de thi dai hoc toan 2002 2014 www.mathvn.com

8/17/2019 De Thi Dai Hoc Toan 2002 2014 Www.mathVN.com

1/207

TRÖÔØNG THPT NGUYEÃN VAÊN TROÃI

TUYEÅN TAÄP

CAÙC ÑEÀ THI ÑAÏI HOÏCTÖØ NAÊM 2002 – 2014

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học


2/207

bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao §¼nG n¨m 2002------------------------------ M«n thi : to¸n

§Ò chÝnh thøc (Thêi gian lµm bµi: 180 phót) _____________________________________________

C©u I (§H : 2,5 ®iÓm; C§ : 3,0 ®iÓm)

Cho hµm sè : (1) ( lµ tham sè).23223 )1(33 mm xmmx x y −+−++−= m

1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (1) khi .1=m 2. T×m k ®Ó ph− ¬ng tr×nh: − cã ba nghiÖm ph©n biÖt.033 2323 =−++ k k x x3. ViÕt ph− ¬ng tr×nh ®− êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè (1).C©u II.(§H : 1,5 ®iÓm; C§: 2,0 ®iÓm)

Cho ph− ¬ng tr×nh : 0121loglog 232

3 =−−++ m x x (2) ( lµ tham sè).m

1 Gi¶i ph− ¬ng tr×nh (2) khi .2=m

2. T×m ®Ó ph− ¬ng tr×nh (2) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc ®o¹n [m 33;1 ].C©u III. (§H : 2,0 ®iÓm; C§ : 2,0 ®iÓm )

1. T×m nghiÖm thuéc kho¶ng )2;0( π cña ph− ¬ng tr×nh: .32cos

2sin21

3sin3cossin +=

+

++ x

x

x x x5

2. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi çc ®− êng: .3,|34| 2 +=+−= x y x x yC©u IV.( §H : 2,0 ®iÓm; C§ : 3,0 ®iÓm)1. Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu ®Ønh cã ®é dµi c¹nh ®¸y b»ng a. Gäi ABC S . ,S vµ lÇn l− ît N

lµ çc trung ®iÓm cña çc c¹nh vµ TÝnh theo diÖn tÝch tam gi¸c , biÕt r»ngSB .SC a AMN mÆt ph¼ng ( vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng .) AMN )(SBC

2. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz cho hai ®− êng th¼ng:

∆ vµ ∆ .

=+−+

=−+−

0422

042:1

z y x

z y x

+=

+=

+=

t z

t y

t x

21

2

1

:2

a) ViÕt ph− ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®− êng th¼ng)( P 1∆ vµ song song víi ®− êng th¼ng .2∆

b) Cho ®iÓm . T×m to¹ ®é ®iÓm)4;1;2( M H thuéc ®− êng th¼ng 2∆ sao cho ®o¹n th¼ng H cã ®é dµi nhá nhÊt.

C©u V.( §H : 2,0 ®iÓm)1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é §ªcac vu«ng gãc Oxy , xÐt tam gi¸c vu«ng t¹i , ABC A

ph− ¬ng tr×nh ®− êng th¼ng lµ BC ,033 =−− y x çc ®Ønh vµ A B thuéc trôc hoµnh vµ

b¸n kÝnh ®− êng trßn néi tiÕp b»ng 2. T×m täa ®é träng t©m cña tam gi¸c .G ABC 2. Cho khai triÓn nhÞ thøc:

n x

n

n

n x x

n

n

xn

x

n

n x

n

n x x

C C C C

+

++

+

=

+

−−−−

−

−−−−−−

3

1

32

1

13

1

2

1

12

1

032

1

22222222 L

( n lµ sè nguyªn d− ¬ng). BiÕt r»ng trong khai triÓn ®ã C vµ sè h¹ng thø t− 13 5 nn C =

b»ng , t×m vµn20 n x .----------------------------------------HÕt---------------------------------------------

Ghi chó: 1) ThÝ sinh chØ thi cao ®¼ng kh«ng lµm C©u V.

2 ) Çn bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.

Hä vµ tªn thÝ sinh:.................................................... Sè b¸o danh:.....................1




3/207

bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao §¼ng n¨m 2002 ®Ò chÝnh thøc M«n thi : to¸n, Khèi B.

(Thêi gian lµm bµi : 180 phót)_____________________________________________

C©u I (§H : 2,0 ®iÓm; C§ : 2,5 ®iÓm) Cho hµm sè : ( ) 109 224 +−+= xmmx y (1) (m lµ tham sè).1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1) khi 1=m .2. T×m m ®Ó hµm sè (1) cã ba ®iÓm cùc trÞ.

C©u II (§H : 3,0 ®iÓm; C§ : 3,0 ®iÓm)

1. Gi¶i ph− ¬ng tr×nh: x x x x 6cos5sin4cos3sin 2222 −=− .

2. Gi¶i bÊt ph− ¬ng tr×nh: ( ) 1)729(loglog 3 ≤− x x .

3. Gi¶i hÖ ph− ¬ng tr×nh:

++=+

−=−

.2

3

y x y x

y x y x

C©u III ( §H : 1,0 ®iÓm; C§ : 1,5 ®iÓm) TÝnh diÖn tÝch cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi çc ®− êng :

4

42 x

y −= vµ24

2 x y = .

C©u IV (§H : 3,0 ®iÓm ; C§ : 3,0 ®iÓm)1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxy cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã t©m

0;

2

1 I , ph− ¬ng tr×nh ®− êng th¼ng AB lµ 022 =+− y x vµ AD AB 2= . T×m täa ®é çc ®Ønh

DC B A ,,, biÕt r»ng ®Ønh A cã hoµnh ®é ©m.2. Cho h×nh lËp ph− ¬ng 1111 DC B ABCDA cã c¹nh b»ng a .

a) TÝnh theo a kho¶ng çch gi÷a hai ®− êng th¼ng B A1 vµ D B1 .

b) Gäi P N M ,, lÇn l− ît lµ çc trung ®iÓm cña çc c¹nh CD BB ,1 , 11 D A . TÝnh gãc gi÷a

hai ®− êng th¼ng MP vµ N C 1 .

C©u V (§H : 1,0 ®iÓm) Cho ®a gi¸c ®Òu n A A A 221 L ,2( ≥n n nguyªn ) néi tiÕp ®− êng trßn ( )O . BiÕt r»ng sè tam gi¸c cã çc ®Ønh lµ 3 trong n2 ®iÓm n A A A 221 ,,, L nhiÒu gÊp 20 lÇn sè h×nh ch÷ nhËt

cã çc ®Ønh lµ 4 trong n2 ®iÓmn

A A A221

,,, L , t×m n .

--------------------------------------HÕt-------------------------------------------Ghi chó : 1) ThÝ sinh chØ thi cao ®¼ng kh«ng lµm C©u IV 2. b) vµ C©u V.

2) Çn bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.

Hä vµ tªn thÝ sinh:................................................................... Sè b¸o danh:...............................

2




4/207

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi TuyÓn sinh ®¹i häc ,cao ®¼ng n¨m 2002 §Ò chÝnh thøc M«n thi : To¸n Khèi D

( Thêi gian lµm bµi : 180 phót ) _________________________________________

C©uI ( §H : 3 ®iÓm ; C§ : 4 ®iÓm ).

Cho hµm sè :( )

1x

mx1m2y

2

−

−−= (1) ( m lµ tham sè ).

1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè (1) øng víi m = -1.

2. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®− êng cong (C) vµ hai trôc täa ®é.3. T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè (1) tiÕp xóc víi ®− êng th¼ng xy = .

C©u II ( §H : 2 ®iÓm ; C§ : 3 ®iÓm ).

1. Gi¶i bÊt ph− ¬ng tr×nh : ( )x3x2

− . 02x3x22

≥−− .

2. Gi¶i hÖ ph− ¬ng tr×nh :

=+

+

−=+

.y22

24

y4y52

x

1xx

2x3

C©u III

( §H : 1 ®iÓm ; C§ : 1 ®iÓm ). T×m x thuéc ®o¹n [ 0 ; 14 ] nghiÖm ®óng ph− ¬ng tr×nh : 04xcos3x2cos4x3cos =−+− .

C©u IV ( §H : 2 ®iÓm ; C§ : 2 ®iÓm ).1. Cho h×nh tø diÖn ABCD cã c¹nh AD vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC); AC = AD = 4 cm ;

AB = 3 cm ; BC = 5 cm . TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A tíi mÆt ph¼ng (BCD).2. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz, cho mÆt ph¼ng (P) : 02yx2 =+−

vµ ®− êng th¼ng md :( ) ( )

( )

=++++

=−+−++

02m4z1m2mx

01mym1x1m2 ( m lµ tham sè ).

X¸c ®Þnh m ®Ó ®− êng th¼ng md song song víi mÆt ph¼ng (P).

C©u V (§H : 2 ®iÓm ).

1. T×m sè nguyªn d− ¬ng n sao cho 243C2....C4C2C nnn2

n1n

0n =++++ .

2. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxy , cho elip (E) cã ph− ¬ng tr×nh

19

y

16

x 22=+ . XÐt ®iÓm M chuyÓn ®éng trªn tia Ox vµ ®iÓm N chuyÓn ®éng trªn tia Oy sao cho

®− êng th¼ng MN lu«n tiÕp xóc víi (E). X¸c ®Þnh täa ®é cña M , N ®Ó ®o¹n MN cã ®é dµi nhánhÊt . TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã .

-------------------------HÕt-------------------------

Chó ý :

1. ThÝ sinh chØ thi cao ®¼ng kh«ng lµm c©u V 2. C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.

Hä vµ tªn thÝ sinh : ................................................................ Sè b¸o danh.............................

3




5/207

bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2002 ------------------------------------- §¸p ¸n vµ thang ®iÓm m«n to¸n khèi A

C©u ý Néi dung §H C§I 1

23 31 x x ym +−=⇒=

TËp x¸c ®Þnh R x∈∀ . )2(363' 2 −−=+−= x x x x y ,

=

=⇔=

2

00'

2

1

x

x y

10",066" =⇔==+−= x y x y

B¶ng biÕn thiªn

∞+∞− 210 x

−' y +0 −0

−+ 0" y

y + ∞ lâm U 4

CT 2 C§ 0 låi ∞−

=

=⇔= 300 x x y , 4)1( =− y

§å thÞ:

( ThÝ sinh cã thÓ lËp 2 b¶ng biÕn thiªn)

∑1 ,0 ®

0,25 ®

0,5 ®

0,25 ®

∑1 ,5 ®

0,5®

0,5 ®

0,5 ®

-1 1 2 3 x0

2

4

y

4




6/207

I 2

C¸ch I. Ta cã 2332323 33033 k k x xk k x x +−=+−⇔=−++− .

