PHAÀN HAI: ÑEÀ THI TUYEÅN SINH ÑAÏI HOÏC (DÖÏ TRÖÕ ) MOÂN

TOAÙN NAÊM 2005 VAØ BAØI GIAÛI

DÖÏ BÒ 1 KHOÁI A:

Caâu I: (2 ñ)Goïi (Cm) laø ñoà thò cuûa haøm soá : y = 2 22 1 3x mx m

x m+ + −

− (*) (m laø tham soá)

1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (*) öùng vôùi m = 1. 2. Tìm m ñeå haøm soá (*) coù hai ñieåm cöïc trò naèm veà hai phía truïc tung.

Caâu II: ( 2 ñieåm) 1. Giaûi heä phöông trình : 2 2 4( 1) ( 1)

x y x yx x y y y

⎧ + + + =⎨ 2+ + + + =⎩

2. Tìm nghieäm treân khoûang (0; π ) cuûa phöông trình :

2 2 34sin 3 cos 2 1 2cos ( )2 4x x x π− = + −

Caâu III: (3 ñieåm) 1.Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho tam giaùc ABC caân taïi ñænh A coù

troïng taâm G 4 1( ; , phöông trình ñöôøng thaúng BC laø )3 3

02 4x y− − = vaø phöông trình ñöôøng thaúng

BG laø 7 4 8 .Tìm toïa ñoä caùc ñænh A, B, C. 0x y− − =2.Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho 3 ñieåm A(1;1;0),B(0; 2; 0),C(0; 0; 2) .

a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua goác toïa ñoä O vaø vuoâng goùc vôùi BC.Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa AC vôùi maët phaúng (P).

b) Chöùng minh tam giaùc ABC laø tam giaùc vuoâng. Vieát phöông trình maët caàu ngoïai tieáp töù dieän OABC.

Caâu IV: ( 2 ñieåm). 1.Tính tích phaân 3

2

0

sin .I x tgxdx

π

= ∫ .

2. Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân, moãi soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau vaø toång caùc chöõ soá haøng chuïc, haøng traêm haøng ngaøn baèng 8.

Caâu V: (1 ñieåm) Cho x, y, z laø ba soá thoûa x + y + z = 0. Cmraèng : 3 4 3 4 3 4 6x y z+ + + + + ≥ Baøi giaûi CAÂU I

1/ Khi m = 1 thì 2x 2x 2y

x 1+ −

=−

(1)

• MXÑ: D = R \ {1}

• ( )

2

2x 2xy 'x 1

−=

−, y ' 0= ⇔ = =x 0 hay x 2

• BBT x −∞ 0 1 2 +∞y ' + 0 - - 0 + y 2 +∞

TRANG 1

−∞ 6 • Tieäm caän:

x 1= laø pt t/c ñöùng y = x + 3 laø pt t/c xieân 2/ Tìm m

Ta coù ( )

2 2

2x 2mx m 1y '

x m

− + −=

−

Haøm soá (*) coù 2 cöïc trò naèm veà 2 phía truïc tung

y ' 0⇔ = coù 2 nghieäm traùi daáu 2

1 2x x P m 1 0 1 m 1⇔ = = − < ⇔ − < <

CAÂU II: 1/ Giaûi heä phöông trình

( ) ( )

( )2 2x y x y 4

Ix x y 1 y y 1 2

⎧ + + + =⎪⎨

+ + + + =⎪⎩

2(I)

⎧ + + + =⎪⇔ ⎨+ + + + = ⇒ = −⎪⎩

2 2

2 2

x y x y 4

x y x y xy 2 xy

Ta coù = + = ⇒ = + + ⇒ + = −2 2 2 2 2 2S x y;P xy S x y 2xy x y S 2P

Vaäy ( )⎧ − + = = −⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ = = −− + = ⎩⎪⎩

2

2

S 2P S 4 P 2I

S 0 hay S 1S P S 2

1S x y 0

TH :P xy 2= + =⎧

⎨ = = −⎩ vaäy x, y laø nghieäm cuûa phöông trình + − =2X 0X 2 0

Vaäy heä coù 2 nghieäm x 2

x 2

⎧ =⎪⎨

= −⎪⎩ hay

x 2

y 2

⎧ = −⎪⎨

=⎪⎩

2S x y 1

TH :P xy 2= + = −⎧

⎨ = = −⎩ vaäy x,y laø nghieäm cuûa phöông trình 2X X 2 0+ − =

⇒ . Vaäy heä coù 2 nghieäm = =X 1hay X 2−x 1y 2=⎧

⎨ = −⎩ V

x 2y 1= −⎧

⎨ =⎩

Toùm laïi heä Pt (I) coù 4 nghieäm x 2

y 2

⎧ =⎪⎨

= −⎪⎩ V

x 2

y 2

⎧ = −⎪⎨

=⎪⎩ V

x 1y 2=⎧

⎨ = −⎩ V

= −⎧⎨ =⎩

x 2y 1

CAÙCH KHAÙC (I) ⎧ + + + =⎪⇔ ⎨

+ + + + =⎪⎩

2 2

2 2

x y x y 4

x y x y xy 2

⎧ + + + =⎪⇔ ⎨= −⎪⎩

2 2x y x y 4xy 2

⎧ + + + =⎪⇔ ⎨= −⎪⎩

2(x y) x y 0xy 2

⎧ + = + =−⎪⇔ ⎨= −⎪⎩

x y 0 hay x y 1xy 2

⎧ + = + =−⎪⇔ ⎨= −⎪⎩

x y 0 hay x y 1xy 2

⎧ = −⎪⇔ ⎨=⎪⎩

2

x y

x 2 hay ⎪⎨

+ =−⎧

+ − =⎪⎩2

x y 1

x x 2 0⇔

x 2

y 2

⎧ =⎪⎨

= −⎪⎩ V

x 2

y 2

⎧ = −⎪⎨

=⎪⎩ V

x 1y 2=⎧

⎨ = −⎩ V

⎧⎨

= −=⎩

x 2y 1

2/ Tìm nghieäm ∈ π ( )0,

TRANG 2

Ta coù 2 2x 34sin 3 cos2x 1 2 cos x2 4

π⎛ ⎞− = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(1)

(1) ( ) 32 1 cos x 3 cos2x 1 1 cos 2x2π⎛ ⎞⇔ − − = + + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

(1) 2 2 cos x 3 cos2x 2 sin 2x⇔ − − = −

(1) 2 cos x 3 cos2x sin 2x⇔ − = − . Chia hai veá cho 2:

(1) ⇔ − = −3 1cosx cos2x sin 2x

2 2

( )cos 2x cos x6π⎛ ⎞⇔ + = π−⎜ ⎟

⎝ ⎠ ( ) ( )π π π⇔ = + = − + π

5 2 7x k a hay x h218 3 6

b

)

)

Do neân hoï nghieäm (a) chæ choïn k=0, k=1, hoï nghieäm (b) chæ choïn h = 1. Do ñoù ta coù ba

nghieäm x thuoäc ( laø

(x 0,∈ π

0,π 1 2 35 17x ,x ,x18 18 6π π

= = =5π

CAÂU III. 1/ Toïa ñoä ñænh B laø nghieäm cuûa heä pt ( )− − =⎧⇒ −⎨ − − =⎩

x 2y 4 0B 0, 2

7x 4y 8 0

Vì caân taïi A neân AG laø ñöôøng cao cuûa ABCΔ ABCΔ

Vì ⇒ pt GA: GA BC⊥ − + − = ⇔ + − =4 12(x ) 1(y ) 0 2x y 3 03 3

2x y 3 0⇔ + − =

⇒ = H GA BC∩ ( )+ − =⎧

⇒ −⎨ − − =⎩

2x y 3 0H 2, 1

x 2y 4 0

Ta coù vôùi A(x,y). AG 2GH=uuur uuur 4 1 4 1AG x, y ;GH 2 , 1

3 3 3 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = − − −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

uuur uuur⎟⎠

⇒ =⎧

⎪⎨

− = −⎪⎩

x 01 8y3 3

⇒ ( )A 0,3

Ta coù : + + + += =A B C A B C

G Gx x x y y yx vaø y

3 3 ⇒ ( )C 4,0

Vaäy ( ) ( ) ( )A 0,3 ,C 4,0 ,B 0, 2−

2a/ Ta coù ( )BC 0, 2,2= −uuur

• mp (P) qua vaø vuoâng goùc vôùi BC coù phöông trình laø (O 0,0,0)− + = ⇔ − =0.x 2y 2z 0 y z 0

• Ta coù ( )AC 1, 1,2= − −uuur

, phöông trình tham soá cuûa AC laø x 1 ty 1 tz 2t

= −⎧⎪ = −⎨⎪ =⎩

.

