dados de deus - apostila teoria dos números (parte i)

Teoria dos Nmeros (parte I)IME/ITA4/14/2011 http://dadosdedeus.blogspot.com Marcos Valle (IME)

2 Dados de Deus Teoria dos Nmeros

God does arithmetic.C. F. Gauss


SUMRIO

1

INTRODUO...................................................................................................04 1.1 PRINCPIOS E TEOREMAS PRELIMINARES............................................05

2

DIVISIBILIDADE E PRIMOS...................................................................062.1 2.2 2.3 CONCEITOS BSICOS.........................................................................14 PRIMOS.................................................................................................19 MDC E MMC.........................................................................................23

3

QUESTES DIFERENTES...............................................................................24

4

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS..................................................................26


1 INTRODUOA teoria dos nmeros um dois mais antigos e importantes ramos da Matemtica. Seu estudo versa basicamente sobre os nmeros inteiros, mas as ferramentas utilizadas para tal vo desde simples operaes aritmticas, como divises, at clculo avanado e aplicaes computacionais. Tendo em vista o escasso tempo dos estudantes IME/ITA, buscamos acelerar o ritmo da apostila, priorizando assuntos mais importantes e descartando os muito elementares ou muito sofisticados.Tentamos explicar da forma mais clara possvel cada exemplo (h muitos deles) e demonstrar a maior parte dos teoremas, para que o aluno entenda os mtodos de resoluo e aplique-os nos exerccios de cada seo. As questes foram tiradas em sua maioria de livros clssicos utilizados pela banca do IME na confeco de suas provas, olimpadas e das prprias provas. Ao fim de cada seo h exerccios selecionados, mas no espere resolver todos. Nas prximas apostilas entraremos em outros tpicos importantssimos, como congruncias, que ajudam em muitas questes. Quaisquer dvidas, sugestes, crticas etc, envie-nos um e-mail para [email protected]

BONS ESTUDOS!


1.1PRINCPIOS E TEOREMAS PRELIMINARES

Antes de iniciarmos nosso estudo sobre a teoria dos nmeros propriamente dita, faremos uma rpida reviso (omitiremos demonstraes e exemplos) sobre alguns conceitos e teoremas algbricos que sero utilizados ao longo das apostilas. Vejamos alguns:

(a) Princpio da Boa Ordenao: Todo conjunto no vazio de inteiros no negativos possui um menor elemento; ou seja, existe algum inteiro em tal que para todo pertencente a .

(b) Propriedade Arquimediana: Se e ento existe um inteiro positivo tal que

so quaisquer inteiros positivos, .

(c) Princpio da Induo Finita (PIF): Seja com as seguintes propriedades (i) (ii) Toda vez que o inteiro est em . Ento

um conjunto de inteiros positivos

est em , ento o prximo inteiro

tambm

o conjunto de todos os inteiros positivos.

(d) Teorema Binomial (Newton): Seja

um inteiro e

. Ento

(e) Princpio das Casas dos Pombos (Dirichlet): Se pombos voam at casas, dever existir ao menos uma casa que tenha dois ou mais pombos.


2 DIVISIBILIDADE E PRIMOS 2.1 CONCEITOS BSICOSDefinio 2.1.1 Dizemos que um inteiro no nulo divisvel por se e somente se para algum inteiro . Neste caso, dizemos que mltiplo de e divisor de Em outras palavras, . Se no divide , escrevemos .

Corolrio 2.1.1 Corolrio 2.1.2

Apresentaremos agora alguns resultados diretos da definio acima que sero fundamentais para o resto das apostilas. Tente demonstr-los!

Proposio 2.1.1 Sejam , (a) x | x (reflexividade); (b) x | y e y | z (c) x | y e y 0

e

inteiros. Ento:

x | z (transitividade); |x| |y|; x | (y + z) x | z; ;

(d) x | y e x | z

(e) x | y e x | (y z) (f) x | y e y | x (g) x | y e y 0 (h) para z 0, x | y

|x| = |y|; ; xz | yz.

Para aquecer os neurnios, vamos propor alguns desafios clssicos envolvendo os conceitos j mencionados.

Exemplo 2.1.1 Sejam e inteiros. Prove que somente se divisvel por 17.

divisvel por 17 se e


Soluo: IDA: VOLTA:

Exemplo 2.1.2 Encontre todos os inteiros positivos para algum inteiro . Soluo: Se e

tal que

divide

e

, ento , . Logo,

. Logo, ento

, o que implica

e

ou

.

