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Formule di riduzione
Cambio di variabili
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Un dominio normale rispetto al piano xy è un insieme dellaforma
D= { (x,y,z) ∈R3 : (x,y) ∈ D, α(x,y) É z Éβ(x,y) } .
Si ha la formula di integrazione per filiÑD
f (x,y,z)dx dy dz =Ï
Ddx dy
∫ β(x,y)
α(x,y)f (x,y,z)dz
=Ï
D
(∫ β(x,y)
α(x,y)f (x,y,z)dz
)dx dy .
Analoghe formule valgono per domini normali rispetto ai pianixz o yz.
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Dato un dominio D⊆R3 aperto e limitato, con quote tra a e b(z ∈ [a,b]), vale la formula di integrazione per stratiÑ
Df (x,y,z)dx dy dz =
∫ b
adz
ÏDz
f (x,y,z)dx dy
=∫ b
a
(ÏDz
f (x,y,z)dx dy
)dz ,
dove Dz è lo strato di D di quota z:
Dz = { (x,y) ∈R2 : (x,y,z) ∈D } .
Analoghe formule valgono rispetto alle coordinate x e y.
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Esercizio 1Calcola I =
ÑP
(x−y−z)dx dy dz , dove
P = { (x,y,z) ∈R3 : −1 É x É 0, 0 É y É 1, 0 É z É 1} .
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Esercizio 2Calcola I =
ÑP
x dx dy dz, dove P è il parallelepipedo
determinato dai piani x = 0,y = 0,z = 0,x = 2,y = 3,z = 1.
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Esercizio 3Calcola I =
ÑV
x5y3z dx dy dz, dove
V = {(x,y,z) ∈R3 : 0 É x É 1, 0 É y É x, 0 É z É xy
}.
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Esercizio 4Calcola I =
ÑE
xz dx dy dz, dove
E = {x Ê 0, z Ê 0, 0 É y É 2−x2 −z2} .
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Esercizio 5Calcola I =
ÑT
(x+z)dx dy dz, dove
T = {(x,y,z) ∈R3 : x > 0, y > 0, z > 0, x+y+z < 1
}.
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Esercizio 6Calcola I =
ÑT
x dx dy dz, dove T è il tetraedro di vertici
(0,0,0), A = (1,0,0), B = (0,1,0) e C = (0,0,1).
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Esercizio 7Calcola il volume del solido
T := {(x,y,z) ∈R3 : x2 +y2 É z É 4y−1} .
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Esercizio 8Calcola il volume del solido
T = {(x,y,z) ∈R3 : x2 +y2 +z2 É y}.
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Formule di riduzione
Cambio di variabili
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Consideriamo un cambio di coordinate Φ : A → B (A,B ⊆R3) diclasse C1:
(u,v,w) → (x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)
).
Indichiamo con J(u,v,w) il determinante della matricejacobiana
J(u,v) = det
∂ux ∂vx ∂wx∂uy ∂vy ∂wy∂uz ∂vz ∂wz
.
Se Φ è biettivo e J(u,v,w) /= 0 (tranne al più su un insieme dimisura nulla), allora:Ñ
Bf (x,y,z)dx dy dz
=Ñ
Af(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)
)|J(u,v,w)|dudv dw .
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Coordinate cilindriche:
x = r cosϑ , y = r sinϑ , z = z ,
(x2 +y2 = r2) , |J | = r .
Allora:
ÑB
f (x,y,z)dx dy dz =Ñ
Af (r cosϑ,r sinϑ,z)r dr dϑdz .
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Esercizio 9Calcola
ÑT
(x3 +z)dx dy dz , dove
T ={
(x,y,z) : x2 +y2 + z2
4É 1, z Ê
√x2 +y2
}.
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Esercizio 10Calcola I =
ÑT
(x2 +z)dx dy dz , dove
T = {(x,y,z) ∈R3 : x2 +y2 É z É 4
}.
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Esercizio 11Calcola il volume del solido T ottenuto dalla rotazione attornoall’asse z della figura piana
G ={
(y,z) ∈R2 : 1−z É y Ép1−z, z ∈ [0,1]
}.
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Nota. In generale, ruotando la regione piana G nel semipiano(y,z) con y Ê 0 rispetto all’asse z, si ha la regionetridimensionale
T ={
(x,y,z) ∈R3 :
(√x2 +y2,z
)∈ G
},
per cui
Vol(T) = 2πÏ
Gr dr dz .
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Coordinate polari sferiche:
x = r sinϕcosϑ , y = r sinϕsinϑ , z = r cosϕ ,
(x2 +y2 +z2 = r2) , |J | = r2 sinϕ .
Allora:
ÑB
f (x,y,z)dx dy dz
=Ñ
Af (r sinϕcosϑ,r sinϕsinϑ,r cosϕ)r2 sinϕdr dϑdϕ .
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Esercizio 12Calcola I =
ÑT
(x2 + sinz)dx dy dz , dove
T = {(x,y,z) ∈R3 : x2 +y2 +z2 É 1, x Ê 0, y Ê 0}.
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Esercizio 13Calcola
ÑT
ln(x2 +y2 +z2)dx dy dz , dove
T = {1 É x2 +y2 +z2 É 4}∩ {z Ê√
x2 +y2} .
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Coordinate polari ellissoidali:
x = ar sinϕcosϑ , y = br sinϕsinϑ , z = cr cosϕ ,(x2
a2+ y2
b2+ z2
c2= 1
), |J | = abcr2 sinϕ .
Allora:
ÑB
f (x,y,z)dx dy dz
=Ñ
Af (ar sinϕcosϑ,br sinϕsinϑ,cr cosϕ)abcr2 sinϕdr dϑdϕ .
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Esercizio 14Calcola I =
ÑV
z dx dy dz, dove
V ={
(x,y,z) ∈R3 :x2
a2+ y2
b2+ z2
c2É 1, x Ê 0, y Ê 0, z Ê 0
}.
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