de evaluare la - math.uaic.rooanacon/depozit/ghid_evaluare_matematica.pdf · *klg gh hydoxduh od...
TRANSCRIPT
![Page 1: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/1.jpg)
������������� ����������������
�������� ���� ���� � ������ ��� ��
GHIDDE EVALUARE LA
����������
���������
2005
![Page 2: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/2.jpg)
2 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
Autori:
Prof. gr. I, Florica Banu
Prof. gr. I, ������ ��
Prof. gr. I, Ovidiu Cojocaru
Prof. gr. I, Mihai Contanu
Prof. gr. I, Sergiu Marinescu
Prof. gr. I, ��������
Prof. dr. ���������������Prof. gr. I, Marilena Stoica
Coordonator: Prof Univ. dr. �������������
����������������������� ���!�����"�#�$��%�&�'��
![Page 3: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/3.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 3
CUPRINS
Introducere.........................................................................................4
($�����&"��)�����%�&��%�&��������*��'�&��"��&��$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$+
,$-������&�'����&�"�����������&��&��%�&�����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$.
/$-����"����������%�&����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$0
1$��&������&���'��������&�����%�&����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$2
4.1. Validitatea..........................................................................9
4.2. Fidelitatea.........................................................................10
4.3. Obiectivitatea....................................................................10
4.4. Aplicabilitatea...................................................................11
+$������"������������'�����"��%�&����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$((
5.1. Tehnici de testare – itemi obiectivi.....................................11
5.1.1. Tehnica alegerii duale...........................................12
5.1.2. Tehnica perechilor.................................................28
5.1.3. Tehnica alegerii multiple........................................39
5.2. Tehnici de testare – itemi semiobiectivi.............................57
+$,$($���������'���''����3 de completare...................57
+$,$,$4����)���'����������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$.+
5.3. Tehnici de testare – itemi subiectivi...................................75
5.3.1. Rezolvare de probleme..........................................75
5.4. Metode alternative de evaluare..........................................95
Bibliografie......................................................................................104
![Page 4: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/4.jpg)
4 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
INTRODUCERE
�� �����"�� �� �����'�& ����������& ��� ���� ����������! �������5
6�%�����5�%�&����# �����&� ���� ����� 7��# 6� ���� ��'���# �� ����& ���
�'�������������%�&�����$
�%�&����� 6� �����'�& �� 6�%����7�� �'�� � ����%����� �� ��&������#
��*��� ��� "� ������������ � ����&�� ���%��� �8����&� ������� �&� ��&�����
���8�'��5�&�% �� '����& �� � �8������� � 8����������� 6����*�&�� '�'���
����������&$ �%�&����� ��� 6� �����& �7�� �� ��& �� feedback pentru elevi,
���8�'���# ������� "� 8������ �� ���� ��$ �� �&����&� �%�&����� ���'������ "�
�&������ �� '���9�� 6� &����� �� ���� �� ���%��� ����8�����&� �������&���&��#
�8�������� �� ���*�� � "� ����������� ��'����&�� ��������� �&� ���������$ ����#
'����&��9���&�%�&������'��'��8�������&�����'�������'��������&�����
��&�����)������� ������������&�:�$����"�# $������#(22.#�$(;$
��"� �<�'�� � &��������� ����*�*��� )�*��� 6� �������& �%�&�����#
����'���'������������8�8�&�'����8������6��������'���$������������ �
�� ��� 6� �)'���� ���� �������&� "� ��'�������� �� �%�&���� ���� '� 8�� 6�
��'�'�� ������� ��&�� ���&����� 6� ���'� �������$ ��� ����'�� ���'�����%�
*����&"�5������''����&� � ��'���� ���'�����&�����������"����������&�
�%�&�����&�����������$
�������6"��������trei obiective [A. Stoica (coord.), 1996, p. 2-3]:
(=�&�)������ ����������&�*�� 5 "�# �� )� � ���'����# � ���� �<���&�
'����8�����%� 5 �� ���������� � �����&�� �� ���������� �� ��&����� �������
superioare.
,= �%���������� ���� �&������ �� ���������� � �����&�� 6� %������
������� )����&�� �� �����# �� '�)��'���&��� ����������$ ��'�� )���� ��� 8�
���&� �����7�6��%�&������������#�7�"�6�����<�����$
3) Realizarea unei �������� la nivelul grupurilor de lucru în ceea ce
���%�"������&����������&�)������������&�����'���������&�����������$
>����& ��'���� "� �<���&�8��� ��&� ���� ������ �� ����� ���&� ��� 6� ��'��&�
����������&�!�)�����%�#'����)�����%�"�����'���'�����'$
>����& '�����'�� �# 6������& �7��# ��&�������� ���&����� 6� ���&� ����
?�������&�� �� ��8���� � 4�%����7���&�� ������%��'���� ��� ���7���$ ��'��
poate fi 6�'����& ���������&������"�5�������������������)&���&�����������
"�6�%����7���&��$
![Page 5: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/5.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 5
��������� �!���"�����#� ���#� ���������$���� ��!�� ��
�%�&����� �� �&����&�� "��&��� ������"�� '� ��������� ����& 6� ����
�)�����%�&�'��)�&���'����&� �� � 6� 6�%�����$�%�&���������� �����������'
�������� "� �� ������# ���7���5'� 8��� &� 6�������& ���*����&�� �� ��'������#
��������'�&���'����#'��&�8���&�&'��$
?�������������������&��'�����!
�=�%�&������'������������� ����'���'�)�&�������'�&�� ��'������%5
educativ;
)= ��������������� ��&�� ���� �&������ �&� �%�&�����! ��8�������#
���������# ���� ��$ ��8�������&� '��� )� � �� ���� ���� ���&������ ��� &�
8����&���� ���������&��@ ���������&� '��� �'������ �&� '�������� ��� ���� '��
���*�� � �&� �� �&����&�� %�������# ��� ���� ��&� '��� ������� ������ �������
����&����� �� �������$ 4� ���&�"� ���� ��8�������&� ��&�'� ���� �%�&���� '���
8������������ ��&�������� �'�8����������$
�= �%�&����� �� '� �� ��� &� � '��*��� ������� A��� �� 8� �������
�&�%�&��= �� �� �'�� ���'������� �����5� '����'���� �� ����%����� ����� ���#
având, deci caracterul unui proces.
���& �� �%�&���� ��� �%����9�& �� � 8���&� � ������� �'���� ���&��
�8����#��������"��"��������&������'�&������������&�8&���6�����5�&��$
�%�&�����6�6�%����7������� ������������������)&������"�6����&�"�
���� �� ������� �� �<����� � �� � �'������ ����&�<����� 6��7� �� �'��
'������ ��������� ��������&��*�%�������������������$
��& ��� 8���%���# ���� �� 8� '� �� ��8���� &� '������� �����&� ���
���7���#��������&�'�����&� ������8����� &�%���8�����&��������# &� ��'������
"��&���"� &��<�����#'�� &� B�%�&�������'�'���C%� ��������&��������
date statistice.
-����&���� �<�&����� � '����&�� �'�� ��&�%���� ������ �������&
�%�&����%#�'�*��7��#����������#��&�����������'����8������&����������
����%����� A�� �<���&�# ���������� "������8���=# "�# �� �� �&��# '����8��������
�����������'�&�$
�%�&�����'�������'�8�&�������&����'�������&��������������&�
scopuri:
![Page 6: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/6.jpg)
6 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
a) Fundamentarea deciziilor ;
b) ?�� ������"������3���"������ �������)&���� ;
c) ��8&���������%�&�����'�'����&���%�&���$
?���������� �� � �'�*��� �����'�&�� �%�&����% ��&�����# ������!
%�&��������# 8���&������ '�� ��&�%����# ����� 8� �������� ��� 6� ���'�������
riguroase. Uneori, demersul evaluatorului va fi ghidat de criterii dificil de
8����&� ��#�&����������������"����&���)�&�$
������������������&��6������&�����'���&������&�����&�'�'���������'��
�%��������� 6��� �� ������ ������������ �� ���������%�'��&�� 6� �������� '�)
8���� ��&�� ��5�& B����&�� ������ �� ����������C$ �<�'����� ���� ���'�����%�
�������%� �������� ��� 6� �������� &� ���� '� �������� � ����&� �'��
���������'���� ������ �%�&����# �� ����� �<����� ��%��'����� � ��������&��
��������& ���&� �)�&� A'����&�# ��&����&�# ���������# �� ���8�������# ��
8� �)�&����� ���$= "� ����8����� �� 8����& �� ���'��� �� �&�� ��� ���&�������
'����'���� � ���� ���� %�&�� �� ���� �� �%�&����# '�� ��� B�����<��&C
demersului evaluativ.
%���&������ ������� ��!������������ ��� ��#� �����
?�������&�&�8�������&��%�&�����'���:�$����"�# $������#(22.#�$25(D;!
� &�������'��(��������� 6�%���������'����� &�����&��"�*��"�&�&���&�%�&�� "� 6�&�������� ���'����$ Feedback-ul primit de evaluator îi permite
���'����'�5"�����8�������&"��������&����������"�'�%���8��������&�%�&
� ���������������������"�����&� ����'��'�$-���������*��'���� '� ���&� �� �
������'��������"�������������*��'���$
� &������� )��(������ ���� 6� �%������ ���8�������&� %������� �&�
�&�%�&��$ ��'�&������� ������������������'�)�����������#'����<���&�#
'����&������������� �����%�������������"��&���"����8�'����&���&�%�&��$
-������ ���*��'���� '� ���&� �� � ���� ��'�� �� ����������# ��� "� ���� ��'��
����*�*��� ���� %���8������ �&�' ��&������ 6�%������ "� � ����������� '�&�������
��������%�����%�������$
� &������� '� ����� �����%��� ������ �7�� '� ����"�� �&�'�8������ "���������� ���������&�� &� �<�����&� "� ������'���&� "��&��� '�� �7�� '�
![Page 7: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/7.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 7
������"�� ������� �����&�%�&�������&�'�#"��&����$��'��&�'�������� �����
����������%�8�����'�)�&���������������������&� ��������'�&������)�����%�$
-������'����8���!
� &������� '� �������� �� ���������� '� *������� +,������������������-�
��&�������'����������������
.���&�����!�������������#� ����
?���� ��'���*� ���������&� 8���� �� �%�&���� :�$ ����"�# $ ������#
1996, p. 11-13]:
��������� �������� ���� '� ���&� �� � &� 6�������& ���� '��%����#
������&'�����&���6�%����7��$
��������� ������� ���� ��� &�� �� ��� ������'�& ��'8�"������
�����'�&�� �� 6�%����7��$ ���'�� %� �� � �� ��7� �������������&� 8���&�
�&��&�%�&��#�7�#����&�'# 8����������� 9��������'�����8���������� 6�%������$
��������8���������������������&� �����&�%'�8����'����6�����������
limite.
��������"���������6��%�&������������������ ��!
� �)'��%���� "� ���������� %��)�&� (de tipul: „bine”, „foarte bine”, „ai
progresat” etc.).
� ���'�����������&�.
�'�� ����'�� �� 6����)���&� '� ����"��'�� ������� '���&� ��
����������� � ����"�����&��# '�&����7�� ������������� "� ���&������� &��#
����������������������&�#���&���&���6���������$
���'�������� ���&� ����� 8� ������� '�� 8���&�$ ���'�� '� ���&� �� �
�����������6������&&�����&��"�'���'8�"����8�����&'������%����&$
���'��������8���&����&��6����'�����&��'������!&�'87�"����������&#
��'���'���#����"��&��'��&��<�����$
� ������&�'���'��������6���5������'����'�'�%���8�������"�����&�
����������������&�%�$
� Testele docimologice ������ '����� �� ����� �� �9�����& ������ '�
�%�&��� ���%�&�&�'���&��������"�����&��"��&����������&�������������&�$
�� ��� '�����& �� ��'�� ������&�*��� 6& ����� ���� testele standardizate, a
����� ��������&� ��&����� �'�� �� ��� 8� ������'�����# ������ "� ������������ 6�
![Page 8: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/8.jpg)
8 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
�������� �������� A'�������=$ ��'��&� '�������� ��� ������ �8�������� ��
����������6�����&�%�'��*���������&�%�$
� ����8����������&���������������8�����'�)�&�������%�&����������������
�&�%�&�� �� � ��&��� ����"�����&� 6� ��������# ������"� *����& �� '���7���� �
���������&��"�����������&��8������$
Aceste probe impun folosirea unor obiecte sau aparate, executarea
���� �<�������� '�� &������ �<���������&�# &������ 6� ���&���# �)'��%����
�����'������#��'�����#��'���#'�����#*��8���#���$
� Verificarea prin proiecte ����������������� ����&�<� "� �������� �
6�%������"�#����&�'#������8�����������&�����������8�����������%����&��
�&�%�&��# ���� 6"� �� ���*���� 6� ����%���� &�� ������'��� ������ ����%������
��'8�"�����$
��������� ���������/� �������� ���� (��0���# �'�� 6� �'����
�������%� "� '� 8��� &� �����%�&� ��� ���� �� ����# &� 8���&� ���� '��%����
�������&� '�� �������� A������&# ���'# '���'���# �� "��&�� '�� ���&� ��
6�%����7��=$ ���'�� �8��� ��'�)�&������ ���������� ����&�� 6� ���� �� 8�'�
����'� �)�����%�&� ���������� '�� '��%���� �&� &�� ��������� �� ��������
����*��&'�����������������&����'����$
4� �%�&����� '�����%�# ��'��������& ��& ��� ���������� �'�� ��'��&
standardizat.
Evaluarea de proces A� �� �&����&�� "��&���= ���'����� � �������
metodologie# 6� '��)�&���� ������ ���)��� ���� ��'���'��� &� ���������&�
6����)���:�$����"�# $������#(22.#�$(D5((;!
• Cui8�&�'�"���%�&�����E
– elevilor
– profesorilor
F�������&��
– factorilor de decizie
F��&����%����*�9�%��������)'�&%����
• Pe cine�%�&���E
F�����&�%��
F��������*�����%7�'��
F�&�%��&��������%����&
• Când�%�&���E
![Page 9: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/9.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 9
– de câteva ori pe an
– la date fixe
– continuu
• Cu ce��'���������%�&���E
– teste scrise / orale / practice
F�)'��%�����������6��&�'�
F�������������'�
– referate / proiecte
– portofolii
– tehnici autoevaluative.
1����� ������� ������������� �������#� ����
�%�&��������������������'�����A���������%�"���&�����%�="� 9�������
��%�&����$?�������8�������'�������&����)���'���'���������'��������
���%�&���� ���� �� ������� ��&�����# ������ �� �� �&���&� '� ��)� � �������
'����8������ ������ �%�&������# �%�&����# ��'������� "� '��������$ ?�������&�&�
��&����� �&� ���� ��'������� �� �%�&���� '���! validitatea, fidelitatea,
obiectivitatea"�aplicabilitatea:�$����"�# $������#(22.#�$/.5/2;.
4.1. Validitatea
��&�������� '� ��8��� &� B8����& ���� ��'��& ��'���� ���� �� �'��
��'����� '� ��'����C : �'�)�&# (2G(;$ ���� �<���&�# �� ��'� �� ��'����
�)�&����� ���������� �� ����� 8� '���' 6���5�� &��)�9 *��� ����'�)�& %7�'���
�&�%�&�� ������ '� ����'�� �# ��������# 6� ���'� 8�&# �� 8� ��'���� 6� �����&
�7�� �)�&�����&� �� ������ "� �)�� ���� ����� ��&� ����������$ 4� &���������
����*�*�����8�'��%����������7��%���������%�&�������!
� #���'����'���������������'��� 6����� ��'��&����������8���
�&������&�������������9���������&���'��� �$
� Validitatea de construct A����)���# (2GD= '� ��8��� &� ����������
�� ���� ��<��& ��'���� �� ������ ���'����� A�� �<���&� ����&�*����#
������%������# '����'�& "��&��=$ �� ��&��# %��� �� �� ��'� �� ����&�*���� '�
��'���� �<��� ����&�*���� "� ��# '��� �<���&� ������%������$ �� �'������
���%�"�� ����������� ������ ������ �����&�� "� �)�����%�&� ����'��� ������
�����������&��'���'��%�&�����#�����������&����5��%�&�&6�%������$
![Page 10: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/10.jpg)
10 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
� #���'���� �������� '� ��8��� &� ����������� ������ �� �&����&�
�)�����������&�%&�����'�"����&�����������������������'���&���$����
���&�%��)������� �&����)���&�����'�����'���������������������&� �
��&� ����� �������� �� 8��� *��"�&� �� ��&��& &� �� ��'� 6� ���� '��� 8�&�'���
���'����������'������������&��'����%�&�����������������$
� #���'���� )�'����� '� ��8��� &� ��'��� 6� ���� ��'��& 8���
���*�� ����8�������&��%��������&��&�%�&��$?������'����������'��� �����
%�&������� '� ��&��&�� � ���8�������& �� ����&���� ������ ��������� A�<$!
�� �&����&� ��'��&�� �� �������� &� &����& ������������= "� �� �������� �����
A�<$!�� �&����&����&���"��&�%����������&����&����=$
4.2. Fidelitatea
Fidelitatea este calitatea unui test de a da rezultate constante în cursul
��&������&��'����'�%�$-���&�������'���������������'��������"�'�8�������
������ %�&�������$ �� ��'� ����� 8� 8���& 8��� � 8� %�&��# �������� ��'��& �����
��'����&���%����7��������8�'���'�����'���'����$
4.3. Obiectivitatea
�)�����%������ ����� ���� *����& �� ����������� 6���� ���������&� 8�����
���%�&������ ������������ 6����������%�"������'���')�������� 8������
din itemii unui test.
4.4. Aplicabilitatea (sau validitatea de aplicare)
�&���)�&�������'����&������������'����8�������'����"������������
���"������$
2����������!����3�����������������!���#� ����
��� ������& �� %����� �& �)�����%������ 6� ������ ������ '� �&�'�8��� 6�!
������)�����%�#�����'����)�����%�"������'�)�����%�A����'���'��'���'=$
Vom prezenta în continuare modul de proiectare al acestor tipuri de
����� A6�'���� �� �<���&�=# 6� ������� �������� ��� '�' ����� ���� ������
�)�����%������������ �� �'������&���������������$
![Page 11: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/11.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 11
5.1. Tehnici de testare – Itemi obiectivi
Descriere:�$����"�# $������#(22.#�$+"����������&�;
��'��&� �� ���*��' "��&�� F "� 6� '�����& ��&� '�������� ��� F �������
������)�����%�# ������������&� �� ��'�����������'������&�������'��&�%�&��
6���������������)�����%�&���������'��&�"�&��'���$4�����*���������&��
�)�����%� '��� ���&�"� ����� �� �&�*��� ���&� A���%����38�&'=# ����� �� ���
�������"���������&�*�����&���&�$
���'������� ���� ����� �� � ��&����� '���������# ������� ��� ����� ��
%����� ������ "� ����%��� �)�����%�&�� ������� ���# �'�� � ���%����� ����$
�&������&�'����8����&����'�����������8������������������'�)� �� �
6������&�7���������"��������������&��"� �������&������������������'���
�����# ������ "� �� %�&���8������ "� ���������� �%����9�&�� �� ���� &� �8���
evaluatorului.
���'�������������&�������&���)�����%�����'������#�"����'�*���� �
"� ��������� &��# obiectivitatea �������� 6� ��'������3�%�&����� �� �&����&��
6�%������# ����� ���� ���'��� '� '����� �# �� �)����# 6� ��� ��8������� �
�������&�� ��*����%$ ?����� ����'�� ����*���� �� ����� �� �'�� ����'��� �
'����� �� ������ ����&���� A%� � ����� �� ��� �'��=# ������9�& ����'��� ����
�����7���5'�# '�� ��# 6� 8������ �� �������� ��'���'�&�� ������ &� ����$
������ �)�����%� ��� 8� 8�&�'��� ������ ����� ��'���&��� – cu un grad de utilitate
��8����# 6� 8������ �� '����& ��'��&��# �)�����%�&� "� �����������&� ��'����� F
������&��8������%����9���'�)���'������&��&�&�������$
5.1.1. Tehnica alegerii duale
�������'���������� �� �����'�&���������&�%�&������'�������&'��
�����&����������������������������&��������&������&�������%����&�#
��� �� 8�! ���%����58�&'# ������5*��"��# ��5��# �����5�� �����# ����� 8�����&5
����������������$
���&� ����������������'��������'���'���&
�=�����"����������������A��*�&�����&��&=$
Exemplu (i) :
����"�� �� ������� �8�������&� �� ��� 9�'$ 4� �� �& 6� ���� ������� � ��
�8������� �'�� ���%�����# 6��������"�� &����� $ 4� �� ������� 6��������"��
![Page 12: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/12.jpg)
12 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
&�����- "� 6�&�����"��# 6� '�����& &�)��# ��%����&� '�)&������ �� ���&�� ���� 8��
�8����������%�����$
A. F. ( = ($ -������&� �����&� ��������� ����� ���� ������
��������&�.
A. F. ( ) 2. Triunghiul isoscel are toate bisectoarele con-
gruente.
A. F. ( ) 3. Tetraedrul regulat este o �������� �����*���&���
��*�&���$
��'���'!($�������&�@,$����&�����&@/$ $
Exemplu (ii):
����"�� �� ������� �8�������&� ���������$ 4� �� �& 6� ���� ������� � ��
�8������� �'�� ���%�����# 6��������"�� &����� $ 4� �� ������� 6��������"��
litera F.
- ($ ��*�����& ���������� �� ������� ���� %7�8��� ���&������� �&�
������&�*�����%�<'�����"�����*���&�$
-,$��������'�������&��������)� �������$
A F 3. an–1=(a–1)(an–1+an–2+...+a+1), (∀ )n∈ N* "��∈ R.
��'���'!($ @,$-@/$ $
Exemplu (iii):
����"�� �� ������� 8������ ������ 6����)���&� �� ��� 9�'$ ���� ������� �
����'���'�&�������'��� #6��������"��&������$4��� �������6��������"��
litera N.
D N 1. Este 51% din 45 mai mare decât 20?
D N 2. Este 50% din 6/4 egal cu 3/2?
D �/$����.DH�����5��������'��(+#�'��������&���������7�(+E
��'���'!($�@,$�@/$�$
)=��������������������8�����&������������ �5�8���
Exemplu:
-������ ��� ��������&� �� ��� 9�' �'�� �����' ��� ���� ����� ����#
8���������%�����$����������'��'�������� ���������� ����������<�&���
�����'�����%����� �����$ 4� �� �& ���'�� 6��������"��� $ 4� �� �������#
6��������"����$
![Page 13: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/13.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 13
� �� ($ ?������ �&� '��� 8����� ���������� ������ �� �<�������
��������'��)�&�'���������8����������������&��$
� �� ,$ ?������& �'�� ��&�*�� ��*�&�� ������ �� ��� &�����&� ���5
*������"���*�����&����*������$
� �� /$ ��������� �������� &�� ?���*��� �� ���)��� �����'�����
����������'���&���8��������$
DA NU 4. ƒ(x)=2x2–x+7>0, (∀ )x∈ R# ������ �� �������� %7�8�&�� ��5
��)�&���'���� ���%�$
��'���'!($��@,$��@/$�� ; 4. Nu.