Exemplo 2.1.3 (IMO shortlist - 1984) Suponha que distintos tais que a equao

so inteiros

possua uma soluo inteira . Mostre que . Soluo: fcil perceber que Logo: . com igualdade se e somente se . Logo: e os . . so inteiros distintos.

,

E:


Exemplo 2.1.4 (Putnam Mathematical Competition - 1966) Sejam inteiros. Prove que se pode escolher deles ou nenhum que divida qualquer outro, ou deles tal que cada um divida o seguinte. Soluo: Para cada , , seja o comprimento da maior sequncia comeando com e cada termo dividindo seu successor, entre os inteiros . Se algum for maior que , est provado. Caso contrrio, pelo Princcio da Casa dos Pombos, existem pelo menos valores de , que so iguais. Assim, os inteiros correspondentes a esses no podem dividir um ao outro.

Definio 2.1.2 Um inteiro dito par se para algum inteiro k. Um inteiro dito mpar se e somente se no par, i.e. para algum k inteiro.

De fato, h algumas consequncias imediatas da definio 2.2 que devem ser conhecidas por todos (prove-as!).

Proposio 2.1.2 Considere o conjunto dos inteiros. Ento: (a) a soma de dois mpares par; (b) a soma de dois pares par; (c) a soma de um mpar com um par mpar; (d) o produto de dois mpares mpar; (e) o produto de inteiros par se e somente se pelo menos um dos fatores par;

Exemplo 2.1.5 Seja um inteiro par. possvel escrever 1 como a soma dos recprocos de inteiros mpares, com par? E se for mpar? Soluo: Suponhamos que: , em que . . . so mpares. Multiplicando ambos os membros por , obtemos:


.

.

.

,

em que so produtos de mpares e portanto mpares. Mas se o 1 membro mpar e o segundo par (pois a soma de um nmero par de mpares), chegamos a um absurdo. Se mpar, considere:

Exemplo 2.1.6 Demonstre que se

um inteiro positivo mpar, ento (I)

divisvel por

Soluo: Sabemos que:

Tome

. Desenvolvendo, obtemos:

Assim, Fazendo em

. , se mpar temos que:

Voltando agora ao enunciado da questo, note que

Dividamos em dois casos, se

mpar, ou par. Se

mpar,

. Mas por

,

divide cada uma das expresses:


Reagrupando novamente:

Vemos que cada expresso acima mltipla de

. Como

e .

no

possuem fatores em comum, conclumos que a soma divisvel por

Definio 2.1.3 Um inteiro dito quadrado perfeito se para algum inteiro. Analogamente, definimos cubos perfeitos e n-simas potncias perfeitas.

Exemplo 2.1.7 Em um hotel h 100 portas fechadas enumeradas sequencialmente. Um hspede entediado resolve ento abrir todas as portas de nmero par. Depois, volta fechando as mltiplas de 3 e, aps isso, vai abrindo as mltiplas de 4 e assim em diante, at 100. Se alguma porta estiver fechada, ele abre e se estiver aberta, ele fecha. Quantas portas restaro abertas quando hspede acabar seu processo? Soluo: Note que a i-sima porta ser mexida pelo hspede na j-sima passada se e somente se . Mas se , ento . Portanto, as portas de nmero quadrado perfeito ( ) sero operadas um nmero mpar de vezes, ou seja, ficaro abertas no final. Logo, a resposta buscada 10.

Exemplo 2.1.8 Demonstre que o quadrado de todo inteiro da forma forma . Logo, demonstre que nenhum inteiro da sequncia 11,111,1111,11111, . . . quadrado perfeito.

ou da

Soluo: Seja um inteiro par, digamos . Seu quadrado ento . Seja agora um inteiro par, digamos . Seu quadrado ento . Note agora que, para : . Portanto, nenhum nmero da sequencia da forma quadrado perfeito. ou nem


Exemplo 2.1.9 (IME-2004) Demonstre que o nmero quadrado perfeito. Soluo: Note que: ... . Lembrando da frmula da soma da P.G. finita: ...

...

um

.

. Logo: ...

. .

Teorema 2.1.1 (Euclides) Para quaisquer (divisor) e (resto) tais que e

e . e

, existem nicos inteiros

Prova: Primeiro vamos provar a existncia de 1-) Existncia

e depois suas unicidades.

