de fyra räknesätten · 0,123 betyder 1 × 0,1 + 2 × 0,01 + 3 × 0,001 ordet aritmetik kommer av...

Matematik

Matematik Fastighetsakademin, 2016 Fjärde upplagen, rev. 1c Tryckt på Fastighetsakademin

Fastighetsakademin J A Wettergrens gata 14, 421 30 Västra Frölunda www.fastighetsakademin.se Tel: 031-734 11 60 [email protected]

http://www.fastighetsakademin.se/

Förord

Varför behöver man repetera matte inför skolstarten? Nio av tio sökande säger att de har glömt den matematik de lärt i skolan och tycker att det är svårt. Men matematik är ett ämne som är grundstenen för många andra ämnen, därför är det viktigt att man repeterar och återupplivar sina kunskaper inför de fortsatta studierna. Kompendiet innehåller många lösta exempel och det finns förutom svar med kommentarer även ledningar och fullständiga lösningar till ett urval av uppgifterna. Kompendiet täcker in allt väsentligt från gymnasiets kurser 1/A- till 2/B-nivå, men vi har lagt tonvikten vid de mer grundläggande färdigheterna samt anpassat innehållet för de matematiska förkunskaper som krävs för vidare studier i andra ämnen vid Fastighetsakademin, t.ex. byggnadsteknik och -fysik, installationsteknik, kyl- och värmepumpsteknik, elteknik, investerings-kalkylering och företagsekonomi. Du bör försöka att räkna samtliga tal i kompendiet, men särskilt prioritera kapitlen 1, 5a, 5b, 6, 9, 10 och 12. Lycka till med dina studier! december 2016 Fastighetsakademin

– Innehållsförteckning –

Fastighetsakademin 5

Innehållsförteckning

1 Studietips ............................................................................................................................... 9 Allmänna studietips .............................................................................................................................................. 9 Matematiska studietips .................................................................................................................................... 10 Strategitips inför problemlösning ............................................................................................................... 10 Antal decimaler ................................................................................................................................................... 11 Avrundning ........................................................................................................................................................... 11 Överslag .................................................................................................................................................................. 11

2 De fyra räknesätten ........................................................................................................ 12 Inledning ................................................................................................................................................................ 12 Addition .................................................................................................................................................................. 13 Subtraktion ............................................................................................................................................................ 14 Multiplikation ....................................................................................................................................................... 15 Division ................................................................................................................................................................... 16 Potenser .................................................................................................................................................................. 17 Tiopotenser ........................................................................................................................................................... 18 Stora och små tal ................................................................................................................................................. 18 Prefix ........................................................................................................................................................................ 21 Prioriteringsregler ............................................................................................................................................. 22 Räkneordning i uttryck .................................................................................................................................... 22 Decimaltal .............................................................................................................................................................. 25 Miniräknaren eller inte? .................................................................................................................................. 25 Avrundning ........................................................................................................................................................... 26 Avrundningsregler ............................................................................................................................................. 26 Överslagsräkning ................................................................................................................................................ 28 Sammanfattning .................................................................................................................................................. 29 Antal gällande siffror......................................................................................................................................... 29 Tillämpade beräkningar .................................................................................................................................. 31 Proportionellt ....................................................................................................................................................... 31 Översikt .................................................................................................................................................................. 33

3 Negativa tal ........................................................................................................................ 34 Tallinjen och termometern ............................................................................................................................. 34 Addition av negativa tal ................................................................................................................................... 37 Subtraktion av negativa tal ............................................................................................................................. 38 Multiplikation med negativa tal .................................................................................................................... 39 Multiplikation 1 ................................................................................................................................................... 39 Multiplikation 2 ................................................................................................................................................... 40 Division med negativa tal ................................................................................................................................ 40 Översikt .................................................................................................................................................................. 43

4 Bråkräkning....................................................................................................................... 44 Hela och delar....................................................................................................................................................... 44 Addition och subtraktion av bråk ................................................................................................................ 44 Gemensam nämnare .......................................................................................................................................... 45 Multiplikation av bråk ...................................................................................................................................... 45 Division med bråk .............................................................................................................................................. 46 Förkorta och förlänga ....................................................................................................................................... 47 Översikt .................................................................................................................................................................. 53

5a Formler och ekvationer .............................................................................................. 54 Exempel på problemlösning .......................................................................................................................... 54


6 Fastighetsakademin

Förenkling av uttryck ........................................................................................................................................ 56 Formler .................................................................................................................................................................... 56 Ekvationer .............................................................................................................................................................. 56 Ekvationer av första graden med flera obekanta (linjära ekvationssystem) ............................. 58 Översikt ................................................................................................................................................................... 62

5b Massa, densitet och tryck ........................................................................................... 63 Påkänning ............................................................................................................................................................... 63

6 Procent ................................................................................................................................. 65 En procent och hundra procent .................................................................................................................... 65 Vanliga problemtyper: ...................................................................................................................................... 70 Procent, promille och ppm .............................................................................................................................. 71 Beräkning av procenttal och promille – division ................................................................................... 71 Förändringsfaktorn ............................................................................................................................................ 72 Procent och procentenheter. .......................................................................................................................... 74 Beräkning av procentsatsen och nya värdet............................................................................................ 77 Vilken procentsats? ............................................................................................................................................ 78 Tre basproblem.................................................................................................................................................... 78 Tillämpningar ....................................................................................................................................................... 82 Översikt ................................................................................................................................................................... 87

7 Index ..................................................................................................................................... 89 Konsumentindex ................................................................................................................................................. 90

8 Statistik och diagram ...................................................................................................... 91 Lägesmått ............................................................................................................................................................... 91 Tabeller ................................................................................................................................................................... 92 Diagram ................................................................................................................................................................... 93 Olika typer av diagram...................................................................................................................................... 93 Stolpdiagram ......................................................................................................................................................... 93 Histogram ............................................................................................................................................................... 93 Stapeldiagram ....................................................................................................................................................... 95 Cirkeldiagram ....................................................................................................................................................... 96 Linjediagram ......................................................................................................................................................... 97 Missbruk av statistik .......................................................................................................................................... 97

9 Geometri ............................................................................................................................ 104 Mäta med linjal .................................................................................................................................................. 104 Omkrets ................................................................................................................................................................ 104 Längdenheter ..................................................................................................................................................... 105 Area ........................................................................................................................................................................ 105 Cirklar ................................................................................................................................................................... 106 Cylindrar, koner ................................................................................................................................................ 106 Mantelarea .......................................................................................................................................................... 107 Areaenheter ........................................................................................................................................................ 107 Volym .................................................................................................................................................................... 108 Volymenheter .................................................................................................................................................... 108 Trianglar och vinklar ...................................................................................................................................... 111 Pythagoras sats ................................................................................................................................................. 116 Kvadratrötter ..................................................................................................................................................... 117 Översikt ................................................................................................................................................................ 124



10 Trigonometri ................................................................................................................ 126

11 Likformighet och skala .............................................................................................. 140 Likformiga trianglar ........................................................................................................................................ 141 Andra likformiga figurer ................................................................................................................................ 142

12 Lutning ............................................................................................................................ 149

13 Algebraiska uttryck och ekvationer ..................................................................... 151 Algebraiska uttryck .......................................................................................................................................... 151 Förstagradsekvationer ................................................................................................................................... 154 Problemlösning med förstagradsekvationer ........................................................................................ 158 Lösa ut variabler i formler ............................................................................................................................ 160 Kvadratrötter ..................................................................................................................................................... 163 Andragradsekvationer.................................................................................................................................... 164 Allmänna andragradsekvationer ............................................................................................................... 164 Repetion inför linjära funktioner ............................................................................................................... 168 Att räkna med negativa tal ............................................................................................................................ 168 Att multiplicera in ett tal i en parentes och att lösa ut en variabel i en formel ....................... 169 Funktionsbegreppet ........................................................................................................................................ 170 Graf ......................................................................................................................................................................... 170 Tabell ..................................................................................................................................................................... 170 Formel ................................................................................................................................................................... 170 När är y en funktion av x? ............................................................................................................................. 170 Funktion ............................................................................................................................................................... 172

14 Blandad problemlösning .......................................................................................... 178

Facit ........................................................................................................................................ 181

– Kapitel 1: Studietips –


1 Studietips

Allmänna studietips Att studera är ganska krävande och tar tid. Du har nu valt att studera och vi utgår från att du naturligtvis vill lyckas så bra som möjligt! Det är en konst att kunna prioritera rätt och använda sin tid för studier så effektivt som möjligt. För att underlätta detta arbete för dig kommer här ett antal tips som kan vara värdefulla, speciellt om du inte studerat på längre, för att du ska nå ditt mål. 1. Börja med att fundera över din personliga situation och hur dina studier ska genomföras.

• Arbetar du hel- eller deltid? • Har du barn och familj? • Har du någon bra plats för dina studier?

Din tid är viktig! För att dina studier ska flyta på så bra som möjligt är det viktigt att vara ”ekonomisk” med tiden och utnyttja den på bästa sätt. Bästa utnyttjande av tiden förutsätter en bra plats för studierna. 2. När du väljer plats för ditt läsande är det bra om

• du kan stänga dörren om dig så att du kan vara ifred och koncentrera dig, • du har plats för och ordning på dina böcker, pärmar m.m., så att du inte behöver ödsla

tid på att leta efter dina saker, • du har bra belysning så att du inte blir så trött i ögonen, • du möblerar så att det känns trivsamt.

Är det någon i klassen som bor i närheten av dig? Arbeta gärna tillsammans om ni kan! Det finns möjlighet att stanna kvar varje dag efter lektionerna och sitta i våra lokaler. Att ha någon i närheten att bolla sina idéer med, få inspiration av, knäcka problem tillsammans med är ovärderlig hjälp. 3. Utveckla goda arbetsvanor.

• Se gärna dina studiepass som ett heltidsjobb. Sätt upp delmål som ska nås inom uppsatt tid, avsätt regelbunden tid för varje pass, alla pass är viktiga, räcker inte studietiden får man utöka den. På det här sättet kan alla bli bättre.

• Skaffa dig en översikt över vad kursen innehåller så att du kan sätta upp dina delmål. Har boken sammanfattningar i slutet av varje kapitel blir det enkelt.

• Använd skolschema och kursbeskrivning för att planera dina studier så att du är förberedd inför varje lektion och kan ställa frågor kring det du inte förstått.

• Gör din personliga tidsplanering utifrån dina förkunskaper. 4. Fler tips!

• Läs igenom och begrunda eventuella lektionsanteckningar så fort som möjligt, och komplettera dem om det är nödvändigt medan du har allt färskt i ditt minne.

• Räkna och fundera, räkna och begrunda, räkna och reflektera! Att lära sig matematik är som att lära sig ett nytt språk, matematikspråket.

• Läs boken med pennan i hand; stryk under, kommentera. Är något avsnitt svårt, märk ut var det är (t.ex. skriv sidnumren i bokens pärm) och be om hjälp med det.

• Traggla inte i timtal om du kör fast på någon uppgift. Lägg bort den ett tag och räkna en annan uppgift i stället. Återkom till den besvärliga uppgiften senare.

• Gör små pauser eftersom för långa pass gör dig trött. Ät och drick gärna lite mellan varven; hjärnan arbetar ju när du tänker. En promenad, en tur i motionsspåret eller annan fysisk aktivitet är också bra avbrott. Kroppen behöver röra på sig och det du läst och räknat faller på plats under tiden.



Matematiska studietips • Läs igenom avsnittet om problemlösning nedan och tillämpa de metoder som

beskrivs där. • Tag för vana att rita och skriva upp det du känner (vet) i frågeställningen på ett

papper så klarnar ofta bilden av vad du ska räkna ut. Stryk under dina delresultat och ditt slutresultat. Redovisa till sist svaret separat. Studera noga alla exempel på lösningar.

• Bli ”vän” med din miniräknare. Olika märken har ibland olika beteckningar för samma funktion.

Strategitips inför problemlösning Hur gör man då när man löser ett problem?

1. Du ska förstå problemet. Vad söker man? Vad är givet? Verkar problemet rimligt? Rita en figur om det går. Inför lämpliga beteckningar.

2. Gör upp en plan.

Har du sett detta tidigare? Har du sett eller löst något liknande förut? Kan du dela in i delproblem? Kan du lösa eventuella delproblem? Vilka fakta saknas? Du måste tänka efter hur du ska lösa problemet och ställa upp de beräkningar du ska göra.

3. Genomför planen.

Du måste genomföra beräkningarna för att få ett resultat. Kontrollera varje steg. Fungerar det inte gör du upp en ny plan.

4. Se tillbaka.

Är resultatet rimligt? Kan man lösa problemet på ett annat sätt? Är resultatet eller metoden användbar i andra sammanhang?

Steg 3 är viktigt att kunna genomföra. Klarar man inte det får man inget resultat till problemet. Beräkningarna kan utföras med → huvudräkning → handräkning → räknare. Före räknarens tid måste de flesta beräkningar utföras med handräkning. Nackdelar med detta är att → de tar lång tid → man kan lätt räkna fel → verklighetsnära uppgifter kan sällan lösas då de ofta leder till för svåra beräkningar. Vi tar därför hjälp av räknaren för svårare beräkningar. Enkla beräkningar kan du göra i huvudet. Exempel 1: 7,01 × 8,3 utför du med räknare 7 × 8 räknar du i huvudet



Exempel 2: 16,1 / 4,3 utför du med räknare 16 / 4 räknar du i huvudet.

Antal decimaler När vi använder räknare är det naturligt att skriva upp talen med decimaler. Som följande exempel visar måste vi dock se upp med antalet decimaler. Exempel 3: Jenny köpte 19 äpplen för 37 kr. Vad kostade ett äpple?

Räknaren ger 19

37 kr = 1,9473684… kr

Avrundning Vi kan inte svara med 7 decimaler, då mynt för ören är avskaffade. Vid kontantbetalning måste därför talet avrundas till heltal.

kr219

37

Överslag Ofta är det bra att göra ett överslag innan man använder räknare.

220

40

19

37=

Tecknet betyder ”ungefär lika med”.

– Kapitel 2: De fyra räknesätten –


2 De fyra räknesätten

Inledning Varför läser du ämnet matematik? Det är för att du ska kunna lösa matematikproblem av olika slag som du möter i samhället, i arbetslivet och i flera andra ämnen under utbildningen. I vårt vardagsliv påverkas vi alla av matematik och behöver enkla basfärdigheter för att klara oss i samhället. Matematik är en urgammal vetenskap. Från början hade man bara behov av de hela positiva talen, de som vi i dag kallar de naturliga. Naturliga tal är 0, 1, 2, 3 o.s.v. Vårt talsystem är det s.k. tiosystemet, som är ett positionssystem. I ett positionssystem är det av avgörande betydelse var siffran står i talet, d.v.s. vilken position den har. 127 betyder 1×100 + 2×10 + 7×1 0,123 betyder 1 × 0,1 + 2 × 0,01 + 3 × 0,001 Ordet aritmetik kommer av grekiskans ord för ’räknekonst’. Denna den del av matematiken arbetar vanligen med de hela talen och de fyra enkla räknesätten. Ordet aritmetik används även som ”sifferräkning” (1 + 3), i motsats till algebra som är ”bokstavsräkning” (2a + b). De fyra vanliga räknesätten är:

Addition (plus)

4 + 9 = 13 term + term = summa

Subtraktion (minus)

15 – 7 = 8 term – term = differens/skillnad

Multiplikation (gånger)

4 × 8 = 32 faktor × faktor = produkt

Division (delat)

51 / 17 = 3 täljare / nämnare = kvot

I tiosystemet, även kallat decimaltalsystemet, är basen 10 och siffrorna 0 till 9, med s.k. arabiska siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. De arabiska siffrorna infördes i Europa på 1300-talet och är de mest använda i världen.

http://www.abc.se/~m9847/matmin/algebra.html



Tiosystemet är överlägset andra talsystem när det gäller praktiska beräkningar. Datorer däremot arbetar med 2-systemet, det binära systemet. Ett binärt talsystem har två som bas och behöver bara två tecken, 1 och 0. Positionsvärdet multipliceras här med två för varje steg åt vänster. Så t.ex. är det binära talet 1011 uttryckt i det decimala systemet detsamma som 1 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1 = 11. Det binära systemet har kommit till användning särskilt inom datatekniken, där alternativen 1 och 0 kan motsvaras av två olika tillstånd hos en elektronisk krets eller ett magnetiskt medium.

Addition Att addera är att lägga samman två eller flera tal till ett enda. Räkneoperation 5 + 7 = 12 kallas en addition. Två eller flera tal, termer, adderas till en summa. Mellan termerna skrivs plustecken: a + b = s. Term + term = summa. Additionen är vad matematikerna kallar för kommutativ, d.v.s. summan är oberoende av termernas ordningsföljd: a + b = b + a, t.ex. 3 + 2 = 2 + 3 Med vardagligt språk är det enklast att säga: ”Det spelar ingen roll i vilken ordning man lägger ihop talen för svaret blir det samma i alla fall.” Additionen är dessutom associativ, d.v.s. summan av termer kan bildas på olika sätt: (a + b) + c = a + (b + c) Endast storheter av samma slag får adderas. Exempel 1: 2 cm + 5 cm = 7 cm Exempel 2: 4 äpple + 2 päron + 5 äpple + 6 päron = 9 äpplen + 8 päron, eller som en ekvation 4a + 2b + 5a + 6b = 9a + 8b



Beräkningar

1. Ett jämnt naturligt tal slutar på någon av siffrorna _________

2. Ett udda naturligt tal slutar på någon av siffrorna _________

3. Vilket av talen är störst? 2 457 2 098 20 501

4. Vilket av talen är minst? 9 689 2 121 20 105

5. 345 + 218 =

6. 756 + 89 =

7. 4 587 + 90 =

8. 2 010 + 756 =

9. 203 + 987 =

10. 345 + 67 =

Subtraktion Genom subtraktion beräknas skillnaden/differensen mellan två tal, eller ett tals överskott över ett annat. Räkneoperationen 14 – 9 = 5 kallas subtraktion. 14 och 9 kallas termer, och resultatet kallas en differens.

Term – term = differens Subtraktion och addition är motsatta räknesätt. Subtraktion kan kontrolleras genom en addition:

14 – 9 = 5 5 + 9 = 14 Provet kallas subtraktionsprovet. Subtraktionen a – b = c är riktig, om c + b = a. Endast storheter av samma slag får subtraheras. Exempel 1: 7 cm – 5 cm = 2 cm Exempel 2: 9a + 6b – 5a – 2b = 4a + 4b

Beräkningar

1. 34 – 6 =

2. 4 320 – 876 =

3. 7a – 3a =

4. 53 – 52 =

5. 132 – 65 =

6. 5 789 – 987 =

7. 543 – 345 =



8. 632 – 54 =

9. 9 – 3 =

10. 540 – 340 =

Multiplikation När man multiplicerar ett tal, är det i verkligheten detsamma som att addera det ett visst antal gånger. 4 + 4 + 4 uppfattas som 3 gånger 4 och skrivs kort 3 × 4, 3 4, 3 · 4 eller 3 x 4. Vid ekvationsberäkningarna och användning av formler utelämnas ofta multiplikationstecknet. Det innebär att 2a = 2 × a = a + a. Multiplikation är kommunikativ, d.v.s. ordningen spelar ingen roll: 4 × 3 = 3 × 4 Multiplikation är associativ. Parenteser kan tas bort och sättas dit godtyckligt i en produkt: 4 × 3 × 2 = (4 × 3) × 2 = 4 × (3 × 2) Multiplikation är distrubutiv över additionen: a(b + c)=ab + ac. Multiplicerar man ett tal med 0 innebär det att man ska ta det 0 gånger vilket ger resultatet 0. Det vill säga: En produkt är 0, då någon av faktorerna är 0: 3 × 0 = 0. De sista siffrorna i talen ska stå under varandra i en multiplikation. Det betyder att man inte behöver tänka på heltal, decimaler o.s.v. För att få decimaltalet på rätt ställe i svaren kan man räkna samman antalet decimaler i uppställningen, d.v.s. antal siffror efter decimaltecknet.

Beräkningar

1. 5 × 38 =

2. 3 × 13 =

3. 4,5 × 4,5 =

4. 4,5 × 100 =

5. 126 × 23 =

6. 123,4 × 0,6 =

7. 34 × 3 =

8. 908 × 607 =

9. 0,002 × 0,4 =

10. Hur flyttas siffrorna i positionssystemet när du multiplicerar ett tal med 10?

11. Inför en studieresa betalade 30 studenter 185 kr vardera. Hur mycket kostade resan? a) Teckna den uträkning du ska göra. b) Gör en överslagsberäkning.

12. När man ska sätta kakel över diskbänken, spisen och bänkskåpet går det åt 26 kakelplattor i varje rad. Hur många plattor går det åt om man sätter fyra rader?



13. Du ska armera 4 st pelare på bottenvåningen av ett hus. Varje

pelare har 4 st stående 12, L=2 450, samt 14 st byglar 8. a) Hur många 12 blir det sammanlagt till alla pelarna? b) Hur många byglar blir det sammanlagt till alla pelarna? c) Hur mycket väger 1 st 12, L=2 450 mm om 1,0 m väger 0,915 kg?

Division Det finns två typer av division: Delningsdivision: Divisionen är att dela ett givet tal i ett visst antal lika stora delar. Räkneoperationen 28/7 = 4 kallas en division. 28 kallas täljare, 7 kallas nämnare, resultatet av divisionen (4) kallas kvoten. Täljare/nämnare = kvot Innehållsdivision: Divisionen är även att finna hur många gånger ett tal innehålls i ett annat och detta angivs av kvoten. Divisionen kan tecknas som ett bråk med ett kolon (a : b) eller med ett snedstreck (a / b). Även tecknet ÷ förekommer. Division och multiplikation är motsatta räknesätt. Man kan inte dividera med 0.

Beräkningar

1. 63 / 7 =

2. 64 / 8 =

3. 90 / 10 =

4. 320 / 16 =



5. 555 / 5 =

6. 1 550 / 25 =

7. Du ska kapa brädor till ett staket som är 8,55 m långt. Bräderna ska sitta med ett avstånd på 150 mm. Hur många brädor ska du kapa till?

8. Två tårtor ska delas på 14 personer. Antag att alla vill ha lika stor del av tårtan. Hur

många bitar blir det på varje tårta?

9. Hur flyttas siffrorna i ett positionssystem när du dividerar ett tal med 100?

10. Ett rött månadskort hos Västtrafik kostar 445 kr per månad. Om du istället köper s.k. 100-kort för 100 kr kostar varje resa 12 kr. Hur många enkelresor måste du åka i månaden för att det ska bli billigare att köpa ett månadskort?

Potenser En summa där alla termerna är lika kan skrivas som en produkt: 7 + 7 + 7 = 7 × 3 ”7 gånger 3” En produkt där alla faktorerna är lika kan skrivas som en potens: 7 × 7 × 7 = 73 ”7 upphöjt till 3” Observera att 7 × 3 och 73 är två olika tal: 7 × 3 = 21 och 73 = 343. En potens består av bas och exponent.

3 × 3 = 32 Exempel 1: 32 = 3 × 3 = 9 Exempel 2: 33 = 3 × 3 × 3 = 27 Exempel 3: 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 Exempel 4: 102 = 10 × 10 = 100

bas

exponent



Tiopotenser Potenser med talet tio som bas kallas tiopotenser: 101 = 10 102 = 10 × 10 = 100 103 = 10 × 10 × 10 = 1 000 104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000 106 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1 000 000 (1 miljon) . . . 109 = ... = 1 000 000 000 (1 miljard) . . . 1012 = ... = 1 000 000 000 000 (1 biljon) Observera att exponenten är lika med antalet nollor i det utskrivna talet. Multiplikation och division

Vid multipikation av tiopotenser ska exponenterna adderas.

baba 101010 +=

Vid division av tiopotenser ska exponenterna subtraheras.

ba

b

a

1010

10 −=

Stora och små tal Genom att använda tiopotenser kan man skriva stora tal på ett bekvämt sätt. 6 miljoner = 6 × 106 (1 miljon = 106) 6,5 miljoner = 6,5 × 106 6,25 miljoner = 6,25 × 106 De tre talen är av samma storleksordning vilket visar sig genom att exponenterna är lika. Grundpotensform innebär att talet skrivs som en produkt av en tiopotens och ett tal som är större än eller lika med 1 men mindre än 10.

6 250 000 = 6,25 × 106 Även för att skriva små tal behövs många siffror. Men här visar vi att man även kan skriva små tal i grundpotensform.

Tiopotenser med negativ exponent: 0,001 = 1 tusendel 310

1

0001

1==

tal mellan 1 och 10

tiopotens



Men istället för att skriva 310

1 skriver man 10–3.

1 000 000 = 106 100 000 = 105

10 000 = 104

1 000 = 103

100 = 102

10 = 101

1 = 100

0,1 = 10–1

0,01 = 10–2

0,001 = 10–3

0,000 1 = 10–4

0,000 01 = 10–5

0,000 001 = 10–6

Beräkningar

1. Skriv i potensform a) 3 × 3 b) 4 × 4 c) 2 × 2 × 2

2. Beräkna

a) 62 b) 24 c) 82 3. Skriv i potensform

a) 9 × 9 b) 8 × 8 × 8 c) 3 × 3 × 3 × 3 4. Skriv en potens med

a) basen 9 och exponenten 5 b) exponenten 2 och basen 4 5. Skriv i potensform och beräkna

a) 10 × 10 × 10 b) 10 × 10 × 10 × 10 c) 10 × 10 d) 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

6. a) 52 – 32 b) 13 c) 24 + 22 7. a) 102 + 12 b) 3 × 102 c) 12 + 72 8. a) 0,22 + 0,12 b) 82 – 26 c) 112 – 34 9. Skriv med vanliga ord

a) 4 × 103 b) 9 × 102 c) 7 × 106 Skriv både som vanligt tal och i tiopotensform 10. a) Fyra tusen b) Åtta miljoner c) Två miljarder 11. a) Nio hundra b) Fem tusen c) Sju miljoner 12. a) Två tusen b) Tre miljarder c) Sex tusen



Skriv i grundpotensform 13. a) 4 500 b) 8 300 c) 900 000 14. a) 7 500 b) 20 000 c) 30 500 15. a) 300 000 b) 780 000 c) 2 900 16. a) 6 000 b) 52 000 c) 185 000 17. a) 560 b) 5 600 c) 560 000 18. a) 2 000 b) 2 100 c) 20 100 Skriv som vanligt tal 19. a) 5 × 103 b) 5,4 × 103 c) 5,4 × 102 20. a) 2 × 105 b) 2,7 × 104 c) 3,2 × 101 21. a) 8,1 × 102 b) 8,1 × 103 c) 8,5 × 103 22. a) 2,1 × 103 b) 9 × 103 c) 2,6 × 104 23. a) 3,5 × 102 b) 4,5 × 103 c) 8,07 × 105 24. a) 5 × 106 b) 103 c) 1,08 × 102

25. Sveriges befolkning är ungefär 8 600 000. Skriv detta tal i grundpotensform. 26. Ljuset går med hastigheten 3 × 108 m/s. Skriv ljusets hastighet utan tiopotens. 27. Runt ekvatorn är det cirka 40 000 km. Skriv detta i grundpotensform. 28. Jordens ålder beräknas till 4,7 × 109 år. Skriv detta utan tiopotens. Skriv som en potens

29. a) 103 × 104 b) 102 × 107 c) 4

6

10

10

30. a) 10 × 108 b) 103 × 102 × 106 c) 107 × 10

31. a) 2

5

10

10 b) 105 × 100 × 109 c)

10

103

32. a) 3

6

10

10 b)

3

3

10

10 c)

4

8

10

10

33. a) 103 × 104 × 105 b) 10 × 104 × 10



34. a) 52

63

10×10

10×10 b)

33

9

10×10

10×10

Skriv i grundpotensform 35. a) 0,08 b) 0,006 c) 0,0045 36. a) 0,07 b) 0,0075 c) 0,000 23 37. a) 0,000 019 b) 0,000 005 c) 0,000 04 38. a) 0,000 63 b) 0,000 000 33 c) 0,009 39. a) 0,000 8 b) 0,07 c) 0,000 002 40. a) 0,001 05 b) 0,000 045 c) 0,000 408 Skriv utan tiopotens 41. a) 7 × 10–3 b) 9 × 10–2 c) 10–6 42. a) 5,2 × 10–2 b) 4,9 × 10–5 c) 1,7 × 10–3 43. a) 10–3 b) 4,05 × 10–3 c) 3,8 × 10–4 44. a) 7 × 10–4 b) 10–1 c) 1,6 × 10–3 45. a) 10–2 b) 8,07 × 10–2 c) 9,50 × 10–6 Skriv i grundpotensform 46. a) 0,001 b) 0,095 c) 0,000 295 47. a) 0,07 b) 0,002 c) 0,000 016 48. a) 0,019 b) 0,000 85 c) 0,000 1 49. a) 0,005 b) 0,006 08 c) 0,037

Prefix Då stora och små tal ska skrivas tillsammans med enheter används ofta prefix. De vanligaste prefixen i SI (det internationella måttenhetssystemet) är: T (tera) = 1012 = biljon G (giga) = 109 = miljard M (mega) = 106 = miljon k (kilo) = 103 = tusen m (milli) = 10–3 = tusendel (mikro) = 10–6 = miljondel (”my”) är en grekisk bokstav n (nano) = 10–9 = miljarddel p (piko) = 10–12 = biljondel



Prioriteringsregler

Räkneordning i uttryck Exempel 1: Martin och Lisa ska beräkna värdet av uttrycket 6 + 3 × 5 Martin: Det blir 9 × 5 = 45 Lisa: Nej, det blir 6 + 15 = 21 Olika resultat trots att ingen ”räknat fel”. Martin har tagit additionen först och Lisa har börjat med multiplikationen. En beräkning med flera räknesätt måste naturligtvis ge samma resultat oavsett vem som utför den. Räkneordning: Därför har man inom matematiken kommit överens om en räkneordning som innebär att multiplikation går före addition. Lisa hade alltså ”rätt”. Överenskommelse:

I uttryck med flera räknesätt beräknar man 1. först parenteserna 2. sedan multiplikationer och divisioner 3. sist additioner och subtraktioner

Prioriteringsregler: Vi kallar dessa räkneregler för prioriteringsregler. Exempel 2: Beräkna

a) (7 + 3) × 5 b) 7 + 3 × 5 c) 4 + 12 / 4 – 2 × 3 a) (7 + 3) × 5 = 10 × 5 = 50 b) 7 + 3 × 5 = 7 + 15 = 22

c) 4 + 12 / 4 – 2 × 3 = 4 + 3 – 6 = 1 Så länge det bara är två tal som ska räknas ihop på något sätt är det sällan problem att lösa uppgifterna. Ska du däremot räkna en uppgift där flera räknesätt är med måste du veta i vilken ordning du ska räkna dem, med andra ord hur du ska prioritera dina beräkningar. Man kan testa en räknare med följande exempel: Slå in 3 + 5 × 3 = Om resultatet blir 24 kan inte din miniräknare ta hänsyn till prioriteringsreglerna. Om resultatet blir 18 kan du lita på att din miniräknare tar hänsyn till prioriteringsreglerna. Exempel 3: Beräkna 3 (2 + 5) 3 × (2 + 5) = 3 × 7 = 21

Multiplikationen beräknas först

Division och multiplikation beräknas först

Parentesen beräknas först



Exempel 4: Beräkna 1015

25175

+

−

Beroende på vilken typ av miniräknare du har måste du använda dig av parenteser.

625

150

1015

25175==

+

−

Exempel 5: Beräkna 6)312(33

40

−+

830

240

273

640

933

6406

)312(33

40==

+

=

+

=

−+

Beräkningar

1. a) 13 – 3 × 2 b) 250 + 50 × 2 c) 3 × 20 + 10 d) 50 – 40 / 2 2. a) 5 × 2 + 3 × 10 b) 3 × (20 + 10) c) 3 × 6 + 12 / 2 d) 7 × 5 + 10 / 5 3. a) 4 + 3 × 2 b) 9 – 2 × 4 c) 7 × 8 + 4 d) 5 × 9 – 5

4. a) 6 + 3

9 b) 10 –

2

6 c) 15 / 5 + 4 d) 12 / 3 – 3

5. a) 3 + 2 × 5 b) 4 × 5 + 3 × 3 c) 15 – 5 × 2 d) (15 – 5) × 2 6. a) 15 + 10 / 5 b) (15 + 10) / 5 c) 15 / 5 – 2 d) 15 / (5 – 2) 7. a) 24 – 8 × 2 b) 24 – 8/2 c) (24 – 8) / 2 d) 24 / (8 – 2) 8. a) 1 + 3 × 8 – 10 b) 135 + 15 / 5 + 10 c) 14 + 14 / 7 – 6 d) 27 – 4 × 5 – 3 9. a) 5 × 2 + 6 × 3 b) 12 / 4 + 15 / 5 c) 9 / 3 + 7 × 2 d) 8 × 6 – 28 / 4 10. a) 17 – 3 × 2 + 5 – 18 / 3 b) 24 / 3 × 16 / 4 – 18 / 3 × 5 11. a) 3 × (4 – 2) + 3 × 4 – 2 b) 33 – 3 × (2 + 8) 12. Inträdesbiljetter till en djurpark kostar 35 kr för

barn och 100 kr för vuxna. Hur mycket ska en grupp på 10 barn och 4 vuxna betala? Resultatet kan tecknas (10 × 35 + 4 × 100) kr. Beräkna detta resultat.

13. I personalmatsalen vid en arbetsplats kostar en lunch med Dagens rätt 51 kr. Om man

köper ett rabatthäfte får man 10 lunchkuponger för 380 kr. Hur mycket tjänar man



per måltid på att köpa rabatthäfte? a) Teckna resultatet. b) Beräkna resultatet.

14. Vilket tal ska stå i den tomma rutan?

a) 5 + 5 × = 20 b) × 8 + 2 = 50

c) 4 × 8 – 2 × = 20 c) 30 + 5 × = 70 15. Vilket av alternativen a–c är rätt om du ska räkna ut 3 × 5 + 8 × 9?

a) I den ordning räknesätten står. b) Först multiplikationerna sedan additionen. c) Först additionen sedan multiplikationerna.

16. Du ska köpa tre förpackningar spaghetti för 11 kr per styck och 5 burkar krossade

tomater för fyra kronor per styck. Hur mycket det kostar totalt kan man skriva på en rad så här utan enhet:

3 × ___ + 5 × ___ = ___

Sedan skriver man svaret med enhet på en rad under det:

Svar: Det kostar ___ 17. På bilskolan R&R betalar man 2 300 kr för teorilektionerna och de obligatoriska

körlektionerna. Behöver man fler körlektioner kostar det 220 kr per lektion.

a) Lena behöver 4 extralektioner. Vad blir hennes totala kostnad? Totalpriset för henne blir (utan enheter)

_____(fast pris) + _____(antal lektioner) × _____(pris per lektion) = _____

Svar: Lenas totala kostnad blir ______(glöm ej enhet)

b) Bertil betalar totalt 4 940 kronor till bilskolan. Hur många extralektioner tog han? Problemet kan lösas i flera steg eller i ett enda svep. Prova båda varianterna!

I Med flera steg (utan enheter): Steg 1) Kostnad för extralektioner:

______(totalpris) – ______(fast pris) = ______

Steg 2) Antal lektioner:

_____(kostnad för alla lektioner) / _____(pris per lektion) = ______

II I ett enda svep:

Antal lektioner: (_____ – _____) / ______ = ______

Svar: Bertil tog _____ extra körlektioner. 18. I en fembarnsfamilj har man en pojke och fyra flickor. Barnens medelålder är 14 år

och pojken är 18 år. Vad är flickornas medelålder? Medelåldern är (utan enheter):



(_____(antal barn) × ______ – ______) / ______ = ______ Svar: Flickornas medelålder är ______(glöm ej enhet)

Decimaltal Det är inte alltid som verkligheten erbjuder heltal. Ofta stöter vi på decimaltal som t.ex. priset för ett anteckningsblock 7,50 kr och målarprover för 19,50 kr. Vid uträkning av heltal och decimaltal ska entalssiffror räknas för sig, tiondelar för sig o.s.v. När man beräknar bråk med miniräknare och utför division får man bråken på decimalform.

