de–nicija krivuljegradst.unist.hr/portals/9/docs/katedre/matematika/psgg dg...parametrizirana...
TRANSCRIPT
![Page 1: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/1.jpg)
Definicija krivulje
Jelena Sedlar
Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 1 / 43
![Page 2: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/2.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
![Page 3: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/3.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija.
Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
![Page 4: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/4.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn
pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
![Page 5: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/5.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
![Page 6: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/6.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
![Page 7: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/7.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
![Page 8: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/8.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) =
x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
![Page 9: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/9.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
![Page 10: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/10.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
![Page 11: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/11.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
![Page 12: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/12.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena.
Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
![Page 13: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/13.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
![Page 14: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/14.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Za derivacije krivulje r(t) = (x(t), y(t), z(t)) pišemo
drdt(t) = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ,
d2rdt2(t) = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , itd.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 3 / 43
![Page 15: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/15.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Za derivacije krivulje r(t) = (x(t), y(t), z(t)) pišemo
drdt(t) = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ,
d2rdt2(t) = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , itd.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 3 / 43
![Page 16: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/16.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Za derivacije krivulje r(t) = (x(t), y(t), z(t)) pišemo
drdt(t) = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ,
d2rdt2(t) = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , itd.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 3 / 43
![Page 17: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/17.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija.
Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Geometrijska interpretacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 4 / 43
![Page 18: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/18.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Geometrijska interpretacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 4 / 43
![Page 19: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/19.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Geometrijska interpretacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 4 / 43
![Page 20: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/20.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Geometrijska interpretacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 4 / 43
![Page 21: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/21.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Geometrijska interpretacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 4 / 43
![Page 22: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/22.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Geometrijska interpretacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 4 / 43
![Page 23: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/23.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Geometrijska interpretacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 4 / 43
![Page 24: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/24.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Geometrijska interpretacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 4 / 43
![Page 25: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/25.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Geometrijska interpretacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 4 / 43
![Page 26: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/26.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Fizikalna interpretacija.
Cestica putuje prostorom Rn :
u vremenu t,
ostavljajuci za sobom trag r(I ).
Drugim rijecima, jednadzba
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
znaci da se cestica u trenutku t nalazila u tocki (x(t), y(t), z(t)) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 5 / 43
![Page 27: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/27.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Fizikalna interpretacija. Cestica putuje prostorom Rn :
u vremenu t,
ostavljajuci za sobom trag r(I ).
Drugim rijecima, jednadzba
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
znaci da se cestica u trenutku t nalazila u tocki (x(t), y(t), z(t)) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 5 / 43
![Page 28: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/28.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Fizikalna interpretacija. Cestica putuje prostorom Rn :
u vremenu t,
ostavljajuci za sobom trag r(I ).
Drugim rijecima, jednadzba
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
znaci da se cestica u trenutku t nalazila u tocki (x(t), y(t), z(t)) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 5 / 43
![Page 29: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/29.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Fizikalna interpretacija. Cestica putuje prostorom Rn :
u vremenu t,
ostavljajuci za sobom trag r(I ).
Drugim rijecima, jednadzba
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
znaci da se cestica u trenutku t nalazila u tocki (x(t), y(t), z(t)) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 5 / 43
![Page 30: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/30.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Fizikalna interpretacija. Cestica putuje prostorom Rn :
u vremenu t,
ostavljajuci za sobom trag r(I ).
Drugim rijecima, jednadzba
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
znaci da se cestica u trenutku t nalazila u tocki (x(t), y(t), z(t)) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 5 / 43
![Page 31: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/31.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Fizikalna interpretacija. Cestica putuje prostorom Rn :
u vremenu t,
ostavljajuci za sobom trag r(I ).
Drugim rijecima, jednadzba
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
znaci da se cestica u trenutku t nalazila u tocki (x(t), y(t), z(t)) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 5 / 43
![Page 32: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/32.jpg)
Parametrizirana krivulja
Zadatak.
Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
![Page 33: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/33.jpg)
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1),
kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
![Page 34: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/34.jpg)
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba?
Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
![Page 35: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/35.jpg)
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
![Page 36: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/36.jpg)
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak.
Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
![Page 37: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/37.jpg)
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t
kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
![Page 38: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/38.jpg)
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba?
Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
![Page 39: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/39.jpg)
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
![Page 40: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/40.jpg)
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak.
Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
![Page 41: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/41.jpg)
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
![Page 42: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/42.jpg)
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t
b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
![Page 43: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/43.jpg)
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)
c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
![Page 44: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/44.jpg)
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1)
d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
![Page 45: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/45.jpg)
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
![Page 46: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/46.jpg)
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi,
te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
![Page 47: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/47.jpg)
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
![Page 48: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/48.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer.
Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
![Page 49: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/49.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3.
Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
![Page 50: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/50.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3
je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
![Page 51: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/51.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3
definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
![Page 52: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/52.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
![Page 53: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/53.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
![Page 54: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/54.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
![Page 55: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/55.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
![Page 56: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/56.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
![Page 57: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/57.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
![Page 58: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/58.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
![Page 59: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/59.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
![Page 60: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/60.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
![Page 61: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/61.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
![Page 62: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/62.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
![Page 63: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/63.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
![Page 64: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/64.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
![Page 65: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/65.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
![Page 66: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/66.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer.
Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
![Page 67: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/67.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3,
te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
![Page 68: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/68.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.
Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
![Page 69: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/69.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0.
Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
![Page 70: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/70.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3
definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
![Page 71: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/71.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2
kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
![Page 72: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/72.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a
sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
![Page 73: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/73.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s
koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
![Page 74: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/74.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
![Page 75: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/75.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
![Page 76: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/76.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
![Page 77: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/77.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
![Page 78: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/78.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
![Page 79: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/79.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
![Page 80: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/80.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
![Page 81: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/81.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
![Page 82: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/82.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer.
Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
![Page 83: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/83.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija,
pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
![Page 84: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/84.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.
Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
![Page 85: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/85.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f
je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
![Page 86: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/86.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2
definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
![Page 87: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/87.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
![Page 88: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/88.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
![Page 89: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/89.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
![Page 90: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/90.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
![Page 91: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/91.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
![Page 92: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/92.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
![Page 93: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/93.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer.
Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
![Page 94: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/94.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R,
neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
![Page 95: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/95.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor,
te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
![Page 96: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/96.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori.
Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
![Page 97: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/97.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3
definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
![Page 98: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/98.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
![Page 99: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/99.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
![Page 100: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/100.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
![Page 101: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/101.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
![Page 102: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/102.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
![Page 103: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/103.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
![Page 104: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/104.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
![Page 105: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/105.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
![Page 106: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/106.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
![Page 107: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/107.jpg)
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom,
a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
![Page 108: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/108.jpg)
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište,
paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
![Page 109: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/109.jpg)
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
![Page 110: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/110.jpg)
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k =
(a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
![Page 111: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/111.jpg)
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
![Page 112: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/112.jpg)
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
![Page 113: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/113.jpg)
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
![Page 114: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/114.jpg)
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
![Page 115: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/115.jpg)
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
![Page 116: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/116.jpg)
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
![Page 117: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/117.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) =
lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 118: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/118.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
=
lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 119: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/119.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 120: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/120.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 121: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/121.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 122: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/122.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 123: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/123.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 124: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/124.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 125: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/125.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 126: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/126.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 127: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/127.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 128: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/128.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija.
Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 129: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/129.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija.
Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 130: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/130.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) =
limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 131: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/131.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = lim
prije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 132: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/132.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni put
proteklo vrijeme=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 133: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/133.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 134: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/134.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 135: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/135.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
![Page 136: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/136.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija.
Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor brzine ili tangencijalni vektor krivulje r u tocki r(t), dokse skalar |r(t)| naziva skalarna brzina krivulje r u tocki r(t).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 13 / 43
![Page 137: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/137.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja.
Vektor r(t)naziva se vektor brzine ili tangencijalni vektor krivulje r u tocki r(t), dokse skalar |r(t)| naziva skalarna brzina krivulje r u tocki r(t).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 13 / 43
![Page 138: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/138.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor brzine
ili tangencijalni vektor krivulje r u tocki r(t), dokse skalar |r(t)| naziva skalarna brzina krivulje r u tocki r(t).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 13 / 43
![Page 139: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/139.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor brzine ili tangencijalni vektor krivulje r u tocki r(t),
dokse skalar |r(t)| naziva skalarna brzina krivulje r u tocki r(t).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 13 / 43
![Page 140: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/140.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor brzine ili tangencijalni vektor krivulje r u tocki r(t), dokse skalar |r(t)| naziva skalarna brzina krivulje r u tocki r(t).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 13 / 43
![Page 141: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/141.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) =
lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
![Page 142: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/142.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
=
lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
![Page 143: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/143.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
![Page 144: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/144.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
![Page 145: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/145.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
![Page 146: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/146.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
![Page 147: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/147.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
![Page 148: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/148.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
![Page 149: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/149.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
![Page 150: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/150.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
![Page 151: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/151.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
![Page 152: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/152.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
![Page 153: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/153.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija.
Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
![Page 154: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/154.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
![Page 155: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/155.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
![Page 156: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/156.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
![Page 157: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/157.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija.
Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor akceleracije krivulje r u tocki r(t).
Uocimo: velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju, jerna vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje, a ne samokomponenta skalarne akceleracije.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 15 / 43
![Page 158: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/158.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja.
Vektor r(t)naziva se vektor akceleracije krivulje r u tocki r(t).
Uocimo: velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju, jerna vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje, a ne samokomponenta skalarne akceleracije.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 15 / 43
![Page 159: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/159.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor akceleracije krivulje r u tocki r(t).
Uocimo: velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju, jerna vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje, a ne samokomponenta skalarne akceleracije.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 15 / 43
![Page 160: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/160.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor akceleracije krivulje r u tocki r(t).
Uocimo:
velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju, jerna vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje, a ne samokomponenta skalarne akceleracije.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 15 / 43
![Page 161: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/161.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor akceleracije krivulje r u tocki r(t).
Uocimo: velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju,
jerna vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje, a ne samokomponenta skalarne akceleracije.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 15 / 43
![Page 162: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/162.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor akceleracije krivulje r u tocki r(t).
Uocimo: velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju, jerna vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje,
a ne samokomponenta skalarne akceleracije.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 15 / 43
![Page 163: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/163.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor akceleracije krivulje r u tocki r(t).
Uocimo: velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju, jerna vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje, a ne samokomponenta skalarne akceleracije.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 15 / 43
![Page 164: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/164.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija.
Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 165: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/165.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja.
Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 166: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/166.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I
ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 167: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/167.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0.
U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 168: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/168.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t.
Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 169: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/169.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I ,
onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 170: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/170.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 171: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/171.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija.
Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 172: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/172.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 173: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/173.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki
- brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 174: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/174.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 175: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/175.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki
- brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 176: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/176.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula,
tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 177: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/177.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila,
pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 178: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/178.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 179: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/179.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji)
-cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 180: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/180.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,
singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 181: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/181.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji
- cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 182: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/182.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
![Page 183: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/183.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija.
Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
![Page 184: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/184.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
![Page 185: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/185.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki -
tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
![Page 186: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/186.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0),
pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
![Page 187: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/187.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,
u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
![Page 188: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/188.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki -
tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
![Page 189: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/189.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor,
pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
![Page 190: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/190.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti
(ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
![Page 191: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/191.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
![Page 192: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/192.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti -
singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
![Page 193: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/193.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,
ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
![Page 194: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/194.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti -
singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
![Page 195: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/195.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
![Page 196: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/196.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer.
Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 197: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/197.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja:
a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 198: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/198.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6),
b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 199: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/199.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).
Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 200: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/200.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje.
Za navedene krivulje vrijedi:
a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 201: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/201.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:
a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 202: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/202.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a)
r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 203: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/203.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) =
(3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 204: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/204.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5)
= 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 205: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/205.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0
⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 206: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/206.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t =
0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 207: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/207.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 208: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/208.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 209: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/209.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 210: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/210.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 211: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/211.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 212: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/212.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 213: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/213.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 214: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/214.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 215: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/215.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 216: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/216.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 217: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/217.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b)
r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 218: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/218.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) =
(3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 219: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/219.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t)
= 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 220: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/220.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0
⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 221: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/221.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t =
0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 222: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/222.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 223: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/223.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 224: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/224.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 225: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/225.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 226: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/226.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 227: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/227.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 228: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/228.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 229: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/229.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 230: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/230.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 231: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/231.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 232: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/232.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 233: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/233.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 234: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/234.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji
(tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 235: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/235.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),
druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 236: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/236.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji
(tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 237: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/237.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
![Page 238: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/238.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija.
Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 239: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/239.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja.
Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 240: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/240.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I
ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 241: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/241.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0.
U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 242: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/242.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t.
Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 243: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/243.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I ,
onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 244: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/244.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 245: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/245.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti.
Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 246: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/246.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 247: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/247.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t
ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 248: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/248.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 249: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/249.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t
ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 250: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/250.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0
⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 251: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/251.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 i
r(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 252: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/252.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 i
r(t) /‖r(t)Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 253: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/253.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 254: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/254.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 255: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/255.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 256: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/256.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
![Page 257: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/257.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Fizikalna interpretacija.
U tocki bisingulariteta t mora vrijediti baremjedno od sljedeceg:
cestica se zaustavila (r(t) = 0),nema zakrivljenosti ni akceleracije (r(t) = 0),nema samo zakrivljenosti (r(t)‖r(t)).
