deflection of beam by conjugate beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c...

26
การโก่งตัวโดยวิธีคานเสมือน Deflection of Beam by Conjugate Beam เสนอ ผศ.ดร.เรืองรุชดิ ์ ชีระโรจนกลุ่มที5 นายกฤษฎา คามูลทา 56010310009 นายสมคิด สารลึก 56010310280 นายสมหมาย ศรีสุธรรม 56010310281 นายธวัชชัย โคตรชมภู 56010315120 นายวีระวัฒน์ กรตุ้ม 56010315164 นายสิทธิศักดิ ์ อันสนั่น 56010315182 นายอนุวัต โยธากุล 56010315194 นายสันติเทพ ทองสอน 56010315332 รายงานนี ้เป็นส่วนหนึ ่งของวิชา 0301214 Structure of Theory ภาคการเรียนที2 /2557 สาขาวิศวกรรมโยธา คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยมหาสารคาม

Upload: ngotruc

Post on 13-Apr-2018

225 views

Category:

Documents


8 download

TRANSCRIPT

Page 1: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

การโกงตวโดยวธคานเสมอน

Deflection of Beam by Conjugate Beam

เสนอ

ผศ.ดร.เรองรชด ชระโรจน

กลมท 5

นายกฤษฎา คามลทา 56010310009

นายสมคด สารลก 56010310280

นายสมหมาย ศรสธรรม 56010310281

นายธวชชย โคตรชมภ 56010315120

นายวระวฒน กรตม 56010315164

นายสทธศกด อนสนน 56010315182

นายอนวต โยธากล 56010315194

นายสนตเทพ ทองสอน 56010315332

รายงานนเปนสวนหนงของวชา 0301214 Structure of Theory ภาคการเรยนท 2 /2557

สาขาวศวกรรมโยธา คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยมหาสารคาม

Page 2: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

ค าน า

รายงานเลมนเปนสวนหนงของรายวชาทฤษฎโครงสราง (Structure of Theory) เรอง การโกงตวโดย

วธคานเสมอนศกษาเกยวกบลกษณะการโกงตวของคาน โดยวธคานเสมอน ซงเปนหนงในวธการหา การ

โกงตวของคานโดย คนควาจากหนงสอและอนเตอรเนต จากหนงสอทฤษฎโครงสราง รวมถงการเรยนการ

สอนในหองเรยนท เกยวกบเนอหาเรองคาน คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวารายงานเลมน จะมประโยชน แก

ผสนใจ หรอผทก าลงศกษาอยางมาก

คณะผจดท า

Page 3: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

การโกงตวของคานโดยวธคานเสมอน ( Deflection of Beam by Conjugate Beam )

คานเมอมน าหนกบรรทกมากระท านอกจากจะท าใหเกดหนวยแรงดด และหนวยแรงเฉอนในคานแลว

ยงท าใหคานโกงอกดวย การโกงของคานจะมากหรอนอยขนอยกบความแขงเกรง (Rigidity) ของคานนน ๆ

โดยทวไปการออกแบบคานจะขนอยกบความแขงเกรงของคานมากกวาก าลง (Strength) ของคาน เชน การ

ก าหนดระยะโกงทยอมใหโดยค านงถงประโยชนใชสอย เพราะหนวยแรงทเกดขนในคานอาจจะนอยกวา

หนวยแรงทยอมให แตระยะโกงทเกดขนมากกวาระยะโกงทยอมใหกได

การหาระยะโกงทเกดขนในคานมหลายวธ ดงตอไปน

1. วธดบเบลอนทเกรชน (Double Integration Method)

2. วธพนทไดอะแกรมโมเมนตตด (The Area Moment Method)

3. วธคานเสมอน (The Conjugate Beam Method)

วธคานเสมอน (Conjugate beam method)