75,04

3= går jämnt ut.

...14285,07

1 tar aldrig slut.

Beräkningar

1. Skriv i decimalform a) 6 tiondelar b) 2 hundradelar c) 5 tusendelar

2. a) 2 + 6,45 b) 2,5 + 6,4 c) 5 – 4,8

d) 5 – 4,85 e) 3 × 0,8 3. a) 12,5 / 10 b) 10 × 2,5 c) 82,5 / 100

d) 100 × 82,5 e) 0,45 / 10 f) 0,45 × 10

Miniräknaren eller inte? Miniräknaren är ett mycket kraftfullt hjälpmedel för att klara beräkningar, om man vet hur den ska användas. Det finns en mängd olika miniräknare så det är viktigt att veta hur just din miniräknare fungerar. De flesta av dagens räknare klarar prioriteringen, d.v.s. den räknar multiplikation och division före addition och subtraktion. Testa din miniräknare för att se hur den fungerar!

18 × 3 – 57 + 125 / 5 – 13 = 9.

Får du detta svar på din miniräknare? Varför? Varför inte?



Avrundning

Avrundningsregler

Om siffran efter avrundningssiffran är

→ 0, 1, 2, 3 eller 4 behåller vi avrundningssiffran 7,43 7,4 → 5, 6, 7, 8 eller 9 höjer vi avrundningssiffran 7,48 7,5 7,45 7,5

Lägg märket till att enligt våra avrundningsregler avrundas 7,45 till 7,5.

Exempel 1: 63,849 63,85 → Avrundning till två decimaler. Efter avrundningssiffran 4

följer en 9. Vi höjer avrundningssiffran ett steg. 374,8 370 → Avrundning till tiotal. Efter avrundningssiffran 7 följer en 4. Vi

behåller avrundningssiffran. Avrundning är helt enkelt en metod att ersätta ett tal med närmaste decimaltal av önskad noggrannhet genom att stryka alla siffror efter en viss siffra (för heltal: ersätta dem med nollor). Om den första strukna siffran är en fyra eller mindre, ändras inte de siffror som behålls. Om den första strukna siffran är en femma eller mer, ökas den sista kvarvarande siffran med en enhet.

T.ex.: Avrundning av 3,8173 till tre decimaler ger 3,817, till två decimaler 3,82; avrundning av 8 327 till hundratal ger 8 300; avrundning av 5,28500 till två decimaler ger 5,29.

Man bör avrunda endast en gång. Avrunda aldrig delberäkningar. Räkna med tillräckligt antal siffror så slutsvaret ska bli tillräckligt noggrant. Exempel 1: Avrunda till 3 decimaler. a) 3,24516 b) 0,16554 c) 2,63331 De avrundade värdena blir då a) 3,245 b) 0,166 c) 2,633 När du gör beräkningar med din räknare bör du ha full noggrannhet så långt som möjligt för att sedan avrunda på slutet. Exempel 2: 17 kg äpplen kostar 262 kr. Vad kostar 1000 kg?

Dålig lösning: 1 kg kostar 1541,1517

262 kr.

1 000 kg kostar: 1 000 × 15 = 15 000 kr.

Bra lösning: 1 kg kostar 17

262 kr.

1 000 kg kostar: 400 15412 1517

2620001

kr.

Avrundningssiffra



Svar: 15 400 kr Exempel 3: Kursen på Belgiska Franc är 21,15 SEK = 100 BF. Hur många BF får man för 780 kr? 1 SEK = 100 / 21,15 BF

780 kr = 690 39,687 315,21

100780

BF

Svar: 3 690 BF Exempel 4: 1 dollar kostar 6,84 SEK. 1 D-Mark kostar 4,41 SEK. Hur många D-Mark får man för 160 dollar? 160 dollar = 160 × 6,84 SEK = 1 094,4 SEK

1 094,4 SEK = 24841,4

4,0941 D-Mark

Svar: 248 D-Mark



Överslagsräkning En enkel överslagsräkning är ofta tillräcklig för att du ska se om ett resultat är rimligt. Vid en överslagsräkning ersätter man de givna talen med enklare tal så att → resultatet blir ungefär det samma, → räkningarna går lätt att genomföra i huvudet. Exempel 1: 1 hg lösgodis kostar 5,60 kr. Hur mycket kostar 8,4 hg? 8,4 hg lösgodis kostar 8,4 × 5,60 kr.

Vi diskuterar några olika sätt att göra en överslagsräkning. Olika sätt att avrunda A: 8 × 5 = 40 Båda faktorerna nedåt. 40 är för litet. B: 9 × 6 = 54 Båda faktorerna uppåt. 54 är för stort. C: 8 × 6 = 48 En faktor nedåt, en faktor uppåt. Bäst.

Exempel 2: Hur många US dollar får man för 1 500 kr om 1 dollar kostar 7,63?

Antal dollar = 2008

6001

63,7

5001=

Vi har ökat både nämnare och täljare. Med hjälp av en räknare får du 1 500 / 7,63 196,6 Vårt överslag ligger nära det riktiga resultatet. Vid division får man bästa resultatet om både täljare och nämnare ökas eller minskas. Exempel 3: Gör en överslagsräkning a) 875 + 545 b) 736 – 319 c) 5,78 × 9,17 d) 412 / 0,69 a) 875 + 545 900 + 500 = 1 400 b) 736 – 319 700 – 300 = 400 c) 5,78 × 9,17 6 × 9 = 54

d) 69,0

412

7,0

412 =

7

1204

7

2004 = 600

Med räknare 47,04 kr.

Divisionen går lätt att utföra.



Sammanfattning

→ Vid multiplikation: Den ena faktorn ökas och den andra minskas. 2,71 × 85 3 × 80 = 240 → Vid addition: Den ena termen ökas och den andra minskas. 751 + 453 700 + 500 = 1200 → Vid division: Både täljare och nämnare ökas eller minskas.

53,1

548

2

600 = 300

Se till att du får så enkla tal att divisionen går lätt att utföra i huvudet.

→ Vid subtraktion: Båda termerna ökas eller minskas 6 320 – 834 6 300 – 800 = 5 500

Antal gällande siffror När man gör beräkningar med miniräknaren ger den ofta ett stort antal decimaler eller många siffror över huvudtaget. Det finns regler för hur man svarar. Man talar om Antalet gällande siffror. Tal Antal gällande siffror 76 2 76,1 3 76,10 4 76 000 2 eller 3 eller 4 eller 5. Det är svårt att veta. 0,0021 2 0,0021000 5 Regeln är följande: 1. Nollor i slutet av heltal räknas inte 2. Nollor i slutet av decimaltal räknas 3. Nollor i början av decimaltal räknas inte. 4. Svara inte med fler gällande siffror än du har i texten. Exempel 1: Inför julen 1996 köpte 135 personer julklappar för sammanlagt 330 000 kr.

För hur mycket handlade var och en?

44,4442135

000330

Ett lämpligt svar blir 2 400 kr, eftersom 330 000 har 2 gällande siffror. Svar: 2 400 kr



Beräkningar

1. Avrunda 132,048 till a) heltal b) en decimal c) hundradelar d) tiotal

2. Gör en överslagsräkning

a) 459 + 853 b) 26 331 – 4 579 c) 11,92 × 3,18 c) 23,1 / 0,39 3. Jonas sprang 200 m på 37 sekunder. Bestäm hans medelhastighet.

a) Gör en överslagsräkning. b) Vad visar räknaren? c) Hur ska du svara? 4. Vilket av talen är störst 23 / 29 eller 15 / 19? 5. 0,160 kg medwurst kostar 11,60 kr. Hur mycket kostar 0,181 kg

medwurst? Ibland är miniräknaren ett mycket bra verktyg för långa eller krångliga beräkningar. Det gäller dock att inte ta för givet att räknaren är det enda sättet! För att du ska bli påmind om att hjärnan kan vara din egen privata miniräknare som du bär omkring på hela dagarna föreslås att du arbetar med uppgifterna nedan utan räknare. 6. Vilket tal är närmast 29? 21 22 25 27 30 7. Vilket eller vilka tal ligger mellan 2 och 2,1? 2,51 2,15 2,05 2,5 2,01

8. Vilka av bråken ligger mellan ½ och 1? 5

2 eller

4

3 eller

4

9 eller

100

52 eller

40

19

9. Avrunda 48,152 till

a) tiotal b) heltal c) en decimal d) hundradelar

10. Vilka beräkningar är orimliga? a) 0,7 × 7,5 = 52,5 b) 740 × 1,2 = 888 c) 1 600 × 0,48 = 768 d) 58 000 × 0,12 = 696

11. Vilket är det bästa närmevärdet? Gör ett överslag.

a) 23 × 79 ? 17 1 700 17 000

b) 3,4

3,83 ? 0,2 2 20 200

12. a) 0,15 + 0,5 b) 0,42 – 0,2

13. a) 0,1 × 4,3 b) 1,0

3,4

14. a) 5 + 3 × 7 b) 3,5 + 0,5 × 2

15. Vilka tal är utelämnade om vi räknar

a) 2,7 2,8 2,9 ___ ___ b) –3,3 –3,2 –3,1 ___ ___?



16. a) 9 – 15 b) –5 – (–16)

Tillämpade beräkningar Exempel 4: En bilist tankar blyfri bensin för 400 kr i en sedelautomat. Bensinen kostar

8,21 kr per liter. Hur många liter får hon? a) Gör en överslagsräkning. b) Vad visar räknaren? c) Hur ska vi svara?

a) Bensin i liter = 508

400

21,8

400=

b) Bensin i liter = 72107186,4821,8

400

c) Här är det rimligt att svara med hela liter. Vi avrundar 48,72107186 49

Svar: Han får 49 liter bensin. Exempel 5: Johan köper 2,6 kg äpplen för 32,50 kr. a) Vad får Pia betala för 1,2 kg äpplen på samma ställe och till samma kilopris? b)Hur mycket äpplen får Petra för 20 kr? a) 2,6 kg äpplen kostar 32,50 kr

1 kg äpplen kostar 6,2

50,32 = 12,50 kr

1,2 kg äpplen kostar 1,2 × 12,50 kr = 15 kr b) 1 kg äpplen kostar 12,50 kr.

För 20 kr får då Petra 50,12

20 kg = 1,6 kg.

Svar: a) 15 kr. b) 1,6 kg. 2 kg äpplen kostar 2 × 12,50 kr, 3 kg kostar 3 × 12,50 kr o.s.v. Priset ökar i

förhållande till (i proportion till) antalet kg.

Proportionellt Vi säger att priset är proportionellt mot antalet kg.



Beräkningar

1. Hur många liter bensin får man för 200 kr om priset är 8,11 kr/l? a) Gör en överslagsräkning. b) Vad visar räknaren? c) Hur ska du svara?

2. Johanssons bil gick 49,4 mil på 41,7 liter bensin. Hur stor var bensinförbrukningen i

liter/mil? 3. Berit köper 1,9 kg äpplen som kostar 9,20 kr/kg. Hur mycket ska hon

betala? a) Gör en överslagsräkning. b) Beräkna priset med räknare.

4. Antalet betalande åhörare vid en konsert var 3 118. Hur stora blev intäkterna då

biljettpriset var 95 kr? a) Gör en överslagsräkning. b) Beräkna med räknare.

5. Vilket tal är störst?

a) 29

21 eller

17

13 b)

103

227 eller

339

749

6. Ordna följande tal i storleksordning med det minsta först.

1,09 17

19

35

39

26

29

7. Vad kostar en bit ost som väger 0,384 kg, om kilopriset är 82,75 kr?

1 ton = 1 000 kg 1 kg = 10 hg 1 kg = 1 000 g 1 hg = 100 g 1g = 1 000 mg

8. På Pelles lastbil får man lasta högst 1,2 ton. Hur många järnrör kan Pelle lasta om ett rör väger 13,7 kg?

9. En pillerburk väger 132 g. Vad väger den fylld med 50 tabletter om varje tablett väger

827 mg? 10. Vad kostar ett års rökning för en person som röker ett halvt paket cigarretter om

dagen om ett paket cigarretter kostar 35,50 kr?



Översikt

Addition 6 + 3 = 9 Term + term = summa

Subtraktion 9 – 4 = 5 Term – term = differens

Multiplikation 5 × 4 = 20 Faktor × faktor = produkt

Division 36 / 6 = 6 Täljare/nämnare = produkt

Multiplikation med 10, 100 och 1000

10 × 45 = 450 100 × 45 = 4 500 1 000 × 45 = 45 000

Vid multiplikation med ett tal och 10, 100 eller 1 000 flyttas decimaltecknet 1, 2, eller 3 steg åt vänster

Division med 10, 100 eller 1000

45 / 10 = 4,5 45 / 100 = 0,45 5 600 / 1 000 = 5,6

Vid division med 10, 100 eller 1 000 flyttas täljarens decimaltecken 1,2, eller 3 steg åt vänster

Vikt 1 ton = 1 000 kg 1 kg = 10 hg = 1000 g 1 hg = 100 g

Flera räknesätt 5 + 2 × 7 = 19 3 – 2 × (5 + 6) = 11

När det förekommer flera räknesätt i samma uppgift gör man beräkningarna enligt följande ordning: 1. först parenteser 2. sedan multiplikation

och division 3. sist addition och subtraktion

Tallinjen

Olikhetstecken 5 < 7 8 > 4

5 är mindre än 7 8 är större än 4

Avrundning 5,67 6 6,34 6

Om siffran efter avrundningssiffran är 0, 1, 2, 3, eller 4 så avrundar man neråt. Om siffran efter avrundningssiffran är 5, 6, 7, 8 eller 9 avrundar man uppåt.Tecknet betyder ”ungefär lika med”

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

– Kapitel 3: Negativa tal –


3 Negativa tal

Tallinjen och termometern Talen 1, 2, 3,…. Kallas positiva heltal. Sätter vi minustecken framför får vi de negativa talen –1, –2, –3….. De positiva och negativa heltalen bildar tillsammans med talet 0 de hela talen. Vill man speciellt markera att ett tal är positivt kan man skriva t.ex. +7. Du har säkert sett de hela talen utsatta på en termometerskala.

Tallinje Detta är ett exempel på en tallinje, där negativa tal, talet noll och positiva tal är utsatta. Du ser att ju längre vi går åt höger på tallinjen, desto större blir talen. Ju längre åt vänster man går desto mindre blir talen. 3 är större än 2 men –3 är mindre än –2. Större än och mindre än skrivs med tecknen > och < Här är 3 > 2 och –3 < –2. Vi jämför talens storlek på följande sätt:

På tallinjen Med symboler I ord

1 ligger till höger om –2

–5 ligger till vänster om –2

1 > –2

–5 < –2

1 är större än –2

–5 är mindre än –2

Olikhetstecken Lägg märke till att båda olikhetstecknen > (större än) och < (mindre än) pekar med spetsen mot det mindre talet. För våra förfäder existerade nästan inte negativa tal. Så småningom infördes de negativa talen och har i dag praktisk betydelse. Vi har minusgrader och underskott på konto som vanliga exempel. Fysiker pratar om lägesenergi som kan vara negativ och om potential (spänning i förhållande till jord) som också kan vara negativ. Räknereglerna är enkla. Lika tecken ger plus och olika tecken ger minus. Mer om detta senare i kapitlet.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Nollpunkten kallas origo

Positiva tal Negativa tal



Exempel 1: –5 + 7 = ?

Temperaturen är –5° och stiger 7°. Den blir då 2. Svar: –5 + 7 = 2 Exempel 2: 4 – 7 = ?

Svar: 4 – 7 = –3 Exempel 3: Sätt ut rätt olikhetstecken, > eller <, mellan talen

a) 9 5 b) –9 5 c) –3 –9 d) –6 –3 Svar:

a) 9 > 5 b) –9 < 5 c) –3 > –9 d) –6 < –3 Exempel 4: Beräkna (jämför gärna med temperaturskalan)

a) 14 – 5 b) 3 – 10 c) –6 + 9 d) –12 – 8 Svar:

a) 14 – 5 = 9 b) 3 – 10 = –7 c) –6 + 9 = 3 d) –12 – 8 = –20 Exempel 5: 3 × (–2) = –6

(–3) × (–2) = 6 –3 + (–3) = –3 – 3 = –6

54

20−=

−

(–1) × (–1) × (–1) × (–1) = 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Temp. är –5° +7° -5+7 = 2

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

1. Temp. är 4° 2. Sjunker 7°

7 steg bak

3.Resultat -3°



-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

A B C

Exempel 6: Kalle hade 2 600 kr på sitt checkkonto. Kalles fru gick genom sta’n med en

hastighet av 800 kr/h. Hur stort var saldot på Kalles konto 4 timmar senare? 2 600 – 4 × 800 = –600

Svar: –600 kr. Exempel 7: Temperaturen var under en vecka i december

–8, –12, –7, +3, –5, –13 och –9 Beräkna medeltemperaturen under veckan

3,77

)9()13()5(3)7()12()8(−

−+−+−++−+−+−

Svar: –7,3 grader

Beräkningar

1. Vilka tal är markerade på tallinjerna? a)

b)

c)

2. Sätt ut rätt olikhetstecken mellan talen

a) 6 9 b) 6 –3 c) –3 –1 d) –3 –9 e) –5 0 f) 1 0

3. Beräkna

a) 12 – 7 b) 7 – 12 c) –8 + 13 d) –5 – 9 4.

Vilka tal är markerade vid A, B och C?

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6



5. Sätt ut rätt olikhetstecken, > eller <, mellan talen a) 7 3 b) 5 –2 c) –2 5 d) –2 –1 e) 0 5 f) 0 –7

6. Temperaturen är 7°. Vad blir den om den

a) ökar med 4° b) minskar med 7° c) minskar med 10° d) minskar med 18° ?

7. Temperaturen är –12°. Vad blir den om den

a) ökar med 3° b) minskar med 4° c) ökar med 17° d) minskar med 12° ?

8. Beräkna

a) 3 – 5 b) –3 – 5 c) –3 + 5 d) –5 + 3 9. Beräkna

a) 23 – 12 b) 4 – 17 c) –2 + 8 d) –7 – 11 10. Par på en golfbana är 70 slag. Resultatet 72 slag anges som +2. Ange följande resultat

på detta sätt. a) Annika 67 slag b) Jesper 73 slag c) Lotta 69 slag d) Tiger 64 slag

11. Skriv talen i storleksordning med det minsta först.

a) 21, 17, 13, 19 b) 6, 10, –2, 4 c) –5, 0 –1, 3 d) –2, –9, 0, –6 12. Ange temperaturändringen med ett positivt eller negativt tal.

Starttemperatur Sluttemperatur

a) +21 °C +32 °C

b) +21 °C +13 °C

c) –7 °C +7 °C

d) –3 °C –29 °C

Addition av negativa tal Exempel 1: Vad blir 5 + (–10)?

Vi vill att man ska kunna addera alla tal i vilken ordning som helst, d.v.s. att; 5 + (–10) = (–10) + 5

Om temperaturen är –10° och stiger med 5° blir den nya temperaturen;

(–10°) + 5° = –5° Vi vet redan att 5 – 10 = –5 d.v.s.

5 + (–10) = 5 – 10 = –5



Addition

Att addera talet –10 är det samma som att subtrahera talet 10.

5 + (–10) = 5 – 10

Subtraktion av negativa tal Exempel 1: Vad blir 5 – (–10)?

Tänk er följande: Ett flygplan flyger 3 000 m över havet, en bergstopp under flygplanet är 818 m hög, och djupet i havet bredvid berget är 394 m. Havets yta är nollpunkten. Hur högt över berget flyger planet? 3 000 m – 818 m = 2182 m Hur högt över havets botten flyger planet? 3 000 m – (–394) m = ? Med logik kan vi räkna ut att ovanstående fråga kan räknas ut med addition. 3 000 m + 394 m = 3 394 m Alltså är 300 – (–394) = 3 000 + 394 = 3 394 På samma sätt är 5 – (–10) = 5 + 10 = 15

Subtraktion

Att subtrahera talet –10 är det samma som att addera talet 10.

5 – (–10) = 5 + 10

Exempel 2: Beräkna

a) 25 + (–12) b) –25 + (–12) c) 25 – (–12) d) –25 – (–12)

a) 25 + (–12) = 25 – 12 = 13

b) –25 + (–12) = –25 – 12 = –37 c) 25 – (–12) = 25 + 12 = 37

d) –25 – (–12) = –25 + 12 = –13

Tecknen +(–) ersätts med –

Tecknen –(–) ersätts med +



Beräkningar

1. a) 5 + (–2) b) 9 + (–5) c) 8 + (–1) d) 5 + (–3) 2. a) –4 + (–6) b) –5 + (–7) c) –6 + (–2) d) –8 + (–4) 3. a) 8 – (–2) b) 6 – (–4) c) 9 – (–3) d) 1 – (–1) 4. a) –5 – (–6) b) –7 – (–9) c) –4 – (–2) d) –9 – (–5) 5. a) 23 + (–15) b) –35 + (–15) c) 25 – (–15) d) –25 – (–15) 6. a) 8 – (–11) b) –8 – (–11) c) –12 – (–18) d) 12 – (–18) 7. Beräkna temperaturändringen, d.v.s. beräkna differensen av sluttemperatur och

starttemperatur.

Starttemperatur Sluttemperatur

a) b) c) d)

+17°C +9°C –11°C –4°C

+23°C –3°C 4°C –13°C

Multiplikation med negativa tal Exempel 1: På vintern är det lätt att förfrysa sig om det är minusgrader och blåser kraftigt.

Om en termometer i lä visar –4 °C och vindstyrkan är 25 m/s kan de kännas som om temperaturen i °C är

152

)4(3−

−

För att få veta hur kallt det kan bli måste vi kunna beräkna 3 × (–4). Vad blir 3 × (–4)? Vi jämför med 3 × 4 d.v.s. 3 × 4 = 4 + 4 + 4 På samma sätt får vi 3 × (–4) = (–4) + (–4) + (–4) = –12

Multiplikation 1

3 × (–4) = –12

Produkten av ett positivt och ett negativt tal är negativ.



Du vet att 3 × 4 = 4 × 3 d.v.s. att ordningen mellan faktorerna inte spelar någon roll. Därför är också (–4) × 3 = –12 Detta kunde vi också ha upptäckt med ett mönster. 3 × 3 = 9 2 × 3 = 6 1 × 3 = 3 0 × 3 = 0 (–1) × 3 = –3 (–2) × 3 = –6 (–3) × 3 = –9 (–4) × 3 = ... Exempel 2: Vad blir (–3) × (–4)?

Vi använder nu ett liknande mönster för att upptäcka resultatet av produkten (–3) × (–4).

3 × (–4) = –12 2 × (–4) = –8 1 × (–4) = –4 0 × (–4) = 0 (–1) × (–4) = ? (–2) × (–4) = ? (–3) × (–4) = ? Enligt uppställningen ovan gäller

Multiplikation 2

(–3) × (–4) = 12

Produkten av två negativa tal är positiv.

Division med negativa tal Vad blir 27 / (–9)? Vi tar hjälp av följande resonemang:

27 / (–9) = –3 Kvoten av ett positivt och ett negativt tal är negativ. (–27) / 9 = –3 Kvoten av ett negativt och ett positivt tal är negativ.

(–27) / (–9) = 3 Kvoten av två negativa tal är positiv.

Här bör det stå (–9) – 3 = –12

Läs uppifrån och ner. Talen minskar med 1 för varje rad.

Läs uppifrån och ner. Talen minskar med 3 för varje rad.

Läs talen uppifrån och ner. Talen ökar med 4 för varje rad.

Om mönstret ska fortsätta, bör efter 0 följa 4, 8, 12. Nu kan vi svara på frågan ”Vad blir (–3) × (–4)?”

Läs uppifrån och ner. Talen minskar med 1 för varje rad



Är divisionen 9

306 = 34 korrekt?

Vi kan kontrollera genom att bilda produkten 34 × 9. Då 34 × 9 = 306 är divisionen korrekt. Vi kan nu beräkna temperaturen i det inledande exemplet, exempel 1, multiplikation.

21156152

1215

2

)4(3−=−−=−

−=−

−

Temperaturen om man utsätts för full vindstyrka blir –21 °C. Exempel 3. Beräkna

a) 8 × (–6) b) (–5) × (–12) c) (–72) / 8 d) (–56) / (–8) Svar:

a) 8 × (–6) = –48 b) (–5) × (–12) = 60 c) (–72) / 8 = –9 d) (–56) / (–8) = 7



Beräkningar

1. a) 7 × (–9) b) (–4) × 8 c) (–6) × (–2) d) (–12) × 0 2. a) (–14) / 2 b) 36 / (–4) c) (–81) / (–9) d) 0 / (–14) 3. a) 7 × (–11) b) (–120) / 30 c) 625 / (–25) d) (–8) × (–15) 4. Vilket tal ska stå i den tomma rutan?

a) (–7) × = 21 b) × (–5) = –40

c) (–4) × = –24 d) 3 × (–3) × = 63

Blandade beräkningar med negativa tal

5. a) 7 – 2 b) 7 – 7 c) 7 – 10 d) 7 – 8 6. Temperaturen är –5°C. Vad blir den om den

a) ökar med 2° b) minskar med 3° c) ökar med 9° d) ökar med 5° 7. Ange med ett positivt eller negativt tal en ubåts ändring i höjdled, om dess höjd

ändras a) från –30 m till –10 m b) från –40 m till –75 m.

8. a) 9 + (–7) b) 12 – (–8) c) –12 – (–10) d) –9 + (–5) 9. a) 5 × (–7) b) (–4) × (–6) c) 24 / (–8) d) (–15) / (–5)



Översikt

Tallinjen

–2 –1 0 1 2

a) 3 – 7 = –4 b) –6 – 4 = –10 c) –5 + 2 = –3

Addition a) 5 + (–3) = 5 – 3 = 2 b) 6 + (–9) = 6 – 9 = –3 c) –3 + (–4) = –3 – 4 = –7

Regeln är att framför varje term ska det bara finnas ett tecken. Två olika tecken intill varandra ersätts med ett minustecken.

Subtraktion a) 3 – (–4) = 3 + 4 = 7 b) –3 – (–4) = –3 + 4 = 1 c) –2 – (–1) = –2 + 1 = –1

Regeln är att ersätta alla ”dubbla tecken” med ett tecken. Två lika tecken intill varandra ersätts med ett plustecken.

Multiplikation och division a) 5 × (–3) = –15 b) (–2) × 4 = –8 c) (–20) / 2 = –10 d) 10 / (–2) = –5

Regeln är att vid multiplikation eller division med två tal som har olika tecken blir svaret negativt.

a) (–3) × (–2) = 6 b) (–14) / (–7) = 2

Regeln är att vid multiplikation och division av två tal som har lika tecken blir svaret positivt.

– Kapitel 4: Bråkräkning –


4 Bråkräkning Ett bråk anger hur stor del av det hela som något är. Med bråk menar man tal av typen

2/7, 3/8, 1/9 o.s.v. De kallas även för rationella tal och skrivs som en kvot n

t, där t kallas

täljare och n nämnare. Orden är de samma som vid division eftersom det är just division som det handlar om! Bråk kan lätt illustreras geometriskt:

Varje del är 6

1

A + B blir 6

2 men kan också ses som

3

1

A + B + C + D blir 6

4 men kan också ses som

3

2

Hela biten blir 6

6 eller en hel, 1

6

6= .

Man ser att bråken kan skrivas på många olika, till och med oändligt många olika sätt.

12

4

9

3

6

2

3

1=== o.s.v.

Hela och delar Om heltal och blandade tal också ingår i räkningarna, gör om dem till bråk så här:

1

55 = och

=

+=+=+

=+=+=

7

23

7

221

7

2

7

21

7

2

71

73

7

2

1

3

7

23

7

23

Addition och subtraktion av bråk Vid addition och subtraktion måste de ingående talen – termerna – alla vara tredje-delar eller femte-delar eller elfte-delar eller så, d.v.s. ha samma nämnare. Om det inte är så från början, måste man se till att det blir så. (Detta kan jämföras med att de olika talen vid addition och subtraktion inte heller kan anges i olika enheter. Om man t.ex. ska addera 7 mil och 56 km, så måste man först ange de båda talen med samma enhet, 70 km och 56 km eller 7 mil och 5,6 mil.) Exempel 1: Med alla nämnare lika

17

7

7

465

7

4

7

6

7

5==

−+=−+

Med olika nämnare från början

5

4

10

11

6

7+−

där en gemensam nämnare måste skapas, se nedan.



Gemensam nämnare Ett bråk förändras inte om täljare och nämnare multipliceras eller divideras med samma tal. Det kan vi använda oss av för att få en gemensam nämnare. Den gemensamma nämnare som ska användas måste vara delbar med de ursprungliga nämnarna (6, 10 och 5 i exemplet ovan). Pröva först med den största nämnaren (10). Pröva sedan med den dubbla och sedan den tredubbla o.s.v. I detta fall går det inte med 10 eftersom 10 inte är delbart med 6. Det går inte heller med 20 av samma skäl, men 30 är delbart med både 6 och 5 (och förstås 10). Vi förlänger då bråken så att alla får nämnaren 30:

15

13

2/30

2/26

30

26

30

243335

30

24

30

33

30

35

65

64

310

311

56

57===

+−=+−=

+

−

Vid dessa beräkningar är kunskaper i multiplikationstabellen värdefulla! Exempel 2:

Beräkna 5

4

5

3

5

2++

5

41

5

9

5

4

5

3

5

2==++

5

9 kallas bråkform,

5

41 kallas blandform

Exempel 3:

Beräkna 7

2

7

11 −

7

6

7

2

7

8

7

2

7

11 =−=−

Multiplikation av bråk Vid multiplikation behöver man inte bekymra sig om någon gemensam nämnare. (Liksom man inte heller behöver ha samma enhet.) Det är bara att multiplicera täljarna med varandra och nämnarna med varandra. Så här:

12

1

3/36

3/3

36

3

5/180

5/15

180

15

209

35

20

3

9

5=====

=

Eller samma sak på ett litet smartare sätt:

12

1

43

11

5/203/9

5/53/3

209

53

209

35

20

3

9

5=

=

=

=

=

Exempel 1: Beräkna a) 3 x 2/7 b) 3

117 c)

9

7

5

2

a) 7

6

7

23

7

23 =

=

b) 3

19

3

28

3

47

3

47

3

117 ==

==



c) 15

14

95

72

9

7

5

2=

= täljare × täljare och nämnare × nämnare

Division med bråk Inte heller vid division behöver man bekymra sig om någon gemensam nämnare. Man tar helt enkelt det första bråket gånger det andra bråkets inverterade värde (det andra bråket vänt upp och ner). Så här:

61

6

11

32

3/32/2

3/92/4

32

94

23

94

2

9

3

4

9

2/

3

4==

=

=

=

==

Exempel 1: Beräkna

a) 2/3

2 b)

7

3

3

2

c)

4

12

7

21

a) 3

1

23

22/

3

2=

= Rimligt då hälften av

3

2 är

3

1

b) Du har kanske lärt dig att man går över till multiplikation samtidigt som

man inverterar (vänder upp och ner) på det andra bråket.

9

51

9

14

33

72

7

33

2

==

=

Du kanske aldrig har fått lära dig varför man gör så. Nu ska du få veta!

Observera att 121

21

3

7

7

3==

Man förlänger bråket med 3

7:

9

14

3

7

3

2

1

3

7

3

2

3

7

7

33

7

3

2

==

=

Efter ett tag hoppar man direkt till led 3.

c) 7

4

97

49

4

97

9

4

12

7

21

=

==

Exempel 2: I en klass på 28 elever är 7

4 pojkar. Av flickorna slutar

4

1.

Hur stor andel av klassen är flickor?

Flickorna är 12287

3= st. 312

4

1= slutar.



Kvar är 9 flickor och 25 elever. Andelen är 25

9.

Svar: 9 / 25

Förkorta och förlänga Det är nödvändigt att kunna skriva om bråk vid addition och subtraktion av bråktal. Man säger att man förlänger eller förkortar. Förlängning innebär att man multiplicerar täljare och nämnare med samma tal. Förkortning innebär att man dividerar täljare och nämnare med samma tal.

Exempel 1: Förkorta 108

36 så långt som möjligt.

3

1

27

9

54

18

108

36===

En modern räknare förkortar automatiskt om man slår in med bråksymboler. Det finns några enkla delningsregler: • Alla jämna tal kan delas med 2. • Alla tal vars siffersumma är delbar med 3 är delbara med 3. 3 267 har siffersumman

3+2+6+7=18 som är delbart med 3.

08913

2673=

• Alla tal som slutar på 0 och 5 är delbara med 5. • Om talets siffersumma är delbart med 9 är även talet delbart med 9. 3 267 →

3+2+6+7=18 som är delbart med 9.

3639

2673=

Exempel 2: Förläng 7

3 med 3.

21

9

37

33

7

3=

=

Exempel 3: Beräkna 9

4

7

3+



Bråken har inte lika nämnare så man måste först se till att de blir liknämniga. Vanligtvis söker man efter den s.k. minsta gemensamma nämnaren, mgn. Här är mgn = 7 × 9 = 63.

63

55

63

28

63

27

79

74

97

93

9

4

7

3=+=

+

=+

Exempel 4: Vilket bråk ligger mitt emellan 9

7 och

9

8?

Förläng först med 2. Då får vi 18

14 och

18

16.

Mittemellan finns 6

5

18

15=

Exempel 5: Vilket bråk ligger mittemellan 12

7 och

24

13?

24

14

12

7=

Vi jämför nu 24

13 med

24

14.

Förläng med 48

262 = och

48

28

Mitt emellan finns 16

9

48

27=

Beräkningar av bråk

1. Hur stor andel av respektive figur är skuggad? a) b)

2. Vilket tal är störst? 5/9 eller 5/8? Förklara hur du tänker.

3. a) Förläng 12

8 med 4. b) Förkorta

40

36 så långt som möjligt.

4. Förkorta 27

15 så lång som möjligt.



5. Skriv a) 4

9 i blandad form b)

3

13 i bråkform

6. Beräkna a) 11

7

11

9− b)

9

1

3

1+ c)

5

2

2

1−

7. Ett motionsspår är 2 800 m. På 10 minuter har Petra sprungit 3/4 av spåret. Hur långt

har hon sprungit? 8. Beräkna

a) 5

4

3

2 b)

5

43

2

c) 7

48 d)

5

3

4

9. Vår fasad ska muras med 60 skift, till nivån +14 500. Den första dagen murar laget

1/4 av väggen. Nästa dag murar de 1/3 och den tredje dagen blir det 2/5 av hela väggen. Räkna ut hur många skift de murade varje dag samt hur många skift som återstod till nivån + 14 500 efter den tredje dagen.

10. Hur många minuter är följande?

a) 1/3 h b) 1/4 h c) 3/4 h d) 2/3 h e) 1/10 h f) 1/5 h 11. Skriv bråken i decimalform

a) 1/2 b) 1/4 c) 3/4 d) 1/5 e) 2/5 f) 3/5 g) 4/5 h) 1/10 i) 9/10

12. Förklara på ditt eget sätt varför 1/3 är större än 1/4. 13. Skriv i bråkform på enklaste sättet hur stor del

a) 45 st är av 60 st b) 90 st är av 150 st c) 30 st är av 75 st d) 75 st är av 125 st

14. Vilket bråk ska adderas till 3/7 för att summan ska bli 1? 15. Rita en bild som visar att 8/12 och 2/3 är olika namn för samma sak. 16. Vilket skulle du helst vilja ha: 1/3 av 2 400 kr eller 3/8 av 2 400 kr? Förklara varför! 17. a) Hur stor andel av

kulorna är färgade?

b) Hur stor andel av figuren är skuggad?

c) Hur stor andel av träden är granar?