§Æt 23 3k k a +−= Dùa vµo ®å thÞ ta thÊy ph− ¬ng tr×nh a x x =+− 23 3

cã 3 nghiÖm ph©n biÖt 43040 23 =−+=∆ ymm cã 2 nghiÖm 21 x x ≠

vµ ' y ®æi dÊu khi qua 1 x vµ ⇒2 x hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i 1 x vµ 2 x .

Ta cã 23223 )1(33 mm xmmx x y −+−++−=

( ) .2336333

1 222 mm xmmx xm x +−+−++−

−=

Tõ ®©y ta cã mm x y +−= 211 2 vµ mm x y +−= 2

22 2 .

VËy ph− ¬ng tr×nh ®− êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ lµ mm x y +−= 2

2 .

∑1 ,0 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

----------

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®0,25 ®

∑1 ,0 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

-----------

0,25 ®

0,25®

0,25 ®0,25 ®

II 1.

Víi 2=m ta cã 051loglog 232

3 =−++ x x

§iÒu kiÖn 0> x . §Æt 11log23 ≥+= xt ta cã

06051 22 =−+⇔=−+− t t t t .2

3

2

1

=

−=⇔t

t

∑ 5,0 ®

0,25 ®

∑ 0,1 ®

0,5 ®

5




7/207

31 −=t (lo¹i) ,3

3

2

32 33log3log2 ±=⇔±=⇔=⇔= x x xt

33±= x tháa m·n ®iÒu kiÖn 0> x .(ThÝ sinh cã thÓ gi¶i trùc tiÕp hoÆc ®Æt Èn phô kiÓu kh¸c)

0,25 ® 0,5 ®

2.

0121loglog 232

3 =−−++ m x x 2)

§iÒu kiÖn 0> x . §Æt 11log23 ≥+= xt ta cã

0220121 22 =−−+⇔=−−+− mt t mt t 3)

.21log13log0]3,1[ 2333 ≤+=≤⇔≤≤⇔∈ xt x x

VËy (2) cã nghiÖm ]3,1[ 3∈ khi vµ chØ khi (3) cã

nghiÖm [ ]2,1∈ . §Æt t t t f += 2)(

C¸ch 1.

Hµm sè )(t f lµ hµm t¨ng trªn ®o¹n ][ 2;1 . Ta cã 2)1( = f vµ 6)2( = f . Ph− ¬ng tr×nh 22)(222 +=⇔+=+ mt f mt t cã nghiÖm [ ]2;1∈

.20622

222

22)2(

22)1(≤≤⇔

≤+

+≤⇔

+≥

+≤⇔ m

m

m

m f

m f

C¸ch 2.

TH1. Ph− ¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm 21, t t tháa m·n 21 21


8/207

2.

V× (0∈ x ; )π 2 nªn lÊy3

1

π = x vµ

3

52

π = x . Ta thÊy 21, x x tháa m·n ®iÒu

kiÖn2

12sin −≠ x . VËy c¸c nghiÖm cÇn t×m lµ:

31

π = x vµ

3

52

π = x .

(ThÝ sinh cã thÓ sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi kh¸c)

Ta thÊy ph− ¬ng tr×nh 3|34| 2 +=+− x x x cã 2 nghiÖm 01 = x vµ .52 = x

MÆt kh¸c ∀+≤+− 3|34| 2 x x x [ ]5;0∈ x . VËy

( ) ( ) ( )dx x x xdx x x xdx x x xS ∫ ∫∫ +−+++−+−+=+−−+=1

0

3

1

22

5

0

2 343343|34|3

( )dx x x x∫ −+−++5

3

2 343

( ) ( ) ( )dx x xdx x xdx x xS ∫∫∫ +−++−++−=5

3

2

3

1

2

1

0

2 5635

5

3

233

1

231

0

23

2

5

3

16

2

3

3

1

2

5

3

1

+−+

+−+

+−= x x x x x x xS

6

109

3

22

3

26

6

13=++=S (®.v.d.t)

( NÕu thÝ sinh vÏ h×nh th× kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i nªu bÊt ®¼ng thøc ∀+≤+− 3|34| 2 x x x [ ]5;0∈ x )

0,25 ®

∑1 ,0 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25®

0,25 ®

∑1 ,0 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25®

IV 1. ∑1® ∑1®

x510-1

y

3

32

1

8

-1

7




9/207

S

N

I

M C

A K

B

Gäi K lµ trung ®iÓm cña BC vµ MN SK I ∩=

. Tõ gi¶ thiÕt MN a

BC MN ,22

1==⇒ // BC I ⇒ lµ trung ®iÓm cña SK vµ MN .

Ta cã ⇒∆=∆ SAC SAB hai trung tuyÕn t− ¬ng øng AN AM = AMN ∆⇒ c©n t¹i A MN AI ⊥⇒ .

MÆt kh¸c

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) SK AI SBC AI

MN AI

AMN AI

MN AMN SBC

AMN SBC

⊥⇒⊥⇒

⊥

⊂

=∩

⊥

.

Suy ra SAK ∆ c©n t¹i 2

3a

AK SA A ==⇒ .

244

3 222222 aaa BK SBSK =−=−=

4

10

84

3

2

222

222 aaaSK SASI SA AI =−=

−=−=⇒ .

Ta cã16

10.

2

1 2a AI MN S AMN ==∆ (®vdt)

chó ý1) Cã thÓ chøng minh MN AI ⊥ nh− sau:

( ) ( ) AI MN SAK MN SAK BC ⊥⇒⊥⇒⊥ .2) Cã thÓ lµm theo ph− ¬ng ph¸p täa ®é: Ch¼ng h¹n chän hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz sao cho

−

−

−

h

aS

a A

aC

a B K ;

6

3;0,0;

2

3;0,0;0;

2,0;0;

2),0;0;0(

trong ®ã h lµ ®é dµi ®− êng cao SH cña h×nh chãp ABC S . .

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

8




10/207

2a)

Çch I. Ph− ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng )( P chøa ®− êng th¼ng 1∆ cã d¹ng:

( ) ( ) 042242 =+−++−+− z y x z y x β α ( 022 ≠+ β α )⇔ ( ) ( ) ( ) 044222 =+−−+−−+ β α β α β α β α z y x

VËy ( ) β α β α β α 2;22; −+−+= P nr

.Ta cã ( )2;1;12 =ur

// 2∆ vµ ( ) 22 1;2;1 ∆∈ M

( ) P // ( ) ( ) ( )

∉

=−⇔

∉

=⇔∆

P M P M

un P

22

2

2

0

1;2;1

0. β α rr

VËy ( ) 02: =− z x P

Çch II Ta cã thÓ chuyÓn ph− ¬ng tr×nh 1∆ sang d¹ng tham sè nh− sau:

Tõ ph− ¬ng tr×nh 1∆ suy ra .02 =− z x §Æt

=

−=

=

∆⇒=

'4

2'3

'2

:'2 1

t z

t y

t x

t x

( ) )4;3;2(,0;2;0 111 =∆∈−⇒ u M r // 1∆ .(Ta cã thÓ t×m täa ®é ®iÓm 11 ∆∈ M b»ng çch cho 020 =−=⇒= z y x

vµ tÝnh ( )4;3;221

21;12

11;22

121 =

−

−−

−=u

r).

Ta cã ( )2;1;12 =ur

// 2∆ . Tõ ®ã ta cã vÐc t¬ ph¸p cña mÆt ph¼ng )( P lµ :

[ ] ( )1;0;2, 21 −== uun P rrr

. VËy ph− ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng )( P ®i qua ( )0;2;01 − M vµ ⊥ ( )1;0;2 −= P n

r lµ: 02 =− z x .

MÆt kh¸c ( ) ( ) ⇒∉ P M 1;2;12 ph− ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng cÇn t×m lµ: 02 =− z x

∑ 5,0 ®

0,25 ®

0,25 ®-----------

0,25 ®

0,25 ®

∑ 0,1 ®

0,5 ®

0,5 ®-----------

0,5 ®

0,5 ®

2b)

b)Çch I. ( ) MH t t t H H ⇒+++⇒∆∈ 21,2,12 = ( )32;1;1 −+− t t t

( ) ( ) ( ) 5)1(6111263211 22222 +−=+−=−+++−=⇒ t t t t t t MH ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vµ chØ khi ( )3;3;21 H t ⇒=Çch II. ( )t t t H H 21;2;12 +++⇒∆∈ . MH nhá nhÊt ( )4;3;210. 22 H t u MH MH ⇒=⇔=⇔∆⊥⇔

r

∑ 5,0 ®0,25 ®

0,25 ®-----------

0,25 ®0,25 ®

∑ 0,1 ®0,5 ®

0,5 ®-----------

0,5 ®0,5 ®

V 1.

Ta cã ( )0;1 BOx BC =I . §Æt a x A = ta cã );( oa A vµ

.33 −=⇒= a ya x C C VËy 33; −aaC .

Tõ c«ng thøc( )

( )

++=

++=

C B AG

C B AG

y y y y

x x x x

3

13

1

ta cã

−+

3

)1(3;3

12 aaG .

Çch I.

Ta cã :

|1|2|,1|3|,1| −=−=−= a BC a AC a AB . Do ®ã

∑1®

0,25 ®

9




11/207

( )212

3.

2

1−==∆ a AC ABS ABC .

Ta cã( )

|1|3|1|3

132 2

−+−

−=

++=

aa

a

BC AC AB

S r = .2

13

|1|=

+

−a

VËy .232|1| +=−a

TH1.

++⇒+=

3

326;

3

347332 11 Ga

TH2

−−−−⇒−−=

3

326;

3

134132 22 Ga .

C¸ch II.

y C

I

O B A x

Gäi I lµ t©m ®− êng trßn néi tiÕp ABC ∆ . V× 22 ±=⇒= I yr .

Ph− ¬ng tr×nh ( ) 3213

11.30: 0 ±=⇒

−=−= I x x

xtg y BI .

TH1 NÕu A vµ O kh¸c phÝa ®èi víi .321+=⇒ I x B Tõ 2),( = AC I d

.3232 +=+=⇒ I xa

++⇒

3

326;

3

3471G

TH 2. NÕu A vµ O cïng phÝa ®èi víi .321−=⇒ I x B T − ¬ng tù

ta cã .3212 −−=−= I xa

−−−−⇒

3

326;

3

1342G

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®-----------

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

2.

Tõ 13 5 nn C C = ta cã 3≥n vµ∑1 ®

10




12/207

( ) ( ) 02835

6

)2)(1(

!1

!5!3!3

! 2 =−−⇔=−−

⇔−

=−

nnnnnn

n

n

n

n

41 −=⇒ n (lo¹i) hoÆc .72 =n

Víi 7=n ta cã

.4421402.2.3514022 2223

34

21

3

7 =⇔=⇔=⇔=

−−−−− xC x x x x x

0,25 ®

0,25 ®

0,5 ®

11




13/207

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2002------------------------- §¸p ¸n vµ thang ®iÓm ®Ò thi chÝnh thøc

M«n to¸n, khèi b

C©u ý Néi dung §H C§I 1 Víi 1=m ta cã 108 24 +−= x x y lµ hµm ch½n ⇒ ®å thÞ ®èi xøng qua Oy .

