de geschiedenis van de wiskunde - museum voor de
TRANSCRIPT
De Geschiedenis van de Wiskunde
1
© A. Piens & L. Verkimpe
Deel II
Version 1.3 – mei 2016
2
‘De belangrijkste opgave voor de geschiedkundige van de wiskunde, en tevens zijn
diepste voorrecht, is de menselijkheid van de wiskunde te verklaren, haar grootheid,
schoonheid en waardigheid aan te tonen en te beschrijven hoe de nooit aflatende inzet en
het verzamelde talent van vele generaties dit groots monument hebben opgebouwd,
onderwerp van onze meest gewettigde trots als mens, en van onze verbazing,
nederigheid en dankbaarheid als individu.
Kennis van de geschiedenis van de wiskunde zal van iemand geen betere, maar wel een
menselijkere wiskundige maken ; het zal zijn geest verrijken, zijn hart verwarmen en zijn
bekwaamheden verruimen.’
‘The main duty of the historian of mathematics, as well as his fondest privilege, isto explain the humanity of mathematics, to illustrate its greatness, beauty, anddignity, and to describe how the incessant efforts and accumulated genius of manygenerations have built up that magnificent monument, the object of our mostlegitimate pride as men, and of our wonder, humility and thankfulness, asindividuals. The study of the history of mathematics will not make bettermathematicians but gentler ones, it will enrich their minds, mellow their hearts,and bring out their finer qualities.’
George Sarton (Gent, 1884 – Cambridge, Ma, 1956)
3
De Geschiedenis van de Wiskunde
Deel I 1. Vroegste sporen van mathematisch denken
2. Wiskunde in de 4 Riviervalleien
Deel II 3. De Wiskunde van het Antieke Griekenland
Deel III 4. De Indische Wiskunde
5. De Arabische Wiskunde
6. De Wiskunde in het Latijnse Westen tijdens onze middeleeuwen
7. Wiskunde in het Europa van de Renaissance (15e en 16e eeuw)
Deel IV 8. Wiskunde in Europa tijdens de Wetenschappelijke Revolutie : 1550 – 1700
Deel V 9. Wiskunde tijdens de Verlichting (18e eeuw)
Deel VI 10. Van generalisten tot specialisten : de wiskunde van de 19e eeuw
Deel VII 11. Wiskundige structuren en nadruk op strengheid : vanaf ca. 1870
Deel VIII 12. Accenten van de wiskunde van de 20e eeuw
De Wiskunde van het Antieke GriekenlandRaphael – School van Athene (1509/10)
4
De Wiskunde van het Antieke Griekenland : wie is wie ?
5
Klassieke (Griekse) periode 600 BCE – 300 BCE
6
Acropolis met Parthenon
Historische Context
7
• via hun nederzettingen in het oostelijk Middellandse Zee-gebied assimileerden de klassieke Grieken
de wiskundige kennis ven de Egyptenaren en de Mesopotamiërs
• vooral meetkundige verworvenheden uit het klassieke Egypte
• rekenkundige (pre-algebra) elementen uit Mesopotamië
• van de Griekse periode tot ca.400 BCE omzeggens geen oorspronkelijke mathematische documenten bekend
• de klassieke Grieken introduceerden de axiomatische methode in de wiskunde :
• nauwkeurige definities
• een aantal algemeen geaccepteerde axioma’s
• door deductieve redenering (bewijsvoering) logisch verklaarde fenomenen (stellingen, formules, ...)
Het Griekse talstelsel
Voorbeelden van het attisch stelsel:
8
32
544
' 2000
' 4555
M' 54555
v
v
Attisch (acrophonisch)
• duizendtallen : ‘, ‘, ‘, ...
• tienduizendtallen : M, M, M, ....
• honderdmiljoentallen : : G, G, G,
• griekse talstelsels waren additief, niet-positioneel
• het attisch stelsel, gebruikt tijdens het 1e millenium BCE, oorspronkelijk in Athene
• en met kleine variaties ook in de andere klassiek griekse stadsstaten
• vanaf de 5e eeuw BCE langzaam vervangen door het ionisch stelsel, ontwikkeld in Milete
• algemeen gebruikt vanaf de 1e eeuwBCE
Ionisch (alfabetisch)
3807
5678
Voorbeelden van het ionisch stelsel
Het Antieke Middellandse Zee gebied264 BCE
na Alexander de Grote
9
Het Antieke Griekenland
10
Het Antieke Griekenlandde eilanden in de Egeïsche Zee
Thasos
Lesbos
Chios
Delos
Samos
Mykonos
Naxos
Kos
Cnidus
Santorini
Rhodes
Kreta
11
Magna Graeciavanaf 8e eeuw BCE
12
Magna Graecia bestaat uit
nederzettingen van Griekse
emigranten in de
kuststreken van Zuid-Italië
en Sicilië, vanaf de 8e tot de
5e eeuw BCE.
Zo werd de Griekse cultuur
in het Romeinse Rijk
geïntroduceerd.
Tijdens de 3e eeuw BCE
werd Magna Graecia door
de Romeinse Republiek
geabsorbeerd.
De 3 grote problemen
van de klassieke Griekse wiskunde
• de Grieken (cfr. Pappus, 4e eeuw) rangschikten de wiskundige problemen volgens de oplossingsmethode
• vlakke : indien ze konden worden opgelost met passer en liniaal
• ruimtelijke : indien ze konden worden opgelost met kegelsneden
• lineaire : indien ze konden worden opgelost met meer ingewikkelde krommen, zoals spiralen,
....
• met passer en liniaal (vlakke methode) slaagden ze er niet in 3 problemen op te lossen :
• de verdubbeling van de kubus
• de trisectie van de hoek
• de kwadratuur van de cirkel
• slechts in de 19e eeuw werden bewijzen voor de onoplosbaarheid gegeven :
• de verdubbeling van de kubus - Pierre Wantzel in 1837
• de trisectie van de hoek – Pierre Wantzel in 1837
• de kwadratuur van de cirkel – Ferdinand von Lindeman in 1882
13
• pre-Socratische natuurfilosoof, mathematicus, astronoom, fysicus, ....
• stichtte de ‘School van Milete’
• 2 filosofische praemissen :
1. conclusies omtrent het universum louter baseren op het universum zelf
2. opvattingen steeds staven aan de hand van argumenten
• Stelling van Thales (1)
• Stelling van Thales (2)
Zijn A,B,C punten van een cirkel O
en AC is een diameter, van dezelfde cirkel,
dan is de hoek B een rechte hoek
Thales van Mileteca. 625 BCE – ca. 545 BCE
' ' '' ' ' ' ' '
AB BC ACAA BB CC
A B B C A C
14
Pythagoras van SamosSamos, ca. 570 BCE – Metapontum, 495 BCE
• geboren op het Griekse eiland Samos, nabij Milete
• zou veel gereisd hebben in het Nabije Oosten en Egypte
• ca. 530 BCE verbannen uit Samos, uitgeweken naar Crotone (Calabria)
• verzamelde een grote menigte volgelingen voor zijn levensfilosofie
• opstanden tegen zijn volgelingen deden hem uitwijken naar Metapontum
• overleed ca. 495 BCE in Metapontum (volgens de legende, in zijn door tegenstanders in brand gestoken school)
• heeft geen geschriften nagelaten
• onze kennis is gebaseerd op, dikwijls tegenstrijdige, informatie,gepubliceerd vele eeuwen na zijn dood
15
• na zijn verbanning uit Samos, stichtte Pythagoras in Crotone zijn vermaarde filosofische school.
• Pythagoras was het hoofd van een een groep volgelingen, de ‘mathemaiko’ (zowel mannen, als vrouwen)
• zij leefden permanent binnen de muren van de 'gemeenschap’, zonder eigen bezittingen en volgden strakke regels
het wezen van alles is wiskunde
filosofie kan helpen bij het bereiken van geestelijke zuiverheid
de ziel doorloopt een reeks van reïncarnaties en kan tenslotte één worden met het goddelijke
bepaalde symbolen bezitten een mystieke betekenis
onderling strikte loyaliteit moet worden betoond
• na 510 BCE kreeg de gemeenschap moeilijkheden omdat ze werd aanzien als een geheim genootschap en als sekte
• vanaf 460 BCE werd de gemeenschap politiek getint en de leden werden vervolgd
Merkwaardigheden
noch vlees, noch vis eten
geen bonen eten
het brood niet breken
niets oprapen wat gevallen was
geen vuur aanwakkeren met ijzer
sporen van je lichaam in de bedlakens bij het opstaan verwijderen
Verdiensten
• het belang van een exacte deductieve bewijsvoering
• niet alle getallen zijn meetbaar (bestaan van irrationale getallen)
Belangrijke Pythagoreeërs
• Hippasus van Megapontum : irrationaliteit van √2
• Philolaus van Crotone : over priemgetallen
• Democritos van Abdera ; atomistische theorie ; het heelal is samengesteld uit fysisch ondeelbare atomen
Pythagoras en de Pythagoreërs
16
De Pythagorische kwestie
Doorheen de historisch twijfelachtige ophemeling
de werkelijke betekenis van de figuur Pythagoras doorgronden
Waarom de twijfel :
Pythagoras heeft niets geschreven : de kennis van zijn ideeën werd volledig afgeleid uit geschriften van derden
over Pythagoras bestaat geen waardevol geschrift van de hand van een tijdgenoot
de vroegst bekende gedetailleerde notities dateren van 150 jaar na zijn dood en zijn zeer fragmentair
deze fragmenten verschillen van elkaar op significante zaken
de eerste volledig bewaarde berichten dateren van de 3e eeuw na Christus, toen Pythagoras in sommige kringen
reeds werd beschouwd als de meester-filosoof, de vader van de Griekse filosofische traditie
recente studies (vanaf 1960) gaan terug naar eerdere bronnen, zoals geschriften van Aristoteles en Plato
Recente opvattingen :
Pythagoras als filosoof
• de ziel is onsterfelijk, transmigreert in andere diersoorten, alvorens terug te keren onder menselijke gedaante
Pythagoras als wonderdokter
• een man met grote intelligentie en uitgebreide kennis, die merkwaardige daden verrichtte
Pythagoras’ levenswijze
• sterke binding aan religieuze rituelen, nadruk op scherp dieet, naleving van arbitraire taboe’s, respect voor vrouwen
Pythagoras als wiskundige
• het belang van een exacte deductieve bewijsvoering
• niet alle getallen zijn meetbaar (zijn rationaal)
• was zeker niet de meester-meetkundige, maar erkent wel een aantal meetkundige relaties als belangrijk
• niet de ontdekker van de vermaarde, naar hem genoemde, meetkundige stelling
cfr. Hoffman, Carl, - Pythagoras - The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall Edition), Edward N. Zalta (ed.)
cfr. Burkert, Walter - Lore ans Science in Ancient Pythagoreanism -1972 - Harvard University Press
17
Zeno van EleaElea, ca. 490 BCE - Elea, ca. 425 BCE
• geboren in Elea, Griekse nederzetting in Magna Graecia (Zuid-Italië)
• behoorde tot de Eleatische pre-Socratische filosofische School van Parmenides,
• samen met Parmenides ontmoette hij Socrates in Athene
• veroordeeld tot de doodstraf na mislukte moordpoging op de tiran van Elea
• volgens Aristoteles was Zeno de uitvinder van de dialectiek
Een paradox is een ogenschijnlijk tegenstrijdige situatie, die lijkt in te gaan tegen ons gevoel voor logica, onze verwachting of
onze intuïtie.
Ogenschijnlijk, omdat de vermeende tegenstrijdigheid veelal berust op een denkfout of een verkeerde redenering.
Zeno’s paradoxen
Dichotomie
Volgens deze redenering is het onmogelijk om een afstand te overbruggen. Als je een afstand wil overbruggen, moet je eerst de helft van die
afstand overbruggen. Maar om dat te doen moet je eerst de helft van die afstand overbruggen en ook voor die helft eerst een helft overbruggen.
Conclusie van Zeno : men kan onmogelijk de gegeven afstand afleggen.
Achilles en de schildpad
De snelvoetige Achilles gaat een wedstrijd aan met een schildpad. Omdat Achilles zeker is dat hij zal winnen, krijgt de schildpad een voorsprong.
Achilles zal echter de schildpad nooit inhalen. Immers, wanneer Achilles het punt A bereikt waar de schildpad kort tevoren was, is de schildpad
inmiddels verder gekropen naar punt B. Arriveert Achilles op dit punt B, dan is de schildpad intussen weer wat verder gekropen naar punt C, enz. ...
Conclusie van Zeno : de achterstand wordt kleiner, maar Achilles haalt de schildpad nooit in.
18
Paradox
Een paradox is een ogenschijnlijk tegenstrijdige situatie, die lijkt in te gaan tegen ons gevoel voor logica, onze verwachting of
onze intuïtie. Ogenschijnlijk, omdat de vermeende tegenstrijdigheid veelal berust op een denkfout of een verkeerde redenering.
19
Het verhaal
De snelvoetige Achilles gaat een wedstrijd aan met een schildpad. Omdat Achilles absoluut zeker is dat hij zal winnen, krijgt de schildpad
een voorsprong. Maar hoe klein die voorspong ook is, Achilles zal de schildpad nooit inhalen. Immers, wanneer Achilles het punt A bereikt
waar de schildpad kort tevoren was, is de schildpad inmiddels verder gekropen naar punt B. Arriveert Achilles op dit punt B, dan is de
schildpad intussen weer wat verder gekropen naar punt C, enzovoorts. Conclusie van Zeno: de achterstand wordt kleiner, maar Achilles
haalt de schildpad nooit in. In werkelijkheid haalt Achilles de schildpad natuurlijk wel in.