%����9�"�&������&����&� �������������&�*�������&�
Principalul avantaj legat de utilizarea acestei tehnici este acela al
�)�������# 6���5�� �����%�& �� ���� ����'# � ���� %�&������ �� �� �&���� �&�
6�%������$���)��������&�<���������'���������'������'�'�������$
Una dintre cele mai întemeiate critici aduse acestei tehnici este aceea
��������8�����������������8������������#�����%������������&���6����
����'�������"������������'�)������&�������%�����%�����$
��������������������'������������&��#���&� 7����������&�*�������&�
a) ���� ��� ����� �������� �� ��� ������ ����� ����� �� ����� ����� ��
�� �������������� ������������������� ��.
Exemplu:
- ($ �� �&����& 6���&����� � �������� ���� ������ �'�� ��� ����
decât oricare dintre factori.
AGID#+J1"�0I,J(1=$
b) ������������������������� ������������������������������
Exemplu:
- ($ ?���� ����� ������������ � 8�'� �������� 6� &��)� ���7�� 6�
anul 1837.
c) ����������������������������������������������������������
������ ����������� �����.
![Page 14: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/14.jpg)
14 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
Exemple :
1.
- ($ �� ����� ������& ���� �� '� ����� '���� '�) 8���� ,K �'��
����������AK∈ N).
Reformulare:
-($�����������'�'����'�)8����,KL(�'������������AK∈ N).
2.
A F Cel mai m��������������&8���������������8����8������'��2G0.$
Reformulare:
- ��&������� ����� ������& 8����� ��� ����� ��8��# ������� ����
diferite este 9876.
d) �������������������� �� ���������� ������������������������ �.
e) ���������� �������������������������� ��� ����� ������������
(����������������� �������������������������������������� ����������
�� �������������).
Exemple de itemi
1.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��������� 3 �&�'� � �5� 3 �������� ��
numere naturale
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������ ������� �8��������
��������&��$
�����! 4� �� �& 6� ���� ������� � �� �*�&������ �'�� ���%�����#
6��������"��&����� $4��� �������6��������"��&�����-"�'����6�'�����&&�)��
'�)&������� �&����&����8����8����������%�����$
A. F. ______ 1. (52–24)2=81.
A. F. ______ 2. 64:8:23=64.
��'���'!($ @,$-$�� �&����&�'��($
2.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��&����
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ���� �� �&����� ���
��������'����������&����$
![Page 15: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/15.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 15
�����! ?��%��� ���*����&� �� ��� 9�'$ ���� ��'���'�& 8����&�� �'��
������ 6��������"�� # ���� �'�� 8�&' 6��������"�� -$ ���� ��� 6�������� -
'������6�'�����&&�)��'�)&������� �&����&������$
A. F. ____________ 1. A={1;2;5;7;8}
A. F. ____________ 2. B={2;3;4;5}
A. F. ____________ 3. C={5;4;6;7}
A. F. ____________ 4. B∩C={2;3;4;5;6;7}
A. F. ____________ 5. A–C={1;7;8}
A. F. ____________ 6. (A∪ B)\C={6}
A. F. ____________ 7. A∩B∩C={5}
A. F. ____________ 8. (C–A)∩B={4}.
��'���'! ��%�����!(#,#/#0#G$
3.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��%� �)�&�����$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'����&� � �������������8�������&
universal “oricare”.
�����!-��������&? = −3 1
2
4n
, n∈ N$����������� �������� �����'��
���%�����6��������"��&����� $4��� �������6��������"��&�����-$
A F 1. (∀ ) n∈ N, P∈ N
A F 2. (∀ ) n∈ N#��8���������&��&��?�'��+
A F 3. (∀ ) n∈ N#��8�� ���&��&��?�'������
A F 4. (∀ ) n∈ N#������&?�'����%� �)�&��(,$
��'���'! ��%�����("�/$
4.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3��%� �)�&�����$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��������'�������������$
�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"�� &����� $
4��� �������6��������"��&�����-$
1) (�'����������� A F
2) ,�'����������� A F
3) /�'����������� A F
4) 1,2,3,5,7 sunt toate numere prime A F
5) 2,3,5,7,11 sunt toate numere prime A F
6) 3,5,7,9,11 sunt toate numere prime A F
��'���'! ��%����!,=#/=#+=$
![Page 16: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/16.jpg)
16 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
5.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'����5�3?�������
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �8&� �H �����5�� ����� �������&
pozitiv.
�����!����������� � �� �� �&����&�'�����%���� 6��������"�� &����� $
4� �� ������� 6��������"�� &����� -$ ���� �� 6�������� - '���� 6� '�����&
subliniat rezultatul corect.
A. F. ______ 1. 25% din 250=62,5.
$ -$ MMMMMM ,$ ���� � 8���&�� ������ &� )���� +DD ��� �� �
��)7��� 8�<� ����&� �� (DH# �����"�� ���� �� ��
suma de 10 miliane de lei.
��'���'!($ @,$-$��'���'������!++D���$
6.
��'���&���3�&�'�3������&�&!>��������3�&�'����5�3������'���&��
unghiurilor unui triunghi.
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������� ��8�������� &� '���
��'���&����*�����&�����������*��$
�����!����������� � �� �� �&����&�'�����%���� 6��������"�� &����� $
4� �� ������� 6��������"�� &����� -$ ���� �� 6�������� - '���� 6� '�����&
subliniat rezultatul corect.
$-$MMMMMM($���������*���& ��#�������*���6� #�����*���&�
����'���+1o#��������*���&���'����/.o.
$ -$ MMMMMM ,$���� 6� �����*���& �� # [ � "� [BF sunt bisectoare
interioare, m(∠ BAE)=30o"��A∠ ABF)=20o, atunci m(∠ ACB)=90o.
��'���'!($ @,$-#��'���'������!�A∠ ACB)=80o
7.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3��&����
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��������'����&����6������&����$
�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"�� &����� $
4��� �������6��������"��&�����-$
(=������&���� "��'����*�&����������&�"�
��������&������$ A F
,=������&���� "��'����*�&����������&��"�
elemente. A F
3) {0}⊂ N A F
![Page 17: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/17.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 17
4) 0∈ N A F
5) {1,2,3}⊆ {1,2,3} A F
6) {0}=∅ A F
7) {1,2}⊂ {1,5,7} A F
8) {{1}}={1} A F
��'���'! ��%�����!,=#/=#1=#+=$
8.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���������������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&�����������8��������&�����������
���������8���$
�����!���� ������� � �� ������& ��� �'�� ������ ���8���# 6��������"��
&����� $4��� �������6��������"��&�����-$
A F 1. n= 81 8 1250⋅ ⋅A F 2. a= 5 2n + , n∈ N
A F 3. b=52n+1⋅10⋅24n+1, n∈ N
A F 4. m=21997.
��'���'! ��%�����!(#/$
9.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VII-a / Patrulatere
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'�� �����������&� �����&�����&��
studiate.
�����! ����"�� �� ������� �8�������&� �� ��� 9�'$ 4� �� �& 6� ����
������� � �� �8������� �'�� ���%����� 6��������"�� &����� @ 6� �� �������
6��������"��-$
1. Trapezul este un patrulater convex. A F
2. Rombul este un poligon regulat. A F
/$?������&�'�������)$ A F
1$?������&�'��������� $ A F
+$�������*���&�'����������$ A F
6. Dreptunghiul este un paralelogram. A F
��'���'! ��%�����!(#/#.$
10.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���������&�$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���������������������&�$
�����! ���� ������� � �� ����� ���� ��� ������� ������&�� �� ������
�'�����%�����6��������"��&����� $4��� �������6��������"��&�����-$
![Page 18: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/18.jpg)
18 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
1. a=b unde a= 4 3− "�)= 9 2− A F
2. x<y unde x= 3 1− "�N= 4 2 3− A F
3. m<n unde m= 2 7− "��= 3 8− A F
��'���'! ��%�����("�/$
11.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a / Dreapta
����������&��������&��$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������ ��8������ �������
perpendiculare pe un plan.
��������&������9�''��������'������������� ����$����������'��
'� ������� � ���� ����� ���� � ���� 9�'��8��� de ce �'�� ���%����� �����
����� ����$ 4��� �& 6������'�����%����� 6��������"��� # ��� 6��� �������
6��������"����$
� $��$($�������*���& ���"� ����� �&���-'���'������6��&���
diferite, AD⊥ (CDE) �������� AD⊥ �-"� �⊥ CD.
DA. NU. 2. ABCD romb, AC∩BD={O}. Se îndoaie rombul în jurul
������� �� �7�� �7�� �&���&� A ��= "� A���= ��%��
diferite. CO⊥ AD ���� CO⊥ AO.
��'���'! ��%�����("�,$
12.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'������5�3-������&������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�%���8�������������&������������
'����*��8���&��8�����������$
�����!����������� ����8�������'�)&�������'�����%�����#6����5
����"��&����� $4��� �������6��������"��&�����-$
A F 1. f:R→R ; f(x)=x, M(2,2)∈ Gf
A F 2. g:[0;2]→R; g(x)=5, N(3;5) ∈ Gg
A F 3. h:(-∞;1) →R; h(x)=2x+1, P(1;3) ∈ Gh
A F 4. i: [2,23;+ ∞)→R; i(x)= 5 x-1, T( 5 ;4)∈ Gi
��'���'! ��%�����("�1$
13.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������
�)�����%�& ! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������ ��8������ �������� ��
8������$
![Page 19: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/19.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 19
�����! ����"�� �� ������� ����� ����&� �� ��� 9�'$ 4� �� �& 6� ����
������� ����8���������8���"���8������#6��������"��&����� $����������� �
���8��������'��8�&'�# 6��������"�� &�����-"�'����6�'�����& &�)��'�)&������
%����������������������&������8������$
A F_________(=-��8������ƒ:R→R, ƒ(x)=�
��� −
.
A F_________,=-��8������ƒ:R→R, ƒ(x)=2x–1.
A F_________/=-��8������ƒ:[0;5]→[0;2], ƒ(x)=x–1.
A F_________1=-��8������ƒ:R→R, ƒ(x)=�
��� +
.
A F_________+=-��8������ƒ:[0,∞)→[3;4], ƒ(x)=x2.
��'���'!($�5{ -1,1} ;2.A; 3. [1,3] ; 4.A; 5. [ ]3 2,
14.
��'���&���3�&�'�3������&�&!>��������3�&�'����5�3 '�������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&����������&������&��'$
�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $
4��� �������6��������"��&�����-$
�����'����������*���& ��"�������&��∈ (AB), N∈ (AC). Atunci:
A F 1. MB
MA
NC
NA+ =1 ����"�����������∈ MN, unde I este centrul
cercului înscris.
A F 2. MB
MA
NC
NA+ =1 ����"����������>∈ MN, unde G este centrul
de greutate.
��'���'! ��%�����,$
15.
��'���&���3�&�'�3������&�&!>��������"����*���������3�&�'����5�3
-���������*����������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&��&� �����������������&������
8���������*����������$
�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $
4��� �������6��������"��&�����-$
-($-������8!�→�#8A<=J'��+<�'�����������������������������&�
To=2
5
π
-,$-������8!�→R, f(x)=cos2<�'���������������������
��������&��o=π
![Page 20: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/20.jpg)
20 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
-/$-������8!�5 ( )2 12
k k Z+ ∈
π/ →R, f(x)=tgx+sin2<�'�����������
������������������&��o=2π.
��'���'! ��%�����!("�,$
16.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�"����������&���8������'�����
��������#8��������9����%�"����&������6�������'���$
�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $
4��� �������6��������"��&�����-$
-($����8������8![0,1]→��'����9����%�������8�'��'�����
��������$
-,$����8������8![0,1]→��'��'�������������������8�'��
��9����%�$
��'���'! ��%�����,$
17.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3���������&�$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������'��'�������������&�����&�
'�)8������������ �����&�$
�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $
4��� �������6��������"��&�����-$
-($������&�JD#(,/$$$G2(D(((,(/$$$�'��������������&
-,$������&)JD#(D(DD(DDD(DDDD($$$$�'���������������&
-/$������������������&'���''�)8����������� �����&�����&
�����,��8������'������������8������������$
��'���'! ��%�����,"�/$
18.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'���5�3���)���������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�'��)�&��'��������������&�
���8�������&�������� %�&����$
�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $
4��� 6��������"��&�����-$
�����'������� %�&�����!A(L<L<2)13=a0+a1x+...+a26x26.
Atunci:
A F 1. a0+a1+a2+..+a26=213
![Page 21: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/21.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 21
A F 2. a0+a1+a2+..+a26=313
A F 3. a0+a2+a4+..+a26=3 1
2
13 +
A F 4. a3= C C C133
131
121+ ⋅ .
��'���'! ��%�����!,#/"�1$
19.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! &*�)�� 3 �&�'� � ���5� 3 ?�&������ ��
���8�����������&��"�$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������'����������������&������
��&���������8�����������&��"�$
�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $
4��� �������6��������"��&�����-$
�����'�������&�����&8J�3+(i+3)X2+(2+3i)X+6∈ C[X] $ �������������
ale polinomului f sunt:
A F 1. x=i
A F 2. x=-i
A F 3. x=3
A F 4. x=-3
��'���'! ��%�����!("�1$
20.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3
Numere reale.
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&������*�&���������������
��8��������&�8���������*����������$
�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $
4��� �������6��������"��&�����-$
-($����<∈ (0,π2=��������&�����*�&�����&�!'��<<tgx<x.
-,$����<∈ (0,π2=��������&�����*�&�����&�!'��<<x<tgx.
��'���'! ��%�����,$
21.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3�������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������������&����6�����������$
�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $
4��� �������6��������"��&�����-$
![Page 22: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/22.jpg)
22 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
Fie A, B, C, D, E∈ M2(C=����%���8����*�&�����&�!
A4=B⋅C⋅D⋅E, B4=C⋅D⋅E⋅A, C4=D⋅E⋅A⋅B, D4=E⋅A⋅B⋅C, E4=A⋅B⋅C⋅D.
A F 1. A5=B5=C5=D5=E5
-,$���<�'�������������� #�#�#�#���8���������%���8���
'���&�����������&��������� �$
Rezolvare: A5=ABCDE=BCDEA; B5=BCDEA=CDEAB;
C5=CDEAB=DEABC; D5=DEABC=EABCD; E5=EABCD=ABCDE. Deci
A5=B5=C5=D5=E5.
������� 5J(���'�&����&�����&�<�!ε0, ε1, ε2, ε3, ε4. Matricele A=ε0I2;
B=ε1I2; C=ε2I2; D=ε3I2; E=ε4I2%���8�����������&��������� �"�'�����8�����$
��'���'! ��%�����($
22.
��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3������$
�)�����%!�&�%�&%�8�����)�&'���&�������"�����&���8��������&�"�����&�
de numere reale.�����!-�� ( )a n n 1≥
��"�������������&�$
����"���8�������&������9�'"�6��������"��&����� �����8��������'��
���%����� "� &����� - ���� �8������� �'�� 8�&'�$ 4� �� �& 6���������� &������ -
*�'������������<���&�$A F (=���� ( ) ( )n1+2nn2n a ,a "� ( )n3na ��&����������� ( )a n n
���&�����$
A F ,=�����nQ → � ∈ R"�σ:N*→NO�'��)�9������������σ(n)
Q → �.
A F 3) anQ → 0 ⇔ |an|
Q → 0.
A F 1=�����nQ → a∈ R, atunci |an|
Q → |a|.
A F +=����P�n|Q → |a|, atunci an
Q → a.A F .=�����n
Q → +∞, atunci ( )a n n�'�������*����$
A F 0=���� ( )a n n�����*����#������|an | Q → +∞.
A F G= ���� �n>0, ∀ n≥( "� ���Q
anJD# ������ �<�'�� �0∈ N* astfel încât
∀ m>n≥n0 avem : am≤an.
A F 2=�����n>0, ∀ n≥("����Q
�
�Q��
Q
=�<1, atunci anQ → 0.
A F (D=�����n>0, ∀ n≥("����Q
�
�Q��
Q
=�>1, atunci anQ → +∞.
Rezolvare: 1) A; 2) A; 3) A; 4) A; 5) F, an=(–1)n; 6) A; 7) F;
an : 0,1,0,2,...,0,n,...; 8) F, an : 1,�
��
�
�
�
��
��
� � �� � ��
��Q.; 9) A; 10) A.
![Page 23: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/23.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 23
23.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3
-����������%�)�&�$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&����������&��-�����$
�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $
4��� �������6��������"��&�����-$
Fie a, b, c, d>0 astfel încât ax+bx+cx+dx≥4 , ∀ x∈ R, atunci:
A F 1. a⋅b⋅c⋅d=1
A F 2. a⋅b⋅c⋅d=4
A F 3. a⋅b⋅c⋅d≠1
�� �&%���!���'������8������8!R→R, f(x)= ax+bx+cx+dx-4.
?�������� �8A<=≥0, ∀ x∈ �@8AD=JD�����8A<=≥f(0), ∀ x∈ R. Cum f este
����%�)�&�"�<oJD�'���������������� �&����8/(0)=0 conform teoremei lui
Fermat. Deci lnA�)��=JD�� �&���)��J($
��'���'! ��%�����($
24.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3
-����������%�)�&�$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�������8�����������&�����������&�
�����������&���&��&�&����8�������&$
�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $
4��� �������6��������"��&�����-$
-($-�������8! −
→π π
2 2, R , f(x)= sin3 x 6��'����&���)�&��������
lui Rolle.
-,$-�������8![ -1, 1]→R , f(x)= x 6��'����&���)�&��������&��
Lagrange.
A F 3. Fie 0<a<)"�8������8![a, b]→R����%�)�&�$-������&��
g,h: [a, b]→R definite prin g(x)=f x
x
( ) , h(x)=
x
�, ∀ x∈[ a, b] li se poate aplica
teorema lui Cauchy.
-1$����8#*![a, b]→R'�����������#����%�)�&���A�#)="�
g/(x)≠0, ∀ x∈ (a,b) atunci se poate deduce teorema lui Cauchy aplicând
8������&��8"�*�������&���*���*�$
��'���'! ��%�����!("�/$
![Page 24: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/24.jpg)
24 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
25.
��'���&���3�&�'�3������&�&!>�����������&�����3�&�'����5�3
Conice.
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�'�������8���8������������������
�������*�����&����$
�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $
4��� �������6��������"��&�����-$
>��8���&8������� f x x x( ) = − −8 3 2 ����� ����!
-($���������)�&�
A F 2. arc de cerc
-/$������&��'�
��'���'! ��%����� : 2.
26.
�'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&���������������&���������&����
"�����"�&�����&����'����$
�����! ����"�� �� ������� �8�������&� �� ��� 9�'$ 4� �� �& 6� ����
������� � �� �8������� �'�� ���%����� 6��������"�� &����� $ 4� �� �������
6��������"��&�����-"������������<���&�$A F ($�����'����� "�����&� ( )xn n 1≥
"� ( )yn n 1≥ pentru care ∃ n0∈ N* astfel încât
xn≤yn, ∀ n≥n0"�ynQ → 0, atunci xn
Q → 0.A F ,$���� ������ "�����&� ( )xn n 1≥
"� ( )yn n 1≥ �<�'�� �0∈ N* astfel încât xn≤yn,
∀ n≥n0"� ���Q �→ ∞
xn=+∞, atunci ���Q �→ ∞
yn=+∞.
A F /$ ���� ������ ����� �∈ N*, xn≥0, yn≥D "� ���Q �→ ∞
(xn·yn)=+∞, atunci
���Q �→ ∞
(xn+yn)=+∞.
A F 1$ ���� ������ ����� �∈ N*, xn>0, ynQD "� ���Q �→ ∞
(xn+yn)=+∞, atunci
���Q �→ ∞
(xn·yn)=+∞.
A F +$ ���� "�����&� ���&� ( )xn n 1≥ , ( )yn n 1≥ , ( )zn n 1≥# %���8��� ��&����
���Q �→ ∞
(xn·yn·zn)=+∞, atunci ���Q �→ ∞
(xn+yn+zn)=+∞.
A F .$���� ���Q �→ ∞
an=+∞, atunci ∃ n0∈ N* astfel încât an≤an+1, ∀ n≥n0.
A F 0$���� ���Q �→ ∞
bn=–∞, atunci ∃ n1∈ N* astfel încât bn+1≤bn, ∀ n≥n1.
![Page 25: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/25.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 25
A F 8. D��� ( )a n n 1≥, ( )b n n 1≥
'��� ���� "����� ���&�# ( )b n n 1≥ '����� ���'����� "�
�����*����"�∃ ���Q �→ ∞
�
�Q
Q
= ∈l �, atunci ���Q �→ ∞
� �
� �Q�� Q
Q�� Q
−−
= l.
A F 9. ��������������'�������������&����8���������������'����'�����$
A F (D$ -������ ƒ:R→R, f x xx
x( )
sin ,
,=
≠
=
10
0 0
�� �'�� �������� �� ���� �
%�������������*����$
A F 11. ����������� �� �����%�& �⊂ R �� ���� 8������ ƒ de la punctul 10 este
��������$
��'���'!
($-�&'�$�������<���&�xn=–2, yn=1/n, ∀ n≥1.
,$ ��%�����$-���∈ U(+∞) ⇒ ∃ε >0, (ε,+∞)⊂ V, ∃ n1∈ N*, ∀ n≥n1, xn>ε. Fien2=max{n0,n1R"��≥n2 ⇒ yn≥xn>ε deci ���
Q �→ ∞yn=+∞.
/$ �&�������*�&�����������&��"��<�������&,$xn+yn≥2 � �Q Q� →+∞, deci
xn+yn→+∞$ 8��������'�����%�����$
1$-�&'�$�������<���&�xnJ�"�yn=1/n, ∀ n≥1.
+$ ��%�����$ �&�������*�&�����������&��! xn+yn+zn≥3 � � �Q Q Q� �� deci (xn+yn+zn)→+∞.
.$-�&'�$�������<���&�!(D#(DF(#(D2, 102–1, ..., 10n, 10n–1, ...
0$-�&'�$�������<���&�!F(D#FA(DF(=#F(D2, –(102–1), ..., –10n, –(10n–
1), ...
G$-�&'�$�������<���&�!�n=(–1)n"�)n=n, ∀ n≥1.
2$ ��%�����$
10. x0JD�'��������&����'��������������'����� ��5�#����ƒ nu este
���������������%�������������*����$
11. I=2
5
1
2π π,
27.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'�����5�3
Integrale definite.
