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TECHNISCHE MECHANIK. Band 17. Haul (1997), 4149
Manuskripmingang' ()5 September 1996
Rechnerische Ermittlung des bezogenen Spannungsgefälles für
homogene prismatische Stäbe mit Vollquerschnitt bei Torsion
E. Bazant
Dauerfestigkeitsuntersuchungen sind bekanntlich sehr aufwendig und teueri Zur Untersuchung von
Kerbprablemen sind deshalb neben Dauerfestigkeitsversuchen unbedingt analytische, numerische 0. a:
Methoden anzuwenden, damit eine möglichst umfassende Lösung mit geringem Aufwand erreicht wird. Die
vorliegende Arbeit zeigt eine Methode zur Ermittlung des bezogenen Spannungsgefälles für homogene
prismatische Stäbe mit Vollquerschnitt. Durch deren Anwendung kann man die Kerbwirkungszahl für viele
technisch wichtige Wellenprofile berechnen.
1 Berechnungsgrundlagen
Nach Siebel und Stieler (1955) kann man die Kerbwirkungszahl aus der Formzahl und dem bezogenen
Spannungsgefälle mit den Grundlagen der Elastizitätstheorie berechnen (TGL 19340, 1984; Göldnen 1978;
Sähn, 1989). In der bisherigen Literatur sind jedoch fast keine Angaben für die Formzahl und das bezogene
Spannungsgefälle für technisch häufig verwendete Profile bei Torsion zu finden. ln den Beiträgen von Bazant
(1989, 19913, 1991b) werden Lösungswege und Berechnungsbeispiele zur Bestimmung des
Torsionsträgheitsmoments, der Spannungskonzentration am Profilrand und der Formzahl bei Torsion
dargelegt.
Die Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles für Torsion erfolgt in diesem Aufsatz durch die Anwendung
der konformen Abbildung und der Elastizitätstheorie. Das Problem kann als gelöst betrachtet werden, wenn es
gelingt‘ das vorgegebene Profil (einfach zusammenhängendes Gebiet) auf den Kreis abzubilden.
Das bezogene Spannungsgefälle für Torsion wird mit der Funktion
(d1)ö Z M (1)
Imax
berechnet. Für die V011we11e(nach Bild 1) wird beispielsweise
y A
U
B
N
X
v
Bild 1.V011welle
I : G19 r
[I
l— : 019
dI'
I 2 G Ü a und damit111.1X
41
Hierbei sind
G = Schubmodul in N/mm2
1‘) : Verdrehwinkel je Längeneinheit.
Für die konforme Abbildungsfunktion eines Wellenprofiles mit Vollwandquerschnill (z. B. einer Keilwelle)
kann man folgenden Ansatz machen:
z:x+i_y:(1)(C)
R §+ Ä'l (II/HI + Ä'2 €2,141 + + Ä'n gin/H»!
p+l 2p+l np+l
N
II
0 s M s l (2)
C z eu+1v
p — Symmetriefaktor (mitp = l, 2, 3,
C —Ebene z-Ebene
u _ y“
n Q
K U
Q-
u : -
Bx Q:(\I 7
x (\l
J
Bild 2. Schematische Darstellung zur konformen Abbildung
42
Aus Gleichung (2) wird
‚r : R e“ eosv + Ltd/M)“ cos +1 v + Lea/7H)" COS 2p+1 v
p+l p 2p+1
+ + JiTeWM)“ cos(np+1)v]
np+
u - A-1 (p+l)u - 7V2 (2p+1)u t
y = R e smv + ———e Sin(p+l)v + ——e sm(2p+l)v (3)
p+1 2p+1
+ + —Ä”—e(’l”+l)" sin(n.p+l)v
np+1
Setzt man u = 0 ‚ so entsteht die Profilrandkurve in Parameterdarstellung
xR = R[c05v + Ä‘ cos(p+1)v + Ä: cos (2p+1)v + + M} cos(np+l)v:l
p+l 2p+l np+
yR :R sinv + A] sin (p+1)v + M sin (2p+1)v + + Ä" sin(np+l)v (4)
p+1 2p+1 np+l
und
e=e+n
Für Stäbe mit einfach zusammenhängendem Querschnitt muß die Spannungsfunktion q) die Dgl.