De paradox
Stel de schildpad krijgt 1000 meter voorsprong, Achilles loopt 100 meter in 10 seconden en tien keer sneller dan de schildpad :
De termen (laatste kolom) 100, 10, 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, .... zijn opeenvolgende termen van een onieindige meetkundige rij
met reden 1/10 , waarvan de eerste term 1000 is
Achilles en de schildpad
tijdstip afstand
Achilles
(m)
afstand
schildpad
(m)
voorsprong
schildpad
(m)
tijd (s)
t0 0 0 1000 0
t1 1000 100 100 100
t2 100 10 10 10
t3 10 1 1 1
t4 1 0.1 0.1 0.1
t5 0.1 0.01 0.01 0.01
t6 0.01 0.001 0.001 0.001
t7 0.001 0.0001 0.0001 0.0001
11 ( )
1 100010lim[100* ] 100*1 9 9
1 ( ) ( )10 10
n
tn
S
Achilles haalt de schildpad in na 111 1/9 seconden.
d.w.z. na een ren van 1111,111... meter
20
De Grieken wisten nog niet dat dat de som van
een oneindig aantal termen toch eindig kan zijn.
Hippocrates van ChiosChios, ca. 470 BCE - ..., ca. 410 BCE
• gaf de eerste bewijsvoering uit ongerijmde (reductio ad absurdum)
• Hippocrates herleidde het probleem van de verdubbeling van de kubus tot :
• het vinden van twee lijnstukken x en y,
die zich verhouden tot twee gegeven lijnstukken a en b alsa x y
x y b
21
De maantjes van Hippocrates
• de maantjes waren een onderdeel van zijn opzoekingen naar de kwadratuur van de cirkel
• een maantje is een vlakke figuur begrensd door twee cirkelbogen
De klassieke Griekse filosofie
• de klassieke Griekse filosofie tijdens het laatste millenium BCE kende een merkwaardige ontwikkeling :
de mythologische periode
de kosmologische periode (Thales van Milete, Anaximander, Parmenides)
de antropologische periode (Socrates en de sofisten)
de systematische periode (Plato, Aristoteles)
• het accent verschoof geleidelijk :
goden natuur mens
AristotelesStageira, 384 BCE – Chalkis, 322 BCE
PlatoAthene, 428 BCE – Athene, 348 BCE
SocratesAthene, 470 BCE – Athene, 399 BCE
22
PlatoAthene, 437 BCE – Athene, 347 BCE
• zijn werkelijke naam zou Aristocles geweest zijn ; maar werd wegens zijn lichaamsbouw Plato, ‘de brede’, genoemd
• de eerste helft van zijn leven was hij in legerdienst, of reisde in Egypte, Sicilië en Italië
• door mistoestanden in de Atheense politiek en de executie van Socrates (399 BCE) verkoos hij zijn filosofisch werk
• in 387 BCE stichtte hij de Akademia, met accenten op de studie en de research van
• het trivium (grammatica, logica, retorica)
• het quadrivium (rekenkunde, meetkunde, muziek, astronomie)
• zijn geschriften waren geen systematische handboeken, maar werden opgevat als ‘Dialogen’ :
• o.a. de Republiek, Theaetetus, Timaeus, ....
• de belangrijkste wiskundigen uit de 4e eeuw BCE waren leerlingen van Plato : Archytas, Eudoxus, ...
Timaeus.
• een dialoog van Plato, waarin hij zijn natuurfilosofie uiteenzet
• hij gaat er van uit dat het kleinste deeltje van elk element een welbepaalde
geometrische vorm bezit, nl. één van de platonische veelvlakken
• bovendien poneert hij het bestaan van een 5e element, de quintessens (de kosmos)
Akademia
vuur
lucht
aarde
water quintessens
Het opschrift boven de ingang van de Akademia :
’Laat niemand, met een afkeer
voor meetkunde, hier binnentreden’
23
De Platonische veelvlakken
• de Pythagoreërs kenden de tetrahedron, de kubus en de dodecahedron
• de Griekse wiskundige Theaetetus, Athene, 417 BCE – Athene, 369 BCE , (een tijdgenoot van Plato),
• ontdekte de octahedron en de icosahedron
• gaf een bewijs dat dit de enige convexe regelmatige veelvlakken zijn
• Boek XIII van de Elementen van Euclides is gebaseerd op deze theorieën
Een convex veelvlak is een Platonisch veelvlak als en slechts als
alle zijvlakken congruente regelmatige veelhoeken zijn
de zijvlakken elkaar slechts snijden in de ribben
in elk hoekpunt even veel zijvlakken samenkomen
24
Naam tetraëder hexaëder octaëder dodecaëder icosaëder
Zijvlakken gelijkzijdige
driehoeken
vierkanten gelijkzijdige
driehoeken
Gelijkzijdige
vijfhoeken
gelijkzijdige
driehoeken
Aantal zijvlakken
(F)
4 6 8 12 20
Aantal ribben
(E)
6 12 12 30 30
Aantal hoekpunten
(V)
4 8 6 20 12
Schäfli-symbool (3,3) (4,3) (3,4) (5,3) (3,5)
Platonische veelvlakken - basiskenmerken
p = aantal zijden van elk zijvlak
q = aantal samenkomende ribben in elk hoekpunt
pF = 2E = qV
V – E + F = 2
25
De laatste identiteit is gekend als de ‘identeiteit van Euler’,
werd echter in 1619 ontdekt door Descartes
Ontwikkeling van de Platonische veelvlakken
tetraëder
kubus
octaëder
icosaëderdodecaëder
26
ArchytasTarentum, 428 BCE – Tarentum, 347 BCE
• volgeling van Pythagoras, in Tarentum (Zuid-Italië), leraar van Eudoxus van Cnidus
• een vriend van Plato, maar tevens competitieve collega in het debat over de waarde van de wetenschap voor de filosofie
• stuurde in 361 BCE een schip naar Syracuse om Plato te redden uit de handen van de tiran Dionysius II
• was de politieke leider in Tarentum
• Archytas leverde belangrijke bijdragen aan de theorie van mechanica, optica en akoestiek
• hij vond tevens een oplossing voor de verdubbeling van de kubus (maar niet met passer en liniaal)
27
Eudoxus van CnidusCnidus, ca. 408 BCE – Cnidus, ca. 350 BCE
• studeerde wiskunde bij Archytas, (volgeling van Pythagoras, in Tarentum (Zuid-Italië))
• volgde filosofie bij Plato in diens Academie in Athene
• verbleef 16 maanden in Egypte en studeerde astronomie bij de priesters van Heliopolis
• in Cyzicus aan de zuidkust van de Zee van Marmara stichtte hij een succesvolle school
• ca. 368 BCE keerde hij terug naar Athene waar zijn school een concurrent van Plato’s school werd
• na zijn terugkeer naar Cnidus werd hij door het volk als wethouder aangesteld
• zijn werken gingen verloren, maar werden dikwijls vermeld door andere bronnen, o.a. door Hipparchus
Redentheorie van Eudoxus
• wiskundigen kregen problemen wanneer zekere hoeveelheden niet door een rationaal getal konden worden uitgedrukt
• bij voorbeeld, de lengte van de diagonaal van een vierkant met zijde 1 .
