dao ĐỘng phi tuyẾn yẾu cỦa hỆ cẤp ba cÓ ĐẠo hÀm cẤp phÂn...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

BÙI THỊ THUÝ

DAO ĐỘNG PHI TUYẾN YẾU CỦA HỆ CẤP BA

CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ

LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ HỌC

HÀ NỘI – 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

……..….***…………

BÙI THỊ THUÝ

DAO ĐỘNG PHI TUYẾN YẾU CỦA HỆ CẤP BA

CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 62 52 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. GS. TSKH Nguyễn Văn Khang

2. TS Trần Đình Sơn

Hà Nội – 2017

i

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

n, N số nguyên dương

, , , ,p q r ,Q số bất kỳ

nf t đạo hàm cấp n của hàm f

p

aD f t đạo hàm và tích phân cấp phân số p của hàm f

G p

aD f t đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald - Letnikov

R p

aD f t đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville

C p

aD f t đạo hàm cấp phân số theo Caputo

W pD f t tích phân cấp phân số theo Weyl

_

0

D E pD f t đạo hàm cấp phân số theo Davision – Essex

. hàm Gamma

. hàm Beta

. hàm Mittag – Leffler một tham số

, .E hàm Mittag – Leffler hai tham số

. Trung bình theo thời gian

x Đạo hàm theo thời gian của x

MPS Mô phỏng số

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi và chưa được

công bố trong bất cứ công trình nào khác. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là

trung thực.

Tác giả luận án

Bùi Thị Thuý

ii

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến GS.TSKH Nguyễn

Văn Khang và TS Trần Đình Sơn đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong suốt

thời gian thực hiện luận án.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo đã tham gia giảng dạy và đào

tạo trong quá trình học nghiên cứu sinh. Tôi xin cảm ơn Viện Cơ học, Học viện

Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo

điều kiện giúp tôi hoàn thành luận án.

Tôi xin bày tỏ sự cảm ơn tới đơn vị công tác là Bộ môn Cơ lý thuyết, Khoa

Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Mỏ - Địa chất đã ủng hộ, tạo điều kiện thuận

lợi cho tôi trong quá trình làm nghiên cứu sinh.

Xin cảm ơn ThS Dương Văn Lạc và Kỹ sư Trương Quốc Chiến, cảm ơn

gia đình và bạn bè đã khích lệ, động viên và giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi hoàn

thành tốt luận án này.

iii

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

n, N số nguyên dương

, , , ,p q r ,Q số bất kỳ

nf t đạo hàm cấp n của hàm f

p

aD f t đạo hàm và tích phân cấp phân số p của hàm f

G p

aD f t đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald –

Letnikov

R p

aD f t đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann –

Liouville

C p

aD f t đạo hàm cấp phân số theo Caputo

W pD f t tích phân cấp phân số theo Weyl

_

0

D E pD f t đạo hàm cấp phân số theo Davision – Essex

. hàm Gamma

. hàm Bêta

. hàm Mittag – Leffler một tham số

, .E hàm Mittag – Leffler hai tham số

. Trung bình theo thời gian

x Đạo hàm theo thời gian của x

MPS Mô phỏng số

1

MỤC LỤC

Lời cam đoan ………………………………………….……………………………i

Lời cảm ơn..…………………………………………………………….................. . ii

Danh mục các từ viết tắt ......................................................................................... iii

Mục lục ....................................................................................................................... 1

Danh mục hình .......................................................................................................... 3

Mở đầu ....................................................................................................................... 6

Chương 1. Mô hình đàn nhớt cấp phân số ........................................................... 11

1.1. Một số kiến thức bổ trợ ………………………………………………………. 11

1.1.1. Khái niệm và định nghĩa mở đầu đạo hàm và tích phân cấp nguyên ... 11

1.1.2. Hàm Gamma ......................................................................................... 12

1.1.3. Hàm Mittag – Leffler ............................................................................ 16

1.1.4. Biểu thức hợp nhất giữa đạo hàm và tích phân cấp nguyên ................. 18

1.2. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số ……………………………..... 21

1.2.1. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann –

Liouville ............................................................................................................. 21

1.2.2. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald –

Letnikov ............................................................................................................. 22

1.2.3. Định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Caputo ..................................... 24

1.2.4. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo hàm biến phức ..... 25

1.2.5. Một số định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số khác ................. 28

1.3. Mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính …………………………………… 29

1.3.1. Mô hình Kelvin – Voigh cấp phân số (3 tham số c, k, α) ..................... 30

1.3.2. Mô hình Maxwell cấp phân số (3 tham số c, k, α) ............................... 31

1.3.3. Mô hình tuyến tính tiêu chuẩn cấp phân số (4 tham số c, k1, k2, α) ..... 32

1.3.4. Mô hình đàn nhớt của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số ........... 33

1.4. Mô hình đàn nhớt cấp phân số phi tuyến ……………………………………. 35

1.5. Kết luận chương 1 …………………………………………………………… 38

Chương 2. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số

bằng phương pháp số .............................................................................................. 39

2

2.1. Phương pháp Newmark tính toán dao động của hệ động lực cấp ba………… 39

2.1.1. Ý tưởng của phương pháp Newmark ................................................... 39

2.1.2. Tính toán dao động tuyến tính hệ cấp ba .............................................. 41

2.1.3. Tính toán dao động phi tuyến hệ cấp ba ............................................... 41

2.1.4. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số ........ 42

2.2. Phương pháp Runge – Kutta tính toán dao động của hệ động lực cấp một….. 51

2.2.1. Ý tưởng của phương pháp Runge – Kutta ............................................ 51

2.2.2. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số ........ 52

2.3. Kết luận chương 2……………………………………………………………. 62

Chương 3. Tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa

đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp tiệm cận .............................................. 64

3.1. Dao động cộng hưởng của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có

chứa đạo hàm cấp phân số …………………………………………………… 64

3.1.1. Dao động cộng hưởng cưỡng bức của hệ Duffing cấp ba có chứa đạo

hàm cấp phân số ................................................................................................. 64

3.1.2. Dao động cộng hưởng của hệ van der Pol cưỡng bức cấp ba có chứa

đạo hàm cấp phân số .......................................................................................... 73

3.2. Dao động cộng hưởng tham số của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp

phân số ……………………………………………………………………….. 82

3.2.1. Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát Coulomb và cản nhớt theo luật

đạo hàm cấp phân số .......................................................................................... 82

3.2.2. Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát động và cản nhớt theo luật đạo

hàm cấp phân số ................................................................................................. 95

3.3. Kết luận chương 3 …………………………………………………………... 108

Kết luận chung và những đóng góp mới của luận án ........................................ 109

Danh mục các công trình đã công bố .................................................................. 111

Tài liệu tham khảo ................................................................................................ 112

3

DANH MỤC HÌNH

Hình 1.1. Chu tuyến L .............................................................................................. 26

Hình 1.2. Chu tuyến tích phân gồm L1, L2 và γ ....................................................... 27

Hình 1.3. Mô hình đàn hồi tuyến tính 0.E D ................................................ 30

Hình 1.4. Mô hình nhớt tuyến tính cấp nguyên 1.D .................................. 30

Hình 1.5. Mô hình nhớt tuyến tính cấp phân số . tc D ................................. 30

Hình 1.6. Mô hình Kelvin – Voigh .......................................................................... 30

Hình 1.7. Phân tích lực ............................................................................................. 30

Hình 1.8. Mô hình Maxwell ..................................................................................... 31

Hình 1.9. Phân tích lực ............................................................................................. 31

Hình 1.10. Mô hình tuyến tính tiêu chuẩn ................................................................ 32

Hình 1.11. Phân tích lực ........................................................................................... 32

Hình 1.12. Mô hình ô tô ........................................................................................... 33


Hình 1.14. Mô hình giá treo ô tô .............................................................................. 34


Hình 1.16. Mô hình cổ điển ...................................................................................... 35

Hình 1.17. Mô hình mới ........................................................................................... 35

Hình 1.18. Hệ dao động chịu kích động va đập ....................................................... 36

Hình 1.19. So sánh mô hình lý thuyết IIa và thực nghiệm với h = 30mm ............... 37

Hình 1.20. So sánh mô hình lý thuyết IIIc và thực nghiệm với h = 60mm .............. 38

Hình 2.1. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp

phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, 0p a b c f ....................................................... 45


phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, sin3

p a b c f t

....................................... 46


phân số 0.5, 10, 1, 10p a b c ......................................................................... 46

4


phân số 1.5, 1, 1, 1, 0p a b c f .................................................................... 49


phân số 1.5, 1, 1, 1, sin3

p a b c f t

.................................................... 50


phân số 1.5, 10, 1, 10p a b c ......................................................................... 51

Hình 2.7. Xấp xỉ tích phân bởi công thức hình thang .............................................. 54


phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, 0p a b c f ....................................................... 56


phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, sin3

p a b c f t

....................................... 57

Hình 2.10. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm

cấp phân số 1.5, 1, 1, 1, 0p a b c f ............................................................. 61


cấp phân số 1.5, 1, 1, 1, sin3

p a b c f t

.............................................. 61


cấp phân số 1.5, 10, 1, 10p a b c .................................................................. 62

Hình 3.1. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi ............................................. 70

Hình 3.2. Đường cong biên độ tần số khi 0; 0.25p p ..................................... 71

Hình 3.3. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0p p ........................................... 71

Hình 3.4. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0.25p p ...................................... 71

Hình 3.5. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0p p ........................................ 72

Hình 3.6. Đường cong biên độ tần số khi E thay đổi ............................................... 72

Hình 3.7. Đường cong biên độ tần số kết hợp MPS khi 0.5; 0.5p p ............ 73

Hình 3.8. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi ............................................. 79

Hình 3.9. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi .............................................. 79

5


Hình 3.11. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0.25p p .................................... 80


Hình 3.13. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0.75p p .................................... 81

Hình 3.14. Đường cong biên độ tần số khi E thay đổi ............................................. 82

Hình 3.15. Đường cong biên độ tần số kết hợp MPS khi 1; 0.5p p ................ 82

Hình 3.16. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi ........................................... 92

Hình 3.17. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi ............................................ 93

Hình 3.18. Đường cong biên độ tần số khi 0

h thay đổi ............................................ 93

Hình 3.19. Đường cong biên độ tần số khi 0.01; 0.5p p ................................. 94

Hình 3.20. Đường cong biên độ tần số khi MPS 0.01; 0.5p p ........................ 94


Hình 3.22. Đường cong biên độ tần số MPS khi 0; 0.5p p ............................. 95

Hình 3.23. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi ......................................... 104

Hình 3.24. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi .......................................... 105


h thay đổi .......................................... 105

Hình 3.26. Đường cong biên độ tần số khi 20; 0.5; 0.01p p h .................... 106

Hình 3.27. Đường cong biên độ tần số khi 20.01; 0.5; 0.01p p h ............... 107

Hình 3.28. Đường cong biên độ tần số khi 20.01; 0.5; 0.1p p h ................. 107

Hình 3.29. Đường cong biên độ tần số MPS khi 20.01; 0.5; 0.005p p h .... 108

6

MỞ ĐẦU

1. Lý do lựa chọn đề tài

Trong kỹ thuật, nhiều máy và công trình được thiết kế, cấu tạo dựa trên các

mô hình giảm chấn đàn nhớt cấp nguyên Kelvin-Voigt, mô hình Maxwell và mô

hình tuyến tính tiêu chuẩn…Tuy nhiên với sự phát triển của khoa học công nghệ nói

chung và cơ học nói riêng, càng ngày càng có nhiều vật liệu mới ra đời (như cao su

tổng hợp, silicone…), những mô hình đàn nhớt cổ điển với đạo hàm cấp nguyên

không thể hiện được đầy đủ tính chất của vật liệu. Do đó xuất hiện các mô hình đàn

nhớt cấp phân số.

Với các vật liệu mới, các mô hình giảm chấn được tính toán với phần tử đạo

hàm cấp phân số. Từ các bài toán thực tế ta đã biết rằng đối với những biến dạng

lớn, tính phi tuyến của vật liệu xuất hiện. Quy luật dao động của cơ hệ không còn

đơn thuần là quy luật tuyến tính, thay vào đó là quy luật phi tuyến. Do đó các nhà

khoa học cần phải có sự nghiên cứu chuyên sâu về dao động phi tuyến của cơ hệ có

đạo hàm cấp phân số để thiết kế những công trình, máy móc tối ưu phục vụ nhu cầu

cuộc sống. Việc thiết lập và giải các phương trình vi phân mô tả đặc tính dao động

phi tuyến của cơ hệ là rất cần thiết trong kỹ thuật hiện đại.

2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu các hệ dao động cơ học được

biểu diễn về mặt toán học bởi các phương trình vi phân có chứa đạo hàm cấp phân

số. Cụ thể, tìm nghiệm của các phương trình vi phân dao động phi tuyến của một số

hệ đàn nhớt có chứa đạo hàm cấp phân số.

3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu của đề tài

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các hệ dao động được biểu diễn bởi các

phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Các hệ cơ học được mô

tả về mặt toán học bằng các phương trình vi phân cấp ba được gọi là các hệ động

lực cấp ba. Thuật ngữ này do GS.Nguyễn Văn Đạo sử dụng đầu tiên ở nước ta.

Nội dung nghiên cứu là sử dụng phương pháp số Newmark, phương pháp số

Runge – Kutta và phương pháp tiệm cận tìm nghiệm phương trình vi phân dao động

phi tuyến của một số cơ hệ đàn nhớt cấp ba có đạo hàm cấp phân số, tìm ra tính chất

dao động mới của cơ hệ.

7

4. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

Lý thuyết về đạo hàm cấp không nguyên được đề cấp đến trong ghi chú của

Leibniz gửi tới L’Hospital [44] vào ngày 30 tháng 09 năm 1695, trong đó ý nghĩa

về đạo hàm cấp ½ đã được thảo luận.

Khi trả lời câu hỏi của L’Hospital, biểu thức đạo hàm n

n

d

dx có ý nghĩa như

thế nào khi 1

2n , Leibniz đã trả lời “sẽ dẫn đến một mâu thuẫn”.Ông cũng viết

thêm “Từ mâu thuẫn này đến một ngày nào đó sẽ có những kết luận hữu ích”.

Ghi chú của Leibniz dẫn tới sự xuất hiện của lý thuyết đạo hàm và tích phân

cấp phân số vào cuối thế kỷ XIX và được đưa ra bởi Liouville, Grünwald, Letnikov

và Riemann. Cái nhìn tổng quát về lịch sử của lý thuyết đạo hàm cấp phân số có thể

được tìm thấy trong các tài liệu [46], [53], [57].

Năm 1819, lần đầu tiên khái niệm đạo hàm cấp n với n là số tùy ý được đề

cập đến. Trong cuốn sách về phép tính vi phân và tích phân dày hơn 700 trang của

Lacroix, ông đã để gần hai trang bàn về đề tài này. Ông đã trình bày cách tính đạo

hàm ny x x và viết

!

!

mn m

m

d ny x x

n mdx

(với ,n m là số nguyên và với 1

2m )

Khoảng giữa các năm 1832 đến 1835, Liouville đã công bố một vài bài báo

về vấn đề này. Năm 1847, Riemann đã đưa ra định nghĩa đạo hàm cấp phân số dựa

theo các công trình của Liouville. Năm 1967, Caputo đưa ra một phương án mới về

định nghĩa đạo hàm cấp phân số.

Trong vòng ba thế kỷ, lý thuyết về đạo hàm cấp phân số được phát triển chủ

yếu như là một lĩnh vực lý thuyết thuần tuý của toán học và chỉ hữu ích cho các nhà

toán học. Tuy nhiên, một vài thập kỷ gần đây, nhiều tác giả đã chỉ ra rằng đạo hàm

và tích phân cấp không nguyên rất phù hợp cho sự mô tả tính chất của các vật liệu

thực khác nhau, chẳng hạn như polymer. Họ cũng chỉ ra rằng những mô hình cấp

phân số mới thích hợp hơn những mô hình cấp nguyên đã được sử dụng trước đó.

Sự xem xét về mặt vật lý càng cho thấy việc sử dụng các mô hình dựa trên đạo hàm

cấp không nguyên là hợp lý và phù hợp [15].

8

Đạo hàm cấp phân số cung cấp một công cụ mới để mô tả bộ nhớ và tính

chất di truyền của những vật liệu và quá trình khác nhau. Đây là ưu điểm chính của

đạo hàm cấp phân số so với những mô hình đạo hàm cấp nguyên cổ điển, trong đó

những ảnh hưởng như vậy trong thực tế bị bỏ qua.

Việc mô hình toán học và mô phỏng các cơ hệ và các quá trình, dựa trên sự

mô tả những tính chất của chúng thông qua đạo hàm cấp phân số, tất nhiên sẽ dẫn

tới những phương trình vi phân cấp phân số và dẫn tới sự cần thiết phải giải những

phương trình như vậy. Tuy nhiên, không thể tìm được những phương pháp tổng

quát để giải.

Vài thập kỷ gần đây, nhiều ứng dụng của đạo hàm cấp phân số trong lĩnh vực

cơ học đã được quan tâm nghiên cứu. Ví dụ những bài báo cổ điển của Bagley và

Torvik [71], Caputo [13], Caputo và Mainardi ([15], [16]) (bốn bài báo này đề cập

đến việc thiết lập mô hình của tính chất cơ học các vật liệu), Chern [17], Diethelm

và Freed ([22], [23]), Freed và Luchko [24] (mô hình trạng thái của những vật liệu

đàn nhớt và nhớt dẻo dưới ảnh hưởng của ngoại lực), Gaul, Klein, và Kempfle [31]

(mô tả sự tắt dần của những hệ cơ học) và Shaw, Warby, Whiteman [62] (mô hình

của những vật liệu đàn nhớt)…

Những ý tưởng về việc chèn đạo hàm cấp phân số vào việc thiết lập những

phương trình kết cấu của vật liệu đã được thử nhiều lần trong suốt nhiều thập kỷ

qua. Nutting ([49], [50], [51], [52]) là một trong những nhà nghiên cứu đầu tiên

nghĩ rằng hiện tượng chùng (relaxation) ứng suất có thể được mô hình thông qua

thời gian bậc phân số. Gemant ([33], [34]) nhận thấy rằng độ cứng tắt dần của vật

liệu đàn nhớt đã xuất hiện tỷ lệ với bậc phân số của tần số. Sau đó, ông ấy cũng đề

xuất những vi phân cấp phân số theo thời gian có thể mô hình hoá trạng thái cơ học

của vật liệu. Scott Blair và Caffyn [61] nghiên cứu chi tiết hơn việc sử dụng đạo

hàm cấp phân số để mô hình mối quan hệ ứng suất – biến dạng. Caputo ([12], [13],

[14]), Caputo và Mainardi [16] chỉ ra mối quan hệ quy luật kết cấu sử dụng phép

tính phân số có thể mô tả tính chất đàn nhớt và tính chất cơ học của tầng địa chất và

một số kim loại, thuỷ tinh. Sau những năm 1970, sự nghiên cứu một cách cẩn thận

và toàn diện các mô hình vật liệu đàn nhớt bằng phép tính phân số được thấy rõ

hơn. Bagley và Torvik [8] đã xem xét lại các bài báo liên quan đến ứng dụng của

9

phép tính phân số đối với tính đàn nhớt. Họ đã chỉ ra rằng những mô hình tính toán

đạo hàm cấp phân số của vật liệu đàn nhớt là phù hợp với lý thuyết mô tả trạng thái

của những vật liệu đàn nhớt. Việc hiểu biết những hàm chùng và rão (relaxation and

creep), va chạm tắt dần, đáp ứng dao động của vật liệu cấp phân số là một lĩnh vực

quan trọng cho các kỹ sư ứng dụng. Chẳng hạn Koeller [41] đã nghiên cứu những

hàm chùng và rão cho những phần tử phân số thông qua những phương trình tích

phân Volterra với nhân Abelian.

Caputo [14], Bagley và Torrik [9], Sakakibara [60], Zhang và Shimizu [76]

đã nghiên cứu những tính chất va chạm, dao động và tắt dần của các bộ dao động

với các toán tử phân số. Những tính chất đặc biệt của chúng được nêu bật. Những

ứng dụng kỹ thuật của vật liệu đàn nhớt để khử va chạm và dao động được nghiên

cứu bởi Gaul và Chen [32] và Tsai [72], Li và Tsai [45].

Những nghiên cứu của Sakakibara [60] trên bộ dao động phân số với đạo

hàm cấp ½ nhấn mạnh tầm quan trọng của toán tử phân số trên những tính chất

động lực học của cơ hệ. Zhang và Shimizu [76] nghiên cứu một vài khía cạnh quan

trọng về trạng thái tắt dần của bộ dao động đàn nhớt mô hình bởi quy luật kết cấu

Kelvin – Voigt. Baker [10] nghiên cứu một phương trình đạo hàm riêng của mô

hình thanh đàn nhớt với quy luật Kelvin – Voigt.

