Phương pháp 4: Tích phân phụGiả sử ta phải tính tích phân I.Ta đưa vào tích phân phụ J sao cho việc tính I + J thực hiện được dễ dàng.

Tính I + J và I - J Nếu I + J = a và I – J = b thì I = (a + b)

Ví dụ Tính các tích phân sau :

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11)

Một số phương pháp giải quyết những tích phân đặc biệt:

1) Nếu f(x) là hàm số lẻ thì = 0.

Cách tính loại tích phân này bằng cách đổi biến x = -t.2) Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a; b] và f(a + b – x) = f(x) thì

(thường gặp: )

Cách tính loại tích phân này là đổi biến t = a + b – x (dạng thường gặp t = )3) Cho a > 0, f là hàm số chẵn liên tục và xác định trên R thì :

. Cách tính loại tích phân này là: đổi biến x = -t

Chú ý: Vì f là hàm số chẵn nên . Cách chứng minh điều này

như sau: rồi tính bằng cách đặt x = -t

Bài tập : Tính các tích phân sau :

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

8) 9)

10) 11)

12) 13)

14) 15)

16) 17)

18) 19)

21) 22)

23) 22)

25) 26)

27) 28)

29)

30) 31)

32)

33) 34)

36)

37) 38)

39)

40) 41)

42) 43) 44)

45)

46) 47)

48)

49) 50)

51)

52) 53)

54)

55. 56.

57. 58. 59.

60.