TËp x¸c ®Þnh ∀ R x∈ , ( )44164' 23 −=−= x x x x y , 0'= y

±=

=⇔

2

0

x

x

,3

4121612" 22

−=−= x x y

3

20" ±=⇔= x y .

B¶ng biÕn thiªn:

∞+−

−∞− 23

20

3

22 x

−' y 0 + 0 − 0 +

" y + 0 − 0 + ∞+ 10 ∞+

y lâm U C§ U lâmCT låi CT6− 6−

Hai ®iÓm cùc tiÓu : ( )6;21 −− A vµ ( )6;22 − A .Mét ®iÓm cùc ®¹i: ( )10;0 B .

Hai ®iÓm uèn:

−

9

10;

3

21U vµ

9

10;

3

22U .

Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung lµ ( )10;0 B .§å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i 4 ®iÓm cã hoµnh ®é:

64 +±= x vµ 64 −±= x .

(ThÝ sinh cã thÓ lËp 2 b¶ng biÕn thiªn)

∑ 0,1 ®

0,25 ®

0,5 ®

0,25 ®

∑ 5,1 ®

0,5 ®

0,5 ®

0,5 ®

x0

10

y

-6

-2 2

A2A1

B

U1 U2

12




14/207


15/207

3

++=+

−=−

).2(2

)1(3

y x y x

y x y x §iÒu kiÖn: )3(

.0

0

≥+

≥−

y x

y x

( )

+=

=⇔=−−−⇔

.101)1( 63

y x

y x y x y x

Thay y= vµo (2), gi¶i ra ta ®− îc .1== y x

Thay 1+= y x vµo (2), gi¶i ra ta cã:2

1,

2

3== y x .

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (3) hÖ ph− ¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm:

1,1 == y x vµ2

1,

2

3== y x

Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ n©ng hai vÕ cña (1) lªn luü thõa bËc 6 ®Ó di ®Õn kÕt qu¶:

+=

=

.1 y x

y x

∑ 0,1 ®0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

∑ 0,1 ®0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

III

T×m giao ®iÓm cña hai ®− êng cong4

42 x

y −= vµ24

2 x y = :

44

2 x− =

24

2 x8804

432

224

±=⇔=⇔=−+⇔ x x x x

.

Trªn 8;8− ta cã24

2 x

44

2 x−≤ vµ do h×nh ®èi xøng qua trôc tung

nªn dx x xS ∫

−−=

8

0

22

24442 21

8

0

2

8

0

2

22116 S S dx xdx x −=−−= ∫∫ .

§Ó tÝnh 1S ta dïng phÐp ®æi biÕn t x sin4= , khi4

0 π

≤≤ t th× 80 ≤≤ x .

tdt dx cos4= vµ

∈∀>

4;00cos

π

t t . Do ®ã

∑ 0,1 ®

0,25 ®

0,25 ®

∑ 5,1 ®

0,5 ®

0,25 ®

x 0-4 4

2

y

-2 2 2 2

2 A2A1

4

x4y

2

−=24

xy

2

=

14




16/207

( ) 422cos18cos16164

0

4

0

2

8

0

2

1 +=+==−= ∫∫∫ π π π

dt t tdt dx xS .

3

8

26

1

22

1 8

0

3

8

0

2

2 === ∫ xdx xS . VËy 34

221 +=−= π S S S .

Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ tÝnh diÖn tÝch dx x x

S ∫−

−−=8

8

22

2444 .

0,25 ®

0,25 ®

0,5 ®

0,25 ®

IV 1

Kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn ®− êng th¼ng AB b»ng2

55=⇒ AD vµ

2

5

== IB IA .

Do ®ã B A, lµ c¸c giao ®iÓm cña ®− êng th¼ng AB víi ®− êng trßn t©m I vµ b¸n

kÝnh2

5= R . VËy täa ®é B A, lµ nghiÖm cña hÖ :

=+

−

=+−2

2

2

2

5

2

1

022

y x

y x

Gi¶i hÖ ta ®− îc ( ) ( )2;2,0;2 B A − (v× 0


17/207

IV 2a) T×m kho¶ng çch gi÷a B A1 vµ D B1 .

Çch I. Chän hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz sao cho

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aa DaaaC aa BaaC a Aa Da B A ;;0,;;;;0;;0;;;0;0,0;;0,0;0;,0;0;0 1111 ⇒

( ) ( ) ( )0;0;,;;,;0; 1111 a B Aaaa D Baa B A =−−=−=⇒ vµ ( )22211 ;2;, aaa D B B A = .

VËy ( )[ ] 66,

.,,

2

3

11

1111

11

a

a

a

D B B A

B A D B B A D B B Ad === .

Çch II. ( ) D B B A DC AB B A AD B A

AB B A11111

1

11 ⊥⇒⊥⇒

⊥

⊥.

T − ¬ng tù D BC A 111 ⊥ ( )111 BC A D B ⊥⇒ .

Gäi ( )111 BC A D BG ∩= . Do aC B B B A B === 11111 nªn

GGC GBGA ⇒== 11 lµ t©m tam gi¸c ®Òu 11 BC A cã c¹nh b»ng 2a .

Gäi I lµ trung ®iÓm cña B A1 th× IG lµ ®− êng vu«ng gãc chung cña B A1 vµ

D B1 , nªn ( )62

3

3

1

3

1, 1111

a B A I C IG D B B Ad ==== .

Chó ý:

ThÝ sinh cã thÓ viÕt ph− ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) P chøa B A1 vµ song song víi

D B1 lµ: 02 =−++ a z y x vµ tÝnh kho¶ng çch tõ 1 B (hoÆc tõ D ) tíi ( ) P ,

hoÆc viÕt ph− ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( )Q chøa D B1 vµ song song víi B A1 lµ:

022 =−++ a z y x vµ tÝnh kho¶ng çch tõ 1 A (hoÆc tõ B) tíi ( )Q .

∑ 0,1 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

∑ 5,1 ®

0,25 ®

0,5 ®

0,25 ®

0,5 ®

0,25 ®

0,5 ®

0,5 ®

x

D

D

CB1

A1

z

y

x

A

CB

I

16




18/207

2b)

Çch I.

Tõ Çch I cña 2a) ta t×m ®− îc

a

a P a

a N

aa M ;

2;0,0;;

2,

2;0;

0.;0;2

,2

;2

; 11 =⇒

=

−=⇒ NC MP a

a NC

aaa MP .

VËy N C MP 1⊥ .

Çch II.

Gäi E lµ trung ®iÓm cña 1CC th× ( ) ⇒⊥ 11C CDD ME h×nh chiÕu vu«ng gãc cña P trªn ( )11C CDD lµ 1 ED . Ta cã

N C E D N C D N CC E DC E C DCN C 11110

111111 90 ⊥⇒−==⇒∆=∆ . Tõ ®©y

theo ®Þnh lý ba ®− êng vu«ng gãc ta cã N C MP 1⊥ .

∑ 0,1 ®

0,25 ®

0,5 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®0,25 ®

V

Sè tam gi¸c cã çc ®Ønh lµ 3 trong n2 ®iÓm n A A A 221 ,,, L lµ3

2nC .

Gäi ®− êng chÐo cña ®a gi¸c ®Òu n A A A 221 L ®i qua t©m ®− êng trßn ( )O lµ®− êng chÐo lín th× ®a gi¸c ®· cho cã n ®− êng chÐo lín.

Mçi h×nh ch÷ nhËt cã çc ®Ønh lµ 4 trong n2 ®iÓm n A A A 221 ,,, L cã çc ®− êng

chÐo lµ hai ®− êng chÐo lín. Ng− îc l¹i, víi mçi cÆp ®− êng chÐo lín ta cã çc ®Çumót cña chóng lµ 4 ®Ønh cña mét h×nh ch÷ nhËt. VËy sè h×nh ch÷ nhËt nãi trªnb»ng sè cÆp ®− êng chÐo lín cña ®a gi¸c n A A A 221 L tøc

2

nC .

Theo gi¶ thiÕt th×:

∑ 0,1 ®

0,25 ®

0,25 ®

D1A

B1 C1

C

B

A

M E

N

P

y

x

z

17




19/207


20/207

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh §¹i häc , cao ®¼ng n¨m 2002M«n To¸n khèi D

§¸p ¸n vµ thang ®iÓm ®Ò thi chÝnh thøc

C©u Néi dung §iÓm

§H C§ I

3® 4® 1. 1 1,5

Khi m = -1 ,ta cã1x

43

1x

1x3y

−−−=

−

−−=

-TX§ : 1x ≠

- CBT :( )

⇒≠∀>−

= 1x,01x

4y2

, hµm sè kh«ng cã cùc trÞ. 1/4 1/4

3ylimx

−=∞→

; −∞=+∞=+− →→ 1x1x

ylim;ylim .

- BBT :

x - ∞ 1 + ∞

y / + ++ ∞

y -3 -3

- ∞ 1/4 1/4 - TC: x=1 lµ tiÖm cËn ®øng v× =

→ylim

1x∞ .

y=-3 lµ tiÖm cËn ngang v× 3ylimx

−=∞→

1/4 1/4

- Giao víi c¸c trôc : x = 0 ⇒ y = 1; y = 0 ⇒ x = - 1/3. 1/4 - §å thÞ :

x

y

1/4 1/2

19




21/207

2. 1

1,5

DiÖn tÝch cÇn tÝnh lµ :

dx1x

1x3S

0

3 / 1∫

−

−

−−=

1/4 1/2

∫ ∫− − −−−=

0

3 / 1

0

3 / 1 1x

dx

4dx3 1/4 1/4

3 / 1

01xln4

3

1.3

−−−−=

1/4 1/2

3

4ln41 +−= ( ®vdt).

1/4 1/43. 1 1

Ký hiÖu( )

1x

mx1m2)x(f

2

−

−−= . Yªu cÇu bµi to¸n t− ¬ng ®− ¬ng víi t×m

m ®Ó hÖ ph− ¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:

(H)( )

=

=

.x)x(f

x)x(f / /

1/4 1/4

Ta cã (H)

( )

( )

=

−

−−

=−

−−

⇔

01x

mx

01x

mx

/ 2

2

1/4 1/4

( )

( )( ) ( )( )

=−

−+−−−

=

−

−−

⇔0

1x

mx1xmx2

0

1x

mx

2

2

2

1/4 1/4Ta thÊy víi 1m ≠∀ ; x = m lu«n tho¶ m·n hÖ ( H ) . V× vËy 1m ≠∀ , (H)lu«n cã nghiÖm , ®ång thêi khi m = 1 th× hÖ ( H ) v« nghiÖm. Do ®ã ®åthÞ hµm sè (1) tiÕp xóc víi ®− êng th¼ng y = x khi vµ chØ khi 1m ≠ .