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&��&� �����*��&�8�&�'���'�)'�������
trigonometrice.
�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $
4��� �������6��������"��&�����-$
![Page 26: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/26.jpg)
26 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
Valoarea integralei ( )
( )
3
3
7
90
3 −+∫
x
xdx este:
A F 1. 1
16
A F 2. 1
48
�� �&%���!-����'�)'�������<J/��'�Jϕ(t), ϕ:[0, π/2]→[0,3] este
����%�)�&�������%�����������!
ϕ /(t)=-3sint, ϕ(0)=3, ϕ(π/2)=0 deci I=1
3 2 215
0
2
⋅ ∫ tgt
tgt
dt( ) //π
=1
48 2
1
4816
0
2⋅ =tg
tπ
��'���'! ��%�����,$
28.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'�����5�3
Integrale definite.
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�����%� ��8��������8�����������5�
����*��&�$
�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $
4��� �������6��������"��&�����-$
�����'�����8������8! [ ]1, π →R, f(x)=sin t
tdt
x
1
2
∫ , atunci:
-($8�'��'�������������
-,$8�'������������$
�� �&%���!-������ g tt
t( )
sin= �'�����������������%�&�& [ ]1, π deci
�'������*��)�&�"��������������%���>$ �&��7���������&����)�� 5��S���
�)�����!
f(x)=G(x2=5>A(=�����'������%�)�&�$
f/(x)=2xG/(x2)=2xsin sinx
x
x
x
2
2
22= >0, ∀ x∈[ 1, π )
��'���'! ��%�����($
29.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3>������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��������'����������%������*����&��
simetric.
�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $
4��� �� �������6��������"��&�����-$
![Page 27: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/27.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 27
Fie (Sn,°=*����&��������%�&���������&����*����������!
A F 1. n≥3
A F 2. n≤2
��'���'! ��%�����,$
30.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���&�"��������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������������%� �����������������
��&������������8������������5������8����$
�����!����������� ����8��������'�����%�����6��������"��&����� $
4��� �������6��������"��&�����-$Polinomul [ ]XZXf �
� � ∈+=�
este.
A F 1. reductibil
A F 2. ireductibil.
��'���'! ��%�����($
5.1.2. Tehnica perechilor
��'������"����&� ��� [ �$����"�# $������#(22.]������� �������&�� '�&����� ��� ������ �&�%�&�� '��)�&���� ����
����'��������6������%����#����� ����#8�� �#������#&�����'���&������*����
��'��)�&���#��'���)������������&����$
�&������&� ��� ����� ��&����# �������� �����'�# ���'������ ������&
�����&��# ��� ��&� ��� ��&���� � ���� ����� ���� ��'���'���&�$ ��������& '��
��������&� �� )� � ������ '� '��)�&�"�� ��'���'�& ������ '��� �������� 3
�<�&�������6���'���������&�������������&����&��������'�"�����'���'���$
���&� ���� '� &������ � &� ��'������ �)�&������ �� � ������8��� ��&����
�<�'�����6������������*����!
�������F��8������
reguli – exemple
simboluri – concepte
������F�<���&�8�����$
�������������������
�='� ���&���������� ���*�&����'���'���"��������'�# ����&�%��'�
8�� ��'������ �� 8������ ��'���' ����� 8� 8�&�'�� � ����# �� ��� ��&�� ��� '��
���������@
![Page 28: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/28.jpg)
28 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
)= &�'�� ��'���'���&�� '� 8�� ��*�9��� 6���5� ������ &�*��� A�� �<���&�!
��������&8�)�������������'���'����������'�����<��������6���%����'��
������� ���'������� 3 ��'���'������� ������ ��'���'��� ��������=$ ���'��
������� %� �� � �&�������� 8���� ���� �������� ������� ���� �� ����� �������
�&�%�&'���B*�������T��'���'�&��������@
�=����������'�&�"���'���'���&����� ���������&�"����'�8���&�'���
�������"���*���$
%����9�"�&�����
Tehnica permite abordarea unui foarte important volum de rezultate de
6�%����� 6���5�� �����%�& �� ���� ����'# �� ���&� ���� �8������� � '�����&�� ��
8��&� �� ��'�# �7� "� �� ���&� ���� �8������� � �����&�� ���8�'���&�� &� ������$
�"���������'�������������&���'�����'���������%����98���%������������
6� &�*����� �� ����'�� �������# �� ����� �� �'�� ���)�)�& ��� ������ '�
'��������'������"�������'���������������&�����'&�)����7����&��
)�����&�����$��������������8����&� ����������)������������� �&������
6�%����� ����&�<�# 8���� �� �'������ ��8���&# 6� ���&� �� ���# '� ���'�����
&�'���������'�'������'���'�������'�8�����*���$
Exemple de itemi
1.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��&����
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ��8������ ��������&�� ��
��&����$
�����! 4��������&���'�7�*� 8������� �7��'������ ��8������'��� ������
��&�������'�����%�$
A∪ B 1 {x x∈ "�x∈ B}
A∩B 2 {x x∉ A sau x∉ B}
A–B 3 {x x∈ A sau x∈ B}
4 {x x∉ "�x∈ B}
5 {x x∈ "�x∉ B}
��'���'! ∪ B→3; A∩B→1; A–B→5.
![Page 29: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/29.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 29
2.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5���%� �)�&�����$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ��%� ���� ���� �����
natural.
�����!������� 6��������&� &�)������������� 8�������������� ������8��
divizorul admis din coloana din stânga. În cazul în care nici unul dintre
������&����'�7�*����'����%� ���������6���'���'����&U$
2 121
3 122
5 123
125
127
��'���'!(,(→x; 122→2; 123→3; 125→5; 127→x.
3.
��'���&��� 3 ������&�&3 �&�'�! ��������� 3 �&�'� � �5� 3 ������
�������&�$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ���&� � � '���&�8������ '��
���&�8������8������&��$
�����! 4�'���� 6�'�����&��� 8���8�����������������&���� &��������
��&�����������������������*�&��������&�����&���� $
A B
______ 1. 720
480 M
1
3
______ 2. 462
1155 N
2
5
2
______ 3. 2541
7623 P
7
11
______ 4. 7 11
7 11
1
1
n n
n n
⋅⋅
−
− Q 21
14
______ 5. 2 3 5
2 3 5
1998 1997 1996
1996 1997 1998
⋅ ⋅⋅ ⋅
R 18
25
S 22
55
��'���'!(→Q; 2→S; 3→M; 4→P; 5→N.
![Page 30: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/30.jpg)
30 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
4.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VI-a / Triunghiul
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'� ������8��� �������� �����*����� 6�%�����
���7������"����&�'�8�����������*�����&������&��������"�������*�����$
�����! 4���&���� �%�����'������7��%��������������*�����$ 4�'������
6� '�����& ��� 8��� 8������� 8�*��� &����� '�� &�����&� ��� ��&���� � ����
corespund tipului de triunghi desenat.
A
B
�F�'�������*���
b – obtuzunghic
c – dreptunghic
d – isoscel
e – echilateral
f – scalen
��'���'!(→c,d; 2→b,d; 3→f; 4→c.
5.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VI-a / Clasificarea
triunghiurilor.
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��&�'�8��������*�����&�������8�������������$
�����! 4� ��&���� �%��� '����8����� ������ �� �����*�����$ 4�'������ 6�
'�����& ��� 8��� 8������� ��� ��� ��&���� # &����� ��� ��&���� � ����
����'���������&���������*�����������6���&���� $
A B
MMM($�����*���&������&��������*������ D .∆ dr. isoscel
___ 2. Triunghiul cu un unghi drept E. ∆ scalen
___ 3. Triunghiul cu toate laturile congruente F. ∆ obtuzunghic
MMM1$�����*���&������*�������"����� G. ∆ echilateral
laturi congruente H. ∆ isoscel
___ 5. Triunghiul cu un unghi obtuz I. ∆ dreptunghic
��'���'!(→H; 2→I; 3→G; 4→D; 5→F.
__
1
2
3
4
![Page 31: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/31.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 31
6.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3?��������$
�)�����%�&!�&�%�&%� 8�����)�&'����&� � ������������� 8���������&��
����������$
�����! 4�'���� 6� '�����& ��� '�7�*� ������&�� �� ������ ��� �����
��&����#&���������������&������������'������� �&����&��������$
I II
_____ 1. x
2
3
5= A
15
13
_____ 2. 3 4
1x= B 5
_____ 3. 1
2 8= x
C 1
2
_____ 4. 2
1
215 2 3
2
36− ⋅= x
D 2
_____ 5. 2 2 7 2
1
32
3
15 7 7:( )⋅ ++
=x
E 4
F 6
5
G 3
4
��'���'!
1 2 3 4 5
F G E B D
7.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VII-a / Patrulatere
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'�� �����������&� �����&�����&��
6�%�����$
�����!?������&�������)�&�&�������9�''�����'������7��%������&�����
������������&���� '���'���'������������ �&����'����$������� � �� < ��'���&�
����'��� �����������������&�����%�����������8�����������&����$
Figura
Proprietatea
Trapez Paralelogram Dreptunghi Romb ?�����
����&��������'�'�������&�&�
�����&����'�'��������7��
��������&�&�
![Page 32: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/32.jpg)
32 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
�����&����'�'��������7��
�������*������
Toate laturile congruente
Unghiurile opuse sunt congruente
Unghiurile sunt drepte
Diagonalele sunt congruente
Diagonalele sunt perpendiculare
���*���&�&�'�6�9�������'�
8.
��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'�����5�3��������&���8���&�$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� 8����&� '�� ��&����
6�%�����$
�����! 4�'���� 6� '�����& &�)�� ��� '�7�*� ������&�� �� ������ �&�
��������&������'��� ��������&������#&����������&�������������'�����
formulei corecte.
M N
1. Aria triunghiului A. �%� E� K�
2. Perimetrul dreptunghiului B. 2ab/(a+b) 3. Aria trapezului C. 2(L+�)
1$�������������������������� D. ba ⋅
5. Media geometric������������ E. E K
�
×
��'���'! F. (a+b)/2
1 2 3 4 5
E C A F D
9.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���������&�$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��� �&%��<������������������&�$
�����! 4�'���� 6� '�����& &�)�� ��� '�7�*� ������&�� �� ������ �&�
��������&�� ����'��� ������ ��&����� �# &����� ��� ��&���� � ���� ��5
��'�����������&��������.
M N
____ 1. (-1
2):(-
2
3)-1 A -
5
2
____ 2. 75 48 2 27:( )− B 1
3
![Page 33: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/33.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 33
____ 3. ( )6
52 3 27
1
5: : − C 0
____ 4. 1
8
2
18
5
322+ −
⋅ D − 2
15
��'���'! E − 1
12
1 2 3 4
B A D E
10.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'������5�3���������&�
�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� �&������&���&����&��N,
Z, Q, R, R–Q, R*.
�����! 4�'���� 6� '�����& ��� 8��� 8������� ����� ��� ��&���� # &����� ���
��&���� � ���� ����'����� ��&����� ��� ���� 8��� ����� ������& ��������� 6�
coloana A: A B
___ 1. x=2,(3) D. x∈ N*
___ 2. x=–5 �
�E. x∈ R–Q
___ 3. x=0 F. x∈ Z–N___ 4. x= − G. x∉ R
___ 5. x=π H. x∈ Q–Z, x pozitiv
___ 6. x=–11 I. x nul
J. x∈ Q–Z, x negativ.
��'���'!
1 2 3 4 5 6
H J I G E F
11.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'������5�3-������&������$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ������8��� ������ ���� �������
*��8���&������8����������$
�����! 4�'���� 6�'�����&��� 8��� 8�����������������&���� &��������
��&���������������������&����������*��8���&��8������������&���� $
A B
____ 1. f:R→R, f(x)=x+1 M(2;0)
____ 2. g:R→R, g(x)=2x-1 N(-1;3)
![Page 34: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/34.jpg)
34 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
____ 3. h:R→R, h(x)=-1
2x+1 P(0; -1)
____ 4. i:R→R, i(x)=7 Q(2;3)
R(1;7)
��'���'!
1 2 3 4
Q P M R
12.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a / Corpuri rotunde.
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ������8��� 8����&�&� ������ �8&����
ariei totale a unor corpuri geometrice.
�����!4�'����6�'�����&���8���8�����������������&���� #&��������
��&���������������8����&��������$
A B
____ 1. Cilindru circular drept M AWRWDO�=4πR2
____ 2. Con circular drept N AODWHUDO�=πG(R+r)
____ 3. Trunchi de con circular drept P A ODWHUDO�=2πRh
____ 4. Sfera Q AWRWDO�=πh(R+r)
R AODWHUDO�=πRG
��'���'$
1 2 3 4
P R N M
13.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�������8����������&��<������8������
�&����8����������$
�����!-��8������ƒ:I→R#��8���������ƒ(x)=� � �
�
�� �
�
− +−
, unde I⊂ R.
4�'���� 6� '�����& ��� '�7�*� ������&�� �� ������ ��� ����� ��&����#
&���������������&������������'�������&������������$
I II
MMM($�������&��<������8������ A. {-4,-1}
MMM,$��&�����������&��x∈ Z astfel încât B. {0,1,3,4,5,8}
ƒ(x)∈ Z C. R\{2}
![Page 35: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/35.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 35
MMM/$��&�����������&��x∈ N astfel încât D. {4,5,8}
ƒ(x)∈ N E. x∈ {–4,–1,0,1,3,4,5,8}
MMM1$��&�����������&��x∈ N astfel încât F. {2;3}
ƒ(x)∈ Z G. {3,4,5,8}
MMM+$��&�����������&��x∈ Z-N astfel încât
ƒ(x)∈ Z
��'���'!($� ; 2.E ; 3.G ; 4.B ; 5.A.
14.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&��������������&�8������&��6�%�����$
�����!?������ &����� ��)�&�&�� ����� 9�' '��� ��������� 8������# ���
�� ����� ��&���� '��� '���'� ����������� �&� ���'����$ ������� � �� U
��'���&�����'��� �����������������&�����%�����������8������8������$
-������
Proprietatea
ƒ:R→R
ƒ(x)=5
ƒ:R→R
ƒ(x)=ax,
a>0
ƒ:(0,∞)→R
ƒ(x)=ax+b,
a<0, b≠0
ƒ:(–∞,0)→R
ƒ(x)=ax+b,
a>0, b≠0
ƒ:[–2,5]→R
ƒ(x)=|x|
-�������'�����'�������
-�������'��'��������'�������
-�������'����'���'�������
-�������'��'�������'���'5
�������
-�������'����������
-�������'����9����%�
-�������'��'��9����%�
-�������'��)�9����%�
-�������'������
-�������'��������
-���������'����������
����������
15.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! &*�)�� 3 �&�'� � ���5� 3 ?�&������ ��
���8�����������&��"�$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� '��)�&��'�� ��&������&� ��������)�&�
�����5�&�'����������&������#���&� 7���������������'��������������)�&�����$
![Page 36: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/36.jpg)
36 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
�����! 4�'���� 6� '�����& ��� '�7�*� 8������� �����������# ��&�����& ��� �
������&����������'��������'����$
______ 1. polinomul este ireductibil în Z[X] f=X2-2
______ 2. polinomul este ireductibil în Q[X] g=X2+X+1
______ 3. polinomul este ireductibil în R[X] h=X3+X
______ 4. polinomul este ireductibil în C[X] p=X4+X3+X2+X+1
q=2X+3
��'���'$($8#*#�#V$
2. f, g, p, q.
3. g, q.
4. q.
Singurele polinoame ireductibile din C[X] sunt cele de gradul întâi.
Polinoamele ireductibile din R[X] sunt cele de forma mX+n, m∈ R∗ , n∈ R
"���2+bX+c, a∈ R∗ , b,c∈ �"�)2-4ac<0.
Polinoamele de grad 3 sunt ireductibile în Z[X] "� W[X] ���� "� �����
����������������6�W$
���&� 7�� ��������& �� ��������)�&����� �& &�� ��'��'���� '� ����� ��
polinomul p este ireductibil în Z[X] "�W[X] .16.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �3�&�'����5�3���������&�$
�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ����������� �&���&����&��
de numere.
�����!4�'����6�'�����&&�)�����8���8���������&��������������&����#
&����������&�������������'��� ������������������������������&�����$
I II
____________($ JAD#(=��9�����
____________ 2. B=[0,1] ���������
____________ 3. C=N N admite maxim
____________ 4. E=(0, +∞) P admite minim
____________ 5. F=1
nn N/ ∈
∗ R admite supremum
����*�����$
��'���'! Q admite infimum
1. L, M, Q, R, T; 2. L, M, N, P, Q, R, T; 3. M, P, Q;
4. M, Q; 5. L, M, N, Q, R, T.
![Page 37: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/37.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 37
17.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3>������$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ����������� �&� ��������&��
�&*�)���������������� ���'���������&*�)�������8������'�����&����&������$
�����! 4�'���� 6� '�����& ��� '�7�*� 8������� '��������# &����� ��� � ����
��&����������'��������'����$
I II
___________ 1. Monoid necomutativ A. (N,+)
___________ 2. Monoid comutativ B. (N ∗ , +)
___________ 3. Grup necomutativ C. (Z, +)
___________ 4. Grup comutativ D. (Z, -)
E. (Z, ⋅) F. (N, ⋅) G. ({ -1,1} , ⋅) H. (Q, +)
I. (Q, ⋅) J. (Q*, ⋅) K. (Zn,+)
L. (S3. ⋅) M. (R, +)
N. (R, ⋅) P. (R*, ⋅) Q. (M2(R), ⋅) R. (C,+)
S. (C*, ⋅).��'���'$ ($ #W@ ,$ #�#�#-#>#X# �# Y#Z#�#�#?#�#�@
3. L; 4. C, G, H, J, K, M, P, R, S.
18.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ���5� 3
-����������*��)�&�$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'����������������&����������������&�
����8���������������������� ���������������������'��$
�����!4�'����6�'�����&���'�7�*�8����������������������8����������
������&�����������������������'�����%�$
I II
![Page 38: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/38.jpg)
38 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
_____($8�������'����������f:[1, 3]→R, f xx
( ) = +
1
2
_____,$8�������������������%�g: [0, 4]→R
≤<≤≤−
=���
���
xx
xxxg
,
,)(
_____/$8�������'����������h: [ -5, 7]→R,
≤<−≤≤−−
= ��
����� xx
xxxh
,
,)(
_____1$8�������'������*��)�&�
_____+$8������������������������)��<#
��'���'$($�
2. h
3. f, g, h
4. f, g, h
5. h.
5.1.3. Tehnica alegerii multiple
��'������"����&� ��� [ �$����"�# $������#(22.]������ �� �&�*��� ��&���&� '�&����� �&�%�& '� �&��*� �� ��'���' �����5�
&�'�� �� %������� �8����� ������ � '��*��� �����'�$ �&�%�& ���� '�&����� � ��
��'���' ������ ��&� ���� � '� ������# �� ���� � �& ���&[ ��'� ��� �� �����
���'�����# ���� ������# �<�'����� ���� premise "� � ���� liste de
������������� A&�'�� �� %������� ����� ���� '�&����&� �����&�� ��'�����%# '�)
8���� ���� ��%����# ������# '��)�&��� '�� 8�� �=$ �&�%�& ���)��� '� �&��*�
'��*�� ��'���'�& ������ '�� ��� ��� )��� %�������$ ��&�&�&�� ��'���'���# 6�
afara celui corect, se numesc distractori A%������� ���������# ��� �&�� �)�&� "�
paralele).
���������&�*�����&���&����8����&� ���������!
F��'�������� �&����&��6�%������#�����"�����&���'���&������&�%�!
O�����"������erminologiei;
O�����"������&������&��!8����&�#�����������#��*�&�@
O�����"�����������&��$
![Page 39: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/39.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 39
F��'�������� �&����&��6�%����������8&���������%�&�&�����������'�%
"���&�����%!
* abilitatea de a aplica teoria în rezolvarea problemelor;
* abilita������������������&������� �5�8���@
*�)�&���������9�'��8����&�*����������&��"���������&��8�&�'���$
�������������������
�=6����)����'�8���&��8����&���@
)= 6����)���� '� 8�� '���'� 6���5�� &��)�9 ����'��� ���� ��%�&�&��
�� %7�'�� � �&�%�&�� ������ ���� � 8�'� ���������� "� '� ��'���� �����
obiectivul propus;
�= 6����)���� '� 8�� 8����&��� 6� �"� 8�& 6��7� '� �� '�*��� �
alegerea uneia dintre variante;
�=��'���������'�8���&�� �)�&�"�����&�&�@
�= ��'���'���&� '� 8�� 8����&��� �orect din punct de vedere
gramatical;
8=��'���'���&�'���)�#���7���'�)�&#�����"�&��*���@
*=��'���'���&�'���8��'�������'�����'���6���&�'$
������ ���)��� ����� �� ����� 8����� ���� �� �����# ����&�&� ���� '�
��'���� ���&�"� �)�����%# &� �&�)������ &�� ��������7�� �� ����� ���� ��
'�����&�"��$��������'������'��� 8���� ��������'����8�������&����������
�'�*����������)�&�����������&�������&�"����$4��� �&�����&������'���'���
��&���&�'������������"����������'����&���'���'���&��*��"���A��'��������=$
?�� ����� 6� ���������� �� exemplu construit pe baza unui tabel de
'����8�����������&���*������������$
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��������� 3 �&�'� � �5� 3 �������� ��
�������������&�$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&���6��� �&%�����<�������&����*�&�
��6���&�����������&�� �����&�$
�����!4���&����,(#1��0#D.$
4��������"��&���������'��� ��������'���'�&�� corect:
A. 16,264 B. 141,084 C. 151,084 D. 1510,84
![Page 40: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/40.jpg)
40 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
��'���'�& ������ �'�� �@ �������� ��� ���� � ������ �� �&������ 6�
�����& 6���&�����#���������������*������# ��������������� ���������
virgulei.
��)�&�&��'����8������![Stenmark, 1991]Caracteristicile itemului ���)��������������
($ �������&� ���)&���� '� '� ��8���
&� 6���&����� � ���� ������
�����&�# � ���� 8������ '�� � ����
����� �����&���8������@
,$ ?��)&��� ���)��� '���'� 8�� '�)
8���� ���� ����� ����# 8�� '�) 8����
��� ����&�$ ���� �'�� ���&� ��� '�)
8���� ��� ����&�# ���������&� ���)���
'�'����8���B>�'��������'�& $$$T'��
B4���&����$$$T@
����� ��'���'���&� �����&�� ���)���
�&������ 6� 8������ �� %��*�&�# 6�
������ ���'������� '��
��'���'�������$
,$?�����&�������%�����'���'!
