đề thi tuyển sinh ptnk tphcm 1993 2008 - truonghocso.com

CAÙC ÑEÀ THI VAØO LÔÙP 10 CHUYEÂN TOAÙN-TIN TRÖÔØNG PHOÅ THOÂNG NAÊNG KHIEÁU

ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA TP.HCM

Copyright 2006 © www.diendantoanhoc.net

www.vnmath.com

http://www.diendantoanhoc.net/

http://book.vnmath.com

MỤC LỤC

Năm học 1993 – 1994 ............................................................................................ 3 Năm học 1994 – 1995 ............................................................................................ 6 Năm học 1995 – 1996 ............................................................................................ 8 Năm học 1996 – 1997 ............................................................................................ 11 Năm học 1997 – 1998 ............................................................................................ 13 Năm học 1998 – 1999 ............................................................................................ 16 Năm học 1999 – 2000 ............................................................................................ 19 Năm học 2000 – 2001 ............................................................................................ 22 Năm học 2001 – 2002 ............................................................................................ 25 Năm học 2002 – 2003 ............................................................................................ 28 Năm học 2003 – 2004 ............................................................................................ 31 Năm học 2004 – 2005 ............................................................................................ 34 Năm học 2005 – 2006 ............................................................................................. 37 Năm học 2006 – 2007 ............................................................................................ 40

www.vnmath.com


Năm học 1993 – 1994

Ngày thứ nhất

Bài 1 Ta nói số tự nhiên A là một số “Pitago” nếu A là tổng bình phương của hai số tự nhiên nào đó.

a) Cho P và Q là hai số “Pitago”, chứng minh P.Q và 2nP cũng là các số “Pitago”.

b) Tìm các số “Pitago” M và N sao cho tổng và hiệu của chúng không phải là các số “Pitago”.

Bài 2

a) Giải phương trình căn thức :

343 49 4 3 12 3x x x− = − − b) Chứng minh đẳng thức

4 449 20 6 49 20 6 32

+ + −=

Bài 3

Tám đội bóng tham gia giải vô địch trong đó hai đội bất kỳ phải gặp nhau đúng một lần. Biết rằng đến cuối giải không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số hòa. Chứng minh rằng trong tám đội nói trên, luôn tìm được bốn đội A, B, C, D sao cho kết quả các trận đấu giữa họ là A thắng B, C, D; B thắng C, D và C thắng D. Bài 4 Bốn học sinh gái Mỹ, Mận, Mai và Mơ đang ở trong một căn phòng của kí túc xá. Một cô đang sửa áo, một cô đang chải đầu, một cô đang viết thư và một cô đang đọc sách. Biết thêm rằng :

1. Mỹ không sửa áo và không đọc sách. 2. Mận không viết thư và không sửa áo. 3. Nếu Mỹ không viết thư thì Mơ không sửa áo. 4. Mai không đọc sách và không sửa áo. 5. Mơ không đọc sách và không viết thư.

Hãy nói chính xác mỗi cô đang làm gì.

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net

3www.vnmath.com


Bài 5

Giả sử là một điểm nằm bên trong tam giác đều O ABC . Các đường thẳng , ,AO BO CO cắt các cạnh đối diện của tam giác tại các điểm A1,B1,C1 tương ứng. Biết rằng :

1 1 1 1 1 1AB O CA O BC O CB O BA O ACS S S S S S+ + = + + O Chứng minh rằng O nằm trên một đường trung tuyến của tam giác ABC.

Ngày thứ hai

Bài 1 Chia hai tập hợp những số tự nhiên {1,2,…,2n} thành hai tập con rời nhau A và B, mỗi tập có n phần tử. Kí hiệu các phần tử của hai tập hợp này theo thứ tự tăng : 1 2 1... }{ n nA a a a a−< < < <= và 1 2... }{ n nB b b b b− 1< < < <= Hãy chứng minh đẳng thức :

|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|=n2

Bài 2 Cho một bảng kích thước 2n x 2n ô vuông. Người ta đánh dấu 3n ô bất kì của bảng. Chứng minh rằng có thể chọn ra n hàng và n cột của bảng sao cho các ô được đánh dấu đều nằm trên n hàng hoặc n cột này. Bài 3 Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ, CD là cạnh đáy lớn, M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Biết rằng hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính R. Hãy tính diện tích tam giác ADM. Bài 4 Một hộp đựng 52 viên bi, trong đó có 13 viên màu xanh, 13 viên màu đỏ, 13 viên màu vàng và 13 viên màu trắng. Cần phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi (mà không nhìn trước) để chắc chắn trong số đó không có ít hơn 7 viên bi cùng màu. Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát hơn.


4www.vnmath.com


Bài 5 Một dãy các con số 0 và 1 có độ dài 32 được gọi là 1 xâu. Ta kí hiệu các xâu A,B,C ,… như sau : A=(a1,a2,…,a32) B=(b1,b2,…,b32) C=(c1,c2,…,c32) với ai,bi,ci,…= 0 hay 1; i = 1,2,…,32. Giá trị của một xâu là số các con số 1 có trong xâu ấy. Một máy tính có thể xử lý các xâu bằng hai phép biến đổi sau :

_ Phép dịch chuyển các phần tử của A đi k vị trí, 1 ≤ k ≤ 32 theo qui tắc :

(a1,a2,…,a32) ⇒ (ak,ak+1,…,a31,a32,a1,a2,…,ak-1). _ Phép so sánh hai xâu A và B để được một xâu mới C theo qui tắc A&B ⇒ C, với

1 nếu (ai = 1,bi = 0) hay (a1 = b1 = 1) c1 =

0 nếu (ai = 1,b i= 0) hay (a1 = 0,b1 = 1) Cho xâu A có giá trị bằng 16 và B là một xâu tùy ý. Chứng minh rằng, bằng cách dịch chuyển A đi k vị trí (thích hợp) và so sánh kết quả với B, ta sẽ được xâu C có giá trị không nhỏ hơn 16.


5www.vnmath.com


Năm học 1994 – 1995

Ngày thứ nhất

Bài 1

Sáu đội bóng A,B,C,D,E và F tham dự một giải vô địch. Dưới đây là năm khẳng định khác nhau về hai đội có mặt trong trận chung kết : a) A và C b) B và E c) B và F d) A và F e) A và D Biết rằng có bốn khẳng định đúng một nửa và một khẳng định sai hoàn toàn. Hãy cho biết hai đội nào được thi đấu trong trận chung kết. Bài 2

a) Trên bảng có viết 1994 số : 1,2,…,1994. Cho phép xóa hai số bất kỳ trong những số trên bảng và viết thêm một số bằng tổng của hai số đó (Như vậy sau mỗi lần xóa thì các số các số được viết trên bảng giảm đi 1). Chứng minh sau 1993 lần xóa, trên bảng sẽ còn lại một số lẻ.

b) Nếu thay số 1994 trong câu a) bằng số 2000 thì sau 1999 lần xóa trên bảng sẽ còn lại 1 số chẵn hay số lẻ ?