Neformalnije mozemo reci da parametrizacija krivulje ima bisingularitete u"špicevima" i na ravnim dijelovima krivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 20 / 43
![Page 258: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/258.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Fizikalna interpretacija. U tocki bisingulariteta t mora vrijediti baremjedno od sljedeceg:
cestica se zaustavila (r(t) = 0),nema zakrivljenosti ni akceleracije (r(t) = 0),nema samo zakrivljenosti (r(t)‖r(t)).
Neformalnije mozemo reci da parametrizacija krivulje ima bisingularitete u"špicevima" i na ravnim dijelovima krivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 20 / 43
![Page 259: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/259.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Fizikalna interpretacija. U tocki bisingulariteta t mora vrijediti baremjedno od sljedeceg:
cestica se zaustavila (r(t) = 0),
nema zakrivljenosti ni akceleracije (r(t) = 0),nema samo zakrivljenosti (r(t)‖r(t)).
Neformalnije mozemo reci da parametrizacija krivulje ima bisingularitete u"špicevima" i na ravnim dijelovima krivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 20 / 43
![Page 260: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/260.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Fizikalna interpretacija. U tocki bisingulariteta t mora vrijediti baremjedno od sljedeceg:
cestica se zaustavila (r(t) = 0),nema zakrivljenosti ni akceleracije (r(t) = 0),
nema samo zakrivljenosti (r(t)‖r(t)).Neformalnije mozemo reci da parametrizacija krivulje ima bisingularitete u"špicevima" i na ravnim dijelovima krivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 20 / 43
![Page 261: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/261.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Fizikalna interpretacija. U tocki bisingulariteta t mora vrijediti baremjedno od sljedeceg:
cestica se zaustavila (r(t) = 0),nema zakrivljenosti ni akceleracije (r(t) = 0),nema samo zakrivljenosti (r(t)‖r(t)).
Neformalnije mozemo reci da parametrizacija krivulje ima bisingularitete u"špicevima" i na ravnim dijelovima krivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 20 / 43
![Page 262: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/262.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Fizikalna interpretacija. U tocki bisingulariteta t mora vrijediti baremjedno od sljedeceg:
cestica se zaustavila (r(t) = 0),nema zakrivljenosti ni akceleracije (r(t) = 0),nema samo zakrivljenosti (r(t)‖r(t)).
Neformalnije mozemo reci da parametrizacija krivulje ima bisingularitete u"špicevima"
i na ravnim dijelovima krivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 20 / 43
![Page 263: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/263.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Fizikalna interpretacija. U tocki bisingulariteta t mora vrijediti baremjedno od sljedeceg:
cestica se zaustavila (r(t) = 0),nema zakrivljenosti ni akceleracije (r(t) = 0),nema samo zakrivljenosti (r(t)‖r(t)).
Neformalnije mozemo reci da parametrizacija krivulje ima bisingularitete u"špicevima" i na ravnim dijelovima krivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 20 / 43
![Page 264: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/264.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer.
Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 265: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/265.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3.
Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 266: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/266.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja:
a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 267: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/267.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,
b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 268: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/268.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.
Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 269: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/269.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje.
Za navedene krivulje vrijedi:
a) r(t) = b ⇒ regularna ∀tr(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 270: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/270.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:
a) r(t) = b ⇒ regularna ∀tr(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 271: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/271.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a)
r(t) = b ⇒ regularna ∀tr(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 272: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/272.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) =
b ⇒ regularna ∀tr(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 273: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/273.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b
⇒ regularna ∀tr(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 274: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/274.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒
regularna ∀tr(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 275: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/275.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 276: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/276.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) =
0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 277: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/277.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0
⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 278: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/278.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒
bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 279: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/279.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 280: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/280.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 281: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/281.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 282: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/282.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 283: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/283.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 284: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/284.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 285: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/285.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 286: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/286.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒
bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 287: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/287.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 288: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/288.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b)
r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 289: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/289.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) =
3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 290: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/290.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b
⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 291: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/291.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒
regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 292: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/292.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0
r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 293: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/293.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) =
6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 294: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/294.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb
⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 295: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/295.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒
bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 296: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/296.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 297: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/297.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 298: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/298.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 299: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/299.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 300: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/300.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 301: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/301.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 302: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/302.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 303: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/303.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 304: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/304.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 305: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/305.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 306: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/306.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒
bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 307: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/307.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti,
iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 308: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/308.jpg)
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
![Page 309: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/309.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo:
dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 310: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/310.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 311: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/311.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer.
Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 312: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/312.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 313: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/313.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)
r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 314: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/314.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 315: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/315.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 316: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/316.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 317: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/317.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 318: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/318.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 319: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/319.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 320: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/320.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 321: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/321.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 322: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/322.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 323: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/323.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 324: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/324.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 325: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/325.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 326: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/326.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 327: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/327.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 328: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/328.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 329: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/329.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 330: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/330.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 331: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/331.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 332: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/332.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 333: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/333.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 334: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/334.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 335: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/335.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 336: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/336.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 337: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/337.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 338: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/338.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 339: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/339.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 340: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/340.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 341: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/341.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 342: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/342.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 343: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/343.jpg)
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
![Page 344: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/344.jpg)
Parametrizirana krivulja
6= brzina 6= put 6= orijentacija
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 23 / 43
![Page 345: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/345.jpg)
Parametrizirana krivulja
Obzirom na fizikalnu interpretaciju,
ovo znaci da cestica po istom tragu(tj. slici krivulje) moze:
ici razlicitom brzinom,
napraviti razlicit put,
ici suprotnim smjerom.
One parametrizacije koje se razlikuju samo u brzini kojom cestica putujepo tragu nazivat cemo ekvivalentnim parametrizacijama.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 24 / 43
![Page 346: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/346.jpg)
Parametrizirana krivulja
Obzirom na fizikalnu interpretaciju, ovo znaci da cestica po istom tragu(tj. slici krivulje) moze:
ici razlicitom brzinom,
napraviti razlicit put,
ici suprotnim smjerom.
One parametrizacije koje se razlikuju samo u brzini kojom cestica putujepo tragu nazivat cemo ekvivalentnim parametrizacijama.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 24 / 43
![Page 347: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/347.jpg)
Parametrizirana krivulja
Obzirom na fizikalnu interpretaciju, ovo znaci da cestica po istom tragu(tj. slici krivulje) moze:
ici razlicitom brzinom,
napraviti razlicit put,
ici suprotnim smjerom.
One parametrizacije koje se razlikuju samo u brzini kojom cestica putujepo tragu nazivat cemo ekvivalentnim parametrizacijama.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 24 / 43
![Page 348: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/348.jpg)
Parametrizirana krivulja
Obzirom na fizikalnu interpretaciju, ovo znaci da cestica po istom tragu(tj. slici krivulje) moze:
ici razlicitom brzinom,
napraviti razlicit put,
ici suprotnim smjerom.
One parametrizacije koje se razlikuju samo u brzini kojom cestica putujepo tragu nazivat cemo ekvivalentnim parametrizacijama.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 24 / 43
![Page 349: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/349.jpg)
Parametrizirana krivulja
Obzirom na fizikalnu interpretaciju, ovo znaci da cestica po istom tragu(tj. slici krivulje) moze:
ici razlicitom brzinom,
napraviti razlicit put,
ici suprotnim smjerom.
One parametrizacije koje se razlikuju samo u brzini kojom cestica putujepo tragu nazivat cemo ekvivalentnim parametrizacijama.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 24 / 43
![Page 350: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/350.jpg)
Parametrizirana krivulja
Obzirom na fizikalnu interpretaciju, ovo znaci da cestica po istom tragu(tj. slici krivulje) moze:
ici razlicitom brzinom,
napraviti razlicit put,
ici suprotnim smjerom.
One parametrizacije koje se razlikuju samo u brzini kojom cestica putujepo tragu
nazivat cemo ekvivalentnim parametrizacijama.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 24 / 43
![Page 351: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/351.jpg)
Parametrizirana krivulja
Obzirom na fizikalnu interpretaciju, ovo znaci da cestica po istom tragu(tj. slici krivulje) moze:
ici razlicitom brzinom,
napraviti razlicit put,
ici suprotnim smjerom.
One parametrizacije koje se razlikuju samo u brzini kojom cestica putujepo tragu nazivat cemo ekvivalentnim parametrizacijama.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 24 / 43
![Page 352: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/352.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija.
Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
![Page 353: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/353.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.
Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
![Page 354: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/354.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne
ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
![Page 355: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/355.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I
takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
![Page 356: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/356.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J.
Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
![Page 357: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/357.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne,
onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
![Page 358: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/358.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
![Page 359: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/359.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
![Page 360: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/360.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒
˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
![Page 361: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/361.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
![Page 362: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/362.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
![Page 363: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/363.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
![Page 364: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/364.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
![Page 365: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/365.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
![Page 366: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/366.jpg)
Parametrizirana krivulja
Obzirom na s = v · t
(s = put, v = brzina, t = vrijeme), definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt
naziva se duljina luka krivulje r od a do b.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 26 / 43
![Page 367: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/367.jpg)
Parametrizirana krivulja
Obzirom na s = v · t (s = put, v = brzina, t = vrijeme),
definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt
naziva se duljina luka krivulje r od a do b.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 26 / 43
![Page 368: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/368.jpg)
Parametrizirana krivulja
Obzirom na s = v · t (s = put, v = brzina, t = vrijeme), definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt
naziva se duljina luka krivulje r od a do b.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 26 / 43
![Page 369: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/369.jpg)
Parametrizirana krivulja
Obzirom na s = v · t (s = put, v = brzina, t = vrijeme), definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.