ซงพฒนามาจากวธพนทไดอะแกรมโมเมนตดด แตวธคานเสมอนไมจ าเปนตองใชเสนโคงอลาสตค Elastic

curve และเหมาะส าหรบคานชวงเดยวทมฐานรองรบแบบธรรมดา วธคานเสมอนแตกตางจากวธพนท

ไดอะแกรมโมเมนตดดคอ คานเสมอนใหคาความลาดและระยะโกงของคานไดโดยตรง ในการค านวณการ

โกงตวของคานโดยวธคานเสมอนนน ท าไดงายกวาวธของพนทของโมเมนต เนองจากไมตองใชเสนโคง

ยดหยนในการค านวณ ส าหรบการค านวณการโกงตวของคานโดยวธคานเสมอนสามารถท าไดดงน

พจารณาคาน AB ทมน าหนกมากระท า เมอตองการหามมเบยงเบนหรอมมลาด (Ө) และระยะโกง (∆) ทจด

C ซงหางจากจด A เปนระยะ X โดยอาศยจากสมการพนทของโมเมนต จะไดวา

ӨAC = ӨA – ӨC ӨC = ӨA – ӨAC

Page 4: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

โดย ӨA = ∆BA

L=

1

L(Wb)

เมอ W คอ พนทของโมเมนตระหวาง A และ B

และ ӨAC = W’

เมอ W’ คอพนทของโมเมนตระหวาง A และ C

∴ ӨC = Wb

L− W′ ……… (1)

และ ∆C = xӨA - ∆CA

โดย ∆CA = W’z

∴ ∆C = (x)(Wb

L)-W’z …………(2)

สมมตคานเสมอน A’B’ ซงพจารณาเปนคานจรงและรบน าหนกเปนพนทของ M

EI พจารณาแรงตางๆ ท

เกดในคานจะไดวา

R’A

= Wb

L

R’B =

Wa

L

V’C = R’

A – W’ = Wb

L - W’ ………….(3)

M’C = R’A(x) – W’(z) =

Wb

L(x) – W’(z) …………..(4)

Page 5: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

จากการเปรยบเทยบสมการท (1) กบ (3) และสมการท (2) กบ (4) แสดงใหเหนวา

V’C = ӨC และ M’

C = ∆C ………. (5)

สรปไดวา

ӨC = คาแรงเฉอนของคานเสมอนทจด C’

∆C = คาโมเมนตดดของคานเสมอนทจด C’

Page 6: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

เนองจากคานจรงและคานเสมอนมขอแตกตางกน จากตารางไดสรปการแปลงคานจรงเปนคานเสมอน แต

มขอควรระวงในกาพจารณาวาคานจรงตองมความเสถยร สวนคานเสมอนอาจจะมความเสถยรภาพหรอไมก

ได เนองจากไมใชคานจรง

ตวอยางการแปลงคานจรงไปเปนคานเสมอน

Page 7: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

1 คอ คานจรง 2 คอ คานเสมอน

Page 8: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

สรปขนตอนการค านวณ

1. เขยน BMD ของคานในรปของ M

EI

2. แปลงคานจรงใหคานเสมอนตามตารางท 5.2

3. ใช M

EI ของคานจรงเปนน าหนกทกระท าตอคานเสมอน

4. ค านวณหาแรงเฉอน และโมเมนตดด ของคานเสมอนโดย

Vคานเสมอน = Өคานจรง

Mคานเสมอน = ∆คานจรง

เครองหมาย (Sign Convention)

1. แรงเฉอนของคานเสมอนเปนบวก (+) มมลาด (Ө) ของคานจรงจะมทศทางทวนเขม

2. โมเมนตดดของคานเสมอนเปนบวก (+) การโกงตว (∆) ของคานจรงมทศทางขน (↑)

โดยสามารถสรปไดดงน

Vคานเสมอน เปนบวก (+) → Өคานจรง ทวนเขม (↺)

Vคานเสมอน เปนลบ (-) → Өคานจรง ตามเขม (↻)

Mคานเสมอน เปนบวก (+) → Δคานจรง โกงขน (↑)

Mคานเสมอน เปนลบ (-) → Δคานจรง โกงลง (↓)

Page 9: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

ตวอยาง

1.จงหา θB และ ΔB ของโครงสรางในรปโดยวธคานเสมอน

วธท า เรมจากเขยน MEIและแปลงคานจรงเปนคานเสมอนโดยθB และ ΔB กคอ Vbและ Mbของคานเสมอน

นนเอง

θB = VB′ −

1

2(

PL

EI) (L) = −

PL

2EI

2

∆B = MB′ −

PL

2EI

2(

2

3) (L) = −

PL3

3EI

2. จงหา ∆max และ θmax ของคานในรปโดยวธคานเสมอน

Page 10: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

วธท า หาแรงปฏกรยา

∑MA = 0 ; Cy(L) = ω(L) (L

2)