�=��'���'������@
)= �� ��'������� A��'���'�& *��"��=
%� ��8&���� � ������ �����'� 6�
�����&��*�������@
3. Unul dintre factori va avea trei
��8�� ��8����� �� D@ ��&�&�&� 8����� %�
�%�� ���� ��8��# ���� ������ ���'���
8������8�������D"����������+@
4. Fiecare dintre cei doi factori va
�%����&��������8������%��*�&�@
c) un distractor va reflecta o eroare
în timpul alinierii rezultatelor în
�����&6���&�����@
�= �� ��'������� %� �%������� �
eroare în omiterea virgulei sau o
������6��� ���������%��*�&��$
5. În produs nu vor fi mai mult de
�������8������%��*�&�@
.$ ��& ����� ���� *������ %�� 8�
necesare;
0$ 4� �&�*���� 8������&��# � ��8�� ��
%�8����&� ��������&����������$
���&��%����9�&���'�����)�&��'����8�������'��"����&���#6�'�������
6�����6�������������#�&��'�����&�"��%��8�'�&�������'�'�������&��"���������
![Page 41: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/41.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 41
����� ������ ��'����� ���&���"� �)�����%�# ����%�&���� %������&�� ����� �� ���
��9��&�)�����%�8��'�8�&���&� ���$
%����9�"�&�����
Avantaje:
F�����'��� ������%�������� �� �&�����&� 6�%������#�� &�'���&�
����"����� �7�� &� �� �&��� ����&�<�# )���8������ �� � 8����� ����
flexibilitate# �&����7�� ��'�)�&� ��)�*������ ���� ��� '� ����� &� �&�� ������ ��
itemi;
F '� ��������� �� � ������5� ���� fidelitate$ ?����� �� ������&
%�������&�� � ���'��� �� &� ���� A���%��38�&'= &� ����� '�� ��� ��&��#
8�������&��B*������T���'���'�&���������'��6���'���"�������'�����)�&�#
������7��&����"�����8���&������$
F'�������8��������"����"������@
-&�<�)�&������ &�� ���'�)��� �������� ��� 6� ����������� �� �)������ �
����*���&��*����� �&�����&�6�%������ 8����� ���������&�*�����&���&�'�
8����'���&� ���#���&���'��'�������� ���8���������'�6�6����*�������'�8�&
de itemi.
Limite:
F�'��8������"�������'������������'&�)���&�����@
F����'�������������������&�)�����@
F��'��� �#�����������#��%�&�&���*����%���8�������@
F������#6����&�'�������#*���������'���'�&��@
F���&� �����)� �%�����'���������������&�8���&���� �����&�%�&����
����'�� ������� �� ��'����# �%7�� ��������'���� �'���� ����&�� &�� ��
6�%�����$
Exemple de itemi
1.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��&����
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ��������&� �� �����'����� "� ��
��8�������������&����$
�����!�����'��������������&���&������������!
M={7,10,11,13,14,16,19};
N={4,7,9,10,11,12,14,16};
P={6,9,10,11,12,15,17}.
![Page 42: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/42.jpg)
42 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
���� '��� ������&� ��������&����&�� � "� �# ��� ���� �� '� �8&� 6�
��&�����?E4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$
A. 7, 10, 14, 16, 11
B. 6, 10, 15, 17
C. 7, 14, 16
D. 10, 11.
��'���'!�$
2.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��&����$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������ ��8������ ��8������� �
������&����$
�����!4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$
(=�����J\(#,#/#1#+R"��J\/#1#+#.#0R�������F�J
A {6,7} B {3,4,5} C {1,2} D {1,2, 6,7}
,=�����J\(#,#/#1#+R"��J\(#,#/#1#+#.#0R�������F�J
A {0} B ∅ C {6,7} D {1, 2, 3, 4, 5}
/=�����J\(#/#+R"��J\,#1#.R�������F�J
A {1,2,3,4,5,6}
B {2, 4, 6}
C ∅ D {1,3,5}
��'���'!(=�@,=�@/=�
3.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��&����
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'�� �������� �� �����'����� �
������&����$
�����!4���������&���������'��� ��������'���'�&��������$
�����J\(#,#/#1#+R"��J\/#1#+#.#0R�������∩N=
A {1,2,6,7} ; B {6,7} ; C {3,5,4} ; D {1,2}
��'���'!�������$
4.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3������������&�$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&����������6�������������'�$
![Page 43: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/43.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 43
�����! �� '� �8&� ������&� ������&� ������'� 6���� /DDD "� 0DDD ����
6��������#���7��&�((#(/"�,/�����'��&2$
4���������&���������'��� ��������'���'�&��������$
A. { 3298; 6596}B. { 3280; 6587}C. { 3280; 6569}D. { 3298; 6587}��'���'$�������$
5.
��'���&��� 3�&�'� 3������&�&! &*�)�� 3�&�'����5� 3������� �� 8����
ax+b=0, a,b∈ R, x∈ R.
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��� �&%�����������8�����x+b=0.
�����!�� �&%��������6�R : ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� =
−⋅⋅−⋅−⋅ x .
4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$
A. –9; B. 15; C. –15; D. imposibil.
��'���'$�������$
6.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'����5�3?��������$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �8&� �� ������ ������'��� �����5�
���������$
�����!�����
� �
�
� �+=
+, atunci b este egal cu:
A. ��
��; B.
�
�; C.
11
2; D. 2; E. 6.
4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$
��'���'$�������$
7.
��'���&���3�&�'�3������&�&!>��������3�&�'����5�3������'���&��
unghiurilor unui triunghi
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������� ��8�������� &� '���
��'���&����*�����&�����������*��$
�����! ����6�8�*��������9�':��;≡[BD]≡:��;#"��A∠ EBD)=40o atunci
m( <) ���=�'���*�&���!
A. 95°; B. 75°; C. 105°; D. 115°; E. 120°.
![Page 44: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/44.jpg)
44 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
� ��
�
�
���
4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$
��'���'$�������$
8.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3?�������$
�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� ���&� � ��������� 6� �� �&%���� ����
probleme.
�����!��'����������������&�������"�) A�>)="�������&������&
�"��������H�����'���*�&��)$
A. a=5; b=2; p=40 sau a=5; b=3; p=60
B. a=5; b=2; p=40 sau a=7; b=5; p=71
C. a=5; b=3; p=60 sau a=3; b=2; p=66,(6)
D. a=11; b=5; p=45 sau a=7; b=3; p=43
4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$
��'���'$������ $
9.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���������&�$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������ ���������&�$
�����!��&��&���! ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 4 2 4 2 2 22 2 2
− + − + − + −
4��������"����'���'�&������$
A. 4 2 8− ; B. 2; C −4 2 ; D. 0.
��'���'�������$
10.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VII-a / Cercul.
�)�����%�&!�&�%�&%� 8�����)�&'���&��&� ���'�����*���&�� 6�'���' 6�
cerc.
�����! �����*���& �� �'�� 6�'���' 6���5�� ���� C de centru O.
Diametrul AA/ al cercului C �����'����� � )�'�������&� ���������� �&�
unghiurilor ∠ ��"� ∠ ��# ��'�����% 6� ������&�� "��$���� � �'�� ������&
![Page 45: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/45.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 45
�����&�� 6�'���' 6� �����*���& ��# '��)�&��� 6� ���� ������ �� ���&� ���������
triunghiul EDI este isoscel.
A. m(∠ B)=90o; B. m(∠ B)=30o; C. m(∠ C)=45o; D. m(∠ ABC)=
m(∠ ACB).
4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������.
��'���'$�$
11.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3�������"�'�'����
���������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������ ����6��&��'�&����&������������
date.
�����!4��&���&<�N��&�����������&���&����������������
(x; y)∈ RxR%���8����*�&������! x + y-1 J(8����� �!
!���&����8�������������������
�$�&����8�7�����'���'�
�$��������
�$��������$
4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$
��'���'�������$
12.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'������5�3���������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��� �&%���'�'��������������$
�����!�� �&%������������&�!
������������'�������������&����&�'�&����&���)������$
4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$
A. [11;14] ; B. { 11; 12; 13; 14} ; C. R; D. [14,+∞).��'���'������ $
13.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a / Corpuri
rotunde.
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&��&� �%�&���&�������$
( ) si��� +≥− xx
( )( ) ( ) ����� −+≥+− xxxx
![Page 46: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/46.jpg)
46 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
�����! �� '� �8&� %�&���& ���� ��� �����&�� ����� ������ ����
��'8�"������'����8���� &�����&��'����'���������'�����*���&����'���
120o"����� ���&��*���/��$
4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$
A. 18 2 cm3; B. 18 2π cm3 C. 79,6932 cm3 D. 54 2π cm3.
��'���'�������$
14.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ����"�����&� ��'��� ������
8�����������������������&6�'�����&8������&��$
�����! �� ���'����� 8������ ƒ:N→:D@(= ��8����� ���� ƒ(n)={a·n}, ∀ n∈ N
unde a∈ R "� \<R ����� ���� ������ 8���������� � ������&�� ���& <$ -������ ƒ�'����9����%�����"����������!
A: a∈ Q ; B: a∈ R–Q; C: a∈ R.
4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$
Rezolvare:
���� ƒ �'�� ��9����%� ���'������ �� �∈ Q, a=�
�, p∈ Z, q∈ N*, (p,q)=1,
ƒ(n)={ �
�⋅n} , ∀ n∈ N, avem ƒ(0)=ƒAV=������������$�����∈ R–Q.
���� �∈ R–Q ���'������ �� ƒ �� �'�� ��9����%� ���� ∃ m,n∈ N, m<n
astfel încât ƒ(m)=ƒ(n) ⇒ {a·m}={a·n} ⇒ am–[am]=an–[an] ⇒ a(m–n)=[am]–[an]
⇒ a=���� ���
�
−−
∈ Q#������������$����ƒ�'����9����%�$
��'���'�������$
15.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3��&����"�8������$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ��9����%������ "�
'��9����%����������8������$
�����!-��8!�→R, f(x)=x7+x+2, atunci:
($8�'����9����%�
,$8���'����9����%�
/$8�'��'��9����%�
1$8���'��'��9����%�
+$8�'��)�9����%�"�8-1(2)=0.
4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&�����%�����$
��'���'$�������%������8�������&�!(#/#+$
![Page 47: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/47.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 47
�����*A<=J<7"��A<=J<L,$-������&�'���'��������'�������"�8J*L�⇒ f
'��������'�������⇒ 8��9����%�$
Fie y∈ R, f(x)=y ⇔ x7+x+2-y=0. Cum orice polinom de grad impar cu
���8������� ���&� ��� ��& ����� � �������� ���&� �� �&��# �� �<�'�� <0∈ R cu
f(x0=JN#����8'��9����%�@8AD=J,⇒ f-1(2)=0.
16.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ��9����%������#
'��9����%������ ���� 8������ "� '� ��������� ��������&� �� �<�'����� � ��%��'��
���������'��8������$
�����!�����'�����8������&�8#*!N→N definite prin
f(n)=n+1, g(n)=0 0
1 1
,
,
dacã n
n dacã n
=− ≥
4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&�����%����������9�'!
$8�'����9����%�"����'��'��9����%�
�$8�'��'��9����%�"����'����9����%�
�$*�'��'��9����%�"����'����9����%�
�$*�'����9����%�"����'��'��9����%�E. g f N� = 1
F. ( )g f f g� �− − −=1 1 1 .
��'���'$�������%������8�������&�! #�#�$
0∉ Imf; g(0)=g(1) f-1"�g-1 nu au sens deoarece f "�g nu sunt bijective.
17.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'���5�3?�����"�������&�
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� '��)�&��'�� ����������� ���� �����
���&����&������������$
�����!�����'�����������&���&<J 5 2 13 5 2 133 3+ + − , atunci:
A. x∈ N
B. x∈ Z-N
C. x∈ Q-Z
D. x∈ R-Q
4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$
��'���'$�'�����%������8������� $
�����7�� &� ��) '� �)���� ������� �� *����& ��� ! <3+9x-10=0, x1=1,
x2,3∈ C-R. Deci x=1.
![Page 48: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/48.jpg)
48 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
18.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���*��������� 3 �&�'� � ��5� 3 -������
trigonometrice.
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��������� �<�����&� ���� 8������
trigonometrice.
�����! �� ���'����� 8������&� 8!�→R, f(x)=asinx+b��'< "� *!AD#π/2)→R,
g(x)= sin cosx x3 35⋅ , unde a, b∈ R.
$������&8�������8�'��5 a b2 2+�$��<���&8�������8�'��a+b
�$��<���&8�������8�'�� a b2 2+
�$��<���&8�������*'��)����6�<J���'��5
14
�$������&8�������*�'��D$
4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&�����%�����!
��'���'$�������%�����! #�#�$
19.
��'���&���3�&�'�3������&�&!>��������3�&�'����5�3��&�����������$
�)�����%�&!�&�%�&%� 8�����)�&'���&��� ��������������� 6�'��)�&����
unui loc geometric.
�����!
Fie ABCD un dreptunghi în planul α. Locul geometric al punctelor M∈α����%���8�����&����!� 2+MC2=MB2+MD2 este format din:
A. centrul dreptunghiului
B. planul α�$���������&'����8�����������*���&���$
4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$
��'���'$ 8����������%������'���$
���� � �'�� ������& �������*���&��# �� �'�� ������� 6� �����*�����&�
���"�� �$ �&��7������������������)�����!
4
)(2
4
)(2 2222222 ACMCMABDMDMB
MO−+=−+= .
��� �J���� �&����&��������$
20.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! &*�)�� 3 �&�'� � �5� 3 -������
�<��������&�"�8������&�*��������$
![Page 49: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/49.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 49
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��&� � �� � �����&� �<���� ��
��������&����6������������'����6���5�������%�&��&��*���(D-1.
�����!-�������&� � ��)&�&��� &�*��������&��&��� ��� �����&��<����
������&lg2.
4���������&���������'��� ��������'���'�&��������$
A. 0,1; B. 0,3; C. 0,5; D. 0,4.
�����'$ 8���������������'���$
�������∈{ 0, 1, 2, ..., 9} astfel încât p
10 <lg2 < p +1
10⇔
1010
p
<2<101
10
p+
⇔ 10p<210<10p+1 ⇔ 10p<1024<10p+1 ⇔ p=3. Deci
lg2=0,3... .
21.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'���5�3����������&�<�$
�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� �� �&%� 6�C ��������� �� ������� &�
�������������)��&'�7�*�&��'�8����������&$
�����!4�C��&�����'�&����&������������ 2+z≤0 este :
A. [ -1,0] ; B. { -1,0} ; C. ∅ ; D. [ -1,0]∪{ − 1
2+bi / b∈ R} .
4��������"��&���������'��� ��������'���'�&��������$
��'���'$�'�����%������8��������$
����C, ar fi corp ordonat, cum i≠0 ⇒ i>0 sau i<0.
Pentru i>0 ⇒ i2=-1>0 ! Pentru i<0 ⇒ -i>0 ⇒ (-i)2=-1>0!Fie z=a+bi ⇒ z2+z=(a2-b2+a)+bi(2a+1) ∈ R- ⇒ )A,�L(=JD "� �2-b2+a≤0.
���)����![ -1,0]∪{ − 1
2+bi / b∈ R} .
22.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a /
?���������&�������6�'�����$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��������'����&��*��������$
�����! ����������&�������&�&�α "�β '������ &���'�������( ��$
���&*���������&������&������'���������������'�����'�����&��&���&�
�����&����'����+���'��8��������!
A. do������������&�&�
B. un plan γ paralel cu α"�β�$�����&�������&�&���α"�β.
4��������"����'���'�&������$
![Page 50: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/50.jpg)
50 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
��'���'$�'�����%������8��������$
23.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'���5�3��&������������$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� ������ ���'�����%�
neprime.
�����!-���8�������&�!
A. ∀ m∈ N*, ∃ q∈ N*, q>� "� V ������ ���'�����%� ���� '���
compuse.
B. ∃ m∈ N*�'�8�&6��7����<�'�������&�������������'���5
tive care sunt numere compuse.
4��������"����'���'�&������$
��'���'$�'�����%������8������� $
��� ������� &�� ���&�� A "���& ������&�� ����� �'�� ��8����= �� �&�� ��
�<�'��������>�L,"����'�������J,⋅3⋅5...p .
������&� �L,# �L/# �L1# $$$# �L� '��� ���'�����%�# ������� "� '���
p-1>m+1>m.
24.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! &*�)�� 3 �&�'� � ��5� 3 ��������
����������$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� �&�� %������� �&� ���������
matematice.�����!�����'�������&�����! J{ n∈ N/∃ p,q∈ N astfel încât n=3p+5q } .
Atunci:
M. A={n∈ N/n≥8}
N. A={n∈ N/n≥8}∪{ 0, 3, 5, 6}?$�&��'�������$
4��������"����'���'�&������$
��'���'$�'�����%������8��������$
0, 3, 5, 6∈ A. 8=3⋅1+5⋅1, 9=3⋅3+5⋅0, 10=3⋅0+5⋅,$ ?��'������ ��
�J/�L+V"����������L/��������"�8����$
n+3=3(p+1)+5q deci n+3∈ $ ���8��� ���� %������� � ���������
������������ �&����∀ n≥8, ∃ p,q∈ N astfel încât n=3p+5q.
�������$�������������&����&�!�J{ n∈ N/∃ p,q∈ N* astfel încât n=3p+5q}C={ n∈ Z/∃ p,q∈ Z astfel încât n=3p+5q} .
![Page 51: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/51.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 51
25.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! &*�)��3 �&�'� � ��5� 3��������
����������$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� "� '� ������� ��8�����
medii numerice.
�����!-��<1, x2, ..., xn∈( 0, +∞)"�
Ma=x x x
nn1 2+ + +...A���������������=
Mg= x x xnn
1 2⋅ ⋅ ⋅... A�����*���������=
Mh=n
x x xn
1 1 1
1 2
+ + +...A�������������=
Mp=x x x
nn1
222 2+ + +...
A��������������=
Atunci:
A. Mg≤Ma
B. Ma<Mg
C. Mh≤Mg
D. Ma≤Mp
E. min{ x1,x2,..., xn}≤ Mh≤ Mg≤Ma≤Mp≤max{ x1,x2,..., xn}4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&�����%�����!
��'���'$�������%������8�������&�! #�#�#�$
26.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ��5� 3
-����������%�)�&�$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&�������%���&�6���&��&�&����&�����
��8������$
�����!-��L = − ⋅ ⋅→x
x x x x
x0
3
5
6 2 3lim
sin sin sin atunci:
A. L=14
B. L=12
4��������"��&�����&�����'��� �������8�����������%�����!
��'���'$�'�����%������8������� $
Mai general: ( )( )
x
n
n
n x x x nx
xn
n n n
→ +
⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅+ +
02
2 1 2 1
36lim
! sin sin ... sin! .
![Page 52: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/52.jpg)
52 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
27.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ��5� 3
Numere reale.
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��������������������������&� A6���
������'���<�'��=�������8���������������$
�����!-���8�������&�!
$�����8�������������������������������������&�$
�$�<�'��8������������������������������������������&�$
�$-������8!�→R, f(x)=sin2π<�������������������&��J($4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&�����%�����$
��'���'$�������%������8�������&��"��$
-������ &�� ������&�� 8!�→R, f xx Q
x R Q( )
,
, /=
∈∈
1
0 �'�� ��������� ��� ��
�������������������&�$
28.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ��5� 3
-��������������$
�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� '��)�&��'�� ���� � 8������ ���� �'��
��������$
�����!����������������&�8������'������8������������������%�&�&�
indicate :
a) ƒ(x)=x3 pe [0;1] b) ƒ(x)=x3 pe (0;1)
c) ƒ(x)=x3 pe R. d) ƒ(x)=���
pe (0;1)
e) ƒ(x)=sin���
pe (0;1) f) ƒ(x)=x2·sin�
� pe (0;1]
g) ƒ(x)=tg x pe [0;π/4] h) ƒ(x)=tg x pe [0;π/2)
i) ƒ(x)=���
� pe (0;π/2) j) ƒ(x)=
�
�� − pe (0;3)
k) ƒ(x)=�
�� − pe (4;+∞).
��'���':
�������8�����������8������&���8�����&�������&�!�=#)=#8=#*=#�=#K=$
29.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ��5� 3
-��������������$
![Page 53: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/53.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 53
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ����������� �&� 8������&��
continue.
�����!-���8������8!AD#(=→���������������!
$8�'�����*�����
�$8�'�����������
�$8�'����������
D. Imf = R
E. Imf = J interval inclus în R
4��������"��&���������'��� �������8�����������%�����!
��'���'$�'�����%������8��������$
30.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ��5� 3
-����������%�)�&�$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������� �� ��������� ��� �
��������&����&���&��&�����8��������&������&�$
�����!�����'�������&�����&8J11 2
2
+ + + +x x x
n
n
! !...
! atunci:
$8����������������'���&�
�$8���������������������&���&�
�$8��������������'���&�"���&���&�$
4��������"��&���������'��� �������8�����������%�����!
��'���'$ ��%������'���8������� $
31.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �3�&�'����5�3���������&�$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������� �'��'���9��� ��'�������$
�����!�����'�����������&�J11
2
1
3
1
50!+ + + +
! !... .
�������������������&��8�������'������%�����E
A. a>1; B. a∈ (1,2); C. a>2.
��'���'$ ��%�����'����8�������&� "��$
Metoda I. 1<a<11
2
1
2
1
2
1
2
11
2
11
2
2 3 49
50
+ + + + + =−
−... <2.
Metoda II. 1<a<11
2
1
3
1+ + + +! !
...!n <e-1<2, ∀ n≥51.
![Page 54: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/54.jpg)
54 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
32.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3������������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������ � ����������������'������
�'���������������&���������$
�����!�����'��������������J2 3 4
1 5 7
. Atunci:
A. MT=
2 1
3 5
4 7
; B. det(M⋅MT)=detM⋅detMT; C. det(M⋅MT)=150;
D. det(MT⋅M)=0.
4��������"��&�����&�����'��� ��������'���'���&���������$
��'���'$ ��%�����'����8�������&�! #�#�$
���� "� ����T �� �� '��' �������� ������������& '� �'���� � ����
����������������$
M⋅MT=29 45
45 75
; MT⋅M=
5 11 15
11 34 47
15 47 65
33.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���&�"��������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�����������&��������%��'�)�&�
într-un inel de clase de resturi.
�����!4��������&A]9, ⋅=�����U(Z9, ⋅)={ �� ZxZx ∈′∃∈ ˆ/ˆ astfel încât �ˆˆˆ =′⋅′=′⋅ xxxx } .
A. (U(Z9), ⋅=�'��������"����'��*���
B. (U(Z9), ⋅) este grup
C. U(Z9)={ �, � , � , � , , � }D. (U(Z9), ⋅) ≅ (S3, ⋅) E. (U(Z9), ⋅) ≅ (Z6, +).
4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&���������!
