definicion y clasificacion_de_matrices
TRANSCRIPT
MATRICES
1.1 CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letras
minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un elemento genérico que ocupe
la fila i y la columna j se escribe aij. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también
representa a toda la matriz: A = (aij)
Por comodidad se escribirá A = =
ORDEN DE UNA MATRIZ
Indica el número de filas y el número de columnas que tiene.
m x n
número de filas
numero de columnas
Amxn A Є Mmxn
Ejemplos:
D =
……….. ……….. ………..
: : : : ………..
4 3 1
0 2 5
Fila
Columna
ELEMENTOS DE UNA MATRIZ: aij
A= (aij)mxn a i j
posición columna
posición fila
Ejemplo:
A=
DIAGONAL DE UNA MATRIZ
En álgebra lineal, la diagonal de una matriz cuadrada contiene los elementos situados
desde a1x1 hasta anxn.
Es decir, los elementos que van desde la esquina superior izquierda hasta la esquina
inferior derecha: a1x1, a2x2, a3x3.... anxn.
Los elementos de la diagonal de la matriz A son: a1x1, a2x2, a3x3
-2 3 1 0 2 1 0 4 -3
……….. ……….. ………..
: : : : ………..
……….. ……….. ………..
: : : : ………..
a11= -2
a23=1
=
j
j
=
Ejercicios:
Construir las siguientes matrices dadas las siguientes restricciones:
CLASES DE MATRICES
Tipo de matriz Definición Ejemplo
FILA Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n
COLUMNA
Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1
RECTANGULAR
Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,
TRASPUESTA
Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At ó AT
A=
A=
OPUESTA
La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.
NULA
Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por
CUADRADA
Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n. Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1 Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal, notada por
Diagonal principal
Diagonal secundaria
SIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.
A = At , a ij = a ji
ANTI SIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0
DIAGONAL
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal, es decir:
Sea la Matriz A= (aij)mxn
ssi:
ESCALAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales
IDENTIDAD
También se denomina matriz unidad. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Es decir:
Sea la Matriz I= (aij)mxn
I es matriz identidad ssi:
TRIANGULAR
Matriz triangular Superior
Sea la Matriz A= (aij)mxn
ssi:
Matriz triangular Inferior
Sea la Matriz A= (aij)mxn
ssi:
T. superior
T. inferior
IDEMPOTENTE
Una matriz A es idempotente si:
Nota: La identidad no es la única idempotente
ORTOGONAL
Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.
NORMAL
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, anti simétricas u ortogonales son necesariamente normales.
INVOLUTIVA
Es una matriz cuadrada ( tiene igual
número de filas que de columnas) tal que su cuadrado es igual a la matriz unidad, es decir:
A es involutiva si A x A = I
A2 = I
NILPOTENTE
Decimos que una matriz cuadrada A es Nilpotente de orden r si y sólo si se verifica que , ( r es el menor entero positivo )
A es nilpotente de orden 3,