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Estrutura de Dados II
Jairo Francisco de Souza(baseado no material do Prof Leonardo Guerreiro/UNIRIO)
Dados espaciaisÁrvores R
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Dados espaciais
Dados espaciais são dados que representam o espaço Exemplos:
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Ponto Linha
Polígono Polilinha
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Objetos espaciais
Objetos espaciais são objetos que descrevem localizações ou formas geométricas Exemplo: localização de um hidrante ou um poço, estradas, rios,
redes de esgotos, florestas, parques, municípios, lagos.
Os 3 tipos básicos de objetos espaciais são: Ponto, Linha e Polígono
Duas visões: Objetos no espaço Espaço em si
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Cidade: Bom Jardim,População: 30.000,Localização:
Objetos no espaço
Dados espaciais geralmente são acompanhados por dados não espaciais
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Rua: Av. Pasteur, número 380, rota:
Cidade: Berlin, População: 3.000.000Área da cidade:
Rio: Reno,Rota:
Bacia: Amazonas,Leitos dos rios:
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Espaço
Alguma afirmação sobre cada ponto no espaço Uso da terra (mapas temáticos) Partições em cidades, estado e municípios,....
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Modelagem
Devemos considerar:1. Modelagem de um único objeto2. Modelagem de coleções de objetos relacionadas espacialmente
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Modelagem
Modelagem de um único objeto: Ponto
Ex: cidade Aspecto geométrico de um objeto para o qual apenas a sua localização é
relevante, e não sua extensão
Linha (polilinha) Ex: rio, cabo, estrada Movimento no espaço e conexões no espaço são relevantes
Polígono (região) Ex: floresta, lago, cidade Abstração de um objeto
com extensão é relevante
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Modelagem
Modelagem de coleções de objetos relacionadas espacialmente: Partição:
Uso do solo, distritos, mapa de propriedade
Rede conectada espacialmente (grafo) Autoestradas, estradas, ferrovias, transporte público, rios, mapa de redes elétricas,
mapa de redes de telefone
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Operações
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Operações
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Operações
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Operações
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Operações
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Operações espaciais
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Operações espaciais podem ser resolvidas com operadores relacionais?
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Operações espaciais
É simples verificar a interseção entre bacia do amazonas e os municípios do Brasil?
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Como você faria o testeComo você faria o teste ??
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Operações espaciais
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P1 P2
P2P1
Polígono 1 tem interseção com
polígono 2!
Polígono 1 não tem interseção
com polígono 2!
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Operações espaciais
17
P1 P2
P2P1
??
- Como fazer o teste de interseção?- E se os polígonos tivessem milhões de pontos?- Como fazer o teste de interseção mais rapidamente?
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Operações espaciais
Reduzindo a complexidade dos objetos Fazendo testes mais simples primeiro
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Minimum bounding Rectangle (MBR)ouMenor Retângulo Envolvente (MBE)
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P1 P2
Operações espaciais
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Comparando-se MBR podemos dizer que P1 e P2 têm interseção?
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P1 P2
Operações espaciais
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Se MBRs têm interseção, em geral, não se pode inferir que objetos têm interseção.
Após o teste de MBR, é necessário testar os objetos reais.
Passo mais custoso. $$$$$$$$
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P1 P2
Operações espaciais
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De outra forma, se objetos não têm interseção, então seus MBRs não têm intersecção.
Logo, não é necessário testar os objetos reais.
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Operações espaciais
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??Como comparar Como comparar muitos objetos de muitos objetos de forma eficienteforma eficiente
Uso de Uso de índicesíndices
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ÁRVORES R(R-Trees)
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Árvore-R
Proposta por Guttman em 1984 A. Guttman, R-trees: a dynamic index structure for spatial
searching, Proceedings of the SIGMOD Conference, Boston, June, 1984, pp. 47-57.
