definición y algoritmo fundamental

5/8/2018 Definición y algoritmo fundamental - slidepdf.com

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Definición y algoritmo fundamental

Considérese dos variables proposicionales A y B.2 Cada una puede tomar uno de dos

valores de verdad: o V (verdadero), o F (falso). Por lo tanto, los valores de verdad de A

y de B pueden combinarse de cuatro maneras distintas: o ambas son verdaderas; o A es

verdadera y B falsa, o A es falsa y B verdadera, o ambas son falsas. Esto puede

expresarse con una tabla simple:

Considérese además a "·" como una operación o función lógica que realiza una función

de verdad al tomar los valores de verdad de A y de B, y devolver un único valor deverdad. Entonces, existen 16 funciones distintas posibles, y es fácil construir una tabla

que muestre qué devuelve cada función frente a las distintas combinaciones de valoresde verdad de A y de B.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

A B A·B A·B A·B A·B A·B A·B A·B A·B A·B A·B A·B A·B A·B A·B A·B A·B

V V V V V V V V V V F F F F F F F F

V F V V V V F F F F V V V V F F F F

F V V V F F V V F F V V F F V V F F

F F V F V F V F V F V F V F V F V F

Las dos primeras columnas de la tabla muestran las cuatro combinaciones posibles de

valores de verdad de A y de B. Hay por lo tanto 4 líneas, y las 16 columnas despliegan

todos los posibles valores que puede devolver una función "·".

De esta forma podemos conocer mecánicamente, mediante algoritmo, los posibles

valores de verdad de cualquier conexión lógica interpretada como función, siempre y

cuando definamos los valores que devuelva la función.

Se hace necesario, pues, definir las funciones que se utilizan en la confección de un

sistema lógico.

De especial relevancia se consideran las definiciones para el Cálculo de deducción

natural y las puertas lógicas en los circuitos electrónicos.

[editar] Definiciones en el cálculo lógico

Artículo principal: Cálculo lógico



Para establecer un Sistema formal se establecen las def iniciones de los operadores. Las

def iniciones se harán en funci n del f in que se pretenda al construir el sistema que haga

posi ble la formali aci n de argumentos:

y Como razonamientos deducti os l gico-lingüísticos

y Como construcci n de un sistema matemático puro

y Como una aplicaci n l gica en un Circuito de conmutaci n.

Los operadores fundamentales se def inen así:

[edi

¡ ¢ £ Negaci ¤ ¥

La negaci n es un operador que opera sobre un único valor deverdad, devolviendo el valor contradictor io de la proposici

n

considerada.

[edi

ar] Conjunci ¤ n

La conjunci n es un operador que opera sobre dos

valores de verdad, tí picamente los valores de verdad dedos proposiciones, devolviendo el valor de verdad

verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas,

y falso en cualquier otro caso.

La tabla de verdad de la conjunci n es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 8 del algor itmo fundamental.

[edi ¦ ar] Di §

̈

unci © n



La disyunci n es un operador que opera

sobre dos valores de verdad, tí picamente los

valores de verdad de dos proposiciones,

devolviendo el valor de verdad verdadero

cuando una de las proposiciones es

verdadera, o cuando ambas lo son, y falso

cuando ambas son falsas.

La tabla de verdad de la disyunci n es la

siguiente:


[edi ar] Implicaci n o Condicional

El condicional mater ial es un

operador que opera sobre dosvalores de verdad, tí picamente

los valores de verdad de dos

proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólocuando la pr imera proposición

es verdadera y la segunda falsa,

y verdadero en cualquier otro

caso.

La tabla de verdad del condicional mater ial es la siguiente:




[edi ar] Bicondicional

El bicondicional o doble

implicación es un operador que

funciona sobre dos valores de

verdad, tí picamente los valores

de verdad de dos proposiciones,devolviendo el valor de verdad

verdadero cuando ambas

proposiciones tienen el mismo

valor de verdad, y falso cuando

sus valores de verdad dif ieren.

La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:

[edi ar] Tablas de verdad

Las tablas nos manif iestan los posi bles valores de verdad de cualquier proposición

molecular, así como el análisis de la misma en función de las proposicíones que laintegran, encontrándonos con los siguientes casos:

[edi ar] Verdad Indeterminada o

Contingencia

Se entiende por verdad contingente, o

verdad de hecho, aquella proposición

que puede ser verdadera o falsa, según

los valores de las proposiciones que la

integran. Sea el caso: .