Bài 3

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho y+1 chia hết cho x và x+1 chia hết cho y.

Bài 4

a) Cho là 4 số thực tùy ý. Với các giá trị thực nào của x thì biểu thức nhận giá trị nhỏ nhất :

a b c d< < <

f(x) = |x – a|+|x – b|+|x – c|+|x – d| b) Hãy phát biểu và giải bài toán tổng quát với n số thực.

Bài 5

Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong BD và CE cắt nhau tại I. Biết rằng ID = IE, chứng minh rằng hoặc tam giác ABC cân tại A hoặc góc

. 060BAC∠ =


6www.vnmath.com


Ngày thứ hai Bài 1

Giải hệ phương trình 2 2

2 2

2 3

4 2

x xy y

x xy y

⎧⎪⎨⎪⎩

13

6

− + =

+ − = −

Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, có O, I lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp. Đặt BC = a, CA = b, AB = c.

a) Tính các độ dài IO, IB theo a,b,c. b) Biết rằng tam giác IOB vuông ở I, chứng minh

AB : AC : BC = 3 : 4 : 5. Bài 3

Chứng minh không tồn tại một dãy tăng thực sự các số nguyên sao cho với mọi số tự nhiên n,m ta có : 1 2 3, , ,..0 :a a a≥ .

amn = an + am . Bài 4

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hai số nguyên dương x và y thỏa mãn các tính chất sau :

i) x và y đều có hai chữ số ii) x = 2y iii) Một chữ số của y thì bằng tổng hai chữ số của x, còn chữ số kia

thì bằng trị tuyệt đối của hiệu hai chữ số của x. Bài 5

Một tam giác đều được chia thành một số hữu hạn các tam giác con. Chứng minh rằng sẽ có ít nhất một tam giác con có cả ba góc đều nhỏ hơn 1200.


7www.vnmath.com


Năm học 1995 – 1996

Ngày thứ nhất

Bài 1 Trong một kì thi trắc nghiệm có 5 câu hỏi, thí sinh dự thi chỉ cần trả lời “có” hay “không” cho mỗi câu. Hãy chứng minh rằng nếu biết được các thông tin sau về câu trả lời cho mỗi câu hỏi :

a) Câu số 1 và câu số 5 cần trả lời trái ngược nhau. b) Câu số 2 và câu số 4 cần trả lời giống nhau. c) Nếu câu số 4 trả lời “có” thì câu số 5 cần trả lời “không”. d) Số câu được trả lời “không” ít hơn số câu trả lời “có”

thì một thí sinh có thể trả lời đúng bốn câu hỏi. Bài 2

Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD lấy hai điểm E và F sao cho AE CF

BE DF= . Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của

đoạn EF thì AC chia đôi diện tích tứ giác ABCD. Bài 3

Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số A abcd= thỏa điều kiện : i) 2( 2abd b d a= + − ) ii) A + 72 là một số chính phương Bài 4

a) Chứng minh với mọi giá trị thực của x ta luôn có : 2 4 23 6 12 5 10 9x x x x 5+ + + − + ≥

b) Giải phương trình : 2 4 23 6 12 5 10 9 3 4 2 2x x x x x+ + + − + = − − x

Bài 5

Cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh A,B cố định và C thay đổi trên nửa đường thẳng At vuông góc với AB tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam


8www.vnmath.com


giác ABC và P, Q, R lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn này với các cạnh AC, BC, AB. Đường thẳng PQ và AI cắt nhau tại D. a) Chứng minh rằng bốn điểm B, D, Q, R nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh rằng khi C thay đổi trên At thì PQ luôn đi qua một điểm cố định.

Ngày thứ hai

Bài 1 Cho số tự nhiên n . Chứng minh rằng : 1>

a) Nếu n lẻ thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n} thành một dãy sao cho với mọi k n≤ , tổng của k số đầu tiên trong dãy không chia hết cho n.

b) Nếu n thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n} thành một dãy sao cho với mọi k n≤ , tổng của k số đầu tiên trong dãy không chia hết cho n.

Bài 2 Giải và biện luận hệ phương trình sau :

1

2

xyz mx yxyz

y zxyz

z x

⎧ =⎪ +⎪⎪ =⎨ +⎪⎪

=⎪ +⎩

trong đó x, y, z là các ẩn số và m là tham số thực. Bài 3

Cho là các số thực dương. Gọi A là các số lớn nhất trong các số trên, hãy chứng minh bất đẳng thức :

1 2 1995, ,...,a a a

21 2 1995 1 1995

1( 2 ... 1995 ) ( ... )2

A a a a a a+ + + > + +


9www.vnmath.com


Bài 4 Cho tứ giác lồi ABCD.

a) Chứng minh rằng nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp xúc ngoài nhau thì ta luôn có

AB + CD ≤ AD + BC b) Chứng minh rằng, nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp

xúc ngoài với nhau và hai đường tròn đường kính AD và BC cũng tiếp xúc ngoài với nhau thì tứ giác ABCD phải là hình thoi.

Bài 5

a) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình vuông. Chứng minh rằng luôn có thể tìm được hai đỉnh A và B của hình vuông sao cho : 135 180AOB≤ ∠ ≤o o

b) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình đa giác đều n cạnh . Chứng minh rằng, luôn có thể tìm được hai đỉnh A và B của đa giác sao

cho:

( 5n ≥ )

11 180 180AOBn

⎛ ⎞− ≤ ∠ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

o o.


10www.vnmath.com


Năm học 1996 – 1997

Ngày thứ nhất Bài 1 Cho số nguyên k.

a) Chứng minh chia hết cho 11 khi và chỉ khi với t là số nguyên

2 5kk + + 5

5

1

11 4k t= +

b) Chứng minh không chia hết cho 121. 2 3kk + + Bài 2 Giải phương trình . 4 4( 2) ( 3)x x− + − = Bài 3

Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi C là đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC.

a) Chứng minh rằng tâm của C nằm trên đường thẳng AI. b) Chứng minh rằng : Tam giác ABC cân tại A ⇔ C tiếp xúc với các

đường thẳng AB, AC. Bài 4

Chứng minh rằng, có thể chia các số 1,2,…,3N (N ≥ 2) thành ba nhóm N số mà tổng các số chứa trong mỗi nhóm đều bằng nhau.