Theá pt (AC) vaøo pt mp (P). Ta coù 11 t 2t 0 t3

− − = ⇔ = . Theá 1t3

= vaøo pt (AC) ta coù

2 2 2M , ,3 3 3

⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ laø giao ñieåm cuûa AC vôùi mp (P)

2b/ Vôùi ( )A 1,1,0 ( )B 0,2,0 ( )C 0,0,2 .Ta coù: ( )AB 1,1,0= −uuur

, ( )AC 1, 1,2= − −uuur

⇒ ⇒ = − = ⇔ ⊥uuur uuur uuur uuurAB.AC 1 1 0 AB AC ABCΔ vuoâng taïi A

TRANG 3

• Ta deã thaáy cuõng vuoâng taïi O. Do ñoù A, O cuøng nhìn ñoaïn BC döôùi 1 goùc vuoâng. Do ñoù A, O naèm treân maët caàu ñöôøng kính BC, seõ coù taâm I laø trung ñieåm cuûa BC. Ta deã

daøng tìm döôïc

BOCΔ

( )I 0,1,1 2 2R 1 1= + = 2

Vaäy pt maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän OABC laø : ( ) ( )2 22x y 1 z 1 2+ − + − =

CAÂU IV.

1/ Tính π π

= =∫ ∫/ 3 / 3

2 2

0 0

sin xI sin xtgxdx sin x. dxcosx

⇒ ( )2/ 3

0

1 cos x sin xI dx

cosx

π −= ∫ u cosx, Ñaët = ⇒ du sin xdx− =

Ñoåi caän ( )1u ,u 03 2π⎛ ⎞ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠1

( )( )21/ 2

1

1 u duI

u

− −= ∫ =

11 2

1/ 2 1/ 2

1 uu du ln u ln2u 2

⎡ ⎤⎛ ⎞− = − = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫

38

2/ Goïi = 1 2 3 4 5 6n a a a a a a laø soá caàn laäp

+ + =3 4 5ycbt : a a a 8 ⇒ { } { }∈ ∈3 4 5 3 4 5a ,a ,a 1,2,5 hay a ,a ,a 1,3,4

a) Khi { }3 4 5a ,a ,a 1,2,5∈

• Coù 6 caùch choïn 1a• Coù 5 caùch choïn 2a• Coù 3! caùch choïn 3 4 5a ,a ,a• Coù 4 caùch choïn 6a

Vaäy ta coù 6.5.6.4 = 720 soá n b) Khi { }3 4 5a ,a ,a 1,3,4∈ töông töï ta cuõng coù 720 soá n

Theo qui taéc coäng ta coù 720 + 720 = 1440 soá n Caùch khaùc Khi { }3 4 5a ,a ,a 1,2,5∈

Coù 3! = 6 caùch choïn 3 4 5a a a

Coù caùch choïn 36A 1 2 6a ,a ,a

Vaäy ta coù 6. 4.5.6 = 720 soá n Khi { }3 4 5a ,a ,a 1,3,4∈ töông töï ta cuõng coù 720 soá n

Theo qui taéc coäng ta coù 720 + 720 = 1440 soá n

CAÂU V: Ta coù: 4x x3 4 1 1 1 4 4 4+ = + + + ≥ x

+ ≥ = 84x x x3 4 2 4 2. 4 . Töông töï + ≥ = 84y y3 4 2 4 2. 4x ⇒

8z z3 4 2 4+ ≥

Vaäy ⎡ ⎤+ + + + + ≥ + +⎢ ⎥⎣ ⎦8 8 8x y z x y z3 4 3 4 3 4 2 4 4 4

TRANG 4

3 8 x y z6 4 .4 .4≥ 24 x y z6 4 6+ +≥ =

DÖÏ BÒ 2 KHOÁI A:

Caâu I: (2 ñieåm) 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò ( C ) cuûa haøm soá 2 1

1x xy

x+ +

=+

.

2. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm M (- 1; 0) vaø tieáp xuùc vôùi ñoà thò ( C ) .

Caâu II:( 2 ñieåm). 1. Giaûi heä phöông trình : 2 1

3 2 4x y x y

x y

⎧ 1+ + − + =⎪⎨

+ =⎪⎩

2. Giaûi phöông trình : 32 2 cos ( ) 3cos sin 04

x x xπ− − − =

Caâu III: (3 ñieåm). 1. Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñöôøng troøn (C): x2 + y2 . Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C12 4 36 0x y− − + = 1) tieáp xuùc vôùi hai truïc toïa ñoä Ox, Oy ñoàng thôøi tieáp xuùc ngoøai vôùi ñöôøng troøn (C). 2. Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho 3 ñieåm A(2;0;0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4) a) Tìm toïa ñoä ñieåm B thuoäc maët phaúng Oxy sao cho töù giaùc OABC laø hình chöõ nhaät. Vieát phöông trình maët caàu qua 4 ñieåm O, B, C, S.

b) Tìm toïa ñoä ñieåm A1 ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua ñöôøng thaúng SC.

Caâu IV: ( 2 ñieåm). 1.Tính tích phaân 7

30

21

xI dxx+

=+∫ .

2. Tìm heä soá cuûa x7 trong khai trieån ña thöùc 2(2 3 ) nx− , trong ñoù n laø soá nguyeân döông thoûa maõn: = 1024. (C laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû) 1 3 5 2

2 1 2 1 2 1 2 1... nn n nC C C C ++ + ++ + + + 1

n+kn

Caâu V: (1 ñieåm) Cmraèng vôùi moïi x, y > 0 ta coù :

29(1 )(1 )(1 ) 256yxx y

+ + + ≥ . Ñaúng thöùc xaûy ra khi naøo?

Baøi giaûi: CAÂU I.

1/ Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò + +

=+

2x x 1y (C)x 1

MXÑ: { }D R . \ 1= −( )

+= = ⇔ + = ⇔ =

+

22

2x 2x

= −y ' ,y ' 0 x 2x 0 x 0hay x 2x 1

BBT x −∞ -2 -1 0 +∞y ' + 0 - - 0 + y

-3 +∞

−∞ 1

+∞−∞

Tieäm caän:

x = −1 laø phöông trình tieäm caän ñöùng y x= laø phöông trình tieäm caän xieân 2/ Phöông trình tieáp tuyeán qua Δ ( )M 1,0− ( heä soá

goùc k ) coù daïng

TRANG 5

Δ : ( )y k x 1= +

Δ tieáp xuùc vôùi ( )C heä pt sau coù nghieäm ⇔

( )

( )

⎧ + += +⎪ +⎪

⎨ +⎪ =⎪ +⎩

2

2

2

x x 1 k x 1x 1

x 2x kx 1

⇒ phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø ( )( )

( )

22

2

x 2x x 1x x 1x 1 x 1

+ ++ +=

+ +

x 1⇔ = ⇒ 3k4

=

Vaäy pt tieáp tuyeán vôùi Δ ( )C qua ( )M 1,0− laø: ( )3y x4

1= +

CAÂU II. 1/ Giaûi heä pt : ( )2x y 1 x y 1I

3x 2y 4

⎧ + + − + =⎪⎨

+ =⎪⎩

( )( ) ( )

2x y 1 x y 1I

2x y 1 x y 5

⎧ + + − + =⎪⇔ ⎨+ + + + =⎪⎩

Ñaët = + + ≥ = + ≥u 2x y 1 0,v x y 0

(I) thaønh ( )

