de–nicija plohegradst.unist.hr/portals/9/docs/katedre/matematika/psgg dg... · 2017. 5. 23. ·...
TRANSCRIPT
![Page 1: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/1.jpg)
Definicija plohe
Jelena Sedlar
Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 1 / 28
![Page 2: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/2.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
![Page 3: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/3.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija.
Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
![Page 4: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/4.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3
pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
![Page 5: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/5.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
![Page 6: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/6.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija.
Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
![Page 7: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/7.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3
je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
![Page 8: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/8.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
![Page 9: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/9.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
![Page 10: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/10.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
![Page 11: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/11.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
![Page 12: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/12.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
![Page 13: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/13.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
![Page 14: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/14.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
![Page 15: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/15.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
![Page 16: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/16.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Plohu r : U → R3 zadajemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =
= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,
parametarske jednadzbe
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 3 / 28
![Page 17: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/17.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Plohu r : U → R3 zadajemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =
= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,
parametarske jednadzbe
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 3 / 28
![Page 18: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/18.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Plohu r : U → R3 zadajemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(u, v) =
(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =
= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,
parametarske jednadzbe
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 3 / 28
![Page 19: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/19.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Plohu r : U → R3 zadajemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =
= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,
parametarske jednadzbe
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 3 / 28
![Page 20: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/20.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Plohu r : U → R3 zadajemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =
= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,
parametarske jednadzbe
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 3 / 28
![Page 21: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/21.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Plohu r : U → R3 zadajemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =
= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,
parametarske jednadzbe
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 3 / 28
![Page 22: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/22.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Plohu r : U → R3 zadajemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =
= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,
parametarske jednadzbe
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 3 / 28
![Page 23: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/23.jpg)
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
![Page 24: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/24.jpg)
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
![Page 25: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/25.jpg)
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) =
r′u(u, v) =(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
![Page 26: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/26.jpg)
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
![Page 27: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/27.jpg)
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
![Page 28: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/28.jpg)
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) =
r′v (u, v) =(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
![Page 29: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/29.jpg)
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
![Page 30: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/30.jpg)
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
![Page 31: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/31.jpg)
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
![Page 32: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/32.jpg)
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) =
r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
![Page 33: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/33.jpg)
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =
(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
![Page 34: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/34.jpg)
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
![Page 35: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/35.jpg)
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) =
r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
![Page 36: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/36.jpg)
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =
(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
![Page 37: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/37.jpg)
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
![Page 38: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/38.jpg)
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) =
r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
![Page 39: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/39.jpg)
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =
(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
![Page 40: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/40.jpg)
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
![Page 41: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/41.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha.
Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 42: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/42.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 43: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/43.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0)
naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 44: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/44.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,
ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 45: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/45.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v)
naziva se v−krivulja plohe r.Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 46: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/46.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 47: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/47.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 48: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/48.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer.
Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 49: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/49.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:
a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 50: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/50.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,
b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 51: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/51.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.
Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 52: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/52.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje.
Trazena krivulja je:
a) krivuljaρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 53: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/53.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:
a) krivuljaρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 54: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/54.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) =
r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 55: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/55.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) =
(u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 56: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/56.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 57: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/57.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) =
r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 58: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/58.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) =
(−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 59: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/59.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
![Page 60: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/60.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
![Page 61: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/61.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
![Page 62: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/62.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
![Page 63: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/63.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
![Page 64: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/64.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
![Page 65: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/65.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
![Page 66: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/66.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
![Page 67: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/67.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
![Page 68: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/68.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
![Page 69: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/69.jpg)
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
![Page 70: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/70.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer.
Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 71: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/71.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3
zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 72: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/72.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 73: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/73.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 74: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/74.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 75: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/75.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 76: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/76.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 77: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/77.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 78: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/78.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 79: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/79.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 80: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/80.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 81: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/81.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 82: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/82.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 83: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/83.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 84: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/84.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 85: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/85.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 86: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/86.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 87: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/87.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 88: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/88.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 89: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/89.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 90: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/90.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 91: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/91.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 92: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/92.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 93: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/93.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 94: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/94.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 95: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/95.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 96: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/96.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 97: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/97.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 98: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/98.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 99: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/99.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
![Page 100: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/100.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer.
Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 101: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/101.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3
zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 102: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/102.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 103: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/103.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 104: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/104.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 105: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/105.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 106: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/106.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 107: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/107.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 108: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/108.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 109: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/109.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 110: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/110.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 111: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/111.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 112: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/112.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 113: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/113.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 114: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/114.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 115: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/115.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 116: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/116.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 117: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/117.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 118: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/118.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 119: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/119.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 120: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/120.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 121: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/121.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
![Page 122: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/122.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer.
Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 123: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/123.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3
zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 124: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/124.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)
je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 125: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/125.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 126: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/126.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 127: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/127.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 128: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/128.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 129: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/129.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 130: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/130.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 131: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/131.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 132: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/132.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 133: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/133.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 134: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/134.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 135: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/135.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 136: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/136.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 137: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/137.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 138: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/138.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 139: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/139.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 140: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/140.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
![Page 141: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/141.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer.
Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 142: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/142.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3
zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 143: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/143.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 144: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/144.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 145: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/145.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 146: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/146.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 147: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/147.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 148: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/148.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 149: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/149.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 150: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/150.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 151: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/151.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 152: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/152.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 153: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/153.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 154: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/154.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 155: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/155.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 156: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/156.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 157: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/157.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 158: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/158.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 159: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/159.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 160: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/160.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 161: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/161.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 162: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/162.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
![Page 163: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/163.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer.
Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 164: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/164.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3,
pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 165: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/165.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.
Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 166: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/166.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3
zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 167: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/167.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 168: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/168.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3
razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 169: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/169.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 170: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/170.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 171: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/171.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 172: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/172.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 173: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/173.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 174: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/174.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 175: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/175.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 176: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/176.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 177: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/177.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 178: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/178.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 179: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/179.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 180: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/180.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 181: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/181.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena.
Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 182: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/182.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani,
onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 183: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/183.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
![Page 184: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/184.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer.
Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 185: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/185.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3,
pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 186: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/186.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.
Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 187: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/187.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3
zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 188: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/188.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 189: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/189.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2
parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 190: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/190.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 191: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/191.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 192: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/192.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 193: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/193.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 194: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/194.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 195: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/195.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 196: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/196.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 197: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/197.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 198: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/198.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 199: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/199.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 200: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/200.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 201: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/201.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 202: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/202.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 203: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/203.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 204: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/204.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 205: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/205.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
![Page 206: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/206.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer.
Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
![Page 207: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/207.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini
definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
![Page 208: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/208.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I .
Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
![Page 209: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/209.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3
definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
![Page 210: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/210.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
![Page 211: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/211.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
![Page 212: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/212.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
![Page 213: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/213.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
![Page 214: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/214.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
![Page 215: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/215.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
![Page 216: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/216.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒
P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
![Page 217: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/217.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒
P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
![Page 218: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/218.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
![Page 219: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/219.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer.
Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
![Page 220: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/220.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini
definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
![Page 221: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/221.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I .
Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
![Page 222: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/222.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3
definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
![Page 223: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/223.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
![Page 224: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/224.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
![Page 225: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/225.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
![Page 226: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/226.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
![Page 227: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/227.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
![Page 228: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/228.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
![Page 229: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/229.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒
P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
![Page 230: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/230.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒
P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
![Page 231: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/231.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
![Page 232: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/232.jpg)
Parametrizirana ploha
Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:
ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.
Uocimo da je:
r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 15 / 28
![Page 233: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/233.jpg)
Parametrizirana ploha
Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:
ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,
ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.Uocimo da je:
r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 15 / 28
![Page 234: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/234.jpg)
Parametrizirana ploha
Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:
ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.
Uocimo da je:
r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 15 / 28
![Page 235: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/235.jpg)
Parametrizirana ploha
Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:
ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.
Uocimo da je:
r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 15 / 28
![Page 236: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/236.jpg)
Parametrizirana ploha
Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:
ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.
Uocimo da je:
r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),
r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 15 / 28
![Page 237: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/237.jpg)
Parametrizirana ploha
Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:
ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.
Uocimo da je:
r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 15 / 28
![Page 238: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/238.jpg)
Parametrizirana ploha
Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:
ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.
Uocimo da je:
r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 15 / 28
![Page 239: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/239.jpg)
Parametrizirana ploha
Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:
ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.
Uocimo da je:
r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 15 / 28
![Page 240: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/240.jpg)
Parametrizirana ploha
Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:
ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.
Uocimo da je:
r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 15 / 28
![Page 241: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/241.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo:
ako su vektori r′u(u, v) i r′v (u, v) nekolinearni vektori (tj.r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0), onda se u tocki (u, v) moze postavititangencijalna ravnina na plohu.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 16 / 28
![Page 242: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/242.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo: ako su vektori r′u(u, v) i r′v (u, v) nekolinearni vektori
(tj.r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0), onda se u tocki (u, v) moze postavititangencijalna ravnina na plohu.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 16 / 28
![Page 243: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/243.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo: ako su vektori r′u(u, v) i r′v (u, v) nekolinearni vektori (tj.r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0),
onda se u tocki (u, v) moze postavititangencijalna ravnina na plohu.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 16 / 28
![Page 244: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/244.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo: ako su vektori r′u(u, v) i r′v (u, v) nekolinearni vektori (tj.r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0), onda se u tocki (u, v) moze postavititangencijalna ravnina na plohu.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 16 / 28
![Page 245: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/245.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo: ako su vektori r′u(u, v) i r′v (u, v) nekolinearni vektori (tj.r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0), onda se u tocki (u, v) moze postavititangencijalna ravnina na plohu.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 16 / 28
![Page 246: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/246.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo: ako su vektori r′u(u, v) i r′v (u, v) nekolinearni vektori (tj.r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0), onda se u tocki (u, v) moze postavititangencijalna ravnina na plohu.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 16 / 28
![Page 247: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/247.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija.
Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[
x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
![Page 248: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/248.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ U
ako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[
x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
![Page 249: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/249.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0,
u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[
x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
![Page 250: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/250.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U.
Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[
x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
![Page 251: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/251.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna
ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[
x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
![Page 252: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/252.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[
x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
![Page 253: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/253.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,
uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
![Page 254: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/254.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0
ekvivalentan je uvjetu da matrica[x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
![Page 255: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/255.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[
x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]
ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
![Page 256: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/256.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[
x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
![Page 257: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/257.jpg)
Parametrizirana ploha
Napomena.
Vazno je uociti da vrijedi:
u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,
u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.
Naime, singularitet moze biti svojstven:
parametrizaciji, pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,
samoj plohi (tj. slici), pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 18 / 28
![Page 258: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/258.jpg)
Parametrizirana ploha
Napomena. Vazno je uociti da vrijedi:
u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,
u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.
Naime, singularitet moze biti svojstven:
parametrizaciji, pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,
samoj plohi (tj. slici), pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 18 / 28
![Page 259: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/259.jpg)
Parametrizirana ploha
Napomena. Vazno je uociti da vrijedi:
u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,
u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.
Naime, singularitet moze biti svojstven:
parametrizaciji, pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,
samoj plohi (tj. slici), pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 18 / 28
![Page 260: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/260.jpg)
Parametrizirana ploha
Napomena. Vazno je uociti da vrijedi:
u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,
u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.
Naime, singularitet moze biti svojstven:
parametrizaciji, pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,
samoj plohi (tj. slici), pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 18 / 28
![Page 261: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/261.jpg)
Parametrizirana ploha
Napomena. Vazno je uociti da vrijedi:
u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,
u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.
Naime, singularitet moze biti svojstven:
parametrizaciji, pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,
samoj plohi (tj. slici), pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 18 / 28
![Page 262: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/262.jpg)
Parametrizirana ploha
Napomena. Vazno je uociti da vrijedi:
u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,
u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.
Naime, singularitet moze biti svojstven:
parametrizaciji,
pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,
samoj plohi (tj. slici), pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 18 / 28
![Page 263: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/263.jpg)
Parametrizirana ploha
Napomena. Vazno je uociti da vrijedi:
u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,
u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.
Naime, singularitet moze biti svojstven:
parametrizaciji, pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,
samoj plohi (tj. slici), pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 18 / 28
![Page 264: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/264.jpg)
Parametrizirana ploha
Napomena. Vazno je uociti da vrijedi:
u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,
u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.
Naime, singularitet moze biti svojstven:
parametrizaciji, pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,
samoj plohi (tj. slici),
pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 18 / 28
![Page 265: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/265.jpg)
Parametrizirana ploha
Napomena. Vazno je uociti da vrijedi:
u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,
u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.
Naime, singularitet moze biti svojstven:
parametrizaciji, pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,
samoj plohi (tj. slici), pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 18 / 28
![Page 266: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/266.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer.
Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Imamo:
sferakonus
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 19 / 28
![Page 267: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/267.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije:
a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Imamo:
sferakonus
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 19 / 28
![Page 268: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/268.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1,
b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Imamo:
sferakonus
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 19 / 28
![Page 269: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/269.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.
Rješenje. Imamo:
sferakonus
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 19 / 28
![Page 270: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/270.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje.
Imamo:
sferakonus
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 19 / 28
![Page 271: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/271.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Imamo:
sfera
konus
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 19 / 28
![Page 272: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/272.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Imamo:
sferakonus
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 19 / 28
![Page 273: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/273.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
![Page 274: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/274.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) =
(sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
![Page 275: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/275.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
![Page 276: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/276.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) =
(cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
![Page 277: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/277.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)
r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
![Page 278: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/278.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) =
(− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
![Page 279: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/279.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
![Page 280: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/280.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
![Page 281: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/281.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ =
= sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
![Page 282: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/282.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
![Page 283: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/283.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0
⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
![Page 284: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/284.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔
sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
![Page 285: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/285.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔
u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
![Page 286: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/286.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
![Page 287: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/287.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] .
Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
![Page 288: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/288.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
![Page 289: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/289.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒
{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
![Page 290: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/290.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) =
(0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
![Page 291: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/291.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1)
- sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
![Page 292: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/292.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni pol
r(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
![Page 293: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/293.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) =
(0, 0,−1) - juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
![Page 294: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/294.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1)
- juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
![Page 295: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/295.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
![Page 296: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/296.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
![Page 297: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/297.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
![Page 298: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/298.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) =
(u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
![Page 299: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/299.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
![Page 300: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/300.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) =
(cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
![Page 301: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/301.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
![Page 302: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/302.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) =
(−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
![Page 303: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/303.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
![Page 304: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/304.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
![Page 305: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/305.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ =
− u cos v · i− u sin v · j+ u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
![Page 306: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/306.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
![Page 307: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/307.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔
−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
![Page 308: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/308.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔
u = 0,v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
![Page 309: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/309.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
![Page 310: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/310.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) za v ∈ [0, 2π] .
Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)⇒ r(0, v) = (0, 0, 0) - vrh stošca
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 23 / 28
![Page 311: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/311.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) za v ∈ [0, 2π] .Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)⇒ r(0, v) = (0, 0, 0) - vrh stošca
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 23 / 28
![Page 312: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/312.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) za v ∈ [0, 2π] .Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)⇒
r(0, v) = (0, 0, 0) - vrh stošca
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 23 / 28
![Page 313: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/313.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) za v ∈ [0, 2π] .Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)⇒ r(0, v) =
(0, 0, 0) - vrh stošca
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 23 / 28
![Page 314: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/314.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) za v ∈ [0, 2π] .Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)⇒ r(0, v) = (0, 0, 0)
- vrh stošca
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 23 / 28
![Page 315: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/315.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) za v ∈ [0, 2π] .Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)⇒ r(0, v) = (0, 0, 0) - vrh stošca
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 23 / 28
![Page 316: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/316.jpg)
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) za v ∈ [0, 2π] .Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)⇒ r(0, v) = (0, 0, 0) - vrh stošca
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 23 / 28
![Page 317: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/317.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija.
Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)
v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
![Page 318: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/318.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.
Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)
v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
![Page 319: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/319.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne,
ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)
v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
![Page 320: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/320.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U,
ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
![Page 321: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/321.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b))
takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
![Page 322: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/322.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b))
i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
![Page 323: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/323.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)
v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0
za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
![Page 324: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/324.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)
v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V .
Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
![Page 325: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/325.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)
v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne,
onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
![Page 326: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/326.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)
v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
![Page 327: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/327.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)
v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje.
Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
![Page 328: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/328.jpg)
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)
v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
![Page 329: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/329.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
![Page 330: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/330.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒
{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
![Page 331: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/331.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a =
r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
![Page 332: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/332.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a
~r′b = r′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
![Page 333: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/333.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b =
r′u · u′b + r′v · v ′b⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
![Page 334: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/334.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
![Page 335: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/335.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b =
u′av′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)
⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
![Page 336: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/336.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)
⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
![Page 337: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/337.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b =
(u′av′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
![Page 338: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/338.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
![Page 339: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/339.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =
∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
![Page 340: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/340.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )
Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
![Page 341: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/341.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔
vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
![Page 342: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/342.jpg)
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
![Page 343: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/343.jpg)
Eksplicitno zadana ploha
Neka je f : U → R glatka funkcija,
pri cemu je U ⊆ R2 podrucje uravnini. Tada:
eksplicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,
eksplicitna jednadzba plohe S je z = f (x , y).
Uocimo da vrijedi S = r(U) za parametrizaciju
r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,
pa je r(u, v) globalna parametrizacija plohe S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 26 / 28
![Page 344: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/344.jpg)
Eksplicitno zadana ploha
Neka je f : U → R glatka funkcija, pri cemu je U ⊆ R2 podrucje uravnini.