Definicija.
Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt
naziva se duljina luka krivulje r od a do b.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 26 / 43
![Page 370: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/370.jpg)
Parametrizirana krivulja
Obzirom na s = v · t (s = put, v = brzina, t = vrijeme), definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja,
te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt
naziva se duljina luka krivulje r od a do b.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 26 / 43
![Page 371: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/371.jpg)
Parametrizirana krivulja
Obzirom na s = v · t (s = put, v = brzina, t = vrijeme), definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I .
Broj s(a, b) definiran sa
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt
naziva se duljina luka krivulje r od a do b.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 26 / 43
![Page 372: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/372.jpg)
Parametrizirana krivulja
Obzirom na s = v · t (s = put, v = brzina, t = vrijeme), definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt
naziva se duljina luka krivulje r od a do b.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 26 / 43
![Page 373: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/373.jpg)
Parametrizirana krivulja
Obzirom na s = v · t (s = put, v = brzina, t = vrijeme), definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt
naziva se duljina luka krivulje r od a do b.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 26 / 43
![Page 374: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/374.jpg)
Parametrizirana krivulja
Obzirom na s = v · t (s = put, v = brzina, t = vrijeme), definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt
naziva se duljina luka krivulje r od a do b.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 26 / 43
![Page 375: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/375.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija.
Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 376: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/376.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.
Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 377: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/377.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz.
Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 378: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/378.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.
Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 379: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/379.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒
˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 380: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/380.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt =
r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 381: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/381.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 382: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/382.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒
ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 383: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/383.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒
{ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 384: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/384.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 385: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/385.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 386: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/386.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt =
d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 387: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/387.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 388: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/388.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 389: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/389.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = du
t c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 390: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/390.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 391: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/391.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 392: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/392.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du.
QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 393: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/393.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
![Page 394: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/394.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.
Napomena.
Svojstvo krivulje koje ne ovisi o reparametrizaciji naziva seunutarnje svojstvo krivulje. Dakle, duljina luka je unutarnje svojstvokrivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 28 / 43
![Page 395: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/395.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.
Napomena. Svojstvo krivulje koje ne ovisi o reparametrizaciji naziva seunutarnje svojstvo krivulje.
Dakle, duljina luka je unutarnje svojstvokrivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 28 / 43
![Page 396: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/396.jpg)
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.
Napomena. Svojstvo krivulje koje ne ovisi o reparametrizaciji naziva seunutarnje svojstvo krivulje. Dakle, duljina luka je unutarnje svojstvokrivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 28 / 43
![Page 397: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/397.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I ,
to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 =
brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t =
proteklo vrijeme = prije�eni put
= s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
![Page 398: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/398.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom,
pa imamo:
1 =
brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t =
proteklo vrijeme = prije�eni put
= s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
![Page 399: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/399.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 =
brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t =
proteklo vrijeme = prije�eni put
= s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
![Page 400: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/400.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 =
brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t =
proteklo vrijeme = prije�eni put
= s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
![Page 401: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/401.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t =
proteklo vrijeme = prije�eni put
= s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
![Page 402: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/402.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t =
proteklo vrijeme = prije�eni put
= s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
![Page 403: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/403.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t =
proteklo vrijeme = prije�eni put
= s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem
(tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
![Page 404: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/404.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t =
proteklo vrijeme = prije�eni put
= s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
![Page 405: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/405.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t = proteklo vrijeme = prije�eni put
= s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
![Page 406: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/406.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t = proteklo vrijeme = prije�eni put = s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
![Page 407: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/407.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t = proteklo vrijeme = prije�eni put = s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena.
Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
![Page 408: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/408.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t = proteklo vrijeme = prije�eni put = s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
![Page 409: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/409.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t = proteklo vrijeme = prije�eni put = s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s,
opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
![Page 410: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/410.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t = proteklo vrijeme = prije�eni put = s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
![Page 411: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/411.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t = proteklo vrijeme = prije�eni put = s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′,
derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
![Page 412: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/412.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t = proteklo vrijeme = prije�eni put = s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
![Page 413: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/413.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija.
Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
![Page 414: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/414.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka
ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
![Page 415: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/415.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom
ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
![Page 416: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/416.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
![Page 417: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/417.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,
tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
![Page 418: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/418.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
![Page 419: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/419.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
![Page 420: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/420.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =
b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
![Page 421: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/421.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt =
(t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
![Page 422: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/422.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba=
b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
![Page 423: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/423.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
![Page 424: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/424.jpg)
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
![Page 425: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/425.jpg)
Parametrizirana krivulja
Pitanje.
Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
![Page 426: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/426.jpg)
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
![Page 427: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/427.jpg)
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
![Page 428: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/428.jpg)
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna
(jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
![Page 429: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/429.jpg)
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),
za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
![Page 430: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/430.jpg)
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
![Page 431: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/431.jpg)
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒
˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
![Page 432: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/432.jpg)
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
![Page 433: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/433.jpg)
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
![Page 434: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/434.jpg)
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo:
ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
![Page 435: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/435.jpg)
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
![Page 436: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/436.jpg)
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
![Page 437: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/437.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem.
Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 438: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/438.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.
Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 439: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/439.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz.
Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 440: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/440.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja
i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 441: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/441.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .
Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 442: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/442.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 443: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/443.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du
⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 444: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/444.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) =
|r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 445: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/445.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 446: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/446.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija
s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 447: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/447.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).
Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 448: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/448.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)
=1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 449: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/449.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 450: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/450.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒
| ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 451: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/451.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =
∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 452: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/452.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ =
|r(t)| 1|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 453: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/453.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| =
1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 454: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/454.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1.
QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 455: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/455.jpg)
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
![Page 456: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/456.jpg)
Parametrizirana krivulja
Dakle, zakljucujemo sljedece:
svaka regularna krivulja se sigurno moze reparametrizirati prirodnimparametrom,
svaka neregularna krivulja se sigurno ne moze reparametriziratiprirodnim parametrom.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 33 / 43
![Page 457: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/457.jpg)
Parametrizirana krivulja
Dakle, zakljucujemo sljedece:
svaka regularna krivulja se sigurno moze reparametrizirati prirodnimparametrom,
svaka neregularna krivulja se sigurno ne moze reparametriziratiprirodnim parametrom.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 33 / 43
![Page 458: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/458.jpg)
Parametrizirana krivulja
Dakle, zakljucujemo sljedece:
svaka regularna krivulja se sigurno moze reparametrizirati prirodnimparametrom,
svaka neregularna krivulja se sigurno ne moze reparametriziratiprirodnim parametrom.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 33 / 43
![Page 459: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/459.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
![Page 460: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/460.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
![Page 461: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/461.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
![Page 462: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/462.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
![Page 463: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/463.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
![Page 464: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/464.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje.
Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
![Page 465: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/465.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati,
tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
![Page 466: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/466.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
![Page 467: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/467.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C
- (globalna) parametrizacija,
r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
![Page 468: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/468.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,
r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
![Page 469: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/469.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C
- lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
![Page 470: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/470.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
![Page 471: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/471.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ravninska krivulja.
Neka je f : I → R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R
interval. Tada:
eksplicitno zadanom ravninska krivulja je
C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,
eksplicitna jednadzba krivulje C je y = f (x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 35 / 43
![Page 472: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/472.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je f : I → R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R
interval.
Tada:
eksplicitno zadanom ravninska krivulja je
C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,
eksplicitna jednadzba krivulje C je y = f (x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 35 / 43
![Page 473: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/473.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je f : I → R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R
interval. Tada:
eksplicitno zadanom ravninska krivulja je
C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,
eksplicitna jednadzba krivulje C je y = f (x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 35 / 43
![Page 474: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/474.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je f : I → R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R
interval. Tada:
eksplicitno zadanom ravninska krivulja je
C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,
eksplicitna jednadzba krivulje C je y = f (x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 35 / 43
![Page 475: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/475.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je f : I → R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R
interval. Tada:
eksplicitno zadanom ravninska krivulja je
C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,
eksplicitna jednadzba krivulje C je y = f (x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 35 / 43
![Page 476: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/476.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je f : I → R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R
interval. Tada:
eksplicitno zadanom ravninska krivulja je
C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,
eksplicitna jednadzba krivulje C je y = f (x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 35 / 43
![Page 477: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/477.jpg)
Parametrizirana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je f : I → R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R
interval. Tada:
eksplicitno zadanom ravninska krivulja je
C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,
eksplicitna jednadzba krivulje C je y = f (x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 35 / 43
![Page 478: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/478.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja.
Neka su f , g : I → R glatke funkcije, pri cemu jeI ⊆ R interval. Tada:
eksplicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,
eksplicitna jednadzba krivulje C je sustav y = f (x), z = g(x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 36 / 43
![Page 479: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/479.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su f , g : I → R glatke funkcije, pri cemu jeI ⊆ R interval.