Cy =ωL2

2L

Cy =ωL

2

∑Fy = 0 ; Ay +ωL

2= ωL

Ay =2ωL

2−

ωL

2

Ay =ωL

2

∑MB = 0 ; MB +ω (

L2)

2

2= (

ωL

2) (

L

2)

MA =ωL2

4−

ωL2

8

MA =ωL2

8

Page 11: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

θA = VA′ = RA = − 23

(ωL2

8EI) (

L2

)

= −ωL3

24EI

∆max= MA′ = −ωL2

24EI(

L

2) +

2

3(

ωL2

8EI) (

L

2) (

3L

16)

= −5ωL4

384EI

3.จงหา θA , θB ,∆Dและ ∆Maxของโครงสรางในรปโดยใชวธคานเสมอน

วธท า เรมจากหาคา RA และ RB และจากนนเขยน M

EI และแปลงจากคานจรงใหเปนคานเสมอนโดยน าคา

M

EI

เปนน าหนกทกระท าตอคานเสมอน ซงจะไดวาแรงเฉอนและโมเมนตดดของคานเสมอกคอ θ และ ∆ ของ

คานนนเอง

Page 12: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

คานจรง

RA = Pb

L=

1,200(4)

6= 800 kg

RB = Pa

L=

1,200(2)

6EI= 400 kg

MC = 800(2) = 1,600 kg ∙ m

MD = 400(3) =1,200 kg ∙ m

คานเสมอน

∑ M′B=0

6R’A =[1

2(

1,600

EI) (2) (

1

3(2) + 4)]+[

1

2(

1,600

EI) (4) (

2

3(4))]

6R’A = 7,466.697

EI+

8,533.33

EI

R’A = 2,666.67

EI

Page 13: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

∑ Fy=0

R’B = [1

2(

1,600

EI) (6)] − [

2,666.67

EI]

= 2,133.33

EI

θ A = V’A = R’A = -2,666.67

EI

θ B = V’B = R’B = 2,133.33

EI

∆ D = M’D = [−2,133.33

EI (3)] − [

1

2(

1,200

EI) (3) (

3

3)]

= -4,600

EI

Page 14: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

∆Max เกดทต าแหนง x’ ใด ๆ โดย V’x =0

V’x = -2,133.33

EI +1

2(

1,600

EI) (

x′

4) (x′) =0

X’ = 3.27 m

∆Max = M’x= [−2,133.33

EI(3.27)]+[

1

2(

1600

EI) (

3.27

4) (3.27)

3.27

3]

=-4,644.94

EI

Page 15: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

4. จงหา θA, θB, θC, θD, ∆B และ ∆D ของโครงสรางในรปโดยวธคานเสมอน

หาแรงปฏกรยา ของคานจรง ∑ Mc = 0 1000 + 1500(3) = 500 + Ay(5) Ay = 1000 kg ↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0

1000 + Cy = 1500 Cy = 500 kg ↑ หาโมเมนต ของคานจรง MA = -1500(2) - 500 + 500(5) = -1000 kg.m MB = -1000 + 1000(2) = 1000 kg.m MC = -1000 + 1000(5) -1500(3) = -500 kg.m

พอเราได คาโมเมนตของคานจรงแลว เรากน าคาโมเมนตนนมาสวนดวย EI เพอทจะน าไปเปนแรงทกระท าตอคานเสมอน โดยมทศทางพงออกจากคานเสมอน

Page 16: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

หาแรงปฏกรยา ของคานเสมอน โดยพจารณาทอน A′C′ เพอทจะหาคา R′

A เรากจะมาเทคโมเมนตทจด C′ ∑ M′

C = 0 (และใหโมเมนตลงเปนลบ) จะไดวา

[1

2(

1000

EI) (2) (

2

3(2) + 1)] + [

1

2(

1000

EI) (1) (

1

3+ 3)]