18. Vilket bråk är störst, 1/4 eller 1/5 ? 19. Skriv ett bråk som anger hur stor andel av figuren som är färgad.

a)

b)

c)

d)

20. Förläng a) 7

2 med 4 b)

9

5 med 5

21. Förkorta a) 24

15 med 3 b)

42

18 med 6

22. Bestäm i enklaste form förhållandet mellan a) 15 och 25 b) 21 och 30 23. Hur stor andel av figuren är färgad? Svara i enklaste bråkform.

a)

b)

24. Förläng bråken så att nämnaren blir 18. a) 9

4 b)

6

5

25. a) Hur stor andel av figuren är skuggad?

Svara i bråkform. b) Vilket tal kan du förkorta med? c) Förkorta med detta tal.

26. Förkorta a) 15

12 med 3 b)

35

21 med 7

27. Förläng 11

3 med 2. (Multiplicera både täljare och nämnare med 2.)

28. Förklara hur du gör när du

a) förkortar 10/15 med 5 b) förlänger 10/15 med 5

29. Lisa färgar 2/3 av en cirkel. Per färgar 4/6 av en lika stor cirkel. Vem har färgat mest?

Förklara. 30. Förläng följande bråk så att nämnaren blir 12.

a) 6

1 b)

4

3 c)

3

2 d)

2

1

31. Skriv i enklaste form förhållandet mellan a) 6 och 15 b) 12 och 8



32. Hur stor andel av figuren är färgad? Svara i enklaste bråkform.

a)

b)

33. Hur stor andel av en timme är

a) 10 minuter b) 45 minuter c) 3 minuter d) 5 minuter ? 34. Genom utsläpp och förbränning sprids i Sverige varje år 1 800 ton bly, varav 1 500

ton från bilavgaser. Hur stor andel kommer från bilavgaserna?

35. Beräkna och svara i enklaste form. a) 6

1+

2

1 b)

4

1–

3

2

36. a) Skriv 4

9 i blandad form. b) Skriv

2

13 i bråkform.

37. Rita en figur som visar a) 5

1–

5

4 b)

3

1+

3

1

Beräkna och svara i enklaste form:

38. a) 8

5–

8

7 b)

6

3+

6

1

39. 6

1+

3

1

40. a) 4

1+

2

1 b)

9

1–

3

2

41. 5

1+

2

1

42. a) 3

1–

2

1 b)

5

1+

3

2 c)

7

1–

4

1 d)

9

1+

5

2

43. Skriv i blandad form

a) 2

3 b)

2

5 c)

3

4 d)

3

10

44. Beräkna och svara i blandad form

a) 5

3+

5

4 b)

4

3+

2

1



45. Skriv talen i bråkform och beräkna

a) 4

11+

2

11 b)

9

21–

3

12

46. Anna, Bo och Per delade på en lotterivinst. Anna fick 8

5 och Bo

4

1 av vinsten.

Hur stor andel fick Per?

47. Ge exempel på två olika bråk som har summan a) 6

5 b)

3

2

48. Jenny och Sara köper två Trisslotter. Jenny har satsat 20 kr och Sara 30 kr. De vinner

75 kr på den ena lotten. Hur ska de fördela vinsten?

49. Hur mycket är 9

4 av 4 500 ?

50. Beräkna

a) 3

2 av 75 kr b)

4

3 av 24 kg c)

7

5 av 560 cm d)

9

7 av 810 elever

51. Johan och Martin har köpt en lott tillsammans. Johan har betalat 5

3 av lottpriset.

Lotten ger en vinst på 8 000 kr. Hur bör vinsten delas? 52. 24 kg potatis ska delas upp i sex påsar med lika mycket i varje. Hur mycket är

a) en sjättedel av 24 kg? b) två sjättedelar av 24 kg? c) fem sjättedelar av 24 kg? 53. Beräkna

a) 10

1 av 70 kg b)

10

3 av 70 kg c)

100

1 av 800 kr d)

100

7 av 800 kr

54. Du ska beräkna 4

3 av 20 kr. Hur mycket är

a) 1/4 av 20 kr b) 3/4 av 20 kr ?

55. Du ska beräkna 8

5 av 400 m. Hur mycket är

a) 1/8 av 400 m b) 5/8 av 400 m ?

56. På en skola går 540 elever. 9

5 av eleverna orienterade på en idrottsdag. Förklara med

egna ord hur du beräknar 9

5 av 540 elever.

57. Till en barnföreställning på bio kom 72 personer. 5/8 av dem var barn.

a) Hur många barn såg filmen? b) Hur många vuxna såg filmen?



58. Erik skulle cykla 42 km. När han cyklat 5/6 av vägen fick han punktering. Hur långt hade han då kvar?

59. Vilket är mest, 3

2 av 42 kr eller

5

3 av 45 kr ?

60. Jesper och Jakob tippade tillsammans. En vecka betalade Jesper 15 kr och Jakob 20 kr.

Hur ska de fördela tipsvinsten som denna vecka blev 420 kr? 61. Viktor, Lovisa och Jessika är syskon. Viktor är 15 år. Lovisas ålder är 4/5 av Viktors.

a) Hur gammal är Lovisa? b) Jessikas ålder är 3/4 av Lovisas. Hur gammal är Jessika?

62. Lisa, Anna och Niklas målade tillsammans ett staket. Lisa gjorde 3/7 av arbetet, Anna

2/5 av arbetet och Niklas resten. De fick 1 400 kr för hela arbetet. Hur ska de fördela pengarna?

Översikt

Täljare och nämnare 2/5 = täljare/nämnare

Förlängning Bråkets täljare och nämnare multipliceras med samma tal 4/7 = 4 × 2/7 × 2 = 8/14

Förkortning Bråkets täljare och nämnare divideras med samma tal. 8/14 = (8/2) / (14/2) = 4/7

Addition och subtraktion Addition av bråk som har samma nämnare: 4/5 + 3/5 = 7/5 = 1 2/5 Subtraktion av bråk med samma nämnare: 4 1/4 – 3 3/4 = 3 5/4 – 3 3/4 = 2/4 = 1/2

Minsta gemensamma nämnare

Bråken 1/3 och 2/7 kan förlängas så att de får samma nämnare. Bråken blir då liknämniga. Den minsta gemensamma nämnare blir 21. Om bråken 1/3 och 2/7 ska adderas fås 7/21 + 6/21 = 13/21

Jämförelsepris Om 3 kg potatis kostar 18 kr så är jämförelsepriset 18/3 = 6 kr/kg

– Kapitel 5a: Formler och ekvationer –


5a Formler och ekvationer Fördelen med att använda formler är att de på ett enkelt sätt beskriver hur man alltid kan göra för att lösa ett problem av en viss typ. För att beräkna volymen av ett rätblock använder man formeln: V = b × l × h där V = volymen b = bredd l = längd h = höjd Exempel 1: Ett bärlag i ett hus har mått enligt figuren. Det ska vara 0,1 m högt. Beräkna

hur många m3 betong det går åt till plattan.

Ekvationer används dels för att beskriva samband, dels för att bestämma något vi inte känner. Formler är en typ av ekvation. För att lösa ekvationer krävs att man är noggrann och inte räknar för mycket i huvudet. Det är bättre att skriva ett led ”i onödan” än att räkna fel. Exempel på problemlösning

Problemet: En stor kokosboll kostar 2 kr mer än en Mums-mums. Vad kostar en Mums-mums då 5 stora kokosbollar kostar lika mycket som 7 stycken Mums-mums?

1 – Förstå problemet 2 – Gör upp en plan 3 – Genomför planen 4 – Se tillbaka

Förstå problemet.

• Vad söks? • Vad är givet? • Verkar problemet

rimligt? • Rita en figur om det går. • Inför lämpliga

beteckningar.

Du ska ta reda på vad en Mums-mums kostar. Det är givet att en stor kokosboll kostar 2 kr mer än en Mums-mums och att 7 stycken Mums-mums kostar lika mycket som 5 stora kokosbollar. Problemet verkar rimligt. Pris för Mums-mums: x kr Pris för stor kokosboll: y kr

Gör upp en plan.

Skriv ut vad som söks:

15,3

5,6



• Har du sett detta tidigare?

• Har du sett eller löst något liknande förut?

• Kan du dela in i delproblem?

• Kan du lösa eventuella delproblem?

• Vilka fakta saknas?

Sökt: x Skriv ner de matematiska sambanden mellan x och y som du känner: y = x + 2 (1) 7x = 5y (2) Eftersom vi har två obekanta och två ekvationer bör detta gå att lösa. Sätt in uttrycket för y som finns i ekvation (1) i ekvation (2).

Genomför planen.

• Kontrollera varje steg. • Stryk under resultat. • Fungerar det ej gör du

upp en ny plan.

7x = 5y 7x = 5(x + 2) 7x = 5x + 10 2x = 10 x = 5 Planen verkade fungera, vi har räknat ut att en Mums-mums kostar 5 kr.

Se tillbaka. Glöm inte detta steg!

• Är resultatet rimligt? • Kan man lösa problemet

på ett annat sätt? • Är resultatet eller

metoden användbar i andra sammanhang?

Det verkar rimligt att en Mums-mums kostar 5 kr. För att vara riktigt säker fortsätter man sina beräkningar. Sätt in resultatet x = 5 i ekvation (1) Då får man att y = 7 Sätt in x = 5 i VL (vänster led) i ekvation (2) Då får man 7x = 35 Sätt in y = 7 i HL (höger led) i ekvation (1) Då får man 5y = 35 Eftersom VL = HL har vi räknat rätt. Svar: En Mums-mums kostar 5 kr. Metoden är alltid användbar då man löser linjära ekvationssystem. Denna metod kallas substitutionsmetoden. Det finns fler sätt att lösa detta problem.



Förenkling av uttryck

Formler En formel är en ”kompakt skriven räkneregel” där man använder bokstavsbeteckningar istället för ord för att beskriva vilka samband som finns mellan olika storheter (med storhet menas ”egenskaper” som t.ex. tid, längd, volym, temperatur, strömstyrka). När man gör beräkningar av olika slag lönar det sig ofta att ställa upp en formel. Det kan gälla pengar, volymer, areor, volymer m.m. Du känner säkert till formler som U = R × I (Ohms lag), p × V = n × R × T (Allmänna gaslagen), s = v × t (hastighetsberäkningar), W = m × g × h (lägesenergi). Dessa exempel är hämtade från fysiken men det är inte bara naturvetare och tekniker som använder formler. Även inom ekonomi, samhällsvetenskap, medicin och andra områden använder man sig av formler. Som du ser påminner formler mycket om ekvationer. Det är också så att de regler som gäller då man arbetar med ekvationer gäller även vid arbete med formler.

Ekvationer Ekvation betyder likhet. En ekvation består av två led åtskilda av ett likhetstecken. Detta likhetstecken är en ”helig ko” som alltid ska gälla. En ekvation har minst ett tal som är okänt. Vanligtvis kallar man ett okänt tal för x men även andra bokstäver kan användas för det okända talet. Finns flera okända tal får varje okänt tal sin egen beteckning. Två huvudspår finns när det gäller att lösa ekvationer, antingen gissar man lösningen eller så räknar man ut den. Sedan kontrollerar man om det är rätt lösning, är det inte det måste man börja om på nytt. Väljer du att räkna ut ekvationens lösning gäller följande regel:

Du måste alltid göra samma sak med hela höger led och hela vänster led!

Ordet ekvation betyder likhet. En ekvation är en likhet mellan två matematiska uttryck. De två uttrycken skrivs alltså med ett likhetstecken emellan. Uttrycket som står till vänster om likhetstecknet kallas vänstra ledet (VL) och uttrycket som står till höger om likhetstecknet kallas högra ledet (HL).

Exempel 1: 2x – 3 = x + 5 VL HL likhetstecken Ekvationen ovan betyder att två gånger ett obekant tal minskat med tre är lika mycket som samma obekanta tal (en gång) ökat med fem. I detta fall (och i de flesta fall) används bokstaven x för att beteckna det obekanta talet. Att lösa ekvationen innebär att finna ett värde (eller flera värden) som det obekanta talet kan ha, så att vänstra ledet verkligen blir



lika med det högra ledet. Ett sådant värde som löser ekvationen kallas en rot till ekvationen. (Lösningen till ekvationen i exemplet ovan är roten x = 8.) Ibland kan man direkt se lösningen, men om det inte går, så är metoden för att finna ekvationens lösning, att skriva om ekvationen efter hand tills x står ensamt i ena ledet (VL eller HL) och det andra ledet endast består av ett tal. (Om man använt någon annan bokstav än x för att beteckna det obekanta talet, så är det förstås den bokstaven som ska stå ensam i ena ledet.) Metoden innebär att efter det att de båda leden eventuellt förenklats så långt möjligt vart för sig, så behandlas båda lika tills målet är nått. Hela tiden måste likheten mellan leden bevaras. Att båda leden behandlas lika betyder exempelvis att

• båda leden adderas med lika stora tal eller uttryck, • båda leden subtraheras med lika stora tal eller uttryck, • båda leden multipliceras med lika stora tal eller uttryck, • båda leden divideras med lika stora tal eller uttryck.

Exempel 2: Addition x – 5 = 7

x – 5 + 5 = 7 + 5 + 5 x = 12

Exempel 3: Subtraktion x + 12 = 32

x + 12 – 12 = 32 – 12 – 12 x = 20

Exempel 4: Multiplikation

5

x = 7

5

5x = 7 × 5 × 5

5

5x

= 7 × 5

x = 35 Exempel 5: Division 5x = 12

5 × x = 12

5

x5 =

5

12 / 5

5

x5

= 2

5

2

x = 2,4 Observera att för att lösningar ska bli så lätta att följa som möjligt, så skriver man de efter hand omskrivna ekvationerna under varandra och med likhetstecknen rakt under varandra.



Ekvationer av första graden med flera obekanta (linjära ekvationssystem) En ekvation är linjär om den eller de obekanta endast förekommer i första potensen. Vid lösning av ekvationer med flera obekanta kan man använda sig av substitutionsmetoden: 1. Lös ut en obekant i en av ekvationerna (x eller y). 2. Sätt in detta uttryck i den andra ekvationen. Exempel 1:

=

=+

x2y

5yx3

————————

5x55)x2(x3 ==+

Exempel 2:

−

==−

=+

2

7x6y7y2x6

1y3x14

———————————

−=

==−

+

2y2

1x1

2

7x63x14

Substitution är synonym för insättning. En annan metod är additionsmetoden. 1. Multiplicera vardera ekvationen med lämpliga tal, så att koefficienterna för x (eller y) blir motsatta tal. 2. Addera ekvationerna ledvis så att x-termerna (eller y-termerna) försvinner. Exempel 3:

=−

=+

=−

=+

21y6x18

2y6x28

7y2x6

1y3x14

—————————

−=

==

2y2

1x23x46



Beräkningar med hjälp av formler och ekvationer

1. x – 5 = 12

2. 3x = 36

3. x / 5 = 4

4. 3x + 4 = x + 14

5. 2x – 7 = 5x – 37

6. 2x / 3 + x / 6 = 10

7. (x + 2) / 3 = 1

8. 2 × × x = 100

9. 3(2x – 5) = 45

10. En tv såldes med 10 % rabatt för 4 500 kr. Vilket var priset från början?

11. Antag att ett tal är 20 mer än ett annat tal. Deras summa är 730. Vilka är talen?

12. Folkmängden i en stad stiger med 4,2 % till 93 780 personer. Hur stor var folkmängden innan?

13. Lars Evert satsade 20 kr och Conny satsade 12 kr på stryktips. De vann 640 kr. Hur ska de fördela vinsten?

14. En gammal klassisk räknefråga… En far är 25 år äldre än sin son nu. Om 15 år är han dubbelt så gammal som sonen. Hur gamla är de i dag?

15. Lös ekvationerna a) 3x + 4 = 25 b) 4x – 3 = 2x + 8 c) 2(x + 3) = 3(4 – x)

16. Lös ekvationerna

a) 73

x= b) 7

3

3x=

+

17. Lös ekvationen 14

1x2

3

1x=

−+

+

18. Lös ut ur varje formel den bokstav som står inom parantes efter formeln. a) s = v × t (t) b) v = v0 + a × t (t) c) R = R0 × (1 + a × t) (t)

d) C×L××2=T (C) e) 2

22

1

11

V

T×P=

V

T×P (V2)

19. Lös ut p ut likheten b + ap = 5p. Det förutsätts att a inte är lika med 5. 20. Vid en löneförhandling diskuterades två olika alternativ.

I Månadslönen höjs med 5,0 % + 210 kr II Månadslönen höjs med 7,4 %. Vid vilken månadslön är de två alternativen likvärdiga?

21. I en by fanns 63 barn vilket var 21 % av alla invånare i byn. Hur många invånare fanns

det i byn?



22. Hastighetsmätare visar i regel för mycket, vilket borde innebära att ingen kör för fort. En hastighetsmätare visade sig visa 6,0 % för mycket. Hur stor var den verkliga hastigheten när mätaren visade 120 km/h?

23. Du har en saltlösning som är 30 %-ig. Lösningen väger 150 g. Hur mycket salt ska du blanda i lösningen för att den ska bli 40 %-ig?

24. Linus hoppade ut genom fönstret. Hans kompis Enok, som hade varit med på

fysiklektionerna visste att hastigheten vid fallet, åtminstone till en början, ges av formeln

sg2v = m/s där g = 9,82 m/s7 och s sträckan i meter

a) Vilken sluthastighet ger sträckan 6,0 m? b) Vilken fallsträcka ger hastigheten 17,2 m/s?

25. Ta reda på mgn till 12, 9 och 21. 26. Effekten i en resistans kan beräknas med formeln

R

UP

2

= där

P = effekten i watt (W) U = spänningen i volt (V) R = resistansen i ohm () Beräkna resistansen om spänningen är 230 V och effekten 160 W.

Lös följande ekvationer: 27. a) x + 4 = 10 b) x – 5 = 15 c) x + 20 = 30

28. a) x – 8 = 19 b) x + 4 = 15 c) x – 9 = 20

29. a) x – 3 = 18 b) x – 25 = 40 c) 60 = x + 20

30. a) 3x = 12 b) 20 = 4x c) 6x = 15

31. a) 9=2

x b) 20=

4

x c)

3

x=5

32. a) x – 27 = 50 b) 20=5

x c) 5x = 20

33. a) 8x = 12 b) 125 + x = 245 c) x – 19 = 100

34. a) 33=3

x b) 2x = 27 c) 50 = 27 + x

35. a) 25x = 100 b) x + 25 = 100 c) x + 25 = 25

36. a) 4

x=40 b)

5

x=5,1 c) 8x = 20

37. a) 2x + 3 = 17 b) 4x – 6 = 14 c) 5x + 20 = 40



38. a) 3x – 12 = 18 b) 8=5+2

x c) 30=10–

5

x

39. a) 4x – 14 = 16 b) 2x + 7 = 9 c) 25 = 5x + 13

40. a) 3x – 7 = x + 23 b) 7x + 6x = 72 + x

41. a) 3x + 5 = 20 – 2x b) 9x – 4x = 60

42. a) 4x = 2x + 80 b) 12 – 10 + 5x = 14 + 2x

43. Bestäm värdet av uttrycket 3x – 4y då a) x = 5 och y = 2 b) x = 6 och y = 1

44. Anders köpte två chokladaskar för sammanlagt 168 kr. Den ena chokladasken kostade 3 gånger så mycket som den andra. Vad kostade den dyraste chokladasken?

Lös följande ekvationer:

45. a) x + 9 = 5 b) 4x – 2 = 0

46. a) 2x + 8 = 6 b) 15x – 10 = 20x

47. a) 4x + 7 = 2x b) 13x – 8 = 12x – 8

48. a) 1 = x + x – 4 b) 80x – 10 = 10 – 20x

49. Titta på balansvågen. I den ena vågskålen ligger fem lika tunga kulor. I den andra skålen ligger 3 likadana kulor och en säck som väger 15 kg. Hur mycket väger en kula?

50. Kostnaden att hyra ett gästrum beror av antalet dagar enligt K = 200 + 45x, där K = kostnad i kr och x = antal dagar. Hur mycket kostar det att hyra gästrummet a) 3 dagar b) en vecka ?

Hur många dagar har Vanja hyrt gästrummet om det kostar c) 425 kr d) 605 kr ?

Lös följande ekvationer:

51. a) 3x + 5x + 8 = 32 b) 6x + 7 – 4x + 5 = 16

52. a) 33 = 4x – 8 + x + 11 b) 2x + 4x – 2 – 4 = 6

53. a) 10x + 20 = 6x – 60 b) x + 9 + 4x = 12 + 8x –15

54. Lin och Per är tillsammans 44 år. Lin är 26 år yngre än Per. Hur gammal är Lin?

55. a) x – 11 = 7 – 3x b) 5,5 = 10 – 3x

56. a) 9 – 2x + 6 = 5x + 1 b) 1 – 3x + 3 = 9x – 8 + 12x



57. a) 4x + 4 + 2x = 8 – 2x – 4 – 7x b) 12x – 3 – 20x + 4 = 10x – 17

58. Bestäm värdet av uttrycket 2x – 5y då a) x = 5 och y = 7 b) x= 3 och y = –1

59. Vilka av följande uttryck är lika med 1 – x ? A: x + 1 – 2x B: –x + 1 C: 2 – 1 + x D: 3 – 2x – 2 + x

60. På en säsong har Dennis och Mats sammanlagt gjort 123 mål i fotboll. Hur många mål

gjorde Mats om Dennis gjorde a) 13 mål fler än Mats b) dubbelt så många mål som Mats?

Översikt

Förenkling av ett uttryck Uttrycket 3x – 5 + x – 6 består av fyra termer. När man förenklar uttrycket slås likformiga termer ihop. Det förenklade uttrycket blir 4x – 11. Ett förenklat uttryck har så få termer som möjligt.

Värdet av ett uttryck Då x har ett bestämt värde t.ex. x = 5 så har uttrycket 4x – 11 värdet 4 × 5 – 11 = 20 – 11 = 9

Ekvation En ekvation är en likhet som innehåller en obekant vilken oftast betecknas med x. 5x = 3x + 6 5x – 3x = 6 2x = 6 x = 6 / 2 x = 3

Prövning av en ekvation Man kan pröva om x = 3 är en lösning till ekvationen 5x = 3x + 6. Man ersätter då x med 3 i ekvationens båda led. 5 × 3 = 3 × 3 + 6 = 15 vilket stämmer, alltså är x = 3 en lösning.

– Kapitel 5b: Massa, densitet och tryck –


5b Massa, densitet och tryck Massan är en kropps materialinnehåll. Den mäts vanligtvis i gram (g), kilogram (kg) eller ton. Enklaste sättet att ta reda på en kropps massa är att väga den. Densiteten anger massan av en viss volym, vanlig enhet är kg/m3.

Trä (furu, gran) 500 kg/m3 Betong 2 400 kg/m3 Tegel 1 500 kg/m3 (även 1 300 och 1 700) Stål 7 700 kg/m3 Gips 710 kg/m3 Lättbetong 600 kg/m3

Beroende på om vi befinner oss på jorden eller månen kommer vi påverkas av olika storlekar på dragningskraften. En stor planet drar mer i oss än vad en liten himlakropp gör. Ju tyngre massa desto mer trycker föremålet på underlaget. Enheten för kraft är N (newton) eller kN och anger hur mycket kraft ett föremål trycker på underlaget. På jorden påverkas en massa på ett kilo av en kraft som är ungefär 10 N (9,81 N). För att beräkna massan används följande formel: m = V × där m = massa V = volym = densiteten Exempel 1: Beräkna massan av en betongbalkfigur med längden 5 m, höjden 600 mm och

bredden 250 mm. Beräkna först balkens volym. V = b × l × h = 0,25 × 5 × 0,6 = 0,75 m3 Beräkna sedan massan. m = V × = 0,75 × 2 400 = 1 800 kg

Påkänning Kraften är i praktiken utspridd över en yta och detta beräknas genom att fördela kraften över anläggningsytan. Påkänning = tryck = kraft/area. Enheten blir N/m2 vilket även kallas Pascal (Pa). Pascal är en liten enhet där 1 Pa motsvaras av ungefär trycket av ett vanligt papper på ett bord.

– Kapitel 5b: Massa, densitet och tryck –


Exempel 2: Med vilken kraft trycker en tvåplansvilla på bottenplattan? Villans massa är

60 ton och bottenplattans area är 110 m2. Kraften = 9,81 × 60 000 = 588 600 N Påkänningen = trycket = 588 600 N / 110 m2 = 5 351 N / m2 = 5 351 Pa

Beräkningar

1. Beräkna massan av en betongbalkfigur med längden 30 m, höjden 50 cm och bredden 250 mm.

2. Beräkna massan av en tegelvägg med längden 10 m, höjden 2,50 m och 22 cm.

3. Vad väger en gammal stor gran på ett ungefär? Du måste göra en hel del antaganden för att kunna lösa denna uppgift, t.ex. hur hög granen är och vilken diameter den har.

4. Med vilken kraft trycker en container på marken om den väger 980 kg och bottenarean är 4 m2?

5. a) Hur mycket tyngd måste parkeringsplatsen totalt tåla om det ska stå 50 bilar á 1 100 kg inom en area av 350 m2? b) Vad blir trycket per m2?

– Kapitel 6: Procent –


6 Procent Ordet procent kommer från latinet och betyder hundradelar. En procentare var förr i världen en person som lånade ut pengar mot oskälig ränta. Procenträkning är mycket viktigt och förekommer överallt i samhället. Som exempel kan man ge valresultat, löneökningar, rabatter, moms m.m. Vi kan börja med en liten sann historia: Det var en gång en mattelärare som träffade en gammal elev. Läraren erinrade sig att eleven nog var den sämsta han haft genom tiderna. Eleven såg välmående ut, ja nästan rik ut i sin fina Mercedes. ”Vad sysslar du med?” frågade läraren. ”Jag gör affärer”, blev svaret. ”Hur går det?” frågade läraren, ”du var inte världsmästare i matte precis.” ”Jag köper kataloger för 1 kr styck och säljer dem för 3 kr styck och på de 2 procenten klarar jag mig bra”, blev svaret. När du har gått igenom procentavsnittet kan du säkert kommentera den här historien kritiskt.

En procent och hundra procent En jämförelse I en skolmatch i basket mellan Brobyskolan och Dalbyskolan gjorde Brobyskolan 34 poäng på straffkast medan Dalbyskolan gjorde 27 poäng på straffkast. Vilken skola lyckades bäst med straffkasten? Jämför vi antalet poäng blir svaret Brobyskolan. Men är detta en bra jämförelse? Nej, man bör jämföra lagens poäng i förhållande till hur många straffkast lagen hade. Brobyskolan hade 40 straffkast och Dalbyskolan hade 30 straffkast.

Vi kan då jämföra: 40

34 med

30

27

Här är svårt att direkt se vilken andel som är störst. Vi uttrycker därför andelarna i decimalform.

Brobyskolan: 8585,040

34== hundradelar

Dalbyskolan: 9090,030

27== hundradelar

Dalbyskolan lyckas bäst med straffkasten. Som du säkert känner till kallar man en hundradel för en procent. För procent använder vi tecknet %. Brobyskolan gjorde alltså poäng i 85 % av straffkasten och Dalbyskolan i 90 % av straffkasten. Varför procent Procent anger hundradelar och är bra att använda när man vill jämföra andelar.



1 % = 100

1 = 0,01 100 % =

100

100 = 1

Procentform Bråkform Decimalform Det hela är 100 %

Exempel 1: 75 % av figuren är färgad. Hur många procent är ofärgad? Svar: Det hela är 100 %. Hela figuren = 100 %. Den ofärgade delen = 100 % – 75 % = 25 %. Exempel 2: Figuren är delad i fem lika stora delar. Hur stor andel av figuren är färgad? Svara i a) bråkform b) decimalform c) procentform Svar: 2 delar av 5 är färgade

a) 5

2 b) 4,0

5

2= c) 0,4 = 0,40 = 40 %

Exempel 3: Hur stor andel av tårtan är inte uppäten? Svara i bråkform, decimalform och procentform.

Svar: %5,62=625,0=8

5

Exempel 4: Skriv i procentform med en decimal. Använd miniräknare. a) 1/32 b) 2/3

Svar: a) %1,3%125,303125,032

1==

b) %7,66%...666,66...6666,03

2==



Vid en omröstning på 2 skolor, A och B, i en stad noterades följande resultat. På skola A röstade 588 av 1 400 elever för att bibehålla kärnkraft, medan motsvarande siffror på skola B var 774 av 1 800. På vilken skola var andelen kärnkraftsanhängare störst? Vi undersöker bråken 588/1 400 och 774/1 800 A: 588/1 400 = 0,42 = 42/100 B: 774/1 800 = 0,43 = 43/100 På skola B röstade 43 av 100 för kärnkraft och på skola A 42 av 100. Andelen kärnkraftsanhängare är större på skola B. Procent betyder hundradelar och tecknas %. Resultatet blir att skola B har 43 % och skola A har 42 % kärnkraftsanhängare. 1 % = 0,01, 2 % = 0,02, 17 % = 0,17 o.s.v. En del enkla procenttal kan man se som bråk. 25 % = 0,25 = 1/4, 50 % = 0,50 = 1/2, 75 % = 0,75 = 3/4, 100 % = 1,00 = 1, 12,5 % = 0,125 = 1/8

3

1%

3

133 =

3

2%

3

266 =

1 % är alltså en hundradel. Det innebär att procentsatsen kan skrivas som procentform eller decimalform.

Procenttal Decimaltal Bråktal

1 % 0,01 1/100

35 % 0,35 35/100

112 % 1,12 112/100

Beräkningar

1. 4 % av en cirkel är färgad, hur många procent är ofärgad? 2. Hur stor andel av figuren är färgad? Svara i

a) bråkform b) decimalform c) procentform

3. Hur stor andel av figuren är färgad? Svara i




4. Skriv i procentform med en decimal.

a) 8

5 b)

32

9 c)

128

75 d)

18

15

5. Hela figuren är 100%

Hur stor andel är skuggad? a) b)

6. 60 % av eleverna i en klass är flickor. Hur många procent är pojkar? 7. Skriv i procentform.

a) 0,42 b) 0,03 c) 0,30 d) 0,305 8. Skriv i decimalform.

a) 65 % b) 7 % c) 70 % d) 70,3 % 9. Hur stor del av figuren är färgad? Svara i


10. Hur stor del av figurerna är färgade? Svara i


I II 11. Rita en rektangel. Skugga sedan 40 % av den. 12. Skriv i procentform med en decimal.

a) 8

7 b)

12

5 c)

22

3 d)

36

17

13. Var är arbetslösheten bland byggnadsarbetare störst, i Persboda eller Västerstad?

Antal byggnadsarbetare Persboda Västerstad

Totalt 75 1 500

100%

50%

80%



Arbetslösa 9 165

Undersök och diskutera.



Vanliga problemtyper: De problem man ofta stöter på är av tre grundtyper. Det gäller alltså att fundera ut vilken typ av problem är det jag ska lösa? Exempel 1: Man frågar efter hur många procent ”en del” är av ”det hela”.

Hur många procent är 50 kr av 370 kr?

Uträkning: 50/370 = 0,135 = 13,5 %

Svar: 50 kr är 13,5 % av 370 kr

Exempel 2: Man frågar efter hur mycket delen är när man vet procentsatsen och ”det

hela”.

Hur mycket är 15 % av 630 kr?

Uträkning: 0,15 × 630 = 94,5

Svar: 15 % av 630 kr är 94,5 kr

Exempel 3: Man frågar efter vad det hela är när man känner till procentsatsen och hur

mycket procentsatsen motsvarar.

70 % av en summa är 420 kr. Hur stor är summan?

Uträkning: 420/0,7 = 600

Svar: Summan är 600 kr

Alternativ av exempel 3 kan se ut så här:

En vara säljs med 20 % rabatt för 1 200 kr. Vad var priset före rabatt? Ett mycket vanligt men felaktigt sätt att beräkna det är följande:

20 % av 1 200 är 0,20 × 1 200 = 240 kr. Priset innan var då 1 200 + 240 = 1 440 kr. En kontroll visar då att 20 % av 1 440 kr är 0,20 × 1 440 = 288 kr. 1 440 kr – 288 kr = 1 152 kr d.v.s. det blir INTE 1 200 kr. Så här kan man göra:

20 % rabatt innebär att man betalar 80 %,

80 % motsvarar 1 200 kr, 1 % motsvarar 1 200/80 = 15 kr, 100 % motsvarar 100 × 15 = 1 500 kr. Fullt pris är alltså 1 500 kr.

Ett annat sätt är att lösa problemet med en ekvation. Man antar att fullt pris är

x kr. Eftersom 80 % av priset är 1 200 kr blir ekvationen: 0,80 × x = 1 200 x = 1 200/0,80 x = 1 500 Fullt pris är 1 500 kr.



Procent, promille och ppm Promille betyder tusendelar och betecknas ‰. ppm betyder miljondelar och betecknas ppm (ppm = part per million). Promille används ofta när man talar om koncentrationen ren alkohol i blodet medan ppm används när man talar om t.ex. föroreningar. Förkortningar av typen ppm, ppb och pphm ska undvikas enligt en svensk standard (SS 01 61 18). (ppm, ppb och pphm betyder part per million, part per billion (miljard) resp. part per hundred million.) Att vi fortfarande använder ppm beror på dess vida spridning i arbetslivet. Problemtyper: Hur mycket är 7 % av 800? Hur mycket är 7 ‰ av 800? Hur mycket är 21 ppm av 18 kg? I 1 000 m3 vatten finns 22 liter av en förorening. Hur många ppm blir det? Procent kan översättas med hundradel(ar). På samma sätt kan promille översättas med tusendel(ar) och ppm med miljondel(ar). Procent, promille och ppm är alltså inte enheter på samma sätt som kg och mil utan står egentligen i stället för en division med hundra, tusen respektive en miljon. När vi har förändringar brukar man tala om ökning eller minskning med ett visst antal procent, men om man beskriver förändringen med en indexserie, så anger indextalet till hur många procent något ökat eller minskat jämfört med basåret (då index är 100).

Beräkning av procenttal och promille – division Hur många procent (promille, ppm) är 5 g av 1,000 kg? Lösning: Man dividerar med det man jämför med d.v.s. med det som tänks vara 100 % (i detta fall 1,000 kg = 1000 g). Så här

g0001

g5 = 0,005 = 0,5 % = 5 ‰ = 5 000 ppm

På samma sätt, om något ökar från 1 000 g till 1 005 g får man

g0001

g0051 = 1,005 = 100,5 %

Beräkningar

1. Skriv i decimalform a) 3 ‰ b) 15,2 ‰ c) 2 ppm d) 25 ppm

2. Beräkna

a) 1,5 ‰ av 42 000 b) 35 ppm av 60 000 3. I ett land med 8 300 000 invånare föddes ett år 98 000 barn. Hur många promille var

det av hela befolkningen? 4. Hur många ppm är 13 g av 6 500 kg ?

http://hem.fyristorg.com/LT/indextal.html

http://hem.fyristorg.com/LT/indextal.html



5. Skriv i promilleform

a) 0,007 b) 0,001 6 c) 0,012 d) 0,000 2 6. Hur många promille är a) 0,15 ml av 25 ml ? b) 75 kr av 50 000 kr ? 7. a) Skriv 8 ‰ i decimalform. b) Beräkna 8 ‰ av 45 000 kr. 8. a) Skriv 3,5 ‰ i decimalform. b) Beräkna 3,5 ‰ av 48 000 kr. 9. Skriv i ppm-form a) 0,000 19 b) 0,000 031 10. Hur många ppm är a) 2 g av 400 kg b) 0,5 m av 25 km ? 11. a) Uttryck 25 ppm i decimalform. b) Beräkna 25 ppm av 80 000 kg. 12. 3 promille av folkmängden i Sverige är norrmän. Beräkna antalet, då folkmängden är

8 600 000. 13. Vid en kontroll av en bensinpump visade mätaren 50,0 l då man fyllt på 50,2 l. Hur

många promille fel visade mätaren? 14. Ett ägg som väger 60 g innehåller 0,72 mg järn. Bestäm järnhalten i ägget uttryckt i

ppm. 15. I en förorenad sjö uppmättes DDT-halter på 400 ppm hos fiskarna. Hur mycket DDT

innehåller en gädda på 2,3 kg ? 16. Högsta tillåtna nitrithalt i köttvaror sänktes år 1981 från 200 ppm till 150 ppm. Hur

många gram nitrit får 2,4 kg kött högst innehålla? 17. Födelsetalet i ett land ökade från 12,5 promille till 13,5 promille. Ange ökningen i

a) promilleenheter b) promille

Förändringsfaktorn Förändringsfaktorn 1,005 betyder en ökning (till 100,5 % och) med 0,5 %. Om vi i stället har en minskning från 1 000 g till 995 g får man:

g0001

g995 = 0,995 = 99,5 %

Förändringsfaktorn 0,995 betyder en minskning (till 99,5% och) med 0,5 %. Exempel 1: Kalles lön är 12 400 kr per månad. Den stiger med 8 %. Beräkna den nya

lönen. Metod 1.

