Funkcje tworzące są wygodnym narzędziem przy badaniu zmiennych losowych o wartościach całkowitych nieujemnych. Funkcje tworzące pierwszy raz badał de Moivre. Euler używał ich intensywnie do badania problemów z teorii liczb.

Def. Funkcją tworzącą ciągu liczbowego (pj), j=0,1,… nazywamy funkcję :

, jeśli tylko powyższy szereg potęgowy jest zbiezny w niepustym przedziale (-a,a).

Gdy X jest zmienną losową o wartościach całkowitych nieujemnych i o rozkładzie P(X = j) = pj , j=0,1,… to funkcję tworzącą ciągu (pj) nazywamy funkcją tworzącą zmiennej losowej X i oznaczamy gX. Z definicji wynika natychmiast, że gX(s)=EsX. Oczywiście funkcja tworząca zależy tylko od rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej.

>j = 0

N

pj$ sj , s e (K a, a )(1 )

• Funkcja tworząca jest dobrze określona co najmniej dla , bowiem z oszacowania :

wynika wtedy bezwględna zbieżność szeregu (1).

Dla |s| < 1 pierwsze dwie pochodne wynoszą :

a ogólnie :

Stąd dla s = 0 mamy :

>j = 0

N

pj$ |s| j # >j = 0

N

pj = 1

|s|# 1

gX' (s ) = >

j = 1

N

j$pj$sjK 1 , g"

X (s ) = >j = 2

N

j$( jK 1 )$pj$ sjK 2 (2 )

gX( n ) (s ) = >

j = n

Nj !

( jK n ) !$pj$s

jK n .

pn = gX

( n ) (0 )

n !

• Udowodniliśmy zatem następujące :

• Twierdzenie : Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej o wartościach całkowitych nieujemnych jest jednoznacznie wyznaczony przez funkcję tworzącą.

• Powróćmy do wzoru (2). Jeśli EX < N, to szereg definiujący pierwszą pochodną jest zbieżny dla s = 1. Na mocy twierdzenia Abela mamy wtedy :

Jeśli EX = N, to szereg jest rozbieżny, ale i

Można zatem przyjąć dopuszczając wartość N.

Otrzymujemy wtedy po prostu :

Podobnie :

lims / 1 K

gX' (s ) = >

j = 1

N

j$pj = EX

>j = 1

N

j$pj lims / 1 K

gX' (s ) = N

gX' (1 ) = lim

s / 1 KgX

' (s )

EX = gX' (1 )

EX (X K 1) = gX" (1 )

(3 )

(4 )

• Jeżeli EX2 < N, to z (3) i (4) otrzymujemy :

• Przykład : Niech X ma rozkład geometryczny P(X = j) = qj p , gdzie j = 0,1… Wtedy :

Stąd :

i

D2X = gX' (1 ) C gX

" (1 )K 2gX' (1 )32

gX (s ) = >j = 0

N

p (qs ) j = p

1K qs

D2X = q

p2

gX' (1 ) =

qp

= EX

Funkcja tworząca sumy niezależnych składników

• Z zależności gX(s) = EsX wynika następujące :

• Twierdzenie : Jeżeli X1, X2, …, Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi o

funkcjach tworzących g1, g2, …, gn, to suma X1 + X2 + … + Xn ma funkcję

tworzącą :

• D o w ó d. Ponieważ X1, X2, …, Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi, to

zmienne losowe sXi , i = 1,2,...,n są niezależne i

g X1 + X2 + … + Xn (s) = EsX1 + X2 + … + Xn =

,ale gXi(s) = EsXi , zatem g X1 + X2 + … + Xn (s) =

?i = 1

n

gi

?i = 1

n

EsXi

?i = 1

n

gi

• Twierdzenie : Jeśli X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o funkcjach tworzących g1, g2 , , to P(X-Y = k) jest równe współczynnikowi przy sk w funkcji g1(s)g2(1/s).

• D o w ó d. Mamy

Obliczmy wyraz z sk. Dla k >= 0 ma on postać :

Dla k < 0 rachunki są podobne.

g1 (s )g2 (1 /s ) = >k = 0

N

pksk $ >

l = 0

N

blsK l

>l = 0

N

pk C lsk C lbls

K l = sk $>l = 0

N

P (X = k C l) $P (Y = l) =

= sk $>l = 0

N

P(X = k C l, Y = l) = sk $P (X K Y = k ) .

• Przykład. Obliczymy prawdopodobieństwo, że liczba całkowita wylosowana ze zbioru liczb od 000000 do 999999 będzie miała sumę pierwszych trzech cyfr równą sumie ostatnich trzech cyfr.

Jeśli X = X1 + X2 + X3 będzie sumą pierwszych trzech cyfr, a Y = Y1 + Y2 + Y3 będzie sumą ostatnich trzech cyfr, to

gx(s)gy(1/s) = 10-6s-27(1-s10)6(1-s)-6 .

Zatem współczynnik przy s0 jest równy :

0032271 K 06

11$022171C 0

611$0

127 11$10K 6 z 0, 05525