Bài 5

Trong giải Euro’96, sau vòng đấu loại, ở một bảng có kết quả như sau : A nhất, B nhì, C ba, D tư. Các nhà quan sát nhận xét rằng nếu tính theo luật cũ là thắng 2 điểm (chứ không phải 3 điểm như hiện nay), hòa 1 điểm, thua 0 điểm thì thứ tự trên sẽ bị đảo lộn thành B nhất, A nhì, D ba , C tư. Hãy cho biết điểm thật sự của mỗi đội, biết rằng trong việc sắp thứ hạng, khi hai đội bằng nhau, đội nào có hiệu số bàn thắng thua lớn hôn sẽ được xếp trên và trên thực tế cả bốn đội bóng đều có hiệu số bàn thắng thua khác nhau.


11www.vnmath.com


Ngày thứ hai

Bài 1

Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình 2 1 0x px+ + = ; c,d là hai nghiệm của phương trình . Chứng minh hệ thức : 2 1 0y qy+ + =

2( )( )( )( ) (a c a d b c b d p q− − − − = − )

Bài 2 Cho x, y, z là các số thực thỏa các điều kiện :

2 2 2

59

x y zx y z+ + =⎧

⎨+ + =⎩

Chứng minh : 71 , ,3

x y z≤ ≤

Bài 3

a) Cho tứ giác lồi ABCD. Hãy dựng đường thẳng qua A và chia đôi diện tích tứ giác ABCD.

b) Cho tam giác ABC và đường thẳng d // BC và nằm khác phía của A đối với BC. Lấy điểm M lưu động trên d sao cho ABMC là tứ giác lồi. Đưòng thẳng qua A chia đôi diện tích tứ giác ABMC cắt BM hoặc CM tại N. Tìm quĩ tích điểm N.

Bài 4

Chứng minh không tồn tại số tự nhiên n sao cho 1n n 1− + + là số hữu tỉ Bài 5

a) Chứng minh với , luôn luôn có N số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của chúng là một số chính phương.

3N ≥

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên bao giờ cũng xây dựng được một bảng chữ nhật gồm m x n số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của mỗi dòng là một số chính phương và tổng của mỗi cột là một số chính phương.

3nm ≥


12www.vnmath.com


Năm học 1997 – 1998

Ngày thứ nhất

Bài 1 Chứng minh rằng, nếu xyz = 1 thì

1 1 1 11 1 1x xy y yz z zx

+ + =+ + + + + +

Bài 2 Cho phương trình . 2( 2) (2 1) 3m x m x m+ − − − + = 0

a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m. b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm

phân biệt x1,x2. Khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia.

Bài 3

Hai thị trấn A và B cùng nằm trên một dòng sông, cách nhau D km. Thị trấn B có địa thế cao hơn nên dòng nước luôn chảy từ B đến A với vận tốc d (km/h) không đổi. Nếu nước không chảy, tàu Hi vọng có vận tốc x (km/h) không đổi, tàu Tương lai có vận tốc y (km/h) không đổi. Vào lúc 8 giờ sáng, tàu Hi vọng xuất phát từ A đi về hướng B và tàu Tương lai xuất phát từ B đi về hướng A. Vào lúc 12 giờ trưa hai tàu gặp nhau lần đầu tiên tại một điểm cách A

một khoảng cách là 13

D . Khi đến A tàu Tương lai nghỉ nửa giờ rồi quay về B;

tương tự khi đến B tàu Hi vọng cũng nghỉ nửa giờ rồi quay về A. Hai tàu gặp

nhau lần thứ hai tại một điểm cách B một khoảng cách là 527

D . Hãy tìm vận

tốc của các tàu Hi vọng và Tương lai biết rằng nếu ngay từ đầu, mỗi tàu tăng vận tốc thêm 7,5 km/h thì hai tàu sẽ gặp nhau lần đầu vào lúc 11 giờ trưa. Bài 4 Hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm D. Từ một điểm A bất kỳ nằm trên đường tròn thứ nhất kẻ tiếp tuyến của đường tròn thứ nhất cắt đường


13www.vnmath.com


tròn thứ hai tại hai điểm B và C. Chứng minh rằng điểm A cách đều các đường thẳng BD và CD. Bài 5 Số nguyên A được tạo thành bằng các chữ viết liền nhau các số nguyên dương từ 1 đến 60 theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : 12345...585960A = .

a) Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của A sao cho số A1 tạo bởi các chữ số còn lại là nhỏ nhất;

b) Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của A sao cho số A2 tạo bởi các chữ số còn lại là lớn nhất.

Ngày thứ hai

Bài 1

a) Tìm tất cả các số dương x, y thỏa : 1 4 3

3x yx y

⎧ + ≤⎪⎨⎪ + =⎩

b) Tìm tất cả các số dương x, y, z thỏa : 1 4 9 3

12x y zx y z

⎧ + + =⎪⎨⎪ + + ≤⎩

Bài 2

a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2n + 3n chia hết cho 5. b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2n + 3n chia hết cho 25.

Bài 3

Một nhóm 21 người đã đi du lịch đến các nước Anh, Pháp và Ý, trong đó mỗi người đã đi ít nhất một nước và không có người nào đã đi cả ba nước. Biết rằng :

i) Số người đã đi được cả hai nước Ý và Anh gâp đôi số người đã đi được cả hai nước Pháp và Ý. Còn số người đã đi được cả hai nước Pháp và Ý lại gấp đôi số người đã đi được cả hai nước Anh và Pháp.


14www.vnmath.com


ii) Số người đi Ý (mà không đi Anh, Pháp) hơn số người chỉ đi Anh (mà không đi Pháp, Ý) là một người và bằng với số người đã đi Pháp.

a) Hãy tìm số người chỉ đi đúng một nước. b) Hãy tìm số người đi ít nhất một trong hai nước Anh, Pháp.

Bài 4

a) Chứng minh rằng trong hình thang cân ABCD với hai đáy AB//CD , ta có :

AC2 + BD2 = AD2 + BC2 + 2AB.CD b) Chứng minh rằng với mọi tứ giác lồi ABCD với hai đáy ta có:

AC2 + BD2 ≤ AD2 + BC2 + 2AB.CD Tìm điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xảy ra. Bài 5

Cho dãy n số a1, a2, …, an (trong đó các số ai chỉ có thể nhận các giá trị 0 hoặc 1) thỏa : (*) Bất kỳ hai bộ 5 số liên tiếp nào lấy từ dãy đã cho đều không trùng nhau.

a) Chứng minh n ≤ 36 b) Biết rằng nếu thêm vào cuối dãy một số an+1 tùy ý (0 hay 1) thì tính chất (*) sẽ không còn đúng nữa. Chứng minh rằng 2 bộ 4 số liên tiếp a1, a2, a3, a4 và an-3, an-2, an-1, an trùng nhau.


