definitivo modelos

Programación cuadrática

UNIVERSIDAD DE ORIENTE.NÚCLEO MONAGAS.

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE SISTEMAS.MODELOS DE OPERACIOENES I.

MATURÍN – EDO. MONAGAS.

Programación cuadrática

Profesora:Yudith Devia.

Bachiller:María José Viña.

Jairo Urbáez.Reny Centeno.

Carlos De Cabo.Jean Paul Rojas.Lindeicy Pérez.

Miguel

Concepto de Prgramación cuadrática

MAX:f(x1,x2)=x1+x2+x1x2+x1

2+x22

Es un caso particular de la Programación No Lineal

Posee términos cuadráticos en la función objetivo

Las restricciones son lineales x1+x2 ≤ 0

f(x1,x2)=x1+x2+x1x2+x12+x2

2

Ejercicio Prgramación cuadrática

Sujeto a:

MAX:f(x1,x2)=15x1+30x2+4x1x2-2x1

2-4x22

x1+2x2 ≤ 30x1,x2 ≥ 0

Resolucion del ejercicio Programación cuadrática

1• Comprobar si la función es cóncava o convexa

Max Cóncavo*Si:

< 0 Es cóncava

> 0Es

convexa

*Si:

Min Convexo

Resolucion del ejercicio Prgramación cuadrática

-Como:

*Se deriva parcialmente la función objetivo: f(x1,x2)=15x1+30x2+4x1x2-2x12-4x2

2

-Con respecto a x1:

-Con respecto a x2:

< 0 Es cóncava


2• Condiciones KKT

1

( )( ) (j=1,2....,n)

( ) 0 (i=1,2....,m)

0

mj

jjj j

i i i

i

g xf xx x

b g x

- Para problemas de maximización+ Para problemas de minimización

Las condiciones de Karush-

Kuhn-Tucker (KKT) son una

generalización del método de

los multiplicadores de

Lagrange para restricciones de

desigualdad.


f(x1,x2)=15x1+30x2+4x1x2-2x12-4x2

2

Las condiciones (KKT) se resumen en 6 pasos:

1) Se toma la primera derivada parcial de la función objetivo con respecto a x1

Haciendo uso de la función objetivo:

x1+2x2 ≤ 30 1 El coeficiente de µ1 será 1

Resulta:

2) Como es maximizar, se le resta µ1. El coeficiente de µ1, va a depender de lo que resulte de la derivada parcial de la restricción con respecto a x1

Paso 1:

Autor

no se xq se coloca el menor igual


f(x1,x2)=15x1+30x2+4x1x2-2x12-4x2

2

1) Se toma la primera derivada parcial de la función objetivo con respecto a x2

Haciendo uso de la función objetivo:

x1+2x2 ≤ 30 2 El coeficiente de µ1 será 2

Resulta:

2) Como es maximizar, se le resta µ1. El coeficiente de µ1, va a depender de lo que resulte de la derivada parcial de la restricción con respecto a x2

Paso 1:(Continuación)

Autor

no se xq se coloca el menor igual


Tomo lo obtenido en el paso 1 y se multiplica con su respectiva variable y se vuelve igualdadPaso 2: Complementariedad

Paso 3: Tomo la restricciónx1+2x2 ≤ 30

Paso 4: Lo obtenido en el paso 3, lo multiplico por µ1 y lo vuelvo igualdad

Autor

no se xq el menor q

Autor

xq a iualdad?


Paso 5: Planteo factibilidad de las variables del ejercicio

Paso 6: Planteo factibilidad de µ1

2 1 1

1 2 1 1

1 2 1

2 1 2 1

1 2

1 1 2

1 2

1( 1). 15 4 4 02( 1). (15 4 4 ) 01( 2). 30 4 8 2 02( 2). (30 4 8 2 ) 03. 2 30 04. ( 2 30) 05. 0 ; 06.

j x x uj x x x uj x x uj x x x u

x xu x xx x

1 0u

Síntesis de los 6 pasos:


3• Formular nueva restricción

1

1 2 1 1

2 1 2 1

1 1 2

1 1

2 2

1

2( 1). (15 4 4 ) 0

2( 2). (30 4 8 2 ) 0

4. ( 2 30) 000

0

j x x x u

j x x x u

u x xx yx yu v

1

1 2 1 1

2 1 2 1

1 1 2

1 1

2 2

1

2( 1). (15 4 4 ) 0

2( 2). (30 4 8 2 ) 0

4. ( 2 30) 000

0

j x x x u

j x x x u

u x xx yx yu v

1

1 2 1 1

2 1 2 1

1 1 2

1 1

2 2

1

2( 1). (15 4 4 ) 0

2( 2). (30 4 8 2 ) 0

4. ( 2 30) 000

0

j x x x u

j x x x u

u x xx yx yu v

1

1

1

1 2 1 1

2 1 2 1

1 1 2

1 1 2 2 1

2 2 1

1

2( 1). (15 4 4 ) 0

2( 2). (30 4 8 2 ) 0

4. ( 2 30) 00

0

0

j x x x u

j x x x u

u x xx y x y u v

x y u v

u v

Se unen en una nueva restricción:

