de redes o secuenciaciÓngc.initelabs.com/recursos/files/r157r/w13215w/invg...

UNIDAD 10

MODELO DE REDES O SECUENCIACIÓN

proyecto sin exceder el tiempo límite.

de un proyecto.

de trasbordo.

ingeniería.

Investigación de operaciones

387

Introducción

Dentro de la Investigación de Operaciones existe una gran cantidad de problemas que pueden ser tratados como una red. Por ejemplo en el Modelo de Transporte tratado en la unidad 7

usamos una red para esquematizar un problema. Históricamente muchos de los problemas se plantearon primero como un problema de redes y después se aplicó el método simplex para solucionarlos.

En esta unidad vamos a estudiar tres tipos de problemas asociados a redes que son:

Análisis de redes de proyectos.

surgió en la mil icia estadounidense como administración de proyectos, donde la producción de cada una de las nuevas armas involucraba tantas componentes y subcomponentes producidas por diversos fabricantes, donde se necesitaba una nueva herramienta para programar y controlar el proyecto. En 1958 aparece el sistema (evaluación de programa y técnica de revisión), el cual fue desarrollado por científ icos de la of icina Naval de Proyectos Espaciales. Booz, Allen y Hamilton y la División de Sistemas de Armamentos de la Corporación Lockheed Aircraft. La técnica demostró tanta util idad que ha ganado amplia aceptación tanto en el gobierno como en el sector privado. El método PERT fue probado en la construcción del submarino Polaris y se dice que redujo en dos años la conclusión del proyecto.

Casi al mismo tiempo, pero ahora en un problema de la industria civi l, la Compañía DuPont, junto con la División UNIVAC de la Remington Rand, desarrolló el método CPM (método de la ruta crítica) para controlar el mantenimiento de proyectos de plantas químicas de DuPont.

Estos dos métodos (PERT y CPM) ya fueron tratados en la unidad 2, en donde aprendimos a construir los modelos matemáticos relacionados con

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la optimización de tiempos de fabricación. La diferencia principal entre CPM y PERT es el método con el que se realizan las estimaciones de tiempo para las actividades del proyecto. Con CPM, los tiempos de las actividades son determinísticos, mientras que en PERT, los tiempos de las actividades son pro babilísticos o estocásticos.

aparecen en la industria del petróleo, la cual tiene que construir una gran cantidad de oleoductos, los cuales le permitan l levar el crudo desde los pozos petroleros hasta las ref inerías para su industrialización. Lo que quieren las compañías es construir la menor cantidad de oleoductos (para minimizar costos) pero quieren que el f lujo de crudo sea el mayor posible.

se usa cuando queremos electrif icar una ciudad; queremos cubrir todas las localidades, pero con la menor cantidad posible de cable.

Empezamos la unidad con la terminología util izada para redes.

10.1. Terminología, actividades, procedencia

Existe una gran cantidad de problemas reales que se pueden modelar y resolver uti lizando las técnicas de redes. Algunas de estas aplicaciones las mencionamos a continuación, además de indicar el tipo de algoritmo que se uti l iza para su solución.

a) Construcción de plantas industriales.b) Construcción de automóviles, computadoras, herramientas, etcétera.c) Generación y distribución de energía eléctrica.d) Localización, perforación y explotación de pozos petroleros y/o de gas natural.e) Construcción de la estación espacial internacional.

Entre muchas otras.


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a) Transportación de petróleo desde cada uno de los pozos petroleros en el Golfo de México hasta las ref inerías.

b) Distribución de gas natural en las unidades habitacionales de la Ciudad de México.

c) Flujo de l lamadas telefónicas desde la Ciudad de México al resto del país.

Además de otros.

a) Electrif icación de ciudades.

b) Distribución de agua desde un pozo a diferentes comunidades.

c) Colocación del servicio de televisión por cable.

Y otros más.

Aunque en la unidad 2 vimos una breve introducción a la construcción de redes, vamos a comenzar formalizando las ideas presentadas.

Una red consta de un conjunto de vértices o nodos unidos por arcos o aristas. Matemáticamente una red está definida por un par de conjuntos (N, A), donde el primer conjunto está formado por los vértices de la red, mientras que el segundo conjunto contiene los arcos que conectan a los vértices. Si los arcos tienen sentido, es decir, sólo permiten el paso de un nodo a otro en una dirección, se dice que la red es dirigida.

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Es una secuencia de aristas que une dos nodos distintos. Una trayectoria forma un ciclo si conecta un nodo con sí mismo.

Es una red que une todos los nodos, sin permitir ningún ciclo.

Otras de las aplicaciones de redes son la planeación, la programación y el control de proyectos. Empecemos por recordar lo que es un proyecto y definamos cada una de las partes que lo conforman.


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Es un enunciado claro de un conjunto de actividades interrelacionadas, en la que cada actividad requiere tiempo y recursos.

Ejemplos:

Actividad. En términos generales, se considera actividad a la serie de operaciones realizadas por una persona o grupo de personas en forma continua, sin interrupciones, con tiempos medibles de iniciación y terminación. Las actividades pueden ser f ísicas o mentales, como construcciones, trámites, estudios, inspecciones, dibujos, etcétera.

Es la forma lógica como se conectan las diferentes actividades del proyecto. Esta relación se puede obtener por antecedente o por secuencia. Por antecedentes, se les preguntará a los responsables de los procesos cuáles actividades deben quedar terminadas para ejecutar cada una de las que aparecen en la l ista. Debe tenerse especial cuidado que todas y cada una de las actividades tenga por lo menos un antecedente excepto en el caso de ser actividades iniciales, en cuyo caso su antecedente será cero (0).

Si la relación se hace por secuencia, se preguntará a los responsables de la ejecución cuáles actividades deben hacerse al terminar cada una de las que aparecen en la lista.

Matriz de secuencia o de precedencia. Es la matriz en donde se coloca cada una de las actividades del proyecto y sus actividades secuenciales o precedentes. En el caso de la matriz de precedencia, está formada por tres columnas, la primera contiene el número de actividad, la segunda las actividades que preceden a la actividad mostrada en la primera columna y por ultimo una columna de anotaciones, la cual se uti l iza para aclarar cualquier detalle del proyecto.

