d ata s tructures
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D ata s tructures. 02.1: r ecursive f unctions. 동의대학교 멀티미디어공학과 이광의 교수. T oday’s t opic. 재귀함수의 예와 동작방법 계승 함수와 그 동작방법 피보나치 함수와 그 동작방법 최소공배수 함수 mathematical induction 수학적 귀납법 계승 함수의 증명 피보나치 함수의 증명 최소공배수 함수의 증명 재귀함수의 활용 징검다리 건너기 당근 캐기 거북이 옮기기. e xamples o f r ecursive f unction. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
DONGEUIUNIVERSITY
Data structures
동의대학교 멀티미디어공학과 이광의 교수
02.1: recursive functions
Today’s topic 재귀함수의 예와 동작방법
► 계승 함수와 그 동작방법► 피보나치 함수와 그 동작방법► 최소공배수 함수
mathematical induction 수학적 귀납법► 계승 함수의 증명► 피보나치 함수의 증명► 최소공배수 함수의 증명
재귀함수의 활용► 징검다리 건너기► 당근 캐기► 거북이 옮기기
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
examples of recursive function 재귀 , 재귀적 구조 그리고 재귀함수란 무엇인가 ?
► recursion 재귀 : ?► recursive structure 재귀적 구조 : 자기 내부에 자기자신과 동일한 구조를
포함하는 구조► recursive function 재귀함수 : 자기자신을 호출하는 함수
재귀함수의 예► factorial function 계승함수► fibonacci sequence 피보나치 수열► greatest common divisor 최대공약수
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examples of recursive function n! factorial 계승 함수의 정의 [wikipedia.org]
► 계승함수는 다음과 같이 정의된다 .
• 1! = 1;• 5! = 1*2*3*4*5 = 120;• 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720;
► 또는 재귀적으로 다음과 같이 정의된다 .
• 0! = 1;• 1! = 1(0!) = 1*1 = 1;• 2! = 2(1!) = 2*1 = 2;• 5! = 5(4!) = 5*4! = 5*4*3! = 5*4*3*2! = 5*4*3*2*1! = 5*4*3*2*1 = 120;
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Nnknn
k
1
!
Nnnn
n
0n if
0n if
)!1(
1!
examples of recursive function 계승함수의 구현
int factorial (int n) { // n>0 int rFac (int n) { // n>0;
int f = 1; if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
for (int i=1; i<=n; i++) { else return n*rFac (n-1);
f = f*i; }
}
return f; void main ( ) {
} cout << rFac(3); // 6 을 출력}
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Nnknn
k
1
! Nnnn
n
1n if
1n if
)!1(
1!
examples of recursive function 계승함수의 구현
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
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examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) {◀ cout << rFac(3);
}
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실행과정
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1;
return 3*rFac(2);
} }
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실행과정
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) {◀ cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1;
return 3*rFac(2);
} }
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실행과정
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1;◀ return 3*rFac(2);
} }
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실행과정
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1;
return 3*rFac(2);◀} }
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실행과정
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) { int rFac(2) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1; if (2==1) return 1;
return 3*rFac(2);◀ return 2*rFac(1);
} } }
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실행과정
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) { int rFac(2) {◀ cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1; if (2==1) return 1;
return 3*rFac(2);◀ return 2*rFac(1);
} } }
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실행과정
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) { int rFac(2) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1; if (2==1) return 1;◀ return 3*rFac(2);◀ return 2*rFac(1);
} } }
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실행과정
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) { int rFac(2) { int rFac(1) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1; if (2==1) return 1; if (1==1) re-turn 1;
return 3*rFac(2);◀ return 2*rFac(1);◀ return 1*rFac(0);
} } } }
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실행과정
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) { int rFac(2) { int rFac(1) {◀ cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1; if (2==1) return 1; if (1==1) re-
turn 1;
return 3*rFac(2);◀ return 2*rFac(1);◀ return 1*rFac(0);
} } } }
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실행과정
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) { int rFac(2) { int rFac(1) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1; if (2==1) return 1; if (1==1) return 1;◀
return 3*rFac(2);◀ return 2*rFac(1);◀ return 1*rFac(0);
} } } }
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실행과정
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) { int rFac(2) { int rFac(1) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1; if (2==1) return 1; if (1==1) return 1;◀
return 3*rFac(2);◀ return 2*rFac(1);◀ return 1*rFac(0);
} } } }
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실행과정
1
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) { int rFac(2) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1; if (2==1) return 1;
return 3*rFac(2);◀ return 2*rFac(1);◀} } }
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실행과정
1
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) { int rFac(2) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1; if (2==1) return 1;
return 3*rFac(2);◀ return 2*rFac(1);◀} } }
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실행과정
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examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1;
return 3*rFac(2);◀} }