Startlön: 12 400 kr Höjning: 0,08 × 12 400 = 992 kr Ny lön: 12 400 + 992 = 13 392 kr



Metod 2.

Gammal lön = 100 % Ökningen 8 % innebär att den nya lönen är 108 % av den gamla lönen. Ny lön = 1,08 × 12 400 = 13 392 kr

1,08 kallas tillväxtfaktor eller förändringsfaktor. Exempel 2: En TV kostar 4 900 kr. Den säljs med 8 % rabatt. Beräkna det nya priset. Metod 1.

Pris = 4 500 kr Rabatt = 0,08 × 4 900 = 392 kr Nytt pris = 4 900 – 392 = 4 508 kr

Metod 2.

Man betalar 100 % – 8 % = 92 % av priset. 0,92 × 4 900 = 4 508 kr d.v.s. samma som i metod 1 men enklare. Här är tillväxtfaktorn 0,92.

Exempel 3: Lisas lön var 12 000 kr. Den höjdes i tre steg, varje gång med 5 %. Beräkna

slutlönen. Metod 1.

Startlön = 12 000 kr Höjning 1 = 0,05 × 12 000 = 600 kr Ny lön = 12 000 + 600 = 12 600 kr Höjning 2 = 0,05 × 12 600 = 630 kr Ny lön = 12 600 + 630 = 13 230 kr Höjning 3 = 0,05 × 13 230 = 661,50 kr Slutlön = 13 230 + 661,50 = 13 891,50 kr

Metod 2. 12 000 × 1,05 × 1,05 × 1,05 = 12 000 × 1,053 = 13 891,50 kr Man kan multiplicera ihop flera tillväxtfaktorer i rad.

Exempel 4: Ett pris ökar från 50 kr till 65 kr. Hur många procent är höjningen? Metod 1.

Ökning = 65 – 50 = 15 kr.

%30=30,0=50

15=

risursprungsp

ökning

Metod 2.

30,150

65

prisetgamladet

prisetnyadet== d.v.s. ökning med 30 %

Exempel 5: Ett pris sjunker från 75 kr till 60 kr. Hur många procent är det?



Metod 1. Sänkning = 75 – 60 = 15 kr Andel = 15/75 = 0,20 = 20 %

Metod 2.

60/75 = 0,80 = 80 % d.v.s. sjunker med 20% Som du ser kan man förenkla en del problemlösning med hjälp av tillväxtfaktorn, men problemen kan också lösas på andra men ofta mer tidskrävande sätt. Exempel 6: Till vilket belopp växer

a) 1 000 kr på 15 år om räntan är 8 % Lösning: 1 000 × 1,0815 = 3 172 kr

b) 1 kr insatt vid Jesu födelse år 0 mot 1 % ränta på 1 996 år.

Lösning: 1 × 1,011996 = 422 145 409 kr d.v.s. ungefär 422 miljoner. c) Samma krona som i b) men mot 5 % ränta.

Lösning: 1 × 1,051996 = 1,97 × 1042 kr eller utskrivet 1 970 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 kr.

Här ligger den svenska statsskulden i lä!

Procent och procentenheter. Man skiljer mellan procent och procentenheter. När t.ex. riksbanken sänker diskontot från 5,0 % till 4,5 % säger man att sänkningen är 0,5 procentenheter medan sänkningen i procent är 0,5/5 = 0,10 = 10 %. Vid en enkät på en skola svarade 40 % av eleverna att de hade en dator hemma. Året därpå svarade 60 % att de hade en dator. Två ortstidningar redovisade andra årets undersökning på olika sätt. Vilken tidning har redovisat förändringen korrekt?

A-Kuriren

Antalet datorer i hemmen ökar med 20 % xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx

B-Posten

Antalet datorer i hemmen ökar med 50 %

xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx

Om ett pris på 40 kr ökar till 60 kr kan vi säga att – ökningen är 20 kr eller – ökningen är 20/40 = 0,5 = 50 % En prisändring kan vi uttrycka i kronor eller procent. På ett liknande sätt kan vi uttrycka förändringar av en procentsats. Om en procentsats ökar från 40 % till 60 % säger vi att – ökningen är 20 procentenheter eller – ökningen är 20/40 = 0,5 = 50 %



Du ser att B-Posten ger korrekt information. A-Kuriren skulle ha skrivit ”Antalet datorer i hemmen ökar med 20 procentenheter”. Exempel 1: Banken sänkte räntesatsen från 5 % till 4,4 %. Hur stor var räntesänkningen i a) procentenheter b) procent?

Uträkning: a) Sänkning från 5 % till 4,4 %. Sänkningen var 0,6 på 5. Sänkningen var 0,6 procentenheter.

b) %1212,05

6,0

detvärgamla

sänkningen===

Svar: a) 0,6 procentenheter b) 12 %

Beräkningar

1. Räntesatsen på ett bankkonto är 4 %. Vad blir den nya räntesatsen om den a) höjs med 1 procentenhet? b) sänks med 0,5 procentenheter?

2. Med hur många procentenheter har räntesatsen ändrats om den ändras

a) från 7 % till 10 %? b) från 4,5 % till 3 %?

3. Arbetslösheten ökade under ett år från 8 % till 10 %. Hur stor var ökningen i

a) procentenheter? b) procent? 4. Räntesatsen på ett lån är 11 %. Vilken blir den nya räntesatsen om den

a) höjs med 2 procentenheter? b) sänks med 1 procentenhet?

5. Skatten höjdes för vissa inkomster från 50 % till 55 %. Hur många procentenheter

höjdes skatten? 6. En försäljares provision ändras vid en löneförhandling från 25 % till 30 %.

a) Hur många procentenheter ökar provisionen?

b) Beräkna provisiongursprungli

ökningen

c) Hur många procent ökar provisionen? 7. Marknadsandelen för ett bilmärke ökade från 10 % till 13 %. Hur stor var ökningen i

a) procentenheter? b) procent? 8. En butik lämnade ett år 5 % i återbäring. Året därpå sänktes återbäringen till 4 %. Hur

stor var sänkningen i a) procentenheter? b) procent?

9. Födelsetalet i ett land ökade med 0,1 procentenheter till 1,1 %.

a) Vilket var födelseantalet före ökningen? b) Hur stor var ökningen i procent?



10. Enligt en väljarundersökning minskade moderaternas andel av väljarkåren från 30 % till 27 %. Två tv-kanaler sa så här

TV-12: Moderaterna minskar med 10 % Q-TV: Moderaterna minskar med 3 %

Vilken TV-kanal presenterar nyheten korrekt? Förklara.



Beräkning av procentsatsen och nya värdet Problem: Beräkning av procentsatsen Vi vet gamla värdet och nya värdet. Vi vill veta förändringen i procent. Exempel 1: Pia fick vid en utförsäljning köpa en moped som kostar 5 600 kr för 4 200 kr.

Hur många procents rabatt fick Pia? 1. Rabatten i kr = 5 600 kr – 4 200 kr = 1 400 kr 2. Rabatten i procent =

%2525,06005

4001

prisetgamla

rabatten===

Svar: Pia fick 25 % rabatt.

När du ska beräkna hur stor en förändring är i procent ska du ställa upp:

detvärgamla

ökningen eller

detvärgamla

skningenmin

Problem Beräkning av nya värdet Vi vet gamla värdet och förändringen i procent. Vi vill veta nya värdet. Exempel 2: En CD-spelare kostar 700 kr. Vad kostar den om priset höjs med 15 %?

1. Gamla priset = 700 kr 2. Ökning i kr = 15 % av 700 kr = 0,15 × 700 kr = 105 kr 3. Nya priset = 700 kr + 105 kr = 805 kr Svar: CD-spelaren kostar 805 kr efter prisökningen.

När du ska beräkna det nya värdet vid en förändring ska du ställa upp:

nya värdet = gamla värdet + ökningen eller nya värdet = gamla värdet – minskningen

Beräkningar

1. En CD-skiva som kostar 150 kr säljs för 135 kr. a) Hur stor är rabatten i kronor? b) Hur stor är rabatten i procent?



2. Ett månadskort för buss kostade 350 kr. Man beslutade att höja priset med 12 %.

a) Hur stor blev höjningen i kronor? b) Vad kostade månadskortet efter höjningen?

3. En bilist ökar hastigheten från 50 km/h till 70 km/h. Med hur många procent ökar den?

4. En person som väger 80 kg bantar bort 10 % av vikten. Vad väger han sedan? 5. Vid en längdhoppstävling ökade Mattias sitt personliga rekord från

600 cm till 630 cm. Bestäm a) ökningen i cm, b) ökningen i procent.

6. En jacka för 400 kr säljs med 30 % rabatt.

a) Bestäm rabatten i kronor. b) Bestäm det nya priset. 7. Ett flygplans hastighet sänks från 750 km/h till 600 km/h. Med hur många procent

sjunker farten? 8. Folkmängden i en kommun är 50 000. Hur stor blir den om den

a) ökar med 3 %? b) minskar med 2 %? 9. Beräkna den procentuella ändringen när ett pris ändras

a) från 200 kr till 250 kr, b) från 250 kr till 200 kr. 10. För en begagnad bil betalar Martin 42 000 kr. Värdeminskningen per år uppskattas

till 10 %. Vad bör då bilen vara värd ett år senare? 11. Matilda sätter in 3 000 kr på ett konto i en bank. Banken ger 3,5 % i årsränta. Hur

mycket har Matilda på kontot efter 1 år? 12. Skriv text till en procentuppgift som ger beräkningen

a) 620 + 0,15 × 620 b) 800 – 0,05 × 800

Vilken procentsats?

Tre basproblem

30% av 200 kr = 60 kr

Vi söker procentsatsen Exempel 1: Hur många procent är 60 kr av 200 kr?

procentsatsen delen det hela



%3030,0200

60

heladet

delen===

Svar: 30 % Vi söker delen Exempel 2: Hur mycket är 30 % av 200 kr?

1 % av 200 kr är 1/100 av 200 kr = 2 kr Men 0,01 × 200 kr = 2 kr, d.v.s. 1 % av 200 kr = 0,01 × 200 kr = 2 kr, och 30 % av 200 kr = 30 × 0,01 × 200 kr = 0,30 × 200 kr = 60 kr Vi kan direkt skriva 30 % av 200 kr = 0,30 × 200 kr = 60 kr

Svar: 60 kr Vi söker det hela Exempel 3: 30 % av en summa är 60 kr. Hur stor är summan?

30 % av en summa är 60 kr. 1 % av summan är 60/30 kr = 2 kr 100 % av summan är 100 × 2 kr = 200 kr

Svar: 200 kr

Beräkningar

1. Hur många procent är a) 9 g av 45 g b) 213 ton av 355 ton? 2. Beräkna a) 5 % av 140 kr b) 16 % av 3850 kr 3. a) 2 % av ett tal är 10. Vilket är talet?

b) 15 % av en sträcka är 6 750 m. Hur lång är sträckan? 4. a) Hur många procent är 360 kr av 3 000 kr?

b) Hur mycket är 25 % av 7 000 kr? c) 6 % av ett tal är 18. Vilket är talet?

5. a) Hur mycket är 8,5 % av 4 000 km?

b) 9 % av ett tal är 36. Vilket är talet? c) Hur många procent är 405 m av 9 000 m?

6. Hur många procent är 72 kr av 288 kr?

a) Hur många kronor är delen?

30 × 0,01 = 0,30

Överför till decimalform



b) Hur många kronor är det hela?

c) Beräkna heladet

delen och besvara frågan.

7. Hur många procent är a) 3 av 5 b) 3 av 12 c) 5 av 25 d) 72 av 600 ?

8. Hur mycket är 12 % av 750 kr?

a) Skriv 12 % i decimalform. b) Ställ upp hur man beräknar 12 % av 750 kr. c) Gör beräkningen och besvara frågan

9. Beräkna a) 10 % av 240 b) 15 % av 400 c) 6 % av 8 500 d) 3 % av 600

10. 5 % av ett tal är 750

a) Vad är 1 % av talet? b) Vad är 100 % av talet? c) Vilket är alltså talet? 11. a) 3 % av ett tal är 60. Vilket är talet?

b) 12 % av ett tal är 60. Vilket är talet? c) 40 % av ett tal är 60. Vilket är talet?

12. Hur många procent är a) 702 kr av 3 510 kr? b) 70 g av 875 g? 13. Beräkna a) 6 % av 75 miljoner b) 75 % av 24 m 14. a) Hur många procent är 12 av 60?

b) 8 % av ett tal är 24. Vilket är talet? c) Hur mycket är 30 % av 250?

15. a) Hur mycket är 90 % av 740?

b) Hur många procent är 14 av 56? c) 9 % av ett tal är 63. Vilket är talet?

16. Beräkna

a) 14 % av 250 kr b) 14,4 % av 500 mm c) 6,2 % av 400 m d) 82,5 % av 200 l 17. Hur många procent är

a) 408 kg av 2 000 kg? b) 5 239 personer av 6 500 personer?

18. a) 2 % av en sträcka är 240 m. Hur lång är sträckan?

b) 2,5 % av ett kapital är 9 600 kr. Hur stort är kapitalet? 19. a) Hur många procent är 484 g av 800 g?

b) Beräkna 4,2 % av 12 000 km. c) 8,5 % av ett kapital är 425 kr. Hur stort är kapitalet?

20. Pelle räknar ut 0,15 av 90 såhär: 0,1 × 90 = 9

– Vad gör han för fel?



21. Hur vet du vilket av bråken

51

26

41

29

76

75

31

3

42

11

som är ungefär lika med a) 100 % b) 50 % c) 25 % d) 10 %?



Tillämpningar Vi söker procentsatsen Exempel 1: Vid en trafikkontroll körde 112 av 153 bilar för fort.

Hur många procent var det? Svara med hela procent.

%7373,0...732026,0153

112

hela

delen===

Kontroll: 73 % av de 153 bilarna körde för fort = 0,73 × 153 = 111,69 ≈ 112 Svar: 73 % av bilarna körde för fort. Vi söker delen Exempel 2: Paola har 12 000 kr på ett bankkonto där räntesatsen är 4 %. Vad får hon i

årsränta? Årsräntan = 4 % av 12 000 kr = 0,04 × 12 000 kr = 480 kr.

Kontroll: %404,000012

480

kapitalet

tanårsrän===

Svar: Årsräntan är 480 kr. Vi söker det hela Exempel 3: Vid en bokrea sänktes alla priser med 40 %. På en bok sänktes priset med

80 kr. Vad hade boken kostat? 40 % av det gamla priset = 80 kr

1 % av det gamla priset = kr2kr40

80=

100 % av det gamla priset = 100 × 2 kr = 200 kr Kontroll: 40 % av 200 kr = 0,40 × 200 kr = 80 kr

Svar: Boken hade kostat 200 kr.

Miniräknare

Avrunda till 2 decimaler



Beräkningar

1. I en skola var 468 av 1 040 elever flickor. Hur många procent av eleverna var flickor? 2. Emma har 7 400 kr på ett bankkonto där räntesatsen är 3 %. Vad får hon i årsränta? 3. Mattias fick 84 kr för årets bensinkvitton. Hur mycket har han köpt för om återbäringen

är 2 %? 4. Årsräntan för ett lån på 70 000 kr är 5 250 kr. Beräkna räntesatsen. 5. Vid en kvalitetskontroll av olika typer av skruvar var 0,67 % defekta. Hur många var

defekta om man testade 1 200 st? 6. Pernilla fick 150 kr i årsränta på ett bankkonto med 5 000 kr. Vilken var räntesatsen?

a) Vilken årsränta fick Pernilla? b) Vilket kapital hade hon?

c) Beräkna kapitalet

tanårsrän

d) Besvara frågan. 7. Vid en realisation kan Erik köpa en freestyle med 20 % rabatt. Ordinarie pris var

550 kr. Hur stor var rabatten i kronor? a) Skriv 20 % i decimalform. b) Ställ upp hur du kan beräkna 20 % av 550 kr c) Utför beräkningen och svara på frågan.

8. Petras månadslön höjs med 4 %. Den ökar då med 540 kr. Hur stor var månadslönen

före löneökningen? a) Hur mycket är 4 % av månadslönen? b) Hur mycket är 1 % av månadslönen? c) Hur mycket är 100 % av månadslönen? d) Vilken var alltså månadslönen före löneökningen?

9. 116 personer sökte en kurs. Man tog in 29 st. Hur många procent kom in på kursen? 10. Under en realisation sänks priserna med 35 %. Bestäm rabatten i

kronor om ordinarie priset är 1 840 kr. 11. Jens hoppade 155 cm i höjd i sitt första hopp. I andra hoppet ökade

han höjden med 8 cm. Hur stor var ökningen i procent? Svara med en decimal. 12. Annika har ett lån där räntesatsen är 12 %. Hur stort är lånet då räntesatsen är

5 520 kr? 13. Skriv text till en procentuppgift som ger beräkningen

a) 0,45 × 600 = 270 b) 0,04 × 8 000 = 320 14. Skriv i procentform

a) 1,08 b) 2,35 c) 18/5



15. Skriv i decimalform a) 135 % b) 270 % c) 406 %

16. År 1977 kostade en biobiljett 15 kr. I början av år 1998 betalade Lena 75 kr för en

biobiljett på Filmstaden. Hur många procent är 75 kr av 15 kr? 17. Beräkna 108 % av 2 400 kr. 18. Skriv i procentform

a) 1,09 b) 2,85 c) 15/4 19. Skriv i decimalform

a) 103 % b) 240 % c) 545 % 20. Hur många procent är 175 kr av 140 kr? 21. Beräkna 140 % av 210 kr. 22. Skriv i procentform

a) 0,35 b) 1,35 c) 1,5 d) 2,85 23. Skriv i decimalform

a) 76 % b) 176 % c) 140 % d) 348 % 24. Skriv i procentform

a) 4/5 b) 5/4 c) 9/4 d) 36/15 25. En filmrulle kostade 8 kr år 1974 och 36 kr år 1994. Hur många procent är 36 kr av 8

kr?

a) Teckna 1974isetPr

1994isetPr b) Beräkna kvoten och besvara frågan.

26. Beräkna 135 % av 8 400 kr.

a) Skriv 135 % i decimalform b) Teckna den beräkning du ska göra. c) Gör beräkningen och besvara frågan.

27. Beräkna 208 % av 12 000 m.

a) Skriv 208 % i decimalform b) Teckna den beräkning du ska göra. c) Gör beräkningen och besvara frågan.

28. Hur många procent är a) 20 kr av 25 kr b) 25 kr av 20 kr ? 29. Beräkna a) 108 % av 12 000 kr b) 320 % av 80 kr 30. Längden av ett par slalomskidor bör vara 115 % av skidåkarens längd. Hur långa -

skidor bör a) Filip ha som är 180 cm lång b) Emma ha som är 160 cm lång?



31.

Vikt: 308 gram Fett: 53 gram. Nio gram mer än vad de flesta behöver totalt på en dag.

Hur många procent av dagsbehovet fett får man då man äter detta?

32. 150 % av 2 000 kr är A: 1 000 kr, B: 1 500 kr, C: 3 000 kr?

Kan du utan att räkna säga vilket svar som är rätt? Förklara! 33. Ordna följande tal i storleksordning med det minsta först.

1,05 150 % 11/10 7/5 34. Bestäm förändringsfaktorn.

Gamla värdet Nya värdet

a) 60 50

b) 20 24

c) 180 171

d) 175 280

35. Hur stor är förändringen i procent?

Gamla värdet Nya värdet

a) 28 35

b) 35 28

Beräkna procentsatsen med en decimal om inget annat sägs. 36. Hur stor är förändringen i procent då förändringsfaktorn är

a) 1,03 b) 1,30 c) 1,08 d) 1,80 ? 37. Hur stor är förändringen i procent då förändringsfaktorn är

a) 0,95 b) 0,90 c) 0,85 d) 0,60 ? 38. Hur stor är förändringen i procent då förändringsfaktorn är

a) 0,96 b) 1,13 c) 1,65 d) 0,49 ? 39. Ett pris ökar från 48 kr till 60 kr.

a) Bestäm förändringsfaktorn. b) Hur stor är ökningen i procent? 40. Ett pris minskar från 60 kr till 51 kr.

a) Bestäm förändringsfaktorn. b) Hur stor är minskningen i procent? 41. Vid en realisation sänktes priset på ett par jeans från 480 kr till 384 kr.

a) Bestäm förändringsfaktorn. b) Bestäm prissänkningen i procent.



42. En firmas omsättning sjönk från 250 000 kr till 175 000 kr. a) Bestäm förändringsfaktorn. b) Bestäm minskningen i procent.

43. Tolka följande förändringsfaktorer som en procentuell ökning eller minskning.

a) 1,125 b) 0,875 c) 2,043 d) 0,707 44. Den tillåtna blyhalten i bensin har sänkts från 0,40 mg/l till 0,15 mg/l. Med hur många

procent sänktes värdet? 45. Priset på en vara steg från 400 kr till 950 kr. Bestäm prishöjningen i procent. 46. a) Bob Beamon höjde 1968 världsrekordet i längdhopp från 835 cm till 890 cm.

Ange höjningen i procent. b) År 1991 höjde Mike Powell rekordet till 895 cm. Hur stor var denna höjning i procent?



Översikt Hur mycket är alltsammans om 15 % av det är 45 m? 15 % av alltihop är 45 m

1 % av alltihop är 15

m45

(100 % av) alltihop är m30010015

m45=

En kvot av två storheter eller tal anges ibland i procentform , särskilt då man vill ange storleksförhållanden t.ex. vid en förändring. Procenttecknet (%) utläses procent och betyder hundradelar. I procenträkning arbetar man med tre grundbegrepp: Det totala: hela mängden, hela beloppet o.s.v. Det totala svarar mot en hel eller 100/100 eller 100 %. Procentsatsen: 2 %, 7 %, 12,5 % o.s.v. Procentsatsen anger, hur många hundradelar man ska ta av det totala. 2 % anger, att man ska ta 2 hundradelar o.s.v. Procentdelen: en del av det totala (mängden, beloppet o.s.v.). Talet före procenttecknet anger antalet procentenheter. Storhetsförhållanden kan även anges i promille, som tecknas ‰ och betyder tusendelar. En storhet ändras med ett visst procenttal. Man kan då beräkna det nya värdet genom att multiplicera det ursprungliga värdet med en tillväxtfaktor (förändringsfaktor). T.ex. 120 plus 20 % av 120 blir 120 × 1,2 = 144. Vid ökning är denna faktor större än 1, vid minskning är mindre än 1.

Procent 7 % = 7/100 = 0,007 procentform, bråkform, decimalform Det hela = 1 = 100 % Hälften = 1/2 = 50 % En fjärdedel = 1/4 = 25 %

Vi söker procentsatsen a) procentsatsen = delen/hela Om 3 elever av 25 är sjuka, så är 3/25 = 0,12 = 12 % av eleverna sjuka. b) procentsatsen = förändringen /värdet från början Antag att priset för en vara ökar från 20 kr till 26 kr. Förändringen är då 6 kr. Ökning i % = 6/20 = 0,30 = 30 %.

Vi vet procentsatsen 25 % av 400 kr = 0,25 × 400 = 100 kr eller 1/4 av 400 kr = 100 kr



Ränta Ränta = kapital × räntesats × tid där tiden är uttryckt i år. Räntan under en månad = 1/12 av årsräntan

– Kapitel 7: Index –


7 Index Index används i två betydelser inom matematiken. Dels är det beteckningen för det lilla eller de små tal som står nertill till höger om en bokstavsbeteckning – t.ex. som de tal som används för att numrera rötterna när man anger lösningen till en ekvation med flera rötter (x1, x2 o.s.v.), dels avses de indextal i en indexserie som används för att visa hur priser, intäkter eller kostnader förändras med tiden. Det är index i denna senare betydelse som detta handlar om. När vi har förändringar brukar man tala om ökning eller minskning med ett visst antal procent, men om man beskriver förändringen med en indexserie, så anger indextalet till hur många procent något ökat eller minskat jämfört med basåret (då index är 100). Något procenttecken skrivs aldrig efter indextalet. En typisk indexserie kan se ut så här: (I detta fall är också de priser som ligger till grund för indexserien angivna.)

År 1970 1980 (basår) 1990 2000

Index 86 100 159 178

Pris 13,50 kr 15,75 kr 25,00 kr 28,00 kr

Priset år 1970 (13,50 kr) är enligt indextalet 86 % av priset vid basåret, år 1980, (15,75 kr) (86 % fås genom att ta 13,50/15,75) och därmed är priset år 1970 100 % – 86 % = 14 % lägre än basårspriset. Priset år 1990 (25,00 kr) är på samma sätt (25,00/15,75) 159 % av priset vid basåret och därmed är det 159 % – 100 % = 59 % högre än basårspriset och priset år 2000 (28,00 kr) är 178 % av priset vid basåret och alltså 178 % – 100 % = 78 % högre än basårspriset. (Observera att detta inte innebär att den procentuella ökningen från år 1990 till år 2000 skulle kunna beräknas genom att subtrahera 178 med 159, utan den måste beräknas på vanligt sätt med hjälp av för-ändringsfaktorn 178/159 = 1,12 – eller ännu hellre 28,00/25,00 = 1,12 – d.v.s. ökningen är 12 %.)

– Kapitel 7: Index –


Konsumentindex Det i Sverige mest kända indextalet är säkert KPI – Konsumentprisindex. KPI bygger inte på en varas prisutveckling utan på flera varors prisutveckling. Varje månad räknas indextal fram för olika varugrupper och dessa indextal vägs sedan samman till medelvärdet KPI. Vägningstalen (vikterna) sätts med hänsyn tagen till de olika varugruppernas tyngd i ett normalhushålls budget. KPI används som ett mått på inflationen och för att styra storleken på olika avgifter till och ersättningar och bidrag från exempelvis samhället och försäkringar. Tidigare användes 1949 som basår för KPI. Numera är basåret 1980. För att illustrera principen vid beräkning av vägda indextal följer här ett förenklat exempel. I exemplet antas normalpersonen år 1 (basåret) leva på 2,0 kg bananer och 1,0 liter mjölk om dagen. Bananerna kostade då 10 kr/kg och mjölken 5 kr/l. År 2 lever han på 2,5 kg bananer och 0,5 liter mjölk om dagen och priserna har ändrats till 11 kr/kg för bananerna och 7 kr/l för mjölken.

År 1 (basår)

2

Kilopris för bananer 10 11

Index (avseende bananpriset) 100 110

Kostnad per dag för bananer 2 × 10 = 20 kr 2,5 × 11 = 27,50 kr

Literpris för mjölk 5 7

Index (avseende mjölkpriset) 100 140

Kostnad per dag för mjölk 1 × 5 = 5 kr 0,5 × 7 = 3,50 kr

Sammanvägt index 100520

100510020

=

+

+ 4,113

5,35,27

1405,31105,27

+

+

Resultatet kan tyckas inte helt rättvisande. Om man i stället hade räknat på totalkostnaden direkt, hade man ju fått ett indextal på 124 (31/25), som ju är klart mer än 113. Vanligen är dock förändringarna i konsumtionsmönstret mindre än i exemplet ovan, och då blir det inte så stor skillnad.

http://www.scb.se/ekonomi/Priser/kpi/kpi.asp

– Kapitel 8: Statistik och diagram –


8 Statistik och diagram

Lägesmått Exempel 1: Vid en undersökning i en klass på 15 elever noterades för varje elev antalet

syskon. Resultatet blev: 3, 2, 1, 4, 0, 0, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 5. Man kan beskriva materialet med 3 olika mått.

1. Medelvärde: Betecknas med x .

Medelvärdet = nerobservatioantalet

nerobservatioallaavsumman

Här blir 215

30x == ,

d.v.s. medelvärdet är 2 syskon/elev. 2. Typvärde: Betecknas med T. Typvärdet = Den vanligaste observationen. Här

blir T = 1 (5 st ettor). Typvärdet är 1. 3. Median: Betecknas med Md. Median = värdet i mitten när man ordnat

materialet i storleksordning 0,0,1,1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,5

7 st Median 7 st

Md = 2 d.v.s. medianen är 2. Medelvärdet är det vanligaste lägesmåttet. Medianen används när det förekommer ett litet antal kraftigt avvikande värden i materialet, t.ex. löner i ett företag. Observera att medianen räknas ut på olika sätt beroende på om man har ett jämt eller udda antal observationer. Exempel 2: Beräkna medelvärde, median och typvärde för materialet nedan.

a) 2, 7, 6, 8, 5, 10, 8 b) 3, 1, 2, 5, 9, 7, 7, 4 a) Ordna materialet i storleksordning:

2, 5, 6, 7, 8, 8, 10

5,67

46

7

10887652x =

++++++=

T = 8, Md = 7 b) Storleksordning: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 7, 9

75,48

38x ==

T = 7, 5,42

54Md =

+=



Exempel 3: I en klass fanns 10 pojkar. Deras skonummer var i tur och ordning 42, 43, 44,

46, 43, 42, 42, 41, 42, 39. Vilket lägesmått skulle du svara med?

Här är nog typvärdet eller möjligen medianen det bästa måttet. T = 42 och Md = 42.

Exempel 4: Bestäm sju tal med medianen 10 och medelvärdet 12.

Det finns många lösningar på problemet. Talens summa är 7 × 12 = 84. 10 ligger i mitten. Man kan tänka sig talen 3, 7, 9, 10, 12, 16, 27.

Exempel 5: I en klass med 30 elever blev medelvärdet för klassen 18,0 poäng. De 20

pojkarna hade medelvärdet 16 poäng. Beräkna flickornas medelvärde.

Medod 1. Poängsumman för hela klassen är 30 × 18 = 540 poäng. Pojkarna har 20 × 16 = 320 poäng. Flickorna har då 540 – 320 = 220 poäng, vilket ger medelvärdet 220 / 10 = 22 poäng. Metod 2. Antag att flickornas medelvärde är x poäng.

Ekv. 1830

x101620=

+

320 + 10x = 540 10x = 220 x = 22 Svar: 22 poäng

Mycket statistik redovisas i form av tabeller eller diagram. Detta gäller alla ämnesområden. Därför är det viktigt att kunna avläsa både tabeller och diagram.

Tabeller Exempel 1: Hur stort är förädlingsvärdet för den kemiska industrin?

Näringsgren Arbetsställen Förädlingsvärde, 1 000 kr

Livsmedel m.m. 848 231 648 000

Textil m.m. 318 3 602 607

Trävaru 953 12 603 742

Massa m.m. 1 098 35 527 824

Kemisk industri 736 33 942 022

Järnverk m.m. 168 12 438 450

Verkstadsindustri 3 557 103 161 586



Svar: Förädlingsvärdet är 33 942 022 000 kr

Diagram Exempel 1: Hur många bilar av märket Opel

nyregistrerades under 1994?

Svar: Drygt 10 000 Opelbilar

nyregistrerades

Olika typer av diagram Det finns flera olika diagramtyper som förekommer ofta. Några av de vanligaste är cirkeldiagram, stapeldiagram, stolpdiagram och histogram. Vilket man använder beror på vilken typ av data och vad man vill visa med statistiken.

Stolpdiagram Ett stolpdiagram visar frekvenserna av rangordningsbara observationer (d.v.s. tal) som ”stolpar” eller vertikala streck. Exempel 1: När tolv matcher var spelade i en

bandyserie var antalet matcher med visst antal mål fördelade enligt vidstående diagram.

Vi ser till exempel att det blev tre mål

gjorda i två av de spelade matcherna. Stolpdiagram används när man har några få heltalsvärden.

Histogram Ett histogram visar frekvensen av observationer av en rangordningsbar storhet inom ett intervall. Att dela in observationerna i intervall kallas för att klassindela materialet. Alla intervall ska vara lika stora. Histogrammet nedan visar hur många vedträn, med en längd inom ett givet intervall, som det fanns i en vedtrave. Histogramet visar t.ex. att det var 35 vedträn i längder mellan 36 och 37 cm.

Antal Nyregistreringar 1994

50 000

40 000

30 000

20 000

10 000

Antalmatcher

2

1

0

3

4

Antalgjordamål0 1 2 3 4 5

Antal vedtr än

35 36 37 38 39 40

40

30

20

10

längd(cm)



Histogram används när man har: Stora material Stor spridning Låga frekvenser på enskilda observationer



Exempel på material: Vid en fartkontroll (max 50 km/h) uppmätte polisen farten hos 50 bilister. Resultatet blev: 7 23 42 58 26 15 39 53 21 38 21 43 56 36 44 31 43 9 49 44 41 51 17 46 55 41 54 27 59 39 51 7 33 56 46 52 5 47 25 48 5 37 48 35 50 11 45 57 42 32 Största värde = 59 (Tant Hedvigs sonson, 18) Minsta värde = 5 (Tant Hedvig, 83) Differens 59 – 5 = 54 Man bör dela in materialet i klasser. Antalet klasser kan variera från 5 till 15. Klasserna bör vara lika breda. Antag att klassbredden är 5. Antalet klasser blir då 11. Då kan vi välja klasserna (5–10), (10–15), (15–20) o.s.v. Här får man ett problem. Var ligger t.ex. 10? Man kan bestämma sig för att 10 hör till antingen 5–10 eller till 10–15. Om man låter 10 höra till en speciell klass måste det framgå klart och tydligt hur man ska placera 10. Ett sätt är följande: Klass

5 x < 10 10 x < 15 15 x < 20 20 x < 25 25 x < 30 30 x < 35 35 x < 40 40 x < 45 45 x < 50 50 x < 55 55 x < 60

Frekvens

5 1 2 3 3 3 6 8 7 6 6

Klassmitt

7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5 57,5

Frekvens

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

05 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

km/h

Klassmitten använder man när man vill beräkna ett medelvärde för materialet. Räknar man med klassmitterna blir medelvärdet 37,8 och på hela materialet blir medelvärdet 37,2.

Stapeldiagram För att relatera frekvenser till observationer som inte är rangordningsbara t.ex. egenskaper, platser, företeelser etc. kan stapeldiagram användas. Stapeldiagrammet till höger visar resultatet från ett prov i MaA. Vi ser bland annat att 12 elever fick betyget väl godkänt.



Värdet på observationen är ”ord”. I detta fall kan de räknas upp i någon sorts värderings-ordning, ”Icke Godkänd”, ”Godkänd” och så vidare men det behöver inte vara så. Exempel: I ett kvarter som omfattar 20 hus noterades varje hus färg.

Färg Antal Röd 7 Gul 4 Vit 6 Grön 3

Antal hus

Röd VitGul Grön

8

6

4

2

0

Cirkeldiagram Ett cirkeldiagram är bra när man vill visa relativ frekvens. Storleken på varje cirkelsektor visar andelen varje post utgör av hela materialet. Diagrammet nedan visar t.ex. hur stor andel av den totala konsumtionen av bananer som befolkningen i Svealand, Götaland respektive Norrland står för.