Tada:
eksplicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,
eksplicitna jednadzba krivulje C je sustav y = f (x), z = g(x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 36 / 43
![Page 480: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/480.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su f , g : I → R glatke funkcije, pri cemu jeI ⊆ R interval. Tada:
eksplicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,
eksplicitna jednadzba krivulje C je sustav y = f (x), z = g(x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 36 / 43
![Page 481: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/481.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su f , g : I → R glatke funkcije, pri cemu jeI ⊆ R interval. Tada:
eksplicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,
eksplicitna jednadzba krivulje C je sustav y = f (x), z = g(x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 36 / 43
![Page 482: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/482.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su f , g : I → R glatke funkcije, pri cemu jeI ⊆ R interval. Tada:
eksplicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,
eksplicitna jednadzba krivulje C je sustav y = f (x), z = g(x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 36 / 43
![Page 483: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/483.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su f , g : I → R glatke funkcije, pri cemu jeI ⊆ R interval. Tada:
eksplicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,
eksplicitna jednadzba krivulje C je sustav y = f (x), z = g(x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 36 / 43
![Page 484: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/484.jpg)
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su f , g : I → R glatke funkcije, pri cemu jeI ⊆ R interval. Tada:
eksplicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,
eksplicitna jednadzba krivulje C je sustav y = f (x), z = g(x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 36 / 43
![Page 485: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/485.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
![Page 486: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/486.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja.
Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
![Page 487: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/487.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2.
Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
![Page 488: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/488.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
![Page 489: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/489.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
![Page 490: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/490.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
![Page 491: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/491.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem.
Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
![Page 492: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/492.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0.
Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
![Page 493: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/493.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0,
onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
![Page 494: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/494.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T
i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
![Page 495: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/495.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
![Page 496: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/496.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
![Page 497: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/497.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena.
Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
![Page 498: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/498.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
![Page 499: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/499.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer.
Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
![Page 500: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/500.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.
Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
![Page 501: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/501.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje.
Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
![Page 502: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/502.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) =
x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
![Page 503: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/503.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1
slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
![Page 504: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/504.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) =
(2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
![Page 505: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/505.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y)
= 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
![Page 506: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/506.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔
T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
![Page 507: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/507.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
![Page 508: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/508.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke.
QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
![Page 509: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/509.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
![Page 510: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/510.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena.
Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
![Page 511: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/511.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
![Page 512: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/512.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer.
Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
![Page 513: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/513.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2),
pricemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
![Page 514: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/514.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta,
(lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
![Page 515: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/515.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!
Rješenje. Iz F (x , y) =(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
![Page 516: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/516.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje.
Iz F (x , y) =(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
![Page 517: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/517.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
![Page 518: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/518.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2)
slijedi
gradF (T ) = (4x(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
![Page 519: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/519.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) =
(4x(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
![Page 520: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/520.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y)
= 0⇔ . . .⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
![Page 521: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/521.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔
T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
![Page 522: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/522.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
![Page 523: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/523.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati,
pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
![Page 524: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/524.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta.
QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
![Page 525: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/525.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
![Page 526: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/526.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena.
Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
![Page 527: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/527.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
![Page 528: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/528.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
kruznica lemniskata
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 40 / 43
![Page 529: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/529.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
![Page 530: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/530.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja.
Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
![Page 531: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/531.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3.
Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
![Page 532: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/532.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
![Page 533: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/533.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
![Page 534: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/534.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
![Page 535: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/535.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem.
Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
![Page 536: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/536.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
![Page 537: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/537.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
![Page 538: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/538.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T
i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
![Page 539: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/539.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
![Page 540: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/540.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
![Page 541: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/541.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer.
Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 542: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/542.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.
Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 543: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/543.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje.
Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 544: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/544.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) =
x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 545: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/545.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2
G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒gradF (T ) = 2(x , y , z)
gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 546: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/546.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) =
(x − a)2 + y2 − a2 ⇒gradF (T ) = 2(x , y , z)
gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 547: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/547.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2
⇒ gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 548: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/548.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) =
2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 549: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/549.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)
gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 550: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/550.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) =
2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 551: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/551.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 552: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/552.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) =
4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 553: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/553.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ =
4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔
⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 554: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/554.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay)
= 0⇔
⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 555: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/555.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔
T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 556: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/556.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 557: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/557.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C ,
pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 558: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/558.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0).
QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 559: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/559.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
![Page 560: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/560.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Vivianijevi prozori
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 43 / 43
![Page 561: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/561.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Vivianijevi prozori
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 43 / 43
![Page 562: De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071421/611afd85b3138956815dd7c7/html5/thumbnails/562.jpg)
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Vivianijevi prozori
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 43 / 43