§S : 1m ≠ . 1/4 1/4II

2® 3® 1. 1

1,5

BÊt ph− ¬ng tr×nh

≥−

>−−

=−−

⇔

0x3x

02x3x2

02x3x2

2

2

2

1/4 1/2

TH 1: .2

1x2x02x3x202x3x2 22 −=∨=⇔=−−⇔=−−

1/4 1/4

TH 2:

≥−

>−−⇔

≥−

>−−

0x3x

02x3x2

0x3x

02x3x22

2

2

2

≥∨≤

>∨−


22/207

3x2

1x ≥∨−<

1/4 1/4

Tõ hai tr− êng hîp trªn suy ra §S: 3x2x2

1x ≥∨=∨−≤

1/4 1/4

2.1 1,5

HÖ ph− ¬ng tr×nh

=

−=⇔

y2

y4y52x

2x3

1/4 1/2

=+−

>=⇔

0y4y5y

0y223

x

1/4 1/4

=∨=∨=

>=⇔

4y1y0y

0y2x

1/4 1/4

⇔

=

=∨

=

=

4y

2x

1y

0x

1/4 1/2

III1® 1®

Ph− ¬ng tr×nh ( ) ( ) 01x2cos4xcos3x3cos =+−+⇔ 0xcos8xcos4 23 =−⇔

( ) 02xcosxcos4 2 =−⇔ 0xcos =⇔ 1/4 1/2

π+π

=⇔ k2

x .1/4 1/4

[ ] 3k2k1k0k14;0x =∨=∨=∨=⇔∈ 1/4

§S : ;2

x π

= 2

3x

π= ;

2

5x

π= ;

2

7x

π= .

1/4 1/4IV

2® 2® 1. 1 1C¸ch 1Tõ gi¶ thiÕt suy ra tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A , do ®ã .ACAB⊥ 1/4 1/4L¹i cã ( )ABCmpAD⊥ ABAD⊥⇒ vµ ACAD⊥ , nªn AB, AC, AD ®«imét vu«ng gãc víi nhau. 1/4 1/4Do ®ã cã thÓ chän hÖ to¹ ®é §ªcac vu«ng gãc, gèc A sao cho B(3;0;0) ,

C(0;4;0), D( 0;0;4). MÆt ph¼ng (BCD) cã ph− ¬ng tr×nh :

014

z

4

y

3

x=−++ .

1/4 1/4

Kho¶ng c¸ch cÇn tÝnh lµ :17

346

16

1

16

1

9

1

1=

++

(cm).

1/4 1/4

21




23/207


24/207

( )

∉∈∃

=⇔→→

P A,dA

0n.u

m

Ta cã : ®iÒu kiÖn 0n.u =→→

2

1m −=⇔

1/4 1/4

MÆt kh¸c khi m = - 1/2 th× md cã ph− ¬ng tr×nh :

=

=−

0x

01y , mäi ®iÓm

A( 0;1;a) cña ®− êng th¼ng nµy ®Òu kh«ng n»m trong (P), nªn ®iÒu kiÖn( )P A,dA m ∉∈∃ ®− îc tho¶ m·n. §S : m = - 1/2 1/4 1/4

C¸ch 2:ViÕt ph− ¬ng tr×nh dm d− íi d¹ng tham sè ta ®− îc

−−−=

+−=

+−=

m)t.m(12z

t1)(2m1 y

1)tm)(2m(1 x2

1/4 1/4

md // (P) ⇔ hÖ ph− ¬ng tr×nh Èn t sau

=+−

−−−=

+−=

+−=

02yx2

t)m1(m2z

t)1m2(1y

t)1m2)(m1(x2

v« nghiÖm

1/4 1/4⇔ ph− ¬ng tr×nh Èn t sau 3(2m+1)t+1 = 0 v« nghiÖm 1/4 1/4⇔ m=-1/2 1/4 1/4C¸ch 3:

md // (P) ⇔ hÖ ph− ¬ng tr×nh Èn x, y, z sau

(H) ( ) ( )

=++++

=−+−++=+−

02m4z)1m2(mx

01myx1x1m2

02yx2

v« nghiÖm 1/4 1/4

Tõ 2 ph− ¬ng tr×nh ®Çu cña hÖ ph− ¬ng tr×nh trªn suy ra

+=

−=

3

4m2y

3

1mx

1/4 1/4

ThÕ x , y t×m ®− îc vµo ph− ¬ng tr×nh thø ba ta cã :

)6m11m(3

1z)1m2( 2 ++−=+

1/4 1/4

HÖ (H) v« nghiÖm2

1m −=⇔

1/4 1/4V

2®

1. 1

Ta cã : ( ) ∑=

=+n

0k

kkn

nxC1x ,

1/4

Cho x = 2 ta ®− îc ∑==n

0k

kknn 2C31/4

5n32433 5n =⇔==⇒ . 1/2

23




25/207

2. 1Çch 1Gi¶ sö M(m;0) vµ N(0;n) víi m > 0 , n > 0 lµ hai ®iÓm chuyÓn ®éng trªnhai tia Ox vµ Oy.

§− êng th¼ng MN cã ph− ¬ng tr×nh : 01n

y

m

x=−+

1/4§− êng th¼ng nµy tiÕp xóc víi (E) khi vµ chØ khi :

1n

19

m

116

22

=

+

.

1/4Theo B§T C«si ta cã :

( )2

2

2

2

22

22222

n

m9

m

n1625

n

9

m

16nmnmMN ++=

++=+=

499.16225 =+≥ 7MN ≥⇒ 1/4

§¼ng thøc x¶y ra

>>

=+=

⇔

0n,0m

49nm

n

m9

m

n16

22

2

2

2

2

⇔ 21n,72m == .

KL: Víi 21;0N,0;72M th× MN ®¹t GTNN vµ GTNN (MN) = 7. 1/4Çch 2Gi¶ sö M(m;0) vµ N(0;n) víi m > 0 , n > 0 lµ hai ®iÓm chuyÓn ®éng trªnhai tia Ox vµ Oy.

§−

êng th¼ng MN cã ph−

¬ng tr×nh : 01n

y

m

x=−+

1/4§− êng th¼ng nµy tiÕp xóc víi (E) khi vµ chØ khi :

1n

19

m

116

22

=

+

.

1/4Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacèpski ta cã

( ) 49n

3.n

m

4.m

n

9

m

16nmnmMN

2

22

22222 =

+≥

++=+= .

7MN ≥⇒ 1/4

- §¼ng thøc x¶y ra

>>

=+

=

⇔

0n,0m

7nmn

3

:nm

4

:m22 ⇔ 21n,72m == .

KL: Víi 21;0N,0;72M th× MN ®¹t GTNN vµ GTNN (MN) = 7. 1/4Çch 3:

Ph− ¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm (x0 ; y0) thuéc (E) : 19

yy

16

xx 00 =+

1/4

24




26/207

Suy ra to¹ ®é cña M vµ N lµ

0;

x

16M

0

vµ

0y

9;0N

⇒

+

+=+=

20

2

20

220

20

20

2

20

22

y

9

x

16

9

y

16

x

y

9

x

16MN

1/4Sö dông bÊt ®¼ng thøc C«si hoÆc Bunhiac«pski (nh− c¸ch 1 hoÆc c¸ch 2)ta cã : 22 7MN ≥

1/4

- §¼ng thøc x¶y ra7

213y;

7

78x 00 ==⇔ .

- Khi ®ã 21;0N,0;72M vµ GTNN (MN) = 7 1/4

-----------------------HÕt----------------------

25




27/207

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc ,cao ®¼ng n¨m 2002------------------------ ---------------------------------------------

H

íng dÉn chÊm thi m«n to¸n khèi D

C©u I:

1. -NÕu TS lµm sai ë b− íc nµo th× kÓ tõ ®ã trë ®i sÏ kh«ng ®− îc ®iÓm.-NÕu TS x¸c ®Þnh ®óng hµm sè vµ chØ t×m ®óng 2 tiÖm cËn th× ®− îc 1/4 ®iÓm.

2. NÕu TS lµm sai ë b− íc nµo th× kÓ tõ ®ã trë ®i sÏ kh«ng ®− îc ®iÓm. 3. -NÕu TS dïng ®iÒu kiÖn nghiÖm kÐp th× kh«ng ®− îc ®iÓm.

-NÕu TS kh«ng lo¹i gi¸ trÞ m = 1 th× bÞ trõ 1/4 ®iÓm.

C©u II:

1. -NÕu TS lµm sai ë b− íc nµo th× kÓ tõ ®ã trë ®i sÏ kh«ng ®− îc ®iÓm.-NÕu TS kÕt luËn nghiÖm sai bÞ trõ 1/4 ®iÓm .

-NÕu TS sö dông ®iÒu kiÖn sai:

≤

<

≥

≥

⇔≥

0)x(g

0)x(f

0)x(g

0)x(f

0)x(g).x(f vµ dÉn ®Õn kÕt qu¶ ®óng sÏ

bÞ trõ 1/4 ®iÓm.2. TS lµm ®óng ë b− íc nµo ®− îc ®iÓm ë b− íc ®ã.

C©u III:TS lµm ®óng b− íc nµo ®− îc ®iÓm b− íc ®ã.

C©u IV:

TS lµm ®óng b− íc nµo ®− îc ®iÓm b− íc ®ã.

C©u V

:1. TS lµm ®óng b− íc nµo ®− îc ®iÓm b− íc ®ã.2. TS lµm ®óng b− íc nµo ®− îc ®iÓm b− íc ®ã.

----------------------HÕt----------------------

26




28/207

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2003

-------------------------- M«n thi : to¸n khèi A®Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi : 180 phót

___________________________________

C©u 1 (2 ®iÓm). Cho hµm sè m x

m xmx y ( (1)

1

2

−

++= lµ tham sè).

1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (1) khi m = −1.2) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) c¾t trôc hoµnh t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt vµ hai ®iÓm ®ã cã hoµnh

®é d− ¬ng. C©u 2 (2 ®iÓm).