Tính chất phi tuyến trong trạng thái của vật liệu tồn tại khá nhiều. Đối với vật

liệu polymer có một sự phức tạp rất lớn là sự tương tác phụ thuộc thời gian sẵn có

và nguồn gốc của tính phi tuyến. Sugimoto ([67], [68], [69], [70]) nghiên cứu bài

toán giá trị đầu của phương trình Burgers liên quan đến đạo hàm cấp phân số ½.

Nghiên cứu chỉ ra rằng đạo hàm cấp phân số cho thấy sự nổi bật của tính không liên

tục nhưng không cho phép kiểm tra độ dốc phi tuyến. Nhiều vật liệu giảm chấn

được phát triển và sử dụng những điều kiện chuyển tiếp ở mức độ cao của biến dạng

trong đó đáp ứng của chúng là phi tuyến một cách rõ ràng. Sackman và Kelly [59],

Papoulia và Kelly [54] xây dựng quan hệ kết cấu phi tuyến của vật liệu trong miền

thời gian để tính toán trạng thái phi đàn hồi và sự hư hại của vật liệu đàn nhớt sử

dụng bộ giảm chấn. Họ giải thích thành công những kết quả của thực nghiệm.

Rossikhin và Shitakova [58] nghiên cứu chi tiết động lực học phi tuyến liên quan

đến tính đàn nhớt. N. Gil – Negrete [35] nghiên cứu mô hình vật liệu cao su phi

tuyến kết hợp với tính đàn nhớt cấp phân số.

10

Hiện nay ở trong nước, một số tạp chí chuyên ngành Toán và Cơ học có đăng

một số công trình nghiên cứu về đạo hàm cấp phân số nhưng còn ít và chủ yếu

nghiên cứu về mặt toán học. Trên tạp chí Toán học có các nghiên cứu về quy luật

luỹ thừa cho sự khuếch tán phân số, phương pháp Possion [36] và đó là các công

trình của các tác giả nước ngoài.

Trong luận án, tác giả đã áp dụng các phương pháp số Newmark, phương

pháp Runge – Kutta và phương pháp tiệm cận để tính toán dao động phi tuyến của

hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số.

5. Cấu trúc của luận án

Cấu trúc của luận án gồm: Phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận

chung và những đóng góp mới của luận án.

Chương 1: “Mô hình đàn nhớt cấp phân số”. Trong chương này giới thiệu

một số kiến thức bổ trợ, các định nghĩa của đạo hàm và tích phân cấp phân số, mô

hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính và phi tuyến. Từ đó cho ta một cái nhìn tổng

quan về đạo hàm và tích phân cấp phân số và các mô hình đàn nhớt cấp phân số.

Chương 2: “Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số

bằng phương pháp số”. Trong chương này áp dụng hai phương pháp số Newmark

và phương pháp số Runge – Kutta tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo

hàm cấp phân số, sau đó so sánh kết quả giữa hai phương pháp số.

Chương 3: “Tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa

đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp tiệm cận”. Trong chương này áp dụng

phương pháp tiệm cận tính toán dao động cộng hưởng cưỡng bức của hệ được mô tả

bởi phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số (hệ Duffing và hệ

van der Pol), tính toán dao động cộng hưởng tham số của hệ phi tuyến cấp ba có

chứa đạo hàm cấp phân số (hệ có ma sát Coulomb và hệ có ma sát động). Với mỗi

cơ hệ, nghiệm xấp xỉ của dao động cộng hưởng, điều kiện ổn định của nghiệm dừng

dựa trên lý thuyết Lyapunov được khảo sát. Từ kết quả mô phỏng số, nghiên cứu

ảnh hưởng của các tham số của đạo hàm cấp phân số đối với đường cong biên độ

tần số, điều kiện ổn định của hệ, so sánh giữa hệ có đạo hàm cấp nguyên và đạo

hàm cấp phân số.

11

CHƯƠNG 1. MÔ HÌNH ĐÀN NHỚT CẤP PHÂN SỐ

Chương 1 trình bày một số định nghĩa về đạo hàm và tích phân cấp phân số

của các tác giả khác nhau. Đó là các định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số

theo Riemann – Liouville, theo Grünwald – Letnikov, theo Caputo, theo hàm biến

phức, theo Weyl, theo Miller – Ross. Sử dụng định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp

phân số theo Riemann – Liouville, luận án đã trình bày mối quan hệ giữa định nghĩa

này với các định nghĩa khác về đạo hàm và tích phân cấp phân số. Phần tiếp theo

của chương trình bày một số mô hình đàn nhớt cấp phân số trong các hệ dao động.

1.1. Một số kiến thức bổ trợ

1.1.1. Khái niệm và định nghĩa mở đầu đạo hàm và tích phân cấp nguyên

Chúng ta sử dụng n và N là những số nguyên dương, , , , ,p q r và Q là

những số bất kỳ. Cho một hàm số f t . Ta ký hiệu đạo hàm cấp 1, cấp 2,..., cấp

n ,…của hàm f t như sau

2

2, ,..., ,...

n

n

df t d f t d f t

dt dt dt (1.1)

Ngoài ra ta cũng có các ký hiệu đạo hàm tương tự

2

2, ,..., ,...

n

n

df t d f t d f t

dt dt dt

Đạo hàm của hàm f t theo t a bằng đạo hàm theo t của nó

2 2

2 2, ,..., ,...

n n

n n

df t d f t d f t d f t d f tdf

d t a dt dt dtd t a d t a

(1.2)

Do tích phân là phép tính ngược của đạo hàm nên ta viết

1

0 01

0

td f tf t dt

dt

(1.3)

Các tích phân nhiều lớp được ký hiệu

12

1 0 02

0 0

ttd f tdt f t dt

dt

(1.4)

1 2 1

1 2 1 0 0

0 0 0 0

.nt t tn t

n nn

d f tdt dt dt f t dt

dt

(1.5)

12

Khi giới hạn dưới khác 0, các tích phân sẽ được viết

1

0 01

t

a

d f tf t dt

d t a

(1.6)

1 2 1

1 2 1 0 0.nt t tn t

n nn

a a a a

d f xdt dt dt f t dt

d t a

(1.7)

Lưu ý phương trình sau đúng với đạo hàm nhưng không đúng với tích phân

n n

n n

d f t d f t

dtd t a

(1.8)

Tức là

.

n n

n n

d f t d f t

dtd t a

(1.9)

Đạo hàm cấp n thường được viết n

f t (1.10)

Từ đó ta sẽ sử dụng đối với tích phân

1 2 1

1 2 1 0 0.nt t tt

n

n n

a a a a

f t dt dt dt f t dt

(1.11)

Với p là số bất kỳ

.p p p

p

p p p

d f t d f t d f tf t

dtdtd t a

.

p p

p p

x b

d f t d fb

d t a d t a

Trong luận án này sử dụng ký hiệu

.

p

p

ap

d f tD f t

d t a

1.1.2. Hàm Gamma

1.1.2.1. Định nghĩa hàm Gamma hay tích phân Euler loại 2

Với s > 0 ta có định nghĩa hàm Gamma (tích phân Euler loại 2)

1

0

,

x ss e x dx (1.12)

13

Định nghĩa trên có được bằng phép đổi biến u log t trong định nghĩa

ban đầu của Euler

1

1

0

log .

s

s x dx

1.1.2.2. Công thức cơ bản thứ nhất của hàm Gamma

1 , 0s s s s (1.13)

Chứng minh

Từ (1.12) tích phân từng phần

1

0 0

1 0 .0

x s x s x ss e x dx e x s e x dx s s s

Do đó ta sẽ có

1 2 ,s s s s k s k k s (1.14)

Cho s n ta có

0

1 2 2.1. 1 ,

1 1,0

x x

n n n n

e dx e

1 1.2... !n n n (1.15)

Biểu thức thứ 2 của hàm Gamma

Đặt

2

2 11

2

ss

dx tdtx t

x t

Từ (1.12) ta được 2 2 1

0

2 ,

t ss e t dt

Hay 2 2 1

0

2 , 0 ,

x ss e x dx s (1.16)

Với 1

2s có

2

0

12 2 ,

2 2

xe dx

Mặt khác theo công thức (1.14) ta có

1.3.5... 2 11 1 3 1 1

.2 2 2 2 2 2n

nn n n

(1.17)

14

1.1.2.3. Công thức cơ bản thứ 2 của hàm Gamma và hàm Beta

Hàm Beta (tích phân Euler loại 1) có dạng

1

11

0

, 1 , 0, 0 .

qpp q x x dx p q (1.18)

Bằng phép đổi biến 2osx c ta có hàm Beta ở dạng tích phân suy rộng

2

2 1 2 1

0

, 2 os .sin , 0, 0 .

p qp q c dx p q (1.19)

Đặt 2sinx ta cũng biến đổi được hàm 1

11

0

, 1pqq p x x dx với

0, 0p q về dạng (1.19)

, , .p q q p

Như vậy hàm Beta đối xứng và có thể được tính toán thông qua hàm nhờ

tính chất quan trọng sau

Định lý

, , .

p qp q q p

p q

(1.20)

Chứng minh

Từ (1.16) ta có

2 2

2 22 1 2 1 2 1 2 1

0 0 0 0

4 4 .x yx p y q p qp q e x dx e y dy e x y dxdy

Sử dụng tọa độ cực os , sinx rc y r có

2

2

22 1 2 1 2 1

0 0

22 1 2 1 2 1

0 0

4 os sin

2 .2 os sin

, .

p qr p q

p qr p q

p q e r c drd

e r dr c d

p q p q dfcm

Sử dụng tính chất vừa chứng minh ta có

1

1

0

1 1 ,1 ,1 1 .sss s s s s s t t dt

Thay 1

xt

x

suy ra

1

0

1 , 0 1 .1 sin

sxs s dx s

x s

(1.21)

15

1.1.2.4. Hàm Gamma có thể xem như giới hạn của một tích

Ta đã biết giới hạn

lim 1 ,

n

x

n

xe

n (1.22)

1 1

0 0

lim 1 .

n

x s s

n

xs e x dx x dx

n

(1.23)

Ký hiệu 1

0

1 , 0 , 0 .

kns

k

xs x dx k n s

n (1.24)

Tích phân từng phần (1.24) tính được

1

1

0

1 1 1 ,0

k knss

k k

nx x k x ks x dx s

n s ns n ns (1.25)

Mặt khác chú ý rằng

1

0

0

.0

n s ss

nx ns x dx

s s

(1.26)

Thông qua (1.25) và (1.26) ta tính n s

1 0

1 2 11

1 2 1

1.2 1.2.

11 1

n n

s ns

n

n n n ns s s n

ns ns n s n s n s n

n n nn

s n s s s nn s s s n

Do đó hàm Gamma có thể được biểu diễn qua giới hạn của một tích

1.2( ) lim , ( 0).

1

s

n

ns n s

s s s n (1.27)

Biểu thức (1.27) có thể dùng làm định nghĩa hàm Gamma. Khi đó, ta vẫn có

công thức truy toán cơ bản 1s s s .

Thật vậy

1.21 lim

1 1

1.2.lim .lim .

1 1

s

n

s

n n

n ns s n

s s s n s n

n ns n s s

s s s n s n

Hàm Gamma được định nghĩa qua giới hạn của một tích như trên có các cực

điểm đơn là 0, -1, -2, …, - n ,…

16

1.1.2.5. Hàm Gamma và hệ số của nhị thức Newton

Định nghĩa

1 2 1 !, .

! ! !

n n n n n k nk n

k k n k k

(1.28)

Các hệ quả

1, 0 khi ,0

n n nk n

n k

(1.29)

1

, , .1 1 1 1

n n n n n n nn

n k n k k k k

(1.30)

Quan hệ giữa hàm Gamma và hệ số của nhị thức: 1 !n n

1!

! ! 1 1

n nn

k n k k k n k (1.31)

1.1.3. Hàm Mittag – Leffler

Đối với những tính toán cấp nguyên, hàm mũ ze đóng một vai trò quan

trọng. Tương tự trong tính toán cấp phân số, hàm Mittag-Leffler cũng đóng một vai

trò như vậy.

1.1.3.1. Các định nghĩa

a. Hàm Mittag – Leffler một tham số

Như đã biết khai triển Taylor của hàm xe có dạng

2 3

0

1! 1! 2! 3!

k

x

k

x x x xe

k

Thay k! ở mẫu số bằng hàm 1 , 0k ta được hàm Mittag – Leffler.

Hàm Mittag – Leffler một tham số được định nghĩa

0

, 0.1

k

k

zz

k

(1.32)

Dạng khai triển là dãy vô hạn

2 3

1 ,1 2 1 3 1

z z zE z

(1.33)

Hàm này đã được giới thiệu bởi Mittag-Leffler năm 1903.

Với một số giá trị của ta có các hàm Mittag – Leffler

17

33

0

1

2

323

1 2

1,

1

,

cosh ,

1 32 cos ,

3 2

1 erf , 0.

x

xx

x

xx

x e

x x

x e e x

x e x x

(1.34)

b. Hàm Mittag-Leffler hai tham số

Hàm Mittag-Leffler hai tham số đóng vai trò rất quan trọng trong phép tính

không nguyên. Kiểu hàm này được đưa ra bởi R.P.Agarwal và Erdelyi vào năm

1953-1954.

Hàm hai tham số được định nghĩa

,

0

0, 0 .k

k

zE z

k

(1.35)

,1

0 1

k

k

zE z E z

k

là hàm Mittag-Leffler một tham số.

Những đồng nhất thức sau được suy ra từ định nghĩa

1,1

0 0

1

1,2

0 0 0

2

1,3 2 20 0 0

,1 !

1 1,

2 1 ! 1 !

1 1.

3 2 ! 2 !

k kz

k k

k k k z

k k k

k k k z

k k k

z zE z e

k k

z z z eE z

k k z k z

z z z e zE z

k k z k z

(1.36)

Phương trình trên có dạng tổng quát

2

1, 10

1.

!

kmz

m mk

zE z e

z k (1.37)

Những hàm lượng giác và hyperbolic cũng là những hàm Mittag-Leffler hai

tham số

2 22

2,1

0 0

2 2 12

2,2

0 0

cosh ,2 1 2 !

sinh1,

2 2 2 1 !

k k

k k

k k

k k

z zE z z

k k

zz zE z

k z k z

(1.38)

18

c. Hàm sai số

Hàm sai số được định nghĩa

2

0

2,

z

terf z e dt

(1.39)

và được biểu diễn bởi dãy

2 1 3 5 7 9

0

12 2.

2 1 ! 3 10 42 216

n n

n

z z z z zerf z z

n n

(1.40)

d. Hàm bù sai số

2 2

0

2 21 1 .

z

t t

z

erfc z erf z e dt e dt

(1.41)

Khai triển dãy của hàm bù sai số

2 2

22

1 1

1.3.5... 2 1 2 !1 1 1 1 .

! 22

z z

n n

n nn n

n ne eerfc z

z z n zz (1.42)

1.1.3.2. Phép biến đổi Laplace của hàm Mittag - Leffler

Ta có Lf t f s

1

, ,kkf t t E at

1

!.L k

s kf s

s a

(1.43)

Trong đó , ,

kk

k

dE t E t

dt . (1.44)

Với 0k toán tử là vi phân của hàm Mittag-Leffler và với 0k toán tử là

tích phân của hàm Mittag-Leffler.

1

,1

1

,1

Khi 1, 0 ,

.

sk E at

s a

sE at

s a

(1.45)

1.1.4. Biểu thức hợp nhất giữa đạo hàm và tích phân cấp nguyên

1.1.4.1. Đạo hàm cấp n của hàm f t

Trước khi giới thiệu đạo hàm cấp phân số, ta sẽ rút ra biểu thức hợp nhất cho

đạo hàm và tích phân cấp nguyên.

19

Đầu tiên, ta có định nghĩa đạo hàm cấp 1 của hàm f t

11

10 0

lim lim .t t

d f t df t f t f t tt f t f t t

dt tdt

(1.46)

Đạo hàm cấp 2 của hàm f t

22

20 0

lim lim 2 2t t

d f t f t f t tt f t f t t f t t

tdt

(1.47)

Tương tự ta có đạo hàm cấp 3

33

30

lim 3 3 2 3 .t

d f tt f t f t t f t t f t t

dt

(1.48)

Bởi các hệ số trong những phương trình trên gần giống với hệ số nhị thức

Newton, ta có thể viết đạo hàm cấp n

0

0

lim 1 .

n nn j

nt

j

nd f tt f t j t

jdt

(1.49)

Giả thiết rằng tất cả các đạo hàm đều tồn tại và t tiến tới 0 liên tục, nghĩa

là tất cả những giá trị của nó đều tiến tới 0. Đối với sự biểu diễn hợp nhất với tích

phân, ta sẽ cần có một giới hạn chặt. Để làm được điều này, chia khoảng t a

thành N đoạn bằng nhau

, 1,2,3...Nt t a N N (1.50)

Thay vào phương trình (1.49)

00

lim 1 .N

n nn j

N Nnt

j

nd f tt f t j t

jdt

(1.51)

Chú ý rằng hệ số nhị thức n

j

= 0 nếu j n , (1.51) được viết lại như sau

1

00

lim 1 .N

n Nn j

N Nnt

j

nd f tt f t j t

jdt

(1.52)

Từ (1.50) và (1.52) suy ra

1

0

lim 1 .

nn Nj

nN

j

nd f t t a t af t j

jN Ndt

(1.53)

20

1.1.4.2. Tích phân nhiều lớp của một hàm số

Bây giờ chú ý vào biểu thức tích phân n lớp của f t . Vì một tích phân cấp

nguyên được định nghĩa qua diện tích, ta biểu diễn nó với tổng Riemann

1

1 1

0 01

0

1

00

lim 2

lim .

N

N

t

a a

a

N N N Nt

N

N Nt

j

d f tI f t D f t f t dt

d t a

t f t f t t f t t f a t

t f t j t

(1.54)

Tích phân 2 lớp

12

2 2

1 0 02

12

00

lim 1 .N

tt

a a

a a

N

N Nt

j

d f tI f t D f t dt f t dt

d t a

t j f t j t

(1.55)

Đối với tích phân 3 lớp

2 13

3 3

2 1 0 03

13

00

1 2lim .

2N

t tt

a a

a a a

N

N Nt

j

d f tI f t D f t dt dt f t dt

d t a

j jt f t j t

(1.56)

Tương tự với tích phân n lớp viết như sau

1 1

1 2 0 0

1

00

1lim .

n

N

t tn tn n

a a n nn

a a a

Nn

N Nt

j

d f tI f t D f t dt dt f t dt

d t a

j nt f t j t

j

1

0

1lim .

nn N

nN

j

j nd f t t a t af t j

jN Nd t a

(1.57)

1.1.4.3. Sự hợp nhất giữa toán tử đạo hàm cấp n và tích phân n lớp

Bây giờ thay n n với n nhận giá trị âm thì phương trình (1.57) có dạng

1

0

1lim .

nn N

nN

j

j nd f t t a t af t j

jN Nd t a

(1.58)

21

So sánh phương trình (1.53) và (1.57) ta thấy

1j n

j

=

1j n

j

(1.59)

Thật vậy ta sẽ chứng minh công thức (1.59)

Theo định nghĩa

1 2 1 1 21 1

! !

11 !

! 1 !

j jn n n n n j j n j n n

j j j

j nj n

jj n

Với 1 !, 1n n n n n

1 2 1 1!

! ! ! 1 1

m m m m m k mm

k k k m k k m k

Thay 1

m j n

k j ta có

1 ,

1 1 ,

1 .

m j n

k j

m k n

(1.60)

Mặt khác

11

1

j n j n j n

j j n j (1.61)

Do đó có thể viết biểu thức (1.53) và (1.57) dưới một dạng chung

1

0

lim .1

nn Nn

a nN

j

d f t j nt a t aD f t f t j

N n j Nd t a

(1.62)

Trong đó n nhận cả giá trị nguyên âm và dương.

1.2. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số

1.2.1. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville

Công thức tích phân Cauchy có dạng

11

, 0 .

tnn

a

a

D f t t f d nn

(1.63)

22

Mở rộng khái niệm tích phân với giá trị không nguyên của n, thay thế số

nguyên n bằng số thực 0p trong công thức tích phân Cauchy (1.63) [55]

11

, 0 .

tpR p

a

a

D f t t f d pp

(1.64)

Biểu thức (1.64) được gọi là tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville.

Với 0p ([55])

11

, 0, 1 .( )

tnn pR p

a n

a

dD f t t f d p n p n

n p dt

(1.65)

Định nghĩa theo Riemann – Liouville có ứng dụng rất phổ biến. Tích phân

trong phương trình (1.64) chỉ hội tụ với 0p . Tuy nhiên, với 0p bài toán được

biến đổi bằng việc áp đặt điều kiện n p trong phương trình (1.65). Biểu thức

(1.65) được gọi là đạo hàm cấp phân số theo Riemann – Liouville.

1.2.2. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald – Letnikov

Công thức (1.62) đúng với mọi n tùy ý, từ đó suy ra định nghĩa về đạo hàm

và tích phân cấp phân số theo Grünwald – Letnikov với p là số thực tùy ý

1

0

lim .1

pp NG p

a pN

j

d f t j pt a t aD f t f t j

N p j Nd t a

(1.66)

Cách định nghĩa theo Grünwald - Letnikov như trên có ưu điểm là đạo hàm,

tích phân cấp phân số được tìm thông qua giá trị của hàm, không cần các phép tính

tích phân và đạo hàm của nó. Mặt khác người ta đã chứng minh được rằng hàm

0 p p có thể không hữu hạn nhưng tỉ số

j p

p hữu hạn [42], [53].