= [1

2(

500

EI) (1) (

1

3)] + [

1

2(

1000

EI) (1) (

2

3+ 4)] + [R′A (5)]

R′A(5) =

2,333.33

EI+

1,666.67

EI−

2,333.33

EI−

83.33

EI

R′A =

316.67

EI kg ↓

เรากจะได R′A =

316.67

EI kg ↓

ตอมาเรากจะใช ซมเมชน Fy = 0 เพอทจะหา 𝑉′𝐶

∑ Fy = 0

(1

2) (

1000

EI) (1) + (

1

2) (

1000

EI) (2) =

316.67

EI + (

1

2) (

1000

EI) (1)

+ (1

2) (

500

EI) (1) + V′

C

V′C =

1000

EI −

500

EI −

316.67

EI

เรากจะได V′C =

433.33

EI kg ↓

ตอมาเรากมาพจารณาทอน C′D′

เพอทจะหาคาของ R′D เรากใช ∑ Fy = 0 จะไดวา

∑ Fy = 0

R′D = V′

C = 433.33

EI kg ↓

เมอเราไดแรงปฏกรยาครบหมดแลว เรากจะมาหาแรงเฉอน ทจด A′, B′, C′, D′ จะไดวา

V′A = R′

A = −316.67

EI

V′B = −

316.67

EI −

1

2(1) (

1000

EI) +

1

2(1) (

1000

EI)

Page 17: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

= −316.67

EI

V′C =

433.33

EI (ซงเราหาไดแลวกอนหนาน)

V′D = V′

C =433.33

EI

เมอ V′A = θA

V′B = θB

V′C = θC

V′D = θD

ดงนน จะไดวา

θA = −316.67

EI Ans.

θB = −316.67

EI Ans.

θC =433.33

EI Ans.

θD =433.33

EI Ans.

ตอมาเรากมาหา ∆B และ ∆D

เมอ ∆B= M′B

∆D= M′D

จะไดวา

∑ M′B = 0 (โดยใหโมเมนตลงเปนลบ)

∆B= 𝑀′𝐵 = −316.67

EI(2) −

1

2(

1000

𝐸𝐼)(1) (

2

3+ 1) +

1

2(

1000

𝐸𝐼)(1) (

1

3)

= −1,300

EI ↓ Ans.

และ ∑ M′D = 0

∆D= M′D = V′C (1.5)

= 433.33

EI(1.5) =

650

EI ↑ Ans.

Page 18: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

5.จงหา ∆max ของโครงสรางในรปโดยวธคานเสมอน

วธท า

คานจรง

พจารณาทอน BC

∑ MB = 0 ; 6RC = 3000(4)

RC = 300(4)

6

RC = 2000 kg ↑

∑ Fy = 0 ; VB + RC = 3000

VB = 3000-2000 = 1000 kg ↑

พจารณาทอน AB

VB = 1000 kg

∑ Fy = 0 ; RA = 1000+ VB

RA = 1000+ 1000

RA = 2000 kg ↑

∑ MA = 0 MA = 1000(1)+1000(2) = 3000 kg-m

Page 19: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

คานเสมอน

∑ M′B = 0 ;

6RC’ =[1

2(

4000

EI)(2)(2

2

3+ 4)] + [

1

2(

4000

EI)(4)(

8

3 )]

+ [ (1000

EI)(1)(1 + 0.5)]+ [

1

2(

2000

EI)(1)(

2

3+ 1)]

R’C = 𝟕𝟐𝟓𝟎

𝐄𝐈 ↓

ให VX’ มคาเทากบ 0 ณ ต าแหนง x’ ซงวดจาก B’ มา C ‘

0 = 𝟕𝟐𝟓𝟎

𝑬𝑰 - [

1

2(

4000

EI)(2)]- [

1

2(

4000

EI) (4) −

1

2(

1000

EI)(x′)(x′)]

X’ = 3.08 m ( วดจาก B’ มา C’ )

Page 20: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

∆max = M’x = [−𝟕𝟐𝟓𝟕.𝟓

𝑬𝑰(2.92)]+[

1

2(

4000

EI) (2) (

2

3+ 0.92)]

+ [3080

EI((

0.922

2))] +[

1

2(

3080

EI) (0.92) (

2

3(0.92))]