La matriz de secuencia tiene también tres columnas, la primera contiene las actividades que conforman el proyecto, la segunda contiene las

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actividades que están después de la actividad de la primera columna y por último tiene una columna de anotaciones.

Matriz de tiempos. Es la matriz que contiene el tiempo que necesita cada actividad para completarse. En el caso del modelo CPM solamente se requiere un estimado de tiempo. Todos los cálculos se hacen con la suposición de que los tiempos de actividad son determinísticos. Para el caso de PERT, se necesita estimar tres tiempos:

a) Tiempo pesimista . Es el mayor tiempo posible en que se puede realizar una actividad, esto como consecuencia de un desperfecto de la maquinaria, o errores de los operadores, falta de materia prima, etcétera.

b) Tiempo optimista . Es el menor tiempo posible en el que se puede realizar una actividad, esto como consecuencia de que todos los factores sean favorables.

c) . Es el tiempo modal, es decir es el tiempo que más se repite en la realización de la actividad.

Con estos tres tiempos, se calcula el tiempo esperado, el cual se obtiene al calcular un promedio ponderado uti lizando la siguiente fórmula:

tt t t

ep m o4

6

La información de los tiempos (ya sea determinístico o estocástico) se añade a la matriz de actividades. Esto se hace creando una nueva columna, la cual contiene el tiempo determinístico de cada actividad, o el tiempo esperado de cada una de ellas. La matriz resultante recibe el nombre de y se uti l iza para construir la red de proyecto.

Evento. Se llama evento al momento de iniciación o terminación de una acti vidad.

Es la representación gráfica del proyecto, contiene cada una de las actividades a realizar, además de sus interrelaciones y secuencias. En este caso los nodos de la red son los eventos del proyecto, los cuales se conectan a través de los arcos de la red o aristas, las cuales sólo representan la secuenciación del proyecto y en ningún caso su longitud o forma determinan el tiempo que requiere cada actividad.


393

Recordemos que en la unidad 2 aprendimos a construir la red de proyecto, en la cual los nodos son los eventos que se numeran en forma ascendente, a partir del nodo cero, el cual es el evento de inicio, hasta el nodo de terminación. Los nodos se conectan a través de aristas que representan las actividades junto con el tiempo medio de cada una de ellas. Para que quede más clara la construcción de la red, a continuación damos un ejemplo.

Ejemplo 1

Dentro del proyecto de equipamiento de escuelas, se enviaron 50 computadoras nuevas a una secundaria. El secretario administrativo contrata a un ingeniero en sistemas para que se encargue de la instalación de las 50 máquinas, sólo que le pide una estimación del tiempo que se va a l levar, junto con los pasos del proyecto para que la sociedad de padres de familia pueda ver el avance en la obra.

Lo primero es enunciar en una forma clara el proyecto:

Instalar 50 computadoras sin red, en un salón de 10 m de largo por 5 m de ancho por 3 de altura, el cual ya cuenta con la instalación eléctrica requerida. A cada una de las computadoras se le debe instalar el sistema operativo y un programa educacional.

Actividades:

A Colocar 50 mesas de trabajo. B Colocar 13 reguladores de voltaje. C Desempacar y colocar 50 monitores. D Desempacar y colocar 50 CPU. E Desempacar y conectar 50 teclados. F Desempacar y conectar 50 ratones. G Conectar los monitores al CPU. H Conectar los CPU a los reguladores. I Conectar los monitores a los reguladores. J Encender las computadoras. K Instalar el sistema operativo. L Instalar el programa educacional. M Apagar las computadoras.

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Matriz de precedencia.

Para poder construir la red, presentamos en la siguiente tabla los tiempos medios de cada actividad, sin mencionar la forma de obtenerlo ni el costo.


395

Si unimos la información de la matriz de precedencia con la matriz de tiempo, obtenemos la , la cual mostramos a continuación:

Con esta información se construye la red del proyecto, la cual mostramos a continuación.

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396

Ejercicio 1

1. Es la representación gráf ica de una serie de actividades que conforman un proyecto.

a) Evento.b) Red de proyecto.c) Matriz de precedencia. d) Tiempo esperado.

2. Es la tabla que contiene la interrelación lógica de las actividades.

a) Evento. b) Red de proyecto. c) Matriz de precedencia. d) Tiempo esperado.

3. En el sistema PERT el tiempo se calcula uti lizando la fórmula:

a) tt t t

ep m o4

6

b) tt t t

ep m o

6

c) tt t t

ep m o4

4

d) tt t t

ep m o4

3

4. Una red está formada por aristas y:

a) Números. b) Conjuntos. c) Flechas. d) Nodos.


397

5. La diferencia entre el sistema PERT y el CPM es la forma como se calcula:

a) El evento.b) El tiempo.c) La matriz de precedencia.d) Las aristas.

6. Es la sucesión de aristas que l levan de un nodo a otro distinto en la red.

a) Trayectoria.b) Árbol.c) Ciclo.d) Nodo.

10.2. CPM y PERT

CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos úti les de información para los ingenieros del proyecto. Este modelo expone la “ ruta crítica” de un proyecto, es decir, las actividades que limi tan la duración del proyecto. Estas actividades son las que inciden directamente con el tiempo requerido para la terminación del proyecto, por lo tanto, si queremos que el proyecto se realice en el menor tiempo posible, las actividades de la ruta crítica deben realizarse en el menor tiempo posible. Las actividades que no están en la ruta crítica tienen una cierta cantidad de holgura; esto es, pueden empezarse más tarde y permiti r que el proyecto como un todo se mantenga en programa. Los algoritmos de PERT y CPM identif ican estas actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos.

CPM identif ica los costos relacionados con una disminución en los tiempos de operación, y trata de minimizar el tiempo del proyecto, pero sin aumentar demasiado los costos, esto de acuerdo con la f lexibil idad permitida por los tiempos de holgura de las actividades no crí ticas.

Finalmente PERT y CPM proporcionan una herramienta para controlar y monitorear el progreso del proyecto. De esta manera el ingeniero puede

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prestar más atención a aquellas actividades de la ruta crítica, ya que son las que pueden en un momento dado retrasar o hacer más costoso el proyecto. Las actividades no críticas se manipularán y reemplazarán en respuesta a la disponibilidad de recursos.