��'���'$������������8�������&�!�#�#�$
a ∈ Z9 �'�� ��%��'�)�&�⇔ (a, 9)=1. Grupul (S3, ⋅) este necomutativ iar
grupul (U(Z9), ⋅) este comutativ.
34.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���&�"��������$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ������8��� ����������� �&�
������������&��$
![Page 55: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/55.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 55
�����!�����'����������������&������������6����*�!
A=
124 111 97
286 321 454
998 532 196
−
.
$���A =�'����������
B. det(A) se divide cu 3
�$ �'����%��'�)�&�6�M3(Q)
�$ �'����%��'�)�&�6�M3(Z)
�$ �'����%��'�)�&�6�M3(R).
4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&���������!
��'���'$������������8�������&�! #�#�$
detA=2⋅62 111 97
143 321 454
499 532 196
−=2k.
În (Z3, +, ⋅), det� � �A = ≠1 0 ���� / �� ��%��� ��� "� ��� ≠D ����� �'��
��%��'�)�&�6�M3AW="�M3(R).
U(Z)={ -1, 1} deci A∈ M3A]=�'����%��'�)�&�⇔ detA∈ U(Z). Cum 2 divide
��� �� �&����� ∉{ -1, 1} ����� ���'����%��'�)�&�6�M3(Z).
35.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ���5� 3
Calcul de integrale.
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&�����&��&�&��������������*��&�$
�����!-������� ����&�!
A. ∀ x∈ (0,π/2), ∀ n∈ N*, xn �� +sin < sin2n x < sin2 1n x− .
B.
( )
( )∫∫
+=−
=⋅−
==�
�
�
� ���
��
��
m
�
m
kmm
m
km�
m
m
xdxxdx;
!!
!!
,!!
!!
cossin
C. ( )
( )2
2 1
n
n
!!
!!+<( )( )
2 1
2
n
n
− !!
!!⋅π2<( )( )2 2
2 1
n
n
−−
!!
!!, ∀ n≥2
D. αn=( )
( )2
2 1
1
2 1
2n
n n
!!
!!−
⋅
+< π
2<
( )( )
2
2 1
1
2
2n
n n
!!
!!−
⋅ =βn ,( αn)n'��������'�����
"���9����$
E. n
n n→+∞
− =lim ( )β α 0 "�n
nn
n→+∞ →+∞
= =lim limα β π2
.
4��������"��&�����&�����'��� �������8�������&�����%�����!
![Page 56: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/56.jpg)
56 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
��'���'$����������8�������&����%�����$
5.2. Tehnici de testare – Itemi semiobiectivi
Descriere [ �$����"�# $������#(22.]?��� ����� �� ��'���'�&�� �� ���� �� �&�% �'�� '�&������ '� ��'����� &�
������'����)�����%#'��� %�&��!
(=���8�� ����6���&�*�����������&��6�%�����@
,= �������� �� ������� ���������� 6���5�� ���� ��� �&��� ���7� � 8�'�
�)�"�����7������@
3) claritate în exprimare.
Timpul necesar de rezolvare în general a itemilor semiobiectivi fiind
����' 8��� �� ������ �� ��'���' ��'���'# '� ��� ��&��� 6� �����"� ������� ��
����A����'������&�%�&��=���������������� �������������%���8�����
����������������������"�����"������������������&�%��&���'���$>����&
����8���&����6������&8��������������)���'�8�����'���������������&��
��������������'����������������������&�%�$
Itemii semiobiectivi sunt de tipul:
F6����)�������'���''����3������&�����
F6����)���'����������$
���� ��!����������������������������� ���
Descriere
������ �� ��'���' '����3�� ����&����� '��� ��� ���� ���� �&�%�&�� � '�
���� '� �8��� �� ��'���' A'����= 6� ����&������ &�� '�� � ����� ���������� �
�����8�������#�'�8�&6��7�����'��'�������'��'"�%�&���������%��$
F ��'���'�& ����� �&�%�&�� �'�� &������# �� '�����# 8���� "� ��������# ��
'��������6����)����@
F'�������'����������'����������@
F &�)������� �&�%�&�� �� � ����*��� � ��8������� ������� "� �� � �8���
��'���'�&6�8�����������'������'�@
![Page 57: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/57.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 57
F ������ � �8��� ��'���'�& ������# �&�%�& ���)��� '� �����'��� � ��
����������"�����#���"��)�&���������'��������#�&�)�����&��������%��"�
'������'���'$
����������'���''����&�����&�%�&��'��8�����'���'�&'�)8��������
����� ����# 8�� �# � ���� ��%7��# �����# '��)�&$ ������ �� ����&����� '�&�����#
6�*�����&#�������'���'�������&'��������%����#����'�'�6������ �6�
contextul-suport oferit.
��8��������8��������������'���������6������&�� '�8�&�'�"���
6����)����������#���6��&���&����8�������������&���$
�������������������
F������&&�)��8���� ��'�'�*��� �������'���'�&%������������%7��
'�� ��� ��&�� A�� �<���&�# ����� ���� '�� 8�� �=$ ���� ��� ��&�� ��%����
���)��� '���'�# ������ '�����&� &�)��� %�� �%�� �����"� &��*��� ������ � ��
�8����&�%�&������������%�����'���'�&$
F�������&�����'���A����������#K�&�*�������$=%��8������ �����7�6�
6����)����7�"�����'�����& &�)��$ ���'����%�'�*���������'���'*��"��
��� ������ �&�%�&�� �� '� ������� � ���� ����� �� ������ '�� 6���&�*��� �
6����)����$
F �� ��<� �<�'���� 6������& �� �'�� ������� '� 8�� 8�&�'�� ������ � ��
6�����9������������������$
%����9�"�&�����
Avantaje:
F'������&� 6��%�&���������"�����&��"���'���������&����7�'���&�
�������"����"���������@
F'�&�������������*�������������6����&� ������'���'�&��@
F ������ �%�&����� ���� ����� ��� ���� �� ��������# ��������� "�
����������@
F '������ '���������� "� ��'���'�& '���� ����� �%��� ��8&������&��� ������
���)�&�����@
F���6�����9���'����������8���6����8����'����8���@
– nu cer foarte mult timp pentru construire;
![Page 58: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/58.jpg)
58 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
5'�������� ���'��&���"��"���&���%�)�����%#����'��&�)���� ��
'�����������������%���$
Limite:
F �� '��� ����%��� ������ ��'������ ����������&�� ����&�����&�
superioare (rezolvarea de probleme, analiza, sinteza);
F ��'���'�& 8����� '���� ����� ����� ����)�# ������# �� %�&�����
�)�&�����&������&�<�@
F �'�� ����'�� �� ����� ��� ���� �� ����� ������ 8������ ��� ��
��������#���7�6��� �&�����&���)�����%�$
Exemple de itemi
1.
��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'���5�3��%� �)�&�����$
�)�����%�&!�&�%�&'������'����������&�����%� �)�&�����$
�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������
���%�����!
�=�������������&�'����%� �)�&��+����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
)=�������������&�'����%� �)�&��,����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
�= �� ����� ������& �'�� ��%� �)�& �� / ����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$��8��&��
sale......................... .
�= �� ����� ������& �'�� ��%� �)�& �� (D ���� ������& 8�����
................................ .
�� �&%���!�=������� ������& �'����%� �)�& ��+���� �&������8�� �
������&���'��D'��+$
)= �� ����� ������& �'�� ��%� �)�& �� , ���� �&���� ��8�� � ������&��
�'����8������$
�=�������������&�'����%� �)�& ��/���� '�����8��&�� '�&��'����
�������%� �)�&��/$
�= �� ����� ������& �'�� ��%� �)�& �� (D ���� �&���� ��8�� � ������&��
este zero.
![Page 59: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/59.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 59
2.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VI-a /Triunghiul.
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �&�'�8��� �����*�����&� ���� ��'���&�
unghiurilor sale.
�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������
���%�����!
�=�������*����������*��������*�������'��$$$$$$$$$$$$$$$
b) Un triunghi cu un unghi drept este.................... .
c) Un triunghi cu toate unghiurile congruente este....................... .
�� �&%���!�=�������*����������*��������*�������'���'�'��&$
b) Un triunghi cu un unghi drept este dreptunghic.
c) Un triunghi cu toate unghiurile congruente este echilateral.
3.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VII-a / Patrulaterul.
�)�����%�&!�&�%�&'�"��������������&������&�����&��$
�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������
���%�����!
�= ?����&�����& ���%�< �� &�����&� ���'� ����&�&� ���� �6�� ���� �'��
....................... .
b) Paralelogramul cu un unghi drept este ......................... .
c) Paralelogramul cu diagonalele ...................... este romb.
�=����� �&����*�����&����*������#�&�����������)� �#�'��$$$$$$$$$$$$
Rezolvare: a) paralelogram, b) dreptunghi, c) congruente, d) isoscel.
4.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a /
Paralelipipedul.
�)�����%�&!�&�%�&'�"��������������&�����&�&�������&��$
�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������
���%�����!
�� �&���������&�&�������� 8������ $$$$$$$$$$$$$$$$$$ "� 8���&� &�����&���
forma de .................... .
�� �&%���! �� �&� ���� ����&�&������ �� 8���� �� ����&�&�*���� "�
8���&�&�����&���8����������&�&�*����$
![Page 60: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/60.jpg)
60 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
5.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � ��5� 3 �������
trigonometrice
�)�����%�&! �&�%�& '� ��������� ���*���� ���� 8������ ���*����������
date.
�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������
���%�����!
-������ ƒ:R→R, ƒ(x)=sinx+cosx# ������ �� $$$$$$$$$$$ �� ����� "� ��
.......... ca maxim.
�=�������!'��x+cosx= �
� �����'�&������������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
)=�������!'��x+cosx= � ���'�&������������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
Rezolvare: ƒ2(x)=1+2sinx·cosx=1+sin2x≤2 deci m=– �≤ƒ(x)≤ �=M;
� = fπ4
"�- � = f5
4
π
.
a) Cum �
�> � ����������������'�&����$
b) �
�
�
��� �� � ���� �+ = ⇔ sinx·cos
π�
+sinπ�
·cosx=1 ⇔
⇔ sin x +
π4
=1 ⇔ x+π�∈ π π
22+ ∈
k k Z ⇔ x ∈ + ∈
π π4
2k k Z sau
� ∈ Im f.
6.
��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3-������
�)�����%�&!�&�%�&'�"�����������&��� ��%��'�)�&���������� 8������ ���&�
��%����)�&����&�$
�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� � �8�������
���%�����!
�8������ƒ:R→R�'����%��'�)�&�����"�������������'��$$$$
Rezolvare: ƒ��%��'�)�&�⇔ ƒ)�9����%�$
7.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � �5� 3 -������
�<��������&�"�8������&�*��������
�)�����%�&!�&�%�&%� 8�����)�&'� ��8����'�� 8��������������"�'��
��&���6��� �&%����������������<��������&�$
�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������
���%�����!
![Page 61: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/61.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 61
�8������ƒ:R→R�'��'��������'����������� ∀ x1,x2∈ R cu x1<x2 �� �&��
............
���� ƒ �'�� '����� ���'�������# ������� ƒ(x)=a, unde a∈ R are ........
'�&����$
f(x)=2x + log3x + 5x �'��'��������'���������������$$$$$$$$$$$$$$$$$
Rezolvare: x1<x2 ⇒ ƒ(x1)<ƒ(x2); ƒ(x=J������&��&��'�&����$
-������ ƒ(x) = 2x + log3x + 5x �'�� '����� ���'������� 8���� '��� � /
8������'��������'�������$
8.
��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3?��������
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��&� � ������& �� ��%��'���� "�
'����&��������������$
�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������
���%�����!
Fie σ=1 2 3 4 5
2 3 1 5 4
∈ S5$ ��&��&��� �Aσ= "� ε(σ= ����� $$$$$$$$$$$$$ "�
.............
��'���'!�Aσ=J������&����%��'����@�Aσ)=3.
ε(σ=J'�*����������������σ ; ε(σ)=–1.
9.
��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3������
�)�����%!�&�%�& %� 8� ����)�& '� 8����&� ������������ �&�����"����� ��
numere reale.
�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������
���%�����!
(=�����"�����%��*����'��$$$$$$$$$$$$$$$$$
,=�����"������������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
/=�����"�������*�����'��$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
1=�����'�)"���&����"�������&��������$$$$$$$$$$$$$
+=���� �� "�� ������� ���� '�)"����� ce au limite diferite atunci
………… .
.=�����"���������"����*�����'��$$$$$$$$$$$$$$
��'���'!(=���*����$,=&�����$/=��%��*���$1=�����"�&�����$+="���&
�����&�����$.=���%��*���$
![Page 62: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/62.jpg)
62 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
10.
��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3������������
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� 8����&� �����'�&�� � ,
��������������������&,���&���������&�$
�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������
���%�����!
1. Fie A,B∈ M2(R=���������&����&����!���A I�=J$$$$$$$$$$$$$
,$���� I�JD2�������8�������! JD2 sau B=02 este ..........
��'���'! ($ ���A I�=J��� I����$ ,$ ��'���'�& �'�� 8�&'$ ��
contraexemplu este furnizat de : A=2 0
0 0
≠02"��J
0 0
0 1
≠02 dar A·B=02.
11.
��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3������������
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ����������� �&� ������&��
����&�<�"�������������&�������������&��$
�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������
���%�����!
����z=a+bi∈ C, atunci z=� ����"����������$$$$$$$$$$Fie A= ( )a ij 1 i 3
1 j 3≤ ≤≤ ≤
∈ M3(C= �� ������������ �� � j i=�LM , ∀ 1≤i≤/$ 8�������!
det(A)∈ R este ............... .Rezolvare: z=� ⇔ z∈ R ; aii=�LL , 1≤i≤3 ⇒ aii∈ R.
Astfel : det A =
� � �
� � �
� � �
�
� � �
� � �
� � �
7
�� �� ��
�� �� ��
�� �� ��
�� �� ��
�� �� ��
�� �� ��
= =�� =�� � deci det A∈ R
�'����8����������%�����$
12.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � ���5� 3 ��&� �
����������3����*��)�&�����
�)�����%�&!�&�%�&%� 8�����)�&'���&�������������������*����������
8������6�'��)�&����������*��)�&���������'����$
�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������
���%�����!
-��8������ƒ:[0,1]→R, ƒ(x)=α ,
ln , ( , ]
x
x x
=∈
0
0 1 α∈ R.
![Page 63: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/63.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 63
���[
[
→>
��
ƒ(x)=………... deci ƒ nu este ...............∀α∈ R# �� �&�� ƒ nu este
����*��)�&�$��'���'! ���
[
[
→>
��
ƒ(x)=–∞ deci ƒ���'�����*����� ∀α∈ R# �� �&��ƒ nu este
����*��)�&�$
13.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � ���5� 3 ��&� �
����������3����*��)�&�����
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'����������������&�����'������������
��'���� ������ 8������ ����#�������������&���)�&������ 8����&�� &����)�� 5
��S������������8�������'������*��)�&�$
�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������
���%�����!
-������ ƒ:[–1,1]→R, ƒ(x)=x x
x
,
,
≠=
0
1 0 �'�� ����*��)�&������ �'������
��&���8����&�&����)�� 5��S�����������$$$$$$$$$$$$$Rezolvare: �s(0)=�d(0)=0≠ƒ(0) deci x=0 este punct de discontinuitate
�� '���� � ⇒ ƒ nu are proprietatea lui Darboux ⇒ ƒ nu admite primitive ⇒��������&���&��������������&����)�� 5��S�����'���6����&�����$
14.
��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'�����5�3���&�
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ��������&� �� ������� "�
6���&�������&�'�����'����6���5�'���������&*�)��������'����$
�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������
���%�����!
����������&*�)��������� ������������&���&AZ8,+,·) este .........
Rezolvând în Z8�������! � � �3 1 42x + = �)�����'�&����$$$$$$$$$$$$$$$$$
��'���'!���&��������%"�������$ { }� � �,�,�,�3 3 1 3 5 72x x= ⇒ ∈ .
15.
��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'�����5�3���&�
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� 8������ ��&������&�
�'������ ���� ��&������� "� '� �)'��%� ���'�)���� ������ ��&����"� 8������
��&������&��'������$
�����! ����&���� � '�����&� �������� �'�8�& 6��7� '� �)��� �8�������
���%�����!
![Page 64: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/64.jpg)
64 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
4� ���&�& ��������% "� ������ AZ2:�;#L#I= '� ���'����� ��&������&�ƒJ�"�g=X3$����������� 8������&���&������&�
~f "� g~ asociate polinoamelor ƒ
"�g$�����������ƒ"�g sunt .............. iar ~f "� g~ sunt ..............
Rezolvare:~f :Z2→Z2; ~g :Z2→Z2.
~f (
�0 )=
�0= ~g (
�0 );
~f (
�1 )=
�1= ~g (
�1 ), deci ƒ
"�g sunt distincte iar ~f "� g~ sunt egale.
5.2.2��4��0�����������Descriere [Stoica A. (coordonator), 1996] :�6����)���'�����������'��8��������������&��'�)6����)���F�� ���
�)�����% '�� '����)�����% F &�*��� 6���� �&� ������5�� �&����� �����$ �<�'��
�� '����� *�& 6���� �������&� �� �%�&���� �� ��'���' &�)�� "� ��&� �� ��'���'
limitat impuse de itemii obiectivi. Acest gol poate fi acoperit prin utilizarea
6����)���&�� '����������$ ���������# ����& �� ��� ������ � ���� 6����)���
'����������������'�8�&!
��)6����)���
Date suplimentare
��)6����)���
������������������� :
F6����)�������)���'��������'���'���'���&�&�6������"�'�����'��
��8���&����� ���'���� '��� '87�"��$ >����& �� ��8���&���� ����� 8�# 6� *�����&#
asociat cu lungimea itemului;
F 8������ '�)6����)��� �� %� ������� �� ��'���'�& ������ &�
'�)6����)��������������@
F'�)6����)���&����)���'�8��6���������������������&�&�3'����&��@
F8������'�)6����)�����'��� ����&'�������&���)�����%�@
Material / Stimul
(texte, date, diagrame, grafice etc.)
![Page 65: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/65.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 65
F �� '����� %� 8� &�'�� �� 8���� �� ���� �'�� '���'� 6����)����#
����'��� ����&��*����8���������'���'$
%����9�"�&�����
Avantaje:
4����)���&�'����������������!
F ����'8����������� ��������&�< 6���5� '���� �� ������)�����%�#
sau semiobiectivi;
F '����������� '�)6����)���&�� '� 8��� �'�8�& 6��7� '� ��'�� � �
%��������������"�����#���������"�����������@
– construirea pro*��'�%��������8���&����"����������&�<�����������@
F������������������'�)6����)���&�*���������5�����������@
– utilizarea unor materiale auxiliare (grafice, diagrame etc.).
Limite:
– materialele auxiliare sunt relativ dificil de proiectat;
F ��'���'�& &� � '�)6����)��� �������# ������# �� ��'���'�& &�
'�)6����)���&�����������@
F���������������6����)���'��������������'��������&�����$
Exemple de itemi
1.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3-������$
�)�����%�&!�&�%�&'� 8������)�&'�'����'�) 8���� ��������)�&�� 8������
����$
�����!�����'�����8������!111111111
135802469.
(= ������ �� ����������& 8������� '� ��%��� �� /0 "� �� 2# ���
��������&'���%�����/0"���(($
,=�������8������'�)8������������)�&�$
��'���'$ %��111111111
135802469= ⋅ ⋅
⋅ ⋅=37 9 333667
37 11 333667
9
11.
2.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ���������3�&�'���5�3��&����$
�)�����%�&!�&�%�&'�8������)�&'���������&������&�������&���������!�������&����&�! J { }x x N x/ ,∈ ≤ ≤3 8
![Page 66: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/66.jpg)
66 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
B= { }3 4 5 6 7, , , ,
�=�����*�&���&����&�E
)=�7��'�)��&��������E
�=�����'���������&�&��&����� E��'���'!�=��#�������� J { }3 4 5 6 7 8, , , , , ≠ { }3 4 5 6 7, , , , =B.
b) 25=32. c) 6.
3.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VI-a / Triunghiul.
�)�����%�&!�&�%�&'���&��&� ���'���&���*�����&�����������*��$
�����! -�� �� �����*�� �� ���� &����� ���*������ "� ��'��� ���� ��*��
de 70o.
a) Ce fel de triunghi este?
)=��&��&�����'���&���*�����&�������*���&��$
�= ���� ��� ��&�� %������� &� �� �&%���� ������&�� )=E ���� ��#
�� �&%���5&�$
��'���'!�=�����*���'�'��&@)=0Do, 40o, 70o; c) 55o, 70o, 55o.
4.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3������6����*�$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��&� � %�&����� �)'�&��� � ����
numere întregi.
�����!�����������&�! J ( )2 2 3123 123 82+ − : 381
B= ( )4 4 382 82 123+ − : 3122 .
�=������&� "��'����� ���%�E
)=��&��&��� $
�=��&��&����$
��'���'!�=��#)= J/#�=�J/#
5.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���������&�$
�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� �������'�� �&������&���&����&�� ��
���������&�'�6���&�����������&�����&�$
�����!-�� J { }−2; 0; 3,(5); + 1; 5; 1,2; -4 4 3π ; ;
8&���!�= ∩N; b) A∩Z; c) A∩Q; d)A-R.
��'���' @ �= { 0, 2, 5} ; b) { -2, 0, 2, 5} ; c) { -2, 0, 1,2; 2, 3,(5); 5} ;
d) −4 .
![Page 67: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/67.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 67
6.
��'���&���3�&�'�3������&�&!>��������3�&�'�����5�3��&�����������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��� �&%��������������*���������*���$
�����! �� �� �� �����*�� �������*��� �� ������&�! )J.# �J<L, "�
ipotenuza a=x+4.
�=��&��&�� �&��*���&�&�����&�������*���&��@
)=����<J.#��&��&�� ����������&
�=��&��&�� ����������*���&��$
��'��'!�=�J(D#)J.#�JG@)=?J,1#�= J,1$
7.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'������5�3?�&������$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������� 6��������� �� ��'� &�
polinoame.
�����!�����'�������&�����&?A�=J1�4-4X3-3X2+2X+7.
�=�������������'��&6���������&��?A�=&��5(@
)= ��������?A�=>0, ∀ a∈ R;
�=��'���������6�8��������������)�&�?A�=5(D$
��'���'!�=?A(=J.@�A�=J.$
b) P(a)=(a-1)2(2a+1)2+6>0, ∀ a∈ R.
c) P(X)-10=(2X-3)(X+1)(2X2-X+1).
8.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a / Paralelism în
'�����$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� 8�&�'��'�� ���� ���%������ ��&����� ��
paralelism între drepte.