Tada:
eksplicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,
eksplicitna jednadzba plohe S je z = f (x , y).
Uocimo da vrijedi S = r(U) za parametrizaciju
r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,
pa je r(u, v) globalna parametrizacija plohe S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 26 / 28
![Page 345: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/345.jpg)
Eksplicitno zadana ploha
Neka je f : U → R glatka funkcija, pri cemu je U ⊆ R2 podrucje uravnini. Tada:
eksplicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,
eksplicitna jednadzba plohe S je z = f (x , y).
Uocimo da vrijedi S = r(U) za parametrizaciju
r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,
pa je r(u, v) globalna parametrizacija plohe S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 26 / 28
![Page 346: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/346.jpg)
Eksplicitno zadana ploha
Neka je f : U → R glatka funkcija, pri cemu je U ⊆ R2 podrucje uravnini. Tada:
eksplicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,
eksplicitna jednadzba plohe S je z = f (x , y).
Uocimo da vrijedi S = r(U) za parametrizaciju
r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,
pa je r(u, v) globalna parametrizacija plohe S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 26 / 28
![Page 347: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/347.jpg)
Eksplicitno zadana ploha
Neka je f : U → R glatka funkcija, pri cemu je U ⊆ R2 podrucje uravnini. Tada:
eksplicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,
eksplicitna jednadzba plohe S je z = f (x , y).
Uocimo da vrijedi S = r(U) za parametrizaciju
r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,
pa je r(u, v) globalna parametrizacija plohe S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 26 / 28
![Page 348: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/348.jpg)
Eksplicitno zadana ploha
Neka je f : U → R glatka funkcija, pri cemu je U ⊆ R2 podrucje uravnini. Tada:
eksplicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,
eksplicitna jednadzba plohe S je z = f (x , y).
Uocimo da vrijedi S = r(U) za parametrizaciju
r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,
pa je r(u, v) globalna parametrizacija plohe S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 26 / 28
![Page 349: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/349.jpg)
Eksplicitno zadana ploha
Neka je f : U → R glatka funkcija, pri cemu je U ⊆ R2 podrucje uravnini. Tada:
eksplicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,
eksplicitna jednadzba plohe S je z = f (x , y).
Uocimo da vrijedi S = r(U) za parametrizaciju
r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,
pa je r(u, v) globalna parametrizacija plohe S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 26 / 28
![Page 350: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/350.jpg)
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija,
pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
![Page 351: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/351.jpg)
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru.
Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
![Page 352: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/352.jpg)
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
![Page 353: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/353.jpg)
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
![Page 354: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/354.jpg)
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
![Page 355: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/355.jpg)
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha
i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
![Page 356: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/356.jpg)
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.
Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
![Page 357: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/357.jpg)
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
![Page 358: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/358.jpg)
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S ,
ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
![Page 359: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/359.jpg)
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,
globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
![Page 360: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/360.jpg)
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S ,
ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
![Page 361: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/361.jpg)
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
![Page 362: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/362.jpg)
Implicitno zadana ploha
Teorem.
Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0.Ako u tocki P ∈ S vrijedi
gradF (P) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina W tocke P i regularna parametriziranaploha r : U → R3 takva da je r(U) = W ∩ S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 28 / 28
![Page 363: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/363.jpg)
Implicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0.
Ako u tocki P ∈ S vrijedi
gradF (P) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina W tocke P i regularna parametriziranaploha r : U → R3 takva da je r(U) = W ∩ S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 28 / 28
![Page 364: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/364.jpg)
Implicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0.Ako u tocki P ∈ S vrijedi
gradF (P) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina W tocke P i regularna parametriziranaploha r : U → R3 takva da je r(U) = W ∩ S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 28 / 28
![Page 365: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/365.jpg)
Implicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0.Ako u tocki P ∈ S vrijedi
gradF (P) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina W tocke P
i regularna parametriziranaploha r : U → R3 takva da je r(U) = W ∩ S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 28 / 28
![Page 366: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/366.jpg)
Implicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0.Ako u tocki P ∈ S vrijedi
gradF (P) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina W tocke P i regularna parametriziranaploha r : U → R3
takva da je r(U) = W ∩ S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 28 / 28
![Page 367: De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071411/61062fdebc1ee76b3e2e9a4b/html5/thumbnails/367.jpg)
Implicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0.Ako u tocki P ∈ S vrijedi
gradF (P) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina W tocke P i regularna parametriziranaploha r : U → R3 takva da je r(U) = W ∩ S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 28 / 28