1

1

1

j

j p j pA

j j p được gọi là hệ số Grünwald. (1.67)

1.2.2.1. Tính chất

a. Các tính chất của hệ số Grünwald

1

1 1 1.

1

j j

j p j p j p j pA A

j p j j p j (1.68)

Công thức trên cho ta phép lặp để tính các hệ số Grünwald

1

1

2

0 1, 1.

1 ,j j

j A j pA A

j A p j

(1.69)

23

Khi 11, . j jp j p A A

b. Tính chất hợp thành

Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng đối với số nguyên dương n và p tùy ý có

,

p n pn

n p n p

d f t d f td

dt d t a d t a

(1.70)

Thật vậy, ta chứng minh (1.70) bằng phương pháp quy nạp.

Từ công thức (1.66), sử dụng Nt t a N

1

0

lim .1

pp NN

NpN

j

td f t j pf t j t

p jd t a

(1.71)

Chọn ' , Nt a t t . Chia đoạn , Na t t thành 1N đoạn bằng nhau

1

1

1lim .

pt a

p NN

N NpN

j

j pd ft t f t j t

p jd t a

(1.72)

Lấy đạo hàm phương trình (1.71) và sử dụng (1.72)

1

11

1

lim

1lim

1

p p p

N Np p pN

pN

N

NN

j

d f td d f d ft t t t

dt d t a d t a d t a

t j p j pp f t f t j t

p j j

(1.73)

Ngoài ra ta có liên hệ giữa các hàm Gamma

1 1,

1 1 1

j p j p p j p

j j p j (1.74)

11

0

1

1

1lim

1 1

.

pp NN

NpN

j

p

p

td f t j pdf t j t

dt p jd t a

d f

d t a

(1.75)

Giả thiết công thức đúng với 1n , sau đó tương tự như trên sẽ chứng minh

được nó đúng với n.

p n pn

n p n p

d f t d f td

dx d t a d t a

24

1.2.2.2. Sự tương đương giữa các định nghĩa đạo hàm theo Riemann –

Liouville và Grünwald – Letnikov

Ta có định nghĩa tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville

11

,

tpR p

a

a

D f t t f dp

(1.76)

Đặt

1

0

1.

t a

R p

a p

f t uu t D f t du

p u

(1.77)

Tổng Riemann của tích phân (1.77) có dạng

11

100

1 1lim

pt a N

p Nj

f t u t a t a t adu j f t j

p u p N N N

(1.78)

Mặt khác ta có định nghĩa theo Grünwald – Letnikov

1

0

lim .1

p NG p

aN

j

j pt a t aD f t f t j

N p j N

(1.79)

Từ (1.78) và (1.79) ta có

11 1

0

1lim .

1

0 khi .

G p R p

a a

p Np p

Nj

D f t D f t

t a j p t aN j f t j

p N j N

N

(1.80)

1.2.3. Định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Caputo

1.2.3.1. Định nghĩa

Ta có

11

, 1

tnn pR p

a n

a

dD f t t f d n p n

n p dt

(1.81)

Với các giá trị đầu

1

1

2

2

lim ,

lim ,

lim .

p

at a

p

at a

p n

a nt a

D f t b

D f t b

D f t b

(1.82)

Bài toán giá trị đầu trên về mặt toán học hoàn toàn hợp lý nhưng về mặt ứng

dụng, ý nghĩa vật lý của những điều kiện đầu rất khó lý giải. Để giải quyết vấn đề

này, Caputo đưa ra một định nghĩa khác của đạo hàm và tích phân cấp phân số

25

11

, 0 1 .

tn p nC p

a

a

D f t t f d n p nn p

(1.83)

1lim .

tn n nC p

ap n

a

D f t f a f d f t

(1.84)

1.2.3.2 Quan hệ giữa đạo hàm dạng Riemann – Liouville và Caputo

Giả sử f t khả vi liên tục 1n lần và n

f t khả tích trong khoảng

,a T với a t T [55]

1

11

0

1

1

1

tnn pR p

a n

a

jt nn p j pn

ja

dD f t t f d

n p dt

f at f d t a

n p j p

(1.85)

Từ (1.83) và (1.85) ta có quan hệ giữa đạo hàm dạng Riemann – Liouville và Caputo

1

0

.1

jnj pR p C p

a a

j

f aD f t D f t t a

j p

(1.86)

Điểm khác nhau giữa định nghĩa đạo hàm cấp phân số Riemann – Liouville

và Caputo là đạo hàm Caputo của một hằng số bằng 0. Trong khi đó với giá trị xác

định của cận dưới a, đạo hàm Riemann – Liouville của một hằng số C khác 0

1

p

R p

a

C t aD C

p

Nếu 0 0, , 1

jf a j n ta có hai định nghĩa trùng nhau.

1.2.4. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo hàm biến phức

Nếu f z là hàm đơn trị và giải tích trong miền mở A của mặt phẳng phức,

và nếu A là miền mở bên trong A bị chặn bởi đường cong đóng trơn C, khi đó với

điểm z bất kỳ trong A tích phân Cauchy có dạng

1

2C

ff z d

i z

(1.87)

Từ (1.87) ta có

1

!

2

n

n

C

fnD f z d

i z

(1.88)

Bây giờ, chứng minh từ biểu thức (1.88) có thể dẫn đến biểu thức (1.64).

26

Nếu n là số bất kỳ (ký hiệu là p), điểm z là điểm phân nhánh và không phải là

cực của hàm tích phân trong biểu thức (1.88). Đường cong đóng C không còn là

một tuyến phù hợp. Do đó, dựng một nhát cắt dọc trục thực từ điểm z tới .

Trong hình (1.1), giả sử z là một số thực dương, ký hiệu là x. Định nghĩa p

aD f z

dưới dạng tích phân đường x a

1 11 1

2 2

x p pp

aa

p pD f z x f d x f d

i i

L (1.89)

Hình (1.1) có thể được vẽ lại thành hình (1.2) để việc tính toán thuận tiện

hơn. Chu tuyến L là hợp của 2 1, ,L L , trong đó là đường tròn bán kính r tâm x

và 1 2,L L là đoạn thẳng ,a x r . Những đoạn này đồng nhất thành một đoạn của

trục thực trong mặt phẳng nhưng khác nhau trong diện Riemann đối

với 1p

x

. Ta vẽ hai đoạn tách riêng cho rõ ràng.

Hình 1.1. Chu tuyến L

Nếu x là một số dương, ta xác định ln x là một số thực. Khi đó

trên đường tròn γ

11 1 lnlnpp p x ix ix e e e

Vì trên 1L

1 1 ln 1 lnp p x i p x ix e e

(1.90)

Vì trên 2L

1 1 lnp p x ix e

(1.91)

27

Hình 1.2. Chu tuyến tích phân gồm L1, L2 và γ

Từ (1.89), nếu Re 0p ta có

2 1

1

1 11

11,

xp

a L L

x rp pi p

a

api p

x r

x f d

e x f d x f d

e x f d

(1.92)

trong đó Re , tuy nhiên

1 11 ,

,

p i ppi

i

x r ex re

d ire d

1 11p i pp i i

p ip i

x f d r e f x re ire d

ir e f x re d

(1.93)

và 1 Rep p ix f d r f x re d

(1.94)

Do đó, khi 0r ta có 1

0p

x f d

1 11 1

12 sin 1

x xp pi p i p

a a

xp

a

x f d e e x f d

i p x f d

(1.95)

28

1

1

1

2

1 sin 1

xpp

a

a

xp

a

pD f z x f d

i

p px f d

(1.96)

Mặt khác theo phương trình (1.21)

1 sin 1 1p p

p

(1.97)

Do đó

11

, Re 0

xpp

a

a

D f z x f d pp

(1.98)

Biểu thức (1.98) cũng chính là định nghĩa tích phân cấp phân số theo

Riemann – Liouville (1.64).

1.2.5. Một số định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số khác

1.2.5.1. Đạo hàm cấp phân số dạng dãy (dạng Miller – Ross)

Định nghĩa

: 0 1 ;

: ,

p

np p p p

n

dD p

dt

D f t D D D f t

(1.99)

Phương trình trên được gọi là đạo hàm cấp phân số dạng dãy. Trong đó pD

được định nghĩa dạng Riemann – Liouville (hoặc dạng Grünwald - Letnikov). Ta có

định nghĩa đạo hàm cấp phân số dạng dãy

1 2

1 2,

, 1 .

npp pp

n

n pp

a a

n

D f t D D D f t p p p p

d d dD f t D f t n p n

dt dt dt

(1.100)

Nếu sử dụng dạng Caputo

, 1 .n pC p C

a a

n

d d dD f t D f t n p n

dt dt dt

(1.101)

1.2.5.2. Định nghĩa dạng Weyl (tích phân Weyl)

Xuất phát từ định nghĩa Riemann – Liouville, cho a ta có định nghĩa

dạng Weyl [55]

29

11

, 0

tpW pD f t t f d p

p

(1.102)

Theo tài liệu tham khảo [46] ta có

sin sin2

cos cos2

W p p

W p p

pD t t

pD t t

Đối với các hệ dao động bắt đầu từ 0t nếu 0x t khi 0t thì tích phân

cấp phân số dạng Weyl W pD f t trùng với tích phân cấp phân số dạng Riemann –

Liouville 0

R pD f t

1

0

0

1, 0

tpR pD f t t f d p

p

Do đó nếu nếu 0x t khi 0t ta có công thức

0

0

sin sin2

.

cos cos2

R p p

R p p

pD t t

pD t t

1.2.5.3 Định nghĩa Davison – Essex

1_

0 1

0

,1

ktn kD E p

n k k

t d fdD f t d

dt dt

(1.103)

Với , 0 1, 0 1, p n k n n là số nguyên.

Khi 0k định nghĩa Davison – Essex trở về định nghĩa Riemann –

Liouville với 0, a p n

1

( )_

0 1

0

1.

1

tnp nD E p

n

dD f t t f d

n pdt

(1.104)

1.3. Mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính

Ta thường sử dụng các mô hình lưu biến như một sự hỗ trợ trong việc công

thức hoá cách đối xử đàn nhớt tuyến tính đơn trục. Lợi ích của phương pháp này là

dẫn đến việc công thức hoá định luật đối xử mà nó thoả mãn một cách tự động các

nguyên lý của nhiệt động học. Ở đây chỉ đưa ra một vài chỉ dẫn về những mô hình

30

đàn nhớt liên quan đến việc áp dụng cho tính toán kết cấu trong kỹ thuật. Đàn nhớt

tuyến tính là sự hợp thành từ các mô hình: đàn hồi tuyến tính (hình 1.3), nhớt tuyến

tính cấp nguyên (hình 1.4) và nhớt tuyến tính cấp phân số (hình 1.5). Với σ là ứng

suất, là biến dạng, E là môđun đàn hồi khi kéo hoặc nén (đặc trưng cho độ cứng

của vật liệu), η và c là hệ số cản nhớt.

Hình 1.3. Mô hình đàn hồi tuyến tính

0.E D

Hình 1.4. Mô hình nhớt tuyến tính

cấp nguyên 1.D

Hình 1.5. Mô hình nhớt tuyến tính cấp phân số . tc D

1.3.1. Mô hình Kelvin – Voigh cấp phân số (3 tham số c, k, α)

Hình 1.6. Mô hình Kelvin – Voigh

Hình 1.7. Phân tích lực

Ta có định luật 2 Newton

,mx t F t R t (1.105)

Trong đó m là khối lượng của vật, x t là độ dịch chuyển, F t là ngoại lực tác

dụng, R t là nội lực sinh ra bên trong vật thể đàn nhớt

,tR t kx t cD x t (1.106)

Với k, c lần lượt là hệ số đàn hồi và cản nhớt.

F t

R t

R t

k

x t

c,α

x t

F t

k c,α

η

σ

σ

σ

E

σ

c, α

σ

σ

31

Từ phương trình (1.105), (1.106) ta có phương trình vi phân chuyển động

.tmx t cD x t kx t F t (1.107)

1.3.2. Mô hình Maxwell cấp phân số (3 tham số c, k, α)

Hình 1.8. Mô hình Maxwell


Lực tác động lên 2 phần tử đàn hồi và phần tử nhớt là như nhau, độ dịch

chuyển toàn phần bằng tổng các dịch chuyển thành phần. Do đó ta có

1 2x x x (1.108)

1 2R R R (1.109)

Đạo hàm biểu thức (1.108) 1 2x x x (1.110)

Ta có

1 1

2 2 1

2 1

,

,

,

t t

t t t

R t kx t R t

R t cD x t cD x t x t

R tR t R t cD x t x t cD x t cD

k

.t t

cR t cD x t D R t

k

(1.111)

Theo phương trình (1.105) ta rút ra lực R t

R t F t mx t (1.112)

Thay phương trình (1.112) vào phương trình (1.111) ta nhận được phương

trình chuyển động theo mô hình Maxwell

2 .

t t

t t t t

cF t m x t cD x t D F t m x t

k

cm cD x t m D x t cD x t F t D F t

k k

(1.113)

x t

F t

k

c,α

1x

2x

F t

x t

k

c,α

1

2

R t R

R

R t

1x

2x

32

1.3.3. Mô hình tuyến tính tiêu chuẩn cấp phân số (4 tham số c, k1, k2, α)

Hình 1.10. Mô hình tuyến tính

tiêu chuẩn


Ta có 1 2x x x (1.114)

Giá trị lực R t bằng giá trị lực 1R tác dụng lên lò xo 1k và bằng tổng của

giá trị lực tác dụng lên lò xo 2k và giảm chấn c

1 1 1 2

2 2 22 2

,

, ,tk c

R t k x t R R

R k x t R cD x t

(1.115)

Trong đó

1 1 1 2 2 22 2, , ,tk c

R k x t R k x t R cD x t (1.116)

2 2 2 22 2.tk c

R t R R k x t cD x t (1.117)

Từ (1.114) và (1.117) ta được

2 2 1 1 ,tR t R t k x t x t cD x t x t

2 2

1 1

,t t

R t cR t k x t k cD x t D R t

k k

(1.118)

Theo định luật 2 Newton R t F t m x t , cùng với biểu thức trên ta có

2 2

1 1

2

1 2 1 1 2 1 2

,

.

t t

t t t t

F t mx t cF t mx t k x t k cD x t D F t mx t

k k

c m D x t k k mD x t k c D x t k k x t c D F t k k F t

(1.119)

x t

c,α

F t

1x

2x

2

k

1k

F t

R t

1R t R

c,α

x t

1x

2x

1k

2

k

1R

2R

33

1.3.4. Mô hình đàn nhớt của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số

Ví dụ 1. Thiết lập phương trình vi phân dao động của ô tô (hình 1.12)

Hình 1.12. Mô hình ô tô


Gọi x và u là dịch chuyển của vật và bánh xe. Giả thiết độ cứng của lót trục

có thể được biểu diễn bằng một lò xo tương đương với độ cứng k với độ dịch

chuyển được ký hiệu là z.


,mx t R t (1.120)

Trong đó m là khối lượng của vật, x t là độ dịch chuyển, R t là nội lực

sinh ra bên trong vật thể đàn nhớt.

Giá trị lực R t bằng tổng giá trị lực 1R tác dụng lên giảm chấn 1c và lực R2

tác dụng lên lò xo k hay giảm chấn c2

1 2 ,R t R R (1.121)

22 2 2,

k cR R R (1.122)

Trong đó

21 1 22 2

, , ,t k cR c D x u R k x z R c z u (1.123)

1 2 1 2

1 ,

k

t

R t R R R R

c D x u k x z

(1.124)

Từ phương trình (1.122) và (1.123) ta có 2k x z c z u (1.125)

Thay (1.124) vào (1.120) ta có phương trình chuyển động

1 ,tmx c D x u k x z (1.126)

R1

c2

R t

R t

m

k

R2(k)

R2(c2) c1,α

x

z

u

c1,α

x

k

m

z

u

c2

34

Rút z từ phương trình trên

1 1 1 ,t t t

mx c D x u mx c D x k x c D uz x

k k

(1.127)

Từ phương trình (1.127) và (1.125) ta được phương trình vi phân

2

1 2 2

1 1

1 11 1 2 2

,

,

,

t

t tt t

k x z c z u

mx c D x u c z c u

mx c D x k x c D umx c D x c D u c c u

k

1 11 1 1 1

2 2 2

.t t t t

k c k kc c k kcx x D x x D x D u u D u

c m m mc m m mc

(1.128)

Ví dụ 2. Thiết lập phương trình vi phân dao động của giá treo ô tô (hình 1.14)

Hình 1.14. Mô hình giá treo ô tô


Gọi x1, x2 và u là dịch chuyển của các vật và bánh xe.


1 1 1

2 2 1 2

,

,

m x R

m x R R

(1.129)

Trong đó 1 2,R R là nội lực sinh ra bên trong vật thể đàn nhớt.

Giá trị lực 2

R bằng tổng giá trị lực tác dụng lên giảm chấn 2c và lực tác dụng

lên lò xo k

1 1 1 2 ,R c x x (1.130)

22 2 2,

k cR R R (1.131)

Trong đó

22 2 22 2, ,tk c

R k x u R c D x u (1.132)

x1

u

c1

k c2,α

m2

x2

m1

R2

x1

u

c1

k c2,α

m2

x2

m1

R1

R1

35

2 2 2 2 ,tR c D x u k x u (1.133)

Từ phương trình (1.129), (1.130) và (1.133) ta có phương trình vi phân

chuyển động của cơ hệ

1 1 1 1 2m x c x x (1.134)

2 2 1 1 2 2 2 2 ,tm x c x x c D x u k x u (1.135)

Rút 1x từ phương trình (1.135)

2 2 21 2 2 2 2

1 1 1 1 1

,t t

m c k c kx x x D x x D u u

c c c c c

(1.136)

Đạo hàm phương trình (1.136) ta được

1 12 2 21 2 2 2 2

1 1 1 1 1

,t t

m c k c kx x x D x x D u u

c c c c c

(1.137)

Thay phương trình (1.136) và (1.137) vào (1.134) ta được phương trình vi

phân cấp ba sau

1 12 2 21 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

11 2 1 2 12 1 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

11 2 12

1 1

,

,

t t t

t t

t t

m c k c km x x D x x D u u m x c D x u k x u

c c c c c

m m m c m kx m m x D x x c D x kx

c c c

m c m kD u u c D u ku

c c

11 1 2 1 2 12 2 2 2 2 2

1 2 2 2 1 2 1 2

12 1 2 1

2 2 1 2 1 2

.

t t

t t

c c c k c c kcx x D x x D x x

m m m m m m m m

c k c c kcD u u D u u

m m m m m m

(1.138)

1.4. Mô hình đàn nhớt cấp phân số phi tuyến

Hình 1.16. Mô hình cổ điển

Hình 1.17. Mô hình mới

vF nF

x x

36

Lực đáp ứng của hệ đàn nhớt cổ điển có dạng

n

F kx cx (1.139)

Với các vật liệu mới, lực đáp ứng có chứa đạo hàm cấp phân số

vF kx c x D xb x (1.140)

Trong đó:

- Các hệ số: , ,k c là các hệ số của vật liệu.

- Các hàm điều chỉnh ,c x b x là hàm của x với 0 0 1c b . Hàm b x để

giải thích tác động của lực cản nhớt trong trường hợp biến dạng lớn.

Từ các kết quả thực nghiệm, tài liệu [29] đã đưa ra 5 mô hình c x và b x

như sau:

- Mô hình 1: 41 3 , 1c x x b x (1.141)

- Mô hình 2: 2

1 21 , 1c x c x c x b x (1.142)

- Mô hình 3: 2

1 2

2

1, 1

1c x c x b x

c x

(1.143)

- Mô hình 4:

1

1, 1

1c x b x

c x

(1.144)

- Mô hình 5: 1

11,

1c x b x

c x

(1.145)

Ngoài ra có thể viết (1.140) dưới dạng ứng suất của vật liệu đàn nhớt

v x n

F kx f kx A (1.146)

Với A là diện tích mặt cắt ngang của vật mẫu, trong trường hợp này vật mẫu được

xem như là một vật trụ.

Hình 1.18. Hệ dao động chịu kích động va đập

(a) Trước va chạm; (b) Bắt đầu va chạm; (c) Sau va chạm.

37

Từ các kết quả thực nghiệm theo tài liệu [29] người ta đưa ra 4 mô hình lý

thuyết n

có dạng như sau:

- Mô hình IIa và IVa: 2

1n ax D

(1.147)

- Mô hình IIIb: 2 2

11 1n a ax D D

(1.148)

- Mô hình IIIc: 3

3 2

2 1 11 1

3 3n a ax D D

(1.149)

- Mô hình IVc: 3/2 1/2 2

2

2 1 1 1

3 3n a ax D D

(1.150)

Trong đó: 11 /c x H

Với H là chiều cao của vật mẫu và 1c là hệ số điều chỉnh mô hình.