− = = ⇒ =⎧ ⎡⎪ ⇒⎨ ⎢ = − ⇒ = −+ =⎪ ⎣⎩

1 12 2

2 2

u v 1 u 2 v 1u 1 v 2 loaïu v 5 i

Vaäy ( )2x y 1 2

Ix y 1

⎧ + + =⎪⇔ ⎨+ =⎪⎩

2x y 1 4 x 2x y 1 y 1

+ + = =⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨+ = =⎩ ⎩ −

2/ Giaûi phöông trình ( )32 2 cos x 3cosx sin x 0 24π⎛ ⎞− − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

(2) 3

2 cos x 3cosx sin x 04π⎡ ⎤⎛ ⎞⇔ − − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

=

=

( )⇔ + − − =

⇔ + + + − −

3

3 3 2 2

cosx sin x 3cosx sin x 0

cos x sin x 3cos xsin x 3cosxsin x 3cosx sin x 0

=⎧⎪⇔ ⎨− =⎪⎩

3

cosx 0

sin x sin x 0

≠⎧⎪⎨+ + + − − − − =⎪⎩

2 3 2 3

cosx 0hay

1 3tgx 3tg x tg x 3 3tg x tgx tg x 0

⇔ =2sin x 1 =hay tgx 1 x2π

⇔ = + πk hay π

= + πx k4

CAÂU III

1/ ( ) ( ) ( )2 22 2C x y 12x 4y 36 0 x 6 y 2 4⇔ + − − + = ⇔ − + − =

)

Vaäy (C) coù taâm vaø R=2 (I 6,2

TRANG 6

Vì ñöôøng troøn ( )1C tieáp xuùc vôùi 2 truïc Ox, Oy neân taâm naèm treân 2 ñöôøng thaúng 1I y x= ±

vaøvì (C) coù taâm ,R = 2 (I 6,2) neân taâm vôùi x > 0. ±1I (x; x)

1TH : Taâm ñöôøng thaúng y = x ⇒ 1I ∈ ( )I x,x , baùn kính =1R x

( )1C tieáp xuùc ngoaøi vôùi (C) ⇔ = +1 1I I R R ( ) ( )⇔ − + − = +2 2x 6 x 2 2 x

( ) ( )⇔ − + − = + + ⇔ − − + =2 2 2 2x 6 x 2 4 4x x x 16x 4x 36 0

⇔ − + = ⇔ = =2x 20x 36 0 x 2 hay x 18 .ÖÙng vôùi = =1 1R 2 hay R 18

Coù 2 ñöôøng troøn laø: ( ) ( )2 2x 2 y 2 4− + − = ; ( ) ( )2 2x 18 y 18 18− + − =

2TH : Taâm ñöôøng thaúng 1I ∈ ( )y x I x, x= − ⇒ − ; =1R x

Töông töï nhö treân, ta coù x= 6

Coù 1 ñöôøng troøn laø ( ) ( )2 2x 6 y 6 36− + + =

Toùm laïi ta coù 3 ñöôøng troøn thoûa ycbt laø:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

− + − = − + − =

− + + =

2 2 2 2

2 2

x 2 y 2 4; x 18 y 18 18

x 6 y 6 36

;

2a/ Töù giaùc OABC laø hình chöõ nhaät ⇒ =uuur uuurOC AB ⇒ B(2,4,0)

* Ñoaïn OB coù trung ñieåm laø ( )H 1,2,0 . H chính laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc vuoâng

OBC. Vì A, O, C cuøng nhìn SB döôùi moät goùc vuoâng neân trung ñieåm I ( 1; 2; 2 ) laø taâm maët caàu vaø

baùn kính R = = + + =1 1SB 4 16 16 32 2

,

Vaäy phöông trình maët caàu laø ( ) ( )− + − + − =2 2 2x 1 y 2 (z 2) 9

2b/ ( )SC 0,4, 4= −uuur

choïn ( laø vtcp cuûa SC. )0,1, 1−

Pt tham soá ñöôøng thaúng SC

x 0y tz 4 t

=⎧⎪ =⎨⎪ = −⎩

Mp (P) qua ( )A 2,0,0 vaø vuoâng goùc vôùi SC coù phöông trình laø

( )O x 2 y z 0 y z 0− + − = ⇔ − =

Theá pt tham soá cuûa SC vaø pt (P) Ta coù t=2 vaø suy ra ( )M 0,2,2

Goïi ( )1A x,y,z laø ñieåm ñoái xöùng vôùi A qua SC. Coù M laø trung ñieåm cuûa neân 1AA

+ = = −⎧ ⎧⎪ ⎪+ = ⇒ =⎨ ⎨⎪ ⎪+ = =⎩ ⎩

2 x 2.0 x 20 y 2.2 y 40 z 2.2 z 4

Vaäy ( )1A 2,4,4−

CAÂU IV: 1/ Tính 7

30

x 2I dx 1+

=+∫ x

Ñaët 3 23t x 1 x t 1 dx 3t dt= + ⇒ = − ⇒ =

TRANG 7

⇒ .Ñoåi caän t( 0) = 1 ; t (7 ) = 2. 3x 2 t 1+ = +

Vaäy ( ) ( )

23 2 5 22 2 41 1

1

t 1 3t t t 231I dt 3 t t dt 3t 5

+ ⎡ ⎤= = + = +⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫ 2 10

=

2/ Ta coù ( ) + + ++ + + + ++ = + + + + +2n 1 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 11 x C C x C x C x ... C x 1

1+

1 n 1+

)

Cho Ta coù (1) x 1= 2n 1 0 1 2 3 4 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n2 C C C C C ... C+ +

+ + + + += + + + + + +

Cho Ta coù (2) x = − 0 1 2 3 4 22n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 10 C C C C C ... C +

+ + + + += − + − + − −

Laáy (1) - (2) ⇒ 2n 1 1 3 5 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 12 2 C C C ... C+ +

+ + + +⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦

⇒ . Vaäy 2n=10 2n 1 3 5 2n 1 102n 1 2n 1 2n 1 2n 12 C C C ... C 1024 2+

+ + + += + + + + = =

Ta coù ( ) ( ) (10

10 k kk 10 k10

k 02 3x 1 C 2 3x−

=

− = −∑

Suy ra heä soá cuûa laø hay 7x 7 7 310C 3 .2− − 3 7 3

10C 3 .2

CAÂU V: Ta coù: 3

43

x x x x1 x 1 43 3 3 3

+ = + + + ≥

3

43 3

y y y y y1 1 4x 3x 3x 3x 3 .x

+ = + + + ≥

( )3

4 39 3 3 3 31 1 4y y y y y

+ = + + + ≥ ⇒ 2 6

43

9 31 16y y

⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Vaäy ( )⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ≥ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

2 3 3 64

3 3 3 3y 9 x y 31 x 1 1 256 256x y 3 3 .x y

DÖÏ BÒ 1 KHOÁI B: Caâu I: (2 ñieåm). 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò ( C ) cuûa haøm soá 4 26 5y x x= − +2. Tìm m ñeå phöông trình sau coù 4 nghieäm phaân bieät : 4 2

26 logx x m 0− − = .

Caâu II: 2 ñieåm) 1. Giaûi heä phöông trình : 2 13 2 4

x y x yx y

⎧ 1+ + − + =⎪⎨

+ =⎪⎩

2. Giaûi phöông trình : 32 2 cos ( ) 3cos sin 04

x x xπ− − − =

Caâu III: (3 ñieåm) 1. Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip (E) : 2 2

64 9x y

+ = 1. Vieát

phöông trình tieáp tuyeán d cuûa (E) bieát d caét hai hai truïc toïa ñoä Ox, Oy laàn löôït taïi A, B sao cho AO = 2BO.

2. Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñöôøng thaúng 1x y z: 1 1 2

d = = vaø

2

1 2:

1

x td y t

z t

= − −⎧⎪ =⎨⎪ = +⎩

( t laø tham soá )

a) Xeùt vò trí töông ñoái cuûa d1 vaø d2 .

TRANG 8

b) Tìm toïa ñoä caùc ñieåm M thuoäc d1 vaø N thuoäc d2 sao cho ñöôøng thaúng MN song song vôùi maët phaúng (P) : vaø ñoä daøi ñoïan MN = 0x y z− + = 2 . Caâu IV: ( 2 ñieåm)

1. Tính tích phaân 2

0

lne

x xdx∫ .