• Pythagoras beperkte zich tot verhoudingen die als een rationaal getal (ratio van 2 gehele getallen) worden uitgedrukt
• in zijn Theorie der verhoudingen (Redentheorie) breidde Eudoxus het begrip verhouding uit tot irrationale getallen
• in boek V van de Elementen wordt door Euclides deze theorie beschreven
Cyzicus
Cnidus
28
Hellenistische periode300 BCE – 400 CE
Mouseion van AlexandrIë
29
Alexandrië
Het Mouseion en de Bibliotheek
C. Sagan’s reconstructie voor Cosmos Reeks
• opgericht in 332 BCE door Alexander de Grote als Hellenistisch centrum in Egypte
• blijft de hoofdstad van Egypte tot de verovering door de Muzelmannen in 641 CE
• bekend zijn o.a.
de vuurtoren op het eiland Pharos,
o gebouwd ca. 270 BCE,
o 140 m hoog, verdeeld in 3 secties,
een vierkante basis van 8.5 m x 8.5 m
een octogonale middensectie
een ronde spits
o reikwijdte van 47 km
o was één van 7 antieke wereldwonderen
het mouseion, de bibliotheek en het Serapeion (tempel)
o opgericht gedurende het bewind van Ptolemaios I
o internationaal centrum van geleerdheid in de 3 eeuwen BCE
o academie, onderzoekscentrum en bibliotheek
o beschikte over een verzameling van 500 000 à 700 000 papyri
o er was tevens een dochterbibliotheek, het Serapeion
De teloorgang van de bibliotheek
o in 48 BCE, tijdens het bewind van Cleopatra, wordt een deel verwoest door
het leger van J. Ceasar ; Marcus Antonius schenkt echter de 200 000 papyri van
de bibliotheek van Pergamon als huwelijksgeschenk aan Cleopatra
o in 272 wordt het oorspronkelijk mouseion vernietigd door keizer Aurelianus
o in 391 volgens decreet van Theodosius werden alle papyri van het Serapeion
verbrand
o in 641 volgt de totale vernietiging bij de inval van de Muzelmannen
De vuurtoren van Pharos
volgens H. Thiersch (1909)
30
Euclides van Alexandriëca. 300 BCE
Vader van de Meetkunde
Euclides
Sculptuur van Joseph Durham
Oxford University Museum of Natural History
• meest prominente wiskundige uit de Oudheid
• van zijn leven is enkel bekend wat Proclus (410-485) schreef
• actief tussen ca. 325 BCE en ca. 250 BCE
• werkzaam in de bibliotheek van Alexandrië, tijdens het bewind van Ptolemaios I
• was de samensteller van
Elementen, over meetkunde en getallentheorie
Phaenomena, over sferische sterrenkunde
Optics, over perspectief
Waarvoor staat Euclides ?
• een concreet historisch personage (?)
• de leider van een groep wiskundigen, die de ‘Elementen’ samenstelden (?)
• de schuilnaam voor een groep wiskundigen, die collegiaal samenwerkten (?)
31
Vlakke meetkunde
Boek 1: Fundamenten van de meetkunde: eigenschappen van driehoeken, parallellen en
oppervlakte
Boek 2: Geometrische algebra
Boek 3: Eigenschappen van cirkels
Boek 4: Constructie van veelvlakken in cirkels
Verhoudingen
Boek 5: Eigenschappen van verhoudingen
Boek 6: Gelijkvormigheid en verhoudingen binnen de meetkunde
Boek 7: Fundamenten van de getallenleer
Boek 8: Verdere getallenleer
Boek 9: Verdere getallenleer, even, oneven en priemgetallen
Boek 10: Irrationale groottes
Ruimtemeetkunde
Boek 11: Ruimtemeetkunde
Boek 12: Berekening van inhouden van ruimtelijke figuren
Boek 13: Regelmatige ruimtelijke figuren
Elementen van Euclides4e / 3e eeuw BCE
De Elementen is een meetkundig en rekenkundig verzamelwerk, bestaande uit dertien boeken, geschreven door de
Hellenistische wiskundige Euclides te Alexandrië in het begin van de 3é eeuw BCE. Hierin verzamelde en formaliseerde hij
468 wiskundige bewijzen, die eerder reeds door andere wiskundigen waren bewezen. Elk boek bestaat uit twee delen:
definities (138 in totaal).
theorema’s (468 in totaal) en de bewijzen ervan met behulp van definities en eerdere bewezen theorema's.
In het eerste boek komen ook nog vijf postulaten en vijf algemeenheden voor. Voor de meetkundige bewijzen mogen passer en
(niet-gegradeerde) liniaal worden gebruikt.
32
1. Twee punten kunnen verbonden worden door een rechte lijn
2. Elke rechte lijn kan eindeloos als rechte lijn uitgebreid worden
3. Elk lijnstuk kan de straal zijn van een cirkel met een van de uiteinden van dat lijnstuk als middelpunt
4. Alle rechte hoeken zijn congruent.
5. Als twee lijnen een derde lijn zo snijden dat de som van de binnenhoeken aan een kant kleiner is dan twee
rechte hoeken, dan moeten deze twee lijnen elkaar onvermijdelijk snijden als ze genoeg verlengd worden.
Euclides gaat uit van vijf ‘gemeenschappelijke begrippen’ :
• dingen, die gelijk zijn aan hetzelfde ding, zijn gelijk aan elkaar.
• als gelijken worden opgeteld bij gelijken, dan zijn gehelen aan elkaar gelijk.
• als gelijken worden afgetrokken van gelijken, dan zijn resten aan elkaar gelijk.
• dingen die met elkaar samenvallen, zijn aan elkaar gelijk.
• het geheel is groter dan het deel.
en leidt alle theorema’s af uit viijf postulaten
Postulaten zijn als grondslagen aanvaarde, niet-bewezen, beweringen, die
• niet met elkaar in tegenspraak zijn
• niet uit elkaar kunnen worden afgeleid (onafhankelijk zijn van elkaar)
De basis van de Euclidische Meetkunde
33
Euclides’ Elementen door de eeuwen heenvan het origineel manuscript tot de eerste druk
Alexandrië
(ca. 325 BCE)
Bagdad
(ca. 750)
Constantinople
(ca. 400)Toledo
(ca. 850)
Bath
(1142)
Venetië
(1482)
34
Euclides’ Elementen door de eeuwen heenEen overzicht .....