15www.vnmath.com


Năm học 1998 – 1999

Ngày thứ nhất

Bài 1

a) Giải phương trình 5 2x x 7− = − .

b) Giải hệ phương trình 2 3 13 2 7

x yx y

5+ − =⎧⎨ + =⎩

Bài 2

a) Chứng minh hằng đẳng thức : 2 2 2 2( 1) 4 4 (m m m m m m+ − + + = + + 21)

0.

b) Cho phương trình 2 2( 1) 1mx m m x m− + − + + = (1). Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác – 1.

Bài 3

a) Giải và biện luận theo m bất phương trình ( 2)( 3 ) ( 3)( 1)x x m x x m+ − > − + −

b) Cho 3 3 2

1 1:a b a bA aba ba b

2− −

− −

⎛ ⎞− −= −⎜ ⎟⎜ ⎟ −−⎝ ⎠

.

Tìm điều kiện của a, b để A có nghĩa; rút gọn A. Bài 4

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3. Lấy điểm M trên cạnh BC. Đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại P. Đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo dài tại Q. BP cắt CQ tại I.

a) Cho CM = 1, hãy tính BI, CI. b) Khi M di động trên đoạn BC, hãy tìm qũy tích điểm I.

Bài 5

Một giải bóng đá có n đội tham dự. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt. Trong mỗi trận, đội thắng được 2 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua được 0 điểm. Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó.


16www.vnmath.com


Khi kết thúc giải, đội vô địch được 8 điểm, đội xếp thứ nhì được 6 điểm và đội xếp thứ 3 được 5 điểm. Các đội còn lại có số điểm khác nhau. Hãy cho biết số đội đã tham dự giải và số điểm của các đội còn lại (có giải thích rõ).

Ngày thứ hai

Bài 1

a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho 2n-1 chia hết cho 7. b) Cho số nguyên tố p ≥ 5. Đặt A = 3p – 2p – 1. Chứng minh A chia hết

cho 42p. Bài 2

Cho hai số nguyên dương a và b. Biết rằng trong bốn mệnh đề P, Q, R, S dưới đây chỉ có duy nhất một mệnh đề sai :

P = “a = 2b + 5” Q = “(a + 1) chia hết cho b” R = “(a + b) chia hết cho 3” S = “(a + 7b) là số nguyên tố”

a) Hãy chỉ ra mệnh đề nào sai trong bốn mệnh đề trên (có giải thích). b) Hãy tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b thỏa ba mệnh đề đúng còn lại. Bài 3

a) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 5 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng, trong các điểm đã cho có thể tìm được 2 điểm sao cho khoảng cách

giữa chúng không lớn hơn 22

.

b) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có thể tìm được 3 điểm lập thành tam giác có

diện tích không lớn hơn 132

.

Bài 4 Cho x, y, z, p, q, r là các số thực dương thỏa mãn điều kiện :

x + y + z = p + q + r = 1 và pqr ≤ 12

.


17www.vnmath.com


a) Chứng minh rằng nếu :

x ≤ y ≤ z thì px + qy + rz ≥ 2

x y+

b) Chứng minh rằng : px + qy + rz ≥ 8xyz Bài 5

a) Hãy chỉ ra cách sắp 8 số nguyên dương đầu tiên 1, 2,…, 8 thành 1 dãy a1, a2,…, a8 sao cho với 2 số ai, aj bất kỳ (i < j) thì mọi số trong dãy

nằm giữa ai và aj đều khác 2

i ja a+.

b) Hãy chứng minh rằng với N số nguyên dương đầu tiên 1 luôn tìm được cách sắp thành dãy a

,2,..., N1, a2,…, aN sao cho dãy thỏa mãn điều

kiện như câu a).


18www.vnmath.com


Năm học 1999 – 2000

Ngày thứ nhất

Bài 1 Cho . 2( ) 2( 2) 6 1f x x m x m= − + + +

a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m. b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để

phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2. Bài 2 a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện

2 21 1x y y x− + − =1 (1) Chứng minh rằng (2) 2 2 1x y+ =

b) Từ đẳng thức (2) có suy ra đẳng thức (1) được hay không ? Giải thích rõ câu trả lời.

Bài 3

a) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện

3x y z+ + = , 1 1 1 13x y z

+ + = .

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 3. b) Áp dụng câu a), giải hệ phương trình :

2

31 1 1 1

32 1

x y z

x y zy z

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪⎪ + =⎩

Bài 4

Cho hai đường tròn có bán kính lần lượt là 1 và 4 tiếp xúc ngoài với nhau. Một tiếp tuyến chung ngoài của tiếp xúc với lần lượt tại A, B. Tìm bán kính của đường tròn (C) tiếp xúc đồng thời và AB.

1 2( ),( )C C1 2( ),( )C C 1 2( ),( )C C

1 2( ),( )C C


19www.vnmath.com


Bài 5

a) Có n đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt (n ≥ 3). Chứng minh rằng dù lịch thi đấu thế nào sắp xếp ra sao thì tại bất kỳ thời điểm nào ta cũng tìm ra được hai đội bóng có số trận đã đấu là bằng nhau.

b) Giả sử n = 3 và ba đội bóng thi đấu vòng tròn hai lượt. Điều khẳng định của câu a) còn đúng khônng ? Giải thích rõ câu trả lời.

Ngày thứ hai

Bài 1

a) Biết rằng x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai:

ax2 + bx + c = 0. Viết phương trình bậc hai nhận 3 3

1 2,x x làm hai nghiệm. b) Giải bất phương trình :

2 2 2( 4 10) 7( 4 11) 7x x x x+ + − + + + < 0

4

Bài 2

a) Khai triển biểu thức 4 ( 1)n n+ + thành dạng 2k + 1 và phân tích k

thành các thừa số. b) Cho số nguyên A là tổng bình phương của hai số nguyên dương liên

tiếp. Hãy chứng minh rằng A không thể là tổng lũy thừa bậc 4 của hai số nguyên dương liên tiếp.

Bài 3 Cho tam giác ABC có diện tích S và một điểm P nằm trong tam giác.

a) Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích của tam giác PBC, PCA và PAB. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của 2 2

1 2S S S 23+ + .

b) Gọi P1, P2, P3 lần lượt là các điểm đối xứng của P qua BC, CA và AB. Đường thẳng đi qua P1 và song song BC cắt AB và AC tại BB1 và C1. Đường thẳng đi qua P2 và song song CA cắt BC và BA tại C2 và A2. Đường thẳng đi qua P3 và song song AB cắt CA và BC tại A3 và B3B . Hãy xác định vị trí điểm P để tổng diện tích ba hình thang BCC1BB1, CAA2C2 và ABB3A3 đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.


20www.vnmath.com


Bài 4

Người ta lát nền nhà hình vuông kích thước n x n ô bằng các viên gạch dạng như hình vẽ bên dưới sao cho còn chừa lại một ô không lát.

a) Hãy chỉ ra một cách lát như trên với nền nhà kích thước 4 x 4 và 8 x 8 và ô trống nằm tại một góc nhà.

b) Hãy chứng minh rằng,. luôn luôn tồn tại cách lát nền nhà có kích thước 2k x 2k (k nguyên dương) với ô trống còn lại nằm ở vị trí (i, j) bất kỳ.