Su tabla de verdad se construye de la

siguiente manera:

Ocho f ilas que responden a los casos

posi bles que pueden darse según el

valor V o F de cada una de las

proposiciones A, B, C. (Columnas 1, 2, 3)



Una columna (Columna 4) en la que se establecen los valores de aplicando la

def inición del disyuntor a los valores de B y de C en cada una de las f ilas.(Columnas 2,3

4)

Una columna (columna 5) en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la

def inición de la conjunción entre los valores de A(columna 1) y valores de la columna

, (columna 4) que representarán los valores de la proposición completa, cuyo valor de verdad es V o F según la f ila de los valores de A, B, y C

que consideremos. (Columnas 1,4 5)

Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición es V y

cuándo es F.

[editar] Contradicci n

Se entiende por proposición contradictor ia, o contradicción, aquella proposición que entodos los casos posi bles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra

forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que laforman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones de unas con otras. Sea

el caso: [(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C

Procederemos de manera similar al caso anter ior. Aplicamos (Columna 4) la def inición de

conjuntor a los valores de A y B.(columnas 1,2 4) Después aplicamos la def inición de

disyuntor a los valores de A y B. (columnas 1,2 5) Aplicamos en la columna siguiente

(Columna 6) el negador a los valores de la columna anter ior. Aplicamos el conjuntor a los

valores de la columna (A/\B)(Columna 4) con los de la columna ¬(A\/B).(Columna 6) Por

último (Columna 8) aplicamos el conjuntor a los valores de la columna de C (Columna 3)

con la columna última (Columna 7)cuyo resultado nos da los valores de

[(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C, siempre falsos cualquiera que sea la f ila que consideremos.

1 2 3 4 5 6 7

A B C A/\B A\/B ¬(A\/B) (A/\B)/\¬(A\/B) [(A/\B

V V V V V F F

V V F V V F F

V F V F V F F

V F F F V F F

F V V F V F F



F V F F V F F

F F V F F V F

F F F F F V F

[editar] Tautologías

Se entiende por proposición tautológica, o tautología, aquella proposición que en todos

los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su

valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de

la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el

caso: [(AB)/\(BC)] (AC)

Siguiendo la mecánica algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad:

A B C AB BC (AB /\(BC) (AC) [(AB)

V V V V V V VV V F V F F F

V F V F V F V

V F F F V F F

F V V V V V V

F V F V F F V

F F V V V V V

F F F V V V V

.

[editar] Tablas de verdad, proposiciones lógicas y

argumentos deductivos

Artículo principal: Cálculo lógico

En realidad toda la lógica está contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos

manifesta todo lo que implican las relaciones sintácticas entre las diversas

proposiciones.

No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades.

y La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con

más de 4 variables.

Esta dificultad ha sido magníficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no

presenta dificultad alguna.



y Que únicamente será aplicable a un esquema de inferencia, o argumento cuando

la proposición condicionada, como conclusión, sea previamente conocida, al

menos como hi pótesis, hasta comprobar que su tabla de verdad manif iesta una

tautología.

Por ello se construye un cálculo mediante cadenas deductivas:

Las proposiciones que constituyen el antecedente del esquema de inferencia, se toman

como premisas de un argumento.

Se establecen como reglas de cálculo algunas tautologías como tales leyes lógicas, (pues

garantizan, por su carácter tautológico, el valor V).

Se permite la aplicación de dichas reglas como reglas de sustitución de fórmulas bienformadas en las relaciones que puedan establecerse entre dichas premisas.

Deduciendo mediante su aplicación, como teoremas, todas las conclusiones posi bles

que haya contenidas en las premisas.

Cuando en un cálculo se establecen algunas leyes como pr inci pios oaxiomas, el cálculose dice que es axiomático.

El cálculo lógico así puede utilizarse como demostración argumentativa.

[editar] Aplicaciones

[editar] Cálculo l gico

La aplicación fundamental se hace cuando se construye unsistema lógico que modeliza

el lenguaje natural sometiéndolo a unas reglas deformalización del lenguaje. Suaplicación puede verse en el cálculo lógico.

[editar] Lógica de circuitos

Ar tí l o pr i i pal Puer t a l

i

a



Puer tas lógicas para circuitos eléctr icos

Una aplicación impor tante de las tablas de verdad procede del hecho de que,

interpretando los valores lógicos de verdad como 1 y 0 (lógica positiva) en el sentido

que

y valor "1" permite el paso de corr iente eléctr ica; yy valor "0" cor ta el paso de dicha corr iente.

Los valores de entrada o no entrada de corr iente a través de un diodo pueden producir

una salida 0 ó 1 según las condiciones def inidas como función según las tablas

mostradas anter iormente.

Así se establecen las algunas funciones básicas: AND, NAND, OR, NOR, XOR, XNOR (o NXOR), que se corresponden con las funciones def inidas en las columnas 8, 9, 2, 15,

10 y 7 respectivamente, y la función NOT.

En lugar de var iables proposicionales, considerando las posi bles entradas como EA yEB, podemos armar una tabla análoga de 16 funciones como lapresentada arr i ba, con

sus equivalentes en lógica de circuitos.