• ca. 325 BCE worden de ‘Elementen’ door Euclides samengesteld
• het vroegste papyrus fragment, ca. 75 – 125, over de Elementen, werd in 1896 gevonden bij opgravingen in Oxyrhynchus
o het fragment bevat tekst van Boek 2, theorema 5o Oxyrhynchus was de 3e Egyptische stad tijdens de Hellenistische periode, 250 km ten zuiden van Alexandrië
• Pappus van Alexandrië (ca. 290 –ca. 350) en Proclus (Constantinopel, 412 – Athene, 485) bespreken uitvoerig de ‘Elementen’
• Theon van Alexandrië (ca. 335 – ca. 405) maakt, samen met zijn dochter Hypatia, een Griekse bewerking van de ‘Elementen’
• in de Keizelijke Bibliotheek van Constantinople (ca. 350 – 1204) werden manuscripten van de ‘Elementen’ bewaard
• twee manuscripten uit Byzantium met de griekse tekst van de Elementen bereikten Bagdad :
o een eerste, ca. 750, tijdens een diplomatieke missie van kalief Al-Mansur (714 – 775) aan de Byzantijnse keizer de Griekse tekst werd vertaald in het Arabisch door Al-Hajjaj voor kalief Harun al-Rashid (763 – 809) en herwerkt, ca. 820, door Al-Hajjj voor diens zoon, kalief Al-Ma’mun (786 – 833)
o een tweede, ca. 825, tijdens een diplomatieke missie van kalief Al-Ma’mun de Griekse tekst werd vertaald in het Arabisch door Ishaq-ibn-Hunaynen hrzien door Thabit ibn Quarrah
• een Grieks manuscript uit ca. 830 – 850 wordt door F. Peyrard in 1808 ontdekt in de archieven van het Vaticaan (Vatic. Graecus 190)
• de Arabische cultuur bloeit open in Cordoba onder de Abd’al-Rahman dynastie (vanaf 773) ; bibliotheek van Toledo (ca. 850)
• een manuscript uit 888 van de ‘Elementen’ wordt ontdekt in de verzameling van de Amsterdammer J.Ph. D’Orville (1690 -1751)
• ca. 1142 verzorgt Adelard of Bath (ca. 1080 – 1152) een latijnse vertaling van de Al-Hajjaj’s ‘Elementen’
• ca. 1170 maakt Gerard van Cremona (ca. 1114 – 1187) in Toledo (Escuela de Traducores) een latijnse vertaling van de ‘Elementen’
• in 1482 publiceert E. Ratdolt in Venetië de eerste gedrukte editie van de Latijnse versie
• in 1883-188 stelt J.L. Heiberg een nieuwe en definitieve Griekse tekst samen
35
Euclides’ Elementen door de eeuwen heenDe eerste manuscripten
MS Vaticanus Graecus 190
ca. 830 – 850
wijkt af van de Griekse tekst van
Theon van Alexandrië
Ontdekt in 1808 in het Vaticaan
door F. Peyrard,
bekend als Heiberg-manuscript,
basis voor moderne edities
Papyrus Oxyrthynchus 0029
Oudste fragment, 75 à 125 CE,
Boek II, theorema 5
ontdekt in 1896-736
• in de oudste manuscripten is er geen vermelding van de naam Euclides
• dikwijls wordt verwezen naar ‘volgens de tekst van Theon’
• ook het oudst ekende manuscript MS Vaticanus Graecus 190 bevat geen naam
• Proclus in zijn commentaar op de Elementen verwijst naar Euclides als schrijver
Euclides’ Elementen door de eeuwen heenManuscript d’Orville 301
888
MS d’Orville 301,
888
Griekse tekst van
Stephanos (genoemd ‘de klerk’)
naar de Griekse tekst
van Theon van Alexandrië
in de Bodleian Library,
Universiteit van Oxford
Jean-Philippe d’Orville
Amsterdam, 1690 - Amsterdam, 1751
37
• de griekse tekst naar Theon bevat een aanvulling bij boek 6, stelling 33 :
‘sectors van gelijke cirkels verhouden zich als hun (middelpunts-)hoeken’
38
Euclides’ Elementen
door de eeuwen heenManuscript Thurston 11
1238
Een copie van de arabische vertaling van
Euclides’ Elementen
door Ishaq bin Hunay,
en herzien door Thabit ibn Qurrah
(copie uit 1238)
Euclides’ Elementen door de eeuwen heende eerste latijnse vertaling
Adelard of BathBath, ca. 1080 – Bath, ca. 1152
• afkomstig uit de omgeving van Bath
• studeerde in Tours en gaf les in Laon van 1100 tot 1109
• reisde daarna door het Middellandse zee gebied (Salerno, Sicilië, Turkijë, Syrië en Palestina)
• terug in Bath vertaalde hij Arabische wetenschappelijke teksten in het Latijn
• voltooide in 1142 de eerste Latijnse vertaling van de ‘Elementen’ van Euclides
• er worden hem 3 versies van de vertaling, waarvan slechts de eerste met zekerheid, toegeschreven
• was één der eerste om het Hindu-Arabisch talstelsel te introduceren in West-Europa
Bath
Frontispice van een manuscript
van Adelard’s ‘Elementen’
ca. 1310 39
Adelhard of Bath’s latijnse vertaling
uit het Arabisch van Euclides’ ‘Elementen’
copie uit 1480 met uitvergrote details
Euclides’ Elementen door de eeuwen heende eerste latijnse vertaling
Adelard of BathBath, ca. 1080 – Bath, ca. 1152
40
Euclides’ Elementen door de eeuwen heenEerste gedrukte uitgave
1482 – E. Ratdolt, Venezia
• eerste gedrukte editie door E. Ratdolt, 1482
• tevens eerste belangrijk gedrukt wiskundig werk
• naar een latijnse vertaling uit het arabisch door Adelard of Bath
• met commentaar uit de vertaling van Campanus van Novara van 1255
• er werd tevens een, met de hand gekleurde luxe-editie, uitgegeven
• tot 1560 verschenen 14 edities van dit werk
Eerste pagina van de handgekleurde editie
41
Euclides’ Elementen door de eeuwen heen1509 – P. De Paganinis, Venezia
• gedrukte editie in het Latijn, uit 1509, door P. De Paganinis, naar B. Zamberti, bewerkt door L. E Pacioli
• opmerkelijk om de duidelijke figuren in de ruime marge, maar blijkbaar nog verwarring over Euclides, hier van Megara
42
Euclides’ Elementen door de eeuwen heenDe eerste franse en duitse editie
Eerste Franse editie van Pierre Forcadel
van de 6 eerste boeken
Uitgave van De Marnef en Cavellat, Parijs
1564
Eerste Duitse editie van Wilhelm Holtzman
van de 6 eerste boeken
Uitgave van Jacob Kuendig, Basel
1562
43
Euclides’ Elementen door de eeuwen heenDe eerste engelse editie
1570
• de eerste engelstalige editie van de ‘Elementen’ werd geschreven door Henry Billinsley
• verscheen in 1570 in Londen , met een voorwoord van John Dee, consultant van koningin Elisabeth I
• noteer de verwarring ‘Euclide of Megara’frontispice
44
Euclides’ Elementen door de eeuwen heenDe eerste nederlandse uitgave : de 6 eerste boeken
1609
De ses eerste boucken
Euclides,
van de beginselen ende fonda--
menten der geometrie.
Waer by ghevoecht zijn eenighe nutticheden uyt de selve boecken
ghetrocken; Mitsgaders de specien in Geometrische figueren
als 't maken, veranderen, 't samen-voughen, aftrecken,
Vermenichvuldighen ende deelen.
Overgheset verclaert, ende uytgheleyt, tot vorderinghe, ende
oeffeninghe, van alle leergierighe, liefhebbers der selver vryer Conste.
Door
Ian Pieterszoon Dou,
der Stadt Leyden Landmeeter ende Wijnroeyer. ...
