De wiskunde van de beeldherkenning

Op zoek naar wat er niet verandert!

In het kader van:(Bij) de Faculteit Wiskunde en Informatica van de TU/e

op bezoek

c© Faculteit Wiskunde en Informatica, TU/e

Inhoudsopgave

1 Beeldherkenning (Computer vision) 1

2 De dubbelverhouding: een verhouding van verhoudingen 3

3 Wat zit er achter deze ‘invariantie’? 4

4 Het gebruik van de dubbelverhouding 7

5 De tripelverhouding 9

ii

1 Beeldherkenning (Computer vision)

Als je plaatjes bekijkt van spullen of personen valt het je niet meer op dat je bijvoorbeeldzonder moeite een tafel of een persoon herkent, terwijl het plaatje toch vanuit een bepaaldegezichtshoek is gemaakt en daarmee typische eigenschappen van bijvoorbeeld die tafel anderszijn weergegeven: op de foto zijn hoeken tussen blad en poten doorgaans niet meer 90◦. Inhet gebied Beeldherkenning (Engels: Computer Vision) zoekt men naar eigenschappen vanobjecten die niet veranderen als bijvoorbeeld het gezichtspunt bij de opname verandert. Eeneenvoudig voorbeeld: een rechte lijn blijft recht ook al verandert het gezichtspunt. Maareen cirkel blijft in de regel geen cirkel, maar verandert doorgaans in een ellips. In het al-gemeen veranderen de onderlinge verhoudingen van punten en rechten. Eigenschappen dieniet veranderen (we spreken wel van invarianten) zijn van belang voor het herkennen vanpatronen in foto’s. Het kan dan gaan om het bepalen van afstanden op foto’s, het detecterenvan randen van voorwerpen op foto’s, of zelfs het herkennen van gezichten. Het vakgebiedkwam in de jaren ’60 van de vorige eeuw op en is inmiddels een bloeiende tak van wetenschapwaarin wiskundigen en informatici actief onderzoek doen en steeds verder doordringen in degeheimen van de beeldherkenning. Vooral in de biomedische technologie is grote behoefte aandeze technieken om aan de hand van scans en andere medische opnamen conclusies te helpentrekken.

In dit document gaan we in op de vraag hoe we afstanden uit foto’s kunnen reconstruerenmet behulp van de zogenaamde dubbelverhouding.

Afstanden bepalen aan de hand van een foto

Als je afstanden wilt bepalen vanaf een foto of vanaf een video-opname, kom je er al snelachter dat dat niet zo eenvoudig is. Dat komt omdat de verhoudingen ‘scheefgetrokken’ zijn.Onderstaande foto laat een opname van een voetbalveld zien. De lijnen van het veld zorgennatuurlijk voor aanknopingspunten.

Als je beschikt over de ware afmetingen van het veld, kun je misschien terugrekenen om deafstand tussen twee punten op het veld te bepalen. In de wiskunde heeft men gezocht naar eensystematiek in dat terugrekenen. Centraal daarbij staat het begrip dubbelverhouding , dat wein deze les aan de orde stellen. De dubbelverhouding is een begrip uit de meetkunde en is een

1

generalisatie van de verhouding van twee lijnstukken. De dubbelverhouding is een voorbeeldvan een zogenaamde invariant ; samen met andere invarianten speelt de dubbelverhoudingeen essentiele rol in de hedendaagse beeldherkenning.

Wat is het probleem?

Een foto kun je zien als een (centrale) projectie van een voorstelling uit de realiteit op eenplat vlak zoals in het bijgaande plaatje is geıllustreerd.

centrum

voorwerpvlak

Het probleem is dat afstanden, verhoudingen en dergelijke in een plaatje anders zijn dan inhet origineel. Laten we dit eens analyseren voor verhoudingen.

