definiciónde fractal autosimilitud dimensiónfractal...
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FractalesFractales
AspectosAspectos TeTeóóricosricos de la de la GeometrGeometrííaa FractalFractal
Definición de Fractal
Autosimilitud
Dimensión Fractal
Diferentes Tipos de Fractales
HaciaHacia unauna definicidefinicióónn
FrasesFrases sueltassueltas sobresobre FractalesFractales
** La Geometría Fractal es también conocida como la “Geometría de la Naturaleza. **
** La palabra Fractal, enunciada por Mandelbrot, proviene del latín y significa roto, quebrado.(Se asocia con las discontinuidades de funciones matemáticas). **
** La Geometría Fractal es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas, elipses y demásobjetos de la geometría tradicional son reemplazados por algoritmos iterativos computacionalesque permiten describir sistemas naturales, caóticos y dinámicos. **
** Un fractal es un objeto en el cual sus partes tienen “alguna” relación con el todo. (esto estáíntimamente ligado a la Autosimilitud) **
** Los Fractales son objetos cuya dimensión es no entera o fraccionaria. **
** Un objeto fractal es aquél que posee las siguientes dos características:
a) Autosimilitud ,
b) Dimensión Fractal
**
¿¿QuQuéé eses un Fractal?un Fractal?
Son objetos geométricos que poseen dos características fundamentales:
1) Autosimilitud
2) Dimensión Fraccionaria
¿¿CuCuáántosntos tipostipos de de FractalesFractales existenexisten??
Los objetos Fractales se pueden clasificar de la siguiente manera:
Lineales
Complejos
Caóticos
AutosimilitudAutosimilitud
1) Perfecta1) Perfecta: Cada porción de un objeto tiene exactamente las mismas características del objeto
compelto.
2) 2) EstadEstadíísticastica: : cada región de un objeto conserva, de manera estadísticamente similar, sus
características globales.
AutosimilitudAutosimilitud
DimensiDimensióónn FractalFractal
1) Dimensión Topológica:
Dimensión 0 -- Un punto
Dimensión 1 -- Una línea recta
Dimensión 2 -- Un plano
Dimensión 3 -- El espacio
2) Dimensión de Dimensión de Hausdorff-Besicovitch
S = S = LLDD
Donde S es la cantidad de segmentos o su longitud; L es la escala de medición; D es justamente la Dimensión.
Luego obtengo:
Log S = Log LD
Por propiedades de los logaritmos puedo decir que:
Log S = D* Log L
Por último divido ambos miembros por Log L y obtengo:
D = Log S / Log LD = Log S / Log L
DimensiDimensióónn FractalFractal
MedianteMediante la la siguientesiguiente FFóórmularmula
S = S = LLDD
Donde :
S es la cantidad de veces que se repite la imágen
generadora
L es igual a (1/e) donde “e” es la escala de medición
D es justamente la Dimensión buscada.
Aplicando logaritmos se obtiene:
Log S = Log LD
Por propiedades de los logaritmos escribimos:
Log S = D* Log L
Por último divido ambos miembros por Log L y obtengo:
D = Log S / Log LD = Log S / Log L
Fractales Lineales Fractales Complejos y Caóticos
Su Dimensión Fractal se CALCULACALCULA Su Dimensión Fractal se ESTIMAESTIMA
MedianteMediante laslas siguientessiguientes ttéécnicascnicas o o algoritmosalgoritmos
WaveletsExponente de HurstDimensión de AutocorrelaciónBoxcounting MethodExponentes de Lyapunov
Ejemplo DM de un Fractal Lineal
e = (1/3)
L= 1/(1/3)=3
S=4
D = log(4)/log(3)D = 1,261859
¿¿CCóómomo se genera un Fractal?se genera un Fractal?
Paso 1, se elige una imagen generadora (puede ser cualquiera, desde una recta hasta la cara de Mickey Mouse).
Paso 2, se elige un algoritmo de transformación de la imagen generadora.
Paso 3, se itera el algoritmo infinitas veces, o con un límite determinado como variable en un software.
Ejemplos:
Curva de Von Koch Curva de Peano Modelo Neuronal
Los Fractales complejos se generan con la misma lógica, solo que en lugar de iterar una imagen, se itera una ecuación en el plano de los números complejos.