Trong luận văn của Thạc sĩ Dương Văn Lạc [5] đã tính toán và so sánh các

kết quả lý thuyết và thực nghiệm của các mô hình trên. Số liệu mô phỏng tính toán

để so sánh giữa các mô hình lý thuyết và thực nghiệm [29]:

2

0.277( ); 0.020( ); 4620( / );

0.005( ); 5020( );

(0) 0; (0) 2

q

m kg m k N m

H m Ns m

x x gh

Kết quả thu được trên hình 1.19 và hình 1.20 (ký hiệu 2D x ). Trong đó, đường

nét liền biểu diễn kết quả tính toán theo các mô hình lý thuyết, đường chấm biểu

diễn các kết quả thực nghiệm. Từ đó có thể thấy các kết quả tính toán theo các mô

hình lý thuyết là hoàn toàn phù hợp với các kết quả thực nghiệm.

- Mô hình IIa và IVa với kết quả thực nghiệm

Hình 1.19. So sánh mô hình lý thuyết IIa và thực nghiệm với h = 30mm

38

- Mô hình IIIc với kết quả thực nghiệm

Hình 1.20. So sánh mô hình lý thuyết IIIc và thực nghiệm với h = 60mm

1.5. Kết luận chương 1

Trong chương 1 trình bày một số kiến thức bổ trợ, các định nghĩa của đạo

hàm và tích phân cấp phân số. Đồng thời cũng trình bày các mô hình đàn nhớt cấp

phân số tuyến tính và các mô hình đàn nhớt cấp phân số phi tuyến. Từ đó cho ta một

cái nhìn tổng quan về đạo hàm và tích phân cấp phân số.

39

CHƯƠNG 2. TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA HỆ CẤP BA CÓ

CHỨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ

Trong tài liệu tham khảo [74], Shimizu và Zhang đã mở rộng phương pháp

Newmark tính toán dao động của hệ được mô tả bằng phương trình vi phân cấp hai

có chứa đạo hàm cấp phân số. Trong tài liệu tham khảo [4], Dương Văn Lạc đã mở

rộng phương pháp Runge – Kutta tính toán dao động của hệ được mô tả bằng

phương trình vi phân cấp hai có chứa đạo hàm cấp phân số. Trong chương 2 này,

luận án phát triển ý tưởng trong các tài liệu [74] và [4] trình bày thuật toán tính toán

dao động của hệ được mô tả bằng phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp

phân số.

2.1. Phương pháp Newmark tính toán dao động của hệ động lực cấp ba

2.1.1. Ý tưởng của phương pháp Newmark

Ta sẽ xây dựng phương pháp giải hệ phương trình vi phân cấp ba dựa trên

phương pháp Newmark đã có giải hệ phương trình vi phân cấp hai. Trong đó véc tơ

trạng thái của hệ ở thời điểm 1n nt t h được suy ra từ véc tơ trạng thái đã biết ở

thời điểm nt qua các khai triển Taylor của dịch chuyển, vận tốc và gia tốc.

Sử dụng khai triển Taylor đối với độ dịch chuyển, vận tốc và gia tốc tại thời

điểm 1nt ta có các công thức

1

1

n

n

t

n n

t

d

q q q (2.1)

1

1 1 ,n

n

t

n n n n

t

h t d

q q q q (2.2)

12

2

1 1

1.

2 2

n

n

t

n n n n n

t

hh t d

q q q q q (2.3)

Ta biểu diễn q trong khoảng thời gian 1,n nt t là hàm của nq , 1nq

2

4 5

2

4 5 1

1 1

2

2

n

n n

n

n n

tt

tt

q q q q

q q q q

(2.4)

40

Nhân phương trình đầu của (2.4) với 1 , phương trình thứ 2 với , sau

khi cộng 2 phương trình ta được

4 52

11 .n n nh t h q q q q q (2.5)

Tương tự nhân phương trình với 1 2 ,2 và nhân với 1 6 ,6 ta có

4 52

11 2 2 2 .n n nh t h q q q q q (2.6)

4 52

11 6 6 6 .n n nh t h q q q q q (2.7)

Thay các phương trình (2.5), (2.6) và (2.7) vào các tích phân trong các

phương trình (2.1), (2.2), (2.3) ta được các công thức cầu phương

1

11 ,n

n

t

n n n

t

d h h

q q q r (2.8)

1

2 2

1 1

1,

2

n

n

t

n n n n

t

t d h h

q q q r (2.9)

1

2 3 3

1 1

1 1,

2 6

n

n

t

n n n n

t

t d h h

q q q r (2.10)

Các sai số tương ứng tính được

4 52 3

4 53 4

1

4 54 5

1,

2

1,

6

1

24

n

n n n

n

h h

h h t t

h h

r q q

r q q

r q q

(2.11)

Chọn các giá trị 1 1 1

, ,2 6 24

ta có xấp xỉ tuyến tính của q

1n nn nt

h

q q

q q (2.12)

Nếu lấy 1 1 1

, ,2 4 12

ta được giá trị trung bình của q trong

khoảng thời gian 1,n nt t

1

2

n n

q qq (2.13)

41

Thế các tích phân (2.8), (2.9), (2.10) vào phương trình (2.1), (2.2), (2.3) ta

suy ra các công thức độ dịch chuyển, vận tốc và gia tốc của hệ tại thời điểm 1nt

1 11n n n nh h q q q q (2.14)

2 2

1 1

1

2n n n n nh h h

q q q q q (2.15)

2

3 3

1 1

1

2 6n n n n n n

hh h h

q q q q q q (2.16)

Vậy ta đã xây dựng được các công thức xấp xỉ theo Newmark (2.14), (2.15)

và (2.16) để tiến tới giải hệ phương trình vi phân cấp ba.

2.1.2. Tính toán dao động tuyến tính hệ cấp ba

Giả sử phương trình dao động tuyến tính của hệ cấp ba có dạng

t Mq Bq Cq Kq f (2.17)

Trong đó , , ,M B C K là các ma trận hằng số. Áp dụng các công thức (2.14),

(2.15) và (2.16) vào những phương trình trên tại thời điểm 1nt ta tính được 1nq

2 3

1 1

2

23

1

1

2

1

2 6

n n n n

n n n

n n n n

h h h h

h h

hh h

M B C K q f B q q

C q q q

K q q q q

(2.18)

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.18) ta được 1nq . Sử dụng các công

thức Newmark (2.14), (2.15) và (2.16) ta nhận được giá trị của gia tốc, vận tốc và

độ dịch chuyển 1 1,n n q q và 1nq .

Ta xác định điều kiện ban đầu của 0tq từ 0tq , 0tq và 0tq đã cho

1

0 0 0 0 0t t t t t q M f Bq C q K q (2.19)

2.1.3. Tính toán dao động phi tuyến hệ cấp ba

Giả sử phương trình chuyển động của hệ phi tuyến có dạng

,t t M q q k , q, q, q f q, q, q (2.20)

Từ phương trình (2.16) ta có 1nq

1 13 2

1 1 1 11

2 6n n n n n n

hh h

q q q q q q (2.21)

42

Thế (2.21) vào các phương trình (2.14) và (2.15) ta được

2

1 1

11 1 ,

2 2 6n n n n n nh h

h

q q q q q q (2.22)

1 121 1

2 6n n n n n nh

hh

q q q q q q (2.23)

Ta thấy rằng 1 1 1, ,n n n q q q được biểu diễn qua 1nq và các giá trị đã biết của

, ,n n nq q q và nq . Thay vào (2.20) ta được hệ phương trình đại số phi tuyến với ẩn là

1nq . Ta tìm được các giá trị của 1nq thông qua phương pháp lặp Newton. Sau đó

với các phương trình (2.21), (2.22), (2.23) xác định các giá trị của 1 1,n n q q và 1nq

với điều kiện đầu của 0tq được tìm từ phương trình chuyển động (2.20)

1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,t t q M q f q , q , q k , q , q , q (2.24)

2.1.4. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số

2.1.4.1. Phương trình vi phân dao động cấp phân số p 0 p 1

Ta có phương trình vi phân dao động cấp phân số

0 0 1R px t ax t b D x t cx t f t p (2.25)

trong đó , ,a b c là các hằng số.

Sử dụng phương pháp Newmark đối với phương trình vi phân cấp ba đã xây

dựng ở phần trên, ta tiến hành việc giải phương trình (2.25).

Định nghĩa Riemann – Liouville đối với đạo hàm cấp phân số

0 0 0 1

0

1, 1

t

R p R R u

u

xdD x t D D x t d u p

u dt t (2.26)

Áp dụng quy tắc hợp thành [2] đối với 0

R pD x t ta được

1

0 0 0 0

0,R p R R u u R ux

D x t D D x t t D x tu

(2.27)

Tính đạo hàm cấp phân số 0

R pD x t tại thời điểm nt t

1

1

1

0 0

0

0

0 0 1

1 1 1

01 1,

1 1

n

n n

n

t

R p p R p p

n n n n p

n

t t

p p p

n tn n

x x xD x t t D x t t d

p p p t

x x xd d

p pt t t

(2.28)

43

Ký hiệu

0

0p

n

xI

t (2.29)

1

1

0

nt

n p

n

xI d

t

(2.30)

Và

1

n

n

t

n p

t n

xI d

t

(2.31)

Khi đó phương trình 0

R p

nD x t sẽ trở thành phương trình có dạng

0 0 1

1

1

R p

n n nD x t I I Ip

(2.32)

Giả thiết tại thời điểm nt phương trình chuyển động của hệ như sau

0

R p

n n n n nx t ax t b D x t cx t f t (2.33)

với và n nx t x t lần lượt là độ dịch chuyển và gia tốc tại thời điểm nt .

Ta xấp xỉ tích phân xác định 1nI bằng công thức hình thang

20 1

1 1

1

2 , , 2.2

nn

n n np p pin n

x ihx xhI h t t n

t h t ih

(2.34)

Tiếp theo chú ý đến tích phân nI của phương trình (2.31). Muốn tính được

tích phân ta phải xác định được x trong hàm dưới dấu tích phân. Với

1n nt t , sử dụng khai triển Taylor và ta có thể bỏ qua số hạng bậc cao do

1nt giả thiết rằng rất nhỏ

1 1 1

1

1 1 ,

n n n

n

n n n

x x t x

tx x x

h

(2.35)

Thay phương trình (2.35) vào (2.31) ta được

1 1

1 1 1

1 1

1 1 .1 1 2

n n

n n

t t

n n n nn p p

t tn n

p p

n n n

x x x tI d d

ht t

h hx x x

p p p

(2.36)

Mặt khác ta có xấp xỉ Newmark của nx

2

1 1 1 1

11 1 ,

2 2 6n n n n n nx x x x h x h x

h

(2.37)

44

Từ phương trình (2.37) và (2.36) suy ra

1

1 1

2

1 1

21 2

11

2 2 6

p

n n n n

n n

hI x x p x

p p h

h x h x

(2.38)

Ngoài ra, ta cũng có các công thức xấp xỉ Newmark đối với ,n nx x như sau

1 1 1 13 2

1 1 1 11

2 6n n n n n nx x x x x x

hh h

(2.39)

1 1 1 121 1

2 6n n n n n nx x x x x h x

hh

(2.40)

Thay phương trình (2.32) vào phương trình vi phân dao động (2.33)

0 1

1 1

1 1n n n n n nx ax b I cx f t b I I

p p

(2.41)

Từ (2.38), (2.39) và (2.40) tính toán vế trái của (2.41) ta được

1 1 12.41 3 2 3 2

1 1 1 1 12

1

1 1

1 1 1 1

3 2

11 1 1

6 2 6

2 13 2

p

n n n n

n n n n n

p

n n

hVT a b c x x x x

p hh h h h

x a x x x h xhh

hb x p x

p h

2

1 1

1 (

6 22.42)

n nh x h x

Thế (2.42) vào (2.41) ta có

3 2

0 1 1 1 1 13 2

1 1 1 12

1

1

1

3

1 1 1 1 11

1 2 6

1 12 6

23

p

n

n n n n n n

n n n n

p

n n

ha b c x

ph h

f t b I I x x x xp hh h

a x x x h xhh

hb x p x

p h

2

1 1 1

11

2 6 2n nh x h x

(2.43)

Như vậy ta đã tìm được nghiệm số nx của phương trình vi phân dao động

(2.25) theo các giá trị của 1 1 1 1, , ,n n n nx x x x với , vàn n nx x x được tính như sau

45

1 1 1 13 2

1 1

2 2

1 1 1

1 1 1 11

2 6

1

1

2

n n n n n n

n n n n

n n n n n

x x x x x xhh h

x x h x h x

x x h x h x h x

(2.44)

Giả thiết rằng điều kiện ban đầu của các công thức trên 0 , 0x x và 0x

đã cho.

Ví dụ số

Ví dụ 1. Lấy các số liệu 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, 0p a b c f với 0.01h .

Ta có phương trình vi phân dao động: 1/2

01.3 0.5 0.25 0Rx x D x t x (2.45)

với các điều kiện đầu 0 0, 0 1, 0 0x x x , ta có đồ thị dao động tắt dần (hình

2.1).


phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, 0p a b c f

Ví dụ 2. Lấy các số liệu 0.5, 1.3, 0.5, 0.25p a b c với 0.01h . Trong

trường hợp sin3

f t

, với 0 0, 0 1, 0 0 x x x , đồ thị dao động được

biểu diễn trên hình 2.2. Ta thấy dao động của hệ sẽ có dạng dao động tuần hoàn.

46


phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, sin3

p a b c f t

Ví dụ 3

Lấy các số liệu 0.5, 10, 1, 10, 5sin , 0.01 p a b c f t h .


010 10 5sin Rx x D x t x t (2.46)

với các điều kiện đầu 0 0, 0 1, 0 0 0 0x x x x và các giá trị của ,

ta có đồ thị dao động (hình 2.3). Ta cũng nhận thấy trong trường hợp này, biên độ

dao động của hệ tăng khi tần số lực kích động giảm.


phân số 0.5, 10, 1, 10p a b c

47


Ta có phương trình vi phân dao động cấp phân số

0 1 2R px t a D x t bx t cx t f t p (2.47)

trong đó , ,a b c là các hằng số.

Định nghĩa Riemann – Liouville đối với đạo hàm cấp không nguyên

22

0 0 0 2 1

0

1,

2 , 0 1.

tR p R R u

u

xdD x t D D x t d

u dt t

u p u

(2.48)


R pD x t ta được

2 2 1

0 0 0 0

0 0,

1

R p R R u u u R ux xD x t D D x t t t D x t

u u

(2.49)

Đạo hàm cấp phân số 0

R pD x t tại thời điểm nt t trong phương trình (2.49)

1

1

1 2

0

1

1

0

1 1 1

0

0 0

1 2

0 0 1

1 2 2

0 011 ,

2

n

n n

n

R p p p p

n n n n

t

p p

n n p

n

t t

p p p p

n n tn n

x xD x t t t D x t

p p

x x xt t d

p p p t

x x x xp d d

p t t t t

(2.50)

Ký hiệu

0 1

0 01

p p

n n

x xI p

t t (2.51)

1

1 1

0

nt

n p

n

xI d

t

(2.52)

Và

1

1

n

n

t

n p

t n

xI d

t

(2.53)

Khi đó phương trình 0

R p

nD x t sẽ trở thành phương trình có dạng

0 0 1

1

2

R p

n n nD x t I I Ip

(2.54)

Tại thời điểm nt ta có phương trình chuyển động của hệ

0

R p

n n n n nx t a D x t bx t cx t f t (2.55)

48

Tích phân xác định 1nI được xấp xỉ bằng công thức hình thang như sau

20 1

1 1 1 11

2 , 2.2

nn

n p p pin n

x ihx xhI n

t h t ih

(2.56)

Ta có khai triển Taylor của x như sau với 1n nt t

1

1 1 1 1 1 ,n

n n n n n n

tx x t x x x x

h

(2.57)

Thay phương trình (2.57) vào (2.53) ta được

2 2

1 1 .2 2 3

p p

n n n n

h hI x x x

p p p

(2.58)

Từ phương trình (2.53) và (2.58) suy ra

2

1 1 1 123 1

2 3 2 6

p

n n n n n n

hI x x x p x h x

p p hh

(2.59)

Thế phương trình (2.54) vào (2.55) ta có

0 1

1 1

2 2n n n n n nx a I bx cx f t a I I

p p

(2.60)

Từ biểu thức (2.37) của nx , (2.39) của nx cùng với biểu thức của nI đã tính

được ở trên ta thay vào vế trái của (2.60)

1 1 1 12.60 3 2

2

1 1 1 12

1 1 1

1 1 1 11

2 6

13 1

2 2 3 2 6

11 1

2 2 6

n n n n n

p

n n n n n

n n n n

VT x x x x xhh h

ha x x x p x h x

p p p hh

b x x x h xh

2

1

1 1 1 13 3 2

2

1 1 1 12

1

1 1 1 1 11

4 2 6

3 14 2 6

1

n n

p

n n n n n

p

n n n n

n

h x cx

ha b c x x x x x

p h hh h h

ha x x p x h x

p hh

b xh

2

1 1 1

11 .

2 6 2

n n nx h x h x

(2.61)

49

Ta tìm được nghiệm số nx của phương trình vi phân dao động (2.47)

3

0 1 1 1 1 13 2

2

1 1 1 12

1

1

4

1 1 1 1 11

2 2 6

3 14 2 6

1

p

n

n n n n n n

p

n n n n

n n

ha b c x

p hh

f t a I I x x x xp hh h

ha x x p x h x

p hh

b x xh

2

1 1 1

11 2.

662) (

2 2

n nh x h x

Với các công thức Newmark của , vàn n nx x x

1 1 1 13 2

1 1

2 2

1 1 1

1 1 1 11

2 6

1

1

2

n n n n n n

n n n n

n n n n n

x x x x x xhh h

x x h x h x

x x h x h x h x

(2.63)

Giả thiết rằng điều kiện ban đầu 0 , 0x x và 0x đã cho.

Ví dụ số

Ví dụ 4. Lấy các số liệu 3 2, 1, 1, 1, 0, 0.01 p a b c f h .


0 0Rx D x t x x (2.64)

Các điều kiện ban đầu 0 0, 0 0, 0 1. x x x Đồ thị dao động được biểu diễn

trên hình 2.4. Dao động của hệ trong trường hợp này là dao động tắt dần.


phân số 1.5, 1, 1, 1, 0p a b c f

50

Ví dụ 5. Chọn các số liệu 3 2, 1, 1, 1, sin , 0.013

p a b c f t h .

Ta có phương trình vi phân dao động:

3/2

0 sin3

Rx D x t x x t (2.65)

Với 3

0 0, 0 0, 0 1 02

x x x x , đồ thị dao động được biểu diễn trên

hình 2.5 có dạng dao động tuần hoàn theo thời gian.


phân số 1.5, 1, 1, 1, sin3

p a b c f t

Ví dụ 6. Lấy các số liệu 3 2, 10, 1, 10, 5sin , 0.01p a b c f t h ,

Ta có phương trình vi phân dao động:

3/2

010 10 5sinRx D x t x x t (2.66)

với các điều kiện đầu 0 0, 0 0, 0 1 0 0x x x x và các giá trị khác

nhau của , ta có đồ thị dao động (hình 2.6).

Từ hình 2.6 ta nhận thấy khi tần số lực kích động tăng thì biên độ dao động giảm.

51


phân số 1.5, 10, 1, 10p a b c

2.2. Phương pháp Runge – Kutta tính toán dao động của hệ động lực

cấp một

2.2.1. Ý tưởng của phương pháp Runge – Kutta

Xét phương trình vi phân dao động cấp một

0

0 0

y f , y

y y

t t t T

t

(2.67)

Muốn tính nghiệm gần đúng y t ta chia đoạn [t0, T] thành n đoạn con bằng

nhau bởi các điểm ti: ti = t0 + ih; tn = T; 0T t

hn

. Tập hợp các điểm ti tạo thành

“lưới sai phân”, mỗi điểm ti gọi là một nút của lưới, h gọi là bước của lưới. Ta tính

gần đúng giá trị y it bởi yi . Khi đó giá trị 1yi bằng tổng của yi và trung bình có

trọng số của bốn gia số k1, k2, k3, k4 với mỗi gia số là tích của bước lưới h và một độ

dốc được ước lượng thông qua hàm f.

1 1 2 3 4

1y y k 2k 2k k ,

6i i (2.68)

1

2 1

3 2

4 3

k f , y ;

1k f , y k ;

2 2

1k f , y k ;

2 2

k f , y k .

i i

i i

i i

i i

h t

hh t

hh t

h t h

(2.69)

52

Trong đó

• k1 là gia số được xác định dựa trên độ dốc tại điểm đầu của bước lưới.

• k2 là gia số được xác định dựa trên độ dốc tại trung điểm của bước lưới.

• k3 cũng là gia số được xác định dựa trên độ dốc tại trung điểm của bước lưới.

• k4 là gia số được xác định dựa trên độ dốc tại điểm cuối của bước lưới.