Seja . fcil perceber que S no nulo, pois para , . Como tambm um conjunto de inteiros no-negativos, pelo Princpio da Boa Ordenao, existe um menor elemento . Se para um dado , , ento , mas ento , que menor que , pertence a , contradizendo a minimalidade de r. Logo, . 2-) Unicidade Sejam tais que e (I) Como . com . Logo


Mas de (I) temos que acabamos de provar que .

e portanto ou , logo pela tricotomia temos que

. Mas

Exemplo 2.1.9 Seja mas no por 4.

um inteiro positivo. Prove que

divisvel por 2

Soluo: Note que mpar e portanto . Abrindo pela expanso binomial: +

par. Note ainda que

+ ... + 1

Assim,

deixa resto 1 na diviso por 4 e

deixa resto 2.

Proposio 2.1.3 Se N um inteiro produto de k fatores consecutivos, ento N divisvel por todos os inteiros menores ou iguais a k. Prova: Seja .

Pelo Teorema 2.2.1, existem restos possveis na diviso de por . Assim, h restos possveis na diviso de por , mas como possui pelo menos fatores consecutivos, pelo menos um deles deixa resto 0. Da mesma forma, podemos concluir que como h pelo menos um deixa resto 0 na diviso de por processo at 1, provamos a proposio. fatores consecutivos, . Repetindo esse

Exemplo 2.1.10 Prove que, para todo Soluo:

natural,

.

Pela proposio 2.1.3, divisvel por 2 e 3, logo por 6. Resta provarmos que tambm divisvel por 5. De fato, pode deixar 0, 1, 2, 3 ou 4 como restos na diviso por 5. Se deixar 0, 1 ou 4, a divisibilidade evidente. Se :


Se

:

Assim,

divisvel por 6 e 5, logo por 30.

Uma questo semelhante a essa caiu no IME em 2001. Na apostila de congruncias resolveremos novamente, utilizando outra ferramenta.

Exerccios (Sec. 2.1) 2.1.1) Sejam e nmeros naturais tais que

inteiro. Prove que A mpar. 2.1.2) Sejam e nmeros naturais e seja divisvel por 24. divisvel por 24. Mostre que

2.1.3) (IME - 2000) Considere quatro nmeros inteiros , , produto:

e . Prove que o

divisvel por 12. 2.1.4) Sejam Prove que e . inteiros positivos tais que , , , , ....

2.1.5) Demonstre que sempre divisvel por 6 e que sempre divisvel por 120 para todo inteiro . 2.1.6) Seja um inteiro positivo. Mostre que o produto de consecutivos divisvel por n! 2.1.7) Seja um inteiro mpar. Prove que tal que no divide .

inteiros

2.1.8) Encontre o maior inteiro positivos menores que .

divisvel por todos os inteiros

2.1.9) Seja um inteiro positivo. Mostre que o produto de consecutivos divisvel por .

inteiros


2.1.10) (IMO - 1992) Encontrar todos os inteiros , , que divisor de . (Dica: Mostrar primeiro que 2.1.11) (IMO - 1988) Se demonstre que 2.1.12) Sejam e

com

tais

e considerar os possveis casos. so inteiros positivos para os quais inteiro,

um quadrado perfeito. inteiros positivos tais que divide . Mostre que

2.1.13) Seja que

um inteiro positivo tal que o quadrado de um inteiro.

um inteiro. Mostre

2.1.14) (IME - 1981) Mostre que o nmero perfeito

um quadrado

2.1.15) Prove que o produto de quatro inteiros consecutivos no nulos nunca um quadrado perfeito. 2.1.16) Um conjunto de bolas consiste em 1000 bolas de 10 gramas e 1000 bolas de 9,9 gramas. Desejamos retirar dois subconjuntos de bolas com mesmo nmero de bolas mas com pesos totais diferentes. Qual o menor nmero de pesagens para isso? (A escala da balana d o peso dos objetos no brao esquerdo menos o peso dos objetos no brao direito.) 2.1.17) Determine todos os inteiros tais que

um inteiro.

2.2 Primos

Definio 2.2.1 Um inteiro dito primo se no existe inteiro tal que . Se no primo, dizemos que ele composto.

e

Corolrio 2.2.1 Todo inteiro

possui pelo menos um divisor primo.


Prova: Se primo, ento e est provado. Se n composto, ento seja seu menor divisor. Temos ento . Se a no for primo, ento e , contradizendo a minimalidade de .