1) Gi¶i ph− ¬ng tr×nh .2sin2

1sin

tg1

2cos1cotg 2 x x

x

x x −+

+=−

2) Gi¶i hÖ ph− ¬ng tr×nh

+=

−=−

.12

11

3 x y

y y

x x

C©u 3 (3 ®iÓm).1) Cho h×nh lËp ph− ¬ng . TÝnh sè ®o cña gãc ph¼ng nhÞ diÖn [ ].. ' ' ' ' ABCD A B C D DC A B ,',2) Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Ox cho h×nh hép ch÷ nhËt

cã trïng víi gèc cña hÖ täa ®é,

yz

; 0; 0. ' ' ' ' ABCD A B C D A ( ), (0; ; 0), '(0; 0; ) B a D a A b

. Gäi( 0, 0)a b> > lµ trung ®iÓm c¹nh CC .'

a) TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn ' BDA M theo a vµ b .

b) X¸c ®Þnh tû sèa

b ®Ó hai mÆt ph¼ng vµ( ' ) A BD ( ) BD vu«ng gãc víi nhau.

C©u 4 ( 2 ®iÓm).

1) T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x 8 trong khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña

n

x x

+ 5

3

1 , biÕt r»ng

)3(73

14

+=− +++ nC C

nn

nn

( n lµ sè nguyªn d− ¬ng, x > 0, lµ sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö).k nC

2) TÝnh tÝch ph©n

∫ +=

32

52 4 x x

dx I .

C©u 5 (1 ®iÓm).Cho x , y, z lµ ba sè d− ¬ng vµ x + y + z ≤ 1. Chøng minh r»ng

.82 1

1

1

2

2

2

2

2

2 ≥+++++ z

z y

y x

x

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− HÕT −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Ghi chó: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.

Hä vµ tªn thÝ sinh: …………………………….. ……. Sè b¸o danh: …………….

27




29/207

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2003----------------------- M«n thi : to¸n khèi B

§Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi: 180 phót _______________________________________________

C©u 1 (2 ®iÓm). Cho hµm sè ( lµ tham sè).3 23 (1) y x x m= − + m 1) T×m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) cã hai ®iÓm ph©n biÖt ®èi xøng víi nhau qua gèc täa ®é.m 2) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (1) khi m =2. C©u 2 (2 ®iÓm).

1) Gi¶i ph− ¬ng tr×nh2

otg tg 4sin 2sin2

x x xc x

− + = .


2

2

2

2

2 3

23 .

y y

x

x x

y

+=

+=

C©u 3 (3 ®iÓm).1) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Ox cho tam gi¸c cã y ABC

0, 90 . AB AC BAC = = BiÕt (1; 1) M − lµ trung ®iÓm c¹nh BC vµ2

; 03

G lµ träng

t©m tam gi¸c . T×m täa ®é çc ®Ønh .

ABC , , A B C

2) Cho h×nh l¨ng trô ®øng cã ®¸y lµ mét h×nh thoi c¹nh ,

gãc

. ' ' ' ' ABCD A B C D ABCD a

060 BAD = . Gäi lµ trung ®iÓm c¹nh vµ lµ trung ®iÓm c¹nh ' .Chøng minh r»ng bèn ®iÓm

' N AA CC

', , , B M D N

'

cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. H·y tÝnh ®é

dµi c¹nh ' theo a ®Ó tø gi¸c AA B MDN lµ h×nh vu«ng.

3) Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Ox cho hai ®iÓm

vµ ®iÓm sao cho . TÝnh kho¶ng çch tõ

trung ®iÓm

yz

0)(2; 0; 0), (0; 0; 8) A B C (0; 6; AC →

=

I cña BC ®Õn ®− êng th¼ng OA . C©u 4 (2 ®iÓm).

1) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè 24 . y x x= + −


π

4 2

0

1 2sin

1 sin 2 I dx x

−

= +∫ . C©u 5 (1 ®iÓm). Cho lµ sè nguyªn d− ¬ng. TÝnh tængn

2 3 10 1 22 1 2 1 2 1

2 3 1

nn

n n nC C C n

+− − −+ + + +

+ nC

( C lµ sè tæ hîp chËp k cña phÇn tö).k n n

----------------------------------HÕt---------------------------------

Ghi chó: Çn bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.

Hä vµ tªn thÝ sinh……………………………………….. Sè b¸o danh…………

28




30/207

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2003---------------------- M«n thi: to¸n Khèi D§Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi: 180 phót

_______________________________________________

C©u 1 (2 ®iÓm).1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè

2 2 4 (1)

2

x x y

x

− +=

−.

2) T×m ®Ó ®− êng th¼ng d ym : 2 2m mx m= + − c¾t ®å thÞ cña hµm sè (1) t¹i hai ®iÓm

ph©n biÖt.C©u 2 (2 ®iÓm).

1) Gi¶i ph− ¬ng tr×nh 2 2 2π

sin tg cos 02 4 2

x x x

− − =

.

2) Gi¶i ph− ¬ng tr×nh .2 222 2 x x x x− + −− = 3

C©u 3 (3 ®iÓm).1) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc cho ®− êng trßnOxy

4)2()1( :)( 22 =−+− y xC vµ ®− êng th¼ng : 1 0d x y− − = .

ViÕt ph− ¬ng tr×nh ®− êng trßn ( ®èi xøng víi ®− êng trßn qua ®− êng th¼ng

T×m täa ®é çc giao ®iÓm cña vµ .

')C

(C

( )C .d

) ( ')C

2) Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz cho ®− êng th¼ng

3 2:

1 0.k

x ky z d

kx y z

0+ − + =

− + + =

T×m ®Ó ®− êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ngk k d ( ) : 2 5 0 P x y z − − + = .

3) Cho hai mÆt ph¼ng vµ vu«ng gãc víi nhau, cã giao tuyÕn lµ ®− êng th¼ng( ) P ( )Q ∆ .Trªn lÊy hai ®iÓm víi∆ , A B AB a= . Trong mÆt ph¼ng lÊy ®iÓm , trong

mÆt ph¼ng ( lÊy ®iÓm sao cho ,

( ) P C

)Q D AC BD cïng vu«ng gãc víi ∆ vµ

. TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn vµ tÝnh kho¶ngçch tõ ®Õn mÆt ph¼ng AC BD

A

AB== ABCD( ) BCD theo . a

C©u 4 ( 2 ®iÓm).

1) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè2

1

1

x y

x

+=

+ trªn ®o¹n [ ]1; 2− .

2) TÝnh tÝch ph©n2

2

0

I x x d = −∫ x .

C©u 5 (1 ®iÓm).

Víi lµ sè nguyªn d− ¬ng, gäin 3 3na − lµ hÖ sè cña3 3n x − trong khai triÓn thµnh ®a

thøc cña ( 1 . T×m n ®Ó2 ) ( 2)n x x+ + n 3 3 26na − n= .

------------------------------------------------ HÕt ------------------------------------------------Ghi chó: Çn bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.

Hä vµ tªn thÝ sinh:…………………………….. ……. Sè b¸o danh:…………………

29




31/207


32/207


33/207

TH2:3

3 4

1 11 (3)

22 11 2 0 (4).

y xy y x x y x

x x x x

= −= − = − ⇔ ⇔

= + − = + + + =

Ta chøng minh ph− ¬ng tr×nh (4) v« nghiÖm.

Çch 1. 2 2

4 2 1 1 32 0,2 2 2

+ + = − + + + > ∀

x x x x x .

Çch 2. §Æt 43

1( ) 2 ( ) min ( ) 0

4∈

−= + + ⇒ ≥ = >

x f x x x f x f x f

R

.

Tr− êng hîp nµy hÖ v« nghiÖm.VËy nghiÖm cña hÖ ph− ¬ng tr×nh lµ:

1 5 1 5 1 5 1 5( ; ) (1;1), ; , ;

2 2 2 2 x y

− + − + − − − −=

.

0, 25 ®

C©u 3. 3®iÓm

1)

Çch 1. §Æt AB a= . Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B trªn A’C, suy ra BH ⊥ A’C, mµ BD ⊥ (A’AC) ⇒ BD ⊥ A’C, do ®ã A’C ⊥ (BHD) ⇒ A’C ⊥ DH . VËy gãc

ph¼ng nhÞ diÖn [ ], ' , B A C D lµ gãc BHD .XÐt ' A DC ∆ vu«ng t¹i D cã DH lµ ®− êng cao, ta cã . ' . ' DH A C CD A D=

. '

'

CD A D DH

A C ⇒ =

. 2 2

3 3

a a a

a= = . T − ¬ng tù, ' A BC ∆ vu«ng t¹i B cã BH lµ ®− êng

cao vµ2

3

a BH = .

MÆt kh¸c:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 22 2 . cos 2. cos3 3 3a a aa BD BH DH BH DH BHD BHD= = + − = + − ,

do ®ã 1

cos2

BHD = − o120 BHD⇒ = .

Çch 2. Ta cã BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ A’C (§Þnh lý ba ®− êng vu«ng gãc).T − ¬ng tù, BC’ ⊥ A’C ⇒ ( BC’D) ⊥ A’C . Gäi H lµ giao ®iÓm cña ' A C vµ ( ' ) BC D

⇒ BHD lµ gãc ph¼ng cña [ ]; ' ; B A C D .

Çc tam gi¸c vu«ng HA’B, HA’D, HA’C’ b»ng nhau ⇒ HB = HC’ = HD

⇒ H lµ t©m ∆ BC’D ®Òu o120 BHD⇒ = .

1 ®iÓm

0, 25 ®

0, 25 ®

0, 25 ®

0, 25 ®

hoÆc

0, 25®

0,25 ®0,5 ®

A

A’

B’ C’

D’

D

C B

H

I

32




34/207

2)a) Tõ gi¶ thiÕt ta cã

)2

;;();;('0);;;( b

aa M baaC aaC ⇒ .

VËy ( ; ; 0), (0; ; )2

b BD a a BM a= − =

2, ; ;

2 2

ab ab BD BM a

⇒ = −

.

( )23

' ; 0; , . ' .2

a b BA a b BD BM BA

− = − ⇒ =

Do ®ã2

'1

, . '6 4

BDA M a b

V BD BM BA = =

.

b) MÆt ph¼ng ( ) BDM cã vÐct¬ ph¸p tuyÕn lµ 21 , ; ;2 2

ab abn BD BM a

= = −

,

mÆt ph¼ng ( ' ) BD cã vÐct¬ ph¸p tuyÕn lµ 22 , ' ( ; ; )n BD BA ab ab a = =

.

Do ®ã2 2 2 2

41 2( ) ( ' ) . 0 02 2

a b a b BDM A BD n n a a b⊥ ⇔ = ⇔ + − = ⇔ =

1ab

⇔ = .

2 ®iÓm

0, 25 ®

0, 25 ®

0, 25 ®

0, 25 ®

0, 5 ®

0, 5 ®

C©u 4. 2®iÓm

1)

Ta cã ( )1 14 3 3 3 37( 3) 7( 3)n n n n nn n n n nC C n C C C n+ ++ + + + +− = + ⇔ + − = + ( 2)( 3)

7( 3) 2 7.2! 14 12.2!

n nn n n

+ +⇔ = + ⇔ + = = ⇔ =

Sè h¹ng tæng qu¸t cña khai triÓn lµ ( )12

5 60 113 2 2

12 12.

k k

k k k C x x C x

− −−

=

.

