Definizioni e concetti fondamentali

Università Mediterranea di Reggio Calabria – Facoltà di Architettura

Corso di DISEGNO – 1 2011 - 2012

Prof. Franco Prampolini

Unità didattica n. 3 – Fondamenti di Geometria Descrittiva

I sistemi di riferimento

Per definire meglio, per analogia, il problema della collocazione nello spazio degli oggetti che intendiamo disegnare, dobbiamo introdurre un concetto, che in realtà è semplicemente un altro modo per dire la stessa cosa: il concetto di “Spazio Cartesiano”. Per stabilire la posizione spaziale di un punto che si vuole rappresentare è necessario definire un sistema di riferimento. Il sistema dei piani reciprocamente normali che abbiamo appena visto non sarà più, quindi, indeterminato, ma sarà possibile definire il punto di intersezione dei tre piani stessi come “origine”.

Si assume pertanto come riferimento spaziale, il diedro trirettangolo che si genera quando si considerano a due a due i tre assi fra loro ortogonali di una terna cartesiana.

I segmenti PP’’’, PP’’ e PP’ rappresentano, rispettivamente, le coordinate cartesiane ortogonali (x, y, z) del generico punto P.

Le dimensioni di un segmento obiettivo (ad es. PQ) non sono determinabili graficamente (lo sono analiticamente applicando il teorema di Pitagora) a meno che esso non sia parallelo ad uno dei tre semipiani di riferimento.

Tale sistema è una delle basi della geometria analitica, e definisce un metodo che consente di instaurare un mutuo collegamento tra punti, rette o piani e numeri reali attraverso un sistema di coordinate. Se tre piani si incontrano in un punto ed in modo tale da formare tra loro quattro angoli, essi definiscono anche tre rette, date dalla loro mutua intersezione.

Fissato, come origine del sistema, il punto di intersezione delle tre rette, definita l’unità di misura e il verso positivo di ogni retta, sarà possibile far corrispondere ad ogni punto P, appartenente allo spazio, una terna di numeri reali che corrispondono alle tre distanze del punto P dall’origine, calcolate lungo le tre rette orientate, denominate assi. I tre valori potranno essere positivi o negativi secondo che il punto si trovi lungo il verso positivo o negativo del rispettivo asse.

Per contro, dati tre numeri reali, è sempre possibile trovare la posizione nello spazio di un punto univocamente determinato.

Nel sistema cartesiano sono presenti tre piani, detti piani cartesiani, definiti da altrettante coppie di assi: il piano definito dagli assi X e Y (piano XY), quello dato dagli assi X e Z (piano XZ) e quello determinato da Y e Z (piano YZ). Il piano XY è, per convenzione, orizzontale, mentre i piani XZ e YZ sono verticali.

L’orizzontalità o verticalità dei piani cartesiani, è una caratteristica assoluta, non relativa e legata, ad esempio, al piano di rappresentazione: il piano XY sarà, nella realtà, sempre e comunque orizzontale, mentre entità grafiche poste su quel piano, una volta che siano state proiettate, potranno assumere le più svariate giaciture, dipendenti dalla disposizione del piano di proiezione e del centro di proiezione.

Il piano XY viene diviso dagli assi X e Y in quattro parti, dette quadranti:

- Il primo quadrante è definito dagli andamenti positivi degli assi X e Y. Punti appartenenti a quel quadrante avranno perciò coordinate X e Y sempre e solo positive.

- Il secondo quadrante è definito dall’asse X negativo e Y positivo. Ad esempio i punti (-1, 3) e (-0.2, 22) appartengono entrambi al secondo quadrante.

- Il terzo quadrante è definito dagli andamenti negativi degli assi X e Y. Ad esempio i punti (-2, -1) e (-1, -0.3) appartengono al terzo quadrante.

- Infine il quarto quadrante è definito dall’asse X positivo e Y negativo. Esempi di punti appartenenti al quarto quadrante sono (1, -3,) e (2, -9,).

Analogamente alla geometria analitica, la geometria descrittiva è la scienza che permette, attraverso determinate costruzioni geometriche, di rappresentare in modo inequivocabile su uno o più piani, oggetti bidimensionali e tridimensionali. La rappresentazione può essere finalizzata a visualizzare oggetti già esistenti, come nel rilievo, e/o di oggetti mentalmente concepiti, come nella progettazione.

Mentre il disegno schizzato serve a chi lo produce per ricordare ed elaborare un motivo, per studiare preventivamente una forma, il disegno geometrico è indispensabile per comunicare agli altri la forma pensata e studiata nei suoi rapporti dimensionali.