Se toma lo obtenido en el paso 2 y 4 de las condiciones KKT

1

1 2 1 1

2 1 2 1

1 1 2

1

2

2( 1). (15 4 4 ) 0

2( 2). (30 4 8 2 ) 0

4. ( 2 30) 0

j x x x u

j x x x u

u x xyyv

1

1 2 1 1

2 1 2 1

1 1 2

1

2

2( 1). (15 4 4 ) 0

2( 2). (30 4 8 2 ) 0

4. ( 2 30) 0

j x x x u

j x x x u

u x xyyv

1

1 2 1 1

2 1 2 1

1 1 2

1

2

2( 1). (15 4 4 ) 0

2( 2). (30 4 8 2 ) 0

4. ( 2 30) 0

j x x x u

j x x x u

u x xyyv


4• Plantear sistema de ecuaciones

Tomo lo obtenido en el paso 1 y 3: 2 1 1

1 2 1

1 2

1( 1). 15 4 4 01( 2). 30 4 8 2 03. 2 30 0

j x x uj x x u

x x

1 2 1 1

1 2 1 2

1 2 1

1( 1). 4 4 151( 2). 4 8 2 +y 303. 2 30

j x x u yj x x u

x x v

Lo vuelvo ecuación, y le agrego variables de holgura (ya que todas son ≤):

No pueden quedar valores negativos en la igualdad, por lo que multiplico por -1 las

primeras dos ecuaciones:

1 2 1 1

1 2 1 2

1 2 1

1( 1). 4 4 151( 2). 4 8 2 +y 303. 2 30

j x x u yj x x u

x x v

(-1)



Al multiplicar por -1 las primeras dos ecuaciones me resulta:

1 2 1 1

1 2 1 2

1 2 1

1 2 1 1 2 1

1 1 2 2 1 1

1( 1). 4 4 151( 2). 4 8 2 y 303. 2 30

0, 0, 0, 0, 0, 00

j x x u yj x x u

x x vx x u y y vx y x y u v

Se debe buscar cumplir con la matriz identidad,

y con y1 e y2 negativas no se cumple.

Se agregan variables artificiales:

Se establece factibilidad:



1 2 1 1 1

1 2 1 2 2

1 2 1

1 2 1 1 2 1

1 1 2 2 1 1

1( 1). 4 4 151( 2). 4 8 2 y 303. 2 30

0, 0, 0, 0, 0, 00

j x x u y zj x x u z


Sistema de ecuaciones final:


5• Formular forma estándar

Min Z =z1+z2Establezco:

Despejo z1 y z2 del sistema de ecuaciones:1 2 1 1 1

1 2 1 2 2

1 2 1

1 2 1 1 2 1

1 1 2 2 1 1

1( 1). 4 4 151( 2). 4 8 2 y 303. 2 30

0, 0, 0, 0, 0, 00

j x x u y zj x x u z


Sistema de ecuaciones:

Despegue de z1 y z2 : z1=15-4x1+4x2-µ1+y1

z2=30+4x1-8x2-2µ1+y2z1+z2=45-4x2-3µ1+y1+y2

F.O. equivalente con KKT

Sera la fila z


5• Formular forma estándar

Forma estándar:

Sujeto a:

1 2 1 1 1

1 2 1 2 2

1 2 1

1 2 1 1 2 1

1 1 2 2 1 1

4 4 154 8 2 y 30

2 300, 0, 0, 0, 0, 0

0

x x u y zx x u z


Min Z =z1+z2

Salen del sistema de ecuaciones


6• Solución del ejercicio por el desarrollo de SIMPLEX Modificado

Es similar al método bifásico, se resuelve con la fase 1 de este método. Se iterara hasta que el resultado de la función objetivo sea igual a cero.

En la primera iteración la fila z estará representada por:

1 2 2 1 1 2 1 2 1: ( , ) 4 3 0 0 0 45Max f x x x u y y z z v


it VB x1 x2 u1 y1 y2 v1 z1 z2 Sol.

0

z 0 -4 -3 1 1 0 0 0 -45

z1 4 -4 1 -1 0 0 1 0 15

z2 -4 8 2 0 -1 0 0 1 30

v1 1 2 0 0 0 1 0 0 30

1

Z -2 0 -2 1 1/2 0 0 1/2 -30

Z1 2 0 2 -1 -1/2 0 1 1/2 30

X2 -1/2 1 1/4 0 -1/8 0 0 1/8 9/4

V1 2 0 -1/2 0 1/4 1 0 -1/4 11

2

Z 0 0 -5/2 1 3/4 1 0 1/4 -7/2

Z1 0 0 5/2 -1 -3/4 -1 1 3/4 7/2

X2 0 1 1/8 0 -1/16 1/4 0 1/16 27/8

x1 1 0 -1/4 0 1/8 1/2 0 -1/8 11/4

Razón-

-

15/4

15

-

15

-

11/2

-

7/5

27

-


it Ec. x1 x2 u1 y1 y2 v1 z1 z2 Sol.

3

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

1 0 0 1 -2/5 -3/10 -2/5 2/5 3/10 3

2 0 1 0 1/20 -1/40 3/10 -1/20 1/40 9

3 1 0 0 -1/10 1/20 2/5 1/10 -1/20 12

X1=12X2=9U1=3

Solución para el problema de programación cuadrática es: X1=12X2=9

Programas que resuelven programación cuadrática

Excel Lingo


Lindo WinQSB

WinQSB

Programación Cuadrática

WinQSBIngresamos:

Nombre de Archivo

Número de Variables

Números de Restricciones (Constraints)

Criterio Objetivo (Max o Min)

Formato de Entrada (Hoja de Datos / Modelo

Normal)

Tipo de Variable (Continua / Entera / Binaria /

Irrestricta)

WinQSBVaciamos los datos del

Problema f(x1,x2)=15x1+30x2+4x1x2-2x1

2-4x22

x1+2x2 ≤ 30

x1,x2 ≥ 0

WinQSB

Gracias por su atención

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