Lo primero que nos interesa de un proyecto es hacer una estimación del tiempo que necesitaremos para concluirlo. Una forma de realizar esta estimación es util izando la gráf ica de Gantt, la cual es un cronograma de tiempos, en el que el eje vertical contiene las actividades del proyecto y en el eje horizontal anotamos el tiempo. Para graficar cada una de las actividades util izamos el siguiente algoritmo:

1. Se graf ican las actividades iniciales, es decir, aquellas que no tienen actividades precedentes. Para graf icar cada una de las actividades se traza una línea horizontal a la altura donde se etiqueta la actividad, la longitud de la recta es igual al tiempo esperado de la actividad, uti lizando la escala del eje horizontal.

2. Se graf ican las actividades que tienen como precedente las actividades del paso anterior. La línea horizontal se traza a partir de donde termina la actividad precedente. Si una actividad depende de dos actividades o más, tenemos que igualar la longitud de todas estas actividades a la más larga, para ello trazamos una línea punteada.

3. Si ya no hay más actividades, entonces parar: la gráf ica está terminada, el punto del tiempo hasta donde llega la última línea recta es la aproximación de tiempo de terminación del proyecto. Si quedan actividades pendientes regresamos al punto 2.


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Ejemplo 2

Se pide a un ingeniero la ampliación de una casa. La matriz de precedencia y de tiempos es la siguiente:

Lo primero es calcular el tiempo esperado de cada una de las actividades, para ello util izamos la fórmula:

tt t t

ep m o4

6

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400

Trazamos la gráf ica de Gantt:

De la gráfica se concluye que el tiempo esperado para la terminación del proyecto es de 15 días.

Una de las principales deficiencias que tiene esta técnica es que no toma en cuenta la relación entre las actividades. El método PERT soluciona esta deficiencia, al tomar en cuenta las relaciones existentes entre las diferentes actividades y nos proporciona la ruta crítica, es decir, identifica las actividades que repercuten directamente en el proyecto.

Dada la l ista de actividades, la relación de precedencia y los tiempos pesimista, optimista y más probable de las actividades de un proyecto, se hace lo siguiente:

1. Estimar los tiempos esperados de cada actividad.

2. Construir la red de proyectos.

Nota. Recuerda que entre dos eventos sólo debe existir una actividad, en caso contrario se añaden actividades f icticias.

3. Determinar los tiempos para eventos, esto es, debemos determinar la terminación próxima y la terminación lejana de cada evento, uti lizando las siguientes fórmulas:


401

a) La terminación próxima de un evento (TPE) es igual a la terminación próxima del evento anterior más el tiempo esperado de la actividad (TEA).

TPE TPE TEAi i i i1 1,

Si hay dos trayectorias que l leguen a un evento se toma la de mayor tiempo. Al evento inicial se le asigna una terminación próxima igual a cero.

b) La terminación lejana de cada evento (TLE) se calcula de derecha a izquierda en la red y es igual a la terminación lejana del evento posterior menos el tiempo esperado de la actividad entre ellos.

TLE TLE TEAi i i i1 1,

Si existen dos trayectorias que lleguen a un evento, consideramos la de menor tiempo. Al evento f inal se le asigna el valor de la terminación próxima del evento f inal.

La notación que se util iza para expresar estos tiempos, es una cruz arriba de cada evento, en la parte superior izquierda se anota la terminación próxima y del lado superior derecho la terminación lejana.

4. Calcular los tiempos para las actividades, los cuales a diferencia de los tiempos para eventos son cuatro.

a) Inicio próximo (IPA), es igual a la terminación próxima del evento en que comienza la actividad.

IPA TPEij i

b) Terminación próxima (TPA), es igual al inicio próximo de la actividad más la duración de ésta.

TPA IPA TEAij ij ij

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c) Inicio lejano (ILA), es igual a la terminación lejana de la actividad menos la duración de ésta.

ILA TLA TEAij ij ij

d) Terminación lejana, es igual a la terminación lejana del evento en que termina la actividad.

TLA TLEij j

Con estos tiempos, podemos calcular la holgura de cada actividad, la cual se define como: la diferencia entre la terminación próxima y la terminación lejana.

HOLGURA TPA TLAij ij

5. La ruta crítica está formada por las actividades que tienen una holgura igual a cero.

6. Debido a la naturaleza probabilística de los tiempos en cada actividad, no podemos tener un tiempo exacto de terminación T, en su lugar debemos calcular el intervalo donde esperamos que “caiga” el tiempo. Para ello util izamos las siguientes fórmulas para calcular la esperanza y la varianza de la variable que mide el tiempo en que se realiza el proyecto:

varianza de la -ésima actividadit tp o

6

2

E T Te( )rutacrítica

var( ) varT irutacrítica


403

Ejemplo 3

Hallar la ruta crítica del siguiente proyecto:

Un ingeniero eléctrico debe hacer una instalación eléctrica en una ampliación realizada a una fábrica. A continuación se presenta la matriz de precedencia y tiempos estimados en días.

1. Estimamos los tiempos esperados de cada actividad.

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2. Construimos la red del proyecto.

3. Calculamos los tiempos de cada evento, util izando la siguiente tabla.

4. Una vez que calculamos los tiempos de los eventos, calculamos los tiempos para las actividades, para ello util izamos la siguiente tabla:


405

5. De la tabla anterior concluimos que la ruta crítica está formada por los eventos A, B y E, es decir:

RC = A + B + E

Por lo tanto el ingeniero debe tener especial cuidado en:

Para que de esta manera el proyecto se l leve a buen término, el tiempo esperado para la terminación del proyecto es:

E(T) = 1.5 + 2 + 3 = 6.5 días

V T( )136

19

19

14

Por lo tanto, el tiempo esperado para la terminación del proyecto es de 6.5 días, con una desviación estándar de 0.5 días. La variable tiempo de terminación se puede ajustar a una distribución normal con media 6.5 y desviación estándar de 0.5 días. Si tomamos el intervalo formado por la media menos la desviación estándar y la media más la desviación estándar, sabemos que dentro de este intervalo tendremos 68.27% de los

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datos, es decir, tenemos 68.27% de probabilidad de que el tiempo de terminación esté dentro del intervalo [6, 7].