In het plaatje hieronder bekijken we een centrale projectie (vanuit punt P ) van drie puntenA, B en C. Voor het nu volgende gaan we er vanuit dat deze drie punten op een rechte lijnliggen (bijvoorbeeld markeringspunten van een lijn op een sportveld). De projecties van dedrie punten noemen we A′, B′ en C ′. Ze liggen ook op een rechte, bijvoorbeeld op een foto.

P

A B C

A’

B’C’

Aan dit plaatje kun je al aflezen dat verhoudingen veranderen bij centrale projectie: de ver-houding AB/BC verschilt in de regel van de verhouding A′B′/B′C ′. Ga maar na. Tochhangen die verhoudingen met elkaar samen en de vraag is hoe?

Opgave 1 (Veranderingen in verhoudingen)Ga na of de verhouding A′B′/B′C ′ verandert als je de rechte A′B′ beweegt op een van devolgende manieren.

a) Je beweegt A′B′ parallel aan zichzelf naar boven.

b) Je draait A′B′ om A′

2

2 De dubbelverhouding: een verhouding van verhoudingen

Definitie van de dubbelverhoudingIn Opgave 1 heb je gezien dat de verhouding A′B′/B′C ′ verandert. Opmerkelijk is dat alsje vier punten in het spel betrekt er een ‘verhouding van verhoudingen’ te maken is die nietverandert! De zogenaamde dubbelverhouding. De dubbelverhouding van vier punten A, B, Cen D op de rechte lijn ` is de volgende uitdrukking (verhouding van verhoudingen):

AC

BC:

AD

BD.

We noteren deze dubbelverhouding met (ABCD). Het gaat hierbij om gerichte lijnstukken:als je de lengte AC positief telt, dan moet je CA negatief tellen.

VoorbeeldDe dubbelverhouding (ABCD) van de vier punten A = 0, B = 1, C = 4 en D = 7 op de x–asbereken je als volgt.

0 1 2 3 4 5 6 7

A B C D

Eerst bepalen we AC = 4, BC = 3, AD = 7 en BD = 6. Voor de dubbelverhouding krijg jedan:

(ABCD) =AC

BC:

AD

BD=

43

:76

=43· 67

=2421

=87

.

Opgave 2 (Een dubbelverhouding bepalen)Op de x–as zijn de punten A = −3, B = 0, C = −1 en D = 3 gegeven. Bepaal dedubbelverhouding (ABCD). Let op dat bijvoorbeeld BC = −1 negatief is.

Wat verandert er nou precies niet bij de dubbelverhouding?De voor de beeldherkenning belangrijke eigenschap van de dubbelverhouding verwoorden wein de volgende stelling.

Stelling (Invariantie van de dubbelverhouding). Als A, B, C, D punten op de rechte ` zijnen A′, B′, C ′ en D′ punten op de rechte `′ zijn zo dat de rechten AA′, BB′, CC ′ en DD′

door een punt gaan, dan geldt

(ABCD) = (A′B′C ′D′).

P

A B C D

A’

B’C’ D’

3

Men zegt wel dat de dubbelverhouding ‘invariant is onder centrale projectie’.

De stelling gebruik je in de praktijk als volgt: A, B, C en D zijn bijvoorbeeld punten in de‘echte’ wereld, en A′, B′, C ′ en D′ zijn punten op een foto–opname en kunnen dus gemetenworden. In de volgende paragraaf gaan we in op het bewijs van deze stelling.

3 Wat zit er achter deze ‘invariantie’?

De stelling doet een uitspraak die niet zo voor de hand liggend is. Hoe kun je nu toch inziendat de stelling waar is? Een manier die men heeft bedacht is de volgende. Door meetkundigeredeneringen kun je inzien dat de dubbelverhouding (ABCD) geheel is uit te drukken insinussen van hoeken bepaald door de vier lijnen door het centrum P (aangegeven in de figuurmet `1, `2, `3, `4).

P

A B C D

l1 l2l3

l4

Er blijkt namelijk te gelden (straks meer over het waarom):

(ABCD) =sin∠(`1, `3)sin∠(`2, `3)

:sin∠(`1, `4)sin∠(`2, `4)

.