Por ejemplo, el Conjunto de Mandelbrot se genera mediante la iteración de: Zn+1 = Zn^2 + C
Los Fractales Caóticos, son los elementos geométricos de la Teoría del Cáos. Se los denomina Atractores. Se generan a través de mediciones provenientes del mundo real, como Ecuaciones Direnciales o Series de tiempo. Cuando uno modela un sistema natural caótico, tiene como finalidad encontrar un Atractor.
MejorandoMejorando nuestranuestra definicidefinicióónn
La Geometría Fractal, llamada también "Geometría de la Naturaleza", es un conjunto de estructuras irregulares y complejas descriptas a través de algoritmos matemáticos y
computacionales; los cuales reemplazan a los puntos, rectas, circunferencias y demásfiguras provenientes de la matemática tradicional. Estos objetos tienen como característicasfundamental las propiedades de Autosimilitud y la de convivir en extraños paisajes formados
por dimensiones fraccionarias.
AhoraAhora sisi …… La La definicidefinicióónn de MANDELBROTde MANDELBROT
Un fractal es un objeto matemático cuya dimensión de Hausdorffes siempre mayor a su dimensión topológica.
El El ConjuntoConjunto de Cantorde Cantor
D = Log 2 / Log 3 - D = 0.6309.............
S = 2
L = 3
Dimensión Topológica = 1 ya queparte de una recta.
Dimensión Fractal = 0.6309…..
Se presenta el problema de excepción a la definición de Mandelbrot
Tiene dimensión fraccionaria, pero su dimensión Topológica esmayor que su dimensión fractal.
MatemMatemááticatica FractalFractal
Generando el Conjunto de Mandelbrot (M-Set)
Conjuto Números Complejos Iteración zz11 = z= z0022 + c+ c
IteracionesIteraciones
zz22 = z= z1122 + c+ c
zz33 = z= z2222 + c+ c
zz44 = z= z3322 + c+ c
zz55 = z= z4422 + c+ c
Todos los Z y C son números complejos Z0 es el inicializador
La sucesión formada por Z0,Z1, Z2, Z3………ZnSe denomina la ORBITA de Z0 bajo la iteración zz22 + c + c
Las órbitas pueden converger o diverger.
Definición del Conjunto de Mandelbrot
El conjunto Mandelbrot M, consiste de todos aquellos valores (complejos)de c cuyas órbitas de 0 bajo z2 + c correspondientes no escapan al infinito
MM--Set= {c / Set= {c / óórbitarbita de 0 en Zde 0 en Z22 + c converge}+ c converge}
Importante: En M-Set siempre interesa estudiar la órbita de Z0 = 0
MatemMatemááticatica FractalFractal
Generando el Conjunto de Mandelbrot
Fractales y ColoresLos colores representados en un Fractal no tienenun carácter artístico, sino puramente Matemático.
Defino un algoritmo de Colores:
- Si c PERTENECE a M-SET que pinte de color NEGRO- Si c NO PERTENECE a M-SET que pinte de color BLANCO
- Si c PERTENECE a M-SET que pinte de color NEGRO- Si c NO PERTENECE a M-SET que pinte con alguna
gama de AZUL.- Defino azul CLARO para los valores de C que tardan
MUCHO en DIVERGER.- Defino azul OSCURO para los valores de C queDIVERGEN rápidamente.
Los Los colorescolores dandan unauna muestramuestra de la de la velocidadvelocidadcon la con la queque diverge la diverge la sucesisucesióónn::
FractalesFractales CaCaóóticosticos -- AtractoresAtractores ExtraExtraññosos
DiferentesDiferentes TiposTipos de de FractalesFractales
FractalesFractales
LinealesLineales
Autosimilitud Perfecta
Dimensión Fractal fácil decalcular con: S = S = LLDD
Se crean a partir de:-Un generador-Un algoritmo de repetición
Ejemplo: Triángulo de Cantor y Triágulo de Sierpinski
ComplejosComplejos
Autosimilitud Estadística
Dimensión Fractal difícil de calcular. Se requiere software. Método: Box Couting
Se crean a partir de:-Un Z0
-Iteraciones en el Plano Complejo
Ejemplo: Conjunto de Mandelbrot, Conjunto de Julia
CaCaóóticosticos
Poseen estructura Fractal.Autosimilitud Estadística
Se requieren métodos de medición más complejos que la Dimensión Fractal.
Se generan a partir de sistemas de Ecuaciones Diferenciales
Ejemplo: Atractor de LorentzModela el Clima Meteorológico
Son los objetos geométricosde la Teoría del Caos
SegundaSegunda ParteParte
AplicacionesAplicaciones FractalesFractales
Medicina
Economía
Otras Ciencias
Arte
FractalesFractales en en MedicinaMedicina -- NeurocienciasNeurociencias
Simulación de una imágen del CerebroHumano
Iteración de la fórmula: Zn+1 = Z0 + CDiferencia con el Conjunto de Mandelbrot, se coloreanTODOS los puntos y no solo los convergentes.
ModeloModelo de de NeuronaNeurona con el con el queque trabajatrabaja la la MedicinaMedicina ActualActual
PrimerosPrimeros pasospasos parapara desarrollardesarrollar un un modelomodelo Neuronal Fractal. Neuronal Fractal.
Se elige un generador (A), se propone un algoritmo (B) se comienza a desarrollarel fractal (C y D).
Se puede llegar a diferentes modelosdependiendo el generador y algoritmoelegido.
MasMas FractalesFractales en en MedicinaMedicina
Imagen de un Pulmón humanocon características fractales
Imagen de un Pulmón animalconlas mismas características
FractalesFractales, , EstadEstadíísticastica y y MedicinaMedicina
El análisis de autosimilitud y patrones, no necesariamente tieneque estudiarse desde imagenes, puede hacerse tambien desdeecuaciones o curvas como en estecaso de EEG o Series de Tiempo
Imagen de aumentada con detallesde un pulmón humano
CardiologCardiologííaa FractalFractalECG visto como una serie de tiempo.
Se realiza un análisis Fractal para determinar la DF de ECG de pacientes sanos y de pacientes con determinadas patologías.
Problema:Diversos estudios de ECG mostraban una inconsistencia entre el tamaño de la arteria izquierda en relación con la fibrilación arterial.
Hipótesis:Mediante un Análisis de la Dimensión Fractal de una fibrilación arterial proveniente de un ECG se puede predecir el tamaño de la arteria izquierda.
Método:Se estudian 53 pacientes con fibrilación arterial.
Resultados:
Si la DF es mayor a 1.14, el tamaño de la arteria izquierda en TODOS los pacientes, es de 4,6 cm. o mayor.
Si la DF es menor que 1.09 , el tamaño de la arteria izquierda en TODOS los pacientes, es menor a 4,6 cm.
Si la DF se encuentra entre 1.09 y 1.14, no presenta una correlación con el tamaño de la arteria izquierda.
Series de Series de TiempoTiempo comocomo FractalesFractales CaCaóóticosticos
Con el mismo procedimiento descripto anteriormente se genera un fractal lineal, con autosimilitud perfecta, que representa el gráfico de una serie de tiempo.
La evolución y dinámica de diferentes sistemas biológicos, sociales, económicos o médicos pueden ser vistos y representados como series de tiempo.
Gráfico de la evolución de precios en la Bolsa de Comercio de Canadá, la cual puede ser tratada y estudiada como una serie de tiempo.
Un ElectroEncefalogramatambién puede ser visto y tratado como una serie de tiempo
En ambos casos se realiza un Análisis Fractal para determinar el grado de autosimilitud que poseen estas series, y en base a eso se puede conocer más acerca de su dinámica, lo cual permite realizar inferencias sobre el sistema.
FractalesFractales en en EconomEconomííaa y y FinanzasFinanzas
Teoría Multifractal en elAnálisis de la Bolsa de
Comercio
A la izquierda modelos tradiconales en elAnálisis de charts. A la derecha el mismoAnálisis pero utilizando técnicas Fractales
Notar la diferencia en el detalle.
EnconomEnconomííaa FractalFractalMercados Financieros vistos como series de tiempo.
Se realiza un Análisis para determinar la DF de la serie de tiempo con el objeto de conocer la dinámica del movimiento de precios dentro de la Bolsa de Comercio y poder inferir sobre valores futuros.