Am: —2GÜ (S
und ferner die Randbedingung
Oma = 0 (Ö)
erfüllen (Goldner, 1978; Goldner, 1979; Filonenko, 1967), Bei krummlinigen Koordinaten und
zweidimensionalen Problemen ist der Laplace—Operator (Goldner, 1985; Vocke, 1969; Neuber, 1958)
l h l1
A¢=‘— 4 +'itÜ
‘ maflmmk {Ami} i
mit den Verzerrungsfaktoren
(8)
Durch die Anwendung der konformen Abbildung entsteht ein orthogonales Koordinatensystem. und es ergeben
sich folgende Vereinfachungen
/z:h 2h(9)
Ll \'
und
M = —2-[a>.„„ + «1211]: —2Gö <10)
Für dieses Koordinatensystem ist
läälwF; : ___ (1.1)
Tmax
Das bezogene Spannungsgefälle wird für die maximale Spannung ermittelt Sie liegt am Profilrand. Am
Profilrand ist die Radialspannung Null.
(Tu)Rand = m”) = 0 (11)
Rand
Aus Gleichung (10) wird
(AMRand = —ZGÜ = 52 (12)
Mit
4)“tv h I ( )
und
EI : 2‘: (14)
Br Bu 8r
wird
g} = 7117D: m, — m 11.,] <15)
1
— : ‘1;[_¢,uu + I“ h'“]
p = _ (l6)
ermitteln (Vocke. 1969; Neuben 1958). Ferner ist nach Wunsch (1973)
8r
—:h 17
au ()
und nach Bazant (19913)
(mm = GGRE‘, (18)
44
Somit wird aus Gleichung (l4)
ä = “(111214 + Tr‘zh‘u z +
Br [1‘ h
und
— l
G : 2_ + — [l/mm]
Rau p
Unter Berücksichtigung der Mikrostützwirkung und mit
R=i
K2
wird schließlich das bezogene Spannungsgefälle bei Torsion
s Faktor zur Berücksichtigung der Beanspruchungsarten und Festigkeitshypothesen (Neuber, 1968)
— 2 K 1
G = _2 + — [l/mm]
a av pl
Es bedeuten:
pi = p + sp*
pl fiktiver Krümmungsradius
p Kn’immungsradius
p‘ Ersatzstrukturlänge
2 Berechnungsbeispiele
Beispiel 1
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
Berechnung der Kerbwirkungszahl BK aus der Formzahl 01K und dem bezogenen Spannungsgefälle 5 für
eine Keilwelle mit 8 Keilen bei Torsion und folgenden speziellen Werten:
2a = 60 mm z Außendurchmesser
pl = 0.27 mm
IP = 420 N/mmZ
E z 2,6 : bezogene max. Randspannung
K1 : (—1 —-
‘ R
KR z 0.954
45
nach Bazant (1991a) und Bazant(l99lb)
Mit Gleichung (22) wird
ö:—+l: ‘ +—1—~:3,73 l/mm
aa p, 302,6 0,27
Nach TGL 19340 (1984) ergeben ö = 3,73 l/mm und rF : 420 N/mm2 die Stützziffer n = 1,24.
Nach Bazant (1991a) und Bazant (l99lb) wird die — auf den Außendurchmesser bezogene — Formzahl
3 _
cur = ä —I’"R = (3) a“ = 1,1-‘~—2’6 = 3.63R KR 0,954
und hiermit die Kerbwirkungszahl nach Siebel und Stieler (1955)
[5X 2 9i z L63 = 2,92n 1.24
Hierbei sind:
Beispiel 2
Bild 3. Welle mit Kreiskerbe
Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles für eine Welle mit Kreiskerbe nach Bild 3. Die
Spannungsfunktion q; für das dargestellte Profil kann man in Polarkoordinaten angeben (GÖldner, 1978).
¢ = (NEV)
2 2
= GÖ[L ~ arcosv] — I] (24)
2 r“
2 2
Q) 2 GÖ|:P—— — r— — lapzcosv + arcosv]
2 2 r
Die Spannungskomponenten sind
d7I“ : —~fl : 41)., : G 1‘)? — a cosv e lj up” c0512] (25)
SrI'“
und
l a (DieI, : _ i) : _.(26)
r 81' r
46
Am Profilrand ist die Radialspannung Null, Tr = O. und es gilt
ä z —¢,,, = —Gfi(1 + hymn) (27)9r r
Das bezogene Spannungsgefälle Ö— wird für die Stelle der maximalen Spannung berechnet. Diese liegt bei
v = 0 und r = p . Mit Gleichung (1.1) wird
at 1 2
- a7 2;“
1'lmax
a
1 27 + V
5 z 3—9; I (29)
2 a
a
und für & << 1 ist
a
ö = ~1— + i (29.1)
2a pl
Zahlenbeispiel
Gegeben: a = 20 mm, pl : 1mm
Gesucht: c7 nach den Gleichungen (29), (291 1) und (22).