(Diagrammet är fingerat)

Vi använder oss av samma material som i exemplet ovan. Här gäller det att räkna ut hur stor ”tårtbit” varje färg får. Observera att 1 varv = 360 grader. En lämplig tabell är följande: Färg Antal Andel Vinkel

Röd 7 7/20=0,35 0,35 × 360° = 126°

Gul 4 4/20=0,20 0,20 × 360° = 72°

Vit 6 6/20=0,30 0,30 × 360° = 108° Grön 3 3/20=0,15 0,15 × 360° = 54° Vinkelsumman bör bli ungefär 360. Avrunda inte förrän du kommer till vinkel. Med hjälp av passare och/eller bara gradskiva ritar man följande diagram.



Linjediagram Används när man vill illustrera t.ex. morgontemperaturen i Östersund under en vecka.

Missbruk av statistik Missbruk av statistik är tyvärr väldigt vanligt. Man kapar diagram för att försöka påskina att det är stora skillnader mellan material när skillnaden är försumbar. Exempel 1: Vid ett tillfälle publicerade LT ett diagram där det framgick att LT var mycket

större än lokalkonkurenten ÖP. Det såg ut ungefär så här.

Man kan lätt få intrycket att LT har 3 gånger så stor upplaga som ÖP, när det i själva verket rörde sig om ett fåtal exemplar, typ LT 28 765 ex ÖP 28 750 ex.

Ett annat sätt att illustrera är att låta en 2-dimensionell figur se ut som en 3-dimensionell. Exempel 2: Vi kan anta att Pripps säljer dubbelt så mycket som Spendrups av en viss

ölsort. Diagrammet kan då se ut så här.

Här är höjd och bredd fördubblad men volymen av Prippsburken blir inte dubbelt så stor som Spendrupsburken för volymen blir 2 x 2 x 2 = 8 gånger större.



När du läser i dagstidningen och ser diagram så var uppmärksam på hur de är ritade. Det är lätt att bli lurad.

Beräkningar

1. En enkät besvarades av 60 personer. Cirkeldiagrammet visar hur svaren fördelar sig. a) Hur många procent svarade ”Vet ej”? b) Hur många personer svarade ”Vet ej”?

2. En resebyrå visar i cirkeldiagrammet hur deras

charterresenärer väljer resmål. a) Vilket resmål är populärast? b) Vilket resmål är minst populärt? c) Vilket resmål väljer ungefär 25 % av resenärerna? d) Hur många procent av de sålda resorna går till Spanien eller Portugal?

3. En stickprovsundersökning visade att storlekarna för T-

tröjor i en skola fördelade sig enligt cirkeldiagrammet. Man beställer 800 skoltröjor. Ungefär hur många bör vara a) M b) L c) S d) XL ?

4. Bilarnas hastighet vid en trafikkontroll

redovisas i ett histogram. Du ser att 5 bilar hade en hastighet i intervallet 60–70 km/h. Hur många hade en hastighet a) i intervallet 80–90 km/h b) större än 90 km/h ?

5. På ett företag med flextid mellan kl. 8.00 och

kl. 9.00 på morgonen undersökte man en dag hur dags de anställda kom till arbetet. Resultatet visas i histogrammet. a) Hur många av de anställda kom före kl. 8.15? b) Hur många arbetade den dagen? c) Hur många procent av de anställda kom före kl. 8.15?

Ja

45 %

Nej

20 %Vet ej

Italien

Portugal

Grekland

Frankrike

Spanien

Antal bilar

Hastighet

30

20

10

60 70 80 90 100 110 km/h

Antal

20

40

60

80

Tid kl 8.00 kl 8.30 kl 9.00

Ankomst vid flextid



d) Hur många procent av de anställda kom efter kl. 8.30?



6. Linjediagrammet visar medeltemperaturen under årets månader för Jokkmokk och Visby. a) Vilken månad har högst medeltemperatur i Jokkmokk och i Visby? b) Vilken månad har lägst medeltemperatur i Jokkmokk och i Visby? c) Vilken månad är temperaturskillnaden mellan orterna störst/minst? d) Vilka månader har samma medeltemperatur i Visby/Jokkmokk? e) Vilken är den största ökningen i medeltemperatur från en månad till nästa på de båda orterna?

J F A M J J A S O N D

20

15

10

5

0

–5

–10

–15

–20M

Temperatur°C

Jokkmokk

Visby

Medeltemperatur

7. Av diagrammet ser du att det i grupp 1a går 20

pojkar. a) Hur många flickor går det i grupp 1a ? b) Hur många flickor går det i grupp 1b ? c) Hur många pojkar går det i grupp 1b ? d) Är det lika många pojkar som flickor i någon grupp? e) I vilka grupper går det fler pojkar än flickor ?

8. Diagrammet visar resultaten för Petra och Erik

på fyra prov i matematik. Erik hade 20 poäng på prov 1. a) Hur många poäng hade Petra på prov 1? b) Hade de lika många poäng på något prov? c) På vilka prov hade Petra fler poäng än Erik? d) Hur många fler poäng hade Petra än Erik på prov 2?

Antal

Grupp

Antal elever som läser Kurs A

Pojkar

Flickor

1a 1b 1c 1d

25

20

15

10

5

Poäng Resultat på prov

Erik

Petra

Prov 1 Prov 2 Prov 3 Prov 4

50

40

30

20

10



9. Fanns det fler Saab än Volvo på parkeringen på a) måndagen b) tisdagen ?

10. Diagrammet visar temperaturen kl. 12.00 på

dagen i Gävle och i Örebro under en vecka i mars månad. a) Punkten P visar att det var 4 °C i Gävle på sön-dagen. Punkten Q visar söndagens termperatur i Örebro. Vilken var den? b) Vilken var temperaturen i Örebro på fredagen? c) Vilka dagar var temperaturen högre i Örebro än i Gävle? d) Hur stor var temperaturskillnaden på måndagen? e) Hade Gävle och Örebro samma temperatur någon av dagarna?

11. a) Vilket kvartal sålde A och B lika mycket? b) Vilka kvartal sålde A mer än B? c) Vilka kvartal sålde B mer än A? d) Vilket kvartal var skillnaden i försäljningssumma störst? e) Beräkna den totala försäljnings-summan under de fyra kvartalen för A och för B.

Summa (100 000 kr)

Kvartal

Försäljning

1 2 3 4

5,0

4,0

3,0

2,0

1,0A B

Försäljningssumman i 100 000 kr för Andersson och Bengtsson under fyra kvartal.

12. a) Hur stor är mannens syreupptagningsförmåga vid 50 år? b) Hur stor är kvinnans syreupptagningsförmåga vid 50 år? c) Vid vilken ålder är mannens syreupptagningsförmåga som störst? d) När är kvinnans syreupptagnings-förmåga 2,0 liter/min? e) När ökar mannens syreupptagnings-förmåga hastigast?

Liter/min

Ålder

Syreupptagning

10 20 30 40 50 60

4,0

3,5

3,0

2,0

2,5

0,5

1,0

1,5

år

Män

Kvinnor

Så här ändras den maximala syreupptagningen för

måttligt tränade personer i åldern 4–65 år.

Antal Bilmärken på skolans parkering

Saab

Övriga

Volvo

Måndag Tisdag

10

12

8

6

4

2

Temperatur

4

2

8

6

12

10

DagSö Må Ti On To Fr Lö

°CGävle

Örebro

P

Q



13. Vilka månader var nederbörden a) större i Jönköping än i Haparanda b) större i Haparanda än i Jönköping c) Lika i Jönköping och Haparanda? Vilken var den högsta och den lägsta nederbörden i d) Jönköping e) Haparanda? f) Vilka tre månader var skillnaden i nederbörd störst?

(mm)

MÅNAD

Nederbörd 1990

J J JF M MA A S O N D

100

75

50

25

Jönköping

Haparanda

Linjediagrammet visar nederbörden i mm under årets

månader 1990 i Haparanda och Jönköping.

14. Den 15 maj 1998 presenterade Dagens Nyheter följande opinionsundersökning:

v s c fp m kd mp

47

34

59

21

31

41

60

21

45

11

45

28 27

54

Procent

Starta avvecklingen omedelbartStarta avvecklingen senare

Så här tycker partierna om k ärnkrafts-

avvecklingen

I vilka partier vill en majoritet starta avvecklingen av kärnkraft omedelbart?

15. Vi antar att länderna har lika många kvinnor

som män. a) Grekland har 10 miljoner invånare. Hur många av männen i Grekland röker? b) Italien har 58 miljoner invånare. Hur många av kvinnorna i Italien röker? c) Sverige har 8,8 miljoner invånare. Hur många fler kvinnor än män röker i Sverige? d) I vilket av de tre länderna är andelen rökare minst?

16. a) Med hur många procent ökade antalet

fyrlingfödslar från 1991 till 1992? b) Med hur många procent minskade antalet fyrlingfödslar från 1992 till 1993?

AntalFyrlingf ödslar i Sverige

1991 1992 1993

6

5

4

3

2

1

GREKLAND ITALIEN SVERIGE

54%

13%

46%

18%

26%

30%

Andel m änresp. kvinnorsom rökeri olika länder.



17. Hur förändrades antalet trillingfödslar från

1987 till 1991? Svara i procent. 18. a) Sex spelare i ett basketbollag hade längderna: 185 cm, 186 cm, 189 cm, 191 cm,

192 cm och 197 cm. Beräkna medelvärdet av deras längder. b) Kalle som går i sexan och är 148 cm lång fick på träning vara med i laget. Antalet spelare blir nu sju. Vilken är deras medellängd?

19. Bestäm medianen till talen

a) 8, 12, 9, 7, 11 b) 8, 12, 9, 7, 11, 13

AntalTrillingf ödslar i Sverige

1987 1991

50

40

30

20

10

– Kapitel 9: Geometri –


9 Geometri

Mäta med linjal Att mäta med linjal, måttband eller tumstock är en viktig del av de geometriska kunskaperna. En vanlig linjal brukar vara ungefär 3 dm lång medan längden på måttband varierar väldigt. Vanliga geometriska figurer som används är rektangeln, kvadraten, cirkeln och triangeln. Rektangeln har fyra sidor och alla vinklar är räta, d.v.s. 90. Exempel på rektanglar är våra dörrar, fönster och golvytor.

Kvadraten är en speciell form av rektangel där alla fyra sidorna är lika långa. Cirkeln är rund med konstant avstånd från centrum till ytterkant. Triangeln har tre hörn och tre sidor.

Omkrets Kalle ska lägga kantsten runt parkeringsplatsen. Platsen har de mått som figuren visar. Måtten är angivna i meter eftersom det finns ett m inom parentes i figurens övre högra hörn. Hur mycket kantsten går det åt? Vi adderar och får 9 m + 3 m + 6 m + 4,5 m + 15 m + 7,5 m = 45 m. Detta kallas för figurens omkrets.

Omkrets = summan av alla sidornas längder.

3 6

4,5

15

9 (m)

7,5



Cirkelns area beräknas med hjälp av ett matematiskt värde som kallas för pi och betecknas med den grekiska bokstaven . Omkretsen av en cirkel är × diametern = × d. Längdenheter Längden är en grundläggande geometrisk storhet, exempelvis avståndet mellan en sträckas båda ändpunkter. Längden betecknas vanligen I eller S och mäts i längdenheter. SI-enhet är en meter (1 m). Hur stor omkrets har triangeln? För att kunna addera triangelns sidor krävs att de mäts i samma enhet. Omvandla till cm eller mm. 56 mm = 5,6 cm Omkretsen = 5,6 + 4 + 4 = 13,6 cm.

1 mil = 10 km 1 km = 1 000 m 1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm

Area Att beräkna en yta är detsamma som att beräkna en area. Det kan t.ex. vara en golvyta eller en trädgårdsarea. Beroende på vilken form ytan har används en del olika formler. Ett enkelt golv har ofta formen av en rektangel. Vad är arean på golvet? Arean = basen × höjden = 24 × 9 = 216 m2 Ett parallellogram beräknas på samma vis, enda problemet är att ta reda på höjden. Figuren visar en parallellogram med basen 4 cm och höjden 2 cm. Lägg märke till att höjden går vinkelrät mot basen och att det inte är sidan som är höjden. Om vi flyttar den mörkare delen som figuren visar, får vi istället en rektangel med samma bas och höjd som parallellogrammen. Vi får alltså parallellogrammens area genom att multiplicera basen med höjden.

http://www.abc.se/~m9847/matmin/storhet.html



Triangelns area beräknas med formeln:

Area = 2

höjdenbasen

Detta kan man bevisa genom att använda ett parallellogram och dela det som figuren visar. Var och en av trianglarna har en area som är hälften så stor som parallellogrammens area.

Cirklar Det finns många sätt att beskriva en cirkel. Ett alternativ är att säga att det är någonting helt runt. Matematikerna väljer att definiera en cirkel som ”mängden av de punkter i ett plan, vilka ligger på ett bestämd avstånd, r, från en bestämd punkt, M, i planet, är en kurva som kallas cirkel”. Olika beskrivningar av samma sak… M är cirkelns medelpunkt eller centrum. Radie (r) är en sträcka från medelpunkten till en punkt på cirkeln. Kurvans längd kallas cirkelns omkrets eller periferi. Omkretsen för en cirkel är: 2 × × r (pi) är ett slags irrationellt tal (transcendent), dess närmevärde med 5 decimaler är 3,14159. En cirkelbåge är en sammanhängande del av cirkeln. Arean för en cirkel är × r2 eller × d2/4 vilket är samma sak.

Cylindrar, koner En cylinder är en kropp, som begränsas av en cylindrisk yta (mantelytan) och två parallella plan (basytorna). Cylinderns höjd = avståndet mellan basytorna. Då man i dagligt tal talar om cylinder avser man oftast en rak cirkulär cylinder. En liksidig cylinder är en rät cirkulär cylinder, vars axelsnitt utgöres av en kvadrat.

http://www.abc.se/~m9847/matmin/geometri.html#punkt

http://www.abc.se/~m9847/matmin/geometri.html#plan

http://www.abc.se/~m9847/matmin/geometri.html#kurva



Rak cirkulär cylinder Rak cirkulär kon

Mantelarea Om du lindar papper kring en cylinder, klipper av det så att det passar precis och rullar ut pappret har du mantelarean. A = × d × h Ordet area kommer från latin och betyder egentligen ’öppen plats’, ’jämn plan’, ’plan yta’. Tidigare användes begreppet yta, men idag föredras ordet area som mått på en figurs ytinnehåll. Arean betecknas vanligen A eller S och mäts i areaenheter. SI enhet är en kvadratmeter (1 m2).

Areaenheter I många sammanhang vill man veta hur stort ett område är. Man ska kanske flytta till en ny lägenhet, lägga ett nytt golv eller måla om köket. Då man anger ett områdes storlek, anger man dess area i t.ex. kvadratmeter. En kvadrat med sidan 1 m har arean 1 m2.

1 m2 = 100 dm2 1 dm2 = 100 cm2

1 cm2 = 100 mm2

Lägg märke till att omvandlingstalet för areor är 100 medan den är 10 för längder.

Exempel 1: Beräkna arean av rektangeln.

Sidorna är 3 och 5 cm. A = b × h = 5 × 3 = 15 cm2

Exempel 2: Beräkna mantelarean av ett cylindriskt rör med rördiametern 28 cm. Röret är

2 m långt. A = × d × h = 3,14 × 28 × 200 = 17 584 cm2. Exempel 3: Hur stor är den cirkulära mattans area? Radien är 1,5 m. A = × r2 = × 1,52 = 7,1 m2

Beräkningar

1. Vilken sträcka måste man känna till för att kunna räkna ut arean av en cirkel?

2. I vilken enhet svarar man enklast när man räknat ut arean av en cirkel med diametern 6 dm?



3. En cirkel har radien 4 m och en kvadrat har sidan 7,1 m. Vilken av figurerna har en area närmast 50 m2?

4. Vad blir arean av en rektangel med sidorna 3,4 m och 56 cm?

Volym För att beräkna en volym av en kub eller ett rätblock används formeln: V = A × b Det innebär att arean av ”golvet” multipliceras med höjden. Ordet volym kommer från det latinska ordet volumen som betyder ’skriftrulle’; ’krök(ning)’, av volvo ’vrida runt’, ’rulla runt’), storhet för den del av rummet som uppfylls av en solid kropp. Volymen betecknas vanligen V. Volym mäts i volymenheter, och en volymenhet är volymen av en kub vars sidlängd är en längdenhet. SI-enheten är en kubikmeter (1 m3) med en liter (1 l) som tilläggsenhet. För att beräkna volymen av en cylinder multipliceras bottenarean med höjden. V = × r2 × h Volymen av en sfär beräknas som 4 × r3 / 3.

Volymenheter Ofta mäts volym i m3 eller liter, men det beror givetvis på vilken enhet som passar bäst i situationen.



1m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 = 1 000 000 000 mm3

1 dm3 = 0,001 m3 1 cm3 = 0,000 001 m3

1 liter = 1 dm3

Exempel 1: Beräkna arean av en kub med sidan 1 m. A = l × b × h = s × s × s = 1 × 1 × 1 = 1 m3

Exempel 2: En varmvattenberedare har formen av en cylinder med måtten 3 m hög, diametern är 1 m.

A = × r2 V = A × h = × r2 × h = 3,14 × 0,52 × 3 = 2,355 m3 =

2,355 × 1000 dm3 = 2 355 dm3 = 2 335 liter.



Beräkningar

1. Nederbörden, i form av regn, som faller på ett tak med arean 140 m2 rinner via stuprännor och rör ned i tunnor. Vid ett tillfälle regnade det 22 mm på en timme. Hur stor volym vatten rann ner i stuprören under denna timme?

2. En vattentoalett spolar 10 l vatten vid varje spolning.

a) Hur många dm3 är det? b) Efter hur många spolningar har man spolat bort 1 m3?

3. En flaska vaccin innehåller 250 ml.

a) Vid varje vaccination ges 2 cm3. Hur många ml ges då? b) Hur många vaccinationer räcker flaskan till?

4. Vad heter figurerna i bilden?

a) b) c) 5. Använd rätt formel och räkna ut varje kropps volym

V = B × h V = B × h / 3 (B = Bottenytans area)



Trianglar och vinklar Du känner säkert till att vi mäter vinklar i grader. 1 varv motsvarar 360°. En normal tårtbit är mellan 30° och 45°. Det är praktiskt att ge vissa vinklar namn. En vinkel är spetsig om den ligger mellan 0° och 90°. Den är rät om den är 90° och den är trubbig om den ligger mellan 90° och 180°.

0 < V < 90

V = 90

90 < V < 180 För att mäta vinkar används gradskivor. Vinkelns storlek i figuren är 60. När två linjer skär varandra bildas vertikalvinklar.

Här är V1 V3 och V2 V4 vertikalvinklar. V1 V2 är s.k. sidovinklar. V1 + V2 = 180°. Ett annat namn är supplementvinklar (tillsammans 180°).



När en tredje linje skär två parallella linjer bildas alternatvinklar, V1 V2 och likbelägna vinklar V1 V3.

Speciella trianglar: 1. Liksidig. Alla sidorna är lika stora och alla vinklar 60°. 2. Likbent. Två sidor är lika stora och basvinklarna är lika stora. Höjden i dessa två trianglar delar basen mitt i tu. Exempel 1: Beräkna vinkeln V.

Triangelns vinkelsumma ger V + 46 + 40 = 180 V = 94 Svar: V = 94° Exempel 2: Hur stor är vinkelsumman i en a) 4-hörning b) 7-hörning

a)

Man delar upp fyrhörningen i 2 trianglar. Vinkelsumman blir 180 + 180 = 360



b)

Man delar upp 7-hörningen i 5 trianglar. Vinkelsumman blir då 5 × 180 = 900

Svar: a) 360 b) 900

Beräkningar

1. Mät vinklarna.

2. Bestäm storleken av den okända vinkeln i trianglarna.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

3. Bestäm den okända vinkeln i fyrhörningarna.

a)

b)



4. Bestäm vinkeln B i sjötomten ABCD.

5. En tomt ABCD går delvis in över en sjö.

Mått och vissa vinkelbestämningar framgår av kartskissen. Bestäm vinklarna A och B.

6. Från punkt A observeras en 12 m hög lodrät mast, BC. Bestäm vinklarna B och C.

7. Hur stor är vinkeln v?

a)

b)

8. Från ett fönster högst upp på en

fyr ser man sträckan mellan två roddbåtar A och B under syn-vinkeln 18°. Båtarna ligger i rät linje med fyren. Från B ser man fönstret under höjdvinkeln 47°. Under vilken höjdvinkel syns fönstret från A?



9. Bestäm vinklarna x och y.

a)

b)

c)

d)

10. I en triangel ABC är vinkeln A dubbelt så stor som vinkel B och 10 grader större än

vinkeln C. Beräkna vinklarna.

11. Beräkna triangelns minsta vinkel x, genom att utnyttja att vinkelsumman i en triangel är 180°.

a)

b)

12. I en triangel är vinklarna x, 4x och 80°. Bestäm triangelns vinklar.

13. Vinkelsumman i en triangel är 180°. Ställ upp en ekvation och bestäm triangelns vinklar.

a)

b)



Pythagoras sats Ibland kan man behöva konstruera en rät vinkel. Detta går att göra med tum- stocken genom att vika den i förhållande 3:4:5. Alltså 30, 40 och 50 cm. Pythagoras sats: Summan av kateternas kvadrater är lika med kvadraten på hypotenusan. a2 + b2 = c2



Kvadratrötter Om man vet längden av två sidor i en rätvinklig triangel, kan man beräkna den tredje sidan med Pythagoras sats. Exempel 1: Vi ska ta reda på längden av sidan x i triangeln.

Pythagoras sats ger x² + 12² = 13² x² + 144 = 169 x² + 144 – 144 = 169 – 144 x² = 25 Vi söker ett tal som multiplicerat med sig själv blir 25.

Du inser att 5 är ett sådant tal eftersom 5² = 25. Även –5 duger, eftersom (–5)² = (–5) × (–5) = 25.

Kvadratroten ur x är det positiva tal vars kvadrat är x.

Kvadratroten ur x skrivs x

I detta fall vet vi att x är större än 0, eftersom längder anges med positiva tal.

Detta ger oss

x = 25

x = 5 Svar: Längden av sidan x är 5 cm. Exempel 2: Beräkna arean av en likbent triangel med sidorna 5 cm, 5 cm och 6 cm.

Drag en höjd. Den delar basen mitt

itu. Antag att höjden är x cm. Pythagoras sats ger: x² + 3² = 5² x² = 5² – 3² x² = 16

x = 16

x = 4

Arean blir 2

46 = 12



Svar: Arean blir 12 cm²

Beräkningar

1. I samband med att man sätter ut hörnpunkterna till en ny garageuppfart kan det vara viktigt att vinklarna blir räta. Det kan man kontrollera med hjälp av pythagoras sats. Gör det! Längden är 14 430 mm, bredden är 11 180 mm och diagonalen är ungefär 18 254 mm.

2. Beräkna triangelns hypotenusa. 3. Beräkna omkrets och area av följande områden.

a)

b)

4. Bestäm x då man vet att rektangelns omkrets är 48 cm.

5. Bestäm x då man vet att triangelns omkrets är 28 m.

6. Bestäm x då man vet att fyrhörningens omkrets är 85 m.

7. Bestäm x då man vet att rektangelns omkrets är 40 cm.



a)

b)

8. Rektangeln och triangeln har lika stor omkrets. Bestäm x.

9. Skriv ett uttryck för omkretsen och förenkla detta.

a)

b)

10. Skriv ett uttryck för omkretsen och förenkla detta.

a)

b)

11. Rektangeln har omkretsen 48 m. Beräkna x.

12. Bilden visar en fyrhörning med sidorna s, 2s, 3s och 4s. Beräkna omkretsen då s = 2,6 m.

13. Triangeln och rektangeln har lika stor omkrets. Ställ upp en ekvation och beräkna x.

14. Beräkna arean av det skuggade området.



15. Rektangeln har omkretsen 28 m. Beräkna rektangelns area.

16. Beräkna omkrets och area av rektangeln och triangeln.

a)

b)

17. Beräkna trianglarnas omkrets och area.

a)

b)

18. Beräkna omkrets och area av parallellogramen och parallelltrapetset.

a)

b)

19. a) Hur får du rektangelns omkrets?

b) Ställ upp och beräkna omkretsen. c) Hur får du rektangelns area?



d) Ställ upp och beräkna arean.

20. a) Hur får du triangelns omkrets?

b) Ställ upp och beräkna omkretsen.

c) Hur får du triangelns area?

d) Ställ upp och beräkna arean. 21. Beräkna omkrets och area av

kvadraten och rektangeln.

a)

b)

22. Beräkna trianglarnas omkrets och area.

a)

b)

23. Figuren visar en parallellogram.

a) Ställ upp hur du beräknar omkretsen.

b) Beräkna omkretsen.

c) Ställ upp hur du beräknar arean.

d) Beräkna arean. 24. Beräkna parallellogrammens omkrets och

area.



25. Trianglarna har lika stor

area. Förklara varför.

26. Rita en rektangel med omkretsen 18 cm och en area som är mindre än 15 cm².

Kontrollera att din rektangel uppfyller villkoren. 27. Beräkna avståndet mellan B och C fågelvägen över sjön.

28. Ett av rummen har måtten 400 cm × 520 cm. Pontus mätte rummets ena diagonal till

656 cm. Har rummets golv räta vinklar? 29. Ytterdörren är 95 cm bred och 200 cm hög. Kan man ta in en spånskiva genom dörren

om skivans mått är 220 cm × 300 cm?



30. Hur högt når ”äppelplockarstegen”, om den är 2,6 m lång och den på marken står 1,2

m från trädet? 31. Taknocken befinner sig 5,2 m över marken. Hur lång måste en stege minst vara för att

nå upp till en punkt 0,5 m under taknocken, om nedre änden ska stå 2,1 m från väggen?

32. Man ska bygga en altan med plattor. Altanen markeras först med snören. För att

kontrollera om vinklarna blivit räta lägger Sofia ut en 2 m lång tumstock mellan två sidor. Hon mäter sidorna i den triangel som hon får. De blev 170 cm och 125 cm. Var vinkeln vid hörnet rät?

33. En torkvinda för tvätt har 170 cm långa armar. Klädstrecket som spänns upp på

armarna bildar en kvadrat. En rulle klädstreck innehåller 10 m. Räcker den till torkvindan?

34. Markisduken är fäst vid en 70 cm lång metallarm. Hur många centimeter duk kan man

släppa ut, då armen i utfällt läge är vinkelrät mot väggen?



Översikt

Månghörningar Rektangel, kvadrat, parallellogram, romb och triangel är exempel på månghörningar.

Omkrets Omkretsen av en månghörning = summan av alla sidornas längder.

Area Rektangelns area = b × h

Kvadratens area = s × s

Parallellogrammens area = b × h

Triangelns area = b × h / 2

Längdenheter 1 mil = 10 km = 10 000 m

1 km = 1000 m

1 m = 10 dm

1 dm = 10 cm

1 cm = 10 mm

Area enheter 1 m2 = 10 000 cm2

1 dm2 = 100 cm2

1 cm2 = 100 mm2

Vinklar Vinklar mäts i grader.

Ett helt varv är 360

Spetsig vinkel En spetsig vinkel är mindre än 90

0° < v < 90°

Trubbig vinkel En trubbig vinkel är större än 90

90° < v < 180°

Rät vinkel En rät vinkel är exakt 90

v = 90°

Vinkelsumman i en triangel

Vinkelsumman i en triangel är alltid 180

– Kapitel 10: Trigonometri –


10 Trigonometri På din räknare har du tre tangenter märkta sin , cos och tan . Nu ska vi som en orientering visa dig vad de står för och hur det kan användas vi beräkningar i rätvinkliga trianglar. I en rätvinklig triangel ABC gäller:

Sinus är en kvot Sinus för den spetsiga vinkeln A är förhållandet mellan (kvoten mellan) motstående sida (till A) och hypotenusan.

sin A = nhypotenusa

)Atill(sidamotstående

Denna kvot beror bara av vinkelns storlek och inte av triangelns storlek. Bestäm sin 30° I triangeln ABC (ovan) är vinkeln A = 30°. Mäter du sidorna, finner du att BC = 35 mm och AB = 70 mm.

sin 30° 5,070

35

nhypotenusa

)Atill(sidamotstående===

Räknaren Sätt räknaren på grader (deg) och kontrollera att 30 sin ger 0,5. Cosinus (cos) och tangens (tan) definieras på liknande sätt som sinus (sin). Med figurens beteckningar blir det

sin A = a/c cos A = b/c tan A = a/b

Försök uttrycka dessa definitioner i ord! Några exempel Trigonometri används ofta för att bestämma sträckor och vinklar som inte går att mäta direkt. Exempel 1: På stranden till en älv mäter vi upp en

sträcka AC = 42 m och bestämmer en punkt B på andra stranden så att vinkeln C blir rät. Därefter mäter vi vinkeln A och får 58°. Hur bred är älven?

Vi låter BC = x m Kvoten x/42 är lika med tan 58° 1,6

42

x = 1,6

x = 42 × 1,6

Med räknare



x = 67,2 Svar: Älven är 67 m bred. Exempel 2: Figuren visar en skiss till ett

uterum. Hur stor är takets lutningsvinkel v?

sin v = 25,4

75,0 = 0,17647

Hur får vi vinkeln v när vi vet sinus

för v? Det är den omvända (inversa) proceduren till att bestämma sin v då du vet v.

0,17647 inv sin ger 10,164 Svar: Vinkeln är 10,2°. Exempel 3: Beräkna vinkeln v.

Definitionen av tangens ger tan v = 37

19

Räknaren (ställd på räkning i grader) ger

27,181… Vi avrundar till två siffror v 27°. Svar: Vinkeln v är 27°. Exempel 4: Beräkna längden av den sträcka som markerats med x.

a)

b)

a) Definitionen av sinus ger sin 38° = 42

x

x = 42 × sin 38 Räknaren ger 25,857… x 26 Svar: Sträckan är 26 cm

b) Definitionen av cosinus ger cos 32° = 47

x



Räknaren ger 39,858… x 39,858 Svar: Sträckan är 40 cm. Exempel 5: När vi står 20 meter från ett träd så uppmäts vinkeln v i figuren till 51°. Vilken höjd har trädet?

I figuren är x motstående katet till vinkeln v medan sidan som är 20 meter lång är närliggande katet (den närliggande kateten är den sida som både bildar rät vinkel med en annan sida i triangeln och som dessutom spänner upp vinkeln v. Med hjälp av formeln ovan får vi ekvationen:

20

x)51tan( =

51 tan ger avrundat 1,235.

20

x235,1 =

För att få x fritt på höger sida måste vi multiplicera upp 20. Vi får: 20 × 1,235 = x och med huvudräkning kan vi exempelvis räkna 2 × 12,35 = 24,7. Svar: Trädet är 24,7 m högt.

Exempel 6: Hur stora är vinklarna v och u i figuren? Med hjälp av formeln får vi ekvationen (varför?):

20

7,24)vtan( =

Tan för något okänt ska alltså bli

24,7 / 20 = (24,7 / 2) / 10 = 12,35 / 10 = 1,235 1,235 inv tan ger att vinkeln då måste vara 51°. Eftersom summan av vinklarna i en triangel alltid är 180° så får vi vinkeln u = 180° – 90° – 51° = 39°.

Svar: Vinkeln v = 51° och vinkeln u = 39°.



I exemplet ovan använder vi den inversa funktionen till tangens för att få fram vinkeln: tan–1. Blanda inte ihop denna med tan. Tan–1 är ”baklängesfunktionen” till tan. Tan använder vi när vi känner vinkeln och vill ha ut sidan medan tan–1 används när vi känner sidorna och vill ha ut vinkeln.



Exempel 7: Bestäm vinklarna v och u i figuren.

0,10

0,7)vtan( =

tan(v) = 0,70

v = tan–1(0,70) v 35° Eftersom summan av vinklarna i en triangel alltid är 180° så får vi vinkeln u = 180° – 90° – 35° 55°. Svar: Vinkeln v = 35° och vinkeln u = 55°.

Beräkningar

1. Använd måtten i figuren nedan för att med två decimaler bestämma a) sin 35° b) cos 35° c) tan 35°

2. Använd din räknare för att bestämma

a) sin 35° b) cos 35° c) tan 35° 3. Ställ upp och beräkna tan A och tan B (två decimaler).

a)

b)

4. Bestäm sin v och cos v

(två decimaler).

a)

b)



5. Beräkna längden som

markeras med x.

a)

b)

6. Beräkna längden av de sidor

som markerats med x.

a)

b)

7. Bestäm den obekanta

vinkeln v i hela grader.

a)

b)

8. Bestäm den obekanta

vinkeln v i hela grader.

a)

b)

9. Hur högt är

trädet?

10. Hur långt är avståndet AB över sjön om

vinkeln A är 56° och sträckan AC är 640 m?

11. En viadukt går över en motorväg.

Bestäm lutningen v (hela grader).



12. Under vilken vinkel sker nedfarten?

13. Figuren nedan visar en plan genomskärning av ett tak. Hur högt är fönstret AB?

14. Bestäm trädets höjd, då a = 28 m, u = 19° och

v = 23°.

15. För att en 9,0 m lång stege ska stå säkert när den

reses mot en vägg får vinkeln med markplanet ej understiga 64° och ej överstiga 78°. Bestäm stegens kortaste respektive längsta avstånd till väggen, då den är i säkert läge.

16. Använd måtten i figuren för att

bestämma a) sin 35° b) cos 35° c) tan 35°

17. Använd miniräknare för att bestämma

a) sin 35° b) cos 35° c) tan 35° (Jämför med värdena i föregående uppgift.)



18. Bestäm flaggstångens höjd BC. 19. Bestäm avståndet AC över viken. 20. Hur hög är masten BC, om linan AB = 29 m? 21. Bestäm vinkeln v, med en decimal, då

a) tan v = 0,675 b) sin v = 0,675 22. Bestäm vinkeln v, med en decimal, då

a) tan v = 13 19 b) cos v = 11 27 23. En 1,8 m hög käpp kastar en 4,7 m lång

skugga. Bestäm vinkeln v. 24. Bestäm de med v markerade

vinklarna.

a)

b)



25. Bestäm de med v markerade vinklarna.

a)

b)

26. En av kateterna i en rätvinklig triangel är 73 mm. Motstående vinkel är 37°. Hur lång är den andra kateten?

27. Bestäm älvens bredd AB. 28. I en likbent triangel är höjden 10 centimeter och vinkeln mot den

avvikande sidan 48 grader. Beräkna triangelns area. 29. Lös ut x i

a) tan 2

x=v b) tan

q

x=v c) tan

x

q=v

d) tan x

15=v e) tan v = 15x f) tan

15

x=v

30. a) I figuren till vänster visas en halv kvadrat.

Motivera varför tan 45° = 1.

b) I figuren till höger visas en halv liksidig triangel.

Motivera varför tan 60° = 3 .

31. Beräkna triangelns area. 32. Beräkna sträckan x i figuren. 33. I en triangel har gjorts de fyra

mätningar som beskrivs i figuren. a) Visa att minst en av dessa mätningar måste vara felaktig. b) Beräkna ett riktigt värde på längden av sträckan AH om du vet att de andra tre värdena är korrekta.



34. Ange en formel för den rätvinkliga triangelns area uttryckt i a och v.

a)

b)

35. Ange vinklarna i nedanstående båda likbenta trianglar.

a)

b)

36. Bestäm vinkeln v om

a) 3 tan 2v = 5 b) 0,5 tan 0,5v = 3 37. Beräkna med hjälp av sinus längden x hos en katet i dessa trianglar.

a)

b)

38. Beräkna med hjälp av cosinus längden y hos den andra kateten i ovanstående

trianglar. 39. Hur kan du i senaste övningen beräkna längderna y med hjälp av sinus i stället för

cosinus? 40. Bestäm med hjälp av sinus vinkeln u i dessa trianglar.

a)

b)

41. Bestäm med hjälp av cosinus vinkeln v i trianglarna i föregående uppgift. Kontrollera

att svaren i denna och föregående övning inte motsäger varandra. 42. En brant trappa till ett sovloft i en

sportstuga ska tillverkas. Hur lång ska trappan vara om höjdskillnaden är 2,45 m och vinkeln mot golvet är 52° ?