Jan Pietersz. DouLeiden, 1572/3 – Leiden, 1635
• landmeter te Leiden
• bewerkt de 6 eerste boeken van de ‘Elementen’
• gebaseerd op de franse en duitse vertalingen
• uitgegeven in 1606
• in 1623 onterecht verdacht van medewerking aan
complot tegen prins Maurits
45
Euclides’ Elementen door de eeuwen heenDe eerste complete nederlandse uitgave
1617
Frans van Schooten (de oudere)Nieuwkerke (W.-Vl.), 1581 – Leiden, 1646
• in 1583 vluchtten zijn ouders naar Nederland wegens de godsdienstoorlogen
• in 1610 de opvolger van Ludolf van Ceulen aan de Ingenieursschool, Leiden
• zijn complete Nederlandstalige versie van de ‘Elementen’ verscheen in 1617
DE PROPOSITIEN
vande xv. Boucken der
Elementen
Euclidis
Overgeset en tsamenghestelt, met
corte verclaringen sommiger
propositien,
Door
F.V. Schooten Professor
Matheseos tot Leyden.
Tot Leyden
By Govert Basson, 1617
46
Archimedes van SyracuseSyracuse, ca. 287 BCE – Syracuse, ca. 212 BCE
• leefde tijdens de 3e eeuw BCE in het Siciliaanse Syracuse
• belangrijkste wetenschapper uit de antieke periode
• hij schreef zijn werken in het Dorisch Grieks, het dialect van het oude Syracuse
• grote delen van zijn werk werden in 1906 gevonden in de Archimedes Palimpsest
• legde de grondslagen van de statica en de hydrostatica
• ontdekte het principe van de hefboom
• gebruikte de exhaustieve methode bij zijn benadering van het getal Π
• vermoord bij de verovering van Syracuse tijdens de tweede Punische Oorlog
• de Romeinse bevelhebber Marcellus had zijn soldaten gevraagd Achimedes niet te doden
De moord op Archimedes,
naar een vloermozaiek uit Rome
47
Archimedes van SyracuseSyracuse, ca. 287 BCE – Syracuse, ca. 212 BCE
Verdiensten op natuurwetenschappelijk vlak
• het principe van de hefboom
• de wet van Archimedes
• de klauw van Archimedes (katrol)
• de schroef van Archimedes
48
Archimedes van SyracuseSyracuse, ca. 287 BCE – Syracuse, ca. 212 BCE
Verdiensten op wiskundig vlak
• de waarde van =>
• de oppervlakte van de cirkel
• uit zijn werk ‘Over de bol en de cilinder’ :
• spiraal van Archimedes :
een spiraal van Archimedes ontstaat wanneer
een punt zich met constante snelheid beweegt
langs een rechte die zelf met een constante
snelheid ronddraait.
223 22
71 7
3.1408... 3.1429...
2S r
Oppervlakte bol = 4πr²
Oppervlakte cilindermantel = 2πr . 2r = 4πr²
49
Archimedes Palimpsest
• in Jeruzalem in 1229 werd door de priester Johannes Myronas
het perkament van een, in de 10e eeuw geschreven, copie van 7
werken van Archimedes, gewassen en gereinigd en herbruikt voor
het noteren van een liturgisch gebedenboek. .
• in 1844 werd het gevonden door Constantin von Tischendorf in
een klooster van Constantinopel en in 1906 herontdekt door J.L.
Heiberg (1854 – 1928), die erin slaagde, met zwart-wit fotografie,
een transcriptie te maken van de oorspronkelijke griekse tekst.
• het manuscript verdween opnieuw, 3 bladen gingen verloren en
4 bladen werden vervalst na 1938 door overschildering met
afbeeldingen van de 4 evangelisten
• tijdens een openbare verkoping bij Christie’s op 29 october 1998
werd het door een onbekende verzamelaar voor 2 miljoen dollar
aangekocht en voor onderzoek neergelegd bij het Walters Art
Museum, Baltimore
• van 1998 tot 2008 werd het grootste deel van de oorspronkelijke
tekst, door speciale belichting en digitale technieken, opnieuw
leesbaar gemaakt.
• één van de onderwerpen in deze palimpsest gaat ‘Over de bol
en de cilinder’, met de eigenschap dat de oppervlakten van een bol
en van de omgeschreven cilindermantel gelijk zijn
Onderwerpen behandeld in de Palimpsest
o Over het zwaartepunt van vlakke figuren
o Spiralen
o Afmetingen van de cirkel
o Over de bol en de cilinder
o Over dijvende lichamen
o Over de methode van de mechanica
o Stomachion
50
Archimedische veelvlakkenHalfregelmatige veelvlakken
Een convex veelvlak is een Archimedisch veelvlak als en slechts als
alle zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn
in elk hoekpunt dezelfde zijvlakken samenkomen
Het bestuderen van veelvlakken en hun regelmaat en symmetrie kent toepassingen in de kristallografie en de scheikunde,:
omdat ze sterk de stabiliteit van de positie van moleculen in een vaste stof en van atomen in een molecule bepalen.
51
Apollonius van PergaPerga, ca. 262 BCE – Alexandrië, ca. 190 BCE
• Apollonius studeerde in Ephese bij Eudemus, schreef zijn werk over kegelsneden in Alexandrië
• hij definieerde de kegelsneden als de gemeenschappelijke punten van een schuine kegel en een vlak
• gebruikte ook voor het eerst de namen ellips, parabool en hyperbool
• zijn werk over kegelsneden bestond uit 8 boeken
de boeken 1-4 zijn bewaard gebleven in het originele Grieks
de boeken 5-7 bestaan enkel in middeleeuwse Arabische vertalingen van Thabit ibn Qurra
boek 8 ging verloren
52
Een kegel is het regeloppervlak, dat ontstaat als een rechte,
door een vast punt, beweegt langs een vlakke kromme,
die dat vast punt niet bevat.
Apollonius van PergaPerga, ca. 262 BCE – Alexandrië, ca. 190 BCE
On Conics
53
EratosthenesCyrene, 276 BCE – Alexandrië, 194 BCE
• Eratosthenes werd geboren in Cyrene en verbleef ca. 4 jaren in Athene
• vestigde zich definitief in Alexandrië
• werd aangesteld tot de derde ‘librarian’ (hoofdbibliothecaris) van de bibliotheek
• tussen hem en Archimedes ontstond een grote vriendschap
• gebruikte voor het eerst het Griekse woord γεωγραφια (geographia)
• introduceerde de schrikkeldag
Eratosthenes
astronoom
geograaf
mathematicus
54
EratosthenesCyrene, 276 BCE – Alexandrië, 194 BCE
Eratosthenes’ berekening van de omtrek van de aarde
Om 12.00 h staat de zon in Cyene, een plaats op de Kreeftskeerkring, loodrecht boven het aardoppervlak..
In Alexandrië, 5000 stadiën ten Noorden van Cyene, is de hoek tussen een loodrechte op het aardoppervlak en
de zonnestralen, 7°14’
Omgerekend in km, en afhankelijk van de gebruikte lengte van de stadiën, worden aardomtrekken berekend van
40 075 km
40 008 km
39 690 km 55
EratosthenesCyrene, 276 BCE – Alexandrië, 194 BCE
De wereldkaart van Eratosthenes
56
EratosthenesCyrene, 276 BCE – Alexandrië, 194 BCE
De Zeef van Erathostenes – priemgetallen vinden
57
Hipparchus van NiceaNicea, ca. 190 BCE – Rhodos, ca. 120 BCE
‘De Grondlegger van de Trigonometrie’
Hipparcus’ plaatsbepaling op aarde 58
• was de eerste wiskundige die beschikte over goniometrische tafels
• opgesteld met
• wordt beschouwd als de grootste astronoom uit de Oudheid
223 22
71 7 3.1408... 3.1429...