Tiếp theo xét hệ phương trình vi phân dao động cấp một

0

0 0

t t t T

t

y f ,y

y y (2.70)

Trong đó

1 2

1 2

1 2

,

,

.

y , , ,

y , , ,

f , , ,

T

n

T

n

T

n

y y y

y y y

f f f

(2.71)

Tính gần đúng giá trị 1it

y bởi 1i

y thông qua giá trị của i

y đã biết

1 1 2 3 4

12 2 ,

6i i y y k k k k (2.72)

Với

1

2 1

3 2

4 3

;

1;

2 2

1;

2 2

.

i i

i i

i i

i i

h t

hh t

hh t

h t h

k f ,y

k f ,y k

k f ,y k

k f ,y k

(2.73)

2.2.2. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số


Xét dao động của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có chứa

đạo hàm cấp phân số

0 0 1R px t ax t b D x t cx t F t p (2.74)

Trong đó , ,a b c là những hằng số. 0

R pD x t là đạo hàm cấp phân số p 0 1p

của x t .

Đặt

y t x t

z t x t

s t x t

(2.75)

53

Phương trình vi phân cấp ba (2.74) được đưa về hệ phương trình vi phân cấp

một sau

0

R p

y t z t

z t s t

s t as t b D y t cy t F t

(2.76)

Định nghĩa tích phân cấp phân số Riemann – Liouville

0 1

0

1, 0 1.

tR u

u

yD y t d u

u t

(2.77)

Đạo hàm cấp phân số Riemann – Liouville được định nghĩa

0 0 0 1

0

1,

tR p R R u

u

ydD y t D D y t d

u dt t

(2.78)

Trong đó 1 , 0 1u p u , u là hàm Gamma.

Sử dụng công thức Riemann – Liouville để suy ra kỹ thuật số và để biểu

diễn bài toán được đề cập tới ở trên. Ta có quy tắc hợp thành [2]

1

0

.1

k q n kn q nq n

q n q nk

t a f ad f t d f td

k q nd t a d t a d t a

(2.79)

Áp dụng quy tắc hợp thành với , 1, 0,q u n a f t y t ta có

1 1

0 0 0 0 0

0

0

0 1,

1 1

R p R u R R u u R u

tp

p

yD y t D y t D D y t t D y t

u

y yt d

p p t

(2.80)

Tích phân từng phần số hạng thứ hai của phương trình (2.80)

11

0 0

10 .

1

t tpp

p

yd y t y t d

pt

(2.81)

Sau khi tích phân từng phần,

0

t

p

yd

t

đưa được về tích phân xác định

1

0 0

( )

t tp

tI t y t d g d

(2.82)

Thế phương trình (2.81) và (2.82) vào phương trình (2.80), ta có

1

0

010

1 1

p

R p p y t I tD y t y t

p p

(2.83)

54

Sau đó, thay phương trình (2.83) vào phương trình (2.76) ta được

1010

1 1

p

p z t I ts t as t b y t cy t F t

p p

(2.84)

Xấp xỉ tích phân 1

0 0

( )i i

i

t tp

i i tI t y t d g d

đối với mỗi thời

điểm it bởi công thức hình thang như sau

0 1 1 0 00 ... , , , , 0in i i i j t it t t T h t t t t ih t jh g t (2.85)

1 2

1 1 1

0 0

, 12 2 2i i i i i

i i

i t j t j t j t j t i

j j

h h hI t g g g g g t i

(2.86)

1

/2 /2 1 /2

0

, 02 2 4i i i

i

i t h j t h j t h i

j

h hhI t g g g t i

(2.87)

Hình 2.7. Xấp xỉ tích phân bởi công thức hình thang

Như vậy ta thấy tích phân I t không phụ thuộc vào iy t tại thời điểm it .

Khi đó, hệ phương trình (2.76) trở thành

q f ,qt (2.88)

Trong đó

1 2 3

,q , ,

f , , ,

T

T

y z s

f f f

(2.89)

1

2

1

3

,

,

010

1 1

p

p

f z t

f s t

z t I tf as t b y t cy t F t

p p

(2.90)

it

g

0 0 1 2 1... ...j i i i

it jg

1( )2 it i

hg t

iI t

2ihI t

2i

htg

0

0 1 1... ...2j i i i

h

2i

h jtg

2

( )4 i

h it

hg t

55

Thuật toán Runge – Kutta đối với hệ phương trình (2.89)

1 1 2 3 4

12 2 ,

6i i q q k k k k (2.91)

Với

1

2 1

3 2

4 3

;

1;

2 2

1;

2 2

.

i i

i i

i i

i i

h t

hh t

hh t

h t h

k f ,q

k f ,q k

k f ,q k

k f ,q k

(2.92)

Thuật toán Runge – Kutta cụ thể với 1 4T

j j j jk l m j k , , , như sau

1 1 2 3 4

1 1 2 3 4

1 1 2 3 4

12 2 ,

6

12 2 ,

6

12 2 ,

6

i i

i i

i i

y y k k k k

z z l l l l

s s m m m m

(2.93)

Trong đó

1

1

1

1

2 1

2 1

1

2 1

,

,

010

1 1

1,

2

1,

2

01 1 2 2

02 1 2 1

i

i

p

i ip

i i i i

i

i

p

p i i

i i

k hz

l hs

z t I tm h as b y t cy F t

p p

k h z l

l h s m

h hz t I t

hm h a s m b y t

p p

1

3 2

3 2

1;

2 2

1,

2

1,

2

i i

i

i

hc y k F t

k h z l

l h s m

56

1

3 2

2

4 3

4 3

1

4 3

01 1 2 2

02 1 2 1

1;

2 2

,

,

010

1 1

p

p i i

i i

i i

i

i

p

p i i

i i

h hz t I t

hm h a s m b y t

p p

hc y k F t

k h z l

l h s m

z t h I t hm h a s m b y t h

p p

3 .i ic y k F t h

(2.94)

Như vậy ta đã đạt được nghiệm số ix của phương trình vi phân chuyển động

(2.74) với các điều kiện đầu 0 , 0x x và 0x đã cho.

Ví dụ số

Ví dụ 7. Lấy các số liệu như ví dụ 1 (trang 45) với 0.5, 1.3, 0.5, 0.25,p a b c

0, 0.01f h . Ta có phương trình vi phân dao động:

1/2

01.3 0.5 0.25 0Rx x D x t x (2.95)

Các điều kiện đầu 0 0, 0 1, 0 0x x x , ta có đồ thị dao động (hình 2.8).


phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, 0p a b c f

57

So sánh ví dụ 1 và ví dụ 7 ta thấy: hình 2.1 (áp dụng phương pháp Newmark) và

hình 2.8 (áp dụng phương pháp Runge – Kutta) có sự phù hợp giữa các kết quả

được tính toán.

Ví dụ 8. Lấy các số liệu như ví dụ 2 (trang 45): 0.5, 1.3, 0.5, 0.25p a b c

với 0.01h . Trong trường hợp sin3

f t

, với 0 0, 0 1, 0 0 x x x , đồ

thị dao động được biểu diễn trên hình 2.9.


phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, sin3

p a b c f t





Xét dao động của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có chứa


0 1 2R px t a D x t bx t cx t F t p (2.96)

Trong đó , ,a b c là những hằng số.

Đặt

y t x t

z t x t

s t x t

(2.97)

58

Phương trình vi phân cấp ba (2.96) được đưa về hệ phương trình vi phân cấp

một sau

0

R p

y t z t

z t s t

s t a D y t bz t cy t F t

(2.98)

Định nghĩa Riemann – Liouville đối với đạo hàm cấp không nguyên

22

0 0 0 2 1

0

1,

2 , 0 1.

tR p R R u

u

ydD y t D D y t d

u dt t

u p u

(2.99)


R pD y t ta được

2 1

0 0

1

1

0

0 0

1

0 0 1,

1 2 2

R p u u R u

tp p

p

y yD y t t t D y t

u u

y y yt t d

p p p t

(2.100)

Tích phân từng phần số hạng thứ hai của phương trình (2.100)

22

1

0 0

10 ,

2

t tpp

p

yd y t y t d

pt

(2.101)

Sau khi tích phân từng phần,

1

0

t

p

yd

t

đưa được về tích phân xác định

2

0 0

( )

t tp

tI t y t d g d

(2.102)

Thế phương trình (2.101) và (2.102) vào phương trình (2.100), ta có

2

1

0

011 0 0

2 2

p

R p p p y t I tD y t p y t y t

p p

(2.103)

Sau đó, thay phương trình (2.103) vào phương trình (2.98) ta được

2

1 011 0 0

2 2

,

p

p p s t I ts t a p y t z t

p p

bz t cy t F t

(2.104)

Xấp xỉ tích phân 2

0 0

( )i i

i

t tp

i i tI t y t d g d

đối với mỗi thời

điểm it bởi công thức hình thang như sau

59

0 1 1 0 00 ... , , , , 0in i i i j t it t t T h t t t t ih t jh g t (2.105)

1 2

1 1 1

0 0

, 12 2 2i i i i i

i i

i t j t j t j t j t i

j j

h h hI t g g g g g t i

(2.106)

1

/2 /2 1 /2

0

, 02 2 4i i i

i

i t h j t h j t h i

j

h hhI t g g g t i

(2.107)

Ta thấy tích phân I t không phụ thuộc vào iy t tại thời điểm it . Khi đó,

hệ phương trình (2.98) trở thành

q f ,qt (2.108)

Trong đó

1 2 3

,q , ,

f , , ,

T

T

y z s

f f f

(2.109)

1

2

2

1

3

,

,

011 0 0 ,

2 2

p

p p

f z t

f s t

s t I tf a p y t z t bz t cy t F t

p p

(2.110)

Áp dụng phương pháp Runge – Kutta đối với hệ (2.108), ta có

1 1 2 3 4

1 1 2 3 4

1 1 2 3 4

12 2 ,

6

12 2 ,

6

12 2 ,

6

i i

i i

i i

y y k k k k

z z l l l l

s s m m m m

(2.111)

Trong đó

1

1

2

1

1

2 1

2 1

,

,

011 0 0 ;

2 2

1,

2

1,

2

i

i

p

i ip p

i i i i i

i

i

k hz

l hs

s t I tm h a p y t z t bz cy F t

p p

k h z l

l h s m

60

1

2

2

1 1

3 2

3 2

3

11 0 0

2 2 2

01 12 2

;2 2 2 2

1,

2

1,

2

11 0

2

p p

i i

p

i i

i i i

i

i

i

h hm h a p y t z t

p

h hs t I t

hb z l c y k F t

p

k h z l

l h s m

m h a p y tp

1

2

2 2

4 3

4 3

1

4

2

02 2

01 12 2

;2 2 2 2

,

,

11 0 0

2

0

p p

i

p

i i

i i i

i

i

p p

i i

p

i i

h hz t

h hs t I t

hb z l c y k F t

p

k h z l

l h s m

m h a p y t h z t hp

s t h I t

3 3 .

2i i i

hb z l c y k F t h

p

(2.112)

Như vậy ta đã đạt được nghiệm số ix của phương trình vi phân chuyển động

(2.96) với các điều kiện đầu 0 , 0x x và 0x đã cho.

Ví dụ số

Ví dụ 9. Lấy các số liệu như ví dụ 4 (trang 49) với 3 2, 1,p a 1, 1,b c

0, 0.01f h . Ta có phương trình vi phân dao động:

3/2

0 0Rx D x t x x (2.113)

Đồ thị dao động được biểu diễn trong hình 2.10.

61


cấp phân số 1.5, 1, 1, 1, 0p a b c f




Ví dụ 10. Chọn các số liệu như ví dụ 5 (trang 50), ta có phương trình vi phân dao

động : 3/2

0 sin3

Rx D x t x x t

. (2.114)

Đồ thị dao động được biểu diễn trong hình 2.11.


cấp phân số 1.5, 1, 1, 1, sin3

p a b c f t

62




Ví dụ 11. Lấy các số liệu như ví dụ 6 (trang 50) ta có phương trình vi phân dao

động: 3/2

010 10 5sinRx D x t x x t (2.115)

Với các giá trị khác nhau của , ta có đồ thị dao động (hình 2.12).


cấp phân số 1.5, 10, 1, 10p a b c





Nhóm nghiên cứu của GS.Nguyễn Văn Khang (Trường Đại học Bách Khoa

Hà Nội) đã phát triển các phương pháp số Newmark và Runge – Kutta xây dựng các

thuật toán số giải hệ phương trình vi phân có chứa đạo hàm cấp phân số. Một số kết

quả đã được trình bày trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [4], [5] và [6].

Trong chương này, dựa trên ý tưởng của phương pháp tích phân Newmark và

định nghĩa đạo hàm cấp phân số của Riemann – Liouville, một thuật toán số được

phát triển để tính toán đáp ứng động lực của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân

số. Dựa trên ý tưởng của phương pháp Runge – Kutta, xây dựng một thuật toán giải

63

phương trình vi phân cấp ba của hệ có chứa đạo hàm cấp phân số. Đối với phương

pháp Runge – Kutta, ta biến đổi phương trình vi phân dao động cấp ba có đạo hàm

cấp phân số về hệ ba phương trình vi phân cấp một. Do đó, phương pháp Runge –

Kutta được tính toán và lập trình trên phần mềm Matlab thuận tiện hơn so với

phương pháp Newmark. Qua các thí dụ tính toán trong nhóm nghiên cứu của tác giả

nhận thấy hai phương pháp này cho kết quả chính xác tương đương nhau.

64

CHƯƠNG 3. TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỘNG HƯỞNG CỦA HỆ

PHI TUYẾN CẤP BA CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TIỆM CẬN

Dao động cộng hưởng của các hệ phi tuyến cấp ba, cấp bốn và cấp n không

chứa đạo hàm cấp phân số đã được GS.Nguyễn Văn Đạo nghiên cứu kỹ trong các

tài liệu tham khảo [18], [47]. Trong chương này, luận án áp dụng phương pháp tiệm

cận nghiên cứu dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp

phân số. Các kết quả tính toán bằng phương pháp tiệm cận trong một số trường hợp

được so sánh với các kết quả tính toán bằng phương pháp số.

3.1. Dao động cộng hưởng của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân

cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số

3.1.1. Dao động cộng hưởng cưỡng bức của hệ Duffing cấp ba có chứa đạo hàm

cấp phân số

3.1.1.1. Thiết lập biểu thức nghiệm bằng phương pháp tiệm cận

Xét dao động của hệ Duffing được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có

chứa đạo hàm cấp phân số sau

2 2 3 sin ,p

px t x t x t x t x t D x t E t (3.1)

Trong đó , , , , ,p E là những hằng số. pD x t là đạo hàm cấp phân số p của

x t .

Trong chương này, ta sử dụng định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Cauchy

[53], [73]

1

1,

2

p

p

C

p f uD f z du

i u z

(3.2)

Giả thiết hệ có cộng hưởng 2 2 (3.3)

Áp dụng phương pháp tiệm cận tìm nghiệm tuần hoàn cho phương trình

(3.1). Nghiệm riêng với chu kỳ 2

của phương trình (3.1) được tìm dưới dạng

2

1 2cos , , , ,x a t u a t u a t (3.4)

Trong đó , ,iu a t là những hàm chu kỳ 2 đối với và t .

65

a và được xác định từ những phương trình sau

2

1 2

2

1 2

, ,

, ,

daA a A a

dt

dB a B a

dt

(3.5)

Để xác định các hàm , ,s s su A B ta tính

2 21 2 1 2

21 2

211 1

cos sin

sin

sin cos sin ,

dx u u da u u dt a t

dt a a dt dt

u ua t

t t

ua t A t aB t

t

(3.6)

2 2 22 21 2 1 2

2 2 2

22 2 2 22 21 2 1 2

2 2

2 221 2

2 2

cos sin

2sin 2 2

cos

d x u u d a u u dt a t

dt a a dt dt

u u da d u u dat

a a dt dt a a dt

u u da t

dt

2 2

1

2 2 22 22 1 2

2 22 21 2

2 2

22 21

1 1 2

2 sin 2

2 2 cos 2 2

cos

cos 2 sin 2 cos

ut

a t

u da u u da t

a t dt t t dt

u ua t

t t

ua t A t a B t

t

(3.7)

33 2 2

3

2 2

2

23 2 2 3

1 1

2 2 2 3

2 2

2 2

sin 3 sin 3 cos

6 cos 3 sin 3 sin

3 3 cos

3 sin 3sin

d x d daa t a t t

dt dt dt

da d d dt a t a t

dt dt dt dt

u da d u d a da d at

a dt dt a dt dt dt

d a d a dt t

dt dt d

22 321 1

3

33 2 2 21

1 1 3

3

sin 3 sin 3 cos

u d u

t t dt t

ua t a B t A t

t

(3.8)

66

Thế phương trình (3.6), (3.7) và (3.8) vào phương trình (3.1) ta có

33 2 2 1

1 1 3

22 1

1 1 2

2 11 1

2 2

1

sin 3 sin 3 cos

cos 2 sin 2 cos

sin cos sin

cos

sin

ua t a B t A t

t

ua t A t a B t

t

ua t A t aB t

t

a t u

E

3 3cos cosp

pt a t D a t

(3.9)

Từ phương trình (3.3) ta tính toán vế trái của phương trình (3.9)

33 2 2 1

1 1 3

22 1

1 1 2

2 11 1

2 2

1

sin 3 sin 3 cos

cos 2 sin 2 cos

sin cos sin

cos

ua t a B t A t

t

ua t A t a B t

t

ua t A t aB t

t

a t u

3 3sin cos cosp

pE t a t D a t

3 22 2 1 1

1 1 13 2

2 2 211 1

3 3

2 sin 2 cos 2 sin

2 cos sin cos

sin cos cosp

p

u ua B t A t A t

t t

ua B t a t a t u

t

E t a t D a t

(3.10)

3 22 1 1

1 1 1 1 1 3 2

2 21

3 3 2

2

2 sin 2 cos

sin cos cos sin cos

sin ,

p

p

u uaB A A aB u

t t

u

t

E t a D a a a

E t R

(3.11)

Trong đó

3 3cos cos sin cos ,p

pR a D a a a t (3.12)

67

Theo tài liệu tham khảo [73], đạo hàm cấp phân số của hàm lượng giác

cos cos2

sin sin2

p p

p p

pD t t

pD t t

(3.13)

Biến đổi vế phải của phương trình (3.12) với chú ý phương trình (3.13)

3

3

3

13cos cos3 cos cos sin sin sin

4

cos

13cos cos3 cos cos sin sin

4 2 2

sin cos

3cos cos sin s

2 4 2

p

p

p p

p p

p p

p p

R a a D t t a

a

p pa a t a t

a a

p pa a a a a

31in cos3

4a

(3.14)

Khai triển Fourier hàm R ta có

1 2

0

cos sinn n

n

R r n r n

(3.15)

Hàm 1u cũng được tìm dưới dạng chuỗi

1 1 1cos sinm m

m

u u m v m (3.16)

Từ phương trình (3.14) và (3.15) ta tìm được 11r và 21r

3

11

21

3cos

2 4

sin2

p

p

p

p

pr a a a

pr a a

(3.17)

Thay thế phương trình (3.15) và (3.16) vào phương trình (3.11) và so sánh

các hệ số ta có

1 1 11

1 1 21

2 sin

2 cos

A aB E r

aB A E r

(3.18)

và

2 2

1 1 1

2 2

1 1 2

11

1

m m m

m m m

m u m v rm

m v m u r

(3.19)

68

Suy ra

11 21

1 2 2

11 21

1 2 2

sin cos

2

sin cos

2

E r rA

E r rB

a

(3.20)

1 21 2 2 2 2 2

1 21 2 2 2 2 2

1

1

m mm

m mm

r m ru

m m

m r rv

m m

(3.21)

Do đó, trong xấp xỉ thứ nhất ta có

cosx a t (3.22)

11 21

2 2

sin cos

2

E r rda

dt

(3.23)

11 21

2 2

sin cos

2

E r rd

dt a

(3.24)

Biên độ và pha của dao động dừng được xác định từ hệ phương trình sau

11 21

11 21

sin cos

sin cos

E r r

E r r

(3.25)

Triệt tiêu pha ở hệ phương trình trên dẫn tới

2 2 2

11 21E r r (3.26)

3.1.1.2. Đường cong biên độ tần số

Phương trình đường cong biên độ tần số

2 2 2

11 21 0W r r E (3.27)

Thay phương trình (3.17) vào phương trình (3.27) ta được

2 2

3 23cos sin 0

2 4 2

p p

p p

p pa a a a a E

(3.28)

2 6 4 4 2 2 2 2

2 2 2 2 2

9 3 3cos

16 2 2 2

2 cos sin 02 2

p

p

p p

p p

pa a a a

p pa a E

(3.29)

69

3.1.1.3. Khảo sát ổn định của dao động dừng

Cho ,a là những nhiễu nhỏ và đặt 0 0,a a a , trong đó

0 0,a là những giá trị dừng của ,a được xác định từ phương trình (3.25). Đặt

những biểu thức trên vào phương trình (3.23) và (3.24), đồng thời sử dụng phương

trình (3.25) ta được phương trình biến phân sau

11 21 11 212 22

d ar r a r r

dt

(3.30)

11 21 11 212 2

02

dr r a r r

dt a

(3.31)

Trong đó 11 21,r r được đạo hàm đối với 0a .