Bài 5

a) Chứng minh đẳng thức | | 2max{ , } ,x y x y x y x y+ + − = ∀ ∈

b) Chứng minh đẳng thức 2 2 1 1 14max , , , , 0a b a b a b a b a b c

ab ab c ab ab c a b c+ − + − ⎧ ⎫+ − + + + = ∀⎨ ⎬

⎩ ⎭≠

trong đó max là kí hiệu số lớn nhất trong các số đi kèm.


21www.vnmath.com


Năm học 2000 – 2001

Ngày thứ nhất

Bài 1 Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – 7x + 3 =0

a) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 – x2 và 2x2 – x1. b) Hãy tính giá trị của biểu thức : 1 2 2 1| 2 | | 2 |A x x x x= − + − .

Bài 2

a) Giải hệ phương trình : 2 68

x yxy− =⎧

⎨ =⎩

b) Giải hệ phương trình :

2

2( )2( 1)

x y zx y zxy z

⎧ + =⎪ = +⎨⎪ = +⎩

Bài 3

a) Giải phương trình 11x xx

+ + = .

b) Gọi ,α β là số đo mỗi góc trong của hai đa giác đều có số cạnh lần lượt

là m và n. Tìm m và n nếu 57

αβ= .

Bài 4

Cho tam giác ABC có đường cao BD. Giả sử (C) là một đường tròn có tâm O nằm trên đoạn AC và lần lượt tiếp xúc với BA, BC tại M, N.

a) Chứng minh rằng 4 điểm B, M, D, N nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh rằng ADM CDN∠ =∠ .

Bài 5

Trong một giải bóng đá có 10 đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt. Trong mỗi trận, đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không có điểm. Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó.


22www.vnmath.com


a) Gọi A là đội bóng tham dự giải, hỏi đội bóng A có thể đạt được những điểm số nào.

b) Giả sử đội bóng A được xếp thứ nhì khi kết thúc giải. Tìm số điểm tối đa, số điểm tối thiểu mà đội bóng A có thể đạt được.

Ngày thứ hai

Bài 1

a) Cho số nguyên không âm A. Hãy xác định A biết rằng trong 3 mệnh đề P, Q, R dưới đây có 2 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai :

P : “A + 51 là số chíng phương” Q : “Chữ số tận cùng của A là 1” R : “A – 38 là số chính phương”

b) Có thể xếp hay không các số 0, 1, 2,…, 9 lên các đỉnh của một đa giác đều 10 đỉnh sao cho hiệu số trên 2 đỉnh kề nhau bất kỳ nhận một trong các giá trị hoặc 5. 3, 4, 5,3,4− − −

Bài 2 Giải các hệ phương trình :

a) b) 3

2( )3(3 2 )

xy x yyz y zzx z x

= +⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩

3

3

3

3

( )( ) 1( ) 1( )

1222

12

x y z ty z t xz t x yt x y z

⎧ + + =⎪

+ + =⎪⎨

+ + =⎪⎪ + + =⎩

Bài 3

a) Cho bốn số nguyên dương a1, a2, a3, a4 sao cho 1 với mọi và tổng S = a

ka k≤ ≤1,2,3,4k = 1 + a2 + a3 + a4 là một số chẵn. Chứng minh

rằng có ít nhất một trong các số dạng ± a1, ± a2, ± a3, a± 4 có giá trị bằng 0.

b) Cho 1000 số nguyên dương a1, a2,…, a1000 sao cho 1 với mọi và tổng S = a

ka k≤ ≤1,2,...,1000k = 1 + a2 +…+ a1000 là một số chẵn. Hỏi

trong các số dạng a± 1, ± a2, …, ± a1000 có số nào bằng 0 hay không ? Giải thích vì sao.


23www.vnmath.com


Bài 4

a) Cho góc vuông xAy và đường tròn C tâm O tiếp xúc với Ax và Ay lần lượt tại P và Q. d là một tiếp tuyến thay đổi của C. Gọi a, p, q lần lượt là các khoảng cách từ A, P, Q đến đường thẳng d. Chứng minh rằng

khi d thay đổi thì tỷ số 2a

pq không đổi.

b) Khẳng định trên còn đúng không nếu xAy không phải là góc vuông ? Vì sao ?

Bài 5

a) Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa điều kiện : 2 2 2 2( )a b c ab bc ca+ + ≤ + + (1)

Chứng minh bất đẳng thức 2( )a b c ab bc ca+ + ≤ + + (2)

Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) hay không ? Vì sao ? b) Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa điều kiện (1) và p, q, r là các số thực thỏa điều kiện p + q + r = 0. Chứng minh apq + bqr + crp ≤ 0.


24www.vnmath.com


Năm học 2001 – 2002

Ngày thứ nhất

Bài 1

a) Giải bất phương trình 1 2 1x x+ > − . b) Giải hệ phương trình

1 72

1 73

xy

yx

⎧ + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩

Bài 2

Cho a, b, c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình 2 1 0x ax+ + = và 2 0x bx c+ + = có nghiệm chung, đồng thời các phương trình 2 0x x a+ + = và 2 0x cx b+ + = cũng có nghiệm chung. Hãy tìm tổng a + b +

c. Bài 3

a) Trên các cạnh AB và CD của hình vuông ABCD lần lượt lấy các điểm

M, N sao cho 3

ABAM CN= = . Gọi K là giao điểm của AN và DM.

Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ADK nằm trên cạnh BC. b) Cho hình vuông ABCD với giao điểm hai đường chéo là O. Một đường

thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O. Lấy một điểm S trên d. Chứng minh rằng ( ) ( )AC SBD⊥ và ( ) ( )SAC SBD⊥ .

Bài 4

Cho tứ giác lồi ABCD có AB vuông góc với CD và 2, 13, 8, 5AB BC CD DA= = = = .

a) Đường (BA) cắt đường (DC) tại E. Hãy tính AE. b) Tính diện tích của tứ giác ABCD.


25www.vnmath.com


Bài 5

Trong một giải cờ vua có 8 kỳ thủ tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt,

thắng được 1 điểm, hòa được 12

điểm, thua được 0 điểm. Biết rằng sau khi tất

cả các trận đấu kết thúc thì cả 8 kỳ thủ nhận được các số điểm khác nhau và kỳ thủ xếp thứ hai có số điểm bằng tổng điểm của 4 kỳ thủ xếp cuối cùng. Hỏi ván đấu giữa kỳ thủ xếp thứ tư và kỳ thủ xếp thứ năm đã kết thúc với kết quả như thế nào ?

