Teori Graf (1)Matematika Informatika 4

Dr. Ahmad Sabri

Problem 7 Jembatan Königsberg:

Adakah perjalanan yang melewati ketujuh jembatan tersebut tepat satukali dalam satu kali perjalanan?

Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 2

Abstraksi

Objek nyata Representasi graf

Keterangan:

= simpul (daratan)

= ruas (jembatan) Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 3

Definisi

Graf 𝐺(𝑉, 𝐺) adalah struktur diskrit yang terdiri dari:

1. Himpunan 𝑉 yang anggotanya adalah simpul-simpul 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛pada graf 𝐺

2. Himpunan 𝐸 yang anggotanya adalah pasangan tak-berurut 𝑣𝑖𝑣𝑗(disebut juga ruas) dengan ketentuan: 𝑣𝑖𝑣𝑗 ∈ 𝐸 jika terdapat ruasmenghubungkan 𝑣𝑖 dengan 𝑣𝑗

Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 4

Representasi graf

• 𝑉 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣5• 𝐸 = {𝑣1𝑣2, 𝑣1𝑣4, 𝑣1𝑣5, 𝑣2𝑣3, 𝑣2𝑣4, 𝑣3𝑣4, 𝑣4𝑣5}

𝑣1 𝑣2

𝑣3𝑣4𝑣5

Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 5

Definisi terkait keterhubungan pada graf

• Perjalanan (walk): barisan yang melalui simpul-ruas secarabergantian. Contoh: 𝑣1𝑒1𝑣2𝑒7𝑣4𝑒7𝑣2𝑒2𝑣3

• Perjalanan terbuka (open walk): walk yang dimulai dan diakhiri oleh simpul yang berbeda. Contoh: 𝑣1𝑒1𝑣2𝑒7𝑣4

• Perjalanan tertutup (closed walk): walk yang dimulai dan diakhiri oleh simpul yang sama. Contoh: 𝑣1𝑒1𝑣2𝑒7𝑣4𝑒3𝑣3𝑒2𝑣2𝑒7𝑣4𝑒6𝑣1

• Lintasan (trail): perjalanan di mana semua ruasnya berbeda. Contoh: 𝑣1𝑒1𝑣2𝑒7𝑣4𝑒6𝑣1𝑒5𝑣5𝑒4𝑣4

• Jalur (path): perjalanan di mana semua simpulnya berbeda(dimungkinkan sama hanya untuk simpul pertama dan terakhir). Contoh: 𝑣2𝑒7𝑣4𝑒3𝑣3, atau 𝑣2𝑒7𝑣4𝑒3𝑣3𝑒2𝑣2

• Sirkuit: jalur yang diawali dan diakhiri oleh simpul yang sama (closed path)

Catatan: terkadang perjalanan hanya ditulis simpul yang dilalui saja. Contoh: 𝑣1𝑒1𝑣2𝑒7𝑣4𝑒7𝑣2𝑒2𝑣3 cukup ditulis𝑣1𝑣2𝑣4𝑣2𝑣3

Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma6

𝑣1 𝑣2

𝑣3𝑣4𝑣5

𝑒2

𝑒1

𝑒3𝑒4

𝑒5 𝑒7𝑒6

• Derajat simpul: banyaknya ruas yang berpangkal di simpul tersebut. Contoh:pada 𝐺2, deg 𝑣1 = 3, deg 𝑣2 = 2.

• Lintasan Euler: lintasan yang melewatisemua ruas pada graf tepat satu kali. Contoh: • pada 𝐺1: 𝑣1𝑣2𝑣3𝑣4𝑣1• pada 𝐺2: 𝑣1𝑣2𝑣3𝑣1𝑣4𝑣3• pada 𝐺3 tidak ada

• Sirkuit Euler: lintasan Euler yang diawali dan diakhiri pada simpul yang sama. Contoh: • pada 𝐺1: 𝑣1𝑣2𝑣3𝑣4𝑣1• pada 𝐺2 dan 𝐺3: tidak ada

𝑣1 𝑣2

𝑣3𝑣4

𝑣1 𝑣2

𝑣3𝑣4

𝑣1 𝑣2

𝑣3𝑣4

𝐺1 𝐺2

𝐺3Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 7

Graf terhubung

Graf G dikatakan terhubung jika untuk sebarang dua simpul pada G selalu terdapat jalur yang menghubungkan keduanya.

8Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma

𝑣1 𝑣2

𝑣3𝑣4𝑣5

𝑣1 𝑣2

𝑣3𝑣4𝑣5

Graf terhubung Graf tidak terhubung

• Euler membuktikan bahwa terdapat lintasan Euler pada grafterhubung jika banyaknya simpul berderajat ganjil adalah dua atautidak ada sama sekali.

• Graf Eulerian: graf terhubung yang memiliki sirkuit Euler

• Berdasarkan tabel, graf terhubung yang tidak memiliki simpulberderajat ganjil adalah Eulerian

Banyak simpul berderajatganjil

Ada lintasan euler? Ada sirkuit euler?

0 (tidak ada) Ya Ya

2 Ya Tidak

Selain 0 dan 2 Tidak Tidak

Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 9

1. Periksalah apakah terdapat lintasan euler dan sirkuit euler pada grafberikut.

2. Manakah yang eulerian?

10Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma

𝐺1 𝐺2

𝐺3

Kembali ke 7 jembatan Konigsberg

Permasalahan 7 jembatan Konigsberg dapat dinyatakan sebagai: “apakah terdapat lintasan Euler pada graf berikut ini?”

Derajat = 3

Derajat = 3

Derajat = 3

Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 11

Jenis-jenis graf

Graf sederhana (simple) vs graf tidak sederhana (nonsimple)

• Graf sederhana: tidak berarah, tidak memiliki loop, tidak memilikiruas berganda

• Graf tidak sederhana: selain di atas

Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 14

Graf berarah (directed) vs graf tidak berarah (undirected)

• Graf berarah: ruas memiliki arah yang ditunjukkan oleh panah pada ruas

• Graf tidak berarah: tidak demikian

Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 15

Beberapa kelas graf

1. Graf linier (path) 𝑃𝑛

2. Graf lengkap (complete) 𝐾𝑛

3. Graf siklis (cyclic) 𝐶𝑛

4. Graf roda (wheel) 𝑊𝑛

𝑃2 𝑃3 𝑃4 𝑃5

Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 16

5. Graf kubus-𝑛 (𝑛-cube) 𝑄𝑛

6. Graf bipartit 𝐵𝑚,𝑛

7. Graf bipartit lengkap 𝐾𝑚,𝑛

𝐾3,2 𝐾2,5

Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 17

Graf Hamiltonian

• Jalur Hamiltonian: jalur yang melalui semua simpul tepat satu kali

• Siklus Hamiltonian: jalur Hamiltonian dengan yang diawali dan diakhiri oleh simpul yang sama

• Graf Hamiltonian: graf yang memuat siklus Hamiltoniane

20Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma

Graf dodekahedron adalah Hamiltonian

21Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma

• Siklus Hamiltonian atau jalur hamiltonian?

22Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma

𝐺1

𝐺2 𝐺3

Pertanyaan latihan

1. Diberikan graf G berikut. Berapa ruas yang perlu ditambah agar graf G Eulerian?

2. Tentukan n sehingga graf lengkap Kn, n ≥ 2, adalah Eulerian

3. (Benar/Salah) Jika dua simpul terhubung oleh sebuah perjalanan (walk), makakedua simpul tersebut terhubung oleh sebuah path.

4. Apakah Graf Eulerian selalu Hamiltonian?

23Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma