ĐỀ thi thỬ thptqg lẦn 4 mÔn toÁn - thoidai.com.vn · cắt t bởi mặt phẳng vuông...

/7 - Mã đề thi 132

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT CHUYÊN

THÁI BÌNH

ĐỀ THI THỬ THPTQG LẦN 4 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút; (50 câu trắc nghiệm)

Mã đề thi 132

Họ, tên thí sinh: .............................................................................. Số báo danh: ...................................................................................

Câu 1: Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình 3 3 2019 72 2x x A. 201. B. 100. C. 102. D. 200.

Câu 2: Giá trị lớn nhất của hàm số 3 22 1y x x x trên đoạn 1;1 là:

A. .3127

B. 0. C. 1. D. .109

Câu 3: Cho hàm số ( )y f x có đồ thị như hình. Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số ( )y f x là:

A. 2;0 . B. 0; 4 . C. 0; 2 . D. 1;0 .

Câu 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1

2

xy

x

tại điểm có hoành độ bằng -3 là:

A. 3 13.y x B. 3 5.y x C. 3 5.y x D. 3 13.y x

Câu 5: Cho alog b 2 và alog c 3; (0 a 1;b 0;c 0) . Tính giá trị của 2 3

a

a bP log

c

.

A. P 6. B. P 5. C. P 1. D.2

P .3

Câu 6: Gọi 1z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2 2 5 0z z . Tìm số phức liên

hợp của 1

2

zw

i

.

A. 1 3w i . B. w i . C. 3w i D. w i .

Câu 7: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số y f x có tổng số bao nhiêu tiệm cận (gồm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang) ?

A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.

/7 - Mã đề thi 132

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm 1; 2; 1I và có tiếp diện là mặt

phẳng ( ) : 2 2 5 0P x y z , có phương trình là:

A. 2 2 21 2 1 4x y z . B. 2 2 2

1 2 1 1x y z .

C. 2 2 21 2 1 4x y z . D. 2 2 2

1 2 1 1x y z .

Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 2;7 để phương trình 2 23 .2 7x x m có hai nghiệm

phân biệt.

A. 5. B. 8. C. 7. D. 6.

Câu 10: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

A.2 1

.1

xy

x

B.

2 1.

1

xy

x

C.

2 1.

1

xy

x

D.

1 2.

1

xy

x

Câu 11: Cho số phức z a bi ( với ,a b ) thỏa mãn : 2 1 2 3z i z i z . Tính S a b .

A. 1S . B. 5S . C. 1S . D. 7S .

Câu 12: Cho hàm số ( )y f x có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số ( )y f x đồng biến trên

khoảng nào dưới đây ?

A. 1;3 . B. 1;1 . C. 4; 3 . D. ; 1 .

Câu 13: Tìm tập xác định D của hàm số 3

1y x

.

A. .D R B. ;1 .D C. \ 1 .D R D. 1; .D

Câu 14: Số phức 2 3z i có điểm biểu diễn là: A. ( 3; 2).N B. (3; 2).P C. (2; 3).M D. (2;3).Q

Câu 15: Gia đình ông A cần khoan một cái giếng nước. Biết rằng giá tiền của mét khoan đầu tiên là 200.000đ và kể từ mét khoan thứ hai, giá tiền của mỗi mét sau tăng thêm 7% so với giá tiền của mét khoan ngay trước nó. Hỏi nếu gia đình ông A khoan cái giếng sâu 30m thì hết bao nhiêu tiền (làm tròn đến hàng nghìn)?

A. 18892000 đồng. B. 18895000 đồng. C. 18893000 đồng. D. 18892200 đồng.

Câu 16: Một người vay ngân hàng 500 triệu đồng với lãi suất 1,2% / tháng để mua xe ô tô. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay thì người đó bắt đầu trả nợ và đều đặn cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 20 triệu đồng cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 20 triệu đồng). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng? Biết rằng lãi suất không thay đổi.

A. 30 tháng. B. 26 tháng. C. 29 tháng. D. 32 tháng.

/7 - Mã đề thi 132

Câu 17: Đạo hàm của hàm số 28log 3 4y x x là:

A. 2

1'

3 4 n8.

ly

x x

B.

2

2 3'

3 4 ln8.

xy

x x

C. 2

2 3'

3 4 ln 2.

xy

x x

D. 2

' .2 3

3 4

xy

x x

Câu 18: Trong khai triển 20 2 20

0 1 2 201 2 ...x a a x a x a x . Giá trị của 0 1 2a a a bằng:

A. 800. B. 801. C. 721. D. 1.

Câu 19: Tìm số phức z thỏa mãn 2 2 4z z i .

A. 2

4 .3

z i B.2

4 .3

z i C.2

4 .3

z i D.2

4 .3

z i

Câu 20: Cho hàm số 1

1x

y mx m

có đồ thị là (C). Tìm m để đồ thị (C) nhận điểm 2;1I làm

tâm đối xứng.

A. 1

.2

m B. 1

.2

m C. 2.m D. 2.m

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có bao nhiêu mặt phẳng qua (2;1;3), (0;0;4)M A và cắt

hai trục ,Ox Oy lần lượt tại B, C khác O thỏa mãn diện tích tam giác OBC bằng 1 ?

A. 0. B. 3. C. 2. D. 4.

Câu 22: Tính thể tích của khối nón biết thiết diện qua trục của nó là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2a .

A.3.a B.

32.

3

a C.

3

.3

a D.

32 .a

Câu 23: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA vuông góc với đáy, M là trung điểm ,BC J là trung điểm .BM Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ( )BC SAC . B. ( )BC SAJ . C. ( )BC SAM . D. ( )BC SAB .

Câu 24: Cho khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, đường thẳng SC vuông góc với mặt đáy. Gọi V là thể tích của khối chóp. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 1

. . .3

V SC AB AC B. 21

. .3

V SC AB C. 1

. . .3

V SA AB AC D. 21

. .3

V SA AB

Câu 25: Cho khối trụ có bán kính đáy 3r và chiều cao 4h . Tính thể tích V của khối trụ đã cho.

A. 12V . B. 16 3

3V

. C. 16 3V . D. 4V .

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mặt phẳng ( ) : 1 0P x y z cắt mặt cầu

2 2 2( ) : 6 2 2 4 0S x y z y m z theo giao là một đường tròn có diện tích bằng 3 .

A. 2

1

m

m

. B. 3m . C. 3

1

m

m

. D. 3

1

m

m

.

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

( ) : 2 1 0, :3 2 2 1 3 0P x y z Q x m y m z . Tìm m để hai mặt phẳng ( ),P Q vuông

góc với nhau.A. 0m . B. 2m . C. 1m . D. 2m .

Câu 28: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC có ( 3;0;4)AB

, (5; 2;4)AC

.

Độ dài trung tuyến AM là:

A. 4 2 . B. 3 2 . C. 5 3 . D. 2 3 .

/7 - Mã đề thi 132

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 2 3

:2 1 1

x y zd

và 2;1;3A .

Phương trình mặt phẳng (Q) qua A và d là

A. 4 0x y z . B. 2 2 0x y z . C. 6 0x y z . D. 2 3 9 0x y z .

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua 1;1;3A và chứa trục hoành có

phương trình là:

A. 3 4 0y z . B. 0x y . C. 3 0y z . D. 3 0x y .

Câu 31: Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện đều có cạnh bằng .a

A. 22.

3a B.

21.

3a C.

2.a D. 22 .a

Câu 32: Cho T là vật thể nằm giữa hai mặt phẳng 0, 1x x . Tính thể tích V của T biết rằng khi

cắt T bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x, 0 1x , ta được thiết

diện là tam giác đều có cạnh bằng 1 x .

A. 3

2V . B.

3 3

8V . C.

3 3

8V . D.

3

2V .

Câu 33: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình thoi cạnh a , góc giữa đường

thẳng A’B và mặt phẳng (ABCD) bằng 060 . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và B’D’.

A. 3

.3

d a B. 1

.2

d a C. 3

.2

d a D. 3 .d a

Câu 34: Một bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng

giới hạn bởi các đường 1y x và trục Ox quay quanh trục Ox . Biết đáy lọ và miệng lọ có đường

kính lần lượt là 2dm và 4dm , khi đó thể tích của lọ là:

A. 38 dm B. 315

2dm C. 314

3dm D. 315

2dm

Câu 35: Biết3

0

ln 2 ln 334 2 1

x adx b c

x

, trong đó a, b, c là hai số nguyên. Tính

.T a b c

A. 1.T B. 4.T C. 3.T D. 6.T

Câu 36: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên , thỏa 5 4 3 2 1f x x x với mọi

.x Tích phân 2

df x x bằng

A. 10. B. 2. C. 32

.3

D. 72.

Câu 37: Kết quả tính 2 ln( 1)x x dx bằng:

A.2

2( 1) ln( 1)2

xx x x C . B.

22( 1) ln( 1)

2

xx x x C .

C. 2

2 ln( 1)2

xx x x C . D.

22( 1) ln( 1)

2

xx x x C .

8

/7 - Mã đề thi 132

Câu 38: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x , 1 4

3 3y x và trục hoành như hình

vẽ.

2

y = - 1

3x+

4

3

y = x2

1

41

y

O

x

A.7

3. B.

56

3. C.

39

2. D.

11

6.

Câu 39: Cho tứ diện ABCD có (ACD) (BCD), AC AD BC BD a,CD 2x . Giá trị của x để

hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau là:

A.a 2

3B.

a 3

3C.

a 3

2D.

a 5

3

Câu 40: Cho hình chóp .S ABCD , mặt đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a , SA vuông góc với

mặt phẳng ABCD và SA a .Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng SBC .

A.3

.2

ad B. .d a C. .

2

ad D.

2.

2

ad

Câu 41: Cho hàm số 3 2 33 3y x mx m . Biết rằng có hai giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có

hai điểm cực trị A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 48. Khi đó tổng hai giá trị của m là:

A. 2. B. -2. C. 0. D. .2

Câu 42: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x . Hàm số y f x liên tục trên tập số thực R và có

đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm thuộc đoạn 1; 4 của phương trình (0)f x f là:

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 2 3 2 5z i z i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .

A. min

5z . B. min

4 5

5z . C.

min13z . D.

min2 5z .

Câu 44: Cho các số thực ,x y với 0x thỏa mãn 3 1 1

3

1(y 1) 1 3x y xy xy

x ye e x e y

e

. Gọi m

là giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1T x y . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. (2;3).m B. ( 1; 0).m C. (0;1).m D. (1; 2).m

/7 - Mã đề thi 132

Câu 45: Có bao nhiêu số tự nhiên có 30 chữ số, sao cho trong mỗi số chỉ có mặt hai chữ số 0 và 1, đồng thời số chữ số 1 có mặt trong số tự nhiên đó là số lẻ ?

A. 273.2 . B. 272 . C. 292 . D. 282 .

Câu 46: Cho 2(4 ) 3f x dx x x c . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. 2

( 2) 24

xf x dx x C . B. 2( 2) 7f x dx x x C .

C. 2

( 2) 44

xf x dx x C . D.

2

( 2) 42

xf x dx x C .

Câu 47: Cho hàm số y f x có đạo hàm 32 4 2 9 2f x x x x . Mệnh đề nào sau đây

đúng ?

A. 1 2 2f f f . B. 2 1 2f f f .

C. 2 2 1f f f . D. 2 1 2f f f .

Câu 48: Cho hàm số ( )y f x có đồ thị hàm số '( )y f x như hình vẽ.

Xét hàm số ( ) 8( 3 2)

( )48 1

f x xg x m

x

với m là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để

( ) 0g x (0;1)x là:

A. (0) 8

48.

3 2

fm

B.

(0) 8

48.

3 2

fm

C.(1)

28

.4

fm D.

(1)2

8.

4

fm

Câu 49: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 10

2mx

yx m

nghịch biến trên

khoảng 0;2 .

A. 9. B. 6. C. 4. D. 5.

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng

( ) : 2 7 0P x y z và đi qua hai điểm 1;2;1 , 2;5;3A B . Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S) bằng:

A.470

3. B.

546

3. C.

763

3. D.

345

3.

-----------------------------------------------

----------- HẾT ----------

/7 - Mã đề thi 132

BẢNG ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

A A A A B D B D D A C A C C A A B B D D C C C B A

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

B A B A C D C D B A A D D B D C D C C D C B C B B

Khóa luyện đề thi THPTQG 2019 – Ths. Trần Duy Thúc

Ths. Trần Duy Thúc. SĐT: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường ! 1

LỚP TOÁN THẦY HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHUYÊN THÁI BÌNH

LẦN 4 NĂM 2019

Câu 1. Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình 3 3 2019 72 2x x .

A. 201. B. 100. C. 102 . D. 200.

Hướng dẫn giải.

Chọn A.

Bất phương trình 3 3 2019 7

2 2 3 3 2019 7 10 2016 201,6x x

x x x x . Vậy các nghiệm

nguyên dương thỏa mãn là từ 1 đến 201.

Câu 2. Giá trị lớn nhất của hàm số 3 22 1y x x x trên đoạn 1;1 là

A. 31

27

. B. 0 . C. 1 . D. 10

9

.


Chọn A.

Ta có: 2 1' 3 4 1, ' 0 1( ), ( )

3

y x x y x nhan x nhan .

Ta có :

1;1

1 31 311 1; 1 3; max

3 27 27

y y y y .

Câu 3. Cho đồ thị của hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là

A. 2;0 . B. 0; 4 . C. 0; 2 . D. 1;0 .


Chọn A.

Từ đồ thị của hàm số ta thấy điểm cực đại của đồ thị hàm số là 2;0 .



Câu 4. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1

2

xy

x tại điểm có hoành độ bằng -3 là

A. 3 13y x . B. 3 5y x . C. 3 5y x . D. 3 13y x .


Chọn A.

Với 0 03 4 3;4x y M . Ta có

2

1 3' ' 3 3

22

xy y y

xx

.

Phương trình tiếp tuyến tại 3;4M có dạng 0 0 0

'y y x x x y

' 3 3 4 3 13y y x x

Câu 5. Cho log 2, log 3; 0 1; 0; 0a ab c a b c . Tính giá trị của biểu thức

2 3

loga

a bP

c

.

A. 6P . B. 5P . C. 1P . D. 2

3

P .


Chọn B.

Từ

2 6

2 3 5

3

.log 2, log 3 ; log log 5

a a a a

a ab c b a c a P a

a

.

Câu 6. Gọi 1z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2

2 5 0z z . Tìm số phức liên hợp

của số phức

1

2

zw

i.

A. 1 3w i . B. w i . C. 3w i . D. w i .


Chọn D.

Từ phương trình

2

1

1 22 5 0 1 2

2

iz z z i w i w i

i

.

Câu 7. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau



Đồ thị của hàm số y f x có tổng số bao nhiêu tiệm cận( gồm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang).

A.3 . B. 2 . C. 0 . D. 1 .


Chọn B.

Từ bảng biến thiên ta thấy

11

lim 1 : 1; lim : 1

x x

f x tcn y f x tcd x .

Vậy đồ thị của hàm số có hai tiệm cận.

Câu 8. Trong không với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu (S) có tâm 1; 2; 1I và có tiếp diện là mặt phẳng

: 2 2 5 0P x y z , có phương trình là

A. 2 2 2

1 2 1 4x y z . B. 2 2 2

1 2 1 1x y z .

C. 2 2 2

1 2 1 4x y z . D. 2 2 2

1 2 1 1x y z .


Chọn D.

Mặt cầu (S) có

2 2 2

2.1 1.( 2) 2.( 1) 5

, 1

2 1 2

R d I P và tâm 1; 2; 1I .

Ta có : 2 2 2

: 1 2 1 1S x y z .

Câu 9. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 2;7 để phương trình

22

3 .2 7x x m

có hai nghiệm thực

phân biệt.

A. 5 . B. 8 . C. 7 . D. 6 .


Chọn D.

Phương trình đã cho tương đương 22 2

3 3 3 3log 3 .2 log 7 2 log 2 log 7 0

x x mx x m

2

3 3 32log 2 log 2 log 7 0 1x x m . Yêu cầu của bài toán ta có phương trình (1) phải có hai

nghiệm phân biệt

2

2 3 3

3 3 3

3

log 2 log 7

' 0 log 2 log 2 log 7 0 3,4

log 2

m m :

Vậy các số nguyên thỏa mãn đề bài ta nhận được là từ -2 đến 3.



Câu 10. Đường cong tronh hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A,

C, B, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A.

2 1

1

xy

x

. B.

2 1

1

xy

x

. C.

2 1

1

xy

x

. D.

1 2

1

xy

x

.


Chọn A.

Từ đồ thị của hàm số ta thấy tiệm cận đứng 1x ; tiệm cận ngang 2y . Nên loại phương án C,D.

Khi 0, 1x y nên loại phương án B.

Câu 11. Cho số phức ,z a bi a b thỏa mãn: 2 1 2 3z i z i z . Tính S a b .

A. 1S . B. 5S . C. 1S . D. 7S .


Chọn C.

Phương trình đã cho tương đương 2 1 2 3 2 1 3 1 2z z i z iz i z z i i z

2 2 22 2

2 1 3 1 2 2 1 3 5 5z z i i z z z z z . Thay 5z trở vào

phương trình chúng ta tính được 3 4 1z i S a b .

Câu 12. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng

nào dưới đây?

A. 1;3 . B. 1;1 . C. 4; 3 . D. ; 1 .



Câu 13. Tìm tập xác định D của hàm số

3

1y x .

A. D . B. ;1D . C. \ 1D . D. 1;D .


Chọn C.

Nhắc lại về điều kiện xác định của hàm số

y u x .

là số nguyên dương thì u x .

0 hoặc là số nguyên âm thì 0u x .

không là số nguyên thì 0u x .

Trong bài toán này với số mũ nguyên âm nên điều kiện xác định của hàm số là

1 0 1 \ 1x x D .

Câu 14. Số phức 2 3z i có điểm biểu diễn là

A. 3;2N . B. 3;2P . C. 2; 3M . D. 2;3Q .

Câu 15. Gia đình ông A cần khoan một cái giếng nước . Biết rằng giá của mét khoan đầu tiên là 200.000

đồng và kể từ mét khoan thứ hai, mỗi mét khoan sau sẽ tăng thêm 7% so với mét khoan trước

đó. Hỏi nếu ông A khoan cái giếng sâu 30m thì hết bao nhiêu tiền(làm tròn đến hàng nghìn).

A. 18892000đồng. B. 18895000đồng. C. 18893000đồng. D. 18892200đồng.


Chọn A.

Đặt :1 30nT n là giá tiền ở mét khoan thứ n và 7%r . Ta có

2 1 1 1

1T T T r T r .

2

3 2 2 1 1 11 1 1T T T r T r T r r T r .

……..

…….

29

30 11T T r .

Dễ thấy dãy số nT là cấp số nhân với 1200.000T và công bội 1 1,07q r . Do đó số tiền cần

tính là

30

1

30

1

18892157,26

1

T q

S

q

. Làm tròn đến hàng nghìn được 3018892000S .



Câu 16. Một người vay 500 triệu với lãi suất 1,2% /tháng để mua ô tô. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay

người đó bắt đầu trả nợ và đều đặn cứ mỗi tháng người đó trả ngân hàng 20 triệu đồng cho đến

khi hết nợ(tháng cuối có thể trả ít hơn 20 triệu). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả hết nợ

cho ngân hàng? Biết lãi suất không thay đổi.

A. 30 tháng. B. 26 tháng. C. 29 tháng. D. 32 tháng.


Chọn A.

Trong khuôn khổ bài giải này Thầy cung cấp cho các Em công thức để tính nhanh số tháng. Chi tiết

cách thiết lập công thức các Em có thể liên hệ Thầy để được giải thích rõ hơn.

Gọi n là số tháng mà người đó trả hết nợ. Ta có phương trình :

6 61 1,2% 1

500.10 1 1,2% 20.10 29,9

1 1,2% 1

n

n

n .

Câu 17. Đạo hàm của hàm số 2

8log 3 4y x x là

A.

2

1'

3 4 ln8

y

x x

.

B.

2

2 3'

3 4 ln8

xy

x x

.

C.

2

1'

3 4 ln2

y

x x

.

D.

2

2 3'

3 4

xy

x x

.


Chọn B.

Các em cần nhớ công thức đạo hàm '

log '

lna

uu

u a

.

Ta có

2

2

82 2

3 4 '2 3

log 3 4 '

3 4 ln8 3 4 ln8

x xx

y x x y

x x x x

.

Câu 18. Trong khai triển 20

2 20

0 1 2 201 2 ...x a a x a x a x . Giá trị của

0 1 2a a a bằng

A. 800 . B. 801. C. 721. D. 1 .


Chọn B.

Các em cần nhớ công thức khai triển nhị thức Newton.

0 0 1 1 1 2 2 2 0

0

. . . . ... . ... .

nn

k n k k n n n k n k k n n

n n n n n n

k

a b C a b C a b C a b C a b C a b C a b .



20 20

20 1 220 0 1 2

20 20 0 20 1 20 2 20

0 0

1 2 .1 . 2 . 2 1, . 2 40, 2 760k k

k k k

k k

x C x C x a C a C a C

Ta có 0 1 2

801a a a .

Câu 19. Tìm số phức z thỏa mãn phương trình 2 2 4z z i .

A.

24

3

z i . B. 24

3

z i . C.

24

3

z i . D. 24

3

z i .


Chọn D.

Cách 1: Thử đáp án .

Cách 2: Đặt z a bi pương trình trở thành

22

2 2 4 3 2 4 43

34

aa bi a bi i a bi i z i

b

.

Câu 20. Cho hàm số

11

xy m

x m

có đồ thị là (C). Tìm m để đồ thị (C) nhận ên 2;1I làm tâm đối

xứng.

A. 1

2

m . B.

1

2

m . C. 2m . D. 2m .


Chọn D.

Tâm đối xứng của đồ thị của hàm số

11

xy m

x m

là điểm có tọa độ ;1m . Từ đề bài ta suy ra

2 2m m .

Nhắc lại. Đồ thị của hàm số

ax by ad bc

cx d

có tâm đối xứng là là giao điểm của tiệm cận đứng và

tiệm cận ngang.

Câu 21.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, có bao nhiêu mặt phẳng qua 2;1;3 , 0;0;4M A và cắt hai

trục ,Ox Oy lần lượt tại B, C khác O thỏa mãn diện tích tam giác OBC bằng 1.

A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 4 .

Hướng dẫn giải. Chọn C.

Đặt ;0;0 , 0; ;0B b C c , mặt phẳng : 1

4

x y zABC

b c

.



Điểm M thuộc (ABC) nên ta có phương 2 1 3 2 1 1

1 1

4 4b c b c

.

Mặt khác

2

11 . 1 . 2

22OBC

c

bS OBOC b c

c

b

.

Thay 2c

b

vào (1) được phương trình 2 11 0

4

c c (vô nghiệm).

Thay 2

c

b

vào (1) được phương trình 2 11 0

4

c c có hai nghiệm phân biệt.

Vậy có hai mặt phẳng thảo mãn đề bài.

Câu 22. Tính thể tích của khối nón biết thiết diện qua trục của nó là một tam giác vuông cân có cạnh huyền

bằng 2a.

A. 3a . B.

32

3

a. C.

3

3

a. D. 3

2 a .


Xem hình bên cạnh. Từ giả thuyết dễ dàng ta tính được chiều cao h và

bán kính đường đáy r của khối nón đã cho là ,h a r a .

Vậy

3

21

3 3

aV r h .

Câu 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, SA vuông góc mặt phẳng đáy, M là trung điểm

của BC, J là trung điểm của BM. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. BC SAC . B. BC SAJ . C.

BC SAM . D. BC SAB .


Ta có ,BC SA SA ABC BC SAB . Mặt khác tam giác

ABC cân tại A và M là trung điểm BC nên ta có BC vuông góc

AM. Vậy BC SAM .

h

2ar BA

O

S

A B

C

M

J



Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, đường thẳng SC vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi V

là thể tích của khối chóp. Mệnh đề nào duwois đây đúng?

A. 1. .

3

V SC AB AC . B. 21.

3

V SC AB . C. 1. .

3

V SC AB AC . D. 21.

3

V SA AB .

Hướng dẫn giải. Chọn B.

Thể tích V của khối chóp được tính theo công thức: 1

3

V Bh .

Trong đó: B là diện tích đáy; h là chiều cào của khối chóp.

Ở bài toán này chiều cao của khối chóp là SC, đáy là hình vuông nên có diện tích là 2

AB .

Vậy 21.

3

V SC AB .

Câu 25. Khối trụ có bán kính đáy 3r và chiều cao 4h . Tính thể tích V của khối trụ đã cho.

A. 12V . B.

16 3

3

V . C. 16 3V . D. 4 .

Hướng dẫn giải. Chọn A.

Thể tích V của khối trụ được tính theo công thức: 2V r h .

Trong đó: r là bán kính đường tròn đáy ; h là chiều cào của khối trụ.

Ở bài toán này, ta có 2

23 .4 12V r h .

Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mặt phẳng

: 1 0P x y z cắt mặt cầu 2 2 2: 6 2 2 4S x y z y m z theo giao tuyến là đường

tròn có diện tích bằng 3 .

A.

2

1

m

m. B.

3

3

m

m. C.

3

1

m

m. D.

3

1

m

m.

Nhắc lại. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S).

Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc ;d I P R .

O' r

h

O



Khi đó, mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một

đường tròn (C) tâm K, bán kính r.

Ta có hệ thức: 2 2 2;( )R r d I P và tâm K của đường tròn

(C) là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (P).


Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến 2 23 3r r .

Mặt cầu (S) có tâm 2

2 20;3;2 ,R 9 2 4 4 9I m m m m .

Mặt khác:

3 2 1 6

,( )

3 3

m m

d I P . Ta có phương trình:

2

2 2 2 2 26

;( ) 4 9 3 2 18 3

3

m

R r d I P m m m m .

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

: 2 1 0, : 3 2 2 1 3 0P x y z Q x m y m z . Tìm m để hai mặt phẳng (P) và (Q)

vuông góc nhau.

A. 0m . B. 2m . C. 1m . D. 2m .


Mặt phẳng (P) và (Q) có vec tơ pháp tuyến lần lượt là 1 21;2; 1 ; 3; 2 ;2 1n n m m . Hai mặt

phẳng này vuông góc với nhau khi và chỉ khi 1 2. 0 0n n m .

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có 3;0;4 , 5; 2;4AB AC . Độ

dài đường trung tuyến AM là

A. 4 2 . B. 3 2 . C. 5 3 . D. 2 3 .


Để giải được bài này các Em cần nhớ một số tính chất của vectơ.

2AB AC AM . 2

2AB AB .

Từ 2

2 2 2 22 4 4 2 . 3 2AB AC AM AM AB AC AM AB AC AB AC AM .

Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1 2 3:

2 1 1

x y zd và điểm

2;1;3A . Phương trình mặt phẳng qua A và d là

M'

M

(S)

R

r

I

(P)

H



A. 4 0x y z . B. 2 2 0x y z . C. 6 0x y z . D. 2 3 9 0x y z .


Lấy 1; 2;3B d , mặt phẳng (Q) có cặp vtcp là 2; 1;1 , 3; 3;0da AB

, 3;3; 3

Q dvtpt n a AB cùng phương 1;1; 1n . Loại phương án B, D. Đem điểm A thay

vào phương án A thỏa mãn . Chọn luôn phương án A.

Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm 1;1;3A và chứa trục hoành có

phương trình là

A. 3 4 0y z

.

B. 0x y . C. 3 0y z . D. 3 0x y .


Cách 1. Mặt phẳng (P) có cặp vtcp là 1;0;0 , 1;1;3i OA , 0;3; 1

Pvtpt n OA i . Chọn

luôn phương án C.

Cách 2. Mặt phẳng (P) qua A và chứa Ox nên nó chứa điểm 0;0;0 , 1;0;0O B . Tha các điểm A, B,

O vào các phương án xem có thỏa không. Khi đó chọn C.

Câu 31. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện đều có cạnh bằng a.

A. 22

3a . B. 21

3a . C. 2a . D. 22 a .

Hướng dẫn giải. Chọn D.

Dễ thấy tâm của mặt cầu ngoại tiếp bát diện đều cũng chính là tâm O của

hình vuông BCB’C’ và bán kính 2

2

aR OB . Do đó diện tích mặt

cầu cần tính là 2 24 2S R a

Câu 32. Cho vật thể (T) nằm giữa hai mặt phẳng 0, 1x x . Tính thể tích V của (T) biết rằng khi cắt (T)

bới mặt phẳng vuông góc trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 0 1x x , ta được thiết diện là

một tam giác đều có cạnh bằng 1 x bằng

A. 3

2

V . B. 3 3

8

V . C. 3 3

8

V . D. 3

2

V .




Thiết diện là tam giác đều nên có diện tích

2

1 33

1 , 0 1

4 4

x

S x x x .

Thể tích cần tính là 1 1

0 0

3 3 31

4 8

V S x dx x dx .

Câu 33. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a. Góc giữa đường thẳng A’B

và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 . Tính khoảng cách d giữa đường thẳng BD và A’C’.

A. 3

3

d a . B. 1

2

d a . C. 3

2

d a . D. 3d a .


Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình thoi ABCD và A’B’C’D’. Dễ thấy ' ', ' 'd A C BD OO AA .

Mặt khác, ' , ' 60 ' tan60 . 3 3A B ABCD A BA AA a a d a .

Câu 34. Một bác thợ làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giớ hạn

bởi đường 1y x và trục Ox , khi quay quanh Ox. Biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính

lần lượt là 2dm và 4dm . Khi đó thể tích của lọ là

A. 38 dm . B. 315

2

dm . C. 314

3

dm . D. 315

2

dm .


Bán kính đáy lần lượt là 1dm và 2dm suy ra 1 1 0x x và 1 2 3x x .

a

O'

O

B'C'

D'A'

D

C

B

A

8

6

4

2

2

4

6

8

15 10 5 5 10 15

2

1

r x( ) = x + 1

q x( ) = x + 1



Vậy thể tích của vật thể là 3

23

0

151

2

V x dx dm .

Câu 35. Biết

3

0

ln2 ln3

34 2 1

x adx b c

x

trong đó a, b, c là các số nguyên.Tính T a b c .

A. 1.T B. 4.T C. 3.T D. 6.T


Đặt 21 1 2t x t x tdt dx . Đổi cận 0 1; 3 2x t x t .

Từ 2 21 1t x t x . Ta có

23 2 2 23

2

0 1 1 1

2 16 7

2 3 12ln2 6 ln3

4 2 2 2 34 2 1

t tx t t

I dx dx dx t t dx

t t tx

.

Vậy 7, 12, 6 1a b c T a b c .

Câu 36. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên , thỏa mãn 54 3 2 1,f x x x x . Tích

phân

8

2

f x dx bằng

A. 10 . B. 2 . C. 32.

3

D. 72 .


Từ 5 4 5 44 3 2 1 5 4 4 3 5 4 2 1f x x x x f x x x x

1 1

4 5 4

1 1

5 4 4 3 5 4 2 1 10x f x x dx x x dx . Bằng phương pháp đổi biến

54 3t x x các Em dễ dàng chứng minh được

8 1

4 5

2 1

5 4 4 3 10f x dx x f x x dx .

Bình luận.

Câu hỏi đặt ra là tại sao Thầy lại biết nhân thêm hai vế cho 45 4 ?x và cho cận tích phân đi từ -1

đến 1? Thứ nhất vì khi đặt 5 44 3 5 4t x x dt x dx nên Thầy nhân thêm cho 45 4x

vào hai vế. Thứ hai để đảm bảo đúng cận khi đổi biến thấy cho

5 54 3 2 1; 4 3 8 1x x x x x x . Thế đấy các Em.



Câu 37. Kết quả tính 2 ln 1x x dx bằng

A. 2

2

1 ln 1

2

xx x x C . B.

22

1 ln 1

2

xx x x C .

C. 2

2

ln 1

2

xx x x C . D.

22

1 ln 1

2

xx x x C .


Đặt

2

1ln 1

12

1

du dxu x

xdv xdx

v x

. Khi đó

2

2 212 ln 1 1 ln 1 1 ln 1 1

1

xx x dx x x dx x x x dx

x

2

21 ln 1

2

xx x x C .

Câu 38. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1 4,

3 3

y x y x và trục hoành như hình

vẽ.