Phương trình đặc trưng của hệ phương trình (3.30), (3.31)

2 0q s (3.32)

Với

0 11 212 200

,2

dq a r r

daa

(3.33)

2

2 2 200

,8

ds W

daa

(3.34)

2 2 2

11 21 .W r r E (3.35)

Điều kiện ổn định theo tiêu chuẩn Routh – Hurwitz

0 11 21

0

0d

a r rda

(3.36)

0

0d

Wda

(3.37)

Từ các phương trình (3.36), (3.37), (3.17) ta có điều kiện ổn định của hệ

1 2

0 02 cos 2 sin 3 02 2

p p

p p

p pa a

(3.38)

2 2 2

0 0

2 2 2 2 2 4 1

0

116 32 cos 48 cos

8 2 2

16 48 27 32 sin 02

p p p

p p p

p

p

p pa a

pa a

(3.39)

70

3.1.1.4. Đồ thị đường cong biên độ tần số

Để thấy được ảnh hưởng của giảm chấn cấp phân số đối với dao động điều

hoà của hệ Duffing cấp ba, ta chọn bộ tham số như sau

3

2 3 2 3 2 2

1 1 , 10 1 , 0.1, 1 , 0.5,

10 126.25 , 404 / 3 1 , ,

p

ps s s p

E m s m s

Khi đó, phương trình vi phân dao động của hệ có dạng

3 1 2 340.410 10 0.1 10 126.25 sin

3x x x x x D x t (3.40)

Dựa trên phương trình đường cong biên độ tần số (3.29), ta có được các

đường cong biên độ tần số được biểu diễn trên các hình 3.1 – 3.7. Trong đó, đường

nét liền biểu diễn các nghiệm ổn định, đường nét đứt biểu diễn các nghiệm không

ổn định và miền gạch chéo là các miền không ổn định khi các bất phương trình

(3.38) và (3.39) không thoả mãn.

Với mỗi một giá trị của , ta có một phương trình vi phân dao động tương

ứng. Áp dụng phương pháp số Runge – Kutta, ta tính toán dao động của hệ. Sau đó,

xác định được các biên độ dao động của hệ trong giai đoạn dao động điều hòa tương

ứng với từng giá trị của . Trên hình 3.7, những chấm tròn là những nghiệm tìm

được thông qua phương pháp số. Ta có thể thấy rằng có sự phù hợp giữa các kết quả

giải tích và kết quả số.

Ta nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số đạo hàm cấp phân số đối với

đường cong biên độ tần số để tối ưu hệ thông qua việc lựa chọn các tham số đạo

hàm cấp phân số phù hợp.

Hình 3.1. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi

71

Hình 3.2. Đường cong biên độ tần số khi 0; 0.25p p

Hình 3.3. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0p p


72

Khi hệ số p thay đổi, cấp phân số 0.5p , các đường cong biên độ tần số

được biểu diễn trên hình 3.1.Nếu hệ số 1p và thay đổi cấp phân số p, ta được các

đường cong biên độ tần số trên hình 3.5. Ta cũng có được các đường cong biên độ

tần số trên hình 3.6 với 0.5, 0.5p p và biên độ lực kích động E thay đổi. Từ

các đồ thị trên, ta nhận thấy khi hệ số p và cấp phân số p càng tăng thì biên độ dao

động càng giảm; biên độ lực kích động E tăng thì biên độ dao động tăng.

Hình 3.5. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0p p

Hình 3.6. Đường cong biên độ tần số khi E thay đổi

73

Hình 3.7. Đường cong biên độ tần số kết hợp MPS khi 0.5; 0.5p p

3.1.2. Dao động cộng hưởng của hệ van der Pol cưỡng bức cấp ba có chứa



Trong phần này ta xét dao động cưỡng bức của hệ phi tuyến cấp ba van der

Pol cưỡng bức được mô tả bởi phương trình vi phân

2 2 2 1 sin ,p

px t x t x t x t x t x t D x t E t (3.41)

Trong đó , , , ,p E là những hằng số. pD x t là đạo hàm cấp phân số p của

x t .

Giả thiết hệ có cộng hưởng 2 2 (3.42)

Áp dụng phương pháp tiệm cận tìm nghiệm tuần hoàn cho phương trình

(3.41). Nghiệm riêng với chu kỳ 2

được tìm dưới dạng

2

1 2cos , , , ,x a t u a t u a t (3.43)

Trong đó , ,iu a t là những hàm chu kỳ 2 đối với và t .


2

1 2

2

1 2

, ,

, ,

daA a A a

dt

dB a B a

dt

(3.44)

74


2 21 2 1 2

21 2

211 1

cos sin

sin

sin cos sin ,

dx u u da u u dt a t

dt a a dt dt

u ua t

t t

ua t A t aB t

t

(3.45)

2 2 22 21 2 1 2

2 2 2

22 2 2 22 21 2 1 2

2 2

2 221 2

2 2

cos sin

2sin 2 2

cos


dt a a dt dt

u u da d u u dat

a a dt dt a a dt

u u da t

dt

2 2

1

2 2 22 22 1 2

2 22 21 2

2 2

22 21

1 1 2

2 sin 2

2 2 cos 2 2

cos

cos 2 sin 2 cos

ut

a t

u da u u da t

a t dt t t dt

u ua t

t t

ua t A t a B t

t

(3.46)

33 2 2

3

2 2

2

23 2 2 3 2

1 1

2 2 2 3 2

2

2

sin 3 sin 3 cos

6 cos 3 sin 3 sin

3 3 cos 3 sin

3sin

d x d daa t a t t

dt dt dt

da d d dt a t a t

dt dt dt dt

u da d u d a da d a d at t

a dt dt a dt dt dt dt

d a dt

dt d

22 321 1

3

33 2 2 21

1 1 3

3

sin 3 sin 3 cos

u d u

t t dt t

ua t a B t A t

t

(3.47)

75

Thế phương trình (3.45), (3.46) và (3.47) vào phương trình (3.41) ta có

3 22 2 1 1

1 1 13 2

2 2 211 1

2 2

2 sin 2 cos 2 sin

2 cos sin cos

sin cos 1 sin cosp

p

u ua B t A t A t

t t

ua B t a t a t u

t

E t a t a t D a t

3 22 1 1

1 1 1 1 1 3 2

2 21

2 2

2

2

2 sin 2 cos

sin cos 1 sin cos sin

cos

sin ,

p

p

u uaB A A aB u

t t

u

t

E t a a D a a

a

E t R

(3.48)

Trong đó

2 2cos 1 sin cos sin cos ,p

pR a a D a a a (3.49)

Với t

Theo tài liệu tham khảo [73] đạo hàm cấp phân số của hàm lượng giác

cos cos2

sin sin2

p p

p p

pD t t

pD t t

(3.50)

Biến đổi vế phải của phương trình (3.49) ta được

2

3 3

3

1 1cos 2 1 sin cos cos sin sin

2 2 2 2

sin cos

sin cos 2 sin sin cos cos2 2 2

sin sin sin cos2

sin 3 cos cos4 2

p p

p p

p

p

p

p

p

p

p pR a a a a

a a

a a pa a

pa a a

a pa a

a

3

sin sin2 4

p

p

p aa a

(3.51)

76

Khai triển Fourier hàm R ta có

1 2

0

cos sinn n

n

R r n r n

(3.52)

Hàm 1u cũng được tìm dưới dạng chuỗi

1 1 1cos sinm m

m

u u m v m (3.53)

Từ phương trình (3.51) và (3.52) ta tìm được 11r và 21r

11

2

21

cos2

sin 12 4

p

p

p

p

pr a a

p ar a a

(3.54)

Thế phương trình (3.52) và (3.53) vào (3.48) và so sánh các hệ số ta có

1 1 11

1 1 21

2 sin

2 cos

A aB E r

aB A E r

(3.55)

2 2

1 1 1

2 2

1 1 2

11

1

m m m

m m m

m u m v rm

m v m u r

(3.56)

Suy ra

11 21

1 2 2

11 21

1 2 2

sin cos

2

sin cos

2

E r rA

E r rB

a

(3.57)

1 21 2 2 2 2 2

1 21 2 2 2 2 2

1

1

m mm

m mm

r m ru

m m

m r rv

m m

(3.58)

Do đó, trong xấp xỉ thứ nhất ta có

cosx a t (3.59)

11 21

2 2

sin cos

2

E r rda

dt

(3.60)

11 21

2 2

sin cos

2

E r rd

dt a

(3.61)

77

Biên độ và pha của dao động dừng được xác định từ hệ phương trình sau

11 21

11 21

sin cos

sin cos

E r r

E r r

(3.62)

Triệt tiêu pha ở hệ phương trình trên dẫn tới

2 2 2

11 21E r r (3.63)


Từ phương trình (3.54) ta được phương trình đường cong biên độ tần số

2 2 2

11 21 0W r r E (3.64)

22 22cos sin 1 0

2 2 4

p p

p p

p p aa a a a E

(3.65)

26 4 2 2 1

2 2 2 2 2 2

sin 2 sin16 2 2 2

2 cos sin 1 2 02 2

p p p

p p p

p

p

p pa a

p pa E

(3.66)


Cho ,a là những nhiễu nhỏ và đặt 0 0,a a a , trong đó

0 0,a là những giá trị dừng của ,a được xác định từ phương trình (3.62). Đặt

những biểu thức trên vào phương trình (3.60) và (3.61), đồng thời sử dụng phương

trình (3.62) ta được phương trình biến phân sau

11 21 11 212 22

d ar r a r r

dt

(3.67)

11 21 11 212 2

02

dr r a r r

dt a

(3.68)

Trong đó 11 21,r r được đạo hàm đối với 0a .

Phương trình đặc trưng của hệ phương trình (3.67), (3.68)

2 0q s (3.69)

Với

0 11 212 200

,2

dq a r r

daa

(3.70)

78

2

2 2 200

,8

ds W

daa

(3.71)

2 2 2

11 21 .W r r E (3.72)

Điều kiện ổn định theo tiêu chuẩn Routh – Hurwitz

0 11 21

0

0d

a r rda

(3.73)

0

0d

Wda

(3.74)

Từ phương trình (3.73), (3.74) và (3.54) ta có điều kiện ổn định của hệ

1 2

0 02 cos 2 sin 2 02 2

p p

p p

p pa a

(3.75)

2 2 2 1 2 2 2

0 0

2 2 2 2 2 4 1

0 0

116 32 cos 16 sin 16

8 2 2

32 16 1 16 3 32 1 sin 02

p p p

p p p

p

p

p pa a

pa a

(3.76)


Ta chọn bộ tham số sau

3 3 2 241 1 , 1 1 , 0.1, 1 , 0.5, ,

3 3

p

ps s s p E m s

Phương trình vi phân dao động của hệ có dạng

2 1 2 0.40.1 1 0.1 sin ,

3 3x t x t x t x t x t x t D x t t (3.77)

Sử dụng phương trình đường cong biên độ tần số (3.66), ta có được các

đường cong biên độ tần số được biểu diễn trên các hình 3.8 – 3.15 (ký hiệu

).

Trong đó, đường nét liền là các nghiệm ổn định, đường nét đứt là các nghiệm không

ổn định và miền gạch chéo là các miền không ổn định khi các bất phương trình

(3.75) và (3.76) không thoả mãn.





79

được thông qua phương pháp số. Sự phù hợp giữa các kết quả giải tích và kết quả số

có thể rõ ràng nhận thấy được.


đường cong biên độ tần số.



80


được biểu diễn trên hình 3.8. Khi hệ số 1p và thay đổi cấp phân số p, ta được

các đường cong biên độ tần số trên hình 3.9. Ta nhận thấy khi cấp phân số p tăng thì

biên độ dao động giảm, khi hệ số của đạo hàm cấp phân số p tăng thì biên độ dao

động không giảm nhưng pha dao động thay đổi.



81



Hình 3.14 chỉ ra các đường cong biên độ tần số với các giá trị khác nhau của

biên độ lực kích động E và 1, 0.5p p . Từ đồ thị trên, cũng có thể thấy được

ảnh hưởng quan trọng của biên độ lực kích động đối với đường cong biên độ tần số.

Khi biên độ lực kích động E tăng thì biên độ dao động tăng.

82

Hình 3.14. Đường cong biên độ tần số khi E thay đổi

Hình 3.15. Đường cong biên độ tần số kết hợp MPS khi 1; 0.5p p

3.2. Dao động cộng hưởng tham số của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo

hàm cấp phân số

3.2.1. Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát Coulomb và cản nhớt theo luật



Xét dao động tham số của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba

2 2 3 3

0 sign cos 0p

px x x x k x hx h x D x cx t (3.78)

Trong đó 0, , , , , , ,pk h h c là những hằng số.

83

Giả thiết hệ có cộng hưởng 2 21 ,2

(3.79)

Khi đó phương trình (3.78) có thể được viết lại như sau

2 2

, , , cos 04 4

px x x x f x x x D x cx t

(3.80)

Trong đó 3 3

0, , , signp p

pf x x x D x x x k x hx h x D x (3.81)

Nghiệm riêng hai tham số của phương trình (3.80) được tìm dưới dạng

2

1 2cos , , , ,2 2 2

x a t u a t u a t

(3.82)

Trong đó , ,su a là những hàm chu kỳ 2 đối với và ; a và được xác

định từ những phương trình sau

2

1 2

2

1 2

, ,

, ,

daA a A a

dt

dB a B a

dt

(3.83)


21 2 1

2 22 1 2

211 1

cos sin2 2

sin2 2

sin cos sin2

dx u u da ut a t

dt a a dt

u d u ua t

dt t t

ua A aB

t

(3.84)

2 2 22 21 2 1 2

2 2 2

22 2 2 22 21 2 1 2

2 2

cos sin2 2

2sin 2 22

cos2


dt a a dt dt

u u da d u u dat

a a dt dt a a dt

a t

22 2 221 2 1

2 2

2 2 22 22 1 2

2 2 221 2

2 2

2

1

sin 22

2 cos 2 22

cos4 2

cos sin4

u u d ut

dt a t

u da u u da t

a t dt t t dt

u ua t

t t

a A

221

1 2 cos (3. )85

uaB

t

84

3 3 2 2

3

2 2

2

23 2 2

1 1

2 2 2

sin 3 sin 3 cos8 2 4 2 4 2

3 cos 3 sin 3 sin2 2 2 2 2

3 3

d x d daa t a t t

dt dt dt

da d d dt a t a t

dt dt dt dt

u da d u d a da

a dt dt a dt dt

3

3

22 2 2 321 1

2 2 3

3 32 2 21

1 1 3

cos2

3 sin 3sin 32 2 2

3 3sin cos sin

8 4 4

d at

dt

d a d a d u d ut t

dt dt dt t dt t

ua A aB

t

(3.86)

Trong đó 2

t

(3.87)

Thế phương trình (3.82), (3.84), (3.85) và (3.86) vào phương trình (3.80)

3 3 22 2 1

1 1 3

2 2

1 11 1 1 12

22

1

2

3 3sin cos sin cos

8 4 4 4

sin cos sin cos sin4 2

cos4

cos , sin , cos2 4

ua A aB a

t

u uA aB a A aB

t t

a u

f a a a

, cos cos cospD a ac t

(3.88)

So sánh các hệ số của ε ta được

3 2 2 2 2

1 1 11 1 13 2

2

1 1 0

cos4 4 2

sin cos cos ,2

u u uu A aB

t t t

aB A f ac t

(3.89)

2

0

33 3 3 3

0

cos , sin , cos , cos2 4

sin cos cos sin2 8

sign sin cos2

p

p

p

f f a a a D a

a a ka h a

h a D a

(3.90)

85

Theo tài liệu tham khảo [73] đạo hàm cấp phân số của hàm lượng giác

cos cos2

sin sin2

p p

p p

pD t t

pD t t

(3.91)


33 3 3 3

0

0

33 3 3 3

0

33 3 3 3

0

sin cos cos sin2 8

sign sin cos2

sin cos cos sin2 8

sign sin cos2 2

sin cos cos sin2 8

p

p

p

p

f a a ka h a

h a D a

a a ka h a

h a D a t

a a ka h a h

33 3 3 3

0

sign sin2

cos cos sin sin2 2 2 2 2

sin cos cos sin2 8

sign sin cos cos sin sin2 2 2 2

p

p

p

p

a

p pa t t

a a ka h a

p ph a a

(3.92)

Khai triển Fourier hàm 0f ta có

0

0

cos sinm m

m

f r a m s a m

(3.93)

Với là toán tử trung bình

2

0 0 0

0

2

0 0

0

2

0 0

0

1,

2

1cos 2 cos ,

1sin 2 sin ,

m

m

r f d f

r f m d f m

s f m d f m

(3.94)

86

Hàm 1u thoả mãn phương trình (3.89) cũng được tìm dưới dạng chuỗi

1 , cos , sinn n

n

u G a n H a n (3.95)

Với điều kiện 1u không chứa các số hạng cộng hưởng. Điều kiện này sẽ tương

đương với điều kiện là hàm 1u không chứa cos ,sin .

Thay thế phương trình (3.93) và (3.95) vào phương trình (3.89) ta có

22

2 2

1 1 1 1

0

1 sin cos4 2 2

cos sin2 2

cos cos cos sin ,

n n n n

n

m m

m

n nn G H n H G n

A aB aB A

ac t r m s m

(3.96)

Mặt khác ta có

cos cos cos cos 2 2

1cos2 cos sin 2 sin cos2 cos3 sin 2 sin3

2

t

(3.97)

22

2 2

1 1 1 1

0

1 sin cos4 2 2

cos sin2 2

cos 2 cos sin 2 sin cos 2 cos3 sin 2 sin 32

cos sin ,

n n n n

n

m m

m

n nn G H n H G n

A aB aB A

ac

r m s m

(3.98)

So sánh các hàm điều hoà cos ,sin và các hàm điều hoà khác ta có

2

1 1 1

2

1 1 1

cos22 2

sin22 2

acA aB r

acA aB s

(3.99)

22

3

22

3

1 cos 24 2 2

1 sin 24 2 2

n n n n

n n n n

n acn H G r

n acn G H s

(3.100)

87

Trong đó 1n và

3

0 3

1 3n

n

n

(3.101)

Giải phương trình (3.99) và (3.100) ta có

3

2 22 2 2

3

2 22 2 2

sin 2 cos22 4 2

14 4

cos2 sin 22 4 2

14 4

n n n

n

n n n

n

r ns nac ac

G

n n

nr s nac ac

H

n n

(3.102)

0 0

1 2 2

0 0

1 2 2

1sin cos cos2 sin 2

4 4

1cos sin sin 2 cos2

4 4

f f ac acA

f f ac acB

a

(3.103)

Với

1 ( 0)

sign 1 ( 0)

0 ( 0)

x

x x

x

(3.104)

Đặt

0 0 sign sin cos cos sin sin2 2 2 2

p

p

p pR h a a

(3.105)

Từ phương trình (3.92) tính toán các giá trị trung bình 0 0cos , sinf f

33 3

0

2 3 4

0

3

0

32 3 4

0

3 3

0

3 3

0

cos sin cos sin cos2 8

cos cos cos

1 3cos ,

2 8

sin sin sin2 8

cos sin cos sin sin

1 3sin ,

4 64

f a h a

a ka R

a ka R

f a h a

a ka R

a h a R

(3.106)

88

Thay phương trình (3.106) vào phương trình (3.103) và sau khi tính toán ta

tìm được các phương trình của xấp xỉ thứ nhất

2 3

12 2

2 2 4 3

22 2

3 1cos2 sin 2

8 4 2

1 3sin 2 cos2

4 4 22

da ack h a ac R

dt

d ac aca k h a R

dt a

(3.107)

Trong đó

1 0 0

2 0 0

2cos sin

2cos sin

R R R

R R R

(3.108)

Từ phương trình (3.105) tính toán các giá trị trung bình của 0 cosR và

0 sinR

0 0

2

cos sign sin cos2

cos cos sin sin cos2 2 2

1cos ,

2 2 2

p

p

p

p

R h a

p pa

pa

(3.109)

0 0

2

0

sin sign sin sin2

cos cos sin sin sin2 2 2

2 1sin ,

2 2 2

p

p

p

p

R h a

p pa

ph a

(3.110)

Thế phương trình (3.109) và (3.110) vào phương trình (3.108)

1 0

0

1

0

1 2 2 1cos sin

2 2 2 2 2 2

1 2cos sin

2 2 2 2

1 2cos sin ,

2 2 2

p p

p p

pp p

p

p

p

p pR a h a

p pa h a

p pa h

(3.111)

89

2 0

0

1

0

2 1 2 1cos sin

2 2 2 2 2 2

2 1cos sin

2 2 2 2

1 2cos sin ,

2 2 2

p p

p p

p p

p p

p

p

p pR a h a

p pa h a

p pa h

(3.112)

Phương trình (3.107) có dạng

2 3

2 2

1

0

2 2 4 3

2 2

1

0

3 1cos2 sin 2

8 4 2

1 2cos sin

2 2 2

1 3sin 2

4 42

1 2cos 2 cos sin

2 2 2 2

p

p

p

p

da ack h a ac

dt

p pa h

d aca k h a

dt a

ac p pa h

(3.113)

Do đó trong xấp xỉ thứ nhất nghiệm riêng của phương trình (3.78) có dạng

cos2

x a t

(3.114)

Với ,a là nghiệm của các phương trình (3.113).


