definiciÓn de derivada.pdf
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Hasta el momento, de una función expresada
algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:
• Dominio
• Cortes de la gráfica con el eje X y el eje Y
•Continuidad
•Asíntotas y ramas parabólicas
Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer:
• Intervalos de crecimiento / decrecimiento
• Máximos y mínimos relativos
Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS
La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos
mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas
tangentes:
LA IMPORTANCIA DE LAS TANGENTES
m=0
m=0
m<0
m>0m<0 En los puntos de
máximo o mínimo, la
recta tangente es
horizontal ( es decir,
la pendiente es 0)
En los tramos de
crecimiento la recta
tangente tiene pendiente
positiva, en los de
decrecimiento la tiene
negativa.
Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a.
y=-3/2x-24
y=-4
y=3
y=1,2x+1,5
y=-1,3x+13
La derivada de la función f en a se denota con el
símbolo f ‘ (a), que se lee “f prima de a”
f ’( -4.5)= -3/2 porque la tangente
en el punto de abscisa 4.5 tiene
pendiente -3/2.
f ’(-2)= 0 f ’(4)=0
f ’(2)=1,2 f’(6)=-1,3
Conocidos dos puntos de
la recta tangente puedo
calcular su ecuación.
(1,-1)
(3,2) y=mx+n
Pasa por (1,-1)
-1=m+n
Pasa por (3,2)
2=m·3+n
Resolviendo el sistema:
y= 3/2 x - 5/2
De esta manera f ’(3)=3/2
¿Cómo calcular la recta tangente en un punto?
Lo anterior es muy largo
pues lo único que me
interesa saber es la “m”.
Para calcularla hay una
manera muy fácil:
(1,-1) )=(x0,y0)
(3,2)=(x1,y1)
De esta manera f ’(3)=3/2
1 0
1 0
2 ( 1) 3
3 1 2
y ym
x x
- - -= = =
- -
¿Cómo calcular la recta tangente en un punto?
Nos proponemos ahora calcular la pendiente de la recta t
tangente en un punto de abscisa x=a. Pero sólo tenemos
el punto de tangencia A de la recta t, y para hallar su
pendiente necesitamos dos puntos. ¿Qué hacer?
Resolvamos la cuestión en varias etapas.
A(a,f(a))
Recta t
Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A de
tangencia, y nos desplazamos hacia la derecha o
izquierda una distancia h. Tenemos así el punto x=a+h
sobre el eje X y su correspondiente punto de la gráfica
P((a+h), f(a+h))
A(a,f(a))
Recta t
a a+h
P(a+h,f(a+h))
A(a,f(a))
Recta t
a a+h
P(a+h,f(a+h))
Calculamos la pendiente de la recta secante AP con las
coordenadas de los dos puntos A y P.
h
f(a+h)-f(a)
( ) ( ) ( ) ( )f a h f a f a h f am
a h a h
+ - + -= =
+ -
A
a a+h
P
h 0
P está muy próximo a A
La secante AP “casi” se confunde con la tangente t
La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t
Ahora bien, el valor de h no puede
ser 0, aunque sí todo lo pequeño
que se quiera. Y aquí interviene el
concepto de límite.
A
a a+h
P
P está muy próximo a A
La secante AP “casi” se confunde con la tangente t
La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t
Así pues la derivada es un número que se obtiene mediante un límite
Calcula la derivada de f(x)=x2/4 para a=2
( )2
22
2 4 4(2 ) 1 0,25
4 4
(2) 1
h h hf h h h
f
ìï + + +ïï + = = = + +ïíïïï =ïî
* La pendiente de la recta tangente
a la función en el punto x=2 es 1,
por lo que la recta tangente a mi
función en x=2 es:
'(2) 1f =f(x)=x2/4
( ) '( )( )y f a f a x a= + -
1 1( 2)y x= + -
1y x= -
* Además como la
derivada es +, esto
indica que cerca de
x=2 la función es
creciente.
(x0,y0) y=y0+m(x-x0)