A. 7

3

. B. 56

3

. C. 39

2

. D. 11

6

.


Từ hình vẽ dễ dàng ta có được diện tích S của hình phẳng cần tính là

1 4

2

0 01

1 4 11

3 3 6

S x dx x dx (bấm máy tính cho nhanh các Em nhé!)

Câu 39. Cho tứ diện đều ABCD có , , 2ACD BCD AB AC BC BD a CD x . Với giá trị nào của

x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc nhau.



A. 2

3

a. B.

3

3

a. C.

3

2

a. D.

5

3

a.


Không mất tính tổng quát, cũng như để thuận lợi cho việc tính tians

ta coi như 1a . Gọi H là trung điểm của CD ta có AH CD (tam

giác ACD cân tại A). Mặt khác ACD BCD AH BCD

. Gọi E là trung điểm của AB. Do tam giác ACB cân tại C, tam

giác ABD cân tại D nên

, ,CE AB DE AB ABC ABD CED . Theo đề ta có

90CED hay tam giác ECD vuông tại E. Suy ra

2

CDEH x . Mặt khác, tam giác HBD vuông tại H, ta có

2 2 21BH BD HD x .

Dễ thấy tam giác AHB vuông cân tại H , dẫn đến tam giác HBE vuông cân tại E. Ta có

21

2 2

HB xHE . Ta có phương trình

2

2 21 31 2

32

xx x x x .

Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD) và

SA a . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

A. 3

2

ad . B. d a . C.

2

ad . D. 2

2

d .


Kẻ AH SB , các Em sẽ chứng minh được

,AH SBC AH d A SBC . Tam giác SAB vuông cân tại A,

coi như AH là nửa đường chéo của hình vuông. Do đó Em sẽ có

nhanh kết quả 2

2

aAH .

Câu 41. Cho hàm số 3 2 33 3y x mx m . Biết rằng có hai giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số có

hai điểm cực trị A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 48. Khi đó tổng của hai giá trị m là

a=1x

E

H

D

BC

A

H

a

S

D

CB

A

a



A. 2 . B. 2 . C. 0 . D. 2 .


Ta có

2 0' 3 6 ; ' 0

2

xy x mx y

x m, do hàm số có hai điểm cực trị nên 0m .

Khi đó 3 3 3 30;3 , 2 ; 0;3 , 2 ;A m B m m OA m OB m m .

Do

3

4 4

3

0 3148 48 6 96 16 2

2 2OAB

mS m m m

m m

. Tổng các giá trị m cần tìm

bằng 0.

Câu 42. Cho hàm số y f x có đạo hàm 'f x . Hàm số 'y f x liên tục trên và có đồ thị như

hình vẽ.

Số nghiệm thuộc đoạn 1;4 của phương trình 0f x f là

A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1 .


Từ đồ thị của hàm số 'y f x ta lập được bảng biến thiên như sau

Để biết được số nghiệm của phương trình 0f x f trên đoạn 1;4 . Chúng ta cần so sánh được

giá trị của 0f và 2f ; 2S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 'y f x và các

y=f 0( )

f(2)f(0)

0

+ 0

4

+∞2

+00 0

2-1 1

+∞

x

y

y'

+∞∞

+

f -1( )



được thẳng 0, 1x x . 1S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 'y f x và các

được thẳng 1, 2x x . Từ hình vẽ ta thấy ngay 1 2

1 2

0 1

' 'S S f x dx f x dx

1 0 1 2 0 2f f f f f f . Vậy bảng biến thiên có dạng như sau

Vậy phương trình 0f x f có 1 nghiệm thuộc đoạn 1;4 .

Câu 43. Cho số phức z thỏa mãn 2 2 3 2 5z i z i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .

A. min

5z . B. min

4 5

5

z . C. min

13z . D. min

2 5z .


Đặt M là điểm biểu diễn của số phức z, 2;1 , 2;3A B . Khi đó từ phương trình 2 5MA MB .

Mặt khác 2 5AB MA MB AB B nằm giữa A và M. Hơn nửa min

z cũng chính là min

OM .

Mà min

13OM OB .

Bình luận.

Các Em chú ý rằng điểm B nằm giữa A và M. Các Em sẽ sai nếu cho rằng min

O,OM d AB . Vì lúc

này điểm M không thỏa mãn phương trìn MA MB AB .

Câu 44. Cho các số thực , , 0x y x thỏa mãn

3 1 1

3

11 1 3

x y xy xy

x ye e x y e y

e

. Gọi m là giá

trị nhỏ nhất 2 1T x y . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 2;3m . B. 1;0m . C. 0;1m . D. 1;2m .


Từ

3 1 1 3 1 1

3 3

1 11 1 3 3 1

x y xy xy x y xy xy

x y x ye e x y e y e x y e e xy

e e

y=f 0( )

f(2)

f(0)

0

+ 0

4

+∞2

+00 0

2-1 1

+∞

x

y

y'

+∞∞

+

f -1( )



3 1

3 1

1 13 1

x y xy

x y xye x y e xy

ee

.

Xét hàm 1 1' 1 0,

t t

t tf t e t f t e t

e e

13 1 3 1

3

xf x y f xy x y xy y

x

thay vào là T được

2

1 2 12. 1

3 3

x x xT x

x x

.

Tới đây các em chỉ việc tìm min cuat T trên miền 0x là xong nhé.

Câu 45. Có bao nhiêu số tự nhiên có 30 chữ số sao cho mỗi số chỉ có mặt hai chữ số 0 và 1, đồng thời số

chữ số 1 có mặt trong số tự nhiên đó là số lẽ.

A. 273.2 . B. 272 . C. 292 . D. 282 .


Số cần thành lập có dạng 2 3 301 ...a a a . Để số chữ số 1 có mặt trong số tự nhiên đang xét là số lẽ thì số

chữ số 1 xuất hiện trong các vị trí còn lại là số chẳn lần.

TH1: Không có chữ số 1 ta có 0

29C số.

TH2: Có hai chữ số 1 , chọn hai vị trí trong 29 vị trí cho hai số 1 có 2

29C cách, các số còn lại là 0 chi có

1 cách đặt. Do đó ta có 2

29C số. Tương tự cho các trường hợp sau.

…

….

TH28: Có 28 số 1 ta có 28

29C số.

Vậy có tất cả 0 2 4 28

29 29 29 29...C C C C số.

Ta có 29

0 1 2 2 29 29

29 29 29 291 ...x C xC x C x C . Thay 1, 1x x vào ta được

0 1 2 29

29 29 29 29 0 2 4 28 29

29 29 29 290 1 2 29 29 (1) (2)

29 29 29 29

... 0 1

2 ... 2

... 2 2

C C C C

C C C C

C C C C

0 2 4 28 28

29 29 29 29... 2C C C C .

Câu 46. Cho 2

4 3f x dx x x c . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 2

2 2

4

xf x dx x C . B.

2

2 7

4

xf x dx x C .



C. 2

2 4

4

xf x dx x C . D.

2

2 4

2

xf x dx x C .


Đặt

2 1

4 4

tx dx dt . Từ

2

2 1 2 24 3 2 3.

4 4 4

t tf x dx x x c f t dt c

2

2 4 7

4

tf t dt t c (coi như 7 c c ).

Câu 47. Cho hàm số f x có đọa hàm 3

2'( ) 4 2 9 2f x x x x . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 1 2 2f f f . B. 2 1 2f f f .

C. 2 2 1f f f . D. 2 1 2f f f .


Ta có 4

'( ) 2 2 9 2f x x x x . Từ đây ta lập được bảng biến thiên như sau

Từ bảng biến thiên ta thấy ngay 2 1 2f f f .

Câu 48. Cho hàm số y f x có đồ thị của hàm số 'f x như hình vẽ.

f(2)f(1)

1

f(-2)

0

9

22

0

3

-2

0

∞

+∞

x

y

y'

+∞∞

+



Xét hàm số 8 3 2

48 1

xf xg x m

x

với m là số thực. Điều kiện cần và đủ để

0, 0;1g x x là

A. 0 8

48 3 2

fm

. B.

0 8

48 3 2

fm

.

C. 1

248

fm . D.

12

48

fm .


Ta có

8 3 2

0, 0;1 0, 0;148 1

xf xg x x m x

x

8 3 2, 0;1 , 0;1

48 1

xf xm x m h x x

x

.

Với

8 3 2

, 0;148 1

xf xh x x

x

.

Ta có

2

8 3 2 ' 80, 0;1

48 1 48 3 3 2

xf x f xh x x

x x x

.

Lập bảng biến thiến ta suy ra 1 , 0;1h x h x .

Từ yêu câu bài toán suy ra 1

1 248

fm h .

Câu 49. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

10

2

mxy

x m

nghịch biến trên khoảng

từ 0;2 .

A. 9 . B. 6 . C. 4 . D. 5 .


Ta có

2

2

10 20'

2 2

mx my y

x m x m

. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 khi và chỉ khi

2

2

2

20 020

0, 0;2 2 5 2 5

2 02 5 4 0 2 502

0;2 42

22

mm

x mm

x mm mm

mm m

.

Do m là số nguyên nên ta có 4;0;1;2;3;4m .



Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng

2 7 0x y z và đi qua điểm 1;2;1 , 2;5;3A B . Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S) bằng

A. 470

3. B.

546

3. C.

763

3. D.

345

3.


Goi I là tâm của mặt câu (S), khi đó điểm I thuộc mặt phẳng (P) và IA IB I thuộc mặt phẳng trung

trực (Q) của AB. Mặt phẳng (Q) qua trung điểm 3 7; ;2

2 2

M của AB và có vtpt 1;3;2AB nên có

phương trình : 3 2 11 0Q x y z . Điểm I thuộc mặt phẳng (P) và (Q) nên thuộc vào giao tuyến d

của (P) và (Q). d P Q d có vtcp , 1;1; 1

d Q Pa n n và đi qua điểm 3;0;4K .

Bán kính mặt cầu (S) là đoạn thẳng IA , với I thuộc d. Do đó, bán kính mặt cầu nhỏ nhất khi điểm I là

hình chiếu vuông góc của A trên d. Vậy

min

,546

,

3

d

d

a AK

R d A d

a

.

Lời tâm sự. Thời gian đến kì thi THPT QG 2019 không còn xa. Để có thể hổ trợ cho học sinh tài liệu

tự học Thầy biên soạn lời giải chi tiết đề thi thử giúp các em có thể tìm thấy hướng giải quyết với câu

mà minh thắc mắc. Thời gian biên soạn không nhiều do đó rất khó tránh khỏi sai sót trong lời giải hoặc

chưa phải là hay nhất. Rất mong các Bạn đọc thông cảm và góp ý .

Chúc các em 12 nhiều sức khỏe và sẽ thi tốt trong kỳ thi sắp tới!

Thầy Trần Duy Thúc.

ĐỀ thi thỬ thptqg lẦn 4 mÔn toÁn - thoidai.com.vn · cắt t bởi mặt phẳng vuông...

Documents