Nghiệm dừng của hệ (3.107) được xác định từ những phương trình sau

2 3

0 0 0 0 0 1

2 2 4 3

0 0 0 0 0 0 2

3sin 2 cos2

2 4 8

1 3cos2 sin 2

2 4 4

c ca a k h a R

c ca a a k h a R

(3.115)

Triệt tiêu pha 0 ở (3.115), ta được phương trình của biên độ 0a

0W , 0a (3.116)

Trong đó

22

2

0 0 1 22 2

0

22

2 2 2

0 2 12 2

0

3 2 2W ,

4

3 12 0

4 4

a ka R Ra

cha R R

a

(3.117)

90

Thay 1 2,R R từ phương trình (3.111) và (3.112) vào phương trình (3.117)

21 1

0 02 2

0

2

2 2 2 2 1

0 0 02 2

0

1

0

2 1 1cos sin cos sin

2 2 2 2 2 2

3 3 1 12 cos sin

4 4 2 2 2

1 42 cos sin

2 2 2

p p

p p

p

p

p

p

p p p pa a

a

p pka ha a

a

p pa

22

0

0

04

ch

a

22 2

2 2 2 2 1

0 0 0

0

3 3 4cos sin 0

4 2 4 2 4

p p

p p

p p cka ha h

a

(3.118)

2 2 6 2 6 2 4 3 4

0 0

3 3 2 2 2 2 2 1

0 0

2 2 2 2 2

0 0 0

9 24 cos sin2 2

96 4 4 8 cos 4 8 sin2 2

4 128 sin 256 02

p p

p p

p p

p p

p p

p p

p pk h a k k h h a

p ph h a

pc a h a h

(3.119)


Xét tính ổn định của nghiệm dừng 0 0a của hệ phương trình (3.107). Thay

0 0,a a a vào hệ phương trình (3.107) với 0 0,a là nghiệm của hệ

phương trình (3.115), ta có các phương trình biến phân sau

2 2 10 02 2

0

2 2 4 3

0 0 2

3

4

2 32

2

d a Rk h a a a

dt a

a k h a R

(3.120)

4 202 2

0

2 2

0 1

0

3

22

3 2

4

d Rk h a a

dt a

k h a Ra

(3.121)

Phương trình đặc trưng của hệ

2 0Z S (3.122)

91

Trong đó

2 2

0 0 12 2

0

3 1,

2Z k h a a R

a

(3.123)

2

0

2 2 20

W,

4

aS

a

(3.124)

Với W có dạng phương trình (3.116).

Do đó, điều kiện ổn định của nghiệm dừng là

2 3

0 0 13 2 0,k h a a R (3.125)

0

W0

a

(3.126)

Từ các phương trình (3.111), (3.112), (3.125) và (3.126) ta có điều kiện ổn

định của hệ

2 3 1 00 0

43 2 cos sin 0

2 2

p

p

hp pk h a a

(3.127)

2

0 0

2 2 2 1 2

0 0 0 02

0 0

33 cos

4 2

3 4 3 42 sin 0

4 2 2

p

p

p

p

pka ka

pha h ha h

a a

(3.128)


Chọn bộ tham số 1, 1, 1, 0.01, 0.5, 0.1, 0.05,p p k h

0 0.0025, 0.05,2

h c

.

Phương trình vi phân dao động của hệ có dạng

3 3 1 21 0.1 0.05 0.0025sign 0.01 0.05 cos 0x x x x x x x D x x t

(3.129)

Dựa trên phương trình đường cong biên độ tần số (3.119), ta có các đường

cong biên độ tần số được biểu diễn trên các hình 3.16 – 3.22. Trong đó, đường nét

liền biểu diễn các nghiệm ổn định, nét đứt biểu diễn các nghiệm không ổn định và

miền gạch chéo là các miền không ổn định khi các bất phương trình (3.127) và

(3.128) không thoả mãn.

92




ứng với từng giá trị của . Trên hình 3.20 và hình 3.22 (hai đường cong biên độ

tần số tương ứng với hai giá trị khác nhau của p ), những chấm tròn là những

nghiệm tìm được thông qua phương pháp số. Ta có thể thấy rằng có sự phù hợp tốt

giữa các kết quả giải tích và kết quả số.


đường cong biên độ tần số. Nếu cấp phân số 0.5p và cho hệ số p thay đổi, các

đường cong biên độ tần số được biểu diễn trên hình 3.16. Nếu hệ số 0.01p và

cấp phân số p thay đổi, ta được các đường cong biên độ tần số trên hình 3.17. Ta

cũng có được các đường cong biên độ tần số trên hình 3.18 với hệ số ma sát 0h

thay đổi. Từ các đồ thị trên, ta nhận thấy rằng khi cấp phân số p và hệ số ma sát 0h

tăng thì biên độ dao động giảm; hệ số p tăng thì biên độ dao động không tăng

nhưng pha dao động thay đổi.


93



h thay đổi

94

Hình 3.19. Đường cong biên độ tần số khi 0.01; 0.5p p

Hình 3.20. Đường cong biên độ tần số khi MPS 0.01; 0.5p p


95

Hình 3.22. Đường cong biên độ tần số MPS khi 0; 0.5p p

3.2.2. Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát động và cản nhớt theo luật



Xét dao động tham số của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có

dạng sau

2 2 3 3 2

2 sign cos 0p

px x x x k x hx h x x D x cx t (3.130)

Trong đó , , , , , ,pk h c là những hằng số, 2h là một hằng số dương. pD x là

đạo hàm cấp phân số của x t .

Giả thiết hệ có cộng hưởng

2 21 ,2

(3.131)

Khi đó phương trình (3.64) có thể được viết lại như sau

2 2

, , , cos 04 4

px x x x f x x x D x cx t

(3.132)

Trong đó 3 3 2

2, , , signp p

pf x x x D x x x k x hx h x x D x (3.133)

Nghiệm riêng hai tham số của phương trình (3.132) được tìm dưới dạng

2

1 2cos , , , ,2 2 2

x a t u a t u a t

(3.134)

Trong đó , ,su a là những hàm chu kỳ 2 đối với và .

96


2

1 2

2

1 2

, ,

, ,

daA a A a

dt

dB a B a

dt

(3.135)


21 2 1

2 22 1 2

211 1

cos sin2 2

sin2 2

sin cos sin2

dx u u da ut a t

dt a a dt

u d u ua t

dt t t

ua A aB

t

(3.136)

2 2 22 21 2 1 2

2 2 2

22 2 2 22 21 2 1 2

2 2

cos sin2 2

2sin 2 22

cos2


dt a a dt dt

u u da d u u dat

a a dt dt a a dt

a t

22 2 221 2 1

2 2

2 2 22 22 1 2

2 2 221 2

2 2

2

1

sin 22

2 cos 2 22

cos4 2

cos sin4

u u d ut

dt a t

u da u u da t

a t dt t t dt

u ua t

t t

a A

221

1 2cos (3.137)

uaB

t

3 3 2 2

3

22 3

1

2 2

2 2 3

1

2 2 3

sin 3 sin 3 cos8 2 4 2 4 2

3 cos 3 sin 32 2 2

3 cos 3 sin2 2 2

d x d daa t a t t

dt dt dt

da d d u da dt a t

dt dt dt a dt dt

u d a da d at t

a dt dt dt

2 321

2 3

3 32 2 21

1 1 3

3 3sin cos sin

8 4

4

d a u

dt t

ua A aB

t

(3.138)

Trong đó 2

t

(3.139)

97

Thế phương trình (3.134), (3.136), (3.137), (3.138) vào (3.132)

3 3 22 2 1

1 1 3

2 2

1 11 1 1 12

22

1

2

3 3sin cos sin cos

8 4 4 4

sin cos sin cos sin4 2

cos4

cos , sin , cos2 4

ua A aB a

t

u uA aB a A aB

t t

a u

f a a a

, cos cos cospD a ac t

(3.140)

So sánh các hệ số của ε ta được

3 2 2 2 221 1 1

1 1 1 1 13 2

0

cos sin4 4 2 2

cos cos ,

u u u au A aB B A

t t t

f ac t

(3.141)

2

0

33 3 3 3

2

2

cos , sin , cos , cos2 4

sin cos cos sin2 8

sin sign sin cos2 2

p

p

p

f f a a a D a

a a ka h a

h a a D a

(3.142)

Đạo hàm cấp phân số của hàm lượng giác [73]

cos cos2

sin sin2

p p

p p

pD t t

pD t t

(3.143)


33 3 3 3

0

22 2

2

33 3 3 3

22 2

2

sin cos cos sin2 8

sin sign sin cos4 2 2

sin cos cos sin2 8

sin sign sin cos cos sin si4 2 2 2 2

p

p

p

p

f a a ka h a

h a a D a t

a a ka h a

p ph a a a

n

(3.144)

98

Khai triển Fourier hàm 0f ta có

0

0

cos sinm m

m

f r a m s a m

(3.145)

Với là toán tử trung bình

2

0 0 0

0

2

0 0

0

2

0 0

0

1,

2

1cos 2 cos ,

1sin 2 sin ,

m

m

r f d f

r f m d f m

s f m d f m

(3.146)

Hàm 1u thoả mãn phương trình (3.141) cũng được tìm dưới dạng chuỗi

1 , cos , sinn n

n

u G a n H a n (3.147)

Với điều kiện 1u không chứa các số hạng cộng hưởng. Điều kiện này sẽ tương

đương với điều kiện là hàm 1u không chứa cos ,sin .

Thế phương trình (3.145) và (3.147) vào phương trình (3.141) ta có

22

2 2

1 1 1 1

0

1 sin cos4 2 2

cos sin2 2

cos cos cos sin ,

n n n n

n

m m

m

n nn G H n H G n

A aB aB A

ac t r m s m

(3.148)

Mặt khác ta có

1

cos cos cos2 cos sin 2 sin cos2 cos3 sin 2 sin32

t (3.149)

22

2 2

1 1 1 1

0

1 sin cos4 2 2

cos sin2 2

cos 2 cos sin 2 sin cos 2 cos3 sin 2 sin 32

cos sin ,

n n n n

n

m m

m

n nn G H n H G n

A aB aB A

ac

r m s m

(3.150)

99

So sánh các hàm điều hoà cos ,sin dẫn đến

2

1 1 1

2

1 1 1

cos22 2

sin22 2

acA aB r

acA aB s

(3.151)

So sánh các hàm điều hoà khác ta có

22

3

22

3

1 cos 24 2 2

1 sin 24 2 2

n n n n

n n n n

n acn H G r

n acn G H s

(3.152)

Trong đó 1n và

3

0 3

1 3n

n

n

(3.153)

Giải phương trình (3.160) và (3.152) ta có

3

2 22 2 2

3

2 22 2 2

sin 2 cos22 4 2

14 4

cos2 sin 22 4 2

14 4

n n n

n

n n n

n

r ns nac ac

G

n n

nr s nac ac

H

n n

(3.154)

0 0

1 2 2

0 0

1 2 2

1sin cos cos2 sin 2

4 4

1cos sin sin 2 cos2

4 4

f f ac acA

f f ac acB

a

(3.155)

Với

1 ( 0)

sign 1 ( 0)

0 ( 0)

x

x x

x

(3.156)

Đặt

2

2 2

0 2 sin sign sin cos cos sin sin4 2 2 2 2

p

p

p pR h a a a

(3.157)

100

Từ phương trình (3.143) tính toán các giá trị trung bình 0 0cos , sinf f

2 3 4

0

33 3

0

3

0

2 3 3

0

33 4

0

3 3

0

cos sin cos cos cos2

sin cos cos8

1 3cos ,

2 8

sin sin cos sin cos sin2

sin sin8

1 3sin ,

4 64

f a a ka

h a R

a ka R

f a a ka

h a R

a h a R

(3.158)

Thay phương trình (3.158) vào phương trình (3.155) và sau khi tính toán ta

tìm được các phương trình của xấp xỉ thứ nhất

2 3

12 2

2 2 4 3

22 2

3 1cos2 sin 2

8 4 2

1 3sin 2 cos2

4 4 22

da ack h a ac R

dt

d ac aca k h a R

dt a

(3.159)

Trong đó

1 0 0

2 0 0

2cos sin

2cos sin

R R R

R R R

(3.160)

Từ phương trình (3.157) ta tính toán các giá trị trung bình 0 cosR và

0 sinR

22 2

0 2

2

cos sign sin sin cos4 2

cos cos sin sin cos2 2 2

1cos ,

2 2 2

p

p

p

p

R h a a

p pa

pa

(3.161)

101

22 3

0 2

2

2 2

2

sin sign sin sin4 2

cos cos sin sin sin2 2 2

1 1sin ,

3 2 2 2

p

p

p

p

R h a a

p pa

ph a a

(3.162)

Thế phương trình (3.161) và (3.162) vào phương trình (3.160)

2 2

1 2

2

2

1 2

2

1 2 1 1cos sin

2 2 2 3 2 2 2

1 4cos sin

2 2 3 2 2

1 4cos sin ,

2 2 2 3

p p

p p

pp p

p

p

p

p pR a h a a

p pa h a a

p pa h a

(3.163)

2 2

2 2

2 2

2

1 2 2

2

2 1 1 1cos sin

2 2 2 3 2 2 2

4 1cos sin

2 2 3 2 2

1 4cos sin ,

2 2 2 3

p p

p p

p p

p p

p

p

p pR a h a a

p pa h a a

p pa h a

(3.164)

Khi đó phương trình (3.159) có dạng

2 3

2 2

1 2

2

2 2 4 3

2 2

1 2 2

2

3 1cos2 sin 2

8 4 2

1 4cos sin

2 2 2 3

1 3sin 2

4 42

1 4cos2 cos sin

2 2 2 2 3

p

p

p

p

da ack h a ac

dt

p pa h a

d aca k h a

dt a

ac p pa h a

(3.165)

Như vậy trong xấp xỉ thứ nhất ta có nghiệm riêng của phương trình (3.130)

dưới dạng

cos2

x a t

(3.166)

Với ,a là nghiệm của các phương trình (3.165).

102


Nghiệm dừng của hệ (3.159) được xác định từ những phương trình sau

2 3

0 0 0 0 0 1

2 2 4 3

0 0 0 0 0 0 2

3sin 2 cos2

2 4 8

1 3cos2 sin 2

2 4 4

c ca a k h a R

c ca a a k h a R

(3.167)

Triệt tiêu pha 0 ở hệ (3.167) trên ta được phương trình của biên độ 0a

0W , 0a (3.168)

Trong đó

22

2

0 0 1 22 2

0

22

2 2 2

0 2 12 2

0

3 2 2W ,

4

3 12 0

4 4

a ka R Ra

cha R R

a

(3.169)

Thay 1 2,R R từ phương trình (3.163) và (3.164) vào phương trình (3.169)

21 1

0 02 2

0

2

2 2 2 2 1

0 0 02 2

0

1

0

2 1 1cos sin cos sin

2 2 2 2 2 2

3 3 1 12 cos sin

4 4 2 2 2

12 cos sin

2 2 2

p p

p p

p

p

p

p

p p p pa a

a

p pka ha a

a

p pa

22

2 0

80

3 4

ch a

2 2 2

2 2 2 2 1

0 0 2 0

3 3 8cos sin 0

4 2 4 2 3 4

p p

p p

p p cka ha h a

(3.170)

2 2 6 2 4 5 3 2 2

0 2 0

2 4 2 3 4 2 2

2 0

3 1 2 2 2 2 2 2 2

2 0

2 2 2

81 576 216 216 cos2

216 216 sin 10242

768 sin 144 1442

288 cos sin 36 02 2

p

p

p

p

p p

p p

p

p

pk h a h h a k k

ph h h a

ph a

p pc

(3.171)

103


Xét tính ổn định của nghiệm dừng 0 0a của hệ phương trình (3.159). Thay

0 0,a a a vào hệ phương trình (3.159) với 0 0,a là nghiệm của hệ

phương trình (3.167), ta có các phương trình biến phân sau

2 2 10 02 2

0

2 2 4 3

0 0 2

3

4

2 32

2

d a Rk h a a a

dt a

a k h a R

(3.172)

4 202 2

0

2 2

0 1

0

3

22

3 2

4

d Rk h a a

dt a

k h a Ra

(3.173)

Phương trình đặc trưng của hệ

2 0Z S (3.174)

Trong đó

2 2

0 0 12 2

0

3 1,

2Z k h a a R

a

(3.175)

2

0

2 2 20

W,

4

aS

a

(3.176)

Với W có dạng phương trình (3.168).

Do đó, điều kiện ổn định của nghiệm dừng là

2 3

0 0 13 2 0,k h a a R (3.177)

0

W0

a

(3.178)

Từ các phương trình (3.163), (3.164), (3.177) và (3.178) ta có điều kiện ổn

định của hệ

2 3 1 2

0 0 2

83 2 cos sin 0

2 2

p

p

p pk h a a h a

(3.179)

104

2

0 0

2 2 2 1 2

0 2 0 0 2

33 cos

4 2

3 8 3 82 sin 0

4 2 3 2 3

p

p

p

p

pka ka

pha h a ha h

(3.180)


Ta chọn bộ tham số sau để nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số đạo hàm

cấp phân số đối với đường cong biên độ tần số

21, 1, 1, 0.01, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001, 0.05,2

p p k h h c

Khi đó, phương trình vi phân dao động của hệ có dạng

3 3 2 1/21 0.1 0.01 0.001 sign 0.01 0.05 cos 0x x x x x x x x D x x t

(3.181)

Sử dụng phương trình đường cong biên độ tần số (3.171), ta có được các

đường cong biên độ tần số được biểu diễn trên các hình 3.23 – 3.29. Trong đó,

đường nét liền biểu diễn các nghiệm ổn định, đường nét đứt biểu diễn các nghiệm

không ổn định và miền gạch chéo là các miền không ổn định khi các bất phương

trình (3.179) và (3.180) không thoả mãn.


105



h thay đổi


được biểu diễn trên hình 3.23. Nếu hệ số 0.01p và thay đổi cấp phân số p, ta đạt

được các đường cong biên độ tần số trên hình 3.24. Ta nhận thấy khi cấp phân số p

tăng thì biên độ dao động giảm, khi hệ số của đạo hàm cấp phân số p tăng thì biên

độ dao động không tăng nhưng pha dao động thay đổi.

106

Hình 3.25 chỉ ra các đường cong biên độ tần số với các giá trị khác nhau của

hệ số ma sát h2 và 0.01, 0.5p p . Từ đồ thị trên, cũng có thể thấy được ảnh

hưởng quan trọng của hệ số ma sát đối với đường cong biên độ tần số. Khi hệ số ma

sát h2 tăng thì biên độ dao động giảm.

Khi p = 0; p = 0.5; h2 = 0.01, từ phương trình (3.170) và (3.131) cùng với

bộ tham số đã chọn ở trên, phương trình đường cong biên độ tần số có dạng

2 2 22 2 2 2

0 0 0

0.3 0.03 0.08 0.051 1 0

4 4 3 4a a a

(3.182)

Khi p = 0.01; p = 0.5; h2 = 0.01, phương trình đường cong biên độ tần số có dạng

2 2 22 2 2 2

0 0 0

0.3 0.03 0.08 0.051 0.005 2 1 0.005 2 0

4 4 3 4a a a

(3.183)

Đặt 2 2

1 0.005 2 , phương trình (3.183) có dạng phương trình (3.182). Do đó,

nếu tịnh tiến đường cong biên độ tần số khi p = 0 sang phải một đoạn bằng

0.005 2 ta sẽ được đồ thị đường cong biên độ tần số khi p = 0.01. Ta có thể nhận

thấy trên hình 3.26 và hình 3.27.

Hình 3.26. Đường cong biên độ tần số khi 20; 0.5; 0.01p p h

107

Hình 3.27. Đường cong biên độ tần số khi 20.01; 0.5; 0.01p p h

Hình 3.28. Đường cong biên độ tần số khi 20.01; 0.5; 0.1p p h





được thông qua phương pháp số. Sự phù hợp tốt giữa các kết quả giải tích và kết

quả số có thể rõ ràng nhận thấy được.

108

Hình 3.29. Đường cong biên độ tần số MPS khi 20.01; 0.5; 0.005p p h


Nhiều hệ động lực được mô tả bởi các phương trình vi phân gồm những số

hạng tuyến tính với hệ số hằng và những số hạng phi tuyến tương đối nhỏ so với số

hạng tuyến tính. Chương 3 áp dụng phương pháp tiệm cận tính toán dao động cộng

hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số được mô tả bởi các

phương trình vi phân có dạng như trên. Ưu điểm của phương pháp là tính đơn giản,

đặc biệt trong việc tính toán các xấp xỉ bậc cao và khả năng ứng dụng vào một lớp

lớn các bài toán phi tuyến yếu.

Sử dụng các phương trình biên độ tần số, các đường cong biên độ tần số

được vẽ thông qua phần mềm Matlab, trong đó những đường nét liền là nghiệm ổn

định, đường nét đứt là nghiệm không ổn định và miền gạch là những miền không ổn

định. Những chấm tròn ký hiệu nghiệm được mô phỏng số. Ta có thể thấy rằng có

sự phù hợp giữa nghiệm số và nghiệm giải tích. Đường cong biên độ tần số chỉ ra

những ảnh hưởng quan trọng của đạo hàm cấp phân số đối với các hệ động lực được

xem xét.

Ảnh hưởng của các hệ số và cấp của đạo hàm cấp phân số đối với nghiệm

cũng được minh hoạ thông qua các đường cong biên độ tần số. Do đó, hệ có thể

được tối ưu hoá thông qua việc chọn các tham số cấp phân số phù hợp.

109

KẾT LUẬN CHUNG

VÀ NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN

1. Kết luận chung

Tích phân và đạo hàm cấp phân số là một lĩnh vực của toán học đang được

quan tâm nghiên cứu. Về phương diện cơ học, một số mô hình vật liệu mới mà quan

hệ ứng suất biến dạng được mô tả bằng đạo hàm cấp phân số và một số quy luật

cản, bằng thực nghiệm, thấy cần phải mô tả bằng tích phân và đạo hàm cấp phân số.

Do đó việc nghiên cứu dao động của các cơ hệ có đạo hàm cấp phân số là cần thiết

và có ý nghĩa thực tế. Trong luận án này áp dụng khái niệm đạo hàm và tích phân

cấp phân số nghiên cứu dao động của một số cơ hệ cấp ba có phần tử cấp phân số.

Các phương pháp sử dụng trong luận án là phương pháp số và phương pháp tiệm

cận.

2. Những đóng góp mới của luận án

Một số kết quả mới đã đạt được như sau:

1. Dựa trên ý tưởng của phương pháp tích phân Newmark và định nghĩa đạo

hàm cấp phân số theo Riemann – Liouville, một thuật toán số tính toán

đáp ứng động lực của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số đã được

phát triển.

2. Áp dụng phương pháp Runge – Kutta và định nghĩa đạo hàm cấp phân số

theo Riemann – Liouville đã xây dựng một thuật toán tìm đáp ứng của hệ

động lực cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Phương pháp này có ưu

điểm trong việc tính toán và lập trình trên phần mềm Matlab.

3. Áp dụng phương pháp tiệm cận tính toán dao động cộng hưởng của một

số hệ phi tuyến yếu cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số: hệ Duffing, hệ

van der Pol, hệ có ma sát Coulomb và hệ có ma sát động. Nội dung mỗi

phần: thiết lập biểu thức nghiệm bằng phương pháp tiệm cận, đường cong

biên độ - tần số, khảo sát ổn định của dao động dừng, đồ thị đường cong

biên độ - tần số.

110

4. Những kết quả số mô phỏng số dao động hệ phi tuyến yếu cấp ba đã cho

biết ảnh hưởng của những tham số trong đạo hàm cấp phân số đối với

tính ổn định, đường cong biên độ tần số của hệ. Một vài thí dụ:

• Đạo hàm cấp phân số p tăng: biên độ dao động giảm.

• Hệ số p của đạo hàm cấp phân số tăng: biên độ dao động giảm trong

trường hợp hệ Duffing; trong trường hợp hệ van der Pol, hệ có ma sát

Coulomb và hệ có ma sát động, biên độ dao động không giảm nhưng

pha dao động thay đổi.

• Qua sự phân tích ảnh hưởng của các tham số đạo hàm cấp phân số đối

với tính ổn định, có thể thấy rằng: khi tần số lực kích động càng lớn

và các tham số đạo hàm cấp phân số càng nhỏ thì tính ổn định của

nghiệm dừng càng tốt. Kết quả này đóng một vai trò quan trọng trong

việc điều khiển và tối ưu hoá các hệ động lực.

3. Một số vấn đề có thể tiếp tục mở rộng nghiên cứu

- Nghiên cứu áp dụng phương pháp số và phương pháp tiệm cận tính toán

dao động của các hệ kỹ thuật có sử dụng các vật liệu mới như silicon, cao su tổng

hợp.

- Nghiên cứu áp dụng phương pháp số và phương pháp tiệm cận nghiên cứu

dao động đàn hồi có cản cấp phân số.

111

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ

1. Nguyen Van Khang, Bui Thi Thuy, Truong Quoc Chien (2016), “Resonance

oscillation of third order forced van der Pol system with fractional order

derivative”, ASME Journal of Computational and Nonlinear Dynamics,

Vol.11, Issue 4, pp. 0410301-0410305.

2. Nguyen Van Khang, Tran Dinh Son, Bui Thi Thuy (2012), “Numerical

calculating linear vibrations of third order systems involving fractional

operators”, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 34, No. 2, pp. 91 –

99.

3. Nguyen Van Khang, Bui Thi Thuy, Truong Quoc Chien (2016), “Calculating

resonance oscillation of third order Duffing system with fractional order

derivative using the asymptotic method”, Journal of Science & Technology,

No.112 (2016), pp. 65 – 69.

4. Bui Thi Thuy, Nguyen Van Khang, Truong Quoc Chien (2016), “Nonlinear

oscillations in third order autonomous Duffing system involving fractional

order derivatives”, Proceedings of the 4th International Conference on

Engineering Mechanics and Automation – ICEMA4, Hanoi 25-26/08/2016,

pp. 165 -171.

5. Bùi Thị Thuý (2015), “Tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp

ba có chứa đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp tiệm cận”, Tuyển tập Hội

nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Đà Nẵng 03-05/08/2015, tr. 247 – 254.

112

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tài liệu tiếng Việt

1. Trương Quốc Chiến (2015), Dao động phi tuyến của hệ Duffing có chứa đạo

hàm cấp phân số, Đồ án tốt nghiệp đại học, Trường Đại học Bách khoa Hà

Nội.

2. Nguyễn Văn Khang (2009), “Bài giảng Động lực học hệ có đạo hàm cấp

phân số”, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội.

3. Nguyễn Văn Khang (2004), “Dao động kỹ thuật”, NXB Khoa học kỹ thuật,

Hà Nội.

4. Dương Văn Lạc (2014), Tính toán dao động của móng máy trên nền đàn

nhớt cấp phân số, Đồ án tốt nghiệp đại học, Trường Đại học Bách khoa Hà

Nội.

5. Dương Văn Lạc (2016), Phát triển phương pháp Runge – Kutta – Nystrӧm

tính toán dao động của cơ hệ có phần tử đàn nhớt cấp phân số, Luận văn

thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội.

6. Bùi Thị Thuý (2010), Góp phần nghiên cứu dao động phi tuyến của cơ hệ có

đạo hàm cấp phân số, Luận văn thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Khoa học

tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội.

Tài liệu tiếng Anh

7. Atanackovic, T. M., Spasis, D. T. (2004), “On Viscoelastic Compliant

Contact-Impact Models”, ASME J. Appl. Mech., Vol.71, pp. 134-138.

8. Bagley, R.L and Torvik, P.J. (1983a), “A theoretical Basis for the application

of fractional calculus to viscoelasticity”, J. of Rheology, Vol. 27, pp. 201-

210.

9. Bagley, R.L and Torvik, P.J (1983b), “Fractional Calculus – A different

approach to the analysis of viscoelastically damped structures”, AIAA J., Vol.

21, No. 5, pp. 741 – 748.

10. Baker, W.P., Eldred, L.B, and Palazotto, A.N. (1996), “Viscoelastic material

response with a fractional derivative constitutive model”, AIAA J., Vol. 34,

No. 3, pp. 596 – 600.

113

11. Baleanu, D., et al.(eds) (2012), Fractional Dynamics and Control, Springer,

New York.

12. Caputo, M. (1966), “Linear models of dissipation whose Q is almost

frequency independent”, Annali Geofis., Vol. 19, pp. 383 – 393.

13. Caputo, M. (2008), “Linear models of dissipation whose Q is almost

frequency independent – II”, Geophys. J. Roy. Astron. Soc., Vol. 13, pp.

529–539 (1967); reprinted in Fract. Calc. Appl. Anal., Vol. 11, pp. 4–14.

14. Caputo, M. (1976), “Vibrations of an infinite plate with a frequency

independent Q”, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 60, No. 3, pp. 634 – 639.

15. Caputo, M.Mainardi, F. (2007), “A new dissipation model based on memory

mechanism”, Pure Appl. Geophys., 91, pp. 134–147 (1971); reprinted in

Fract. Calc. Appl. Anal. , Vol. 10, pp. 310–323 (2007).

16. Caputo, M., Mainardi, F. (1971), “Linear models of dissipation in anelastic

solids”, Rivista del Nuovo Cimento, Vol. 1, pp. 161–198.

17. Chern, J.-T. (1993), Finite element modeling of viscoelastic materials on the

theory of fractional calculus, Ph.D. thesis, Pennsylvania State University.

18. Nguyen Van Dao (1979), Nonlinear oscillations of higher order systems,

NCSR Vietnam, Hanoi.

19. Nguyen Van Dao (1998), Stability of dynamic systems with examples and

solved problems, VNU Publishing House, Hanoi.

20. Diethelm, K. (1997), “An Algorithm for the Numerical Solution of

Differential Equations of Fractional Order”, IMA J. Numer. Anal., Vol.5, pp.

1-6.

21. Diethelm, K. (2003), Fractional Differential Equations, Vorlesungsskript

der TU Braunschweig.

22. Diethelm, K., Freed, A.D. (1999), “On the solution of nonlinear fractional

differential equations used in the modeling of viscoplasticity”, In: Keil, F.,

Mackens, W., Voß, H., Werther, J. (eds.) Scientific Computing in Chemical

Engineering II: Computational Fluid Dynamics, Reaction Engineering, and

Molecular Properties, pp. 217–224. Springer, Heidelberg.

23. Diethelm, K., Freed, A.D. (1999), “The FracPECE subroutine for the

numerical solution of differential equations of fractional order”, In: Heinzel,

114

S., Plesser, T. (eds.) Forschung und wissenschaftliches Rechnen: Beitrӓge

zum Heinz-Billing-Preis 1998, pp. 57–71. Gesellschaftfür wissenschaftliche

Datenverarbeitung, Gӧttingen.

24. Freed, A.D., Diethelm, K., Luchko, Y. (2002), Fractional-order

viscoelasticity (FOV): constitutive development using the fractional calculus

(first annual report). Technical Memorandum 2002-211914, NASA Glenn

Research Center, Cleveland.

25. Diethelm, K., Ford, N. J. (2003), “Numerical solution of Bagley Torvik

equation, Departments of Mathematics”, Manchester Centre for

Computational Mathematics, Numerical Analysis Reports, No. 378.

26. Fukunaga, M., Shimizu, N. (2003), “Initial Condition Problems of

Fractional Viscoelastic Equations”, Proceedings of the 2003 ASME Design

Engineering Technical Conferences, September 2-6, 2003, Chicago Illinois,

VSA.

27. Fukunaga, M., Shimizu, N. (2004), “Role of Prehistories in the Initial Value

Problems of Fractional Viscoelastic Equations”, International Journal of

Nonlinear Dynamics, Vol.38, No.1-2, pp. 207-220.

28. Fukunaga, M., Shimizu, N. (2009), “Analysis of Impulse Response of Gel

by Nonlinear Fractional Derivative Models”, Proceedings of the ASME 2009

International Design Engineering Technical Conferences, September 2,

2009, San Diego, California USA.

29. Fukunaga, M., Shimizu, N., Nasuno, H. (2009), “A nonlinear fractional

derivative model of impulse motion for viscoelastic materials”, Physica

Scripta T136 (2009) 014010 (6pp).

30. Fukunaga, M., Shimizu, N. (2011), “Nonlinear fractional derivative models

of viscoelastic impact dynamics based on Entropy elasticity and generalized

Maxwell Law”, Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, Vol. 6,

021005 (6pp).

31. Gaul, L., Klein, P., Kempfle, S. (1991), “Damping description involving

fractional operators”, Mech. Syst. Signal Process., Vol. 5, pp.81–88.

115

32. Gaul, L. and Chen, C.M. (1993), “Modeling of viscoelastic elastomer mounts

in multibody systems”, Advanced multibody system dynamics, pp. 257 –

276.

33. Gemant, A. (1936), “A method of analyzing experimental results obtained

from elasto-viscous bodies”, Physics (New York), Vol. 7, pp. 311 – 317.

34. Gemant, A. (1938), “On fractional differentials”, The London Edinburgh and

Dublin Philosophical Magazine, Ser. 25, pp. 540 – 549.

35. Gil-Negrete N., Vinolas J., Kari L. (2009), “A Nonlinear Rubber Material

Model Combing Fractional Order Viscoelasticity and Amplitude Dependent

Effects”, ASME J. Appl. Mech, Vol.76, pp. 110091-110099.

36. Gorenflo, R. and Abdel-Rehim E. (2004), “From power laws to fractional

diffusion: the direct way”, Vietnam Journal of Mathematics, Vol. 32, SI pp.

65-75.

37. Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. (1980), Tables of Integrals, Series and

Products, Academic Press, New York.

38. Ingman, D., Suzdalnitsky, J. (2008), “Response of viscoelastic plate to

impact”, Journal of Vibration and Acoustics, 130: 011010,

39. Ingman, D., Suzdalnitsky, J., Zeifman, M. (2000), “Constitutive dynamic-

order model for nonlinear contact phenomena”, ASME J. Applied Mechanics,

Vol. 67, pp. 383-390.

40. Nguyen Van Khang, Truong Quoc Chien (2016), “Subharmonic resonance of

Duffing oscillator with fractional-order derivative”, ASME Journal of

Computational and Nonlinear Dynamics, Vol. 11, pp. 051018.

41. Koeller, R.C. (1984), “Applications of fractional calculus and theory of

viscoelasticity”, Transactions of the ASME, J. of Applied Mechanics, Vol.

51, pp. 299 – 307.

42. Lavoie, J. L., Osler, T. J. and Tremblay, R. (1976), Fractional derivatives and

special functions, SIAM Rev., Vol. 18, 240-268.

43. Lee, E.H., Rodgers, T.G. (1963), “Solution of viscoelastic stress analysis

problems using measured crepp or relaxation functions”, ASME J. Applied

Mechanics, Vol. 30, pp. 127-133.

116

44. Leibniz, G. W. (1962), Mathematische Schiften, Georg Ohns Verlagsbuch-

handlung, Hildesheim.

45. Li, W.Q. and Tsai, C.S. (1994), “Seismic mitigation of structures by using

viscoelastic dampers”, Nuclear engineering and design, Vol. 147, pp. 263 –

274.

46. Miller, K.S. and Ross, B. (1993), An introducation to the Fractional

Calculus and Fractional Diffenential Equations, John Wiley & Sons Inc.,

New York.

47. Mitropolskii, Yu.A and Nguyen Van Dao (1997), Applied Asymptotic

Methods in Nonlinear Oscillations, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht.

48. Nasuno, H., Shimizu, N. and Fukunaga, M. (2007), “Fractional derivative

consideration on nonlinear viscoelastic body”. In J. Sabatier, O. P. Agrawal

and J. A. T. Machado, editors, Advances in Fractional Calculus, Theoretical

Development and Applications in Physics and Engineering, pp. 363-376.

Springer, Dordrecht.

49. Nutting P. G. (1921a), “A New General Law of Deformation”, J. of the

Frankin Inst, Vol. 191, pp. 679-685.

50. Nutting P. G. (1921b), “A Study of Elastic Viscous Deformation

Proceedings American Soc. for a Testing Materials”, J. of the Frankin Inst,

Vol. 21, pp. 1162-1171.

51. Nutting P. G. (1943), “A General Stress-Strain-Time Formula”, J. of the

Frankin Inst, Vol. 235, pp. 513-524.

52. Nutting P. G. (1946), “Deformation in Relation to Time, Pressure and

Temperature”, J. of the Frankin Inst, pp. 449-458.

53. Oldham, K.B., Spanier, J. (1974), The Fractional Calculus, Academic, New

York.

54. Papoulia, K. D. and Kelly, J.M. (1997), “Visco-Hyperelastic Model for

Filled Rubbers Used in Vibration Isolation”, Transactions of the ASME, J. of

Applied Mechanics, Vol. 119, pp. 292 – 297.

55. Podlubny, I. (1999), Fractional Differential Equations, Academic Press, San

Diego.

117

56. Podlubny, I. (2002), “Geometric and physical interpretation of fractional

integration and fractional differentiation”, Fract. Calc. Appl. Anal, Vol. 5,

pp. 367–386.

57. Ross B. (1975), A brief history and exposition of the fundamental theory of

the fractional calculus, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 457, Springer-

Verlag, New York, pp. 1-36.

58. Rossikhin Yu. A. and Shitikova M. V. (1997a), “Applications of fractional

calculus to dynamic problems of linear and nolinear hereditary mechanics of

solids”, Appl. Mech. Rev., Vol. 50, No. 1, January 1997, pp. 15-67.

59. Sackman, J.L. and Kelly, J.M. (1991), Constitutive Modeling of Nonlinear

Damping Materials, Proc. of Damping ’91, Vol. 1, pp. 13 -15, San Diego

Ca., pp. EBC-1-EBC-28.

60. Sakakibara S. (1997), “Properties of Vibration with Fractional Derivative

Damping of Order 1/2”, International Journal of JSME, Series C, Vol. 40,

pp. 393-399.

61. Scott Blair, G.W. and Caffyn, J.E. (1949), “An application of the Theory of

Quasi-Properties to the Treatment of Anomalous Stress-Strain Relations”,

Philos, May, Ser. 40, pp. 80-94.

62. Shaw, S., Warby, M.K., Whiteman, J.R. (1997): A comparison of hereditary

integral and internal variable approaches to numerical linear solid

elasticity, In: Proceedings of the XIII Polish Conference on Computer

Methods in Mechanics, Poznan.

63. Shimizu, N., Zhang, W. (1999), “Fractional Calculus Approach to Dynamic

Problems of Viscoelastic Materials”, International Journal of JSME, Series

C, Vol. 42, No. 4, pp. 825-837.

64. Shimizu, N., Nasuno, H. (2007), “Modeling and Analysis of Nonlinear

Viscoelastic Systems by means of Fractional Calculus – Numerical

Integration Algorithms”, International Conference on Material Theory and

Nonlinear Dynamics, Hanoi.

65. Suarez, L. E., Shokooh, A. (1995), “Response of Systems with Damping

Materials Modeled using Fractional Calculus”, ASME J. Appl. Mech, Vol.

48, No. 11, pp. 1-9.

118

66. Suarez, L. E., Shokooh, A. (1997), “An Eigenvector Expansion Method for

the Solution of Motion Containing Fractional Derivatives”, ASME J. Appl.

Mech, Vol. 64, pp. 629-635.

67. Sugimoto, N., Yamane, Y. and Kakutani, T. (1984a), “Torsional Shock

Waves in a Viscoelastic Rod”, Trans. Of the ASME, Ser. E., J. of Applied

Mechanics, Vol. 51, pp. 595 – 601.

68. Sugimoto, N., Yamane, Y. and Kakutani, T. (1984b), “Oscillatory Structured

Shock Waves in a Nonlinear Elastic Rod with Weak Viscoelasticity”, Trans.

Of the ASME, Ser. E., J. of Applied Mechanics, Vol. 51, pp. 766 – 772.

69. Sugimoto, N. and Kakutani, T. (1985), “Generalized Burgers’ Equation for

Nonlinear Viscoelastic Waves”, Wave Motion, Vol. 7, pp. 447 – 458.

70. Sugimoto, N. (1991), “Burgers Equation with a Fractional Derivative:

Hereditary Effects on Nonlinear Acoustic Waves”, J. of Fluid Mechanics,

Vol. 225, No. 4, pp. 631 – 653.

71. Torvik, P.J., Bagley, R.L. (1984), “On the appearance of the fractional

derivative in the behavior of real materials”, J. Appl. Mech., Vol. 51, pp.

294–298.

72. Tsai, C.S. and Lee, H.H. (1993), “Applications of Viscoelastic Dampers to

High-Rise Buildings”, Journal of Structural Engineering, Vol. 119, No. 4,

pp. 1222-1233.

73. Tseng C-C, Pei S-C, Hsia S-C (2000), “Computation of fractional derivatives

using Fourier transform and digital FIR differentiator”, Signal Processing,

80:151-159.

74. Zhang W., Shimizu N. (1998a), “Numerical Algorithm for Dynamic

Problems Involving Fractional Operator”, International Journal of JSME,

Series C, Vol. 41, No. 3, pp.364-370.

75. Zhang W., Shimizu N. (1998b), “Damping of the Viscoelastic Materials

Based on Silicone Gel”, Proceedings of D & D ’98 in Hokkaido, Japan, Vol.

A, pp.52-55.

76. Zhang W., Shimizu N. (1999a), “Damping Properties of the Viscoelastic

Materials Described by Fractional Kelvin – Voigt Model”, International

Journal of JSME, Series C, Vol. 42, No. 1, pp.1-9.

dao ĐỘng phi tuyẾn yẾu cỦa hỆ cẤp ba cÓ ĐẠo hÀm cẤp phÂn...

Documents