Ta cã

60 1182

60 118 4.

2

−−

= ⇒ = ⇔ =

k k

x x k

Do ®ã hÖ sè cña sè h¹ng chøa 8 x lµ .495)!412(!4

!12412 =

−=C

2) TÝnh tÝch ph©n2 3

2 25 4

xdx I

x x=

+∫ .

§Æt 22

4

4

dxt x dt

x

= + ⇒ =+

vµ 2 2 4. x t = −

Víi 5 x = th× 3t = , víi 2 3 x = th× 4t = .

Khi ®ã2 3 4 4

22 23 35

1 1 1

4 2 244

xdx dt I dt

t t t x x

= = = − − + −+

∫ ∫ ∫

4

3

1 2 1 5ln ln .

4 2 4 3

t

t

− = = +

1 ®iÓm

0, 5 ®

0, 25 ®

0, 25 ®

1 ®iÓm

0, 25 ®

0, 25 ®

0,25 ®

0, 25 ®

A

A’

B’C’

D’

D

C B

y

x

z

33




35/207


36/207


®¸p ¸n thang ®iÓm®Ò thi chÝnh thøc M«n thi : to¸n Khèi B

Néi dung ®iÓmC©u 1. 2®iÓm

1)§å thÞ hµm sè (1) cã hai ®iÓm ph©n biÖt ®èi xøng nhau qua gèc täa ®é⇔ tån t¹i 0 0 x ≠ sao cho 0 0( ) ( ) y x y x= − −

⇔ tån t¹i 0 0 x ≠ sao cho3 2 3 2

0 0 0 03 ( ) 3( ) x x m x x m − + = − − − − +

⇔ tån t¹i 0 0 x ≠ sao cho2

03 x m=

0m⇔ > .2) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m = 2.

Khi 2m = hµm sè trë thµnh 3 23 2. y x x= − +

TËp x¸c ®Þnh : .

2 0' 3 6 , ' 02.

x y x x y x

== − = ⇔ =

" 6 6. '' 0 1. y x y x= − = ⇔ =

" y triÖt tiªu vµ ®æi dÊu qua 1 (1;0) x = ⇒ lµ ®iÓm uèn.

B¶ng biÕn thiªn:

§å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i c¸c ®iÓm (1; 0), (1 3; 0)± vµ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0;2) .

1 ®iÓm0, 25 ®

0, 25 ®

0,25 ®

0,25 ®1 ®iÓm

0,25®

0,25®

0,25®

0,25®

x − ∞ 0 2 + ∞ y’ + 0 − 0 +

2 +∞ C§ CT

y − ∞ −2

x

y

O

2

21

−2

35




37/207

C©u 2. 2®iÓm

1) Gi¶i ph− ¬ng tr×nh:2

cotg tg 4sin 2 (1).sin2

x x x x

− + =

§iÒu kiÖn:sin 0

(*).cos 0

x

x

≠

≠

Khi ®ã (1)cos sin 2

4sin2sin cos sin 2

x x x

x x⇔ − + =

2 2cos sin 24sin2

sin cos sin 2

x x x

x x x

−⇔ + =

22cos 2 4sin 2 2 x x⇔ + = 22cos 2 cos 2 1 0 x x⇔ − − =

cos 2 1

1cos2

32

x k x

k x

π

π

π

== ⇔ ⇔ = ± += −

( )k ∈Z .

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) ta ®− îc nghiÖm cña (1) lµπ

π ( ).3

x k k = ± + ∈Z


2

2

2

2

23 (1)

2

3 (2).

y y

x

x

x y

+=

+=

§iÒu kiÖn 0, 0 x y≠ ≠ .

Khi ®ã hÖ ®· cho t− ¬ng ®− ¬ng víi2 2

2 22 2

( )(3 ) 03 2

3 2.3 2

x y xy x y x y y

xy x xy x

− + + == + ⇔

= += +

TH1:2 2

1

1.3 2

x y x

y xy x

= =⇔

== +

TH2:2 2

3 0

3 2

xy x y

xy x

+ + =

= + v« nghiÖm, v× tõ (1) vµ (2) ta cã , 0 x y > .

VËy nghiÖm cña hÖ ph− ¬ng tr×nh lµ: 1. x y= =

1 ®iÓm

0,25®

0,25®

0,25®

0,25®

1 ®iÓm

0,25®

0,5®

0,25®

C©u 3. 3®iÓm1)V× G lµ träng t©m BC ∆ vµ lµ trung ®iÓm BC nªn

3 ( 1;3) MA MG= = −

(0;2) A⇒ .

Ph− ¬ng tr×nh BC ®i qua (1; 1) M − vµ vu«ng gãc víi

( 1, 3) MA = −

lµ: 1( 1) 3( 1) 0 3 4 0 (1). x y x y− − + + = ⇔ − + + =

Ta thÊy 10 MB MC MA= = = ⇒ täa ®é , B C tháa m·n

ph− ¬ng tr×nh: 2 2( 1) ( 1) 10 (2). x y− + + =

Gi¶i hÖ (1),(2) ta ®−

îc täa ®é cña , B C lµ (4; 0), ( 2; 2).− −

2)Ta cã ' // ' A M NC A MCN = ⇒ lµ h×nh b×nh hµnh,do ®ã ' A C vµ MN c¾t nhau t¹i trung ®iÓm I cñamçi ®− êng. MÆt kh¸c A’DCB’ lµ h×nh b×nh hµnh nªntrung ®iÓm I cña A’C còng chÝnh lµ trung ®iÓm cña

B’D. VËy MN vµ B’D c¾t nhau t¹i trung ®iÓm I cñamçi ®− êng nªn B’MDN lµ h×nh b×nh hµnh. Do ®ã B’,

M, D, N cïng thuéc mét mÆt ph¼ng.MÆt kh¸c DM 2 = DA2 + AM 2 = DC2 + CN 2 = DN 2,

hay DM = DN. VËy h×nh b×nh hµnh B’MDN lµ h×nh thoi. Do ®ã B’MDN lµ h×nh

1 ®iÓm

0,25®

0,25®

0,25®0,25®1 ®iÓm

0,5®

G A

B

C

M.

D’

A

D C

B N

M

A’ B’

C’

36




38/207

vu«ng ⇔ MN = B’D ⇔ AC = B’D ⇔ AC2= B’D2 = B’B2 +BD2 ⇔ 3a2 = B’B2 + a2

⇔ BB’= 2a ⇔ AA’= 2a .3)

Tõ (0;6;0) AC =

vµ A(2; 0; 0) suy ra C(2; 6; 0), do ®ã I (1; 3; 4).

Ph− ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (α) qua I vµ vu«ng gãc víi OA lµ : 1 0. x − = ⇒ täa ®é giao ®iÓm cña (α) víi OA lµ K (1; 0; 0).

⇒ kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn OA lµ 2 2 2(1 1) (0 3) (0 4) 5. IK = − + − + − =

0,5®

1 ®iÓm0,25®

0,25®

0,25®

0,25®

C©u 4. 2®iÓm

1) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè 24 . y x x= + −

TËp x¸c ®Þnh: [ ]2; 2− .

2' 1

4

x y = −

−,

22 2

0' 0 4 2

4

x y x x x

x x

≥= ⇔ − = ⇔ ⇔ =

− =.

Ta cã ( 2) 2, ( 2) 2 2, (2) 2 y y y− = − = = ,

VËy[ 2;2]max ( 2) 2 2 y y−

= = vµ[ 2;2]min ( 2) 2 y y−

= − = − .


π

4 2

0

1 2sin.

1 sin 2 I dx

x

−=

+∫

Ta cã

π π

4 42

0 0

1 2sin cos 2

1 sin 2 1 sin 2

x x I dx dx

x x

−= =

+ +∫ ∫.

§Æt 1 sin 2 2cos 2t x dt xdx= + ⇒ = .

Víi 0 x = th× 1,t = víiπ

4 x = th× 2t = .

Khi ®ã2

1

21 1 1ln | | ln 2.

12 2 2

dt I t

t = = =∫

1 ®iÓm

0,25®

0,25®

0,25®

0,25®

1 ®iÓm

0,25®

0,25®

0,25®

0,25®

C©u 5. 1®iÓm

Ta cã 0 1 2 2(1 ) ...n n nn n n n x C C x C x C x+ = + + + + .

Suy ra ( )2 2

0 1 2 2

1 1

(1 ) ...n n nn n n n x dx C C x C x C x dx+ = + + + +∫ ∫

22 2 3 1

1 0 1 2

11

1 (1 ) ...1 2 3 1

n

n nn n n n x x x x C x C C C n n

+

+

⇔ + = + + + + + +

2 3 1 1 10 1 22 1 2 1 2 1 3 2

2 3 1 1

n n nn

n n n nC C C C n n

+ + +− − − −⇔ + + + + =

+ + .

0,5 ®

0,5 ®

37




39/207


®¸p ¸n thang ®iÓm®Ò thi chÝnh thøc M«n thi : to¸n Khèi D

Néi dung ®iÓm

C©u 1. 2®iÓm

1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè2 2 4

2

x x y

x

− +=

−. 1 ®iÓm

TËp x¸c ®Þnh :R \{ 2 }.

Ta cã2 2 4 4

.2 2

x x y x

x x

− += = +

− −

2

2 2

04 4' 1 . ' 0

4.( 2) ( 2)

x x x y y

x x x

=−= − = = ⇔ =− −

[ ] 4

lim lim 02 x x y x x→∞ →∞− = = ⇒− tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ lµ: y x= ,

tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ lµ:2

lim x

y→

= ∞ ⇒ 2 x = .

B¶ng biÕn thiªn:

§å thÞ kh«ng c¾t trôc hoµnh.§å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; −2).

0,25®

0,5®

0,25®

2) 1 ®iÓm

§− êng th¼ng c¾t ®å thÞ hµm sè (1) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖtmd

⇔ ph− ¬ng tr×nh4

2 22

x mx m x

+ = + −

−

cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 2

2( 1)( 2) 4m x⇔ − − = cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 2 ⇔ 1 0m − > 1.m⇔ >

VËy gi¸ trÞ cÇn t×m lµm 1.m >

0,5®

0,5®

x

2

6

−2

2 4O

y

x − ∞ 0 2 4 + ∞ y’ + 0 − − 0 +

− 2 + ∞ + ∞ y C§ CT

− ∞ − ∞ 6

38




40/207

C©u 2. 2®iÓm

1) Gi¶i ph− ¬ng tr×nh 2 2 2π

tg cos 02 4 2

x x x

− −

sin (1)= 1 ®iÓm

§iÒu kiÖn: (*). Khi ®ãcos 0 x ≠

( )2

2

1 sin 1(1) 1 cos 1 cos

2 2 2cos

x x x

x

π ⇔ − − = +

( ) ( )2 21 sin sin 1 cos cos x x⇔ − = + x

( ) ( )1 sin (1 cos )(1 cos ) 1 cos (1 sin )(1 sin ) x x x x⇔ − − + = + − + x

( )1 sin (1 cos )(sin cos ) 0 x x x x⇔ − + + =

π

2πsin 1 2

cos 1 π 2π

tg 1 ππ

4

x k x

x x k

xk

= +=

⇔ = − ⇔ = + = − = − +

( )k ∈Z .