Ejercicio 2

Calif ica como verdadera (V) o falsa (F) cada una de las siguientes proposiciones:

1. Las actividades de la ruta crítica son ____las que l imitan la duración del proyecto.

2. Las actividades que están en la ruta crítica tienen un tiempo de holgura diferente de cero. ____

3. PERT uti l iza tiempos determinísticos de cada actividad. ____

4. La terminación lejana de una actividad es igual a la terminación lejana del evento en que termina la actividad. ____

5. La ruta crítica está formada por las actividades que tienen una holgura igual a cero. ____

Método CPM

Al inicio de la unidad mencionamos que la diferencia entre PERT y CPM es la forma como estiman los tiempos de cada actividad, mientras PERT uti liza tiempos probabilísticos, CPM uti liza tiempos determinísticos; además, CPM toma en cuenta el costo asociado a cada actividad, pero sobre todo, reconoce la relación que existe entre el tiempo en que se realiza una actividad y el costo que tiene la misma. Esto debido a que al aumentar los recursos (materia prima, mano de obra, maquinaria, tecnología, etc.) el tiempo disminuye, pero los costos aumentan. Para analizar la relación que existe entre el tiempo y el costo, se uti l iza un plano cartesiano: en el eje horizontal se coloca la variable tiempo (variable independiente) y en el eje vertical el costo (variable dependiente).


407

La práctica ha demostrado que la relación entre estas dos variables es lineal, por lo tanto bastan dos estimaciones que se miden directamente sobre la práctica, las estimaciones están formadas por una pareja de números, lo cual nos representa un par de puntos en el plano. Estas estimaciones son:

Es el punto del plano en donde se muestra el tiempo menor en que se puede realizar una actividad, junto con el costo en que se incurre.

Es el punto donde se muestra el tiempo normal en que se puede realizar una actividad, junto con el costo en que se incurre.

Con estos dos puntos podemos hallar la ecuación de la recta que representa la relación. Una suposición fuerte del algoritmo es que son viables todas las combinaciones entre estos dos puntos.

La notación utilizada para CPM es la siguiente:

Suponga que se tiene una actividad A, que va del evento i al evento j, entonces esta actividad la denotamos como (i, j). Los índices i y j sólo toman los valores para los cuales existe una actividad entre ellos.

TI ij es el tiempo intensivo de la actividad (i, j).

TNij es el tiempo normal de la actividad (i, j).

CI ij es el costo intensivo de la actividad (i, j).

CNij es el costo normal de la actividad (i, j).

Con esta notación podemos realizar la gráf ica tiempo-costo de una actividad (i, j).

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Para determinar el costo de la actividad (i, j), necesitamos hallar la pendiente de la recta, la cual está dada por:

mCI CN

TI TNijij ij

ij ij

Si tomamos el punto intensivo, la ecuación de la recta es:

C CI m T TI

C m T TI CIij ij ij

ij ij ij

( )

( )

Esta última expresión nos dice el costo en el que incurrimos al realizar la actividad (i, j) en un tiempo T.

Ejemplo 4

Una actividad en el proyecto de construir una casa puede ser la pintura exterior. Si util izamos una sola persona para hacerlo, el tiempo que se tarda en pintar es de 7 días, en cambio si contratamos a 5 personas el tiempo de pintado se reduce a 2 días. El salario por persona por día es de $ 50.00. Con esta información estimar el costo de pintar la casa en 4 días.


409

Lo primero es construir una tabla con los datos del problema:

Con esta información graf icamos los puntos: normal (7 350) e intensivo (2 500)

La pendiente de está recta es: mCI CN

TI TNijij ij

ij ij

500 3502 7

30

por lo tanto la función de costo esta dada por la expresión:

C T30 2 500( )

Sustituimos T = 4 días en la expresión anterior y obtenemos: C 30 4 2 500 440( ) que es el costo al pintar la casa en 4 días.

El objetivo fundamental de CPM es determinar el punto de equilibrio entre tiempo y costo para cumplir con el tiempo de terminación del proyecto que se estimó, al menor costo posible. Para lograr este objetivo CPM plantea un modelo de P. L. asociado con el siguiente problema:

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Dado un tiempo de terminación T del proyecto, seleccionar los tiempos de cada actividad, tal que se minimice el costo total del proyecto.

Lo primero es definir las variables de decisión.

Sea xi j el tiempo de duración de la actividad (i, j), en el caso de que exista una actividad entre el evento i y el evento j, de otra manera la variable no está definida.

Obtenemos la función objetivo del problema. El costo de realizar la actividad (i, j) en un tiempo xi j está dado por la expresión:

C m x TI CIij ij ij ij( )

El costo total del proyecto lo determinamos al sumar los costos asociados a cada una de las actividades, es decir:

Costo total = m x TI CIij ij ij iji j

( )( , )

Donde la suma se realiza sobre todas las parejas (i, j) tal que existe una actividad en la red.

Por cada variable xi j aparecerá una restricción de la siguiente forma:

y x yi i j j 0

Por lo tanto el modelo de P. L. asociado con CPM es:

Z m x

x TN

x TI

ij iji j

ij ij

ij ij

mín

s.a.:

Para cada actividad (

( , )

i, jj )

y x y

y T

x

y

i ij j

n

ij

k

0

0

0


411

Una vez planteado el modelo uti lizamos cualquiera de los programas computacionales para resolverlo.

Ejemplo 5

Una compañía constructora debe concursar para ganar la l icitación de una unidad habitacional. El tiempo máximo para la construcción de una casa del conjunto es de 8 días. La compañía desea buscar la combinación que minimice los costos y esté dentro del límite del concurso. Los datos que tiene la compañía para el proyecto son los siguientes:

Construimos la red asociada con el proyecto:

Hallamos la pendiente de cada una de las actividades, util izando la fórmula:

mCI CN

TI TNijij ij

ij ij

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La función objetivo del modelo es:

Z x x x x xm ní 600 500 500 400 70012 23 24 45 36

Las restricciones de las variables de decisión:

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

12

12

23

23

24

24

45

45

36

36

3

4

1

2

1

3

0 5

1

4

5

.