Aan deze expressie met sinussen zie je dat de preciese positie van de punten A, B, C en Dop de lijnen `1, `2, `3, `4 niet van belang is, maar alleen de hoeken tussen de vier lijnen!Omdat A′, B′, C ′ en D′ ook op achtereenvolgens `1, `2, `3, `4 liggen, is de dubbelverhouding(A′B′C ′D′) gelijk aan dezelfde expressie met sinussen. Dus (ABCD) = (A′B′C ′D′)!

Als je wilt weten hoe die sinussen verschijnen, lees dan het volgende stuk.

Hoe kom je aan die sinussen?

De sinussen verschijnen als we de volgende stappen doorlopen:

• We vervangen de verhoudingen van lijnstukken door verhoudingen van oppervlakten(hier hebben we een formule voor de oppervlakte van een driehoek voor nodig).

• Met een andere formule voor de oppervlakte verschijnen de sinussen.

• In de herschreven uitdrukking voor de dubbelverhouding valt van alles tegen elkaar weg,behalve de sinussen.

We hebben nodig: oppervlakte van een driehoekHoe kom je nu van verhoudingen op de lijn door A, B, enz. naar hoeken bij P? Via opper-vlakten van driehoeken. Hier is wat we nodig hebben van oppervlakten van driehoeken.

4

• Oppervlakte van een driehoek IOngetwijfeld weet je dat je de oppervlakte van een driehoek kunt berekenen uit ‘basismaal halve hoogte’. Maar we hebben ook een andere manier nodig om de oppervlaktete bepalen.

• Oppervlakte van een driehoek IIDe oppervlakte van een driehoek is gelijk aan het halve product van twee zijden verme-nigvuldigd met de sinus van de door de twee zijden ingesloten hoek. In formulevorm:

O(4ABC) =12· |AB| · |AC| · sin(∠BAC),

waarin we met |AB| de lengte van het lijnstuk AB aangeven.

Opgave 3 (De oppervlakte van een driehoek)

a) Ga na hoe je de nieuwe formule afleidt uit de formule ‘basis maal halve hoogte’. Neembijvoorbeeld AB als basis.

b) In de formule hebben we de zijden AB en AC ‘uitverkoren’. Formuleer formules voorde oppervlakte van 4ABC als we AB en CB kiezen of AC en BC.

We hebben nodig: verhouding van lijnstukken en verhouding van oppervlaktenBekijk de volgende figuur met centrum P en de punten A, B en C. Aan de hand hier-van illustreren we hoe een verhouding van lengtes in verband kan worden gebracht met eenverhouding van oppervlakten.

P

A B C

Nemen we AC als basis van 4PAC, en noemen we de hoogte van de driehoek (de afstandvan de rechte AC tot P ) h, dan is de oppervlakte van 4PAC gelijk aan

12· |AC| · h.

Net zo is de oppervlakte van 4PBC gelijk aan

12· |BC| · h

5

(dezelfde h). Dus de verhouding |AC|/|BC| is gelijk aan O(4PAC)/O(4PBC). Samengevat:

AC

BC=

O(4PAC)O(4PBC)

.

Op soortgelijke wijze volgt (met D in plaats van C):

AD

BD=

O(4PAD)O(4PBD)

.

En nu de sinussen...Deze laatste verhouding van oppervlakten herschrijven we door gebruik te maken van onzeandere formule voor de oppervlakte: O(4PAC) = |PA| · |PC| · sin(∠APC) en O(4PBC) =|PB| · |PC| · sin(∠BPC), enz. Met dit gereedschap gaan we de dubbelverhouding (ABCD)nu te lijf.

P

A B C D

l1 l2l3

l4

Op een detail gaan we verder niet in: we zullen ons in de volgende berekening niet drukmaken om het feit dat het georienteerde lijnstukken betreft (zie blz. 3).