2. Moät ñoä vaên ngheä coù 15 ngöôøi goàm 10 nam vaø 5 nöõ. Hoûi coù bao nhieâu caùch laäp moät nhoùm ñoàng ca goàm 8 ngöôøi bieát raèng trong nhoùm ñoù phaûi coù ít nhaát 3 nöõ.

Caâu V: (1 ñieåm) Cho a, b, c laø ba soá döông thoûa maõn : a + b + c = 34

.. Cmraèng :

3 3 33 3 3a b b c c a+ + + + + ≤3 . Khi naøo ñaúng thöùc xaûy ra ? Baøi giaûi: CAÂU I: 1/ Khaûo saùt . MXÑ: D=R 4 2y x 6x 5= − +

( )= − = − = ⇔ = = ±3 2y ' 4x 12x 4x x 3 ,y ' 0 x 0 hay x 3

2y '' 12x 12,y '' 0 x 1= − = ⇔ = ±

BBT x −∞ 3− -1 0 1 3 +∞y ' - 0 + + 0 - - 0 + y '' + + 0 - - 0 + + y +∞ 5 +∞ -4 0 0 -4

Ñoà thò

2/ Tìm m ñeå pt 4 2

2x 6x log m 0− − = coù 4 nghieäm phaân bieät. 4 2 4 2

2 2x 6x log m 0 x 6x 5 log m 5− − = ⇔ − + = +

Ñaët 2k log m 5= +

Ycbt ñöôøng thaúng y=k caét (C) taïi 4 ñieåm phaân bieät ⇔

TRANG 9

4 k 5⇔ − < < ⇔ − < + <24 log m 5 5

⇔ − < < ⇔ < <2 919 log m 0 m 12

CAÂU II 1/ Giaûi pt ( )3x 3 5 x 2x 4 1− − − = −

Ñieàu kieän

3x 3 05 x 0 2 x 52x 4 0

− ≥⎧⎪ − ≥ ⇔ ≤ ≤⎨⎪ − ≥⎩

(1) 3x 3 5 x 2x 4⇔ − = − + − vaø ≤ ≤2 x 5

( )( )⇔ − = − + − + − −3x 3 5 x 2x 4 2 5 x 2x 4 vaø ≤ ≤2 x 5

( )( )⇔ − = − −x 2 5 x 2x 4 vaø ≤ ≤2 x 5

⇔ − =x 2 0 ( )− = −hay[ x 2 5 x 2 vaø < ≤2 x 5]

( )⇔ = − = − < ≤

⇔ = =

x 2 hay [x 2 2 5 x vaø 2 x 5]x 2 hay x 4

2/ Giaûi pt: ( ) ( )2 2 3sin x cos2x cos x tg x 1 2sin x 0 2+ − + =

Ñieàu kieän : cosx 0 x k2π

≠ ⇔ ≠ + π

( ) ⇔ + − + =2 2 32 sin x cos2x sin x cos x 2sin x 0 vaø ≠co sx 0

( )⇔ + − =2sin x cos2x 2sin x cos2x 0 vaø ≠cosx 0

( )⇔ + − − = ≠co sx 0sin x cos2x 1 cos2x cos2x 0 vaø

( )⇔ − − =2sin x 1 2sin x 0 vaø ≠cosx 0

vaø⇔ + −22sin x sin x 1 0= ≠cosx 0

( )⇔ = = −1sin x ( vìsin x 1 loaïi )2

π π π

⇔ = = ⇔ = + π = +1 5sin x sin x k2 hay x k22 6 6 6

π

CAÂU III. 1/ Do tính ñoái xöùng cuûa elíp (E). Ta chæ caàn xeùt tröôøng hôïp x 0,y 0≥ ≥

Goïi ( ) ( )A 2m,0 ;B 0,m laø giao ñieåm cuûa tieáp tuyeán cuûa (E) vôùi caùc truïc toïa ñoä ( ). Pt

AB:

m 0>

x y 1 x 2y 2m2m m

+ = ⇔ + − = 0

AB tieáp xuùc vôùi (E) 264 4.9 4m⇔ + =

( )2 24m 100 m 25 m 5 m 0⇔ = ⇔ = ⇔ = >

Vaäy pt tieáp tuyeán laø x 2y 10 0+ − =

Vì tính ñoái xöùng neân ta coù 4 tieáp tuyeán laø

TRANG 10

x 2y 10 0,x 2y 10 0x 2y 10 0,x 2y 10 0+ − = + + =− − = − + =

2/ a/ qua 1d ( )O 0,0,0 , VTCP ( )a 1,1,2=r

2d qua ( )B 1,0,1− , VTCP ( )b 2,1,1= −r

( )a,b 1, 5,3⎡ ⎤ = − −⎣ ⎦r r

, ( )OB 1,0,1= −uuur

1 2a,b OB 1 3 4 0 d ,d⎡ ⎤ = + = ≠ ⇔⎣ ⎦r r uuur

cheùo nhau

b/ ( )1M d M t ', t ',2t '∈ ⇒ ; ( )2N d N 1 2t, t,1 t∈ ⇒ − − +

( )MN 2t t ' 1, t t ', t 2t ' 1= − − − − − +uuuur

Vì MN // (P) ( )pMN n 1, 1,1⇔ ⊥ = −uuuur uur

⇔ = ⇔ − − − − + + − + = t tuuuur r

pMN.n 0 2t t ' 1 t t ' t 2t ' 1 0 '⇔ = −

( ) ( )2 22MN t ' 1 4t ' 1 3t ' 2= − + + − =

( )⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = =2 414t ' 8t ' 2 2 2t ' 7t ' 4 0 t ' 0 hay t '7

* t’=0 ta coù ( ) ( )( )M 0,0,0 O P loaïi≡ ∈

* 4t '7

= ta coù ⎛ ⎞ ⎛ −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

4 4 8 1 4 3M , , ;N , ,7 7 7 7 7 7

⎞⎟⎠

CAÂU IV. 1/ Tính e 2

1I x ln xdx= ∫

Ñaët dxu ln x dux

= ⇒ = ; = =3

2 xdv x dx choïn v3

3e ee2 311 1

x 1 dxx

I x ln xdx ln x x3 3

= = −∫ ∫ 3 e3 3

1

x 1 2 1ln x x e3 9 9 9

= − = +

2. Ta coù tröôøng hôïp * 3 nöõ + 5 nam. Ta coù 3 5

5 10C C 2520=

* 4 nöõ + 4 nam. Ta coù 4 45 10C C 1050=

* 5 nöõ + 3 nam. Ta coù 5 35 10C C 120=

Theo qui taéc coäng. Ta coù 2520 + 1050 + 120 = 3690 caùch CAÂU V:

( ) ( )

( ) ( )

( )

Ta coù

( )

3

3

3

a 3b 1 1 1a 3b 1.1 a 3b 23 3

b 3c 1 1 1b 3c 1.1 b 3c 23 3

c 3a 1 1 1c 3a 1.1 c 3a 23 3

+ + ++ ≤ = + +

+ + ++ ≤ = + +

+ + ++ ≤ = + +

Suy ra ( )3 3 3 1a 3b b 3c c 3a 4 a b c 63

+ + + + + ≤ + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

TRANG 11

1 34. 6 33 4⎡ ⎤≤ +⎢ ⎥⎣ ⎦

=

Daáu = xaûy ra 3a b c 1a b c4

4a 3b b 3c c 3a 1

⎧ + + =⎪⇔ ⇔⎨⎪ + = + = + =⎩

= = =

Caùch 2: Ñaët 33x a 3b x a 3b= + ⇒ = + ; = + ⇒ = +33y b 3c y b 3c ;

= + ⇒ = +33z c 3a z c 3a

⇒ ( )3 3 3 3x y z 4 a b c 4.4

+ + = + + = = 3 . BÑT caàn cm x y z 3⇔ + + ≤ .