Ahora escribimos las restricciones para las variables auxiliares:


413

y x y

y x y

y x y

y x y

y x y

y

1 12 2

2 23 3

2 24 4

4 45 5

3 36 6

1

0

0

0

0

0

00

86y

Finalmente escribimos las restricciones lógicas:

x x x x x

y y y y y y12 23 24 45 36

1 2 3 4 5 6

0

0

, , , ,

, , , , ,

Resolvemos el modelo con algún programa computacional y obtenemos la solución:

La tabla anterior muestra el tiempo óptimo en que se debe realizar cada una de las actividades del proyecto, de tal manera que el tiempo total no exceda a los 8 días y el costo sea el menor posible. Por lo tanto la propuesta de la constructora es: construir una casa en 8 días con un costo de $ 8 100.00.

Unidad 10

414

Ejercicio 3

Completa correctamente los siguientes enunciados:

1. CPM uti liza tiempos _________________.

2. El algoritmo de CPM se uti liza para minimizar ________________.

3. Al aplicar el algoritmo CPM se obtiene un modelo de programación ________________.

4. La variable xi j en CPM representa el tiempo en que se debe realizar

cada ________________.

5. Una actividad tiene las siguientes características: tiempo normal 3 min, costo normal $ 50.00, tiempo intensivo 0.5 min, costo intensivo $ 87.00. La pendiente de la función de costo es ________________.

10.3. Problema de flujo en redes de costo mínimo

El problema de f lujo en redes de costo mínimo aparece cuando queremos distribuir un material desde los puntos de producción hasta los puntos de consumo. Para transportarlo pueden existir estaciones de trasbordo, es decir, puntos en donde concurren diferentes rutas. Para representar este tipo de problemas, es conveniente util izar una red que describa el problema. En este caso los arcos de la red representan los canales de distribución, los cuales tienen una capacidad asociada y un costo de transportación por unidad. Los nodos representan los punto de producción (fuentes), consumo (sumideros) y de trasbordo.

Para plantear el modelo de f lujo de costo mínimo, consideramos una red dirigida conexa (red en donde existe una trayectoria para conectar cualquier par de nodos) en la que los n nodos incluyen al menos un nodo de producción y un nodo de consumo. Para que el problema esté balanceado, la producción total de la red debe ser igual a la demanda total de la misma. Si esto no se cumple se pueden agregar nodos f icticios, los cuales ayudan a equil ibrar la red. En este l ibro sólo consideraremos redes en equil ibrio.


415

Ejemplo 6

Una compañía petrolera necesita enviar petróleo crudo desde tres pozos que tiene en el Golfo de México hasta dos ref inerías en puerto: una de ellas en Coatzacoalcos-Veracruz y otra en Poza Rica-Veracruz. La compañía petrolera cuenta con una red de oleoductos con estaciones de bombeo intermedias. La red junto con su capacidad se muestra a continuación:

La capacidad de f lujo y costo de cada uno de los arcos se muestra en la siguiente tabla.

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La producción del pozo 1 es de 250 barri les, mientras que el nodo 2 tiene una producción de 300. El consumo del nodo 6 es de 350 barriles, mientras que el nodo 7 consume 200 barri les.

El problema consiste en satisfacer la demanda de los nodos consumidores con el menor costo posible, es decir, debemos decidir cuánto petróleo mandaremos por cada uno de los arcos de la red, de tal manera que la demanda quede satisfecha, pero al menor costo posible y con la restricción de capacidad de cada arco de la red.

Este problema es una generalización del Modelo de Transporte el cual tratamos en la unidad 7. Para resolver el problema de flujo de costo mínimo planteamos un modelo de P. L., el cual se resuelve con las técnicas vistas anteriormente o con algún paquete computacional. La notación para las variables que intervienen en el problema son:

cij costo por unidad de f lujo a través del arco que va del nodo i al nodo j.

uij capacidad del arco que va del nodo i al nodo j.

bi f lujo neto generado en el nodo i.

La variable b1 puede ser:

i es una fuente.i es un sumidero.

i es un nodo de trasbordo.

Las variables de decisión son:

xi j f lujo a través del arco que va del nodo i al nodo j.

El objetivo es minimizar el costo total de mandar los recursos a través de la red (respetando la capacidad de f lujo de cada arco) sin violentar las restricciones de producción y demanda.

La función de costo la podemos escribir de la siguiente forma:


417

Z c xij ijj

n

i

n

m ní11

para las parejas (i , j) tal que existe un f lujo del nodo i

al nodo j en la red.

Las restricciones se escriben de la siguiente forma:

x x bij jij

n

ij

n

11

para cada nodo i de la red.

0 x uij ij

La primera suma de la restricciones representa el f lujo total que entra al nodo i-ésimo, mientras que la segunda representa el f lujo total que sale del nodo, por lo tanto su diferencia debe ser igual a la producción o demanda del nodo, o en caso de los nodos de trasbordo debe ser igual a cero.

Ejemplo 7

Para ilustrar la aplicación del método de f lujo en redes de costo mínimo, obtendremos el modelo de P. L. del problema de la red de transporte de petróleo. Los datos se resumen en la siguiente red. La pareja de números que está sobre cada arco, representa la capacidad de f lujo en barriles y el segundo número el costo por barril mandado por la red. Los números en negril las arriba de los nodos fuente representan la producción de cada uno, mientras que los de los nodos destinos representan la demanda.

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Por lo tanto las variables de decisión son:

x x x x x x x x x x13 14 24 25 36 34 54 46 47 57, , , , , , , , ,

La función objetivo la podemos escribir como:

Z x x x x x

x x x xm ní 20 18 17 20 18

15 18 20 1813 14 24 25 36

34 54 46 47 18 57x

Las restricciones son:

x x

x x

x x x

x x x x x x

13 14

24 25

36 34 13

46 47 14 24 34 54

250

300

0

0

0

350

200

54 57 25

36 46

47 57

x x x

x x

x x

Las dos primeras restricciones miden “ lo que sale” de los nodos fuentes y nos indican que “no entra nada” a ellos, ya que no hay restas. Las restricciones 3, 4 y 5 son las restricciones asociadas con los nodos de trasbordo, en donde por un lado se suman los f lujos que salen del nodo y por otro se restan los que entran al nodo, pero en total la suma debe ser cero. Finalmente las dos últimas restricciones miden el f lujo que entra a los nodos consumidores; como “ya no sale nada” no aparecen variables positivas.