43. Antag att vi befinner oss på ett fartyg i punkten A och går i rikt-ning mot C. Vi bestämmer vinkeln u till 36°. Efter en stund befinner vi oss i punkten B. Vi vet då att avståndet s är 700 m och mäter vinkeln v, v = 42°. Vi ska nu bestämma avståndet från B till fyren F. a) Uttryck BC i x. b) Uttryck AC i x. c) Bestäm x. d) Bestäm BF.



44. I en rätvinklig triangel är hypotenusan c och en av de spetsiga vinklarna v. Uttryck de båda kateterna med hjälp av c och v.

45. I triangeln är en bisektis dragen.

Beräkna längden hos sträckan x i figuren. 46. Ange exakta värden på sin v, cos v och tan v om v är

a) 45° b) 30° c) 60° 47. Förklara varför följande samband gäller

a) sin(90° – v) = cos v b) cos(90° – v) = sin v 48. Bestäm det exakta värdet på

a) (sin 60°)2 + (cos 60°)2 b) 2 × sin 45° × cos 45° c) (cos 30°)2 – (sin 30°)2

49. Bestäm med hjälp av miniräknaren

a) tan(12°) b) 200 × tan(12°) c) 10 × tan(38°) d) 57 × tan(45°) 3

50. Ställ först upp en ekvation

med x för följande trianglar. Beräkna sedan längden på sidan markerad med x. Bestäm också triangelns area.

a)

b)

c)

d)

51. Ställ upp ekvationer och beräkna därefter storleken på vinklarna v.

a)

b)

c)

52. Bestäm arean i hektar med två decimaler för figurena.

a)

b)



53. Bilden till höger är en skiss på ett skogsskifte format som en rätvinklig

triangel. Bilden är i skalan 1:20 000. a) Använd linjal för att bestämma skiftets areal i hektar. Beräkna sedan

hur många ekplantor som ska beställas om området ska planteras med 1 000 ekplantor per hektar. (Vid planteringen blandas sedan ekplantorna med rader av gran.)

b) Beräkna vinkeln i den nedre spetsen på triangeln. 54. Ett relaskop har en spaltöppning på 10 mm och en kedjelängd som gör att spalten vid

användning hamnar 50 cm från ögat. Beräkna hur stor vinkeln v är (figuren nedan är inte skalenlig).

– Kapitel 11: Likformighet och skala –


11 Likformighet och skala En bild av något verkligt kan vara olika stor i förhållande till det som avbildats men ska ha samma form, d.v.s. den ska vara likformig med det som avbildats. Om bildens storlek är samma som storleken av det som avbildats sägs skalan vara 1 (naturlig). Om bilden är mindre än det som avbildats är då skalan mindre än 1 och om bilden är större är skalan större än 1. När man talar om skala avses vanligen detsamma som längdskala d.v.s. det är förhållandet mellan sträckors längder som avses. Ibland talar man emellertid om areaskala och volymskala i stället. Med hjälp av skalor förstorar eller förminskar man. Kameran är ett exempel på hur man förminskar, mikroskopet ett exempel på hur man förstorar. I byggsammanhang är förminskning av linjer det vanliga. Tittar du på en ritning är skalan för det mesta utskriven. Exempel 1: En vägg är i verkligheten 5 000 mm lång. Hur lång ska den vara på en ritning i

skala 1:50. Den ska då förminskas 50 gånger. 5 000/50 = 100 mm Exempel 2: Ett avstånd på en ritning 1:50 är 25 mm lång. Hur långt är avståndet i

verkligheten? Den ska göras 50 gånger större. Alltså ska man multiplicera med 50.

25 × 50 = 1 250 mm. Man mäter aldrig på en ritning för att bygga efter det måttet, men för uppskattningar fungerar det bra. Bilden i mitten nedan är ett utsnitt ur en textboks övre vänstra hörn i naturlig storlek (i skala 1). Bilden till vänster är en likformig avbildning i skala 2/3 (0,67) och bilden till höger är en likformig avbildning i skala 8.

Skalan 2/3 ( 0,67) kan också skrivas

5,1

1=

2/3

2/2=

3

2

eller med det

Skalan 1 kan också skrivas

1

1

eller med det

Skalan 8 kan också skrivas

1

8

eller med det



speciella skrivsättet

1:1,5


1:1


8:1 Lägg märke till att kolon (:) används i stället för bråkstreck och att när det gäller förminskning så står det 1 till vänster om kolontecknet (tänk på kartor) och när det gäller förstoring så står det 1 till höger om kolontecknet. (De tre här nämnda skalorna utläses: ”ett till ett komma fem”, ”ett till ett” resp. ”åtta till ett”) Förminskade bilder av text förekommer på s.k. mikrofilm. Exempelvis finns gamla arkiv sparade på detta sätt. I detta fall brukar skalan vara mellan 1:20 och 1:48.

Likformiga trianglar Låt oss börja med att titta på en av den plana geometrins enklaste figurer – triangeln. Kännetecknande för likformiga trianglar är att motsvarande vinklar är lika och att detta också räcker som villkor för att trianglarna ska vara likformiga. I figuren nedan syns två likformiga trianglar. Om man betraktar triangeln till höger (den större) som en bild av den till vänster så är skalan 3:1. Om man å andra sidan betraktar triangeln till vänster (den mindre) som en bild av den till höger så är skalan 1:3. Om man i stället talar om areaskalan så är den uppen-barligen (räkna småtrianglarna) 9:1 resp. 1:9. För trianglar såväl som för alla andra figurer gäller att areaskalan är kvadraten på längdskalan (längdskalan upphöjd till 2) och volymskalan är kuben på längdskalan (längdskalan upphöjd till 3). (Så om längdskalan är 1:5, så är areaskalan 1:25 och volymskalan 1:125 och om längdskalan är 6:1, så är areaskalan 36:1 och volymskalan 216:1.) Exempel 3: Vid ett visst ögonblick en solig dag bildar ett träd en skugga som är 8.5 meter lång. Samtidigt får en person som har en längd av 200 cm en

skugga som är precis 100 cm. Hur högt är trädet? Här har vi ett exempel på likformig

avbildning. Vinklarna i de två trianglarna kommer att bli lika stora. Vidare kommer relationerna mellan sidorna att bli desamma.

Följande ekvation kan därmed ställas upp

(sidan x ska förhålla sig till 200 på samma sätt som sidan 850 förhåller sig till 100):

100

850

200

x=



100

850200x =

x = 2 × 850 x = 1 700 Svar: Trädet är 17,0 m högt.

Andra likformiga figurer För de flesta figurer gäller att det inte räcker att kontrollera att motsvarande vinklar är lika för att veta att figurerna är likformiga (har samma form), utan man måste också kontrollera att förhållandet mellan olika sträckor är lika. Exempelvis måste ju förhållandet mellan längd och bredd hos två rektanglar vara lika för att rektanglarna ska vara likformiga. Å andra sidan är alla cirklar likformiga. Figurerna nedan är två rektanglar med enbart 90-vinklar, dessa är ändå inte likformiga eftersom sidorna inte är i bestämt förhållande till varandra! Exempel 4: Om man känner motsvarande sträckor (ett par räcker) i två likformiga figurer

kan skalan beräknas. Om man å andra sidan känner skalan och en sträcka i en figur så kan motsvarande sträcka i den andra figuren beräknas.

Figurerna nedan är likformiga. ABCDEF ~ A1B1C1D1E1F1

Skalan vid avbildningen från vänster till höger (förstoring) är

35,1

5,4

AF

FA 11 == (3:1)

Skalan vid avbildningen från höger till vänster (förminskning) är

)33,0(3

1

5,4

5,1

FA

AF

11

== (1:3)



a och b är båda förstoringar av motsvarande sträckor och fås genom beräkningarna

a = 3 × 2,2 = 6,6 och b = 3 × 3,2 = 9,6

x, y och z är alla förminskningar av motsvarande sträckor och fås genom beräkningarna

x = 3

8,48,4

3

1= = 1,6, y =

3

0,60,6

3

1= = 2,0 och z =

3

5,105,10

3

1= = 3,5

Följande samband gäller alltså:

(längd)skalan = avbildassomdetisträckan

enavbildningisträckan

sträckan i avbildningen = (längd)skalan × sträckan i det som avbildas Exempel 5: När man orienterar använder man en karta som är likformig med

verkligheten. Skala 1:10 000 betyder att verkligheten är 10 000 gånger större än bilden. Hur långt är det mellan 2 myrstackar i verkligheten om avståndet på en karta i skala 1:15 000 är 12,4 cm?

Avståndet i verkligheten blir 12,4 × 15 000 = 186 000 cm = 1 860 m Svar: 1 860 m

Beräkningar

1. En triangels sidor är 7,0 cm, 10 cm och 12 cm. I en annan triangel, likformig med den första, är den kortaste sidan 10,5 cm. Bestäm längden av de övriga sidorna i den andra triangeln.

2. De två fyrhörningarna är likformiga.

Beräkna längden av de sidor som betecknats med x, y och z.

3. Skuggan av ett lodrätt träd är 28 m. Samtidigt finner

Nina, som är 170 cm lång, att hennes skugga är 2,6 m. Hur högt är trädet?

4. En femkrona på 3,10 m avstånd ser ungefär lika stor ut

som månen. Femkronans diameter är 28,0 mm och månens 3 470 km. Beräkna med hjälp av detta månens avstånd från jorden.

5. Beräkna längden av den med x

markerade sträckan.



6. Nedanstående figurer visar likformiga avbildningar. Bestäm längden på sidan

markerad med x.

a)

b)

7. Figuren nedan visar två likformiga femhörningar. Hur långa är sidorna a, b, c och d?

Avrunda svaren till heltal.



Askersund

Karlsborg

Hjo

Visingsö

HuskvarnaJönköping

Motala

Ödeshög

Gränna

Vät

tern

8. På en karta i skala 1:100 000 är ett flygfält 2 cm långt. Hur långt är det i verkligheten? 9. Beräkna följande:

Kartan över Vättern och dess omgivningar är i skala 1:1 000 000. Det innebär att en sträcka på kartan är 1 miljon gånger längre i verkligheten.

a) Visingsö är ungefär 1 cm lång på kartan. Hur lång är ön

i verkligheten? I cm? I m? I km? I mil?

b) Hur långt är det från Karlsborg till Motala?

Fågelvägen? Närmsta bilväg?

c) Tänk dig att det blåser 15 m/s på Vättern.

Räkna om till enheten km/h. 10. Olle vill räkna ut höjden på Uppsala domkyrkas torn. Han mäter längden av den

skugga som tornen ger på marken och finner att den är 130 m. Den vinkel som solstrålarna bildar med marken är 42°. Hur höga är tornen?

11. På en ritning i skala 1:100 är verkligheten förminskad 100 gånger. En stege är 5 cm

lång på ritningen. Hur lång är den i verkligheten? 12. En modell av ett flygplan är gjord i skalan 1:85. Flygplanets verkliga längd är 42,5 m.

Hur lång är modellen? 13. På en affisch är ett armbandsur avbildat i skala 3:1. Urtavlan, som är cirkelrund, har i

verkligheten diametern 2,8 cm. Vilken diameter har urtavlan på affischen? 14. Bilden visar ett rör i genomskärning. Hur stor är yttre

diametern i verkligheten, om röret är avbildat i skala a) 1:2 b) 5:1 ?

15. Ange i ord vad det betyder att skalan är

a) 1:50 b) 8:1 16. Är modellen större eller mindre än föremålet om skalan är

a) 1:4 b) 4:1 c) 1:50 000 d) 50:1 ?



17. Eiffeltornet i Paris är ungefär 300 m högt. Hur hög blir en modell av Eiffeltornet om skalan är a) 1:100 b) 1:1 500 ?

18. Beräkna skottkärrans längd i verkligheten då modellen är gjord i skalan 1:40.

19. Blomklockan är 18 mm hög på bilden. Hur

hög är den i verkligheten, om skalan är a) 3:1 b) 1:2 ?

20. En tändsticka är 5 cm. Den ska avbildas i skala 1:5.

a) Ska tändstickan förstoras eller förminskas? b) Ställ upp hur du beräknar bildens längd. c) Hur lång blir bilden av tändstickan?

21. En 5 cm lång tändsticka avbildas i skala 4:1.

a) Ska tändstickan förminskas eller förstoras? b) Ställ upp hur du beräknar bildens längd. c) Hur lång blir bilden av tändstickan?

22. Blir bilden av ett föremål större eller mindre då det avbildas i skala

a) 6:1 b) 1:6 c) 1:9 d) 9:1 ? 23. Ett tennisracket är avbildat i skala 1:17.

a) Ställ upp hur du beräknar den verkliga längden. b) Hur lång är racketet i verkligheten?

24. Insekten är avbildad i skala 2:1.

a) Är insekten större eller mindre i verkligheten? b) Ställ upp hur du beräknar den verkliga längden. c) Hur lång är insekten i verkligheten?

25. Bestäm diametern i den cirkel man får då cirkeln i figuren avbildas i

skala a) 4:1 b) 6:1 c) 1:2 d) 1:1

26. I rektangeln är sidorna 4 cm och 3 cm. Hur

långa blir rektangelsidorna om de avbildas i skala a) 2:1 b) 1:2



27. Figuren visar bilden av ett hjul som avbildats i skala

1:20. a) Är hjulet större eller mindre i verkligheten? b) Ställ upp hur du beräknar hjulets verkliga radie. c) Bestäm den verkliga radien.

28. Tärningen på bilden har kanten 1,5 cm. Hur

lång är kantlinjen i verkligheten om skalan är 2:1?

29. Basketbollen är avbildad i skala 1:5. Vilken diameter har den i

verkligheten? 30. Mät rektangeln och rita den i skala

a) 3:1 b) 1:2

31. Parkeringsplatsen är avbildad i skala 1:300. Vilka

mått har den i verkligheten? 32. Fågelvägen mellan Ekudden och Albacken är 23

mm på en karta i skala 1:50 000. Hur långt är det i verkligheten? 33. Vägen mellan Ekudden och Albacken är 1 650 m. Hur lång är den på en karta i skala

1:50 000? 34. Fågelvägen mellan Björkuddden och Granbo är 35 mm på en karta i skala 1:50 000.

Hur stort är avståndet i verkligheten? 35. Vägen mellan Enbacken och Granbo är 2 400 m. Hur långt blir det på en karta i skala

1:50 000?



36. Ingrid mäter på en fjällkarta hur långt hon gått under dagen. Vägen är 6,5 cm på kartan. Skalan är 1:200 000. Hur lång var dagsetappen?

37. Avståndet mellan Stockholm och Oslo är 63 mm på en karta i skala 1:6 500 000. Hur

många mil är det i verkligheten? 38. En sträcka är 60 mm på en ritning. Hur lång är sträckan i verkligheten om skalan är

a) 1:25 b) 1:40 c) 1:100 d) 1:500 ? 39. Man mäter upp en avloppsledning till 240 mm på en ritning. Skalan är 1:50. Hur

många meter rör behövs till ledningen? 40. Ett rum är 5 400 mm långt. Bestäm rummets längd på en ritning i skala

a) 1:10 b) 1:25 c) 1:50 d) 1:100 41. På en ritning över en lägenhet i skalan 1:40 har ett sovrum måtten 90 mm × 75 mm.

Ange rummets verkliga mått.

42. Bestäm den skala som föremålet avbildats i. Föremålets längd Bildens längd

a) 8 cm 32 cm

b) 30 mm 6 mm

43. Skolgården är 200 m lång. På en karta är längden 80 mm. Vilken skala har kartan? 44. I vilken skala är skuven avbildat?

a) b)

24 mm Naturlig storlek

12 mm 48 mm

45. Ett häftstift är 8,5 mm högt. I vilken skala avbildas det, om höjden är

a) 34 mm b) 1,7 mm 46. En tennsoldat är 50 mm hög. Medelsoldaten är 175 cm lång. I vilken skala kan man

säga att tennsoldaten är gjuten? 47. Fågelvägen mellan Stockholm och Visby är 19 mil. På en karta mätte man avståndet

till 76 mm. Vilken är skalan?

– Kapitel 12: Lutning –


12 Lutning I vissa tekniska tillämpningar brukar man använda begreppet lutningsprocent som mått på en vinkel. Det kan t.ex. handla om ifall en maskin ska orka upp för en backe.

b

a

kateteNärliggand

katetMotståendeocentenLutningspr ==

Observera att detta innebär att lutningsprocenten är detsamma som tangens för backens vinkel. I praktiken kan det ofta vara svårt att mäta sträckan b i figuren. I stället kan man då mäta sträckan c. Sträckorna b och c kommer nämligen att vara ungefär lika långa om vinkeln är liten vilken den oftast är i praktiken. Notera också att i en triangel där a och b är lika stora så kommer lutningsprocenten att bli 100 %. I byggsammanhang anges lutningen på ett antal olika sätt.

Den horisontella längden är 7 och höjden är 1.

Lutningen är 5 %.

Lutningen är 5 ‰.

– Kapitel 12: Lutning –


Vanlig rekommenderad marklutning från byggnader är 1:20. Exempel: Bestäm lutningsprocenten och sträckan x i nedanstående figur. Lutningen = 1 25 = 0,04 = 4 %

Med hjälp av Pythagoras sats får vi den okända sidan x:

252 + 12 = x2

x2 = 252 + 12

22 125x +=

x 25,02 Här blir alltså hypotenusan nästan precis lika lång som den långa kateten. Vi hade alltså fått svaret 4 % på lutningen även om vi använt hypotenusan i stället för kateten.

Beräkningar

1. Bestäm lutningsprocenten och sidan x i följande figur. (Figuren är inte skalenlig.)

2. Ett tåg kör uppför en 1 km lång backe. Lutningsprocenten är 8 %.

a) Uppskatta hur många meter högre upp tåget befinner sig vid backens slut. b) Beräkna hur många grader backens lutningsvinkel är. Svara på en halv grad när.

– Kapitel 13: Algebraiska uttryck och ekvationer –


13 Algebraiska uttryck och ekvationer

Algebraiska uttryck Man brukar säga att algebra är räkning med bokstäver. Låt oss se på ett enkelt exempel på bokstavsräkning. En rektangel med basen x och höjden y har omkretsen x + y + x + y. Detta är ett algebraiskt uttryck med fyra termer. Uttrycket kan förenklas till två termer 2x + 2y. Termen 2x är produkten 2 × x av konstanten 2 och variabeln x. Talet 2 kallas koefficienten för x. När vi använder formler och löser ekvationer behöver vi kunna förenkla algebraiska uttryck. I det här avsnittet ska vi träna förenklingar. Exempel 1: Föra samman termer

Förenkla 3x + 2z – 2x – 5z + x

3x + 2z – 2x – 5z + x = = 3x – 2x + x + 2z – 5z = = 2x – 3z

Svar: 2x – 3z

Vi för samman x-termer för sig och z-termer för sig. Observera att x betyder 1x

Exempel 2: Ta bort paranterser

a) Förenkla 3x + 1 + (x + 5)

3x + 1 + (x + 5) = = 3x + 1 + x + 5 = = 4x + 6

Svar: 4x + 6

Parentesen föregås av plustecken. När vi tar bort parentesen sker ingen ändring inuti parentesen.

b) Förenkla 4x + 7 – (x – 4)

4x + 7 – (x – 4) = = 4x + 7 – x + 4 = = 3x + 11

Svar: 3x + 11

Parentesen föregås av minustecken. När vi tar bort den måste tecknen inuti parentesen ändras.

y

x

x

y



Exempel 3: Beräkna värdet

Y = 8x – 1,2 – (7x + 1,1) Beräkna y om x = 7,3

Y = 8x – 1,2 – (7x + 1,1) = = 8x – 1,2 – 7x – 1,1 = = x – 2,3

x = 7,3 ger y = 7,3 – 2,3 = 5

Svar: y = 5

Vi förenklar högra ledet innan vi sätter in x = 7,3 i uttrycket.

Exempel 4: Multiplicera in en faktor

Förenkla följande uttryck

a) 2(x + 3) b) x(x – 5) c) (2x – 3)(5x + 4) d) (4x – 1)(x2 – 3x – 5) a) 2(x + 3) = 2 × x + 2 × 3 = 2x + 6 b) x(x – 5) = x × (x – 5) = x × x – x × 5 = x2 – 5x c) (2x – 3)(5x + 4) = = 2x × 5x + 2x × 4 – 3 × 5x – 3 × 4 = = 10x2 + 8x – 15x – 12 = 10x2 – 7x – 12

Addera termer av samma slag.

d) (4x – 1)(x2 – 3x – 5) = = 4x × x2 – 4x × 3x – 4x × 5 – 1 × x2 – 1 × (–3x) – 1 × (–5) = = 4x3 – 12x2 – 20x – x2 + 3x + 5 = = 4x3 – 13x2 – 17x + 5 Svar: a) 2x + 6 b) x2 – 5x c) 10x2 – 7x – 12 d) 4x3 – 13x2 – 17x + 5

Skriv termerna med avtagande gradtal. Termen 4x3 har gradtal 3, termen –13x2 har gradtal 2 o.s.v.

När man multiplicerar in en faktor i en parentes sker det med hjälp av följande regler: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Figuren illustrerar beräkningen (x + 1)(x + 2) = x2 + 2x + x + 2 Arean av den stora rektangeln är lika med summan av areorna av de fyra små rektanglarna.

2

2

2x

x

x

x2

1

x

(cm)



Beräkningar

Förenkla följande uttryck: 1. a) 5x + 4 + (7x – 5) b) 8x + 6 + (2x – 4) c) 3x – 5 + (4 – x) 2. a) 3(x + 4) b) 5(x – 2) c) 6(a + 7) 3. a) x(x + 6) b) x(x – 7) c) x(3x + 4) 4. a) (x + 2)(x + 3) b) (x + 4)(x + 5) c) (x + 6)(x – 1) 5. a) (4x – 3z) – (3x – 4z) b) (6x – 8z) – (7x – 9z) Utför multiplikationerna: 6. a) 3x(4x + 1) b) 8y(2y – 3) c) 5t(3t – 4) 7. a) x(x2 + 4x + 5) b) x (x2 – x + 3) c) x(x2 – 4x – 8) 8. a) (3x + 10)(2x – 11) b) (4y – 1)(2y – 1) c) (7z – 3)(2z – 4) 9. a) (3x – 1)(x2 + 3x + 1) b) (x + 1)(2x2 – 4x + 5) 10. a) (4x – 3)(3x2 + 4x + 3) b) (2x – 5)(4x2 – 3x – 6) Förenkla först och beräkna sedan följande uttryck med angivna x-värden: 11. 5(x – 5) – (4x – 28) x = 3,2

12.

−−

−

16

1

12

x4

18

1

12

x6

2

1x =

13. (x + 3)(x + 4) – (x2 – 9x – 2) x = –0,5 14. (x + 1)(x2 – 4x + 1) – (x3 – 3x + 2) x = –2



Förstagradsekvationer Ett exempel på en förstagradsekvation är 2x + 3 = 11. Denna ekvation innehåller en variabel x. Genom prövning ser vi att x = 4 satisfierar (uppfyller) ekvationen. Detta betyder att om vi sätter in x = 4 i ekvationen så blir vänsterledet, som är 2x + 3, lika med högerledet som är 11. Vänsterledet VL = 2 × 4 + 3 = 11 Högerledet HL = 11 Vi säger då att talet 4 är en rot eller lösning till ekvationen. Vi ger ett antal exempel på hur man löser ekvationer. När du får variablen x ensam i VL har du löst ekvationen. Exempel 5: Lösa förstagradsekvationer

Lös ekvationerna a) x – 6 = 13 x – 6 + 6 = 13 + 6 x = 19 Svar: x = 19

Vi vill ha x ensamt kvar i VL. Därför adderar vi båda leden med 6.

b) 7x = 42

7

x7 =

7

42

x = 6 Svar: x = 6

Observera att 7x betyder 7 × x. För att få x ensamt kvar i VL dividerar vi båda leden med 7.

c) 6

x = 3

6

x6 = 6 × 3

x = 18 Svar: x = 18

För att få x ensamt kvar i VL multiplicerar vi båda leden med 6.

d) y + 0,15y = 46 1y + 0,15y = 46 1,15y = 46

15,1

y15,1 =

15,1

46

y = 40 Svar: y = 40

Observera att en etta är utelämnad före första y-termen. Istället för 1y står där y.



Exempel 6: Lös ekvationerna

a) 4z + 14 + z = 2 + 13z + 6 – 6z 5z + 14 = 7z + 8 5z – 5z + 14 = 7z – 5z + 8 14 = 2z + 8 14 – 8 = 2z 6 = 2z 2z = 6 z = 3

Svar: z = 3

Förenkla i båda leden så mycket som möjligt Vi subtraherar båda leden med 5z och får då en enda z-term, 2z, kvar och kan lösa ekvationen på vanligt sätt. 6 = 2z betyder att 2z = 6.

b) 7

x4 + 5 = 3

7

x4 + 5 – 5 = 3 – 5

7

x4 = –2

7

x47 = 7 × (–2)

4x = –14

4

x4 =

4

14−

x = –3,5

Svar: x = –3,5

Båda leden multipliceras med 7. Vänstra ledet förkortas sedan med 7.

c) 5(x + 3) = 6(x + 2) 5x + 15 = 6x + 12 15 – 12 = 6x – 5x 3 = x x = 3

Svar: x = 3

Multiplicera in i parenteserna.

Exempel 7: Lös ekvationen (2x – 1)(3x2 – 4x + 5) = (x + 1)(6x2 – 17x + 1)

2x × 3x2 – 2x × 4x + 2x × 5 – 1 × 3x2 – 1 × (–4x) – 1 × 5 = = x × 6x2 – x × 17x + x × 1 + 1 × 6x2 – 1 × 17x + 1 × 1

6x3 – 8x2 + 10x – 3x2 + 4x – 5 = 6x3 – 17x2 + x + 6x2 – 17x + 1 6x3 – 11x2 + 14x – 5 = 6x3 – 11x2 – 16x + 1 6x3 – 6x3 – 11x2 + 11x2 + 14x + 16x = 1 + 5 30x = 6



x = 30

6

x = 5

1

x = 0,2

Svar: x = 0,2

Lös ekvationerna

1. a) x + 6 = 19 b) x – 17 = 19 c) 2x = 35

2. a) 0,3x = 27 b) 42

x= c) 6,28x = 157

3. a) 7x – 3 = 53 b) 3x + 6 = 24 c) 11x – 20 = 101 4. a) x + 27 = 89 b) x – 13,1 = 16,9 c) 3x = 243

5. a) 5,106

x= b) 12

5,4

x2= c) 150

28,6

x3=

6. a) x – 0,1x = 405 b) k + 0,23k = 2 952 c) t + 1,25t = 99 7. a) 3x + 5 = x + 11 b) 4x + 26 = 2x + 20 c) 3x – 11 = 5x – 3

8. a) 127

x3= b) 23

4

x5=− c) 26

9

x4=+

9. a) 4

7

8

x= b)

15

5,22

11

x2= c)

75,15

5,4

6,12

x3=

10. 3(x + 2)(x – 2) = (3x – 2)(x + 4) 11. x(x2 – 2x + 1) = x2 (x – 2) De ekvationer som vi löst har alla efter förenkling kunna skrivas ax + b = 0 där a och b är givna tal (konstanter) och a 0 (a är skilt från 0). Ekvationen innehåller en x-term, ax och en x-fri term, b. Talen a och b kallas ekvationen koefficienter. En sådan ekvation kallas en linjär ekvation eller en förstagradsekvation och har en lösning med en rot. Man löser ekvationen genom att först subtrahera b och sedan dividera med a. ax + b = 0 ax = –b

x = a

b−

Sett ur algebraisk synpunkt kan man säga att vi i detta avsnitt löst samma ekvation gång på gång, nämligen den allmänna förstagradsekvationen ax + b = 0.



Problemlösning med förstagradsekvationer Exempel 8: Bestämma ett okänt tal

Ett tal multipliceras med 3. Om man därefter adderar 29 får man 62 som resultat. Vilket är talet? Antag att talet är x

3x + 29 = 62 3x + 29 – 29 = 62 – 29 3x = 33

3

x3 =

3

33

x = 11

Svar: Talet är 11.

Om vi multiplicerar x med 3 får vi 3 × x eller 3x. Om vi sedan adderar med 29 får vi 3x + 29. Detta ska vara lika med 62, vilket ger oss vår ekvation. Man kan kontrollera svaret genom att sätta x lika med 11 i den ursprungliga ekvationens vänsterled. VL = 3 × 11 + 29 = 33 + 29 = 62

Exempel 9: Bestämma ursprungliga priset Kajsa fick 15 % rabatt när hon köpte sin räknare. Genom rabatten tjänade hon 72 kr. Vad kostade räknaren utan rabatt? Antag att räknaren kostade x kr utan rabatt.

0,15x = 72

15,0

x15,0 =

15,0

72

x = 480

Rabatten var 15 % av x, d.v.s. 0,15 × x som skrivs 0,15x. Rabatten var också 72 kr, vilket ger oss ekvationen.

Svar: Räknaren kostade 480 kr utan rabatt. Exempel 10: Bestämma antal personer

Vid en fotbollsmatch kostade ståplats 60 kr och sittplats 100 kr. 4 450 personer betalade entréavgift. Hur många köpte sittplats om de totala entréavgifterna var 352 000 kr? Vi antar att det köptes x st sittplatser. Då köptes (4 450 – x) st ståplatser.

100 × x + 60(4 450 – x) = 352 000 100x + 267 000 – 60x = 352 000 40x = 352 000 – 267 000 x = 2 125 Svar: 2 125 personer köpte sittplats.



Exempel 11: Bestämma saltmängd Hur mycket salt ska lösas upp i ett kilogram vatten för att man ska få en 20-procentig (viktsprocent) saltlösning? Låt mängden salt vara x gram. Mängden salt plus vatten blir då x + 1 000 gram. Då mängden salt ska vara 20 % av saltlösningen blir ekvationen

x = 0,20(x + 1000) x = 0,20x + 200 0,80x = 200 x = 250 Svar: 250 g salt ska tillsättas.

Lös uppgifterna

1. Ett tal multipliceras med 5. Om vi därefter adderar 16 får vi 61 som resultat. Vilket är talet?

2. Antag att en sträcka är x meter. Hur tecknar man då en sträcka som är

a) 15 meter längre b) dubbelt så lång c) 20 % längre d) 10 % kortare e) 30 m tillsammans med den första sträckan?

3. Anders, Johan och Eva ska dela på 2 800 kr. Anders ska ha dubbelt så mycket som

Johan och Eva ska ha fyra gånger så mycket som Johan. Hur mycket ska var och en ha? 4. En teatergrupp anordnar en föreställning där man för att täcka kostnaderna behöver

få in 50 000 kr i biljettintäkter. Man har 600 biljetter till försäljning och biljetter finns i två prisklasser, 70 kr eller 100 kr. Om man räknar med att sälja slut på alla biljetter, hur många 100-kronorsbiljetter måste man då sälja? (Om antalet inte blir ett heltal, avrunda till närmaste heltal.)

5. Hur mycket olja ska tillsättas 40,0 liter bensin för att oljehalten ska bli 2,0 %? 6. Vid en löneförhandling diskuteras två olika alternativ. Det ena alternativet innebär att

månadslönen höjs med 5,0 % samt ett kontanttillägg på 210 kr. Det andra alternativet innebär att månadslönen höjs med 7,4 % men utan kontanttillägg. Hur stor månadslön måste man ha före lönehöjningen för att de båda alternativen ska vara likvärdiga?

7. I en rektangel är ena sidan dubbelt så lång som den andra. Om samtliga sidlängder

ökar med 10 cm ökar rektangelns area med 700 cm2. Beräkna den ursprungliga rektangelns sidor.



Lösa ut variabler i formler När man arbetar med formler har man vanligtvis löst ut den variabel vars värde ska beräknas. Ibland måste man lösa ut en annan av de variabler som ingår i formeln. Vi ska först se på några exempel. Exempel 12: Lösa ut hastigheten

Mellan vägsträckan s, hastigheten v och tiden t råder (med konstant hastighet) sambandet s = v × t I denna formel är s utlöst, d.v.s. s finns ensamt i vänster led och vi får värden på s genom att sätta in värden på v och t. Vi ska nu lösa ut v i ovanstående formel. Vi dividerar båda leden i s = v × t med t. Detta ger

vt

s= eller

t

sv =

Svar: Löses v ut i formeln s = v × t erhålls t

sv =

Exempel 13: Lösa ut strömmen

Ett batteri har den elektromagnetiska spänningen 1,5 volt och inre resistansen 0,10 ohm. När batteriet lämnar ström av styrkan I ampere är batteriets polspänning U volt där U ges av formeln

U = 1,5 – 0,10 × I Lös ut I och ange strömmens styrka när polspänningen är 0,5 volt. U = 1,5 – 0,10 × I 0,10 × I = 1,5 – U

10,0

U

10,0

5,1I −= 15

I

15

10,0

5,1== U10

I

U10

1,0

UI

10,0

U=

=

=

I = 15 – 10 × U Om U = 0,5 så är I = 15 – 10 × 0,5 = 10 Svar: I = 15 – 10 × U När polspänningen är 0,5 volt så är strömmen 10 ampere. Exempel 14: Lösa ut x

Lös ut x i formeln 1b

y

a

x=+ och beräkna x om y = 6, a = 3 och b = 2.

1b

y

a

x=+

b

y1

a

x−= Multiplicera nu båda led med a.



b

ya1a

a

xa −=

b

ayax −=

y = 6, a = 3 och b = 2 insätts i uttrycket och detta ger

6932

633x −=−=

−=

Svar: b

ayax −= , x = –6

Lös uppgifterna

1. Lös ut k om a) 8k = 60 b) ak = b c) c = kd

2. Lös ut formeln s = v × t och beräkna värdet på tiden t när sträckan s är 125 m och

hastigheten v är 5,0 m/s. 3. Omkretsen L av en cirkel ges i formeln L = 2r.

Lös ut r och beräkna för vilket värde på radien som omkretsen blir 25 cm. 4. Enligt Ohms lag gäller att U = R × I där U ges i volt (V), R i ohm () och I i ampere (A).

a) Lös ut R och beräkna resistansens storlek om spänningen är 55 V och strömmen är 2,5 A. b) Lös ut I och beräkna resistansen storlek om spänningen är 200 V och resistansen är 11 .

5. Lös ut h ur

a) A = bh b) 2

bhA = c)

2

)ba(hA

+=

6. a) A = 2rh. Lös ut r och beräkna värdet för A = 54,0 och h = 4,15.

b) A = 2rh. Lös ut h och beräkna värdet för A = 0,456 och r = 0,0325 7. Lös ut k ur

a) y = kx b) y = kx + m c) x

ky =

8. Formeln kT

pV= är given. Lös ut

a) p b) V c) T 9. Lös ut m ur

a) F = ma b) W = mc2 c) r

mvF

2

= d) 2

2

T

mr4F

=



10. Lös ut v0 ur

a) v = v0 + at b) 2

attvs

2

0 += c) 2

vvv 0

+=



Kvadratrötter En kvadrat har arean 4 cm2. Hur stor är sidan? Sidan är 2 cm, eftersom 22 = 2 × 2 = 4.