Ta coù : 33 3x 1 1 3 x .1.1 3x+ + ≥ = ; 3 33y 1 1 3 y .1.1 3y+ + ≥ = ;

33 3z 1 1 3 z .1.1 3+ + ≥ = z ⇒ ( )9 3 x y z≥ + + (Vì 3 3 3x y z 3+ + = ).

Vaäy x y z 3+ + ≤

Hay 3 3 3a 3b b 3c c 3a 3+ + + + + ≤

Daáu = xaûy ra ⇔ = = = + + =3 3 3 3x y z 1 vaø a b c4

⇔ + = + = + =a 3b b 3c c 3a 1 vaø 3 1a b c a b c4 4

+ + = ⇔ = = =

DÖÏ BÒ 2 KHOÁI B:

Caâu I: (2 ñieåm) Cho haøm soá : y = 2 2 2

1x x

x+ ++

(*)

1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò ( C ) cuûa haøm soá (*) . 2. Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai tieäm caän cuûa ( C ).Chöùng minh raèng khoâng coù tieáp tuyeán naøo cuûa

(C ) ñi qua ñieåm I . Caâu II:( 2 ñieåm). 1. Giaûi baát phöông trình : 28 6 1 4 1x x x 0− + − + ≤

2. Giaûi phöông trình : 22

cos 2 1( ) 32 cos

xtg x tg xx

π −+ − =

Caâu III: (3 ñieåm). 1. Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho 2 ñöôøng troøn : (C1 ): x2 + y2 vaø (C9= 2 ): x2 + y2 . Vieát phöông trình truïc ñaúng phöông d cuûa 2 ñöôøng troøn (C

2 2 23x y− − − = 0

0

1) vaø (C2). Chöùng minh raèng neáu K thuoäc d thì khoûang caùch töø K ñeán taâm cuûa (C1) nhoû hôn khoûang caùch töø K ñeán taâm cuûa ( C2 ). 2. Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñieåm M(5;2; - 3) vaø maët phaúng (P) : . a) Goïi M2 2 1x y z+ − + = 1 laø hình chieáu cuûa M leân maët phaúng ( P ). Xaùc ñònh toïa ñoä

ñieåm M1 vaø tính ñoä daøi ñoïan MM1. b) Vieát phöông trình maët phaúng ( Q ) ñi qua M vaø

chöùa ñöôøng thaúng x-1 y-1 z-5: 2 1 -6

= =

Caâu IV: ( 2 ñieåm). 1.Tính tích phaân 4

sin

0

( cosxtgx e x dx

π

+∫ ) .

2. Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân, moãi soá goàm 5 chöõ soá khaùc nhau vaø nhaát thieát phaûi coù 2 chöõ 1, 5 ?

Caâu V: (1 ñieåm) Cmraèng neáu thì 0 1y x≤ ≤ ≤

TRANG 12

14

x y y x− ≤ . Ñaúng thöùc xaûy ra khi naøo?

Baøi giaûi

CAÂU I 1/ Khaûo saùt 2x 2x 2y

x 1+ +

=+

(C)

MXÑ: { }D R \ 1= −

( )+

= = ⇔ + = ⇔ =+

22

2x 2x

= −y' ,y ' 0 x 2x 0 x 0 hay x 2x 1

BBT x −∞ -2 -1 0 +∞y ' + 0 - - 0 + y

-2 +∞

−∞ 2

+∞−∞

Tieäm caän

x = −1 laø pt t/c ñöùng. y x 1= + laø pt t/c xieân Ñoà thò :Baïn ñoïc töï veõ. 2/ Chöùng minh khoâng coù tieáp tuyeán naøo cuûa (C) ñi qua ( )I 1,0− laø giao ñieåm cuûa 2 tieäm caän.

Goïi ( ) ( )2o o

o o o oo

x 2x 2M x ,y C yx 1+ +

∈ ⇔ =+

Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi oM

( )( )( )

( )2o o

o o o o 2o

x 2xoy y f ' x x x y y x x

x 1

⎛ ⎞+⎜ ⎟− = − ⇔ − = −⎜ ⎟+⎝ ⎠

Tieáp tuyeán ñi qua ( )I 1,0−( )( )

( )+ − −

⇔ − =+

2o o o

o 2o

x 2x 1 x0 y

x 1

2 2o o o

o o

x 2x 2 x 2xx 1 x 1+ + +

⇔ =+ +

o

2 0⇔ = Voâ lí. Vaäy khoâng coù tieáp tuyeán naøo cuûa (C) ñi qua ( )I 1,0−

CAÂU II 1/ Giaûi baát phöông trình 28x 6x 1 4x 1 0− + − + ≤ (1) 28x 6x 1 4x 1⇔ − + ≤ −(1)

⎧ ≤ ≥⎪ ⎧⎧ − + ≥ ⎪ = ≥⎪⎪ ⎪ ⎪⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪ ≤ ≥− + ≤ −⎩ ⎪⎪ ⎩− ≥

⎪⎩

2

2 22

1 1x Vx1 14 28x 6x 1 0 x Vx

1 4 24x 1 0 x14 x 0 hay x8x 6x 1 (4x 1) 48x 2x 0

⇔ = ≥1 1x hay x4 2

TRANG 13

2/ Giaûi phöông trình 22

cos2x 1tg x 3tg x2 cos xπ −⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2)

(2) 2

22

2sin xcot gx 3tg xcos x−

⇔ − − =

π⇔ − − = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − + π ∈2 31 tg x 0 tg x 1 tgx 1 x k ,k

tgx 4Z

CAÂU III 1/ Ñöôøng troøn ( )1C coù taâm ( )O 0,0 baùn kính 1R 3=

Ñöôøng troøn ( )2C coù taâm ( )I 1,1 , baùn kính 2R 5=

Phöông trình truïc ñaúng phöông cuûa 2 ñöôøng troøn ( )1C , ( )2C laø

( ) ( )2 2 2 2x y 9 x y 2x 2y 23+ − − + − − − = 0

x y 7 0⇔ + + = (d)

Goïi ( ) ( )k k k kK x ,y d y x 7∈ ⇔ = − −

( ) ( ) ( )= − + − = + = + − − = + +2 2 22 2 2 2 2k k k k k k k kOK x 0 y 0 x y x x 7 2x 14x 49

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2k k k k k kIK x 1 y 1 x 1 x 8 2x 14x 6= − + − = − + − − = + + 5

Ta xeùt ( ) ( )2 2 2 2k k k kIK OK 2x 14x 65 2x 14x 49 16 0− = + + − + + = >

Vaäy 2 2IK OK IK OK(ñpcm)> ⇔ >2/ Tìm laø h/c cuûa M leân mp (P) 1M

Mp (P) coù PVT ( )n 2,2, 1= −r

Pt tham soá qua M, 1MM ( )P⊥ laø

x 5 2ty 2 2tz 3 t

= +⎧⎪ = +⎨⎪ = − −⎩

Theá vaøo pt mp (P): ( ) ( ) ( )2 5 2t 2 2 2t 3 t 1 0+ + + − − − + =

18 9t 0 t 2⇔ + = ⇔ = − . Vaäy ( ) ( )1 1MM P M 1, 2, 1∩ = − −

Ta coù ( ) ( ) ( )2 2 21MM 5 1 2 2 3 1 16 16 4 36 6= − + + + − + = + + = =

* Ñöôøng thaúng − − −

Δ = =−

x 1 y 1 z 5:2 1 6

ñi qua A(1,1,5) vaø coù VTCP ( )a 2,1, 6= −r

Ta coù ( )= −uuuurAM 4,1, 8

Maët phaúng (Q) ñi qua M, chöùa Δ mp (Q) qua A coù PVT laø ⇔ ( )⎡ ⎤ =⎣ ⎦uuuur rAM,a 2,8,2 hay ( )1,4,1

neân pt (Q): ( ) ( ) ( )− + − + =x 5 4 y 2 z 3 0+

Pt (Q): x 4y z 10 0+ + − =

Caùch khaùc: Maët phaúng (Q) chöùa neân pt mp(Q) coù daïng: Δ− + = − + + + − =x 2y 1 0 haym(x 2y 1) 6y z 11 0 . Maët phaúng (Q) ñi qua M(5;2; - 3) neân ta coù

5 – 4 + 1 = 0 ( loaïi) hay m( 5 – 4 + 1) + 12 – 3 – 11 = 0 ⇔ m = 1. Vaäy Pt (Q): x 4y z 10 0+ + − =

TRANG 14

CAÂU IV: 1/ Tính ( )π= +∫

/ 4 sinx0

I tgx e cosx dx

Ta coù: / 4 / 4 / 4 / 4sin x sin x

0 0 0 0

sin xI tgxdx e cosxdx dx e cosxdxcosx

π π π π= + = +∫ ∫ ∫ ∫

( )1

/ 4/ 4 sinx 20 o

ln cosx e ln 2 e 1ππ

= − + = + −⎡ ⎤⎣ ⎦

2/ Goïi 1 2 3 4 5n a a a a a= laø soá caàn laäp

Tröôùc tieân ta coù theå xeáp 1, 5 vaøo 2 trong 5 vò trí: ta coù: 25A 4.5 20= = caùch

Xeáp 1,5 roài ta coù 5 caùch choïn 1 chöõ soá cho oâ coøn laïi ñaàu tieân 4 caùch choïn 1 chöõ soá cho oâ coøn laïi thöù 2 3 caùch choïn 1 chöõ soá cho oâ coøn laïi thöù 3 * Theo qui taéc nhaân ta coù: soá n. 2

5A .5.4.3 20.60 1200= =

Caùch khaùc : - Böôùc 1 : xeáp 1, 5 vaøo 2 trong 5 vò trí: ta coù: 25A 4.5 20= = caùch

-Böôùc 2 : coù caùch boác 3 trong 5 soá coøn laïi roài xeáp vaøo 3 vò trí coøn laïi . = =35A 3.4.5 60Vaäy coù 20.60 = 1200 soá n thoûa ycbt.

CAÂU V. Ta coù 20 x 1 x x≤ ≤ ⇒ ≥

Ta coù 1 1x y y x x y y x4 4

− ≤ ⇔ ≤ + (1)

Theo baát ñaúng thöùc Cauchy ta coù

+ ≥ + ≥ =2 21 1 1y x yx 2 yx . x y4 4 4

⇒ 1x y y x4

− ≤

Daáu = xaûy ra

⎧≤ ≤ ≤⎪ =⎧⎪ ⎪⇔ = ⇔⎨ ⎨

=⎪ ⎪⎩⎪ =⎩

2

2

0 y x 1 x 1x x 1y

1 4yx4

DÖÏ BÒ 1 KHOÁI D: Caâu I: (2 ñieåm) Goïi (Cm) laø ñoà thò cuûa haøm soá y= – x3+ ( 2m + 1) x2 – m – 1 (1) (m laø tham soá). 1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi . =m 1 2) Tìm m ñeå ñoà thò (Cm) tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng y= 2mx – m – 1. Caâu II:( 2 ñieåm). 1. Giaûi baát phöông trình : 2 7 5 3 2x x x+ − − ≥ −

2. Giaûi phöông trình : 3 sin( )2 1 cos

xtg x 2x

π− + =

+

Caâu III: (3 ñieåm). 1. Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñöôøng troøn (C): x2 + y2 . Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc ñöôøng thaúng 4 6 12x y− − − = 0

0 d : 2 sao cho MI = 2R , trong ñoù I laø taâm vaø R laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn (C). 3x y− + =2. Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho laêng truï ñöùng OAB.O1A1BB1 vôùi A(2;0;0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4) a) Tìm toïa ñoä caùc ñieåm A1, B1. Vieát phöông trình maët caàu qua 4 ñieåm O, A, B, O1.

b) Goïi M laø trung ñieåm cuûa AB.Maët phaúng ( P ) qua M vuoâng goùc vôùi O1A vaø caét OA, OA1 laàn löôït taïi N, K . Tính ñoä daøi ñoïan KN.

TRANG 15

Caâu IV: ( 2 ñieåm). 1.Tính tích phaân 3 2

1

lnln 1

e xI dxx x

=+∫ .

2. Tìm k { }0;1;2;.....;2005∈ sao cho ñaït giaù trò lôùn nhaát. ( laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n

phaàn töû) 2005kC k

nC

Caâu V: (1 ñieåm) Tìm m ñeå heä phöông trình sau coù nghieäm: 2 1 2 1

2

7 7 2005 2005( 2) 2 3 0

x x x xx m x m

+ + + +⎧ − + ≤⎪⎨

− + + + ≥⎪⎩

Baøi giaûi CAÂU I 1/ Khaûo saùt ( )3 2y x 2m 1 x m= − + + − −1

2

khi m=1

Khi m = 1 thì 3 2y x 3x= − + −MXÑ: D=R

( )= − + = − + = ⇔ = =2y ' 3x 6x 3x x 2 ,y ' 0 x 0 hay x 2

y '' 6x 6,y '' 0 x 1= − + = ⇔ = BBT

x −∞ 0 1 2 +∞ y ' - 0 + + - y '' + + 0 - -

y 2 +∞ loõm -2 loõm 0 loài loài −∞

2/ Tìm m ñeå ( tieáp xuùc vôùi )mC ( )y 2 mx m 1 d= − −

(d) tieáp xuùc vôùi ( )mC coù nghieäm ( )

( )

⎧− + + − − = − −⎪⇔ ⎨− + + =⎪⎩

3 2

2

x 2m 1 x m 1 2mx m 1

3x 2 2m 1 x 2m

TRANG 16

( )( )

⎧ = − + + =⎪⇔ ⎨− + + =⎪⎩

2

2

x 0 hay x 2m 1 x 2

3x 2 2m 1 x 2m

m

m

coù nghieäm

( )( ) ( )

⎧− + + =⎪⇔ = ⎨− + + = − + +⎪⎩

2

2 2

x 2m 1 x 2mm 0 hay

3x 2 2m 1 x x 2m 1 x coù nghieäm

( )( )

⎧− + + =⎪⇔ = ⎨− + =⎪⎩

2

2

x 2m 1 x 2m 0 hay

2x 2m 1 x 0 coù nghieäm

( )⎧− + + =⎪⇔ = ⎨ +

=⎪⎩

2x 2m 1 x 2m 0 hay 2m 1x

2

m coù nghieäm

( )+⎛ ⎞⇔ = − + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

222m 1 1m 0 hay 2m 1 2m

2 2⇔ = =

1m 0 hay m2

CAÂU II: 1/ Giaûi bpt 2x 7 5 x 3x 2+ − − ≥ − (1)

Ñieàu kieän

+ ≥⎧⎪ − ≥ ⇔ ≤ ≤⎨⎪ − ≥⎩

2x 7 025 x 0 x 53

3x 2 0

(1) ⇔ + ≥ − + − ≤ ≤22x 7 3x 2 5 x vaø x 53

( )( )⇔ + ≥ − + − + − −2x 7 3x 2 5 x 2 3x 2 5 x ≤ ≤2vaø x 53

( )( )⇔ ≥ − −2 3x 2 5 x ≤ ≤2vaø x 53

⇔ − + ≥23x 17x 14 0 ≤ ≤2vaø x 53

⇔ ≤ ≤14(x 1 hay x)3

≤ ≤2vaø x 53

⇔ ≤ ≤ ≤2 14x 1 hay x 53 3

≤

2/ Giaûi phöông trình 3 sin xtg x 22 1 cosxπ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ +⎝ ⎠

(2)

(2) sin x cosx sin xcot gx 2 2

1 cosx sin x 1 cosx⇔ + = ⇔ +

+ +=

2 2cosx cos x sin x 2sin x 2sin x cosx⇔ + + = + vaø ≠sin x 0

( ) ( )⇔ + = +cosx 1 2sin x cosx 1 vaø ≠sin x 0

⇔ =2sin x 1 π⇔ = + πx k

62 hay

π= + π

5x k6

2 .