• Stap 1: Omschrijven naar oppervlakten:

AC

BC:

AD

BD=

O(4PAC)O(4PBC)

:O(4PAD)O(4PBD)

• Stap 2: Oppervlakteformule gebruiken:

O(4PAC)O(4PBC)

:O(4PAD)O(4PBD)

=PA · PC · sin∠(`1, `3)PB · PC · sin∠(`2, `3)

:PA · PD · sin∠(`1, `4)PB · PD · sin∠(`2, `4)

• Stap 3: Breuk in het rechterlid vereenvoudigen tot:

sin∠(`1, `3)sin∠(`2, `3)

:sin∠(`1, `4)sin∠(`2, `4)

• Conclusie:AC

BC:

AD

BD=

sin∠(`1, `3)sin∠(`2, `3)

:sin ∠(`1, `4)sin ∠(`2, `4)

6

4 Het gebruik van de dubbelverhouding

Het gebruik van de dubbelverhouding om afstanden te bepalen, berust op de volgende tweeobservaties:

• De dubbelverhouding legt de positie van het vierde punt vastAls je de dubbelverhouding van vier punten A, B, C, D op een rechte lijn weet en depositie van drie van de vier punten, dan kun je de positie van het vierde punt bepalen.

• De dubbelverhouding van vier punten kun je uit een foto bepalenDe dubbelverhouding van vier punten A, B, C, D op een rechte kun je bepalen metbehulp van een foto (centrale projectie) van die vier punten. Op de foto kun je namelijkafstanden meten en de dubbelverhouding bepalen van de opname van de vier punten.Omdat de opname een centrale projectie van de oorspronkelijke vier punten is, heb jevia bovenstaande stelling nu ook de dubbelverhouding (ABCD) van A, B, C, D tepakken.

Als je in de praktijk de positie van een punt wilt weten of berekenen, dan ga je op zoek naareen rechte lijn waar dat punt op ligt en waar ook drie bekende punten op liggen, zogenaamdereferentiepunten.

VoorbeeldWe nemen een rechte lijn waarvan we de punten beschrijven met behulp van reele getallen.Veronderstel dat A, B en C de referentiepunten zijn, die horen bij de getallen 0, 1 en 100.Veronderstel dat D onze onbekende is, zeg x, maar dat (ABCD) = 2. We krijgen dan devolgende vergelijking:

(ABCD) = 2 =AC

BC:

AD

BD=

10099

:x

x− 1

We vinden hieruit 198x = 100(x− 1) zodat 98x = −100 en x = −50/49.

Bij referentiepunten kun je denken aan punten die je om de een of andere reden kent, zoalshoekpunten van een zijlijn op een sportveld. De dubbelverhouding zou je kunnen weten viaeen opname waarop je eenvoudigweg alle afstanden hebt opgemeten. Zie Opgave 5 hieronder.

Opgave 4 (De dubbelverhouding nader bekeken)We gaan uit van vier verschillende punten A, B, C en D op een rechte. In de expressie voorde dubbelverhouding komen vier gerichte lijnstukken voor: AC, BC, AD en BD.

a) Veronderstel dat (ABCD) negatief is. Analyseer de dubbelverhouding om aan te tonendat in dat geval precies een van de punten C en D tussen A en B ligt.

b) Analyseer de dubbelverhouding om te laten zien dat (ABCD) = (BADC).

Opgave 5 (De dubbelverhouding echt gebruiken)Tijd voor echte metingen. De afmetingen van voetbalvelden zijn niet precies vastgelegd,maar mogen binnen zekere grenzen varieren. De breedte en de lengte van het veld zijnbijvoorbeeld niet geheel vastgelegd. Sommige maten op het veld zijn wel voorgeschreven,zoals de afmetingen van het doel en de straal van de middencirkel. Op bijgaande foto zie jedat de middencirkel behoorlijk vervormd is (wat voor figuur is het geworden denk je?).

7

Bepaal aan de hand van de foto de breedte van het veld (in yards of meters; een yard is 0, 9144meter).