Estrutura de dados hierárquica derivada da árvore B (Comer, 1979)
Entradas dos nós correspondem à retângulos em d-dimensão
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Árvore-RCada entrada de nó folha:-Ponteiro para objeto real; e- MBR do objeto
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Árvore-RCada entrada de nó folha:-Ponteiro para objeto real; e- MBR do objeto
retângulo: (x1,y1), (x2, y2)p*: aponta para polígono
(x1,y1)
(x2, y2)
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Árvore-RCada entrada de nó interno:-Ponteiro para filho; e- MBR que engloba todas as entradas do nó filho
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Árvore-RCada entrada de nó interno:-Ponteiro para filho; e- MBR que engloba todas as entradas do nó filho
retângulo: (x1,y1), (x2, y2)p*: aponta para nó filho
(x1,y1)
(x2, y2)
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Árvore-R
Frequentemente, nós correspondem à páginas do disco Parâmetros definindo o número mínimo e máximo de nós se
aplicam São escolhidos a fim do menor número de nós sejam visitados
durante durante a busca.
Importante: Diferentemente da árvore B, entradas de nós diferentes podem ter
sobreposição Ou seja, retângulos das entradas podem ter sobreposição
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Exemplo de sobreposição
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Exemplo de sobreposição
A consulta espacial pode requerer que vários nós sejam visitados antes de garantir a presença ou ausência de um retângulo em particular.
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Árvore-R
Regras semelhantes às da árvore-B Todos os nós folha aparecem no mesmo nível Cada entrada de um nó folha corresponde à tupla (R, O)
O é um ponteiro para o objeto real R é o menor retângulo que espacialmente contém o objeto apontado por O
Cada entrada de um nó interno corresponde à tupla (R, P) P é um ponteiro para um filho R é o menor retângulo que espacialmente contém os retângulos no filho
apontado por P.
Uma árvore-R de ordem (m, M) é tal que Cada nó contém entre m ≤ Ceiling[M/2] e M entradas, com exceção da raiz A raiz tem pelo menos 2 entradas, ao menos que ela seja nó folha
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Árvore-R - Inserção
Uma árvore-R não é única Ela depende da ordem em que os retângulos são inseridos (e
possivelmente removidos)
Algoritmo para inserção de um nó é análogo ao algoritmo de inserção em árvore B Novos retângulos são adicionados a nós folha O nó folha apropriado é determinado pela
Navegação na árvore iniciando no nó raiz A cada passo escolhe-se a subárvore cujo retângulo correspondente terá o
menor acréscimo de área possível Se ao inserir o nó ocorrer overflow, então executar split
M+1 registros devem ser distribuídos entre dois nós Split pode propagar até a raiz
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Exemplo (M=3 e m=2)
A
E 3
B
1 C
D
F
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Exemplo (M=3 e m=2)
B
C
D
F
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Exemplo (M=3 e m=2)
B DE 3
R1 R2
R1
R2
B
C
A 1
R3D
F
C F
R4
R3 R4
R5 R6
R5
R6
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Inserir A
A
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Inserir 1
A 1
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Inserir E
A 1 E
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Inserir 3
A 1 E
Overflow!
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Inserir 3
A 1
Overflow!
Dividir as entradas em dois nós.
Considerar na divisão as entradas cujo MBR envolvente das mesmas tenha a menor área.
E 3
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Inserir 3
A 1 E 3
Overflow!
Dividir as entradas em dois nós.
Considerar na divisão as entradas cujo MBR envolvente das mesmas tenha a menor área.
Criar novo nó raiz com 2 entradas, contendo MBR para os nós folha.
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Inserir 3
A 1 E 3
Overflow!
Dividir as entradas em dois nós.
Considerar na divisão as entradas cujo MBR envolvente das mesmas tenha a menor área.Criar novo nó raiz com 2 entradas, contendo MBR para os nós folha.
R1
R1
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Inserir 3
A 1 E 3
Overflow!
Dividir as entradas em dois nós.
Considerar na divisão as entradas cujo MBR envolvente das mesmas tenha a menor área.Criar novo nó raiz com 2 entradas, contendo MBR para os nós folha.
R1 R2
R1
R2
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Inserir B
A 1 E 3
R1 R2
BR1
R2
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Inserir B
A 1 E 3
R1 R2
R1B Em qual nó folha B deve ser inserido?
Nó 1 ou Nó 2?
Nó 1 Nó 2
R2
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Inserir B
A 1 E 3
R1 R2
R1B Em qual nó folha B deve ser inserido?
Nó 1 ou Nó 2?
Escolher o nó que cujo MBR das entradas tem o menor acréscimo de área Nó 1
Nó 1 Nó 2
R2
![Page 48: Dados espaciais Árvores R§ão-Arvore_R.pdf · Árvore-R - Inserção Uma árvore-R não é única Ela depende da ordem em que os retângulos são inseridos (e possivelmente removidos)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042021/5e784eb31484592b3c237aaf/html5/thumbnails/48.jpg)
Inserir B
A 1 B E 3
R1 R2
R1 B Em qual nó folha B deve ser inserido?Nó 1 ou Nó 2?
Escolher o nó que cujo MBR das entradas tem o menor acréscimo de área Nó 1
Nó 1 Nó 2
R2
![Page 49: Dados espaciais Árvores R§ão-Arvore_R.pdf · Árvore-R - Inserção Uma árvore-R não é única Ela depende da ordem em que os retângulos são inseridos (e possivelmente removidos)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042021/5e784eb31484592b3c237aaf/html5/thumbnails/49.jpg)
Inserir C
A 1 B E 3
R1 R2
R1 B
Nó 1 Nó 2
C
Em qual nó folha C deve ser inserido?Nó 1 ou Nó 2?
R2
![Page 50: Dados espaciais Árvores R§ão-Arvore_R.pdf · Árvore-R - Inserção Uma árvore-R não é única Ela depende da ordem em que os retângulos são inseridos (e possivelmente removidos)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042021/5e784eb31484592b3c237aaf/html5/thumbnails/50.jpg)
Inserir C
A 1 B E 3
R1 R2
R1 B
Nó 1 Nó 2
C
Em qual nó folha C deve ser inserido?Nó 1 ou Nó 2?
O aumento de área de R1 ao inserir C no Nó 1 é menor do que o aumento de área de R2 ao inserir C no Nó 2.
R2
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Inserir C
A 1 B E 3
R1 R2
R1 B
Nó 1 Nó 2
C
Em qual nó folha C deve ser inserido?Nó 1 ou Nó 2?
O aumento de área de R1 ao inserir C no Nó 1 é menor do que o aumento de área de R2 ao inserir C no Nó 2.
Overflow!
C
R2
![Page 52: Dados espaciais Árvores R§ão-Arvore_R.pdf · Árvore-R - Inserção Uma árvore-R não é única Ela depende da ordem em que os retângulos são inseridos (e possivelmente removidos)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042021/5e784eb31484592b3c237aaf/html5/thumbnails/52.jpg)
Inserir C
A 1 B E 3
R1 R2
R1 B
Nó 1 Nó 2
C
Em qual nó folha C deve ser inserido?Nó 1 ou Nó 2?
O aumento de área de R1 ao inserir C no Nó 1 é menor do que o aumento de área de R2 ao inserir C no Nó 2.
Overflow! qual é a melhor forma de distribuir entradas A1BC?
C
R2
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Inserir C
A 1 B E 3
R1 R2
R1 B
Nó 1 Nó 2
C
Em qual nó folha C deve ser inserido?Nó 1 ou Nó 2?
O aumento de área de R1 ao inserir C no Nó 1 é menor do que o aumento de área de R2 ao inserir C no Nó 2.
Overflow! qual é a melhor forma de distribuir entradas A1BC?
Resp.: A1 e BC
C
R2
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Inserir C
B C E 3
R1 R2
R1 B
C
A 1
Nó com entradas A1 R1 ser atualizado
R2
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Inserir C
B CE 3
R1 R2 R3
R1 B
C
A 1
Nó com entradas A1 R1 ser atualizadoNó com entradas BC incluir nova entrada na folha (R3)
R3
R2
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Inserir D
B CE 3
R1 R2 R3
R1 B
C
A 1
Em qual nó folha D deve ser inserido?Nó 1 ou Nó 2 ou Nó 3?R3
D
Nó 1 Nó 2 Nó 3
R2
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Inserir D
B CE 3
R1 R2 R3
R1 B
C
A 1
Em qual nó folha D deve ser inserido?Nó 1 ou Nó 2 ou Nó 3?
R3 terá o menor acréscimo de área
R3D
Nó 1 Nó 2 Nó 3
R2
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Inserir D
B C DE 3
R1 R2 R3
R1 B
C
A 1
Em qual nó folha D deve ser inserido?Nó 1 ou Nó 2 ou Nó 3?
R3 terá o menor acréscimo de área
R3D
Nó 1 Nó 2 Nó 3
R2
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Inserir F
B C DE 3
R1 R2 R3
R1 B
C
A 1
Em qual nó folha F deve ser inserido?Nó 1 ou Nó 2 ou Nó 3?R3
D
Nó 1 Nó 2 Nó 3
F
R2
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Inserir F
B C DE 3
R1 R2 R3
R1 B
C
A 1
Em qual nó folha F deve ser inserido?Nó 1 ou Nó 2 ou Nó 3?
R3 terá o menor acréscimo de área.
R3D
Nó 1 Nó 2 Nó 3
F
R2
![Page 61: Dados espaciais Árvores R§ão-Arvore_R.pdf · Árvore-R - Inserção Uma árvore-R não é única Ela depende da ordem em que os retângulos são inseridos (e possivelmente removidos)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042021/5e784eb31484592b3c237aaf/html5/thumbnails/61.jpg)
Inserir F
B C DE 3
R1 R2 R3
R1 B
C
A 1
Em qual nó folha F deve ser inserido?Nó 1 ou Nó 2 ou Nó 3?
R3 terá o menor acréscimo de área.
Overflow!
R3D
Nó 1 Nó 2 Nó 3
F
F
R2
![Page 62: Dados espaciais Árvores R§ão-Arvore_R.pdf · Árvore-R - Inserção Uma árvore-R não é única Ela depende da ordem em que os retângulos são inseridos (e possivelmente removidos)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042021/5e784eb31484592b3c237aaf/html5/thumbnails/62.jpg)
Inserir F
B C DE 3
R1 R2 R3
R1 B
C
A 1
Em qual nó folha F deve ser inserido?Nó 1 ou Nó 2 ou Nó 3?
R3 terá o menor acréscimo de área.
Overflow! Qual é a melhor distribuição para BCDF?
R3D
Nó 1 Nó 2 Nó 3
F
Nó 4
F
R2
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Inserir F
B C DE 3
R1 R2 R3
R1 B
C
A 1
Em qual nó folha F deve ser inserido?Nó 1 ou Nó 2 ou Nó 3?
R3 terá o menor acréscimo de área.
Overflow! Qual é a melhor distribuição para BCDF?Resp.: BD e CF
R3D
Nó 1 Nó 2 Nó 3
F
Nó 4
F
R2
![Page 64: Dados espaciais Árvores R§ão-Arvore_R.pdf · Árvore-R - Inserção Uma árvore-R não é única Ela depende da ordem em que os retângulos são inseridos (e possivelmente removidos)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042021/5e784eb31484592b3c237aaf/html5/thumbnails/64.jpg)
Inserir F
B DE 3
R1 R2 R3
R1 B
C
A 1
Em qual nó folha F deve ser inserido?Nó 1 ou Nó 2 ou Nó 3?
R3 terá o menor acréscimo de área.