1 2 1 27 + 4„ + 7
c7 = a 91 — 20 1‘ =1.051 l/mm (29)
2 _ EI, 2 _ M
a 20
— l 1 l 1
G = — + — : + — : 1.025 l/mm (29.1)
2a p1 2-20 1
Die Berechnung nach Gleichung (22) erfolgt mit K2 : 1,005 und a“ 2 — Ei.Es wird
a
— 2 - K, 1 2 « 1,005 1
G: _-+—=—-——+~=1,051 (22)
a - 01‘. pl ‚0(„_ l”) 1
h “ 20
3 Berechnungsergebnisse
Das bezogene Spannungsgefälle ö nach Gleichung (22) gilt für homogene prismatische Stäbe mit
Vollquerschnitt und linear elastischem Material bei Torsion. Damit gilt diese Gleichung auch für folgende
häufig verwendete Antriebselemente:
47
- Wellen mit Paßfedernuten und Keilnuien.
— Keilwellen.
— Kerbzahnwellen.
» Zahnwellenprofilc,
A Polygonwellen usw.
Diese Funktion berücksichtigt den Einfluß der Mikrostützwirkung und damit den kerbspannungsmäßig
bedeutsamen Bereich der Spit/‚kerben.
— l . .. . . . i i
Die Haupteinflußgröße für G ist —. also der Wirksame kritische Kerbradius. Das Beispiel l zeigt die
Pi
Berechnung der Kerbwirkungszahl für eine Keilwelle und das Beispiel 2 die Bestimmung des bezogenen
Spannungsgefälles für die Welle mit Kreiskerbe. Hierbei ergibt das Zahlenbeispiel übereinstimmende
Ergebnisse für die Gleichungen (22) und (29).
4 Zusammenfassung
Nach Siebel und Stiebler (1955) genügen zur Berechnung der Kerbwirkungszahl das bezogene
Spannungsgefälle. die Formzahl und die Stützziffer.
Die vorliegende Arbeit zeigt die Bestimmung des bezogenen Spannungsgefälles.
Durch die zusätzliche Anwendung der Beitrage Banant (1991:1) und Bazant (1991b) kann man die Formzahl
und das Torsionsträgheitsmomeni und damit auch die Kerbwirkungszahl für viele gekerbte Wellen mit
Vollquerschnitt bei Torsion berechnen. Diese Berechnung erfolgt durch die Anwendung der konformen
Abbildung und der Elastizitatstheorie. Das Problem kann als gelöst betrachtet werden. wenn es gelingt. das
vorgegebene Profil (einfach zusammenhängendes Gebiet) auf den Kreis abzubilden.
Mit diesen theoretischen Grundlagen kann man ~ in Verbindung mit Experimenten - für den Konstrukteur
wertvolle neue Berechnungsunterlagen und Avorschriften schaffen.
Literatur
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Berlin. 2. (1989).
[J
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bautechnik. Berlin. o. (l99la).
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mit Vollquersehnitt. unveröffentlieht. (l991b).
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Goldner. H: Arbeitsbuch Höhere Festigkeitslehre. Leip/ig. VEB Faehbuchverlag. (1978).
’Ji
(i, Goldner. H.; Lehrbuch Hohere Festigkeitslehre. Band l, Leipzig. VEB Fachbuehverlag. t 1979).
7. Goldner. H: Lehrbuch Höhere Festigkeitslehre. Band 2. Leipzig. VEB Fachbuehverlag. (1985),
48
Göldner. H.; Holzweißig. F.: Leitfaden der Technischen Mechanik. Leipzig. VEB Fachbuchverlag,
(1978),
Neuber. H: Kerbspannungslehre. Springer Verlag. (1958).
Neuber. H.: Über die Berücksichtigung der Spannungskonzentration bei Festigkeitsproblemen. Konstruk—
tion, Berlin, 1. (1968).
Sähn. 5.; Göldner. H.: Bruch- und Beurteilungskriterien in der Festigkeitslehre. Leipzig,
VEB Fachbuchverlag, (1989).
Siebel. E.: Stieler. M.: Ungleicht‘örmige Spannungsverteilung bei schwingender Belastung.
VDI-Zeitschrift 97 (1955). SA 127.
TGL 19340: Dauerfestigkeit der Maschinenbauteile. Ausgabe (1984).
Vocke. W.: Räumliche Probleme der linearen Elastizität. Leipzig, VEB Fachbuchverlag, (1969).
Wunsch, G.: Feldtheorie. Band 1. Berlin, VEB Verlag Technik. (1973).
Adresse: Dipl-Ing. E. Bazant. Kornstraße l4. D—39387 Oschersleben/Bode
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