= - 13260

EI ↓

6.จงหา θ A และ Δ C ของโครงสรางในรปโดยวธคานเสมอน

วธท า

คานจรง

พจารณาทอน AC

ΣMC = 0; 2RA = 4000(1)

RA = 2000 kg

พจารณาทงระบบ

ΣMD = 0; 1.5RE + 4000(2) = 2000(3) + 1500(2.5)

RE = 1166.67 kg

Page 21: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

จากนนวาด M

EI Diagram และแปลงคานจรงเปนคานเสมอน แลวหาคา R A’ ซงกคอ θ A และหา M C’ ซงก

คอ Δ C นนเอง

คานเสมอน

พจารณาทอน A’D’

ΣM D’ = 0; 3RA’ + 1RC’ + 12

(1)(2000

EI)(1

3) = 1

2(2)(1000

EI)(1+1)

RA’ + RC’ = 5000

3EI ……………….(1)

พจารณาทอน A’E’

ΣME’ = 0;

4.5 RA’+2.5 RC’+ (12

)(1)(2000

EI)( 1

3 + 3

2) + (1500

EI)(1.5)( 1.5

2) + (1

2)( 500

EI)(1.5)(2

3)(1.5) =

1

2(2)(1000

EI)(1+2.5)

4.5 RA’ + 2.5 RC’ = - 395.83

EI ……………….…(2)

Page 22: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

จาก (1) และ (2) จะได

RA’ = 1520.83

EI ↓

θ A = - RA’ = - 1520.83

EI

MC = - 1520.83

EI(2) +

1

2(1000

EI)(2)(1)

= - 2041.66

EI

Δ C = 2041.66

EI ↓

7.จงหา ∆C ของโครงสรางในรปโดยวธคานเสมอน

วธท า จากวธการแยกสวนผงโมเมนตและการแปลงคานจรงใหเปนคานเสมอนโดย M

EI คอน าหนกทกระท า

ตอคานเสมอนจะไดวา ∆c กคอ MC ‘ นนเอง โดยเรมจากตองหา RA ‘ จากนนหา RB ‘ เพอใชหา MC ‘

ตอไปพจารณาทอน A’ B’

Page 23: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

หา BMD ของคานจรง โดยใชวธ Superposition โดยแบงออกเปน 3 รป จะได

M = PL

MB M = 2600(3) = 7800 kg.m

M = - 𝑊(L)2

2

MB =2000(3)2

2 = -9000 kg.m

M = -PL

MB = -1200(1) = -1200 kg.m

หาแรงปฏกรยาทจดรองรบ

∑ MA = 0 ; 3By = 2000(3)(1.5) + 1200(4)

By = 4600 kg

∑ Fy = 0 ; Ay = 2000(3) + 1200 -4600

Ay = 2600 kg

Page 24: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

หา ∆c กคอ MC ‘ นนเอง โดยเรมจากตองหา RA ‘ จากนนหา RB ‘ เพอใชหา MC ‘

ตอไปพจารณาทอน A’ B’

∑ MB ‘ = 0 ; 3RA ‘ +[1

3 (

9000

EI)(3)(

3

4)] =

1

2 (7800

EI) (3) (1)

RA ‘ = 1650

E𝐈 ↓

∑ Fy = 0 ; VB ‘ + 1

2 (7800

EI) (3) =

1050

EI +[

1

3 (

9000

EI)(3)]

= -1050

EI

VB = 1050

EI ↓

Page 25: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

พจารณาทอน B’C’

∑ MC ‘ = 0; MC‘+[1

2 (

1200

EI)(1)(

2

3)] =

1050

EI (1)

MC ‘ = 650

EI

∆c =650

EI ↑

Page 26: Deflection of Beam by Conjugate Beam 09:20:27-1w5s60prv2o.pdf · r’ a = wb l ’r b = wa l ’v c ’= r ... +8,533.33 ei r’ a = 2,666.67 ei ∑f y =0 r

เอกสารอางอง

-Hibbeler R.C., Structural Analysis, Eight Edition, 2012.

-ผศ.ดร.เรองรชด ชระโรจน , Structure of Theory, คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยมหาสารคาม