dal triangolo alle coniche
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
Dal triangolo alle conicheal calcolatore
Norberto Gavioli
Universit degli Studi dellAquila
Seminari giugno 2008
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Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
Argomenti
1Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative altriangolo
Il cerchio degli otto puntiIl cerchio dei nove puntiLa retta di Simpson
I teoremi di Ceva e Menelao2 Costruzione di afnit
Coordinate afni sulla rettaAfnit
Coordinate afni e baricentriche nel piano3 Proiettivit
BirapportiProiettivit tra rette e fasciProiettivit piane
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Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
Argomenti
1Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative altriangolo
Il cerchio degli otto puntiIl cerchio dei nove puntiLa retta di Simpson
I teoremi di Ceva e Menelao2 Costruzione di afnit
Coordinate afni sulla rettaAfnit
Coordinate afni e baricentriche nel piano3 Proiettivit
BirapportiProiettivit tra rette e fasciProiettivit piane
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Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
Il cerchio degli otto punti
TeoremaIn un quadrilatero con le diagonali tra loro perpendicolari, i punti medi dei lati e i piedi delle perpendicolari, mandate da questi ai lati opposti, appartengono tutti ad una stessa circonferenza.
Dim.
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Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
Il cerchio degli otto punti
TeoremaIn un quadrilatero con le diagonali tra loro perpendicolari, i punti medi dei lati e i piedi delle perpendicolari, mandate da questi ai lati opposti, appartengono tutti ad una stessa circonferenza.
Dim.Le congiungenti i punti medi dellati consecutivi del quadrilate-ro sono parallele alle diagona-li, pertanto MNPQ un ret-tangolo
Il hi d i i l i i l i l i l C i di f i P i i i
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Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
Il cerchio degli otto punti
TeoremaIn un quadrilatero con le diagonali tra loro perpendicolari, i punti medi dei lati e i piedi delle perpendicolari, mandate da questi ai lati opposti, appartengono tutti ad una stessa circonferenza.
Dim.Le congiungenti i punti medi dellati consecutivi del quadrilate-ro sono parallele alle diagona-li, pertanto MNPQ un ret-tangolo ed inscritto in unacirconferenza.
Il hi d i ti lt t i i l ti l t i l C t i di f it P i tti it
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Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
Il cerchio degli otto punti
TeoremaIn un quadrilatero con le diagonali tra loro perpendicolari, i punti medi dei lati e i piedi delle perpendicolari, mandate da questi ai lati opposti, appartengono tutti ad una stessa circonferenza.
Dim.
Detto H il piede della perpen-dicolare mandata daQ al lato
AB si ha che gli angoliNHQ e NMQ sono retti...
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Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
Il cerchio degli otto punti
TeoremaIn un quadrilatero con le diagonali tra loro perpendicolari, i punti medi dei lati e i piedi delle perpendicolari, mandate da questi ai lati opposti, appartengono tutti ad una stessa circonferenza.
Dim.
. . . e pertanto N , H , M eQ appartengono alla stessa
circonferenza di diametroNQ .
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Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
Argomenti
1Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative altriangolo
Il cerchio degli otto puntiIl cerchio dei nove puntiLa retta di Simpson
I teoremi di Ceva e Menelao2 Costruzione di afnit
Coordinate afni sulla rettaAfnit
Coordinate afni e baricentriche nel piano3 Proiettivit
BirapportiProiettivit tra rette e fasciProiettivit piane
Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
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Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
Il cerchio dei nove puntiDa otto a nove punti...
TeoremaI piedi delle altezze, i punti medi dei lati ed i punti medi dei segmenti che uniscono lortocentro con i vertici di un triangolo appartengono ad una medesima circonferenza.
Dim.Nel triangolo ABC sono da-ti lortocentroO ed i piedi delle
altezze I , J ed L.
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Il cerchio dei nove puntiDa otto a nove punti...
TeoremaI piedi delle altezze, i punti medi dei lati ed i punti medi dei segmenti che uniscono lortocentro con i vertici di un triangolo appartengono ad una medesima circonferenza.
Dim.Il quadrilateroABCO
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Il cerchio dei nove puntiDa otto a nove punti...
TeoremaI piedi delle altezze, i punti medi dei lati ed i punti medi dei segmenti che uniscono lortocentro con i vertici di un triangolo appartengono ad una medesima circonferenza.
Dim.Il quadrilatero ABCO ha lediagonali AC e BO tra loro
perpendicolari.
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Il cerchio dei nove puntiDa otto a nove punti...
TeoremaI piedi delle altezze, i punti medi dei lati ed i punti medi dei segmenti che uniscono lortocentro con i vertici di un triangolo appartengono ad una medesima circonferenza.
Dim.Sappiamo allora che per i puntimedi N , M , P e Q e per i pie-
di J ed L delle perpendicolaricondotte da P e Q passa unacirconferenza
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p g
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TeoremaI piedi delle altezze, i punti medi dei lati ed i punti medi dei segmenti che uniscono lortocentro con i vertici di un triangolo appartengono ad una medesima circonferenza.
Dim.Considerando invece il quadri-latero OACB si trova che la cir-
conferenza perP , Q ed L pas-sa anche per il punto medioR diAC ed il punto medioT di OB .
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p g
Il cerchio dei nove puntiDa otto a nove punti...
DenizioneLa circonferenza indicata nel precedente teorema dettacerchio dei nove punti. Si pu mostrare che il suo centroX giace assieme al baricentroU , al circocentroV e allortocentroO su di una retta detta retta di Eulero.
(dimostrazione interattivaanimazione.zir )
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1 Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative altriangolo
Il cerchio degli otto puntiIl cerchio dei nove puntiLa retta di Simpson
I teoremi di Ceva e Menelao2 Costruzione di afnit
Coordinate afni sulla rettaAfnitCoordinate afni e baricentriche nel piano
3 ProiettivitBirapportiProiettivit tra rette e fasciProiettivit piane
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La retta di Simpson
TeoremaSe P un punto del circoncerchio del triangolo ABC , allora i tre piedi X , Y , e Z delle perpendicolari mandate da P alle tre rette AB , BC e CA sono allineati.
Dim.Dimostrazione animata lesimpson2.zir
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1 Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative altriangolo
Il cerchio degli otto puntiIl cerchio dei nove puntiLa retta di Simpson
I teoremi di Ceva e Menelao2 Costruzione di afnit
Coordinate afni sulla rettaAfnitCoordinate afni e baricentriche nel piano
3 ProiettivitBirapportiProiettivit tra rette e fasciProiettivit piane
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il teorema di Ceva
Teorema [di Ceva]Siano dati i punti X , Y e Z rispettivamente sulle rette AB , BC e CA. Le tre rette CX , BZ e AY sono concorrenti in un medesimo punto P se e solo se
AX XB
BY Y C
CZ ZA
= 1
(le lunghezze vanno intese come lunghezze di segmenti orientati)
La dimostrazione lasciata per esercizio
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Triangolo ceviano e ceviane
In generale dato un puntoP ed un triangolo ABC chiameremoproiezioni ceviane del puntoP i puntoAP := P A BC , BP := P B CA, C P := P C AB .Il triangolo AP BP C P anche detto triangolo ceviano del
punto P relativamente al triangolo ABC .
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Triangolo ceviano e ceviane
In generale dato un puntoP ed un triangolo ABC chiameremo proiezioni ceviane del puntoP i puntoAP := P A BC , BP := P B CA, C P := P C AB .Il triangolo AP BP C P anche dettotriangolo ceviano del
punto P relativamente al triangolo ABC .
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il teorema di Menelao
Teorema [di Menelao]Tre punti X , Y e Z rispettivamente sulle rette AB , BC e CAsono allineati se e solo se
AX
XB
BY
Y C
CZ
ZA= 1
(le lunghezze vanno intese come lunghezze di segmenti orientati)
La dimostrazione lasciata per esercizio
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1 Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative altriangolo
Il cerchio degli otto puntiIl cerchio dei nove puntiLa retta di Simpson
I teoremi di Ceva e Menelao2 Costruzione di afnit
Coordinate afni sulla rettaAfnitCoordinate afni e baricentriche nel piano
3 ProiettivitBirapportiProiettivit tra rette e fasciProiettivit piane
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Sistema di riferimento afne sulla rettaPunti base
Due puntiA e B , detti punti base, su di una rettar determinanoun sistema di riferimento afne.
Supporremo che la retta sia orientata e cheA preceda B(scriveremoA < B ). Ad un puntoC della rettar associata lacoordinata afne
tC =AC AB
,
dove il quoziente inteso essere calcolato tra lunghezze disegmenti orientati (con segno).La coppia(A, B ) detta riferimento afne per la rettar .
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Sistema di riferimento afne sulla rettaPunti base
Due puntiA e B , detti punti base, su di una rettar determinanoun sistema di riferimento afne.
Supporremo che la retta sia orientata e cheA preceda B(scriveremoA < B ). Ad un puntoC della rettar associata lacoordinata afne
tC =AC AB
,
dove il quoziente inteso essere calcolato tra lunghezze disegmenti orientati (con segno).La coppia(A, B ) detta riferimento afne per la rettar .
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Sistema di riferimento afne sulla rettaPunti base
Due puntiA e B , detti punti base, su di una rettar determinanoun sistema di riferimento afne.
Supporremo che la retta sia orientata e cheA preceda B(scriveremoA < B ). Ad un puntoC della rettar associata lacoordinata afne
tC =AC AB
,
dove il quoziente inteso essere calcolato tra lunghezze disegmenti orientati (con segno).La coppia(A, B ) detta riferimento afne per la rettar .
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Sistema di riferimento afne sulla rettaCoordinata afne
tC =AC AB
In particolaretC < 0 se C < A < BtC = 0 se C = A0 < t C < 1 se A < C < BtC = 1 se C = BtC > 1 se C > B
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Sistema di riferimento afne sulla rettaCoordinate baricentriche
Dati due puntiA, B in R n si ha che il puntoP di coordinataafne t nel sistema di riferimento(A, B ) della rettaAB datoda
P = A + t(B A) = (1 t)A + tB
Posto = (1 t) e = t, si ha che + = 1 e
P = A + B.
In generale per ogni puntoP della rettaAB esistono duenumeri reali e , con + = 1 , tali cheP = A + B . Inumeri e sono detti coordinate baricentriche del puntoP nel sistema di riferimento(A, B ).
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Sistema di riferimento afne sulla rettaCoordinate baricentriche
Dati due puntiA, B in R n si ha che il puntoP di coordinataafne t nel sistema di riferimento(A, B ) della rettaAB datoda
P = A + t(B A) = (1 t)A + tB
Posto = (1 t) e = t, si ha che + = 1 e
P = A + B.
In generale per ogni puntoP della rettaAB esistono duenumeri reali e , con + = 1 , tali cheP = A + B . Inumeri e sono detticoordinate baricentriche del puntoP nel sistema di riferimento(A, B ).
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Sistema di riferimento afne sulla rettaCambiamento di coordinate afni
Effettuare un cambiamento di coordinate afni equivale adutilizzare un sistema di coordinate connuovi punti baseA e B .Denominando cont la nuova coordinata afne, abbiamo
tC A B = A C = AC AA = ( tC tA )AB
Poich A B = AB AA = ( tB tA )AB , si ha la
formula di cambiamento di coordinata afnetC =
tC tAtB tA
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Sistema di riferimento afne sulla rettaCambiamento di coordinate afni
Effettuare un cambiamento di coordinate afni equivale adutilizzare un sistema di coordinate con nuovi punti baseA e B .Denominando cont la nuova coordinata afne, abbiamo
tC A B = A C = AC AA = ( tC tA )AB
Poich A B = AB AA = ( tB tA )AB , si ha la
formula di cambiamento di coordinata afnetC =
tC tAtB tA
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d f f ll
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Sistema di riferimento afne sulla rettaCambiamento di coordinate afni
Effettuare un cambiamento di coordinate afni equivale adutilizzare un sistema di coordinate con nuovi punti baseA e B .Denominando cont la nuova coordinata afne, abbiamo
tC A B = A C = AC AA = ( tC tA )AB
Poich A B = AB AA = ( tB tA )AB , si ha la
formula di cambiamento di coordinata afnetC =
tC tAtB tA
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1 Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative altriangolo
Il cerchio degli otto puntiIl cerchio dei nove puntiLa retta di Simpson
I teoremi di Ceva e Menelao2 Costruzione di afnit
Coordinate afni sulla rettaAfnitCoordinate afni e baricentriche nel piano
3 ProiettivitBirapportiProiettivit tra rette e fasciProiettivit piane
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Afnit e mappe afni
DenizioneSupponiamo che siano date due retter ed s. Una mappainiettivaf : r s detta afnitse per ogni puntoP r edogni coppia di punti distintiA, B r , la coordinata afne dif (P ) relativamente ai punti basef (A) ed f (B ) uguale allacoordinata afne diP relativamente ai punti baseA e B :
f (P )f (B )
f (A)f (B )=
P B
ABPi semplicementef unafnit se preserva i rapporti trasegmenti orientati.
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f f
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Afnit e mappe afni
DenizioneSupponiamo che siano date due retter ed s. Una mappainiettivaf : r s detta afnit se per ogni puntoP r edogni coppia di punti distintiA, B r , la coordinata afne dif (P ) relativamente ai punti basef (A) ed f (B ) uguale allacoordinata afne diP relativamente ai punti baseA e B :
f (P )f (B )
f (A)f (B )=
P B
ABPi semplicementef unafnit se preserva i rapporti trasegmenti orientati.
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Af i f i
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Afnit e mappe afni
Pi in generale
DenizioneUna mappaf : R n R m detta mappa afnese ogni coppiadi puntiA, B R n per ogni coppia di numeri reali e , tali che + = 1 , si ha che
f (A + B ) = f (A) + f (B )
Meno precisamentef una mappa afne se preserva lecoordinate baricentriche sulle rette afni
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Af i f i
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Afnit e mappe afni
Pi in generale
DenizioneUna mappaf : R n R m detta mappa afne se ogni coppiadi puntiA, B R n per ogni coppia di numeri reali e , tali che + = 1 , si ha che
f (A + B ) = f (A) + f (B )
Meno precisamentef una mappa afne se preserva lecoordinate baricentriche sulle rette afni
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Esempio di afnit tra rette
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Esempio di afnit tra retteProiezione parallela
Date due retter ed s ed una terza rettat, che non sia parallelaa nessuna delle prime due, si costruisce unapplicazionef : r S nel seguente modo: si manda per un puntoP di r laretta l parallela at, il puntof (P ) si ottiene quindi intersecandolcon s.
Tale mappa unafnit ed dettaproiezione parallela.
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Afnit tra rette
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Afnit tra rettecome composizione di proiezioni parallele
Unafnitf : r s pu essere ottenuta come composizione didue proiezioni parallele. Possiamo supporref = Id .
Si sceglieA r tale che A = f (A);Si sceglie un puntoA r s non allineato conA ed f (A);Si determinaB come lintersezione della parallela perBalla rettaAA con la parallela perf (B ) alla rettaA f (A),si denota conl la rettaAB ;f composizione di due proiezioni parallele come in gura.
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Afnit tra rette
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Afnit tra rettecome composizione di proiezioni parallele
Unafnitf : r s pu essere ottenuta come composizione didue proiezioni parallele. Possiamo supporref = Id .
Si sceglieA r tale che A = f (A);Si sceglie un puntoA r s non allineato conA ed f (A);Si determinaB come lintersezione della parallela perBalla rettaAA con la parallela perf (B ) alla rettaA f (A),si denota conl la rettaAB ;f composizione di due proiezioni parallele come in gura.
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Afnit tra rette
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Afnit tra rettecome composizione di proiezioni parallele
Unafnitf : r s pu essere ottenuta come composizione didue proiezioni parallele. Possiamo supporref = Id .
Si sceglieA r tale che A = f (A);Si sceglie un puntoA r s non allineato conA ed f (A);Si determinaB come lintersezione della parallela perBalla rettaAA con la parallela perf (B ) alla rettaA f (A),si denota conl la rettaAB ;f composizione di due proiezioni parallele come in gura.
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Afnit tra rette
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Afnit tra rettecome composizione di proiezioni parallele
Unafnitf : r s pu essere ottenuta come composizione didue proiezioni parallele. Possiamo supporref = Id .
Si sceglieA r tale che A = f (A);Si sceglie un puntoA r s non allineato conA ed f (A);Si determinaB come lintersezione della parallela perBalla rettaAA con la parallela perf (B ) alla rettaA f (A),si denota conl la rettaAB ;f composizione di due proiezioni parallele come in gura.
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Afnit tra rette
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Afnit tra rettecome composizione di proiezioni parallele
Unafnitf : r s pu essere ottenuta come composizione didue proiezioni parallele. Possiamo supporref = Id .
Si sceglieA r tale che A = f (A);Si sceglie un puntoA r s non allineato conA ed f (A);Si determinaB come lintersezione della parallela perBalla rettaAA con la parallela perf (B ) alla rettaA f (A),si denota conl la rettaAB ;f composizione di due proiezioni parallele come in gura.
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Afnit piane
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Afnit piane
Unafnit piana manda rette parallele in rette parallele ed pertanto completamente determinata una volta specicata sutre punti non allineati.
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Argomenti
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Argomenti
1 Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative altriangolo
Il cerchio degli otto puntiIl cerchio dei nove puntiLa retta di SimpsonI teoremi di Ceva e Menelao
2 Costruzione di afnitCoordinate afni sulla rettaAfnitCoordinate afni e baricentriche nel piano
3 ProiettivitBirapportiProiettivit tra rette e fasciProiettivit piane
Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
Coordinate baricentriche nel piano
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Coordinate baricentriche nel piano
Supponiamo che nel piano (R 2) siano dati tre puntiA, B e C non allineati.Un puntoP del piano si scrive per una coppia unica di numerireali (, ), come P = A + (B A) + (C A).Pertanto esisitono e sono univocamente determinati tre numerireali , e tali cheP = A + B + C , con + + = 1 .Basta porre = 1 . , e sono detticoordinate baricentriche diP nel sistema diriferimento afne(A,B,C ).
Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
Coordinate baricentriche nel piano
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Coordinate baricentriche nel piano
Supponiamo che nel piano (R 2) siano dati tre puntiA, B e C non allineati.Un puntoP del piano si scrive per una coppia unica di numerireali (, ), come P = A + (B A) + (C A).Pertanto esisitono e sono univocamente determinati tre numerireali , e tali cheP = A + B + C , con + + = 1 .Basta porre = 1 . , e sono detticoordinate baricentriche diP nel sistema diriferimento afne(A,B,C ).
Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
Coordinate baricentriche nel piano
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Coordinate baricentriche nel piano
Supponiamo che nel piano (R 2) siano dati tre puntiA, B e C non allineati.Un puntoP del piano si scrive per una coppia unica di numerireali (, ), come P = A + (B A) + (C A).Pertanto esisitono e sono univocamente determinati tre numerireali , e tali cheP = A + B + C , con + + = 1 .Basta porre = 1 . , e sono detticoordinate baricentriche diP nel sistema diriferimento afne(A,B,C ).
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Coordinate baricentriche nel piano
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Coordinate baricentriche nel piano
Supponiamo che nel piano (R 2) siano dati tre puntiA, B e C non allineati.Un puntoP del piano si scrive per una coppia unica di numerireali (, ), come P = A + (B A) + (C A).Pertanto esisitono e sono univocamente determinati tre numerireali , e tali cheP = A + B + C , con + + = 1 .Basta porre = 1 . , e sono detticoordinate baricentrichedi P nel sistema diriferimento afne(A,B,C ).
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Coordinate baricentriche nel piano
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Coordinate baricentriche nel piano
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Argomenti
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Argomenti
1 Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative altriangoloIl cerchio degli otto punti
Il cerchio dei nove puntiLa retta di SimpsonI teoremi di Ceva e Menelao
2 Costruzione di afnitCoordinate afni sulla rettaAfnitCoordinate afni e baricentriche nel piano
3 ProiettivitBirapportiProiettivit tra rette e fasciProiettivit piane
Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
Proiezioni e birapporti
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pp
Con riferimento alla gura deniamo il birapporto di quattropunti allineati(A,B,C,D ) = AC ADBC BD =
sin( AOC ) sin( BOD )sin( AOD ) sin( BOC )
.Tale numero dipende solo dalle rettea, b, c e d concorrenti epertanto possiamo chiamarlo loro birapporto e scrivere(A,B,C,D ) = ( A , B , C , D ) = ( A , B , C , D ) =(a,b,c,d), doveD il punto allinnito della rettaA B .
Il birapporto invariante per proiezioni e sezioni.
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Proiezioni e birapporti
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Con riferimento alla gura deniamo il birapporto di quattropunti allineati(A,B,C,D ) = AC ADBC BD =
sin( AOC ) sin( BOD )sin( AOD ) sin( BOC )
.Tale numero dipende solo dalle rettea, b, c e d concorrenti epertanto possiamo chiamarlo loro birapporto e scrivere(A,B,C,D ) = ( A , B , C , D ) = ( A , B , C , D ) =(a,b,c,d), doveD il punto allinnito della rettaA B .
Il birapporto invariante per proiezioni e sezioni.
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Proiezioni e birapporti
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Con riferimento alla gura deniamo il birapporto di quattropunti allineati(A,B,C,D ) = AC ADBC BD =
sin( AOC ) sin( BOD )sin( AOD ) sin( BOC )
.Tale numero dipende solo dalle rettea, b, c e d concorrenti epertanto possiamo chiamarlo loro birapporto e scrivere(A,B,C,D ) = ( A , B , C , D ) = ( A , B , C , D ) =(a,b,c,d), doveD il punto allinnito della rettaA B .
Il birapporto invariante per proiezioni e sezioni.
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Proiezioni e birapportiP i d l bi
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Propriet del birapporto
posto := ( A,B,C,D ) si ha:(A,B,C,D ) = ( B,A,D,C ) = ( C,D,A,B )
(A,B,D,C ) =1
(A,C,B,D ) = 1
(A,D,C,B ) =
1(A,B,C,D ) = ( A,B,C,E ) D = E
Il birapporto di quattro punti (rette) distinti sempre diverso da0, 1 o .Si vedano anchehttp://en.wikipedia.org/wiki/Cross_ratioehttp://it.wikipedia.org/wiki/Birapporto
Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
Proiezioni e birapportiP i t d l bi t
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Propriet del birapporto
posto := ( A,B,C,D ) si ha:(A,B,C,D ) = ( B,A,D,C ) = ( C,D,A,B )
(A,B,D,C ) =1
(A,C,B,D ) = 1
(A,D,C,B ) = 1
(A,B,C,D ) = ( A,B,C,E ) D = E Il birapporto di quattro punti (rette) distinti sempre diverso da
0, 1 o .Si vedano anchehttp://en.wikipedia.org/wiki/Cross_ratioehttp://it.wikipedia.org/wiki/Birapporto
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Proiezioni e birapportiPropriet del birapporto
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Propriet del birapporto
posto := ( A,B,C,D ) si ha:(A,B,C,D ) = ( B,A,D,C ) = ( C,D,A,B )
(A,B,D,C ) =1
(A,C,B,D ) = 1
(A,D,C,B ) = 1
(A,B,C,D ) = ( A,B,C,E ) D = E Il birapporto di quattro punti (rette) distinti sempre diverso da
0, 1 o .Si vedano anchehttp://en.wikipedia.org/wiki/Cross_ratioehttp://it.wikipedia.org/wiki/Birapporto
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Proiezioni e birapportiPropriet del birapporto
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Propriet del birapporto
posto := ( A,B,C,D ) si ha:(A,B,C,D ) = ( B,A,D,C ) = ( C,D,A,B )
(A,B,D,C ) =1
(A,C,B,D ) = 1
(A,D,C,B ) = 1
(A,B,C,D ) = ( A,B,C,E ) D = E Il birapporto di quattro punti (rette) distinti sempre diverso da
0, 1 o .Si vedano anchehttp://en.wikipedia.org/wiki/Cross_ratioehttp://it.wikipedia.org/wiki/Birapporto
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Proiezioni e birapportiPropriet del birapporto
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Propriet del birapporto
posto := ( A,B,C,D ) si ha:(A,B,C,D ) = ( B,A,D,C ) = ( C,D,A,B )
(A,B,D,C ) =1
(A,C,B,D ) = 1
(A,D,C,B ) = 1
(A,B,C,D ) = ( A,B,C,E ) D = E Il birapporto di quattro punti (rette) distinti sempre diverso da
0, 1 o .Si vedano anchehttp://en.wikipedia.org/wiki/Cross_ratioehttp://it.wikipedia.org/wiki/Birapporto
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Propriet del birapporto
posto := ( A,B,C,D ) si ha:(A,B,C,D ) = ( B,A,D,C ) = ( C,D,A,B )
(A,B,D,C ) =1
(A,C,B,D ) = 1
(A,D,C,B ) = 1
(A,B,C,D ) = ( A,B,C,E ) D = E Il birapporto di quattro punti (rette) distinti sempre diverso da
0, 1 o .Si vedano anchehttp://en.wikipedia.org/wiki/Cross_ratioehttp://it.wikipedia.org/wiki/Birapporto
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1 Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al
triangoloIl cerchio degli otto puntiIl cerchio dei nove puntiLa retta di SimpsonI teoremi di Ceva e Menelao
2 Costruzione di afnitCoordinate afni sulla rettaAfnitCoordinate afni e baricentriche nel piano
3 ProiettivitBirapportiProiettivit tra rette e fasciProiettivit piane
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Proiettivit tra rette (fasci)Denizione
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Denizione
DenizioneUna proiettivit tra due rette (fasci di rette)r ed s una mappabiunivocaf : r s che conserva i birapporti delle quaterne dipunti (rette):(ABCD ) = ( f (A), f (B ), f (C ), f (D )) .
EsempioUn esempio di proiettivit tra rette la proiezione centrale diuna retta su di unaltra.
EsempioUn esempio di proiettivit tra fasci quella che si ottienesecando le rette dei due fasci con una retta ssao eassociando ad una rettar di un fascio la rettar dellaltro fascioche soddisfa la condizioner o = r o.
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Proiettivit tra rette (fasci)Denizione
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Denizione
DenizioneUna proiettivit tra due rette (fasci di rette)r ed s una mappabiunivocaf : r s che conserva i birapporti delle quaterne dipunti (rette):(ABCD ) = ( f (A), f (B ), f (C ), f (D )) .
EsempioUn esempio di proiettivit tra rette la proiezione centrale diuna retta su di unaltra.
EsempioUn esempio di proiettivit tra fasci quella che si ottienesecando le rette dei due fasci con una retta ssao eassociando ad una rettar di un fascio la rettar dellaltro fascioche soddisfa la condizioner o = r o.
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Proiettivit tra rette (fasci)Denizione
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Denizione
DenizioneUna proiettivit tra due rette (fasci di rette)r ed s una mappabiunivocaf : r s che conserva i birapporti delle quaterne dipunti (rette):(ABCD ) = ( f (A), f (B ), f (C ), f (D )) .
EsempioUn esempio di proiettivit tra rette la proiezione centrale diuna retta su di unaltra.
EsempioUn esempio di proiettivit tra fasci quella che si ottienesecando le rette dei due fasci con una retta ssao eassociando ad una rettar di un fascio la rettar dellaltro fascioche soddisfa la condizioner o = r o.
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Proiettivit tra rettecome composizione di proiezioni
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p p
TeoremaSe r ed s sono due rette distinte, allora comunque siano assegnati tre punti distinti A,B,C r e tre punti distinti A , B , C s esiste una ed una sola proiettivit f : r s tale che f (A) = A , f (B ) = B e f (C ) = C , inoltre f si ottiene
come prodotto di due proiettivit.
Dim.Si supponga cheB = r s = f (B ). Si scelganoO = O sulla rettaBf (B )e non sulla rettar n sullaretta s.
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Proiettivit tra rettecome composizione di proiezioni
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p p
TeoremaSe r ed s sono due rette distinte, allora comunque siano assegnati tre punti distinti A,B,C r e tre punti distinti A , B , C s esiste una ed una sola proiettivit f : r s tale che f (A) = A , f (B ) = B e f (C ) = C , inoltre f si ottiene
come prodotto di due proiettivit.
Dim.Si ponga A = OA Of (A) e C = OB Of (C ).
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Proiettivit tra rettecome composizione di proiezioni
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p p
TeoremaSe r ed s sono due rette distinte, allora comunque siano assegnati tre punti distinti A,B,C r e tre punti distinti A , B , C s esiste una ed una sola proiettivit f : r s tale che f (A) = A , f (B ) = B e f (C ) = C , inoltre f si ottiene
come prodotto di due proiettivit.
Dim.Limmaginef (P ) del pun-to P si trova proiettandoP da O sulla retta AC (si trovaP ) e successi-vamente proiettando P da Osu s.
Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
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1 Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al
triangoloIl cerchio degli otto puntiIl cerchio dei nove puntiLa retta di SimpsonI teoremi di Ceva e Menelao
2 Costruzione di afnitCoordinate afni sulla rettaAfnitCoordinate afni e baricentriche nel piano
3 ProiettivitBirapportiProiettivit tra rette e fasciProiettivit piane
Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
Proiettivit piane
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DenizioneUna applicazione biunivocaf : tra due piani (proiettivi) detta essere una proiettivit se manda rette (proiettive) in rettee preserva i birapporti delle quaterne di punti allineati.
Una proiettivit piana completamente determinata una voltache sia assegnata su quattro punti a tre a tre non allineati (inposizione generale).
Esercizio
Date due quaterne di punti nel piano etrambe in posizionegenerale, determinare geometricamente una proiettivit chemanda la prima quaterna nella seconda (analogamente aquanto fatto per le afnit).
Il cerchio dei nove punti e altre costruzioni relative al triangolo Costruzione di afnit Proiettivit
Proiettivit piane
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DenizioneUna applicazione biunivocaf : tra due piani (proiettivi) detta essere una proiettivit se manda rette (proiettive) in rettee preserva i birapporti delle quaterne di punti allineati.
Una proiettivit piana completamente determinata una voltache sia assegnata su quattro punti a tre a tre non allineati (inposizione generale).
Esercizio
Date due quaterne di punti nel piano etrambe in posizionegenerale, determinare geometricamente una proiettivit chemanda la prima quaterna nella seconda (analogamente aquanto fatto per le afnit).
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Proiettivit piane
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DenizioneUna applicazione biunivocaf : tra due piani (proiettivi) detta essere una proiettivit se manda rette (proiettive) in rettee preserva i birapporti delle quaterne di punti allineati.
Una proiettivit piana completamente determinata una voltache sia assegnata su quattro punti a tre a tre non allineati (inposizione generale).
Esercizio
Date due quaterne di punti nel pianoetrambe in posizionegenerale, determinare geometricamente una proiettivit chemanda la prima quaterna nella seconda (analogamente aquanto fatto per le afnit).
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Teorema di Steiner
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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Teorema1 Unapplicazione f : r s tra due rette distinte del piano
proiettivo una proiettivit se e solo se le rette P f (P ), al variare di P r , inviluppano una conica (eventualmente singolare).
2 Unapplicazione f : F G tra due fasci distinti di rette del piano proiettivo una proiettivit se e solo se i punti r f (r ), al variare di r F , giacciono su di una conica
(eventualmente singolare).
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Teorema di Steiner
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Teorema1 Unapplicazione f : r s tra due rette distinte del piano
proiettivo una proiettivit se e solo se le rette P f (P ), al variare di P r , inviluppano una conica (eventualmente singolare).
2 Unapplicazione f : F G tra due fasci distinti di rette del piano proiettivo una proiettivit se e solo se i punti r f (r ), al variare di r F , giacciono su di una conica
(eventualmente singolare).
Vedi animazione
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Argomenti
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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4 Geometria proiettiva del triangoloQuaterne armonicheLa coppia tripolo tripolareConiche circoscritte ed inscritte
Triangoli ceviani e precevianiinvoluzioni quadratiche
5 Spunti per gli studentiProposte di approfondimentoDualitUna costruzione
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
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5 Spunti per gli studentiProposte di approfondimentoDualitUna costruzione
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Quaterne armoniche
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DenizioneUna quaternaA, B , C e D di punti allineati detta quaternaarmonica se (A,B,C,D ) = 1.
Quattro punti distinti allineatiA, B , C e D formano unaqueterna armonica se e solo se vale una delle seguentieguaglianze
(A,B,C,D ) = ( A,B,D,C ) = ( B,A,C,D ) = ( B,A,D,C )
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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Quaterne armoniche
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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DenizioneUna quaternaA, B , C e D di punti allineati detta quaternaarmonica se (A,B,C,D ) = 1.
Se quattro punti allineatiA, B , C e D formano una quaternaarmonica si usa anche dire che:
le coppie di punti(A, B ) e (C, D ) si separanoarmonicamente,I puntiC e D sono coniugati armonici rispetto alla coppia(A, B ),I puntiA e B sono coniugati armonici rispetto alla coppia(C, D ).
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Quaterne armoniche
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DenizioneUna quaternaA, B , C e D di punti allineati detta quaternaarmonica se (A,B,C,D ) = 1.
Se quattro punti allineatiA, B , C e D formano una quaternaarmonica si usa anche dire che:
le coppie di punti(A, B ) e (C, D ) si separanoarmonicamente,I puntiC e D sono coniugati armonici rispetto alla coppia(A, B ),I puntiA e B sono coniugati armonici rispetto alla coppia(C, D ).
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DenizioneUna quaternaA, B , C e D di punti allineati detta quaternaarmonica se (A,B,C,D ) = 1.
Se quattro punti allineatiA, B , C e D formano una quaternaarmonica si usa anche dire che:
le coppie di punti(A, B ) e (C, D ) si separanoarmonicamente,I puntiC e D sono coniugati armonici rispetto alla coppia(A, B ),I puntiA e B sono coniugati armonici rispetto alla coppia(C, D ).
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DenizioneUna quaternaA, B , C e D di punti allineati detta quaternaarmonica se (A,B,C,D ) = 1.
Se quattro punti allineatiA, B , C e D formano una quaternaarmonica si usa anche dire che:
le coppie di punti(A, B ) e (C, D ) si separanoarmonicamente,I puntiC e D sono coniugati armonici rispetto alla coppia(A, B ),I puntiA e B sono coniugati armonici rispetto alla coppia(C, D ).
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Teorema del quadrangolo
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Teorema del quadrangoloUna quaterna di punti allineati A,B ,C e D armonica se e solo se esiste un quadrangolo tale che due dei suoi lati passano per A, altri due per B edi rimanenti due uno per C e laltro per D .
Dim.
Proiettando daL si ha (A,B,C,D ) =(M,O,T,D ),
proiettando daN si ha (M,O,T,D ) =(B,A,C,D )) .
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Teorema del quadrangolo
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Teorema del quadrangoloUna quaterna di punti allineati A,B ,C e D armonica se e solo se esiste un quadrangolo tale che due dei suoi lati passano per A, altri due per B edi rimanenti due uno per C e laltro per D .
Dim.
Proiettando daL si ha (A,B,C,D ) =(M,O,T,D ),proiettando da
N si ha
(M,O,T,D ) =(B,A,C,D )) .
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Teorema del quadrangolo
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Teorema del quadrangoloUna quaterna di punti allineati A,B ,C e D armonica se e solo se esiste un quadrangolo tale che due dei suoi lati passano per A, altri due per B edi rimanenti due uno per C e laltro per D .
Dim.
Proiettando daL si ha (A,B,C,D ) =(M,O,T,D ),proiettando da
N si ha
(M,O,T,D ) =(B,A,C,D )) .
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Teorema del quadrangolo
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Teorema del quadrangoloUna quaterna di punti allineati A,B ,C e D armonica se e solo se esiste un quadrangolo tale che due dei suoi lati passano per A, altri due per B edi rimanenti due uno per C e laltro per D .
Dim.Pertanto
(A,B,C,D ) = ( B,A,C,D ) = 1
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Teorema del quadrangolo
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Teorema del quadrangoloUna quaterna di punti allineati A,B ,C e D armonica se e solo se esiste un quadrangolo tale che due dei suoi lati passano per A, altri due per B edi rimanenti due uno per C e laltro per D .
Dim.Limplicazione opposta viene dalluni-cit del puntoD allineato conA, B eC tale che (A,B,C,D ) = 1.
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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4 Geometria proiettiva del triangoloQuaterne armonicheLa coppia tripolo tripolareConiche circoscritte ed inscritte
Triangoli ceviani e precevianiinvoluzioni quadratiche
5 Spunti per gli studentiProposte di approfondimentoDualitUna costruzione
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
La coppia tripolo tripolare
-
8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
91/169
Consideriamo un triangoloABC ed un punto P del
piano.Poniamo
X = CP AB,Y = AP BC,Z = AP BC.
Nota: il triangolo XY Z il triangolo ceviano di P rispetto al triangolo ABC .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
La coppia tripolo tripolare
http://find/http://goback/ -
8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
92/169
DeterminiamoX = Y Z AB .Per il teorema del quadrangoloX il coniugato armonico diX
relativamente al segmentoAB :(X, X ,A,B ) = 1.
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
La coppia tripolo tripolare
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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DeterminiamoX = Y Z AB .Per il teorema del quadrangoloX il coniugato armonico diX
relativamente al segmentoAB :(X, X ,A,B ) = 1.
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
La coppia tripolo tripolare
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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Analogamente deniamo
Y = XZ BC e Z = XY AC.
Anche in questo caso si trova(Y, Y ,B ,C ) = ( Z, Z ,C ,A) = 1.I punti X , Y e Z sonoallineati (perch?).
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
La coppia tripolo tripolare
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
95/169
Analogamente deniamo
Y = XZ BC e Z = XY AC.
Anche in questo caso si trova(Y, Y ,B ,C ) = ( Z, Z ,C ,A) = 1.I punti X , Y e Z sonoallineati(perch?).
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
La coppia tripolo tripolare
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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La rettaT (P ) := X Y Z vienedettatripolare del puntoP e P dettotripolo della rettaX Y Z .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Costruzione del tripolo
Ci proponiamo ora didetermi-
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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p p
nare il tripolo della rettache in-terseca i lati del triangolo inX ,Y e Z .Indichiamo conU il punto diintersezione delle retteZ B e
X
C , con Y il punto di interse-zione delle retteAU e BC , conZ il punto di intersezione dellerette X Y e AC ed inne conX il punto di intersezione dellerette Y Z e AB .Il tripoloP cercato di ottiene co-me intersezione delle tre retteCX , AY e BZ .
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Costruzione del tripolo
Ci proponiamo ora di determi-
-
8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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nare il tripolo della retta che in-terseca i lati del triangolo inX ,Y e Z .Indichiamo conU il punto diintersezione delle retteZ B e
X
C , con Y il punto di interse-zione delle retteAU e BC , conZ il punto di intersezione dellerette X Y e AC ed inne conX il punto di intersezione dellerette Y Z e AB .Il tripoloP cercato di ottiene co-me intersezione delle tre retteCX , AY e BZ .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Costruzione del tripolo
Ci proponiamo ora di determi-
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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nare il tripolo della retta che in-terseca i lati del triangolo inX ,Y e Z .Indichiamo conU il punto diintersezione delle retteZ B e
X
C , con Y il punto di interse-zione delle retteAU e BC , conZ il punto di intersezione dellerette X Y e AC ed inne conX il punto di intersezione dellerette Y Z e AB .Il tripoloP cercato di ottiene co-me intersezione delle tre retteCX , AY e BZ .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Costruzione del tripolo
Ci proponiamo ora di determi-
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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nare il tripolo della retta che in-terseca i lati del triangolo inX ,Y e Z .Indichiamo conU il punto diintersezione delle retteZ B e
X
C , con Y il punto di interse-zione delle retteAU e BC , conZ il punto di intersezione dellerette X Y e AC ed inne conX il punto di intersezione dellerette Y Z e AB .Il tripoloP cercato di ottiene co-me intersezione delle tre retteCX , AY e BZ .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Costruzione del tripolo
Ci proponiamo ora di determi-l l d ll h
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
102/169
nare il tripolo della retta che in-terseca i lati del triangolo inX ,Y e Z .Indichiamo conU il punto diintersezione delle retteZ B e
X
C , con Y il punto di interse-zione delle retteAU e BC , conZ il punto di intersezione dellerette X Y e AC ed inne conX il punto di intersezione dellerette Y Z e AB .Il tripoloP cercato di ottiene co-me intersezione delle tre retteCX , AY e BZ .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Argomenti
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
103/169
4 Geometria proiettiva del triangoloQuaterne armonicheLa coppia tripolo tripolareConiche circoscritte ed inscritte
Triangoli ceviani e precevianiinvoluzioni quadratiche
5 Spunti per gli studentiProposte di approfondimentoDualitUna costruzione
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Circumconiche
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
104/169
Una circumconicadel triangolo ABC una qualunque conicapassante per i tre puntiA, B e C . una circumconica il cerchio circoscritto al triangoloABC
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Circumconiche
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
105/169
Una circumconica del triangoloABC una qualunque conicapassante per i tre puntiA, B e C . una circumconica il cerchio circoscritto al triangoloABC
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Costruzione di circumconiche
Con CaRMetal[1]proviamo ad eseguire un:
http://find/http://goback/ -
8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
106/169
[ ]p g
EsperimentoFissiamo un puntoP nel piano e consideriamo il luogo di tutti itripoli delle rette che passano perP
file://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.html
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Costruzione di circumconiche
Con CaRMetal[1]proviamo ad eseguire un:
http://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://find/http://goback/ -
8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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p g
EsperimentoFissiamo un puntoP nel piano e consideriamo il luogo di tutti itripoli delle rette che passano perP
file://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.html
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Costruzione di circumconiche
Con CaRMetal[1]proviamo ad eseguire un:
http://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://find/http://goback/ -
8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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p g
EsperimentoFissiamo un puntoP nel piano e consideriamo il luogo di tutti itripoli delle rette che passano perP
file://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.html
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Costruzione di circumconiche
Con CaRMetal[1]proviamo ad eseguire un:
http://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://find/http://goback/ -
8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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EsperimentoFissiamo un puntoP nel piano e consideriamo il luogo di tutti itripoli delle rette che passano perP
file://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.html
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Problemi
http://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://localhost/Users/gavioli/Documents/ceva/circumconica1.htmlhttp://find/http://goback/ -
8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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ProblemaLa curva costruita in questo modo una conica associata alpunto P (che dora in poi chiameremoconica dei tripoli del fascio con centro P ): perch?
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Problemi
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
111/169
Problema
Posso usare questa costruzione per determinare la conica chepassa per 5 punti preassegnati?
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
112/169
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Problemi
-
8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
113/169
ProblemaPosso usare questa costruzione per determinare la conica chepassa per 4 punti preassegnati ed in uno di essi tangente auna retta preassegnata?
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Coniche inscritte.
La costruzione duale di quella appena presentata serve a
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
114/169
q pp pcostruire coniche inscritte nel triangolo:CostruzioneLinviluppo delle tripolari che corrispondono ai puntiP di unaretta r una conica tangente ai lati del triangolo.
Mostrate che lua curva determinata una conica e che i punti di tangenzaX , Y e Z si sono le proiezioni ceviane
del tripoloQ della rettar . Deducete ilteorema delle tre tangenti (vedi lucidosuccessivo).
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Coniche inscritte.
La costruzione duale di quella appena presentata serve a
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
115/169
q pp pcostruire coniche inscritte nel triangolo:CostruzioneLinviluppo delle tripolari che corrispondono ai puntiP di unaretta r una conica tangente ai lati del triangolo.
Mostrate che lua curva determinata una conica e che i punti di tangenzaX , Y e Z si sono le proiezioni ceviane
del tripoloQ della rettar . Deducete ilteorema delle tre tangenti (vedi lucidosuccessivo).
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Coniche inscritte.
La costruzione duale di quella appena presentata serve a
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
116/169
costruire coniche inscritte nel triangolo:CostruzioneLinviluppo delle tripolari che corrispondono ai puntiP di unaretta r una conica tangente ai lati del triangolo.
Mostrate che lua curva determinata una conica e che i punti di tangenzaX , Y e Z si sono le proiezioni ceviane
del tripoloQ della rettar . Deducete ilteorema delle tre tangenti (vedi lucidosuccessivo).
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Teorema delle tre tangenti
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
117/169
Teorema delle tre tangentiEsiste una conica tangente alle tre rette AB , BC e CDrispettivamente nei punti X , Y e Z se e solo se le tre rette AY ,BZ e CX sono concorrenti.
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Argomenti
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
118/169
4 Geometria proiettiva del triangoloQuaterne armonicheLa coppia tripolo tripolareConiche circoscritte ed inscritteTriangoli ceviani e precevianiinvoluzioni quadratiche
5 Spunti per gli studentiProposte di approfondimento
DualitUna costruzione
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Triangolo ceviano di un punto
Teorema del triangolo ceviano
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
119/169
Sia dato il triangolo ceviano AP BP C P del punto P rispetto al triangolo ABC . Posto D := AP C P BP , E := BP AP C P ed F := CP AP BP , si ha che le quaterne APDA P , BPEB P e CPFC P sono armoniche.
Dim.
Tracciamo il triangolo cevianodi P relativamente al triango-lo ABC . Poniamo G :=AP C P AC .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Triangolo ceviano di un punto
Teorema del triangolo ceviano
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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Sia dato il triangolo ceviano AP BP C P del punto P rispetto al triangolo ABC . Posto D := AP C P BP , E := BP AP C P ed F := CP AP BP , si ha che le quaterne APDA P , BPEB P e CPFC P sono armoniche.
Dim.
Tracciamo il triangolo cevianodi P relativamente al triango-lo ABC . Poniamo G :=AP C P AC .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Triangolo ceviano di un punto
Teorema del triangolo ceviano
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
121/169
Sia dato il triangolo ceviano AP BP C P del punto P rispetto al triangolo ABC . Posto D := AP C P BP , E := BP AP C P ed F := CP AP BP , si ha che le quaterne APDA P , BPEB P e CPFC P sono armoniche.
Dim.
Il Teorema del quadrango-lo applicato al quadrangoloAP P C P B mostra che laquaterna CAB P G armonica.
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Triangolo ceviano di un punto
Teorema del triangolo ceviano
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
122/169
Sia dato il triangolo ceviano AP BP C P del punto P rispetto al triangolo ABC . Posto D := AP C P BP , E := BP AP C P ed F := CP AP BP , si ha che le quaterne APDA P , BPEB P e CPFC P sono armoniche.
Dim.Proiettando con centroAP laretta AC sulla retta BC trovia-mo...
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Triangolo ceviano di un punto
Teorema del triangolo ceviano
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
123/169
Sia dato il triangolo ceviano AP BP C P del punto P rispetto al triangolo ABC . Posto D := AP C P BP , E := BP AP C P ed F := CP AP BP , si ha che le quaterne APDA P , BPEB P e CPFC P sono armoniche.
Dim.
(B,P,E,B P ) = ( C,A,G,B P ) =1/ (C,A,B P , G) = 1.
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Triangolo ceviano di un punto
Teorema del triangolo ceviano
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
124/169
Sia dato il triangolo ceviano AP BP C P del punto P rispetto al triangolo ABC . Posto D := AP C P BP , E := BP AP C P ed F := CP AP BP , si ha che le quaterne APDA P , BPEB P e CPFC P sono armoniche.
Dim.Cosicch la quaternaBPEB P armonica. Con un ragio-namento analogo si vede che
le restanti quaterneAPDA P eCPFC P sono armoniche.
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Triangolo preceviano
DenizioneP P P
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
125/169
Un triangolo AP B P C P detto preceviano del puntoP relativamente al triangolo ABC se ABC il triangoloceviano diP relativamente al triangolo AP B P C P .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Triangolo preceviano
Esercizio
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
126/169
Dati nel piano un triangoloABC ed un puntoP si determininoi puntiAP , B P e C P tali che le quaterneAAP P A P , BB P P B P eCC P P C P siano armoniche. Dimostrare che AP B P C P lunico triangolo preceviano diP relativamente a ABC .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Argomenti
4 G i i i d l i l
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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4 Geometria proiettiva del triangoloQuaterne armonicheLa coppia tripolo tripolareConiche circoscritte ed inscritteTriangoli ceviani e precevianiinvoluzioni quadratiche
5 Spunti per gli studentiProposte di approfondimento
DualitUna costruzione
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Involuzioni di Cremona
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
128/169
Consideriamo quattro puntiA, B , C , P , nel piano proiettivo, atre a tre non allineati (formano pertanto un riferimentoproiettivo)
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Involuzioni di Cremona
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
129/169
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Involuzioni di Cremona
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
130/169
Con le notazioni gi utilizzate determiniamo la tripolare
T (P ) = X
Y
Z
del puntoP
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Involuzioni di Cremona
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
131/169
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Involuzioni di Cremona
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
132/169
Scegliamo ora un puntoQ del piano e consideriamo le sueproiezioni ceviane:L = AB CQ , M = BC AQ eN = CA BQ (in blu nella prossima gura).
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Involuzioni di Cremona
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
133/169
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Involuzioni di Cremona
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
134/169
Si determinano i puntiL , M , ed N coniugati armonici diL, M ed N rispetto alle coppie(X, X ), (Y, Y ) e (Z, Z ) (in cianonella prossima gura).
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
135/169
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Involuzioni di Cremona
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
136/169
Le tre retteAM , BN e CM si incontrano in un puntoQ(dimostratelo). Il puntoQ detto trasformato di Cremona diQrelativamente al riferimento proiettivoABCP .
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Involuzioni di Cremona
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
137/169
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Involuzioni di Cremona
Lapplicazione : Q Q viene detta involuzione quadratica di
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
138/169
L applicazione : Q Q viene detta involuzione quadratica diCremona relativamente al riferimento proiettivoABCP e non denita nei puntiA, B e C . La mappa una trasformazionedel piano privato delle tre retteAB , BC e AC in s ed
involutoria: 2
= Id .La mappa trasforma rette in coniche circoscritte al triangoloABC . Dimostrate che, nel caso in cuiP sia lincentro diABC (e la traformazione viene allora detta coniugio
isogonale), il circoncerchio diABC si ottiene come
trasformato della retta impropria tramite .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Involuzioni di Cremona
Lapplicazione : Q Q viene detta involuzione quadratica di
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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L applicazione : Q Q viene detta involuzione quadratica diCremona relativamente al riferimento proiettivoABCP e non denita nei puntiA, B e C . La mappa una trasformazionedel piano privato delle tre retteAB , BC e AC in s ed
involutoria: 2
= Id .La mappa trasforma rette in coniche circoscritte al triangoloABC . Dimostrate che, nel caso in cuiP sia lincentro diABC (e la traformazione viene allora detta coniugio
isogonale), il circoncerchio diABC si ottiene come
trasformato della retta impropria tramite .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Tangenti nei vertici del triangoloNella gura appare in verde la conica trasformata di Cremonadella rettar (in blu),Q = (Q).
Posto U = r AC Preso un punto qualunqueS sulla rettaBUt t h l tt l tt t t ll
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
140/169
Posto U r AC . Preso un punto qualunqueS sulla rettaBU mostrate che la rettaBS = B (S ) la retta tangente allasuddetta conica nel puntoB .Si pu dedurre che al variare della rettar nel fascio di rette dicentro U , le corrispondenti coniche (r ), variano nel fasciodelle coniche passanti perA, B , C e tangenti inB alla rettaBU .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Tangenti nei vertici del triangoloNella gura appare in verde la conica trasformata di Cremonadella rettar (in blu),Q = (Q).
Posto U = r AC . Preso un punto qualunqueS sulla rettaBU t t h l tt BS B (S) l tt t g t ll
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
141/169
Posto . Preso un punto qualunque sulla rettamostrate che la rettaBS = B (S ) la retta tangente allasuddetta conica nel puntoB .Si pu dedurre che al variare della rettar nel fascio di rette dicentro U , le corrispondenti coniche (r ), variano nel fasciodelle coniche passanti perA, B , C e tangenti inB alla rettaBU .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Tangenti nei vertici del triangoloNella gura appare in verde la conica trasformata di Cremonadella rettar (in blu),Q = (Q).
Posto U = r AC . Preso un punto qualunqueS sulla rettaBU mostrate che la rettaBS B (S) la retta tangente alla
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
142/169
Posto . Preso un punto qualunque sulla rettamostrate che la rettaBS = B (S ) la retta tangente allasuddetta conica nel puntoB .Si pu dedurre che al variare della rettar nel fascio di rette dicentro U , le corrispondenti coniche (r ), variano nel fasciodelle coniche passanti perA, B , C e tangenti inB alla rettaBU .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Il cerchio dei nove punti
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
143/169
EsercizioIn un triangolo ABC di cosiderino lortocentroH ed i piediR ,S e T delle altezze. Mostrate che la trasformata di Cremonadella retta impropria relativamento al riferimento proiettivodeterminato dai puntiR , S , T e H il cerchio dei nove punti deltriangolo ABC .
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Argomenti
4 Geometria proiettiva del triangoloQuaterne armoniche
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
144/169
p gQuaterne armonicheLa coppia tripolo tripolareConiche circoscritte ed inscritteTriangoli ceviani e precevianiinvoluzioni quadratiche
5 Spunti per gli studentiProposte di approfondimento
DualitUna costruzione
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
145/169
EsercizioDeterminate geometricamente le tangenti nei vertici deltriangolo ABC della conica dei tripoli delle rette passanti perP .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Proposte di approfondimento
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
146/169
EsercizioUtilizzando la conica dei tripoli delle rette passanti per per un
punto (o altra costruzione illustrata), determinategeometricamente le coniche passanti per tre punti preassegnatia tangenti in due di essi a due rette preassegnate.
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Proposte di approfondimento
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
147/169
EsercizioUtilizzando la conica dei tripoli delle rette passanti per per un
punto (o altra costruzione illustrata), determinategeometricamente il fascio delle coniche passanti per quattropunti preassegnati.
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Proposte di approfondimento
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
148/169
EsercizioDimostrate che le costruzioni illustrate determinanoeffettivamente delle coniche.
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Proposte di approfondimento
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
149/169
EsercizioTentate di dare una classicazione afne delle conichecostruite con i metodi illustrati.
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Proposte di approfondimento
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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EsercizioMostrate che la tripolare di un puntoP rispetto al triangolo
ABC coincide con la tripolare diP rispetto al triangoloceviano AP BP C P
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Argomenti
4 Geometria proiettiva del triangoloQuaterne armoniche
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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QLa coppia tripolo tripolareConiche circoscritte ed inscritteTriangoli ceviani e precevianiinvoluzioni quadratiche
5 Spunti per gli studentiProposte di approfondimentoDualitUna costruzione
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Dualit
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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Consideriamo il triangolo cevianoAP BP C P del puntoP rispetto al triangolo ABC .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Dualit
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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Cosrtruiamo la conica (in blu in gura) dei poli di tutte le retteper P relativamente al triangolo cevianoAP BP C P del puntoP rispetto al triangolo ABC .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Dualit
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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Tale conica circoscritta al triangolo cevianoAP BP C P erisulta essere inscritta al triangolo ABC (perch?).
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Dualit
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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Consideriamo la retta tripolareT (P ) del puntoP relativamenteal triangolo ABC ed un suo puntoQ.
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Dualit
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La rettaT (Q), tripolare diQ rispetto al triangolo ABC , risultaesse tangente alla conica (perch?).
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Dualit
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Posto F = T (Q) AB e G := T Q BC denianoH := F A P GC P .
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Dualit
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Il puntoT := BH T (Q) il punto in cui la rettaT Q tangentealla conica (a voi il compito di dimostrarlo. . .).
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Argomenti
4Geometria proiettiva del triangoloQuaterne armoniche
L i t i l t i l
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La coppia tripolo tripolareConiche circoscritte ed inscritteTriangoli ceviani e preceviani
involuzioni quadratiche
5 Spunti per gli studentiProposte di approfondimentoDualitUna costruzione
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Una costruzione
Il lettore invitato a dimostrareche
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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Il lettore invitato a dimostrarechela costruzione che verr illustrata per-mette effettivamente di determinarelaconica che passa per i puntiA, B e C ed tangente inD alla rettat.
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Una costruzione
C id i il i l
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Consideriamo il triangoloABC .Costruiamo il triangolo AD BD C Dceviano di D relativamente a
ABC . . .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Una costruzione
C id i il i l
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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Consideriamo il triangoloABC .Costruiamo il triangolo AD BD C Dceviano di D relativamente a
ABC . . .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Una costruzione
i t hi i i l ti l tt
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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e intersechiamo i suoi lati con la rettat, ottenendo in tal modo i puntiG, F e H . Consideriamo ora il triangolo
IJK delimitato dalle retteBF , AG eCH .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Una costruzione
e intersechiamo i suoi lati con la retta
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e intersechiamo i suoi lati con la rettat, ottenendo in tal modo i puntiG, F e H . Consideriamo ora il triangolo
IJK delimitato dalle retteBF , AG eCH .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Una costruzione
Le tre retteIB JC e KA si incontrano
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Le tre retteIB , JC e KA si incontranoin un puntoP .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Una costruzione
La conica dei tripoli delle rette perP
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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rispetto al triangolo ABC . . .
Geometria proiettiva del triangolo Spunti per gli studenti
Una costruzione
La conica dei tripoli delle rette perP
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8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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rispetto al triangolo ABC . . .
la conica cercata.
Bibliograa
Bibliograa
[CaRMetal] Rene Grothmann,CaRMetal sitehtt
http://find/http://goback/http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/index_en.htmlhttp://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/index_en.html -
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http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/index_en.html
[Coxeter, Greitzer, 1967] H. S. M. Coxeter, S. L. GreitzerGeometry Revisited1967 The Mathematical Association of America[Enriques, 1904] Federigo Enriques,Lezioni di Geometria Proiettiva,1904 II ed. Zanichelli (Bologna) Ristampa del 2000
Bibliograa
Bibliograa
[Hyacinthos] Yahoo Group,Hyacinthos We discuss themes on Triangle Geometryhttp://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/
http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/index_en.htmlhttp://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/index_en.htmlhttp://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/index_en.htmlhttp://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/index_en.htmlhttp://find/http://goback/http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/ -
8/8/2019 Dal triangolo alle coniche
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[Honsberger, 1995] Ross Honsberger,Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean
Geometry1995 The Mathematical Association of AmericaNew Mathematical Library[Yiu, 2001] Paul Yiu,
Introduction to the Geometry of the Triangle,http://www.math.fau.edu/yiu/GeometryNotes020402.ps ,2001.
http://www.math.fau.edu/yiu/GeometryNotes020402.pshttp://www.math.fau.edu/yiu/GeometryNotes020402.pshttp://www.math.fau.edu/yiu/GeometryNotes020402.pshttp://www.math.fau.edu/yiu/GeometryNotes020402.pshttp://find/http://goback/