�����!?���&�&�*����& ���"������ �& ��-A �|| EF) sunt situate în
�&�����8�����$ ������!
a) Punctele C, D, F, E sunt coplanare;
)=������&���"�-�'�������������$
Rezolvare: a) Din ABCD paralelogram ⇒ AB ||��"���� ��-����� ⇒AB||EF, deci CD||�-�� �&���#�#�#-���&�����@
b) Din CD||�-"���≠�-�� �&����-������ #������"��-'���������
concurente.
9.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&���������������&�8������&��$
![Page 68: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/68.jpg)
68 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
�����!-��8������ƒ:R→R cu proprietatea ƒ�ƒ�ƒ=ƒ"���&�����
M={x∈ R (ƒ�ƒ)(x)=x}.
�=��'���������≠∅ "�ƒ(R)=M.
)=����*!�→M, g(x)=ƒ(x), ∀ x∈ �������*�'��)�9�����$
�= �� �� �<���&� �� 8������ ƒ ���� %���8��� ����� � "� ���� ��
�'��)�9�����#�����������������&������"���'�������*�8�������ƒ la M.Rezolvare: a) Fie x∈ R, (ƒ�ƒ)(ƒ(x))=ƒ(x) ⇒ ƒ(x)∈ M ⇒ M≠∅ "� ƒ(R)⊂ M.
Fie x∈ M atunci ƒ(ƒ(x))=x=ƒ(y) deci x∈ƒ (R=������⊂ƒ (R); M=ƒ(R).
b) Fie g(x1)=g(x2) ⇒ ƒ(x1)=ƒ(x2) ⇒ ƒ(ƒ(x1))=ƒ(ƒ(x2)) ⇒ x1=x2, deci g este
��9����%�$-��x∈ M ⇒ x=ƒ(ƒ(x))=ƒ(y)=g(y), y∈ �����*�'��'��9����%�$c) ƒ:R→R, ƒ(x)=0, ∀ x∈ R, ƒ�ƒ�ƒ=ƒ, ƒ���'��)�9����%�$
�J\DR"�*!�→�#*AD=JD�'��)�9����%�$
10.
��'���&���3�&�'�3 &*�)��3�&�'����5�3-��������*����&�&���&��$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������������&����6�������������$
�����!-������&���������������&��������������&�!
a) Z⊂ M;
b) x, y∈ M ⇒ x+y∈ �"�<5N∈ M,
c) a= 2 3+ ∈ M.
Se cer:
(=����������������������8�������6����*����������������a.
,=�����'���� ��� 3 2− ∈ M, 2 3 ∈ �"� 2 2 ∈ M.
Rezolvare.
(= �����7�� &� ������ �)�����! a2= 5 2 6+ ⇔ a2-5= 2 6 $ ������� &�
������"��)�����!a4-10a2+1=0.
2) a(a3-10a)=-1 ⇒ aa a
=−1
10 3 ⇒
110 3
aa a= − ; 3 2
110 3− = = −
aa a .
-�&�'��������������&��=#)=# �= "� �&���� ��&���� �)������� 3 2− ∈ M;
(-1)( 2 3+ )= − −2 3 ∈ M.
Deci ( 2 3+ )+( 3 2− )= 2 3 ∈ �$ "� A 3 2− )+( − −2 3 )=- 2 2 ∈ M ⇒(-1)(- 2 2 )= 2 2 ∈ M.
11.
��'���&���3�&�'�3 &*�)��3�&�'����5�3-������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&�������������8������&��$
![Page 69: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/69.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 69
�����! �� ���'����� 8������ '����� ���'������� 8!�→� ���� %���8�����&����!A8�f�f)(x)=x3L/<5(,$��&��&�� �8A,=$
�� �&%���$����8A,=<2 ⇒ (f�f)(2)<f(2)<2 ⇒ 2=(f�f�f)(2) <f(2)<2 !
����8A,=>2 ⇒ (f�f)(2)>f(2)>2 ⇒ 2=(f�f�f)(2) >f(2)>2 !
����8A,=J,#�����<J,�'�������8�<�&��&�������8$
12.
��'���&���3�&�'�3>��������3�&�'����5�3��&����������#����������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&����������&������&��'$
�����!�����'����������*���& ��"�������&�W∈ (AB), P∈ A �=$�����
��>������&��*��������&�����*���&�� ��$ ������!
(=����>∈ W?"�W?||BC atunci BQ
QA+ =CP
PA1 .
,=����>∈ W?"�W?���'������&�&����������BQ
QA+ =CP
PA1 .
/=����BQ
QA+ =CP
PA1 atunci G∈ QP.
1= ��������QB
QA
+
≥4 4
1
8
CP
PA.
Rezolvare. 1) Fie { D} =AG∩��$ ��� � ������� �� �&�� ��GD
GA= 1
2.
�&��7�� ������� &�� ���&�' �)�����!BQ
QA= = =PC
PA
GD
DA
1
2 �� ���� �� �&��
��&����$
2) Fie{ M} =QP∩��$ �&���� ������� &�� ����&��' 6� ∆ �� "� ∆ACD
���'����7�� W? �� ����'%��'�&�$ �)�����!QB
QA= MB
MD2 "�
PC
PA= MC
MD2 ⇒
QB
QA+ = + = − + + = =PC
PA
MB MC
MD
MD BD MD DC
MD
MD
MD2 2
2
21 .
/= ���� W?||�� "� �∩QP={ G/}⇒ BQ
QA= ′
′= =G D
G A
PC
PA
1
2⇒ ′ =G G deci
G∈ QP.
���� W? "� �� �� '��� ����&�&�# ���'������′′
=G D
G Aλ "� ��&��7��
�������&������&��'�)����� λ = ⇒ ′1
2 G = G .
1=�����BQ
QA= a "�
PC
PA= b ; a+b=1, a,b>0.
![Page 70: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/70.jpg)
70 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
Folosim inegalitatea: ( ) ( )2 2 2 2a b a b+ ≥ + ⇒ a b2 2 1
2+ ≥ ;
( ) ( )21
44 4 2 2 2
a b a b+ ≥ + ≥ ⇒ a b4 4 1
8+ ≥ .
13.
��'���&���3�&�'�3 &*�)��3�&�'����5�3������������������$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� � %������� � ���������&��
�������������������$
�����!�=�����<���&����������������& z pentru care zz
+ 1 ∈ Q .
)=����z ∈ −R Q "� zz
+ 1 ∈ Q atunci zz
Qnn
+ ∈ ∀ ≥1, n 1 .
�=����z�'���������������&"��<�'�� n N∈ * astfel încât zz
nn
+ 1'�8��
��������&������ zz
+ 1�'����������&$
�� �&%���! �= �� �&%�� ������� zz
+ 1=3 ⇒ z z2 3 1 0− + = ⇒
z1 2
3 5
2, .= ±������& z R Q= + ∈ −3 5
2"� z
z+ 1 ∈ Q .
)=�������'���� ����9�����&%�����������5���������������������$
Pentru n=1 avem zz
+ 1 ∈ Q .
?��'�������� zz
Q m nmm
+ ∈ ≤ ≤1, 1 .
zz
zz
zz
zz
Qnn
nn
nn
++
−−+ = +
+
− +
∈1
11
1
1 1 1 1.
�= ���� zz
+ 1 ∈ Q ���8��� ������&�� )= �� �&�� zz
Qnn
+ ∈ ∀ ≥1, n 1 ,
������������$���� zz
+ 1 ∈ −R Q .
14.
Disciplina /�&�'�3 ��&� �����������3�&�'����5�3�������8������$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'�� ���� � 8������ ���� �'��
���*�����# '� ��&��&� � &����� &� '�7�*� "� &����� &� ������� 6���5�� �����
������8����������$
�����!-��ƒ:R→R�������������&�!
a) ƒ���*�������R.
b) ƒ���&�����&�'�7�*�6�x0JD8�����$
![Page 71: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/71.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 71
c) ƒ�����&�����&��������6�x0=0.
���)�&�"�� ���� ������ ���������&� 8������ �� ����� �����������&�
��������$
10
10
21
0
1 0) ( )
,
cos ,) ( )
cos ,
,
f x
x x
xx
f x xx
x=
≤
>
=
<
≥
31 0
1 04
1 0
10
) ( ),
,) ( )
,
sin ,
f x
x
xf x
x
xx
=− ≤
>
=≤
>
��'���'!1$
15.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3�����
��8������$
�)�����%�&!�&�%�&'���&��&� �&�������8������6�D#L∞, –∞.
�����!��&��&�� �!
.lim d) lim c)
lim b) n
1nlim a)
+n
⋅
⋅
⋅
⋅
−∞→→
+∞→∞→
xx
xx
xx
xx
x
��
�
�
Rezolvare: a) ∀ n≥2; an=0 deci ���Q
an=0.
b) ���[→+∞
x1
x
=0.
c) �
�–1<
1
x
≤ �
�@����x>0 atunci 1–x<x·
1
x
≤1 ⇒ �d(0)=1.
����x<0 atunci 1–x>x·1
x
≥1 ⇒ �s(0)=1 deci ���
[→�x
1
x
=1.
d) Fie xn→–∞, ∃ n0∈ N*, ∀ n≥n0 avem �
�Q
∈ (–1,0)⇒1
xn
=–1
⇒ ���Q
xn·1
xn
=+∞
16.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3�����
��8������$
![Page 72: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/72.jpg)
72 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���������� &��8����������!��&�����
������&����������������#��&�����������&��������%�)�&�����#������&��������
"�������&����<����&���&$
�����!-��ƒ:R→R, ƒ(x)=
− <− =
>
x x
x
x x
,
,
,
0
1 0
0
.
�=�����������&�����������&�����������������&�&��ƒ.
b) �����������&�����������&��������%�)�&������&�&��ƒ"���&��&���
ƒ'(x).
c) ƒ are puncte critice ?
d) ƒ are puncte de extrem local ?
��'���'!�=R*. b) RO"�ƒ'(x)=− <
>
1 0
1 0
,
,
x
x
c) ƒ'(x)≠0, ∀ x∈ R* deci ƒ nu are puncte critice.
d) Da : x0JD�'��������������*&�)�&����"�&���&�&8�������ƒ.
17.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3�����
��8������$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��������� ��&����� ������&�� ��
�������������&�����8����������$
�����!�����'�����8������ƒ:R*→R prin ƒ(x)=x x
x x
,
,
<>
0
2 0.
(=�����'����&�����������&�����������������&��ƒ?
2) ƒ(–1)·ƒ(1)=–2<0 dar ƒ �� '� ���&�� �$ �'�� ����'�� �8������� 6�
��������������8����&��ƒ�'������������6����*�������&����8������E
��'���'!(=R*. 2) ƒ�'������������R*, R* nu este interval deci nu
se pune problema pentru ƒ de a avea sau nu proprietatea lui Darboux
A�������������'�'����� ��������%�&�#���������&��������<�=$
18.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �����������3�&�'����5�3�����
��8������$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ��������&� �� ����%�)�&����� �&�
8������&��$
�����!-��ƒ:R→R, ƒ(x)=x
xx
x
α • sin ,
,
10
0 0
≠
=
![Page 73: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/73.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 73
������������������&�����������'�*�������%�)�&������&��ƒ în x0=0 ?
a) α=0, b) α<0; c) α>1; d) α≥2.
��'���'!�=@�=$
19.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � ���������� 3 �&�'� � ���5� 3
Calculul integralelor.
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ����"�����&� ��8�������� &�
����%�)�&�����"�����*��)�&�����$
�����!���'������8������ƒ:R→R, ƒ(x)=x −
1
2.
�=���'�� �*��8���&&��ƒ.
)=�����������&�����������&�����������������&��ƒ.
c) Pe domeniul de derivabilitate al lui ƒ#��&��&�� �ƒ'.
d) ƒ nu admite primitive pe intervalul [0,2] dar ƒ ��� ����*��&�@
��&��&�� � f x dx( )0
2
∫ .
��'���'! )= �5{ 2k+1/ k∈ Z} ; c) f/(x)=0; d) f nu are proprietatea
Darboux; f x dx( )0
2
∫ =-1.
20.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���&�"��������$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'��� � � ����8�'��& � ����
inele.
�����!�=�����'�������&����� ��%��� 8�����$����*! →A, atunci g
�'����9����%�⇔*�'��'��9����%�$b) Fie m,n∈ N*#A�#�=J("�8!]mn→ZmxZn, prin ( ) ( )f x x x
� = �, $ ������8�'��
��������8�����$
�= ������8�'�����8�'������&�$
�= ������8�'��)�9����%�$
e) Zmn≅ ZmxZn.
�� �&%���!�=���� J{ a1, a2,...,an} "�*�'�� ��9����%������� ��g are n
elemente deci ImgJ #�����*�'��'��9����%�$
���� * � '��9����%�# '� ���'������ �� * �� � ��9����%� ⇒ ∃ i≠j astfel
încât g(ai)=g(aj) ⇒ Img are cel mult (n-1) elemente ⇒ Img≠A
����*�'����9����%�$
![Page 74: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/74.jpg)
74 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
b) Avem ( ) ( ) ( )y-xn �� y-xm y-xnm ˆˆ ⇔⋅⇔= yx ⇔ � �x y= ( în Zm= "� x y=
(în Zn) deci ( ) ( )f x f y� �= .
c) ( ) ( ) ( )f x y f x f y� � � �+ = + "� ( ) ( ) ( )f x y f x f y� � � �⋅ = ⋅ '�%���8������"������$
�=8�'����9����%�#���8��������'���������&�������&)=$
Cum Zmn = ZmxZn J��"�8��9����%�⇒ 8'��9����%�$
�=����="��=�� �&��� ����8�'��&�����&�$
5.3. Tehnici de testare – Itemi subiectivi
Descriere [ �$����"�# $������#(22.]������ '�)�����%� '�� �� ��'���' ��'���' ����� ���� 8���� B����������&�T
�� �%�&���� 6� ���� ���'���$ �� '��� ��&���% �"�� �� ���'����� "� ��'��� �
�)�����%���'���6��%���������*���&������#������%������"����������&���'���&
�&��'���'�&��$
����������'���'��'���'���'����!
– rezolvarea de probleme;
F�'��'���������'��&�)��A��������&�����������=$
5.3.1. Rezolvarea de probleme
��'������"����������'����:
�� �&%���� �� ���)&��� �'�� � ����%����� ������� � �����'�&�� ��
��'���������������8�'���&��������&��&�'�F8��������&�%'������*���F
�� '����& �� %�&����� ������%������# *7������ ��%��*����# ���*�������# �����������
���*�����&� �#��8����&�����)&������$
���������������� �&%����)&������'����%�6���'���#������'��'�
�� %�&�� �����<������� ��5� &��*�& ���� ����������� &��*�$�������# ������
�7�� ���&� �� �� �&%���� �� ���)&��� �� ������ �� ��������� �
���8�������&���&�%�&��#���)���'�6������������%�����'���&�$
�)�����%�&����������������&� ������ �&%���������)&���'���!
F4���&�*�������)&����@
F�)���������8�������&������'����� �&%�������)&����@
![Page 75: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/75.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 75
F-����&����"���'���������� �&��@
– Descrierea metodelor de rezolvare a problemei;
F�&�)����������'������������'����� �&����&��)������@
F?�'�)�&��������*�����&� ���"�������'8����������&������ �&%���$
�������������������:
�������&�������������'�����&�'�8��� 6��������*�����&�"� 6��������
specifice.
�������������&�*�����&���������!
�='����������)&���'�8������%�����%�&�&����%7�'��"������*������
elevilor;
)= ����%������ '� ����� ��'8�"��� ����%����& '�� 6� *���# 6� 8������ ��
������"����������&���)&����@
�=����%������'�8��6���������������)�����%�&�"������������&�
disciplinei;
�=����&���%�&���������%������'�8����&�%���#�������������
��������&����)� �'��)�&�������'�����3)�����&��������@
�=���&� ����6������&����%�������������'��'��������&�'���&�"������
��'��'������#�"�����8�������)�&�$
�������&�'����8����� �&�����������'�����������)&���!
F�)��������� �&����&��������&���"�%���8���)�&�@
– utilizarea unor metode alternative de rezolvare;
F��� �������A6��������&8���&=�������������&��#���&��&�&��#
���*����&��#*��8���&�����$����'�������������"��9���&�6���&�*����
���&� ����'������&��$
%����9�"�&�����
Avantaje:
– permite formarea unei gândiri productive;
F�8�����'�)�&�������������������������@
F����'�)�&����������'������'������%��'�&��������"�'�&����@
F����%�� ������������������"�6�%������&�%�'�������� �
������������)�����&����@
F�8�����'�)�&���������&� �������&��$
![Page 76: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/76.jpg)
76 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
Dezavantaje:
– necesit�������&��*������������@
F���&�����'��'��������&���������'��'������@
F ����'��� �� ���� ���� �� ������'����� "� ����&�<����� �
sarcinii;
F�<�'����������'�)�����%�����6��%�&����@
F����'�����"���������8��������&�%����'�����)���8�����
�������6�8���������9�����&������������8�'��#������)����8��������&�%6�
cadrul grupului etc.
�)'��%���� :
4� �8��� �'�����&�� ���������� �7�� ����# 6� ���������� �� �&����&��
�&�%�&���������&� ������ �&%���������)&���'�%�����'������!
– abordarea problemei: strategia grupului pentru rezolvarea sarcinii;
F'�&�������)&����!��'���6��������)&����8�'��� �&%���������@
– lucru asupra sarcinii:
F'5�8�&�'�������������%���E
– s-au folosit mai multe metode?
– s-au verificat re �&����&��)������E
F*�����&� �������)&���� A��"� ����������# ����'�� �'�� � ������� ���
6��7&�����������8������������&�%���6�%��������'��'����=@
F ����������� �� ���8�'���&! ����& ���'������% �� ������������# ��
'�&������������������9�����&��@
F���*���&������"�������%������6��)��������� �&%����$
Exemple de itemi
1.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � �5� 3 ������
�������&��� ���%�$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������ ������� �8��������
��������&�����������������&�$
![Page 77: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/77.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 77
�����!�8�������! 31
23
1
2
1
3
1
33
1
2
1
33
1
2
1
3
2 2 3 3
− ⋅ +
⋅ +
−
−
Schema de notare:
F?�������&��&�&�������&������&��'�������/������@
F?������8���������������� 6���&��������������� �������� '�
������(�����@
F?�������&��&��������������������&������������ ��������"�
������� ��������'�������/������@
F?������8�������� 6���&����� �� �&����&����������&����������5
�� �'�������(�����@
F?������8���������&����&��'������'�������,������$
2.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � �5� 3 ������
�������&��� ���%�$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �&�'�8��� 8������&� �������� 6�!
�����������#'�)�������"�'�����������$
�����! �� '� ��������� n∈ �# �'�8�& 6��7� 8������
F(n)=3 3 3 3 3
131
2 1 0n n n+ +− − − − '� 8��! �= '�)�������@ )= �����������@ �=
'�����������$
Schema de notare:
– Pentru calculul F(n)=3 3 3 3 3
131
2 1 0n n n+ +− − − −=
( )3 9 3 1 3 1
131
n − − − −=
=5 3 4
131
⋅ −n
'�������/������@
– Pentru determinarea lui n�'�8�& 6��7� 8������'� 8�������������!5 3 4
131
⋅ −n
=1 ⇔ 5 3 4⋅ −n =131 ⇔ 3n =27 ⇔ nJ/'�������/������@
– Pentru determinarea lui n �'�8�& 6��7� 8������ '� 8�� '�)�������
n∈{ 0, 1, 2} ='�������,������@
– Pentru determinarea lui n�'�8�&6��7�8������'�8��'�����������
( n>3 , n∈ �='�������,������$
�)'��%����!�����������&�"������������������'����%�&���&��n
"�'���8����&�����'���'���&�������$
![Page 78: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/78.jpg)
78 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
3.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��������� 3 �&�'� � �5� 3 ������
�������&�
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��&� � � '��� �� 8������ ����
��'����������8��������6���5���8������������8������$
�����!��&��&����!
S=1
1 2
1
1 2 3
1
1 2 3 1998++
+ ++ +
+ + + +.....
....
��������������!
S=1
2 3
2
13 4
2
11998 1999
2
....
⋅ + ⋅ + + ⋅ 4puncte
S=2
2 3
2
3 4
2
1998 1999⋅+
⋅+ +
⋅... 1punct
S=2
2
2
3
2
3
2
4
2
4
2
5
2
1998
2
1999− + − + − + + −... 3puncte
S=12
1999− 1punct
S=1997
1999 1punct.
4.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VI-a / Paralelismul
dreptelor.
�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� �<�&��� "� '� 8�&�'��'�� ����&�&�'��&
�����������6��&��$
�����! -�� �����*���& �� "� )�'�������� �# �∈ BC. Prin D se duce
����&�&�&� ����������� �6��"������'���������&�&� &� ���������
����6�-$��'��������!
a) Triunghiul ADE este isoscel;
b) EF este bisectoarea unghiului DEC.
Schema de notare:
F?������<����������������8�*����'�������,������@
F?������� �&%������������������&���='�������1������!
DE||AB ⇒ ∠ ADE≡∠ BAD ( alterne interne), dar [AD este bisectoarea
∠ BAC, deci ∠ BAD≡∠ DAC ⇒ ∠ DAE≡∠ ADE ⇒ ∆ADE isoscel.
5?������� �&%�����������������&��)='�������1������!
![Page 79: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/79.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 79
EF||AD ⇒∠ ADE≡∠ ��-A�&������������="�∠ FEC≡∠ DAE
(corespondente) ⇒∠ DEF≡∠ FEC.
5.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&!���������� 3 �&�'� � ��5� 3 �������� "�
���������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&��������������&�"���&������������
egale.
�����! ������&� a, b, c '���'8�� ��&����&�!a b c
3 4 6= = "� 2 5 3 88a b c+ + = .
��'���&��&� �!
1) 4 3 4a b c+ − "�,=1 1 1
2 2 2a b c+ + .
Schema de notare:
– Pentru aflarea valorilor lui a=6, b=8, cJ(,#'�������+������$
– Pentru calculul expresiei 4 3 4a b c+ − JD#'�������,������$
– Pentru calculul expresiei 1 1 1
2 2 2a b c+ + =
29
576#'�������/������$
6.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3���������&�$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'������ �����������������&�$
�����! -��! a = − + −3 5 9 4 5 "� b = − − −7 1 11 4 7 $ ��&��&���
E=2
2
b a
a b
+−
"������'��������∈ Z.
Schema de notare:
– Pentru calculul lui a=(#'�������/������@
– Pentru calculul lui b=(#'�������/������@
F?�������&��&�&&���J/#'�������/������@
– Pentru precizarea E∈ ]#'�������(�����$
7.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VII-a / Triunghiul.
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ����"�����&� ��'��� �����*���&
����&�����& 6���5� ���8�*������ ������&��� "� '� ����'8��� ����"�����&� "�
������������&�6��� �&�������&��$
-������������'�����������&��!����%����&�$
�����!