La prospettiva di un fabbricato o di un oggetto, una pianta, una sezione, un prospetto sono applicazioni della geometria descrittiva, la quale si articola in numerosi metodi di rappresentazione, tuttavia per la semplicità e l’adattabilità alle esigenze pratiche, generalmente si usano i seguenti: 1. Proiezioni ortogonali, o metodo di Monge 2. Proiezioni assonometriche ortogonali e oblique 3. Proiezioni centrali o rappresentazione prospettica lineare (prospettiva). 4. Proiezioni anamorfiche

Le proiezioni di punti e segmenti non sono problemi astratti perché tutti i solidi, in ultima analisi, sono modellabili tramite la loro scomposizione in elementi più semplici che, alla fine, sono riconducibili a punti e segmenti. Imparare a rappresentare queste semplici forme geometriche costituisce la premessa per la soluzione di qualsiasi forma più complessa. Così come l’alfabeto, la grammatica e la sintassi consentono di esprimere nel discorso le proprie idee, così la Geometria Descrittiva serve per esprimere attraverso il disegno il proprio pensiero.

Il metodo più facile di rappresentazione è quello delle proiezioni ortogonali o mongiane, così chiamato dal nome del matematico francese Gaspard Monge (1746-1818) il quale, riordinate le esperienze precedenti, può essere considerato il creatore della geometria descrittiva. Il metodo si basa sul presupposto che, per eseguire un proiezione, cioè una rappresentazione grafica di un oggetto reale o immaginario, sono necessari un centro di proiezione e un piano sul quale rappresentare l’oggetto. Dal centro di proiezione partono dei “raggi proiettanti” che, muovendosi in moto rettilineo incontrano l’oggetto nei punti più significativi e formano sul piano, intersecandolo, l’immagine dell’oggetto stesso.

La proiezione e la sezione sono operazioni fondamentali della geometria descrittiva.

Definito un centro di proiezione O (spesso denominato anche PV), proiettare un punto A su di un piano µ (il piano di proiezione o quadro), significa costruire la retta r passante per O e per A e intersecare (sezionare) il piano µ. L’intersezione della retta r su µ identifica il punto A’, che è appunto la proiezione di A su µ.

Proiettare, quindi, da un punto S (centro di proiezione) un punto P significa costruire la retta (SP), detta retta proiettante (o proiettante).

Proiettare da un punto S (detto centro) una retta r significa costruire il piano (Sr), detto piano proiettante. Allo stesso modo, proiettare da una retta r (detta asse di proiezione) un punto S significa costruire il piano (Sr), detto sempre piano proiettante.

Sezionare con un piano con un piano significa costruire la retta di intersezione di con . Tale intersezione è detta traccia.

Sezionare con un piano una retta r significa costruire il loro punto di intersezione. Tale punto è detto traccia.

Allo steso modo, Sezionare con una retta r un piano significa costruire il loro punto di intersezione.

L’operazione di proiezione degli enti geometrici su un piano, come vedremo, è la base della scienza della rappresentazione. Essa consiste, in pratica, nell’applicare, in serie, le operazioni di proiezione e di sezione.

Proiettare da un punto S su un piano un punto A significa proiettare prima A da S, quindi sezionare la retta (SA) con il piano .

Proiettare da un punto S su un piano una retta r significa proiettare prima r da S, quindi sezionare il piano (Sr) con il piano .

Le proiezioni Gli elementi necessari per una proiezione, quindi, sono:

1. il centro di vista, detto anche centro proiettante, che è un punto a distanza finita o a distanza infinita, dal quale partono i raggi proiettanti;

2. la figura obiettiva, che é l'oggetto da rappresentare posto idealmente nello spazio rispetto ad un proprio sistema di riferimento;

3. il piano di proiezione, o quadro, che é il piano, (quindi il foglio da disegno o il monitor del PC), sul quale, ad opera dei raggi proiettanti, si forma l'immagine;

4. il raggio proiettante, che é la semiretta che dal centro di vista incide sull'oggetto e lo proietta sul piano di rappresentazione; si parlerà dunque di proiezioni centrali e parallele.

Se il centro di proiezione è a distanza finita le proiettanti sono divergenti quindi l’immagine proiettata avrà dimensioni maggiori della figura reale, o minori nel caso in cui il piano di proiezione si dovesse trovare collocato tra la figura e il centro di proiezione.

Il punto O (centro di proiezione) potrà trovarsi a distanza finita o infinita dal piano di proiezione e dagli oggetti proiettati: nel primo caso la proiezione sarà detta conica o prospettica, nel secondo cilindrica, ad indicare proiezioni ortogonali e assonometriche. In quest’ultimo caso il punto O è detto punto improprio e indica pertanto la direzione della retta proiettante o direzione di proiezione.

Spostando il centro di proiezione all’infinito, le proiettanti diventano parallele, e se incontrano il piano di proiezione ortogonalmente e lo stesso piano è parallelo alla figura, le dimensioni di questa rimangono invariate. Questo sistema detto delle proiezioni cilindriche, viene usato per le proiezioni ortogonali e le assonometrie. Le proiezioni cilindriche possono essere di due tipi:

1. ORTOGONALI, quando le proiettanti incidono perpendicolarmente il piano di proiezione (sistema usato nelle proiezioni ortogonali e nelle assonometrie ortogonali).

2. OBLIQUE, quando le proiettanti non incidono perpendicolarmente il piano di proiezione (sistema usato nelle assonometrie oblique).