8

5 De tripelverhouding

De uitgebreide dubbelverhouding: de tripelverhouding

We hebben tot dusverre de invariantie gezien van de dubbelverhouding van 4 punten op eenrechte bij centrale projectie. Een nadeel hiervan is dat de punten op een rechte dienen teliggen. Bij de tripelverhouding vervalt dit bezwaar, zij het dat de punten nu in een vlakmoeten liggen. Bij de dubbelverhouding is een voordeel dat het meten van afstanden relatiefeenvoudig is. Bij de tripelverhouding kijken we naar oppervlakten, die wat moeilijker zijn uitte rekenen. We gaan nu verder met de definitie van tripelverhouding:

Zeg we hebben 5 punten (A,B, C, D, E) in een plat vlak,

A B

C

D

E

We definieren de tripelverhouding van de 5 punten (A,B, C, D, E) als de volgende verhoudingvan gerichte oppervlakten van driehoeken:

(ABCDE) = (Opp4ABD

Opp4ABE:Opp4BCD

Opp4BCE:Opp4CAD

Opp4CAE)

We bedoelen hierbij met gerichte oppervlakte:De gerichte oppervlakte is de oppervlakte voorzien van een plus of min-teken. Het plus ofmin-teken wordt bepaald door de orientatie van de hoekpunten. De hoekpunten worden links-om of rechtsom doorlopen.De ‘gewone‘ oppervlakte is gelijk aan de absolute waarde van de gerichte oppervlakte.

9

Er blijkt nu, vergelijkbaar met de situatie bij de dubbelverhouding, bij centrale projectieinvariantie van tripelverhoudingen te gelden, dat wil zeggen:

We hebben 5 punten (A,B, C, D, E) in een vlak die door een centrale projectie afgebeeldworden op de punten (A′, B′, C ′, D′, E′) in een ander vlak, zie figuur.

P

A

B

C

D

E

A’

B’

C’

D’

E’

De tripelverhoudingen van (A,B, C, D, E) en (A′, B′, C ′, D′, E′) zij nu aan elkaar gelijk:

(ABCDE) = (A′B′C ′D′E′)

(Het bewijs laten we achterwege.)Als we nog even kijken naar de definitie van tripelverhouding, dan is deze genoteerd als(a : b : c). We bedoelen nu met (a : b : c) = (d : e : f) het volgende:Er bestaat een λ zodanig dat

λ a = d en λ b = e en λ c = f.

Bijvoorbeeld,(2 : 3 : 7) = (8 : 12 : 28)

Dit kunnen we ook gebruiken in de vorm, mits de noemers 6= 0 zijn:

a/d = b/e = c/f.

10

Het nut van de invariantie van de tripelverhouding is ook nu gebaseerd op twee observaties:

• Ken je de positie van 4 van de 5 punten in een vlak en de tripelverhouding van alle 5,dan kun je de positie van het 5e punt in dat vlak bepalen.Zoals we bij de dubbelverhouding een willekeurig punt op de rechte door de punten alsoorsprong kozen, zo kiezen we nu een willekeurig punt in het vlak als oorsprong, enbepalen de positie ten opzichte van die oorsprong. (Zie opgave 6)

• De tripelverhouding van 5 punten bepaal je met behulp van een afbeelding van de 5punten. Op de afbeelding kun je alle posities van alle punten meten en daaruit degerichte oppervlakten van de desbetreffende driehoeken bepalen.De eenheden waarin je de oppervlaktes meet zijn niet relevant omdat we werken metverhoudingen van oppervlakten.

In onderstaande afbeelding zijn bekende punten A,B, C, D aangegeven. De posities van depunten E1, E2, .. zijn onbekend.

11

Opgave 6 (De tripelverhouding echt gebruiken)We hebben van onderstaande figuur oppervlakten van de driehoeken voor je uitgerekend bijde punten A,B, C, D, E, deze zijn achtereenvolgens:

Opp4ABD = 23034,Opp4ABE = 5586,Opp4BCD = 14202,

Opp4BCE = 16296,Opp4CAD = 13708,Opp4CAE = 29062.