Ngày thứ hai

Bài 1

a) Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất sao cho a chia hết cho 6 và 2000a là số chính phương.

b) Tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho (b – 1) không là bội của 9, b là bội của bốn số nguyên tố liên tiếp và 2002b là số chính phương.

Bài 2

Cho x, y là các số thực sao cho 1xy

+ và 1yx

+ đều là các số nguyên.

a) Chứng minh 2 22 2

1x yx y

+ là số nguyên.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 1n nn nx y

x y+ là số

nguyên. Bài 3

a) Cho a, b là các số dương thỏa ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 2 4( 1)( )A a b a ba b

= + + + ++

b) Cho m, n là các số nguyên thỏa 1 12 3m n

1+ = . Tìm giá trị lớn nhất của B

= mn.


26www.vnmath.com


Bài 4

Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A. Hai điểm B, C lần lượt di động trên C

1 1 1( , )C O R 2 2 2( , )C O R

1, C2 sao cho 90BAC∠ = . a) Chứng minh trung điểm M của BC luôn thuộc một đường tròn cố

định. b) Hạ AH vuông góc với BC, tìm tập hợp điểm H. Chứng minh rằng

độ dài đoạn AH không lớn hơn 1 2

1 2

2R RR R+

.

c) Phát biểu và chứng minh các kết quả tương tự như câu a) và câu b) trong trường hợp C1, C2 tiếp xúc trong với nhau tại điểm A.

Bài 5 Giải hệ phương trình

2 2

1 3 5 1 3

80

x x x y y y

x y x y

⎧ + + + + + = − + − + −⎪⎨

+ + + =⎪⎩

5


27www.vnmath.com


Năm học 2002 – 2003

Ngày thứ nhất

Bài 1 Cho phương trình 22 1 6 11x x m m+ − − + − = 0 .

a) Giải phương trình khi m = 2. b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m.

Bài 2 Cho hệ phương trình :

3 2 2 3| | ( 2 | | 2 | | ) 1| | 6

x y m x x y xy y mx y

⎧ + + + + + = −⎨

= −⎩

a) Giải hệ phương trình khi m = 0. b) Giải hệ phương trình khi m = 1.

Bài 3

Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD của hình chữ nhật ABCD. Biết rằng đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính bằng 8 2 3+ và tồn tại điểm I thuộc đoạn MN sao cho và 45DAI∠ =

30IDA∠ = . a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD. b) Gọi K, H lần lượt là trọng tâm của các tam giác AID và BIC. Tính

diện tích tam giác NKH. Bài 4

Tam giác ABC có 30ABC∠ = và 15ACB∠ = . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M, N, P, I lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB, OC.

a) Tính . Chứng minh A, M, I thẳng hàng. PON∠b) Chứng minh P là trực tâm của tam giác OMN.

Bài 5


28www.vnmath.com


a) Tìm tất cả các số thực a và b sao cho |2x + a| = |bx + 5| với mọi số thực x.

b) Cho a, b, c, d, e, f là các số thực thỏa điều kiện : |ax + b| + |cx + d| = |ex + f|

với mọi số thực x. Biết a, c và e khác 0, chứng minh rằng ad = bc.

Ngày thứ hai

Bài 1 Cho phương trình 1x x− + = m

2

(1) trong đó m là tham số. a) Giải phương trình (1) khi m = 1. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm

phân biệt. Bài 2 Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình 2 2x y z+ = .

a) Chứng minh rằng trong hai số x, y có ít nhất một số chia hết cho 3. b) Chứng minh rằng tích xy chia hết cho 12.

Bài 3

Cho đường tròn (C) đường kính BC = 2R và điểm A thay đổi trên (C) (A không trùng với B, C). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC của đường tròn (C) tại điểm K (K ≠ A). Hạ AH vuông góc với BC.

a) Đặt AH = x. Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x. Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất.

b) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng 2 2AH HK+ luôn luôn là một đại lượng không đổi.

Tính góc B của tam giác ABC biết rằng 35

AHHK

= .

Bài 4 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện

1 1a b cb c

1a

+ = + = +

a) Cho a = 1, tìm b, c.


29www.vnmath.com


b) Chứng minh rằng nếu a, b, c đôi một khác nhau thì . 2 2 2 1a b b =c) Chứng minh rằng nếu a, b, c đều dương thì a = b = c.

Bài 5

Trong một giải bóng đá có N đội tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đều gặp nhau đúng một lần). Sau mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội thua không được điểm nào, còn nếu trận đấu có kết quả hòa thì mỗi đội cùng được 1 điểm. Các đội xếp hạng dựa theo tổng điểm. Trong trường hợp một số đội có tổng điểm bằng nhau thì các đội này được xếp hạng theo chỉ sồ phụ. Két thúc giải người ta nhận thấy rằng không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số hòa; các đội xếp nhất, nhì, ba có tổng điểm lần lượt là 15, 12, 12 và tất cả các đội xếp tiếp theo có tổng điểm đôi một khác nhau.

a) Chứng minh rằng . 7N ≥b) Tìm N và tổng điểm của mỗi đội tham gia giải.


30www.vnmath.com


Năm học 2003 – 2004

Ngày thứ nhất

Bài 1 Cho phương trình

2 22 3mx mx m m+ + + − =3 0

1

(1) a) Định m để phương trình (1) vô nghiệm. b) Định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa

. 1 2| |x x− = Bài 2

a) Giải phương trình ( 2) ( 5) ( 3x x x x x x )− + − = +

b) Giải hệ phương trình 2 2 2 2

2 2 2 2

( )( ) 144x y x y

x y x y

⎧ + − =⎪⎨

y+ − − =⎪⎩

Bài 3

Cho tam giác ABC có 45A∠ = . Gọi M và N lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC.

a) Tính tỉ số MNBC

.

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng . OA MN⊥

Bài 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; mặt bên SAB là tam giác đều; mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tính diện tích tam giác SIJ theo a. b) Gọi H là chân đường cao kẻ từ S của ∆SIJ. Chứng minh rằng

SH AC⊥ .


31www.vnmath.com


Bài 5

Lớp 9A có 28 học sinh đăng ký dự thi vào các lớp chuyên Toán, Lý, Hóa của trường Phổ thông Năng khiếu. Trong đó: Không có học sinh nào chỉ chọn thi vào lớp Lý hoặc chỉ chọn thi vào lớp Hóa; có ít nhất 3 học sinh chọn thi vào cả ba lớp Toán, Lý và Hóa; số học sinh chọn thi vào lớp Toán và Lý bằng số học sinh chỉ chọn thi vào lớp Toán; có 6 học sinh chọn thi vào lớp Toán và Hóa; số học sinh chọn thi vào lớp Lý và Hóa gấp 5 lần số học sinh chọn thi vào cả ba lớp Toán, Lý và Hóa. Hỏi số học sinh chọn thi vào từng lớp là bao nhiêu?