En kvadrat har arean 9 cm2. Hur stor är sidan? Sidan är 3 cm, eftersom 32 = 3 × 3 = 9. En kvadrat har arean 5 cm2. Hur stor är sidan? Sidan måste vara större än 2 cm men mindre än 3 cm. Vi prövar med 2,3: 2,32 = 5,29 detta är för stort. Vi prövar med 2,2: 2,22 = 4,84 detta är för litet. Vi prövar vidare: 2,252 = 5,0625 för stort, 2,232 = 4,9729 för litet, 2,242 = 5,0176 för stort Eftersom 2,23 är för litet och 2,24 för stort måste det korrekta värdet ligga mellan 2,23 och 2,24. Vi ser också att det måste ligga närmare 2,24 än 2,23. Vi har funnit ett närmevärde till sidans längd med två decimaler: Sidan 2,24 cm. Om vi vill ha sidans längd med större noggrannhet kan vi fortsätta, men det finns inget

decimaltal som ger sidans längd exakt. Vi inför beteckningen (utlästes ”kvadratroten

ur” eller ”roten ur”) och skriver: Sidan = 5 cm.

Vi har funnit 5 2,24 med två decimalers noggrannhet.

Sammanfattning: En kvadrat med arean 4 cm2 har sidan = 4 cm = 2 cm.

En kvadrat med arean 5 cm2 har sidan = 5 cm 2,24 cm.

En kvadrat med arean 9 cm2 har sidan = 9 cm = 3 cm.

Kvadratrötter kan beräknas med de flesta miniräknare.

5 beräknas så här: Fönstret visar då 2,23606 ...

Om man inte har en miniräknare som hanterar kvadratrötter kan man använda tabell:

Kvadratrötter ur talen 1–999

Tal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4

0,000 3,162 4,472 5,477 6,325

1,000 3,317 4,583 5,568 6,403

1,414 3,464 4,690 5,657 6,481

1,732 3,606 4,796 5,745 6,557

2,000 3,742 4,899 5,831 6,633

2,236 3,873 5,000 5,916 6,708

2,449 4,000 5,099 6,000 6,782

2,646 4,123 5,196 6,083 6,856

2,828 4,243 5,292 6,164 6,928

3,000 4,359 5,385 6,245 7,000

5 6 7 8 9

7,071 7,746 8,367 8,944 9,487

7,141 7,810 8,426 9,000 9,539

7,211 7,874 8,485 9,055 9,592

7,280 7,937 8,544 9,110 9,644

7,348 8,000 8,602 9,165 9,695

7,416 8,062 8,660 9,220 9,747

7,483 8,124 8,718 9,274 9,798

7,550 8,185 8,775 9,327 9,849

7,616 8,246 8,832 9,381 9,899

7,681 8,307 8,888 9,434 9,950

10 11 12 13 14

10,000 10,488 10,954 11,402 11,832

10,050 10,536 11,000 11,446 11,874

10,100 10,583 11,045 11,489 11,916

10,149 10,630 11,091 11,533 11,958

10,198 10,677 11,136 11,576 12,000

10,247 10,724 11,180 11,619 12,042

10,296 10,770 11,225 11,662 12,083

10,344 10,817 11,269 11,705 12,124

10,392 10,863 11,314 11,747 12,166

10,440 10,909 11,358 11,790 12,207

o.s.v.

Avläs 5 . Sök upp 5 i övre kanten, avläs 5 2,236.

A = 5 cm2



Avläs 57 . Sök upp 5 i vänstra kanten och 7 i övre kanten, avläs 57 7,550.

Avläs 122 . Sök upp 12 i vänstra kanten och 2 i övre kanten, avläs 122 11,045.

Lös följande uppgifter

1. Hur stor är sidan i en kvadrat med arean (huvudräkning!) a) 25 cm2 b) 121 cm2 c) 64 cm2

2. Beräkna med huvudräkning

a) 100 b) 1 c) 16 d) 36

3. Beräkna närmevärden med 2 decimaler till

a) 7 b) 50 c) 87 d) 142

Andragradsekvationer En ekvation där x2-termer ingår kallas en andragradsekvation. Ekvationen x2 = 9 är en sådan ekvation. Den har två lösningar:

x = 3 eftersom 32 = 3 × 3 = 9 och x = –3 eftersom (–3)2 = (–3) × (–3) = 9

Svaret kan också skrivas: x = ±3 eller x1 = 3, x2 = –3

Lös ekvationerna.

Avrunda till tre decimaler. 1. a) x2 = 25 b) x2 = 36 c) x2 + 2 = 51 d) x2 – 7 = 18 2. a) x2 –14 = 50 b) 2x2 + 21 = 39 c) x2 + 7= 9 d) x2 – 13 = 2 3. a) x2 – 2 = 18 b) x2 – 16 = 0 c) 2x2 – 8 = 28 d) x2 + 7 = 32 4. a) 3x2 – 14 = 66 + x2 b) x(x + 5 ) = 72 + 5x

c) 5x2 = 768 – x2 d) (x + 8)(x – 8) = 0

5. a) (x – 9)(x + 11) = 1 + 2x b) (x + 9)(x – 9) = 63

c) 0,25x2 – 28 = 100 d) (x + 5)(x – 8) = 41 – 3x

Allmänna andragradsekvationer Vi ska nu lösa ekvationer av typen x2 + 6x – 7 = 0. Ekvationen är en fullständig andragradsekvation, d.v.s. den innehåller en andragradsterm x2, en förstagradsterm 6x och en konstant term –7. En fullständig andragradsekvation kan alltid skrivas x2 + px + q = 0 Ekvationen x2 + px + q = 0 har lösningarna

q2

p

2

px

2

−

−=

Hälften av koefficienten för x med ombytt tecken.

Hälften av koefficienten för x i kvadrat.

Konstanta termen med ombytt tecken.



Exempel 15: Använd formeln

Lös ekvationen x2 + 6x – 7 = 0 med hjälp av formeln.

x2 + 6x – 7 = 0

733x 2 +−=

793x +−=

163x −=

x = –3 ± 4

x1 = 1 x2 = –7

Svar: x1 = 1 x2 = –7 Exempel 16: Använd formeln Lös ekvationen x2 – 8x + 16 = 0

x2 – 8x + 16 = 0

1644x 2 −=

16164x −=

04x =

x = 4 ± 0

x1 = 4, x2 = 4 Svar: x = 4

Lös följande ekvationer

1. a) x2 + 2x – 8 = 0 b) x2 + 4x – 12 = 0 c) x2 + 6x – 16 = 0 2. a) x2 – 10x + 16 = 0 b) x2 + 10x + 24 = 0

c) x2 – 12x + 20 = 0 3. a) x2 – 8x – 9 = 0 b) x2 + 6x – 7 = 0 c) x2 – 2x – 3 = 0

Hälften av koefficienten för x med ombytt tecken.

Hälften av koefficienten för x i kvadrat.

Konstanta termen med ombytt tecken.



4. a) x2 + 4x + 3 = 0 b) x2 + 8x + 15 = 0 c) x2 + 6x + 5 = 0 5. a) x2 + 3x + 2 = 0 b) x2 + 5x + 6 = 0 c) x2 – 7x + 6 = 0 6. a) t2 – 2,5t – 1,5 = 0 b) y2 + 8y + 9,75 = 0

c) z2 – 2,9z + 2,08 = 0 Exempel 17: Använd formeln

Lös ekvationen 5x – 100 – 10x2 = 0

5x – 100 – 10x2 = 0

0 = 10x2 – 5x + 100

10x2 – 5x + 100 = 0

x2 – 0,5x + 10 = 0

1025,025,0x 2 −=

9375,925,0x −=

Svar: Reella rötter saknas.

Ekvationen måste skrivas på formen x2 + px + q = 0 Koefficienten framför x2 ska vara 1 innan formeln används. Dividera därför med 10. Det finns inget reelt tal vars kvadrat är –9,9375

Exempel 18: Ekvation med x i nämnaren

Lös ekvationen x

12x8 =− då x 0

x

12x8 =−

08

1

8

x2x2 =−−

Multiplicera alla termer med x.

Samla alla termerna i vänstra ledet och dividera med 8.

8

1

8

1

8

1x

2

+

=

64

8

64

1

8

1x +=

64

9

8

1x =

8

3

8

1x =

8

3

8

1x1 +=

8

4x1 =

8

3

8

1x2 −=

8

2x2 −=

Då x 0 gäller enbart x1

Svar: 2

1x =



Exempel 19: Bestämma en rektangel Vi vill mäta upp en rektangulär yta med omkrets 120 m och area 700 m2. Finns det någon sådan rektangel och vilken längd och bredd har i så fall rektangeln?

Vi antar att en sida är x m. Då halva omkretsen är 60 m blir den andra sidan (60 – x) m. Då rektangelns bas gånger höjden ger arean får vi ekvationen:

x(60 – x) = 700 60x – x2 = 700 0 = x2 – 60x + 700 x2 – 60x + 700 = 0

7003030x 2 −=

20030x =

20030x1 +=

20030x2 −=

Fall 1: Längden av rektangeln är x1 = 30 + 200 44,1

Bredden är )20030(60 +− = 9,1520030 −

Fall 2: Längden av rektangeln är 20030 − 15,9

Bredden är 1,4420030 +

I båda fallen får rektangelns sidor längden 4420030 + och

1620030 − .

Svar: En sådan rektangel finns. Dess sidor är 44 och 16 m.


1. a) 2x2 – 12x + 16 = 0 b) 3x2 – 18x + 24 = 0 2. a) 2x2 + 3x + 1 = 0 b) 10x2 – 25x + 10 = 0 3. a) 3x2 = 18 – 3x b) x = 1 – 2x2 4. a) 14x2 – 22,8x – 6,4 = 0 b) 6,2y2 = 1,3 – 7,6y 5. a) x(5x – 8) = 21 b) 3x(x – 0,2) = 2,97

6. a) x

82x =+ b) 0

x

1610x =+− c)

x

98x +=

7. I en rektangel är halva omkretsen 16 cm. Rektangelns area är 30 cm2. Beräkna

rektangelns sidor. 8. I en rätvinklig triangel är den ena katetern 56 cm längre än den andra. Hypotenusan

är 8 cm längre än den längsta katetern. Beräkna hypotenusans längd.

x

60 – x



9. Lös ekvationen då x 0

a) 0x

3x2 =+− b) x24

x

6=− c)

x

6x7 =−

Repetion inför linjära funktioner

Att räkna med negativa tal

Exempel 19:

Beräkna a) 5 + (–3) b) 9 – (–7) c) (–3) × (–4)

d) )2(––3

7–)8(–

5 + (–3) = 5 – 3 = 2 9 – (–7) = 9 + 7 = 16 (–3) × (–4) = 12

3–=515–=

2+3

7–8–=

)2(––3

7–)8(–

– (–7) = 7 vid multiplikation och division: lika tecken ger plus olika tecken ger minus (–8) – 7 = –8 – 7 = –15 jämför med termometer


1. a) 7 + (–3) b) –6 + (–8) c) 9 – (–3) d) –10 – (–2) 2. a) 4 × (–3) b) (–10) × (–5) c) (–7) × 6 d) –6 × (–2)

3. a) 315– b)

5–45 c)

)9(–

)36(– d) 6–

42–

4. a) 2 × (–9) b) –4 × (–5) c) 27 / (–3) d) (–32) / (–8)

5. a) )6(––9

2–7 b)

9–2

)3(––4 c)

)1(––1

)7(––5–

6. a) )2(––3

1–9– b)

)1(––7–

)4(––8 c)

)3(––5–

6–10–

Bestäm m

7. a) 7 = 2 × 6 + m b) 4 = 5 × (–3) + m c) 12 = –2 × (–9) + m d) 9 = –32 × (–21) + m

8. a) –5 = 3 × 4 + m b) –3 = –9 × 2 + m c) –12 = –2 × (–9) + m d) –7 = –73 × (–35) + m



Att multiplicera in ett tal i en parentes och att lösa ut en variabel i en formel

Exempel 20:

Multiplicera in och förenkla

a) 5(4x – 7) b) –7(x + 4) c) –2(x – 8)

5(4x – 7) = 5 × 4x – 5 × 7 = 20x – 35 –7(x + 4) = (–7) × x + (–7) × 4 = –7x – 28 –2(x – 8) = (–2) × x – (–2) × 8 = –2x – (–16) = –2x + 16

Exempel 21:

Lös ut y ur formlerna a) 12x – 4y + 8 = 0 12x – 4y + 8 = 0 Addera 4y till båda leden

12x + 8 = 4y Dividera båda leden med 4

3x + 2 = y

y = 3x + 2

b) 4x + 2y – 3 = 0 4x + 2y – 3 = 0 Subtrahera 4x och addera 3 till båda leden

2y = –4x + 3 Dividera båda leden med

2

y = –2x + 1,5


Multiplicera in 1. a) 2 × (x + 5) b) 2(x – 3) c) 3 × (2x – 1) d) 3(4x + 3) 2. a) –3 × (x + 2) b) –3(x – 2) c) –5 × (2x + 6) d) –4(7x – 5) 3. a) –5(x + 9) b) 7(3x – 2) c) –6(3x + 4) d) –8(5x – 6) Lös ut y ur formlerna 4. a) y – x = 0 b) y + 2x = 0 c) 3x – y = 0 d) 4x – y = 0 5. a) 2y – 10x = 0 b) 4y + 12x = 0 c) 9x – 3y = 0 d) 3x – 7y = 0 6. a) y + x – 3 = 0 b) y + 3x – 2 = 0 c) x – y – 1 = 0 d) x – y + 5 = 0 7. a) 2x – 2y – 12 = 0 b) 9x – 3y + 6 = 0 c) 10x – 5y – 5 = 0 d) 4x – 4y + 12 = 0 8. a) –4x + 4y – 20 = 0 b) 2x – 5y – 40 = 0 c) x + 2y – 10 = 0 d) 2x – 7y + 21 = 0 Multiplicera in och lös sedan ut y 9. a) y – 3 = 2(x – 4) b) y – 7 = –3(x – 2) c) y – (–5) = 7(x –3) d) y – (–11) = –6(x – 1)



Funktionsbegreppet I många situationer träffar vi på samband mellan två storheter som varierar. Ändrar vi den ena storheten så ändras också den andra. Storheter som varierar kallar vi i matematiken variabler. Sambanden kan beskrivas på olika sätt:

Graf Sambandet mellan temperaturen, y°, och tiden x h, under ett dygn kan beskrivas med en graf.

Tabell Sambandet mellan skatten, y kr, och månadslönen, x kr, finner du i en skattetabell.

Månadslön x kr

Skatt y kr

Månadslön x kr

Skatt y kr

10 301–10 400

3 448 10 801–10 900

3 654

10 401–10 500

3 490 10 901–11 000

3 696

10 501–10 600

3 531 11 001–11 100

3 737

10 601–10 700

3 572 11 101–11 200

3 778

10 701–10 800

3 613 11 201–11 300

3 819

Formel Vid fritt fall på månen kan sambandet mellan fallsträckan, y m, och falltiden, x s, uttryckas med formeln y = 0,8x2

När är y en funktion av x? Exempel 1: Vi ritar en graf som visar hur y beror av x,

om y = –0,5x + 2. Vi kan här välja x godtyckligt.

10

–10

4 8 12 16 20 24 h

y°C

x

1

1

y

x



x –2 0 2 4 y 3 2 1 0



Exempel 2: Vi ritar en graf som visar hur y beror av x, om y = 0,25x2. Vi väljer x-värden mellan –4 och 4.

x ±4 ±2±1 0 y 4 10,25 0

Exempel 3: Vi ritar en graf som visar hur y beror av x,

om y2 = x.

Här får vi y = ± x

Vi kan bara välja x 0.

x 0 1 4 9 y 0 ±1±2 ±3

Det finns en väsentlig skillnad mellan graferna i de tre exemplen. I exemplen 1 och 2 svarar precis ett y-värde mot varje tillåtet x-värde. I exempel 3 svarar två y-värden mot alla tillåtna x-värden utom mot x = 0.

Funktion En regel som till varje tillåtet x-värde ger exakt ett y-värde kallas en funktion. Vi säger då att y är en funktion av x. Med ”vertikaltestet” kan vi avgöra om en graf representerar en funktion; varje vertikal linje i planet skär grafen till en funktion i högst en punkt. Exempel 4: Mot en mur ska en

rektangulär trädgårdsordling avgränsas med ett 12 m långt stängsel. Hur varierar arean y m² av odlingen för olika värden på rektangelns sida x m? y = x(12 – 2x) y = 12x – 2x²

Med hjälp av denna regel (formel) kan vi beräkna y för varje tillåtet x-värde. Men vilka x är tillåtna? Kravet att sidornas mätetal ska vara positiva ger direkt att x > 0 och x < 6 eftersom 2x måste vara mindre än 12.

Vi sammanfattar detta till ett intervall 0 < x < 6.

Då talen x = 0 och x = 6 inte tillhör intervallet markerar vi detta på en tallinje med öppna ringar. Tillhör talen intervallet markerar vi ändpunkterna med fyllda ringar.

12 – 2x

x x

(m)

1

1

y

x

1

1

y

x

Vertikaltest



60

0 < x < 6

öppet

60

0 < x <_ 6

halvöppet

0

x > 0

obegr änsat

60

0 <_ x <_ 6

slutet En tabell ger oss några viktiga y-värden innan vi ritar grafen.

x 0 1 2 3 4 5 6 y 0 1016 18 16 10 0

De tillåtna x-värdena i intervallet 0 < x < 6 kallas funktionens

definitionsmängd. Talen 0 och 6 i tabellen tillhör alltså inte definitionsmängden.

Grafen visar hur y varierar då x ändras inom definitionsmängden. De erhållna y-värdena bildar intervallet 0 < y 18 och kallas värdemängden. Talet 18 tillhör värdemängden men däremot inte talet 0. Om rektangelns mått är 3 m × 6 m så är arean 18 m² (så stor som möjligt).

Exempel 5: Definierar grafen en funktion y av x?

a)

1

1

y

x

b)

1

4

1

y

x

3

Svar: Ej funktion. De tillåtna x-värdena ger två y-värden.

Svar: Funktion, eftersom varje tillåtet x-värde ger exakt ett y-värde.

Exempel 6: Grafen beskriver en funktion y av x.

Ange funktionens definitionsmängd och värdemängd.

10

15

20

5

1

y

x

2 3 4 5 6

(3, 18)

1

1

y

x



Svar: Definitionsmängd: 0 x < 5 Värdemängd: 2 y 4



Beräkningar

1. Definierar grafen en funktion y av x?

a)

1

1

y

x

b)

1

1

y

x

c)

1

1

y

x

d)

1

1

y

x

2. Grafen beskriver en funktion y av x.

Ange funktionens definitions- och värdemängd. 3. a) I hur många punkter skär den vertikala

linjen grafen? b) Beskriver grafen en funktion?

1

1

y

x

1

1

y

x



4. a) Kan man dra en vertikal linje som skär grafen

i mer än en punkt? b) Beskriver grafen en funktion?

5. a) Avläs minsta och största tillåtna x-värde.

b) Ange funktionens definitionsmängd. c) Avläs minsta och största y-värde som funktionen antar. d) Ange funktionens värdemängd.

6. Teckna följande intervall.

a)

0

x

1

b)

0

x

1

7. Avgör om följande grafer representerar funktioner. Ange i så fall definitions- och

värdemängder.

a)

1

1

y

x

b)

1

1

y

x

1

1

y

x

1

1

y

x



c)

1

1

y

x

d)

1

1

y

x

– Kapitel 14: Blandad problemlösning –


14 Blandad problemlösning Problemlösning kallas alla de lösningar av problem som vi arbetar på att hitta. Ibland kan det vara en mycket enkel lösning som ska till, men ibland är det mer avancerade tankeövningar som krävs. Nedan följer ett antal blandade uppgifter för problemlösning.

Beräkningar

1. En låda med 36 golfbollar väger 2 kg. Lådan väger 2 hg. Vad väger 1 golfboll? 2. I en låda ligger fyra grå, fyra svarta och fyra vita sockor. Utan att

titta i lådan ska du ta upp sockor ur lådan. Hur många måste du minst ta upp för att vara säker på att få ett par av samma färg?

3. Det tar två timmar att svetsa samman två rör. Hur lång tid tar det att svetsa samman

fem rör? 4. I sista uträkningen dividerar Linus med 5 i stället för att multiplicera med 5. Han fick

då svaret 20. Vilket var det rätta svaret? 5. En burk färg väger fem kg när den är fylld till hälften och fyra kg när den är fylld till en

tredjedel. Vad väger burken tom och vad väger den fylld med färg? 6. Använd alla siffrorna 1, 2, 3, 4 och 5 en gång vardera för att skriva ett tvåsiffrigt och

ett tresiffrigt tal. Bilda sedan produkten av dessa båda tal, t.ex. 41 × 325 = 13 325. Vilken produkt bildad på detta sätt är a) mindre än 3 200 b) så stor som möjligt ?

Räcker dina data? Om det i uppgiften finns för många data väljer du ut de som behövs. Om det är för få data sätter du ett rimligt värde på det som saknas. Sedan löser du uppgiften. 7. Per kan köra 16 km på 1 liter bensin med sin bil. Hur långt kommer han på full tank? 8. En årskurs på 320 elever ska åka på teaterresa. Att hyra en buss kostar 1 500 kr. Hur

många bussar måste man hyra? 9. Linus kör en liten lastbil med en bensintank som rymmer

80 liter. Bilen drar 1,5 liter per mil i stadstrafik och 1,2 liter per mil vid landsvägskörning. Bensinen kostar 8 kr per liter. Vad får Linus betala för full tank om bensinen är helt slut?

10. På en rea kostar både cd-skivor och kassetter 40 kr per styck. Ordinarie pris på cd-

skivor var 75 kr och på kassetter 60 kr. Katja köpte tre cd-skivor, två kassetter och en affisch. Hur mycket tjänade hon på cd-skivorna?

11. Familjen Karlsson ska åka bil från Bylunda till Sommarland. På fredagen tar fru

Karlsson ut 1 000 kr i bankomaten och tankar bilen full för 8 kr/litern. Bylunda ligger ca 14 mil från Sommarland. Familjen vill tillbringa fem timmar på Sommarland och vara hemma till kl. 18:00. Hur dags bör de åka från Bylunda?



12. Beräkna en tredjedel av 9 000. 13. En transportfirma har fyra bilar som kan ta följande laster:

Bil Kan lasta A 0,5 ton B 1 ton C 5 ton D 10 ton En dag ska Henrik transportera 250 kg cement, 300 kg golvplattor, skåp som väger 200 kg och dörrar som väger 100 kg. Vilken är den minsta bil han kan använda för denna transport?

14. Lisa simmade 16 längder i en bassäng för att komma upp till 400 m. Hur många

längder behövs det för 1 000 m? 15. Skillnaden mellan högsta och lägsta års temperatur för en plats var 98 °C. Vilken var

den högsta årstemperaturen om den lägsta var –60 °C? 16. Vilka siffror kan du ersätta med om det fyrsiffriga talet 5 86 ska avrundas korrekt

till hundratal så här: 5 86 5 900? 17. Vilka av talen 72, 28, 38, 63, 79, 88 har en produkt som är närmast 5 000? 18. Anna ska göra svartvinbärssylt. I receptet finns följande ingredienser

med: 1 kg svarta vinbär 750 g socker 2,5 dl vatten När Anna plockat och rensat bären väger hon dem och får vikten 800 g. Hur mycket socker och vatten ska hon ta till sylten?

19. Här är sex siffror: 0, 2, 3, 5, 7 och 9. Dessa kan flyttas om till olika sexsiffriga tal, t.ex.

795 320. Bilda det tal som ligger så nära 300 000 som möjligt. 20. Gör först en överslagsräkning, använd sedan räknare och avrunda därefter till ett

lämpligt antal siffror. a) Den tid som en bil behöver för att passera en sträcka på 509 m uppmättes till 22 s. Beräkna bilens hastighet. b) Per håller en jämn fart av 5,9 m/s. Hur lång till behöver han för att springa 1 engelsk mil som är 1 609 m?

21. En Audi 80 av 1993 års modell kostade ny 137 000 kr. Vad var priset år 1999 om den

då gått 10 000 mil och värdeminskningen är 4,50 kr per mil? 22. För en lax på 2,5 kg betalade Jesper 150 kr. Vad bör Ebba betala för en bit lax på

0,8 kg? 23. Du kommer sist till ett pizzaparty som just ska börja. Vid bord A sitter nio personer

med fyra pizzor och vid bord B sitter sju personer med tre pizzor. Vid vilket bord ska



du var med och dela pizzorna om du vill ha en så stor bit som möjligt? Alla pizzor är lika stora.

24. I en idrottstävling vid Bolleskolan deltog 150 elever. Två femtedelar av deltagarna var

pojkar. Av de deltagande flickorna kom en tredjedel från omvårdnadsprogrammet. Hur många var det?

25. En låda med 40 spik väger 175 gram. Samma låda med 20 spik väger 95 gram. Vad

väger 1 spik? 26. Tre klasser hade ett gemensamt prov i matematik. Resultatet blev

Klass Antal elever Medelpoäng

A B C

25 20 30

17,2 18,5 14,0

Beräkna medelpoängen, om man slår ihop klasserna. 27. Vilket är medelvärdet av 5 tal, om medelvärdet av de båda första är 8 och

medelvärdet av de tre sista är 13 ? 28. Bestäm medelvärdet och typvärdet

för poängsummorna.

Antal

10

9 10 11 12 Poängsumma

Test i matematik

– Facit –


Facit KAPITEL 2

Addition, sidan 15

1. 0, 2, 4, 6, 8

2. 1, 3, 5, 7, 9

3. 20 501

4. 2 121

5. 563

6. 845

7. 4 677

8. 2 766

9. 1 190

10. 412

Subtraktion, sidan 16

1. 28

2. 3 444

3. 4a

4. 1

5. 67

6. 4 802

7. 198

8. 578

9. 6

10. 200

Multiplikation, sidan 17

1. 190

2. 39

3. 20,25

4. 450

5. 2 898

6. 74,04

7. 102

8. 551 156

9. 0,0008 = 8 × 10–4

10. Ett steg åt vänster

11 a) 30 × 185 b) 30 × 200 = 6 000 kr

12. 104

13. a) 16 b) 56 c) ca 2,24 kg

Division, sidan 18

1. 9

2. 8

3. 9

4. 20

5. 111

6. 62

7. 57 st

8. 7 st

9. 2 steg åt höger

10. Fler än 37

Tiopotenser, sidan 20–22

1. a) 32 b) 42 c) 23

2. a) 36 b) 16 c) 64

3. a) 92 b) 83 c) 34

4. a) 95 b) 42

5. a) 103 = 1 000 b) 104 = 10 000 c) 102 = 100 d) 106 = 1 000 000

6. a) 16 b) 1 c) 20

7. a) 101 b) 300 c) 50

8. a) 0,05 b) 0 c) 40

9. a) Fyra tusen b) Niohundra c) Sju miljoner

10. a) 4 000 = 4 × 103 b) 8 000 000 = 8 × 106 c) 2 000 000 000 = 2 × 109

11. a) 900 = 9 × 102 b) 5 000 = 5 × 103 c) 7 000 000 = 7 × 106

12. a) 2 000 = 2 × 103 b) 3 000 000 000 = 3 × 109 c) 6 000 = 6 × 103

13. a) 4,5 × 103 b) 8,3 × 103 c) 9 × 105

14. a) 7,5 × 103 b) 2 × 104 c) 3,05 × 104

15. a) 3 × 105 b) 7,8 × 105 c) 2,9 × 103

16. a) 6 × 103 b) 5,2 × 104 c) 1,85 × 105

17. a) 5,6 × 102 b) 5,6 × 103 c) 5,6 × 105

– Facit –


18. a) 2 × 103 b) 2,1 × 103 c) 2,01 × 104

19. a) 5 000 b) 5 400 c) 540

20. a) 200 000 b) 27 000 c) 32

21. a) 810 b) 8 100 c) 8 500

22. a) 2 100 b) 9 000 c) 26 000

23. a) 350 b) 4 500 c) 807 000

24. a) 5 000 000 b) 1 000 c) 108

25. 8,6 × 106

26. 300 000 000 m/s

27. 4 × 104 km

28. 4 700 000 000 år

29. a) 107 b) 109 c) 102

30. a) 109 b) 1011 c) 108

31. a) 103 b) 1014 c) 102

32. a) 103 b) 100 c) 104

33. a) 1012 b) 106

34. a) 102 b) 104

35. a) 8 × 10–2 b) 6 × 10–3 c) 4,5 × 10–3

36. a) 7 × 10–2 b) 7,5 × 10–3 c) 2,3 × 10–4

37. a) 1,9 × 10–5 b) 5 × 10–6 c) 4 × 10–5

38. a) 6,3 × 10–4 b) 3,3 × 10–7 c) 9 × 10–3

39. a) 8 × 10–4 b) 7 × 10–2 c) 2 × 10–6

40. a) 1,05 × 10–3 b) 4,5 × 10–5 c) 4,08 × 10–4

41. a) 0,007 b) 0,09 c) 0,000 001

42. a) 0,052 b) 0,000 049 c) 0,001 7

43. a) 0,001 b) 0,004 05 c) 0,000 38

44. a) 0,000 7 b) 0,1 c) 0,001 6

45. a) 0,01 b) 0,080 7 c) 0,000 009 50

46. a) 10–3 b) 9,5 × 10–2 c) 2,95 × 10–4

47. a) 7 × 10–2 b) 2 × 10–3 c) 1,6 × 10–5

48. a) 1,9 × 10–2 b) 8,5 × 10–4 c) 10–4

49. a) 5 × 10–3 b) 6,08 × 10–3 c) 3,7 × 10–2

Prioriteringsregler, sidan 24–26

1. a) 7 b) 350 c) 70 d) 30

2, a) 40 b) 90 c) 24 d) 37

3. a) 10 b) 1 c) 60 d) 40

4. a) 9 b) 7 c) 7 d) 1

5. a) 13 b) 29 c) 5 d) 20

6. a) 17 b) 5 c) 1 d) 5

7. a) 8 b) 20 c) 8 d) 4

8. a) 15 b) 148 c) 10 d) 4

9. a) 28 b) 6 c) 17 d) 41

10. a) 10 b) 2

11. a) 16 b) 3

12. 750

13. a) 51 – 380/10 b) 13

14. a) 3 b) 6 c) 6 d) 8

15. b

16. 3 × 11 + 5 × 4 = 53

17. a) 2 300 + 4 × 220 = 3 180 b) I, Steg 1: 4 940–2 300 = 2 640 → Steg 2: 2 640/220 = 12 st II, I ett svep (4 940 – 2 300)/220 =12 st

18. 13 år

Decimaltal, sidan 26

1. a) 0,6 b) 0,02 c) 0,005

2. a) 8,45 b) 8,9 c) 0,2 d) 0,15 e) 2,4

3. a) 1,25 b) 25 c) 0,825 d) 8250 e) 0,045 f) 4,5

Överskagsräkning m.m., sidan 31

1. a) 132 b) 132,0 c) 132,05 d) 130

2. a) 460 + 850 = 1 300 b) 26 000 – 4 000 = 22 000 c) 12 × 3 = 36 d) 24/0,4 = 60

3. a) 200m/40s =5 m/s b) 200/37 5,4 m/s c) 5,4 m/s

4. 23/29

5. Kilopris: 11,60 kr / 0,160 kg = 72,5 kr/kg 0,181 kg kostar: 0,181 kg × 72,5 kr/kg 13,10 kr

6. 30

7. 2,05 och 2,01

8. 100

52och

4

3

9. a) 50 b) 48 c) 48,2 d) 48,15

10. a och d

11. a) 1 700 b) 20

12. a) 0,65 b) 0,22

– Facit –


13. a) 0,43 b) 43

14. a) 26 b) 4,5

15. a) 3,0 och 3,1 b) –3,0 och –2,9

16. a) –6 b) 11

Proportionellt, sidan 33

1. a) 258

200

b) 24,691… c) 25 liter

2. 42/50 = 0,84 liter/mil

3. a) 2 × 9 = 18 kr b) 17,48 kr

4. a) 3 000 × 100 = 300 000 kr b) 3 118 × 95 = 296 210 kr

5. a) 17

13 b)

339

749

6. 17

19

26

29

35

3909,1

7. 31,80 kr

8. st87kg7,13

kg2001

(88 blir för tungt!)

9. 173,35 g

10. 6 479 kr!! (En restresa för två…)

KAPITEL 3

Negativa tal, sidan 37–38

1. a) –2 b) 0 c) 5

2. a) 6<9 b) 6>–3 c) –3 <–1 d) –3 >–9 e) –5<0 f) 1>0

3. a) 5 b) –5 c) 5 d) –14

4. a) –6 b) –3 c) 4

5. a) 7>3 b) 5 >–2 c) –2<5 d) –2<–1 e) 0<5 f) 0>–7

6. a) 11° b) 0° c) –3° d) –11°

7. a) –9° b) –16° c) 5° d) –24°

8. a) –2 b) –8 c) 2 d) –2

9. a) 11 b) –13 c) 6 d) –18

10. a) –3 b) +3 c) –1 d) –6

11. a) 13, 17, 19, 21 b) –2, 4, 6, 10 c) –5, –1, 0, 3 d) –9, –6, –2, 0

12. a) +11 °C b) –8 °C c) +14 °C d) –26 °C

Addition och subtraktion med negativa tal, sidan 39–40

1. a) 3 b) 4 c) 7 d) 2

2. a) –10 b) –12 c) –8 d) –12

3. a) 10 b) 10 c) 12 d) 2

4. a) 1 b) 2 c) –2 d) –4

5. a) 8 b) –50 c) 40 d) –10

6. a) 19 b) 3 c) 6 d) 30

7. a) 6° b) –12° c) 15° d) –9°

Multiplikation och division med negativa tal, sidan 42

1. a) –63 b) –32 c) 12 d) 0

2. a) –7 b) –9 c) 9 d) 0

3. a) –77 b) –4 c) –25 d) 120

4. a) –3 b) 8 c) 6 d) –7

Negativa tal, sidan 42

5. a) 5 b) 0 c) –3 d) –1

6. a) –3 °C b) –8 °C c) 4 °C d) 0°

7. a) 20 m b) –35m

8. a) 2 b) 20 c) -2 d) –14

9. a) –35 b) 24 c) –3 d) 3

KAPITEL 4

Bråk, sidan 48–52

1. a) 8

7 b)

6

5

2. 8

5 eftersom bitarna som ska delas på 8 är

större än de som delas på 9, d.v.s. 8

1 är större

än 9

1

3. a) 48

32 b)

10

9

4. 9

5=

27

15

5. a) 4

12 b)

3

10

6. a) 11

2 b)

9

4=

9

1+

9

3 c)

10

1=

10

4

10

5

7. 2 100 m

– Facit –


8. a) 15

8 b)

6

5=

12

10

c) 7

44=

7

32 d)

15

4

9. 4

1 av 60 = 15 skift

3

1 av 60 = 20 skift

5

2 av 60 = 24 skift Återstår 1 skift

10. a) 20 min b) 15 min c) 45 min d) 40 min e) 6 min f) 12 min

11. a) 0,5 b) 0,25 c) 0,75 d) 0,2 e) 0,4 f) 0,6 g) 0,8 h) 0,1 i) 0,9

12. Det är bättre att vara 3 att dela tårtan än 4.

13. a) 4

3 b)

5

3 c)

5

2 d)

5

3

14. 7

4

15.

16. 3

1 av 2 400 = 800

8

3 av 2 400 = 900

17. a) 2 kulor av 3 är färgade. 3

2 är färgade.

b) 3 rutor av 5 är skuggade. 5

3 är skuggade.

c) 4 träd av 7 är granar. 7

4 är granar.

18.

Cirkeln är delad i 4 lika delar. Varje del är 1/4.

Cirkeln är delad i 5 lika delar. Varje del är 1/5.

Färre delar ger större bitar. 1/4 är större än 1/5.