Las últimas restricciones se forman considerando la capacidad de f lujo de cada arco:


419

0 400

0 150

0 200

0 400

0 350

0 500

0

13

14

24

25

36

34

5

x

x

x

x

x

x

x 44

46

47

57

500

0 300

0 300

0 400

x

x

x

Una vez que tenemos el modelo lo resolvemos util izando un paquete computacional y obtenemos la solución, la cual es:

x

x

x

x

x

x

x

x

x

13

14

24

25

36

34

54

46

47

100

150

200

100

100

0

0

250

1000

10057x

con un costo total de $ 20 500.00

Unidad 10

420

Ejercicio 4

Selecciona la respuesta correcta.

1. Si un nodo en el algoritmo de f lujo de costo mínimo tiene f lujo negativo se llama:

a) Fuente.b) Sumidero.c) Trasbordo.d) Destino.

2. Si un nodo es de trasbordo, la suma algebraica de lo que entra menos lo que sale debe ser igual a:

a) Dos.b) Uno.c) Cero.d) Tres.

3. La red en el problema de f lujo de costo mínimo es:

a) Cíclica.b) No dirigida.c) Dirigida.d) Híbrida.

4. El objetivo del modelo de f lujo de costo mínimo es:

a) Minimizar el f lujo. b) Maximizar el costo. c) Minimizar el costo. d) Maximizar el f lujo.


421

5. La función objetivo del modelo de f lujo de costo mínimo es:

a) Z b xi i jj

n

i

n

m ní11

b) Z c bij ij

n

i

n

m ní11

c) Z c xij ijj

n

i

n

m ní11

d) Z cijj

n

i

n

m ní11

10.4. Problemas de árbol de expansión mínima

El modelo del árbol de expansión mínima considera una red no dir igida (red en donde existe una trayectoria para conectar cualquier

par de nodos), en donde las aristas representan la medida de algún parámetro (distancia, costo, tiempo, etc.). El objetivo del modelo es seleccionar un conjunto de aristas que minimicen la medida entre todo el conjunto de ligaduras, tal que exista una trayectoria entre cada par de nodos.

Ejemplo 8

Se tienen 5 comunidades rurales con caminos de terracería entre algunas de ellas. Los caminos se muestran en la siguiente red, donde la medida de las aristas es la longitud en kilómetros de los caminos.

Unidad 10

422

El Gobierno del Estado desea pavimentar una red de caminos que comunique las 5 comunidades con el menor costo posible.

La idea es proporcionar un camino pavimentado entre cada par de comunidades, pero seleccionando el camino de menor longitud, para que de esta manera se minimicen los costos. Una posible solución del problema es:

Esta solución factible tiene una longitud de 19 km, sin embargo no es posible determinar si es óptima o no.


423

El método del árbol de expansión mínima nos proporciona un esquema para seleccionar las aristas, tal que la suma total de la medida de cada arista seleccionada sea mínima.

Dividimos los nodos de la red en dos conjuntos, el primero l lamado S, formado por los nodos seleccionados en el paso i-ésimo, y otro conjunto l lamado N con los nodos que no estén seleccionados. En cada paso del algoritmo ir construyendo la red que se forma con los nodos y aristas seleccionadas.

1. Seleccionamos de manera arbitraria uno de los nodos de la red y lo marcamos como nodo inicial. Este nodo “ lo pasamos” al conjunto S y “ lo borramos” del conjunto N.

2. Del conjunto N seleccionamos el nodo cuya arista a alguno de los nodos del conjunto S sea mínima. Este nodo pasa del conjunto N al conjunto S. En caso de empates, éstos se rompen de manera arbitraria.

3. Si el conjunto N está vacío; entonces parar. Si no, regresar al paso 2. La red que se obtiene al f inalizar el algoritmo, constituye el árbol de expansión mínima.

Ejemplo 9

Apliquemos el algoritmo del árbol de expansión mínima al ejemplo de las comunidades rurales. Los nodos y las distancias para el problema se presentan en la red:

Unidad 10

424

Dividimos los nodos en los conjuntos S y N.

S

N 1 2 3 4 5, , , ,

Paso 1. Seleccionamos un nodo de manera arbitraria. Seleccionemos el nodo 1 para iniciar la red, entonces los conjuntos cambian a los siguientes:

S

N

1

2 3 4 5, , ,

Paso 2. Los posibles enlaces de los nodos no seleccionados con los nodos seleccionados son:


425

De ellos, el menor es la arista que va del nodo 1 al nodo 2, por lo tanto el nodo 2 pasa al conjunto S y abandona el conjunto N.

Paso 3. Como el conjunto N no está vacío, regresamos al paso 2.

Paso 2. Los enlaces potenciales de los nodos no seleccionados con los nodos seleccionados son:

S= {1, 2}N = {3, 4, 5}

Unidad 10

426

La menor distancia es 3, seleccionando la arista que une el nodo 2 con el nodo 4, por lo tanto el nodo 4 pasa al conjunto S y abandona el conjunto N.

S

N

1 2 4

3 5

, ,

,

Paso 3. Como el conjunto N es no vacío, regresamos al paso 2.

Paso 2. Los enlaces potenciales son:

La menor distancia es 4, pero existe un empate, el cual rompemos de manera arbitraria, seleccionando el nodo 3, el cual pasa al conjunto S y se sale del conjunto N.

S

N

1 2 4 3

5

, , ,


427

Paso 3. Como N aún no está vacío, regresamos al paso 2.

Paso 2. Los enlaces potenciales son:

La distancia mínima es 4, por lo tanto el nodo 5 abandona el conjunto N y pasa al conjunto S.

S

N

1 2 4 3 5, , , ,

Unidad 10

428

Paso 3. Como el conjunto N ya está vacío, el algoritmo se terminó, la última red obtenida es el árbol de expansión mínima.