![Page 80: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/80.jpg)
80 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
I) În figura de mai sus sunt construite triunghiuri echilaterale folosind
'�*��������������$
�=�7��'�*�����'�������'����������8�������������ghiuri?
ii) Câte triunghiuri pot fi formate cu 217 segmente congruente?
��= -����&��� � ���)&��� �'���������� 6� ����# 6� &�� �� �����*�����
����&�����&�#'�8�&�'����������E
Schema de notare:
F ?����� ��'������ ��&�� ���� �����*����� "� '������� ������lui
��&�����A(2='�������,�@
F ?����� ��������� 8����&�� �� ��&��& � ������&�� �� &�����!
�J/L,A�F(=#�8����������&�������*�����'�������,�@
F ?����� �� �&%���� �������� /L,A�F(=J,(0 "� '����8������
������&���������*������J(DG'�������/�@
– Pentru formularea problemei în care se face transferul de la
�����*��&�������'�������,�@
F?������� �&%�������)&������='�������(�$
8.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a / Poliedre.
�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� �������� "� ������� �����������&�
paralelipipedului dreptunghic.
Forma de administrare: în grupe de câte trei elevi.
�����!
��'���&�����9�'����� ������'8�"������6��&�����������&�&������
dreptunghic.
�= 8&���%�&���&�&��!
i) x
ii) y
)=����8�*���'��&�� �8���7���5'�������'����!
i) care sunt punctele care coincid cu punctul P?
ii) care va fi volumul cutiei?
�=����������������6�������)�*����&��*���,D��A8�����'�)����=
�'�8�&6��7�������&'�8��6����'E
![Page 81: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/81.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 81
�= ����8����� �<���������& �� �&����&� �)������ &� ������&� �=# )= "� �=
�'�8�&!�������������5�8�������7����3������8�*��������'�'"������&����5�
������ � �)���� ����&�&�������&$ �� � ��*&� *��������'����� %�&���&� < "� N "�
%���8�����������&�=$!
"
#$ %
&
' ( � )
��
�*
��+��
��+��
,+��
-+��
.+��
!�� !
� !
Schema de notare:
F���������"�9�'��8������<J2��#(�@
F���������"�9�'��8������NJ(+��#(�@
F�����&����'����&� �� �?J�J�#,�@
– Calculul volumului V=1620 cm3, 2p;
– Calculul diagonalei paralelipipedului d≅ ,(#,Q,D "� 8����&����
����&� �����)�*����'���������������6�����&�&������,�@
F?��������'�������#��'�����"�%���8�����,�$
9.��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'������5�3-������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'����������8����&�����8������ &������
"�'������� ����*��8��$
�����!-��8������&������ f R R: → ����6����&���"����������!
( ) ( ) ( )2 1 2 3 2 14f x f x x x R− + = − + ∀ ∈ .
�=��'����������8������ ( )f x "�'�'������ ����*��8��$
)=��'����������������&�����*��8������������������&��*�&�$
Schema de notare:
F?�����������������8������� ( )f x x= +2 2 '�������1������@
F?���������� �������*��8���'�������/������@
![Page 82: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/82.jpg)
82 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
F?����������������� A5,#5,='�������/������$
10.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������$
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�����������������8�<�&����8������
����������5���&����8��������&�$
�����! -�� 8������ ƒ:R→R astfel încât (ƒ°ƒ)(x)=x2+1
4, ∀ x∈ R$ �� '�
��������<�'���∈ R����������������ƒ(c)=c.
�� �&%���"�)������������!
�&������ƒ��)�&�����)��"��)�����!Aƒ°ƒ°ƒ)(x)=ƒ(x2+1
4) ⇔
(ƒ°ƒ)(ƒ(x))=ƒ(x2+�
�) ⇔ƒ2(x)+
�
�=ƒ(x2+
�
�), ∀ x∈ R - '�������+������ .
În particular pentru x=�
��)�����ƒ2(
�
�)+
�
�=ƒ(
�
�) ⇔ (ƒ(
�
�)–
�
�)2=0 ⇔
ƒ(�
�)=
�
�. Deci x0=
�
� este punct fix al lui ƒF'�������+������$
11.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3-������$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'�� "� '� ��&��� �����������&�
�����������#��9����%�����"�'��9����%������&�����8���������&�$
�����!-��8������ƒa,b:R→R��8���������! f x
x x
x x
x xa,b
a b,
( )
, ( , ]
( , )
, [ , )
=− ∈ −∞ −+ ∈ −+ ∈ +∞
2 1 1
11
5 1 1
������������#)∈ R�'�8�&6��7�8������ƒa,b'�8����'�����%A���7��=!(='�������������@
,=��9����%�@
/=��%��'�)�&�"�6����'��� �8&���8��������%��'�$
![Page 83: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/83.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 83
Rezolvare "� )������������! (=ƒ este
'����� ���'������� �� AF∞,-1]∪ [1,+∞). ƒ este
'��������'���������R�����QD"�
ƒ((–1;1))⊂ [–3;6] ⇔�QD"�F/≤b–a, a+b≤6.
4� �&�� ��&����� ������&�� A�#)= �'��
����� ������������������"�����$
��������/������$
Β(0,6)
�/��012
/���2 /1��2
),�
� ��
/ 23
�
�∧
Β(0,6)
�/��012
/���2 /1��2/01��2 /0���2
� ),�
� ��
,�
���
0/ 2 / 2
2) ƒ��9����%�⇔ a>0, –3≤b–a, a+b≤6 sau a<0, –a+b≤6, a+b≥–3.4� �&��# ��&����� ������&�� A�#)= �� %���8��� ��&���� ����� ����
'����8�����������������'���������*���&���$��������/������$
3) Pentru a>0, ƒ(x)=
2 1 1
9
2
3
211
5 1 1
x x
x x
x x
− ∈ −∞ −
+ ∈ −
+ ∈ +∞
, ( , ]
, ( , )
, [ , )
�'��)�9����%�"�
ƒ–1(x)=
xx
xx
xx
+ ∈ −∞ −
− ∈ −
− ∈ +∞
1
23
2 3
93 6
1
56
, ( , ]
, ( , )
, [ , )
��
�∧
0�0�
� �
1
��
0�
01
![Page 84: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/84.jpg)
84 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
Pentru a<0, ƒ(x)=
2 1 1
9
2
3
211
5 1 1
x x
x x
x x
− ∈ −∞
− + ∈ −
+ ∈ +∞
, ( , ]
, ( , )
, [ , )
�'��)�9����%�"�
ƒ–1(x)=
xx
xx
xx
+ ∈ −∞ −
− + ∈ −
− ∈ +∞
1
23
2 3
93 6
1
56
, ( , ]
, ( , )
, [ , )
��������1������$12.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���*��������� 3 �&�'� � ��5� 3 -������
trigonometrice.
�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� �����'��� � � ���*�&����� ���*����������
determinând un interval de lungime π316�����%���� ���*�����&�.
�����! ��������'��A�π 4 �4 �� )>�
�, ∀ n∈ N, n≥2.
Rezolvare : nπ(n+1)+π/4<nπ 4 �4 �� <nπ(n+1)+π/2, ∀ n∈ N, n≥2.
�
�<sin nπ 4 �4 �� .
��������(D������$
13.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a IX-a / Cercul
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��������� �� � ���8�*������ ����
puncte fixe pentru aplicarea unui loc geometric din categoria locurilor
*�����������)� �$
�����!-�� ���������*����������$��'���������� &���&*��������
�&������&�������&���&�����*���&������������������!� 2+MB2=MC2.
![Page 85: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/85.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 85
Rezolvare: Fie D mijlocul lui
:��; "� � �������7�� &���&�� *��5
metric.
���� �A �C )>90o atunci locul
*���������'����&�����%���$A(�$=
���� �A �C )=90o atunci locul
*�������� �'�� ��&����� 8������ ���
������&�����'��'��������&������&���8������$A,������=
În ∆� � '� ��&��� ������� ��������! 1��2=2(MA2+MB2)–BA2 ⇔
AB2+4MD2=2MC2. ( 3 puncte)
�&��7�����������������6������*���&���)�����!
4MD2=2(MC2+ML2)-CL2 deci ML2=CL2-AB2 �� �&�� � ��'���� �� ����
��������&6����� �! r CL AB= −2 2 . ( 4 puncte)
�)'��%����! ?��)&��� '� ����� �� �&%� "� �� ��&� ���&�����$ ��
���'����� '�'����&�� ���������� �� ������& 6�������&�$���)���� �� ����
�� ������& 6� �� �� � r a b c= + −2 2 2 , unde a, b, c sunt lungimile laturilor
triunghiului ABC.
14.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a IX-a / Arii.
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��� ������� ��8�������� &�
�����*�����&�����%�&�����)�������������'���������������$
�����! 4� �����*���& �� '� ���'����� ������� �$ �� '� ����� ��
���� �������&� 6�'���'� 6� �����*�����&� �� "� �� �� �����"� �� �# ������
AB=AC.
![Page 86: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/86.jpg)
86 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
Rezolvare: σ[ABD]=σ[ADC]=S/2. Fie
r1"��2 razele cercurilor înscrise în ∆ ��"�∆
ADC. r1·p1=S/2=r2·p2; r1=r2 ⇒ p1=p2 ⇒
2p1=2p2 ⇒ c+a/2+ma=b+a/2+ma ⇒ b=c.
��������(D������$
15.
��'���&��� 3�&�'� 3������&�&!���*��������� 3�&�'���5� 3 �&������&�
trigonometriei în geometrie.
�)�����%�&!�&�%�&%� 8�����)�&'���&��� 8����&� �*A�L)= 6� �� �&%����
unor probleme.
�����! �����'����� �� �����*���& �� �'�� �������*��� 6� ���� "�
���������!�*�
�+tg
�
�·tg
�
�+tg
�
�=1.
�� �&%���!��&����'����'����!�*�
�+tg
�
�=1–tg
�
�·tg
�
�
�����*�
�·tg
�
�=1 atunci tg
�
�+tg
�
�JD������������#�����*
�
�·tg
�
�≠1.
��&�����'������%�&������!�*A�
�+
�
�=J("�
�
�+
�
�∈
02
,π ⇔
�
�+
�
�=π�
⇔
B+C=π�
⇔m(Â)=π�
.
��������(D������$
16.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ���������� 3 �&�'� � �5� 3 ������
complexe.
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��� �&%���������)���������$
�����! �������� ��9����%������ "� '��9����%������ 8������� ƒ:C→C ��8�����
prin ƒ(z)=z3, ∀ z∈ C$�� �&%����������ƒ(z)=1+i.
Rezolvare: z3J(���'�&����&�ε0=1, ε1=− +� �
�
�"�ε2=
− −1 3
2
i.(3 puncte)
ƒ(1)=ƒ(ε1)=1 deci ƒ���'����9����%�$A(�����=
![Page 87: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/87.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 87
Fie y∈ C# ������� 3FNJD ��� ��& ����� � '�&���� �������� ��������
fundamentale a algebrei. (1 punct)
�� �&��ƒ'��9�����$A(�����=
1 24 4
24 4
3+ = +
= +
i i z icos sin ; cos sinπ π π π
. (2 puncte)
��&����&�! z ik
k
3
k
3=
++
+
22 26 4 4cos sin
π ππ π, 0≤k≤2. (2 puncte)
17.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! >�������� 3 �&�'� � �5� 3 �&������ �&�
numerelor complexe în geometrie.
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'�8�&�'��'�����*�&�����������&�"�
������������&���������&���������%��&���������$
�����!
Fie ε����������������%���������&�≥,���������"� �������complex astfel încât z k− ≤ε 1, oricare ar fi k∈{ 0, 1, 2, 3, ......, n-1} . Atunci:
z≤ 1.
Rezolvare. Cum ε�'������������������%���������&�������������&��
��������&�����������'���n={ 1, ε, ε2, ... , εn-1} .
Din 1+ε+ε2+...+εn-1=1
1
−−εε
n
JD#�� �&��A 5(=LA 5ε)+(z-ε2)+...+(z-εn-1)=nz,
de unde nz≤ z-1+ z- ε+ ...+ z-εn-1≤ ������ z≤ 1.
��������(D������
18.
Disciplina / Clasa / Capitolul: Geometrie / Clasa a VIII-a /
?���������&�������6�'�����$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��������� ��*���& ������ � ����
plane.
�����!
-���������&�������&�� ���#��������������������&���6� ��
�&���&�������&��#�'�8�&6��7���J� #���9&���&&��[MB] "�-��9&���&&��
[MD] . ��������! a). (AEF)⊥ (CEF)
)=$��'�����*���&��8��������&���&�A ��="�A��-=�'��/Do.
��������(D������$
![Page 88: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/88.jpg)
88 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
19.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3?�&������
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ���'�����'�� ������� �� *����& /
când se cunosc valorile polinoamelor simetrice fundamentale s1, s2"�'3 .
�����!-���#)#�∈ R astfel încât: a+b+c=a·b·c.
�=�����'������� ab+bc+ca≠1.
)=��&��&���!����*�L����*)L����*�$
�� �&%���!�=�����'1=a+b+c=a·b·c=k=s3"����'��������
s2J�)L)�L��J($���������*����&������%��%���������������#)#�%�8�
t3–s1t2+s2t–s3=0 ⇔ t3–kt2+t–k=0 ⇔ t(t2+1)–k(t2+1)=0 ⇔ (t2+1)(t–k)=0 ⇒ t1=k,
t2,3∉ R������������$�����)L)�L��≠1. ( 6 puncte )
)=�����α=arctg a; β=arctg b ; γ=arctg c.
tg(α+β+γ)= 5 4 5 4 5 5 � 5 � 5
� 5 � 5 5 � 5 5 � 5
�4�4 � ���
��4�� 4 ��2
α β γ α β γα β α γ β γ
−− − −
= −−
=� /
0 ⇒ α+β+γ=0.
(4 puncte)
20.��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! &*�)�� 3 �&�'� � �5� 3 ��&���� ��
numere.
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ��������� �������&�& ���� ��&����
date printr-o proprietate.
�����!�����'�������&�����!
A={n∈ N, 1≤n≤1000 ∃ x,y∈ N* astfel încât n=25x+26y}.
��'����������������&�&������&��&�� A���� =$
�� �&%���!������&� ����������&�����&���!
Lema 1$�����#)∈ NO"�A�#)=J(������∃ u,v∈ N* astfel încât au–bv=1.
Lema 2$ ���� �#)∈ NO "� A�#)=J(# �∈ N# �Q�) �<�'�� ∀ x,y∈ N* astfel
încât n=ax+by.
![Page 89: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/89.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 89
"��������� ���� 1$����&*������& &�����&���� �&�����<�'��x0,y0∈
Z astfel încât ax0+by0J($ ���'������ �0∈ Z cu t0>–��
� "� �0>
��
� "� �����
u=x0+bt0∈ NO"�%JFAy0–at0)∈ N*; au–bv=ax0+by0=1.
"��������� ���� 2$ �&��7�� &���( �� �&�����<�'���#%∈ N* astfel
încât au–bv=1 ⇒ anu–bnv=n>a·b ⇒ 6
�–
7
�>1 ⇒ ∃ t∈ N* astfel încât
7
�<t<
6
�
"����'����7��x=nu–bt∈ N* avem ax+by=n, y=at–nv∈ N*.
#��������! �� ����� ���"��� �� � �������� �J�I) �� %���8���
��������$
?����� �J,+ "� )J,. ��&��7�� &��� , �� �&�� �� ∀ n∈ {651, 652, ...,
(DDDR�<�'��x,y∈ N* astfel încât n=25x+26y. ( 5 puncte )
Pentru valorile lui n∈ \(#,#$$$#.+DR'����������������&���&�&��Ax,y)
∈ N*×NO��%���8����*�&������$��%��)�������� J/+DL/DDJ.+D$A+������=
21.
��'���&���3�&�'�3������&�&!����������3�&�'����5�3�������$
�)�����%�&!�&�%�& %� 8� ����)�& '� ��&��&� ���������5�������������
���8����'�����&�$
�����!-�� J1 3
3 1−
∈ M2(R).
�����������λ ,α∈ R astfel ca A=λ ·cos sin
sin cos
α αα α−
"���&��&��� n, n∈ N*.
Rezolvare: A= 2
1
2
3
23
2
1
2
2 3 3
3 3−
=
−
cos sin
sin cos
π π
π π deci putem lua λJ,"�
α π α π π= ∈ + ∈
3 3 sau 2k k Z "� n= 2n cos sin
sin cos
n n
n n
α αα α−
= 2 3 3
3 3
ncos sin
sin cos
n n
n n
π π
π π−
�� �&��������'��������������������������$
��������(D������$
![Page 90: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/90.jpg)
90 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
22.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'����5�3��'����&������
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'��� �&%�'�'�������*�����������
la calcularea unui determinant simetric.
�����!��'��� �&%�'�'����&!
x y z x
x y z y
x y z z
2 3 5
5 2 3
3 5 2
+ + =
+ + =
+ + =
π
π
π
Rezolvare: Sistemul se scrie:
( )( )
( )
2 3 5 0
5 2 3 0
3 5 2 0
− + + =
+ − + =
+ + − =
π
π
π
x y z
x y z
x y z
(3 puncte)
Este un sistem omogen deci compatibil. (1 punct)
det A =
� � �
� � �
� � �
−−
−=
ππ
π
� � �
� � �
� � �
= (2 puncte)
=1/2(a+b+c)[(a–b)2+(b–c)2+(c–a)2]≠o (2 puncte)
����'�'����&�'���������)�&����������#������������'�&����)���&�
x=y=z=0. (2 puncte)
23.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �3�&�'����5�3������$
�)�����%�&! �&�%�& %� 8� ����)�& '� ���&� � � '������� � ���� ��&���� ��
�����������������&���$
�����!�����"�����&������������&�A�n)n∈ N*"�A%n)n∈ N* astfel încât
un+2 + un + � ·vn+1 =0
vn+2 + vn + � ·un+1=0, ∀ n≥1, u1,u2,v1,v2∈ R fixate.
��'����������&�����"�����'������*�����$
�� �&%���! �������&�������&����$�)�����!
![Page 91: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/91.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 91
(un+2 + vn+2) + � (un+1 + vn+1) + (un + vn) = 0 (1 punct)
�����αn = un + vn, ∀ n≥($��&������%���!
αn+2 + � ·αn+1 + αnJD#��&���������������&��������������&,@
αn = qn"�6�&������%���)����!Vn+2 + 2 ·qn+1 + qn = 0 |:qn;
q2 + � ·q + 1 = 0.
� �
�
��� �
�
= − ± ⇒ = − + = +
= − − = +
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
� �
��� ��
��� ��
π π
π π
α Q � �
Q
� �
Q� � � 4 � � � + �= ∀ ≥� unde C1 "� �2 se deduc prin identificare
cunoscând α1"�α2. (4 puncte)
��
�
�
�++++�
�
�
�
��
Q
�
Q= + = +��� �� 8 ��� �� π π π π
� � (1 punct)
α Q � �
Q
� �
Q
� �� � � � � � ++ �≤ + = + ∀ ≥� � � deci (αn)n���*����$A(�����=
?���'���������&����&�������)�����!
(un+2–vn+2)– � (un+1–vn+1)+(un–vn)=0. (1 punct)
�����βn=un–vn, ∀ n≥1; βn+2– � ·βn+1+βn=0; βn=qn.
q2– �VL(JD %� 8� ������� ���������'���� � ���'��� "��$ ��&��&��
��������&�!
� ++�� �= + = + = − = +�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�� � � ���� �� 8 ��� ��
π π π π .
βn=C3·q3n+C4·q4
n unde C3"��4'����������6�8���������1, u2,
v1, v2. (1 punct)
|βn|≤|C3|·|q3|n+|C4|·|q4|n=|C3|+|C4|, ∀ n≥1 ⇒ (βn)n���*����$
un=�
�(αn+βn), ∀ n≥1; vn=
�
�(αn–βn), ∀ n≥1.
Deci (un)n"�A%n)n'������*�����$A(�����=
24.
��'���&���3�&�'�3������&�&! ��&� �3�&�'����5�3-����������%�)�&�
![Page 92: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/92.jpg)
92 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'���&�������%�)�&������6���&��&�&����
&����� ����# "� '� ��������� 8������ ����%�)�&� �� %���8��� � ��&���� 8��������&�
����$
�����! (= ���� 8������ ƒ:R→R �'�� ����%�)�&� 6� x0 "� K∈ N* fixat,
��&������!
( )lim ...n +
nn n
k
nk
→ ∞+
+ +
+ + +
−
f x f x f x f x0 0 0 0
1 2
,=�����������8������&�ƒ:R→R, derivabile, pentru care
ƒ(x+y)=ƒ(x)+ƒ(y)–2xy,∀ x,y∈ R.
�� �&%���! (= ���� &��� �n Q → 0, hn≠0, ∀ n≥1, atunci
( ) ( )lim
n +
n
n
h
h→ ∞
+ −f x f x0 0 =ƒ'(x0). În particular, pentru hn=1/n avem
( )limn +
nn→ ∞
+
−
f x f x0 0
1=ƒ'(x0).
( ) ( ) ( )
⋅−
+
++⋅−
+
+−
+
∞→k
n
kn
k
...
n
2n
n
1n
lim+n
������
�
��xfxfxfxfxfxf
=
=ƒ'(x0)+2·ƒ'(x0)+...+k·ƒ'(x0)=9/9 4�2
�·ƒ'(x0). (5 puncte)
2) Pentru x=yJD�)�����ƒ(0)=2·ƒ(0), deci ƒ(0)=0, ƒ �'������%�)�&� 6�
x0=0 deci ���K �→
� /:2
:�<�'��#�'��8�����"��'���*�&���ƒ'(0)=k.
4���&�����������'������x=x08����"�y=h≠0, ƒ(x0+h)=ƒ(x0)+ƒ(h)–
2·x0·h ⇔ ⇔ ( ) ( )f x f x0 0+ −h
h=–2x0+
� /:2
: "� ����7�� &� &����� �)�����! ƒ'(x0)=–
2·x0+k.
Cum x0 � 8�'� �&�' ��)����� ������� �� ƒ'(x)=–2x+k, ∀ x∈ R ⇒
ƒ(x)=–x2+kx+c, c∈ R. Dar ƒ(0)=0 ⇒ c=0. Deci ƒ(x)=–x2–kx, ∀ x∈ R$ �� �����
�"����ƒ%���8�����&����8��������&�����$A+������=
![Page 93: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/93.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 93
25.
��'���&��� 3 �&�'� 3 ������&�&! ��&� � 3 �&�'� � ��5� 3 �&������ �&�
����%���&��6�'�����&%��������8������&��
Obiectivul: Elevul va fi capabil '� ����&� � ����"�����&� �� *��������
'������������&������&� �����������$
�����!?��� ������& ��*��������& �����*���&�� ��'������ �������
���������� �����'����� � &�����&� �"� � 6�������&�W ��'�����%?$�� '�
�������∀ x1,x2∈ R avem : p1x1+p2x2≤ln ( )p p1 2e ex x1 2+ unde p1=�;
);"��2=
�#
)#.