Nicomachus van GerasaGerasa , ca. 60– ... , ca. 120
• was de schrijver van een werk in het Grieks, Arithmetike eisagoge (Inleiding tot de Rekenkunde)
• als neo-pythagoreër was hij vooral geinteresserd in de mythische eigen schappen van de getallen
• behandeld priemgetallen, perfecte getallen, ...
• beweert dat de rekenkunde belangrijker is dan de andere vakken van het quadrivium
• het werk bestaat in Latijnse vertaling door Boethius
Stelling van Nicomachus
De derdemacht van een getal n is de som van
n opeenvolgende oneven getallen
Hieruit volgt ook :
3
3
3
3
3
1 1 1
2 8 3 5
3 27 7 9 11
4 64 13 15 17 19
5 125 21 23 25 27 29
.....enz
23
1 1
( )p n p n
p p
p p
59
Menelaus van AlexandriëAlexandrië, ca. 70 – Rome, ca. 140
• Menelaus bracht zijn jeugd door in Alexandrië en trok daarna naar Rome
• schreef ‘Sphaerica’, drie delen bewaard in Arabische vertaling
• in deel 1 ontwikkelde hij de boldriehoeksmeting
• analoog aan Euclides’ deductieve methode voor vlakke driehoeken
• de zijden van een boldriehoek zijn bogen van grote cirkels
• bewijzen uit het ongerijmde worden vermeden
• in deel 2 wordt dit toegepast op de sterrenkunde
• in deel 3 wordt de boldriehoeksmeting verder behandeld
Stelling van Menelaus
In deel 3 van de Sphaerica wordt, zowel voor vlakke als voor boldriehoeken bewezen
:
snijdt een rechte de zijden van een driehoek ABC in de punten D, E en F, dan geldt
. . 1AF BD CE
FB DC EA
60
PtolemaiosAlexandrië, ca. 90 – Alexandrië, ca. 168
• hij was de auteur van een aantal wetenschappelijke werken
• over astronomie : Almagest
• over geografie : Geographia
• over astrologie : Tetrabiblos
• zijn werken hebben gedurende 1250 jaren het wetenschappelijk denken beinvloed
Stelling van Ptolemaios
Het produkt van de diagonalen van een ingeschreven vierhoek is
gelijk aan de som van de produkten van de overstaande zijden
. . .AC BD ABCD BC DA
De wereldkaart van Ptolemaios
uit de Geographia,
naar een manuscript
uit de 15e eeuw
61
Ptolemaios AlmagestHet geocentrisch model
• was gedurende 13 eeuwen de basis van het astronolisch denken
• van zijn origine in het hellenistische Alexandrië,
• tijdens de middeleeuwse Byzantijnse en Arabische beschaving
• tot in de West-Europese middeleeuwen en Vroeg Renaissance
• is de kritische bron
• van het Griekse astronomisch denken
• en van Hipparchos trigonometrie
• werd geschreven na 150 na 25 jaren waarnemingen van Ptolemaios
• verdeeld over 13 secties
• de cosmos, als een centrale bolvormige aarde en een spherisch heelal
• omheen de aarde bewegen langs concentrische bollen
• de maan
• Mercurius
• Venus
• de zon
• Mars
• Jupiter Saturnus
• de sterren
62
Ptolemaios Almagest
Vertaling door Gerard van Cremonavan het Arabisch in het Latijn
1175 Book X – hoofdstukken 6 – 7
Model van de bewegingen van Mars, Jupiter en Saturnus
63
Diophantus van Alexandriëleefde in Alexandrië, 3e eeuw
(werd 84 jaar oud)
‘De Vader van de Algebra’
• Diophantus studeerde aan de Universiteit van Alexandrië
• zijn bekendste werk is ‘Arithmetica’, een reeks van 13 boeken
• waarvan de eerste 6 bewaard zijn gebleven
• de historische ontwikkeling van de Algebra kent drie perioden
• periode 1 : de rethorische algebra; alles uitgedrukt in woorden
• periode 2 : de syncopatische algebra ; gebruik van een aantal representatieve symbolen,
waarbij symbolen voor bewerkingen; relaties en exponenten ontbreken ;
geintroduceerd door Diophantus
• periode 3 : de actuele symbolische algebra
• de ‘diophantische vergelijking’ : een vergelijking, of een stelsel v n vergelijkingen,
met meer onbekenden dan vergelijingen
waarbij de oplossingen enkel gehele getallen zijn
voorbeelden :
x, y, z, ... zijn onbekenden ;
a, b; c, n, ... zijn gehele getallen
2 2
1
1
1 1 1 4
n n n
ax by
x y z
x ny
x y z n
64
Een zesde zijns levens genoot hij als kind, gans onbezwaard;
Een twaalfde verder: hem sierde een woestruige baard.
Een zevende later besloot hij te trouwen
En zocht zich de mooiste en liefste der vrouwen.
Vijf jaren vergleden; zij baart hem een prachtige zoon
Alles was heerlijk, hun liefde, hun leven leek schoon.
Maar wreed was het noodlot, en groot hun verdriet
toen zoonlief vroeger dan zij dit leven verliet.
In leeftijd bereikte die half zijns vaders dagen,
Toen omsloot hem de kou van ’t graf.
Maar Deze wou zelf niet versagen
En schiep nog een bouwwerk van talrijke pracht.
Vier jaren later verkoos hij ook de eeuwige nacht.
Grafschrift
uit het grafschrift van Diophantus
kan zijn ouderdom worden afgeleid
Pappus van AlexandriëAlexandrië, ca. 290 – Alexandrië, ca.350
• over het leven van Pappus is enkel bekenf dat hij onderwees in Alexandrië
• zijn enig deels bewaard gebleven werk,Synagoge, werd geschreven tussen 325 en 340
Synagoge (Mathematicae Collectiones)
• in het Grieks geschreven werk in 8 delen,
• waarvan deel 1 volledig, en de delen 2 en 8 gedeeltelijk verloren zijn
• boeken 1 en 2 : de Rekenkunde, o.a. grote getallen als coëfficienten van 104
• boek 3 : meetkundige constructies
• boek 4 : de eigenschappen van krommen, o.a. de spiraal en de quadratix
• boek 5 : de 13 Archimedische veelvlakken
• boeken 6 en 7 : de werken van o.a. Euclides, Apollonius, Aristarchus, Eratosthenes, ...