KÕt hîp ®iÒu kiÖn (*) ta ®− îc nghiÖm cña ph− ¬ng tr×nh lµ:

π 2π

ππ

4

k

k

= + = − +

( ) .k ∈Z

0,5®

0,25®

0,25®

2) Gi¶i ph− ¬ng tr×nh (1).2 222 2 x x x x− + −− 3= 1 ®iÓm

§Æt .2

2 0 x xt t −= ⇒ >

Khi ®ã (1) trë thµnh 24

3 3 4 0 ( 1)( 4) 0t t t t t t

− = ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔ = 4t (v× t )0>

VËy2 22 4 x x x x− = ⇔ − = 2

1

2.

= −⇔ =

x

x

Do ®ã nghiÖm cña ph− ¬ng tr×nh lµ1

2.

= − =

x

x

0,5®

0,5®

C©u 3. 3®iÓm

1) 1 ®iÓm

Tõ ( ) suy ra cã t©m vµ b¸n kÝnh2 2: ( 1) ( 2) 4− + − =C x y ( )C (1;2) I 2. R =

§− êng th¼ng cã vÐct¬ ph¸p tuyÕn lµ nd (1; 1).= −uur

Do ®ã ®− êng th¼ng ∆ ®i qua

vµ vu«ng gãc víi d cã ph− ¬ng tr×nh:(1;2) I 1 2

1 1

x y x y 3 0

− −= ⇔ + −

− = .

Täa ®é giao ®iÓm cña vµ lµ nghiÖm cña hÖ ph− ¬ng tr×nh: H d ∆

1 0 2 (2;1).3 0 1

x y x H x y y

− − = = ⇔ ⇒ + − = =

Gäi lµ ®iÓm ®èi xøng víi qua . Khi ®ã J (1;2) I d

2 3(3;0)

2 0 J H I

J H I

x x x J

y x x

= − =⇒

= − =.

V× ®èi xøng víi ( qua nªn cã t©m lµ vµ b¸n kÝnh

Do ®ã cã ph− ¬ng tr×nh lµ:

( ')C

(C

)C d ( ')C

2 2

(3;0) J 2. R =

') ( 3) 4− + x y = .

Täa ®é c¸c giao ®iÓm cña ( vµ lµ nghiÖm cña hÖ ph− ¬ng tr×nh:)C ( ')C

2 2

2 2 22 2

1 0 1( 1) ( 2) 4 1, 0

3, 2.( 3) 4 2 8 6 0( 3) 4

x y y x x y x y

x y x y x x x y

− − = = − − + − = = = ⇔ ⇔ ⇔ = =− + = − + = − + =

VËy täa ®é giao ®iÓm cña vµ ( lµ vµ( )C ')C (1;0) A (3;2). B

0,5

0,25®

0,25®

39




41/207

2) 1 ®iÓm

Ta cã cÆp vect¬ ph¸p tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng x¸c ®Þnh lµk d 1 (1;3 ; 1)= −uur

n k

vµ . Vect¬ ph¸p tuyÕn cña lµ2 ( ; 1;1)= −uur

n k ( ) P (1; 1; 2)= − −r

n .

§− êng th¼ng cã vect¬ chØ ph− ¬ng lµ:k d

21 2, (3 1; 1; 1 3 ) 0 k k k − − − − − ≠

r

Nªn21 1 3

1.1 1 2

k k k k − − − − −= = ⇔ =

− −

VËy gi¸ trÞ cÇn t×m lµ

0,5®

0,5 ®

3) 1 ®iÓmTa cã ( P) ⊥ (Q) vµ ∆ = ( P) ∩ (Q), mµ AC ⊥ ∆ ⇒ AC ⊥(Q) ⇒ AC ⊥ AD, hay

. T − ¬ng tù, ta cã BD ⊥ ∆ nªn

BD ⊥( P), do ®ã CBD . VËy A vµ B

A, B n»m trªn mÆt cÇu ®− êng kÝnh CD.

090=CAD 090=

Vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu lµ:

2 21

2 2

CD R BC BD= = +

2 2 21 3

2 2

a AB AC BD= + + = .

Gäi H lµ trung ®iÓm cña BC⇒ AH ⊥ BC. Do BD ⊥( P) nªn BD ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( BCD).

VËy AH lµ kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn mÆt ph¼ng ( BCD) vµ 1 2

.2 2

a AH BC = =

0,25®

0,25®

0,5®

C©u 4. 2®iÓm

1) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè 2

1

1

x y

x

+=

+ trªn ®o¹n [ ]1; 2− . 1 ®iÓm

2 3

1' .

( 1)

x y

x

−=

+

' 0 1 y x= ⇔ = .

Ta cã 3

( 1) 0, 2, (2) .5

y(1) y y− = = =

VËy [ ]1;2 (1) 2max y y− = = vµ [ ]1;2min ( 1) 0. y y− = − =

0,5®

0,5®

2) TÝnh tÝch ph©n2

2

0

I x x d = −∫ x . 1 ®iÓm

Ta cã 2 0 0 1 x x− ≤ ⇔ ≤ ≤ , suy ra1 2

2 2

0 1

( ) ( )= − + −∫ ∫ I x x dx x x dx

1 22 3 3 2

0 1

1.2 3 3 2

= − + − =

x x x x

0,5®

0,5®

u n n k = =

r uur uur

3 1( ) || k d P u n⊥ ⇔ ⇔

r r

k 1.=k

.∀

A B

C

D

P

Q

∆

H

40




42/207

C©u 5. 1®iÓm

C¸ch 1: Ta cã ( 2 0 2 1 2 2 2 2 41) ...n n n nn n nnnC x C x C x C

− −+ = + + + + ,

0 1 1 2 2 2 3 3 3( 2) 2 2 2 ... 2n n n n n nn n n nnn x C x C x C x C x C

− − −+ = + + + + + .

DÔ dµng kiÓm tra 1, 2= =n n kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n.

Víi th×3≥n 3 3 2 3 2 2 1.n n n n n x x x x x− − −= = −

Do ®ã hÖ sè cña 3 3−n x trong khai triÓn thµnh ®a thøc cña lµ2( 1) ( 2+ +n n x x )

nC 3 0 3 1 1

3 3 2 . . 2. .n n n na C C C − = + .

VËy2

3 3

52 (2 3 4)

26 26 73

2

−

=− + = ⇔ = ⇔

= −

n

nn n n

a n nn

VËy lµ gi¸ trÞ cÇn t×m (v× nguyªn d− ¬ng).5=n nC¸ch 2:

Ta cã

2 3 2

3 3 2

20 0 0 0

1 2( 1) ( 2) 1 1

1 22 .

n n

n n n

i k n n n nn i k n i i k k k

n n n ni k i k

x x x x x

x C C x C x C x x x

− −

= = = =

+ + = + +

= = ∑ ∑ ∑ ∑

Trong khai triÓn trªn, luü thõa cña lµ 3 3n − khi 2 3i k − − = −3k

, hayTa chØ cã hai tr− êng hîp tháa ®iÒu kiÖn nµy lµ

2 3i k + = .0,i = = hoÆc i 1, 1k = = .

Nªn hÖ sè cña 3 3−n x lµ .0 3 3 1 13 3 . .2 . .2n n n n na C C C C − = +

Do ®ã2

3 3

52 (2 3 4)26 26 7

32

−=− + = ⇔ = ⇔

= −

n

nn n na n n

n

VËy lµ gi¸ trÞ cÇn t×m (v× nguyªn d− ¬ng). 5=n n

0,75®

0,25®

hoÆc

0,75®

0,25®

41




43/207

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ®Ò thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2004------------------------------ M«n thi : To¸n , Khèi A

§Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi : 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò--------------------------------------------------------------

C©u I (2 ®iÓm)

Cho hµm sè2x 3x 3

y2(x 1)

− + −=

−

(1).

1) Kh¶o s¸t hµm sè (1).2) T×m m ®Ó ®− êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ hµm sè (1) t¹i hai ®iÓm A, B sao cho AB = 1.

C©u II (2 ®iÓm)

1) Gi¶i bÊt ph− ¬ng tr×nh22(x 16) 7 x

x 3 >x 3 x 3

− −+ −

− −

.

2)

Gi¶i hÖ ph− ¬ng tr×nh 1 442 2

1

log (y x) log 1y

x y 25.

⎧− − =

⎪⎨⎪

+ =⎩

C©u III (3 ®iÓm)

1) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho hai ®iÓm ( )A 0; 2 vµ ( )B 3; 1− − . T×m täa ®é trùct©m vµ täa ®é t©m ®− êng trßn ngo¹i tiÕp cña tam gi¸c OAB.

2) Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi,

AC c¾t BD t¹i gèc täa ®é O. BiÕt A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). Gäi M lµ trung ®iÓm

cña c¹nh SC.a) TÝnh gãc vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®− êng th¼ng SA, BM.

b) Gi¶ sö mÆt ph¼ng (ABM) c¾t ®− êng th¼ng SD t¹i ®iÓm N. TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABMN.

C©u IV (2 ®iÓm)

1) TÝnh tÝch ph©n I =2

1

xdx

1 x 1+ −∫ .

2) T×m hÖ sè cña x8 trong khai triÓn thµnh ®a thøc cña8

21 x (1 x)⎡ ⎤+ −⎣ ⎦ .

C©u V (1 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ABC kh«ng tï, tháa m·n ®iÒu kiÖn cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC = 3.TÝnh ba gãc cña tam gi¸c ABC.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.

Hä vµ tªn thÝ sinh............................................................................Sè b¸o danh.................................................

42




44/207

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o------------------------

§Ò chÝnh thøc

§Ò thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2004M«n: To¸n, Khèi B

Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò-------------------------------------------

C©u I (2 ®iÓm)

Cho hµm sè y = xxx 3231 23 +− (1) cã ®å thÞ (C).

1) Kh¶o s¸t hµm sè (1).2) ViÕt ph− ¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ∆ cña (C) t¹i ®iÓm uèn vµ chøng minh r»ng ∆ lµ tiÕp tuyÕn cña (C)

cã hÖ sè gãc nhá nhÊt.

C©u II (2 ®iÓm)

1)

Gi¶i ph− ¬ng tr×nh xtgxx 2)sin1(32sin5 −=− .

2) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè

x

xy

2ln= trªn ®o¹n [1; 3e ].

C©u III (3 ®iÓm)1) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho hai ®iÓm A(1; 1), B(4; 3− ). T×m ®iÓm C thuéc ®− êng

th¼ng 012 =−− yx sao cho kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn ®− êng th¼ng AB b»ng 6.

2) Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng a, gãc gi÷a c¹nh bªn vµ mÆt ®¸y b»ng ϕ

( o0 < ϕ < o90 ). TÝnh tang cña gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (SAB) vµ (ABCD) theo ϕ . TÝnh thÓtÝch khèi chãp S.ABCD theo a vµ ϕ .

3) Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ®iÓm A )4;2;4( −− vµ ®− êng th¼ng d:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=

−=

+−=

.41

1

23

tz

ty

tx

ViÕt ph− ¬ng tr×nh ®− êng th¼ng ∆ ®i qua ®iÓm A, c¾t vµ vu«ng gãc víi ®− êng th¼ng d.

C©u IV (2 ®iÓm)

1) TÝnh tÝch ph©n I = dxx

xxe

∫ +

1

lnln31.

2) Trong mét m«n häc, thÇy gi¸o cã 30 c©u hái kh¸c nhau gåm 5 c©u hái khã, 10 c©u hái trungb×nh, 15 c©u hái dÔ. Tõ 30 c©u hái ®ã cã thÓ lËp ®− îc bao nhiªu ®Ò kiÓm tra, mçi ®Ò gåm 5 c©u

hái kh¸c nhau, sao cho trong mçi ®Ò nhÊt thiÕt ph¶i cã ®ñ 3 lo¹i c©u hái (khã, trung b×nh, dÔ) vµsè c©u hái dÔ kh«ng Ýt h¬n 2 ?

C©u V (1 ®iÓm)X¸c ®Þnh m ®Ó ph− ¬ng tr×nh sau cã nghiÖm

22422 1112211 xxxxxm −−++−=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +−−+ .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.

Hä vµ tªn thÝ sinh ................................................................................................. Sè b¸o danh .......................…....

43




45/207

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o §Ò thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2004------------------------ M«n: To¸n, Khèi D §Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò

-------------------------------------------C©u I (2 ®iÓm)

Cho hµm sè 3 2y x 3mx 9x 1= − + + (1) víi m lµ tham sè.1) Kh¶o s¸t hµm sè (1) khi m = 2.2) T×m m ®Ó ®iÓm uèn cña ®å thÞ hµm sè (1) thuéc ®− êng th¼ng y = x + 1.

C©u II (2 ®iÓm)1) Gi¶i ph− ¬ng tr×nh .sin2sin)cossin2()1cos2( xxxxx −=+−

2) T×m m ®Ó hÖ ph− ¬ng tr×nh sau cã nghiÖm⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

=+

.31

1

myyxx

yx

C©u III (3 ®iÓm)1) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC cã çc ®Ønh );0();0;4();0;1( mCBA −

víi 0≠m . T×m täa ®é träng t©m G cña tam gi¸c ABC theo m. X¸c ®Þnh m ®Ó tam gi¸c GABvu«ng t¹i G.

2) Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho h×nh l¨ng trô ®øng 111. CBAABC . BiÕt ),0;0;(aA

0,0),;0;(),0;1;0(),0;0;( 1 >>−− ba baBCaB .

a) TÝnh kho¶ng çch gi÷a hai ®− êng th¼ng CB1 vµ 1AC theo ., ba

b) Cho ba, thay ®æi, nh− ng lu«n tháa m·n 4=+ ba . T×m ba, ®Ó kho¶ng çch gi÷a hai ®− êng

th¼ng CB1 vµ 1AC lín nhÊt.

3) Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ba ®iÓm )1;1;1(),0;0;1(),1;0;2( CBA vµ mÆtph¼ng (P): 02 =−++ zyx . ViÕt ph− ¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua ba ®iÓm A, B, C vµ cã t©mthuéc mÆt ph¼ng (P).

C©u IV (2 ®iÓm)

1) TÝnh tÝch ph©n I = ∫ −3

2

2 )ln( dxxx .

2) T×m çc sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña

7

43 1

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +

x

x víi x > 0.

C©u V (1 ®iÓm)Chøng minh r»ng ph− ¬ng tr×nh sau cã ®óng mét nghiÖm

01225 =−−− xxx .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Çn bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.

Hä vµ tªn thÝ sinh.............................................................Sè b¸o danh........................................

44




46/207

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o §¸p ¸n - Thang ®iÓm..................... ®Ò thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2004

...........................................§Ò chÝnh thøc M«n: To¸n, Khèi A

(§¸p ¸n - thang ®iÓm cã 4 trang)

C©u ý Néi dung §iÓmI 2,0

I.1 (1,0 ®iÓm)

( )12332

−

−+−=

x

xxy =

( )

1 1x 1

2 2 x 1− + −

−.

a) TËp x¸c ®Þnh: { }R \ 1 .

b) Sù biÕn thiªn:

2

x(2 x)y '

2(x 1)

−=

−

; y ' 0 x 0, x 2= ⇔ = = . 0,25

yC§ = y(2) =1

2− , yCT = y(0) =

3

2.

§− êng th¼ng x = 1 lµ tiÖm cËn ®øng.

§− êng th¼ng 1

y x 12

= − + lµ tiÖm cËn xiªn. 0,25

B¶ng biÕn thiªn: x −∞ 0 1 2 +∞

y'−

0 + + 0−

y +∞ +∞ 1

2−

3

2 −∞ −∞

0,25

c) §å thÞ:

0,25

45




47/207

I.2 ( 1,0 ®iÓm)

Ph− ¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè víi ®− êng th¼ng y = m lµ :

( ) m

x

xx=

−

−+−

12

332 ⇔ ( ) 023322 =−+−+ mxmx (*). 0,25

Ph− ¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt khi vµ chØ khi:

0>∆ ⇔ 24m 4m 3 0− − > ⇔ 3m2

> hoÆc 1m2

< − (**) . 0,25

Víi ®iÒu kiÖn (**), ®− êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ hµm sè t¹i hai ®iÓm A, B cã hoµnh®é x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph− ¬ng tr×nh (*).

AB = 1 ⇔ 121 =− xx ⇔ 2

1 2x x 1− = ⇔ ( )1 22

1 2x x 4x x 1+ − = 0,25

⇔ ( ) ( ) 123432 2 =−−− mm ⇔

1 5m

2

±= (tho¶ m·n (**)) 0,25

II 2,0

II.1 (1,0 ®iÓm)

§iÒu kiÖn : x 4≥ . 0,25

BÊt ph− ¬ng tr×nh ®· cho t− ¬ng ®− ¬ng víi bÊt ph− ¬ng tr×nh:2 2

2(x 16) x 3 7 x 2(x 16) 10 2x− + − > − ⇔ − > − 0,25

+ NÕu x > 5 th× bÊt ph− ¬ng tr×nh ®− îc tho¶ m·n, v× vÕ tr¸i d− ¬ng, vÕ ph¶i ©m. 0,25

+ NÕu 4 x 5≤ ≤ th× hai vÕ cña bÊt ph− ¬ng tr×nh kh«ng ©m. B×nh ph− ¬ng hai vÕ ta

®− îc: ( ) ( )22 22 x 16 10 2x x 20x 66 0− > − ⇔ − + < 10 34 x 10 34⇔ − < < + .

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn 4 x 5≤ ≤ ta cã: 10 34 x 5− < ≤ . §¸p sè: x 10 34> − 0,25

II.2 (1,0 ®iÓm)

§iÒu kiÖn: y > x vµ y > 0.

( ) 11

loglog 44

1 =−−y

xy ⇔ ( ) 11

loglog 44 =−−−y

xy 0,25

⇔ 4y x

log 1y

−− = ⇔

4

3yx = . 0,25

ThÕ vµo ph− ¬ng tr×nh x2 + y2 = 25 ta cã:

2

23y y 25 y 4.4

⎛ ⎞+ = ⇔ = ±⎜ ⎟

⎝ ⎠ 0,25

So s¸nh víi ®iÒu kiÖn , ta ®− îc y = 4, suy ra x= 3 (tháa m·n y > x).VËy nghiÖm cña hÖ ph− ¬ng tr×nh lµ (3; 4). 0,25

III 3,0 III.1 (1,0 ®iÓm)

+ §− êng th¼ng qua O, vu«ng gãc víi BA( 3 ; 3)

cã ph− ¬ng tr×nh 3x 3y 0+ = .

§− êng th¼ng qua B, vu«ng gãc víi OA(0; 2)

cã ph− ¬ng tr×nh y = 1−

( §− êng th¼ng qua A, vu«ng gãc víi BO( 3 ; 1)

cã ph− ¬ng tr×nh 3x y 2 0+ − = )0,25

Gi¶i hÖ hai (trong ba) ph− ¬ng tr×nh trªn ta ®− îc trùc t©m H( 3; 1)− 0,25

+ §− êng trung trùc c¹nh OA cã ph− ¬ng tr×nh y = 1.§− êng trung trùc c¹nh OB cã ph− ¬ng tr×nh 3x y 2 0+ + = .

( §− êng trung trùc c¹nh AB cã ph− ¬ng tr×nh 3x 3y 0+ = ).0,25

46




48/207

Gi¶i hÖ hai (trong ba) ph− ¬ng tr×nh trªn ta ®− îc t©m ®− êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c

OAB lµ ( )I 3 ; 1− . 0,25

III.2.a (1,0 ®iÓm)

+ Ta cã: ( )C 2; 0; 0− , ( )D 0; 1; 0− , ( )2;0;1−M ,

( )22;0;2 −=SA , ( )BM 1; 1; 2= − −

. 0,25 Gäi α lµ gãc gi÷a SA vµ BM.

Ta ®− îc: ( ) SA.BM 3

cos cos SA, BM2SA . BM

α = = =

⇒ 30α = ° .0,25

+ Ta cã: ( )SA, BM 2 2; 0; 2⎡ ⎤ = − −⎣ ⎦

, ( )AB 2; 1; 0= −

. 0,25

VËy:

( )SA, BM AB 2 6

d SA,BM

3SA,BM

⎡ ⎤ ⋅⎣ ⎦= =

⎡ ⎤⎣ ⎦

0,25

III.2.b (1,0 ®iÓm)

Ta cã MN // AB // CD ⇒ N lµ trung ®iÓm SD ⇒ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ − 2;

2

1;0 N .

0,25

( )SA 2; 0; 2 2= −

, ( )2;0;1 −−=SM , ( )22;1;0 −=SB , 1SN 0; ; 22

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )SA, SM 0; 4 2; 0⎡ ⎤⇒ =⎣ ⎦

. 0,25

S.ABM

de thi dai hoc toan 2002 2014 www.mathvn.com

Documents