Esto quiere decir que se deben pavimentar los caminos que se muestran en la última red y la longitud total es de 14 km. A diferencia de los 19 que obtuvimos en nuestra primera solución factible.

Ejercicio 5

Calif icar como verdadera (V) o falsa (F) cada una de las siguientes proposiciones.

1. El problema del árbol de expansión mínima se considera una red conexa y dirigida. ____

2. Una solución factible en el problema del árbol de expansión mínima debe contener una trayectoria para cada par de nodos de la red. ____

3. Los nodos de la red en el algoritmo del árbol de expansión mínima se dividen en tres conjuntos. _____

4. El nodo que pasa del conjunto de los no seleccionados al conjunto de los seleccionados es el que tiene una medida de arista mayor que cualquiera de los nodos seleccionados. _____

5. El algoritmo del árbol de expansión mínima termina cuando todos los nodos están seleccionados. _____


429

Ejercicios propuestos

1. Construir la red del proyecto asociado con la siguiente tabla.

2. Un ingeniero en sistemas debe ensamblar 1 000 computadoras; para terminar a tiempo se debe ensamblar cada computadora cuando mucho en 30 minutos. El ingeniero desea buscar la combinación que minimice los costos y dentro del límite de tiempo. Los datos que se tienen son los siguientes:

Unidad 10

430

Autoevaluación

1. La diferencia entre PERT y CPM es la forma como estiman la variable:

a) Tiempo.b) Costo.c) Demanda.d) Uti lidad.

2. El conjunto de arcos que unen un par de nodos en una red se llama:

a) Camino.b) Recorrido.c) Trayectoria.d) Ruta.

3. El menor tiempo en que se puede realizar una actividad en el modelo PERT se llama:

a) Tiempo más probable. b) Tiempo pesimista. c) Tiempo optimista. d) Tiempo esperado.

4. La relación entre el tiempo y el costo en el modelo CPM es:

a) Cúbica.b) Inversa.c) Exponencial.d) Lineal.

5. Los nodos de la red de f lujo de costo mínimo en los que la suma de lo que entra es igual a la suma de lo que sale se l laman:

a) Fuentes. b) Sumideros.c) Destino.d) Trasbordo.


431

6. Las redes en donde existe una trayectoria para cada par de nodos y no tiene ciclos recibe el nombre de:

a) Ciclos.b) Conexas.c) Árboles.d) Convexas. 7. Una actividad tiene los siguientes tiempos: T. pesimista = 7, T. optimista = 2 , T. más probable = 4, entonces el tiempo esperado es:

a) 4.16b) 2.16c) 4.33d) 4.5

8. Después de aplicar el método de PERT obtenemos los siguientes tiempos de holgura para cada actividad del proyecto.

La ruta crítica está formada por las actividades:

a) A + B + C +D + Eb) A + Dc) C + D + Ed) B + C + E

Unidad 10

432

9. Una actividad tiene los siguientes valores en los puntos normal e intensivo: costo normal = $ 4 100, tiempo normal = 3 minutos, costo intensivo = $ 5 000, tiempo intensivo = 1 min. El costo por realizar esta actividad en 2 minutos es:

a) $ 3 500.00 b) $ 4 550.00 c) $ 4 600.00 d) $ 4 900.00

10. La longitud del árbol de expansión mínima asociado con la siguiente red es:

a) 26 km b) 20 km c) 34 km d) 37 km


433

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1. b)2. c)3. a)4. d)5. b)6. a)

Ejercicio 2

1. V2. F3. F4. V5. V

Ejercicio 3

1. Determinísticos.2. Costos.3. Lineal.4. Actividad.5. –14.8

Ejercicio 41. b)2. c)3. c)4. c)5. c)

Unidad 10

434

Ejercicio 5

1. F2. V3. F4. F5. V

Respuestas a los ejercicios propuestos

1.

2. x x x x x12 23 25 34 4610 5 3 9 1 5 15. , , , . ,

Respuestas a la autoevaluación

1. a)2. c)3. c)4. d)5. d)6. c)7. a)8. d)9. b)10. d)


435

ANEXOResolución de problemas de análisis de sensibilidad

1. Un agricultor dispone de 150 acres de tierra fértil para los cultivos A y B. El costo de A es de $40 el acre, mientras que el cultivo de B cuesta $60 el acre. El agricultor tiene un máximo de $7 400 disponibles para trabajar la tierra. Cada acre del cultivo A necesita 20 horas de trabajo y cada acre del cultivo B, 25 horas. El agricultor dispone de un máximo de 3 300 horas de trabajo. Si espera lograr una ganancia de $150 por acre de cultivo A y $200 por acre del cultivo B.

a) Encuentra el modelo que resuelve este problema.b) Encuentra la región factible asociada al problema.c) ¿Cuantos acres de cada cultivo debe plantar para maximizar su

ganancia?d) Determina el intervalo de variación sobre el número de horas de

trabajo.

Solución:

a)Primero identif icamos las variables del problema, sean:x

1 = número de acres del cultivo A

x2 = número de acres del cultivo B

Ahora formulemos las restricciones del problema de acuerdo con los datos proporcionados respecto a cantidad disponible en costo y horas.

Para el costo de cultivo de acres tenemos que: 40x1 + 60x

2 7 400,

mientras para el tiempo de cultivo tenemos que: 20x1 + 25x

2 3 300.

Considerando que no se puede cultivar un número de acres negativos, tenemos que considerar que: x

1 0 y x

2 0.

Unidad 10

436

Anexo

Además, como el objetivo del problema es maximizar la ganancia, la función objetivo es: 150x1 + 200x2.

Por lo tanto, el modelo asociado es:

máx

s.a.

z x x

x x

x x

x x

150 200

40 60 7400

20 25 3 300

0 0

1 2

1 2

1 2

1 2, b)

40 60 7400 1

20 25 3 300 21 2

1 2

x x

x x

( )

( )

c) Como se puede observar, es una región acotada, por lo tanto, el máxima existe.Graficamos la función z = 150x

1 + 200x

2 con un valor de z = 5 000, se puede

observar que podemos seguir desplazando la función hacia arriba, obteniendo como punto óptimo, el punto cuya intersección se da entre las restricciones 40x

1 + 60x

2 7 400 y 20x

1 + 25x

2 3 300. Resolviendo el sistema obtenemos

como punto óptimo x1 = 65 y x

2 = 80 con un valor de z = 25 750.