Overflow! Qual é a melhor distribuição para BCDF?Resp.: BD e CF
R3D
Nó 1 Nó 2 Nó 3
F
C F
Nó 4
R2
![Page 65: Dados espaciais Árvores R§ão-Arvore_R.pdf · Árvore-R - Inserção Uma árvore-R não é única Ela depende da ordem em que os retângulos são inseridos (e possivelmente removidos)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042021/5e784eb31484592b3c237aaf/html5/thumbnails/65.jpg)
Inserir F
B DE 3
R1 R2 R3
R1 B
C
A 1
Em qual nó folha F deve ser inserido?Nó 1 ou Nó 2 ou Nó 3?
R3 terá o menor acréscimo de área.
Overflow! Qual é a melhor distribuição para BCDF?Resp.: BD e CFAtualizar R3 e incluir nova entrada na raiz.
R3D
Nó 1 Nó 2 Nó 3
F
C F
Nó 4
R4
R2
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Inserir F
B DE 3
R1 R2 R3
R1 B
C
A 1
Em qual nó folha F deve ser inserido?Nó 1 ou Nó 2 ou Nó 3?
R3 terá o menor acréscimo de área.
Overflow! Qual é a melhor distribuição para BCDF?Resp.: BD e CFAtualizar R3 e incluir nova entrada na raiz.
R3D
Nó 1 Nó 2 Nó 3
F
C F
Nó 4
R4
R4
R2
![Page 67: Dados espaciais Árvores R§ão-Arvore_R.pdf · Árvore-R - Inserção Uma árvore-R não é única Ela depende da ordem em que os retângulos são inseridos (e possivelmente removidos)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042021/5e784eb31484592b3c237aaf/html5/thumbnails/67.jpg)
Inserir F
B DE 3
R1 R2 R3
R1 B
C
A 1
Overflow na raiz!
Criar novo nó e redistribuir entradas de acordo com a menor área dos MBR resultantes.
R3D
Nó 1 Nó 2 Nó 3
F
C F
Nó 4
R4
R4
R2
![Page 68: Dados espaciais Árvores R§ão-Arvore_R.pdf · Árvore-R - Inserção Uma árvore-R não é única Ela depende da ordem em que os retângulos são inseridos (e possivelmente removidos)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042021/5e784eb31484592b3c237aaf/html5/thumbnails/68.jpg)
Inserir F
B DE 3
R1 R2 R3
R1 B
C
A 1
Overflow na raiz!
Criar novo nó e redistribuir entradas de acordo com a menor área dos MBR resultantes.
Nó com R1 R2 e nó com R3 e R4
R3D
Nó 1 Nó 2 Nó 3
F
C F
Nó 4
R4
R4
R2
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Inserir F
B DE 3
R1 R2
R1 B
C
A 1
Overflow na raiz!
Criar novo nó e redistribuir entradas de acordo com a menor área dos MBR resultantes.
Nó com R1 R2 e nó com R3 e R4
R3D
Nó 1 Nó 2 Nó 3
F
C F
Nó 4
R4
R3 R4
R2
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Inserir F
B DE 3
R1 R2
R1 B
C
A 1
Overflow na raiz!
Criar novo nó e redistribuir entradas de acordo com a menor área dos MBR resultantes.
Nó com R1 R2 e nó com R3 e R4
R3D
Nó 1 Nó 2 Nó 3
F
C F
Nó 4
R4
R3 R4
R5
R5
R2
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Inserir F
B DE 3
R1 R2
R1 B
C
A 1
Overflow na raiz!
Criar novo nó e redistribuir entradas de acordo com a menor área dos MBR resultantes.
Nó com R1 R2 e nó com R3 e R4
R3D
Nó 1 Nó 2 Nó 3
F
C F
Nó 4
R4
R3 R4
R5 R6
R5
R6
R2
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Nível 1
B DE 3
R1 R2
A 1
Nó 1 Nó 2 Nó 3
C F
Nó 4
R3 R4
R5 R6
R5
R6
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Nível 2
B DE 3
R1 R2
R1
A 1
R3
Nó 1 Nó 2 Nó 3
C F
Nó 4
R4
R3 R4
R5 R6
R2
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Nível 3
B DE 3
R1 R2
B
C
A 1
D
Nó 1 Nó 2 Nó 3
F
C F
Nó 4
R3 R4
R5 R6
![Page 75: Dados espaciais Árvores R§ão-Arvore_R.pdf · Árvore-R - Inserção Uma árvore-R não é única Ela depende da ordem em que os retângulos são inseridos (e possivelmente removidos)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042021/5e784eb31484592b3c237aaf/html5/thumbnails/75.jpg)
Níveis 1, 2 e 3.
B DE 3
R1 R2
R1 B
C
A 1
R3D
Nó 1 Nó 2 Nó 3
F
C F
Nó 4
R4
R3 R4
R5 R6
R5
R6
R2
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Árvore R - Busca A busca em uma árvore-R é semelhante à busca em árvore-B Problema:
Uma grande quantidade de nós pode ter que ser examinada, pois um retângulo pode estar contido nos retângulos envolventes de muitos nós Mas o seu registro está contido em apenas um nó folha.
Exemplo: Retângulo 1 está contido nos retâgulos:o R1o R2o R3o R5
R3
R4
R5
R6R1
R2
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Árvore R - Busca
A 1 E 3 B C D 2 F G
R3 R4 R5 R6
R1 R2
R3
R4
R5
R6R1
R2Qual seria o caminho percorrido na árvore R a seguir para encontrar o ponto Q?Q
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Árvore R - Busca
A 1 E 3 B C D 2 F G
R3 R4 R5 R6
R1 R2
R1
R2Qual seria o caminho percorrido na árvore R a seguir para encontrar o ponto Q?1)Raiz (√R1 e √R2)Q
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Árvore R - Busca
A 1 E 3 B C D 2 F G
R3 R4 R5 R6
R1 R2
R3
R4
R5
R6
Q
Qual seria o caminho percorrido na árvore R a seguir para encontrar o ponto Q?1)Raiz (√R1 e √R2)2)Segundo nível (√R3, ØR4, √R5, ØR6)
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Árvore R - Busca
A 1 E 3 B C D 2 F G
R3 R4 R5 R6
R1 R2
Q
Qual seria o caminho percorrido na árvore R a seguir para encontrar o ponto Q?1)Raiz (√R1 e √R2)2)Segundo nível (√R3, ØR4, √R5, ØR6)3)Terceiro nível (ØA, Ø1, ØB, ØC, √D)
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Árvore-R - Remoção
Remover retângulo R de uma Árvore-R Localizar nó folha L que contém R e remover R de L. Ajustar os retângulos envolventes no caminho de L até a raiz
Todos os nós onde ocorrer underflow são armazenados em um conjunto U.
Quando a raiz é alcançada Se ela tem apenas um único filho, então o filho se torna a nova raiz
Os nós onde ocorreu Underflow são reinseridos na árvore Entradas de U que correspondem a nós folha são incluídas em nós folha Outros nós, têm suas entradas posicionadas no nível que faça com que seus nós
folha continuem no mesmo nível dos demais.
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Remoção: Árvore-R x Árvore-B
Na árvore B nós sofrem merge com nós adjacentes ou é feita redistribuição
Na árvore-R nós são reinseridos Árvore-R
Não existe conceito de adjacência Merge de nós e redistribuição poderiam ser feitas. Entretanto,
Reinserção permite que a árvore dinamicamente reflita a mudança de estrutura espacial ao invés de gradualmente sofrer degradações o que poderia ocorrer mantendo parentesco durante o ciclo de vida da árvore.
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Aplicações
CREATE VIRTUAL TABLE demo_index USING rtree( id, -- Integer primary key minX, maxX, -- Minimum and maximum X coordinate minY, maxY -- Minimum and maximum Y coordinate);SELECT id FROM demo_index WHERE minX>=-81.08 AND maxX<=-80.58 AND minY>=35.00 AND maxY<=35.44;
Mais direta: banco de dados geográficos Consultas por faixa de valores
SQLite: http://www.sqlite.org/rtree.html