De wiskundige knoop

LIO-projectGesubsidieerd door NWO Uitvoerder: Ab van der RoestBegeleider: Arjeh CohenPlaats: Technische Universiteit Eindhoven

Knoop op Hoog Catharijne te Utrecht

Gemaakt door Shinkichi Tajiri

Borromean ringen op Iso la Bella

Mastworp (voor de zeilers)

Achtknoop (voor de bergbeklimmers)

Decoratieve knoop

knopentruck

wiskundige knoop

Een knoop is een gesloten kromme in de drie dimensionale ruimte die geen zelfdoor-snijdingen heeft

wiskundige knoop

Andere benadering om knopen te bestuderen: α: S1 → S3 is een inbedding van een knoop bestudeer nu de topologie van de complementaire

ruimte S3-α(S1)

wiskundige knoop

of onderzoek hoe gekromd de gesloten kromme is

stelling van Fary-Milnor: als de totale kromming ∫κ ≤ 4π dan is de knoop de

triviale knoop als de totale kromming ∫κ > 4π dan is de knoop echt

geknoopt

Van knoop naar diagram

Projecteer de knoop op een plat vlak Geef duidelijk aan of je een boven- of

onderkruising hebt

wiskundige knoop

Eén van de hoofdvragen: welke knopen zijn er en wanneer zijn knopen echt verschillend

knopentabel

wiskundige knoop

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1 1 2 3 7 21 49 165 552 2176 9988 ?

wiskundige knoop

Twee voorbeelden van knopen die er ingewikkeld uit zien, maar eenvoudige knopen blijken te zijn

Knotplot.lnk

Hoe onderscheiden we knopen die gelijk zijn? Kurt Reidemeister beschreef drie

bewegingen op een knoopdiagram: R1

R2

R3

Reidemeister stelde:als knoop K en L isotoop zijn, bestaat er een eindige rij Reidemeisterbewegingen die het diagram van knoop K overzet in het diagram van knoop L.

Opmerking: als dit niet lukt weet je nog niets; misschien ben je gewoon niet handig genoeg!

invarianten

Een invariant is een eigenschap van een knoop die niet veranderd als we de knoop “vervormen”.

Een invariant blijft dus behouden onder de Reidemeistebewegingen.

invarianten

Aantal kruisingen: nee Verstrengelingsgetal: nee Schakelgetal: ja Aantal driekleurigen: ja Veeltermen: ja

verstrengelingsgetal

Een kruising in een diagram krijgt de waarde +1 of -1 met de volgende systematiek

Het verstrengelingsgetal is de som van die waardes van de kruisingen.

verstrengelingsgetal

Verstrengelingsgetal w(T) = -3

verstrengelingsgetal

Geen invariant: voeg een extra kruising toe met behulp van R1; de totale som zal veranderen.

driekleuringen

Een diagram wordt gekleurd met drie kleuren volgens de regels: Bij een kruising komen precies drie kleuren Bij een kruising komt precies één kleur

driekleuring

Invariant na te gaan met de Reidemeisterbewegingen

driekleuring

Kauffman-haakje

Een veelterm die uitgerekend wordt voor een niet-georiënteerd diagram Het vlak wordt door een kruising in “vieren”

gedeeld en volgens de onderstaande systematiek benoemd:

Kauffman-haakje

Vervolgens splitsen we de kruising:

Kauffman-haakje

We doen dit voor elke kruising en zo kunnen we voor een diagram met n kruisingen 2n nieuwe diagrammen maken, die toestanden noemen.

Kauffman-haakje

Definitie: Zij K een knoop en S een toestand van het

knoopdiagram; c(S) is het aantal componenten; a(S) het aantal A-splistsingen en b(S) het aantal B-splitsingen

Kauffman-haakje wordt berekend met de formule:

S

1)S(c)S(b)S(a dBAK

Kauffman-haakje

Kauffman-haakje

Berekening van Kauffman-haakje voor de klaverbladknoop: zie werklblad

Kauffman-haakje

<T> = A3d2 + 3A2Bd + 3AB2 + B3d

Op grond van de invariantie onder de Reidemeisterbewegingen moet er voor A, B en d de volgende relaties gelden: B = A-1

d = -(A2+A-2)

gevolg: <T> = A7 − A3 − A-5

Kauffmanveelterm

Kauffmanveelterm voor een georiënteerd knoopdiagram: w(K) is het verstrengelings-getal van knoop K en <K> is de Kauffman-haakje dan is de Kauffamanveelterm:

fK(A)=(−A)-3w(K)<K>

Kauffmanveelterm

In ons voorbeeld: w(T) = -3

fK(T) = (-A)9(A7 − A3 − A-5)

= -A16 + A12 + A4

Merk op dat wanneer je elke bovenkruising verandert in een onderkruising de veelterm verandert in fL = -A-16 + A-12 + A-4

en op grond daarvan kunnen we zien dat K en L verschillend zijn.

Jonesveelterm

Weefrelatie

Jonesveelterm

De Jonesveelterm VK is gedefinieerd voor een georiënteerd diagram en maakt gebruik van de weefrelatie: voor een diagram dat op één kruising verandert

geldt de volgende bewering:

1)(

)()1

()()( 01

ooptrivialeknV

KVtt

KtVKVt

Jonesveelterm

Gevolg van deze definitie is: bevat een knoop K niet geschakelde componenten dan is de Jonesveelterm:

tt

tt

t

tKV

1

1

1)(

2

Jonesveelterm

1)(

)()1

()()( 01

ooptrivialeknV

KVtt

KtVKVt

Jonesveelterm

Voorbeeld:

Jonesveelterm

)()1

()()( 012 KVtt

tKVtKV

)()1

(1 12 LVtt

tt

)()

1()()

1( 01212 LVt

ttLVtt

ttt

1)

1()

1()

1( 1212 t

tt

tttt

ttt

134 ttt

vlechten

vlechten

vlechten

vlechten

Elke vlecht is een knoop

Elke knoop is een vlecht Algoritme van Yamada-Vogel

knoop

literatuur

boeken: The Knot Book Colin C. Adams Knots and Physics Louis H. Kauffman Knots Alexei Sossinsky

internet

Homepage van Dror Bar-Natan, met onder andere de knopenatlashttp://www.math.toronto.edu/~drorbn/

Een webpage gemaakt door Stuart Rankin; hiermee kun je mooie plaatjes maken van elke knoop die je maar wilt hebben.http://srankin.math.uwo.ca/index.php

Een webpage gemaakt door Robert Scharein. Deze page bevat veel links; je kunt er ook het programma KnotPlot downloaden.http://knotplot.com/

Een page gemaakt door Bryson R. Payne. Veel informatie over de knopentheorie.http://www.freelearning.com/knots/index.htm