Ngày thứ hai

Bài 1

a) Chứng minh rằng phương trình 2 2 2 3 3 4 4( ) 2( )a b x a b x a b− + − + − = 0

5

luôn có nghiệm với mọi a, b. b) Giải hệ phương trình

3 3

5( 1) ( 1) 3x y xyx y+ + =⎧

⎨+ + + =⎩

Bài 2

a) Với mỗi số nguyên dương n, đặt , . Chứng minh rằng với mọi n, chia hết cho 5

và không chia hết cho 5.

2 1 12 2n nna + += − +1

1n

2 1 12 2n nnb + += + + n na b

na b+b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích

của chúng bằng tổng của chúng. Bài 3

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AA1. Hạ A1H vuông góc AB, A1K vuông góc AC. Đặt A1B = x, A1C = y.

a) Gọi r và r’ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC và tam

giác AHK tương ứng. Hãy tính tỷ số 'rr

theo x, y, suy ra giá trị lớn

nhất của tỷ số đó.


32www.vnmath.com


b) Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp trong đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo x, y.

Bài 4

a) Cho đường tròn (C) tâm O và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi, qua A nhưng không đi qua O cắt (C) tại M, N. Chứng mih rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O.

b) Cho đường tròn (C) tâm O và một đường thẳng (D) nằm ngoài đường tròn. I là một điểm di động trên (D). Đường tròn đường kính IO cắt (C) tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5

a) Cho một bảng vuông 4 x 4. Trên các ô của hình vuông này, ban đầu người ta ghi 9 số 1 và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ô một số). Với mỗi phép biến đổi bảng, cho phép một hàng hoặc một cột bất kỳ trên hàng hoặc cột được chọn đổi đồng thời các số 0 thành số 1, các số 1 thành số 0. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các phép biến đổi như vậy, ta không thể đưa bảng ban đầu về bảng gồm toàn các số 0.

b) Ở vương quốc “Sắc màu kỳ ảo” có 45 hiệp sĩ: 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh. Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau gặp nhau thì tóc của họ lập tức đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ khi hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng thì cả hai đổi sang tóc xanh). Hỏi có thể xảy ra trường hợp sau một số hữu hạn lần gặp nhau như vậy ở “Sắc màu kỳ ảo” tất cả các hiệp sĩ đều có cùng màu tóc được không ?


33www.vnmath.com


Năm học 2004 – 2005

Ngày thứ nhất

Bài 1

a) Giải phương trình 4 3x x 2− − = . b) Định m để phương trình 2 ( 1) 2x m x m 0− + + = có hai nghiệm phân biệt

1 2,x x sao cho 1 2,x x là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.

Bài 2 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

2 2 2 2 2( ) ( ) (a b c a b b c c a+ + = − + − + − 2) a) Tính a + b+ c biết rằng ab + bc + ca = 9. b) Chứng minh rằng nếu c ≥ a, c ≥ b thì c ≥ a + b.

Bài 3

Cùng một thời điểm, một chiếc ô tô XA xuất phát từ thành phố A về hướng thành phố B và một chiếc xe khác XB xuất phát từ thành phố B về hướng thành phố A. Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi và gặp nhau lần đầu tại một điểm cách A 20km. Cả hai chiếc xe, sau khi đến B và A tương ứng, lập tức quay trở lại và chúng gặp nhau lần thứ hai tại một điểm C. Biết thời gian xe XB đi từ C đến B là 10 phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là 1 giờ, hãy tính vận tốc của từng chiếc ô-tô.

Bài 4

Gọi I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp (C) của tam giác nhọn ABC. Tia AI cắt đường tròn (C) tại K (K ≠ A) và J là điểm đối xứng của I qua K. Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của I và O qua BC.

a) Chứng minh rằng tam giác IBJ vuông tại B. b) Tính góc BAC nếu Q thuộc (C). c) Chứng minh rằng nếu Q thuộc (C) thì P cũng thuộc (C).


34www.vnmath.com


Bài 5

Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tùy ý không lớn hơn 20, luôn chọn được 3 số x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Ngày thứ hai

Bài 1

a) Giải hệ phương trình 5 1

5 1

x y

y x

⎧ + + =⎪⎨

+ + =⎪⎩

b) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện | | 1,| | 1x y< < . Chứng minh

rằng | | | |1x yx y

xy+

+ ≥+

.

c) Tìm tất cả các số nguyên sao cho phương trình 0m ≥2 2( 1)x m x m 0− − + =

có các nghiệm đều nguyên. Bài 2

a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho đa thức 3 1 2 1n nx x+ + + chia hết cho đa thức 2 1x x+ + .

b) Tìm số dư trong phép chia 8 6 20043 3 3A = + + cho 91. Bài 3

Cho tam giác đều ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Hạ PA1, PB1, PC1 vuông góc với BC, CA, AB tương ứng. Tìm tập hợp các điểm P sao cho tam giác A1BB1C1 là tam giác cân. Bài 4 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (C) và M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BC. N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB.

a) Chứng minh rằng trực tâm K của tam giác NAB thuộc một đường tròn cố định.


35www.vnmath.com


b) Giả sử NK cắt AB tại D, hạ NE vuông góc với BC. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm J của HK.

Bài 5

a) Trong một giải bóng đá có k đội tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt (2 đội bất kỳ đấu với nhau đúng một trận). Đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không được điểm nào. Kết thúc giải, người ta nhận thấy rằng số trận thắng – thua gấp đôi số trận hòa và tổng số điểm của các đội là 176. Hãy tìm k.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương A có hai chữ số sao cho số A chỉ thỏa mãn đúng hai trong 4 tính chất dưới đây :

i) A là bội số của 5 ii) A là bội số của 21 iii) A + 7 là số chính phương iv) A – 20 là số chính phương.


36www.vnmath.com


Năm học 2005 – 2006

Ngày thứ nhất

Bài 1 Cho phương trình 2( 1)[ 2( 2) 3] 0x x mx m x m+ + + + + = .

a) Giải phương trình khi m = 1. b) Chứng minh rằng phương trình trên không thể có ba nghiệm phân

biệt. Bài 2

a) Giải hệ phương trình 5

2 1 2

x y

x y

− =⎧⎪⎨

2+ − + =⎪⎩

b) Giải hệ phương trình 49

xy zyz xzx y

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

Bài 3

a) Giải phương trình 6 3 1 2x x x x 0+ + − − + − − = . b) Cho các số thực a, b, c thỏa điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng :

. 2 3ab bc ca+ + ≤ 0 Bài 4

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là chân đuờng cao kẻ từ A của tam giác ABC. Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại I (I ≠ A). Gọi H là điểm đối xứng của I qua BC.

a) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC. b) Gọi N là giao điểm của BH và AC; P là điểm thuộc cạnh AB sao

cho . Chứng minh rằng các điểm C, H, P thẳng hàng.