19. a) 9

2 b)

9

4 c)

9

7 d)

9

5

20. a) 28

8 b)

45

25

21. a) 8

5 b)

7

3

22. a) 5

3 (3:5) b)

10

7 (7:10)

23. a) 3

2 b)

5

3

24. a) 18

8 b)

18

15

25. a) 8

2 b) 2 c)

4

1

26. a) 5

4 b)

5

3

27. 22

6

28. a) Dividera både täljare (10) och nämnare (15) med 5. Resultat: 2/3 b) Multiplicera både täljare (10) och nämnare (15) med 5. Resultat: 50/75

29. De har färgat lika mycket. 6

4=

3×2

2×2=

3

2

30. a) 12

2 b)

12

9 c)

12

8 d)

12

6

31. a) 5

2 (2:5) b)

2

3 (3:2)

32. a) 3

1 b)

3

1

33. a) 1/6 b) 3/4 c) 1/20 d) 1/12

34. 5/6

35. a) 3

2=

6

4=

6

1+

6

3=

6

1+

2×3

1×3=

6

1+

2

1

b) 12

5=

12

3–

12

8=

4×3

1×3–

3×4

2×4=

4

1–

3

2

36. a) 4

12=

4

1+2=

4

1+

4

8=

4

9

b) 2

7=

2

1+

2

6=

2

1+3=

2

13

37. a)

b)

38. a) 4

1 b)

3

2

39. 2

1

40. a) 4

3 b)

9

5

41. 10

7

42. a) 6

1 b)

15

13 c)

28

3 d)

45

23

43. a) 2

11 b)

2

12 c)

3

11 d)

3

13

– Facit –


44. a) 5

21 b)

4

11

45. a)

4

11

4

32 b)

9

10

9

11

46. 8

1

47. a) 6

3och

6

2 b)

6

3och

6

1

48. Jenny ska ha 30 kr och Sara 45 kr.

49. 2 000

50. a) 50 kr b) 18 kg c) 400 cm d) 630 elever

51. Johan 4 800 kr, Martin 3 200 kr.

52. a) 4 kg b) 8 kg c) 20 kg

53. a) 7 kg b) 21 kg c) 8 kr d) 56 kr

54. a) 5 kr b) 15 kr

55. a) 50 m b) 250 m

56. 1/9 av 540 elever är 9

540elever = 60 elever.

5/9 av 540 elever är 5 × 60 elever = 300 elever.

57. a) 45 b) 27

58. 7 km

59. 2/3 av 42 kr = 28 kr är mer än 3/5 av 45 kr = 27 kr

60. Jesper 180 kr, Jakob 240 kr

61. a) 12 år b) 9 år

62. Lisa 600 kr, Anna 560 kr, Niklas 240 kr

KAPITEL 5a

Formler och ekvationer, sidan 59–62

1. x = 17

2. x = 12

3. x = 20

4. x = 5

5. x = 10

6. 10=6

x+

3

x2 → 10=

6

x+

6

x4 → 10=

6

x5 →

5x =60 → x = 12

7. 1=3

)2+x( → x + 2 = 3 → x = 1

8. x 15,9

9. 3(2x – 5) = 45 → 6x – 15 = 45 → 6x = 60 → x = 10

10. 5 000 kr

11. x + x + 20 = 730 → 2x = 710 → x = 355 och 355 + 20 = 375

12. 90 000

13. Conny 32

12 av 640 = 240 kr

Lars Evert 32

20 av 640 = 400 kr

14. Nu Om 15 år Jon x x +15

Far x + 25 2(x + 15) och x + 25 + 15

2(x + 15) = x + 40 → 2x + 30 = x + 40 → x = 10 Svar: 10 och 35 år.

15. a) x = 7 b) x = 5,5 c) x = 1,2

16. a) x = 21 b) x = 18

17. x = 1,1

18. a) v

st = b)

a

vvt

0−=

c) R = R0 (1 + × t) → 0R

R = 1 + × t →

0R

R – 1 = × t Svar: t

1R

R

0=

−

d) L/2

Tc

2

= e) 11

122

2TP

VTPV

=

19. a5

bP

−=

20. 8 750 kr

21. 300 st

22. 113,2 km/h

23. 25 g

24. a) 10,9 m/s b) 15,1 m

25. 3

26. 331

27. a) x = 6 b) x = 20 c) x = 10

28. a) x = 27 b) x = 11 c) x = 29

29. a) x = 21 b) x = 65 c) x = 40

30. a) x = 4 b) x = 5 c) x = 2,5

31. a) x = 18 b) x = 80 c) x = 15

32. a) x = 77 b) x = 100 c) x = 4

33. a) x = 1,5 b) x = 120 c) x = 119

– Facit –


34. a) x = 99 b) x = 13,5 c) x = 23

35. a) x = 4 b) x = 75 c) x = 0

36. a) x = 160 b) x = 7,5 c) x = 2,5

37. a) x = 7 b) x = 5 c) x = 4

38. a) x = 10 b) x = 6 c) x = 200

39. a) x = 7,5 b) x = 1 c) x = 2,4

40. a) x = 15 b) x = 6

41. a) x = 3 b) x = 12

42. a) x = 40 b) x = 4

43. a) 7 b) 14

44. 126 kr

45. a) x = –4 b) x = 0,5

46. a) x = –1 b) x = –2

47. a) x = –3,5 b) x = 0

48. a) x = 2,5 b) x = 0,2

49. 7,5 kg

50. a) 335 kr b) 515 kr c) 5 dagar d) 9 dagar

51. a) x = 3 b) x = 2

52. a) x = 6 b) x = 2

53. a) x = –20 b) x = 4

54. 9 år

55. a) x = 4,5 b) x = 1,5

56. a) x = 2 b) x = 0,5

57. a) x = 0 b) x = 1

58. a) –25 b) 11

59. A, B och D

60. a) 55 mål b) 41 mål

KAPITEL 5b

Massa, densitet och tryck, sidan 64

1. V = 3,75 m3

m = 3,75 × 2 400 = 9 000 kg

2. V = 5,5 m3

m = 5,5 × 1 500 = 8 250 kg

3. Finns massor av svar! Antag t.ex. att diametern är 1 m, och höjden är 15 m. V = 11,78 m3

m = 11,78 × 500 = 5 890 kg

4. Total kraft = 9 613,8 N Tryck = 2 403,45 N/m2

5. a) 53 9550 N b) 1 542 N/m2

KAPITEL 6

Procent, sidan 67–68

1. 96 %

2. a) 5

3 b) 0,6 c) 60 %

3. a) 8

3 b) 0,375 c) 37,5 %

4. a) 62,5 % b) 28,1 % c) 58,6 % d) 83,3 %

5. a) 50 % b) 20 %

6. 40 %

7. a) 42 % b) 3 % c) 30 % d) 30,5 %

8. a) 0,65 b) 0,07 c) 0,70 d) 0,703

9. a) 1/4 b) 0,25 c) 25 %

10. I a) 25

9 b) 0,36 c) 36 %

II a) 16

6 b) 0,375 c) 37,5 %

11. Hur många svar som helst!

12. a) 87,5 % b) 41,7 % c) 13,6 % d) 47,2 %

13. Persboda 9/75 = 12 % Störst! Västerstad 165/1 500 = 11 %

Promille och ppm, sidan 70–71

1. a) 0,003 b) 0,015 2 c) 0,000 002 d) 0,000 025

2. a) 1,5 ‰ av 42 000 = 0,001 5 × 42 000 = 63 b) 35 ppm av 60 000 = 0,000 035 × 60 000 = 2,1

3. Antalet födda var 12 ‰ av befolkningen.

4. 2 ppm

5. a) 7 ‰ b) 1,6 ‰ c) 12 ‰ d) 0,2 ‰

6. a) 6 ‰ b) 1,5 ‰

7. a) 0,008 b) 360 kr

8. a) 0,003 5 b) 168 kr

9. a) 190 ppm b) 31 ppm

10. a) 5 ppm b) 20 ppm

11. a) 0,000 025 b) 2 kg

12. 25 800

13. 4 ‰

14. 12 ppm

15. 0,92 g

16. 0,36 g

– Facit –


17. a) 1 promilleenhet b) 80 ‰

Procent och procentenheter, sidan 74

1. a) 5 % b) 3,5 %

2. a) Ökat med 3 procentenheter. b) Minskat med 1,5 procentenheter.

3. a) 2 procentenheter b) 25 %

4. a) 13 % b) 10 %

5. 5 procentenheter

6. a) 5 procentenheter b) 0,20 c) 20 %

7. a) 3 procentenheter b) 30 %

8. a) 1 procentenhet b) 20 %

9. a) 1 % b) 10 %

10. TV-12, eftersom det sänks med 3 % från ursprungliga 30 %, d.v.s. 3/30 = 10 %


1. a) 15 kr b) 10 %

2. a) 42 kr b) 392 kr

3. 40 %

4. 72 kg

5. a) 30 cm b) 5 %

6. a) 120 kr b) 280 kr

7. 7 20 %

8. a) 51 500 b) 49 000

9. a) 25 % b) 20 %

10. 37 800 kr

11. 3 105 kr

12. a) T.ex.: Ett par jeans kostade 620 kr, men nu har de höjt priset med 15 %. Vad är det nya priset? b) T.ex.: CD-spelaren kostade 800 kr men jag prutade ner priset med 5 %. Vad fick jag betala?


1. a) 20 % b) 60 %

2. a) 7 kr b) 616 kr

3. a) 500 b) 45 000 m

4. a) 12 % b) 1 750 kr c) 300

5. a) 340 km b) 400 c) 4,5 %

6. a) 72 kr b) 288 kr c) 25 %

7. a) 60 % b) 25 % c) 20 % d) 12 %

8. a) 0,12 b) 0,12 × 750 c) 90 kr

9. a) 24 b) 60 c) 510 d) 18

10. a) 150 b) 15 000 c) 15 000

11. a) 2 000 b) 500 c) 150

12. a) 20 % b) 8 %

13. a) 4,5 miljoner b) 18 m

14. a) 20 % b) 300 c) 75

15. a) 666 b) 25 % c) 700

16. a) 35 kr b) 72 mm c) 24,8 m d) 165 liter

17. a) 20,4 % b) 80,6 %

18. a) 12 000 m b) 384 000 kr

19. a) 60,5 % b) 504 km c) 5 000 kr

20. Han glömmer 5 hundradelar.

21. a) 76

75 eftersom det bara fattas

76

1 till en hel,

d.v.s. 100 %

b) 51

26 eftersom det är ungefär hälften, d.v.s. 50

%

c) 42

11 eftersom det är nära 1/4, d.v.s. 25 %

d) 31

3 som nästan är

10

1, d.v.s. 10 %


1. 45 %

2. 222 kr

3. 4 200 kr

4. 7,5 %

5. 8,04 d.v.s. 8 st

6. a) 150 kr b) 5 000 kr c) 0,03 d) 3 %

7. a) 0,20 b) 0,20 × 550 c) 110 kr

8. a) 540 kr b) 135 kr c) 13 500 kr d) 13 500 kr

9. 25 %

10. 644 kr

11. 5,2 %

12. 46 000 kr

13. Hur många svar som helst!

14. a) 108 % b) 235 % c) 3,6 = 360 %

15. a) 1,35 b) 2,7 c) 4,06

– Facit –


16. %500=5=15

75=

prisetGamla

prisetNya

17. 108 % av 2 400 kr = 1,08 × 2 400 kr = 2 592 kr

18. a) 109 % b) 285 % c) 375 %

19. a) 1,03 b) 2,4 c) 5,45

20. 125 %

21. 294 kr

22. a) 35 % b) 135 % c) 150 % d) 285 %

23. a) 0,76 b) 1,76 c) 1,4 d) 3,48

24. a) 80 % b) 125 % c) 225 % d) 240 %

25. a) 8

36 b) 4,5 = 450 %

26. a) 1,35 b) 1,35 × 8 400 kr c) 11 340 kr

27. a) 2,08 b) 2,08 × 12 000 kr c) 24 960 kr

28. a) 80 % b) 125 %

29. a) 12 960 kr b) 256 kr

30. a) 207 cm b) 184 cm

31. 120 %

32. C: 3 000 kr 150 % av ett tal måste vara större än talet.

33. 1,05 11/10 7/5 150 %

34. a) 0,83 b) 1,2 c) 0,95 d) 1,6

35. a) + 25 % b) – 20 %

36. a) + 3 % b) + 30 % c) + 8 % d) + 80 %

37. a) – 5 % b) – 10 % c) – 15 % d) – 40 %

38. a) – 4 % b) + 13 % c) + 65 % d) – 51 %

39. a) 1,25 b) 25 %

40. a) 0,85 b) 15 %

41. a) 0,8 b) 20 %

42. a) 0,7 b) 30 %

43. a) + 12,5 % b) – 12,5 % c) + 104,3 % d) – 29,3 %

44. 62,5 %

45. 137,5 %

46. a) 6,6 % b) 0,6 %

KAPITEL 8

Statistik och diagram, sidan 92–95

1. a) 35 % b) 21

2. a) Spanien b) Italien c) Grekland d) 50 %

3. a) 400 b) 200 c) 100 d) 100

4. a) 25 b) 30

5. a) 20 b) 200 c) 10 % d) 70 %

6. a) Båda kurvorna har sin topp för juli månad. b) I Jokkmokk är temperaturen lägst i januari och i Visby i februari. c) Störst skillnad i januari (största avståndet mellan kurvorna). Minst skillnad i juli. d) April och november har samma medeltemperatur i Visby. April och oktober har samma medeltemperatur i Jokkmokk. e) Ökningen är störst där kurvan är brantast. I Jokkmokk är största ökningen 8 °C (mars–april). I Visby är största ökningen 5 °C. (april–maj och maj–juni).

7. a) 5 b) 15 c) 10 d) 1c e) 1a och 1d

8. a) 30 b) På prov 4 c) Prov 1, 2 och 3 d) 30

9. a) Nej (8 Saab, 10 Volvo) b) Nej, lika många (10 av varje)

10. a) 8° b) 4° c) Söndag, måndag, lördag d) 4° e) Ja, tisdag

11. a) 3:e b) 2:a c) 1:a och 4:e d) 4:e e) A: 1 050 000 kr, B: 1 250 000 kr

12. a) 2,7 l/min b) 1,8 l/min c) 18 år d) 12 år och 34 år e) Mellan 12 år och 14 år

13. a) Jan, apr, maj, jun, jul, sep, okt, nov b) Feb, aug c) Mar, dec d) Högst = 110 mm, lägst = 20 mm e) Högst = 100 mm, lägst = 10 mm f) Jun, aug, sep

14. c och mp

15. a) 2,7 miljoner b) 5,2 miljoner (5,22) c) 180 000 (176 000) d) Sverige

16. a) 25 % b) 40 %

17. Ökade med 100 %.

18. a) 190 cm b) 184 cm

19. a) Medianen är 9 b) Medianen är 10

KAPITEL 9 Area, sidan 99

1. Diametern eller radien

2. dm2

3. Cirkeln: 50,3 m2, kvadraten: 50,41 m2. Svar: Cirkeln

– Facit –


4. 1,904 m2

Volym, sidan 101

1. 3,08 m3 (=3080 liter)

2. a) 10 dm3 b) 100 gånger

3. a) 2 ml b) 125 st

4. a) cylinder b) rätblock c) kon

5. a) 12,48 m3 b) 4,16 m3 c) 12,48m3

Vinklar, sidan 104–106

1. Mät med gradskiva.

2. a) 71° b) 58° c) 90° d) 44° e) 46° f) 113°

3. a) 125° b) 73°

4. 106°

5. A = 66,6° , B = 72,6°

6. B = 112°, C = 59°

7. a) 50° b) 45°

8. 29°

9. a) x = 50°, y = 80° b) x = 143°, y = 75° c) x = 70°, y = 50° d) x = 45°, y = 73°

10. A + B + C = 180 →

C + 10 + 2

10C + + C = 180 →

2,5 C + 15 = 180 → C = 66, B = 38, A = 76

(A = 2B, A = C + 10, 2B = C + 10, B = 2

10C +)

11. a) x = 27° b) x = 30°

12. x = 20. Vinklarna är 20°, 80° och 80°.

13. a) 40°, 60° och 80° b) 20°, 60° och 100°

Pythagoras sats m.m., sidan 108–112

1. 14 4302 + 11 1802 = 18 2542

Stämmer! Alltså är vinklarna räta.

2. 132 + 152 = 394 Hypotenusan är

394 19,8 (19,82 = 392,04)

3. a) Omkrets: 12,3 cm, area: 5,7 cm² (5,67) b) Omkrets: 13,3 cm, area: 8,6 cm² (8,61)

4. x = 8

5. x = 3,5

6. x = 8,5

7. a) x = 7,5 b) x = 4

8. x = 30

9. a) 8x b) 9x

10. a) 6x b) 6x + 2

11. x = 8 m

12. 26 m

13. x = 6 cm

14. Områdets area är 32 cm².

15. 48 m²

16. a) Omkrets: 19,8 cm, area: 22 cm² (22,4) b) Omkrets: 17,6 cm, area: 13 cm² (13,3)

17. a) Omkrets: 54,0 cm, area: 122 cm² (121,5) b) Omkrets: 7,8 cm, area: 2,2 cm² (2,185)

18. a) Omkrets: 19,4 cm, area: 20 cm² (20,16) b) Omkrets: 21,3 cm, area: 25 cm² (25,08)

19. a) Summan av sidornas längder b) 2 × 6,0 cm + 2 × 3,0 cm = 18 cm c) Basen × höjden d) 6,0 × 3,0 cm² = 18 cm²

20. a) Summan av sidornas längder b) 12,0 cm + 10,8 cm + 5,0 cm = 27,8 cm

c) 2

höjden×basen

d) ²cm27=²cm2

5,4×0,12

21. a) Omkrets: 7,6 cm, area: 3,6 cm² (3,61) b) Omkrets: 29 cm, area: 47 cm² (46,56)

22. a) Omkrets: 12,6 cm, area: 7,1 cm² (7,105) b) Omkrets: 16,2 cm, area: 8,6 cm² (8,58)

23. a) 2 × 8,0 cm + 2 × 4,0 cm b) 24 cm c) 8,0 cm × 3,5 cm d) 28 cm²

24. Omkrets: 17,2 cm, area: 15 cm² (15,4)

25. Baserna är lika långa och höjderna är lika långa.

26. Ex:

27. 430 m ( 200187 )

28. Ja (4002 + 5202 = 6562)

29. Ja, dörrens diagonal är drygt 221 cm.

30. 2,3 m (2,30...)

31. 5,1 m (5,14...)

32. Nej (1702 + 1252 2002)

33. Klädstrecket blir 960 cm (4 × 240,41...)

34. 1 m (98,9... cm)

– Facit –


KAPITEL 10

Trigonometri, sidan 117–124

1. a) 35/61 0,57 b) 50/61 0,82 c) 35/50 0,70

2. a) 0,57 b) 0,82 c) 0,70

3. a) tan A = 15/8 1,88 , tan B = 8/15 0,53 b) tan A = 20/21 0,95 , tan B = 21/20 1,05

4. a) sin v = 9/11 0,82 , cos v = 6/11 0,55 b) sin v = 16/34 0,47 , cos v = 30/34 0,88

5. a) 58 m b) 54 m

6. a) 41 cm b) 43 cm

7. a) 40° b) 46°

8. a) 28° b) 53°

9. 30 m (30,1)

10. 360 m (358)

11. 16°

12. 14° (14,3)

13. 1,42 m

14. 22 m

15. 1,9 respektive 3,9 m

16. a) 35 61 0,57 b) 50 61 0,82 c) 35 50 0,70

17. a) 0,574 b) 0,819 c) 0,700

18. 15,3 m

19. 283 m

20. 15 m

21. a) 34,0° b) 42,5°

22. a) 34,4° b) 66,0°

23. 22,5°

24. a) 53° b) 58°

25. a) 32° b) 39°

26. 97 mm

27. 100 m

28. 45 cm²

29. a) x = 2 × tan v b) x = q × tan v

c) vtan

q=x d)

vtan

15=x

e) 15

vtan=x f) x = 15 × tan v

30. a) De båda kateterna är lika långa.

b) Kateterna är 1 resp. 3 .

31. 2,2 m²

32. 4,5 m

33. a) Två olika värden fås på sträckan CH om den beräknas som CH = 5,35 × tan 40° eller CH = 4,05 × tan 50°. b) 5,75 m

34. a) Arean är vtan×2

a2

b) Arean är 2

vtan×a2

35. a) a 67° , b 56° b) a 32,7° , b 114,6°

36. a) v 29,5° b) v 161°

37. a) x = 19 cm b) x = 25 mm

38. a) y = 23 cm b) y = 43 mm

39. Alla tre vinkarna i triangeln är kända.

40. a) u = 37° b) u = 62°

41. a) v = 53° b) v = 28°

42. 3,1 m

43. a) x×°42tan

1=BC b) x×

°36tan

1=AC

c) x = 2 600 d) 3,9 km

44. c × sin v resp. c × cos v

45. 4,7 dm

46. a) 1,21,21

b) 31,23,21

c) 3,21,23

47. Ur figuren fås att a) sin(90° – v) = a c = cos v

b) cos(90° – v) = b c = sin v

48. a) 1 b) 1 c) 2

1

49. a) 0,213 b) 42,6 c) 7,81 d) 19

– Facit –


50. a) cm15xx

151

x

15)45tan( ===

Arean = 15 × 15 2 = 112,5 cm²

b) x)55tan(2020

x)55tan( ==

x = 20 × 1,428 x 28,56 dm

c) 7,28287,0xx

7,28)16tan( ==

100x287,0

7,28x ==

Arean = 28,7 × 100 2 = 1 435 cm² 14,4 dm²

d) Om triangeln delas upp i två lika stora rätvinkliga trianglar så kommer basen att bli 100 2 = 50 meter. Med x som höjden fås:

)64tan(50x50

x)64tan( ==

x = 102,5 m Arean = 100 × 102,5 2 5 125 m² 0,5 ha

51. a) 15

25

katet.närl

katet.motst)vtan( ==

67,1)vtan(3

5)vtan( =

v = tan–1(1,67) v 59°

b) 100

78)vtan(

50

39)vtan( ==

tan(v) = 0,78 v = tan–1(0,78) v 38°

c) För att tangens ska kunna användas måste kateterna (de två sidor som bildar en rät vinkel med varandra) vara kända. För att få den okända sidan här använder vi först Pythagoras sats:

402 + x2 = 502 1 600 + x2 = 2 500 x2 = 2 500 – 1 600 x2 = 900

900x =

x = 30

30

40)vtan( =

tan(v) 1,33 v = tan–1(1,33) v 53°

52. a) Om höjden i triangeln betecknas med x får vi:

8,80x)22tan(200x200

x)22tan( ==

Arean =200 × 80,8 2 8 080 m² 0,81 ha

b) Ur triangeln till vänster i figuren fås:

)64tan(50h50

h)64tan( ==

h 102,5

Arean av fyrhörningen fås då genom att man beräknar medelvärdet av 100 och 200 och multiplicerar med h.

Arean = (100 + 200) 2 102,5 = 150 × 102,5 = = 150(100 + 2,5) = 15 000 + 375 m² 1,54 ha

53. a) 1 cm 20 000 cm 1 cm 200 m 2 cm 400 m 4 cm 800 m Arean = 400 × 800 2 = 160 000 m² = 16 ha

Svar: 16 000 ekplantor

b) )5,0(tanv5,0)vtan(4

2)vtan( 1–===

v 26,5°

54. Vinkeln u i nedanstående triangel är hälften av den sökta vinkeln v.

)01,0(tanu01,0)utan(500

5)utan( 1–=== ⇔⇔

u 0,57° Vinkeln v som söks är dock dubbelt så stor. v 1,14°

KAPITEL 11

Likformighet och skala, sidan 128–132

1. 15 cm resp. 18 cm

2. x = 11,4 mm, y = 18,0 mm, z = 15,6 mm

3. 18 m

4. 384 000 km

5. 33,0 cm

6. a) 120x45

6090x

45

60

90

x=

==

b) 300x75

225100x

75

225

100

x===

7. 40a25

2050a

25

20

50

a===

På motsvarande vis fås: b 22, c 9, d 15

8. 200 000 cm = 2 000 m = 2 km

– Facit –


9. a) 1 000 000 cm = 10 000 m = 10 km = 1 mil b) 2,5 mil fågelvägen och 7,5 mil närmaste bilväg c) 15 m/s = 60 × 15 m/min = 60 × 60 × 15 m/h = 60 × 60 × 15 / 1 000 km/h Svar: 54 km/h

10. 120 m (117)

11. 500 cm = 5 m

12. Modellen är 5 dm lång.

13. Urtavlans diameter på affischen är 8,4 cm.

14. a) Rördiametern är 50 mm. b) Rördiametern är 5 mm.

15. a) Förminskning. På bilden är en sträcka 1/50 av vad den är i verkligheten. b) Förstoring. På bilden är en sträcka 8 gånger så lång som i verkligheten.

16. a) Mindre b) Större c) Mindre d) Större

17. a) 3 m b) 2 dm

18. 1,8 m

19. a) 6 mm b) 36 mm

20. a) Förminskas b) 5 cm 5 c) 1 cm

21. a) Förstoras b) 4 × 5 cm c) 20 cm

22. a) Större b) Mindre c) Mindre d) Större

23. a) 17 × 4 cm b) 68 cm

24. a) Mindre b) 2 cm 2 c) 1 cm

25. a) 8 cm b) 12 cm c) 1 cm d) 2 cm

26. a) 8 cm och 6 cm b) 2 cm och 1,5 cm

27. a) Större b) 20 × 1,5 cm c) 30 cm

28. 0,75 cm

29. 24,5 cm

30. Rektangeln har måtten a) 9 cm × 6 cm i skalan 3:1 b) 1,5 cm × 1 cm i skalan 1:2

31. 13,5 m × 15 m

32. Fågelvägen är 1,2 km.

33. Vägen är 33 mm på kartan.

34. 1,8 km (1,75)

35. 48 mm

36. 13 km

37. 41 mil (40,95)

38. a) 1,5 m b) 2,4 m c) 6,0 m d) 30 m

39. 12 m

40. a) 540 mm b) 216 mm c) 108 mm d) 54 mm

41. 3,6 m × 3,0 m

42. a) Skalan är 4:1 b) Skalan är 1:5

43. Kartans skala är 1:2 500

44. a) 1:2 b) 2:1

45. a) 4:1 b) 1:5

46. 1:35

47. 1:2 500 000

KAPITEL 12

Lutning, sidan 134

1. 1,5510,0xx

1,5510,0

x

1,5)27tan( =

10x510,0

1,5x

Lutningsprocenten är då ungefär 5,1 10 0,51 = 51 %

2. a) Eftersom i trianglar med små vinklar den långa kateten och hypotenusan är ungefär lika långa får vi här att den långa kateten är ungefär 1 000 m.

000108,0x08,00001

x

x 80 meter

b) 08,0)vtan(0001

80)vtan( ==

v = tan–1(0,08) v 4,5°

KAPITEL 13

Förenklingar, sidan 137

1. a) 12x – 1 b) 10x + 2 c) 2x – 1

2. a) 3x + 12 b) 5x – 10 c) 6a + 42

3. a) x2 + 6x b) x2 – 7x c) 3x2 + 4x

4. a) x2 + 5x + 6 b) x2 + 9x + 20 c) x2 + 5x – 6

5. a) x + z b) z – x

6. a) 12x2 + 3x b) 16y2 – 24y c) 15t2 – 20t

7. a) x3 + 4x2 + 5x b) x3 – x2 + 3x c) x3 – 4x2 – 8x

8. a) 6x2 – 13x – 110 b) 8y2 – 6y +1 c) 14z2 – 34z + 12

9. a) 3x3 + 8x – 1 b) 2x3 – 2x2 +x + 5

10. a) 12x3 + 7x2 – 9 b) 8x3 – 26x2 + 3x +30

– Facit –


11. x + 3 6,2

12. 12

1

6

x− 0

13. 16x + 14 6

14. –3x2 – 1 –13

Förstagradsekvationer, sidan 140

1. a) x = 13 b) x = 36 c) x = 17,5

2. a) x = 90 b) x = 8 c) x = 25

3. a) x = 8 b) x = 6 c) x = 11

4. a) x = 62 b) x = 30 c) x = 81

5. a) x = 63 b) x = 27 c) x = 314

6. a) x = 450 b) k = 2 400 c) t = 44

7. a) x = 3 b) x = –3 c) x = –4

8. a) x = 28 b) x = 4 c) x = –9

9. a) x = 14 b) x = 8,25 c) x = 1,2

10. x = –0,4

11. x = 0

Förstagradsekvationer, sidan 142

1. 9

2. a) x + 15 b) 2x c) 1,2x d) 0,9x e) 30 – x

3. Johan 400 kr, Anders 800 kr, Eva 1 600 kr

4. 267 st

5. 0,82 liter

6. 8 750 kr

7. 20 cm och 40 cm

Lösa ut variabler, sidan 144

1. a) k = 7,5 b) k = b/a c) k = c/d

2. t =s/v t = 25 s

3. r = L/2r r 4,0 cm

4. a) R =U/I R = 22 b) I = U/R I = 18,2A

5. a) H = A/b b) h = 2A/b c) h = 2A/(a + b)

6. a) hr

Ar

= r 2,07

b) r2

Ah

= h 2,23

7. a) k = y/x b) k = (y – m)/x c) k = x × y

8. a) p = kT/V b) V = kT/p c) T = pV/k

9. a) m = F/a b) m = W/c2 c) m = Fr/v2 d) m = FT2/(42r)

10. a) v0 = v – at b)

2

at

t

sv0 −=

c) v0 = 2v – v

Kvadratrötter, sidan 146

1. a) 5 cm b) 11 cm c) 8 cm

2. a) 10 b) 1 c) 4 d) 6

3. a) 2,65 b) 7,07 c) 9,33 d) 11,92

Andragradsekvationer, sidan 146

1. a) x1 = 5 x2 = –5 b) x1 = 6 x2 = –6 c) x1 = 7 x2 = –7 d) x1 = 5 x2 = –5

2. a) x1 = 8 x2 = –8 b) x1 = 3 x2 = –3

c) x1 = 2 1,414 x2 = – 2 –1,414

d) x1 = 15 3,873 x2 = – 15 –3,873

3. a) x1 = 20 4,472 x2 = – 20 –4,472

b) x1 = 4 x2 = –4

c) x1 = 18 4,243 x2 = – 18 –4,243

d) x1 = 5 x2 = –5

4. a) x1 = 40 6,325 x2 = – 40 –6,325

b) x1 = 72 8,485 x2 = – 72 –8,485

c) x1 = 128 11,314 x2 = – 128 –11,314

d) x1 = 8 x2 = –8

5. a) x1 = 10 x2 = –10 b) x1 = 12 x2 = –12

c) x1 = 512 22,627 x2 = – 512 –22,627

d) x1 = 9 x2 = –9

Allmänna andragradsekvationer, sidan 147

1. a) x1 = 2 x2 = –4 b) x1 = 2 x2 = –6 c) x1 = 2 x2 = –8

2. a) x1 = 8 x2 = 2 b) x1 = –4 x2 = –6 c) x1 = 10 x2 = 2

3. a) x1 = 9 x2 = –1 b) x1 = 1 x2 = –7 c) x1 = 3 x2 = –1

4. a) x1 = –1 x2 = –3 b) x1 = –3 x2 = –5 c) x1 = –1 x2 = –5

5. a) x1 = –1 x2 = –2 b) x1 = –2 x2 = –3 c) x1 = 6 x2 = 1

– Facit –


6. a) t1 = 3 t2 = –0,5 b) y1 = –1,5 y2 = –6,5 c) z1 = 1,6 z2 = 1,3

Fler ekvationer, sidan 149

1. a) x1 = 4 x2 = 2 b) x1 = 4 x2 = 2

2. a) x1 = –0,5 x2 = –1 b) x1 = 2 x2 = 0,5

3. a) x1 = 2 x2 = –3 b) x1 = 0,5 x2 = –1

4. a) x1 1,87 x2 –0,24 b) y1 –1,38 y2 0,15

5. a) x1 = 3 x2 = –1,4 b) x1 = 1,1 x2 = –0,9

6. a) x1 = 2 x2 = –4 b) x1 = 8 x2 = 2 c) x1 = 9 x2 = –1

7. 2 cm och 14 cm.

8. 104 cm

9. a) x = 3 b) x = 1 c) x1 = 6 x2 = 1

Negativa tal, sidan 150

1. a) 4 b) –14 c) 12 d) –8

2. a) –12 b) 50 c) –42 d) 12

3. a) –5 b) –9 c) 4 d) 7

4. a) –18 b) 20 c) –9 d) 4

5. a) 1/3 b) –1 c) 1

6. a) –2 b) –2 c) 8

7. a) m = –5 b) m = 19 c) m = –6 d) m = –5

8. a) m = –17 b) m = 15 c) m = –30 d) m = –22

Multiplicera in i parentes och lösa ut, sidan 151

1. a) 2x + 10 b) 2x – 6 c) 6x –3 d) 12x + 9

2. a) –3x – 6 b) –3x + 6 c) –10x – 30 d) –28x + 20

3. a) –5x – 45 b) 21x – 14 c) –18x – 24 d) –40x – 48

4. a) y = x b) y = –2x c) y = 3x d) y = 4x

5. a) y = 5x b) y = –3x c) y = 3x d) y = x7

3

6. a) y = –x + 3 b) y= –3x +2 c) y = x – 1 d) y = x + 5

7. a) y = x – 6 b) y = 3x + 2 c) y = 2x – 1 d) y = x + 3

8. a) y = x + 5 b) y = 0,4x – 8

c) y = –0,5x + 5 d) y = x7

2 + 3

9. a) y = 2x – 5 b) y = –3x + 13 c) y = 7x – 26 d) y = –6x – 5

Funktioner, sidan 155–156

1. a) Nej b) Ja c) Ja d) Nej

2. Definitionsmängd: –1 x < 2 Värdemängd: –2 y 2

3. a) 2 b) Nej

4. a) Nej b) Ja

5. a) x = 2, x = 5 b) 2 x 5 c) y = 2, y = 6 d) 2 y 6

6. a) –4 < x 2 b) x 0 (obegränsat intervall)

7. Funktion? Definitionsmängd Värdemängd

a) Ja –2 x < 4 –2 y < 4

b) Ja Alla x y 3

c) Nej

d) Ja –3 x < 4 –5 < y 2

KAPITEL 14

Blandad problemlösning, sidan 157–159

1. 50 g

2. 4 st

3. 8 h

4. 500

5. Burken väger 2 kg tom och 8 kg fylld

6. a) 13 × 245 b) 5 × 4 321 = 21 605

7. Antag att full tank är 60 liter. Han kommer då 960 km.

8. Antag att det går 30 pers i en buss. Då behövs 11 bussar.

9. 640 kr

10. 3 × 35 = 105 kr

11. Antag att medelhastigheten är 100 km/h = 10 mil/h. Tiden Sommarland – Bylunda 1,5 h Utflyktens tid 1,5 + 5 +1,5 = 8 h Svar: Man måste åka hemifrån kl. 10.00.

12. 3 000

13. 850 kg = 0,85 ton. Ta bil B.

14. 40 st

15. 38C

16. 5, 6, 7, 8 eller 9

17. 63 × 79

18. 600 g socker och 2 dl vatten.

19. 302 579

– Facit –


20. a) 500/20 = 25 m/s , 23,1 m/s 23 m/s b) 1 600/6 250s , 266,6 s 267 s

21. 92 000 kr

22. 48 kr

23. Bordet med 9 personer.

(10

4 i stället för

8

3)

24. 30 st

25. 4 g

26. 16,3 (16,266...)

27. 11

28. Medelvärde = 10,4 p, typvärde = 10 p

J A W e t t e r g r e n s g a t a 1 4 • 4 2 1 3 0 V ä s t r a F r ö l u n d a

T e l 0 3 1 - 7 3 4 1 1 6 0

w w w . f a s t i g h e t s a k a d e m i n . s e • i n f o @ f a s t i g h e t s a k a d e m i n . s e

de fyra räknesätten · 0,123 betyder 1 × 0,1 + 2 × 0,01 + 3 × 0,001 ordet aritmetik kommer av...

Documents