwupunktowego.3. Wyznaczy funkcj charakterystyczn rozkadu Poissona.4. Wyznaczy funkcj charakterystyczn rozkadu jednostajnego. (D)5. Wyznaczy funkcj charakterystyczn rozkadu normalnego.6. Obliczypierwszyi drugi momentzwykywrozkadziePoissonaorazwariancjzapomocfunkcjicharakterystycznych.7. Obliczy warto oczekiwan oraz wariancj w rozkadzie o nastpujcej funkcji charakterystycznej:(t) =___1 dla,t = 0_sin12at12at_dla,t = 0,a > 0.8. Znale funkcj charakterystyczn zmiennej losowejXo gstoci:f(x) =___0 dlax < 1x + 1 dla1 x 0x + 1 dla 0 x 10 dlax > 1.(D)9. Wyznaczyfunkcjcharakterystycznzmiennej losowej ogstoci f(x) =Ce|x|. Zapomoctejfunkcji wyznaczy warto oczekiwan i wariancj. (D)Rozdzia8Twierdzeniagraniczne1. Rzucamy kostk 144 razy. Obliczy prawdopodobiestwo, e otrzymamy 25 razy pitk.2. Zmienne losoweXi(i = 1, 2, . . .) s niezalene i maj jednakowy rozkad:P(Xi = k) = 0, 2 dlak = 1, 2, 3, 4, 5.Znale prawdopodobiestwo, e zmienna losowaY100 =

100i=1Xiprzyjmie warto wiksz od 320.3. Zmienne losoweXi(i = 1, 2, . . .) s niezalene i maj jednakowy rozkad o gstoci:f(x) =___12dla 0 x 20 w p.p.Obliczyprawdopodobiestwo,ezmiennalosowaY48=

48i=1Xiprzyjmiewartomniejszod40.(D)4. Rzucono720razykostk. Jakie jest prawdopodobiestwo, e liczbawyrzuconychczwrekbdziezawarta w granicach od 100 do 150?5. Partiatowarumawadliwo5%.Iluelementowprbnaleypobra,abyzprawdopodobiestwem0,99 mona byo twierdzi, e ilo sztuk wadliwych w prbce bdzie zawarta w granicach od 4% do6%?6. Pewientowarmawadliwo10%.Zakupiono900sztuktegotowaru.Obliczyprawdopodobiestwo,e ilo znalezionych sztuk wadliwych bdzie zawiera si w granicach od 9% do 12%. (D)7. Fabryka produkuje gwodzie. Znana jest ich rednia dugo rwna 20mm. Nie jest natomiast znanyrozkad dugoci gwodzi. Obliczy prawdopodobiestwo, e dugo pobranego losowo gwodzia nieprzekroczy 30mm.8. Strzelamy1200razy, przyczymprawdopodobiestwotraeniadoceluzakadymrazemjestrw-ne13. Obliczyprawdopodobiestwo, eilocelnychstrzawbdziesirniodnajbardziej ichprawdopodobnej liczby nie wicej ni160oglne liczby strzaw.9. Aby stwierdzi, jak wielu wyborcw popiera obecnie parti A, losujemy spord nich reprezentatywnprbki naniej przeprowadzamybadanie. Jakduapowinnabytaprbka, abyuzyskanywynikrni si od rzeczywistego poparcia dla partii A nie wicej ni ob = 3%, z prawdopodobiestwem conajmniej 1 = 0,95?Rozdzia9acuchyMarkowa1. Przeprowadzi klasykacj stanw acucha Markowa o nastpujcej macierzy przejcia:a)_________0 1/2 1/2 0 01/2 0 0 1/2 00 0 3/4 1/4 00 0 1/2 1/2 01 0 0 0 0_________b)_________1/3 2/3 0 0 02/3 1/3 0 0 00 0 1/4 0 3/40 0 1/4 1/4 1/20 0 1/2 0 1/2_________c)______1/4 1/4 1/4 1/41/4 1/2 1/4 01/2 1/2 0 01/4 1/4 1/4 1/4______2. Czy acuch Markowa o macierzy przejciaa)____0 0 11 0 00 1 0____b)______0 1/4 0 3/40 1/3 2/3 01 0 0 00 0 1 0______jest okresowy?Rozdzia 9. acuchy Markowa 183. Macierz przejcia ma posta:P =__q p 0q 0 p0 q p__, gdziep +q = 1.Wyznaczy prawdopodobiestwa graniczne.4. Macierz przejcia jednorodnego acucha Markowa ma posta:a)______1/4 1/2 0 1/41/5 0 1/3 7/150 2/3 1/3 01/4 1/4 1/4 1/4______b)______1/3 2/3 0 03/4 1/8 1/8 00 0 1/2 1/20 0 1/3 2/3______poklasykowa stany,sprawdzi czy zachodzi twierdzenie ergodyczne,znale prawdopodobiestwa ergodyczne.5. Rozwamy spacer losowy po okrgu. Zamy, e czsteczka moe si znajdowa w punktach odpowia-dajcym ktom2kn, gdzien jest ustalon liczb naturaln, natomiastk = 0, 1, . . . , n 1. Czsteczkaporuszasi zgodnie z ruchemwskazwekzegaraz prawdopodobiestwemp, przeciwnie doruchuwskazwekzegara- zprawdopodobiestwemq i niezmieniapooeniazprawdopodobiestwemr(p +q +r = 1). Wska macierz przejcia odpowiedniego acucha Markowa.6. Zamy,edwajgracze,powiedzmyAntoniiBolesaw,majkapita,odpowiednio, Ai Bzotych.Powtarzajoni tsamgr(moe, naprzykad, grajwszachy), przyczymprzegrywajcypaciwygrywajcemu zotwk. Gra koczy si wtedy, gdy jednemu z graczy skocz si pienidze. Zamy,e w kadej grze prawdopodobiestwo wygrania przez Antoniego wynosip, za prawdopodobiestwowygrania przez Bolesawa wynosi q. Zakadamy, e p+q 1 i oznaczamy przez r prawdopodobiestworemisu, czyli r = 1pq. Oznaczmy kapita Antoniego po zakoczeniu n-tej gry przez Xn. Zauwamy,eopisanasytuacjajestfaktyczniespaceremlosowym,startujcymwpunkcieAimajcymbarierypochaniajce w punktach 0 orazA+B. Przyjmiemy nastpujce zaoenia:A = 8, B = 5, p = 0,2, q = 0,4,ktre oznaczaj, e Antoni ma wikszy kapita, ale Bolesaw jest lepszym graczem. Wyznaczy macierzPorazrozkadpocztkowy. Obliczyoczekiwanilogotwki Antoniegopojednej grzeorazpodwch, jak prawdopodobnie skoczy si gra?