Le proiezioni ortogonali sono le più usate nella progettazione perché rappresentano l’oggetto con le dimensioni reali, oppure quando si usa una scala di riduzione con i rapporti reali fra le varie parti e con la conseguente possibilità di costruire facilmente l’oggetto presentato. Per questo la rappresentazione deve essere chiara e dettagliata. Se la figura è bidimensionale la rappresentazione completa può essere fatta su un solo piano. Quando le figure sono tridimensionali la rappresentazione su un solo piano risulta insufficiente e si deve ricorrere alla proiezione su due o più piani.

Analogamente a quanto introdotto più sopra in merito allo spazio “cartesiano”, Monge giunse alla conclusioni che fra tutti i piani dello spazio esistono due piani fondamentali per le proiezioni: uno orizzontale e uno verticale. Tali piani per essere distinti sono così chiamati: • π1 (pi greco uno) il piano orizzontale, o P.O. • π2 (pi greco due) il piano verticale, o P.V. I piani fondamentali devono intersecarsi perpendicolarmente formando così quattro diedri retti, che per essere distinti, vengono numerati in senso antiorario.

A’

A’’

A°

Le proiezioni

Immaginiamo dunque di voler rappresentare mediante il disegno un oggetto tridimensionale riportandone sul piano del foglio le informazioni necessarie per una corretta ed univoca comprensione.

Dovremo quindi immaginare di collocare l’oggetto stesso all’interno di una specie di “scatola” che delimiti lo spazio stesso con piani ortogonali, individuarne i punti più “importanti”, quelli, cioè, che ne definiscono la forma con un’approssimazione compatibile con la precisione che intendiamo raggiungere, e proiettarli su piani inseriti in un unico sistema generale di riferimento cartesiano. Ribaltando poi opportunamente i piani stessi si otterrà il risultato finale.

Si è detto più sopra che, per la rappresentazione di un oggetto qualsiasi, occorre crearne un “modello”, formato da elementi più semplici: questi elementi, che chiameremo “primitive grafiche fondamentali” sono essenzialmente tre:

Il Punto La retta

Il Piano Nell’Unità didattica successiva ne analizzeremo le varie modalità di rappresentazione e composizione. Limitiamoci qui a darne una “possibile” definizione.

Il Punto In geometria il punto è un concetto primitivo. Intuitivamente equivale ad un'entità adimensionale spaziale, per cui può essere considerato semplicemente come una posizione, definita, cartesianamente, da una tripletta di coordinate.

Negli Elementi di Euclide, al punto è riservata la prima delle definizioni del I libro, dove si indica che punto è ciò che non ha parti. Quindi il punto il primo ente fondamentale della geometria ed è privo di una qualsiasi dimensione.

Con l'assiomatizzazione rigorosa della geometria effettuata da Hilbert nei Fondamenti di Geometria il punto, assieme alla retta ed al piano, diventa uno dei concetti fondamentali della geometria al quale non si dà alcuna definizione.

Per convenzione i punti vengono denominati con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino: A, B, C, … P, Q, ecc.

Nella geometria euclidea il punto è in relazione con gli altri enti geometrici e gode di alcune proprietà fondamentali, quali, ad esempio:

•Per ogni punto nel piano passano infinite rette. •Per due punti passa una e una sola retta. •Per tre punti non allineati passa un solo piano. •Per tre punti non allineati passa una sola circonferenza. •Una linea o una retta sono una successione infinita di punti.

La retta La retta o linea retta è uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola dimensione. La retta è inoltre illimitata in entrambe le direzioni, cioè è infinita. Viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto latino: r, s, …,

Una retta nel piano cartesiano è descritta da un'equazione lineare ax + by + c = 0 dove i coefficienti a, b e c sono dei numeri reali fissati, con a e b non contemporaneamente nulli.

Anche per la retta possiamo definire alcune proprietà fondamentali:

• Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette. • Per due punti passa una e una sola retta. • Due rette incidenti in un punto generano angoli opposti uguali. • Nello spazio, per una retta passano infiniti piani.

Il Piano Il piano è un concetto primitivo della geometria, ovvero un concetto che si suppone intuitivamente comprensibile, non necessitando quindi di una definizione in quanto universalmente acquisito (gli altri concetti primitivi della geometria sono il punto e la retta).

Inteso come luogo geometrico di punti, il piano, nello spazio tridimensionale, è l'insieme di tutti quei punti individuati dalla combinazione lineare di 2 vettori linearmente indipendenti applicati nel medesimo punto P.

Dal punto di vista della geometria differenziale il piano è quella superficie che ha entrambe le curvature fondamentali nulle.

Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide e dagli assiomi di Hilbert.

L'equazione canonica del piano nello spazio tridimensionale R3 è del tipo:

ax + by + cz + d = 0

in cui a, b, c e d sono i parametri direttori del piano, con a, b e c non tutti nulli

allo stesso tempo.

Vediamo più in dettaglio, riassumendo, le relazioni che legano gli Enti geometrici fondamentali: il punto, la linea e il piano.