PMB NMC∠ =∠

c) Giả sử BH = 2HN và AH = HI. Chứng minh tam giác ABC đều.


37www.vnmath.com


Bài 5

Trong một kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi của trường, nếu sắp xếp mỗi phòng thi 22 học sinh thì còn thừa một em, còn nếu giảm một phòng thi thì số học sinh được chia đều cho mỗi phòng. Hỏi có bao nhiêu học sinh tham dự kỳ thi, biết rằng mỗi phòng thi không thể chứa quá 40 học sinh.

Ngày thứ hai

Bài 1

a) Cho a, b > 0, c ≠ 0. Chứng minh rằng 1 1 1 0 .a b a c b ca b c+ + = ⇔ + = + + +

b) Giải hệ phương trình

2 2

2 2

1 1 1

1 1

x y

x y xy

⎧ + =⎪⎨⎪ 2− + − = +⎩

Bài 2

a) Cho 5p ≥ là số nguyên tố sao cho 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6 và 22 p 1+ không phải là số nguyên tố.

b) Tính tổng các số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà trong cách viết thập phân của chúng không chứa chữ số 4 và chữ số 5.

c) Cho tam thức bậc hai 2( )P x ax bx c= + + (a ≠ 0) thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng 2 2( 2) ( )P x P x− = − 2 ( ) ( )P x P x− = với mọi x.

Bài 3

Cho tam giác nhọn ABC. Điểm D di động trên cạnh BC. Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD tương ứng.

a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AO1O2 luôn đi qua một điểm cố định khác A.

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và I là tâm đường ngoại tiếp tam giác AO1O2. Hãy xác định vị trí điểm D trên BC sao cho IO nhỏ nhất.


38www.vnmath.com


Bài 4

a) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. M là một điểm bất kỳ nằm trong hình vuông. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2MA MB MC MD+ + + ≥ .

b) Cho x, y, z, t là các số thực bất kỳ thuộc đoạn [0,1]. Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức : (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2x y y z z t t x− + − + − + − ≤ .

Bài 5

Xét 81 chữ số, trong đó có 9 chữ số 1; 9 chữ số 2;…; 9 chữ số 9. Hỏi có thể xếp được hay không tất cả các chữ số này thành 1 dãy, sao cho với mọi

, trong mỗi khoảng giữa hai chữ số k liên tiếp ở trên dãy có đúng k chữ số ?

1,2,...9k =


39www.vnmath.com


Năm học 2006 – 2007

Ngày thứ nhất

Bài 1 Cho phương trình (1). 23 10 | | 4 7x x m− + − = 0

a) Xác định m để phương trình (1) có một nghiệm bằng 3 và tìm các nghiệm còn lại của phương trình (1).

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm. Bài 2

a) Giải phương trình 4 2 6x x 1+ − − = .

b) Giải hệ phương trình 2 2

2

2 62 3x y

xy y

⎧ + =⎪⎨

− =⎪⎩

Bài 3 a) Cho a, b, c thỏa abc ≠ 0 và ab + bc + ca = 0.

Tính ( )( )(a b b c c aPabc

)+ + += .

c) Cho a, b, c thỏa và ( )( )( ) 0a b b c c a+ + + ≠2 2 2 2 2a b c a b c

a b b c c a b c c a a b+ + = + +

+ + + + + +

2

Chứng minh rằng a = b = c. Bài 4 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, có AC BD⊥ và AC cắt BD

tại I. a) Chứng minh tam giác ABC cân. b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính độ dài

đoạn MN. c) Gọi P là giao điểm của IO và MN. Tính độ dài đoạn PN.


40www.vnmath.com


Bài 5

Để tặng thưởng cho các bạn học sinh đạt thành tích cao trong kỳ thi Olympic Toán dành cho học sinh lớp 9, ban tổ chức đã trao 30 phần thưởng cho các học sinh với tổng giải thưởng là 2.700.000 đồng, bao gồm: mỗi học sinh đạt giải nhất được thưởng 150.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải nhì được thưởng 130.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải ba được thưởng 100.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải khuyến khích được thưởng 50.000 đồng. Biết rằng có 10 giải ba và ít nhất một giải nhì được trao, hỏi ban tổ chức đã trao bao nhiêu giải nhất, nhì và khuyến khích ?

Ngày thứ hai

Bài 1

a) Giải hệ phương trình 2

2

2 12 1

x xyy xy

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩.

b) Giải bất phương trình 23 5 5x x x 2− ≤ − . c) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện 2x y+ = . Chứng minh rằng

. 2 2( )xy x y+ ≤ 2

0

Bài 2

Cho phương trình (1), trong đó m là tham số.

2 2 3( 3) 2( 3 ) 12m x m m x m+ − + + + =

a) Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

b) Ký hiệu 1 2,x x là hai nghiệm của (1). Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho 2

122x x+ là một số nguyên.

Bài 3

Cho tam giác đều ABC. P là một điểm nằm trong tam giác. Gọi x, y, z lần lượt là khỏang cách từ P đến các cạnh BC, CA, AB tương ứng.

a) Biết rằng x = 1, y = 2, z = 3. Hãy tính diện tích tam giác ABC.


41www.vnmath.com


b) Tìm quỹ tích những điểm P trong tam giác sao cho x y z+ = . Từ đó suy ra tập hợp những điểm P trong tam giác sao cho x, y, z lập thành 3 cạnh của một tam giác.

Bài 4

Cho đường tròn (C) tâm O, AB là một dây cung của (C) không đi qua O và I là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn (C1) tâm O bán kính OI tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP.AQ không đổi và đường tròn ngọai tiếp tam giác BPQ đi qua một điểm cố định khác B. Bài 5

a) Trong một giải bóng đá, có 4 đội thi đấu vòng tròn 1 lượt (trong một trận, đội thắng được 3 điểm, đội thua được 0 điểm và đội hòa được 1 điểm). Khi kết thúc giải, người ta thấy có 3 đội đạt được tổng số điểm lần lượt là 6 điểm, 5 điểm và 1 điểm. Hãy cho biết đội còn lại của giải có tổng số điểm là bao nhiêu và giải thích tại sao ?

b) Cho 13 số thực thỏa mãn điều kiện: tổng của 6 số bất kỳ trong chúng nhỏ hơn tổng của 7 số còn lại. Chứng minh rằng tất cả các số đã cho đều dương.

Copyright © www.diendantoanhoc.netNgày 5 tháng 6 năm 2006


42www.vnmath.com

http://www.diendantoanhoc.net/


đề thi tuyển sinh ptnk tphcm 1993 2008 - truonghocso.com

Documents