Ghi chuù:Khi sinx ≠ 0 thì cos x ≠ ± 1 CAÂU III. 1/ Ñöôøng troøn (C) coù taâm ( )I 2,3 , R=5

( ) ( )M M M M M MM x ,y d 2x y 3 0 y 2x 3∈ ⇔ − + = ⇔ = +

( ) ( )2 2M MIM x 2 y 3 10= − + − =

TRANG 17

( ) ( )( )

2 2 2M M M M

M M

M M

x 2 2x 3 3 10 5x 4x 96 0

x 4 y 5 M 4, 5

24 63 24 63x y M ,5 5 5 5

⇔ − + + − = ⇔ − −

= − ⇒ = − ⇒ − −⎡⎢⇔ ⎛ ⎞⎢ = ⇒ = ⇒ ⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣

=

2/ a/ Vì ( ) ( )1 1AA Oxy A 2,0,4⊥ ⇒

( ) ( )1 1BB Oxy B 0,4,4⊥ ⇒

Vieát pt maët caàu (S) qua O, A, B, O1

Ptmc (S):

2 2 2x y z 2ax 2by 2cz d+ + − − − + = 0Vì ( )O S d∈ ⇒ = 0

Vì ( )A S 4 4a 0 a∈ ⇒ − = ⇒ =1

Vì ( )B S 16 8b 0 b∈ ⇒ − = ⇒ = 2

Vì ( )1O S 16 8c 0 c∈ ⇒ − = ⇒ = 2

2

9

Vaäy (S) coù taâm I(1,2,2) Ta coù 2 2 2d a b c R= + + −⇒ 2R 1 4 4= + + =Vaäy pt maët caàu (S) laø:

( ) ( ) ( )2 2 2x 1 y 2 z 2− + − + − = 9

b/ Tính KN Ta coù ( )M 1,2,0 , ( )1O A 2,0, 4= −

uuuur

Mp(P) qua M vuoâng goùc vôùi O A neân nhaän O A1 1

uuuur hay (1;0; -2) laøm PVT

⇒ pt (P): ( ) ( )− + − − − =1 x 1 0 y 2 2(z 0) 0

(P): − − =x 2z 1 0

PT tham soá OA laø

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

x ty 0z 0

Theá vaøo pt (P): ( ) ( )− = ⇒ = ⇒ ∩ =t 1 0 t 1 OA P N 1,0,0

Pt tham soá laø: 1OA=⎧

⎪ =⎨⎪ =⎩

x ty 0z 2t

vôùi ( )1OA hay (1;0;2) laø vtcp. 2,0,4=uuuur

Theá vaøo pt (P): − − = ⇒ = −1t 4t 1 0 t3

( )11 2OA P K ,0,3 3

⎛ ⎞⇒ ∩ = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

TRANG 18

Vaäy ( )2 2

21 2 20 20 2 5KN 1 0 0 03 3 9 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − + + = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3

CAÂU IV: 1/ Tính 3 2e

1

ln xI dx ln x 1

=+∫ x

Ñaët t ln x= +1 ⇒ 2 dxt ln x 1 2tdtx

= + ⇒ = vaø 2t 1 ln− = x

Ñoåi caän: = =3t(e ) 2; t(1) 1

( )− += = = − +t 1 dt

+∫ ∫ ∫3 2 4 2e 2 2 4 2

1 1 1

ln x t 2t 1I dx 2tdt 2 t 2tx ln x 1

⎡ ⎤= − + =⎢ ⎥

⎣ ⎦

25 3

1

t 2t 72 t5 3 1

65

2005 2005k k2005 2005

C C

C C

+

−

⎧ ≥⎪⇔ ⎨≥⎪⎩

k N

2. lôùn nhaát k2005C

k k 1

1∈

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2005! 2005!k! 2005 k ! k 1 ! 2004 k ! k 1 2005 k

2005! 2005! 2006 k kk! 2005 k ! k 1 ! 2006 k !

⎧ ≥⎪ − + − + ≥ −⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ − ≥⎩⎪ ≥⎪ − − −⎩

k 10021002 k 1003,k N

k 1003≥⎧

⇔ ⇔ ≤ ≤⎨ ≤⎩∈

⇔ = =k 1002 hay k 1003

CAÂU V: Tìm m ñeå heä phöông trình sau coù nghieäm:

( )

+ + + +⎧ − + ≤⎪⎨

− + + + ≥⎪⎩

2x x 1 2 x 1

2

7 7 2005x 2005 (1)

x m 2 x 2m 3 0 (2)

Ñieàu kieän laø .Ta coù ≥ −x 1 [ ]+ + + +− ≤ ∀ ∈ −2x x 1 2 x 17 7 0, x 1;1

Ta coù: (1) ( ) ( ) [+⇔ − ≤ − ∀ ∈x 1 2x 27 7 7 2005 1 x : ñuùn ]−g x 1;1 vaø sai khi x > 1

Do ñoù (1) ⇔ . Vaäy, heä bpt coù nghieäm ⇔ 1 x 1− ≤ ≤

( ) ( )= − + + + ≥2f x x m 2 x 2m 3 0 coù nghieäm [ ]1,1∈ −

[ ]{ }

∈ −

⇔ ⇔ −≥x 1;1

0 max f( 1), f(1)Maxf(x) ≥ 0

{ }⇔ + + ≥ ⇔ + ≥ +max 3m 6,m 2 0 3m 6 0 hay m 2 0≥

⇔ ≥−m 2

DÖÏ BÒ 2 KHOÁI D:

Caâu I: (2 ñieåm) 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá 2 3 3

1x xy

x+ +

=+

.

2. Tìm m ñeå phöông trình 2 3 3

1x x m

x+ +

=+

coù 4 nghieäm phaân bieät

TRANG 19

Caâu II:( 2 ñieåm). 1. Giaûi baát phöông trình : 2

22

2 19 23

x xx x

−− ⎛ ⎞ 3− ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠.

2. Giaûi phöông trình : sin 2 cos 2 3sin cos 2 0x x x x+ + − − =Caâu III: (3 ñieåm). 1. Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho 2 ñieåm A(0;5), B(2; 3) . Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua hai ñieåm A, B vaø coù baùn kính R = 10 . 2. Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho 3 hình laäp phöông ABCD.A1BB1C1D1 vôùi A(0;0;0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2) a) Xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñieåm coøn laïi cuûa hình laäp phöông ABCD.A1B1B C1D1.Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC . Chöùng minh raèng hai maët phaúng ( AB1D1) vaø ( AMB1) vuoâng goùc nhau. b) Chöùng minh raèng tæ soá khoûang caùch töø ñieåm N thuoäc ñöôøng thaúng AC1 ( N ≠ A ) tôùi 2 maët phaúng ( AB1D1) vaø ( AMB1) khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm N.

Caâu IV: ( 2 ñieåm). 1.Tính tích phaân 2

2

0

( 2 1)cosI x x

π

= −∫ dx

2

.

2. Tìm soá nguyeân n lôùn hôn 1 thoûa maõn ñaúng thöùc : 2 22 6 1n n n nP A P A+ − = .

( Pn laø soá hoùan vò cuûa n phaàn töû vaø knA laø soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû)

Caâu V: (1 ñieåm) Cho x, y, z laø ba soá döông vaø x yz = 1. Cmraèng :

2 2 2 3

1 1 1x y z

y z x+ + ≥

+ + + 2.