Rezolvare: Prin aplicarea teoremei lui
����&��''������'���� ���!;�
;)
#�
#)+ =p1+p2=1.
(5 puncte)
-������ ƒ:R→R, ƒ(x)=ex �'�� ���%�<� "� ��&��7�� ���*�&������ &��
Jensen pentru x1,x2∈ R, p1,p2≥0 cu p1+p2J(�)�����!
� � �[ [ [ [S S
� �� � � �� � � �
+ ≤ + ⇔ p1x1+p2x2≤ln ( )p p1 2e ex x1 2+ . (5 puncte)
26.
��'���&���3�&�'�3������&�&! &*�)��3�&�'�����5�3>������
�)�����%�&!�&�%�&%�8�����)�&'� '��)�&��'����������*����������
sunt sau nu izomorfe.
�����!��'��������*������&������%�Q"�Q×Q nu sunt izomorfe.
�� �&%���! ?��'������ �� Q≈Q×Q ���� �<�'�� ƒ:Q→Q×Q un
izomorfism de grup: ƒ(1)=(a,b)∈ Q×Q. (2 puncte)
ƒ(2)=ƒ(1+1)=ƒ(1)+ƒ(1)=(2a,2b). (1 punct)
?�����������'��������!ƒ(n)=(n·a,n·b); ƒ(–n)=(–na,–nb),
)
� ��
;
#
%
![Page 94: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/94.jpg)
94 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
deci ƒ(k)=(k·a, k·b), ∀ k∈ Z. (2 puncte)
Fie n∈ N*; ƒ(1)=ƒ 1
n
1
n...
1
nn ori
+ + +
� ��� ��
=nƒ 1
n
=(a,b) ⇒ f1
n
a
n
b
n
=
, ;
fm
n
m
na,
m
nb
=
�����ƒ(x)=(x·a,x·b), ∀ x∈ Q. (2 puncte)
�����JD'��)JD�%�����ƒ���'��9����%�$A(�����=
�����≠�"�)≠0 fie (α,β)∈ Q×Q. Cum ƒ�'��'��9����%� �� �&�� ��
�<�'��<∈ Q astfel încât ƒ(x)=(α,β) ⇒ xa=α"�x·b=β ⇒ x=α β β α� �
�
�= ⇒ = �����
α"�β nu sunt independente. Deci ƒ���'��9����%�#������������$A,������=
5.4. Metode alternative de evaluare
���&� ���������� ����&�����&� �� ���� ����� '� &� �� %�&����&�%�&�� ��
��������������&�<"� �������'���&����$���<���&�#�������������� �� �&%�
���)&���AB���)&��'�&%��*T=�'�������������������#8� ����#)��&�*������$
����������� �� � ���� "� 6���&�*� �� ��<� �'�� ���&� �� ����� &� &��)�
���7��# &��)� '������# ��� "� &� �'�����# *��*��8��# �������� "� �<���&�&� ���
continua.
��"� ���������� ������ ��'����� ���� ����"����� "� ���������� �� )� �#
������&� ����������&� �� �%�&���� �� ��� '��� �8������� 6� '������� �� ��&�
��'���'� ��� '�'$ �� ������# ���)��� 8�&�'��� ������ �� �%�&���� ���� '�
8��� ���& &� ������%������ �&�%�&��# &� *7������ ��%��*����# *�����&� ���# '��
&����&6�������$
Printre cele mai cunoscute metode alternative din literatura de
'�����&�������������!��%�'��*����#��������&#�����8�&��&"������%�&�����$
��%�'��*���� �'�� � ������ �� �%�&���� 6� ���� �&�%�& �'�� ��' 6�
'����������������'�&�������'�)��� A8�����'�&����&��&*��������= &�'������
������&�<�������8�����$
����� ���� '������ �'�� '���&�# �&�%�&�� � '� %� ���� '� 8��� ��%���
6���&�*����'�������#�� �&%����#*�����&� ����'������'���������6��&������<�$
![Page 95: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/95.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 95
�����& �8����� ��%�'��*����� ���� ������� '������� ���)&��� �'�� &������
"�# 6� ���� �� �� # ����'�� �� ����� ����"� � ��� �� ���'$����& �� &���� 6�
�� �&��%�'��*����������8�����%����&'����*���$
Exemplul 1*$>����������������
�)�����%�&!�&�%��%�� 8� ����)�&� '���&��� 6��������� 8����&�&��������
��&��&� ���� '�� %�&���& ���� ������� *��������� A����&�&�������= "� '� ���*�
����&� �����%����� �&����&��)������$
�����!
�+� 3
∧
∨fig. 1 fig.2
� 8�&�� ������� �� ��)&� A,U,�����= %� 8� ����'8������ 6���5�� �� ��%��
����������7���7�������������8��������&��&��)&��A8�*$(=$
��'��&'�6������"�'�8����� ����� ��%�������A8�*$,=$
��� %� ������� %�&���& �� ��%���&�� �� ������� �������&�� �� ��)&�
�����������&����E�������������'���'�&�'�8�&!
�= ��'����� �� *��8�� �������� ��� '� ����8��� %�&���& )� ���&�� 6�
8��������&������������&���������$
)=�<�&�����8����*��8���&��$
�=>�'��� � 8����&� �&*�)���� � %�&���&�� 6� 8������ �� &����� �������&��
decupat.
Rezolvare:
a) ?�����������������8����&��8�������������&��������!
-�&�'��� 8����&�����������&�&�������& �������*����J�U)U� "� ���7��
���� �� �������&� �������� A������ ������� %�� �� %�&��� ��! ( ��# ,
��# / �� ���$= "� ����'8���7�� ,� 6� ,DD �� �)����� ����������
8����&�!
* (QXQW GXS� *&6( &RXUVH :RUN� 0DWKHPDWLFV ���� DQG ����� +LGODQG ([DPLQLQJ *URXS� 8.� ����.
![Page 96: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/96.jpg)
96 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
< > >> <<
∧
∨
∧
∧
∧
∨
∨
∨
-�0�--
�
-
�0�-
-
V=x(200–2x)2
>��8���& ����� ���� ����& 6� ���� %�&���& ���"�� �7�� &� � �������
%�&����6�8��������&������������&����������������'���"��$
��)�&�& ����� 9�' ����� ���� %������� %�&���&�� 6� ������ �� &��*����
&�������������&����������$
������������&�� Lungimea bazei 4��&����� Volumul1 198 1 39 204 cm3
2 196 2 76 832 cm3
3 194 3 112 908 cm3
4 192 4 147 456 cm3
5 190 5 180 500 cm3
10 180 10 324 000 cm3
15 170 15 433 500 cm3
20 160 20 512 000 cm3
25 150 25 562 500 cm3
30 140 30 588 000 cm3
35 130 35 591 500 cm3
40 120 40 576 000 cm3
45 110 45 545 500 cm3
50 100 50 500 000 cm3
55 90 55 445 500 cm3
60 80 60 384 000 cm3
65 70 65 318 500 cm3
70 60 70 252 000 cm3
75 50 75 187 500 cm3
80 40 80 128 000 cm3
85 30 85 76 500 cm3
90 20 90 36 000 cm3
95 10 95 9 500 cm3
99 2 99 396 cm3
![Page 97: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/97.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 97
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
�� ���
��� ���
�� ���
�� ���
��� ���
��� ���
��� ���
��� ���
��� ���
��� ���
��� ������ ���
��� ���
��� ���
��� ���
��� ������ ���
��� ���
2!
K
9 ∧
Proiectul ����� ���� � ������ �� �%�&���� ����&�<� ���� '�
��'8�"���� �� ������'�& � �7���%� �&�# �7���%� '�����7�� "� ������ ��
�������� ����� ��� &��*�$ ���&�& "� ���������& ��������&�� �� ��������� ���
�&�%�&��%��8��&�'���8���������*��9�$
?&���& �� &����# ���������&� "� �&���8�����&� %�� 8� 8����� 6� �&�'�# ���7��
���&�%�&'������������'�$
���&� �������������������������������������������!
– colectarea datelor;
F���&� �����8����%����������&��$
���� ���'�)��� �� ��%�'��*����# proiectul de cercetare are un caracter
������� ��&� ��� ���������$ ����& '�� �� ���&� ��� '� 8��� ���8��� ��"�&��
����'����6�������&�*������������!
F������8������"�6���&�*�������)&����@ – formularea ipotezelor;
F*�'����������&������ �&%���@ – efectuarea experimentelor;
F�)��������� �&����&��@ – interpretarea acestora.
Portofoliul este un instrument de evaluare complet prin care se
������"�����*��'�& &�����������'���&���#���"������������&�%�&�� 8�����
������'���&��������������&��*�������$
��'�� �������� ��7� �� �&����&� �)������ �� �&�% 6���5�� '���'��� '��
�� "��&�� &� ��'��# ���)� ��������# ���� ������ ���'�# ��� "� �� �&����&�
�&�%�&��&���'���������&�������%����%�&����A��%�'��*����#��������#��8�����#
![Page 98: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/98.jpg)
98 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
�'���� ���$=$ 4� �&�'# �����8�&��& �������� 8�"�&� ����%����&� �&� �&�%�&��#
���'����������%�������������'�8���������������'���&���"��&��&�$
4� 8������ �� ����&�<������ '�# �%�&����� ���� �����8�&��# ��%��� �
����%����� ��� �� 6� �� ��� ��8���&�$ �� ����� 8������ ��'������� ��� ��&�
��'���'��7���������)����%�&��������8�'��#����&%� ���)��'� 8���"��
�%�&���� *&�)�&� � 6����*�&�� �����8�&��# ���7�� ���� "� �� ���������� �� ����
8�������&������&�����8�&��&�����������6���'��)&�$
?�� ����� �� '���� �<���&� �� ��8���� ���� ����� 8� ���&�' 6���5��
porttofoliu.
?�����������&�������&�����&�
?���� �8���� �� 6���&�*���� �������� �� ����� �'�� 8����� ����������$
4� ���������� �&�'���� ���� �<������� ��%��'� ���&� ����������� �&� ������&��
reale.
�5��������������a,b∈ W"� a b+ =2 0 atunci a=b=0.
�5��������%�� �������� 2 3+ ∉ Q.
�5��������.�� �������� 2 3 5+ + ∉ Q.
�5��������1� �������"�6���&�����'������������&*�)�������5WE
�5�������� 2�� 6( 2 )= { }a b a b Q+ ∈2 / , 6� �'���� �� ��������&� �� ���5
����"�6���&�����'��������������%!Q⊂ Q( 2 )⊂ R.
�5��������7���=���� �∈ Z-{ 1} �'�� &�)�����������# AWA d ),+, .) este
��������������%�����������������$
b) Q( d = �'�� �� '����� %�������& �� �����'���� , ��'�� W# 6� ����
��&������J{ 1, d } �'���)� �$
�5��������8�����a, b, c∈ W"� a b c+ +2 43 3 =0 atunci a=b=c.
������� ( Q, +, .= �'�� ���� ������� ��� �& �� ������� ��&����
���*�����'������������������*���'���������$
�����'������!
��&����� J{ x∈ Q*+/x2<2} �'�� ��%��� A (∈ = "� �'�� ��9����� '���
exemplu de 2∈ Q*+$ ��� ����� �� �� ��� ���*��� '��������� 6� W$
?��'������# ���� �)'���# �� �<�'�� �J'�� ∈ Q*+, a≥($ ��� ������� �2=2 nu
���'�&����6�W�� �&���2<2 sau a2>2.
�����'���������2<2.
![Page 99: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/99.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 99
���'������ ������&( )
ba
a= −
+2
2 1
2
2 ∈ Q*+$ ����� �� a+b∈ A, deci a nu
�'�����*���'���������$
( )b aa+ = −
12
22
2
<1 ⇒ 0<b<( )
1
12
a +<1 ⇒ b2<b.
( )a b a ab b+ = + +2 2 22 <a ab b2 2+ + <a ab b a b2 22+ + + = ( )a b a2 21+ + =
aa2
22
2+ −
=a 2 2
2+ <2 ⇒ a+b∈ A .
��&�*'��9��*�&������������������2>2.�5�������� 9�� Fie a1, a2,..., an∈ R+
* astfel încât a a an1 2 1⋅ ⋅ ⋅ =... atunci
a a a nn1 2+ + + ≥... .
�5������� 9. a) Fie a, b ∈ R+* atunci:
21 1 2a b
aba b
+≤ ≤ +
.
b) Fie a, b ,c ∈ R+* atunci:
31 1 1 3
3
a b c
abca b c
+ +≤ ≤ + +
.
c) Fie x1, x2,..., xn ∈ R+* atunci:
n
x x x
x x xx x x
nnn n
1 1 1
1 2 3
1 21 2
+ + +≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤
+ + +
......
.... (Inegalitatea mediilor.
Cauchy, 1821).
�5������� 10. Fie x1, x2,..., xn ∈[ 0, +∞) astfel încât x1+ x2+...+ xnJ($��
'������'��� ���!x
x x x
x
x x x
x
x x x
n
nn n
n
n
1
2 3
2
1 3 1 2 11 1 1 2 1+ + + ++
+ + + ++ +
+ + + +≥
−−... ......
...
�5������� 11$��'��������6�����������*�� ����� &�� ���*�&������!A
p a
B
p b
C
p c p−+
−+
−≥ 3π
, unde A, B, C'�����'���&�6���������&���*�����&��
sale.
Se pot face incursiuni în teoria lui Cantor la diferite nivele. Pentru
atragerea elevului se poate începe cu “povestea hotelului infinit” iar apoi
�������'������� ���������&��� �&���� 6� ��������&����&��$ '�8�&'��9��*�
&� �����"����� �7���%� ��&���� ������)�&�! �# ]# W# W�W# AJ ��&�����
numerelor algebrice.
![Page 100: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/100.jpg)
100 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
��������� �� ������& ����&�< α �'�� ����� �&*�)��� ���� ∃ f∈ Q[X] ,f≠0 astfel încât f(α=JD ��� ��&�����& ������ �� *��� ����� �� ����'��
�����������'�����"����&�����&������&�&&��α.
�5������� 12$������'�����&�������������<�'���)�9����� 6�����
"�Ρ(X) (Cantor).
�5���������.. Fie ( xn)n≥1 �� "�� �� ������ ���&� ����&�# ������ �<�'��
α∈ R astfel încât xn+α∉ Q, ∀ n≥1.
4� 6�������� %�� ��� ���� �� ����& �� �<�������� '������������� %�
�%����8���&����������'������8����&����������&π�'����������&$
�� ���'����� a, b, n∈ N*, 8������&� :nf R→R, ( ) ( )nnn abxx
nxf −=
!
� "�
integralele ( )∫=�
nn xdxxfI�
sin , ∀ n∈ N*.
a) �� '� ����� �� ���� u, v:I→R '��� 8������ �� n ori derivabile pe I,
atunci ( )( ) ( ) ( )kknn
k
kn
n vuCuv −
=∑=
�
.
b) ��'�������� ( )( )�knf ∈ Z, ∀ k∈ N*, n∈ N*.
c) ��'�������� ( )
b
af k
n ∈ Z, ∀ k∈ N*, n∈ N*.
d) ��'�������� limn ∞→
�=nI .
e) În ipoteza b
a� = #'�'�������� nI ∈ Z*, ∀ n∈ N.
S�'������'��� ���������&π∈ R – Q.
Rezolvare.
a) Pentru nJ( �'�� �%�����$ �����'���� ���� ��# ���� �*�&������
�'�����%�����������n#�������'�����%����� "� ������n+1. Într-
���%��#
( )( ) ( )( )
( )( )nn
n vuvuuvuv ′+′=
′=+� = ( )( ) ( )( )nn vuvu ′+′ = ( ) ( )∑
=
−+n
k
kknkn vuC
�
� +
( ) ( )∑+=
+−n
k
kknkn vuC
�
� = ( ) ( ) ( ) ( )kknn
k
kn
kn
n vuCCvu −+
=
−+ ∑ ++ �
�
�� + ( )�+nuv = ( ) ( )∑+
=
−++
�
�
�
�
n
k
kknkn vuC .
b) Cum ( ) �� =nf "� �=x �'������������������&n pentru nf , care are
gradul 2n#�� �&���� ( )( ) ���� −=∀= nkf kn ,, "� �� +≥∀ nk . Pentru
{ } ,...,,, nnnk ��+∈ avem
![Page 101: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/101.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 101
( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
−⋅++
′−+−= − knnnkn
knknk
n abxxabxxCabxxn
xf ...!
���=
( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )[ ]����� +++−++−⋅+++ −−− .........!
nnnknnk
nknnnnkk abxxCabxxC
n
�������� �&���� ( )( ) ( )( )( )( )��
�nknnk
kk
n abxnCn
f−− −⋅= !
!=
( ) ( )( ) knnknkk aknnnbC −−− −+−− �
��� ... ∈ Z.
c) ( )
b
af k
n ∈ Z, �� −=∀ nk . "� �� +≥∀ nk . Pentru { }nnnk �� ,...,, +∈ avem
( )
b
af k
n = ( )( )
−
a
bxbnC
n
nknnkn !
!
�= ( ) ( )
knnn
k b
aknnnbC
−
⋅+−−−
�
��� =
( ) ( ) knknnk baknnnC −−+−−= ���� ... ∈ Z.
d) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +≤−=≤≤
+� � �
nnnn
nnn n
M�
dxabxxn
dxxfdxxxfI� � �
�
�
�
!!sin , unde
[ ]abxM
�x
−=∈ ,sup
�
. Cum ( ) ��
�
=+
+
∞→ !lim
n
M�nn
n#�� �&���� �=
∞→ nn
Ilim .
e) Dac�b
a� = #����*�7�����������%���%�� ( )∫ ==
�
nn xdxxfI�
sin
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ =″−′++=′+−=� �
n
�
nnn
�
n xdxxfxxff�fxdxxfxxf� �
��� ...sinsincoscos
…= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ++++
″+″−+ ...��� nnnnnn f�ff�ff�f
( ) ( )( )∫⋅−++�
nn
n xdxxf�
�� .sin... Cum ( )( )�f kn ∈ Z "� ( )k
nf ∈ Z, iar
( )( ) ( ) nnn bn
nxf ⋅= !
!�
�� ∈ Z#�� �&���� nI ∈ Z.
f) ����π∈ Q, atunci b
a� = conduce la nI ∈ Z"���� �=
∞→ nn
Ilim #�� �&��
�� nnI n ≥∀= , . Dar �� ≠nI , ∈∀ n N, fals.
Autoevaluarea ������� ���������� �������&�� ���8������� 6� ������ ��
�)�����%�&�����������&�$ 4������'�&�����%�&������&�%�&%� 6���&�*����)���
�)�����%�&� "� ���������& '������� �� � ��� �� �� �&%��# ���&� ���� ���� *�'�"��
'�&���� ������� "� ����& 6� ���� �8����& '�� �� �� �&%��� � '������� �'��
%�&���8����$ ����%�&����� ���)��� 8����� '�) ������ 6�������� � ���8�'���&��
în special la clasele de liceu.
![Page 102: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/102.jpg)
102 *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF�
BIBLIOGRAFIE
1. ��������/���������/����:�(��/������������/���� �������/������ ���/����;�'���/�$��������<�=$ �'�(�����'�����������5������=
������"��#(22.#�������T ����'T
%�����������+����'�����-/���� �����/������ ���/�����;�'���/������������– “Ghid practic de elaborare a itemilor pentru examene“
���#������"��#(22.$
3. J. Stenmark (editor) – “Mathematics Assessment“
NCTM/ Virginia, 1991.
1����������=$�>���������=seria B, 1990-1997.
�������
2��$ ����'��/��������(�/�$ ��"��'��<��=��(0���)����5����'
�'�����������)��'�������=
���'�����#(22/$
7��$ ����'��/��������(�/�#����������<��=��(0���)����5����'
�'�����������)��'�������=
��$T��������0T#������"��#(22+$
8�����"� ���/�$ ��$��(��/���������/������ ���<��=���0���'���(0��/�����>�����(����=
��$T���������7���'��T#������"��#(22($
8. I.D.����/����$ ����/�������'���/������(�����<�=��(0���<��������?��-a“
��$T?���&�&�1+T#?���"��#(220$
9. Virgil Nicula – “Numere complexe“
��$T��������0T#������"��#(22/$
�@���������/�����)�����<�=���0���'�����������(0���=
��$�������#(201$
���������������/��������/����"���'�0���/����:�����<�=���(��')��0���'���(0���)��������=
Ed. “Roteh-Pro“, 1996.
�%�������������/���������<�=�����������������������������(0���=
��$�������#������"��#(202$
�.�� ��������)��/������������)��/���� �����<�=��'������������=��$T>�T#]�&��
![Page 103: DE EVALUARE LA - math.uaic.rooanacon/depozit/Ghid_Evaluare_Matematica.pdf · *KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF 9 – de câteva ori pe an – la date fixe – continuu • Cu ce ˜ ’˙](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022011810/5dd0a8d8d6be591ccb621197/html5/thumbnails/103.jpg)
*KLG GH HYDOXDUH OD 0DWHPDWLF� 103
�1���������<�=��(0������������,��'������)��������“
Ed. T������T#������"��#(22.$
�����
15. V. Arsinte – “Probleme elementare de calcul integral“
��$���%��'������������"��#(22+$
16. D.�"����(/ I.V. Maftei – =���)������������'�����������elevilor“
Ed. “Scrisul Românesc“, Craiova, 1983.
�8�������������<�=�����5�)��*�������>���������=������"��#(2G2$
�9�������������<�=�����>���������=������"��#(22,$
�A��������B���� �<�=$������)���*��*�������������>��������=
Ed. “Dacia“, Cluj-Napoca, 1982.
%@����� �)��<�=���0���'������>��������������������(���=��$T>�T#]�&��#(22.$
%��������������/����������/��������������<�=�����>���������=��&�#��$���������"�?���*�*���#������"��#(2GD$
%%��$ ������� ��<�=�������'�,������������(���=A,%�&$=��$�������8���"������&�������#������"��#(2G+$
Geometrie
%.�����"�;�>�/���������/����� ������<�=$����/����������?C�=
��$T?���&�&�1+T#?���"��#(22.$
%1�����"�;�>�/���������/���������<�=�����������)����������'���=��$ ��������#������"��#(2G.$
%2����������/����� ������<�=��������)�5�*����������'�����“
��$T T#������"��#(22+$
26. L. Nicolescu, V. Boskoff – “Probleme practice de geometrie“
��$�������#������"��#(22D$
%8��$ ���������<�=���(��'�)��0���'�(����=
Bucur�"��#(2.+$