Corolrio 2.2.2 (Eratstenes) Se divisor primo menor ou igual a .

um nmero composto, ento possui um

Prova: Assim como na demonstrao anterior, menor divisor de . Assim, .

e

o

Exemplo 2.2.1 Encontre todos os inteiros positivos so todos nmeros primos.

tais que

,

e

Soluo: Note primeiramente que . Como a soma dos 3 nmeros par, ao menos 1 deles deve ser par, mas como 2 o nico par primo, pelo menos um dos nmeros deve ser igual a 2. no pode ser par (por que?), portanto temos

Ou

Para Para

,

, no primo

, temos os nmeros 2, 3 e 7. um inteiro e um

Teorema 2.2.1 (Pequeno Teorema de Fermat) Seja nmero primo, ento .

Prova: Apresentaremos uma prova via induo1, mas na parte II veremos uma demonstrao por congruncias mais elegante e intuitiva. Para , temos . Logo, e provemos para . . Temos ento

Suponhamos por hiptese,

1

Na prova do IME de 1972 (lgebra) pedia-se para demonstrar esse teorema por induo.


Como da hiptese

e

, ento

.

Crivo de Eratstenes Erasttenes pensou em um mtodo simples e elegante para determinarmos os nmeros primos at certo inteiro . Escrevemos todos sequencialmente Depois cortamos os mltiplos maiores que 2, em seguida os maiores que 3, que 4, at . Com isso, os nmeros no cortados sero primos.

Exemplo 2.2.2 Determine os primos at 100.

Do crivo, temos que os nicos primos at 100 so: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Teorema 2.3.2 (Euclides) Existem infinitos nmeros primos. Prova: Suponha que exista um nmero finito de primos. Tome ento , em que primo menor ou igual a . Como n composto, do corolrio 2.3.1, digamos sem perda de generalidade, que . Logo:

Teorema 2.3.3 (Postulado de Bertrand2) Seja sempre existe um primo tal que .

um inteiro positivo. Ento

2

Esse teorema recebe o nome de postulado por razes histricas, mas Chebyshev apresentou uma demosntrao, a qual foge do escopo do curso.


Prova: Por ser muito extensa, no apresentaremos nessa apostila.

Teorema 2.3.4 (Teorema Fundamental da Aritmtica) Qualquer inteiro possui uma nica representao (exceto permutaes) como produto de primos, denominada fatorao cannica. Prova: Dividiremos a demonstrao em 2 partes: 1-) Prova da existncia: Se primo, no h nada a se provar. Se composto, ento existe d tal que d e . Dentre todos esses inteiros d, tome como menor (o que possvel graas ao Princpio da Boa Ordenao). Se fosse composto, existiria um divisor tal que e , dividiria , contradizendo minimalidade de primo. ; mas como . Portanto, deve ser

Com isso, podemos escrever , em que primo e . Se for primo, a prova termina. Do contrrio, podemos repetir o mesmo argumento para gerar um segundo primo tal que . Se for primo, est demonstrado. Se no, repetimos o processo e criamos . A sequncia no pode continuar indefinidamente. Assim, aps um nmero finito de passos, teremos chegado fatorao buscada . 2-) Prova da unicidade: Suponhamos haja duas fatoraes buscadas possveis, ou seja: r em que e so todos primos, tais que e Considere agora que seja p menor inteiro com duas fatoraes desse tipo. Vamos gerar uma contradio buscando um outro inteiro menor que n que tambm possua duas fatoraes distintas de primos. Se existir , ento para qualquer i rj , s

contradizendo a minimalidade de . Logo, s.


Assuma sem perda de generalidade que , ou seja, o menor fator primo de nas representaes acima. Aplicando o algoritmo da diviso, segue que: c c r r

c em que r i h.

r

Temos ento: c r c r c r r r r para algum m , k k.

Desenvolvendo o segundo membro, obtemos m inteiro positivo m. Escolhendo r r r , temos do que segue e k.

Como mostramos, k pode ser escrito como produto de primos k

Por outro lado, fatorando r r r em primos, todos seus fatores so menores ou iguais a r . De r r . . r , segue que possui fatorao em primos da forma t t t , em que todos os fatores so menores que . Tal fatorao diferente de k k k . Mas , contradizendo a minimalidade de n. [CQD]

Proposio 2.2.1 Se ento possui

uma decomposio de

em primos,

divisores. Prova: Seja um primo da fatorao cannica. Todos os divisores de possuem um fator , com expoente . Assim, para cada primo temos possibilidades para seu expoente, o que pelo Princpio Fundamental da Contagem nos d divisores.

Proposio 2.2.2 Se uma decomposio de em primos, ent a soma de todos os divisores positivos de (incluindo 1 e ) tal que


Prova: Cada divisor de expanso do produto

aparece exatamente 1 vez como parcela na

Lembrando da frmula da soma de P.G. finita:

Segue o resultado.

Exerccios (Sec. 2.2)

2.2.1) Prove que se um nmero primo, ento forma chamam-se Primos de Mersenne.

primo. Primos desta

2.2.2) Prove que se um nmero primo, ento Primos desta forma chamam-se Primos de Fermat. 2.2.3) Seja um primo da forma que divide inteiros e . Prove que e so ambos divisveis por . 2.2.4) Sejam e

potncia de 2.

para alguns

dois inteiros positivos coprimos, e considere a P.A.

(a) Prove que existem infinitos termos na P.A. que possuem os mesmos divisores primos. (b) Prove que existem infinitos pares de coprimos na P.A. 2.2.5) Prove que entre 10 inteiros positivos consecutivos pelo menos um coprimo com o produto dos outros. 2.2.6) Seja um primo com , e seja que contem dois elementos , tal que 2.2.7) Suponha que e . Prove e divide .

so nmeros naturais tais que


um nmero primo. Qual o maior valor possvel de ? 2.2.8) Seja inteiro , um nmero primo. Prove que existe um primo no divisvel por . tal que para cada

2.3 Mximo Divisor Comum (MDC)

Definio 2.3.1 O entre dois inteiros positivos e o maior inteiro que divide e simultaneamente. Se , dizemos que e so coprimos.

Exemplo 2.3.1 Prove que

irracional. , i.e. , em que e

Prova: Suponha por hiptese de absurdo que so inteiros positivos coprimos. Temos ento:

Da ltima igualdade conclumos que

deve ser par, digamos

. Logo:

Assim conclumos que b tambm par, o que contradiz nossa premissa de que e so primos entre si. Exemplo 2.3.2 Mostre que para qualqauer inteiro positivo , existe um mltiplo de formado apenas por 1s e 0s. Mostre ainda que se coprimo com 10, ento existe um mltiplo formado apenas de 1s. Soluo: Considere os inteiros ... . Quando divididos

por , cada nmero deixa restos. Pelo Princpio das Casas dos Pombos, dois desses restos so iguais, portanto a diferena entre os inteiros correspondentes da forma e divisvel por . Se coprimo com 10, ento podemos dividir por todas as potncias de 10 e obter um inteiro da forma 111...1 ainda divisvel por N.

Exemplo 2.3.3 Prove que, se

, ento


Soluo: Sejam , e os conjuntos formados pelos divisores de , respectivamente. Se , ento e Assim, . Analogamente, se , ento e . Assim, .

e , .

Seguem abaixo algumas propriedades interessantes do MDC (PROVE-AS!).

Proposio 2.3.1 Sejam (a) (b) Se (c) (d) . . . . , ento

e

inteiros positivos.

.

.

Exemplo 2.3.4 (Euclides) Prove que se

e

, ento

. .

Prova: Temos pelo tem (a) da proposio 2.3.1 que Observe agora que a divide a e m , logo

.

Algoritmo de Euclides Euclides desenvolveu um mtodo simples e engenhoso de se determinar o MDC entre dois inteiros. Vamos explicar com um exemplo: Queremos determinar o . Temos que: . Tomamos o divisor e dividimos pelo resto: . Dividimos agora o primeiro resto pelo segundo: . Novamente, dividimos o terceiro resto pelo segundo: . Logo, .


De fato, o algoritmo resume-se a repetir o seguinte processo at o resto ser 0: 1-) Dividir o maior dos inteiros dados pelo menor. 2-) Dividir o primeiro divisor pelo primeiro resto. 3-) Dividir os restos sucessivamente at chegar a um resto 0. 4-) O buscado o ltimo divisor.

Teorema 2.3.5 (Bzout) Dados os inteiros no nulos tais que:

e

, existem

Prova: Seja obtemos

o menor inteiro tal que

. Dividindo a e

por

,

Mas o menor inteiro da forma e como por , e . Logo, a nica possibilidade . Suponhamos agora que exista . Assim, tal que e

e

so restos da diviso e portanto e

. Logo,

o maior divisor comum entre

e .

O Teorema 2.3.5 nos diz que o MDC entre dois inteiros pode ser escrito como uma combinao linear dos mesmos. Isso ser de grande utilidade na resoluo das chamadas equaes diofantinas, que vermos na prxima apostila. Exemplo 2.3.6 (IMO 1959) Prove que a frao

irredutvel para todo inteiro positivo .