Baøi giaûi CAÂU I:

1/ Khaûo saùt ( )2x 3x 3y C

x 1+ +

=+

MXÑ: { }D R \ 1= −

( )+

= = ⇔ + = ⇔ =+

22

2x 2x

= −y' ,y ' 0 x 2x 0 x 0 hay x 2x 1

BBT

x −∞ -2 -1 0 +∞y ' + 0 - - 0 + y

-1 +∞

−∞ 3

+∞−∞

TRANG 20

Tieäm caän: x=-1 laø tc ñöùng

y = x + 2 laø tc xieân

2/ Tìm m ñeå pt 2x 3x 3 m

x 1+ +

=+

coù 4 nghieäm

phaân bieät Ta coù

( )

⎧ + +> −⎪ ++ + ⎪= = ⎨+ + +⎪

− < −⎪⎩ +

2

2

2

x 3x 3 neáux 1x 1x 3x 3y

x 1 x 3x 3neáux 1

x 1

Do ñoù ñoà thò + +

=+

2x 3x 3yx 1

coù ñöôïc baèng caùch

Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) coù x > -1 Laáy ñoái xöùng qua Ox phaàn ñoà thò (C) coù x<-1

Do ñoù, nhôø ñoà thò 2x 3xy

x 1+ +

=+

3, ta coù

pt 2x 3x 3 m

x 1+ +

=+

coù 4 nghieäm phaân bieät ⇔ m > 3

CAÂU II. 1/ Giaûi baát phöông trình ( )2

22x x

x 2x 19 2 33

−− ⎛ ⎞− ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠1

3≤

Ta coù (1) . Ñaët 2 2x 2x x 2x9 2.3− −⇔ − −= >

2x 2xt 3 , (1) thaønh 0

3 . Do ñoù, (1)− − ≤ ⇔ − ≤ ≤2t 2t 3 0 1 t − −⇔ − ≤ ≤ ⇔ < ≤2 2x 2x x 2x 11 3 3 0 3 3

2 2x 2x 1 x 2x 1 0 1 2 x 1⇔ − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ + 2 2/ Giaûi phöông trình ( )+ + − − =sin2x cos2x 3sin x cosx 2 0 2

(2) 22sin x cosx 1 2sin x 3sin x cosx 2 0⇔ + − + − − =

( )22sin x 2 cosx 3 sin x cosx 1 0⇔ − + + − − =

( )⇔ − + + +22sin x 2 cosx 3 sin x cosx 1 0=

)

( 3 )

(phöông trình baäc 2 theo sinx)

Coù ( ) ( )( ) (Δ = + − + = +2 22 cosx 3 4 2 cosx 1 2 cosx 1

Vaäy (2)

+ − −⎡ = =⎢⇔ ⎢

+ + +⎢ = =⎢⎣

2 cosx 3 2 cosx 1 1sin x4 2

2 cosx 3 2 cosx 1sin x cosx 14

+

⇔ = + =1sin x cosx 1 hay sin x2

TRANG 21

π π⎛ ⎞⇔ − = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1sin x sin hay sin x4 2 4 2

⇔π π

= + π = π + π = + π = +5x k2 hay x k2 hay x k2 hay x k2

2 6π

π6

.

Caùch khaùc: (3)⇔ ( )− − − =2sin x 1) sin x cosx 1 0(

CAÂU III. 1/ Goïi laø taâm cuûa ñöôøng troøn (C) ( )I a,b

Pt (C), taâm I, baùn kính R 10= laø

( ) ( )2 2x a y b 10=− + −

∈ ⇔ − + − = ⇔ + −

⎨3

( ) ( ) ( )2 2 2 2A C 0 a 5 b 10 a b 10b 15 0+ =(1)

( ) ( ) ( )∈ ⇔ − + − = ⇔ + − − + =2 2 2 2B C 2 a 3 b 10 a b 4a 6b 3 0(2) (1) vaø ( 2)

⎧ = − =⎧ ⎧+ − + =⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ = =− + =⎪ ⎩ ⎩⎩

2 2 a 1 aa b 10b 15 0 hayb 2 b 64a 4b 12 0

Vaäy ta coù 2 ñöôøng troøn thoûa ycbt laø

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

x 1 y 2 1

x 3

0

y 6 1

+ + − =

− + − = 0

2/ Ta coù ( ) ( ) ( )A 0,0,0 ;B 2,0,0 ;C 2,2,0 ;D(0;2;0)

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1A 0,0,2 ;B 2,0,2 ;C 2,2,2 ;D 0,2,2

Mp ( coù caëp VTCP laø: )1 1AB D

( )1AB 2,0,2=uuuur

( )1AD 0,2,2=uuuur

⇒ mp coù 1 PVT laø ( 1 1AB D ) ( )⎡ ⎤= = −⎣ ⎦r uuuur uuuur

1 11u AB ,AD 1, 1,4

− 1

mp ( )1AMB coù caëp VTCP laø:

( )AM 2,1,0=uuuur

( )M 2 ,1,0

( )1AB 2,0,2=uuuur

⇒ mp ( )1AMB coù 1 PVT laø ( )⎡ ⎤= = −⎣ ⎦r uuuur uuur1v AM,AB 1, 2,

2−1

Ta coù: ( ) ( ) ( )= − − − + − = ⇔ ⊥r r r ru.v 1 1 1 2 1 1 0 u v ⇒ ( ) ( )1 1 1AB D AMB⊥

b/ ( )=uuur

1AC ⇒ Pt tham soá 2,2,2=⎧

⎪ =⎨⎪ =⎩

1

x tAC : y t

z t, ( )∈ ⇒1N AC N t,t, t

TRANG 22

Pt ( ) ( ) ( ) ( )− − − − + − = ⇔ + − =1 1AB D : x 0 y 0 z 0 0 x y z 0

⇒ ( ) + −= =1 1 1

t t t td N,AB D d

3 3=

Pt ( ) ( ) ( ) ( )− − − − − = ⇔ − − =1AMB : x 0 2 y 0 z 0 0 x 2y z 0

( ) − − −⇒ = =

+ +1 2t 2t t 2t

d N,AMB d1 4 1 6

=

⇒ = = = =1

2

ttd 6 63

2 td 2 t3 2 36

22

Vaäy tæ soá khoaûng caùch töø ( )1N AC N A t 0∈ ≠ ⇔ ≠ tôùi 2 maët phaúng ( ) vaø 1 1AB D ( )1AMB

khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm N.

CAÂU IV: 1/ Tính ( ) ( )/ 2 / 22

0 0

1 cos2xI 2x 1 cos xdx 2x 12

π π +⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ dx

( )ππ π π⎡ ⎤= − = − =⎣ ⎦∫

2/ 2/ 2 21 0 0

1 1I 2x 1 dx x x2 2

−8 4

π= −∫

/ 22 0

1I (2x 1)cos22

xdx

= − ⇒ = = =1 1Ñaët u (2x 1) du dx,dv cos2xdx choïn v sin 2x2 2

⇒ππ π= − − = = −∫

/ 2/ 2 / 22 0 00

1 1 1I (2x 1)sin 2x sin 2xdx cos2x4 2 4

12

Do ñoù ( )2/ 2 2

0

1I 2x 1 cos x8 4 2

π π π= − = −∫ −

2/ Tacoù: (2 2n n n n2P 6A P A 12+ − = )n N,n 1∈ >

( ) ( )6n! n!2n! n! 12

n 2 ! n 2 !⇔ + − =

− − ( ) ( ) ( )n! 6 n! 2 6 n! 0n 2 !

⇔ − − −−

=

( )⇔ − = − =−n!6 n! 0 hay 2 0

(n 2)!⇔ = − − =n! 6 hay n(n 1) 2 0

⇔ = − − =2n 3hay n n 2 0 ⇔ = = ≥n 3hay n 2(vì n 2)

CAÂU V. Cho x,y, z laø 3 soá döông thoûa maõn xyz=1

CMR: 2 2 2x y z 3

1 y 1 z 1 x 2+ + ≥

+ + +

Ta coù: 2 2x 1 y x 1 y2 .

1 y 4 1 y 4+ +

+ ≥ =+ +

x

2 2y 1 z y 1 z2 y1 z 4 1 z 4

+ ++ ≥ =

+ +

TRANG 23

2 2z 1 x z 1 x2 z1 x 4 1 x 4

+ ++ ≥ =

+ +

Coäng ba baát ñaúng thöùc treân veá theo veá ta coù:

( )2 2 2x 1 y y 1 z z 1 x x y z

1 y 4 1 z 4 1 x 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +

+ + + + + ≥ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2 2 2x y z 3 x y z x y z

1 y 1 z 1 x 4 4+ +

⇔ + + ≥ − − + + ++ + +

( )3 x y z 3

4 4+ +

≥ −

3 3 9 3 6.34 4 4 4 4

≥ − = − = =32

( vì 3x y z 3 xyz 3+ + ≥ = )

Vaäy 2 2 2x y z

1 y 1 z 1 x 2+ + ≥

+ + +3

HAØ VAÊN CHÖÔNG- PHAÏM HOÀNG DANH-NGUYEÃN VAÊN NHAÂN. (TRUNG TAÂM LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC VÓNH VIEÃN)

TRANG 24