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
실행과정
2
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1;
return 3*rFac(2);◀} }
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
실행과정
26
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) {
cout << rFac(3);◀
}
6 이 출력됨
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실행과정
6
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) {
cout << rFac(3);
}◀6 이 출력됨프로그램 종료됨
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실행과정
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) {◀ cout << rFac(3);
}
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
실행과정
main ()
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1;
return 3*rFac(2);
} }
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실행과정
main ()
rFac()
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) {◀ cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1;
return 3*rFac(2);
} }
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실행과정
main ()
rFac()
N=3
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1;◀ return 3*rFac(2);
} }
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
실행과정
main ()
rFac()
N=3
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1;
return 3*rFac(2);◀} }
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실행과정
main ()
rFac()
N=3
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) { int rFac(2) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1; if (2==1) return 1;
return 3*rFac(2);◀ return 2*rFac(1);
} } }
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실행과정
main ()
rFac()
rFac ()
N=3
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) { int rFac(2) {◀ cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1; if (2==1) return 1;
return 3*rFac(2);◀ return 2*rFac(1);
} } }
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실행과정
main ()
rFac()
rFac ()
N=3
N=2
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) { int rFac(2) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1; if (2==1) return 1;◀ return 3*rFac(2);◀ return 2*rFac(1);
} } }
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
실행과정
main ()
rFac()
rFac ()
N=3
N=2
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) { int rFac(2) { int rFac(1) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1; if (2==1) return 1; if (1==1) re-turn 1;
return 3*rFac(2);◀ return 2*rFac(1);◀ return 1*rFac(0);
} } } }
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실행과정
main ()
rFac()
rFac ()
N=3
N=2
rFac ()
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) { int rFac(2) { int rFac(1) {◀ cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1; if (2==1) return 1; if (1==1) re-
turn 1;
return 3*rFac(2);◀ return 2*rFac(1);◀ return 1*rFac(0);
} } } }
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실행과정
main ()
rFac()
rFac ()
rFac ()
N=3
N=2
N=1
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) { int rFac(2) { int rFac(1) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1; if (2==1) return 1; if (1==1) return 1;◀
return 3*rFac(2);◀ return 2*rFac(1);◀ return 1*rFac(0);
} } } }
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실행과정
main ()
rFac()
rFac ()
rFac ()
N=3
N=2
N=1
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) { int rFac(2) { int rFac(1) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1; if (2==1) return 1; if (1==1) return 1;◀
return 3*rFac(2);◀ return 2*rFac(1);◀ return 1*rFac(0);
} } } }
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실행과정
1
main ()
rFac()
rFac ()
rFac ()
N=3
N=2
N=11
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) { int rFac(2) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1; if (2==1) return 1;
return 3*rFac(2);◀ return 2*rFac(1);◀} } }
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
실행과정
1
main ()
rFac()
rFac ()
N=3
N=2
1
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) { int rFac(2) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1; if (2==1) return 1;
return 3*rFac(2);◀ return 2*rFac(1);◀} } }
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
실행과정
12
main ()
rFac()
rFac ()
N=3
N=22
1
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1;
return 3*rFac(2);◀} }
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
실행과정
2
main ()
rFac()
N=3
2
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) { int rFac(3) {
cout << rFac(3);◀ if (3==1) return 1;
return 3*rFac(2);◀} }
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
실행과정
26
main ()
rFac()
N=36
2
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) {
cout << rFac(3);◀
}
// 6 이 출력됨
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
실행과정
6
main ()
6
examples of recursive function 계승함수의 동작
int rFac (int n) { // n>0;
if (n==1) return 1; // if (n==0) return 1;
else return n*rFac (n-1);
}
void main ( ) {
cout << rFac(3); // 6 을 출력}
void main ( ) {
cout << rFac(3);
}◀// 6 이 출력됨// 프로그램 종료됨
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
실행과정
main ()
examples of recursive function Fibonacci number 피보나치수의 정의
► In mathematics, the Fibonacci numbers are the following sequence of numbers:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …• By definition, the first two Fibonacci numbers are 0 and 1,
and each remaining number is the sum of the previous two.• Some sources omit the initial 0,
instead beginning the sequence with two 1s.