Soluo: Essa clssica questo j foi resolvida de inmeras maneiras, algumas gastando vrias pginas. A que vamos apresentar resume-se a uma linha, utilizando o Teorema de Bzout.3 Para todo , denominador so coprimos. , portanto o numerador e o

Teorema 2.3.6 (Dirichlet) Se a e b so coprimos, ento a P.A. contm infinitos primos. A demonstrao do Teorema 2.3.2 envolve os conceitos de caracteres e Lsries, que fogem ao escopo do nosso curso. Para mais informaes, consulte a bibliografia.

Exerccios (Sec. 2.3)

2.3.1) Prove que a expreso

inteira para todos os pares de inteiros positivos 2.3.2) Sejam

com

.

dois nmeros naturais. Demonstrar que .

2.3.3) Demonstrar que se ento

e

so inteiros tais que

e

2.3.4) Sejam e dois inteiros positivos e seu maior divisor comum. Demonstrar que existem dois inteiros positivos e tais que 2.3.5) Determine o MDC dos elementos do conjunto .

3

Reza a lenda que esse teorema deu nome expresso bizu. Apenas uma conjectura, rs.


2.4 Mnimo Mltiplo Comum (MMC)

Definio 2.4.1 O inteiro divisvel por e

entre dois inteiros positivos simultaneamente.

e

o menor

Teorema 2.4.1 Sejam

e

dois inteiros positivos. Ento: .

Prova: Seja outro mltiplo de a e

. Suponhamos por hiptese de absurdo que exista um tal que . Temos ento:

. a

a

Pelo Teorema de Bzout,

a

. Logo:

Como chegamos a um absurdo, temos que

e portanto

.

Exerccios Sec. 2.4

2.4.1) Sejam

e

inteiros positivos tais que .

Prove que um dos dois nmeros divisvel pelo outro.

2.4.2) (Primeira Olimpada Matemtica de Moscou - 1935) Sejam inteiros positivos. Prove que: . . . .

e


2.4.3) Sejam , b e

inteiros positivos. Mostre que . . .

Expresse e

em termos de .

,

3 QUESTES DIFERENTES

3.1) Dois inteiros positivos so escolhidos. A soma revelada ao aluno A e a soma dos quadrados ao aluno B e tanto A quanto B sabem disso. A conversa entre os alunos foi a seguinte:

B: Eu no sei quais so os nmeros A: Eu no sei quais so os nmeros B: Eu no sei quais so os nmeros A: Eu no sei quais so os nmeros B: Eu no sei quais so os nmeros A: Eu no sei quais so os nmeros B: Agora eu sei quais so os nmeros.

Quais so os nmeros? 3.2) Suponha que e so nmeros complexos tais que

so inteiros para quatro inteiros positivos consecutivos . Prove que a frao um inteiro para todos os inteiros . 3.3) Prove que


um inteiro positivo. 3.4) Seja um primo mpar. Mostre que existe no mximo um tringulo no degenerado com permetro e rea inteira. Caracterize esses primos para os quais para os quais o tringulo existe. 3.5) Mostre que se e so inteiros positivos, ento

um inteiro somente para um nmero finito de inteiros positivos . 3.6) Para cada definamos

Se

e

designa o seu mximo divisor comum, prove que

(Dica: Note que os elementos de so os vrtices de um polgono regular de lados. Logo, devemos provar que a quantidade de vrtices comuns a um polgono regular de lados e outro de lados ).

3.7) (Lam) Prove que o nmero de passos necessrios no Algoritmo de Euclides no mximo 5 vezes o nmero de dgitos do menor nmero.


4 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

BURTON, David M. Elementary Number Theory. 2 ed. Boston: Allyn and Bacon, Inc., 1980.]

ANDREESCU, Titu; ANDRICA Dorin; FENG, Zuming. 104 Number Theory Problems: From the training of the USA IMO Team.1 ed. Boston: Birkhuser, 2006.

SANTOS, David A. Teora Elemental de los Nmeros para Olimpadas Matemticas. 2010.

SATO, Naoki. Number Theory. Art of Problem Solving.

NETTO, Srgio Lima. A Matemtica no Vestibular do IME. 11 ed. 2007.

LEE, Hojoo. Problems in Elementary Number Theory. 2007.

MARTINEZ, Fabio; MOREIRA, Carlos; SALDANHA, Nicolau; TENGAN, Eduardo. Intrdouo Teoria dos Nmeros. 2011.

dados de deus - apostila teoria dos números (parte i)

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