NB. De lengte eenheid is ‘pixel‘ vandaar de grootte-orde van de oppervlaktes.

In de figuur op de volgende pagina zien we de bekende grootheden aangegeven.

12

We hebben van de figuur van het speelveld de oppervlakten van de driehoeken voor je uitgere-kend bij de corresponderende punten A,B, C, D, E, echter hebben we nu voor het onbekendepunt E = A + (p, q) gekozen. (We bepalen de positie dus ten opzichte van het punt A.) Wekrijgen nu de oppervlakten, uitgedrukt in de onbekenden p en q:

Opp4ABD = 105,Opp4ABE = 9q, Opp4BCD = 124,

Opp4BCE = 389− 22p, Opp4CAD = 160,Opp4CAE = 22p− 9q.

Probeer met bovenstaande gegevens de onbekenden p en q te berekenen. De lengte eenheidwaarin is gemeten is yard.Welke manieren ken je om de oppervlakte van een driehoek uit te rekenen?

Opgave 7 (De quadrupelverhouding? )

Probeer samen met je wiskundeleraar te bedenken hoe het nog algemener zou kunnen dan detripelverhouding en wat je daar dan mee zou kunnen berekenen.

13

Appendix: Invarianten

De dubbelverhouding is een voorbeeld van wat men in de wiskunde een invariant noemt. Dereden is dat de dubbelverhouding invariant is (dat wil zeggen niet verandert) onder een of an-dere operatie, in ons geval centrale projectie. Zonder dat je het als zodanig hebt leren kennen,heb je al eerder kennis gemaakt met invarianten, en wel bij kwadratische vergelijkingen. Dediscriminant van een kwadratische vergelijking is namelijk een voorbeeld van een invariant.In de volgende opgave kom je te weten hoe dit zit.

OpgaveDe discriminant van de kwadratische vergelijking ax2 + bx + c = 0 is gelijk aan b2 − 4ac.Misschien herinner je je nog dat je met behulp van de discriminant kunt zien hoeveel (reele)oplossingen een kwadratische vergelijking heeft: als bijvoorbeeld b2 − 4ac > 0, dan heeft devergelijking twee verschillende nulpunten.

a) De kwadratische functie f gegeven door f(x) = x2 − x − 2 heeft twee nulpunten: −1en 2. Geef een schets van de grafiek. Bepaal het functievoorschrift van de functie gwaarvan de grafiek uit die van f ontstaat door 10 naar rechts te transleren. Wat zijnde nulpunten van g? Bepaal de discriminant van beide kwadratische vergelijkingen.

b) In onderdeel a) heb je als het goed is in beide gevallen dezelfde discriminant gevonden.Dit is geen toeval: als je een kwadratische uitdrukking transleert, krijg je een nieuwekwadratische uitdrukking met precies dezelfde discriminant.

c) Begin maar met de functie f gedefinieerd door f(x) = ax2 + bx + c, waarin a, b, cconstanten zijn. Geef het functievoorschrift van de kwadratische functie g waarvan degrafiek uit die van f ontstaat door translatie over d.

d) Laat door berekening zien dat de discriminanten van f en g aan elkaar gelijk zijn. Wezeggen wel: ‘de discriminant is invariant onder translatie’.

De discriminant van een kwadratische uitdrukking geeft informatie over het aantal nulpun-ten ervan. Omdat het aantal nulpunten van een kwadratische functie niet verandert ondertranslatie, is het niet verwonderlijk dat de discriminant ook niet verandert. Toch is dezelaatste redenering alleen natuurlijk niet afdoende. Het zou nog best mogelijk zijn dat deprecieze formule voor de discriminant anders wordt. Dat het aantal nulpunten niet verandertbij translatie, zegt je alleen dat de discriminant hetzelfde teken houdt of nul blijft. Als jedus alleen naar het aantal nulpunten kijkt, dan zou de discriminant D van een kwadratischefunctie bijvoorbeeld best kunnen veranderen in een formule als (d2 + 1) ·D.

14