Se calcula la DF mediante el algoritmo denominado Exponente de Hurst.
Propiedades del exponente de Hurst (H):
Varía entre 0 y 1
Si H = 0,5 del exponente indica que la serie de tiempo es TOTALMENTE aleatoria por lo cual no se puede inferir en el futuro.
Si 0 < H < 0,5 existe una correlación inversa. Si la tendencia de la serie era decreciente, en intervalos posteriores será creciente, y por el contrario, si su tendencia era creciente, en el futuro será decreciente.
Si 0,5 < H < 1 existe una correlación directa. Si en un intervalo de tiempo la serie es creciente, lo seguirá siendo en el futuro, y viceversa.
Aplicación al Mercado Financiero.
Si se estudia la evolución en el tiempo del precio de determinada acción mediante esta técnica se puede inferir:
Si el valor de H de la serie de tiempo es 0,5 no puedo decidir que hacer con mis acciones.
Si 0 < H < 0,5 && previamente creciente => VENDO (infiero que luego el valor disminuyendo)Si 0 < H < 0,5 && previamente decreciente => COMPRO (infiero que luego el valor aumentará)
Si 0,5 < H < 1 && previamente creciente => COMPRO (infiero que el valor seguirá aumentando)Si 0,5 < H < 1 && previemante decreciente = > VENDO (infiero que el valor seguirá disminuyendo)
AnAnáálisislisis Fractal de Fractal de ííndicesndices bursbursáátilestiles
Análisis del índice de valores de las acciones de la empresa Google, perteneciente al indicador de acciones tecnológicas de EEUU NASDAQ.
Período: Desde el primer día de cotización hasta Setiembre de 2008 donde se produce el crash financiero.
El índice tiene un piso de 100 U$S y llegó a cotizar 780 U$S.
El índice fractal calculado de esta serie de tiempo (el Exponente de Hurst), tiene un valor de 0,58.
Lo cual indica que el movimiento de precios tuvo una dinámica cercana a la aleatoriedad.
Análisis del índice de valores de las acciones de la Bolsa de Comercio de Buenos Aires, MERVAL, del día 22 de Octubre de 2008.
Este día las acciones han tenido una caída del 10%.
El índice fractal calculado ha sido de 0.75%.
El mismo es significativamente superior a 0,5,. Lo cual indica una dinámica alejada de la aleatoriedad, esto significa que hubo coordinación en la compra y venta de acciones a lo largo de ese mismo día. Miles de mentes pensaron lo mismo al mismo tiempo.
Mediante este tipo de análisis es posible sacar patrones de comportamiento y comprender con mayor eficacia la dinámica de un sistema hiper-complejo como la Bolsa de Comercio
FractalesFractales y y ArquitecturaArquitectura
Arte FractalArte Fractal
Estas tres imagenes de ArteFractal muestran Fractalesmatemáticos perfectamentereconocibles, el Conjunto de Mandelbro y el Conjunto deJulia
Fractales manipuladosmediante un softwarepara generar paisajesFractales, utilizados en el cine o videos para suplantarmaquetas.
ConclusionesConclusiones
Los objetos fractales, más allá de ser elementos matemáticos que requieren un alto grado de abstracción, permiten modelar de manera visualmente interesante gran cantidad de sistemas naturales.
La dimensión fractal, que también parece ser una medida totalmente abstracta, ya que no es tan fácil generarse la idea de una dimensión fraccionaria teniendo como base nuestros conceptos tradiciones de dimensión euclidea, puede representar y darnos un parámetro de determinados sistemas con mucha más precisión y realidad de lo que lo hacen técnicas de análisis tradicionales.
El Análisis Fractal se ha convertido en una potente herramienta de investigación para diferentes áreas de la Ciencia Aplicada, que van desde la Medicina, Biología, Sociología, Física, Economía hasta el Arte o la Arquitectura.
Se han publicado cientos de trabajos en los últimos 10 años en el campo de la Medicina que abarcan análisis de ECG, EEG, dinámica de la desintegración sináptica en la enfermedad del Alzheimer o el crecimiento de un tumor. Como así también en Economía, todos los software de análisis bursátil contemplan los índices fractales vistos en las diapositivas anteriores o en Sociología se estudia el crecimiento y densidad de las poblaciones o emigraciones.