► In mathematical terms, the sequence Fn of Fibonacci numbers is de-fined by the recurrence relation
with seed values:
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21 nnn FFF
1Fand0 10 F
examples of recursive function 피보나치 수를 계산하는 피보나치 함수의 구현
int fibonaaci (int n) { int rF(int n) { // assume that n>=0
int fibo[n+1]; if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) re-turn n;
fibo[0] = 0; else return rF(n-1)+rF(n-2);
fibo[1] = 1; }
for (int i=2; i<=n; i++) {
fibo[i] = fibo[i-1]+fibo[i-2]; void main ( ) {
} cout << rF(4);
return fibo[n]; }
}
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21 nnn FFF
1and0 10 FF 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
examples of recursive function 피보나치 함수의 동작
int rF(int n) { // assume that n>=0
if (n<2) return n;
return rF(n-1)+rF(n-2);
}
void main ( ) {
cout << rF(0);
}
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
main ()
rF(0)
0 0
examples of recursive function 피보나치 함수의 동작
int rF(int n) { // assume that n>=0
if (n<2) return n;
return rF(n-1)+rF(n-2);
}
void main ( ) {
cout << rF(1);
}
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
main ()
rF(1)
1 1
examples of recursive function 피보나치 함수의 동작
int rF(int n) { // assume that n>=0
if (n<2) return n;
return rF(n-1)+rF(n-2);
}
void main ( ) {
cout << rF(2);
}
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
main ()
rF(2)
rF(1)
rF(0)
1 0
1 0
2 1
examples of recursive function 피보나치 함수의 동작
int rF(int n) { // assume that n>=0
if (n<2) return n;
return rF(n-1)+rF(n-2);
}
void main ( ) {
cout << rF(3);
}
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
main ()
rF(3)
rF(2)
rF(1)
rF(0)
rF(1)
2 1
1 0
1 0
1 1
3 2
examples of recursive function 피보나치 함수의 동작
int rF(int n) { // assume that n>=0
if (n<2) return n;
return rF(n-1)+rF(n-2);
}
void main ( ) {
cout << rF(4);
}
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
main ()
rF(4)
rF(3)
rF(2)
rF(1)
rF(2)
rF(0)
rF(1)
rF(0)
rF(1)
3 2
2 1 1 0
1 0
1 0
1 1
2 1
4 3
1 0
examples of recursive function 피보나치 함수의 동작
int rF(int n) { // assume that n>=0
if (n<2) return n;
return rF(n-1)+rF(n-2);
}
void main ( ) {
cout << rF(4);
}
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
main ()
rF(6)
rF(5)
rF(4)
rF(3)
rF(4)
rF(2)
rF(3)
5 4
4 3 3 2
3 2
5 3
6 8
2 1
examples of recursive function greatest common divisor 최대공약수의 정의 [wiki]
► In mathematics, the greatest common divisor (GCD), also known as the greatest common factor (GCF) or highest common factor (HCF), of two or more non-zero integers, is the largest positive integer that divides the numbers without a remainder.
GCD 를 구하는 방법 : Euclidian method 유클리드 호제법► a 가 b 보다 큰 경우 a 와 b 의 최대공약수는 다음과 같다 .
► GCD 최대공약수의 계산 예• GCD(3,0) = 3• GCD(9,3) = GCD(3,0) = 3• GCD(24, 10) = GCD(10, 4) = GCD(4,2) = GCD(2,0) = 2• GCD(3,9) = GCD(9, 3) = GCD(3,0) = 3
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
otherwise
bif
babGCD
abaGCD
)0(
)mod,(),(
examples of recursive function 최대공약수를 구하는 GCD 함수의 구현
► a 가 b 보다 큰 경우 a 와 b 의 최대공약수는 다음과 같다 .
int gcd (int a, int b) { int gcd (int a, int b) {
while (b!=0) { if (b==0) return a;
int tmp = a; return gcd(b, a%b);
a = b }
b = tmp%b;
} void main ( ) {
return a; cout << gcd(3,9);
} }
위의 재귀함수 GCD() 가 정말 잘 동작하는가 ???
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
otherwise
bif
babGCD
abaGCD
)0(
)mod,(),(
summaries 재귀함수의 예와 동작방법
► 계승 함수와 그 동작방법► 피보나치 함수와 그 동작방법► 최소공배수 함수
Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.
You are the one
Who makes that happen!!!