• boek 8 : mechanica
65
Stelling van Pappus
Indien de punten A, B, C en A’, B’, C’ colineair zijn ,
dan zijn de snijpunten M van AB’ en A’B
N van BC’ en B’C
P van AC’ en A’C
ook colineair
Titelpagina van Pappus’
Mathematicae Collectiones,
vertaald door Federico Commandino
1589
Theon van AlexandriëAlexandrië, ca. 335 – Alexandrië, ca. 405
• was de laatste hoofdbibliothecaris van de bibliotheek van Alexandrië
• schreef een bewerking van de ‘Elementen’ van Euclides, toonaangevend tot de 19e eeuw
• was de vader van Hypatia
Hypatia van AlexandriëAlexandrië, 350/370 – Alexandrië, 415
• was de eerste bekende genoteerde vrouwelijke wiskundige
• studeerde in Athene en in Italië
• ca. 400 leidde ze de Platonische school in Alexandrië
• doceerde de kennis van Plato en Aristoteles aan heidenen, christenen en joden
• schreef commentaren op ‘Arithmetico’ (Diophantes) en ‘Conics’ (Apollonius)
• bewerkte de ‘Almagest’ (Ptolemaios) en haar vaders’ ‘Elements’ (Euclides)
• werd betrokken in de vete tussen de prefect Orestes en de patriarch Cyrillus
• vermoord door de christenen tijdens de daaropvolgende opstanden
66
De Wiskunde van het Antieke Griekenland
67
Verval van de Griekse klassieke Cultuur en
Teloorgang van het Hellenistisch wiskundig denken
ruines van het Parthenon op de Acropolis in Athene
68
Verval van de Griekse klassieke Cultuur en
Teloorgang van het Hellenistisch wiskundig denken
Oorzaken :
het afnemend belang van Alexandrië als intellectuele hoofdstad
de geringe belangstelling voor de wiskunde in het Romeinse Rijk
de groeiende macht van de Kerk
de splitsing van het Romeinse Rijk
69
Verval van de Griekse klassieke Cultuur en
Teloorgang van het Hellenistisch wiskundig denken
het afnemend belang van Alexandrië als intellectuele hoofdstad
• vanaf ca. 200 BCE braken regelmatig onlusten uit in het oude Egypte
• Ptolemaios VII (144 BCE – 116 BCE) verbande vele geleerden uit Alexandrië en leidde tot wetenschappelijke stagnatie
• in 80 BCE komt de stad onder Romeinse jurisdictie
• de brand van de bibliotheek van Alexandrië in 47 BCE bij het beleg van Julius Caesar vernietigde 500 000 manuscripten
• in 272 wordt het Mouseion vernietigd door keizer Aurelianus
• in 391 volgens een decreet van keizer Theodosius werden alle papyri van het Serapeion verbrand
• in 641 volgt de totale vernietiging bij de inval van de Muzelmannen
70
Verval van de Griekse klassieke Cultuur en
Teloorgang van het Hellenistisch wiskundig denken
de geringe belangstelling voor de wiskunde in het Romeinse Rijk
• het gebrek aan belangstelling voor de Griekse cultuur in het Romeinse Rijk
• de Romeinen stonden zeer onverschillig tegenover de wiskunde
• ze beschouwden de wiskunde slechts als interessant voor haar praktische toepassingen
• zo werden eenvoudige meetkundige methoden gebruikt in de landmeetkunde en in de bouwkunst
• astrologen, van wie de activiteiten wettelijk verboden waren, werden mathematici genoemd
• practische wiskundigen werden geometers genoemd
71
Verval van de Griekse klassieke Cultuur en
Teloorgang van het Hellenistisch wiskundig denken
de groeiende macht van de Kerk
• de eerste christenen dwongen respect af bij de Romeinen door hun voorbeeldige levenswijze
• de kerk werd een machtige organisatie binnen het Romeinse Rijk
• het wantrouwen van de Kerk voor alle ideeëngoed dat geen verband hield met de Bijbel
• intellectuele interesse en energie werden gefocust op theologische kwesties
• ‘de woorden van de Bijbel zijn belangrijker dan het menselijke intellect’ (Sint-Augustinus)
• aldus ontstond een klimaat van vijandigheid tegenover ‘heidense’ wetenschap
• al snel werd alle Griekse intellectuele verworvenheid aanzien als niet-christeliijk
72
Verval van de Griekse klassieke Cultuur en
Teloorgang van het Hellenistisch wiskundig denken
de splitsing van het Romeinse Rijk
• tekenen van verval werden merkbaar vanaf de 3e eeuw
• antagonisme tussen de Keizer en de Senaat
• verdwijnen van ethische en morele waarden
• voortdurende oorlogssituaties door te snelle expansie
• werkloosheid bij het arbeidende deel van de bevolking
• slavenarbeid
• natuurrampen
• invasies van barbaarse volkeren
• onder Constantijn de Grote (keizer van 307 tot 337) werd Constantinopel de nieuwe hoofdstad van het Rijk
• de splitsing van het Romeinse Rijk bij de dood van keizer Theodosius in 395
• het West-Romeinse rijk werd veroverd : invallen van de barbaren, plundering van Rome
• het Oost-Romeinse rijk adopteerde de Griekse taal en cultuur en evolueerde naar het Byzantijnse Rijk
73
De Splitsing van het Romeinse Rijk395
74
Informatiebronnen
Algemeen
• Wikipedia, the free encyclopedia – www.wikipedia.org
• A History of Mathematics, An Introduction – V.J. Katz – 2nd edition, 1998
• A History of Mathematics – U.C. Merzbach & C.B. Boyer – 3th edition, 2011
• The History of Mathematics, An Introduction – D.M. Burton – 7th edition, 2011
• An Episodic Histoty of Mathematics – S.G. Krantz - 2006
• History of Mathematics (2 volumes) – D.E. Smith – 1958
• Mathematics in Historical Context – J. Suzuki – MAA, 2009
• The Britannica Guide to the History of Mathematics – edited by E. Gregersen – Britannica Educational Publishing, 2011
• The Oxford Handbook of The History of Mathematics – E. Robson, J. Stedall – Oxford University Preess, 2008
• Mac Tutor History of Mathematics – created by J.J. O’Connor & E.F. Robertson – School of Mathematics and Statistics –University of St-Andrews
• Geschiedenis van de Wiskunde – D.J. Struik – 1965
• Episodes from the early history of mathematics – A. Aaboe – MAA, 1964
• The Story of Mathematics – L.Masltn - www.storyofmathematics.com – 2010
Specifiek
• A History of Chinese Mathematics – J.Cl. Marzloff – 1987
• A History of Greek Mathematics (2 volumes) – Sir. Th. Heath – Oxford Clarendon Press, 1921
• Applied Geometry of the Sulbasutras – J.F. Price
• Pascal’s Triangle – Tehnicclass – HighSchool Lajkovac
• Geometry Step by Step- A Gutierrez - http://agutie.homestead.com
• The Newton-Leibniz controversy over the invention of the calculus – S. Subramanya Sastry
• A Short History of Complex Numbers – O. Merino, University of Rhode Island – 2006
• Cavalieri’s Method of Indivisibles – K. Andersen, History of Science Department, University of Aarhus - 1984,
• Leonhard Euler : His Life, the Man and His Works – W. Gautschi – AMS 01A50 – 2008
• De tijd van Hilbert – B. Seghers – Universiteit Gent 2010
• Splash Talk : The Foundational Crisis of Mathematics – E. Warner - Stanford University - 2013
• The Mathematical Century – The 30 greatest Problems of the Last 100 Years – P. Odifreddi – Princeton University Press - 2004
75