E

A

E

B

Ver

dad

EA

OR

EB

EA

OR

NO

T

(EB

)

BUF

FER

EA

NOT

(EA)

OR

EB

BUF

FER

EB

EA

XN

OR

EB

EA

AN

D

EB

EA

NA

ND

EB

EA

XO

R

EB

N

O

T

E

B

EA

AND

NOT

(EB)

NOT

(EA)

NOT

(EA)

OR

EB

NO

R

Fa

lso

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Esta aplicación hace posi ble la construcción de aparatos capaces de realizar estas

computaciones a alta velocidad, y la construcción de circuitos que utilizan este ti po deanálisis se hace por medio de puer tas lógicas.

La Tabla de la verdad es una herramienta imprescindi ble en la recuperación de datos en

las bases de datos como Internet con los motores de búsqueda o en una bi blioteca con

sus f icheros informatizados. Así mismo se utilizan para programar simulaciones lógicasde inteligencia ar tif icial con lenguajes propios. También en modelos matemáticos

predictores: meteorología, marketing y otros muchos.

[editar] Desarrollo del algoritmo fundamental en lógica de circuitos

Ar tí ul o pr i! i pal " Forma s canónica s (ál # ebra de Bool e)



Ar tí cul o pr inci pal $ Circuit o de conmut ación

La def inición de la tabla de verdad corresponde a funciones concretas, en cada caso, así

como a implementaciones en cada una de las tecnologías que pueden representar

funciones lógicas en binar io, como las puer tas lógicas o los circuitos de conmutación.

[editar] Caso 1

El pr imer caso en una función lógica que para todas

las posi bles combinaciones de A y B, el resultado

siempre es verdadero, es un caso de tautología, su

implementación en un circuito es una conexión f i ja.

[editar] Caso 2

En este segundo caso el resultado solo es falso si A

y B son falsos, si una de lasdos var iables es cier ta el

resultado es cier to.

La función ser ia:

[editar] Caso 3



En el tercer caso el

resultado es cier to si A es

cier to y cuando A y B son

falsos el resultado también

es cier to.

Su función ser ia:

[editar] Caso 4

En el cuar to caso la función es cier ta si A es cier ta,los posi bles valores de B no inf luyen en el

resultado.

La función solo depende de A:

[editar] Caso 5

En el quinto caso si A es

falso el resultado esverdadero, y si A y B son

verdaderos el resultado

también es verdadero,

puede verse que este caso es

idéntico al tercero

permutando A por B.

Y si función es:

[editar] Caso 6



En el sexto caso la función es cier ta si B es cier ta,

los valores de A no inf luyen en el resultado.

La función solo depende de B:

[editar] Caso 7

El séptimo caso

corresponde a larelación

bicondicional entre A y B, el

resultado solo

es cier to si A y

B son cier tos osi A y B son

falsos.

[editar] Caso 8

En el octavo caso el resultado es cier to

si A y B son cier tos, en el resto de los

valores de A y B el resultado es falso,

corresponde a la conjunción de A y B,

equivalente a un circuito en ser ie.

[editar] Caso 9



En el noveno caso el

resultado solo es falso si A

y B son cier tos, en el resto

de los valores de A y B el

resultado es verdadero,

corresponde a la disyunción

de la negación A y de B,equivalente a un circuito en

paralelo de conexiones

inversas.

[editar] Caso

10

Podemos ver que el décimo

caso es lo

opuesto a la

bicondicional,

solo es cier to

si A y B

discrepan, si A

y B sondiferentes el

valor es cier to,

si A y B son

iguales el

resultado es

falso.

[editar] Caso 11



En este caso posemos ver que cuando B es cier to

el resultado es falso y que cuando B es falso el

resultado es verdadero, independientemente del

valor de A, luego la función solo depende de B,

en sentido inverso.

[editar] Caso 12

En el caso doce, vemos que solo hayun combinación de A y B con

resultado verdadero, que es A y lanegación de B.

[editar] Caso 13

En el caso decimotercero podemos ver que el

resultado es el opuesto de A, independientemente

del valor de B:

[editar] Caso 14

Caso decimocuar to, el resultado de lafunción solo es cier to si A es falso y B

verdadero, luego es equivalente a uncircuito en ser ie de A en conexión

inversa y de B en conexión directa.

[editar] Caso 15



En el caso decimoquinto, el resultado

solo es cier to si A y B son falsos,

Luego es necesar io que Tanto A como

B sean falsos para que el resultado sea

verdadero.

[editar] Caso 16

Por ultimo en el caso decimosexto, tenemos que el resultado siempre es falso independientemente de

los valores de A o de B.

definición y algoritmo fundamental

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