437

Entonces tenemos que el agricultor debe cultivar 65 acres de cosecha A y 80 de cosecha B para obtener una ganancia máxima de z = 25 750.

d) Después obtenemos los puntos donde se mantiene la intersección de las restricciones 40x1 + 60x2 a y 20x1 + 25x2 3 300; esto implica que la región factible cambie, entonces debemos obtener los punto hasta donde se mantiene la intersección de estas restricciones y se cumplen las desigualdades respectivas, obteniendo (0,132) y (165,0); ahora, sustituyendo en la restricción 40x1 + 60x2 a se obtiene: a [6 600, 7 920], esto implica que el agricultor dispone de un mínimo de 6 600 horas y un máximo de 7 920 horas de cultivo. Después obtenemos los puntos donde se mantiene la intersección de las restricciones x1 + x2 a y 2x1 + x2 1 000, obteniendo (150, 700) y (400, 200); se sustituyen en la restricción x1 + x2 a obteniendo: a [600, 850] que es el valor mínimo y máximo que puede tomar el lado derecho de la primera restricción del modelo.

2. Una compañía produce diariamente por lo menos 800 l ibras de alimento especial para ganado. Este alimento es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes composiciones:

Libra por libra de alimento para ganado

Alimento para ganado Proteínas Fibra Costo (libra)

Maíz 0.09 0.02 0.30

Semilla de soya 0.60 0.06 0.90

Los requerimientos dietéticos diarios del alimento especial estipulan, por lo menos, 30% de proteínas y cuando mucho 5% de f ibra. a) Encuentra el modelo que resuelve este problema.b) Encuentra la región factible asociada al problema.c) La compañía desea determinar el costo mínimo diario de la mezcla

de alimento.d) Determina el intervalo de variación sobre el costo de maíz.

Unidad 10

438

Anexo

Solución:

a)Primero identif icamos las variables del problema, sean:x1 = l ibras de maíz en la mezcla diaria.x2 = l ibras de semilla de soya en la mezcla diaria.

Ahora formulemos las restricciones del problema de acuerdo con los requerimientos mínimos y tabla proporcionada.

Para las proteínas tenemos que: 0.09x1 + 0.60x2 0.3(x1 + x2), mientras para la f ibra tenemos que: 0.02x1 + 0.06x2 0.05(x1 + x2) y para la mezcal total tenemos que: x1 + x2 800.

Considerando que no se pueden tener l ibras negativas, tenemos que considerar que: x1 0 y x2 0.

Además, como el objetivo del problema es minimizar el costo, la función objetivo es: 0.3x1 + 0.9x2.

Por lo tanto, el modelo asociado es:

máx

s.a.

z x x

x x

x x

x x

0 3 0 9

800

0 21 0 3 0

0 03 0 01 0

1 2

1 2

1 2

1 2

. .

. .

. .

xx x1 20 0, b)

x x

x x

x x

1 2

1 2

1 2

800 1

0 21 0 3 0 2

0 03 0 01 0 3

( )

. . ( )

. . ( )


439

c) Como se puede observar es una región no acotada, por lo tanto, el mínimo existe.Graf icamos la función z = 0.3x1 + 0.9x2 con un valor de z=800, se puede observar que podemos seguir desplazando la función hacia abajo, obteniendo como punto óptimo el punto cuya intersección se da entre las restricciones x1 + x2 800 y 0.21x1 – 0.3x2 0. Resolviendo el sistema obtenemos como punto óptimo x1 = 470.6 y x2 = 329.4 con un valor de z = 437.64.

Entonces, tenemos que la compañía debe mezclar 470.6 l ibras de maíz y 329.4 libras de semilla de soya en la mezcla diaria, con un costo mínimo de z = 437.64.

d) Como el punto óptimo se encuentra en la intersección de las restricciones 1 y 2, primero obtenemos las pendientes de estas rectas: m1 = –1 y m2 = 0.7, después encontramos la pendiente de z = ax1 + 0.9x2 de la función objetivo

ma

z 0 9., donde a es el costo del maíz.

Ahora, un cambio en el valor de m2 implica que la función objetivo

cambie, entonces debemos determinar hasta dónde es permisible que el valor de la función objetivo cambie de tal manera que el punto óptimo se mantiene, entonces debemos igualar las pendientes de las restricciones con la pendiente de la función objetivo, obteniendo el intervalo de variación para el costo del maíz: a [–0.63, 0.9], esto indica que el costo mínimo del maíz es $0.0 (ya que no se puede tomar un costo negativo) y el máximo de $0.9.

Unidad 10

440

Anexo

Bibliografía básica

, Investigación de operaciones, una introducción, sexta edición, México, Prentice-Hall, 1998.Este libro complementa la información presentada de la materia, pues aborda directamente los algoritmos de investigación de operaciones. Además, contiene un disco f lexible con el programa TORA, el cual ayuda a resolver problemas de P. L. con varias variables.

, Investigación de operaciones: El arte de la toma de decisiones, segunda edición, México, PEARSON, 1996.Este l ibro aborda de manera clara y exhaustiva la construcción de modelos matemáticos. Además presenta problemas de aplicación real de investigación de operaciones.

, Toma de decisiones por medio de investigación de operaciones, México, LIMUSA.Este texto presenta un enfoque de investigación de operaciones a problemas administrativos. Desarrolla con claridad la teoría de líneas de espera y ofrece un enfoque de aplicación de PERT y CPM en teoría de redes.


441

Bibliografía

Bibliografía complementaria

Enfoques cuantitativos a la administración, segunda edición, México, CECSA, 1991.

Introducción a la investigación de operaciones,México, LIMUSA.

Programación lineal y no lineal, México,Addison-Wesley Iberoamericana, 1989.

de redes o secuenciaciÓngc.initelabs.com/recursos/files/r157r/w13215w/invg...

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