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Massimo di E ⊆R è un elemento di E maggiore o uguale a tuttigli elementi di E:
M = maxEdef
M ∈ E, M Ê e ∀e ∈ E.
Maggiorante di E è un numero H maggiore o uguale a tutti glielementi di E:
H Ê e ∀e ∈ E.
Nota: Se f : A →R, max f = max f (A).Esempi grafici.
Estremo superiore di E è il più piccolo maggiorante di E:L = supE.
Se f : A →R, sup f = sup f (A).
Nota: Un massimo è un estremo superiore (e quindi unmaggiorante).Esempi grafici.
Minimo di E ⊆R è un elemento di E minore o uguale a tutti glielementi di E:
m = minEdef
m ∈ E, m É e ∀e ∈ E.
Minorante di E è un numero h minore o uguale a tutti glielementi di E:
h É e ∀e ∈ E.
Nota: Se f : A →R, min f = min f (A).Esempi grafici.
Estremo inferiore di A è il più grande minorante di A: `= infA.
Se f : A →R, inf f = inf f (A).
Nota: Un minimo è un estremo inferiore (e quindi unminorante).Esempi grafici.
Esercizio 1Trova graficamente gli estremi di f : [1,+∞[ →R, dovef (x) = 7x2−x
2x2 .
Funzione superiormente illimitata: sup f =+∞
Funzione inferiormente illimitata: inf f =−∞
Successione. È una funzione con dominio N o tutti i numerinaturali da un certo k ∈N in poi:
Jk = {n ∈N : n Ê k } ,a : Jk → R
n → an = a(n).
Si indica anche con (an)nÊk.
Estremi di una successione.
supJk
an = sup{an : n ∈ Jk } , ecc.
Esempi grafici.
Esercizio 2Trova graficamente gli estremi di an = 3n−1
|2n−9| , con n ∈N (n Ê 0).
a0 =− 19 , an = ∣∣ 3n−1
2n−9
∣∣ per n Ê 1
Esercizio 3Trova gli estremi di an = (n+1)−3 sin πn
2 , n ∈N.
Esercizio 4 (Analisi A, 11 Gennaio 2012)Determina infA, supA ed eventualmente minA, maxA, essendo
A ={
2(1+ (−1)n)p
nn + (1− (−1)n)
2−n : n ∈N, n Ê 1}
.
Esercizio 5 (Analisi A, 3 Aprile 2007)Determina infA, supA ed eventualmente minA, maxA, essendo
A ={
max
{8n+1
n, n2 +1
}: n ∈N, n Ê 1
}.
Esercizio 6 (Analisi A, 3 Settembre 2012)Determina infA, supA ed eventualmente minA, maxA, essendo
A ={
28arctan
(7n
7n+1
): n ∈N
}.
Esercizio 7 (Analisi A, 1 Febbraio 2012)Determina infA, supA ed eventualmente minA, maxA, essendo
A ={
(−1)n(p
n+1−pn)+2
(1− (−1)n)
: n ∈N}
.
Esercizio 8 (Analisi A, 4 Luglio 2011)Determina infA, supA ed eventualmente minA, maxA, essendo
A ={∣∣∣∣100−2n
n+2
∣∣∣∣ : n ∈N}
.
Esercizio 9Trova graficamente gli estremi delle seguenti funzioni:
f (x) =−2e−|x−1| , g(x) = 2∣∣∣sin
(π3−3x
)∣∣∣−1.
Esercizio 10Trova graficamente gli estremi delle seguenti successionidefinite per n ∈N, n Ê 1.
(a) an = 7n2 −n
2n2 , (b) an = 2cos(πn)+ 1
n,
(c) an = (−1)n(1− 1
n
), (d) an = 3n−1
|2n+9| ,
(e) an = 31/n , (f) an = 2sin(πn) ,
(g) an = sinπ
2n , (h) an = 2n+1
n.
Esercizio 11Trova graficamente gli estremi delle seguenti successionidefinite per n ∈N, n Ê 1.
(a) an = lg3
(1+ 1
n
), (b) an = (−1)n
n+ 1
2
∣∣∣sinπn
2
∣∣∣ ,
(c) an = 13arctan
(ln
6n+1
n2
), (d) an =
[ln
(1+e
pn+2−pn
)]7.